Уравнения двухфазной фильтрации

Кратко о главном

Баланс записывают для каждой фазы. Пока газ растворён в нефти, массу фазы в ячейке удобно считать в стандартных кубометрах: $V_pS_\alpha/B_\alpha$ — плотность в стандартных условиях постоянна и сокращается.
Каждая фаза течёт под действием градиента своего давления и своего веса с подвижностью $\lambda_\alpha = kk_{r\alpha}/\mu_\alpha$ . Четыре неизвестных — $p_o$ , $p_w$ , $S_o$ , $S_w$ — связаны двумя замыкающими соотношениями, поэтому независимых два, обычно $p_o$ и $S_w$ .
Уравнение давления получают, сложив балансы фаз с весами $B_\alpha$ : производные насыщенностей по времени сокращаются, остаются общая сжимаемость $c_t$ и суммарная скорость $u_t$ . Это однофазное уравнение давления, в котором $k/\mu$ заменено суммарной подвижностью $\lambda_t(S_w)$ , плюс гравитационный и капиллярный члены.
Уравнение насыщенности — баланс воды. Поток воды равен доле $f_w$ суммарного потока плюс гравитационный и капиллярный потоки с общим множителем $\lambda_o\lambda_w/\lambda_t$ .
ОФП входят во всё: суммарная подвижность распределяет перепады давления, доля воды задаёт перенос насыщенности, подвижности в ячейке со скважиной — состав её продукции. Капиллярное давление связывает давления фаз, задаёт начальную насыщенность и размывает фронт, но в крупных ячейках почти не меняет перетоки.
Давление откликается на изменения во всём пласте быстро, насыщенность переносится медленно, вместе с потоком. Поэтому подвижности на гранях ячеек берут из ячейки, откуда течёт фаза, — против потока, а давление обычно считают неявно.

Ключевые соотношения

\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\phi S_\alpha}{B_\alpha}\right) + \nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{u}_\alpha}{B_\alpha}\right) + \tilde q_\alpha = 0

баланс фазы $\alpha$ (нефть или вода) в стандартных кубометрах на единицу объёма пласта

\mathbf{u}_\alpha = -\lambda_\alpha\left(\nabla p_\alpha - \rho_\alpha g\,\nabla D\right),\qquad \lambda_\alpha = \frac{k\,k_{r\alpha}}{\mu_\alpha}

закон Дарси для фазы; $D$ — глубина, отсчитываемая вниз

S_o + S_w = 1,\qquad p_o - p_w = p_c(S_w)

замыкающие соотношения

\phi c_t\,\frac{\partial p_o}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{u}_t + \tilde q_t = 0,\qquad \mathbf{u}_t = \mathbf{u}_o + \mathbf{u}_w

уравнение давления; $\tilde q_t$ — отбор в пластовых условиях

\mathbf{u}_w = f_w\,\mathbf{u}_t + \lambda_o f_w\left[\nabla p_c + (\rho_w - \rho_o)\,g\,\nabla D\right]

поток воды через суммарную скорость; $f_w = \lambda_w/\lambda_t$

Где чаще всего ошибаются

Подставлять в баланс расходы в стандартных условиях, а в закон Дарси — в пластовых, не пересчитав через объёмные коэффициенты.
Считать, что в уравнении давления стоит проницаемость для нефти: его коэффициент — суммарная подвижность обеих фаз, и она меняется по мере заводнения.
Брать подвижность на грани как среднее соседних ячеек или из ячейки ниже по потоку: фронт останавливается или насыщенность выходит за физические пределы.
Считать капиллярное давление несущественным везде, раз оно мало по сравнению с перепадами между скважинами: оно задаёт начальную насыщенность и переходную зону и управляет перетоками на мелком масштабе.
Путать суммарную скорость фильтрации $u_t$ со скоростью движения фронта насыщенности.

После урока вы сможете

записать баланс нефти и воды для ячейки и в дифференциальной форме через объёмные коэффициенты и двухфазный закон Дарси с силой тяжести;
перечислить неизвестные и замыкающие соотношения и объяснить выбор основных неизвестных — давления нефти и водонасыщенности;
вывести уравнение давления, исключив производные насыщенности по времени, и записать уравнение насыщенности через суммарную скорость и долю воды в потоке;
объяснить, как относительные проницаемости и капиллярное давление входят в каждое уравнение и какие силы — вязкие, гравитационные, капиллярные — описывает каждый член;
составить разностные уравнения для полосы ячеек со взвешиванием подвижности против потока и рассчитать вручную давления, перетоки фаз и изменение насыщенности за шаг с проверкой баланса воды.

Что добавляет вторая фаза

В однофазной задаче (Уравнение давления для однофазной фильтрации) состояние пласта описывает одно поле — давление. Когда в порах движутся нефть и вода, у каждой фазы своя насыщенность и своё давление; фазы мешают друг другу — это описывают относительные проницаемости (Относительная проницаемость), — а их давления различаются на капиллярное давление (Капиллярное давление и переходная зона). Ниже рассматривается пара нефть — вода при давлении выше давления насыщения: свободного газа нет, газ растворён в нефти и между фазами не переходит. Это модель чёрной нефти без газовой фазы; с газом добавляются третья фаза и растворённый газ (Типы гидродинамических моделей).

Однофазная и двухфазная задачи

: Неизвестные в ячейке
Одна фаза: $p$
Нефть и вода: $p_o,\ p_w,\ S_o,\ S_w$

: Балансы массы
Одна фаза: один
Нефть и вода: по одному на фазу

: Закон Дарси
Одна фаза: $k/\mu$
Нефть и вода: $k\,k_{r\alpha}/\mu_\alpha$ для каждой фазы

: Связи между неизвестными
Одна фаза: —
Нефть и вода: $S_o + S_w = 1$ ; $p_o - p_w = p_c$

: Основные неизвестные
Одна фаза: $p$
Нефть и вода: $p_o$ и $S_w$

	Одна фаза	Нефть и вода
Неизвестные в ячейке	$p$	$p_o,\ p_w,\ S_o,\ S_w$
Балансы массы	один	по одному на фазу
Закон Дарси	$k/\mu$	$k\,k_{r\alpha}/\mu_\alpha$ для каждой фазы
Связи между неизвестными	—	$S_o + S_w = 1$ ; $p_o - p_w = p_c$
Основные неизвестные	$p$	$p_o$ и $S_w$

Индекс $\alpha$ обозначает фазу: $o$ — нефть, $w$ — вода.

Аналогия: уровень воды и краска

Давление в пласте похоже на уровень воды в системе сообщающихся сосудов: если в одном месте открыть кран, уровень заметно меняется во всей системе довольно быстро. Насыщенность похожа на краску, которую влили в поток: она движется вместе с водой, со скоростью течения, и туда, куда течение ещё не дошло, не попадает. Поэтому одно уравнение системы ведёт себя как уравнение выравнивания (давление), другое — как уравнение переноса (насыщенность). Аналогия неполна: «краска» здесь сама меняет сопротивление каналов — от насыщенности зависят подвижности, а значит, и поле давления.

Баланс массы каждой фазы

Возьмём ячейку $i$ одномерной сетки, как в однофазном уроке. Масса нефти в ней — поровый объём, умноженный на нефтенасыщенность и плотность нефти в пластовых условиях. Плотность удобно выразить через плотность в стандартных условиях $\rho_{o,\text{ст}}$ и объёмный коэффициент: $\rho_o = \rho_{o,\text{ст}}/B_o$ (объёмный коэффициент). Плотность в стандартных условиях постоянна, поэтому после деления на неё баланс массы превращается в баланс стандартных кубометров фазы — тех самых, в которых считают добычу и запасы. Для воды — то же с $B_w$ .

Баланс фазы в ячейке за шаг по времени

V_i\left[\left(\frac{\phi S_\alpha}{B_\alpha}\right)_i^{n+1} - \left(\frac{\phi S_\alpha}{B_\alpha}\right)_i^{n}\right] = \Delta t\left[\left(\frac{A\,u_\alpha}{B_\alpha}\right)_{i-1/2} - \left(\frac{A\,u_\alpha}{B_\alpha}\right)_{i+1/2} - q_{\alpha,i}\right]

где:

$\alpha$ фаза: $o$ — нефть, $w$ — вода, —
$V_i,\ A$ объём ячейки (с породой) и площадь её грани, м³, м²
$\phi,\ S_\alpha,\ B_\alpha$ пористость, насыщенность фазой, объёмный коэффициент фазы, —, —, м³/м³
$u_{\alpha,i\pm1/2}$ скорость фильтрации фазы через грань, положительная по оси $x$ , м/сут
$q_{\alpha,i}$ отбор фазы скважиной из ячейки в стандартных условиях (при закачке отрицателен), м³/сут
$n,\ n + 1,\ \Delta t$ начало и конец шага, шаг по времени, —, —, сут

Единицы: любые согласованные; объёмы фаз — в стандартных условиях

Справедливо, если

фазы не обмениваются массой (газ растворён и не выделяется), плотность в стандартных условиях постоянна;
расходы в квадратных скобках — средние за шаг: при таком понимании равенство точное;
поток вдоль одной оси; в двух и трёх измерениях добавляются грани по остальным осям.

Изменение количества фазы в ячейке за шаг (в стандартных кубометрах) равно тому, что вошло через левую грань, минус вышедшее через правую и отобранное скважиной. Для каждой фазы — своё уравнение; как и в однофазном случае, это ещё не физика движения, а только сохранение массы.

Поделив на $V_i\,\Delta t$ и устремив размер ячейки и шаг к нулю, получим дифференциальную форму — по одному уравнению на фазу:

Уравнение неразрывности для фазы

\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\phi S_\alpha}{B_\alpha}\right) + \nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{u}_\alpha}{B_\alpha}\right) + \tilde q_\alpha = 0,\qquad \alpha = o,\ w

где:

$\mathbf{u}_\alpha$ вектор скорости фильтрации фазы в пластовых условиях, м/сут
$\tilde q_\alpha$ отбор фазы на единицу объёма пласта в стандартных условиях; отличен от нуля только в ячейках со скважинами, 1/сут
$\phi,\ S_\alpha,\ B_\alpha$ пористость, насыщенность и объёмный коэффициент, —, —, м³/м³

Единицы: любые согласованные

Справедливо, если

предел при $\Delta x \to 0$ , $\Delta t \to 0$ ; свойства меняются плавно;
фазы не обмениваются массой.

Два точных закона сохранения. Они ещё ничего не говорят о том, как движутся фазы, и содержат не давления, а скорости, — поэтому следующий шаг, как и в однофазном случае, — закон Дарси.

Закон Дарси для фаз и замыкающие соотношения

Каждая фаза движется под действием градиента своего давления и собственного веса, а сопротивление породы для неё описывает её подвижность. Глубину $D$ отсчитываем вниз, как в однофазном уроке; запись с углом наклона в уроке Относительная проницаемость — то же самое для наклонной оси.

Закон Дарси для фазы при совместном течении

\mathbf{u}_\alpha = -\lambda_\alpha\left(\nabla p_\alpha - \rho_\alpha g\,\nabla D\right),\qquad \lambda_\alpha = \frac{k\,k_{r\alpha}(S_w)}{\mu_\alpha}

где:

$\lambda_\alpha$ подвижность фазы; в анизотропном пласте вместо $k$ — тензор проницаемости, м²/(Па·с)
$k,\ k_{r\alpha}$ абсолютная проницаемость и относительная проницаемость фазы, м², —
$p_\alpha,\ \rho_\alpha,\ \mu_\alpha$ давление, плотность и вязкость фазы в пластовых условиях, Па, кг/м³, Па·с
$g,\ D$ ускорение свободного падения и глубина (вниз), м/с², м

Единицы: СИ; в метрических промысловых единицах перед $\lambda_\alpha$ ставят 0,0853 ( $k$ в мД, $\mu$ в мПа·с, $p$ в МПа, длины в м, $u$ в м/сут)

Справедливо, если

ламинарное течение несмешивающихся фаз;
ОФП зависят только от насыщенности и направления её изменения (кривые пропитки или дренирования);
вес фазы направлен по оси $D$ : при горизонтальном течении член с $\nabla D$ исчезает.

Фаза движется в сторону убывания своего потенциала $p_\alpha - \rho_\alpha gD$ . Если давления фаз одинаковы, вода и нефть всё равно могут двигаться в разные стороны: на них по-разному действует сила тяжести.

Неизвестных четыре — $p_o$ , $p_w$ , $S_o$ , $S_w$ , — а уравнений баланса два. Недостающие связи дают замыкающие соотношения: насыщенности дополняют друг друга до единицы, давления фаз связаны кривой капиллярного давления, а ОФП и свойства фаз — известные функции насыщенности и давления.

Замыкающие соотношения

S_o + S_w = 1,\qquad p_o - p_w = p_c(S_w),\qquad k_{r\alpha} = k_{r\alpha}(S_w),\qquad B_\alpha,\ \mu_\alpha,\ \phi = f(p)

где:

$p_c(S_w)$ капиллярное давление: в гидрофильной породе положительно и убывает с ростом $S_w$ , МПа
$k_{r\alpha}(S_w)$ кривые ОФП (например, модель Кори), —
$B_\alpha,\ \mu_\alpha,\ \phi$ таблицы PVT-свойств фаз и сжимаемость пор, м³/м³, мПа·с, —

Единицы: любые согласованные

Справедливо, если

поры заполнены только нефтью и водой;
кривые $p_c$ и $k_r$ выбраны для того процесса, который идёт в пласте: при заводнении гидрофильного пласта — пропитки.

С ними независимых неизвестных остаётся два. В симуляторах чёрной нефти обычно выбирают давление нефти и водонасыщенность (при газе добавляется третья неизвестная): $S_o = 1 - S_w$ , а $p_w = p_o - p_c(S_w)$ .

Подставив закон Дарси в балансы и выразив $p_w$ через $p_o$ , получим два рабочих уравнения. В одном измерении:

Рабочие уравнения двухфазной фильтрации (одно измерение)

\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\phi S_o}{B_o}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\lambda_o}{B_o}\left(\frac{\partial p_o}{\partial x} - \rho_o g\,\frac{\partial D}{\partial x}\right)\right] - \tilde q_o\\ &\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\phi S_w}{B_w}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\lambda_w}{B_w}\left(\frac{\partial p_o}{\partial x} - \frac{\partial p_c}{\partial x} - \rho_w g\,\frac{\partial D}{\partial x}\right)\right] - \tilde q_w \end{aligned}

где:

$\lambda_o,\ \lambda_w$ подвижности нефти и воды — функции $S_w$ , м²/(Па·с)
$p_o,\ p_c$ давление нефти и капиллярное давление, Па
$\tilde q_o,\ \tilde q_w$ отборы фаз на единицу объёма пласта в стандартных условиях, 1/с

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

одномерное течение вдоль $x$ ;
свойства фаз — функции давления, ОФП и $p_c$ — функции водонасыщенности.

Два уравнения с двумя неизвестными $p_o(x, t)$ и $S_w(x, t)$ . Они нелинейны сильнее однофазного: коэффициенты зависят и от давления, и — круто, через кривые ОФП — от насыщенности. И они связаны: насыщенность входит в коэффициенты потоков, давление — в потоки, меняющие насыщенность.

Уравнение давления

Хотелось бы иметь уравнение только для давления, без производных насыщенности по времени. Его получают так: каждое рабочее уравнение умножают на объёмный коэффициент своей фазы и складывают. Слева производная $B_\alpha\,\partial(\phi S_\alpha/B_\alpha)/\partial t$ распадается на три слагаемых: изменение насыщенности, изменение пористости и изменение объёмного коэффициента. Первые в сумме дают $\phi\,\partial(S_o + S_w)/\partial t = 0$ — насыщенности дополняют друг друга. Остальные пропорциональны скорости изменения давления, и коэффициент при ней — пористость, умноженная на уже знакомую общую сжимаемость.

Общая сжимаемость в двухфазной ячейке

c_t = S_o c_o + S_w c_w + c_f,\qquad c_\alpha = -\frac{1}{B_\alpha}\frac{\dd B_\alpha}{\dd p},\qquad c_f = \frac{1}{\phi}\frac{\dd\phi}{\dd p}

где:

$c_o,\ c_w$ сжимаемости нефти и воды (выше давления насыщения), 1/МПа
$c_f$ сжимаемость пор, 1/МПа
$S_o,\ S_w$ насыщенности, —

Единицы: 1/МПа (любые согласованные)

Справедливо, если

свойства обеих фаз считают по давлению нефти: капиллярное давление (десятки килопаскалей) мало по сравнению с изменениями пластового давления.

Та же величина, что в уроке Режимы фильтрации: для его пласта при $S_w$ = 0,25 она равна $2{,}1125\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹. В двухфазной ячейке она меняется вместе с насыщенностями.

Справа сумма потоков, умноженных на объёмные коэффициенты, почти равна дивергенции суммы скоростей фаз — суммарной скорости фильтрации $\mathbf{u}_t = \mathbf{u}_o + \mathbf{u}_w$ (суммарная скорость). Отброшенный остаток пропорционален сжимаемости фаз, умноженной на произведение скорости и градиента давления, и мал так же, как в линейном однофазном уравнении (дополнительный раздел). Выразив скорости фаз законом Дарси, получим:

Уравнение давления для двухфазной фильтрации

\phi c_t\,\frac{\partial p_o}{\partial t} = \nabla\cdot\left[\lambda_t\,\nabla p_o - \lambda_w\,\nabla p_c - \left(\lambda_o\rho_o + \lambda_w\rho_w\right)g\,\nabla D\right] - \tilde q_t,\qquad \lambda_t = \lambda_o + \lambda_w

где:

$\lambda_t$ суммарная подвижность — функция водонасыщенности, м²/(Па·с)
$c_t$ общая сжимаемость, 1/Па
$\tilde q_t$ отбор жидкости в пластовых условиях на единицу объёма пласта, $B_o\tilde q_o + B_w\tilde q_w$ , 1/с
$p_o,\ p_c$ давление нефти и капиллярное давление, Па
$\rho_o,\ \rho_w,\ g,\ D$ плотности фаз, ускорение свободного падения, глубина, кг/м³, м/с², м

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

две несмешивающиеся фазы, газ растворён;
объёмные коэффициенты мало меняются в пространстве: отброшены члены порядка $c_\alpha\,\mathbf{u}_\alpha\cdot\nabla p$ ;
свойства фаз считают по давлению нефти.

Слева — упругий запас, справа — дивергенция суммарного потока. Первый член в квадратных скобках — вязкий: это однофазное уравнение давления, в котором $k/\mu$ заменено суммарной подвижностью. Второй — капиллярный, третий — гравитационный: вес столбов фаз, перемешанных в отношении их подвижностей. Насыщенность входит через $\lambda_t$ , $\lambda_w$ и $p_c$ , поэтому уравнение давления нельзя решить, не зная насыщенностей.

Если порода и флюиды несжимаемы ( $c_t \to 0$ ), левая часть исчезает: $\nabla\cdot\mathbf{u}_t = -\tilde q_t$ . Давление тогда мгновенно подстраивается под отборы и закачку во всём пласте. При малой, но конечной сжимаемости возмущение давления пробегает пласт за время порядка $L^2/\eta$ — для расстояний в километр это месяцы, — тогда как фронт насыщенности движется со скоростью потока и проходит те же расстояния за годы. Это различие масштабов и есть причина, по которой уравнения давления и насыщенности часто решают разными приёмами.

Уравнение насыщенности и суммарная скорость

Вторым уравнением служит баланс воды. Его удобно записать через суммарную скорость: из выражения для $\mathbf{u}_t$ находим градиент давления нефти и подставляем в закон Дарси для воды. Получается разложение потока воды на три части.

Поток воды через суммарную скорость

\mathbf{u}_w = f_w\,\mathbf{u}_t + \lambda_o f_w\left[\nabla p_c + (\rho_w - \rho_o)\,g\,\nabla D\right],\qquad f_w = \frac{\lambda_w}{\lambda_t}

где:

$f_w$ доля воды в потоке без учёта силы тяжести и капиллярного давления, —
$\mathbf{u}_t$ суммарная скорость фильтрации нефти и воды, м/с
$\lambda_o f_w = \lambda_o\lambda_w/\lambda_t$ общий множитель капиллярного и гравитационного потоков: мал, если подвижна только одна фаза, м²/(Па·с)

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

те же, что для закона Дарси фаз; формула точная — это перегруппировка закона Дарси.

Первая часть — вода, которую несёт суммарный поток, в доле $f_w$ . Вторая — капиллярная: в гидрофильной породе $p_c$ выше там, где воды меньше, поэтому вода впитывается в менее водонасыщенные участки. Третья — гравитационная: вода опускается, нефть поднимается, даже если суммарный поток равен нулю (противоток).

Для несжимаемых породы и флюидов баланс воды в пластовых объёмах — $\phi\,\partial S_w/\partial t + \nabla\cdot\mathbf{u}_w$ плюс отбор — с этим потоком даёт уравнение насыщенности. Так как $\nabla p_c = (\dd p_c/\dd S_w)\nabla S_w$ , а в гидрофильной породе $\dd p_c/\dd S_w < 0$ , капиллярный член принимает вид диффузии:

Уравнение насыщенности

\phi\,\frac{\partial S_w}{\partial t} + \nabla\cdot\left(f_w\,\mathbf{u}_t\right) + \nabla\cdot\left[\lambda_o f_w\,(\rho_w - \rho_o)\,g\,\nabla D\right] = \nabla\cdot\left(\lambda_o f_w\left|\frac{\dd p_c}{\dd S_w}\right|\nabla S_w\right) - \tilde q_w^{\text{пл}}

где:

$S_w$ водонасыщенность — неизвестная, —
$f_w\,\mathbf{u}_t$ перенос воды суммарным потоком (вязкий член), м/с
$\lambda_o f_w\,|\dd p_c/\dd S_w|$ коэффициент капиллярной «диффузии» насыщенности, м²/с
$\tilde q_w^{\text{пл}}$ отбор воды на единицу объёма пласта в пластовых условиях, 1/с

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

порода и флюиды несжимаемы ( $\phi$ и $B_\alpha$ постоянны);
гидрофильная порода ( $\dd p_c/\dd S_w < 0$ ); суммарная скорость известна из уравнения давления.

Слева — накопление, перенос суммарным потоком и гравитационное разделение фаз; справа — капиллярное размытие и скважины. Перенос преобладает, и уравнение ведёт себя как уравнение переноса: насыщенность движется со скоростью, зависящей от наклона кривой $f_w(S_w)$ . Капиллярный член слаб и сглаживает фронт.

Для горизонтального одномерного течения без капиллярного давления между скважинами остаётся $\phi\,\partial S_w/\partial t + u_t\,\partial f_w/\partial x = 0$ — уравнение Баклея — Леверетта. Его решение — фронт вытеснения со скачком насыщенности, время прорыва воды, метод Уэлджа — разобрано в уроке Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа; форма кривой $f_w(S_w)$ и влияние вязкости, наклона пласта и смачиваемости на вытеснение — в уроке Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей.

Уравнения разной природы

Уравнение давления — уравнение выравнивания: изменение в одной точке сразу отражается на всём пласте, и решение гладкое. Уравнение насыщенности — уравнение переноса: насыщенность приходит в точку только вместе с потоком, а фронт остаётся резким. Поэтому давление обычно считают неявно для всех ячеек сразу, а для насыщенности важнее правильно взять направление потока: подвижности на гранях берут из ячейки выше по потоку, а размытие фронта на сетке — уже численный эффект (Численная дисперсия).

Роль ОФП и капиллярного давления

Относительные проницаемости входят в оба уравнения. В уравнении давления они дают коэффициент $\lambda_t(S_w)$ . Он максимален там, где течёт одна фаза, и минимален в двухфазной зоне, где фазы мешают друг другу. Поэтому при заводнении перепад давления сосредотачивается в зоне совместного течения, и сопротивление пласта меняется по мере её продвижения. Отношение $\lambda_t$ в полностью промытой зоне (при $1 - S_{or}$ ) и в нефтяной зоне перед фронтом (при $S_{wi}$ ) — это соотношение подвижностей в концевых точках $M'$ (урок об ОФП); сразу за фронтом, где текут обе фазы, $\lambda_t$ обычно меньше обеих (рисунок ниже).

РасчётПодвижности нефти, воды и суммарная подвижность на единицу проницаемости для кривых ОФП урока Относительная проницаемость при вязкости нефти 1,2 мПа·с и воды 0,5 мПа·с. Суммарная подвижность минимальна в двухфазной зоне — около 0,18 мПа⁻¹·с⁻¹ при

S_w \approx 0{,}52

, вчетверо меньше, чем в нефтяной зоне.

В уравнении насыщенности ОФП входят через долю воды $f_w$ : чем круче кривая $f_w(S_w)$ , тем быстрее продвигаются соответствующие насыщенности. В ячейке со скважиной подвижности определяют состав продукции — дебиты фаз пропорциональны $k_{r\alpha}/(\mu_\alpha B_\alpha)$ (модель скважины). Поэтому, когда при адаптации модели к истории разработки меняют кривые ОФП, меняются и давления, и обводнённость (Адаптация модели к истории разработки).

Капиллярное давление работает иначе. Во-первых, оно связывает давления фаз, и без него система не замкнута. Во-вторых, оно задаёт начальное состояние: при инициализации модели насыщенность каждой ячейки находят из равновесия капиллярных сил и силы тяжести по высоте над зеркалом свободной воды — так в модель попадает переходная зона (Капиллярное давление и переходная зона). В-третьих, в уравнениях движения оно даёт капиллярные перетоки: размывает фронт вытеснения и перераспределяет воду между слоями разной проницаемости — вода впитывается в менее проницаемые гидрофильные прослои. Насколько эти перетоки важны, зависит от масштаба: пример ниже показывает, что в ячейках размером в сотни метров они малы.

Разностные уравнения для ячеек

Разностные уравнения строят так же, как в однофазном уроке: баланс каждой фазы в ячейке, а переток через грань — проводимость, умноженная на подвижность фазы и разность её потенциалов в соседних ячейках.

Уравнение ячейки для фазы

V_{p,i}\,\frac{(S_\alpha/B_\alpha)_i^{n+1} - (S_\alpha/B_\alpha)_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j 0{,}0853\,T_{ij}\left(\frac{k_{r\alpha}}{\mu_\alpha B_\alpha}\right)_{\!\uparrow}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right) - q_{\alpha,i},\qquad \Phi_\alpha = p_\alpha - \gamma_\alpha D

где:

$V_{p,i}$ поровый объём ячейки, м³
$T_{ij}$ проводимость связи (геометрическая часть с абсолютной проницаемостью), как в однофазном уроке, мД·м
$(\cdot)_{\uparrow}$ значение в ячейке выше по потоку данной фазы — той из $i$ и $j$ , где её потенциал больше, —
$\Phi_\alpha,\ \gamma_\alpha$ потенциал фазы и её удельный вес $\rho_\alpha g$ , МПа, МПа/м
$p_w = p_o - p_c(S_w)$ давление воды в ячейке, МПа
$q_{\alpha,i}$ отбор фазы скважиной в стандартных условиях, м³/сут

Единицы: метрические промысловые: $k$ в $T_{ij}$ в мД, $\mu$ в мПа·с, $p$ в МПа, $D$ в м, $\Delta t$ в сут; 0,0853 — постоянная закона Дарси

Справедливо, если

поровый объём на шаге постоянен (для сжимаемой породы его берут по давлению);
подвижность на грани — против потока (ниже — почему);
по давлениям и подвижностям какого момента считать правую часть, определяет схема решения (Схемы IMPES и полностью неявная).

На каждую ячейку два уравнения с двумя неизвестными — $p_o$ и $S_w$ . Сложив их с весами $B_\alpha$ , получим разностное уравнение давления с коэффициентами $0{,}0853\,T_{ij}\lambda_t$ — то же, что в однофазном уроке, только $1/\mu$ заменено суммарной подвижностью. Здесь и в примерах ниже $\lambda_t$ — на единицу проницаемости, $k_{ro}/\mu_o + k_{rw}/\mu_w$ : проницаемость уже входит в $T_{ij}$ .

Почему подвижность берут против потока. Фаза, проходящая через грань, приходит из ячейки выше по потоку и несёт её свойства. Если взять подвижность ячейки ниже по потоку, вода никогда не войдёт в ячейку, где она ещё неподвижна ( $k_{rw} = 0$ при $S_{wi}$ ): переток через грань будет равен нулю, и фронт остановится. Среднее арифметическое соседних ячеек допускает нефизичные колебания насыщенности. Взвешивание против потока (upstream weighting) этих недостатков лишено; его цена — численное размытие фронта. Подробнее — в уроке Перетоки между ячейками и проводимость.

Шаг расчёта: сначала давление, затем насыщенность

1
Подвижности
по насыщенностям начала шага вычисляют $k_{ro}$ , $k_{rw}$ и подвижности на гранях — против потока (направление потока берут по последним известным давлениям).
2
Давление
решают систему уравнений давления для всех ячеек — как в однофазной задаче, с коэффициентами $0{,}0853\,T_{ij}\lambda_t$ и, если нужно, с капиллярными и гравитационными добавками в правой части.
3
Перетоки фаз
по найденным давлениям находят суммарный переток через каждую грань и его водную часть: $f_w$ ячейки выше по потоку плюс капиллярная и гравитационная поправки.
4
Насыщенности
из баланса воды в каждой ячейке находят новую водонасыщенность; нефтенасыщенность — $1 - S_w$ .
5
Проверка и следующий шаг
проверяют баланс воды и нефти, пересчитывают подвижности. Можно повторить шаг с уточнёнными подвижностями до сходимости или сразу перейти к следующему.

Такой порядок — давление по известным насыщенностям, затем насыщенности по найденному давлению — основа последовательных схем, самая известная из которых — IMPES (implicit pressure, explicit saturation: давление неявно, насыщенность явно). Насколько большим можно сделать шаг, почему явный шаг насыщенности ограничен и как решают все уравнения сразу (полностью неявная схема с итерациями Ньютона), разобрано в уроке Схемы IMPES и полностью неявная. Общие свойства разностных схем — погрешность, устойчивость, сходимость — в уроке Конечные разности: от уравнений к вычислениям.

Пример: заводнение полосы из четырёх ячеек

Возьмём полосу пласта из урока Уравнение давления для однофазной фильтрации — четыре ячейки по 250 м с заглинизированной ячейкой 3 — и заводним её: в ячейку 1 закачивают воду, из ячейки 4 добывают жидкость. Кривые ОФП — модель Кори из урока Относительная проницаемость. Чтобы расчёт поместился на странице, пласт горизонтальный, порода и флюиды несжимаемы, капиллярное давление в перетоках не учитываем (его вклад оценён в последнем примере раздела). Тогда закачка и отбор в пластовых условиях равны, а через каждую грань идёт один и тот же суммарный расход.

РасчётДавление в ячейках полосы относительно ячейки со скважиной при одной и той же закачке 25,5 м³/сут (пластовые условия): в начале закачки, пока в пласте только нефть, в момент примера (фронт в ячейках 2–3) и после полного заводнения. Наибольший перепад — на грани 2–3, где двухфазная зона совпала с заглинизированной ячейкой.

Расчётный примерДавления, перетоки фаз и насыщенности за шаг 200 сут

Исходные данные (условные)

Полоса (урок Уравнение давления для однофазной фильтрации): 4 ячейки 250 × 200 × 15 м, $\phi$ = 0,20; $T_{12}$ = 960, $T_{23}$ = 384, $T_{34}$ = 400 мД·м; поровый объём ячейки 150 000 м³
ОФП (урок Относительная проницаемость): модель Кори: $S_{wi}$ = 0,22, $S_{or}$ = 0,25, $k_{ro}'$ = 0,85, $k_{rw}'$ = 0,25, $n_o$ = 2,5, $n_w$ = 3
Флюиды: нефть: $\mu_o$ = 1,2 мПа·с, $B_o$ = 1,3; вода: $\mu_w$ = 0,5 мПа·с, $B_w$ = 1,02
Скважины: закачка воды в ячейку 1 — 25 м³/сут в стандартных условиях; добывающая скважина в ячейке 4
Водонасыщенность ячеек 1–4 в начале шага: 0,70; 0,55; 0,30; 0,22

Решение

Суммарный расход в пластовых условиях: $q_t = 25\cdot1{,}02 = 25{,}5$ м³/сут — через каждую грань (порода и флюиды несжимаемы, поток одномерный). Течение идёт от ячейки 1 к ячейке 4, поэтому на гранях 1–2, 2–3 и 3–4 подвижности берём из ячеек 1, 2 и 3.
ОФП в ячейках 1–3 по модели Кори: $k_{ro}$ = 0,002324; 0,07435; 0,5646; $k_{rw}$ = 0,1857; 0,06035; 0,0008598.
Подвижности на единицу проницаемости, 1/(мПа·с): $\lambda_o = k_{ro}/1{,}2$ — 0,00194; 0,06196; 0,47050; $\lambda_w = k_{rw}/0{,}5$ — 0,37140; 0,12070; 0,00172. Суммарные $\lambda_t$ : 0,37334; 0,18266; 0,47222. Доля воды $f_w = \lambda_w/\lambda_t$ : 0,9948; 0,6608; 0,003642.
Коэффициенты граней $a = 0{,}0853\,T\lambda_t$ : $a_{12} = 0{,}0853\cdot960\cdot0{,}37334 = 30{,}572$ ; $a_{23} = 0{,}0853\cdot384\cdot0{,}18266 = 5{,}983$ ; $a_{34} = 0{,}0853\cdot400\cdot0{,}47222 = 16{,}112$ м³/(сут·МПа).
Перепады давления на гранях $q_t/a$ : 0,834; 4,262; 1,583 МПа — всего 6,679 МПа между ячейками 1 и 4; на грань 2–3 приходится 64 %.
Перетоки воды $f_w q_t$ : через грань 1–2 — 25,367, 2–3 — 16,850, 3–4 — 0,093 м³/сут. В ячейке 4 $S_w = S_{wi}$ , вода неподвижна: скважина добывает только нефть — $25{,}5/1{,}3 = 19{,}6$ м³/сут в стандартных условиях.
Чистый приток воды в ячейки (приток минус отток): 0,133; 8,517; 16,757; 0,093 м³/сут. За 200 сут водонасыщенность меняется на $200\cdot(\text{приток})/150\,000$ : +0,00018; +0,01136; +0,02234; +0,00012.
Новые водонасыщенности: 0,7002; 0,5614; 0,3223; 0,2201. Проверка баланса: сумма чистых притоков 25,5 м³/сут равна закачке; за шаг в полосе накопилось $25{,}5\cdot200 = 5100$ м³ воды в пластовых условиях — столько, сколько закачано.

Ответ: При закачке 25 м³/сут перепад между ячейками 1 и 4 — 6,679 МПа, из них 4,262 МПа на грани 2–3; скважина пока даёт безводную нефть, 19,6 м³/сут. За 200 сут быстрее всего растёт водонасыщенность ячейки 3 — на 0,02234.

Что это значит. Распределение давления определяет суммарная подвижность: в ячейке 2 обе фазы подвижны и мешают друг другу ( $\lambda_t$ = 0,18266 против 0,47222 в ячейке 3), а грань 2–3 к тому же проходит через глинистую ячейку — и на неё приходится почти две трети перепада. Насыщенность меняется медленно: ячейка 1 почти промыта ( $f_w$ = 0,9948 — вода проходит её насквозь), а воду накапливают ячейки 2 и 3, где проходит фронт. После шага подвижности изменятся, и давление придётся пересчитать: так уравнения давления и насыщенности связаны. Шаг 200 сут здесь мал по сравнению со временем изменения насыщенностей — они изменились не больше чем на 0,03; как выбирают шаг и почему явный шаг насыщенности ограничен, разобрано в уроке Схемы IMPES и полностью неявная. Данные примера условные.

Расчётный примерКак меняется перепад давления по мере заводнения

Исходные данные (условные)

Полоса, ОФП и флюиды: из предыдущего примера; закачка 25,5 м³/сут в пластовых условиях
Три состояния: начало закачки, вода ещё не вошла в пласт ( $S_w$ = 0,22 всюду); момент предыдущего примера; полностью заводнённая полоса ( $S_w$ = 0,75 всюду)

Решение

Если подвижность во всей полосе одинакова, перепад между ячейками 1 и 4 равен $q_t\Sigma/(0{,}0853\,\lambda_t)$ , где $\Sigma = 1/960 + 1/384 + 1/400$ = 0,0061458 (мД·м)⁻¹ — сопротивление полосы. Множитель $q_t\Sigma/0{,}0853$ = 1,8373 МПа/(мПа·с).
В начале закачки течёт только нефть при $S_{wi}$ : $\lambda_t = 0{,}85/1{,}2 = 0{,}7083$ , перепад $1{,}8373/0{,}7083 = 2{,}59$ МПа.
В момент предыдущего примера — 6,68 МПа, в 2,6 раза больше.
После полного заводнения течёт только вода при $1 - S_{or}$ : $\lambda_t = 0{,}25/0{,}5 = 0{,}50$ , перепад $1{,}8373/0{,}50 = 3{,}67$ МПа — в 1,42 раза больше начального; это $1/M'$ , где $M' = 0{,}50/0{,}7083 = 0{,}706$ .

Ответ: При той же закачке перепад давления в полосе растёт с 2,59 до 6,68 МПа, пока двухфазная зона проходит глинистую ячейку, и остаётся 3,67 МПа после полного заводнения.

Что это значит. Если закачку ведут при ограниченном давлении на устье или на забое, приёмистость нагнетательной скважины меняется так же: падает, пока двухфазная зона малоподвижна и проходит плохие ячейки, и при $M' < 1$ не возвращается к начальной. При вязкой нефти ( $M' > 1$ ) после прохождения фронта сопротивление, наоборот, становится меньше начального. Это прямое следствие того, что коэффициент уравнения давления — суммарная подвижность. Данные примера условные.

Расчётный примерКапиллярный переток на грани ячеек и масштаб капиллярных сил

Исходные данные (условные)

Состояние полосы: из примера о шаге 200 сут: $S_w$ = 0,55 в ячейке 2 и 0,30 в ячейке 3; перепад давления нефти на грани 2–3 — 4,262 МПа
Капиллярное давление пропитки (условно): $p_c = 40\,(1 - S_n)^2$ кПа: 40 кПа при $S_{wi}$ , ноль при $1 - S_{or}$

Решение

Нормированные насыщенности $S_n$ : 0,6226 в ячейке 2 и 0,1509 в ячейке 3. Капиллярное давление: $40\cdot(1 - 0{,}6226)^2 = 5{,}70$ кПа и $40\cdot(1 - 0{,}1509)^2 = 28{,}84$ кПа.
Разность давлений воды между ячейками больше разности давлений нефти на $p_{c3} - p_{c2} = 23{,}14$ кПа: вода стремится в более «сухую» ячейку 3.
Капиллярная добавка к движущей силе для воды — 23,14 кПа из 4262 кПа, то есть 0,54 %. Добавочный переток воды $0{,}0853\cdot384\cdot0{,}12070\cdot0{,}02314 = 0{,}091$ м³/сут против 16,850 м³/сут вязкого перетока. Это оценка сверху — при неизменных давлениях нефти. При заданной закачке давления перераспределятся так, что суммарный расход сохранится, и по формуле потока воды через суммарную скорость множитель $\lambda_w$ заменится на $\lambda_o f_w = 0{,}06196\cdot0{,}6608$ : прирост 0,031 м³/сут, втрое меньше.
На каком расстоянии вязкие силы набирают такой же перепад? Скорость фильтрации $u_t = 25{,}5/3000 = 0{,}0085$ м/сут, градиент давления в двухфазной ячейке 2 (80 мД) — $u_t/(0{,}0853\cdot80\cdot0{,}18266) = 0{,}00682$ МПа/м, то есть 6,82 кПа/м.
Полный капиллярный перепад между нетронутой и промытой породой — 40 кПа — вязкие силы набирают на длине $40/6{,}82 \approx 5{,}9$ м.

Ответ: На грани ячеек по 250 м капиллярное давление меняет переток воды не больше чем на 0,54 %; с вязкими силами оно сравнимо на масштабе около 5,9 м.

Что это значит. Капиллярные силы размывают фронт на метры, а численное размытие на сетке с ячейками 250 м сравнимо с самими ячейками (Сетки в гидродинамических моделях) — на такой сетке капиллярный эффект просто не виден. Поэтому в крупных моделях капиллярное давление важно прежде всего для начального распределения насыщенности (переходной зоны) и перетоков между слоями, а в мелкомасштабных задачах — опытах на керне, моделях конусов воды, трещиноватых пластах с пропиткой блоков — оно определяет результат. При меньшей скорости потока вязкий градиент меньше, и капиллярный масштаб растёт. Данные примера условные.

Термины и обозначения

Подвижность фазы $\lambda_\alpha$: $k\,k_{r\alpha}/\mu_\alpha$ : проводимость породы для фазы с учётом её вязкости.
Суммарная подвижность $\lambda_t$: $\lambda_o + \lambda_w$ : коэффициент уравнения давления при двухфазном течении; минимальна в двухфазной зоне.
Суммарная скорость $u_t$: сумма скоростей фильтрации фаз; в несжимаемом течении её дивергенция определяется только скважинами.
Доля воды в потоке $f_w$: $\lambda_w/\lambda_t$ : доля воды в суммарном потоке без учёта силы тяжести и капиллярного давления.
Замыкающие соотношения: $S_o + S_w = 1$ , $p_o - p_w = p_c(S_w)$ и зависимости ОФП и свойств фаз от насыщенности и давления.
Уравнение давления: сумма балансов фаз с весами $B_\alpha$ : содержит общую сжимаемость и суммарную подвижность, не содержит производных насыщенности по времени.
Уравнение насыщенности: баланс воды, записанный через суммарную скорость: перенос, гравитационное разделение и капиллярное размытие.
Взвешивание против потока: подвижность фазы на грани берут в ячейке, из которой фаза течёт.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«При заводнении в уравнение давления подставляют проницаемость и вязкость нефти».

На самом деле

Коэффициент уравнения давления — суммарная подвижность $\lambda_t(S_w)$ . В примере урока она в двухфазной ячейке вчетверо меньше, чем в нефтяной зоне, и перепад давления при той же закачке вырос с 2,6 до 6,7 МПа.

Неверно

«Суммарная скорость фильтрации и есть скорость продвижения фронта воды».

На самом деле

$u_t$ — расход обеих фаз на единицу площади. Насыщенность движется со скоростью, которая зависит от пористости и от наклона кривой $f_w(S_w)$ : фронт вытеснения идёт быстрее, чем $u_t/\phi$ , а высокие водонасыщенности за ним — медленнее (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа).

Неверно

«Подвижность на грани ячеек — это среднее подвижностей двух ячеек».

На самом деле

Для многофазного течения её берут из ячейки выше по потоку. С подвижностью ячейки ниже по потоку вода не войдёт в ячейку с неснижаемой водонасыщенностью, и фронт остановится; среднее даёт нефизичные колебания насыщенности.

Неверно

«Капиллярное давление в гидродинамической модели можно всегда задать нулевым — оно составляет килопаскали».

На самом деле

В перетоках между крупными ячейками его вклад действительно мал (в примере — около 0,5 %), но от него зависят начальное распределение насыщенности и переходная зона, перетоки между слоями и результаты мелкомасштабных моделей.

Подробно: для продвинутых

Вывод уравнения давления подробно

Умножим баланс фазы $\alpha$ на $B_\alpha$ . Производная по времени раскладывается так: $B_\alpha\,\partial_t(\phi S_\alpha/B_\alpha) = \phi\,\partial_t S_\alpha + S_\alpha\,\partial_t\phi + \phi S_\alpha B_\alpha\,\partial_t(1/B_\alpha)$ . По определению сжимаемостей $\partial_t\phi = \phi c_f\,\partial_t p$ и $B_\alpha\,\partial_t(1/B_\alpha) = c_\alpha\,\partial_t p$ . Сумма по фазам первых слагаемых равна нулю, остальные дают $\phi c_t\,\partial_t p$ .

Сумма балансов фаз с весами объёмных коэффициентов

\phi c_t\,\frac{\partial p_o}{\partial t} + \sum_\alpha B_\alpha\,\nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{u}_\alpha}{B_\alpha}\right) + \tilde q_t = 0,\qquad B_\alpha\,\nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{u}_\alpha}{B_\alpha}\right) = \nabla\cdot\mathbf{u}_\alpha + c_\alpha\,\mathbf{u}_\alpha\cdot\nabla p_o

где:

$c_\alpha$ сжимаемость фазы $-\tfrac{1}{B_\alpha}\tfrac{\dd B_\alpha}{\dd p}$ , 1/Па
$\tilde q_t$ отбор в пластовых условиях, $\sum_\alpha B_\alpha\tilde q_\alpha$ , 1/с

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

свойства фаз — функции давления нефти; $\nabla B_\alpha = -B_\alpha c_\alpha\nabla p_o$ .

Первое равенство точное. Второе показывает, что именно отбрасывают при переходе к суммарной скорости: член $c_\alpha\,\mathbf{u}_\alpha\cdot\nabla p_o$ . Он пропорционален сжимаемости и квадрату градиента давления (скорость сама пропорциональна градиенту) — как член $c(\nabla p)^2$ , который отбрасывают при линеаризации однофазного уравнения. Для слабосжимаемых фаз его вклад — доли процента; для газа так поступать нельзя, и симулятор решает точную форму.

Подставив закон Дарси с $p_w = p_o - p_c$ , получим уравнение давления основного раздела. Если записать сумму без упрощения, в одном измерении она содержит по отдельности нефтяной и водяной потоки с множителями $B_o$ и $B_w$ , гравитационные члены каждой фазы и капиллярный член $-B_w\,\partial_x\!\left[(\lambda_w/B_w)\,\partial_x p_c\right]$ — каждое слагаемое отвечает вязким, гравитационным или капиллярным силам. В несжимаемом случае без силы тяжести и капиллярного давления система сводится к паре $\partial_x(\lambda_t\,\partial_x p) = 0$ и $\phi\,\partial_t S_o = \partial_x(\lambda_o\,\partial_x p)$ — простейшей форме уравнений давления и насыщенности.

Сила тяжести: противоток фаз

В вертикальном столбе пласта без скважин суммарная скорость равна нулю, и всё же фазы движутся: по формуле потока воды $u_w = \lambda_o f_w(\rho_w - \rho_o)g$ вниз, а нефть с той же скоростью вверх. Это гравитационное разделение (сегрегация). Его скорость пропорциональна вертикальной проницаемости, разности плотностей и множителю $\lambda_o\lambda_w/\lambda_t$ , который максимален в середине интервала насыщенности и равен нулю, когда подвижна одна фаза. Поэтому в мощных пластах с хорошей вертикальной проницаемостью закачанная вода «проваливается» к подошве, а газ поднимается к кровле, и для таких задач нужны модели с достаточным числом слоёв (Сетки в гидродинамических моделях). В горизонтальном потоке гравитационный член вклада не даёт, что и использовано в примере урока.

Связь с другими темами

Уравнение давления для однофазной фильтрации — уравнение давления для одной фазы, уравнения ячеек и проводимости.
Относительная проницаемость — кривые ОФП, модель Кори, доля воды в потоке и соотношение подвижностей.
Капиллярное давление и переходная зона — кривые капиллярного давления и начальное распределение насыщенности.
Модель скважины в ячейке сетки — дебиты фаз из ячейки со скважиной.
Конечные разности: от уравнений к вычислениям — погрешность, устойчивость и сходимость разностных схем.
Схемы IMPES и полностью неявная — схема IMPES и полностью неявная схема, выбор шага, итерации Ньютона.
Перетоки между ячейками и проводимость — проводимости и взвешивание подвижности против потока.
Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей — функция доли воды с учётом силы тяжести и капиллярного давления.
Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа — решение уравнения насыщенности для одномерного вытеснения.
Численная дисперсия — размытие фронта насыщенности на сетке.

Проверьте себя

1
Сколько независимых неизвестных приходится на ячейку двухфазной модели нефть — вода без свободного газа?
1. А.Четыре — два давления и две насыщенности
2. Б.Одна — давление
3. В.Три
4. Г.Две — например, давление нефти и водонасыщенность
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Две — например, давление нефти и водонасыщенность
Неизвестных четыре — $p_o$ , $p_w$ , $S_o$ , $S_w$ , — но они связаны двумя замыкающими соотношениями: $S_o + S_w = 1$ и $p_o - p_w = p_c(S_w)$ . Независимых остаётся две, и им отвечают два баланса — нефти и воды.
2
В ячейке $k_{ro}$ = 0,18 и $k_{rw}$ = 0,04; вязкость нефти 1,5 мПа·с, воды 0,4 мПа·с. Найдите подвижности на единицу проницаемости, суммарную подвижность и долю воды в потоке.
Показать ответ
$\lambda_o = 0{,}18/1{,}5 = 0{,}12$ и $\lambda_w = 0{,}04/0{,}4 = 0{,}10$ 1/(мПа·с); $\lambda_t = 0{,}22$ ; $f_w = 0{,}10/0{,}22 \approx 0{,}45$ . Хотя ОФП воды в 4,5 раза меньше ОФП нефти, вода даёт почти половину потока: её вязкость почти вчетверо меньше.
3
При заводнении маловязкой нефти соотношение подвижностей в концевых точках $M' = 0{,}6$ . Как при постоянной закачке изменится перепад давления между нагнетательной и добывающей скважинами после полного заводнения пласта по сравнению с начальным?
1. А.Увеличится примерно в 1,7 раза
2. Б.Не изменится
3. В.Уменьшится в 1,7 раза
4. Г.Увеличится в 6 раз
Показать ответ
Правильный ответ: А. Увеличится примерно в 1,7 раза
Перепад обратно пропорционален суммарной подвижности. В начале закачки она равна подвижности нефти при $S_{wi}$ , после — подвижности воды при $1 - S_{or}$ ; их отношение и есть $M'$ . Поэтому перепад вырастет в $1/0{,}6 \approx 1{,}7$ раза, а пока через пласт идёт двухфазная зона, он бывает ещё больше.
4
Почему подвижность фазы на грани ячеек берут из ячейки выше по потоку? Что произойдёт на фронте заводнения, если брать её из ячейки ниже по потоку?
Показать ответ
Фаза, проходящая через грань, приходит из ячейки выше по потоку и несёт её свойства. Перед фронтом водонасыщенность равна неснижаемой и $k_{rw} = 0$ ; с подвижностью этой ячейки переток воды через грань был бы равен нулю, вода не вошла бы в ячейку, и фронт остановился бы навсегда. С подвижностью ячейки выше по потоку, где вода подвижна, она входит в ячейку и постепенно делает подвижной воду и в ней.
5
Какой член уравнения насыщенности отвечает за то, что в вертикальном столбе без скважин вода опускается, а нефть поднимается?
1. А.Капиллярный член
2. Б.Гравитационный член с $(\rho_w - \rho_o)\,g$
3. В.Отбор скважиной
4. Г.Перенос суммарным потоком $f_w u_t$
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Гравитационный член с $(\rho_w - \rho_o)\,g$
При нулевой суммарной скорости перенос $f_w u_t$ исчезает, а гравитационный поток $\lambda_o f_w(\rho_w - \rho_o)g$ остаётся: вода движется вниз, нефть с той же скоростью — вверх (противоток). Капиллярный член выравнивает насыщенность и сам по себе разделения фаз не создаёт.
6
В одномерной горизонтальной модели с несжимаемыми породой и флюидами закачивают 40 м³/сут воды (в пластовых условиях) в первую ячейку и отбирают жидкость из последней. Каков суммарный расход через каждую грань и почему для давления здесь не нужно решать систему уравнений?
Показать ответ
В несжимаемом течении дивергенция суммарной скорости равна нулю везде, кроме ячеек со скважинами, поэтому через каждую грань идут те же 40 м³/сут. Перепад на грани находится сразу: расход, делённый на коэффициент $0{,}0853\,T\lambda_t$ . В двух- и трёхмерной модели поток распределяется между путями по их подвижностям, и тогда систему решать приходится.

Обновлено: 26 октября 2026 г.