Сетки в гидродинамических моделях

Кратко о главном

Сетку выбирает инженер, а не пласт: размерность, геометрию и размер ячеек подбирают под вопрос, на который должна ответить модель.
Внутри ячейки всё одинаково. Всё, что меньше ячейки, — фронт, конус, тонкий пропласток — модель видит лишь в среднем.
Численная дисперсия: крупные ячейки размазывают фронт и дают преждевременный прорыв. Для метки или смешивающегося агента размытие растёт как корень из размера ячейки, поэтому, чтобы уменьшить его вдвое, ячейки по направлению потока нужно измельчить вчетверо.
Эффект ориентации: при обычной пятиточечной схеме результат зависит от того, идёт ли поток вдоль линий сетки или по диагонали; сильнее всего — при неблагоприятном соотношении подвижностей, например при закачке газа.
Мелкие ячейки нужны там, где быстро меняются давление и насыщенность, — у скважин и на фронтах; там сетку сгущают локально.
Сходимость: сетку измельчают, пока ответ не перестанет заметно меняться. Варианты разработки сравнивают на сетке, где численная погрешность меньше разницы между ними.

Ключевые соотношения

r_i = r_w\,\alpha^{i},\quad \alpha = (r_e/r_w)^{1/N}

логарифмически разнесённая радиальная сетка из $N$ колец

\sigma_x \approx \sqrt{\Delta x\, x_f}

масштаб размытия фронта метки при схеме «против потока»

R_\infty \approx R_{2N} + \dfrac{R_{2N} - R_N}{2^{p} - 1}

экстраполяция результата к бесконечно мелкой сетке ( $p$ — порядок сходимости)

Где чаще всего ошибаются

Сравнивать варианты разработки на сетке, где численная погрешность сопоставима с разницей между ними.
Подстраивать проницаемость под ранний прорыв воды в модели, не проверив, не создан ли он крупными ячейками.
Изучать конусы воды и газа на полномасштабной сетке с ячейками в сотни метров.
Резко менять размер соседних ячеек и сильно искажать их форму.

После урока вы сможете

объяснить, что такое пространственная и временная дискретизация и что означают свойства ячейки;
выбрать размерность и тип сетки — одномерную, профильную, площадную, радиальную или трёхмерную — под конкретную задачу;
описать декартовы, радиальные, угловые (corner point) и неструктурированные сетки, локальное измельчение и связи через разломы;
построить логарифмически разнесённую радиальную сетку у скважины;
объяснить численную дисперсию и эффект ориентации сетки, оценить размытие фронта и назвать способы уменьшить эти погрешности;
проверить сходимость результата по сетке и оценить её погрешность экстраполяцией к бесконечно мелкой сетке.

Сетка: пласт, разбитый на ячейки

Уравнения течения для реального пласта точно не решить, поэтому пласт разбивают на конечное число ячеек, а время — на шаги (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна). Разбиение пространства называют пространственной дискретизацией, разбиение времени — временной. В каждой ячейке симулятор хранит одно давление и один набор насыщенностей, а для каждой пары соседних ячеек рассчитывает переток по закону Дарси через их общую грань (Перетоки между ячейками и проводимость).

Проще всего устроена декартова сетка (Cartesian grid) из прямоугольных ячеек с размерами $\Delta x$ , $\Delta y$ , $\Delta z$ . Размеры не обязаны быть одинаковыми: вдоль каждого направления шаг может меняться, а толщины слоёв ячеек обычно следуют геологическим слоям. Число ячеек равно произведению их числа по направлениям, $N_x N_y N_z$ , и быстро растёт при измельчении: если уменьшить все три размера вдвое, ячеек станет в 8 раз больше.

Каждой ячейке приписывают свойства: глубину центра, пористость и долю коллектора, проницаемость по трём направлениям, тип породы с его кривыми относительной проницаемости и капиллярного давления. Это эффективные значения для объёма в десятки и сотни тысяч кубометров породы. Пористость осредняют по объёму, а проницаемость — в зависимости от направления потока: вдоль слоёв ближе к среднему арифметическому, поперёк — к гармоническому (Проницаемость горных пород). Перенос свойств с детальной геологической модели на расчётную сетку называют ремасштабированием (Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке).

Ячейка — как пиксель

Сетка похожа на цифровую фотографию: чем крупнее пиксели, тем больше деталей теряется, а тонкая линия либо исчезает, либо превращается в полосу шириной в пиксель. Так и в модели: тонкий выдержанный глинистый прослой, узкий фронт вытеснения или конус воды у скважины, если он меньше ячейки, модель передаёт лишь «в среднем по ячейке». Аналогия неполна: в модели от размера «пикселя» зависит не только изображение, но и сам рассчитанный процесс — скорость фронта, время прорыва, добыча.

Размерность: 1D, 2D или 3D

Первое решение — сколько измерений нужно, чтобы ответить на вопрос. Полномасштабная трёхмерная модель — не всегда лучший выбор: для изучения механизма процесса часто полезнее быстрая модель меньшей размерности, на которой можно выполнить сотни расчётов.

Размерность сетки и типичные задачи

Сетка: Одномерная горизонтальная
Для чего подходит: вытеснение в однородном пласте, проверка численных настроек по аналитическому решению (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)
Чего не учитывает: неоднородность по разрезу и площади, гравитацию

Сетка: Одномерная вертикальная (столбец)
Для чего подходит: гравитационно устойчивое вытеснение нефти газом сверху, гравитационный дренаж
Чего не учитывает: площадную картину

Сетка: Двумерная профильная (x–z)
Для чего подходит: влияние слоистости и отношения $k_v/k_h$ на охват по разрезу, прорыв по высокопроницаемым пропласткам, псевдофункции для крупной модели
Чего не учитывает: площадную неоднородность и расстановку скважин

Сетка: Двумерная площадная (x–y)
Для чего подходит: площадной охват при заводнении или закачке газа, расстановка и уплотнение скважин
Чего не учитывает: слоистость и гравитацию, если пласт представлен одним слоем ячеек

Сетка: Двумерная радиальная (r–z)
Для чего подходит: приток к одиночной вертикальной скважине, конусы воды и газа
Чего не учитывает: другие скважины и площадную неоднородность: принята осевая симметрия

Сетка: Трёхмерная
Для чего подходит: полномасштабные модели месторождений и участков, прогноз добычи по скважинам
Чего не учитывает: учитывает всё перечисленное, но дороже всех

Сетка	Для чего подходит	Чего не учитывает
Одномерная горизонтальная	вытеснение в однородном пласте, проверка численных настроек по аналитическому решению (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)	неоднородность по разрезу и площади, гравитацию
Одномерная вертикальная (столбец)	гравитационно устойчивое вытеснение нефти газом сверху, гравитационный дренаж	площадную картину
Двумерная профильная (x–z)	влияние слоистости и отношения $k_v/k_h$ на охват по разрезу, прорыв по высокопроницаемым пропласткам, псевдофункции для крупной модели	площадную неоднородность и расстановку скважин
Двумерная площадная (x–y)	площадной охват при заводнении или закачке газа, расстановка и уплотнение скважин	слоистость и гравитацию, если пласт представлен одним слоем ячеек
Двумерная радиальная (r–z)	приток к одиночной вертикальной скважине, конусы воды и газа	другие скважины и площадную неоднородность: принята осевая симметрия
Трёхмерная	полномасштабные модели месторождений и участков, прогноз добычи по скважинам	учитывает всё перечисленное, но дороже всех

Профильная модель — «разрез» между нагнетательной и добывающей скважинами. Результаты таких детальных расчётов часто переносят в крупную трёхмерную модель через псевдоотносительные проницаемости (Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции).

Геометрия ячеек: декартова, радиальная, угловая, неструктурированная

СхемаТипы сеток: (а) декартова с шагом, уменьшающимся к центру; (б) радиальная r–z с кольцами, расширяющимися от скважины, и конусом подошвенной воды; (в) угловая геометрия: ячейки следуют наклону слоёв, по разлому со смещением слой 2 левого блока граничит со слоем 1 правого — это несоседнее соединение (NNC); (г) локальное измельчение — вложенная мелкая сетка вокруг скважины. Схемы не в масштабе.

Декартова сетка проста в построении и расчёте, и долгое время полномасштабные модели строили в основном на ней. Её слабость — геометрия реальных пластов: наклонные и изогнутые слои она передаёт «лесенкой», а разломы, не параллельные линиям сетки, — ступенчато.

Радиальная сетка (r–z) описывает приток к одиночной вертикальной скважине: ячейки — кольца вокруг оси скважины, разбитые по вертикали на слои. У скважины давление меняется пропорционально логарифму расстояния (Установившийся радиальный приток), поэтому самые резкие изменения сосредоточены в первых метрах. Кольца делают тонкими у скважины и широкими вдали, так чтобы отношение радиусов соседних границ было постоянным.

Логарифмически разнесённая радиальная сетка

r_i = r_w\,\alpha^{i}, \qquad \alpha = \left(\frac{r_e}{r_w}\right)^{1/N}, \qquad i = 0, 1, \dots, N

где:

$r_i$ радиус $i$ -й границы между кольцами; $r_0 = r_w$ , $r_N = r_e$ , м
$r_w$ радиус скважины, м
$r_e$ внешний радиус модели, м
$N$ число колец, —
$\alpha$ отношение радиусов соседних границ, —

Единицы: любые одинаковые единицы длины

Справедливо, если

вертикальная скважина в центре модели, осевая симметрия;
расчётную точку кольца часто ставят в его «логарифмической середине», на радиусе $\sqrt{r_{i-1} r_i}$ ; в разных симуляторах правила немного различаются.

При установившемся радиальном притоке в однородном пласте перепад давления на кольце пропорционален $\ln(r_i/r_{i-1}) = \ln\alpha$ и потому одинаков для всех колец. Логарифмическая сетка делит депрессию поровну между кольцами и одинаково хорошо описывает давление и у скважины, и вдали от неё.

Расчётный примерРадиальная сетка для модели конуса воды

Исходные данные (условные)

Радиус скважины $r_w$: 0,108 м (долото 215,9 мм)
Внешний радиус модели $r_e$: 500 м
Число колец $N$: 12

Решение

Отношение радиусов: $\alpha = (500/0{,}108)^{1/12} = 2{,}021$ .
Границы колец: $r_1 = 0{,}108\cdot 2{,}021 = 0{,}218$ м, $r_2 = 0{,}441$ м, $r_3 = 0{,}891$ м … $r_{11} = 247$ м, $r_{12} = 500$ м. Первое кольцо шириной 0,110 м, последнее — 253 м; 6 колец из 12 лежат в пределах 10 м от скважины.
При установившемся притоке каждое кольцо несёт $1/12$ депрессии, то есть 8,3 %.
Для сравнения — 12 колец равной ширины $(500 - 0{,}108)/12 = 41{,}7$ м: на первое пришлось бы $\ln(41{,}8/0{,}108)/\ln(500/0{,}108) = 0{,}71$ всей депрессии.

Ответ: Отношение соседних радиусов 2,021; кольца расширяются от 0,110 м у скважины до 253 м на краю, и каждое несёт 8,3 % депрессии.

Что это значит. В равномерной сетке 71 % перепада давления приходилось бы на одну ячейку, и модель не могла бы показать ни форму воронки депрессии, ни подъём конуса воды к скважине. Логарифмическая сетка тратит ячейки там, где происходят изменения. Для модели конуса её дополняют тонкими слоями у водонефтяного контакта и у интервала перфорации. Данные примера условные.

Угловая геометрия (corner-point geometry) сохраняет логическую структуру декартовой сетки — у каждой ячейки есть номера $(i, j, k)$ и шесть граней, — но положение ячейки задаётся координатами её восьми углов. Углы лежат на «опорных линиях» (pillars), которые могут быть наклонными, поэтому ячейки следуют кровле и подошве слоёв, изгибам структуры и плоскостям разломов. По разлому со смещением ячейки одного крыла граничат с ячейками другого, которые по номерам вовсе не соседи: слой 2 может соприкасаться со слоем 1 или 3. Такие связи задают как несоседние соединения (non-neighbour connections, NNC), и флюид перетекает через разлом из пласта в пласт — если разлом проводящий.

Угловые сетки стали стандартом там, где расчётную сетку строят по геологической модели сложного строения. Платить за гибкость приходится трудоёмкостью построения — без специальных программ такую сетку не построить — и точностью: на сильно скошенных, неортогональных ячейках простая формула перетока по двум соседним ячейкам становится неточной, поэтому сильных искажений формы ячеек избегают.

Неструктурированные сетки отказываются от номеров $(i, j, k)$ . Самый известный пример — сетки Вороного, или PEBI (perpendicular bisector): вокруг выбранных расчётных точек строят многоугольники, грани которых — серединные перпендикуляры к отрезкам между соседними точками. Такие сетки легко сгущаются к скважинам, повторяют разломы и границы пласта и обходятся меньшим числом ячеек, но их сложнее строить, а расчёт на них требует более сложных алгоритмов.

Численная дисперсия: почему фронт размывается

Представим одномерную модель: в первую ячейку закачивают воду или газ, из последней отбирают продукцию. Поступивший в ячейку агент сразу «растворяется» по всему её объёму — модель не знает, где внутри ячейки находится фронт, — и уже на следующем шаге часть агента переходит во вторую ячейку, затем в третью. В действительности фронт к этому времени прошёл бы лишь малую долю первой ячейки, а в модели агент уже есть в нескольких ячейках. Резкий фронт размазывается, и агент приходит в добывающую скважину раньше, чем в действительности. Эту чисто численную погрешность называют численной дисперсией (numerical dispersion).

Её легко оценить на простейшем случае — переносе метки (трассера), которая движется вместе с потоком и не меняет его. Если шаг по времени очень мал, а переток между ячейками берут по концентрации в ячейке, откуда идёт поток (схема «против потока», upstream), модель из $N$ ячеек превращается в цепочку последовательно соединённых перемешанных «баков», и концентрацию на выходе можно записать точно.

Концентрация на выходе цепочки из N перемешанных ячеек

c_N(W_{iD}) = 1 - \e^{-N W_{iD}} \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(N W_{iD})^k}{k!}

где:

$c_N$ доля закачиваемого агента в потоке на выходе из последней ячейки, —
$W_{iD}$ закачанный объём в долях порового объёма модели, —
$N$ число ячеек между нагнетательной и добывающей скважинами, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

одномерный поток, ячейки одинакового размера, пористость и скорость фильтрации постоянны;
переносится метка или смешивающийся агент той же вязкости: поток не зависит от концентрации;
схема «против потока», шаг по времени много меньше времени прохождения ячейки; неявная схема с крупным шагом размывает фронт ещё сильнее;
физической дисперсии нет: точное решение — ступенька при $W_{iD} = 1$ .

Приход агента растянут во времени: разброс (стандартное отклонение) — около $1/\sqrt{N}$ порового объёма. В пространстве этому соответствует масштаб размытия $\sigma_x \approx \sqrt{\Delta x\, x_f}$ , где $x_f$ — путь, пройденный фронтом: на отрезке длиной $2\sigma_x$ вокруг истинного положения фронта концентрация меняется примерно от 16 до 84 %. Размытие убывает лишь как корень из размера ячейки: чтобы уменьшить его вдвое, ячеек по направлению потока нужно вчетверо больше.

РасчётДоля агента в продукции в зависимости от закачанного объёма для цепочки из 5, 20 и 100 ячеек (расчёт по формуле перемешанных ячеек) и точное решение — ступенька при закачке одного порового объёма. Чем меньше ячеек, тем раньше и растянутее прорыв.

Расчётный примерНасколько сетка размывает фронт между скважинами

Исходные данные (условные)

Расстояние между нагнетательной и добывающей скважинами: 600 м
Размер ячеек: 50 м (грубая сетка) и 10 м (мелкая)
Процесс: закачка метки; точный прорыв — после закачки 1 порового объёма

Решение

Число ячеек между скважинами: $600/50 = 12$ и $600/10 = 60$ .
Масштаб размытия фронта у добывающей скважины: $\sqrt{50\cdot 600} = 173$ м (29 % расстояния) и $\sqrt{10\cdot 600} = 77$ м (13 %).
Доля метки в продукции после закачки 0,7 порового объёма (по формуле цепочки ячеек): 14 % на грубой сетке и 0,5 % на мелкой; в действительности — ноль.
Доля метки достигает 5 % на грубой сетке после закачки 0,58 порового объёма, на мелкой — после 0,80.

Ответ: На грубой сетке масштаб размытия фронта — 173 м, и заметный прорыв (5 %) наступает при 0,58 порового объёма вместо 1; на мелкой — 77 м и 0,80 порового объёма.

Что это значит. Пятикратное измельчение уменьшило размытие только в $\sqrt{5} \approx 2{,}2$ раза. При заводнении картина мягче: фронт вытеснения нефти водой сам себя «обостряет», и размытие не растёт неограниченно, но ранний прорыв на грубой сетке остаётся. Поэтому, если модель показывает прорыв раньше факта, прежде чем менять проницаемость, стоит проверить, не создан ли он крупными ячейками. Данные примера условные.

Как уменьшают численную дисперсию:

измельчают сетку по направлению потока — надёжно, но дорого;
применяют схемы более высокого порядка точности, которые меньше размывают фронт;
рассчитывают перенос вдоль линий тока (см. последний раздел);
в крупных моделях подбирают псевдоотносительные проницаемости, которые компенсируют размытие (Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции).

Численная дисперсия маскируется под физику

Размытый фронт похож на результат физического перемешивания или неоднородности пласта, и его легко принять за свойство пласта. Но он зависит от размера ячеек, а не от породы: при измельчении сетки такая «физика» меняется. Особенно опасно это для процессов, где важна резкость фронта или небольшой объём закачанной оторочки, — смешивающегося вытеснения газом, закачки растворов полимеров и поверхностно-активных веществ. Подробнее — в уроке Численная дисперсия.

Эффект ориентации сетки

Возьмём нагнетательную скважину и две добывающие на одинаковом расстоянии от неё: одну — вдоль строки ячеек, другую — по диагонали. Пласт однороден, физически скважины равноправны. Модель же нередко даёт им разное время прорыва и разную добычу. Это эффект ориентации сетки (grid orientation effect).

Причина — в том, как считаются перетоки. В обычной пятиточечной схеме двумерной модели ячейка обменивается флюидом только с четырьмя соседями по граням. Поток вдоль строки идёт по прямой цепочке ячеек, а диагональный вынужден идти «лесенкой», и численная дисперсия для этих направлений разная. При благоприятном соотношении подвижностей, когда вытесняющий агент не подвижнее нефти, различие невелико. При неблагоприятном — газ, вязкость которого в десятки раз меньше вязкости нефти, или вода, вытесняющая вязкую нефть, — фронт неустойчив и образует языки, а схема подталкивает их расти вдоль линий сетки. Тогда скважина на линии сетки получает прорыв заметно раньше, диагональная — позже, и ни один результат не совпадает с верным.

Что помогает:

девятиточечные схемы, учитывающие и диагональных соседей, — они заметно уменьшают эффект;
измельчение сетки;
ориентация сетки вдоль основного направления течения, например по линиям между нагнетательными и добывающими скважинами;
неструктурированные сетки и расчёт вдоль линий тока;
простая проверка: повторить расчёт на сетке, повёрнутой на 45°, и сравнить результаты.

Сколько ячеек нужно: проверка сходимости

С размером ячеек ошибиться легче всего: грубая сетка ничем не выдаёт себя, кроме искажённого результата. Начальную сетку задают по опыту — по размерам пласта, числу скважин, толщине слоёв и доступным вычислительным ресурсам, — а затем выбор проверяют расчётом: ту же задачу решают на измельчённой сетке и сравнивают нужные показатели — добычу, время прорыва, давления. Когда очередное измельчение меняет их меньше, чем допустимо для решаемой задачи, результат считают сошедшимся по сетке: численная погрешность уже не главная среди неопределённостей модели.

Проверка особенно важна, когда модель сравнивает варианты. Грубая сетка по-разному искажает разные процессы: одному варианту она может «добавить» нефти, другому — «отнять». Бывает, что на грубой сетке новый метод увеличения нефтеотдачи даёт внушительный прирост, а при измельчении прирост почти исчезает. Сравнивать варианты можно, лишь когда численная погрешность меньше разницы между ними.

Требования к детальности по вертикали часто неожиданно высоки. Если газ или вода отделяются от нефти под действием силы тяжести и растекаются тонким «языком» вдоль кровли или подошвы пласта, язык толщиной в метр модель со слоями по 5–10 м не увидит; для таких задач нужны десятки, а иногда и сотни слоёв. Та же трудность — с тонкими высокопроницаемыми пропластками, по которым прорывается вода.

Экстраполяция результата к бесконечно мелкой сетке

R_\infty \approx R_{2N} + \frac{R_{2N} - R_N}{2^{p} - 1}, \qquad p = \log_2\frac{R_N - R_{N/2}}{R_{2N} - R_N}

где:

$R_N$ результат расчёта (например, нефтеотдача) на сетке с $N$ ячейками по измельчаемому направлению; $R_{N/2}$ и $R_{2N}$ — то же на вдвое более грубой и вдвое более мелкой сетке, %
$R_\infty$ оценка результата на бесконечно мелкой сетке, %
$p$ наблюдаемый порядок сходимости: при двукратном измельчении погрешность уменьшается в $2^{p}$ раз, —

Единицы: в единицах результата

Справедливо, если

сетку каждый раз измельчают вдвое, ничего больше не меняя;
результат меняется монотонно, и погрешность уже убывает как $h^{p}$ , где $h$ — размер ячейки; чтобы это проверить, нужны хотя бы три сетки;
при $p = 1$ это линейная экстраполяция по $1/N$ : $R_\infty \approx 2R_{2N} - R_N$ .

Разность $R_\infty - R_N$ оценивает погрешность выбранной сетки. Её сравнивают с разницей между вариантами, которую модель должна показать.

Расчётный примерНефтеотдача на трёх сетках

Исходные данные (условные)

Модель: двумерный профиль между нагнетательной и добывающей скважинами, заводнение
Нефтеотдача после закачки 1,5 поровых объёма: 5 слоёв — 37,1 %; 10 слоёв — 40,2 %; 20 слоёв — 41,8 %

Решение

Изменения при измельчении: $40{,}2 - 37{,}1 = 3{,}1$ и $41{,}8 - 40{,}2 = 1{,}6$ процентного пункта (п. п.). Порядок сходимости $p = \log_2(3{,}1/1{,}6) = 0{,}95$ — близок к единице.
Экстраполяция при $p = 1$ : $R_\infty \approx 2\cdot 41{,}8 - 40{,}2 = 43{,}4$ %.
Погрешность сеток: у модели с 10 слоями $43{,}4 - 40{,}2 = 3{,}2$ п. п., с 20 слоями — 1,6 п. п.

Ответ: На бесконечно мелкой сетке нефтеотдача была бы около 43,4 %; модель с 10 слоями занижает её на 3,2 п. п., с 20 слоями — на 1,6 п. п.

Что это значит. Если сравниваемые варианты разработки различаются на 10 п. п. и больше, погрешность модели с 10 слоями (3,2 п. п.) ещё допустима; если на 1–2 п. п., мало даже 20 слоёв (1,6 п. п.), и нужна более мелкая сетка или поправка на её погрешность. Двукратное измельчение по вертикали удвоило число ячеек, а в трёхмерной модели измельчение по всем направлениям увеличивает его в 8 раз, поэтому исследования сходимости обычно выполняют на секторных и профильных моделях. Данные примера условные.

Время расчёта растёт быстрее числа ячеек: на каждом шаге решается больше уравнений, а мелкие ячейки обычно заставляют уменьшать и шаг по времени. Поэтому число ячеек полномасштабной модели — всегда компромисс между детальностью, временем одного расчёта и числом расчётов, нужных для анализа неопределённости (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна).

Линии тока: перенос без размытия

Другой способ бороться с численной дисперсией — моделирование на линиях тока (streamline simulation). Давление по-прежнему рассчитывают на сетке. По полю давления находят скорости и строят линии тока — траектории, по которым флюид идёт от нагнетательных скважин к добывающим. Вдоль каждой линии перенос насыщенности — одномерная задача, которую решают точно или на очень мелкой одномерной сетке, без размытия от крупных ячеек. Затем насыщенности переносят обратно на сетку, обновляют подвижности фаз и через некоторое время снова пересчитывают давление и линии тока.

Самая дорогая часть расчёта — давление, а на линиях тока его пересчитывают редко. Поэтому метод очень быстр для больших моделей с многими скважинами, если течение определяется в основном перепадами давления и линии тока меняются медленно, — например, при заводнении. Когда важны гравитация, капиллярные силы или сжимаемость, потоки поперёк линий тока приходится учитывать отдельно и чаще пересчитывать давление, и преимущество в скорости уменьшается. Поэтому линии тока — инструмент для определённого круга задач: быстрый анализ заводнения, ранжирование геологических вариантов, распределение закачки между скважинами (Типы гидродинамических моделей).

Термины и обозначения

Пространственная и временная дискретизация: разбиение пласта на ячейки и времени на шаги.
Декартова сетка: сетка из прямоугольных ячеек с размерами $\Delta x$ , $\Delta y$ , $\Delta z$ .
Радиальная сетка (r–z): кольцевые ячейки вокруг вертикальной скважины, разбитые на слои; для притока к скважине и конусов.
Угловая геометрия (corner point): ячейки, заданные координатами восьми углов на опорных линиях; следуют структуре и разломам.
Несоседние соединения (NNC): связи между ячейками, не соседними по номерам, например через разлом со смещением слоёв.
PEBI (сетка Вороного): неструктурированная сетка из многоугольников, грани которых — серединные перпендикуляры между расчётными точками.
Локальное измельчение (LGR): вложенная мелкая сетка внутри выбранных крупных ячеек.
Численная дисперсия: размытие фронта из-за конечного размера ячеек; даёт преждевременный прорыв.
Эффект ориентации сетки: зависимость результата от направления потока относительно линий сетки.
Сходимость по сетке: дальнейшее измельчение сетки заметно не меняет результат.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Чем больше ячеек, тем лучше: сделаем сетку как можно подробнее».

На самом деле

Число ячеек выбирают под вопрос и проверяют на сходимость. Лишние ячейки отнимают время, нужное для расчёта вариантов и неопределённости.

Неверно

«Прорыв воды в модели раньше факта — значит, проницаемость в модели завышена».

На самом деле

Ранний прорыв может создавать сама грубая сетка. Сначала проверяют чувствительность результата к размеру ячеек, затем подстраивают геологию.

Неверно

«Скважины на одинаковом расстоянии от нагнетательной модель рассчитает одинаково».

На самом деле

При пятиточечной схеме результат зависит от направления относительно линий сетки, особенно при закачке газа. Помогают девятиточечные схемы, измельчение и проверка на повёрнутой сетке.

Неверно

«Конус воды можно изучать на полномасштабной модели с ячейками 100 × 100 м».

На самом деле

Конус развивается в первых метрах и десятках метров от скважины; для него нужна радиальная сетка с логарифмическим шагом или локальное измельчение.

Неверно

«Прирост нефтеотдачи 10 п. п. на грубой сетке — надёжный результат».

На самом деле

Надёжен только прирост, который сохраняется при измельчении сетки: грубая сетка может создать эффект, которого нет.

Подробно: для продвинутых

Откуда берётся численная диффузия

Перенос метки со скоростью $v$ описывает уравнение $\partial c/\partial t + v\,\partial c/\partial x = 0$ . В схеме «против потока» производную по $x$ заменяют разностью с соседней ячейкой выше по потоку, $(c_i - c_{i-1})/\Delta x$ . Разложение в ряд Тейлора показывает, что эта разность равна $\partial c/\partial x - \tfrac{\Delta x}{2}\,\partial^2 c/\partial x^2$ плюс члены высших порядков. Значит, модель на самом деле решает уравнение с добавочным членом — как будто в пласте есть диффузия с коэффициентом $v\Delta x/2$ , которой в действительности нет.

Коэффициент численной диффузии схемы «против потока»

D_{num} = \frac{v\,\Delta x}{2}\,(1 \pm C), \qquad C = \frac{v\,\Delta t}{\Delta x}

где:

$D_{num}$ коэффициент численной диффузии, м²/с
$v$ скорость движения фронта — скорость фильтрации, делённая на пористость, м/с
$\Delta x,\ \Delta t$ размер ячейки и шаг по времени, м, с
$C$ число Куранта: какую долю ячейки фронт проходит за шаг, —

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

линейный перенос метки на равномерной одномерной сетке;
знак «минус» — для явной схемы по времени (она устойчива лишь при $C \le 1$ ), знак «плюс» — для неявной (устойчива при любом шаге);
в пределе очень малого шага $D_{num} = v\Delta x/2$ — этому пределу соответствует формула цепочки перемешанных ячеек.

Численная диффузия пропорциональна размеру ячейки. Неявная схема с крупным шагом по времени размывает фронт сильнее явной — это плата за её устойчивость (Схемы IMPES и полностью неявная). Размытие за время $t$ равно $\sqrt{2D_{num}t}$ , что при $C \to 0$ даёт $\sqrt{\Delta x\, x_f}$ — оценку из основного раздела.

Связь с другими темами

Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна — что симулятор решает в каждой ячейке и зачем нужна модель.
Проницаемость горных пород — осреднение проницаемости слоёв вдоль и поперёк потока.
Перетоки между ячейками и проводимость — как считают переток между ячейками: проводимость и взвешивание против потока.
Модель скважины в ячейке сетки — почему давление ячейки со скважиной не равно забойному.
Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке — как переносят свойства с геологической модели на расчётную сетку.
Численная дисперсия — математика численной дисперсии и способы её подавления.
Установившийся радиальный приток — логарифмический профиль давления у скважины.
Типы гидродинамических моделей — модели на линиях тока и другие типы моделей.

Проверьте себя

1
Какую сетку разумнее выбрать, чтобы изучить подъём конуса подошвенной воды к одиночной вертикальной скважине?
1. А.Одномерную горизонтальную
2. Б.Площадную x–y с ячейками 100 × 100 м
3. В.Любую: конус от сетки не зависит
4. Г.Радиальную r–z с логарифмическим шагом и тонкими слоями у водонефтяного контакта
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Радиальную r–z с логарифмическим шагом и тонкими слоями у водонефтяного контакта
Конус — осесимметричный процесс у скважины, где давление меняется как логарифм расстояния. Радиальная сетка с логарифмическим шагом тратит ячейки на первые метры от скважины, а тонкие слои у контакта позволяют увидеть подъём воды.
2
Что из перечисленного — проявление численной дисперсии?
1. А.Фронт в модели размыт, и агент приходит в добывающую скважину раньше, чем по точному решению
2. Б.Модель показывает более поздний прорыв воды, чем в действительности
3. В.Давление в ячейке со скважиной не равно забойному
4. Г.Запасы модели не совпадают с объёмным подсчётом
Показать ответ
Правильный ответ: А. Фронт в модели размыт, и агент приходит в добывающую скважину раньше, чем по точному решению
Крупные ячейки сразу «перемешивают» поступивший агент по своему объёму, поэтому фронт размазывается и агент доходит до добывающей скважины раньше. Разница давлений в ячейке и на забое — предмет модели скважины, а расхождение запасов — ошибка построения модели.
3
Радиальную сетку от стенки скважины ( $r_w = 0{,}1$ м) до 1000 м делят на 10 колец с логарифмическим шагом. Чему равно отношение радиусов соседних границ и где лежит первая граница?
Показать ответ
$\alpha = (1000/0{,}1)^{1/10} = 10\,000^{0{,}1} \approx 2{,}51$ . Первая граница $r_1 = 0{,}1\cdot 2{,}51 \approx 0{,}25$ м, следующие — 0,63; 1,58; 3,98 м и так далее; при установившемся притоке каждое кольцо несёт одинаковую долю перепада давления.
4
Фронт метки прошёл 400 м по сетке с ячейками 40 м. Каков примерно масштаб его размытия и какими должны быть ячейки, чтобы уменьшить размытие вдвое?
Показать ответ
$\sigma_x \approx \sqrt{40\cdot 400} \approx 126$ м. Размытие пропорционально корню из размера ячейки, поэтому для уменьшения вдвое нужны ячейки 10 м — вчетверо мельче, то есть вчетверо больше ячеек по направлению потока.
5
На сетках с 5, 10 и 20 слоями прирост нефтеотдачи от закачки газа по сравнению с заводнением составил 9, 5 и 3 п. п. Можно ли по этим расчётам принимать решение о проекте закачки газа?
Показать ответ
Прирост падает при каждом измельчении; изменения 4 и 2 п. п. указывают на сходимость первого порядка, и экстраполяция даёт $2\cdot 3 - 5 = 1$ п. п. Большая часть эффекта на грубых сетках — численная. Решение по этим моделям принимать нельзя: нужны расчёты на более мелкой сетке или поправка на её погрешность, и, возможно, проект окажется невыгодным.
6
Почему эффект ориентации сетки при закачке газа обычно сильнее, чем при заводнении лёгкой нефти?
Показать ответ
Вязкость газа в десятки раз меньше вязкости нефти — соотношение подвижностей неблагоприятное, фронт неустойчив и образует языки. В пятиточечной схеме языкам «легче» расти вдоль линий сетки, поэтому результат сильно зависит от того, как сетка ориентирована относительно скважин. При заводнении лёгкой нефти соотношение подвижностей близко к единице, фронт устойчив, и различие невелико.

Обновлено: 19 октября 2026 г.

Кратко о главном

После урока вы сможете

Сетка: пласт, разбитый на ячейки

Размерность: 1D, 2D или 3D

Геометрия ячеек: декартова, радиальная, угловая, неструктурированная

Где нужны мелкие ячейки: локальное измельчение

Численная дисперсия: почему фронт размывается

Эффект ориентации сетки

Сколько ячеек нужно: проверка сходимости

Линии тока: перенос без размытия

Термины и обозначения

Частые ошибки и заблуждения

Подробно: для продвинутых

Связь с другими темами

Проверьте себя