Вытеснение в неоднородных пластах

Кратко о главном

В слоистом пласте каждый прослой заводняется со своей скоростью — при одинаковых концевых точках она пропорциональна $k/\phi$ . Первая вода приходит по самому быстрому прослою, доля воды в продукции растёт ступенями по мере прорыва следующих, а охват по разрезу $E_V$ — доля подвижной нефти разреза, через которую прошла вода, — растёт с закачкой.
Если прослои связаны только через скважины, работают методы Стайлса (фронты движутся как при $M' = 1$ ) и Дикстры–Парсонса (с соотношением подвижностей). При $M' > 1$ промытый прослой проводит всё легче и забирает всё больше закачки — охват хуже; при $M' < 1$ — наоборот.
При $M' = 1$ все слоистые методы совпадают, а роль кривой доли воды разреза играет его кривая Лоренца: формула Стайлса для охвата — это формула Уэлджа.
Если прослои сообщаются ( $R_L \gg 1$ ), давление в каждом сечении выравнивается по толщине — вертикальное равновесие. Разрез заменяют одним «пластом» с псевдофункциями и считают по Баклею–Леверетту. Перетоки улучшают охват при $M' < 1$ и ухудшают при $M' > 1$ .
Сила тяжести ведёт воду к подошве. Если лучшие прослои внизу, она действует заодно с проницаемостью и вода прорывается по подошве; если наверху — выравнивает фронт. Сопоставить силу тяжести с вязкими силами помогает отношение $N_{gv}$ .
На промысле неоднородность видна по ранней первой воде и долгому росту обводнённости. По истории закачки, добычи и обводнённости строят кривую доли воды пласта: она лежит гораздо левее кривой керна и показывает, сколько воды понадобится до предельной обводнённости.

Ключевые соотношения

E_V = \dfrac{\sum_i \phi_i h_i\,\xi_i}{\sum_i \phi_i h_i}

охват по разрезу при поршневом вытеснении в прослоях; $\xi_i$ — доля длины, пройденная фронтом

E_{V,j} = C_j + (1 - F_j)\,\dfrac{\bar v}{v_j},\qquad f_{we} = \dfrac{M'F_j}{M'F_j + 1 - F_j}

метод Стайлса: момент прорыва прослоя $j$

\xi_i = \dfrac{M' - \sqrt{M'^2 + a_i\,(1 - M'^2)}}{M' - 1},\qquad a_i = \dfrac{v_i}{v_j}

метод Дикстры–Парсонса: фронт прослоя $i$ , когда прорвался прослой $j$

\hat S_w = S_{wi} + (1 - S_{wi} - S_{or})\,C_n,\quad \hat k_{rw} = k_{rw}'F_n,\quad \hat k_{ro} = k_{ro}'\,(1 - F_n)

псевдофункции при вертикальном равновесии после промывки $n$ прослоев

S_{we} = S_{wi} + N_{pD} - (1 - f_{we})\,W_{iD}

кривая доли воды пласта по истории разработки

Где чаще всего ошибаются

Считать охват по разрезу постоянным числом: он растёт с объёмом закачки и зависит от вязкости нефти.
Применять метод без перетоков к пласту с хорошей вертикальной проницаемостью или, наоборот, вертикальное равновесие — к прослоям, разделённым выдержанными глинами: при $M' \ne 1$ результаты заметно расходятся.
Объяснять ранний прорыв в гидродинамической модели высокопроницаемым прослоем, не проверив численную дисперсию грубой сетки.
Рассчитывать, что изоляция высокопроницаемого прослоя в скважине заставит воду идти по плотным, когда прослои сообщаются: вода обойдёт изолированный интервал в пласте.
Сравнивать долю воды в пластовом потоке с обводнённостью на поверхности без пересчёта через $B_o$ и $B_w$ .

После урока вы сможете

объяснить, почему в слоистом пласте вода приходит в скважины раньше, а обводнённость растёт постепенно, и определить охват по разрезу;
рассчитать заводнение прослоев без перетоков методами Стайлса и Дикстры–Парсонса: положение фронтов, охват по разрезу, долю воды в продукции и закачку в поровых объёмах;
оценить, как охват по разрезу зависит от объёма закачки, соотношения подвижностей и неоднородности ( $V_{DP}$ );
решить по $R_L$ и отношению сил тяжести и вязкости, какой предел ближе — прослои без перетоков или вертикальное равновесие, — и построить для вертикального равновесия псевдофункции разреза;
объяснить, почему перетоки улучшают охват при $M' < 1$ и ухудшают при $M' > 1$ и как порядок прослоев в разрезе вместе с силой тяжести меняет заводнение;
сравнить методы между собой и с промысловой обводнённостью и построить кривую доли воды пласта по истории разработки.

Слоистый пласт и охват по разрезу

Теория Баклея–Леверетта (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа) описывает однородный линейный элемент: вода продвигается одним фронтом, насыщенность одинакова по толщине. Реальный пласт состоит из прослоев, проницаемость которых различается в десятки раз (Неоднородность пласта и осреднение проницаемости). Закачанная вода делится между ними пропорционально их проводимости и в каждом движется со своей скоростью. По лучшему прослою она доходит до добывающих скважин, когда плотные прослои промыты лишь у нагнетательных; дальше скважины добывают воду из промытых прослоев вместе с нефтью из остальных.

Долю разреза, охваченную водой, называют охватом по разрезу $E_V$ (коэффициент охвата; в уроке Зачем закачивают воду: поддержание давления и вытеснение нефти это множитель коэффициента извлечения $E_R = E_DE_AE_V$ ). Слоистые методы этого урока считают вытеснение внутри прослоя поршневым (поршневое вытеснение): за фронтом остаётся только остаточная нефть, перед ним — начальная насыщенность. Тогда $E_V$ — доля подвижной нефти разреза, вытесненная к данному моменту, а добыча нефти в поровых объёмах разреза $N_{pD} = (1 - S_{wi} - S_{or})\,E_V$ .

Охват по разрезу при поршневом вытеснении в прослоях

E_V = \frac{\sum_i \phi_i h_i\,\xi_i}{\sum_i \phi_i h_i},\qquad \xi_i = \frac{x_{f,i}}{L}

где:

$E_V$ охват по разрезу — доля подвижной нефти разреза между рядами скважин, через которую прошла вода, —
$\phi_i,\ h_i$ пористость и толщина прослоя $i$ , —, м
$x_{f,i}$ расстояние, пройденное фронтом в прослое $i$ ; у промытого прослоя $x_{f,i} = L$ , м
$L$ расстояние между рядами нагнетательных и добывающих скважин, м

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

вытеснение в каждом прослое поршневое; прослои однородны по длине;
концевые насыщенности $S_{wi}$ и $S_{or}$ одинаковы во всех прослоях; если нет, вес прослоя — $\phi_ih_i(1 - S_{wi,i} - S_{or,i})$ ;
линейный элемент между рядами скважин: охват по площади не учитывается ( $E_A = 1$ ).

Вес прослоя — его поровый объём. Тонкий высокопроницаемый прослой почти не добавляет охвата, зато даёт почти всю раннюю воду. В уроке Зачем закачивают воду: поддержание давления и вытеснение нефти $E_V$ описан как доля толщины, через которую прошла вода, — при одинаковой пористости прослоев это то же самое.

Как пойдёт заводнение слоистого пласта, решают пять обстоятельств:

контраст проницаемости — набор $k_i$ , $\phi_i$ , $h_i$ и его меры $V_{DP}$ и $L_c$ (меры неоднородности);
соотношение подвижностей $M'$ (соотношение подвижностей): облегчает или затрудняет промывка прослоя движение воды по нему;
сообщаемость прослоев — перетекают ли вода и нефть между ними (crossflow) или прослои связаны только через скважины;
сила тяжести и порядок прослоев в разрезе — где лежат лучшие прослои: у кровли или у подошвы;
капиллярные силы — толщина капиллярной переходной зоны по сравнению с толщиной пласта.

Для расчёта нужны по каждому прослою толщина, проницаемость, пористость, неснижаемая водонасыщенность, остаточная нефтенасыщенность и концевые относительные проницаемости. В примерах урока — восемь прослоев разреза из урока Неоднородность пласта и осреднение проницаемости (16 м, $V_{DP} \approx 0{,}75$ ), у всех прослоев кривые ОФП урока Относительная проницаемость ( $S_{wi} = 0{,}22$ , $S_{or} = 0{,}25$ , $k_{ro}' = 0{,}85$ , $k_{rw}' = 0{,}25$ ), ряды нагнетательных и добывающих скважин в 500 м друг от друга и три нефти урока Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа: 1,2; 3,0 и 30 мПа·с при воде 0,5 мПа·с, то есть $M'$ = 0,706; 1,765 и 17,65.

Прослои разреза в порядке убывания скорости заводнения

Прослой: 4
$k$ , мД: 900
$k/\phi$ , мД: 3600
Доля $\phi h$: 0,085
Доля $kh$: 0,403

Прослой: 1
$k$ , мД: 310
$k/\phi$ , мД: 1348
Доля $\phi h$: 0,117
Доля $kh$: 0,208

Прослой: 8
$k$ , мД: 200
$k/\phi$ , мД: 909
Доля $\phi h$: 0,075
Доля $kh$: 0,090

Прослой: 3
$k$ , мД: 120
$k/\phi$ , мД: 571
Доля $\phi h$: 0,214
Доля $kh$: 0,161

Прослой: 6
$k$ , мД: 75
$k/\phi$ , мД: 395
Доля $\phi h$: 0,129
Доля $kh$: 0,067

Прослой: 2
$k$ , мД: 45
$k/\phi$ , мД: 250
Доля $\phi h$: 0,122
Доля $kh$: 0,040

Прослой: 5
$k$ , мД: 18
$k/\phi$ , мД: 120
Доля $\phi h$: 0,127
Доля $kh$: 0,020

Прослой: 7
$k$ , мД: 8
$k/\phi$ , мД: 62
Доля $\phi h$: 0,132
Доля $kh$: 0,011

Прослой	$k$ , мД	$k/\phi$ , мД	Доля $\phi h$	Доля $kh$
4	900	3600	0,085	0,403
1	310	1348	0,117	0,208
8	200	909	0,075	0,090
3	120	571	0,214	0,161
6	75	395	0,129	0,067
2	45	250	0,122	0,040
5	18	120	0,127	0,020
7	8	62	0,132	0,011

Номер прослоя — сверху вниз, как в уроке Неоднородность пласта и осреднение проницаемости. Доли ёмкости $\phi h$ и проводимости $kh$ — те же, что в кривой Лоренца разреза. Данные условные.

Сообщаются ли прослои — проверяют замерами

До начала разработки давление по разрезу ложится на одну линию гидростатического градиента. Через несколько лет добычи и закачки замеры опробователем пластов на кабеле в новой скважине (Замеры давления опробователем пластов на кабеле) показывают, как прослои работали: если давление по-прежнему ложится на одну линию, только сдвинутую, прослои сообщаются; если профиль «ступенчатый» — одни прослои истощены, другие поддержаны закачкой, — между ними барьеры. Как читать такие профили — в уроке Замеры давления в разрабатываемых пластах: барьеры и точность. Эти замеры и профили притока и приёмистости — главные данные для выбора метода расчёта.

Фронт в отдельном прослое

Начнём с прослоев, которые не сообщаются между собой: их разделяют выдержанные глинистые перемычки, и связаны они только через нагнетательные и добывающие скважины. Тогда на все прослои действует один и тот же перепад давления $\Delta p$ между рядами, а каждый прослой — отдельная линейная «труба» длиной $L$ .

Пусть фронт в прослое $i$ прошёл расстояние $x_{f,i}$ . Позади него течёт вода с подвижностью $\lambda_w = k_{rw}'/\mu_w$ , впереди — нефть с $\lambda_o = k_{ro}'/\mu_o$ . Сопротивления двух участков складываются, как у последовательно соединённых участков пласта (осреднение по слоям), а весь расход прослоя идёт на продвижение фронта — заполнение подвижного объёма пор:

Скорость фронта в прослое без перетоков

\phi_i\,\Delta S\,\frac{\dd x_{f,i}}{\dd t} = \frac{k_i\,\Delta p}{x_{f,i}/\lambda_w + (L - x_{f,i})/\lambda_o},\qquad \Delta S = 1 - S_{wi} - S_{or}

где:

$x_{f,i}$ положение фронта в прослое $i$ , м
$k_i,\ \phi_i$ проницаемость и пористость прослоя, м², —
$\Delta p$ перепад давления между рядами нагнетательных и добывающих скважин, общий для всех прослоев, Па
$\lambda_w,\ \lambda_o$ концевые подвижности воды и нефти $k_{rw}'/\mu_w$ и $k_{ro}'/\mu_o$ , 1/(Па·с)
$\Delta S$ подвижная насыщенность — на столько растёт водонасыщенность при прохождении фронта, —

Единицы: СИ (любая согласованная система); в метрических промысловых единицах правая часть умножается на 0,0853 — постоянную закона Дарси

Справедливо, если

поршневое вытеснение в прослое; порода и флюиды несжимаемы;
перетоков между прослоями нет; перепад давления $\Delta p(t)$ общий для всех прослоев;
капиллярное давление и сила тяжести не учитываются.

Скорость фронта пропорциональна $k_i/\phi_i$ и меняется по мере его продвижения. При $M' = \lambda_w/\lambda_o > 1$ промытая часть проводит легче нефтяной, сопротивление прослоя падает, и фронт ускоряется; при $M' < 1$ — замедляется; при $M' = 1$ скорость постоянна. Поэтому прослои прорываются в порядке убывания $k/\phi$ ; если концевые точки прослоев различаются, порядок задают ещё их концевые ОФП и подвижная насыщенность.

Если записать это уравнение для двух прослоев и поделить одно на другое, перепад давления $\Delta p(t)$ сократится: соотношение положений фронтов не зависит от того, держат ли постоянным перепад давления или суммарную закачку. Интегрирование (раздел для углублённого изучения) даёт положение фронта в прослое $i$ в тот момент, когда вода прорвалась по более быстрому прослою $j$ :

Положение фронта в прослое к прорыву более быстрого (Дикстра–Парсонс)

\xi_i = \frac{M' - \sqrt{M'^2 + a_i\,(1 - M'^2)}}{M' - 1},\qquad a_i = \frac{v_i}{v_j} = \frac{k_i/\phi_i}{k_j/\phi_j} \le 1

где:

$\xi_i$ доля длины $L$ , пройденная фронтом в прослое $i$ в момент прорыва прослоя $j$ , —
$v_i,\ v_j$ скорости прослоев $k/\phi$ , мД
$M'$ концевое соотношение подвижностей $(k_{rw}'/\mu_w)/(k_{ro}'/\mu_o)$ , —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

допущения уравнения скорости фронта; концевые точки одинаковы во всех прослоях;
при $M' = 1$ формула переходит в $\xi_i = a_i$ .

При $M' = 1$ фронт отстаёт ровно пропорционально скорости прослоя. При $M' > 1$ он отстаёт сильнее: быстрый прослой по мере промывки ускорялся. При $M' < 1$ — слабее. На этом уравнении построен метод Дикстры–Парсонса.

РасчётРазрез урока в момент, когда вода прорвалась по прослою 4 (прослои не сообщаются). Закрашено — промытая часть каждого прослоя при нефти 3,0 мПа·с (

M'

= 1,765); риски — положение фронта при нефти 1,2 мПа·с (

M'

= 0,706) и 30 мПа·с (

M'

= 17,65). Толщины прослоев в масштабе.

Метод Стайлса

Самый простой из слоистых методов — метод Стайлса (Stiles method, 1949) — принимает, что фронт в каждом прослое движется с постоянной скоростью, пропорциональной $k/\phi$ , как при $M' = 1$ . Долю воды в продукции он считает уже с настоящими подвижностями: промытые прослои дают воду с подвижностью $\lambda_w$ , остальные — нефть с $\lambda_o$ , каждый пропорционально своей проводимости $kh$ . Прослои нумеруют в порядке прорыва — по убыванию $v = k/\phi$ .

Метод Стайлса: охват и доля воды к прорыву прослоя j

E_{V,j} = C_j + (1 - F_j)\,\frac{\bar v}{v_j},\qquad f_{we,j} = \frac{M'F_j}{M'F_j + 1 - F_j},\qquad \bar v = \frac{\sum_i k_ih_i}{\sum_i \phi_ih_i}

где:

$C_j$ доля порового объёма (ёмкости $\phi h$ ) разреза в $j$ прослоях, промытых к этому моменту; здесь прослои нумеруют по порядку прорыва, —
$F_j$ доля проводимости $kh$ разреза в тех же прослоях, —
$v_j$ скорость прослоя $j$ , $k_j/\phi_j$ , мД
$\bar v$ средняя скорость разреза — проводимость, делённая на ёмкость, мД
$f_{we,j}$ доля воды в потоке на выходе в пластовых условиях сразу после прорыва прослоя $j$ , —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

поршневое вытеснение в прослоях, перетоков нет, концевые точки одинаковы;
фронты движутся с постоянными скоростями — точно при $M' = 1$ ; при других $M'$ это приближение, и метод внутренне непоследователен: в доле воды $M'$ учтён, в движении фронтов — нет;
сила тяжести и капиллярное давление не учитываются.

Первое слагаемое охвата — промытые прослои целиком, второе — непромытые: фронт прослоя $i$ прошёл долю $v_i/v_j$ длины, и сумма $\sum \phi_ih_iv_i/v_j$ равна $\sum k_ih_i/v_j$ . Доля воды — это доля проводимости промытых прослоев, «взвешенная» соотношением подвижностей.

Расчётный примерОхват по Стайлсу: восемь прослоев, нефть 3,0 мПа·с

Исходные данные (условные)

Разрез: восемь прослоев (таблица выше): $\sum\phi h$ = 2,95 м, $\sum kh$ = 2234 мД·м
Соотношение подвижностей: $M'$ = 1,765 (нефть 3,0 мПа·с, вода 0,5 мПа·с, $k_{ro}'$ = 0,85, $k_{rw}'$ = 0,25)
Объёмные коэффициенты: $B_o$ = 1,25, $B_w$ = 1,02

Решение

Средняя скорость разреза: $\bar v = 2234/2{,}95 = 757{,}3$ мД.
Первым прорывается прослой 4 ( $v = 900/0{,}25 = 3600$ мД): $C_1 = 0{,}25/2{,}95 = 0{,}0847$ , $F_1 = 900/2234 = 0{,}4029$ .
Охват: $E_V = 0{,}0847 + (1 - 0{,}4029)\cdot757{,}3/3600 = 0{,}0847 + 0{,}1256 = 0{,}210$ . Нефти добыто $0{,}53\cdot0{,}210 = 0{,}111$ порового объёма — и столько же закачано воды.
Доля воды в потоке: $\dfrac{1{,}765\cdot0{,}4029}{1{,}765\cdot0{,}4029 + 1 - 0{,}4029} = 0{,}544$ , на поверхности — 59,4 %.
Вторым прорывается прослой 1 ( $v = 310/0{,}23 = 1347{,}8$ мД): $C_2 = 0{,}595/2{,}95 = 0{,}2017$ , $F_2 = 1365/2234 = 0{,}6110$ ; $E_V = 0{,}2017 + (1 - 0{,}6110)\cdot757{,}3/1347{,}8 = 0{,}2017 + 0{,}2186 = 0{,}420$ ; доля воды 0,735, на поверхности 77,3 %.
Остальные прорывы — в таблице ниже.

Ответ: К первой воде охвачено 21 % подвижной нефти разреза, и сразу после прорыва вода составляет 59,4 % продукции на поверхности; к прорыву второго прослоя — 42 % и 77,3 %.

Что это значит. В однородном элементе с теми же кривыми ОФП вода пришла бы после закачки 0,396 порового объёма (прорыв воды), здесь — после 0,111: в 3,6 раза раньше. Прослой 4 — 6 % толщины и 8 % порового объёма разреза — несёт 40 % его проводимости, и он определяет первую воду. Сколько воды прокачано к следующим прорывам, метод Стайлса не говорит: промытые прослои уже пропускают воду, а её объём он не считает. Данные примера условные.

Метод Стайлса: восемь прорывов, нефть 3,0 мПа·с

Прорыв прослоя: 4
$C$ ; $F$: 0,085; 0,403
$E_V$: 0,210
$f_{we}$: 0,544
Обводнённость: 59,4 %

Прорыв прослоя: 1
$C$ ; $F$: 0,202; 0,611
$E_V$: 0,420
$f_{we}$: 0,735
Обводнённость: 77,3 %

Прорыв прослоя: 8
$C$ ; $F$: 0,276; 0,701
$E_V$: 0,526
$f_{we}$: 0,805
Обводнённость: 83,5 %

Прорыв прослоя: 3
$C$ ; $F$: 0,490; 0,862
$E_V$: 0,673
$f_{we}$: 0,917
Обводнённость: 93,1 %

Прорыв прослоя: 6
$C$ ; $F$: 0,619; 0,929
$E_V$: 0,755
$f_{we}$: 0,958
Обводнённость: 96,5 %

Прорыв прослоя: 2
$C$ ; $F$: 0,741; 0,969
$E_V$: 0,834
$f_{we}$: 0,982
Обводнённость: 98,5 %

Прорыв прослоя: 5
$C$ ; $F$: 0,868; 0,989
$E_V$: 0,936
$f_{we}$: 0,994
Обводнённость: 99,5 %

Прорыв прослоя: 7
$C$ ; $F$: 1,000; 1,000
$E_V$: 1,000
$f_{we}$: 1,000
Обводнённость: 100,0 %

Прорыв прослоя	$C$ ; $F$	$E_V$	$f_{we}$	Обводнённость
4	0,085; 0,403	0,210	0,544	59,4 %
1	0,202; 0,611	0,420	0,735	77,3 %
8	0,276; 0,701	0,526	0,805	83,5 %
3	0,490; 0,862	0,673	0,917	93,1 %
6	0,619; 0,929	0,755	0,958	96,5 %
2	0,741; 0,969	0,834	0,982	98,5 %
5	0,868; 0,989	0,936	0,994	99,5 %
7	1,000; 1,000	1,000	1,000	100,0 %

$C$ и $F$ — доли ёмкости и проводимости промытых прослоев; $f_{we}$ — доля воды в пластовом потоке сразу после прорыва; обводнённость — на поверхности, пересчитана из $f_{we}$ при $B_o = 1{,}25$ , $B_w = 1{,}02$ . Данные условные.

Кривая Лоренца как кривая доли воды

Точки $(C_j, F_j)$ — это кривая Лоренца разреза (меры неоднородности), а $v_j/\bar v$ — наклон её отрезка, принадлежащего прослою $j$ . Формулу охвата можно переписать как $E_V = C_j + (1 - F_j)/(\Delta F/\Delta C)_j$ — это формула Уэлджа после прорыва, где роль насыщенности играет доля ёмкости, а роль доли воды — доля проводимости. При $M' = 1$ кривая Лоренца и есть кривая доли воды слоистого разреза.

Метод Дикстры–Парсонса: охват, закачка и соотношение подвижностей

Метод Дикстры–Парсонса (Dykstra–Parsons method, 1950) не принимает $M' = 1$ : положение фронтов к каждому прорыву даёт уравнение предыдущего раздела, а в доле воды учтено, что сопротивление непромытых прослоев меняется по мере их промывки. Тот же коэффициент $V_{DP}$ авторы метода предложили как меру неоднородности, чтобы обобщить расчёты логнормальных разрезов (раздел для углублённого изучения).

Доля воды в продукции слоистого разреза без перетоков

f_{we} = \frac{\sum_{\text{пром}} M'k_ih_i}{\sum_{\text{пром}} M'k_ih_i + \sum_{\text{непром}} k_ih_i\big/\left[1 - \xi_i\,(1 - 1/M')\right]}

где:

$\sum_{\text{пром}},\ \sum_{\text{непром}}$ суммы по промытым прослоям и по прослоям, где фронт ещё не дошёл до добывающих скважин, —
$\xi_i$ доля длины, пройденная фронтом в непромытом прослое, —
$k_i,\ h_i$ проницаемость и толщина прослоя, мД, м

Единицы: безразмерная; доля воды в пластовых условиях

Справедливо, если

допущения уравнения скорости фронта: поршневое вытеснение, без перетоков, общий перепад давления;
общий множитель $\lambda_o\Delta p/L$ сокращён.

Выражение в квадратных скобках — относительное сопротивление непромытого прослоя: от 1 в начале до $1/M'$ к его прорыву. При $M' > 1$ непромытые прослои между прорывами отдают нефть всё быстрее, и доля воды в продукции может даже снижаться. Это особенность поршневой модели: в реальных прослоях её сглаживает переходная зона за фронтом.

Закачку к каждому моменту находят суммированием: непромытый прослой принял столько воды, сколько вытеснил нефти, а промытый вдобавок пропускает воду со своей подвижностью $\lambda_w$ всё время после прорыва. Выкладки — в разделе для углублённого изучения; ниже — результаты для разреза урока.

Расчётный примерТот же разрез по Дикстре–Парсонсу при трёх нефтях

Исходные данные (условные)

Разрез: восемь прослоев урока, концевые точки и скорости прослоев — как в примере по Стайлсу
Нефти: 1,2; 3,0 и 30 мПа·с: $M'$ = 0,706; 1,765 и 17,65

Решение

Момент первого прорыва (прослой 4), нефть 3,0 мПа·с. Для прослоя 1 $a = 1347{,}8/3600 = 0{,}3744$ ; $1{,}765^2 = 3{,}115$ , и $\xi = \dfrac{1{,}765 - \sqrt{3{,}115 + 0{,}3744\cdot(1 - 3{,}115)}}{1{,}765 - 1} = \dfrac{1{,}765 - \sqrt{2{,}3231}}{0{,}765} = 0{,}315$ — меньше, чем 0,3744 по Стайлсу.
Так же для остальных прослоев (рисунок выше); охват $E_V = \sum \phi_ih_i\xi_i/2{,}95 = 0{,}187$ против 0,210 по Стайлсу. Закачано и добыто $0{,}53\cdot0{,}187 = 0{,}099$ порового объёма; доля воды сразу после прорыва 0,522 против 0,544 по Стайлсу.
Первая вода при других нефтях: после 0,121 порового объёма при 1,2 мПа·с и 0,082 — при 30 мПа·с.
После закачки одного порового объёма (расчёт по шагам): $E_V$ = 0,779; 0,684 и 0,344 для нефтей 1,2; 3,0 и 30 мПа·с, доля воды в потоке 0,92; 0,89 и 0,95.
Добыча после одного порового объёма при нефти 3,0 мПа·с: $N_{pD} = 0{,}53\cdot0{,}684 = 0{,}363$ против 0,438 в однородном элементе с кривыми керна.

Ответ: После закачки одного порового объёма вода охватила 78 % подвижной нефти разреза при маловязкой нефти, 68 % — при нефти 3,0 мПа·с и только 34 % — при вязкой.

Что это значит. При $M' > 1$ промытый прослой проводит всё легче и забирает всё большую долю закачки: быстрые прослои «перехватывают» воду, и охват падает — тем сильнее, чем вязче нефть. Метод Стайлса этого не видит: его фронты одинаковы при любой нефти, и при $M' > 1$ он завышает охват к прорыву, а при $M' < 1$ занижает. Сравнение с однородным элементом показывает цену неоднородности: при той же закачке добыто на 17 % меньше. Поршневое вытеснение в прослоях — упрощение в сторону оптимизма: в действительности за фронтом в каждом прослое остаётся и подвижная нефть, которую вода добирает постепенно (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа). Данные примера условные.

РасчётОхват по разрезу в зависимости от закачки для разреза урока без перетоков (метод Дикстры–Парсонса) при трёх нефтях. Штриховая линия — однородный пласт при поршневом вытеснении: вода не выходит из пласта, пока не вытеснена вся подвижная нефть (0,53 порового объёма).

Что меняется, если…

…нефть вязче ( $M'$ больше) — быстрые прослои забирают больше воды: первая вода раньше, а охват при той же закачке меньше;
…контраст проницаемости выше ( $V_{DP}$ больше) — охват падает, и в относительном выражении тем сильнее, чем неблагоприятнее $M'$ (таблица для логнормального разреза — в разделе для углублённого изучения);
…закачано больше воды — охват растёт, но всё медленнее: последние, самые плотные прослои промываются лишь после многих поровых объёмов.

Перетоки между прослоями и вертикальное равновесие

Если прослои не разделены выдержанными перемычками, вода и нефть перетекают между ними — перетоки (crossflow). Насколько перетоки успевают выровнять давление по толщине, показывает эффективное отношение длины к толщине $R_L = (L/H)\sqrt{k_v/k_h}$ из урока об анизотропии. При $R_L \gg 1$ давление в каждом сечении практически одинаково по всей толщине — это вертикальное равновесие (vertical equilibrium, VE). При $R_L \ll 1$ перетоками можно пренебречь, и работают методы предыдущих разделов; в промежутке нужна двумерная модель разреза.

Расчётный примерКакой предел ближе для разреза урока

Исходные данные (условные)

Разрез: толщина 16 м, расстояние между рядами 500 м; средние проницаемости прослоев (урок Неоднородность пласта и осреднение проницаемости): арифметическая 139,6 мД, гармоническая 25,8 мД
Вариант 1: прослои однородны и изотропны, глин между ними нет: $k_v$ пачки — гармоническое среднее
Вариант 2: в прослоях тонкие глинистые прослойки: $k_v/k_h$ пачки = 0,01
Вариант 3: между прослоями выдержанные глинистые перемычки: $k_v/k_h$ пачки = 0,0001

Решение

Вариант 1: $k_v/k_h = 25{,}8/139{,}6 = 0{,}1848$ ; $R_L = (500/16)\sqrt{0{,}1848} = 31{,}25\cdot0{,}4299 = 13{,}4$ .
Вариант 2: $R_L = 31{,}25\cdot\sqrt{0{,}01} = 3{,}1$ .
Вариант 3: $R_L = 31{,}25\cdot\sqrt{0{,}0001} = 0{,}31$ .

Ответ:

R_L

≈ 13,4, 3,1 и 0,31: один и тот же набор прослоев может вести себя как вертикальное равновесие, как промежуточный случай или как прослои без перетоков.

Что это значит. Набор проницаемостей не решает, каким методом считать: решают перемычки, которых на диаграмме проницаемости может быть и не видно. Сообщаемость проверяют замерами давления по прослоям, сопоставлением профилей приёмистости и притока и корреляцией глинистых прослоев между скважинами (Корреляция скважин). При $R_L$ около 1–5 ни один предел не точен, и разрез считают двумерной моделью с несколькими вариантами проводимости перемычек. Данные примера условные.

При вертикальном равновесии, если сила тяжести и капиллярные силы малы, разрез ведёт себя как один пласт с псевдофункциями — насыщенностью и относительными проницаемостями, осреднёнными по толщине (псевдоотносительные проницаемости). Градиент давления в каждом сечении одинаков во всех прослоях, поэтому вода раньше всего заполняет прослои с наибольшей скоростью $k/\phi$ : порядок промывки тот же, что без перетоков. Когда промыты $n$ первых прослоев:

Псевдофункции разреза при вертикальном равновесии

\hat S_w = S_{wi} + (1 - S_{wi} - S_{or})\,C_n,\qquad \hat k_{rw} = k_{rw}'F_n,\qquad \hat k_{ro} = k_{ro}'\,(1 - F_n)

где:

$\hat S_w$ водонасыщенность, осреднённая по поровому объёму разреза в данном сечении, —
$\hat k_{rw},\ \hat k_{ro}$ псевдоотносительные проницаемости разреза для воды и нефти, —
$C_n,\ F_n$ доли ёмкости $\phi h$ и проводимости $kh$ в $n$ промытых прослоях, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

вертикальное равновесие ( $R_L \gg 1$ ); сила тяжести и капиллярное давление пренебрежимо малы;
поршневое вытеснение в прослоях; концевые точки одинаковы (в общем случае прослои входят в суммы со своими $S_{wi}$ , $S_{or}$ , $k_{rw}'$ , $k_{ro}'$ );
порядок промывки — по убыванию $k/\phi$ ; при сильной сегрегации — снизу вверх (следующий раздел).

Псевдофункции описывают однородный пласт той же толщины, который ведёт себя как слоистый разрез. Доля воды по ним $\hat f_w = M'F_n/(M'F_n + 1 - F_n)$ — то же выражение, что у Стайлса, но теперь это кривая $\hat f_w(\hat S_w)$ для одномерной задачи Баклея–Леверетта. Её точки образуют ломаную; вместо касательной Уэлджа над точками натягивают «нить» от $(S_{wi}, 0)$ до $(1 - S_{or}, 1)$ — выпуклую вверх огибающую. Каждый её прямолинейный отрезок — отдельный фронт, который доходит до скважин после закачки $1/\text{наклон}$ поровых объёмов.

Псевдофункции разреза урока, нефть 3,0 мПа·с

Промыт прослой: 4
$\hat S_w$: 0,265
$\hat k_{rw}$: 0,101
$\hat k_{ro}$: 0,508
$\hat f_w$: 0,544

Промыт прослой: 1
$\hat S_w$: 0,327
$\hat k_{rw}$: 0,153
$\hat k_{ro}$: 0,331
$\hat f_w$: 0,735

Промыт прослой: 8
$\hat S_w$: 0,366
$\hat k_{rw}$: 0,175
$\hat k_{ro}$: 0,255
$\hat f_w$: 0,805

Промыт прослой: 3
$\hat S_w$: 0,480
$\hat k_{rw}$: 0,215
$\hat k_{ro}$: 0,118
$\hat f_w$: 0,917

Промыт прослой: 6
$\hat S_w$: 0,548
$\hat k_{rw}$: 0,232
$\hat k_{ro}$: 0,060
$\hat f_w$: 0,958

Промыт прослой: 2
$\hat S_w$: 0,613
$\hat k_{rw}$: 0,242
$\hat k_{ro}$: 0,026
$\hat f_w$: 0,982

Промыт прослой: 5
$\hat S_w$: 0,680
$\hat k_{rw}$: 0,247
$\hat k_{ro}$: 0,009
$\hat f_w$: 0,994

Промыт прослой: 7
$\hat S_w$: 0,750
$\hat k_{rw}$: 0,250
$\hat k_{ro}$: 0,000
$\hat f_w$: 1,000

Промыт прослой	$\hat S_w$	$\hat k_{rw}$	$\hat k_{ro}$	$\hat f_w$
4	0,265	0,101	0,508	0,544
1	0,327	0,153	0,331	0,735
8	0,366	0,175	0,255	0,805
3	0,480	0,215	0,118	0,917
6	0,548	0,232	0,060	0,958
2	0,613	0,242	0,026	0,982
5	0,680	0,247	0,009	0,994
7	0,750	0,250	0,000	1,000

Прослои промываются по убыванию $k/\phi$ ; до начала закачки $\hat S_w$ = 0,22, $\hat k_{ro}$ = 0,85. Данные условные.

Расчётный примерТот же разрез при вертикальном равновесии

Исходные данные (условные)

Разрез и нефть: восемь прослоев урока, нефть 3,0 мПа·с ( $M'$ = 1,765); псевдофункции — таблица выше
Сравнение: расчёт без перетоков — пример по Дикстре–Парсонсу

Решение

После промывки прослоя 4: $\hat S_w = 0{,}22 + 0{,}53\cdot0{,}0847 = 0{,}2649$ , $\hat k_{rw} = 0{,}25\cdot0{,}4029 = 0{,}1007$ , $\hat k_{ro} = 0{,}85\cdot(1 - 0{,}4029) = 0{,}5075$ , $\hat f_w = 0{,}5435$ .
Наклоны отрезков ломаной убывают от первого к последнему (12,10; 3,09; 1,77; …): ломаная уже выпукла вверх, и каждый прослой даёт свой фронт.
Первый фронт доходит до скважин после закачки $1/12{,}10 = 0{,}0826$ порового объёма — против 0,0993 без перетоков; доля воды сразу после него 0,5435.
После закачки одного порового объёма: $E_V$ = 0,64 против 0,68 без перетоков. Для нефти 1,2 мПа·с — 0,80 против 0,78, для вязкой нефти — 0,23 против 0,34.

Ответ: Перетоки ускорили первую воду и уменьшили охват при

M'

= 1,765 и 17,65 и увеличили охват при

M'

= 0,706.

Что это значит. Причина — в том, куда перетоки уводят воду. У фронта медленного прослоя при $M' > 1$ часть подошедшей к нему воды уходит в соседний, уже промытый прослой, где сопротивление меньше, и фронт отстаёт ещё сильнее; при $M' < 1$ вода, наоборот, перетекает из промытого прослоя в медленный и подгоняет его фронт (раздел для углублённого изучения). При $M' = 1$ давление во всех прослоях распределено одинаково, перетекать нечему, и все методы дают один результат. Данные примера условные.

Сила тяжести, $k_v/k_h$ и порядок прослоев

Вода тяжелее нефти. Если прослои сообщаются, попавшая в разрез вода стремится вниз, к подошве, а нефть — вверх. Насколько быстро идёт это разделение по сравнению с продвижением воды между рядами скважин, показывает отношение двух времён: за которое закачиваемая вода проходит расстояние $L$ и за которое нефть всплывает (а вода опускается) на толщину $H$ .

Отношение сил тяжести и вязкости в разрезе

N_{gv} = \frac{k_v\,k_{ro}'\,\Delta\rho\,g\,L}{\mu_o\,u_t\,H}

где:

$N_{gv}$ отношение времени прохождения расстояния $L$ ко времени вертикального разделения фаз на толщине $H$ , —
$k_v$ вертикальная проницаемость пачки, м²
$\Delta\rho$ разность плотностей воды и нефти в пластовых условиях, кг/м³
$g$ ускорение свободного падения, м/с²
$u_t$ суммарная скорость фильтрации вдоль пласта, м/с
$L,\ H$ расстояние между рядами скважин и толщина пачки, м
$k_{ro}',\ \mu_o$ концевая ОФП и вязкость нефти, —, Па·с

Единицы: СИ

Справедливо, если

оценка порядка величины, а не точный критерий; вертикальное движение возможно, только если прослои сообщаются ( $R_L$ не мало);
$k_v k_{ro}'\Delta\rho g/\mu_o$ — скорость фильтрации, с которой нефть всплывала бы под действием одной силы тяжести.

При $N_{gv} \gg 1$ сила тяжести успевает разделить фазы: вода собирается у подошвы и заполняет разрез снизу вверх. При $N_{gv} \ll 1$ распределение воды по прослоям задают вязкие силы — порядок по $k/\phi$ . В уроке Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение то же отношение записано как $t_x/t_v$ и служит признаком сегрегированного вертикального равновесия. Гравитационное число $N_g$ урока о доле воды в потоке описывает силу тяжести вдоль наклонного пласта, $N_{gv}$ — поперёк него.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

N_{gv} = \frac{0{,}0853\,k_v\,k_{ro}'\,(0{,}00981\,\Delta\rho)\,L}{\mu_o\,u_t\,H}

$k_v$ — мД, $\Delta\rho$ — г/см³, $\mu_o$ — мПа·с, $u_t$ — м/сут, $L$ и $H$ — м.

0,0853 — постоянная закона Дарси в метрических промысловых единицах (Проницаемость горных пород); $0{,}00981\,\Delta\rho$ — градиент давления в МПа/м, создаваемый разностью плотностей (Капиллярное давление и переходная зона).

Расчётный примерСила тяжести и капиллярные силы в разрезе урока

Исходные данные (условные)

Вертикальная проницаемость: 25,8 мД (прослои без глин, вариант 1 предыдущего примера); с тонкими глинистыми прослойками — 1,40 мД ( $k_v/k_h$ = 0,01)
Флюиды: $\Delta\rho$ = 1,04 − 0,80 = 0,24 г/см³; нефть 3,0 или 1,2 мПа·с; $k_{ro}'$ = 0,85
Скорость фильтрации: 0,0708 м/сут — как в элементе урока Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа
Капиллярное давление пропитки: от 0,04 МПа при $S_{wi}$ до нуля (условная кривая урока Уравнения двухфазной фильтрации)

Решение

Скорость гравитационного всплытия нефти: $0{,}0853\cdot25{,}8\cdot0{,}85\cdot0{,}00981\cdot0{,}24/3{,}0 = 0{,}00147$ м/сут.
$N_{gv} = 0{,}00147\cdot500/(0{,}0708\cdot16) = 0{,}65$ ; для нефти 1,2 мПа·с скорость всплытия в 2,5 раза больше, и $N_{gv}$ = 1,6.
С тонкими глинистыми прослойками $k_v$ меньше в $25{,}8/1{,}40 \approx 18{,}4$ раза, и $N_{gv}$ = 0,035 при нефти 3,0 мПа·с.
Высота капиллярной переходной зоны при пропитке: $0{,}04/(0{,}00981\cdot0{,}24) = 17$ м — как вся толщина разреза.

Ответ: При хорошей вертикальной проницаемости

N_{gv}

≈ 0,65–1,6: сила тяжести сопоставима с вязкими силами; с глинистыми прослойками — 0,035, и ею можно пренебречь.

Что это значит. Для разреза урока ни один предел не точен: при хорошей вертикальной проницаемости вода заметно опускается к подошве, но не успевает разделиться полностью, а капиллярная переходная зона сравнима с толщиной пласта — течение ни диффузное (насыщенность одинакова по толщине), ни сегрегированное с резким разделом. Такой разрез считают двумерной моделью; капиллярное равновесие можно учесть и в псевдофункциях, если $R_L$ велико. Чем медленнее закачка, тем больше $N_{gv}$ и тем сильнее сказывается сила тяжести. Данные примера условные.

В пределе сильной сегрегации вода заполняет разрез снизу вверх, и порядок промывки задаёт уже не скорость прослоев, а их положение. Псевдофункции те же, только прослои входят в суммы снизу вверх. Тогда важно, где лежат лучшие прослои:

проницаемость растёт вниз — так часто устроены русловые песчаники, в которых зерно мельчает снизу вверх: сила тяжести и проницаемость гонят воду к подошве вместе, вода прорывается по нижним прослоям, а у кровли остаётся невыработанная нефть;
проницаемость растёт вверх — песчаники баров и береговых валов, в которых зерно укрупняется вверх: сила тяжести тянет воду вниз, проницаемость — вверх, и фронт выравнивается.

Сильная сегрегация: те же восемь прослоев в разном порядке, нефть 1,2 мПа·с

Порядок промывки: без силы тяжести: порядок по $k/\phi$
Первая вода, $W_{iD}$: 0,139
Фронтов: 8
$E_V$ после 0,53 порового объёма: 0,65

Порядок промывки: снизу вверх, проницаемость растёт вниз
Первая вода, $W_{iD}$: 0,139
Фронтов: 8
$E_V$ после 0,53 порового объёма: 0,65

Порядок промывки: снизу вверх, порядок прослоев урока
Первая вода, $W_{iD}$: 0,530
Фронтов: 1
$E_V$ после 0,53 порового объёма: 1,00

Порядок промывки: снизу вверх, проницаемость растёт вверх
Первая вода, $W_{iD}$: 0,530
Фронтов: 1
$E_V$ после 0,53 порового объёма: 1,00

Порядок промывки	Первая вода, $W_{iD}$	Фронтов	$E_V$ после 0,53 порового объёма
без силы тяжести: порядок по $k/\phi$	0,139	8	0,65
снизу вверх, проницаемость растёт вниз	0,139	8	0,65
снизу вверх, порядок прослоев урока	0,530	1	1,00
снизу вверх, проницаемость растёт вверх	0,530	1	1,00

Расчёт по псевдофункциям при вертикальном равновесии; при сильной сегрегации прослои промываются снизу вверх. «Проницаемость растёт вниз» и «вверх» — те же восемь прослоев, переложенные по возрастанию проницаемости к подошве или к кровле. Однородный пласт при поршневом вытеснении дал бы первую воду после 0,53 порового объёма с $E_V$ = 1. Данные условные.

Когда лучшие прослои внизу, сила тяжести гонит воду туда же, куда и проницаемость: результат тот же, что без силы тяжести, — ранняя вода и ступенчатый рост обводнённости. Когда лучшие прослои вверху, вода идёт по всему разрезу одним фронтом. Тот же расчёт даёт один фронт и для нефти 3,0 мПа·с ( $M' > 1$ ): у подошвы лежат плотные прослои, и вода не может уйти по ним вперёд языком; лишь при вязкой нефти ( $M'$ = 17,65) она приходит раньше по нижней части разреза. В однородном горизонтальном пласте при $M' > 1$ граница вода — нефть неустойчива, и вода уходит языком по подошве; когда граница устойчива, как она наклоняется и при каком темпе закачки — урок Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение.

Капиллярная переходная зона

Капиллярные силы перераспределяют воду по толщине так же, как сила тяжести, но в обратную сторону — поднимают её. Если пласт тонок по сравнению с капиллярной переходной зоной, насыщенность по толщине почти одинакова, и работает одномерный расчёт по кривым керна (диффузный поток). Если переходная зона мала по сравнению с толщиной, раздел воды и нефти резкий (сегрегированный поток). В промежутке псевдофункции рассчитывают с капиллярно-гравитационным равновесием по толщине.

Сравнение методов и промысловая обводнённость

Методы расчёта заводнения слоистого пласта

Метод: Однородный элемент (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)
Перетоки: один слой
Соотношение подвижностей: через кривую $f_w$ керна
Что даёт: прорыв и добычу при диффузном потоке

Метод: Стайлс
Перетоки: нет
Соотношение подвижностей: только в доле воды
Что даёт: охват и обводнённость к прорыву каждого прослоя; закачку — нет

Метод: Дикстра–Парсонс
Перетоки: нет
Соотношение подвижностей: в движении фронтов и в доле воды
Что даёт: охват, обводнённость и закачку; обобщения по $V_{DP}$

Метод: Псевдофункции, вертикальное равновесие
Перетоки: полные
Соотношение подвижностей: в псевдофункциях
Что даёт: кривую доли воды разреза для одномерного расчёта; сегрегацию — при порядке снизу вверх

Метод: Двумерная модель разреза
Перетоки: любые
Соотношение подвижностей: полностью
Что даёт: промежуточные $R_L$ и $N_{gv}$ , капиллярную переходную зону, изменчивость по простиранию

Метод	Перетоки	Соотношение подвижностей	Что даёт
Однородный элемент (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)	один слой	через кривую $f_w$ керна	прорыв и добычу при диффузном потоке
Стайлс	нет	только в доле воды	охват и обводнённость к прорыву каждого прослоя; закачку — нет
Дикстра–Парсонс	нет	в движении фронтов и в доле воды	охват, обводнённость и закачку; обобщения по $V_{DP}$
Псевдофункции, вертикальное равновесие	полные	в псевдофункциях	кривую доли воды разреза для одномерного расчёта; сегрегацию — при порядке снизу вверх
Двумерная модель разреза	любые	полностью	промежуточные $R_L$ и $N_{gv}$ , капиллярную переходную зону, изменчивость по простиранию

Во всех слоистых методах вытеснение внутри прослоя поршневое; с ростом числа прослоев и при плавном распределении проницаемости расчёты сближаются с непрерывной моделью.

Разрез урока при нефти 3,0 мПа·с: что дают методы

Расчёт: Однородный элемент, кривые керна (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)
Первая вода, $W_{iD}$: 0,396
$f_{we}$ сразу после неё: 0,869
$N_{pD}$ после 0,5 порового объёма: 0,408
$N_{pD}$ после 1 порового объёма: 0,438

Расчёт: Стайлс
Первая вода, $W_{iD}$: 0,111
$f_{we}$ сразу после неё: 0,544
$N_{pD}$ после 0,5 порового объёма: —
$N_{pD}$ после 1 порового объёма: —

Расчёт: Дикстра–Парсонс
Первая вода, $W_{iD}$: 0,099
$f_{we}$ сразу после неё: 0,522
$N_{pD}$ после 0,5 порового объёма: 0,264
$N_{pD}$ после 1 порового объёма: 0,363

Расчёт: Вертикальное равновесие
Первая вода, $W_{iD}$: 0,083
$f_{we}$ сразу после неё: 0,544
$N_{pD}$ после 0,5 порового объёма: 0,239
$N_{pD}$ после 1 порового объёма: 0,341

Расчёт	Первая вода, $W_{iD}$	$f_{we}$ сразу после неё	$N_{pD}$ после 0,5 порового объёма	$N_{pD}$ после 1 порового объёма
Однородный элемент, кривые керна (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)	0,396	0,869	0,408	0,438
Стайлс	0,111	0,544	—	—
Дикстра–Парсонс	0,099	0,522	0,264	0,363
Вертикальное равновесие	0,083	0,544	0,239	0,341

$W_{iD}$ и $N_{pD}$ — в поровых объёмах (пластовые условия); $f_{we}$ — доля воды в пластовом потоке. Однородный элемент рассчитан по кривым ОФП с переходной зоной за фронтом, слоистые методы — с поршневым вытеснением в прослоях. Данные условные.

Все слоистые расчёты сходятся в главном: первая вода приходит в 3,5–5 раз раньше, чем в однородном элементе, а после закачки одного порового объёма добыто примерно на пятую часть меньше нефти. Различаются они в деталях — и тем сильнее, чем дальше $M'$ от единицы. Метод Стайлса прост и годится для оценки при $M'$ около 1; метод Дикстры–Парсонса учитывает вязкость нефти; при хорошей вертикальной сообщаемости правильнее псевдофункции вертикального равновесия, а в промежуточных случаях — модель разреза.

РасчётДоля воды в пластовом потоке на выходе в зависимости от добычи нефти (нефть 3,0 мПа·с): однородный элемент с кривыми керна, разрез урока без перетоков и при вертикальном равновесии и логнормальный разрез с тем же

V_{DP} \approx 0{,}75

из множества тонких прослоев (без перетоков).

На промысле обводнённость редко ведёт себя «по Баклею–Леверетту» — со скачком. Вода появляется рано и растёт постепенно: скважина вскрывает много прослоев, они прорываются по очереди, а по площади вода приходит к одной скважине по линиям тока разной длины. Чем раньше первая вода и чем дольше «хвост» роста обводнённости, тем сильнее неоднородность или неблагоприятнее $M'$ . Ступени обводнённости при прорыве отдельных прослоев видны по профилям притока в добывающих скважинах; их сопоставляют с профилями приёмистости нагнетательных.

Охват по площади добавляет свою неопределённость (охват по площади), и она нередко больше, чем по разрезу. Практичный путь — рассчитать охват по разрезу слоистым методом, а охват по площади уточнить так, чтобы расчёт воспроизвёл историю добычи и обводнённости (Адаптация модели к истории разработки).

Что можно и чего нельзя сделать с высокопроницаемым прослоем

Изоляция промытого прослоя в добывающей или нагнетательной скважине помогает, только если прослои не сообщаются. При перетоках вода обходит изолированный интервал в пласте и возвращается в лучший прослой уже в нескольких метрах от скважины; нужно воздействие вглубь пласта — закачка составов, снижающих проницаемость промытого прослоя, — или пересмотр системы закачки. Прежде чем решать, проверяют сообщаемость прослоев.

Кривая доли воды пласта по истории разработки

Формулы Уэлджа можно применить в обратную сторону — к истории всего пласта или участка. Средняя водонасыщенность следует из баланса, $\bar S_w = S_{wi} + N_{pD}$ ; долю воды на выходе $f_{we}$ дают замеры обводнённости; а насыщенность «на выходе» $S_{we}$ — формула Уэлджа после прорыва (добыча после прорыва):

Точка кривой доли воды пласта по истории разработки

S_{we} = S_{wi} + N_{pD} - (1 - f_{we})\,W_{iD},\qquad N_{pD} = \frac{N_pB_o}{V_p},\qquad W_{iD} = \frac{W_{inj}B_w}{V_p}

где:

$N_p,\ W_{inj}$ накопленные добыча нефти и закачка воды в стандартных условиях, м³
$V_p$ поровый объём заводняемого пласта или участка, м³
$f_{we}$ доля воды в пластовом потоке на выходе — из обводнённости продукции через $B_o$ и $B_w$ , —
$S_{we}$ условная насыщенность на выходе — абсцисса точки кривой доли воды пласта, —

Единицы: безразмерная; объёмы — в одних единицах

Справедливо, если

давление поддерживается, свободного газа нет: закачка в пластовых условиях замещает отбор;
закачка и добыча относятся к одному и тому же участку, перетоков воды за его пределы нет;
$V_p$ известен с погрешностью — она смещает все точки одинаково.

Точки $(S_{we}, f_{we})$ образуют кривую доли воды пласта — псевдокривую всего пласта, в которую вошли и неоднородность, и охват. Её наклон в каждой точке равен $1/W_{iD}$ : это следствие баланса воды, а не допущение. Поэтому касательная в последней точке, продолженная до $f_w = 1$ , даёт среднюю насыщенность, а продолжение кривой к предельной обводнённости — прогноз добычи и закачки.

Расчётный примерТри года заводнения участка

Исходные данные (условные)

Участок: поровый объём 1,5 млн м³ (пластовые условия), $S_{wi}$ = 0,22, $B_o$ = 1,25, $B_w$ = 1,02; кривые ОФП керна — урока Относительная проницаемость, нефть 3,0 мПа·с
Накопленная закачка воды: 294 100; 588 200; 882 400 м³ — на конец 1-го, 2-го и 3-го года (стандартные условия)
Накопленная добыча нефти: 153 000; 234 000; 289 400 м³ (стандартные условия)
Обводнённость продукции: 62,3; 76,6; 83,3 %

Решение

Третий год: $W_{iD} = 882\,400\cdot1{,}02/(1{,}5\cdot10^6) = 0{,}6000$ ; $N_{pD} = 289\,400\cdot1{,}25/(1{,}5\cdot10^6) = 0{,}2412$ .
Доля воды в пластовых условиях: $f_{we} = \dfrac{0{,}833\cdot1{,}02}{0{,}833\cdot1{,}02 + 0{,}167\cdot1{,}25} = 0{,}8028$ .
$\bar S_w = 0{,}22 + 0{,}2412 = 0{,}4612$ ; $S_{we} = 0{,}4612 - (1 - 0{,}8028)\cdot0{,}6000 = 0{,}3429$ .
Так же для первого и второго года: $S_{we}$ = 0,2623 и 0,3060 при $f_{we}$ = 0,5742 и 0,7276.
Проверка: наклон между вторым и третьим годом $(0{,}8028 - 0{,}7276)/(0{,}3429 - 0{,}3060) = 2{,}04$ , а $1/W_{iD}$ в середине интервала $1/0{,}500 = 2{,}00$ — почти то же: наклон хорды близок к наклону кривой в середине отрезка.
По кривой доли воды керна при тех же насыщенностях вода составляла бы лишь 0,001; 0,012 и 0,041 потока.

Ответ: Кривая доли воды пласта проходит через точки (0,2623; 0,5742), (0,3060; 0,7276) и (0,3429; 0,8028) — далеко левее кривой керна.

Что это значит. В однородном элементе с теми же кривыми вода не пришла бы до закачки 0,40 порового объёма, а здесь уже при 0,2 она составляет больше половины пластового потока: так проявляется слоистость. Продолжение кривой — прогноз. В примере история построена по модели логнормального разреза без перетоков с $V_{DP} \approx 0{,}75$ , как у разреза урока; эта модель, подобранная по трём точкам, предсказывает обводнённость 98 % после закачки 3,52 порового объёма — примерно через 18 лет при прежней закачке — с добычей 0,439 порового объёма. Однородный элемент с кривыми керна дошёл бы до неё за 1,44 порового объёма (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа), около 7 лет при той же закачке, с добычей 0,451. Неоднородность здесь стоит не столько нефти, сколько времени и воды: прокачать придётся в 2,4 раза больше. На реальном месторождении подбор модели по истории неоднозначен, и прогноз проверяют по новым замерам. Данные примера условные.

РасчётКривая доли воды пласта по трём годам истории участка (точки) и её продолжение по подобранной модели логнормального разреза (сплошная линия) в сравнении с кривой доли воды керна для той же нефти (штриховая). Пластовая кривая лежит далеко левее: при одной и той же «насыщенности на выходе» вода приходит по лучшим прослоям.

Термины и обозначения

Охват по разрезу $E_V$: доля подвижной нефти разреза между нагнетательными и добывающими скважинами, через которую прошла вода; растёт с закачкой.
Прослои без перетоков: прослои, разделённые выдержанными перемычками и связанные только через скважины: на все действует один перепад давления.
Переток (crossflow): перемещение воды и нефти между соседними прослоями поперёк напластования.
Вертикальное равновесие: состояние, при котором давление (с учётом гидростатики) в каждом сечении успевает выровняться по толщине; признак — $R_L \gg 1$ .
Псевдофункции: насыщенность и относительные проницаемости, осреднённые по толщине разреза, — свойства однородного пласта, ведущего себя как слоистый.
$N_{gv}$: отношение сил тяжести и вязкости поперёк пласта: сравнивает время вертикального разделения фаз со временем прохождения расстояния между скважинами.
Кривая доли воды пласта: зависимость доли воды на выходе от условной насыщенности $S_{we}$ , построенная по истории закачки, добычи и обводнённости.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Одномерный расчёт дал прорыв через 0,4 порового объёма — в слоистом пласте будет так же».

На самом деле

Прорыв определяет самый быстрый прослой: в разрезе урока первая вода приходит после 0,08–0,11 порового объёма, в 3,5–5 раз раньше, а обводнённость дальше растёт постепенно.

Неверно

«Перетоки между прослоями всегда помогают — вода выравнивается по разрезу».

На самом деле

При $M' < 1$ — да. При $M' > 1$ перетоки уводят воду в промытые прослои, и охват хуже, чем без перетоков: в примере урока 0,64 против 0,68 после закачки одного порового объёма.

Неверно

«Изолируем высокопроницаемый прослой в скважинах — и вода пойдёт по плотным».

На самом деле

Это работает, только если прослои не сообщаются. При перетоках вода обходит изоляцию в пласте; нужно воздействие вглубь пласта или другая система закачки.

Неверно

«Ранний прорыв в модели доказывает, что в пласте есть высокопроницаемый прослой».

На самом деле

Ранний прорыв даёт и грубая сетка модели — численная дисперсия (Численная дисперсия). Прежде чем вводить такой прослой, проверяют сходимость по сетке и профили притока.

Неверно

«Кривая доли воды по керну годится для прогноза обводнённости залежи».

На самом деле

Керн описывает вытеснение в промытой части. Обводнённость залежи определяет ещё и охват: кривая доли воды пласта по истории лежит гораздо левее кривой керна.

Подробно: для продвинутых

Вывод уравнения Дикстры–Парсонса и закачки

Обозначим $\xi = x_f/L$ и вынесем $\lambda_o$ из знаменателя уравнения скорости фронта: $x_f/\lambda_w + (L - x_f)/\lambda_o = (L/\lambda_o)\left[1 - \xi(1 - 1/M')\right]$ . Тогда $\left[1 - \xi(1 - 1/M')\right]\dd\xi = (k/\phi)\,\dd T$ , где $T = \lambda_o\int\Delta p\,\dd t/(\Delta S\,L^2)$ — «приведённое время», общее для всех прослоев. Интегрируя от нуля, получаем $\xi - (1 - 1/M')\,\xi^2/2 = (k/\phi)\,T$ .

Прослой $j$ прорывается при $\xi_j = 1$ , то есть при $(k_j/\phi_j)\,T = (1 + 1/M')/2$ . Подставив это $T$ в уравнение для прослоя $i$ и умножив на $2M'$ , получим квадратное уравнение $(M' - 1)\,\xi_i^2 - 2M'\xi_i + a_i(M' + 1) = 0$ с $a_i = (k_i/\phi_i)/(k_j/\phi_j)$ . Его корень, лежащий между нулём и единицей, — формула основного раздела.

После прорыва прослой пропускает воду с подвижностью $\lambda_w$ на всей длине, и его расход $k\lambda_w\Delta p/L$ уже не идёт на вытеснение. В тех же переменных объём воды, прошедшей через прослой, в долях его подвижного порового объёма равен $1 + (M' + 1)(a - 1)/2$ , где $a = (k/\phi)\,T\cdot 2/(1 + 1/M') \ge 1$ . Суммируя по прослоям с весами $\phi_ih_i$ , получаем закачку $W_{iD}$ , а суммируя положения фронтов — охват $E_V$ ; так построены рисунок и примеры урока.

Куда текут перетоки

Возьмём два прослоя при вертикальном равновесии: быстрый (1) и медленный (2), с проводимостями $k_1h_1$ и $k_2h_2$ . По длине пласта есть три участка: позади обоих фронтов (оба прослоя промыты), между фронтами (промыт только быстрый) и впереди обоих. На каждом участке градиент давления одинаков в обоих прослоях и определяется суммарной подвижностью столба. Позади медленного фронта его прослой несёт на единицу проводимости $q/(k_1h_1 + k_2h_2)$ , а впереди — $q/(M'k_1h_1 + k_2h_2)$ , где $q$ — суммарный расход.

При $M' > 1$ второе меньше первого: медленный прослой впереди своего фронта несёт меньше, чем позади, и разница у фронта перетекает в быстрый прослой. Подошедшая к фронту вода частично уходит в промытый прослой, и фронт отстаёт сильнее, чем без перетоков. При $M' < 1$ — наоборот: у медленного фронта вода приходит из быстрого прослоя и подгоняет фронт. При $M' = 1$ потоки равны, перетекать нечему, и вертикальное равновесие даёт то же, что расчёт без перетоков. Тот же вывод следует из формы псевдокривой $\hat f_w = M'F/(M'F + 1 - F)$ : при $M' > 1$ она выпукла вверх сильнее кривой Лоренца, и фронты расходятся сильнее; при $M' < 1$ — слабее, а при достаточно малом $M'$ отрезки огибающей сливаются, и прослои промываются общим фронтом: в разрезе урока при $M'$ = 0,1 остаётся два фронта, при 0,05 — один.

Логнормальный разрез: охват в зависимости от

V_{DP}

M'

Если прослоев много и их проницаемость распределена логнормально (логнормальное распределение), суммы метода Дикстры–Парсонса становятся интегралами по распределению $\ln k$ , и результат зависит только от $\sigma_{\ln k}$ — то есть от $V_{DP} = 1 - e^{-\sigma}$ — и от $M'$ . На этом построены обобщённые зависимости метода: охват при заданной доле воды или закачке как функция $V_{DP}$ и $M'$ .

Охват по разрезу после закачки одного порового объёма: логнормальный разрез без перетоков

$V_{DP}$: 0,50
$M'$ = 0,706: 0,93
$M'$ = 1,765: 0,86
$M'$ = 17,65: 0,51

$V_{DP}$: 0,75
$M'$ = 0,706: 0,68
$M'$ = 1,765: 0,57
$M'$ = 17,65: 0,25

$V_{DP}$: 0,90
$M'$ = 0,706: 0,37
$M'$ = 1,765: 0,28
$M'$ = 17,65: 0,10

$V_{DP}$	$M'$ = 0,706	$M'$ = 1,765	$M'$ = 17,65
0,50	0,93	0,86	0,51
0,75	0,68	0,57	0,25
0,90	0,37	0,28	0,10

Прослои одинаковой толщины и пористости, концевые точки урока, поршневое вытеснение в прослоях; интегралы по распределению вычислены численно. Данные условные.

Охват падает и с ростом неоднородности, и с ростом $M'$ , причём в относительном выражении влияние $M'$ тем сильнее, чем неоднороднее разрез. Разрез урока из восьми прослоев ( $V_{DP} \approx 0{,}75$ ) при нефти 3,0 мПа·с дал после одного порового объёма 0,68, а логнормальный разрез с тем же $V_{DP}$ — около 0,57: грубое деление на восемь прослоев срезает «хвост» самых проницаемых и самых плотных участков, как и кривая Лоренца по восьми точкам в уроке Неоднородность пласта и осреднение проницаемости. Поэтому число прослоев в расчёте — не формальность.

Связь с другими темами

Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа — одномерное вытеснение, формулы Уэлджа и прорыв однородного элемента.
Неоднородность пласта и осреднение проницаемости — меры неоднородности, кривая Лоренца, $R_L$ и восемь прослоев разреза.
Зачем закачивают воду: поддержание давления и вытеснение нефти — коэффициенты вытеснения и охвата, охват по площади.
Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей — соотношение подвижностей и сила тяжести вдоль пласта.
Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение — сегрегированное вытеснение, устойчивость раздела вода — нефть и критический темп.
Замеры давления опробователем пластов на кабеле — замеры давления по прослоям, которые показывают их сообщаемость.
Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции — псевдофункции для ячеек гидродинамической модели.
Численная дисперсия — почему грубая сетка тоже даёт ранний прорыв.
Адаптация модели к истории разработки — уточнение охвата и неоднородности по истории добычи.
Строение коллектора и поведение пласта при разработке — как строение песчаных тел определяет сообщаемость прослоев.

Проверьте себя

1
Два прослоя одинаковой толщины и пористости, 400 и 100 мД, не сообщаются; $M' = 1$ . Где находится фронт в плотном прослое, когда вода прорвалась по проницаемому, и каков охват по разрезу?
1. А.У выхода; охват 1
2. Б.На половине длины; охват 0,75
3. В.На шестнадцатой части длины; охват 0,53
4. Г.На четверти длины; охват 0,625
Показать ответ
Правильный ответ: Г. На четверти длины; охват 0,625
При $M' = 1$ скорость фронта постоянна и пропорциональна $k/\phi$ : плотный прослой прошёл $100/400 = 0{,}25$ длины. Охват — среднее по поровому объёму: $(1 + 0{,}25)/2 = 0{,}625$ .
2
Те же прослои, но $M' = 3$ . Где фронт в плотном прослое к прорыву проницаемого и почему он отстал сильнее?
Показать ответ
$\xi = \dfrac{3 - \sqrt{9 + 0{,}25\cdot(1 - 9)}}{3 - 1} = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} = \dfrac{3 - 2{,}646}{2} \approx 0{,}18$ ; охват $(1 + 0{,}18)/2 \approx 0{,}59$ . При $M' > 1$ промытая часть проницаемого прослоя проводит лучше нефтяной, его сопротивление падает, и он забирает всё большую долю общего перепада давления — его фронт ускоряется, а фронт плотного отстаёт сильнее, чем при $M' = 1$ .
3
Прослои хорошо сообщаются ( $R_L \approx 15$ ), нефть маловязкая ( $M' = 0{,}5$ ), силой тяжести можно пренебречь. Как перетоки изменят охват по сравнению с расчётом без перетоков?
1. А.Зависит только от порядка прослоев в разрезе
2. Б.Не изменят
3. В.Увеличат
4. Г.Уменьшат
Показать ответ
Правильный ответ: В. Увеличат
При $M' < 1$ промытые прослои проводят хуже непромытых. У фронта медленного прослоя вода перетекает в него из промытого быстрого и подгоняет его фронт, поэтому фронты прослоев сближаются и охват растёт. При $M' > 1$ было бы наоборот, при $M' = 1$ перетоки ничего не меняют.
4
Пачка толщиной 30 м, расстояние между рядами скважин 600 м, вертикальная проницаемость 50 мД, $k_{ro}'$ = 0,8, разность плотностей воды и нефти 0,2 г/см³, нефть 2 мПа·с, суммарная скорость фильтрации 0,05 м/сут. Важна ли сила тяжести?
Показать ответ
Скорость всплытия нефти $0{,}0853\cdot50\cdot0{,}8\cdot0{,}00981\cdot0{,}2/2 \approx 0{,}00335$ м/сут. $N_{gv} = 0{,}00335\cdot600/(0{,}05\cdot30) \approx 1{,}3$ : сила тяжести сопоставима с вязкими силами, вода заметно опускается к подошве. Если лучшие прослои внизу, это ускорит прорыв по подошве, если вверху — выровняет фронт; при снижении темпа закачки влияние силы тяжести растёт.
5
За четыре года в участок с поровым объёмом 2,0 млн м³ закачано 980 тыс. м³ воды ( $B_w$ = 1,0), добыто 400 тыс. м³ нефти ( $B_o$ = 1,2), обводнённость продукции 70 %, $S_{wi}$ = 0,25. Найдите точку кривой доли воды пласта.
Показать ответ
$W_{iD} = 980\,000/2\,000\,000 = 0{,}49$ ; $N_{pD} = 400\,000\cdot1{,}2/2\,000\,000 = 0{,}24$ . Доля воды в пласте $f_{we} = 0{,}7/(0{,}7 + 0{,}3\cdot1{,}2) = 0{,}7/1{,}06 \approx 0{,}660$ . $\bar S_w = 0{,}25 + 0{,}24 = 0{,}49$ ; $S_{we} = 0{,}49 - (1 - 0{,}660)\cdot0{,}49 \approx 0{,}49 - 0{,}167 = 0{,}323$ . Точка (0,323; 0,66): при такой насыщенности на выходе кривая керна обычно давала бы гораздо меньше воды — признак неоднородности.
6
Какой признак в истории обводнённости скорее всего указывает на сильную неоднородность по разрезу?
1. А.Обводнённость не меняется годами
2. Б.Долгий безводный период, затем быстрый рост обводнённости
3. В.Ранняя первая вода и долгий постепенный рост обводнённости
4. Г.Обводнённость снижается при росте закачки
Показать ответ
Правильный ответ: В. Ранняя первая вода и долгий постепенный рост обводнённости
Высокопроницаемые прослои приводят воду в скважины рано, а остальные прорываются по очереди, поэтому обводнённость начинает расти почти сразу и растёт долго. Долгий безводный период со скачком обводнённости — признак однородного пласта и благоприятного соотношения подвижностей.

Обновлено: 15 октября 2026 г.

Кратко о главном

После урока вы сможете

Слоистый пласт и охват по разрезу

Фронт в отдельном прослое

Метод Стайлса

Метод Дикстры–Парсонса: охват, закачка и соотношение подвижностей

Перетоки между прослоями и вертикальное равновесие

Сила тяжести, kv/khk_v/k_hkv​/kh​ и порядок прослоев

Сравнение методов и промысловая обводнённость

Кривая доли воды пласта по истории разработки

Термины и обозначения

Частые ошибки и заблуждения

Подробно: для продвинутых

Связь с другими темами

Проверьте себя

Сила тяжести, $k_v/k_h$ и порядок прослоев