Уравнение давления для однофазной фильтрации

Кратко о главном

Баланс массы в ячейке — точное утверждение для ячейки любого размера и любого шага. Приближения появляются позже: когда расход через грань выражают через давления в центрах соседних ячеек и когда выбирают, по давлениям какого момента считать перетоки на шаге.
Закон Дарси и сжимаемость превращают баланс в уравнение для одного давления. Оно нелинейно: плотность, вязкость и пористость, а иногда и проницаемость зависят от искомого давления.
Для слабосжимаемой жидкости уравнение становится линейным, но неоднородность сохраняется: проницаемость остаётся под знаком производной. Уравнение пьезопроводности — частный случай однородного пласта.
В уравнении ячейки два «параметра»: упругая ёмкость $S_i = V_{p,i}c_t$ — сколько флюида ячейка отдаёт при снижении давления на 1 МПа — и коэффициенты связи с соседями $a_{ij} = 0{,}0853\,T_{ij}/\mu$ .
Явная схема считает перетоки по давлениям начала шага и заведомо устойчива, если шаг не больше характерного времени самой «быстрой» ячейки $\tau_i = S_i/\sum_j a_{ij}$ ; при заметно большем шаге она неустойчива. Неявная считает их по давлениям конца шага и устойчива при любом шаге, но на каждом шаге требует решить систему уравнений.
Обе схемы сохраняют массу точно. Устойчивость и точность — отдельные свойства: неявный расчёт с крупным шагом не «разваливается», но сглаживает и запаздывает.

Ключевые соотношения

\phi\rho\,c_t\,\frac{\partial p}{\partial t} = \nabla\cdot\left[\frac{\rho}{\mu}\,\mathbf{K}\left(\nabla p - \rho g\,\nabla D\right)\right] - \rho\,\tilde q

уравнение давления для однофазной фильтрации (СИ); $D$ — глубина, $\tilde q$ — отбор на единицу объёма пласта

S_i\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j a_{ij}\,(p_j - p_i) - q_i

уравнение ячейки: давления справа — начала шага (явная схема) или конца шага (неявная)

S_i = V_{p,i}\,c_t,\qquad a_{ij} = \frac{0{,}0853\,T_{ij}}{\mu}

м³/МПа и м³/(сут·МПа) при $T$ в мД·м, $\mu$ в мПа·с

\Delta t \le \tau_i = \frac{S_i}{\sum_j a_{ij}}\quad\text{для всех ячеек}

достаточное условие устойчивости явной схемы; для равномерной одномерной сетки $\tau = \Delta x^2/(2\eta)$

Где чаще всего ошибаются

Считать устойчивый расчёт точным: неявная схема с крупным шагом сглаживает изменение давления и запаздывает.
Считать, что сошедшийся баланс массы подтверждает давления: баланс выполняется и в неустойчивом расчёте.
Осреднять проницаемость соседних ячеек арифметически: для потока через грань нужно гармоническое осреднение.
Подставлять в упругую ёмкость сжимаемость одной нефти вместо общей $c_t$ и смешивать дебиты в пластовых и стандартных условиях.
Принимать давление ячейки со скважиной за забойное давление.

После урока вы сможете

вывести уравнение давления из баланса массы в ячейке (контрольном объёме) и закона Дарси и назвать, какие его коэффициенты зависят от давления;
получить линейную форму для слабосжимаемой жидкости в неоднородном пласте и связать её с уравнением пьезопроводности;
записать уравнение ячейки с проводимостями, скважиной и граничными условиями в метрических промысловых единицах;
различать явную и неявную схемы по времени и оценивать предельный шаг явной схемы по характерному времени ячеек;
решить вручную задачу на сетке из четырёх ячеек обеими схемами и проверить баланс массы.

Что ищет симулятор: давление в каждой ячейке

В однофазной задаче в порах движется один флюид — недонасыщенная нефть, вода или газ. Состояние пласта в каждый момент описывает одно поле — давление. Зная его, по закону Дарси находят скорости и перетоки, по уравнению состояния — плотность флюида, по модели скважины — забойное давление. Поэтому уравнение однофазного течения и называют уравнением давления. В многофазной модели к нему добавляются уравнения для насыщенностей (Уравнения двухфазной фильтрации), но само уравнение давления устроено так же, и все численные приёмы проще всего увидеть на однофазном случае.

В уроке Уравнение пьезопроводности то же уравнение собрано для тонкого кольца вокруг скважины в однородном пласте и решено аналитически. Симулятору нужна другая форма: пласт неоднороден, геометрия сложна, скважин много, и решение ищут численно — для конечных ячеек и конечных шагов по времени. Здесь путь «ячеечный»: от баланса массы в ячейке к дифференциальному уравнению и обратно — к уравнениям для ячеек, которые решает компьютер.

Аналогия: баки и трубы

Ячейку можно представить баком с упругими стенками: чем выше в нём давление, тем больше флюида он вмещает. Соседние баки соединены трубами, пропускная способность которых — проводимость между ячейками. Скважина — кран в одном из баков. Уравнение давления — правило, по которому давления в баках меняются со временем: в бак, где давление ниже, флюид перетекает от соседей. Модель из одного бака — материальный баланс залежи (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна). Аналогия неполна: в пласте «баки» и «трубы» — части одной сплошной породы, и разбиение на них — приём расчёта, а не свойство пласта.

Баланс массы в ячейке

Возьмём ячейку $i$ одномерной сетки — брусок пласта длиной $\Delta x_i$ с площадью сечения $A$ и объёмом $V_i = A\,\Delta x_i$ . Через левую грань (её обозначают $i - 1/2$ ) флюид входит, через правую ( $i + 1/2$ ) выходит, часть отбирает скважина. Масса флюида в ячейке — плотность, умноженная на поровый объём: $\rho\phi V_i$ . Объём, для которого подсчитывают всё, что в него вошло и из него вышло, называют контрольным объёмом (control volume).

Баланс массы в ячейке за шаг по времени

V_i\left[(\rho\phi)_i^{n+1} - (\rho\phi)_i^{n}\right] = \Delta t\left[(\rho q)_{i-1/2} - (\rho q)_{i+1/2} - (\rho q_w)_i\right]

где:

$V_i$ объём ячейки (порода вместе с порами), $A\,\Delta x_i$ , м³
$\rho,\ \phi$ плотность флюида в пластовых условиях и пористость, кг/м³, —
$n,\ n + 1$ номера моментов времени: начало и конец шага, —
$q_{i-1/2},\ q_{i+1/2}$ объёмный расход через левую и правую грани, положительный в направлении оси $x$ , м³/с
$q_{w,i}$ отбор скважиной из ячейки в пластовых условиях (при закачке отрицателен), м³/с
$\Delta t$ шаг по времени, с

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

расходы в квадратных скобках — средние за шаг: при таком понимании равенство точное;
поток вдоль одной оси; в двух и трёх измерениях добавляются расходы через остальные грани;
плотность на грани берут по значениям в соседних ячейках.

Слева — изменение массы флюида в ячейке за шаг, справа — масса, вошедшая через левую грань, минус вышедшая через правую и отобранная скважиной. Это закон сохранения, ещё без единого физического допущения о том, как флюид движется.

Поделим баланс на $V_i\,\Delta t$ и устремим размер ячейки и шаг к нулю. Разность массовых потоков на гранях, делённая на $\Delta x$ , переходит в производную по координате, изменение массы за шаг, делённое на шаг, — в производную по времени, а отбор скважиной превращается в отбор на единицу объёма пласта $\tilde q$ . В трёх измерениях разности потоков по трём осям складываются в дивергенцию — так же, как в уроке о уравнении пьезопроводности.

Уравнение неразрывности с источником

\frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t} = -\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} - \rho\,\tilde q\quad\longrightarrow\quad \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}) + \rho\,\tilde q = 0

где:

$u,\ \mathbf{u}$ скорость фильтрации $q/A$ вдоль оси $x$ и её вектор, м/с
$\tilde q$ отбор скважиной на единицу объёма пласта, $q_w/V$ ; отличен от нуля только в ячейках со скважинами, 1/с
$\rho,\ \phi$ плотность флюида и пористость, кг/м³, —

Единицы: СИ

Справедливо, если

предел при $\Delta x \to 0$ и $\Delta t \to 0$ ; свойства меняются плавно внутри пласта.

Во второй записи первое слагаемое — скорость накопления массы в единице объёма пласта, второе — «расхождение» массового потока из этого объёма, третье — отбор скважиной; в сумме они равны нулю. Как и баланс в ячейке, уравнение точное: оно ещё ничего не говорит о том, по какому закону движется флюид.

Где появляются погрешности

Баланс массы верен для ячейки любого размера и для любого шага. Погрешность численного решения появляется в двух местах: когда расход через грань выражают через давления в центрах соседних ячеек (закон Дарси на конечном расстоянии вместо производной) и когда давления внутри шага заменяют давлениями в его начале или конце. Поэтому расчёт, построенный на балансах ячеек, не теряет и не создаёт массу, даже если давления в нём неточны (см. дополнительный раздел о сохранении массы).

Закон Дарси и сжимаемость: уравнение давления

Чтобы перейти к одному неизвестному, нужны ещё две связи. Скорость фильтрации выражают законом Дарси в общем виде — с тензором проницаемости и силой тяжести (закон Дарси в общем виде). Накопление выражают через давление: плотность флюида и пористость зависят от давления, и по правилу дифференцирования сложной функции скорость изменения произведения $\rho\phi$ равна $\rho\phi\,c_t$ , умноженному на скорость изменения давления. Здесь $c_t = c + c_f$ — общая сжимаемость: сжимаемость флюида плюс сжимаемость пор (общая сжимаемость). Подстановка даёт:

Уравнение давления для однофазной фильтрации

\phi\rho\,c_t\,\frac{\partial p}{\partial t} = \nabla\cdot\left[\frac{\rho}{\mu}\,\mathbf{K}\left(\nabla p - \rho g\,\nabla D\right)\right] - \rho\,\tilde q,\qquad c_t = \frac{1}{\rho\phi}\,\frac{\dd(\rho\phi)}{\dd p}

где:

$p(x, y, z, t)$ давление — единственное неизвестное, Па
$\mathbf{K}$ тензор проницаемости; если оси модели направлены вдоль главных направлений, он диагонален: $k_x$ , $k_y$ , $k_z$ , м²
$\mu$ вязкость флюида, Па·с
$c_t$ общая сжимаемость: сжимаемость флюида $c$ плюс сжимаемость пор $c_f$ , 1/Па
$g,\ D$ ускорение свободного падения и глубина, отсчитываемая вниз, м/с², м
$\tilde q$ отбор скважиной на единицу объёма пласта (при закачке отрицателен), 1/с

Единицы: СИ

Справедливо, если

один подвижный флюид; закон Дарси (без инерционных потерь);
изотермическое течение;
плотность, вязкость, пористость и проницаемость могут зависеть от давления — уравнение пока ничего не упрощает.

Слева — сколько массы единица объёма пласта запасает при росте давления, справа — сколько её приносят перетоки и сколько уносит скважина. Знак минус перед градиентом в законе Дарси уже учтён: флюид течёт в сторону убывания потенциала, поэтому область пониженного давления «заполняется» от соседей.

Плотность $\rho(p)$ стоит и в накоплении, и в потоке. У жидкости она меняется на доли процента, у газа — почти пропорционально давлению.
Вязкость $\mu(p)$ у газа заметно растёт с давлением, у нефти выше давления насыщения меняется слабо.
Пористость $\phi(p)$ и общая сжимаемость меняются через сжимаемость пор.
Проницаемость $\mathbf{K}(p)$ в трещиноватых и слабосцементированных породах падает при снижении порового давления (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна).

Коэффициенты зависят от искомого давления, поэтому уравнение нелинейно, и общего аналитического решения у него нет даже в одном измерении. Симулятор и не упрощает его «на бумаге»: он записывает нелинейные уравнения для ячеек и на каждом шаге решает их итерациями, уточняя свойства по последнему приближению давления (дополнительный раздел и урок Схемы IMPES и полностью неявная).

Для понимания численных схем и для проверки их на точных решениях нужна линейная форма. Для слабосжимаемой жидкости — нефти выше давления насыщения или воды — произведение сжимаемости флюида на изменение давления мало ( $c\,\Delta p \ll 1$ , оценки — в уроке о пьезопроводности). Тогда изменением плотности в потоке пренебрегают и делят уравнение на $\rho$ ; вязкость и общую сжимаемость считают постоянными, а силу тяжести учитывают, заменив давление потенциалом $\Phi = p - \rho g D$ .

Линейное уравнение давления для неоднородного пласта

\phi\mu c_t\,\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k_x\frac{\partial p}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k_y\frac{\partial p}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k_z\frac{\partial p}{\partial z}\right) - \mu\,\tilde q

где:

$k_x,\ k_y,\ k_z$ главные проницаемости; могут меняться от точки к точке, м²
$\phi,\ \mu,\ c_t$ пористость, вязкость, общая сжимаемость (постоянные), —, Па·с, 1/Па
$\tilde q$ отбор на единицу объёма пласта в пластовых условиях, 1/с
$p$ давление; при учёте силы тяжести — потенциал $p - \rho g D$ с постоянной $\rho$ , Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

слабосжимаемая жидкость: $c\,\Delta p \ll 1$ ; изменение плотности в потоке не учитывается;
вязкость и общая сжимаемость не зависят от давления; пористость меняется мало;
оси координат направлены вдоль главных направлений проницаемости.

Уравнение линейно, но проницаемость остаётся под знаком производной: оно описывает неоднородный и анизотропный пласт. Если пласт однороден и изотропен, $k$ выносится за знак производной, и после деления на $k$ получается уравнение пьезопроводности с $\eta = k/(\phi\mu c_t)$ .

Что меняется, если…

…общая сжимаемость вдвое больше (например, у слабосцементированной породы со сжимаемыми порами) — тот же отбор снижает давление вдвое меньше, но до того же расстояния возмущение доходит вдвое дольше;
…в одной зоне проницаемость в 10 раз ниже — эта зона забирает на себя большую часть перепада давления и задерживает распространение возмущения через себя;
…сжимаемость стремится к нулю — левая часть исчезает, давление во всём пласте мгновенно подстраивается под отборы, и уравнение превращается в уравнение установившегося течения.

Начальное и граничные условия в модели

Уравнению, как и в аналитических задачах (условия задачи), нужны начальное и граничные условия. В модели каждое из них превращается в слагаемое в уравнении какой-то ячейки.

Начальное условие: давление в каждой ячейке в начальный момент. Его рассчитывают из гидростатического равновесия: давление растёт с глубиной на $\rho g$ на метр от давления на опорной глубине. Это часть инициализации модели (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна). Если начальное давление не согласовано с весом столба флюида, флюид в модели начнёт перетекать между ячейками без всяких скважин.
Непроницаемая граница: внешние грани модели по умолчанию закрыты: связи через них нет, проводимость равна нулю. Так же задают непроницаемые разломы и выклинивание пласта (непроницаемая граница).
Постоянное давление: граничную ячейку связывают с фиктивной ячейкой, давление в которой не меняется. Расстояние от центра ячейки до грани — половина ячейки, поэтому проводимость такой связи $T_b = 2k_iA/\Delta x_i$ вдвое больше, чем между двумя такими же ячейками. Так грубо описывают мощный водоносный горизонт; более точные модели — в уроке Модели притока законтурной воды.
Скважина с заданным дебитом: отбор $q_i$ известен и входит в уравнение ячейки как известная величина.
Скважина с заданным забойным давлением: отбор пропорционален разности давлений ячейки и забоя: $q_i = a_w\,(p_i - p_{wf})$ . Коэффициент $a_w$ рассчитывают по индексу скважины — это предмет модели скважины (Модель скважины в ячейке сетки). В неявной схеме неизвестное давление ячейки входит в отбор, и коэффициент добавляется к диагонали системы уравнений.

Нельзя задать всё сразу

У скважины задают либо дебит, либо забойное давление, но не оба: второе модель рассчитывает. Если в закрытом пласте со слабосжимаемой жидкостью все скважины работают с заданными дебитами, давление определяется только балансом отборов и закачки — при перекомпенсации оно неограниченно растёт, при недокомпенсации падает. Поэтому хотя бы часть скважин обычно ведут по забойному давлению или ограничивают давлением (режимы работы скважин).

Ячейки вместо производных: уравнение ячейки

Теперь обратный путь — от дифференциального уравнения к уравнениям, которые решает компьютер. Пласт разбит на ячейки, давление каждой относят к её центру; такую сетку называют блочно-центрированной (block-centred). Линейное уравнение интегрируют по объёму ячейки. Накопление даёт упругую ёмкость ячейки, умноженную на скорость изменения её давления. Дивергенция потока превращается в сумму расходов через грани. Расход через грань выражают законом Дарси для двух половинок соседних ячеек, соединённых последовательно, — через проводимость $T_{ij}$ , введённую в уроке о гидродинамической модели. Производные исчезают, и для каждой ячейки остаётся одно алгебраическое уравнение — уравнение ячейки.

Уравнение ячейки (однофазная слабосжимаемая жидкость)

S_i\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j a_{ij}\left(p_j - p_i\right) - q_i,\qquad S_i = V_{p,i}\,c_t,\qquad a_{ij} = \frac{0{,}0853\,T_{ij}}{\mu}

где:

$p_i^{n},\ p_i^{n+1}$ давление в ячейке $i$ в начале и в конце шага, МПа
$S_i$ упругая ёмкость ячейки: объём флюида, который она отдаёт при снижении давления на 1 МПа, м³/МПа
$V_{p,i}$ поровый объём ячейки, м³
$c_t$ общая сжимаемость, 1/МПа
$a_{ij}$ коэффициент связи ячеек $i$ и $j$ : расход между ними при разности давлений 1 МПа, м³/(сут·МПа)
$T_{ij}$ проводимость связи (геометрическая часть): $A/\big(\Delta x_i/(2k_i) + \Delta x_j/(2k_j)\big)$ , мД·м
$q_i$ отбор скважиной из ячейки $i$ в пластовых условиях (при закачке отрицателен), м³/сут
$\Delta t$ шаг по времени, сут

Единицы: метрические промысловые: $k$ в мД, длины в м, $\mu$ в мПа·с, $c_t$ в 1/МПа, $p$ в МПа, $t$ в сут, объёмы в пластовых условиях

Справедливо, если

слабосжимаемая жидкость, вязкость и сжимаемость постоянны (линейное уравнение);
сумма — по всем ячейкам, с которыми у ячейки $i$ есть общая грань или несоседнее соединение;
давления в правой части берут в начале шага (явная схема) или в конце (неявная);
если ячейки лежат на разной глубине, вместо $p_j - p_i$ ставят $(p_j - p_i) - \rho g\,(D_j - D_i)$ , где $\rho g$ — в МПа/м.

Ячейка ведёт себя как упругий бак: её давление меняется со скоростью, равной чистому притоку от соседей и скважины, делённому на её ёмкость. Коэффициент $a_{ij}$ одинаков для пары $(i, j)$ и $(j, i)$ : сколько ушло из одной ячейки, столько пришло в другую.

В других системах единиц (1)

СИ

V_{p,i}\,c_t\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j \frac{T_{ij}}{\mu}\left(p_j - p_i\right) - q_i

$V_p$ — м³, $c_t$ — 1/Па, $p$ — Па, $\Delta t$ — с, $T_{ij}$ — м³ (проницаемость в м²), $\mu$ — Па·с, $q$ — м³/с.

Постоянной нет: все величины в согласованных единицах.

В двух и трёх измерениях уравнение то же: у ячейки четыре или шесть соседей по граням (пятиточечная и семиточечная схемы), а в угловой геометрии со смещениями по разломам — столько связей, сколько у неё общих граней и несоседних соединений (Сетки в гидродинамических моделях). Система «баков и труб» в точности повторяет цепочку конденсаторов и резисторов из урока о пьезопроводности, только с конечным числом звеньев.

Шаг по времени: явная и неявная схемы

Остаётся решить главное: по давлениям какого момента считать перетоки на шаге. Если по давлениям начала шага, получается явная схема (explicit), если по давлениям конца шага — неявная. В уроке о гидродинамической модели этот выбор разобран для одного «бака» со скважиной. В сетке добавляется новое: ячейки связаны друг с другом.

Явная схема: новое давление ячейки

p_i^{n+1} = p_i^{n} + \frac{\Delta t}{S_i}\left[\sum_j a_{ij}\left(p_j^{n} - p_i^{n}\right) - q_i\right]

где:

$p_i^{n},\ p_j^{n}$ давления ячейки и её соседей в начале шага (известны), МПа
$S_i,\ a_{ij},\ q_i,\ \Delta t$ как в уравнении ячейки, м³/МПа, м³/(сут·МПа), м³/сут, сут

Единицы: метрические промысловые, как в уравнении ячейки

Справедливо, если

перетоки и отбор на всём шаге считают по давлениям начала шага.

Каждую ячейку пересчитывают отдельно по известным числам — система уравнений не нужна. Цена простоты: за один шаг возмущение продвигается ровно на одну ячейку, а при слишком большом шаге расчёт теряет устойчивость.

Предельный шаг явной схемы

\Delta t \le \min_i \tau_i,\qquad \tau_i = \frac{S_i}{\sum_j a_{ij}}

где:

$\tau_i$ характерное время ячейки: за такое время ячейка сравняла бы давление с соседями, если бы перетоки не менялись, сут
$S_i,\ a_{ij}$ упругая ёмкость ячейки и коэффициенты её связей, м³/МПа, м³/(сут·МПа)

Единицы: метрические промысловые (любые согласованные)

Справедливо, если

линейное уравнение; условие достаточное: при нём новое давление ячейки (без учёта отбора) — взвешенное среднее давлений её самой и соседей в начале шага с неотрицательными весами, и расчёт не может «перепрыгнуть» через соседей;
для длинной равномерной сетки условие точное, для короткой или неоднородной допустимый шаг немного больше (см. дополнительный раздел).

Шаг ограничивает самая «быстрая» ячейка — с наименьшей ёмкостью и самыми проводящими связями. Для равномерной одномерной сетки $\tau = \Delta x^2/(2\eta)$ : предельный шаг пропорционален квадрату размера ячейки и обратно пропорционален пьезопроводности.

В неявной схеме (implicit) перетоки и отбор считают по давлениям конца шага, ещё неизвестным. Тогда в уравнении каждой ячейки три неизвестных — её давление и давления соседей, — и уравнения всех ячеек приходится решать совместно.

Неявная схема: уравнение ячейки в системе

-a_{i,i-1}\,p_{i-1}^{n+1} + \left(\frac{S_i}{\Delta t} + \sum_j a_{ij}\right)p_i^{n+1} - a_{i,i+1}\,p_{i+1}^{n+1} = \frac{S_i}{\Delta t}\,p_i^{n} - q_i

где:

$p_{i-1}^{n+1},\ p_i^{n+1},\ p_{i+1}^{n+1}$ неизвестные давления ячейки и её соседей в конце шага, МПа
$a_{i,i\pm1}$ коэффициенты связи с соседями (у крайней ячейки отсутствующего соседа нет, коэффициент равен нулю), м³/(сут·МПа)
$S_i,\ q_i,\ \Delta t,\ p_i^{n}$ как в уравнении ячейки, м³/МПа, м³/сут, сут, МПа

Единицы: метрические промысловые

Справедливо, если

одномерная сетка; в двух и трёх измерениях в строке пять или семь неизвестных.
линейное уравнение; при нелинейном коэффициенты зависят от неизвестных давлений, и систему решают итерациями.

Матрица системы трёхдиагональная: в каждой строке ненулевые только диагональ и два соседних элемента. Диагональ строго больше суммы соседних коэффициентов, поэтому система разрешима при любом шаге и расчёт не порождает колебаний. Ёмкость ячейки входит в диагональ как $S_i/\Delta t$ : чем крупнее шаг, тем слабее «память» о начале шага.

Трёхдиагональную систему решают методом прогонки (Thomas algorithm): прямым ходом сверху вниз исключают из каждого уравнения предыдущее неизвестное, обратным ходом снизу вверх находят неизвестные. Число действий пропорционально числу ячеек — для одномерной задачи это почти так же быстро, как явный шаг. В двух и трёх измерениях матрица остаётся разреженной (пять или семь ненулевых диагоналей), но прогонка уже не подходит, и системы из миллионов уравнений решают итерационными методами с предобусловливанием (Решение систем линейных уравнений в симуляторах).

Метод прогонки для системы с трёхдиагональной матрицей

\begin{aligned} &w_i = b_i - l_i\,e_{i-1},\qquad e_i = \frac{u_i}{w_i},\qquad f_i = \frac{r_i + l_i\,f_{i-1}}{w_i}\\ &x_N = f_N,\qquad x_i = f_i + e_i\,x_{i+1}\quad (i = N - 1,\ \ldots,\ 1)\end{aligned}

где:

$x_i$ неизвестные (давления или их изменения за шаг), МПа
$b_i$ диагональный коэффициент уравнения $i$ , м³/(сут·МПа)
$l_i,\ u_i$ коэффициенты при соседях слева и справа, взятые с обратным знаком ( $a_{i,i-1}$ и $a_{i,i+1}$ ); $l_1 = 0$ , $u_N = 0$ , м³/(сут·МПа)
$r_i$ правая часть уравнения $i$ , м³/сут
$w_i,\ e_i,\ f_i$ вспомогательные величины прямого хода; $e_0 = f_0 = 0$ , м³/(сут·МПа), —, МПа

Единицы: любые согласованные

Справедливо, если

система вида $-l_i x_{i-1} + b_i x_i - u_i x_{i+1} = r_i$ с преобладающей диагональю (как в неявной схеме): деления на ноль не бывает.

Прямой ход превращает каждое уравнение в связь $x_i = f_i + e_i x_{i+1}$ с одним следующим неизвестным; последнее уравнение даёт $x_N$ сразу, а затем остальные находят в обратном порядке.

Явная и неявная схемы для уравнения давления

Свойство: Перетоки на шаге
Явная: по давлениям начала шага
Неявная: по давлениям конца шага

Свойство: Что решают
Явная: каждую ячейку отдельно
Неявная: систему уравнений для всех ячеек

Свойство: Устойчивость
Явная: заведомо при $\Delta t \le \tau_{\min}$
Неявная: при любом шаге

Свойство: Погрешность по времени
Явная: пропорциональна шагу
Неявная: пропорциональна шагу; крупный шаг сглаживает

Свойство: Применение
Явная: простые и учебные расчёты
Неявная: давление почти во всех симуляторах

Свойство	Явная	Неявная
Перетоки на шаге	по давлениям начала шага	по давлениям конца шага
Что решают	каждую ячейку отдельно	систему уравнений для всех ячеек
Устойчивость	заведомо при $\Delta t \le \tau_{\min}$	при любом шаге
Погрешность по времени	пропорциональна шагу	пропорциональна шагу; крупный шаг сглаживает
Применение	простые и учебные расчёты	давление почти во всех симуляторах

Есть и промежуточные схемы — например, перетоки по среднему давлению шага. Их точность и устойчивость, а также общая теория конечных разностей — в уроке Конечные разности: от уравнений к вычислениям.

Пример: полоса пласта из четырёх ячеек

Проследим обе схемы на сетке, которую можно посчитать вручную. Полоса пласта длиной 1000 м, шириной 200 м и толщиной 15 м разбита на четыре ячейки по 250 м; оба конца полосы непроницаемы. Порода и нефть — те же, что в уроке Режимы фильтрации; в ячейке 3 — заглинизированная зона с пониженной проницаемостью. В ячейке 4 работает скважина с дебитом 100 м³/сут в стандартных условиях.

СхемаПолоса пласта из четырёх ячеек (схема, не в масштабе): проницаемость ячеек, проводимости связей между ними, скважина в ячейке 4 и непроницаемые концы. Данные примеров ниже.

Расчётный примерПроводимости, ёмкости и предельный шаг явной схемы

Исходные данные (условные)

Ячейки: 4 ячейки по $\Delta x$ = 250 м; ширина 200 м; толщина $h$ = 15 м
Проницаемость ячеек 1–4: 80; 80; 20; 100 мД
Порода и нефть (урок Режимы фильтрации): $\phi$ = 0,20; $\mu$ = 1,2 мПа·с; $c_t = 2{,}1125\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $B$ = 1,3
Скважина в ячейке 4: 100 м³/сут в стандартных условиях

Решение

Площадь грани $A = 200\cdot15 = 3000$ м², расстояние от центра ячейки до грани 125 м.
Проводимости: $T_{12} = \dfrac{3000}{125/80 + 125/80} = 960$ ; $T_{23} = \dfrac{3000}{125/80 + 125/20} = 384$ ; $T_{34} = \dfrac{3000}{125/20 + 125/100} = 400$ мД·м.
Коэффициенты связи $a = 0{,}0853\,T/1{,}2$ : $a_{12} = 68{,}240$ , $a_{23} = 27{,}296$ , $a_{34} = 28{,}433$ м³/(сут·МПа).
Поровый объём ячейки $V_p = 250\cdot200\cdot15\cdot0{,}20 = 150\,000$ м³; упругая ёмкость $S = 150\,000\cdot2{,}1125\cdot10^{-3} = 316{,}875$ м³/МПа.
Характерные времена $\tau_i = S/\sum_j a_{ij}$ : $\tau_1 = 316{,}875/68{,}240 = 4{,}64$ ; $\tau_2 = 316{,}875/(68{,}240 + 27{,}296) = 3{,}32$ ; $\tau_3 = 316{,}875/(27{,}296 + 28{,}433) = 5{,}69$ ; $\tau_4 = 316{,}875/28{,}433 = 11{,}14$ сут.
Отбор в пластовых условиях: $q_4 = 100\cdot1{,}3 = 130$ м³/сут.

Ответ: Явная схема гарантированно устойчива при шаге не больше 3,32 сут — его задаёт ячейка 2 с двумя хорошо проводящими связями.

Что это значит. Заглинизированная ячейка 3 снизила проводимость обеих своих связей в 2,4–2,5 раза по сравнению со связью двух ячеек по 80 мД — так работает гармоническое осреднение. Самой «быстрой» оказалась не ячейка со скважиной, а ячейка 2: у неё больше всего проводимости на единицу ёмкости. Точный предел устойчивости для этой полосы чуть больше — 4,1 сут; условие $\Delta t \le \tau_{\min}$ даёт его с запасом. Данные примера условные.

Расчётный примерЯвная схема: два шага по 2 сут и шаги по 10 сут

Исходные данные (условные)

Полоса и коэффициенты: из предыдущего примера; начальное давление 20 МПа во всех ячейках (выше давления насыщения)
Шаг: $\Delta t$ = 2 сут — меньше $\tau_{\min}$ = 3,3 сут; затем 10 сут

Решение

Шаг 1. Давление всюду одинаково, перетоков нет; меняется только ячейка 4: $p_4 = 20 - \dfrac{2\cdot130}{316{,}875} = 19{,}18$ МПа.
Шаг 2. Переток из ячейки 3 в ячейку 4: $28{,}433\cdot(20 - 19{,}18) = 23{,}3$ м³/сут. Ячейка 3: $p_3 = 20 - \dfrac{2\cdot23{,}3}{316{,}875} = 19{,}85$ МПа.
Ячейка 4: $p_4 = 19{,}18 + \dfrac{2\,(23{,}3 - 130)}{316{,}875} = 18{,}51$ МПа. Ячейки 1 и 2 возмущение ещё «не видят»: давление в них 20 МПа.
Сравнение с точным решением тех же уравнений ячеек (расчёт с очень мелким шагом) через 4 сут: $p_3 = 19{,}79$ , $p_4 = 18{,}60$ МПа. Ошибка явной схемы — сотые доли мегапаскаля.
Шаг 10 сут (больше предела). Первый шаг: $p_4 = 20 - 10\cdot130/316{,}875 = 15{,}90$ МПа против точных 17,04 МПа. Дальше расчёт идёт вразнос: через 30 сут давление в ячейке 3 растёт до 18,7 МПа, хотя в ячейке 2 оно падает, а через 40 сут в ячейке 2 — 25,3 МПа.

Ответ: При шаге 2 сут явная схема даёт через 4 сут

p_4

= 18,51 МПа (точно 18,60 МПа); при шаге 10 сут давление в ячейке 2 через 40 сут — 25,3 МПа, выше начального.

Что это значит. Из закрытой полосы только отбирают нефть, поэтому ни в одной ячейке давление не может подняться выше начальных 20 МПа. Значения выше 20 МПа — признак неустойчивости: каждый шаг «перебрасывает» флюид через соседа, и колебания нарастают. При шаге меньше $\tau_{\min}$ такого не бывает, но и тогда за шаг возмущение проходит лишь одну ячейку. Данные примера условные.

Расчётный примерНеявная схема: один шаг 10 сут методом прогонки

Исходные данные (условные)

Полоса и коэффициенты: из первого примера; начальное давление 20 МПа
Шаг: $\Delta t$ = 10 сут — втрое больше $\tau_{\min}$

Решение

Неизвестные — изменения давления за шаг $\delta_i = p_i^{n+1} - p_i^{n}$ . В начале шага давление всюду одинаково, поэтому правая часть отлична от нуля только у ячейки 4: $r = (0;\ 0;\ 0;\ -130)$ .
Диагональ $b_i = S/\Delta t + \sum_j a_{ij}$ , где $S/\Delta t = 31{,}6875$ : $b_1 = 99{,}93$ , $b_2 = 127{,}22$ , $b_3 = 87{,}42$ , $b_4 = 60{,}12$ м³/(сут·МПа).
Прямой ход: $e_1 = 68{,}240/99{,}93 = 0{,}6829$ ; $w_2 = 127{,}22 - 68{,}240\cdot0{,}6829 = 80{,}62$ , $e_2 = 27{,}296/80{,}62 = 0{,}3386$ .
$w_3 = 87{,}42 - 27{,}296\cdot0{,}3386 = 78{,}18$ , $e_3 = 28{,}433/78{,}18 = 0{,}3637$ ; $w_4 = 60{,}12 - 28{,}433\cdot0{,}3637 = 49{,}779$ . Все $f_i$ до третьего равны нулю, $f_4 = -130/49{,}779$ .
Обратный ход: $\delta_4 = -130/49{,}779 = -2{,}612$ ; $\delta_3 = 0{,}3637\cdot\delta_4 = -0{,}950$ ; $\delta_2 = 0{,}3386\cdot\delta_3 = -0{,}322$ ; $\delta_1 = 0{,}6829\cdot\delta_2 = -0{,}220$ МПа.
Давления через 10 сут: 19,78; 19,68; 19,05; 17,39 МПа. Точное решение тех же уравнений: 19,92; 19,82; 19,11; 17,04 МПа.
Проверка баланса: $S\sum\delta_i = 316{,}875\cdot(-4{,}10) \approx -1300$ м³ — столько, сколько отобрала скважина за 10 сут: $130\cdot10 = 1300$ м³ (без округлений равенство точное).

Ответ: Через 10 сут давление в ячейке со скважиной 17,39 МПа (точно 17,04 МПа), в дальней ячейке 1 — 19,78 МПа (точно 19,92 МПа).

Что это значит. Неявный шаг втрое больше предела явной схемы прошёл без колебаний, и масса сохранилась точно. Но крупный шаг «размазал» возмущение: ячейка со скважиной истощена меньше точного (на 0,35 МПа), а дальние ячейки — сильнее, как будто давление успело выровняться. Устойчивость не заменяет точности: шаг по-прежнему выбирают так, чтобы результат почти не менялся при его уменьшении. Данные примера условные.

РасчётДавление в ячейке 2 полосы из примеров: точное решение уравнений ячеек, явная схема с шагом 2 и 10 сут и неявная с шагом 10 сут. Точки — рассчитанные шаги. Явная схема с шагом 10 сут поднимает давление выше начального — признак неустойчивости.

Почему давление в симуляторах считают неявно

Предельный шаг явной схемы пропорционален квадрату размера ячейки. В пласте с крупными ячейками он измеряется сутками, но модели сгущают сетку у скважин и делят пласт на тонкие слои — и там предел падает до минут и секунд. Шаг одинаков для всей модели, поэтому одна мелкая ячейка у скважины заставила бы считать миллионы шагов. Для равномерной сетки предел удобно записать через пьезопроводность по каждому направлению:

Предельный шаг явной схемы для равномерной сетки

\Delta t_{\max} = \frac{1}{2}\left(\frac{\eta_x}{\Delta x^2} + \frac{\eta_y}{\Delta y^2} + \frac{\eta_z}{\Delta z^2}\right)^{-1},\qquad \eta_x = \frac{0{,}0853\,k_x}{\phi\mu c_t}

где:

$\Delta t_{\max}$ наибольший шаг, при котором явная схема устойчива, сут
$\eta_x,\ \eta_y,\ \eta_z$ пьезопроводность вдоль осей (с проницаемостью $k_x$ , $k_y$ , $k_z$ ), м²/сут
$\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z$ размеры ячейки, м
$k,\ \phi,\ \mu,\ c_t$ проницаемость, пористость, вязкость, общая сжимаемость, мД, —, мПа·с, 1/МПа

Единицы: метрические промысловые: $k$ в мД, $\mu$ в мПа·с, $c_t$ в 1/МПа, размеры в м, $\Delta t$ в сут

Справедливо, если

равномерная сетка внутри пласта, линейное уравнение; в одном измерении остаётся одно слагаемое, и $\Delta t_{\max} = \Delta x^2/(2\eta)$ .

Это то же условие $\Delta t \le \tau_i$ , записанное для внутренней ячейки равномерной сетки. Тонкий слой с малой вертикальной проницаемостью может ограничить шаг сильнее, чем крупные ячейки в плане.

В других системах единиц (1)

Пьезопроводность в метрических промысловых единицах

\eta\,[\text{м}^2/\text{сут}] = 0{,}0853\,\frac{k\,[\text{мД}]}{\phi\;\mu\,[\text{мПа·с}]\;c_t\,[\text{МПа}^{-1}]}

$k$ — мД, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $\eta$ — м²/сут.

$0{,}0853 = 24\cdot3{,}553\cdot10^{-3}$ : постоянная пьезопроводности из урока о пьезопроводности в м²/ч, умноженная на 24 ч.

Расчётный примерПредельный шаг явной схемы: от крупных ячеек к ячейкам у скважины

Исходные данные (условные)

Пласт (урок Режимы фильтрации): $k$ = 50 мД; $\phi$ = 0,20; $\mu$ = 1,2 мПа·с; $c_t = 2{,}1125\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Сетки: площадные квадратные ячейки 250, 50 и 10 м; у скважины — ячейка 10 × 10 × 1 м с вертикальной проницаемостью 5 мД

Решение

Пьезопроводность: $\eta = \dfrac{0{,}0853\cdot50}{0{,}20\cdot1{,}2\cdot2{,}1125\cdot10^{-3}} = 8412$ м²/сут; по вертикали (5 мД) — 841,2 м²/сут.
Площадная сетка, два направления: $\Delta t_{\max} = \Delta x^2/(4\eta)$ . Ячейки 250 м: $250^2/(4\cdot8412) = 1{,}86$ сут.
Ячейки 50 м: 0,074 сут, то есть 1,8 ч. Ячейки 10 м: 0,0030 сут, около 4,3 мин.
Трёхмерная ячейка 10 × 10 × 1 м: $\dfrac{8412}{100} + \dfrac{8412}{100} + \dfrac{841{,}2}{1} = 1009$ сут⁻¹; в секундах $\Delta t_{\max} = \dfrac{86\,400}{2\cdot1009} = 43$ с.
Прогноз на 30 лет ( $30\cdot365\cdot86\,400$ с) с таким шагом потребовал бы около 22 млн шагов.

Ответ: Предельный шаг падает с 1,86 сут для ячеек 250 м до 43 с для тонкой ячейки у скважины.

Что это значит. Явный расчёт давления в реальной модели практически невозможен: его шаг определяли бы самые мелкие ячейки. Поэтому давление в симуляторах считают неявно — либо одно давление (схема IMPES: неявное давление, явная насыщенность), либо давление и насыщенности вместе (полностью неявная схема); шаг тогда выбирают по точности и по скорости изменения режимов скважин — обычно от долей суток до месяца (Схемы IMPES и полностью неявная). Данные примера условные.

Неявный расчёт тоже не бесплатен: на каждом шаге решают систему с миллионами неизвестных, а для нелинейного уравнения — несколько раз за шаг. Но шаг определяет уже не устойчивость, а нужная точность, и итог выигрывает на порядки. Шаг обычно делают переменным: мелким после пуска и остановки скважин, когда давление меняется быстро, и крупным в спокойные периоды.

Термины и обозначения

Уравнение давления: уравнение однофазной фильтрации относительно давления, полученное из баланса массы, закона Дарси и сжимаемости; в симуляторе записывается для каждой ячейки.
Контрольный объём: объём (обычно ячейка сетки), для которого подсчитывают массу вошедшего, вышедшего и накопленного флюида.
Упругая ёмкость ячейки $S_i$: $V_{p,i}c_t$ , м³/МПа: объём флюида, который ячейка отдаёт при снижении давления на 1 МПа.
Коэффициент связи $a_{ij}$: $0{,}0853\,T_{ij}/\mu$ , м³/(сут·МПа): расход между соседними ячейками при разности давлений 1 МПа.
Характерное время ячейки $\tau_i$: отношение упругой ёмкости ячейки к сумме коэффициентов её связей; явная схема устойчива при шаге не больше наименьшего $\tau_i$ .
Явная и неявная схемы: перетоки на шаге считаются по давлениям начала шага (каждая ячейка пересчитывается отдельно) или конца шага (решается система уравнений).
Метод прогонки: прямой метод решения системы с трёхдиагональной матрицей: прямой ход исключает предыдущее неизвестное, обратный находит неизвестные; число действий пропорционально числу уравнений.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Неявная схема устойчива — значит, с ней можно брать любой шаг».

На самом деле

Устойчива — да, точна — нет. В примере урока шаг 10 сут оставил в ячейке со скважиной давление на 0,35 МПа выше точного, а дальние ячейки истощил сильнее. Шаг проверяют на сходимость: результат не должен заметно меняться при его уменьшении.

Неверно

«Баланс массы в модели сходится — значит, давления верные».

На самом деле

Уравнения ячеек сохраняют массу при любом шаге — и в неустойчивом расчёте тоже: в примере явная схема с шагом 10 сут подняла давление выше начального, а сумма $S\,\delta p$ по ячейкам осталась равной отбору. Баланс массы проверяет решение систем уравнений, а не точность схемы.

Неверно

«Уравнение давления симулятора — это уравнение пьезопроводности».

На самом деле

Уравнение пьезопроводности — частный случай: однородный пласт, слабосжимаемая жидкость, постоянные свойства. Симулятор решает нелинейное уравнение с переменной проницаемостью, силой тяжести и свойствами, зависящими от давления.

Неверно

«Давление в ячейке со скважиной и есть забойное давление».

На самом деле

Давление ячейки — одно число на весь её объём, а ячейка в сотни раз шире ствола: оно равно давлению радиального притока на расстоянии около 0,2 размера ячейки от скважины, а забойное давление ниже его на перепад в окрестности скважины. Их связывает модель скважины (Модель скважины в ячейке сетки).

Подробно: для продвинутых

Почему сетка не теряет массу

Сложим уравнения всех ячеек. Каждый переток входит в сумму дважды — с плюсом в уравнении ячейки, куда флюид пришёл, и с минусом в уравнении ячейки, откуда он ушёл, — потому что коэффициент связи $a_{ij} = a_{ji}$ . Перетоки взаимно уничтожаются, и остаётся:

Сумма уравнений ячеек — материальный баланс

\sum_i S_i\left(p_i^{n+1} - p_i^{n}\right) = -\Delta t\sum_i q_i

где:

$S_i$ упругая ёмкость ячейки, м³/МПа
$p_i^{n},\ p_i^{n+1}$ давления ячейки в начале и конце шага, МПа
$q_i$ отбор скважинами из ячейки в пластовых условиях, м³/сут
$\Delta t$ шаг по времени, сут

Единицы: метрические промысловые

Справедливо, если

закрытые внешние границы; при связи с водоносным горизонтом в сумме остаётся приток через границу;
выполняется при любом шаге и для явной, и для неявной схемы.

Это материальный баланс залежи как «бака»: сумма снижений давления, взвешенных по поровым объёмам ячеек, равна отобранному объёму, делённому на общую сжимаемость. Сетка из многих ячеек содержит модель «бака» как частный случай и не может ему противоречить.

Поэтому погрешность баланса, которую печатают симуляторы, говорит не о точности схемы, а о том, насколько точно решены уравнения на шаге: сколько итераций сделано и с какой допустимой невязкой. Заметная ошибка баланса — повод уменьшить шаг или допуски решателя; её отсутствие ничего не говорит о том, правильно ли выбраны сетка и шаг.

В полосе урока после переходного периода все ячейки истощаются с одинаковой скоростью: $130/(4\cdot316{,}875) \approx 0{,}103$ МПа/сут — это и есть «бак». Перепады между ячейками при этом постоянны. Через грань 3–4 идёт отбор трёх ячеек, $97{,}5$ м³/сут, и на ней теряется $97{,}5/28{,}433 \approx 3{,}4$ МПа; через грань 2–3 — $65/27{,}296 \approx 2{,}4$ МПа; через грань 1–2 — $32{,}5/68{,}24 \approx 0{,}5$ МПа. На две связи заглинизированной ячейки приходится больше 90 % перепада давления — та же картина, что у скин-фактора у скважины.

Откуда предел шага явной схемы

Для одного «бака» со скважиной явный шаг умножает отклонение давления от забойного на $1 - \Delta t/\tau$ , и расчёт устойчив при $\Delta t < 2\tau$ (устойчивость шага). В сетке худший случай — «шахматный» узор: давления соседних ячеек отклоняются от среднего в противоположные стороны. Тогда разность давлений ячейки с соседом вдвое больше её собственного отклонения, и за явный шаг отклонение умножается на $1 - 2\Delta t/\tau$ . Множитель по модулю не больше единицы при $\Delta t \le \tau$ — отсюда условие для равномерной сетки и множитель 2 в $\Delta x^2/(2\eta)$ .

На неравномерной или короткой сетке «шахматный» узор не может развиться в полную силу, и допустимый шаг немного больше. В полосе урока $\tau_{\min}$ = 3,3 сут, а точный предел — около 4,1 сут: его даёт наибольшее собственное число матрицы связей, делённой на ёмкости. Условие $\Delta t \le \tau_i$ проще и надёжнее: его проверяют по каждой ячейке отдельно. Общая теория устойчивости и погрешности разностных схем — в уроке Конечные разности: от уравнений к вычислениям.

Нелинейное уравнение: итерации на шаге

В полном уравнении давления плотность, вязкость, объёмный коэффициент и пористость зависят от давления. Поэтому и коэффициенты уравнений ячеек — ёмкость $S_i$ и коэффициенты связи $a_{ij}$ — зависят от неизвестных давлений конца шага. Простейший способ решения — итерации с запаздывающими коэффициентами: коэффициенты вычисляют по давлениям начала шага, решают линейную систему, пересчитывают коэффициенты по полученным давлениям и повторяют, пока изменения давлений между итерациями не станут меньше допуска.

Симуляторы чаще применяют метод Ньютона: невязки уравнений всех ячеек раскладывают по изменениям неизвестных, и на каждой итерации решают линейную систему с матрицей производных (якобианом). Он сходится за несколько итераций, даже когда свойства сильно меняются с давлением, — например, у газа, плотность которого почти пропорциональна давлению. Для газа в аналитических задачах давление заменяют псевдодавлением (псевдодавление); численной модели такая замена не нужна: она решает нелинейные уравнения напрямую (Схемы IMPES и полностью неявная).

Связь с другими темами

Уравнение пьезопроводности — то же уравнение для однородного пласта и его аналитические решения; закон Дарси в общем виде.
Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна — баланс ячейки, проводимость и явный и неявный шаг для одного «бака».
Сетки в гидродинамических моделях — какие бывают сетки и как размер ячеек влияет на результат.
Модель скважины в ячейке сетки — как связать давление ячейки со скважиной с забойным давлением и дебитом.
Перетоки между ячейками и проводимость — осреднение проницаемости между ячейками и взвешивание подвижности.
Конечные разности: от уравнений к вычислениям — общая теория разностных схем: погрешность, устойчивость, промежуточные схемы.
Уравнения двухфазной фильтрации — уравнения давления и насыщенности для двух фаз.
Схемы IMPES и полностью неявная — схемы IMPES и полностью неявная, итерации Ньютона.

Проверьте себя

1
Что делает однофазное уравнение давления нелинейным?
1. А.Зависимость плотности, вязкости и пористости от искомого давления
2. Б.Отбор скважиной
3. В.Слагаемое с силой тяжести
4. Г.Производная давления по времени
Показать ответ
Правильный ответ: А. Зависимость плотности, вязкости и пористости от искомого давления
Уравнение нелинейно, когда его коэффициенты зависят от неизвестной функции. Плотность и вязкость флюида, пористость, а иногда и проницаемость меняются с давлением, поэтому решения нельзя складывать и общего аналитического решения нет. Производная по времени, сила тяжести с постоянной плотностью и заданный отбор входят линейно.
2
Оцените предельный шаг явной схемы для одномерной равномерной сетки с ячейками 100 м: $k$ = 200 мД, $\phi$ = 0,25, $\mu$ = 0,8 мПа·с, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹.
Показать ответ
Пьезопроводность $\eta = 0{,}0853\cdot200/(0{,}25\cdot0{,}8\cdot1{,}5\cdot10^{-3}) = 17{,}06/3\cdot10^{-4} \approx 56\,900$ м²/сут. Для одного измерения $\Delta t_{\max} = \Delta x^2/(2\eta) = 10\,000/113\,700 \approx 0{,}088$ сут, около 2,1 ч. Для площадной сетки с такими же квадратными ячейками предел вдвое меньше.
3
В закрытой модели с одной добывающей скважиной сумма $\sum_i S_i\,(p_i^{n+1} - p_i^{n})$ по всем ячейкам за шаг равна:
1. А.минус отбору скважины только в неявной схеме
2. Б.нулю: перетоки между ячейками уравновешивают отбор
3. В.минус отбору скважины только при шаге меньше предельного
4. Г.минус отбору скважины за шаг — при любой схеме и любом шаге
Показать ответ
Правильный ответ: Г. минус отбору скважины за шаг — при любой схеме и любом шаге
Каждый переток входит в уравнения двух ячеек с противоположными знаками и при сложении исчезает; остаётся отбор скважины. Это верно для явной и неявной схем и при любом шаге — даже в неустойчивом расчёте. Поэтому баланс массы не доказывает, что давления рассчитаны точно.
4
Крайнюю ячейку модели (проницаемость 120 мД, длина 200 м, площадь грани 2000 м²) связывают с областью постоянного давления. Чему равна проводимость этой связи и почему она вдвое больше проводимости между двумя такими же ячейками?
Показать ответ
Расстояние от центра ячейки до её грани — половина ячейки, 100 м: $T_b = kA/(\Delta x/2) = 120\cdot2000/100 = 2400$ мД·м. Между двумя одинаковыми ячейками поток проходит две половинки, $T = A/(100/120 + 100/120) = 1200$ мД·м. Постоянное давление задано прямо на грани, поэтому сопротивление вдвое меньше.
5
Ячейки площадной модели 200 × 200 м заменили ячейками 40 × 40 м. Как изменится предельный шаг явной схемы для давления?
1. А.Увеличится в 25 раз
2. Б.Не изменится
3. В.Уменьшится в 25 раз
4. Г.Уменьшится в 5 раз
Показать ответ
Правильный ответ: В. Уменьшится в 25 раз
Предельный шаг пропорционален квадрату размера ячейки: $(200/40)^2 = 25$ . Именно поэтому мелкие ячейки у скважин делают явный расчёт давления непрактичным, и симуляторы считают давление неявно.
6
Почему в примере урока неявный шаг 10 сут дал в ячейке со скважиной давление выше точного, а в дальней ячейке — ниже?
Показать ответ
Неявная схема считает перетоки на всём шаге по давлениям конца шага, когда воронка депрессии уже распространилась. В начале шага перетоки к скважине в действительности меньше, а дальние ячейки ещё почти не затронуты. Схема как бы мгновенно распределяет отбор по всей полосе: ячейка со скважиной истощается меньше, дальние — больше. С уменьшением шага это сглаживание исчезает.

Обновлено: 7 октября 2026 г.