Skip to content
Brent$117,6Газ TTF$1 192USD453,87 ₸
MunaiHub

Формулы: Гидродинамическое моделирование

Формулы уроков раздела «Гидродинамическое моделирование» с условиями применимости и единицами, а также обозначения: что означает каждый символ в этой дисциплине.

Истощение замкнутого «бака» при постоянном забойном давлении
ctVp  dp dt=−J (p−pwf)⇒p(t)=pwf+(pi−pwf) e−t/τ,τ=ctVpJc_t V_p\,\frac{\dd p}{\dd t} = -J\,(p - p_{wf})\quad\Rightarrow\quad p(t) = p_{wf} + (p_i - p_{wf})\,\e^{-t/\tau},\qquad \tau = \frac{c_t V_p}{J}

метрические промысловые: МПа, м³, сут (подойдёт любая согласованная система)

Справедливо, если: давление одинаково во всём объёме: возмущение от скважины выравнивается мгновенно («бак»); однофазный поток: давление выше давления насыщения, газ из нефти не выделяется; ctc_t и JJ постоянны, приток из законтурной области отсутствует; дебит в пластовых условиях пропорционален депрессии p−pwfp - p_{wf}.

Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна →
Явный шаг по времени для «бака»
pn+1=pn−Δtτ (pn−pwf)p^{n+1} = p^{n} - \frac{\Delta t}{\tau}\,(p^{n} - p_{wf})

любые согласованные (Δt\Delta t и τ\tau в одних единицах времени)

Справедливо, если: производная заменена разностью; дебит на всём шаге берётся по давлению в начале шага (явная схема); в точное решение формула переходит лишь в пределе Δt→0\Delta t \to 0.

Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна →
Баланс флюида в ячейке за шаг по времени
min+1−minΔt=∑jFji−Wi\frac{m_i^{n+1} - m_i^{n}}{\Delta t} = \sum_{j} F_{ji} - W_i

любые согласованные

Справедливо, если: внутри ячейки давление, насыщенности и свойства одинаковы; баланс записывают отдельно для каждого компонента: нефти, газа (свободного и растворённого) и воды; перетоки и отборы вычисляют по давлениям и насыщенностям нового шага (неявная схема) или начала шага (явная).

Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна →
Переток между соседними ячейками (однофазный, по закону Дарси)
qij=Tijμ (pj−pi),Tij=AΔxi2ki+Δxj2kjq_{ij} = \frac{T_{ij}}{\mu}\,(p_j - p_i),\qquad T_{ij} = \frac{A}{\dfrac{\Delta x_i}{2k_i} + \dfrac{\Delta x_j}{2k_j}}

СИ

Справедливо, если: поток однофазный и горизонтальный; при наклоне к разности давлений добавляют вес столба флюида; ячейки прямоугольные, их центры лежат на прямой, перпендикулярной общей грани; при нескольких фазах расход каждой фазы умножают на её относительную проницаемость, взятую обычно в ячейке, откуда идёт поток.

Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна →
Неявный шаг по времени для «бака»
pn+1=pn−Δtτ (pn+1−pwf)⇒pn+1=pn+(Δt/τ) pwf1+Δt/τp^{n+1} = p^{n} - \frac{\Delta t}{\tau}\,(p^{n+1} - p_{wf})\quad\Rightarrow\quad p^{n+1} = \frac{p^{n} + (\Delta t/\tau)\,p_{wf}}{1 + \Delta t/\tau}

любые согласованные

Справедливо, если: дебит на шаге вычисляют по давлению в конце шага (неявная схема); модель линейна; в реальном симуляторе уравнения нелинейны, и на каждом шаге их решают итерациями.

Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна →
Количества нефти, воды и газа в ячейке модели чёрной нефти
No=VpSoBo,Nw=VpSwBw,G=Vp(SgBg+Rs SoBo)N_o = \frac{V_p S_o}{B_o}, \qquad N_w = \frac{V_p S_w}{B_w}, \qquad G = V_p\left(\frac{S_g}{B_g} + \frac{R_s\,S_o}{B_o}\right)

метрические; стандартные условия — те же, к которым приведены таблицы свойств

Справедливо, если: состав «нефти» и «газа» не меняется; их свойства зависят только от давления, температура пласта постоянна; газ растворяется в нефти, а нефть в газе — нет; в расширенной модели добавляют содержание жидких углеводородов в газе; газом, растворённым в воде, пренебрегают; при необходимости добавляют такое же слагаемое для воды; массу компонента получают умножением на его плотность в стандартных условиях.

Типы гидродинамических моделей →
Масса компонента в ячейке композиционной модели
mi=Vp∑jSj Cijm_i = V_p \sum_{j} S_j\,C_{ij}

СИ; вместо массы часто считают число молей — тогда концентрации мольные

Справедливо, если: фазы в ячейке находятся в равновесии: состав каждой следует из общего состава, давления и температуры; суммируют по всем фазам, в которых компонент присутствует; углеводородные компоненты в воде обычно не учитывают.

Типы гидродинамических моделей →
Зависимость вязкости нефти от температуры (уравнение Андраде)
μ(T)=A eB/T\mu(T) = A\,\e^{B/T}

вязкость — в единицах постоянной AA; температура — только в кельвинах

Справедливо, если: эмпирическая зависимость: постоянные подбирают по измерениям вязкости этой нефти хотя бы при двух температурах; нефть дегазирована или её газосодержание не меняется; давление влияет на вязкость гораздо слабее температуры; в широком диапазоне температур прямая в координатах ln⁡μ\ln\mu — 1/T1/T искривляется, и для тяжёлых нефтей применяют более точные зависимости; в модель вводят таблицу лабораторных значений.

Типы гидродинамических моделей →
Переток между матрицей и трещинами (однофазный)
qmf=σ Vb kmμ (pm−pf),σ=4(1Lx2+1Ly2+1Lz2)q_{mf} = \sigma\,V_b\,\frac{k_m}{\mu}\,(p_m - p_f), \qquad \sigma = 4\left(\frac{1}{L_x^2} + \frac{1}{L_y^2} + \frac{1}{L_z^2}\right)

СИ

Справедливо, если: все блоки матрицы в ячейке одинаковы, давление внутри блока описывается одним средним значением; приведённое выражение для σ\sigma — одно из распространённых; другие выводы дают другие числовые множители, и при адаптации его нередко подстраивают; при нескольких фазах расход каждой фазы умножают на её относительную проницаемость и добавляют капиллярные и гравитационные силы — именно они определяют обмен при вытеснении.

Типы гидродинамических моделей →
Поровый объём ячейки
Vp=Δx Δy Δz⋅NTG⋅ϕV_p = \Delta x\,\Delta y\,\Delta z\cdot\mathrm{NTG}\cdot\phi

любые согласованные (м и м³)

Справедливо, если: прямоугольная ячейка; для угловой геометрии объём ячейки симулятор вычисляет по координатам восьми углов; пористость относится к условиям, при которых задано опорное давление сжимаемости пор (ниже).

Построение модели: входные данные и результаты →
Плотность нефти в пласте по данным модели
ρo=ρo,ст+Rs ρg,стBo\rho_o = \frac{\rho_{o,\text{ст}} + R_s\,\rho_{g,\text{ст}}}{B_o}

кг/м³; плотность воды в пласте — ρw,ст/Bw\rho_{w,\text{ст}}/B_w

Справедливо, если: масса сохраняется: 1 м³ товарной нефти вместе с растворённым в нём газом занимает в пласте BoB_o м³ (плотность пластовой нефти); если нефть описана таблицей без газосодержания, симулятор считает ρo=ρo,ст/Bo\rho_o = \rho_{o,\text{ст}}/B_o — без массы растворённого газа.

Построение модели: входные данные и результаты →
Поровый объём при давлении в ячейке
Vp(p)=Vp(pоп)(1+x+x22),x=cf (p−pоп)V_p(p) = V_p(p_{\text{оп}})\left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right),\qquad x = c_f\,(p - p_{\text{оп}})

любые согласованные: cfc_f и давления — в одних единицах

Справедливо, если: 1+x+x2/21 + x + x^2/2 — первые члены разложения exe^{x}; при ∣x∣=0,05|x| = 0{,}05 отличие от экспоненты около 0,002 %; сжимаемость постоянна; изменение проницаемости с давлением задают отдельными таблицами, если оно важно.

Построение модели: входные данные и результаты →
Давления фаз и капиллярное давление при равновесии
po(z)=pоп+ρog (z−zоп),pc(z)=(ρw−ρo) g (zЗСВ−z)p_o(z) = p_{\text{оп}} + \rho_o g\,(z - z_{\text{оп}}),\qquad p_c(z) = (\rho_w - \rho_o)\,g\,(z_{\text{ЗСВ}} - z)

метрические: МПа, м, г/см³ (давление в файле — в барах)

Справедливо, если: флюиды неподвижны, обе фазы сплошные по всей высоте; глубины — по вертикали, вниз положительные; плотности здесь постоянны; симулятор интегрирует давление по глубине с плотностью, зависящей от давления, — для пласта толщиной в десятки метров разница ничтожна; выше ЗСВ pc>0p_c > 0; если pcp_c меньше давления входа в породу, ячейка полностью водонасыщена.

Построение модели: входные данные и результаты →
Целевая функция адаптации
M=1N∑k=1Nwk(dkфакт−dkрасчσk)2M = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} w_k\left(\frac{d_k^{\text{факт}} - d_k^{\text{расч}}}{\sigma_k}\right)^{2}

безразмерная: каждое расхождение делят на погрешность в тех же единицах

Справедливо, если: погрешности замеров независимы и случайны; погрешности σk\sigma_k оценены честно — от них зависит, что считать хорошим совпадением; веса выбирает инженер, и от них зависит результат: целевая функция формализует суждение, но не заменяет его.

Адаптация модели к истории разработки →
Целевая функция с априорным слагаемым
S(m)=∑k(dkфакт−dkрасч(m)σk)2+∑j(mj−mjапрsj)2S(\mathbf{m}) = \sum_{k}\left(\frac{d_k^{\text{факт}} - d_k^{\text{расч}}(\mathbf{m})}{\sigma_k}\right)^{2} + \sum_{j}\left(\frac{m_j - m_j^{\text{апр}}}{s_j}\right)^{2}

безразмерная

Справедливо, если: погрешности замеров и априорных оценок независимы и распределены нормально; тогда минимум SS соответствует наиболее вероятному набору параметров; априорные оценки получены независимо от истории, иначе одни и те же сведения учитываются дважды.

Адаптация модели к истории разработки →
Прирост добычи и ускорение от мероприятия
ΔQ=Qс−Qбез,Qуск=Qскв−ΔQ\Delta Q = Q_{\text{с}} - Q_{\text{без}},\qquad Q_{\text{уск}} = Q_{\text{скв}} - \Delta Q

любые одинаковые единицы объёма нефти в стандартных условиях

Справедливо, если: оба расчёта на одной модели и с одинаковыми режимами остальных скважин, кроме изменений, которые вызывает само мероприятие; срок сравнения одинаков и достаточно длинный, чтобы ускорение «вернулось»: на коротком сроке часть ускорения выглядит приростом.

Моделирование на практике: примеры применения →
Дебит нефти при ограничении мощностей по газу
qo=min⁡(qскв, QgR)q_o = \min\left(q_{\text{скв}},\ \frac{Q_g}{R}\right)

газ и нефть в стандартных условиях

Справедливо, если: весь добытый газ проходит через ограниченные мощности; потребление газа на собственные нужды и продажу учтено в QgQ_g; газовый фактор задан прогнозом; при ограничении отбора газ подходит к скважинам медленнее, и в расчёте модели с ограничением группы по газу газовый фактор растёт позже.

Моделирование на практике: примеры применения →
Логарифмически разнесённая радиальная сетка
ri=rw αi,α=(rerw)1/N,i=0,1,…,Nr_i = r_w\,\alpha^{i}, \qquad \alpha = \left(\frac{r_e}{r_w}\right)^{1/N}, \qquad i = 0, 1, \dots, N

любые одинаковые единицы длины

Справедливо, если: вертикальная скважина в центре модели, осевая симметрия; расчётную точку кольца часто ставят в его «логарифмической середине», на радиусе ri−1ri\sqrt{r_{i-1} r_i}; в разных симуляторах правила немного различаются.

Сетки в гидродинамических моделях →
Концентрация на выходе цепочки из N перемешанных ячеек
cN(WiD)=1−e−NWiD∑k=0N−1(NWiD)kk!c_N(W_{iD}) = 1 - \e^{-N W_{iD}} \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(N W_{iD})^k}{k!}

безразмерная

Справедливо, если: одномерный поток, ячейки одинакового размера, пористость и скорость фильтрации постоянны; переносится метка или смешивающийся агент той же вязкости: поток не зависит от концентрации; схема «против потока», шаг по времени много меньше времени прохождения ячейки; неявная схема с крупным шагом размывает фронт ещё сильнее; физической дисперсии нет: точное решение — ступенька при WiD=1W_{iD} = 1.

Сетки в гидродинамических моделях →
Экстраполяция результата к бесконечно мелкой сетке
R∞≈R2N+R2N−RN2p−1,p=log⁡2RN−RN/2R2N−RNR_\infty \approx R_{2N} + \frac{R_{2N} - R_N}{2^{p} - 1}, \qquad p = \log_2\frac{R_N - R_{N/2}}{R_{2N} - R_N}

в единицах результата

Справедливо, если: сетку каждый раз измельчают вдвое, ничего больше не меняя; результат меняется монотонно, и погрешность уже убывает как hph^{p}, где hh — размер ячейки; чтобы это проверить, нужны хотя бы три сетки; при p=1p = 1 это линейная экстраполяция по 1/N1/N: R∞≈2R2N−RNR_\infty \approx 2R_{2N} - R_N.

Сетки в гидродинамических моделях →
Коэффициент численной диффузии схемы «против потока»
Dnum=v Δx2 (1±C),C=v ΔtΔxD_{num} = \frac{v\,\Delta x}{2}\,(1 \pm C), \qquad C = \frac{v\,\Delta t}{\Delta x}

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: линейный перенос метки на равномерной одномерной сетке; знак «минус» — для явной схемы по времени (она устойчива лишь при C≤1C \le 1), знак «плюс» — для неявной (устойчива при любом шаге); в пределе очень малого шага Dnum=vΔx/2D_{num} = v\Delta x/2 — этому пределу соответствует формула цепочки перемешанных ячеек.

Сетки в гидродинамических моделях →
Переток фазы через общую грань двух ячеек
Fα=0,0853 Tij λα↑(Φα,j−Φα,i),λα=krαμαBα,Φα=pα−γαDF_{\alpha} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_{\alpha\uparrow}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right),\qquad \lambda_\alpha = \frac{k_{r\alpha}}{\mu_\alpha B_\alpha},\qquad \Phi_\alpha = p_\alpha - \gamma_\alpha D

метрические промысловые: kk в TijT_{ij} в мД, длины в м, μ\mu в мПа·с, давления в МПа

Справедливо, если: закон Дарси между центрами ячеек: поток через грань определяется разностью потенциалов только этих двух ячеек (двухточечная формула; её пределы — в последнем разделе); свойства внутри каждой ячейки однородны; давление воды в ячейке pw=po−pc(Sw)p_w = p_o - p_c(S_w), так что капиллярное давление входит в разность потенциалов воды.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Проводимость связи двух ячеек
Tij=(1ti+1tj)−1=AΔxi2ki+Δxj2kj,kˉ=Δxi+ΔxjΔxi/ki+Δxj/kjT_{ij} = \left(\frac{1}{t_i} + \frac{1}{t_j}\right)^{-1} = \frac{A}{\dfrac{\Delta x_i}{2k_i} + \dfrac{\Delta x_j}{2k_j}},\qquad \bar k = \frac{\Delta x_i + \Delta x_j}{\Delta x_i/k_i + \Delta x_j/k_j}

любые согласованные; в уроке kk в мД, AA в м², длины в м — TT в мД·м

Справедливо, если: те же, что для половин ячеек; если сечения половин различны (одномерная модель пласта переменной толщины или ширины), в tit_i и tjt_j ставят каждая своё сечение; для одинаковых ячеек kˉ\bar k — простое среднее гармоническое 2kikj/(ki+kj)2k_ik_j/(k_i + k_j).

Перетоки между ячейками и проводимость →
Давление на общей грани
pf=ti pi+tj pjti+tjp_f = \frac{t_i\,p_i + t_j\,p_j}{t_i + t_j}

любые согласованные

Справедливо, если: однофазный поток; давление внутри каждой половины меняется линейно.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Вертикальная и горизонтальная проводимости одинаковых ячеек
TzTx=kvkh(ΔxΔz)2\frac{T_z}{T_x} = \frac{k_v}{k_h}\left(\frac{\Delta x}{\Delta z}\right)^2

безразмерная

Справедливо, если: одинаковые однородные соседние ячейки с Δx=Δy\Delta x = \Delta y; доля коллектора равна единице.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Проводимость между кольцами радиальной сетки
ti=θ h kiln⁡(rf/ri),ti+1=θ h ki+1ln⁡(ri+1/rf),T=(1ti+1ti+1)−1t_i = \frac{\theta\,h\,k_i}{\ln(r_f/r_i)},\qquad t_{i+1} = \frac{\theta\,h\,k_{i+1}}{\ln(r_{i+1}/r_f)},\qquad T = \left(\frac{1}{t_i} + \frac{1}{t_{i+1}}\right)^{-1}

kk в мД, длины в м — TT в мД·м (логарифм натуральный)

Справедливо, если: внутри каждой половины кольца — установившийся радиальный поток в однородной породе; при одинаковой проницаемости колец T=θhk/ln⁡(ri+1/ri)T = \theta h k/\ln(r_{i+1}/r_i), и положение границы rfr_f не важно.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Проводимость половины скошенной ячейки
ti=ki A⋅cici⋅cit_i = k_i\,\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{c}_i}{\mathbf{c}_i\cdot\mathbf{c}_i}

kk в мД, длины в м — tt в мД·м

Справедливо, если: двухточечная формула: переток по давлениям двух ячеек; доля коллектора и множители проводимости — дополнительными сомножителями.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Множитель проводимости разлома для ячеек разного размера
F=diki+djkjdiki+djkj+lfkfF = \frac{\dfrac{d_i}{k_i} + \dfrac{d_j}{k_j}}{\dfrac{d_i}{k_i} + \dfrac{d_j}{k_j} + \dfrac{l_f}{k_f}}

безразмерная; длины и проницаемости — каждые в одних единицах

Справедливо, если: зона разлома тонкая по сравнению с ячейками; однофазный поток поперёк разлома; для одинаковых ячеек формула переходит в множитель урока о частично проводящих разломах.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Подвижность фазы на грани (взвешивание против потока)
λα↑={λα(Sj, pj),Φα,j≥Φα,iλα(Si, pi),Φα,j<Φα,i\lambda_{\alpha\uparrow} = \begin{cases} \lambda_\alpha(S_j,\ p_j), & \Phi_{\alpha,j} \ge \Phi_{\alpha,i}\\ \lambda_\alpha(S_i,\ p_i), & \Phi_{\alpha,j} < \Phi_{\alpha,i}\end{cases}

как в формуле перетока

Справедливо, если: направление определяют для каждой фазы отдельно по разности её потенциалов: при силе тяжести и капиллярном давлении фазы через одну грань могут течь навстречу друг другу; вязкость и объёмный коэффициент от ячейки к ячейке меняются мало; их берут вместе с относительной проницаемостью из ячейки выше по потоку или средними по двум ячейкам — на результат это почти не влияет; удельный вес фазы в разности потенциалов берут средним по двум ячейкам, если фаза есть в обеих.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Тензор проницаемости в осях сетки при повёрнутых главных осях
kxx=k1cos⁡2θ+k2sin⁡2θ,kyy=k1sin⁡2θ+k2cos⁡2θ,kxy=(k1−k2)sin⁡θcos⁡θk_{xx} = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta,\qquad k_{yy} = k_1\sin^2\theta + k_2\cos^2\theta,\qquad k_{xy} = (k_1 - k_2)\sin\theta\cos\theta

мД

Справедливо, если: двумерная задача; закон Дарси u=−(K/μ)∇p\mathbf{u} = -(\mathbf{K}/\mu)\nabla p с симметричным тензором.

Перетоки между ячейками и проводимость →
Модель скважины: дебит, давление ячейки и забойное давление
qs=0,0853 WI (p0−pwf)μB,WI=2πkhln⁡(r0/rw)+Sq_s = \frac{0{,}0853\,\mathrm{WI}\,(p_0 - p_{wf})}{\mu B},\qquad \mathrm{WI} = \frac{2\pi kh}{\ln(r_0/r_w) + S}

метрические промысловые; логарифм натуральный

Справедливо, если: вертикальная скважина в центре ячейки вскрывает всю её толщину; однофазный приток; вблизи скважины течение близко к установившемуся радиальному (на расстояниях порядка размера ячейки); r0r_0 рассчитан по формуле, подходящей для сетки, — ниже; соседние скважины и границы модели — в нескольких ячейках.

Модель скважины в ячейке сетки →
Эквивалентный радиус ячейки в изотропном пласте (формула Писмена)
r0=0,14 Δx2+Δy2(Δx=Δy:  r0=0,198 Δx)r_0 = 0{,}14\,\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\qquad (\Delta x = \Delta y:\ \ r_0 = 0{,}198\,\Delta x)

любые единицы длины (одинаковые)

Справедливо, если: изотропный пласт; вертикальная скважина в центре ячейки; пятиточечная схема на декартовой сетке; до других скважин и границ модели несколько ячеек; соседние ячейки того же размера; отношение сторон ячейки на точность почти не влияет: на равномерной сетке формула верна и для сильно вытянутых ячеек (расхождение с точным решением около 0,3 %).

Модель скважины в ячейке сетки →
Эквивалентный радиус и индекс скважины в анизотропном пласте
r0=0,28 [(ky/kx)1/2 Δx2+(kx/ky)1/2 Δy2]1/2(ky/kx)1/4+(kx/ky)1/4,WI=2πkxky hln⁡(r0/rw)+Sr_0 = 0{,}28\,\frac{\left[(k_y/k_x)^{1/2}\,\Delta x^2 + (k_x/k_y)^{1/2}\,\Delta y^2\right]^{1/2}}{(k_y/k_x)^{1/4} + (k_x/k_y)^{1/4}},\qquad \mathrm{WI} = \frac{2\pi\sqrt{k_xk_y}\,h}{\ln(r_0/r_w) + S}

любые согласованные (проницаемости входят отношениями и через kxky\sqrt{k_xk_y})

Справедливо, если: вертикальная скважина в центре ячейки; оси сетки совпадают с главными направлениями проницаемости; как в изотропном случае: равномерная сетка, до других скважин и границ модели несколько ячеек; отношение сторон ячейки на точность почти не влияет.

Модель скважины в ячейке сетки →
Распределение дебита между слоями
ql=Jl (pl−pwf),pwf=∑lJl pl−q∑lJl,Jl=0,0853 WIlμBq_l = J_l\,(p_l - p_{wf}),\qquad p_{wf} = \frac{\sum_l J_l\,p_l - q}{\sum_l J_l},\qquad J_l = \frac{0{,}0853\,\mathrm{WI}_l}{\mu B}

метрические промысловые

Справедливо, если: однофазный приток; давление в стволе одинаково по всем слоям (тонкий интервал; иначе к pwfp_{wf} каждого слоя добавляют вес столба флюида в стволе); если давление ячейки слоя ниже забойного, qlq_l отрицателен: флюид уходит из ствола в этот слой (переток по стволу).

Модель скважины в ячейке сетки →
Баланс массы в ячейке за шаг по времени
Vi[(ρϕ)in+1−(ρϕ)in]=Δt[(ρq)i−1/2−(ρq)i+1/2−(ρqw)i]V_i\left[(\rho\phi)_i^{n+1} - (\rho\phi)_i^{n}\right] = \Delta t\left[(\rho q)_{i-1/2} - (\rho q)_{i+1/2} - (\rho q_w)_i\right]

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: расходы в квадратных скобках — средние за шаг: при таком понимании равенство точное; поток вдоль одной оси; в двух и трёх измерениях добавляются расходы через остальные грани; плотность на грани берут по значениям в соседних ячейках.

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Уравнение давления для однофазной фильтрации
ϕρ ct ∂p∂t=∇⋅[ρμ K(∇p−ρg ∇D)]−ρ q~,ct=1ρϕ  d(ρϕ) dp\phi\rho\,c_t\,\frac{\partial p}{\partial t} = \nabla\cdot\left[\frac{\rho}{\mu}\,\mathbf{K}\left(\nabla p - \rho g\,\nabla D\right)\right] - \rho\,\tilde q,\qquad c_t = \frac{1}{\rho\phi}\,\frac{\dd(\rho\phi)}{\dd p}

СИ

Справедливо, если: один подвижный флюид; закон Дарси (без инерционных потерь); изотермическое течение; плотность, вязкость, пористость и проницаемость могут зависеть от давления — уравнение пока ничего не упрощает.

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Линейное уравнение давления для неоднородного пласта
ϕμct ∂p∂t=∂∂x ⁣(kx∂p∂x)+∂∂y ⁣(ky∂p∂y)+∂∂z ⁣(kz∂p∂z)−μ q~\phi\mu c_t\,\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k_x\frac{\partial p}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k_y\frac{\partial p}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k_z\frac{\partial p}{\partial z}\right) - \mu\,\tilde q

СИ

Справедливо, если: слабосжимаемая жидкость: c Δp≪1c\,\Delta p \ll 1; изменение плотности в потоке не учитывается; вязкость и общая сжимаемость не зависят от давления; пористость меняется мало; оси координат направлены вдоль главных направлений проницаемости.

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Уравнение ячейки (однофазная слабосжимаемая жидкость)
Si pin+1−pinΔt=∑jaij(pj−pi)−qi,Si=Vp,i ct,aij=0,0853 TijμS_i\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j a_{ij}\left(p_j - p_i\right) - q_i,\qquad S_i = V_{p,i}\,c_t,\qquad a_{ij} = \frac{0{,}0853\,T_{ij}}{\mu}

метрические промысловые: kk в мД, длины в м, μ\mu в мПа·с, ctc_t в 1/МПа, pp в МПа, tt в сут, объёмы в пластовых условиях

Справедливо, если: слабосжимаемая жидкость, вязкость и сжимаемость постоянны (линейное уравнение); сумма — по всем ячейкам, с которыми у ячейки ii есть общая грань или несоседнее соединение; давления в правой части берут в начале шага (явная схема) или в конце (неявная); если ячейки лежат на разной глубине, вместо pj−pip_j - p_i ставят (pj−pi)−ρg (Dj−Di)(p_j - p_i) - \rho g\,(D_j - D_i), где ρg\rho g — в МПа/м.

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Явная схема: новое давление ячейки
pin+1=pin+ΔtSi[∑jaij(pjn−pin)−qi]p_i^{n+1} = p_i^{n} + \frac{\Delta t}{S_i}\left[\sum_j a_{ij}\left(p_j^{n} - p_i^{n}\right) - q_i\right]

метрические промысловые, как в уравнении ячейки

Справедливо, если: перетоки и отбор на всём шаге считают по давлениям начала шага.

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Предельный шаг явной схемы
Δt≤min⁡iτi,τi=Si∑jaij\Delta t \le \min_i \tau_i,\qquad \tau_i = \frac{S_i}{\sum_j a_{ij}}

метрические промысловые (любые согласованные)

Справедливо, если: линейное уравнение; условие достаточное: при нём новое давление ячейки (без учёта отбора) — взвешенное среднее давлений её самой и соседей в начале шага с неотрицательными весами, и расчёт не может «перепрыгнуть» через соседей; для длинной равномерной сетки условие точное, для короткой или неоднородной допустимый шаг немного больше (см. дополнительный раздел).

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Неявная схема: уравнение ячейки в системе
−ai,i−1 pi−1n+1+(SiΔt+∑jaij)pin+1−ai,i+1 pi+1n+1=SiΔt pin−qi-a_{i,i-1}\,p_{i-1}^{n+1} + \left(\frac{S_i}{\Delta t} + \sum_j a_{ij}\right)p_i^{n+1} - a_{i,i+1}\,p_{i+1}^{n+1} = \frac{S_i}{\Delta t}\,p_i^{n} - q_i

метрические промысловые

Справедливо, если: одномерная сетка; в двух и трёх измерениях в строке пять или семь неизвестных. линейное уравнение; при нелинейном коэффициенты зависят от неизвестных давлений, и систему решают итерациями.

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Предельный шаг явной схемы для равномерной сетки
Δtmax⁡=12(ηxΔx2+ηyΔy2+ηzΔz2)−1,ηx=0,0853 kxϕμct\Delta t_{\max} = \frac{1}{2}\left(\frac{\eta_x}{\Delta x^2} + \frac{\eta_y}{\Delta y^2} + \frac{\eta_z}{\Delta z^2}\right)^{-1},\qquad \eta_x = \frac{0{,}0853\,k_x}{\phi\mu c_t}

метрические промысловые: kk в мД, μ\mu в мПа·с, ctc_t в 1/МПа, размеры в м, Δt\Delta t в сут

Справедливо, если: равномерная сетка внутри пласта, линейное уравнение; в одном измерении остаётся одно слагаемое, и Δtmax⁡=Δx2/(2η)\Delta t_{\max} = \Delta x^2/(2\eta).

Уравнение давления для однофазной фильтрации →
Баланс фазы в ячейке за шаг по времени
Vi[(ϕSαBα)in+1−(ϕSαBα)in]=Δt[(A uαBα)i−1/2−(A uαBα)i+1/2−qα,i]V_i\left[\left(\frac{\phi S_\alpha}{B_\alpha}\right)_i^{n+1} - \left(\frac{\phi S_\alpha}{B_\alpha}\right)_i^{n}\right] = \Delta t\left[\left(\frac{A\,u_\alpha}{B_\alpha}\right)_{i-1/2} - \left(\frac{A\,u_\alpha}{B_\alpha}\right)_{i+1/2} - q_{\alpha,i}\right]

любые согласованные; объёмы фаз — в стандартных условиях

Справедливо, если: фазы не обмениваются массой (газ растворён и не выделяется), плотность в стандартных условиях постоянна; расходы в квадратных скобках — средние за шаг: при таком понимании равенство точное; поток вдоль одной оси; в двух и трёх измерениях добавляются грани по остальным осям.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Уравнение неразрывности для фазы
∂∂t(ϕSαBα)+∇⋅(uαBα)+q~α=0,α=o, w\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\phi S_\alpha}{B_\alpha}\right) + \nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{u}_\alpha}{B_\alpha}\right) + \tilde q_\alpha = 0,\qquad \alpha = o,\ w

любые согласованные

Справедливо, если: предел при Δx→0\Delta x \to 0, Δt→0\Delta t \to 0; свойства меняются плавно; фазы не обмениваются массой.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Закон Дарси для фазы при совместном течении
uα=−λα(∇pα−ραg ∇D),λα=k krα(Sw)μα\mathbf{u}_\alpha = -\lambda_\alpha\left(\nabla p_\alpha - \rho_\alpha g\,\nabla D\right),\qquad \lambda_\alpha = \frac{k\,k_{r\alpha}(S_w)}{\mu_\alpha}

СИ; в метрических промысловых единицах перед λα\lambda_\alpha ставят 0,0853 (kk в мД, μ\mu в мПа·с, pp в МПа, длины в м, uu в м/сут)

Справедливо, если: ламинарное течение несмешивающихся фаз; ОФП зависят только от насыщенности и направления её изменения (кривые пропитки или дренирования); вес фазы направлен по оси DD: при горизонтальном течении член с ∇D\nabla D исчезает.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Замыкающие соотношения
So+Sw=1,po−pw=pc(Sw),krα=krα(Sw),Bα, μα, ϕ=f(p)S_o + S_w = 1,\qquad p_o - p_w = p_c(S_w),\qquad k_{r\alpha} = k_{r\alpha}(S_w),\qquad B_\alpha,\ \mu_\alpha,\ \phi = f(p)

любые согласованные

Справедливо, если: поры заполнены только нефтью и водой; кривые pcp_c и krk_r выбраны для того процесса, который идёт в пласте: при заводнении гидрофильного пласта — пропитки.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Рабочие уравнения двухфазной фильтрации (одно измерение)
∂∂t(ϕSoBo)=∂∂x[λoBo(∂po∂x−ρog ∂D∂x)]−q~o∂∂t(ϕSwBw)=∂∂x[λwBw(∂po∂x−∂pc∂x−ρwg ∂D∂x)]−q~w\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\phi S_o}{B_o}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\lambda_o}{B_o}\left(\frac{\partial p_o}{\partial x} - \rho_o g\,\frac{\partial D}{\partial x}\right)\right] - \tilde q_o\\ &\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\phi S_w}{B_w}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\lambda_w}{B_w}\left(\frac{\partial p_o}{\partial x} - \frac{\partial p_c}{\partial x} - \rho_w g\,\frac{\partial D}{\partial x}\right)\right] - \tilde q_w \end{aligned}

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: одномерное течение вдоль xx; свойства фаз — функции давления, ОФП и pcp_c — функции водонасыщенности.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Общая сжимаемость в двухфазной ячейке
ct=Soco+Swcw+cf,cα=−1Bα dBα dp,cf=1ϕ dϕ dpc_t = S_o c_o + S_w c_w + c_f,\qquad c_\alpha = -\frac{1}{B_\alpha}\frac{\dd B_\alpha}{\dd p},\qquad c_f = \frac{1}{\phi}\frac{\dd\phi}{\dd p}

1/МПа (любые согласованные)

Справедливо, если: свойства обеих фаз считают по давлению нефти: капиллярное давление (десятки килопаскалей) мало по сравнению с изменениями пластового давления.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Уравнение давления для двухфазной фильтрации
ϕct ∂po∂t=∇⋅[λt ∇po−λw ∇pc−(λoρo+λwρw)g ∇D]−q~t,λt=λo+λw\phi c_t\,\frac{\partial p_o}{\partial t} = \nabla\cdot\left[\lambda_t\,\nabla p_o - \lambda_w\,\nabla p_c - \left(\lambda_o\rho_o + \lambda_w\rho_w\right)g\,\nabla D\right] - \tilde q_t,\qquad \lambda_t = \lambda_o + \lambda_w

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: две несмешивающиеся фазы, газ растворён; объёмные коэффициенты мало меняются в пространстве: отброшены члены порядка cα uα⋅∇pc_\alpha\,\mathbf{u}_\alpha\cdot\nabla p; свойства фаз считают по давлению нефти.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Поток воды через суммарную скорость
uw=fw ut+λofw[∇pc+(ρw−ρo) g ∇D],fw=λwλt\mathbf{u}_w = f_w\,\mathbf{u}_t + \lambda_o f_w\left[\nabla p_c + (\rho_w - \rho_o)\,g\,\nabla D\right],\qquad f_w = \frac{\lambda_w}{\lambda_t}

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: те же, что для закона Дарси фаз; формула точная — это перегруппировка закона Дарси.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Уравнение насыщенности
ϕ ∂Sw∂t+∇⋅(fw ut)+∇⋅[λofw (ρw−ρo) g ∇D]=∇⋅(λofw∣ dpc dSw∣∇Sw)−q~wпл\phi\,\frac{\partial S_w}{\partial t} + \nabla\cdot\left(f_w\,\mathbf{u}_t\right) + \nabla\cdot\left[\lambda_o f_w\,(\rho_w - \rho_o)\,g\,\nabla D\right] = \nabla\cdot\left(\lambda_o f_w\left|\frac{\dd p_c}{\dd S_w}\right|\nabla S_w\right) - \tilde q_w^{\text{пл}}

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: порода и флюиды несжимаемы (ϕ\phi и BαB_\alpha постоянны); гидрофильная порода ( dpc/ dSw<0\dd p_c/\dd S_w < 0); суммарная скорость известна из уравнения давления.

Уравнения двухфазной фильтрации →
Уравнение ячейки для фазы
Vp,i (Sα/Bα)in+1−(Sα/Bα)inΔt=∑j0,0853 Tij(krαμαBα) ⁣↑(Φα,j−Φα,i)−qα,i,Φα=pα−γαDV_{p,i}\,\frac{(S_\alpha/B_\alpha)_i^{n+1} - (S_\alpha/B_\alpha)_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j 0{,}0853\,T_{ij}\left(\frac{k_{r\alpha}}{\mu_\alpha B_\alpha}\right)_{\!\uparrow}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right) - q_{\alpha,i},\qquad \Phi_\alpha = p_\alpha - \gamma_\alpha D

метрические промысловые: kk в TijT_{ij} в мД, μ\mu в мПа·с, pp в МПа, DD в м, Δt\Delta t в сут; 0,0853 — постоянная закона Дарси

Справедливо, если: поровый объём на шаге постоянен (для сжимаемой породы его берут по давлению); подвижность на грани — против потока (ниже — почему); по давлениям и подвижностям какого момента считать правую часть, определяет схема решения (Схемы IMPES и полностью неявная).

Уравнения двухфазной фильтрации →
Уравнение ячейки как разностная схема
S pin+1−pinΔt=a(pi+1−2pi+pi−1)⟺pin+1−pinΔt=η pi+1−2pi+pi−1Δx2S\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = a\left(p_{i+1} - 2p_i + p_{i-1}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \eta\,\frac{p_{i+1} - 2p_i + p_{i-1}}{\Delta x^2}

метрические промысловые: kk в мД, μ\mu в мПа·с, ctc_t в 1/МПа, pp в МПа, tt в сут; 0,0853 — постоянная закона Дарси в этих единицах (Проницаемость горных пород)

Справедливо, если: одинаковые ячейки однородного пласта, линейное уравнение давления, внутренняя ячейка без скважины; момент, по давлениям которого считают правую часть, пока не выбран — от него зависит схема (ниже).

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Ряд Тейлора для соседних узлов
pi±1=pi±Δx pi′+Δx22 pi′′±Δx36 pi′′′+Δx424 pi(4)±…p_{i\pm1} = p_i \pm \Delta x\,p'_i + \frac{\Delta x^2}{2}\,p''_i \pm \frac{\Delta x^3}{6}\,p'''_i + \frac{\Delta x^4}{24}\,p^{(4)}_i \pm \ldots

любые согласованные

Справедливо, если: функция гладкая: у неё есть непрерывные производные нужного порядка между узлами; шаг сетки постоянный (неравномерная сетка — в дополнительном разделе).

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Разностные формулы и их погрешность
pi+1−piΔx=pi′+Δx2 pi′′+O(Δx2)(вперёд)pi−pi−1Δx=pi′−Δx2 pi′′+O(Δx2)(назад)pi+1−pi−12Δx=pi′+Δx26 pi′′′+O(Δx4)(центральная)pi+1−2pi+pi−1Δx2=pi′′+Δx212 pi(4)+O(Δx4)(вторая разность)\begin{aligned} &\frac{p_{i+1} - p_i}{\Delta x} = p'_i + \frac{\Delta x}{2}\,p''_i + O(\Delta x^2) &&\text{(вперёд)}\\ &\frac{p_i - p_{i-1}}{\Delta x} = p'_i - \frac{\Delta x}{2}\,p''_i + O(\Delta x^2) &&\text{(назад)}\\ &\frac{p_{i+1} - p_{i-1}}{2\Delta x} = p'_i + \frac{\Delta x^2}{6}\,p'''_i + O(\Delta x^4) &&\text{(центральная)}\\ &\frac{p_{i+1} - 2p_i + p_{i-1}}{\Delta x^2} = p''_i + \frac{\Delta x^2}{12}\,p^{(4)}_i + O(\Delta x^4) &&\text{(вторая разность)} \end{aligned}

любые согласованные

Справедливо, если: гладкая функция, постоянный шаг; значения в узлах точные (без шума и округления).

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Схема с весами для уравнения давления
pin+1−pinΔt=η[σ pi+1n+1−2pin+1+pi−1n+1Δx2+(1−σ) pi+1n−2pin+pi−1nΔx2]\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \eta\left[\sigma\,\frac{p_{i+1}^{n+1} - 2p_i^{n+1} + p_{i-1}^{n+1}}{\Delta x^2} + (1 - \sigma)\,\frac{p_{i+1}^{n} - 2p_i^{n} + p_{i-1}^{n}}{\Delta x^2}\right]

метрические промысловые (любые согласованные)

Справедливо, если: линейное уравнение, однородный пласт, равномерная сетка; для неоднородного пласта то же записывают для уравнений ячеек с коэффициентами aija_{ij} и SiS_i; при σ>0\sigma > 0 в каждом уравнении три неизвестных конца шага, и на шаге решают трёхдиагональную систему, как в неявной схеме.

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Погрешность аппроксимации схемы с весами
ψin=(12−σ)Δt ∂2p∂t2−η Δx212 ∂4p∂x4+O ⁣(Δt2+Δx4)\psi_i^{n} = \left(\tfrac12 - \sigma\right)\Delta t\,\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - \frac{\eta\,\Delta x^2}{12}\,\frac{\partial^4 p}{\partial x^4} + O\!\left(\Delta t^2 + \Delta x^4\right)

любые согласованные

Справедливо, если: гладкое решение (вдали от мгновенных изменений режима скважин и от самих скважин); постоянные коэффициенты, равномерная сетка.

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Накопление ошибки в устойчивой схеме
en+1=A en+Δt B ψn,B=(I−σΔt L)−1,A=B(I+(1−σ)Δt L)∥en∥≤∥e0∥+tnmax⁡k∥ψk∥\begin{aligned} &e^{n+1} = \mathbf{A}\,e^{n} + \Delta t\,\mathbf{B}\,\psi^{n},\qquad \mathbf{B} = \left(\mathbf{I} - \sigma\Delta t\,\mathbf{L}\right)^{-1},\qquad \mathbf{A} = \mathbf{B}\left(\mathbf{I} + (1 - \sigma)\Delta t\,\mathbf{L}\right)\\ &\left\|e^{n}\right\| \le \left\|e^{0}\right\| + t^{n}\max_k\left\|\psi^{k}\right\| \end{aligned}

любые согласованные

Справедливо, если: линейная задача; оценка справа верна, если ∥A∥≤1\|\mathbf{A}\| \le 1 (схема устойчива) и ∥B∥≤1\|\mathbf{B}\| \le 1 — так у схемы с весами для уравнения давления; при неустойчивой схеме ∥A∥>1\|\mathbf{A}\| > 1, и вклад каждого шага умножается на ∥A∥\|\mathbf{A}\| на всех последующих шагах.

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Множитель перехода схемы с весами
G(ξ)=1−4(1−σ) rsin⁡2(ξ/2)1+4σ rsin⁡2(ξ/2),r=η ΔtΔx2G(\xi) = \frac{1 - 4(1 - \sigma)\,r\sin^2(\xi/2)}{1 + 4\sigma\,r\sin^2(\xi/2)},\qquad r = \frac{\eta\,\Delta t}{\Delta x^2}

безразмерная

Справедливо, если: линейное уравнение с постоянными коэффициентами, равномерная сетка; границы не учитываются (бесконечная или периодическая сетка); для неоднородного пласта условие проверяют по месту — с местными η\eta и Δx\Delta x; для нелинейного уравнения — с коэффициентами, «замороженными» на шаге; тогда условие необходимое, но не всегда достаточное.

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Условия устойчивости схемы с весами
σ=0:  r≤12;0<σ<12:  r≤12(1−2σ);σ≥12:  при любом r\sigma = 0:\ \ r \le \tfrac12;\qquad 0 < \sigma < \tfrac12:\ \ r \le \frac{1}{2(1 - 2\sigma)};\qquad \sigma \ge \tfrac12:\ \ \text{при любом } r

безразмерная

Справедливо, если: получены из G≥−1G \ge -1 для самой короткой, шахматной гармоники (ξ=π\xi = \pi): G≤1G \le 1 выполняется всегда; в двух и трёх измерениях для явной схемы rx+ry+rz≤12r_x + r_y + r_z \le \tfrac12 — то же условие, что для равномерной сетки в уроке об уравнении давления.

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Схема Кранка — Николсон для уравнения ячейки
Si pin+1−pinΔt=12∑jaij(pjn+1−pin+1)+12∑jaij(pjn−pin)−qiS_i\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \frac12\sum_j a_{ij}\left(p_j^{n+1} - p_i^{n+1}\right) + \frac12\sum_j a_{ij}\left(p_j^{n} - p_i^{n}\right) - q_i

метрические промысловые, как в уроке об уравнении давления

Справедливо, если: линейное уравнение; отбор qiq_i постоянен на шаге; система для давлений конца шага трёхдиагональная (в одном измерении) с диагональю Si/Δt+12∑jaijS_i/\Delta t + \tfrac12\sum_j a_{ij}.

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
Модель погрешности для исследования сходимости
e=R−Rточн≈Cx Δxp+Ct Δtqe = R - R_{\text{точн}} \approx C_x\,\Delta x^{p} + C_t\,\Delta t^{q}

в единицах результата

Справедливо, если: шаги достаточно малы, чтобы главные члены погрешности преобладали (асимптотическая область); решение гладкое; у скважин, на фронтах вытеснения и на резких границах свойств наблюдаемый порядок ниже теоретического; погрешности решения уравнений на шаге (допуски итераций) много меньше погрешности схемы.

Конечные разности: от уравнений к вычислениям →
IMPES: уравнение давления ячейки с подвижностями начала шага
Vp,i ct,in pin+1−pinΔt=∑jaijn(pjn+1−pin+1)−qt,i,aijn=0,0853 Tij λt,ijnV_{p,i}\,c_{t,i}^{n}\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j a_{ij}^{n}\left(p_j^{n+1} - p_i^{n+1}\right) - q_{t,i},\qquad a_{ij}^{n} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_{t,ij}^{n}

метрические промысловые: TT в мД·м, μ\mu в мПа·с, pp в МПа, tt в сут, объёмы в пластовых условиях; 0,0853 — постоянная закона Дарси

Справедливо, если: подвижности и сжимаемости взяты по значениям начала шага, поэтому уравнение линейно относительно давлений конца шага; слабосжимаемые фазы, объёмные коэффициенты мало меняются за шаг; капиллярное давление и силу тяжести учитывают в правой части по значениям начала шага.

Схемы IMPES и полностью неявная →
IMPES: явный пересчёт водонасыщенности
Vp,i (Sw/Bw)in+1−(Sw/Bw)inΔt=∑j0,0853 Tij(krwμwBw) ⁣↑ ⁣n(pjn+1−pin+1)−qw,iV_{p,i}\,\frac{(S_w/B_w)_i^{n+1} - (S_w/B_w)_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j 0{,}0853\,T_{ij}\left(\frac{k_{rw}}{\mu_w B_w}\right)_{\!\uparrow}^{\!n}\left(p_j^{n+1} - p_i^{n+1}\right) - q_{w,i}

метрические промысловые, как в уравнении давления; объёмы воды — в стандартных условиях

Справедливо, если: без капиллярного давления и силы тяжести; с ними вместо разности давлений ставят разность потенциалов воды Φw=po−pc−γwD\Phi_w = p_o - p_c - \gamma_w D; поровый объём на шаге постоянен; нефтенасыщенность находят из So=1−SwS_o = 1 - S_w; при сжимаемых фазах линеаризация уравнения давления оставляет небольшую погрешность баланса нефти.

Схемы IMPES и полностью неявная →
Условие Куранта для явного пересчёта насыщенности
Ci=Δt Qi fw′Vp,i≤1⟹Δt≤min⁡iVp,iQi fw′C_i = \frac{\Delta t\,Q_i\,f_w'}{V_{p,i}} \le 1\quad\Longrightarrow\quad \Delta t \le \min_i \frac{V_{p,i}}{Q_i\,f_w'}

любые согласованные: QQ в м³/сут, VpV_p в м³, Δt\Delta t в сут

Справедливо, если: достаточное условие для взвешивания против потока при несжимаемом течении; капиллярное давление и сила тяжести добавляют свои ограничения (дополнительный раздел); в одномерной полосе Qi=qtQ_i = q_t, в двух и трёх измерениях — сумма входящих расходов; при заметно большем шаге расчёт теряет монотонность: насыщенности колеблются от ячейки к ячейке и выходят за физические пределы.

Схемы IMPES и полностью неявная →
Наклон кривой доли воды для модели Кори
fw′= dfw dSw=fw (1−fw)1−Swi−Sor(nwSn+no1−Sn)f_w' = \frac{\dd f_w}{\dd S_w} = \frac{f_w\,(1 - f_w)}{1 - S_{wi} - S_{or}}\left(\frac{n_w}{S_n} + \frac{n_o}{1 - S_n}\right)

безразмерная

Справедливо, если: модель Кори (урок об ОФП); вязкости постоянны; на концах подвижного интервала, где течёт одна фаза, наклон равен нулю.

Схемы IMPES и полностью неявная →
Невязка баланса фазы в ячейке (полностью неявная схема)
Rα,i=Vp,i (Sα/Bα)in+1−(Sα/Bα)inΔt−∑j0,0853 Tij(krαμαBα) ⁣↑ ⁣n+1(Φα,j−Φα,i)n+1+qα,in+1=0R_{\alpha,i} = V_{p,i}\,\frac{(S_\alpha/B_\alpha)_i^{n+1} - (S_\alpha/B_\alpha)_i^{n}}{\Delta t} - \sum_j 0{,}0853\,T_{ij}\left(\frac{k_{r\alpha}}{\mu_\alpha B_\alpha}\right)_{\!\uparrow}^{\!n+1}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right)^{n+1} + q_{\alpha,i}^{n+1} = 0

метрические промысловые; объёмы фаз — в стандартных условиях

Справедливо, если: то же уравнение ячейки, что в двухфазном уроке, — все величины правой части взяты в конце шага; неизвестные ячейки — pop_o и SwS_w, остальные величины выражают через замыкающие соотношения; в модели чёрной нефти с газом в ячейке три уравнения и три неизвестных.

Схемы IMPES и полностью неявная →
Итерация метода Ньютона для системы уравнений
J ⁣(x(ν))δx=−R ⁣(x(ν)),x(ν+1)=x(ν)+δx,Jkl=∂Rk∂xl\mathbf{J}\!\left(\mathbf{x}^{(\nu)}\right)\delta\mathbf{x} = -\mathbf{R}\!\left(\mathbf{x}^{(\nu)}\right),\qquad \mathbf{x}^{(\nu+1)} = \mathbf{x}^{(\nu)} + \delta\mathbf{x},\qquad J_{kl} = \frac{\partial R_k}{\partial x_l}

в единицах невязок и неизвестных

Справедливо, если: невязки — гладкие функции неизвестных; при взвешивании против потока производные меняются скачком, когда переток меняет направление; на каждой итерации решают линейную систему; матрицу J\mathbf{J} не обращают.

Схемы IMPES и полностью неявная →
Критерии сходимости итераций на шаге
max⁡i Δt Bα∣Rα,i∣Vp,i≤εR,Δt Bα∣∑iRα,i∣∑iVp,i≤εMB\max_i\,\frac{\Delta t\,B_\alpha\left|R_{\alpha,i}\right|}{V_{p,i}} \le \varepsilon_R,\qquad \frac{\Delta t\,B_\alpha\left|\sum_i R_{\alpha,i}\right|}{\sum_i V_{p,i}} \le \varepsilon_{MB}

безразмерные

Справедливо, если: проверяют для каждой фазы; часто добавляют условие, что малы поправки последней итерации — по давлению и по насыщенности; типичные порядки допусков: εR\varepsilon_R — от 10−310^{-3} до 10−210^{-2}, εMB\varepsilon_{MB} — от 10−710^{-7} до 10−610^{-6}; конкретные значения зависят от симулятора и задачи.

Схемы IMPES и полностью неявная →
Выбор следующего шага по целевым изменениям
Δtn+1=Δtn⋅min⁡ ⁣(ΔSцелmax⁡i∣ΔSi∣, Δpцелmax⁡i∣Δpi∣),Δtn+1≤fрост Δtn\Delta t^{n+1} = \Delta t^{n}\cdot\min\!\left(\frac{\Delta S_{\text{цел}}}{\max_i\left|\Delta S_i\right|},\ \frac{\Delta p_{\text{цел}}}{\max_i\left|\Delta p_i\right|}\right),\qquad \Delta t^{n+1} \le f_{\text{рост}}\,\Delta t^{n}

Δt\Delta t в сут, pp в МПа

Справедливо, если: изменения за шаг примерно пропорциональны шагу — течение без резких событий; шаг дополнительно ограничивают наибольшим и наименьшим значениями, датами отчётов и событиями в скважинах: после пуска, остановки или смены режима его начинают снова с малого.

Схемы IMPES и полностью неявная →
Строка системы давления: уравнение ячейки на неявном шаге
(SiΔt+∑jaij)δi−∑jaij δj=−qi+∑jaij(pjn−pin)\left(\frac{S_i}{\Delta t} + \sum_j a_{ij}\right)\delta_i - \sum_j a_{ij}\,\delta_j = -q_i + \sum_j a_{ij}\left(p_j^{n} - p_i^{n}\right)

метрические промысловые

Справедливо, если: линейное уравнение давления: свойства флюида и породы на шаге постоянны (нелинейный случай решают итерациями, и на каждой — такая же система); сумма — по всем связям ячейки: соседям по граням и несоседним соединениям; скважина с заданным забойным давлением добавляет к диагонали свой коэффициент.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Равномерный сдвиг давления — собственный вектор матрицы
A=SΔt I+C,C 1=0,λmin⁡(A)=SΔt,κ=1+ΔtS λmax⁡(C)\mathbf{A} = \frac{S}{\Delta t}\,\mathbf{I} + \mathbf{C},\qquad \mathbf{C}\,\mathbf{1} = 0,\qquad \lambda_{\min}(\mathbf{A}) = \frac{S}{\Delta t},\qquad \kappa = 1 + \frac{\Delta t}{S}\,\lambda_{\max}(\mathbf{C})

метрические промысловые; κ\kappa безразмерно

Справедливо, если: одинаковая ёмкость ячеек; внешние границы закрыты, скважины работают с заданным дебитом; скважина с заданным забойным давлением или граница с постоянным давлением добавляет к диагонали и увеличивает λmin⁡\lambda_{\min}.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Шаг прямого хода метода Гаусса
mki=AkiAii,Akl←Akl−mki Ail,bk←bk−mki bi(k>i)m_{ki} = \frac{A_{ki}}{A_{ii}},\qquad A_{kl} \leftarrow A_{kl} - m_{ki}\,A_{il},\qquad b_k \leftarrow b_k - m_{ki}\,b_i\qquad (k > i)

в единицах системы

Справедливо, если: ведущий элемент AiiA_{ii} не равен нулю; при диагональном преобладании это гарантировано, и перестановки строк не нужны; строки, в которых Aki=0A_{ki} = 0, не меняются.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Работа и память ленточного исключения
W≈n b2,M≈n b;b=Nx  (2D),b=NxNy  (3D)W \approx n\,b^2,\qquad M \approx n\,b;\qquad b = N_x\ \ (\text{2D}),\qquad b = N_xN_y\ \ (\text{3D})

безразмерные счёты

Справедливо, если: главный член оценки при b≪nb \ll n; исключение без перестановок строк; для разложения Холецкого симметричной матрицы работа примерно вдвое меньше; для плотной матрицы работа — n3/3n^3/3.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Методы Якоби, Гаусса — Зейделя и последовательной верхней релаксации
Якоби:xi(ν+1)=1Aii(bi−∑l≠iAil xl(ν))Зейдель:xi(ν+1)=1Aii(bi−∑l<iAil xl(ν+1)−∑l>iAil xl(ν))SOR:xi(ν+1)=xi(ν)+ω (x^i−xi(ν))\begin{aligned} &\text{Якоби:} && x_i^{(\nu+1)} = \frac{1}{A_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{l \ne i} A_{il}\,x_l^{(\nu)}\Bigr)\\ &\text{Зейдель:} && x_i^{(\nu+1)} = \frac{1}{A_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{l < i} A_{il}\,x_l^{(\nu+1)} - \sum_{l > i} A_{il}\,x_l^{(\nu)}\Bigr)\\ &\text{SOR:} && x_i^{(\nu+1)} = x_i^{(\nu)} + \omega\,\bigl(\hat x_i - x_i^{(\nu)}\bigr)\end{aligned}

в единицах системы

Справедливо, если: Aii≠0A_{ii} \ne 0; Зейдель и SOR проходят уравнения по порядку номеров и сразу используют новые значения; сходимость гарантирована при строгом диагональном преобладании (Якоби и Зейдель), а для симметричной положительно определённой матрицы — у Зейделя и у SOR при 0<ω<20 < \omega < 2.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Скорость сходимости простых итераций
ν≈ln⁡(1/ε)−ln⁡ρ(G),ρGS=ρJ2,ωopt=21+1−ρJ2,ρSOR=ωopt−1\nu \approx \frac{\ln(1/\varepsilon)}{-\ln\rho(\mathbf{G})},\qquad \rho_{GS} = \rho_J^2,\qquad \omega_{opt} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho_J^2}},\qquad \rho_{SOR} = \omega_{opt} - 1

безразмерные

Справедливо, если: оценка для большого числа итераций; на первых итерациях скорость зависит от начальной ошибки; соотношения для Зейделя и SOR — для согласованно упорядоченных матриц, к которым относятся пятиточечные матрицы декартовых сеток при естественной нумерации.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Сходимость метода сопряжённых градиентов
∥e(ν)∥A≤2(κ−1κ+1)ν∥e(0)∥A,ν≲κ2 ln⁡2ε\lVert\mathbf{e}^{(\nu)}\rVert_{\mathbf{A}} \le 2\left(\frac{\sqrt\kappa - 1}{\sqrt\kappa + 1}\right)^{\nu}\lVert\mathbf{e}^{(0)}\rVert_{\mathbf{A}},\qquad \nu \lesssim \frac{\sqrt\kappa}{2}\,\ln\frac{2}{\varepsilon}

безразмерные

Справедливо, если: симметричная положительно определённая матрица; точная арифметика; оценка сверху: на практике сходимость часто быстрее, особенно если собственные числа собраны в группы.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Предобусловленная система
M−1A x=M−1b,M≈A,κ(M−1A)≪κ(A)\mathbf{M}^{-1}\mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{b},\qquad \mathbf{M} \approx \mathbf{A},\qquad \kappa\left(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{A}\right) \ll \kappa(\mathbf{A})

в единицах системы

Справедливо, если: матрицу M−1\mathbf{M}^{-1} не строят: на каждой итерации решают систему Mz=r\mathbf{M}\mathbf{z} = \mathbf{r}; для метода сопряжённых градиентов M\mathbf{M} должна быть симметричной положительно определённой.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Критерий остановки и связь невязки с ошибкой
∥r(ν)∥∥b∥≤ε,r(ν)=b−A x(ν),∥x−x(ν)∥∥x∥≤κ ∥r(ν)∥∥b∥\frac{\lVert\mathbf{r}^{(\nu)}\rVert}{\lVert\mathbf{b}\rVert} \le \varepsilon,\qquad \mathbf{r}^{(\nu)} = \mathbf{b} - \mathbf{A}\,\mathbf{x}^{(\nu)},\qquad \frac{\lVert\mathbf{x} - \mathbf{x}^{(\nu)}\rVert}{\lVert\mathbf{x}\rVert} \le \kappa\,\frac{\lVert\mathbf{r}^{(\nu)}\rVert}{\lVert\mathbf{b}\rVert}

безразмерные отношения

Справедливо, если: невязку можно вычислить, ошибку — нет: точное решение неизвестно; неравенство для ошибки — оценка сверху.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Ошибка итераций и матрица перехода
e(ν+1)=G e(ν),GJ=D−1(L+U),GGS=(D−L)−1 U\mathbf{e}^{(\nu+1)} = \mathbf{G}\,\mathbf{e}^{(\nu)},\qquad \mathbf{G}_J = \mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L} + \mathbf{U}),\qquad \mathbf{G}_{GS} = (\mathbf{D} - \mathbf{L})^{-1}\,\mathbf{U}

безразмерные

Справедливо, если: линейная система с постоянной матрицей; диагональ без нулей.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Алгоритм метода сопряжённых градиентов
r(0)=b−Ax(0),p(0)=r(0);αν=r(ν)Tr(ν)p(ν)TA p(ν),x(ν+1)=x(ν)+αν p(ν),r(ν+1)=r(ν)−αν A p(ν);βν=r(ν+1)Tr(ν+1)r(ν)Tr(ν),p(ν+1)=r(ν+1)+βν p(ν)\begin{aligned} &\mathbf{r}^{(0)} = \mathbf{b} - \mathbf{A}\mathbf{x}^{(0)},\quad \mathbf{p}^{(0)} = \mathbf{r}^{(0)};\\ &\alpha_\nu = \frac{\mathbf{r}^{(\nu)\mathsf T}\mathbf{r}^{(\nu)}}{\mathbf{p}^{(\nu)\mathsf T}\mathbf{A}\,\mathbf{p}^{(\nu)}},\quad \mathbf{x}^{(\nu+1)} = \mathbf{x}^{(\nu)} + \alpha_\nu\,\mathbf{p}^{(\nu)},\quad \mathbf{r}^{(\nu+1)} = \mathbf{r}^{(\nu)} - \alpha_\nu\,\mathbf{A}\,\mathbf{p}^{(\nu)};\\ &\beta_\nu = \frac{\mathbf{r}^{(\nu+1)\mathsf T}\mathbf{r}^{(\nu+1)}}{\mathbf{r}^{(\nu)\mathsf T}\mathbf{r}^{(\nu)}},\quad \mathbf{p}^{(\nu+1)} = \mathbf{r}^{(\nu+1)} + \beta_\nu\,\mathbf{p}^{(\nu)}\end{aligned}

в единицах системы

Справедливо, если: симметричная положительно определённая матрица; с предобусловливателем в направлениях и скалярных произведениях вместо r\mathbf{r} используют z=M−1r\mathbf{z} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{r}.

Решение систем линейных уравнений в симуляторах →
Модифицированное уравнение и численная диффузия схемы против потока
∂S∂t+v ∂fw∂x=∂∂x ⁣(Dnum ∂S∂x),Dnum(S)=vfw′(S) Δx2 (1∓C(S)),C(S)=vfw′(S) ΔtΔx\frac{\partial S}{\partial t} + v\,\frac{\partial f_w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(D_{num}\,\frac{\partial S}{\partial x}\right),\qquad D_{num}(S) = \frac{v f_w'(S)\,\Delta x}{2}\,\bigl(1 \mp C(S)\bigr),\qquad C(S) = \frac{v f_w'(S)\,\Delta t}{\Delta x}

любые согласованные: vv в м/сут, Δx\Delta x в м, Δt\Delta t в сут, DnumD_{num} в м²/сут

Справедливо, если: схема против потока на равномерной сетке; учтены главные члены погрешности, остальные — порядка Δx2\Delta x^2 и Δt2\Delta t^2; решение гладкое; у скачка насыщенности анализ даёт качественную картину, а ширину размытого фронта находят расчётом (следующий раздел).

Численная дисперсия →
Насыщенность на грани в схеме TVD с ограничителем
Si+1/2=Si+12 Ψ(ri) (Si−Si−1),ri=Si+1−SiSi−Si−1,ΨвЛ(r)=r+∣r∣1+∣r∣S_{i+1/2} = S_i + \tfrac12\,\Psi(r_i)\,(S_i - S_{i-1}),\qquad r_i = \frac{S_{i+1} - S_i}{S_i - S_{i-1}},\qquad \Psi_{\text{вЛ}}(r) = \frac{r + |r|}{1 + |r|}

безразмерная

Справедливо, если: поток в направлении +x+x; при Ψ=0\Psi = 0 получается схема против потока, при Ψ=1\Psi = 1 — линейная реконструкция второго порядка; ограничитель лежит в области TVD: 0≤Ψ(r)≤min⁡(2r, 2)0 \le \Psi(r) \le \min(2r,\ 2), а у экстремумов (r≤0r \le 0) Ψ=0\Psi = 0; шаг по времени — двухстадийный (схема Хойна), число Куранта не больше 0,5.

Численная дисперсия →
Эквивалентная проницаемость блока: закон Дарси для крупной ячейки
Q=k∗A Δpμ L⟹k∗=Q μ LA ΔpQ = \frac{k^{*}A\,\Delta p}{\mu\,L}\qquad\Longrightarrow\qquad k^{*} = \frac{Q\,\mu\,L}{A\,\Delta p}

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: однофазное установившееся течение несжимаемой жидкости; закон Дарси выполняется и в мелких ячейках, и для блока в целом; расход и перепад относятся к одному блоку при определённых граничных условиях — от них k∗k^{*} зависит (раздел о граничных условиях); если перепад вдоль одной оси вызывает поток и вдоль другой, одного числа мало: нужен тензор K∗\mathbf{K}^{*}.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Пористость и насыщенность крупной ячейки
ϕˉ=∑iVi ϕi∑iVi,Sˉw=∑iVi ϕi Sw,i∑iVi ϕi\bar\phi = \frac{\sum_i V_i\,\phi_i}{\sum_i V_i},\qquad \bar S_w = \frac{\sum_i V_i\,\phi_i\,S_{w,i}}{\sum_i V_i\,\phi_i}

любые одинаковые единицы объёма; пористость и насыщенность — в долях единицы

Справедливо, если: суммы — по всем мелким ячейкам внутри крупной; с долей коллектора NiN_i: Nˉ=∑ViNi/∑Vi\bar N = \sum V_iN_i/\sum V_i, пористость коллектора ϕˉ=∑ViNiϕi/∑ViNi\bar\phi = \sum V_iN_i\phi_i/\sum V_iN_i, вес в насыщенности — ViNiϕiV_iN_i\phi_i; так сохраняется поровый объём коллектора Nˉϕˉ∑Vi\bar N\bar\phi\sum V_i; нефте- и газонасыщенность осредняют так же; если объёмный коэффициент различается по ячейкам, для запасов в стандартных условиях его добавляют в вес.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Границы Винера
kˉгарм=(∑iviki)−1  ≤  k∗  ≤  kˉар=∑ivi ki\bar k_{\text{гарм}} = \left(\sum_i \frac{v_i}{k_i}\right)^{-1} \;\le\; k^{*} \;\le\; \bar k_{\text{ар}} = \sum_i v_i\,k_i

проницаемости — в любых одинаковых единицах

Справедливо, если: однофазное установившееся течение; мелкие ячейки изотропны (у анизотропных для каждого направления берут свою проницаемость); выполняются при любом расположении ячеек и при всех трёх видах граничных условий урока, если k∗k^{*} рассчитана по течению в самом блоке, без буферной зоны.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Границы Кардуэлла–Парсонса для потока вдоль оси xx
k‾x=1ny∑j=1nynx∑i=1nx1/kij,k‾x=nx[∑i=1nx(1ny∑j=1nykij)−1]−1,k‾x≤kx∗≤k‾x\begin{aligned} \underline{k}_x &= \frac{1}{n_y}\sum_{j=1}^{n_y}\frac{n_x}{\sum_{i=1}^{n_x} 1/k_{ij}},\\ \overline{k}_x &= n_x\left[\sum_{i=1}^{n_x}\left(\frac{1}{n_y}\sum_{j=1}^{n_y} k_{ij}\right)^{-1}\right]^{-1},\\ \underline{k}_x &\le k^{*}_x \le \overline{k}_x \end{aligned}

проницаемости — в любых одинаковых единицах; ячейки одинакового размера (иначе в средних появляются веса длин и площадей)

Справедливо, если: однофазное установившееся течение; блок с непроницаемыми боковыми гранями или периодический; для линейных граничных условий верхняя граница не гарантирована (раздел для углублённого изучения); в трёхмерном блоке jj пробегает все ячейки сечения yy–zz; для потока вдоль yy строки и столбцы меняются ролями.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Уравнения ячеек блока при установившемся течении
∑mTlm (pm−pl)+∑bTb (pb−pl)=0,Tlm=AfΔxl2kl+Δxm2km,Tb=2klAfΔxl\sum_{m} T_{lm}\,(p_m - p_l) + \sum_{b} T_{b}\,(p_b - p_l) = 0,\qquad T_{lm} = \frac{A_f}{\frac{\Delta x_l}{2k_l} + \frac{\Delta x_m}{2k_m}},\qquad T_b = \frac{2k_lA_f}{\Delta x_l}

метрические промысловые: kk в мД, длины в м, давления в МПа; вязкость и постоянная 0,0853 одинаковы во всех слагаемых и сокращаются

Справедливо, если: установившееся течение несжимаемой жидкости — накопления нет; скважин внутри блока нет; пятиточечная (в объёме — семиточечная) схема: ячейки связаны только через общие грани, тензор мелких ячеек диагонален; уравнения линейны: давления можно выражать в долях приложенного перепада, k∗k^{*} от величины перепада не зависит.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Закон Дарси для блока с тензором проницаемости
⟨u⟩=−1μ K∗⟨∇p⟩,K∗=(kxx∗kxy∗kyx∗kyy∗),kxx∗=μ⟨ux⟩G,kyx∗=μ⟨uy⟩G\langle\mathbf{u}\rangle = -\frac{1}{\mu}\,\mathbf{K}^{*}\langle\nabla p\rangle,\qquad \mathbf{K}^{*} = \begin{pmatrix} k^{*}_{xx} & k^{*}_{xy}\\ k^{*}_{yx} & k^{*}_{yy}\end{pmatrix},\qquad k^{*}_{xx} = \frac{\mu\langle u_x\rangle}{G},\quad k^{*}_{yx} = \frac{\mu\langle u_y\rangle}{G}

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: средние — по объёму блока; при периодических и линейных условиях средний градиент равен заданному, а среднюю скорость находят по расходам через грани (раздел для углублённого изучения); второй расчёт — с градиентом вдоль yy — даёт kyy∗k^{*}_{yy} и kxy∗k^{*}_{xy}; при этих условиях правильно рассчитанный тензор симметричен, kxy∗=kyx∗k^{*}_{xy} = k^{*}_{yx}, и kxx∗kyy∗>(kxy∗)2k^{*}_{xx}k^{*}_{yy} > (k^{*}_{xy})^2; при непроницаемых боковых гранях средний градиент приобретает поперечную составляющую, которую расчёт не задаёт, поэтому из таких расчётов берут только диагональные значения.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Проводимость между крупными ячейками по детальной модели
TI,II∗=μ Q0,0853 (pˉI−pˉII)T^{*}_{I,II} = \frac{\mu\,Q}{0{,}0853\,\left(\bar p_{I} - \bar p_{II}\right)}

метрические промысловые: QQ в м³/сут, pp в МПа, μ\mu в мПа·с, T∗T^{*} в мД·м

Справедливо, если: однофазное установившееся течение; задачу решают для области между центрами двух ячеек (местный расчёт) или для всей модели со скважинами (глобальный); как и эквивалентная проницаемость, результат зависит от граничных условий местного расчёта; в одномерном случае формула сводится к сумме сопротивлений мелких ячеек между центрами крупных.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Индекс скважины укрупнённой ячейки
WI∗=μ q0,0853 (pˉ0−pwf)\mathrm{WI}^{*} = \frac{\mu\,q}{0{,}0853\,\left(\bar p_0 - p_{wf}\right)}

метрические промысловые, как в уроке Модель скважины в ячейке сетки

Справедливо, если: однофазное установившееся течение к скважине; граничные условия местного расчёта — например, давление радиального притока на внешней границе области; индекс и проводимости вокруг ячейки со скважиной рассчитывают вместе, по одному расчёту: если давление ячейки взять средним по её объёму, индекс однородной ячейки отвечает радиусу около 0,35 Δx0{,}35\,\Delta x, а не 0,2 Δx0{,}2\,\Delta x Писмена, и проводимости к соседям должны быть согласованы с этим; скин-фактор ствола добавляют отдельно, если его нет в мелкой модели.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Средняя скорость фильтрации по расходам через грани блока
⟨ux⟩=1V∑fxf qf,⟨uy⟩=1V∑fyf qf\langle u_x\rangle = \frac{1}{V}\sum_{f} x_f\,q_f,\qquad \langle u_y\rangle = \frac{1}{V}\sum_{f} y_f\,q_f

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: установившееся течение, источников внутри блока нет; сумма — по всем граням мелких ячеек на границе блока.

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке →
Псевдоотносительная проницаемость и псевдонасыщенность крупной ячейки
k^rf,x=k^f,xkx∗,S^w=∑iVi ϕi Sw,i∑iVi ϕi\hat k_{rf,x} = \frac{\hat k_{f,x}}{k^{*}_x},\qquad \hat S_w = \frac{\sum_i V_i\,\phi_i\,S_{w,i}}{\sum_i V_i\,\phi_i}

проницаемости — в одинаковых единицах; насыщенность — в долях единицы

Справедливо, если: k∗k^{*} и k^f\hat k_f рассчитаны для одного направления и при одних и тех же граничных условиях; для yy и zz — свои значения; суммы — по мелким ячейкам внутри крупной; как получить k^f\hat k_f, зависит от метода: стационарные методы решают однофазные задачи, динамические берут расходы и давления из расчёта вытеснения.

Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции →
Псевдо-ОФП слоистой ячейки в пределе капиллярного равновесия
pc,j(Sw,j)=Pc,k^rf∥=∑jkjhj krf(Sw,j)∑jkjhj,k^rf⊥=(∑jhj/(kjkrf(Sw,j)))−1(∑jhj/kj)−1p_{c,j}(S_{w,j}) = P_c,\qquad \hat k_{rf}^{\parallel} = \frac{\sum_j k_jh_j\,k_{rf}(S_{w,j})}{\sum_j k_jh_j},\qquad \hat k_{rf}^{\perp} = \frac{\left(\sum_j h_j/\bigl(k_jk_{rf}(S_{w,j})\bigr)\right)^{-1}}{\left(\sum_j h_j/k_j\right)^{-1}}

проницаемости — мД, толщины — м; псевдо-ОФП безразмерны

Справедливо, если: слои выдержаны по всей ячейке, каждый однороден; вдоль слоёв они работают параллельно, поперёк — последовательно (осреднение по слоям); течение медленное: капиллярные силы успевают выровнять давление между слоями (критерий ниже); кривые ОФП и капиллярного давления — того процесса, который моделируют (для заводнения гидрофильной породы — пропитки).

Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции →
Отношение капиллярных и вязких сил в ячейке
Ncv=txtc=kv kro′ Δpc Lμo u H2N_{cv} = \frac{t_x}{t_c} = \frac{k_v\,k_{ro}'\,\Delta p_c\,L}{\mu_o\,u\,H^2}

СИ

Справедливо, если: оценка порядка величины, как и отношение сил тяжести и вязкости урока о слоистых пластах: перепад давления Δpc/H\Delta p_c/H на толщине слоя заменяет гравитационный градиент; Ncv≫1N_{cv} \gg 1 — предел капиллярного равновесия, Ncv≪1N_{cv} \ll 1 — капиллярными перетоками можно пренебречь, в промежутке нужен расчёт.

Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции →
Псевдо-ОФП и псевдокапиллярное давление по методу Кайта–Берри
pˉf,I=∑jkjkrf,jhj(pf,j−ρfg(Dj−DˉI))∑jkjkrf,jhj,ΔΦˉf=pˉf,I−pˉf,II−ρfg (DˉI−DˉII),k^rf=μf qf Δx0,0853 k∗A ΔΦˉf,p^c=pˉo,I−pˉw,I\begin{aligned} \bar p_{f,I} &= \frac{\sum_j k_jk_{rf,j}h_j\bigl(p_{f,j} - \rho_fg(D_j - \bar D_I)\bigr)}{\sum_j k_jk_{rf,j}h_j},\qquad \Delta\bar\Phi_f = \bar p_{f,I} - \bar p_{f,II} - \rho_fg\,(\bar D_I - \bar D_{II}),\\ \hat k_{rf} &= \frac{\mu_f\,q_f\,\Delta x}{0{,}0853\,k^{*}A\,\Delta\bar\Phi_f},\qquad \hat p_c = \bar p_{o,I} - \bar p_{w,I} \end{aligned}

метрические промысловые: kk в мД, qq в м³/сут, pp в МПа, μ\mu в мПа·с, длины в м

Справедливо, если: пласт и поток — как в расчёте на мелкой сетке, по которому получены давления и расходы; псевдо-ОФП относят к насыщенности блока выше по потоку; если фаза неподвижна во всём столбце (все krf,j=0k_{rf,j} = 0), вес теряет смысл; в примерах урока давление такой фазы осредняют с весом khkh; 0,08530{,}0853 — постоянная закона Дарси (закон Дарси); в горизонтальном пласте гравитационные члены исчезают.

Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции →
Давление блока при осреднении по поровому объёму
pˉf,I=∑i∈IViϕi (pf,i−ρfg(Di−DˉI))∑i∈IViϕi\bar p_{f,I} = \frac{\sum_{i\in I} V_i\phi_i\,\bigl(p_{f,i} - \rho_fg(D_i - \bar D_I)\bigr)}{\sum_{i\in I} V_i\phi_i}

метрические промысловые, как выше

Справедливо, если: дальше — те же разность потенциалов и закон Дарси, что в методе Кайта–Берри; для последнего блока перед скважиной — разность с давлением на её грани и расстояние Δx/2\Delta x/2.

Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции →
Псевдофункции разреза при капиллярно-гравитационном равновесии
S^w=∫0Hϕ Sw(z)  dz∫0Hϕ  dz,k^rf=∫0Hk krf(Sw(z)) dz∫0Hk  dz,pc(Sw(z))=pc(0)+Δρ g z\hat S_w = \frac{\int_0^H\phi\,S_w(z)\,\dd z}{\int_0^H\phi\,\dd z},\qquad \hat k_{rf} = \frac{\int_0^H k\,k_{rf}\bigl(S_w(z)\bigr)\dd z}{\int_0^H k\,\dd z},\qquad p_c\bigl(S_w(z)\bigr) = p_c(0) + \Delta\rho\,g\,z

СИ

Справедливо, если: вертикальное равновесие: давления фаз выравниваются по толщине быстрее, чем фронт продвигается вдоль пласта; поток вдоль пласта: псевдо-ОФП — проводимости слоёв k krfk\,k_{rf}, сложенные параллельно; перебирая pc(0)p_c(0) от наибольшего до наименьшего, получают таблицу (S^w,k^rw,k^ro)(\hat S_w, \hat k_{rw}, \hat k_{ro}); капиллярное давление — пропитки или дренирования, по процессу.

Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции →
Условие разделения масштабов
λ  ≪  Δ  ≪  L\lambda \;\ll\; \Delta \;\ll\; L

любые одинаковые единицы длины

Справедливо, если: условие проверяют по каждому направлению отдельно: длины корреляции по горизонтали и по вертикали различаются в десятки и сотни раз; «много меньше» на практике означает различие в несколько раз; при Δ\Delta, сравнимом с λ\lambda, эквивалентная проницаемость ячейки зависит от граничных условий её расчёта (рисунок ниже).

Особые вопросы ремасштабирования →
Направленная проницаемость тензора
k(φ)=nTK n=kxxcos⁡2φ+kyysin⁡2φ+2kxysin⁡φcos⁡φk(\varphi) = \mathbf{n}^{\mathsf{T}}\mathbf{K}\,\mathbf{n} = k_{xx}\cos^2\varphi + k_{yy}\sin^2\varphi + 2k_{xy}\sin\varphi\cos\varphi

проницаемости — в любых одинаковых единицах

Справедливо, если: поток в плоскости xx–yy; тензор симметричен; наибольшее и наименьшее значения — главные проницаемости k1k_1 и k2k_2 — достигаются вдоль главных осей, повёрнутых на угол α\alpha: tg⁡2α=2kxy/(kxx−kyy)\operatorname{tg}2\alpha = 2k_{xy}/(k_{xx} - k_{yy}); сетка, отбросившая kxyk_{xy}, видит kxxcos⁡2φ+kyysin⁡2φk_{xx}\cos^2\varphi + k_{yy}\sin^2\varphi; вдоль главной оси она ошибается на −(1−k2/k1)sin⁡22α/2-(1 - k_2/k_1)\sin^2 2\alpha/2.

Особые вопросы ремасштабирования →
Скорость фильтрации у нагнетательной скважины
u(r)=q2πrhu(r) = \frac{q}{2\pi r h}

м, сут, м³ (любые согласованные)

Справедливо, если: плоский радиальный поток в пачке постоянной толщины; распределение притока по слоям не учитывается; вблизи других скважин картина течения сложнее; для оценки порядка формулу применяют до середины расстояния между скважинами.

Особые вопросы ремасштабирования →
Первый приход индикатора в слоистом разрезе
WiD,1=ΔC1ΔF1=ϕ1h1/∑jϕjhjk1h1/∑jkjhjW_{iD,1} = \frac{\Delta C_1}{\Delta F_1} = \frac{\phi_1h_1\big/\sum_j\phi_jh_j}{k_1h_1\big/\sum_j k_jh_j}

безразмерные; kk и hh — в любых одинаковых единицах

Справедливо, если: слои выдержаны между рядами скважин, поток в каждом линейный, перепад давления одинаков — при однофазном течении перетоков между слоями тогда нет; индикатор движется с водой без отставания и размытия; расход каждого слоя пропорционален kjhjk_jh_j, его поровый объём — ϕjhj\phi_jh_j.

Особые вопросы ремасштабирования →
Насыщенность и ОФП пучка капилляров при дренировании
So=∑ri≥rcNiri2∑iNiri2,kro=∑ri≥rcNiri4∑iNiri4,krw=1−kro\begin{gathered}S_o = \frac{\sum_{r_i \ge r_c} N_i r_i^2}{\sum_i N_i r_i^2},\\ k_{ro} = \frac{\sum_{r_i \ge r_c} N_i r_i^4}{\sum_i N_i r_i^4},\qquad k_{rw} = 1 - k_{ro}\end{gathered}

радиусы — в одних единицах; в rcr_c — согласованные единицы (pcp_c в Па, σ\sigma в Н/м, rcr_c в м)

Справедливо, если: трубки одинаковой длины и извилистости, каждая заполнена одной фазой целиком (плёнками воды пренебрегаем); объём трубки пропорционален r2r^2, проводимость по Пуазейлю — r4r^4; нефть входит в трубку, как только pcp_c превышает её давление входа; трубки между собой не соединены.

Моделирование течения на уровне пор →
Проводимость сужения и баланс расхода в поре
qij=gij (pi−pj),gij=πrij48 μ ℓij,∑jgij (pj−pi)=0\begin{gathered}q_{ij} = g_{ij}\,(p_i - p_j),\qquad g_{ij} = \frac{\pi r_{ij}^4}{8\,\mu\,\ell_{ij}},\\ \sum_j g_{ij}\,(p_j - p_i) = 0\end{gathered}

СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если: ламинарное течение Пуазейля в цилиндрическом сужении; для угловатых сечений вводят поправку формы; сопротивлением самих пор пренебрегают — они намного шире сужений; сумма в балансе — по всем сужениям поры; на входной и выходной гранях образца давления заданы.

Моделирование течения на уровне пор →
Пороги пропитки: поршень и пережатие
pcсужение=2σcos⁡θar,pcпора=2σcos⁡θaR,pcпережатие=σ(cos⁡θa−sin⁡θa)r\begin{gathered}p_c^{\text{сужение}} = \frac{2\sigma\cos\theta_a}{r},\qquad p_c^{\text{пора}} = \frac{2\sigma\cos\theta_a}{R},\\ p_c^{\text{пережатие}} = \frac{\sigma(\cos\theta_a - \sin\theta_a)}{r}\end{gathered}

СИ: pcp_c в Па при σ\sigma в Н/м и радиусах в м

Справедливо, если: капиллярное равновесие: течение настолько медленное, что положение менисков задаёт только капиллярное давление (малое капиллярное число); первые две формулы — для круглого сечения; формула пережатия — для сужения квадратного сечения с водой в углах, при θa≥45°\theta_a \ge 45° пережатие в нём невозможно; пора заполняется с одной стороны (без кооперативного заполнения).

Моделирование течения на уровне пор →
Метод JBN: ОФП на выходном торце по нестационарному опыту
fo2= dNpD dWi,Sw2=Sˉw−Wi fo2,Ir=q/Δp(q/Δp)0,kro(Sw2)kro′=fo2 d(1/(WiIr))/ d(1/Wi),krw(Sw2)=kro(Sw2) 1−fo2fo2 μwμo\begin{aligned} f_{o2} &= \frac{\dd N_{pD}}{\dd W_i},\qquad S_{w2} = \bar S_w - W_i\,f_{o2},\qquad I_r = \frac{q/\Delta p}{(q/\Delta p)_0},\\ \frac{k_{ro}(S_{w2})}{k_{ro}'} &= \frac{f_{o2}}{\dd\bigl(1/(W_iI_r)\bigr)/\dd(1/W_i)},\qquad k_{rw}(S_{w2}) = k_{ro}(S_{w2})\,\frac{1 - f_{o2}}{f_{o2}}\,\frac{\mu_w}{\mu_o} \end{aligned}

безразмерная; вязкости — в одинаковых единицах

Справедливо, если: допущения Баклея–Леверетта: однородный образец, несжимаемые фазы, капиллярное давление и концевой эффект пренебрежимы, вытеснение устойчиво; данные — после прорыва воды; производные берут по сглаженным зависимостям; чтобы перейти к ОФП в долях абсолютной проницаемости, результат умножают на kro′k_{ro}'.

Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление →
Нормированные ОФП и показатели Кори образца
Sn=Sw−Swi1−Swi−Sor,krw∗=krwkrw′,kro∗=krokro′,nw=∑ln⁡krw∗ ln⁡Sn∑(ln⁡Sn)2,no=∑ln⁡kro∗ ln⁡(1−Sn)∑(ln⁡(1−Sn))2S_n = \frac{S_w - S_{wi}}{1 - S_{wi} - S_{or}},\qquad k_{rw}^{*} = \frac{k_{rw}}{k_{rw}'},\quad k_{ro}^{*} = \frac{k_{ro}}{k_{ro}'},\qquad n_w = \frac{\sum \ln k_{rw}^{*}\,\ln S_n}{\sum (\ln S_n)^2},\quad n_o = \frac{\sum \ln k_{ro}^{*}\,\ln(1 - S_n)}{\sum \bigl(\ln(1 - S_n)\bigr)^2}

безразмерная; суммы — по внутренним точкам образца

Справедливо, если: в логарифмах модель Кори — прямая через начало координат: ln⁡kr∗=nln⁡Sn\ln k_r^{*} = n\ln S_n; метод наименьших квадратов для такой прямой даёт формулы выше; точки у самых концов (малые SnS_n или 1−Sn1 - S_n) сильнее искажены погрешностью концевых точек — их проверяют отдельно; если модель Кори не описывает форму кривых, осредняют нормированные ОФП при одинаковых SnS_n или берут более гибкую аппроксимацию.

Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление →
Функция Леверетта типа породы и капиллярное давление ячейки
J=31,4 pck/ϕσcos⁡θ,Sw∗=Sw−Swirr1−Swirr,J=Jd (Sw∗)−b,pc(Sw)=J σcos⁡θ31,4k/ϕJ = \frac{31{,}4\,p_c\sqrt{k/\phi}}{\sigma\cos\theta},\qquad S_w^{*} = \frac{S_w - S_{wirr}}{1 - S_{wirr}},\qquad J = J_d\,(S_w^{*})^{-b},\qquad p_c(S_w) = \frac{J\,\sigma\cos\theta}{31{,}4\sqrt{k/\phi}}

метрические промысловые; JJ безразмерна

Справедливо, если: 31,4=1060,9869⋅10−15/10−331{,}4 = 10^6\sqrt{0{,}9869\cdot10^{-15}}/10^{-3} — постоянная функции Леверетта для МПа, мД и мН/м (урок о капиллярном давлении); степенная форма — та же, что в примере урока о капиллярном давлении; её параметры подбирают по точкам методом наименьших квадратов в логарифмах; кривая дренирования — для начального распределения флюидов; для расчёта заводнения нужна своя кривая пропитки.

Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление →
Двухточечное масштабирование таблицы по концевым точкам ячейки
St=Swi,t+(Sw−Swi) 1−Swi,t−Sor,t1−Swi−Sor,krw(Sw)=krw,t(St) krw′krw,t′S_t = S_{wi,t} + (S_w - S_{wi})\,\frac{1 - S_{wi,t} - S_{or,t}}{1 - S_{wi} - S_{or}},\qquad k_{rw}(S_w) = k_{rw,t}(S_t)\,\frac{k_{rw}'}{k_{rw,t}'}

безразмерная

Справедливо, если: масштабирование горизонтальное — линейное отображение интервала [Swi,1−Sor][S_{wi}, 1 - S_{or}] ячейки на интервал таблицы; трёхточечное добавляет промежуточную точку (например, 1−Sor1 - S_{or} между критической и наибольшей водонасыщенностью) и отображает два участка отдельно; концевые точки ячейки задают картами или связями со свойствами ячейки; капиллярное давление масштабируют согласованно — через функцию Леверетта; форма кривой (показатели) при этом общая для типа породы.

Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление →
Соотношение Лэнда: защемлённая насыщенность несмачивающей фазы
Sor∗=Soi∗1+C Soi∗,S∗=S1−Swi,C=1Sor,max⁡∗−1Soi,max⁡∗S_{or}^{*} = \frac{S_{oi}^{*}}{1 + C\,S_{oi}^{*}},\qquad S^{*} = \frac{S}{1 - S_{wi}},\qquad C = \frac{1}{S_{or,\max}^{*}} - \frac{1}{S_{oi,\max}^{*}}

доли единицы

Справедливо, если: эмпирическая связь; CC подбирают по опытам пропитки при разной начальной насыщенности или по одной паре концевых точек; для газа — то же с Sgi∗S_{gi}^{*} и Sgr∗S_{gr}^{*}: защемлённый газ при вторжении воды в газовую шапку, при попеременной закачке воды и газа, в подземных хранилищах.

Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление →
Вторая модель Стоуна для ОФП нефти (нормированная форма)
kro=krocw[(krowkrocw+krw)(krogkrocw+krg)−(krw+krg)]k_{ro} = k_{rocw}\left[\left(\frac{k_{row}}{k_{rocw}} + k_{rw}\right)\left(\frac{k_{rog}}{k_{rocw}} + k_{rg}\right) - (k_{rw} + k_{rg})\right]

доли единицы

Справедливо, если: гидрофильная порода: вода в мелких порах, газ в крупных, нефть между ними; отрицательный результат приравнивают нулю — так модель задаёт остаточную нефть трёхфазного вытеснения; krocwk_{rocw} в обеих двухфазных таблицах должна совпадать, иначе при Sg→0S_g \to 0 или Sw→SwiS_w \to S_{wi} модель не возвращается к двухфазным кривым.

Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление →
Капиллярное давление на внутреннем торце и насыщенность там (метод Хасслера — Бруннера)
pcL=12 Δρ ω2(r22−r12),SL= d (pcL Sˉ) dpcL=Sˉ+pcL  dSˉ dpcLp_{cL} = \tfrac12\,\Delta\rho\,\omega^2\left(r_2^2 - r_1^2\right),\qquad S_L = \frac{\dd\,(p_{cL}\,\bar S)}{\dd p_{cL}} = \bar S + p_{cL}\,\frac{\dd\bar S}{\dd p_{cL}}

СИ

Справедливо, если: на каждой скорости вращения достигнуто равновесие; на внешнем торце pc=0p_c = 0; поле центробежной силы по длине образца считают однородным — допустимо для коротких образцов (r1/r2r_1/r_2 не меньше примерно 0,7); иначе применяют более точные решения; производную берут по сглаженной зависимости Sˉ(pcL)\bar S(p_{cL}), построенной по ступеням скорости.

Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление →

Обозначения

СимволЗначение и где встречается
Δt\Delta t
ΔQ\Delta Q
kˉ\bar k
  • проницаемость, которая на расстоянии между центрами (Δxi+Δxj)/2(\Delta x_i + \Delta x_j)/2 даёт ту же проводимость: Tij=kˉA/[(Δxi+Δxj)/2]T_{ij} = \bar k A/[(\Delta x_i + \Delta x_j)/2], мДПеретоки между ячейками и проводимость
q~\tilde q
Δx\Delta x
Δp\Delta p
Δx, A\Delta x,\ A
Δx, Δt\Delta x,\ \Delta t
Δx, Δt, A\Delta x,\ \Delta t,\ A
Δx, Δy\Delta x,\ \Delta y
Δx, Δy, Δz\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z
Δx, Δz\Delta x,\ \Delta z
Sˉ, SL\bar S,\ S_L
Δt, τ\Delta t,\ \tau
(⋅)↑(\cdot)_{\uparrow}
(⋅)↑n+1(\cdot)_\uparrow^{n+1}
(krw/(μwBw))↑n\left(k_{rw}/(\mu_w B_w)\right)_\uparrow^{n}
⟨∇p⟩\langle\nabla p\rangle
⟨u⟩\langle\mathbf{u}\rangle
∥⋅∥\lVert\cdot\rVert
∥⋅∥, tn\|\cdot\|,\ t^{n}
∥e∥A\lVert\mathbf{e}\rVert_{\mathbf{A}}
∂2p/∂t2, ∂4p/∂x4\partial^2 p/\partial t^2,\ \partial^4 p/\partial x^4
∓\mp
pˉ0\bar p_0
ΔC1, ΔF1\Delta C_1,\ \Delta F_1
ΔSцел, Δpцел\Delta S_{\text{цел}},\ \Delta p_{\text{цел}}
AA
A\mathbf{A}
AfA_f
ai,i±1a_{i,i\pm1}
aija_{ij}
aijna_{ij}^{n}
Ail, biA_{il},\ b_i
Akl, bkA_{kl},\ b_k
A, Δx, kA,\ \Delta x,\ k
a=0,0853 kA/(μΔx)a = 0{,}0853\,kA/(\mu\Delta x)
bb
BB
BoB_o
Bo, Bw, BgB_o,\ B_w,\ B_g
BαB_\alpha
Bα, μα, ϕB_\alpha,\ \mu_\alpha,\ \phi
Δpc\Delta p_c
CC
C\mathbf{C}
cfc_f
ci\mathbf{c}_i
CiC_i
CijC_{ij}
cNc_N
co, cwc_o,\ c_w
ctc_t
ct,inc_{t,i}^{n}
Cx, CtC_x,\ C_t
C(S)C(S)
di, djd_i,\ d_j
Dj, DˉID_j,\ \bar D_I
dkрасчd_k^{\text{расч}}
dkрасч(m)d_k^{\text{расч}}(\mathbf{m})
dkфактd_k^{\text{факт}}
DnumD_{num}
Dnum(S)D_{num}(S)
D, L, U\mathbf{D},\ \mathbf{L},\ \mathbf{U}
e(ν)\mathbf{e}^{(\nu)}
en, ψne^{n},\ \psi^{n}
FF
fростf_{\text{рост}}
FjiF_{ji}
fo2f_{o2}
fwf_w
fw utf_w\,\mathbf{u}_t
fw′f_w'
  • наибольший наклон кривой доли воды между насыщенностью ячейки и насыщенностями соседей выше по потоку; для гарантии при любых насыщенностях — наибольший на всей кривой, —Схемы IMPES и полностью неявная
fw′(S)f_w'(S)
FαF_{\alpha}
pˉf,I\bar p_{f,I}
k^f,x\hat k_{f,x}
gg
GG
gijg_{ij}
GJ, GGS\mathbf{G}_J,\ \mathbf{G}_{GS}
g, Dg,\ D
G(ξ)G(\xi)
hh
HH
ii
x^i\hat x_i
i∈Ii \in I
I\mathbf{I}
IrI_r
pˉI, pˉII\bar p_I,\ \bar p_{II}
ΔSi, Δpi\Delta S_i,\ \Delta p_i
Δxi, Δxj\Delta x_i,\ \Delta x_j
I, 1\mathbf{I},\ \mathbf{1}
JJ
J\mathbf{J}
Jd, bJ_d,\ b
JlJ_l
K\mathbf{K}
k∗k^{*}
K∗\mathbf{K}^{*}
kx∗k^{*}_x
kyx∗k^{*}_{yx}
k1, k2k_1,\ k_2
kik_i
ki, ki+1k_i,\ k_{i+1}
ki, kjk_i,\ k_j
kijk_{ij}
kj, hjk_j,\ h_j
kj, krf,j, hjk_j,\ k_{rf,j},\ h_j
kl, kmk_l,\ k_m
kmk_m
krα, μα, Bαk_{r\alpha},\ \mu_\alpha,\ B_\alpha
krα(Sw)k_{r\alpha}(S_w)
kro′k_{ro}'
krocwk_{rocw}
krog(Sg), krg(Sg)k_{rog}(S_g),\ k_{rg}(S_g)
krow(Sw), krw(Sw)k_{row}(S_w),\ k_{rw}(S_w)
krw′/krw,t′k_{rw}'/k_{rw,t}'
krw∗, kro∗k_{rw}^{*},\ k_{ro}^{*}
krw,t(St)k_{rw,t}(S_t)
kvk_v
kv, khk_v,\ k_h
k‾x, k‾x\underline{k}_x,\ \overline{k}_x
kx, kyk_x,\ k_y
kx, ky, kzk_x,\ k_y,\ k_z
kxx, kyy, kxyk_{xx},\ k_{yy},\ k_{xy}
k, hk,\ h
k, ϕk,\ \phi
k, ϕ, μ, ctk,\ \phi,\ \mu,\ c_t
k, krαk,\ k_{r\alpha}
k(φ)k(\varphi)
L\mathbf{L}
LL
lf, kfl_f,\ k_f
Lx, Ly, LzL_x,\ L_y,\ L_z
L, HL,\ H
Δxl, Δxm\Delta x_l,\ \Delta x_m
m\mathbf{m}
MM
M\mathbf{M}
mim_i
minm_i^{n}
mjапрm_j^{\text{апр}}
mkim_{ki}
Δtmax⁡\Delta t_{\max}
nn
n\mathbf{n}
NN
Δtn, Δtn+1\Delta t^{n},\ \Delta t^{n+1}
Ni, riN_i,\ r_i
No, Nw, GN_o,\ N_w,\ G
nw, non_w,\ n_o
nx, nyn_x,\ n_y
Nx, NyN_x,\ N_y
n, n+1n,\ n + 1
n, n+1, Δtn,\ n + 1,\ \Delta t
NTG\mathrm{NTG}
q~o, q~w\tilde q_o,\ \tilde q_w
O(Δxm)O(\Delta x^m)
pp
p(ν)\mathbf{p}^{(\nu)}
p0p_0
pопp_{\text{оп}}
pоп, zопp_{\text{оп}},\ z_{\text{оп}}
pcp_c
PcP_c
pc,j(Sw)p_{c,j}(S_w)
pc(0)p_c(0)
pc(Sw)p_c(S_w)
pc(z)p_c(z)
pcLp_{cL}
pfp_f
pf,ip_{f,i}
pip_i
pin, pin+1p_i^{n},\ p_i^{n+1}
pin, pjnp_i^{n},\ p_j^{n}
pi−1n+1, pin+1, pi+1n+1p_{i-1}^{n+1},\ p_i^{n+1},\ p_{i+1}^{n+1}
pi, pi±1p_i,\ p_{i\pm1}
pi, pjp_i,\ p_j
pjn+1−pin+1p_j^{n+1} - p_i^{n+1}
plp_l
pl, pmp_l,\ p_m
pm, pfp_m,\ p_f
pnp^{n}
pn, pn+1p^{n},\ p^{n+1}
pn+1p^{n+1}
po, pcp_o,\ p_c
po(z)p_o(z)
pw=po−pc(Sw)p_w = p_o - p_c(S_w)
pwfp_{wf}
pα, ρα, μαp_\alpha,\ \rho_\alpha,\ \mu_\alpha
p, qp,\ q
pi′, pi′′, pi′′′, pi(4)p'_i,\ p''_i,\ p'''_i,\ p^{(4)}_i
p(x,y,z,t)p(x, y, z, t)
qq
QQ
Qс, QбезQ_{\text{с}},\ Q_{\text{без}}
qсквq_{\text{скв}}
QсквQ_{\text{скв}}
QускQ_{\text{уск}}
qfq_f
QgQ_g
qiq_i
QiQ_i
qi−1/2, qi+1/2q_{i-1/2},\ q_{i+1/2}
qijq_{ij}
ql, qq_l,\ q
qmfq_{mf}
qoq_o
qsq_s
qt,iq_{t,i}
qw,iq_{w,i}
qα,iq_{\alpha,i}
qα,in+1q_{\alpha,i}^{n+1}
rr
RR
R\mathbf{R}
r(ν)\mathbf{r}^{(\nu)}
R∞R_\infty
r0r_0
r0, rw, h, Sr_0,\ r_w,\ h,\ S
r1, r2r_1,\ r_2
rcr_c
rer_e
rfr_f
rir_i
ri, ri+1r_i,\ r_{i+1}
rij, ℓijr_{ij},\ \ell_{ij}
RNR_N
  • результат расчёта (например, нефтеотдача) на сетке с NN ячейками по измельчаемому направлению; RN/2R_{N/2} и R2NR_{2N} — то же на вдвое более грубой и вдвое более мелкой сетке, %Сетки в гидродинамических моделях
RsR_s
rwr_w
rw, Sr_w,\ S
Rα,iR_{\alpha,i}
r, Rr,\ R
R, RточнR,\ R_{\text{точн}}
k^rf∥, k^rf⊥\hat k_{rf}^{\parallel},\ \hat k_{rf}^{\perp}
k^rf,x\hat k_{rf,x}
SS
SiS_i
Si, qi, Δt, pinS_i,\ q_i,\ \Delta t,\ p_i^{n}
Si, aijS_i,\ a_{ij}
Si, aij, qi, ΔtS_i,\ a_{ij},\ q_i,\ \Delta t
Si+1/2S_{i+1/2}
  • насыщенность на грани между ячейками ii и i+1i + 1, по которой считают долю воды в перетоке (поток идёт от ii к i+1i + 1), —Численная дисперсия
sjs_j
SjS_j
SnS_n
So, kro, krwS_o,\ k_{ro},\ k_{rw}
So, SwS_o,\ S_w
So, Sw, SgS_o,\ S_w,\ S_g
Soi∗, Sor∗S_{oi}^{*},\ S_{or}^{*}
Sor,max⁡∗S_{or,\max}^{*}
SwS_w
Sw, StS_w,\ S_t
Sw, BwS_w,\ B_w
Swi, SorS_{wi},\ S_{or}
Swi, Sor, krw′, kro′S_{wi},\ S_{or},\ k_{rw}',\ k_{ro}'
Swi,t, Sor,tS_{wi,t},\ S_{or,t}
SwirrS_{wirr}
S, pS,\ p
S=VpctS = V_p c_t
tt
q~t\tilde q_t
TT
TI,II∗T^{*}_{I,II}
Tb, pbT_b,\ p_b
tct_c
ti, tjt_i,\ t_j
TijT_{ij}
TlmT_{lm}
txt_x
Tz, TxT_z,\ T_x
uu
ut\mathbf{u}_t
uα\mathbf{u}_\alpha
uα,i±1/2u_{\alpha,i\pm1/2}
vv
VV
VbV_b
viv_i
ViV_i
ViϕiV_i\phi_i
Vi, AV_i,\ A
Vi, ϕi, Sw,iV_i,\ \phi_i,\ S_{w,i}
VpV_p
Vp,iV_{p,i}
Vp,i, Tij, ΔtV_{p,i},\ T_{ij},\ \Delta t
Vp(pоп)V_p(p_{\text{оп}})
WW
q~wпл\tilde q_w^{\text{пл}}
WiW_i
Wi, NpDW_i,\ N_{pD}
WiDW_{iD}
WiD,1W_{iD,1}
wkw_k
Sˉw, Sw2\bar S_w,\ S_{w2}
WI\mathrm{WI}
WI∗\mathrm{WI}^{*}
WIl\mathrm{WI}_l
x\mathbf{x}
xf, yfx_f,\ y_f
xi(ν)x_i^{(\nu)}
zz
zЗСВz_{\text{ЗСВ}}
α\alpha
q~α\tilde q_\alpha
αν, βν\alpha_\nu,\ \beta_\nu
γα, D\gamma_\alpha,\ D
Δ\Delta
δi, δj\delta_i,\ \delta_j
δx\delta\mathbf{x}
Δρ\Delta\rho
Δρ g\Delta\rho\,g
ΔΦˉf\Delta\bar\Phi_f
ε\varepsilon
εMB\varepsilon_{MB}
εR\varepsilon_R
η\eta
η=0,0853 k/(ϕμct)\eta = 0{,}0853\,k/(\phi\mu c_t)
ηx, ηy, ηz\eta_x,\ \eta_y,\ \eta_z
θ\theta
θa\theta_a
κ\kappa
λ\lambda
λmin⁡, λmax⁡\lambda_{\min},\ \lambda_{\max}
λofw ∣ dpc/ dSw∣\lambda_o f_w\,|\dd p_c/\dd S_w|
λofw=λoλw/λt\lambda_o f_w = \lambda_o\lambda_w/\lambda_t
λo, λw\lambda_o,\ \lambda_w
λt\lambda_t
λt,ijn\lambda_{t,ij}^{n}
  • суммарная подвижность на грани на единицу проницаемости, (kro/μo)↑+(krw/μw)↑(k_{ro}/\mu_o)_\uparrow + (k_{rw}/\mu_w)_\uparrow: каждая фаза — из своей ячейки выше по потоку, 1/(мПа·с)Схемы IMPES и полностью неявная
λα\lambda_\alpha
λα↑\lambda_{\alpha\uparrow}
μ\mu
μ, B\mu,\ B
μf\mu_f
μo, u, kro′\mu_o,\ u,\ k_{ro}'
μw, μo\mu_w,\ \mu_o
ν\nu
ξ\xi
ρ, ϕ\rho,\ \phi
ρ(G)\rho(\mathbf{G})
ρfg\rho_fg
ρJ, ρGS, ρSOR\rho_J,\ \rho_{GS},\ \rho_{SOR}
ρo\rho_o
ρo,ст, ρg,ст\rho_{o,\text{ст}},\ \rho_{g,\text{ст}}
ρo, ρw\rho_o,\ \rho_w
ρo, ρw, g, D\rho_o,\ \rho_w,\ g,\ D
σ\sigma
σ, η, Δt, Δx\sigma,\ \eta,\ \Delta t,\ \Delta x
σ, θ\sigma,\ \theta
σcos⁡θ\sigma\cos\theta
σk\sigma_k
τ\tau
τ, pwf\tau,\ p_{wf}
τi\tau_i
ϕ\phi
φ\varphi
ϕˉ, Sˉw\bar\phi,\ \bar S_w
ϕ, μ, ct\phi,\ \mu,\ c_t
ϕ, Sα, Bα\phi,\ S_\alpha,\ B_\alpha
ϕi, Sw,i\phi_i,\ S_{w,i}
ϕj, kj, hj\phi_j,\ k_j,\ h_j
Φα\Phi_\alpha
Φα, γα\Phi_\alpha,\ \gamma_\alpha
Φα,i, Φα,j\Phi_{\alpha,i},\ \Phi_{\alpha,j}
Ψ(r)\Psi(r)
ψin\psi_i^{n}
ω\omega
ωopt\omega_{opt}