Проницаемость горных пород

Кратко о главном

Пористость $\phi$ — это ёмкость породы (сколько флюида она вмещает), проницаемость $k$ — её проводимость (насколько легко флюид движется). Связь между ними есть, но не универсальная.
Закон Дарси: расход прямо пропорционален проницаемости, площади сечения и перепаду давления и обратно пропорционален вязкости и длине пути.
1 дарси ≈ $0{,}987\cdot 10^{-12}$ м² ≈ 1 мкм². На практике используют миллидарси (мД): 1 Д = 1000 мД.
При радиальном притоке большая часть перепада давления приходится на ближнюю к скважине зону, поэтому её состояние так сильно влияет на дебит.
Проницаемость зависит от направления: в слоистых породах вертикальная обычно меньше горизонтальной. Слои, работающие параллельно, осредняют арифметически по толщинам, последовательно — гармонически.

Ключевые соотношения

q = \dfrac{k A}{\mu}\cdot\dfrac{p_1 - p_2}{L}

линейный поток, любая согласованная система единиц

q = \dfrac{2\pi k h\,(p_e - p_w)}{\mu\,\ln(r_e/r_w)}

установившийся радиальный приток к скважине (в пластовых условиях)

1\ \text{Д} = 1000\ \text{мД} = 0{,}9869\cdot 10^{-12}\ \text{м}^2

перевод единиц

Где чаще всего ошибаются

Перепутать миллидарси и дарси — ошибка в тысячу раз.
Считать, что высокая пористость гарантирует высокую проницаемость.
Брать газовую проницаемость керна без поправки на проскальзывание газа (эффект Клинкенберга).
Осреднять проницаемость слоёв арифметически, когда поток идёт поперёк слоёв.

После урока вы сможете

объяснить, чем проницаемость отличается от пористости и почему пористая порода может быть почти непроницаемой;
записать закон Дарси для линейного и радиального потока и перечислить условия, при которых он выполняется;
переводить проницаемость между дарси, миллидарси и квадратными метрами и узнавать постоянные в промысловых формулах;
рассчитать проницаемость по опыту на керне и оценить дебит скважины по формуле радиального притока;
выбрать способ осреднения проницаемости слоистого пласта в зависимости от направления потока.

Пористость и проницаемость: ёмкость и проводимость

Горная порода-коллектор состоит из зёрен и пустот между ними. Пористость (porosity, $\phi$ ) показывает, какую долю объёма породы занимают пустоты, то есть сколько флюида порода может вместить. Проницаемость показывает другое: насколько легко флюид может двигаться через эти пустоты.

Движение флюида ограничивают не сами поры, а самые узкие места между ними — поровые каналы (pore throats). Порода может содержать много пустот, но если они соединены тонкими каналами или не соединены вовсе, флюид через неё почти не пройдёт.

Пористость и проницаемость ведут себя по-разному

Порода: Хорошо отсортированный крупнозернистый песчаник
Пористость: высокая
Проницаемость: высокая
Почему так: крупные зёрна оставляют широкие каналы между порами

Порода: Глина, аргиллит
Пористость: может быть высокой
Проницаемость: очень низкая
Почему так: поры очень мелкие, каналы узкие, вода связана с поверхностью глинистых частиц

Порода: Известняк с изолированными кавернами
Пористость: высокая
Проницаемость: низкая
Почему так: каверны почти не сообщаются друг с другом

Порода: Трещиноватая плотная порода
Пористость: низкая
Проницаемость: может быть высокой
Почему так: трещины занимают малый объём, но образуют хорошо проводящую сеть

Порода	Пористость	Проницаемость	Почему так
Хорошо отсортированный крупнозернистый песчаник	высокая	высокая	крупные зёрна оставляют широкие каналы между порами
Глина, аргиллит	может быть высокой	очень низкая	поры очень мелкие, каналы узкие, вода связана с поверхностью глинистых частиц
Известняк с изолированными кавернами	высокая	низкая	каверны почти не сообщаются друг с другом
Трещиноватая плотная порода	низкая	может быть высокой	трещины занимают малый объём, но образуют хорошо проводящую сеть

Качественное сравнение; конкретные значения зависят от породы и условий.

Закон Дарси

Количественное описание проницаемости даёт закон Дарси (Darcy's law). Возьмём образец породы длиной $L$ с площадью поперечного сечения $A$ , полностью насыщенный одним флюидом, и прокачаем через него флюид так, чтобы давление на входе было $p_1$ , а на выходе $p_2$ . Опыт показывает, что при медленном течении расход $q$ пропорционален перепаду давления и площади и обратно пропорционален вязкости флюида и длине образца.

СхемаСхема опыта Дарси: образец породы длиной

L

и сечением

A

, давления на входе и выходе, расход

q

Закон Дарси для линейного потока

q = \frac{k A}{\mu}\cdot\frac{p_1 - p_2}{L}

где:

$q$ объёмный расход флюида при условиях опыта (в пласте — в пластовых условиях), м³/с
$k$ проницаемость породы, м²
$A$ площадь поперечного сечения, перпендикулярного потоку, м²
$\mu$ динамическая вязкость флюида, Па·с
$p_1,\ p_2$ давление на входе и на выходе, Па
$L$ длина пути фильтрации, м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

установившийся поток: давления и расход не меняются во времени;
ламинарное (медленное) течение, силы инерции пренебрежимо малы;
поры заполнены одним флюидом (однофазный поток);
флюид несжимаем и не реагирует с породой;
поток горизонтальный; при наклонном потоке вместо перепада давления берут перепад потенциала, учитывающий вес столба флюида.

Проницаемость — это коэффициент пропорциональности между «движущей силой» (градиентом давления) и потоком, из которого исключены свойства флюида. Поэтому $k$ — свойство породы, а не флюида: при однофазном потоке воды или нефти через одну и ту же породу получается одно и то же значение.

В других системах единиц (3)

Единицы Дарси

q\,[\text{см}^3/\text{с}] = \frac{k\,[\text{Д}]\;A\,[\text{см}^2]\;\Delta p\,[\text{атм}]}{\mu\,[\text{сП}]\;L\,[\text{см}]}

$k$ — дарси, $A$ — см², $\Delta p$ — физические атмосферы, $\mu$ — сантипуаз (сП = мПа·с), $L$ — см, $q$ — см³/с.

Постоянной нет: так определена единица «дарси».

Промысловые единицы (oilfield)

q\,[\text{bbl/d}] = 1{,}127\cdot 10^{-3}\,\frac{k\,[\text{мД}]\;A\,[\text{ft}^2]\;\Delta p\,[\text{psi}]}{\mu\,[\text{сП}]\;L\,[\text{ft}]}

$k$ — мД, $A$ — квадратные футы, $\Delta p$ — psi, $\mu$ — сП, $L$ — футы, $q$ — баррели в сутки.

$1{,}127\cdot10^{-3}$ получается переводом единиц Дарси: мД → Д, ft² → см², psi → атм, ft → см, см³/с → bbl/d.

Метрические промысловые единицы

q\,[\text{м}^3/\text{сут}] = 0{,}0853\,\frac{k\,[\text{мД}]\;A\,[\text{м}^2]\;\Delta p\,[\text{МПа}]}{\mu\,[\text{мПа·с}]\;L\,[\text{м}]}

$k$ — мД, $A$ — м², $\Delta p$ — МПа, $\mu$ — мПа·с, $L$ — м, $q$ — м³/сут.

$0{,}0853 = 0{,}9869\cdot10^{-15}\cdot10^{6}/10^{-3}\cdot 86\,400$ (перевод мД → м², МПа → Па, мПа·с → Па·с и секунд в сутки).

Единицы проницаемости

В СИ проницаемость измеряется в квадратных метрах: по смыслу это характерная «площадь сечения» проводящих каналов. Порода с проницаемостью 1 дарси (Д, D) пропускает 1 см³/с флюида вязкостью 1 сП через образец сечением 1 см² и длиной 1 см при перепаде давления 1 атм. В квадратных метрах это очень малая величина, поэтому на практике пользуются дарси и миллидарси (мД, mD).

Перевод единиц проницаемости

Единица: 1 Д
В м²: $0{,}9869\cdot10^{-12}$
Примечание: ≈ 1 мкм² (квадратный микрометр)

Единица: 1 мД
В м²: $0{,}9869\cdot10^{-15}$
Примечание: основная промысловая единица

Единица: 1 мкД
В м²: $0{,}9869\cdot10^{-18}$
Примечание: плотные газовые коллекторы, покрышки

Единица: 1 нД
В м²: $0{,}9869\cdot10^{-21}$
Примечание: сланцы, аргиллиты

Единица	В м²	Примечание
1 Д	$0{,}9869\cdot10^{-12}$	≈ 1 мкм² (квадратный микрометр)
1 мД	$0{,}9869\cdot10^{-15}$	основная промысловая единица
1 мкД	$0{,}9869\cdot10^{-18}$	плотные газовые коллекторы, покрышки
1 нД	$0{,}9869\cdot10^{-21}$	сланцы, аргиллиты

В российской практике используют также мкм² и 10⁻³ мкм²; 1 мД ≈ 10⁻³ мкм² с погрешностью около 1,3 %.

Ориентировочные диапазоны проницаемости

Породы: Покрышки: глины, соли, плотные аргиллиты
Порядок проницаемости: нанодарси — микродарси

Породы: Плотные (низкопроницаемые) газовые коллекторы
Порядок проницаемости: менее 0,1 мД

Породы: Типичные терригенные и карбонатные коллекторы
Порядок проницаемости: от единиц до сотен мД

Породы: Высокопроницаемые пески и трещиноватые породы
Порядок проницаемости: от сотен мД до нескольких дарси

Породы	Порядок проницаемости
Покрышки: глины, соли, плотные аргиллиты	нанодарси — микродарси
Плотные (низкопроницаемые) газовые коллекторы	менее 0,1 мД
Типичные терригенные и карбонатные коллекторы	от единиц до сотен мД
Высокопроницаемые пески и трещиноватые породы	от сотен мД до нескольких дарси

Иллюстративные порядки величин для ориентира, а не классификация: границы классов в разных нормативах различаются.

Как измеряют проницаемость

Проницаемость нельзя увидеть напрямую — её вычисляют по потоку и перепаду давления. Разные методы охватывают очень разные объёмы породы, поэтому дают разные, но одинаково законные числа.

На керне чаще всего используют стационарный метод: через образец в кернодержателе при заданном обжимающем давлении прокачивают газ или жидкость с постоянным расходом и измеряют перепад давления. Для очень плотных пород удобнее нестационарные методы: по скорости падения или выравнивания давления в системе «камера — образец» проницаемость находят вплоть до долей микродарси.

Источники данных о проницаемости

Метод: Опыт на керне (образце)
Какой объём породы: несколько кубических сантиметров
Что даёт: проницаемость образца по заданному направлению
Ограничения: малый объём; условия опыта отличаются от пластовых; трещины и крупные каверны в образец часто не попадают

Метод: Опробователь пластов на кабеле
Какой объём породы: первые метры вокруг зонда
Что даёт: локальную подвижность флюида $k/\mu$
Ограничения: малый радиус исследования, влияние зоны проникновения

Метод: Гидродинамические исследования скважин
Какой объём породы: сотни метров вокруг скважины
Что даёт: среднюю эффективную проницаемость для текущего флюида и скин-фактор
Ограничения: нужна интерпретационная модель; результат — произведение $kh$

Метод: Каротаж (оценка по корреляциям)
Какой объём породы: вдоль всего ствола
Что даёт: непрерывную, но косвенную оценку
Ограничения: требует калибровки по керну

Метод	Какой объём породы	Что даёт	Ограничения
Опыт на керне (образце)	несколько кубических сантиметров	проницаемость образца по заданному направлению	малый объём; условия опыта отличаются от пластовых; трещины и крупные каверны в образец часто не попадают
Опробователь пластов на кабеле	первые метры вокруг зонда	локальную подвижность флюида $k/\mu$	малый радиус исследования, влияние зоны проникновения
Гидродинамические исследования скважин	сотни метров вокруг скважины	среднюю эффективную проницаемость для текущего флюида и скин-фактор	нужна интерпретационная модель; результат — произведение $kh$
Каротаж (оценка по корреляциям)	вдоль всего ствола	непрерывную, но косвенную оценку	требует калибровки по керну

Расчётный примерПроницаемость по опыту на керне

Исходные данные (условные)

Длина образца $L$: 5,0 см
Диаметр образца $d$: 3,8 см
Вязкость рассола $\mu$: 1,0 сП
Установившийся расход $q$: 0,50 см³/с
Перепад давления $\Delta p$: 2,0 атм

Решение

Площадь сечения: $A = \pi d^2/4 = \pi\cdot 3{,}8^2/4 = 11{,}34$ см².
Выражаем проницаемость из закона Дарси в единицах Дарси: $k = \dfrac{q\,\mu\,L}{A\,\Delta p} = \dfrac{0{,}50\cdot 1{,}0\cdot 5{,}0}{11{,}34\cdot 2{,}0} = 0{,}110$ Д.
Переводим: $k = 110$ мД $= 1{,}088\cdot 10^{-13}$ м².

Ответ: Проницаемость образца по рассолу — около 110 мД.

Что это значит. Это проницаемость хорошего коллектора. Она относится к маленькому образцу и к направлению, в котором его выбурили (обычно горизонтальному). Для пласта в целом её сопоставляют с другими образцами и с результатами гидродинамических исследований. Данные примера условные.

Радиальный приток к скважине

В пласте флюид идёт к скважине не по прямой, а со всех сторон — сходящимся потоком. Площадь, через которую он проходит, — боковая поверхность цилиндра $2\pi r h$ — уменьшается по мере приближения к скважине, поэтому скорость фильтрации и градиент давления у стенки скважины наибольшие.

Установившийся радиальный приток (формула Дюпюи)

q = \frac{2\pi k h\,(p_e - p_w)}{\mu\,\ln(r_e/r_w)}

где:

$q$ дебит в пластовых условиях; дебит на поверхности равен $q/B$ , где $B$ — объёмный коэффициент, м³/с
$k$ проницаемость пласта (горизонтальная), м²
$h$ эффективная толщина пласта, м
$p_e$ давление на внешней границе области питания, Па
$p_w$ давление на стенке скважины (забойное), Па
$r_e$ радиус области питания (дренирования), м
$r_w$ радиус скважины, м
$\mu$ вязкость флюида в пластовых условиях, Па·с

Единицы: СИ

Справедливо, если

установившийся режим: давление на внешней границе $r_e$ поддерживается постоянным;
однородный изотропный пласт постоянной толщины, скважина вскрывает его на всю толщину;
однофазный поток слабосжимаемого флюида, течение ламинарное;
нет повреждения или улучшения призабойной зоны (скин-фактор равен нулю).

Дебит пропорционален гидропроводности $kh/\mu$ и депрессии $p_e - p_w$ . Размеры области питания и скважины входят только через логарифм, поэтому влияют слабо.

В других системах единиц (2)

Промысловые единицы (oilfield)

q\,[\text{STB/d}] = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,k\,h\,(p_e - p_w)}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — ft, $p$ — psi, $\mu$ — сП, $B$ — rb/STB, $q$ — баррели нефти в стандартных условиях в сутки.

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot 1{,}127\cdot10^{-3}$ .

Метрические промысловые единицы

q\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{0{,}536\,k\,h\,(p_e - p_w)}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — м, $p$ — МПа, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³, $q$ — м³/сут в стандартных условиях.

$0{,}536 = 2\pi\cdot 0{,}0853$ .

РасчётРасчётное распределение давления вокруг скважины для данных примера ниже: давление растёт с расстоянием по логарифмическому закону.

Расчётный примерДебит скважины и распределение перепада давления

Исходные данные (условные)

Проницаемость $k$: 50 мД
Эффективная толщина $h$: 12 м
Депрессия $p_e - p_w$: 5,0 МПа
Вязкость нефти в пласте $\mu$: 1,5 мПа·с
Объёмный коэффициент $B$: 1,2 м³/м³
Радиусы $r_e$ и $r_w$: 300 м и 0,1 м

Решение

Логарифм отношения радиусов: $\ln(r_e/r_w) = \ln 3000 = 8{,}006$ .
Дебит в стандартных условиях по метрической промысловой форме: $q = \dfrac{0{,}536\cdot 50\cdot 12\cdot 5{,}0}{1{,}5\cdot 1{,}2\cdot 8{,}006} = 112$ м³/сут.
Какая доля депрессии расходуется в пределах 10 м от скважины: $\dfrac{\ln(10/0{,}1)}{\ln(300/0{,}1)} = 0{,}575$ , то есть около 58 %.

Ответ: Скважина может дать около 112 м³/сут нефти; 58 % перепада давления расходуется в первых 10 м вокруг неё.

Что это значит. Дебит получился оценкой для идеальной скважины без скин-фактора. Главный практический вывод — во втором числе: раз больше половины депрессии «тратится» у самой скважины, повреждение призабойной зоны буровым раствором или, наоборот, её очистка кислотой или гидроразрывом меняют дебит гораздо сильнее, чем изменение проницаемости далеко в пласте. Данные примера условные.

Анизотропия и осреднение по слоям

Проницаемость зависит от направления — это анизотропия (anisotropy). В слоистых осадочных породах зёрна и прослои вытянуты вдоль напластования, поэтому горизонтальная проницаемость $k_h$ обычно больше вертикальной $k_v$ . Тонкие глинистые прослои могут уменьшить вертикальную проницаемость на порядки, почти не изменив горизонтальную.

Когда пласт состоит из слоёв с разной проницаемостью, способ осреднения зависит от того, как течёт флюид относительно слоёв.

Средняя проницаемость слоёв, работающих параллельно

\bar{k} = \frac{\sum_i k_i h_i}{\sum_i h_i}

где:

$k_i$ проницаемость $i$ -го слоя, мД
$h_i$ толщина $i$ -го слоя, м

Единицы: любые, одинаковые для всех слоёв

Справедливо, если

поток идёт вдоль слоёв, перепад давления одинаков для всех слоёв;
между слоями нет перетока (или он не меняет картину).

Арифметическое среднее с весом толщин: слои складывают свои проводимости $k_i h_i$ , как параллельно соединённые трубы.

Средняя проницаемость слоёв, работающих последовательно

\bar{k} = \frac{\sum_i L_i}{\sum_i L_i / k_i}

где:

$k_i$ проницаемость $i$ -го слоя, мД
$L_i$ длина пути в $i$ -м слое (для вертикального потока — толщина слоя), м

Единицы: любые, одинаковые для всех слоёв

Справедливо, если

поток пересекает слои один за другим, расход через все слои одинаков.

Гармоническое среднее: складываются сопротивления $L_i/k_i$ , поэтому результат определяет самый плохой слой.

Расчётный примерГоризонтальная и вертикальная проницаемость трёхслойного пласта

Исходные данные (условные)

Слой 1: $h = 2$ м, $k = 500$ мД
Слой 2: $h = 5$ м, $k = 50$ мД
Слой 3: $h = 3$ м, $k = 5$ мД

Решение

Вдоль слоёв (горизонтальный поток): $\bar k_h = \dfrac{500\cdot2 + 50\cdot5 + 5\cdot3}{2 + 5 + 3} = 126{,}5$ мД.
Поперёк слоёв (вертикальный поток): $\bar k_v = \dfrac{2 + 5 + 3}{2/500 + 5/50 + 3/5} = 14{,}2$ мД.
Отношение $\bar k_v/\bar k_h = 0{,}11$ .

Ответ: Горизонтальная проницаемость — около 126,5 мД, вертикальная — около 14,2 мД.

Что это значит. Горизонтальную проводимость почти целиком даёт тонкий высокопроницаемый слой, а вертикальную ограничивает самый плотный. Такое различие важно для конусообразования воды и газа, для горизонтальных скважин и для гравитационного дренирования. Данные примера условные.

От чего зависит проницаемость

Размер зёрен. При прочих равных проницаемость растёт примерно пропорционально квадрату размера зёрен: крупнее зёрна — шире каналы.
Сортировка. В плохо отсортированной породе мелкие зёрна заполняют промежутки между крупными и сужают каналы.
Цемент и глинистые минералы. Кальцит, кварц и глины, отложившиеся в порах, закупоривают каналы; волокнистые глины (например, иллит) особенно резко снижают проницаемость.
Уплотнение и эффективное напряжение. С глубиной и при снижении пластового давления порода уплотняется, каналы сужаются; в лаборатории проницаемость измеряют под нагрузкой, близкой к пластовой.
Трещины. Даже редкие открытые трещины могут многократно увеличить проницаемость пласта в одном направлении.
Химия флюида. Пресная или несовместимая вода может вызвать набухание и перемещение глинистых частиц, и тогда проницаемость по воде оказывается заметно ниже, чем по газу или нефти.

Термины и обозначения

Абсолютная проницаемость: проницаемость при фильтрации одного флюида, полностью заполняющего поры; свойство породы.
Эффективная проницаемость: проницаемость для одной фазы, когда в порах находятся несколько флюидов; меньше абсолютной.
Относительная проницаемость: отношение эффективной проницаемости к базовой (обычно абсолютной); число от 0 до 1, зависит от насыщенности.
Гидропроводность: величина $kh/\mu$ , определяющая дебит скважины при заданной депрессии.
Анизотропия: зависимость проницаемости от направления; обычно характеризуют отношением $k_v/k_h$ .
$k$ , мД: обозначение и основная единица проницаемости; 1 мД ≈ $0{,}987\cdot10^{-15}$ м².

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Раз пористость высокая, коллектор хороший».

На самом деле

Пористость говорит о запасах, проницаемость — о возможности их извлечь. Высокопористая глина практически непроницаема.

Неверно

«Проницаемость по воде и по газу должна совпадать».

На самом деле

При однофазном течении жидкостей — да. Газ в образце «проскальзывает» вдоль стенок каналов, поэтому его проницаемость при низком давлении завышена; её пересчитывают по Клинкенбергу.

Неверно

«Средняя проницаемость пласта — это среднее арифметическое по образцам».

На самом деле

Способ осреднения зависит от направления потока и от того, как расположены слои; для вертикального потока нужна гармоническая средняя.

Неверно

«Если дебит в два раза ниже расчётного, значит, проницаемость вдвое меньше».

На самом деле

Чаще виновата призабойная зона (скин-фактор): на неё приходится большая часть депрессии. Проницаемость и скин разделяют по гидродинамическим исследованиям.

Подробно: для продвинутых

Вывод формулы радиального притока

Запишем закон Дарси для цилиндрической поверхности радиуса $r$ , через которую проходит весь поток $q$ : $q = \dfrac{k\,(2\pi r h)}{\mu}\,\dfrac{\dd p}{\dd r}$ . Знак плюс, потому что давление растёт с удалением от скважины, а поток направлен к ней.

Разделяем переменные: $\dd p = \dfrac{q\mu}{2\pi k h}\,\dfrac{\dd r}{r}$ — и интегрируем от стенки скважины ( $r_w$ , $p_w$ ) до внешней границы ( $r_e$ , $p_e$ ): $p_e - p_w = \dfrac{q\mu}{2\pi k h}\ln\dfrac{r_e}{r_w}$ . Отсюда и формула Дюпюи. Интеграл от $r_w$ до произвольного $r$ даёт логарифмический профиль давления $p(r) = p_w + \dfrac{q\mu}{2\pi k h}\ln\dfrac{r}{r_w}$ — тот, что показан на графике.

Проницаемость по газу и поправка Клинкенберга

Газ сжимаем, поэтому вдоль образца его объёмный расход растёт по мере падения давления, и закон Дарси для него записывают через квадраты давлений. Для изотермического течения идеального газа расход, пересчитанный к давлению замера на выходе, равен:

Закон Дарси для линейного течения газа

q_b = \frac{k A\,(p_1^2 - p_2^2)}{2\,\mu\,L\,p_b}

где:

$q_b$ объёмный расход газа при давлении замера $p_b$ , м³/с
$p_1,\ p_2$ абсолютное давление на входе и выходе образца, Па
$p_b$ абсолютное давление, при котором измерен расход (обычно близко к атмосферному), Па
$k,\ A,\ \mu,\ L$ проницаемость, площадь, вязкость газа и длина образца, как в законе Дарси, м², м², Па·с, м

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

установившееся изотермическое течение идеального газа;
ламинарное течение без проскальзывания (поправку Клинкенберга вносят отдельно);
все давления абсолютные.

Из этой формулы по измеренным $q_b$ , $p_1$ и $p_2$ вычисляют газовую проницаемость образца. Среднее давление в образце $\bar p = (p_1 + p_2)/2$ нужно для поправки Клинкенберга ниже.

Когда длина свободного пробега молекул газа сопоставима с размером поровых каналов, газ у стенок не «прилипает», а проскальзывает. Поэтому газовая проницаемость, измеренная при низком давлении, получается выше жидкостной. Эффект сильнее в плотных породах и при низком среднем давлении опыта.

Поправка Клинкенберга

k_g = k_\infty\left(1 + \frac{b}{\bar p}\right)

где:

$k_g$ проницаемость, измеренная по газу, мД
$k_\infty$ эквивалентная жидкостная проницаемость (предел при бесконечном давлении), мД
$\bar p$ среднее давление в образце, $(p_1 + p_2)/2$ , абсолютное, атм или МПа
$b$ коэффициент проскальзывания, зависящий от газа и от размера каналов, те же единицы давления

Единицы: любые согласованные

Справедливо, если

однофазный поток газа при малых скоростях;
давление абсолютное, а не избыточное.

Если построить $k_g$ против $1/\bar p$ по опытам при нескольких давлениях, точки ложатся на прямую; её отрезок на оси ординат (при $1/\bar p \to 0$ ) — жидкостная проницаемость $k_\infty$ .

Расчётный примерЭкстраполяция по двум измерениям

Исходные данные (условные)

Опыт 1: $\bar p = 1{,}5$ атм, $k_g = 12{,}6$ мД
Опыт 2: $\bar p = 4{,}0$ атм, $k_g = 10{,}8$ мД

Решение

Абсциссы: $1/\bar p_1 = 0{,}667$ атм⁻¹, $1/\bar p_2 = 0{,}250$ атм⁻¹.
Наклон прямой: $s = \dfrac{12{,}6 - 10{,}8}{0{,}667 - 0{,}250} = 4{,}32$ мД·атм.
Отрезок на оси: $k_\infty = 10{,}8 - 4{,}32\cdot0{,}250 = 9{,}7$ мД; коэффициент $b = s/k_\infty = 0{,}44$ атм.

Ответ: Жидкостная проницаемость образца — около 9,7 мД, то есть на 10 % ниже, чем газовая при 4 атм.

Что это значит. На практике измерений берут больше двух и проверяют, что точки действительно лежат на прямой. Данные примера условные.

Когда закон Дарси перестаёт работать

При больших скоростях фильтрации — прежде всего у газовых скважин — к вязкому сопротивлению добавляются инерционные потери: флюид постоянно разгоняется и тормозится в извилистых каналах. Их описывает уравнение Форхгеймера.

Уравнение Форхгеймера

-\frac{\dd p}{\dd x} = \frac{\mu}{k}\,v + \beta\,\rho\,v^2

где:

$v$ скорость фильтрации (расход, делённый на площадь), м/с
$\beta$ коэффициент инерционного сопротивления породы, м⁻¹
$\rho$ плотность флюида, кг/м³
$\mu,\ k$ вязкость и проницаемость, как в законе Дарси, Па·с, м²

Единицы: СИ

Справедливо, если

однофазный поток; $\beta$ определяют опытом или по корреляциям с проницаемостью и пористостью.

При малых $v$ второе слагаемое исчезает и остаётся закон Дарси. В скважине добавочные потери проявляются как скин-фактор, растущий с дебитом ( $Dq$ ), — его выделяют по исследованиям на нескольких режимах.

Связь проницаемости с пористостью и размером зёрен

Модель Козени–Кармана представляет поровое пространство пучком извилистых капилляров и связывает проницаемость с пористостью и удельной поверхностью. Для упаковки одинаковых сферических зёрен диаметром $d$ её часто записывают так:

Уравнение Козени–Кармана (сферические зёрна)

k = \frac{d^2\,\phi^3}{180\,(1 - \phi)^2}

где:

$d$ диаметр зёрен, м
$\phi$ пористость (доля единицы), —
$k$ проницаемость, м²

Единицы: СИ ( $k$ получается в тех же квадратных единицах, что и $d^2$ )

Справедливо, если

несцементированная упаковка сферических зёрен одного размера;
коэффициент 180 эмпирически учитывает извилистость и форму каналов; в варианте Блейка–Козени (и в уравнении Эргуна) используют 150.

Формула объясняет качественные закономерности: сильную зависимость от размера зёрен ( $k \propto d^2$ ) и от пористости. Для реальных сцементированных пород она даёт лишь порядок величины, поэтому на практике связи «пористость — проницаемость» строят по керну для каждого пласта.

Оценка проницаемости без керна: корреляции и каротаж

Каротаж напрямую проницаемость не измеряет, поэтому её оценивают по связям с тем, что измерить можно. Одна из самых известных — зависимость от пористости и остаточной водонасыщенности: чем мельче зёрна и уже каналы, тем больше воды удерживается капиллярными силами и тем ниже проницаемость.

Корреляция Тимура (проницаемость по пористости и остаточной водонасыщенности)

k \approx 10^{4}\,\frac{\phi^{4{,}5}}{S_{wi}^{2}}

где:

$k$ проницаемость, мД
$\phi$ пористость, доли единицы
$S_{wi}$ остаточная (неснижаемая) водонасыщенность, доли единицы

Единицы: эмпирическая: $k$ в мД, $\phi$ и $S_{wi}$ в долях единицы

Справедливо, если

эмпирическая связь, полученная для песчаников; постоянные подбирают по керну конкретного пласта;
$S_{wi}$ должна быть действительно остаточной (пласт выше переходной зоны).

Формула объясняет, почему по данным ядерно-магнитного каротажа о связанной воде удаётся оценивать проницаемость. Без калибровки по керну ошибка легко достигает порядка величины.

Проницаемость трещины и трещиноватой породы

Течение между двумя гладкими параллельными стенками, разделёнными зазором шириной $w$ , описывается точным решением, и сравнение с законом Дарси даёт проницаемость самой трещины $k_f = w^2/12$ . Проницаемость растёт как квадрат раскрытия, а расход через трещину — как куб, поэтому даже тонкие трещины проводят очень много.

Расчётный примерТрещины почти без пористости, но с заметной проницаемостью

Исходные данные (условные)

Раскрытие трещин $w$: 0,1 мм
Расстояние между параллельными трещинами $s$: 1 м
Проницаемость матрицы: пренебрежимо мала

Решение

Проницаемость самой трещины: $k_f = w^2/12 = (10^{-4})^2/12 = 8{,}333\cdot 10^{-10}$ м², то есть около 844 Д.
Трещины занимают долю объёма $w/s = 0{,}0001$ , то есть 0,01 %: пористость практически не меняется.
Проницаемость породы вдоль трещин: $k \approx k_f\,w/s = 84$ мД.

Ответ: Система трещин с раскрытием 0,1 мм через каждый метр даёт породе около 84 мД вдоль трещин.

Что это значит. Порода с почти нулевой проницаемостью матрицы ведёт себя как хороший коллектор вдоль трещин — и остаётся почти непроницаемой поперёк них. Раскрытие трещин под нагрузкой уменьшается, поэтому их проводимость чувствительна к снижению пластового давления. Данные примера условные.

Связь с другими темами

Пористость — ёмкость порового пространства и способы её определения.
Относительная проницаемость — как проницаемость делится между нефтью, газом и водой при совместном течении.
Скин-фактор — почему дебит часто определяет не пласт, а призабойная зона.
Анализ кривой восстановления давления — как проницаемость пласта находят по восстановлению давления в скважине.

Проверьте себя

1
Образец глины имеет пористость 25 %, а образец песчаника — 18 %. Какой из них, скорее всего, проницаемее?
1. А.Глина: у неё выше пористость
2. Б.Песчаник
3. В.Одинаково: проницаемость определяется пористостью
4. Г.Нельзя сказать ничего
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Песчаник
Проницаемость определяют размеры и связность поровых каналов, а не доля пустот. У глины поры очень мелкие, поэтому при высокой пористости она почти непроницаема; песчаник с меньшей пористостью, но широкими каналами пропускает флюид гораздо лучше.
2
Через образец прокачали воду, затем нефть вдвое большей вязкости при том же перепаде давления. Как изменились расход и рассчитанная проницаемость?
1. А.Расход вдвое меньше, проницаемость та же
2. Б.Расход тот же, проницаемость вдвое меньше
3. В.Оба уменьшились вдвое
4. Г.Ничего не изменилось
Показать ответ
Правильный ответ: А. Расход вдвое меньше, проницаемость та же
По закону Дарси расход обратно пропорционален вязкости, а проницаемость — свойство породы, из которого вязкость уже исключена. При однофазном потоке обоих флюидов $k$ получается одинаковой.
3
Пласт состоит из двух слоёв одинаковой толщины: 200 мД и 2 мД. Какая средняя проницаемость определяет поток вдоль слоёв и какая — поперёк?
Показать ответ
Вдоль слоёв — арифметическая: $(200 + 2)/2 = 101$ мД. Поперёк — гармоническая: $2/(1/200 + 1/2) \approx 3{,}96$ мД. Вертикальный поток почти полностью ограничен плотным слоем.
4
Почему повреждение призабойной зоны радиусом всего несколько метров может заметно снизить дебит скважины?
Показать ответ
При радиальном притоке давление меняется по логарифму расстояния, поэтому значительная часть депрессии расходуется вблизи скважины (в примере урока — больше половины в пределах 10 м). Снижение проницаемости именно там сильно увеличивает сопротивление всей системы.
5
Газовая проницаемость образца, измеренная при среднем давлении 2 атм, равна 5 мД. Можно ли сразу использовать это значение для расчёта притока нефти?
1. А.Да, проницаемость не зависит от флюида
2. Б.Нет: сначала нужна поправка Клинкенберга к жидкостной проницаемости
3. В.Нет: газовая проницаемость всегда меньше жидкостной
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Нет: сначала нужна поправка Клинкенберга к жидкостной проницаемости
Из-за проскальзывания газа при низком давлении измеренная газовая проницаемость завышена, особенно в плотных породах. Эквивалентную жидкостную проницаемость получают экстраполяцией $k_g$ к $1/\bar p \to 0$ .

Обновлено: 22 сентября 2026 г.