Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке

Кратко о главном

Пористость, долю коллектора и насыщенность переносят точно — с весом объёма породы и порового объёма. Проницаемость не складывается: эквивалентная проницаемость блока зависит от расположения участков, направления потока и граничных условий расчёта.
Эквивалентная проницаемость, рассчитанная по самому блоку без буферной зоны, при любом расположении ячеек лежит между гармоническим и арифметическим средними — это границы Винера. Границы Кардуэлла–Парсонса уже: нижняя — линии ячеек вдоль потока не обмениваются флюидом, верхняя — давление выравнивается в каждом сечении поперёк потока.
Расчёт течения в блоке решает уравнения ячеек детальной сетки внутри блока и по суммарному расходу находит $k^{*}$ из закона Дарси для блока.
Граничные условия — допущение о соседях блока. Непроницаемые боковые грани дают диагональные значения, периодические и линейные — тензор; линейные дают наибольшее $k^{*}$ . Разброс между условиями — мера неопределённости самого ремасштабирования.
Крупная модель считает перетоки через проводимости. Ремасштабирование проводимости находит их прямо по детальной модели и не «размазывает» прослой у границы ячейки на обе её грани.
Ячейку со скважиной ремасштабируют отдельно: у ствола поток радиальный, и мелкие ячейки вдоль ствола, где есть замеры, весят для притока несравнимо больше своей доли объёма.

Ключевые соотношения

k^{*} = \dfrac{Q\,\mu\,L}{A\,\Delta p}

эквивалентная проницаемость блока — закон Дарси для крупной ячейки

\bar S_w = \dfrac{\sum V_i\phi_iS_{w,i}}{\sum V_i\phi_i}

насыщенность крупной ячейки — с весом порового объёма

\bar k_{\text{гарм}} \le \underline{k} \le k^{*} \le \overline{k} \le \bar k_{\text{ар}}

границы Винера (крайние) и Кардуэлла–Парсонса (внутренние) — для непроницаемых боковых граней и периодических условий

T^{*} = \dfrac{\mu\,Q}{0{,}0853\,(\bar p_I - \bar p_{II})}

проводимость связи крупных ячеек по расчёту на мелкой сетке, мД·м

Где чаще всего ошибаются

Осреднять насыщенность по объёму ячеек, а не по поровому объёму.
Брать геометрическое среднее как универсальный рецепт: для вытянутых тел оно ошибается на десятки процентов.
Принимать «сечения — арифметически, затем гармонически» за хорошую оценку: это верхняя граница.
Считать результат расчёта в блоке истиной, не проверив его чувствительность к граничным условиям.
Ставить ячейке со скважиной индекс по формуле Писмена с проницаемостью, осреднённой для линейного потока.
Учитывать долю коллектора дважды — и в ремасштабированной проницаемости, и в множителе проводимости симулятора.

После урока вы сможете

объяснить, зачем и во сколько раз укрупняют сетку и почему пористость и насыщенность переносятся точно, а проницаемость — нет;
оценить эквивалентную проницаемость блока средними и указать её строгие границы — Винера и Кардуэлла–Парсонса;
рассчитать эквивалентную проницаемость блока по расчёту течения при непроницаемых боковых гранях, периодических и линейных граничных условиях и объяснить, почему ответы различаются;
отличать ремасштабирование проницаемости от ремасштабирования проводимости и объяснить, почему ячейку со скважиной ремасштабируют отдельно;
проверить укрупнённую модель: объёмы, границы, чувствительность к граничным условиям, сравнение течения на мелкой и крупной сетке.

Зачем укрупнять модель: разрыв масштабов

Геологическую модель строят так, чтобы сохранить всё, что известно о пласте: кровлю и подошву, прослои и фации, пористость и проницаемость по каротажу и керну. Её ячейки — десятки метров по площади и доли метра по толщине, и в крупной залежи их миллионы и десятки миллионов. Гидродинамической модели нужно другое: рассчитать течение много раз — для вариантов разработки, адаптации к истории, оценки неопределённости. Время расчёта растёт быстрее числа ячеек (сколько ячеек нужно), поэтому расчётную сетку делают в десятки и сотни раз крупнее и переносят на неё свойства. Это и есть ремасштабирование (upscaling; в обиходе — апскейлинг).

Масштабы, на которых описывают пласт

Масштаб: Образец керна
Типичный размер: 3–4 см × 5 см
Объём: десятки см³
Откуда свойства: лабораторные измерения

Масштаб: Ячейка геологической модели
Типичный размер: 25–50 м в плане, 0,3–1 м по толщине
Объём: сотни — тысячи м³
Откуда свойства: каротаж, керн, геостатистика

Масштаб: Ячейка гидродинамической модели
Типичный размер: 50–200 м в плане, 1–10 м по толщине
Объём: тысячи — сотни тысяч м³
Откуда свойства: ремасштабирование

Масштаб: Расстояние между скважинами
Типичный размер: сотни метров
Объём: —
Откуда свойства: исследования скважин, история разработки

Масштаб	Типичный размер	Объём	Откуда свойства
Образец керна	3–4 см × 5 см	десятки см³	лабораторные измерения
Ячейка геологической модели	25–50 м в плане, 0,3–1 м по толщине	сотни — тысячи м³	каротаж, керн, геостатистика
Ячейка гидродинамической модели	50–200 м в плане, 1–10 м по толщине	тысячи — сотни тысяч м³	ремасштабирование
Расстояние между скважинами	сотни метров	—	исследования скважин, история разработки

Порядки величин для ориентира, а не нормы: размеры ячеек выбирают под задачу и вычислительные ресурсы, и с ростом ресурсов ячейки мельчают.

Расчётный примерСколько керна и ячеек геологической модели в одной расчётной ячейке

Исходные данные (условные)

Образец керна: диаметр 3,8 см, длина 5 см
Ячейка геологической модели: 25 × 25 м, толщина 0,5 м
Ячейка расчётной сетки: 100 × 100 м, толщина 4 м
Пласт: 12 × 6 км, общая толщина 60 м

Решение

Объём образца: $V = \pi d^2L/4 = \pi\cdot3{,}8^2\cdot5/4 = 56{,}7$ см³.
Объём расчётной ячейки $100\cdot100\cdot4 = 40\,000$ м³. В ней $4\cdot4\cdot8 = 128$ ячеек геологической модели и $40\,000\cdot10^6/56{,}7 \approx 705$ млн объёмов образца.
Число ячеек геологической модели пласта: $480\cdot240\cdot120 = 13\,824\,000$ ; расчётной: $120\cdot60\cdot15 = 108\,000$ — в 128 раз меньше.

Ответ: Одна расчётная ячейка вмещает 128 ячеек геологической модели и около 705 млн объёмов образца керна; модель пласта укрупняется с 13,8 млн до 108 тыс. ячеек.

Что это значит. Свойство, которое модель припишет крупной ячейке, никто не измерял — его можно только рассчитать по мелким ячейкам, которые сами получены переносом данных керна и каротажа. Как рассчитать, зависит от свойства: пористость складывается, проницаемость — нет. Данные примера условные.

Эквивалентная проницаемость блока: закон Дарси для крупной ячейки

Q = \frac{k^{*}A\,\Delta p}{\mu\,L}\qquad\Longrightarrow\qquad k^{*} = \frac{Q\,\mu\,L}{A\,\Delta p}

где:

$Q$ суммарный расход через блок в пластовых условиях, м³/с
$k^{*}$ эквивалентная проницаемость блока вдоль направления потока, м²
$A$ площадь грани блока, перпендикулярной потоку, м²
$\Delta p$ перепад давления между входной и выходной гранями, Па
$L$ длина блока вдоль потока, м
$\mu$ вязкость флюида, Па·с

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

однофазное установившееся течение несжимаемой жидкости; закон Дарси выполняется и в мелких ячейках, и для блока в целом;
расход и перепад относятся к одному блоку при определённых граничных условиях — от них $k^{*}$ зависит (раздел о граничных условиях);
если перепад вдоль одной оси вызывает поток и вдоль другой, одного числа мало: нужен тензор $\mathbf{K}^{*}$ .

Это не новая физика, а определение: $k^{*}$ — проницаемость однородного блока, который пропускает тот же расход, что и неоднородный (эквивалентная проницаемость). Её называют и эффективной проницаемостью блока; с эффективной (фазовой) проницаемостью при многофазном течении она не связана.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

Q\,[\text{м}^3/\text{сут}] = 0{,}0853\,\frac{k^{*}\,[\text{мД}]\;A\,[\text{м}^2]\;\Delta p\,[\text{МПа}]}{\mu\,[\text{мПа·с}]\;L\,[\text{м}]}

$k^{*}$ — мД, $A$ — м², $\Delta p$ — МПа, $\mu$ — мПа·с, $L$ — м, $Q$ — м³/сут в пластовых условиях.

$0{,}0853$ — та же постоянная, что в законе Дарси (закон Дарси): перевод мД → м², МПа → Па, мПа·с → Па·с и секунд в сутки.

Промысловые единицы (oilfield)

q\,[\text{bbl/d}] = 1{,}127\cdot10^{-3}\,\frac{k^{*}\,[\text{мД}]\;A\,[\text{ft}^2]\;\Delta p\,[\text{psi}]}{\mu\,[\text{сП}]\;L\,[\text{ft}]}

$k^{*}$ — мД, $A$ — квадратные футы, $\Delta p$ — psi, $\mu$ — сП, $L$ — футы, $q$ — баррели в сутки в пластовых условиях.

$1{,}127\cdot10^{-3}$ — постоянная закона Дарси в промысловых единицах.

Пористость, доля коллектора и насыщенность

Пористость и насыщенность описывают объёмы, а объёмы складываются. Поровый объём крупной ячейки — сумма поровых объёмов мелких, объём воды — сумма объёмов воды. Отсюда правило: пористость осредняют с весом объёма породы, насыщенность — с весом порового объёма, а если модель пользуется долей коллектора, пористость относят к объёму коллектора.

Пористость и насыщенность крупной ячейки

\bar\phi = \frac{\sum_i V_i\,\phi_i}{\sum_i V_i},\qquad \bar S_w = \frac{\sum_i V_i\,\phi_i\,S_{w,i}}{\sum_i V_i\,\phi_i}

где:

$V_i$ объём породы $i$ -й мелкой ячейки, м³
$\phi_i,\ S_{w,i}$ пористость и водонасыщенность мелкой ячейки, д. ед.
$\bar\phi,\ \bar S_w$ пористость и водонасыщенность крупной ячейки, д. ед.

Единицы: любые одинаковые единицы объёма; пористость и насыщенность — в долях единицы

Справедливо, если

суммы — по всем мелким ячейкам внутри крупной;
с долей коллектора $N_i$ : $\bar N = \sum V_iN_i/\sum V_i$ , пористость коллектора $\bar\phi = \sum V_iN_i\phi_i/\sum V_iN_i$ , вес в насыщенности — $V_iN_i\phi_i$ ; так сохраняется поровый объём коллектора $\bar N\bar\phi\sum V_i$ ;
нефте- и газонасыщенность осредняют так же; если объёмный коэффициент различается по ячейкам, для запасов в стандартных условиях его добавляют в вес.

Формулы точные: крупная ячейка содержит ровно те же поровый объём и объёмы флюидов, что и мелкие. Ошибка появляется, только если взять не тот вес — например, осреднить насыщенность по объёму породы.

Расчётный примерВодонасыщенность ячейки из трёх пород

Исходные данные (условные)

Доли объёма расчётной ячейки: русловой песчаник 0,30; алевритистый песчаник 0,45; глина 0,25
Пористость: 0,24; 0,17; 0,06
Водонасыщенность: 0,22; 0,45; 1,00

Решение

Пористость ячейки: $\bar\phi = 0{,}30\cdot0{,}24 + 0{,}45\cdot0{,}17 + 0{,}25\cdot0{,}06 = 0{,}072 + 0{,}0765 + 0{,}015 = 0{,}1635$ ; слагаемые — поровые объёмы пород на 1 м³ ячейки.
Водонасыщенность с весом порового объёма: $\bar S_w = (0{,}072\cdot0{,}22 + 0{,}0765\cdot0{,}45 + 0{,}015\cdot1{,}00)/0{,}1635 = 0{,}06527/0{,}1635 = 0{,}3992$ .
Среднее по объёму породы дало бы $0{,}30\cdot0{,}22 + 0{,}45\cdot0{,}45 + 0{,}25\cdot1{,}00 = 0{,}5185$ .
Нефти на 1 м³ ячейки: верно $0{,}1635\cdot(1 - 0{,}3992) = 0{,}0982$ м³ — столько же, сколько в самих породах: $0{,}072\cdot0{,}78 + 0{,}0765\cdot0{,}55 = 0{,}0982$ м³. По неверному среднему $0{,}1635\cdot(1 - 0{,}5185) = 0{,}0787$ м³ — на 20 % меньше.

Ответ: Пористость ячейки 0,1635, водонасыщенность 0,3992; среднее по объёму породы завысило бы её до 0,5185 и занизило запасы нефти на 20 %.

Что это значит. Глина занимает четверть объёма, но лишь 9 % порового объёма, поэтому её полная водонасыщенность весит мало. Среднее по объёму породы даёт ей вес четверти и «наливает» в ячейку лишнюю воду. Если глину не считают коллектором, её поры вовсе не входят в поровый объём модели: доля коллектора 0,75, пористость коллектора 0,198, нефти на кубометр ячейки столько же — 0,0982 м³, а воды и упругой ёмкости меньше. Данные примера условные.

Доля коллектора и проводимость

В ряде симуляторов горизонтальную проводимость между ячейками умножают на долю коллектора, а вертикальную — нет. Если ремасштабированная проницаемость уже отнесена ко всей породе, включая неколлектор, такое умножение учтёт неколлектор второй раз и занизит горизонтальный поток. Прежде чем переносить проницаемость, выясняют, к чему симулятор её относит — к объёму коллектора или ко всей породе, — и ремасштабируют согласованно.

С проницаемостью так не получится: она описывает не объём, а проводимость, и проводимости складываются по-разному в зависимости от того, как участки соединены. Две ячейки одного размера, 10 и 1000 мД, поставленные рядом вдоль потока, пропускают его как одна ячейка 505 мД, а одна за другой — как 19,8 мД: в 25,5 раза меньше.

Средние и границы эквивалентной проницаемости

Для двух простых случаев ответ дают средние из урока Неоднородность пласта и осреднение проницаемости: выдержанные слои вдоль потока — арифметическое, поперёк — гармоническое; изотропная случайная мозаика в плоском потоке — геометрическое (случайная мозаика); степенное среднее с подобранным показателем обобщает их (степенное среднее). В реальном блоке нет ни идеальных слоёв, ни идеальной мозаики, и среднее превращается в догадку. Зато у этой догадки есть строгие пределы.

Границы Винера

\bar k_{\text{гарм}} = \left(\sum_i \frac{v_i}{k_i}\right)^{-1} \;\le\; k^{*} \;\le\; \bar k_{\text{ар}} = \sum_i v_i\,k_i

где:

$v_i$ доля объёма блока, занятая $i$ -й мелкой ячейкой ( $\sum v_i = 1$ ), —
$k_i$ проницаемость мелкой ячейки, мД
$k^{*}$ эквивалентная проницаемость блока в любом направлении, мД

Единицы: проницаемости — в любых одинаковых единицах

Справедливо, если

однофазное установившееся течение; мелкие ячейки изотропны (у анизотропных для каждого направления берут свою проницаемость);
выполняются при любом расположении ячеек и при всех трёх видах граничных условий урока, если $k^{*}$ рассчитана по течению в самом блоке, без буферной зоны.

Нижняя граница достигается, только когда все участки соединены последовательно (слои поперёк потока), верхняя — только когда параллельно (слои вдоль потока). Эти границы Винера — первая проверка любого ремасштабирования: значение вне них означает ошибку.

Границы Винера не знают, как расположены ячейки, и для неоднородного блока они очень широки. Более узкие границы получаются, если мысленно вставить в блок тонкие перегородки и посмотреть, как изменится поток. Это границы Кардуэлла–Парсонса.

Непроницаемые перегородки вдоль потока разрезают блок на трубки — линии ячеек от входной грани до выходной. Внутри трубки ячейки соединены последовательно (гармоническое среднее), трубки между собой — параллельно (арифметическое). Перегородки только мешают потоку обходить плотные ячейки, поэтому так получается нижняя граница.
Идеально проводящие перегородки поперёк потока выравнивают давление в каждом сечении. Ячейки одного сечения работают параллельно (арифметическое среднее), сечения между собой — последовательно (гармоническое). Перегородки только помогают потоку перераспределяться, поэтому получается верхняя граница.

СхемаМысленные перегородки, дающие границы Кардуэлла–Парсонса для блока из примеров урока (поток с запада на восток): слева непроницаемые перегородки вдоль потока — нижняя граница, справа проводящие поперёк потока — верхняя. Цифры — проницаемость ячеек, мД.

Границы Кардуэлла–Парсонса для потока вдоль оси

x

\begin{aligned} \underline{k}_x &= \frac{1}{n_y}\sum_{j=1}^{n_y}\frac{n_x}{\sum_{i=1}^{n_x} 1/k_{ij}},\\ \overline{k}_x &= n_x\left[\sum_{i=1}^{n_x}\left(\frac{1}{n_y}\sum_{j=1}^{n_y} k_{ij}\right)^{-1}\right]^{-1},\\ \underline{k}_x &\le k^{*}_x \le \overline{k}_x \end{aligned}

где:

$k_{ij}$ проницаемость мелкой ячейки: $i$ — номер вдоль потока (столбец), $j$ — номер линии ячеек вдоль потока (строка), мД
$n_x,\ n_y$ число ячеек вдоль потока и поперёк него, —
$\underline{k}_x,\ \overline{k}_x$ нижняя и верхняя границы эквивалентной проницаемости вдоль $x$ , мД

Единицы: проницаемости — в любых одинаковых единицах; ячейки одинакового размера (иначе в средних появляются веса длин и площадей)

Справедливо, если

однофазное установившееся течение; блок с непроницаемыми боковыми гранями или периодический; для линейных граничных условий верхняя граница не гарантирована (раздел для углублённого изучения);
в трёхмерном блоке $j$ пробегает все ячейки сечения $y$ – $z$ ;
для потока вдоль $y$ строки и столбцы меняются ролями.

Нижняя граница — арифметическое среднее гармонических средних по линиям вдоль потока, верхняя — гармоническое среднее арифметических средних по сечениям. Распространённый быстрый рецепт «осреднить каждое сечение арифметически, а сечения — гармонически» и есть верхняя граница: он завышает $k^{*}$ или в лучшем случае угадывает её. Для слоёв вдоль или поперёк потока обе границы совпадают и дают точный ответ.

Проницаемость ячеек блока, мД (строки — с севера на юг, столбцы — с запада на восток)

Строка: 1
1: 40
2: 25
3: 280
4: 350

Строка: 2
1: 30
2: 260
3: 300
4: 15

Строка: 3
1: 220
2: 320
3: 8
4: 35

Строка: 4
1: 300
2: 45
3: 20
4: 60

Строка	1	2	3	4
1	40	25	280	350
2	30	260	300	15
3	220	320	8	35
4	300	45	20	60

Ячейка расчётной сетки 100 × 100 м из 16 ячеек геологической модели по 25 м, один слой толщиной 1 м. Русловой песчаник (220–350 мД) пересекает блок ступенькой от юго-западного угла к северо-восточному; 8 мД — сцементированный участок у русла, остальное — алевритистые породы. Данные условные.

Расчётный примерСредние и границы для блока 100 × 100 м

Исходные данные (условные)

Блок: 16 ячеек по 25 м (таблица выше)
Поток: с запада на восток — вдоль $x$ ; затем с юга на север — вдоль $y$

Решение

Границы Винера: $\bar k_{\text{ар}} = 2308/16 = 144{,}25$ мД; $\bar k_{\text{гарм}} = 16/\sum(1/k_i) = 16/0{,}43207 = 37{,}0$ мД. Геометрическое среднее $k_G = 75{,}4$ мД.
Нижняя граница Кардуэлла–Парсонса вдоль $x$ : гармонические средние строк — 56,0; 37,3; 24,8; 43,4 мД, их среднее $\underline{k}_x = 40{,}4$ мД.
Верхняя граница: средние арифметические столбцов — 147,5; 162,5; 152,0; 115,0 мД, их гармоническое среднее $\overline{k}_x = 4/(1/147{,}5 + 1/162{,}5 + 1/152{,}0 + 1/115{,}0) = 141{,}8$ мД.
Вдоль $y$ строки и столбцы меняются ролями: $\underline{k}_y = 43{,}8$ мД, $\overline{k}_y = 139{,}7$ мД.

Ответ:

k^{*}_x

лежит между 40,4 и 141,8 мД,

k^{*}_y

— между 43,8 и 139,7 мД; границы Винера — от 37,0 до 144,25 мД.

Что это значит. Для этого блока границы Кардуэлла–Парсонса почти не уже границ Винера: верхняя меньше арифметического среднего всего на 1,7 %. Причина в строении: русло идёт по диагонали, и в каждой строке и в каждом столбце есть и хорошие, и плохие ячейки. Границы сужаются, когда блок похож на слои вдоль или поперёк потока, и почти бесполезны, когда проводящие тела пересекают блок наискось. Тогда эквивалентную проницаемость приходится рассчитывать. Данные примера условные.

Расчёт течения в блоке

Если средние не годятся, эквивалентную проницаемость считают так, как её определили: решают задачу течения внутри блока на детальной сетке и измеряют расход. Метод называют ремасштабированием по расчёту течения (flow-based upscaling), или методом решения уравнения давления (pressure-solver method).

Как рассчитать

k^{*}_x

блока

1
Вырезать блок
Взять мелкие ячейки, из которых состоит крупная, — иногда вместе с каймой соседних (раздел о граничных условиях).
2
Поставить граничные условия
Например, давление $p_1$ на западной грани и $p_2$ на восточной; северная и южная грани непроницаемы.
3
Решить уравнения ячеек
Для каждой мелкой ячейки — баланс установившегося течения: сумма перетоков от соседей равна нулю. Проводимости — как в любой модели: последовательное сочетание половин соседних ячеек (уравнение ячейки).
4
Найти расход
Сложить перетоки через выходную грань. Для проверки — через входную грань: в установившемся течении без источников суммы совпадают.
5
Вычислить $k^{*}_x$
По закону Дарси для блока: $k^{*}_x = Q\mu L/(A\Delta p)$ . Повторить для $y$ и, в объёмной модели, для $z$ .

Уравнения ячеек блока при установившемся течении

\sum_{m} T_{lm}\,(p_m - p_l) + \sum_{b} T_{b}\,(p_b - p_l) = 0,\qquad T_{lm} = \frac{A_f}{\frac{\Delta x_l}{2k_l} + \frac{\Delta x_m}{2k_m}},\qquad T_b = \frac{2k_lA_f}{\Delta x_l}

где:

$p_l,\ p_m$ давление в мелкой ячейке $l$ и в соседней ячейке $m$ , МПа
$T_{lm}$ проводимость связи соседних ячеек — две половины ячеек последовательно, мД·м
$A_f$ площадь общей грани, м²
$\Delta x_l,\ \Delta x_m$ размеры ячеек поперёк этой грани, м
$k_l,\ k_m$ проницаемость ячеек в направлении, перпендикулярном грани, мД
$T_b,\ p_b$ проводимость от центра ячейки до грани блока и заданное на этой грани давление, мД·м, МПа

Единицы: метрические промысловые: $k$ в мД, длины в м, давления в МПа; вязкость и постоянная 0,0853 одинаковы во всех слагаемых и сокращаются

Справедливо, если

установившееся течение несжимаемой жидкости — накопления нет; скважин внутри блока нет;
пятиточечная (в объёме — семиточечная) схема: ячейки связаны только через общие грани, тензор мелких ячеек диагонален;
уравнения линейны: давления можно выражать в долях приложенного перепада, $k^{*}$ от величины перепада не зависит.

Это уравнение ячейки из урока Уравнение давления для однофазной фильтрации без накопления и без скважин. Для блока из $n$ мелких ячеек — система $n$ линейных уравнений. В модели с миллионами ячеек такие системы решают для каждого из сотен тысяч блоков, поэтому расчёт ведут программы, но устроен он так же, как в примере ниже.

Расчётный пример

k^{*}

блока при непроницаемых боковых гранях

Исходные данные (условные)

Блок: из предыдущего примера: 4 × 4 ячейки по 25 м, толщина $h$ = 1 м
Граничные условия: давление на западной грани 1, на восточной 0 (в долях перепада); северная и южная грани непроницаемы

Решение

Проводимости: у квадратных ячеек $A_f/\Delta x = h$ , поэтому $T = h\cdot2k_1k_2/(k_1 + k_2)$ , а у граней блока $T_b = 2kh$ . Связь ячейки русла 320 мД со сцементированной 8 мД: $2\cdot320\cdot8/328 = 15{,}6$ мД·м; двух ячеек русла 220 и 320 мД: $2\cdot220\cdot320/540 = 260{,}7$ мД·м.
Шестнадцать уравнений ячеек решены на компьютере; давления — в таблице после примера. В восточном столбце (с севера на юг): 0,0842; 0,1498; 0,0849; 0,0851.
Расход через восточную грань, выраженный через проводимости (перепад равен 1, а вязкость и постоянная 0,0853 сокращаются): $Q = 2h\,(350\cdot0{,}0842 + 15\cdot0{,}1498 + 35\cdot0{,}0849 + 60\cdot0{,}0851) = 79{,}6$ мД·м.
Проверка: через западную грань входит $2h\,(40\cdot(1 - 0{,}8682) + 30\cdot(1 - 0{,}8506) + 220\cdot(1 - 0{,}9178) + 300\cdot(1 - 0{,}9601)) = 79{,}6$ мД·м — столько же.
Закон Дарси для блока в этих единицах: $Q = k^{*}Wh\,\Delta p/L$ , где $W$ — ширина блока. При $L = W$ = 100 м, $h$ = 1 м и $\Delta p = 1$ : $k^{*}_x = Q = 79{,}6$ мД. Такой же расчёт с юга на север даёт $k^{*}_y = 81{,}0$ мД.

Ответ:

k^{*}_x \approx 79{,}6

мД,

k^{*}_y \approx 81{,}0

мД — внутри границ Кардуэлла–Парсонса и почти вдвое ниже арифметического среднего.

Что это значит. Три четверти потока (76 %) входят в блок через две южные ячейки западной грани, а 74 % выходит через северо-восточную ячейку 350 мД (рисунок): флюид идёт по руслу, а не по прямой. Геометрическое среднее (75,4 мД) оказалось близко к ответу лишь потому, что русло пересекает блок по диагонали и одинаково помогает потоку вдоль обеих осей. Если те же 16 значений расставить так, чтобы русло тянулось с запада на восток, геометрическое среднее не изменится, а расчёт даст $k^{*}_x$ около 115 мД и $k^{*}_y$ около 49 мД. Данные примера условные.

Давления в ячейках блока при потоке с запада на восток, доли перепада

Строка: 1
1: 0,8682
2: 0,5453
3: 0,2677
4: 0,0842

Строка: 2
1: 0,8506
2: 0,6068
3: 0,4208
4: 0,1498

Строка: 3
1: 0,9178
2: 0,7516
3: 0,4360
4: 0,0849

Строка: 4
1: 0,9601
2: 0,7911
3: 0,4260
4: 0,0851

Строка	1	2	3	4
1	0,8682	0,5453	0,2677	0,0842
2	0,8506	0,6068	0,4208	0,1498
3	0,9178	0,7516	0,4360	0,0849
4	0,9601	0,7911	0,4260	0,0851

Давление на западной грани 1, на восточной 0; северная и южная грани непроницаемы. Строки — с севера на юг, столбцы — с запада на восток.

РасчётРасчётные перетоки между ячейками блока при потоке с запада на восток и непроницаемых северной и южной гранях: толщина стрелки пропорциональна расходу через грань, цифры — проницаемость ячеек, мД.

Русло в примере нарочно составлено из ячеек с общими гранями. В пятиточечной схеме ячейки, касающиеся только углами, не обмениваются флюидом, и «диагональное» русло из таких ячеек мелкая модель увидела бы прерванным. Мелкая сетка — тоже приближение (Конечные разности: от уравнений к вычислениям), и её недостатки переходят в ремасштабированную модель.

Граничные условия: что блок знает о соседях

Блок вырезан из пласта, и как флюид на самом деле проходит через его грани, зависит от соседей, которых расчёт не видит. Граничные условия ремасштабирования — допущение об этих соседях, и от допущения зависит ответ. Применяют три вида условий и приём, ослабляющий их влияние.

Непроницаемые боковые грани (no-flow, sealed sides): Входная и выходная грани держат заданные давления, остальные закрыты. Так считают, что флюид идёт вдоль оси и с соседями сбоку не обменивается, — разумно для почти горизонтальной слоистости и для мелкой мозаики без вытянутых тел; на практике их применяют чаще других. Условия дают только диагональ тензора — $k^{*}_x$ , $k^{*}_y$ , $k^{*}_z$ — и занижают проводимость тел, которые выходят из блока через боковые грани.
Периодические (periodic): Блок — одна плитка бесконечного «паркета» из своих копий: что выходит через восточную грань, входит через западную, вдоль заданного градиента давление за период падает на $\Delta p$ ; потоки во всех копиях одинаковы, а давление в соседней копии лишь сдвинуто на $\Delta p$ . Поток идёт через все грани, и два расчёта — с градиентом вдоль $x$ и вдоль $y$ — дают полный тензор. Точны для повторяющихся структур; если тело в блоке не продолжается через противоположную грань, условия «сшивают» его с чужой породой.
Линейные (linear pressure): Давление на всех гранях блока меняется линейно — так, как в однородном пласте с тем же средним градиентом. Поток идёт и через боковые грани, получается тензор. Условия навязывают границе блока однородное поведение и дают наибольшие значения из трёх.
Буферная зона (flow jacket, border region): К блоку добавляют кайму мелких ячеек из соседних блоков, граничные условия ставят на внешней границе каймы, а $k^{*}$ считают только для самого блока — по средним в нём скорости и градиенту. Влияние условий ослабевает; цена — больший расчёт и вопрос, какой ширины нужна кайма.

СхемаГраничные условия расчёта течения в блоке (схема): а) непроницаемые боковые грани; б) периодические — блок среди своих копий; в) линейное давление на всех гранях; г) буферная зона из соседних ячеек вокруг блока.

Закон Дарси для блока с тензором проницаемости

\langle\mathbf{u}\rangle = -\frac{1}{\mu}\,\mathbf{K}^{*}\langle\nabla p\rangle,\qquad \mathbf{K}^{*} = \begin{pmatrix} k^{*}_{xx} & k^{*}_{xy}\\ k^{*}_{yx} & k^{*}_{yy}\end{pmatrix},\qquad k^{*}_{xx} = \frac{\mu\langle u_x\rangle}{G},\quad k^{*}_{yx} = \frac{\mu\langle u_y\rangle}{G}

где:

$\langle\mathbf{u}\rangle$ средняя по объёму блока скорость фильтрации, м/с
$\langle\nabla p\rangle$ средний по объёму блока градиент давления, Па/м
$\mathbf{K}^{*}$ тензор эквивалентной проницаемости блока, м²
$G$ модуль среднего градиента в расчёте, где давление падает вдоль $x$ , Па/м
$k^{*}_{yx}$ поток вдоль $y$ , вызванный градиентом вдоль $x$ , выраженный как проницаемость, м²

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

средние — по объёму блока; при периодических и линейных условиях средний градиент равен заданному, а среднюю скорость находят по расходам через грани (раздел для углублённого изучения);
второй расчёт — с градиентом вдоль $y$ — даёт $k^{*}_{yy}$ и $k^{*}_{xy}$ ; при этих условиях правильно рассчитанный тензор симметричен, $k^{*}_{xy} = k^{*}_{yx}$ , и $k^{*}_{xx}k^{*}_{yy} > (k^{*}_{xy})^2$ ;
при непроницаемых боковых гранях средний градиент приобретает поперечную составляющую, которую расчёт не задаёт, поэтому из таких расчётов берут только диагональные значения.

Недиагональный член говорит, что перепад давления вдоль одной оси гонит флюид и вдоль другой, — так бывает, когда проводящие тела лежат наискось к сетке. Обычные пяти- и семиточечные схемы симуляторов используют только диагональ; как учитывают полный тензор — в уроке Особые вопросы ремасштабирования.

Расчётный примерТот же блок при периодических и линейных условиях

Исходные данные (условные)

Блок: из предыдущих примеров
Расчёты: по два для каждого вида условий — с перепадом вдоль $x$ и вдоль $y$

Решение

Периодические условия: $k^{*}_{xx} = 62{,}4$ , $k^{*}_{yy} = 64{,}2$ , $k^{*}_{xy} = k^{*}_{yx} = 20{,}0$ мД.
Линейные: $k^{*}_{xx} = 86{,}3$ , $k^{*}_{yy} = 87{,}0$ , $k^{*}_{xy} = k^{*}_{yx} = 10{,}8$ мД.
Непроницаемые боковые грани (предыдущий пример): $k^{*}_x = 79{,}6$ , $k^{*}_y = 81{,}0$ мД.
Периодический тензор в осях, повёрнутых на 46° от $x$ к $y$ , то есть вдоль русла: $\tfrac{62{,}4 + 64{,}2}{2} \pm \sqrt{0{,}9^2 + 20{,}0^2} = 63{,}3 \pm 20{,}02$ — 83,3 мД вдоль русла и 43,3 мД поперёк.

Ответ: Три вида условий дали для одного блока

k^{*}_x

от 62,4 до 86,3 мД; периодические и линейные показали недиагональный член 20,0 и 10,8 мД.

Что это значит. Непроницаемые боковые грани пропускают поток по руслу от одной грани с постоянным давлением к другой: вдоль этих граней флюид распределяется свободно. Периодические условия ставят рядом копию блока: северо-восточный конец русла упирается в ячейку 40 мД соседней копии, юго-западный — в ячейку 60 мД, и русло оказывается прерванным — отсюда наименьшее $k^{*}_{xx}$ . Зато они видят, что русло идёт наискось: $k^{*}_{xy} > 0$ , перепад с запада на восток гонит флюид и на север. Линейные условия навязывают северной и южной граням давление однородного пласта и позволяют флюиду входить и выходить через них — значение наибольшее. Какое ближе к правде, зависит от соседей блока: продолжается ли русло в соседних ячейках. Этого блок «не знает», и разброс между условиями — мера неопределённости самого ремасштабирования. Данные примера условные.

Блок примеров: эквивалентная проницаемость разными способами, мД

Способ: Среднее арифметическое — верхняя граница Винера
$k^{*}_x$: 144,3
$k^{*}_y$: 144,3
$k^{*}_{xy}$: —

Способ: Верхняя граница Кардуэлла–Парсонса
$k^{*}_x$: 141,8
$k^{*}_y$: 139,7
$k^{*}_{xy}$: —

Способ: Линейные условия
$k^{*}_x$: 86,3
$k^{*}_y$: 87,0
$k^{*}_{xy}$: 10,8

Способ: Непроницаемые боковые грани
$k^{*}_x$: 79,6
$k^{*}_y$: 81,0
$k^{*}_{xy}$: —

Способ: Среднее геометрическое
$k^{*}_x$: 75,4
$k^{*}_y$: 75,4
$k^{*}_{xy}$: —

Способ: Периодические условия
$k^{*}_x$: 62,4
$k^{*}_y$: 64,2
$k^{*}_{xy}$: 20,0

Способ: Нижняя граница Кардуэлла–Парсонса
$k^{*}_x$: 40,4
$k^{*}_y$: 43,8
$k^{*}_{xy}$: —

Способ: Среднее гармоническое — нижняя граница Винера
$k^{*}_x$: 37,0
$k^{*}_y$: 37,0
$k^{*}_{xy}$: —

Способ	$k^{*}_x$	$k^{*}_y$	$k^{*}_{xy}$
Среднее арифметическое — верхняя граница Винера	144,3	144,3	—
Верхняя граница Кардуэлла–Парсонса	141,8	139,7	—
Линейные условия	86,3	87,0	10,8
Непроницаемые боковые грани	79,6	81,0	—
Среднее геометрическое	75,4	75,4	—
Периодические условия	62,4	64,2	20,0
Нижняя граница Кардуэлла–Парсонса	40,4	43,8	—
Среднее гармоническое — нижняя граница Винера	37,0	37,0	—

Строки — по убыванию $k^{*}_x$ . Расчёты течения при всех трёх видах условий лежат внутри границ Кардуэлла–Парсонса, но различаются между собой почти в 1,4 раза.

Непроницаемые боковые грани — когда слои почти параллельны осям сетки и перетоков через боковые грани мало; с них обычно и начинают.
Периодические — для статистически однородных полей и повторяющихся структур, когда нужен тензор.
Линейные — когда нужна оценка сверху или тензор, а неоднородность мельче блока; их охотнее ставят на внешней границе буферной зоны, чем прямо на гранях блока.
Буферная зона, другой размер ячеек или ремасштабирование проводимости — когда разные условия дают для многих блоков заметно разные ответы.

Сильнее всего условия влияют на блоки размером порядка длины корреляции: в таком блоке есть и проводящие тела, и барьеры, но их слишком мало, чтобы они осреднились. В блоке, много меньшем длины корреляции, свойства почти однородны, в блоке, много большем, неоднородность осредняется, — в обоих случаях ответ от условий почти не зависит. Погрешность растёт и с контрастом проницаемости: труднее всего передать тонкие барьеры и узкие проводящие пути, которые решают, сообщаются ли соседние ячейки, — выдержанные глинистые прослои, непроводящие разломы, изолированные русла, открытые трещины.

Проницаемость или проводимость

Симулятор не пользуется проницаемостью ячейки напрямую: переток между соседними ячейками он считает через проводимость, соединяя половины двух ячеек последовательно (уравнение ячейки, Перетоки между ячейками и проводимость). После ремасштабирования проницаемости это второе осреднение: сначала мелкие ячейки — в крупную, потом две половины крупных — в связь. При этом сопротивление крупной ячейки делится между её половинами поровну. Если плотный прослой лежит у одной грани крупной ячейки, это неверно.

Ремасштабирование проводимости (transmissibility upscaling) пропускает промежуточный шаг: связь двух крупных ячеек рассчитывают прямо по мелкой сетке — решают течение в области от центра одной крупной ячейки до центра другой и делят расход на разность давлений.

Проводимость между крупными ячейками по детальной модели

T^{*}_{I,II} = \frac{\mu\,Q}{0{,}0853\,\left(\bar p_{I} - \bar p_{II}\right)}

где:

$T^{*}_{I,II}$ проводимость связи крупных ячеек $I$ и $II$ , мД·м
$Q$ расход между ними в расчёте на мелкой сетке, в пластовых условиях, м³/сут
$\bar p_I,\ \bar p_{II}$ давления крупных ячеек по тому же расчёту: давления в их центрах или средние по поровому объёму их мелких ячеек, МПа
$\mu$ вязкость, мПа·с

Единицы: метрические промысловые: $Q$ в м³/сут, $p$ в МПа, $\mu$ в мПа·с, $T^{*}$ в мД·м

Справедливо, если

однофазное установившееся течение; задачу решают для области между центрами двух ячеек (местный расчёт) или для всей модели со скважинами (глобальный);
как и эквивалентная проницаемость, результат зависит от граничных условий местного расчёта;
в одномерном случае формула сводится к сумме сопротивлений мелких ячеек между центрами крупных.

Проводимость — свойство связи, а не ячейки: она помнит, где именно внутри крупных ячеек лежат прослои и каналы. Цена — её нельзя перенести на другую сетку, и для каждой связи нужен свой расчёт.

В других системах единиц (1)

СИ

T^{*}_{I,II} = \frac{\mu\,Q}{\bar p_{I} - \bar p_{II}}

$Q$ — м³/с, $\mu$ — Па·с, $p$ — Па, $T^{*}$ — м³ (проницаемость в м², умноженная на длину).

Постоянной нет: все величины в согласованных единицах.

Столбец пласта под расчётной ячейкой 100 × 100 м

Слой (по 1 м): 1
$k_z$ , мД: 40
Крупный слой: верхний

Слой (по 1 м): 2
$k_z$ , мД: 60
Крупный слой: верхний

Слой (по 1 м): 3
$k_z$ , мД: 50
Крупный слой: верхний

Слой (по 1 м): 4
$k_z$ , мД: 0,01
Крупный слой: средний

Слой (по 1 м): 5
$k_z$ , мД: 80
Крупный слой: средний

Слой (по 1 м): 6
$k_z$ , мД: 70
Крупный слой: средний

Слой (по 1 м): 7
$k_z$ , мД: 90
Крупный слой: нижний

Слой (по 1 м): 8
$k_z$ , мД: 60
Крупный слой: нижний

Слой (по 1 м): 9
$k_z$ , мД: 45
Крупный слой: нижний

Слой (по 1 м)	$k_z$ , мД	Крупный слой
1	40	верхний
2	60	верхний
3	50	верхний
4	0,01	средний
5	80	средний
6	70	средний
7	90	нижний
8	60	нижний
9	45	нижний

Девять слоёв геологической модели объединяют в три слоя расчётной сетки по 3 м. Слой 4 — тонкий глинистый прослой. Данные условные.

Расчётный примерГлинистый прослой у границы крупного слоя

Исходные данные (условные)

Столбец: 9 слоёв по 1 м (таблица выше), площадь сечения 10 000 м²; крупные слои — по три мелких
Прослой: 0,01 мД — верхний мелкий слой среднего крупного слоя

Решение

Вертикальная проницаемость крупных слоёв — гармоническая: верхний $3/(1/40 + 1/60 + 1/50) = 48{,}65$ мД; средний $3/(1/0{,}01 + 1/80 + 1/70) = 3/100{,}027 = 0{,}02999$ мД; нижний $3/(1/90 + 1/60 + 1/45) = 60$ мД.
Проводимости по проницаемостям крупных слоёв — по 1,5 м от центров до общей грани: $T_{12} = 10\,000/(1{,}5/48{,}65 + 1{,}5/0{,}02999) = 199{,}8$ мД·м; $T_{23} = 10\,000/(1{,}5/0{,}02999 + 1{,}5/60) = 199{,}8$ мД·м.
Проводимости прямо по мелким слоям между центрами крупных — от середины слоя 2 до середины слоя 5 и от середины слоя 5 до середины слоя 8: $T^{*}_{12} = 10\,000/(0{,}5/60 + 1/50 + 1/0{,}01 + 0{,}5/80) = 100{,}0$ мД·м; $T^{*}_{23} = 10\,000/(0{,}5/80 + 1/70 + 1/90 + 0{,}5/60) = 250\,124$ мД·м.

Ответ: По проницаемостям крупных слоёв обе связи получают около 199,8 мД·м; прямой расчёт даёт 100,0 мД·м для верхней связи и 250 124 мД·м — в 1252 раза больше — для нижней.

Что это значит. Ремасштабирование проницаемости «размазало» прослой на обе грани среднего крупного слоя: связь с верхним слоем стала вдвое проводимее, чем на самом деле, а связь с нижним — в 1252 раза слабее, хотя между средним и нижним слоями барьера нет. Сопротивление всего пути от верхнего крупного слоя до нижнего почти не изменилось — различается, какой связи оно приписано. Если ниже лежит подошвенная вода, а скважина вскрывает средний слой, модель с ремасштабированной проницаемостью почти не покажет подтягивания воды к скважине, и при адаптации его придётся «создавать» другими параметрами. Ремасштабирование проводимости ставит барьер туда, где он лежит. Данные примера условные.

Ремасштабирование проводимости важно там, где неоднородность привязана к границам ячеек: барьеры и высокопроницаемые прослои у граней, разломы и несоседние соединения угловых сеток (Сетки в гидродинамических моделях), соседние ячейки очень разного размера. В плане его решают так же, как задачу для блока, — с граничными условиями, буферной зоной и теми же сомнениями. Методы, в которых граничные условия для каждой связи берут из расчёта всей модели со скважинами, и неравномерные сетки, сохраняющие главные каналы, обсуждаются вместе с вытеснением в уроке Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции.

Ячейки со скважинами

Всё сказанное относится к линейному потоку через блок. У скважины поток радиальный: он сходится к стволу, и сопротивление каждой зоны пропорционально логарифму отношения её внешнего и внутреннего радиусов (кольцевые зоны). Мелкие ячейки, через которые проходит ствол, весят для притока несравнимо больше своей доли объёма. Именно в них геологическая модель хранит то, что измерено в скважине, — каротаж и керн. Ремасштабирование для линейного потока растворяет их в средней проницаемости ячейки.

Поэтому ячейку со скважиной ремасштабируют отдельно (near-well upscaling): решают задачу притока к скважине на мелкой сетке в самой крупной ячейке и её соседях и подбирают индекс скважины и проводимости к соседним ячейкам так, чтобы крупная модель давала тот же дебит при той же депрессии (Модель скважины в ячейке сетки).

Индекс скважины укрупнённой ячейки

\mathrm{WI}^{*} = \frac{\mu\,q}{0{,}0853\,\left(\bar p_0 - p_{wf}\right)}

где:

$\mathrm{WI}^{*}$ индекс скважины крупной ячейки, мД·м
$q$ дебит скважины в пластовых условиях по расчёту на мелкой сетке, м³/сут
$\bar p_0$ давление крупной ячейки по тому же расчёту, определённое так же, как давления соседних ячеек при расчёте проводимостей к ним, МПа
$p_{wf}$ забойное давление, МПа
$\mu$ вязкость, мПа·с

Единицы: метрические промысловые, как в уроке Модель скважины в ячейке сетки

Справедливо, если

однофазное установившееся течение к скважине; граничные условия местного расчёта — например, давление радиального притока на внешней границе области;
индекс и проводимости вокруг ячейки со скважиной рассчитывают вместе, по одному расчёту: если давление ячейки взять средним по её объёму, индекс однородной ячейки отвечает радиусу около $0{,}35\,\Delta x$ , а не $0{,}2\,\Delta x$ Писмена, и проводимости к соседям должны быть согласованы с этим;
скин-фактор ствола добавляют отдельно, если его нет в мелкой модели.

Неоднородность у ствола входит в индекс так же, как скин-фактор: лучшая порода у скважины увеличивает его, худшая — уменьшает. Подробнее о ремасштабировании у скважин — в уроке Особые вопросы ремасштабирования.

Расчётный примерСкважина в лучшей ячейке блока: оценка

Исходные данные (условные)

Расчётная ячейка: 100 × 100 м, вертикальная скважина в центре, $r_w$ = 0,1 м, скин ствола 0; ремасштабирование для линейного потока дало 60 мД
Ячейка геологической модели со стволом: 25 × 25 м, 300 мД — по каротажу и керну этой скважины
Допущение: эту ячейку заменяем кругом той же площади вокруг ствола, дальше порода 60 мД; расчёт на 1 м толщины

Решение

Эквивалентный радиус Писмена: $r_0 = 0{,}14\sqrt{100^2 + 100^2} = 19{,}8$ м. Радиус круга площадью 25 × 25 м: $r_s = 25/\sqrt{\pi} = 14{,}1$ м — меньше $r_0$ , зона целиком внутри него.
Индекс по проницаемости ячейки: $\mathrm{WI} = 2\pi\cdot60/\ln(19{,}8/0{,}1) = 2\pi\cdot60/5{,}288 = 71{,}3$ мД·м.
Зона у ствола — как скин Хокинса (Скин-фактор): $S = (60/300 - 1)\ln(14{,}1/0{,}1) = -0{,}8\cdot4{,}949 = -3{,}959$ .
Индекс с учётом зоны: $\mathrm{WI}^{*} = 2\pi\cdot60/(5{,}288 - 3{,}959) = 283{,}7$ мД·м. Средняя проницаемость кольцевых зон от $r_w$ до $r_0$ — $60\cdot5{,}288/(5{,}288 - 3{,}959) = 238{,}7$ мД.

Ответ: Модель с проницаемостью ячейки занижает индекс скважины в 4,0 раза: 71,3 вместо 283,7 мД·м на метр толщины.

Что это значит. Лучшая порода занимает 1/16 объёма ячейки и почти не меняет её проницаемость для линейного потока, но для притока к скважине она главная. При том же давлении ячейки и том же забойном давлении крупная модель без поправки покажет вчетверо меньший дебит, и при адаптации эту разницу «найдут» в отрицательном скине или в множителе индекса, не понимая, откуда она. Оценка грубая: зона не круглая, а если $r_s$ близок к $r_0$ или больше его, нужен расчёт на мелкой сетке. Данные примера условные.

Как проверить укрупнённую модель

Ремасштабирование выполняют программы, и ошибки в нём не видны на картах свойств: крупная модель выглядит правдоподобно, пока её не сравнят с мелкой. Проверки идут от простых к трудоёмким.

Объёмы. Поровый объём и запасы каждой области, пласта и сектора до и после укрупнения должны совпадать с точностью до округления. Расхождение — ошибка в весах осреднения или в доле коллектора.
Границы. Каждая $k^{*}$ , рассчитанная по самому блоку без буферной зоны, должна лежать между гармоническим и арифметическим средними его мелких ячеек, а при непроницаемых боковых гранях и периодических условиях — и между границами Кардуэлла–Парсонса. Значение вне границ — ошибка направления, единиц или двойного учёта доли коллектора.
Чувствительность к граничным условиям. Если два вида условий дают для многих блоков заметно разные значения, неоднородность сравнима с размером блока: нужны буферная зона, другой размер ячеек или ремасштабирование проводимости.
Течение на мелкой и крупной сетке. На всей модели или на характерном секторе рассчитывают однофазное установившееся течение — от грани к грани или между скважинами — и сравнивают расходы, продуктивность скважин и поле давления. Это главная проверка (пример ниже).
Укрупнение в два приёма. Если метод точен, результат не зависит от пути: укрупнение вдвое, а затем ещё вдвое даёт то же, что сразу вчетверо. Расхождение указывает на погрешность метода для данной неоднородности; у слоистых блоков его нет, потому что арифметическое и гармоническое средние можно считать по частям. Совпадение же точности не доказывает: арифметическое, геометрическое и гармоническое средние проходят эту проверку при любой неоднородности.
Барьеры и каналы. Прерывистые глинистые прослои коварны: прослой, перекрывший крупную ячейку от края до края, обнуляет её вертикальную проницаемость, хотя в мелкой модели флюид огибает прослои по их краям; беда тем вероятнее, чем ближе длина прослоев к размеру ячейки. Обратная ошибка — барьер, «растворённый» осреднением, открывает связь пластов, которой нет. Сообщаемость слоёв проверяют отдельно — расчётом вертикального потока на мелкой и крупной сетке.
Данные скважин. Произведение $kh$ модели у скважин сравнивают с результатами исследований (Анализ кривой восстановления давления), профили притока — с промысловыми замерами (проверка по поведению пласта).

РасчётСектор 600 × 600 м из примера ниже: проницаемость мелкой сетки 24 × 24 ячейки и эквивалентные проницаемости крупной сетки 6 × 6 вдоль

x

и вдоль

y

(расчёт течения в блоках 4 × 4 с непроницаемыми боковыми гранями). Вытянутые с запада на восток тела дают крупным ячейкам анизотропию:

k^{*}_x

больше

k^{*}_y

у всех 36 ячеек.

Расчётный примерСектор 600 × 600 м: мелкая и крупная сетки

Исходные данные (условные)

Мелкая модель: один слой, 24 × 24 ячейки по 25 м; логнормальная проницаемость, медиана 50 мД, $\sigma_{\ln k}$ = 1,0; тела вытянуты с запада на восток — длина корреляции около 600 м вдоль $x$ и 75 м вдоль $y$ (рисунок)
Крупная модель: 6 × 6 ячеек по 100 м — блоки 4 × 4; проницаемость блоков четырьмя способами
Проверка: установившееся течение через весь сектор с запада на восток, затем с юга на север; боковые грани сектора непроницаемы

Решение

Мелкая модель (576 уравнений): эквивалентная проницаемость сектора вдоль $x$ 78,8 мД, вдоль $y$ 50,2 мД. Средние всех ячеек: арифметическое 97,6, геометрическое 61,6, гармоническое 38,4 мД.
Крупная модель с геометрическим средним каждого блока: 62,1 и 60,2 мД — погрешность −21,2 % и +19,9 %.
Расчёт течения в блоках с непроницаемыми боковыми гранями: 77,2 и 49,3 мД — −2,0 % и −1,8 %.
С периодическими условиями (диагональ тензора): 75,5 и 48,7 мД — −4,2 % и −3,0 %; с линейными: 79,0 и 57,7 мД — +0,3 % и +14,9 %.

Ответ: Расчёт течения в блоках с непроницаемыми боковыми гранями воспроизвёл проницаемость сектора с погрешностью около 2 %; геометрическое среднее ошиблось на −21,2 % вдоль тел и на +19,9 % поперёк.

Что это значит. Геометрическое среднее не знает, что тела вытянуты: вдоль них оно занижает проводимость, поперёк — завышает. Расчёт течения в блоках вытянутость видит: у всех 36 крупных ячеек $k^{*}_x > k^{*}_y$ , в среднем в 1,5 раза (рисунок). Линейные условия завысили поток поперёк тел: на гранях блока они дают флюиду обходить плотные прослои, которые в пласте тянутся дальше блока. По двум направлениям вместе лучшими здесь оказались непроницаемые боковые грани — и проверочная задача, поток от грани к грани, на них похожа. Для потока между скважинами или наискось к сетке порядок может быть другим, поэтому проверку повторяют для своих задач. Данные примера условные: одна реализация случайного поля.

Однофазная проверка — необходимая, но не достаточная

Модель, которая верно пропускает однофазный поток, может неверно передавать вытеснение: численная дисперсия на крупных ячейках (Численная дисперсия), прорыв по тонким прослоям, сила тяжести и капиллярные силы зависят от того, что внутри ячейки. Двухфазную проверку и псевдофункции разбирает урок Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции; псевдофункции слоистого разреза при вертикальном равновесии — урок о заводнении слоистых пластов.

Термины и обозначения

Ремасштабирование (апскейлинг): перенос свойств с мелкой сетки геологической модели на крупную сетку гидродинамической модели.
Эквивалентная проницаемость блока $k^{*}$: проницаемость однородного блока, пропускающего тот же расход при том же перепаде давления и тех же граничных условиях.
Границы Винера: гармоническое и арифметическое средние — пределы эквивалентной проницаемости при любом расположении ячеек.
Границы Кардуэлла–Парсонса: арифметическое среднее гармонических средних по линиям вдоль потока и гармоническое среднее арифметических средних по сечениям; уже границ Винера.
Расчёт течения в блоке: нахождение $k^{*}$ решением уравнений ячеек детальной сетки внутри блока при заданных граничных условиях.
Граничные условия ремасштабирования: непроницаемые боковые грани, периодические, линейные; буферная зона ослабляет их влияние.
Тензор эквивалентной проницаемости: матрица $2\times2$ или $3\times3$ ; недиагональные члены описывают поток поперёк приложенного градиента.
Ремасштабирование проводимости: расчёт проводимости связи двух крупных ячеек прямо по детальной модели.
Индекс скважины укрупнённой ячейки $\mathrm{WI}^{*}$: индекс, подобранный по расчёту притока на мелкой сетке так, чтобы крупная модель давала тот же дебит при той же депрессии.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Насыщенность крупной ячейки — среднее насыщенностей мелких по их объёму».

На самом деле

Вес — поровый объём. В примере урока среднее по объёму породы завысило водонасыщенность с 0,40 до 0,52 и занизило запасы нефти на 20 %.

Неверно

«Геометрическое среднее — стандартный способ ремасштабирования проницаемости».

На самом деле

Оно точно лишь для изотропной случайной мозаики в плоском потоке. Для вытянутых тел в примере урока оно ошиблось на −21 % вдоль тел и на +20 % поперёк, а расчёт течения в блоках — примерно на 2 %.

Неверно

«Осредним каждое сечение арифметически, а сечения — гармонически: получим хорошую оценку».

На самом деле

Это верхняя граница Кардуэлла–Парсонса. Для блока урока она дала 141,8 мД, а расчёты течения — от 62,4 до 86,3 мД.

Неверно

«Расчёт течения в блоке даёт истинную проницаемость ячейки».

На самом деле

Он отвечает на вопрос с заданными граничными условиями. Для блока урока три вида условий дали от 62,4 до 86,3 мД; этот разброс уменьшают буферной зоной, размером ячеек или ремасштабированием проводимости и проверяют сравнением с мелкой моделью.

Неверно

«Индекс скважины крупной ячейки считают по формуле Писмена с её проницаемостью».

На самом деле

У скважины поток радиальный, и мелкие ячейки вдоль ствола весят несравнимо больше своего объёма. В примере урока лучшая порода в 1/16 объёма ячейки увеличила индекс скважины в 4,0 раза.

Подробно: для продвинутых

Почему границы строгие и как упорядочены граничные условия

Установившееся течение «экономно»: из всех распределений давления с заданными давлениями на гранях реализуется то, при котором рассеивается меньше всего энергии, а рассеиваемая мощность при единичном перепаде пропорциональна $k^{*}$ . Поэтому любое другое допустимое распределение давления даёт для $k^{*}$ оценку сверху. Давление, линейное вдоль потока, даёт арифметическое среднее — верхнюю границу Винера. Давление, постоянное в каждом сечении, но меняющееся вдоль потока как угодно, даёт лучшую из таких оценок — гармоническое среднее арифметических средних сечений, верхнюю границу Кардуэлла–Парсонса.

Двойственное утверждение относится к расходам: из всех распределений потока без источников с заданным суммарным расходом реализуется то, у которого потери энергии наименьшие, поэтому любое такое распределение даёт оценку снизу. Равномерный поток по всему сечению даёт гармоническое среднее — нижнюю границу Винера, поток, запертый в трубках вдоль линий ячеек, — арифметическое среднее гармонических, нижнюю границу Кардуэлла–Парсонса. Оба утверждения выполняются и для разностных уравнений ячеек, поэтому расчёт на сетке не выходит за границы.

Тот же довод упорядочивает граничные условия. Линейные условия закрепляют давление на боковых гранях, а непроницаемые грани оставляют его свободным: у второй задачи больше возможностей уменьшить рассеяние, поэтому $k^{*}$ при линейных условиях не меньше, чем при непроницаемых гранях. По той же причине она не меньше, чем при периодических. Между непроницаемыми гранями и периодическими условиями общего порядка нет: в примере урока периодические дали меньше. Границы Кардуэлла–Парсонса выполняются для непроницаемых граней и периодических условий, но не для линейных: в блоке из полос поперёк потока обе границы равны гармоническому среднему и непроницаемые грани дают ровно его, а линейные условия — больше.

Средняя скорость и тензор по расчёту в блоке

Средняя по объёму скорость фильтрации выражается через расходы на гранях блока. Внутри блока нет источников, поэтому интеграл $u_x$ по объёму равен интегралу $x\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})$ по его поверхности (теорема о дивергенции для произведения $x\mathbf{u}$ ). Для разностных уравнений ячеек то же равенство выполняется точно:

Средняя скорость фильтрации по расходам через грани блока

\langle u_x\rangle = \frac{1}{V}\sum_{f} x_f\,q_f,\qquad \langle u_y\rangle = \frac{1}{V}\sum_{f} y_f\,q_f

где:

$q_f$ расход наружу через граничную грань $f$ мелкой ячейки (втекающий — со знаком минус), м³/с
$x_f,\ y_f$ координаты центра этой грани, м
$V$ объём блока, м³

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

установившееся течение, источников внутри блока нет;
сумма — по всем граням мелких ячеек на границе блока.

При непроницаемых боковых гранях формула даёт $\langle u_x\rangle = Q/(Wh)$ — и совпадает с законом Дарси для блока. При периодических условиях она сводится к расходу через одно сечение: $\langle u_x\rangle = Q_x/(Wh)$ , $\langle u_y\rangle = Q_y/(Lh)$ , где $Q_y$ — суммарный поток на север через любую горизонтальную линию граней.

Признаки тензора, правильно рассчитанного при периодических или линейных условиях на гранях самого блока, — симметрия ( $k^{*}_{xy} = k^{*}_{yx}$ с точностью до погрешности решения) и положительная определённость ( $k^{*}_{xx}k^{*}_{yy} > (k^{*}_{xy})^2$ ). В примере урока оба недиагональных члена совпали до сотых. Несимметричный тензор при таких условиях чаще всего означает, что скорость осреднили не по объёму, а, например, по одной выходной грани. С буферной зоной симметрия не гарантирована и при верном расчёте.

Быстрые приближённые методы

Кроме расчёта течения в каждом блоке, есть способы на порядки быстрее. Ренормализация (renormalization) объединяет ячейки по 2 × 2 (в объёме — 2 × 2 × 2), заменяя каждую группу маленькой сетью сопротивлений с готовой формулой, затем объединяет полученные блоки снова — пока не дойдёт до размера крупной ячейки. Число действий пропорционально числу ячеек, но на каждом шаге часть сведений о расположении теряется, и при контрастной проницаемости погрешность накапливается.

Степенное среднее с показателем, подобранным расчётом течения для нескольких типичных блоков, переносят на остальные блоки того же строения (степенное среднее). Показатель зависит от направления: для тел, вытянутых вдоль потока, он ближе к единице, поперёк — к минус единице. Оба способа проверяют сравнением с расчётом течения хотя бы на части блоков.

Связь с другими темами

Неоднородность пласта и осреднение проницаемости — средние, логнормальная проницаемость, длина корреляции и анизотропия — основа ремасштабирования.
Сетки в гидродинамических моделях — какие бывают расчётные сетки и как размер ячеек влияет на результат.
Уравнение давления для однофазной фильтрации — уравнения ячеек и проводимости, которые решает расчёт течения в блоке.
Перетоки между ячейками и проводимость — как симулятор считает перетоки между ячейками.
Модель скважины в ячейке сетки — индекс скважины и давление ячейки со скважиной.
Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции — псевдофункции и проверка ремасштабирования на вытеснении.
Особые вопросы ремасштабирования — полный тензор, ремасштабирование у скважин, мелкомасштабная неоднородность.
Вытеснение в неоднородных пластах — псевдофункции слоистого разреза при вертикальном равновесии.
Строение коллектора и поведение пласта при разработке — размеры песчаных тел и барьеров, от которых зависит выбор ячеек.
Адаптация модели к истории разработки — как ошибки ремасштабирования маскируются при адаптации.

Проверьте себя

1
Расчётная ячейка состоит из двух равных по объёму частей: пористость 0,25 и водонасыщенность 0,20; пористость 0,05 и водонасыщенность 1,00. Чему равна водонасыщенность ячейки?
1. А.0,50
2. Б.0,20
3. В.0,60
4. Г.0,33
Показать ответ
Правильный ответ: Г. 0,33
Вес — поровый объём: $\bar S_w = (0{,}25\cdot0{,}20 + 0{,}05\cdot1{,}00)/(0{,}25 + 0{,}05) = 0{,}10/0{,}30 \approx 0{,}33$ . Простое среднее 0,60 дало бы плотной части, почти не содержащей пор, вес половины и почти вдвое завысило бы воду в ячейке.
2
Блок из 3 × 2 одинаковых ячеек: вдоль потока в первой линии 200, 150 и 250 мД, во второй — 20, 30 и 10 мД. Найдите границы Винера и Кардуэлла–Парсонса для потока вдоль линий. Нужен ли здесь расчёт течения?
Показать ответ
Винер: арифметическое среднее $660/6 = 110$ мД, гармоническое $6/0{,}199 \approx 30{,}2$ мД. Кардуэлл–Парсонс: гармонические средние линий $3/0{,}015667 \approx 191{,}5$ и $3/0{,}1833 \approx 16{,}4$ мД, нижняя граница — их среднее, около 104 мД; средние сечений 110, 90 и 130 мД, верхняя граница $3/(1/110 + 1/90 + 1/130) \approx 107{,}5$ мД. Блок почти слоистый вдоль потока, границы различаются меньше чем на 4 %, и любое значение между ними годится; расчёт течения (он даёт около 104,7 мД) почти ничего не добавляет.
3
Какие граничные условия дают наибольшую эквивалентную проницаемость блока вдоль приложенного градиента?
1. А.Периодические
2. Б.Непроницаемые боковые грани
3. В.Линейные
4. Г.Любые из трёх — зависит от блока
Показать ответ
Правильный ответ: В. Линейные
Линейные условия закрепляют давление на боковых гранях так, как в однородном пласте, и позволяют флюиду входить и выходить через них. Из-за этого рассеяние энергии не меньше, чем в задачах с более свободными гранями, и $k^{*}$ при линейных условиях не меньше, чем при непроницаемых гранях и при периодических условиях. Между двумя последними общего порядка нет.
4
Два крупных слоя по 4 м составлены из мелких слоёв по 1 м. В верхнем вертикальная проницаемость мелких слоёв 50, 50, 50 и 0,02 мД (прослой у подошвы), в нижнем — четыре слоя по 50 мД. Найдите вертикальную проводимость между центрами крупных слоёв на 1 м² сечения по проницаемостям крупных слоёв и прямо по мелким слоям.
Показать ответ
Проницаемость верхнего крупного слоя $4/(3/50 + 1/0{,}02) = 4/50{,}06 \approx 0{,}0799$ мД, нижнего 50 мД. По ним $T/A = 1/(2/0{,}0799 + 2/50) \approx 1/25{,}07 \approx 0{,}040$ мД/м. Прямо по мелким слоям между центрами — нижние два слоя верхнего крупного и верхние два нижнего: $T/A = 1/(1/50 + 1/0{,}02 + 1/50 + 1/50) = 1/50{,}06 \approx 0{,}020$ мД/м. Ремасштабирование проницаемости вдвое завысило проводимость через прослой: половину его сопротивления оно отнесло к верхней грани верхнего крупного слоя, где прослоя нет.
5
Длина корреляции проницаемости по горизонтали около 100 м. При каком размере расчётных ячеек в плане результат ремасштабирования сильнее всего зависит от граничных условий?
1. А.2000 м
2. Б.Не зависит от размера ячеек
3. В.10 м
4. Г.100–200 м
Показать ответ
Правильный ответ: Г. 100–200 м
В ячейке размером порядка длины корреляции есть и проводящие тела, и барьеры, но их слишком мало, чтобы они осреднились, — и ответ сильнее всего зависит от допущения о соседях. В ячейке 10 м свойства почти однородны, в ячейке 2000 м неоднородность осредняется.
6
Расчётная ячейка 200 × 200 м, 80 мД; ствол скважины ( $r_w$ = 0,1 м) проходит через уплотнённую зону — примерно круг радиусом 12 м проницаемостью 15 мД. Во сколько раз эта зона уменьшает индекс скважины по сравнению с однородной ячейкой?
Показать ответ
Эквивалентный радиус Писмена $r_0 = 0{,}14\sqrt{200^2 + 200^2} \approx 39{,}6$ м, зона внутри него. Скин зоны $S = (80/15 - 1)\ln(12/0{,}1) \approx 4{,}33\cdot4{,}79 \approx 20{,}7$ . Индекс пропорционален $1/(\ln(r_0/r_w) + S)$ : $\ln 396 \approx 5{,}98$ , отношение $5{,}98/(5{,}98 + 20{,}7) \approx 0{,}22$ — индекс меньше примерно в 4,5 раза. Ремасштабирование ячейки для линейного потока зону почти не заметит.

Обновлено: 16 октября 2026 г.