Перетоки между ячейками и проводимость

Кратко о главном

Переток фазы через грань — произведение трёх множителей: проводимости связи $T_{ij}$ (геометрия и проницаемость, рассчитывается при инициализации), подвижности фазы на грани (меняется на каждом шаге) и разности потенциалов фазы в центрах ячеек.
Поток идёт через половину одной ячейки и половину другой последовательно, поэтому складываются сопротивления: $T_{ij} = 1/(1/t_i + 1/t_j)$ . Менее проводящая половина определяет связь, непроницаемая ячейка закрывает её совсем. Для общей грани это среднее гармоническое проницаемостей, взвешенное по длинам.
Давление на грани — среднее давлений центров с весами проводимостей половин: оно ближе к давлению более проводящей ячейки, и большая часть перепада теряется в менее проводящей.
Вертикальная связь тонких слоёв очень сильна: для одинаковых ячеек $T_z/T_x = (k_v/k_h)(\Delta x/\Delta z)^2$ — обычно десятки и сотни. Слои разобщает только выдержанный очень плотный прослой или нулевой множитель проводимости.
Подвижность на грани берут из ячейки, из которой течёт фаза, — для каждой фазы свою. Арифметическое среднее даёт неверное решение, которое не исправляется измельчением сетки; гармоническое запирает грань перед фронтом.
Двухточечная формула точна, когда линия центров перпендикулярна грани, а оси анизотропии совпадают с осями сетки; иначе её погрешность не исчезает при измельчении.

Ключевые соотношения

F_{\alpha} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_{\alpha\uparrow}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right)

переток фазы из ячейки $j$ в ячейку $i$ ; $\lambda_{\alpha\uparrow}$ — подвижность из ячейки выше по потоку

T_{ij} = \left(\frac{1}{t_i} + \frac{1}{t_j}\right)^{-1},\qquad t_i = \frac{k_iA}{\Delta x_i/2}

проводимость связи: две половины ячеек последовательно, мД·м

p_f = \frac{t_i\,p_i + t_j\,p_j}{t_i + t_j}

давление на общей грани

\frac{T_z}{T_x} = \frac{k_v}{k_h}\left(\frac{\Delta x}{\Delta z}\right)^2

вертикальная и горизонтальная связи одинаковых ячеек

Где чаще всего ошибаются

Осреднять проницаемости соседних ячеек арифметически: при контрасте в 100 раз проводимость завышается примерно в 25 раз.
Считать тонкий плотный прослой барьером, не задав его множителем проводимости: на площади ячейки он пропускает заметный переток.
Переносить множитель проводимости разлома из одной модели в другую: он зависит от размеров ячеек.
Брать на грани среднюю подвижность соседних ячеек или подвижность ячейки ниже по потоку.

После урока вы сможете

вывести проводимость связи из последовательного соединения двух половин ячеек, найти давление на грани и объяснить, почему проницаемости осредняют гармонически, а не арифметически;
рассчитать проводимости с геометрическими множителями декартовой, радиальной и угловой ячеек, учесть долю коллектора и оценить вертикальную связь тонких слоёв;
найти связи ячеек через разлом со смещением слоёв — несоседние соединения — и их проводимости;
объяснить взвешивание подвижности против потока, определить ячейку выше по потоку для каждой фазы с учётом силы тяжести и показать, к чему приводят арифметическое и гармоническое осреднение подвижности;
объяснить, когда двухточечная формула перетока неточна, и связать её с эффектом ориентации сетки.

Что считается на грани ячеек

Симулятор хранит свойства в ячейках: давление, насыщенности, проницаемость, пористость — по одному значению на ячейку, отнесённому к её центру (Сетки в гидродинамических моделях). Флюид же переходит из ячейки в ячейку через общие грани, и баланс каждой ячейки (баланс массы в ячейке) складывается из перетоков через её грани. Значит, для каждой пары соседей расход через грань нужно выразить через значения в двух центрах — решить, какие «средние» свойства двух ячеек действуют на грани.

Закон Дарси для фазы $\alpha$ между центрами ячеек $i$ и $j$ записывают так, чтобы отделить то, что зависит только от сетки и породы, от того, что меняется в ходе расчёта:

Переток фазы через общую грань двух ячеек

F_{\alpha} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_{\alpha\uparrow}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right),\qquad \lambda_\alpha = \frac{k_{r\alpha}}{\mu_\alpha B_\alpha},\qquad \Phi_\alpha = p_\alpha - \gamma_\alpha D

где:

$F_{\alpha}$ переток фазы $\alpha$ из ячейки $j$ в ячейку $i$ ; отрицателен, если фаза течёт из $i$ в $j$ , м³/сут (стандартные условия)
$T_{ij}$ проводимость связи: геометрия ячеек и их абсолютная проницаемость, без свойств флюида, мД·м
$\lambda_{\alpha\uparrow}$ подвижность фазы на грани, взятая из ячейки выше по потоку этой фазы (раздел ниже), 1/(мПа·с)
$k_{r\alpha},\ \mu_\alpha,\ B_\alpha$ относительная проницаемость, вязкость и объёмный коэффициент фазы, —, мПа·с, м³/м³
$\Phi_\alpha$ потенциал фазы в центре ячейки: давление фазы, приведённое к нулевой глубине, МПа
$\gamma_\alpha,\ D$ удельный вес фазы $\rho_\alpha g$ (в МПа/м — $0{,}00981\,\rho_\alpha$ при $\rho_\alpha$ в г/см³) и глубина центра ячейки, отсчитываемая вниз, МПа/м, м

Единицы: метрические промысловые: $k$ в $T_{ij}$ в мД, длины в м, $\mu$ в мПа·с, давления в МПа

Справедливо, если

закон Дарси между центрами ячеек: поток через грань определяется разностью потенциалов только этих двух ячеек (двухточечная формула; её пределы — в последнем разделе);
свойства внутри каждой ячейки однородны;
давление воды в ячейке $p_w = p_o - p_c(S_w)$ , так что капиллярное давление входит в разность потенциалов воды.

Проводимость $T_{ij}$ зависит только от сетки и породы: её рассчитывают при инициализации модели и меняют лишь множителями. Подвижность зависит от насыщенности и давления и пересчитывается на каждом шаге и каждой итерации. Для одной фазы в пластовых объёмах формула сводится к $q = 0{,}0853\,T_{ij}\,\Delta p/\mu$ из урока о гидродинамической модели.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

F_{\alpha} = 1{,}127\cdot10^{-3}\,T_{ij}\,\lambda_{\alpha\uparrow}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right)

$T_{ij}$ — мД·ft ( $k$ в мД, площадь в ft², расстояние в ft), $\mu$ — сП, $B$ — rb/STB, потенциалы — psi; $F$ — STB/сут.

$1{,}127\cdot10^{-3}$ — постоянная закона Дарси в промысловых единицах (урок Проницаемость горных пород).

Аналогия: электрическая цепь

Ячейки — узлы цепи, потенциалы — напряжения в узлах, проводимости связей — проводимости резисторов, перетоки — токи. Половины двух ячеек между их центрами — два резистора, включённых последовательно; несколько путей между двумя блоками, например несколько слоёв, соприкасающихся через разлом, — резисторы, включённые параллельно. Аналогия точна для однофазного течения; при нескольких фазах «сопротивление» каждой фазы зависит от насыщенности и меняется во времени.

Проводимость: две половины ячеек последовательно

Возьмём две соседние ячейки вдоль оси $x$ с размерами $\Delta x_i$ и $\Delta x_j$ , проницаемостями $k_i$ и $k_j$ и общей гранью площадью $A$ . Проницаемость внутри каждой ячейки постоянна, поэтому давление между центром и гранью меняется линейно, а на самой грани оно одно — $p_f$ . Сколько флюида вышло из центра ячейки $i$ к грани, столько же пришло от грани к центру ячейки $j$ : на грани флюид не накапливается. Запишем закон Дарси для каждой половины:

Закон Дарси для половин двух ячеек

q = \frac{0{,}0853\,t_i}{\mu}\,(p_i - p_f) = \frac{0{,}0853\,t_j}{\mu}\,(p_f - p_j),\qquad t_i = \frac{k_i A}{\Delta x_i/2},\quad t_j = \frac{k_j A}{\Delta x_j/2}

где:

$q$ расход из ячейки $i$ в ячейку $j$ в пластовых условиях, м³/сут
$t_i,\ t_j$ проводимости половин ячеек — от центра до общей грани, мД·м
$p_i,\ p_j,\ p_f$ давления в центрах ячеек и на общей грани, МПа
$k_i,\ k_j$ проницаемости ячеек в направлении связи, мД
$A,\ \Delta x_i,\ \Delta x_j$ площадь общей грани и размеры ячеек вдоль связи, м², м
$\mu$ вязкость флюида, мПа·с

Единицы: метрические промысловые

Справедливо, если

однофазный поток через пару ячеек; проницаемость внутри каждой ячейки однородна;
поток идёт по нормали к грани, центры ячеек лежат на нормали к ней.

Каждая половина — свой отрезок пути со своим сопротивлением $1/t$ . Неизвестное давление на грани исключают, сложив перепады на двух половинах.

Перепады на половинах равны $q\mu/(0{,}0853\,t_i)$ и $q\mu/(0{,}0853\,t_j)$ , а их сумма — полный перепад $p_i - p_j$ . Отсюда закон Дарси между центрами с проводимостью связи и давление на грани:

Проводимость связи двух ячеек

T_{ij} = \left(\frac{1}{t_i} + \frac{1}{t_j}\right)^{-1} = \frac{A}{\dfrac{\Delta x_i}{2k_i} + \dfrac{\Delta x_j}{2k_j}},\qquad \bar k = \frac{\Delta x_i + \Delta x_j}{\Delta x_i/k_i + \Delta x_j/k_j}

где:

$T_{ij}$ проводимость связи: переток между центрами равен $0{,}0853\,T_{ij}(p_i - p_j)/\mu$ , мД·м
$t_i,\ t_j$ проводимости половин ячеек, мД·м
$\bar k$ проницаемость, которая на расстоянии между центрами $(\Delta x_i + \Delta x_j)/2$ даёт ту же проводимость: $T_{ij} = \bar k A/[(\Delta x_i + \Delta x_j)/2]$ , мД
$A,\ \Delta x,\ k$ площадь общей грани, размеры и проницаемости ячеек, м², м, мД

Единицы: любые согласованные; в уроке $k$ в мД, $A$ в м², длины в м — $T$ в мД·м

Справедливо, если

те же, что для половин ячеек; если сечения половин различны (одномерная модель пласта переменной толщины или ширины), в $t_i$ и $t_j$ ставят каждая своё сечение;
для одинаковых ячеек $\bar k$ — простое среднее гармоническое $2k_ik_j/(k_i + k_j)$ .

Складываются сопротивления, поэтому связь определяет менее проводящая половина, а непроницаемая ячейка ( $k = 0$ ) закрывает связь полностью. Средняя проницаемость связи — гармоническая, взвешенная по длинам половин: это тот же закон, что для слоёв, которые поток пересекает поперёк (слои последовательно).

Давление на общей грани

p_f = \frac{t_i\,p_i + t_j\,p_j}{t_i + t_j}

где:

$p_f$ давление на общей грани ячеек, МПа
$p_i,\ p_j$ давления в центрах ячеек, МПа
$t_i,\ t_j$ проводимости половин ячеек, мД·м

Единицы: любые согласованные

Справедливо, если

однофазный поток; давление внутри каждой половины меняется линейно.

Давление на грани — среднее давлений центров с весами проводимостей половин. Оно ближе к давлению более проводящей ячейки: большая часть перепада теряется в менее проводящей половине. Симулятору $p_f$ не нужно — его исключили, — но оно показывает, где «тратится» перепад.

Расчётный примерКрупная ячейка рядом с короткой плотной: проводимость, давление на грани и ошибки осреднения

Исходные данные (условные)

Ячейка 1: $\Delta x_1$ = 240 м, $k_1$ = 180 мД
Ячейка 2: $\Delta x_2$ = 60 м, $k_2$ = 15 мД — плотная зона, разбитая на ячейки помельче
Общая грань: 200 × 8 м
Давления в центрах: $p_1$ = 18,6 МПа, $p_2$ = 18,2 МПа
Вязкость нефти: 0,9 мПа·с

Решение

Площадь грани $A = 200\cdot8 = 1600$ м². Проводимости половин: $t_1 = 180\cdot1600/120 = 2400$ мД·м, $t_2 = 15\cdot1600/30 = 800$ мД·м.
Проводимость связи: $T_{12} = 1/(1/2400 + 1/800) = 600$ мД·м. Средняя проницаемость связи на расстоянии между центрами 150 м: $\bar k = 300/(240/180 + 60/15) = 56{,}25$ мД.
Давление на грани: $p_f = (2400\cdot18{,}6 + 800\cdot18{,}2)/(2400 + 800) = 18{,}50$ МПа. На половину ячейки 1 длиной 120 м приходится 0,1 МПа, на половину ячейки 2 длиной 30 м — 0,3 МПа, то есть 75 % перепада.
Переток: $q = 0{,}0853\cdot600\cdot0{,}4/0{,}9 = 22{,}7$ м³/сут в пластовых условиях.
Для сравнения — проводимость с другими «средними» проницаемостями на том же расстоянии 150 м: среднее арифметическое 97,5 мД даёт 1040 мД·м, в 1,73 раза больше; среднее, взвешенное по длинам, 147 мД — 1568 мД·м, в 2,61 раза больше; среднее геометрическое 51,96 мД — 554 мД·м, 0,92 от верного.

Ответ: Проводимость связи — 600 мД·м, переток при перепаде 0,4 МПа — 22,7 м³/сут; 75 % перепада теряется в короткой плотной половине.

Что это значит. Среднее арифметическое завышает переток в 1,73 раза, а среднее по длинам — в 2,61: его почти целиком определяет длинная высокопроницаемая ячейка, хотя поток обязан пройти и через плотную. Геометрическое среднее здесь оказалось близко к верному случайно — при других длинах ячеек и другом контрасте оно ошибается заметно (рисунок ниже). Давление на грани показывает, где расходуется перепад: если плотную зону «растворить» в проницаемости крупной ячейки, модель неверно разместит и депрессию. Данные примера условные.

РасчётВо сколько раз «неверное» среднее проницаемостей завышает проводимость связи двух одинаковых ячеек по сравнению с верным, гармоническим, в зависимости от контраста

r = k_2/k_1

: среднее арифметическое — в

(1 + r)^2/(4r)

раз, геометрическое — в

(1 + r)/(2\sqrt r)

раз. Шкалы логарифмические.

Тонкий барьер внутри крупной ячейки

Гармоническое осреднение предполагает, что проницаемость постоянна внутри каждой ячейки. Если в крупной ячейке лежит тонкий плотный прослой, его нельзя «растворить» в проницаемости ячейки: где он лежит — у одной грани или в середине — меняет проводимости к разным соседям. Такие барьеры задают множителем проводимости на нужной грани или находят проводимости прямо по детальной модели (проницаемость или проводимость).

Геометрические множители: направления, радиальная и угловая сетки

Формула связи всегда одна — две половины последовательно, — меняется только геометрия половины: площадь, через которую проходит поток, и путь от центра до грани. В декартовой ячейке это $A/(\Delta x/2)$ . Если сечение меняется вдоль пути, сопротивление половины находят интегрированием: $1/t = \int \dd s/(k\,A(s))$ от центра до грани.

Проводимость половины ячейки в разных случаях

Связь: По $x$ в декартовой сетке
Проводимость половины $t_i$: $k_x\,\Delta y\,\Delta z\,\mathrm{NTG}/(\Delta x/2)$
Комментарий: доля коллектора NTG уменьшает горизонтальную связь

Связь: По $z$ (вертикальная)
Проводимость половины $t_i$: $k_z\,\Delta x\,\Delta y/(\Delta z/2)$
Комментарий: площадь велика, путь короток

Связь: Между кольцами радиальной сетки
Проводимость половины $t_i$: $\theta h k/\ln(r_f/r_i)$
Комментарий: $r_f$ — граница колец, $r_i$ — расчётная точка кольца

Связь: Скошенная ячейка угловой сетки
Проводимость половины $t_i$: $k\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{c})/(\mathbf{c}\cdot\mathbf{c})$
Комментарий: $\mathbf{A}$ — вектор площади грани, $\mathbf{c}$ — от центра до центра грани

Связь: Ячейка — скважина
Проводимость половины $t_i$: $2\pi kh/(\ln(r_0/r_w) + S)$
Комментарий: индекс скважины (Модель скважины в ячейке сетки)

Связь: Ячейка — граница с постоянным давлением
Проводимость половины $t_i$: $kA/(\Delta x/2)$
Комментарий: одна половина: давление задано на грани

Связь	Проводимость половины $t_i$	Комментарий
По $x$ в декартовой сетке	$k_x\,\Delta y\,\Delta z\,\mathrm{NTG}/(\Delta x/2)$	доля коллектора NTG уменьшает горизонтальную связь
По $z$ (вертикальная)	$k_z\,\Delta x\,\Delta y/(\Delta z/2)$	площадь велика, путь короток
Между кольцами радиальной сетки	$\theta h k/\ln(r_f/r_i)$	$r_f$ — граница колец, $r_i$ — расчётная точка кольца
Скошенная ячейка угловой сетки	$k\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{c})/(\mathbf{c}\cdot\mathbf{c})$	$\mathbf{A}$ — вектор площади грани, $\mathbf{c}$ — от центра до центра грани
Ячейка — скважина	$2\pi kh/(\ln(r_0/r_w) + S)$	индекс скважины (Модель скважины в ячейке сетки)
Ячейка — граница с постоянным давлением	$kA/(\Delta x/2)$	одна половина: давление задано на грани

В распространённом формате входного файла долю коллектора учитывают в горизонтальных проводимостях, а в вертикальной — нет; вертикальную проницаемость задают уже осреднённой по всей толщине ячейки (свойства ячеек).

Сравним вертикальную и горизонтальную связи одинаковых ячеек. Площадь горизонтальной грани ячейки — $\Delta x\Delta y$ , путь между центрами по вертикали — $\Delta z$ ; у вертикальной грани — $\Delta y\Delta z$ и $\Delta x$ . Ячейки моделей обычно плоские: в плане — десятки и сотни метров, по толщине — метры.

Вертикальная и горизонтальная проводимости одинаковых ячеек

\frac{T_z}{T_x} = \frac{k_v}{k_h}\left(\frac{\Delta x}{\Delta z}\right)^2

где:

$T_z,\ T_x$ проводимости связи с соседом сверху (снизу) и сбоку, мД·м
$k_v,\ k_h$ вертикальная и горизонтальная проницаемости, мД
$\Delta x,\ \Delta z$ размер ячейки в плане ( $\Delta x = \Delta y$ ) и по толщине, м

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

одинаковые однородные соседние ячейки с $\Delta x = \Delta y$ ; доля коллектора равна единице.

Отношение растёт как квадрат «сплющенности» ячеек. Даже при $k_v/k_h$ = 0,1 ячейки 100 × 100 × 3 м связаны по вертикали в сто с лишним раз сильнее, чем по горизонтали. Поэтому сила тяжести быстро расслаивает фазы между тонкими слоями модели, а предельный шаг явной схемы обычно задают вертикальные связи (почему давление считают неявно).

Расчётный примерВертикальная связь двух слоёв и тонкий плотный прослой

Исходные данные (условные)

Ячейки: 100 × 100 × 3 м, одна над другой
Проницаемость: $k_h$ = 150 мД, $k_v$ = 15 мД
Прослой: 0,2 м с проницаемостью 0,001 мД между центрами ячеек, выдержан по всей площади

Решение

Горизонтальная связь с соседней ячейкой: $T_x = \dfrac{100\cdot3}{50/150 + 50/150} = 450$ мД·м.
Вертикальная связь без прослоя: $T_z = \dfrac{100\cdot100}{1{,}5/15 + 1{,}5/15} = 50\,000$ мД·м — в 111 раз больше; по формуле $0{,}1\cdot(100/3)^2 = 111$ .
Сопротивление на 1 м² площади без прослоя: $1{,}5/15 + 1{,}5/15 = 0{,}20$ м/мД. Прослой заменяет 0,2 м породы: минус $0{,}2/15 = 0{,}0133$ , плюс $0{,}2/0{,}001 = 200$ м/мД; итого 200,19 м/мД.
Множитель вертикальной проводимости $0{,}20/200{,}19 = 0{,}000999$ ; $T_z = 50{,}0$ мД·м — это 11 % горизонтальной связи.
При разности давлений 1 МПа через прослой на площади ячейки (1 га) проходит $0{,}0853\cdot50{,}0\cdot1/1 = 4{,}3$ м³/сут жидкости вязкостью 1 мПа·с.

Ответ: Без прослоя вертикальная связь в 111 раз сильнее горизонтальной; прослой толщиной 0,2 м с проницаемостью 0,001 мД ослабляет её примерно в 1000 раз, но не разрывает: остаётся 50,0 мД·м.

Что это значит. Тонкий очень плотный прослой на площади целой ячейки всё ещё пропускает несколько кубометров в сутки на мегапаскаль перепада, а за десять лет при перепаде 1 МПа — около 16 тысяч кубометров. Если геология говорит, что прослой выдержан и герметичен, его задают нулевым множителем вертикальной проводимости. Если он прерывается, связь определяют его разрывы, а не его проницаемость, и их надо передать сеткой или проводимостями; проницаемость прослоя по керну этот вопрос не решает. Данные примера условные.

В радиальной сетке сечение растёт с радиусом, и интегрирование вместо отношения длины к площади даёт логарифм — формулу Дюпюи для каждой половины кольца (Установившийся радиальный приток):

Проводимость между кольцами радиальной сетки

t_i = \frac{\theta\,h\,k_i}{\ln(r_f/r_i)},\qquad t_{i+1} = \frac{\theta\,h\,k_{i+1}}{\ln(r_{i+1}/r_f)},\qquad T = \left(\frac{1}{t_i} + \frac{1}{t_{i+1}}\right)^{-1}

где:

$\theta$ угол сектора; полный круг — $2\pi$ , рад
$h$ толщина слоя колец, м
$k_i,\ k_{i+1}$ проницаемость колец, мД
$r_i,\ r_{i+1}$ радиусы расчётных точек колец, м
$r_f$ радиус границы между кольцами, м

Единицы: $k$ в мД, длины в м — $T$ в мД·м (логарифм натуральный)

Справедливо, если

внутри каждой половины кольца — установившийся радиальный поток в однородной породе;
при одинаковой проницаемости колец $T = \theta h k/\ln(r_{i+1}/r_i)$ , и положение границы $r_f$ не важно.

Индекс скважины — та же проводимость половины, от стенки скважины до эквивалентного радиуса ячейки $r_0$ (индекс скважины). Логарифмическая сетка (радиальная сетка) делает проводимости всех колец одинаковыми.

В угловой геометрии (угловая сетка) ячейка — скошенный шестигранник, и путь от центра ячейки до центра грани не перпендикулярен грани. Распространённая формула учитывает это проекцией:

Проводимость половины скошенной ячейки

t_i = k_i\,\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{c}_i}{\mathbf{c}_i\cdot\mathbf{c}_i}

где:

$\mathbf{A}$ вектор площади общей грани: направлен по нормали к ней, по модулю равен её площади, м²
$\mathbf{c}_i$ вектор от центра ячейки $i$ до центра грани, м
$k_i$ проницаемость ячейки в направлении связи, мД

Единицы: $k$ в мД, длины в м — $t$ в мД·м

Справедливо, если

двухточечная формула: переток по давлениям двух ячеек;
доля коллектора и множители проводимости — дополнительными сомножителями.

Для прямоугольной ячейки $\mathbf{A}\cdot\mathbf{c} = A\,\Delta x/2$ и $\mathbf{c}\cdot\mathbf{c} = (\Delta x/2)^2$ — получается $kA/(\Delta x/2)$ . Если вектор $\mathbf{c}$ отклонён от нормали на угол $\varphi$ при том же расстоянии до плоскости грани, проводимость умножается на $\cos^2\varphi$ , то есть уменьшается. Формулу перетока по давлениям только двух ячеек называют двухточечной (two-point flux approximation, TPFA); когда она перестаёт быть точной — в последнем разделе.

Разломы, барьеры и несоседние соединения

Разлом влияет на перетоки двумя путями. Первый — геометрия: смещение крыльев меняет, какие слои соприкасаются и на какой площади. Второй — свойства самой зоны разлома: перетёртая порода и глинистая примазка добавляют своё сопротивление (экранирование разломами). Первое модель с угловой геометрией учитывает сама, второе задают множителем проводимости.

Когда крылья смещены, ячейка слоя 2 одного крыла может соприкасаться со слоями 1 и 2 другого. Связи между ячейками, которые не соседи по номерам $(i, j, k)$ , называют несоседними соединениями (non-neighbour connections, NNC). Их проводимость считают по той же формуле двух половин, только площадь — это площадь перекрытия ячеек на плоскости разлома. Так же устроены связи через выклинившийся слой (ячейка верхнего слоя соединяется прямо с нижним), между крупной сеткой и вложенной мелкой (локальное измельчение), с водоносным горизонтом. Для симулятора всё это — строки одного списка связей: пара ячеек и проводимость.

Множитель проводимости разлома для ячеек разного размера

F = \frac{\dfrac{d_i}{k_i} + \dfrac{d_j}{k_j}}{\dfrac{d_i}{k_i} + \dfrac{d_j}{k_j} + \dfrac{l_f}{k_f}}

где:

$F$ множитель к проводимости связи без разлома, от 0 до 1, —
$d_i,\ d_j$ расстояния от центров ячеек до плоскости разлома, м
$k_i,\ k_j$ проницаемости ячеек поперёк разлома, мД
$l_f,\ k_f$ ширина зоны разлома и её проницаемость; в формулу входит только отношение $l_f/k_f$ , м, мД

Единицы: безразмерная; длины и проницаемости — каждые в одних единицах

Справедливо, если

зона разлома тонкая по сравнению с ячейками; однофазный поток поперёк разлома;
для одинаковых ячеек формула переходит в множитель урока о частично проводящих разломах.

Зона разлома — третий «резистор» в цепочке. Множитель зависит от размеров ячеек: при измельчении сопротивление половин уменьшается, а сопротивление зоны — нет, и тот же разлом требует меньшего множителя. Поэтому из модели в модель переносят $l_f/k_f$ (сопротивление зоны разлома на единицу площади), а не множитель.

СхемаРазрез у разлома из примера ниже (схема, по вертикали в масштабе, по горизонтали — нет): правое крыло опущено на 5 м. Слой 2 левого крыла граничит со слоями 1 и 2 правого, слой 3 левого — со слоем 2 правого; стрелки — связи через разлом с их проводимостями. Слой 1 левого и слой 3 правого крыла упираются в глины.

Расчётный примерСвязи через разлом со смещением слоёв

Исходные данные (условные)

Пачка у разлома (сверху вниз): слой 1 — 4 м, 300 мД; слой 2 — 6 м, 80 мД; слой 3 — 5 м, 150 мД; над и под пачкой — непроницаемые глины
Разлом: вертикальный, правое крыло опущено на 5 м; сопротивление зоны разлома не учитываем (множитель 1)
Ячейки: 100 м поперёк разлома и 100 м вдоль него

Решение

Глубины отсчитываем от кровли слоя 1 левого крыла. Слева слои занимают 0–4, 4–10 и 10–15 м, справа — 5–9, 9–15 и 15–20 м.
Перекрытия: слой 2 слева со слоем 1 справа — 4 м (от 5 до 9 м); слой 2 слева со слоем 2 справа — 1 м (от 9 до 10 м); слой 3 слева со слоем 2 справа — 5 м (от 10 до 15 м). Слой 1 слева стоит против глин над правым крылом, слой 3 справа — против глин под левым: через разлом у них связей нет.
Проводимости по площадям перекрытия (100 м вдоль разлома, по 50 м от центров до разлома): $T_{2\text{–}1} = 400/(50/80 + 50/300) = 505$ ; $T_{2\text{–}2} = 100/(50/80 + 50/80) = 80$ ; $T_{3\text{–}2} = 500/(50/150 + 50/80) = 522$ мД·м. Связи 2–1 и 3–2 несоседние: номера слоёв разные.
Сумма — 1107 мД·м. Без смещения каждый слой стыковался бы с самим собой: $1200 + 480 + 750 = 2430$ мД·м; смещение оставило 46 % этой связи.

Ответ: Через разлом остаются три связи суммарной проводимостью 1107 мД·м — 46 % связи без смещения; лучший слой 1 (300 мД) левого крыла через разлом не связан вовсе.

Что это значит. Даже полностью проводящий разлом может разобщить пласты одной геометрией: нефть слоя 1 левого крыла попадёт в правое крыло, только опустившись в слой 2 внутри левого крыла. Ошибка в амплитуде на пару метров меняет площади перекрытия, а значит, и проводимости; поэтому разломы с амплитудой, сравнимой с толщиной слоёв, так важны при адаптации модели. Вертикальные смещения центров ячеек относительно середины перекрытия здесь не учитывались: при таких размерах их учёт уменьшил бы проводимости меньше чем на 0,3 %. Данные примера условные.

Множитель не исправит геометрию

Если амплитуда разлома в модели неверна, множителями проводимости её не исправить: множитель меняет сопротивление существующих связей, но не создаёт связь между слоями, которые в модели не соприкасаются, а обнулив ложную связь, верной не получить. Сначала проверяют геометрию — карты, амплитуды, сопоставление разрезов скважин (Разрезы по картам, совмещение карт и разломы на картах), — а потом подбирают множители (параметры адаптации).

Подвижность на грани: взвешивание против потока

Проводимость обычно постоянна во времени, подвижность — меняется, и на фронте вытеснения подвижность фазы в соседних ячейках различается во много раз: впереди фронта вода неподвижна ( $k_{rw} = 0$ ), за ним — подвижна. Какое значение взять на грани? Для проницаемости ответ дал закон сохранения: поток последовательно проходит обе половины. Для подвижности рассуждение другое. Фаза, проходящая через грань, приходит из ячейки, откуда она течёт, и несёт насыщенность этой ячейки: насыщенность переносится потоком, и «сведения» о ней движутся вместе с флюидом. Поэтому подвижность фазы на грани берут из ячейки выше по её потоку — это взвешивание против потока (upstream weighting).

Подвижность фазы на грани (взвешивание против потока)

\lambda_{\alpha\uparrow} = \begin{cases} \lambda_\alpha(S_j,\ p_j), & \Phi_{\alpha,j} \ge \Phi_{\alpha,i}\\ \lambda_\alpha(S_i,\ p_i), & \Phi_{\alpha,j} < \Phi_{\alpha,i}\end{cases}

где:

$\lambda_{\alpha\uparrow}$ подвижность фазы $\alpha$ на грани ячеек $i$ и $j$ , 1/(мПа·с)
$S,\ p$ насыщенности и давление ячейки, по которым вычисляют подвижность, —, МПа
$\Phi_{\alpha,i},\ \Phi_{\alpha,j}$ потенциалы фазы в центрах ячеек, МПа

Единицы: как в формуле перетока

Справедливо, если

направление определяют для каждой фазы отдельно по разности её потенциалов: при силе тяжести и капиллярном давлении фазы через одну грань могут течь навстречу друг другу;
вязкость и объёмный коэффициент от ячейки к ячейке меняются мало; их берут вместе с относительной проницаемостью из ячейки выше по потоку или средними по двум ячейкам — на результат это почти не влияет;
удельный вес фазы в разности потенциалов берут средним по двум ячейкам, если фаза есть в обеих.

Вытесняющая фаза входит в ячейку, где она ещё неподвижна, с подвижностью ячейки, из которой пришла; фаза, неподвижная в ячейке выше по потоку, через грань не течёт. Поэтому насыщенности остаются в физических пределах. Цена — первый порядок точности и численное размытие фронта на несколько ячеек (Численная дисперсия).

В уроке об уравнениях двухфазной фильтрации показано главное: с подвижностью ячейки ниже по потоку вода не вошла бы в ячейку с неснижаемой водонасыщенностью, и фронт остановился бы. Посмотрим, что дают на фронте другие правила, — сначала на одной грани, затем на всём элементе пласта.

Расчётный примерОдна грань на фронте заводнения: три правила

Исходные данные (условные)

Ячейка выше по потоку (за фронтом): $S_w$ = 0,60
Ячейка ниже по потоку (перед фронтом): $S_w$ = 0,22 — неснижаемая, вода неподвижна
ОФП и флюиды: модель Кори урока Относительная проницаемость; нефть 3,0 мПа·с, вода 0,5 мПа·с (базовый случай урока Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)
Грань: $T$ = 1000 мД·м; суммарный расход через неё 20 м³/сут в пластовых условиях

Решение

За фронтом $k_{rw}$ = 0,09214 и $k_{ro}$ = 0,03622; подвижности на единицу проницаемости $\lambda_w = 0{,}09214/0{,}5 = 0{,}184$ и $\lambda_o = 0{,}03622/3{,}0 = 0{,}0121$ 1/(мПа·с). Перед фронтом $\lambda_w = 0$ , $\lambda_o = 0{,}85/3{,}0 = 0{,}2833$ .
Против потока (обе фазы текут из ячейки за фронтом): $\lambda_w = 0{,}184$ , $\lambda_o = 0{,}0121$ , сумма $\lambda_t = 0{,}196$ ; доля воды на грани $f_w = 0{,}184/0{,}196 = 0{,}94$ .
Среднее арифметическое: $\lambda_w = 0{,}184/2 = 0{,}092$ , $\lambda_o = (0{,}0121 + 0{,}2833)/2 = 0{,}1477$ , $\lambda_t = 0{,}240$ ; $f_w = 0{,}092/0{,}240 = 0{,}38$ .
Среднее гармоническое: $\lambda_w = 0$ — одна из подвижностей нулевая; $\lambda_o = 2\cdot0{,}0121\cdot0{,}2833/(0{,}0121 + 0{,}2833) = 0{,}0232$ ; $f_w = 0$ .
Через грань при 20 м³/сут: против потока — 19 м³/сут воды и 1 нефти; по среднему арифметическому — 8 и 12; по гармоническому — только нефть. Перепад на грани $20/(0{,}0853\cdot1000\cdot\lambda_t)$ : 1,2, 1,0 и 10,1 МПа.

Ответ: Против потока грань пропускает 94 % воды — столько, сколько её в потоке ячейки за фронтом; среднее арифметическое — 38 %, среднее гармоническое — ни капли, и ему нужен перепад примерно в 8 раз больше.

Что это значит. Только взвешивание против потока передаёт через грань ту смесь, которая действительно приходит из ячейки за фронтом. Среднее арифметическое добавляет к подвижности нефти подвижность нетронутой ячейки и гонит через грань в основном нефть — ячейка за фронтом теряет нефть быстрее, чем на самом деле. Среднее гармоническое запирает воду: грань пропускает только нефть и только при огромном перепаде. Что это значит для всего заводнения, показывает расчёт ниже. Данные примера условные.

РасчётВодонасыщенность одномерного элемента после закачки 0,30 порового объёма: точное решение Баклея — Леверетта и расчёт на сетке из 50 ячеек с подвижностью на гранях против потока и средней арифметической (явная схема, шаг в половину предела). Базовый случай урока Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа; пример ниже.

Расчётный примерЗаводнение элемента с разными правилами для подвижности

Исходные данные (условные)

Элемент: одномерный, горизонтальный; порода и флюиды несжимаемы; ОФП и флюиды — как в предыдущем примере
Сетки: 50 и 200 одинаковых ячеек; явная схема с шагом в половину предела устойчивости
Сравнение: после закачки 0,30 порового объёма (фронт — где водонасыщенность падает ниже 0,40) и по прорыву — 1 % воды в продукции

Решение

Точное решение: скачок водонасыщенности от 0,22 до 0,564 на 0,76 длины элемента; прорыв — после 0,40 порового объёма.
Против потока: фронт — на 0,77 длины на 50 ячейках и на 0,76 на 200; прорыв — после 0,38 и 0,39 порового объёма. На 50 ячейках фронт, размытый численной дисперсией, чуть опережает точный; с измельчением расчёт приближается к точному решению.
Среднее арифметическое: за фронтом водонасыщенность почти предельная, 0,74 при $1 - S_{or}$ = 0,75, а фронт отстаёт — 0,58 длины на 50 ячейках и 0,57 на 200; прорыв — после 0,51 и 0,52 порового объёма.
Среднее гармоническое: вода не проходит грань 1–2, пока в ячейке 2 неснижаемая водонасыщенность. Ячейка 1 заполняется водой до $1 - S_{or}$ после закачки $(1 - 0{,}25 - 0{,}22)/50 = 0{,}0106$ порового объёма, и тогда обе подвижности на грани становятся нулевыми: закачать воду в пласт модель больше не может.

Ответ: Против потока расчёт сходится к точному решению (прорыв после 0,39 порового объёма на 200 ячейках против точных 0,40); со средним арифметическим — к неверному, почти поршневому вытеснению с прорывом после 0,52 порового объёма, на 30 % позже; со средним гармоническим закачка останавливается.

Что это значит. Ошибка среднего арифметического коварна: до прорыва результат выглядит правдоподобно — ровный фронт, правдоподобные насыщенности, — а прорыв воды опаздывает почти на треть, и измельчение сетки этого не показывает. Не спасает и меньший шаг: при шаге впятеро меньше прорыв на 200 ячейках — после 0,49 порового объёма. После прорыва проявляется и нефизичность: с шагом примера у выхода водонасыщенность поднимается до 0,83 к одному поровому объёму на 50 ячейках, выше предела $1 - S_{or}$ = 0,75. Правило выносит из ячейки нефть, которая в ней уже неподвижна. Если адаптировать такую модель к истории разработки, «поздний» прорыв пришлось бы компенсировать ложными изменениями ОФП или проницаемости. Взвешивание против потока размывает фронт на несколько ячеек — это численная дисперсия, — но его ошибка убывает с измельчением. Данные примера условные.

Направление потока определяют для каждой фазы отдельно. В вертикальной связи под действием силы тяжести вода и нефть могут течь навстречу друг другу, и тогда ячейки «выше по потоку» у них разные.

Расчётный примерПротивоток в вертикальной связи: у каждой фазы своя ячейка выше по потоку

Исходные данные (условные)

Ячейки: две, одна над другой, 100 × 100 × 4 м; $k_v$ = 25 мД, пористость 0,20; скважин нет
Насыщенности: вверху $S_w$ = 0,60 (вода пришла по верхнему слою), внизу 0,22
Флюиды: плотность воды 1,04 г/см³, нефти 0,80 г/см³ (урок Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей); ОФП и вязкости — как выше; капиллярное давление не учитываем

Решение

Вертикальная проводимость: $T_z = \dfrac{100\cdot100}{2/25 + 2/25} = 62\,500$ мД·м. Удельные веса: $\gamma_w = 0{,}00981\cdot1{,}04 = 0{,}01020$ и $\gamma_o = 0{,}00981\cdot0{,}80 = 0{,}00785$ МПа/м; между центрами 4 м.
Скважин нет, всё несжимаемо, поэтому суммарный расход через грань равен нулю: сколько воды опустится, столько нефти поднимется. Вода течёт вниз — её подвижность берём из верхней ячейки, $\lambda_w = 0{,}1843$ ; нефть течёт вверх — из нижней, $\lambda_o = 0{,}2833$ 1/(мПа·с).
Разность давлений между центрами (нижний минус верхний) из условия нулевого суммарного расхода — средний гидростатический перепад с весами подвижностей: $\delta p = 4\,(\lambda_w\gamma_w + \lambda_o\gamma_o)/(\lambda_w + \lambda_o) = 0{,}0351$ МПа. Он лежит между перепадами столба воды 0,0408 и столба нефти 0,0314 МПа.
Разности потенциалов (верх минус низ): у воды $0{,}0408 - 0{,}0351 = +0{,}0057$ МПа — она течёт вниз; у нефти $0{,}0314 - 0{,}0351 = -0{,}0037$ МПа — вверх. Направления совпали с принятыми, значит, ячейки выше по потоку выбраны верно.
Переток: $0{,}0853\cdot62\,500\cdot0{,}1843\cdot0{,}0057 = 5{,}6$ м³/сут воды вниз и столько же нефти вверх. Водонасыщенность нижней ячейки (поровый объём 8000 м³) растёт на 0,00070 в сутки.
С подвижностями, осреднёнными по двум ячейкам: среднее арифметическое даёт 2,8 м³/сут — вдвое меньше; среднее гармоническое — ноль: вода в нижнюю ячейку не опустится никогда.

Ответ: Вода опускается в нижнюю ячейку со скоростью 5,6 м³/сут, нефть поднимается навстречу; подвижность воды взята из верхней ячейки, нефти — из нижней.

Что это значит. Гравитационное разделение фаз (противоток фаз, Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение) модель воспроизводит только при взвешивании против потока для каждой фазы отдельно. Водонасыщенность нижней ячейки растёт примерно на 0,26 в год — это сравнимо с темпом заводнения, поэтому в мощных пластах закачанная вода «проваливается» к подошве. Капиллярное давление гидрофильной породы тянет воду в более «сухую» нижнюю ячейку в ту же сторону: с кривой пропитки урока Уравнения двухфазной фильтрации его перепад между этими насыщенностями — около 37 кПа против 9,4 кПа разности гидростатических перепадов воды и нефти, так что пропитка ускорила бы обмен в несколько раз. Данные примера условные.

Направление может меняться в ходе итераций

В полностью неявной схеме подвижность берут из ячейки выше по потоку по потенциалам конца шага, а они уточняются итерациями. Если на какой-то грани разность потенциалов фазы близка к нулю, направление может переключаться от итерации к итерации, и производные в якобиане меняются скачком; симуляторы гасят такие колебания, например закрепляя направление на время итераций (итерации Ньютона). Схемы, которые берут подвижность по двум ячейкам выше по потоку или с ограничителями, уменьшают размытие фронта (способы уменьшить дисперсию).

Двухточечная формула, шаблон схемы и эффект ориентации сетки

Двухточечная формула связывает ячейку только с соседями по граням: в двумерной декартовой сетке — с четырьмя (пятиточечная схема), в трёхмерной — с шестью. Это экономно: в каждой строке системы уравнений семь ненулевых чисел, и системы решаются быстрее (Решение систем линейных уравнений в симуляторах). Но у такой схемы два известных ограничения.

СхемаШаблоны схемы на двумерной сетке (схема): (а) пятиточечный — ячейка связана с четырьмя соседями по граням; (б) девятиточечный — добавлены связи с диагональными соседями; (в) при пятиточечном шаблоне поток к скважине на диагонали идёт «лесенкой» через грани, а к скважине на той же строке — напрямую.

Первое — эффект ориентации сетки. Поток вдоль строки ячеек идёт по прямой цепочке, а диагональный — «лесенкой» через соседей по граням. Подвижность на каждой грани взята из ячейки выше по потоку, и вдоль линий сетки вытесняющая фаза продвигается легче, чем по диагонали. При неблагоприятном соотношении подвижностей, когда вытесняющий агент подвижнее нефти, фронт неустойчив, и разница усиливается: языки агента растут вдоль линий сетки, и добывающая скважина на линии сетки получает прорыв раньше, чем скважина на диагонали на том же расстоянии (эффект ориентации, численная диффузия по направлениям). Что помогает:

девятиточечные схемы: часть проводимости передают диагональным связям, и шаблон становится почти одинаковым по всем направлениям;
ориентация сетки вдоль основного направления течения и неструктурированные сетки;
проверка: тот же расчёт на сетке, повёрнутой на 45°, и сравнение прорывов.

Второе — точность на скошенных ячейках и при повёрнутой анизотропии. Двухточечная формула считает, что поток через грань определяется разностью давлений вдоль линии центров. Это верно, если линия центров перпендикулярна грани, а оси анизотропии проницаемости совпадают с осями сетки; в общем случае — если вектор $\mathbf{K}\mathbf{n}$ (тензор проницаемости, умноженный на нормаль к грани) направлен вдоль линии центров. Такую сетку называют K-ортогональной. Иначе часть потока через грань вызвана градиентом давления вдоль грани, которого формула не видит, и погрешность не убывает при измельчении. Тогда применяют многоточечные аппроксимации потока (multipoint flux approximation, MPFA): поток через грань восстанавливают по давлениям нескольких ячеек вокруг неё. Пример — в дополнительном разделе.

Термины и обозначения

Проводимость связи $T_{ij}$: геометрическая часть закона Дарси между центрами соседних ячеек вместе с их проницаемостью, мД·м: две половины ячеек последовательно.
Проводимость половины ячейки $t_i$: $k_iA/d_i$ — от центра ячейки до общей грани; $T_{ij} = 1/(1/t_i + 1/t_j)$ .
Давление на грани $p_f$: среднее давлений центров с весами $t_i$ и $t_j$ ; показывает, в какой половине теряется перепад.
Множитель проводимости: коэффициент к рассчитанной проводимости: барьеры, разломы, параметры адаптации.
Несоседнее соединение (NNC): связь ячеек, не соседних по номерам: через разлом со смещением слоёв, выклинившийся слой, вложенную сетку; площадь — площадь перекрытия.
Потенциал фазы $\Phi_\alpha$: $p_\alpha - \gamma_\alpha D$ ; разность потенциалов определяет, куда течёт фаза.
Взвешивание против потока: подвижность фазы на грани берут из ячейки, откуда течёт эта фаза.
Двухточечная формула (TPFA): переток через грань по давлениям двух ячеек; точна на K-ортогональной сетке.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Проницаемость связи двух ячеек — среднее их проницаемостей».

На самом деле

Поток проходит половины ячеек последовательно, и складываются сопротивления: проницаемость связи — среднее гармоническое, взвешенное по длинам. В примере урока среднее арифметическое завысило проводимость в 1,73 раза, а для одинаковых ячеек с контрастом в 100 раз оно завышает её примерно в 25 раз.

Неверно

«Глинистый прослой с проницаемостью 0,001 мД разобщает слои».

На самом деле

На площади ячейки он ослабляет вертикальную связь примерно в тысячу раз, но в примере урока её остаётся около 50 мД·м — десятая часть горизонтальной связи. Выдержанный герметичный прослой задают нулевым множителем вертикальной проводимости.

Неверно

«Множитель проводимости разлома, подобранный в одной модели, подойдёт и для другой».

На самом деле

Множитель — отношение проводимостей с разломом и без него, и он зависит от размеров ячеек. Из модели в модель переносят отношение ширины зоны разлома к её проницаемости, а множитель пересчитывают.

Неверно

«Подвижность на грани точнее взять средней по двум ячейкам».

На самом деле

В расчёте урока среднее арифметическое сошлось к почти поршневому вытеснению с прорывом почти на треть позже точного, и измельчение сетки этого не исправило; среднее гармоническое заперло грань перед фронтом. Подвижность берут из ячейки выше по потоку — для каждой фазы свою.

Подробно: для продвинутых

Когда двухточечная формула ошибается: повёрнутая анизотропия

Если главные оси анизотропии повёрнуты относительно осей сетки на угол $\theta$ — например, трещины ориентированы по диагонали сетки, — тензор проницаемости в осях сетки получает недиагональную компоненту:

Тензор проницаемости в осях сетки при повёрнутых главных осях

k_{xx} = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta,\qquad k_{yy} = k_1\sin^2\theta + k_2\cos^2\theta,\qquad k_{xy} = (k_1 - k_2)\sin\theta\cos\theta

где:

$k_1,\ k_2$ главные проницаемости (вдоль и поперёк преобладающего направления), мД
$\theta$ угол между первой главной осью и осью $x$ сетки, °
$k_{xx},\ k_{yy},\ k_{xy}$ компоненты тензора в осях сетки, мД

Единицы: мД

Справедливо, если

двумерная задача; закон Дарси $\mathbf{u} = -(\mathbf{K}/\mu)\nabla p$ с симметричным тензором.

Поток вдоль $x$ равен $-(k_{xx}\,\partial p/\partial x + k_{xy}\,\partial p/\partial y)/\mu$ : при $k_{xy} \ne 0$ градиент вдоль $y$ гонит флюид и вдоль $x$ . Двухточечная формула для граней, перпендикулярных $x$ , использует только разность давлений соседей по $x$ и член с $k_{xy}$ теряет.

Расчётный примерЧего не видит двухточечная формула

Исходные данные (условные)

Главные проницаемости: $k_1$ = 100 мД, $k_2$ = 10 мД
Поворот: 45° к оси $x$ сетки
Градиент давления: только вдоль оси $y$

Решение

Компоненты тензора: $k_{xx} = k_{yy} = 100\cdot0{,}5 + 10\cdot0{,}5 = 55$ мД, $k_{xy} = (100 - 10)\cdot0{,}5 = 45$ мД.
Истинный поток через грани, перпендикулярные $x$ , составляет $k_{xy}/k_{yy} = 0{,}82$ от потока вдоль $y$ : флюид уходит вбок, к направлению высокой проницаемости.
Двухточечная формула для этих граней видит нулевую разность давлений соседей по $x$ и даёт нулевой поток — сколько ни измельчай сетку.

Ответ: Боковой поток, равный 82 % продольного, двухточечная формула теряет полностью.

Что это значит. Ошибка вызвана не размером ячеек, а тем, что в формуле нет $k_{xy}$ , поэтому измельчение её не уменьшает. Её избегают, направляя оси сетки вдоль главных осей анизотропии, или применяют многоточечные схемы: они восстанавливают поток через грань по давлениям нескольких ячеек и учитывают недиагональные компоненты. Их цена — больше связей в каждой строке системы уравнений, а при сильной анизотропии и скошенных ячейках они могут давать немонотонные решения. Данные примера условные.

Сила тяжести и капиллярное давление в разности потенциалов

Разность потенциалов фазы между центрами ячеек на разной глубине записывают как $\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i} = (p_{\alpha,j} - p_{\alpha,i}) - \bar\gamma_\alpha\,(D_j - D_i)$ , где $\bar\gamma_\alpha$ — удельный вес фазы на грани: среднее по двум ячейкам (иногда с весами насыщенностей), а если фазы в одной из ячеек нет — значение другой.

Это важно уже при инициализации. Начальные давления рассчитывают из гидростатического равновесия (начальное состояние); если их считали с другим осреднением плотности, чем то, которое модель применяет к перетокам, разности потенциалов в покоящемся пласте не равны нулю, и с первого шага без всяких скважин начинаются ложные перетоки. Проверка простая: расчёт без скважин на несколько лет — давления и насыщенности не должны меняться.

Капиллярное давление входит через давление воды $p_w = p_o - p_c(S_w)$ . В гидрофильной породе $p_c$ выше там, где воды меньше, поэтому вода тянется в более «сухую» ячейку даже против перепада давления нефти — так модель описывает капиллярную пропитку и размытие фронта. На крупных ячейках этот вклад обычно мал по сравнению с вязкими силами (масштаб капиллярных сил), но в вертикальном противотоке без закачки, как в примере урока, он может преобладать.

Связь с другими темами

Сетки в гидродинамических моделях — сетки, несоседние соединения и эффект ориентации.
Уравнение давления для однофазной фильтрации — уравнения ячеек с коэффициентами связи $0{,}0853\,T_{ij}/\mu$ .
Уравнения двухфазной фильтрации — уравнения ячеек для двух фаз и почему подвижность берут против потока.
Модель скважины в ячейке сетки — связь ячейки со скважиной — индекс скважины.
Неоднородность пласта и осреднение проницаемости — средние проницаемости слоёв и их смысл.
Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке — проводимости крупных ячеек прямо по детальной модели.
Особые вопросы ремасштабирования — полный тензор проницаемости после ремасштабирования и что с ним теряет двухточечная схема.
Частично проводящие разломы — проводимость зоны разлома по исследованию скважины.
Численная дисперсия — размытие фронта схемой против потока и схемы высокого порядка.
Адаптация модели к истории разработки — множители проводимости как параметры адаптации.
Решение систем линейных уравнений в симуляторах — как решают системы уравнений, составленные из этих проводимостей.

Проверьте себя

1
Две одинаковые соседние ячейки имеют проницаемость 120 и 3 мД. Какая проницаемость определяет переток между их центрами?
1. А.61,5 мД — среднее арифметическое
2. Б.≈ 5,9 мД — среднее гармоническое
3. В.3 мД — меньшая из двух
4. Г.19 мД — среднее геометрическое
Показать ответ
Правильный ответ: Б. ≈ 5,9 мД — среднее гармоническое
Поток проходит половины ячеек последовательно, и складываются сопротивления: $\bar k = 2\cdot120\cdot3/(120 + 3) \approx 5{,}85$ мД. Среднее арифметическое завысило бы переток в $(1 + r)^2/(4r) \approx 10{,}5$ раза ( $r$ = 0,025), геометрическое — более чем втрое. Меньшая проницаемость занизила бы переток почти вдвое: у высокопроницаемой половины тоже есть сопротивление, хоть и малое.
2
Ячейки модели — 50 × 50 × 1 м, $k_v/k_h$ = 0,05. Во сколько раз вертикальная связь соседних слоёв сильнее горизонтальной связи соседних ячеек, и что из этого следует для расчёта?
Показать ответ
$T_z/T_x = 0{,}05\cdot(50/1)^2 = 125$ . Фазы быстро перераспределяются между тонкими слоями под действием силы тяжести, поэтому слои модели обмениваются флюидом гораздо легче, чем соседние ячейки в плане. Явная схема была бы ограничена именно вертикальными связями — одна из причин считать давление неявно. Разобщить такие слои может только выдержанный герметичный барьер, заданный нулевым множителем.
3
В вертикальной связи без скважин в верхней ячейке много воды, в нижней — нефть при неснижаемой водонасыщенности. Подвижность какой ячейки берут для каждой фазы?
1. А.Для обеих фаз — верхней
2. Б.Для обеих фаз — нижней
3. В.Для воды — верхней, для нефти — нижней
4. Г.Для обеих фаз — среднюю по двум ячейкам
Показать ответ
Правильный ответ: В. Для воды — верхней, для нефти — нижней
Тяжёлая вода опускается, лёгкая нефть поднимается навстречу; у каждой фазы ячейка выше по потоку своя — та, откуда фаза течёт. Подвижность воды нижней ячейки равна нулю, и с ней (или с гармоническим средним) вода не опустилась бы никогда; среднее арифметическое вдвое занизило бы обмен.
4
Пачка из двух слоёв по 6 м с глинами сверху и снизу смещена разломом на 6 м. Какие слои связаны через разлом?
Показать ответ
Амплитуда равна толщине слоя. В приподнятом крыле слои занимают 0–6 и 6–12 м, в опущенном — 6–12 и 12–18 м. Перекрываются только нижний слой приподнятого крыла и верхний слой опущенного — на всю толщину 6 м; это несоседнее соединение, номера слоёв разные. Верхний слой приподнятого крыла упирается в глины над опущенным, нижний слой опущенного — в глины под приподнятым.
5
Расчёт заводнения со средним арифметическим подвижностей повторили на сетке вчетверо мельче. Что произошло?
1. А.Почти ничего: расчёт сошёлся к неверному решению, прорыв по-прежнему около 0,52 порового объёма вместо 0,40
2. Б.Расчёт стал неустойчивым
3. В.Фронт остановился у входа
4. Г.Фронт приблизился к точному решению
Показать ответ
Правильный ответ: А. Почти ничего: расчёт сошёлся к неверному решению, прорыв по-прежнему около 0,52 порового объёма вместо 0,40
В примере урока прорыв со средним арифметическим — 0,51 порового объёма на 50 ячейках и 0,52 на 200, а точное решение — 0,40. Ошибка не от размера ячеек, а от правила на грани: оно гонит через грань нефть из почти промытой ячейки и делает вытеснение почти поршневым. Измельчение сетки такую ошибку не лечит.
6
У двух ячеек проводимости половин $t_1$ = 900 и $t_2$ = 300 мД·м, давления в центрах — 21,0 и 20,2 МПа. Найдите проводимость связи и давление на грани.
Показать ответ
$T = 1/(1/900 + 1/300) = 225$ мД·м. $p_f = (900\cdot21{,}0 + 300\cdot20{,}2)/1200 = 24\,960/1200 = 20{,}8$ МПа: на половину ячейки 1 приходится 0,2 МПа, на половину ячейки 2 — 0,6 МПа, три четверти перепада.

Обновлено: 28 октября 2026 г.