Капиллярное давление и переходная зона

Кратко о главном

$p_c$ — разность давлений несмачивающей и смачивающей фаз. В цилиндрическом канале радиуса $r$ оно равно $2\sigma\cos\theta/r$ : вдвое уже канал — вдвое больше давление.
В залежи, пришедшей в равновесие, $p_c = (\rho_w - \rho_o)\,g\,h$ : каждой высоте над зеркалом свободной воды (ЗСВ) соответствует своё капиллярное давление, а через кривую керна — своя водонасыщенность.
Нефть начинает вытеснять воду из породы при давлении входа $p_d$ самых крупных связанных каналов. Поэтому ВНК лежит выше ЗСВ на $h_d = p_d/(\Delta\rho\,g)$ .
Кривая пропитки не повторяет кривую дренирования (гистерезис): часть нефти защемляется, и при $p_c = 0$ водонасыщенность не возвращается к единице.
Лабораторную кривую пересчитывают к пластовым флюидам умножением на отношение натяжений смачивания $\sigma\cos\theta$ ; ртутные давления для пары нефть — вода при типичных значениях уменьшаются примерно в 14 раз.
Функция Леверетта $J = p_c\sqrt{k/\phi}/(\sigma\cos\theta)$ сводит кривые образцов одного типа породы к одной. В менее проницаемой породе на той же высоте воды больше, а ВНК выше.

Ключевые соотношения

p_c = p_{\text{нс}} - p_{\text{с}} = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{r}

капиллярное давление в цилиндрическом канале радиуса $r$

p_c = (\rho_w - \rho_o)\,g\,h

капиллярное давление на высоте $h$ над зеркалом свободной воды

p_{c,\text{пл}} = p_{c,\text{лаб}}\,\dfrac{(\sigma\cos\theta)_{\text{пл}}}{(\sigma\cos\theta)_{\text{лаб}}}

пересчёт лабораторной кривой к пластовым флюидам

J(S_w) = \dfrac{p_c}{\sigma\cos\theta}\sqrt{\dfrac{k}{\phi}}

функция Леверетта, согласованные единицы

Где чаще всего ошибаются

Путать ВНК с зеркалом свободной воды: на ЗСВ капиллярное давление равно нулю, а ВНК выше него на высоту, отвечающую давлению входа.
Строить начальное распределение насыщенности по кривой пропитки, а обводнившуюся часть пласта — по кривой дренирования.
Пересчитывать ртутную кривую фиксированным коэффициентом, не проверив $\sigma$ и $\theta$ , или брать косинус угла, отсчитанного через ртуть.
Применять одну функцию Леверетта к разным типам пород.
Ожидать единого ВНК в слоистом пласте: у каждого слоя свой контакт и своя переходная зона, общим остаётся только зеркало свободной воды.

После урока вы сможете

вывести капиллярное давление в цилиндрическом канале и объяснить, как оно зависит от размера пор, межфазного натяжения и смачиваемости;
читать кривые капиллярного давления дренирования и пропитки: давление входа, неснижаемая водонасыщенность, остаточная нефть, гистерезис;
сравнивать лабораторные методы измерения и пересчитывать лабораторную кривую к пластовым флюидам;
строить профиль водонасыщенности по высоте над зеркалом свободной воды и находить положение ВНК и толщину переходной зоны;
переносить кривую на породу с другой проницаемостью и пористостью с помощью функции Леверетта и объяснять распределение насыщенности в слоистом пласте.

Откуда берётся капиллярное давление

Граница двух несмешивающихся фаз натянута, как плёнка (межфазное натяжение). Если она искривлена, натяжение прижимает её к вогнутой стороне, и равновесие возможно, только если давление с вогнутой стороны больше. Поэтому в капле или пузыре давление всегда выше, чем снаружи. Разность давлений на искривлённой границе и называют капиллярным давлением.

В поре граница нефть — вода изогнута вогнутостью к несмачивающей фазе: смачивающая фаза «тянется» вдоль стенок. Поэтому давление в несмачивающей фазе выше. Для нефти и воды в гидрофильной породе $p_c = p_o - p_w > 0$ ; в гидрофобных порах капиллярное давление, записанное так же, становится отрицательным.

Уравнение Лапласа для искривлённой границы

p_c = p_{\text{нс}} - p_{\text{с}} = \sigma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)

где:

$p_{\text{нс}},\ p_{\text{с}}$ давления несмачивающей и смачивающей фаз у границы, Па
$\sigma$ межфазное натяжение, Н/м
$R_1,\ R_2$ главные радиусы кривизны границы, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

граница неподвижна или движется очень медленно (капиллярное равновесие);
межфазное натяжение одинаково по всей границе.

Чем сильнее изогнута граница, то есть чем меньше радиусы кривизны, тем больше перепад давления. Для сферической границы $R_1 = R_2 = R$ и $p_c = 2\sigma/R$ .

В цилиндрическом канале радиуса $r$ граница — сферический сегмент, мениск. Его радиус связан с радиусом канала через краевой угол: $R = r/\cos\theta$ . Подставив это в уравнение Лапласа, получим основную формулу.

Капиллярное давление в цилиндрическом канале

p_c = \frac{2\sigma\cos\theta}{r}

где:

$\sigma$ межфазное натяжение, Н/м
$\theta$ краевой угол, отсчитанный через смачивающую фазу, градусы
$r$ радиус канала; в породе — эффективный радиус сужения, через которое проходит мениск, м
$p_c$ капиллярное давление, Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

канал круглого сечения, мениск — часть сферы;
краевой угол отсчитан через смачивающую фазу, поэтому $\cos\theta > 0$ ;
система в равновесии: мениск неподвижен.

Капиллярное давление обратно пропорционально размеру канала: в мелких порах оно велико, в крупных мало. Оно пропорционально натяжению смачивания $\sigma\cos\theta$ и поэтому зависит и от флюидов, и от смачиваемости.

В других системах единиц (2)

Практические метрические единицы

p_c\,[\text{кПа}] = \frac{2\,\sigma\,[\text{мН/м}]\,\cos\theta}{r\,[\text{мкм}]}

$\sigma$ — мН/м, $r$ — мкм, $p_c$ — кПа.

Постоянной нет: мН/м, делённые на мкм, дают кПа ( $10^{-3}/10^{-6} = 10^{3}$ Па).

Промысловые единицы (oilfield)

p_c\,[\text{psi}] = \frac{0{,}290\,\sigma\,[\text{дин/см}]\,\cos\theta}{r\,[\text{мкм}]}

$\sigma$ — дин/см (то же, что мН/м), $r$ — мкм, $p_c$ — psi.

$0{,}290 = 2/6{,}895$ : 2 кПа в psi (1 psi = 6,895 кПа).

Капиллярный подъём. Опустим тонкую гидрофильную трубку сквозь границу нефти и воды в сосуде. Вода поднимется в трубке выше уровня в сосуде. На уровне границы в сосуде давления нефти и воды равны; на высоте $h$ давление каждой фазы меньше на вес её столба — в воде на $\rho_w g h$ , в нефти на $\rho_o g h$ . Вода тяжелее, поэтому на высоте $h$ давление нефти превышает давление воды на $(\rho_w - \rho_o)\,g h$ . Вода поднимается, пока эта разность не сравняется с капиллярным давлением мениска.

Высота капиллярного подъёма

(\rho_w - \rho_o)\,g\,h = \frac{2\sigma\cos\theta}{r}\quad\Rightarrow\quad h = \frac{2\sigma\cos\theta}{(\rho_w - \rho_o)\,g\,r}

где:

$\rho_w,\ \rho_o$ плотности воды и нефти, кг/м³
$g$ ускорение свободного падения, 9,81, м/с²
$h$ высота мениска над уровнем, где давления фаз равны, м
$\sigma,\ \theta,\ r$ как в формуле для канала, Н/м, градусы, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

капиллярное и гидростатическое равновесие;
трубка гидрофильна, вода — смачивающая фаза.

Вода поднимается тем выше, чем тоньше трубка. Порода — множество «трубок» разного размера, поэтому над уровнем равных давлений вода стоит в мелких порах выше, чем в крупных, и водонасыщенность плавно убывает с высотой. Так возникает переходная зона.

Расчётный примерКапиллярное давление поровых каналов и высота над контактом

Исходные данные (условные)

Нефть — вода в пласте: $\sigma = 30$ мН/м, $\theta = 30^\circ$ ; плотности воды и нефти 1040 и 800 кг/м³
Радиусы поровых каналов: 5 мкм (хорошо проницаемый песчаник) и 0,5 мкм (алевролит)
Для сравнения: газ — вода в пласте: $\sigma = 50$ мН/м, $\theta = 0$ , плотность газа 250 кг/м³, канал 5 мкм

Решение

Натяжение смачивания: $\sigma\cos\theta = 30\cdot 0{,}866 = 25{,}98$ мН/м.
Канал 5 мкм: $p_c = 2\cdot 25{,}98/5 = 10{,}39$ кПа. Прирост разности давлений нефти и воды на метр высоты: $(1040 - 800)\cdot 9{,}81 = 2354$ Па/м. Нефть войдёт в такой канал на высоте $h = 10{,}39\cdot 10^3/2354 = 4{,}41$ м над уровнем равных давлений.
Канал 0,5 мкм: давление в 10 раз больше, 103,9 кПа, и высота тоже в 10 раз больше — 44,1 м.
Газ — вода, канал 5 мкм: $p_c = 2\cdot 50/5 = 20{,}0$ кПа, но прирост давления на метр $(1040 - 250)\cdot 9{,}81 = 7750$ Па/м, и высота всего 2,58 м.

Ответ: Нефть входит в каналы радиусом 5 мкм на высоте 4,41 м над уровнем равных давлений, а в каналы 0,5 мкм — только на высоте 44,1 м.

Что это значит. Размер каналов задаёт масштаб переходной зоны: в хорошо проницаемом песчанике она занимает метры, в алевролите — десятки метров. Газ, несмотря на большее межфазное натяжение, отделяется от воды на меньшей высоте, потому что разность плотностей газ — вода втрое больше. Данные примера условные.

Кривые капиллярного давления: дренирование и пропитка

Порода — сеть пор разного размера, соединённых сужениями. Представим образец, насыщенный водой, в который под ступенчато растущим давлением нагнетают нефть или газ. Это дренирование (drainage) — вытеснение смачивающей фазы несмачивающей.

Как идёт дренирование

1
До давления входа
Несмачивающая фаза в образец не входит: её мениски не проходят даже через самые крупные сужения на поверхности образца.
2
Давление входа
При давлении входа $p_d$ (entry, threshold или displacement pressure) несмачивающая фаза проникает в самые крупные связанные каналы, и водонасыщенность начинает падать.
3
Заполнение пор
С ростом давления заполняются всё более мелкие поры. Если размеры каналов близки, кривая идёт почти горизонтально (плато); если они разнообразны, кривая плавно поднимается.
4
Неснижаемая вода
У неснижаемой водонасыщенности $S_{wirr}$ кривая становится почти вертикальной: оставшаяся вода находится в углах пор, плёнках и мельчайших порах, и рост давления её почти не вытесняет.

Обратный процесс — пропитка (imbibition): смачивающая фаза возвращается в породу и вытесняет несмачивающую. Сначала она впитывается сама, пока капиллярное давление снижается до нуля, — это самопроизвольная пропитка. В сильно гидрофильной породе на этом процесс почти заканчивается. Если часть пор гидрофобна, остальную нефть удаётся вытеснить только при отрицательном капиллярном давлении — это принудительная пропитка. Даже при очень большом отрицательном давлении часть нефти остаётся защемлённой: водонасыщенность приближается к $1 - S_{or}$ , а не к единице.

СхемаЦикл капиллярного давления слабо гидрофильной породы. Первичное дренирование начинается с давления входа

p_d

и приходит к неснижаемой водонасыщенности; пропитка идёт по другой кривой — сначала самопроизвольно, затем при отрицательном капиллярном давлении — и заканчивается у

1 - S_{or}

Почему пропитка не повторяет дренирование — гистерезис (hysteresis) капиллярного давления:

краевой угол натекания больше угла оттекания, поэтому при той же геометрии пор капиллярное давление пропитки меньше;
форма пор: при дренировании мениск задерживают узкие сужения, при пропитке — широкие поровые полости, которые заполняются при меньшем давлении;
защемление: смачивающая фаза, продвигаясь по углам и плёнкам, отрезает капли несмачивающей в крупных порах, и они остаются там — это остаточная нефть или защемлённый газ.

Если направление процесса меняется на полпути, насыщенность идёт по промежуточным, сканирующим кривым между основными. В гидродинамических моделях для этого включают расчёт гистерезиса.

Какую кривую применять

Процесс: Нефть или газ заполняют ловушку
Кривая: первичное дренирование
Что она определяет: начальную насыщенность и переходную зону

Процесс: Подъём ВНК, заводнение гидрофильного пласта
Кривая: пропитка
Что она определяет: насыщенность обводнившейся части и остаточную нефть

Процесс: Газ вытесняет нефть или воду
Кривая: дренирование: газ — несмачивающая фаза
Что она определяет: насыщенность в газовой шапке и зоне выделения газа

Процесс	Кривая	Что она определяет
Нефть или газ заполняют ловушку	первичное дренирование	начальную насыщенность и переходную зону
Подъём ВНК, заводнение гидрофильного пласта	пропитка	насыщенность обводнившейся части и остаточную нефть
Газ вытесняет нефть или воду	дренирование: газ — несмачивающая фаза	насыщенность в газовой шапке и зоне выделения газа

В гидрофобной и смешанно смачиваемой породе заводнение включает участки с отрицательным капиллярным давлением.

Как измеряют капиллярное давление

На образце керна последовательно задают капиллярное давление и после установления равновесия замеряют насыщенность. Методы различаются способом создавать давление и флюидами.

Лабораторные методы

Метод: Полупроницаемая мембрана
Флюиды: любые, в том числе пластовые
Длительность: недели
Особенности: эталонный; предел — прорыв мембраны

Метод: Центрифуга
Флюиды: газ — вода, нефть — вода
Длительность: часы — дни
Особенности: нужна расчётная обработка

Метод: Ртутная порометрия
Флюиды: ртуть — вакуум
Длительность: 1–2 часа
Особенности: очень высокие давления; образец теряется

Метод	Флюиды	Длительность	Особенности
Полупроницаемая мембрана	любые, в том числе пластовые	недели	эталонный; предел — прорыв мембраны
Центрифуга	газ — вода, нефть — вода	часы — дни	нужна расчётная обработка
Ртутная порометрия	ртуть — вакуум	1–2 часа	очень высокие давления; образец теряется

Есть и динамический метод: при установившемся совместном течении двух фаз давление каждой замеряют через полупроницаемые перегородки. Его применяют в основном в исследованиях.

Полупроницаемая мембрана (porous plate). Образец ставят на керамическую пластинку, насыщенную смачивающей фазой: её мелкие поры пропускают воду, но не пропускают нефть или газ, пока давление ниже давления прорыва пластинки. Давление несмачивающей фазы повышают ступенями и на каждой ждут, пока из образца перестанет вытекать вода. Метод прямой и позволяет работать с пластовыми флюидами, но на одну кривую уходят недели.

Центрифуга. Образец вращают с несколькими скоростями; центробежная сила создаёт в нём разность давлений фаз, наибольшую у внутреннего торца, ближнего к оси вращения, и равную нулю у внешнего. Замеряют вытекший объём. Поскольку капиллярное давление и насыщенность меняются по длине образца, кривую восстанавливают расчётом. Метод быстрый и позволяет получить и дренирование, и принудительную пропитку.

Ртутная порометрия (mercury injection capillary pressure, MICP). Высушенный образец вакуумируют и нагнетают в него ртуть — несмачивающую фазу — ступенями давления до сотен мегапаскалей; по объёму вошедшей ртути находят насыщенность. Первые порции ртути заполняют неровности поверхности образца, поэтому давление входа берут там, где насыщенность начинает заметно расти. Метод быстрый, работает на мелких образцах и даже на шламе и даёт распределение сужений по размерам, но ртуть токсична, образец после опыта не используют, а результат нужно пересчитывать к пластовым флюидам.

Пересчёт лабораторной кривой к пласту

В лаборатории используют удобные пары флюидов — воздух и воду, ртуть и вакуум, лабораторную нефть и воду. В пласте работают пластовые нефть, газ и вода при пластовой температуре. Если строение пор то же, при одинаковой насыщенности заполнены одни и те же каналы, и капиллярные давления относятся как натяжения смачивания.

Пересчёт капиллярного давления от лабораторных флюидов к пластовым

p_{c,\text{пл}} = p_{c,\text{лаб}}\,\frac{(\sigma\cos\theta)_{\text{пл}}}{(\sigma\cos\theta)_{\text{лаб}}}

где:

$p_{c,\text{пл}}$ капиллярное давление пластовой пары флюидов при той же насыщенности, Па
$p_{c,\text{лаб}}$ капиллярное давление, измеренное в лаборатории, Па
$(\sigma\cos\theta)_{\text{пл}},\ (\sigma\cos\theta)_{\text{лаб}}$ натяжения смачивания пластовой и лабораторной пар, Н/м

Единицы: одинаковые единицы давления и одинаковые единицы натяжения

Справедливо, если

строение пор при опыте и в пласте одинаково (глинистые и слабосцементированные породы исследуют под пластовой нагрузкой);
краевые углы отсчитаны через смачивающую фазу: для ртути это угол через вакуум, около 40°, а не 140°;
смачиваемость пласта известна — это самое слабое звено пересчёта.

Лабораторная кривая превращается в пластовую умножением на постоянный множитель. Затем по формуле $h = p_c/(\Delta\rho\,g)$ она становится зависимостью насыщенности от высоты над ЗСВ.

Ориентировочные натяжения смачивания

Пара флюидов: Воздух — вода, лаборатория
$\sigma$ , мН/м: 72
$\theta$: 0°
$\sigma\cos\theta$ , мН/м: 72

Пара флюидов: Ртуть — вакуум
$\sigma$ , мН/м: 485
$\theta$: 140° через ртуть
$\sigma\cos\theta$ , мН/м: 372

Пара флюидов: Нефть — вода, пласт
$\sigma$ , мН/м: 30
$\theta$: 30°
$\sigma\cos\theta$ , мН/м: 26

Пара флюидов: Газ — вода, пласт
$\sigma$ , мН/м: 50
$\theta$: 0°
$\sigma\cos\theta$ , мН/м: 50

Пара флюидов	$\sigma$ , мН/м	$\theta$	$\sigma\cos\theta$ , мН/м
Воздух — вода, лаборатория	72	0°	72
Ртуть — вакуум	485	140° через ртуть	372
Нефть — вода, пласт	30	30°	26
Газ — вода, пласт	50	0°	50

Часто принимаемые значения при отсутствии измерений; фактические зависят от флюидов, температуры и смачиваемости. Для ртути в расчёт идёт модуль косинуса: 485 · cos 40° ≈ 372.

Расчётный примерВысота над ЗСВ по ртутной кривой

Исходные данные (условные)

Ртутная кривая образца: ртуть заметно входит в образец с 0,10 МПа; при 0,30 МПа ртутонасыщенность 0,40, при 1,0 МПа — 0,65
Пластовые флюиды: нефть — вода: $\sigma = 30$ мН/м, $\theta = 30^\circ$ ; плотности воды и нефти 1040 и 800 кг/м³
Ртуть — вакуум: $\sigma = 485$ мН/м, $\theta = 140^\circ$ через ртуть

Решение

Множитель пересчёта: $(30\cos 30^\circ)/(485\cos 40^\circ) = 25{,}98/371{,}5 = 0{,}0699$ — пластовые капиллярные давления в 14,3 раза меньше ртутных.
Давление входа в пласте: $0{,}10\cdot 10^6\cdot 0{,}0699 = 6993$ Па. Прирост капиллярного давления на метр высоты: $(1040 - 800)\cdot 9{,}81 = 2354$ Па/м, поэтому ВНК лежит выше ЗСВ на $h_d = 6993/2354 = 2{,}97$ м.
Точка 0,30 МПа: $p_c = 21{,}0$ кПа, $h = 8{,}9$ м; водонасыщенность — доля пор, не занятая ртутью: $1 - 0{,}40 = 0{,}60$ .
Точка 1,0 МПа: $p_c = 69{,}9$ кПа, $h = 29{,}7$ м, водонасыщенность $1 - 0{,}65 = 0{,}35$ .
Радиус самых крупных связанных каналов по давлению входа ртути (0,10 МПа = 100 кПа), по практической формуле: $r = 2\cdot 371{,}5/100 = 7{,}43$ мкм.

Ответ: ВНК находится в 2,97 м над зеркалом свободной воды; на высоте 8,9 м водонасыщенность 0,60, на высоте 29,7 м — 0,35.

Что это значит. Переходная зона этой породы простирается на десятки метров: даже в 30 м над ЗСВ вода занимает треть пор, и интервал может давать воду вместе с нефтью. Ошибка в краевом угле сразу переходит в высоту: если принять для пары нефть — вода $\theta = 0$ вместо 30°, все высоты вырастут в $1/\cos 30^\circ = 1{,}15$ раза. Данные примера условные.

Функция Леверетта: одна кривая для многих образцов

Образцы из одного пласта различаются проницаемостью и пористостью, и их кривые капиллярного давления заметно расходятся: у менее проницаемых кривые выше. Чтобы описать пласт одной зависимостью, кривые приводят к безразмерному виду. Характерный радиус пор оценивают по проницаемости и пористости: для пучка капилляров $k \propto \phi r^2$ , откуда $r \propto \sqrt{k/\phi}$ (вывод — в разделе для углублённого изучения). Подставив этот радиус в формулу для канала, получают безразмерную функцию Леверетта (Leverett J-function).

Функция Леверетта

J(S_w) = \frac{p_c}{\sigma\cos\theta}\sqrt{\frac{k}{\phi}}

где:

$J$ безразмерное капиллярное давление, —
$p_c$ капиллярное давление при водонасыщенности $S_w$ , Па
$\sigma\cos\theta$ натяжение смачивания пары флюидов, Н/м
$k$ проницаемость образца, м²
$\phi$ пористость образца, доли единицы

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

образцы относятся к одному типу породы — с подобным строением пор и извилистостью;
$k$ , $\phi$ и кривая $p_c$ измерены на одном образце;
если краевой угол неизвестен, $\cos\theta$ иногда опускают — тогда его опускают и при обратном пересчёте.

Для образцов одного типа породы точки $J(S_w)$ ложатся на одну кривую. Обратно, по ней получают кривую капиллярного давления для любых $k$ , $\phi$ и флюидов: $p_c = J\,\sigma\cos\theta/\sqrt{k/\phi}$ . При той же высоте, то есть том же $p_c$ , у менее проницаемой породы $J$ меньше, а водонасыщенность больше.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

J = 31{,}4\,\frac{p_c\,[\text{МПа}]}{\sigma\,[\text{мН/м}]\cos\theta}\sqrt{\frac{k\,[\text{мД}]}{\phi}}

$p_c$ — МПа, $\sigma$ — мН/м, $k$ — мД, $\phi$ — доли единицы.

$31{,}4 = 10^{6}\cdot\sqrt{0{,}9869\cdot 10^{-15}}/10^{-3}$ : МПа → Па, мД → м² под корнем, мН/м → Н/м.

Промысловые единицы (oilfield)

J = 0{,}2166\,\frac{p_c\,[\text{psi}]}{\sigma\,[\text{дин/см}]\cos\theta}\sqrt{\frac{k\,[\text{мД}]}{\phi}}

$p_c$ — psi, $\sigma$ — дин/см, $k$ — мД, $\phi$ — доли единицы.

$0{,}2166 = 6895\cdot\sqrt{0{,}9869\cdot 10^{-15}}/10^{-3}$ (1 psi = 6895 Па).

На практике разброс точек заметно меньше, если $J$ строить не от водонасыщенности, а от нормированной водонасыщенности — доли интервала от неснижаемой водонасыщенности до единицы: неснижаемая вода сама отражает особенности строения пор каждого образца. Если точки разных образцов всё же не ложатся на одну кривую, это признак разных типов пород, и их описывают отдельными функциями.

Нормированная водонасыщенность

S_w^{*} = \frac{S_w - S_{wirr}}{1 - S_{wirr}}

где:

$S_w^{*}$ нормированная водонасыщенность: 0 при неснижаемой, 1 при полном водонасыщении, доли единицы
$S_{wirr}$ неснижаемая водонасыщенность данного образца или слоя, доли единицы

Единицы: доли единицы

Справедливо, если

$S_{wirr}$ определена для того же образца или типа породы, что и кривая.

Расчётный примерДва слоя с одной функцией Леверетта

Исходные данные (условные)

Функция Леверетта типа породы: $J = 0{,}15\,(S_w^{*})^{-1/2}$ ; при $J \le 0{,}15$ порода полностью водонасыщена
Слой A: $k = 200$ мД, $\phi = 0{,}22$ , $S_{wirr} = 0{,}15$
Слой B: $k = 10$ мД, $\phi = 0{,}16$ , $S_{wirr} = 0{,}30$
Флюиды: $\sigma\cos\theta = 25{,}98$ мН/м (30 мН/м и 30°); плотности воды и нефти 1040 и 800 кг/м³
Высота над ЗСВ: 10 м

Решение

Характерный размер пор слоя A: $\sqrt{k/\phi} = 0{,}947$ мкм, масштаб давления $\sigma\cos\theta/\sqrt{k/\phi} = 27\,429$ Па. Для слоя B — 0,248 мкм и 104 609 Па.
Давление входа — масштаб, умноженный на 0,15: 4114 Па в слое A и 15 691 Па в слое B. ВНК слоя A лежит в 1,7 м над ЗСВ, слоя B — в 6,7 м.
На высоте 10 м $p_c = 10\cdot 2354 = 23\,544$ Па. Слой A: $J = 23\,544/27\,429 = 0{,}858$ , $S_w^{*} = (0{,}15/0{,}858)^2 = 0{,}0305$ , $S_w = 0{,}15 + (1 - 0{,}15)\cdot 0{,}0305 = 0{,}176$ .
Слой B: $J = 0{,}225$ , $S_w^{*} = 0{,}444$ , $S_w = 0{,}30 + (1 - 0{,}30)\cdot 0{,}444 = 0{,}611$ .
Верх переходной зоны примем там, где водонасыщенность превышает неснижаемую на 0,05: $S_w^{*} = 0{,}05/(1 - S_{wirr})$ и $J = 0{,}15/\sqrt{S_w^{*}}$ . Для слоя A это 7,2 м над ЗСВ, для слоя B — 24,9 м.

Ответ: На высоте 10 м вода занимает 18 % пор слоя A и 61 % пор слоя B. Переходная зона слоя A заканчивается примерно в 7,2 м над ЗСВ, слоя B — лишь на высоте около 24,9 м.

Что это значит. Зеркало свободной воды у слоёв общее, но контакты и переходные зоны разные: плотный слой B полностью водонасыщен до 6,7 м, тогда как в слое A нефть есть уже выше 1,7 м. Если такие слои чередуются, скважина может пересечь водонасыщенный плотный прослой выше нефтенасыщенного проницаемого — это не отдельный водоносный горизонт, а капиллярный эффект. Данные примера условные.

РасчётПрофили водонасыщенности слоёв A (200 мД) и B (10 мД) над общим зеркалом свободной воды, рассчитанные по функции Леверетта из примера. Точки — водонасыщенности на высоте 10 м.

Профиль насыщенности, ВНК и переходная зона

В залежи, пришедшей в равновесие, давление каждой фазы меняется с глубиной по гидростатике своей плотности. Линии давления воды и нефти пересекаются на зеркале свободной воды (ЗСВ, free water level): здесь давления фаз равны и $p_c = 0$ . Выше ЗСВ давление нефти превышает давление воды, и разность растёт с высотой.

Капиллярное давление над зеркалом свободной воды

p_o(h) - p_w(h) = p_c(h) = (\rho_w - \rho_o)\,g\,h

где:

$p_o(h),\ p_w(h)$ давления нефти и воды на высоте $h$ , Па
$\rho_w,\ \rho_o$ плотности пластовой воды и нефти в пластовых условиях, кг/м³
$g$ ускорение свободного падения, 9,81, м/с²
$h$ высота над зеркалом свободной воды, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

гидростатическое и капиллярное равновесие: залежь не разрабатывается или давно остановлена;
обе фазы сплошные по высоте, пластовая вода не течёт (контакт не наклонён потоком);
для газовой залежи вместо плотности нефти берут плотность газа, для газонефтяного контакта — пару газ — нефть.

Высота над ЗСВ однозначно задаёт капиллярное давление, а кривая капиллярного давления керна, пересчитанная к пластовым флюидам, — водонасыщенность. Так строят зависимость насыщенности от высоты: основу подсчёта запасов в пластах с широкой переходной зоной и начальной насыщенности гидродинамической модели.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

p_c\,[\text{МПа}] = 0{,}00981\,(\rho_w - \rho_o)\,[\text{г/см}^3]\;h\,[\text{м}]

плотности — г/см³, высота — м, давление — МПа.

$0{,}00981 = 9{,}81\cdot 1000/10^6$ : г/см³ → кг/м³ и Па → МПа.

Промысловые единицы (oilfield)

p_c\,[\text{psi}] = 0{,}433\,(\gamma_w - \gamma_o)\;h\,[\text{ft}]

$\gamma_w,\ \gamma_o$ — относительные плотности воды и нефти по пресной воде, $h$ — футы, $p_c$ — psi.

0,433 psi/ft — градиент давления столба пресной воды.

Снизу вверх: ниже ЗСВ — водоносная часть. От ЗСВ до высоты $h_d = p_d/(\Delta\rho\,g)$ поры всё ещё целиком заполнены водой, потому что капиллярное давление меньше давления входа; верх этого интервала — водонефтяной контакт (ВНК), который видят по каротажу. Выше лежит переходная зона: водонасыщенность убывает с высотой, подвижны обе фазы. Ещё выше водонасыщенность близка к неснижаемой, и приток безводный. Подробнее о зонах — в теме о насыщенности.

Что меняется, если…

…поры мельче (проницаемость ниже) — давление входа и вся кривая выше: ВНК дальше от ЗСВ, переходная зона толще, неснижаемая вода больше;
…размеры пор разнообразны — кривая пологая, и переходная зона растянута, даже если давление входа прежнее;
…над водой газ, а не нефть — разность плотностей в несколько раз больше, и переходная зона тоньше, хотя межфазное натяжение газ — вода выше;
…нефть тяжёлая, близкая по плотности к воде, — переходная зона растягивается на десятки метров;
…порода гидрофобна или межфазное натяжение низкое — капиллярные силы слабее, и переходная зона короче.

Слоистый пласт. У каждого типа породы своя кривая капиллярного давления, а значит, свой ВНК и своя переходная зона; зеркало свободной воды у гидродинамически связанных слоёв общее. Поэтому плотный прослой может быть полностью водонасыщен выше нефтенасыщенного проницаемого (см. пример с функцией Леверетта), а контакт по каротажу «скачет» от слоя к слою. Единый уровень для всей залежи — ЗСВ — находят по пересечению линий давления нефти и воды, замеренных опробователем пластов (Градиенты давления, контакты флюидов и капиллярное равновесие).

Термины и обозначения

Капиллярное давление $p_c$: разность давлений несмачивающей и смачивающей фаз на искривлённой границе между ними; в канале радиуса $r$ равно $2\sigma\cos\theta/r$ .
Давление входа $p_d$: капиллярное давление, при котором несмачивающая фаза начинает входить в самые крупные связанные каналы породы (entry, threshold, displacement pressure).
Дренирование: вытеснение смачивающей фазы несмачивающей, например воды нефтью или газом в гидрофильной породе.
Пропитка: вытеснение несмачивающей фазы смачивающей; бывает самопроизвольной ( $p_c > 0$ ) и принудительной ( $p_c < 0$ ).
Зеркало свободной воды (ЗСВ): уровень, где давления нефти и воды равны и $p_c = 0$ ; ВНК лежит выше него на $h_d = p_d/(\Delta\rho\,g)$ .
Функция Леверетта $J$: безразмерное капиллярное давление $p_c\sqrt{k/\phi}/(\sigma\cos\theta)$ , общее для образцов одного типа породы.
Гистерезис капиллярного давления: несовпадение кривых дренирования и пропитки из-за гистерезиса краевого угла, формы пор и защемления несмачивающей фазы.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«ВНК — уровень, где капиллярное давление равно нулю».

На самом деле

Это зеркало свободной воды. ВНК, который видят по каротажу, лежит выше него на высоту, отвечающую давлению входа, — от долей метра в крупнозернистых породах до метров и десятков метров в плотных.

Неверно

«Над нефтенасыщенным пластом лежит водонасыщенный прослой — значит, там отдельный водоносный горизонт».

На самом деле

Плотный прослой с высоким давлением входа может быть полностью водонасыщен выше проницаемого нефтенасыщенного слоя при общем зеркале свободной воды. Проверьте кривые капиллярного давления и замеры давления по разрезу.

Неверно

«Ртутную кривую переводят в пластовую делением на постоянное число — 5 или 10».

На самом деле

Множитель равен отношению натяжений смачивания пластовой и лабораторной пар, и его считают по фактическим $\sigma$ и $\theta$ . Делитель около 5 переводит ртутную кривую к паре воздух — вода, а не к пласту. Для пары нефть — вода при 30 мН/м и 30° ртутные давления делят примерно на 14, при меньшем межфазном натяжении — на ещё большее число.

Неверно

«Кривая капиллярного давления — свойство породы».

На самом деле

Она зависит и от флюидов (через $\sigma\cos\theta$ ), и от смачиваемости, и от направления процесса — дренирования или пропитки.

Неверно

«Одной функции Леверетта достаточно для всего пласта».

На самом деле

Функция объединяет только образцы с подобным строением пор. Большой разброс точек $J(S_w)$ означает несколько типов пород, и для каждого нужна своя зависимость.

Подробно: для продвинутых

Модель пучка капилляров и функция Леверетта

Представим породу пучком из $n$ одинаковых извилистых трубок радиуса $r$ , пересекающих образец длиной $L$ и сечением $A$ ; длина каждой трубки $\tau L$ , где $\tau \ge 1$ — извилистость. Расход в одной трубке по закону Пуазейля $q_1 = \pi r^4\,\Delta p/(8\mu\,\tau L)$ , общий расход $q = n q_1$ .

Сравнив это с законом Дарси $q = kA\,\Delta p/(\mu L)$ , получим $k = n\pi r^4/(8\tau A)$ . Пористость пучка — объём трубок, делённый на объём образца: $\phi = n\pi r^2\tau/A$ . Исключив $n$ , находим $k = \phi r^2/(8\tau^2)$ , то есть $r = \tau\sqrt{8k/\phi}$ .

Капиллярное давление входа в такие трубки $p_c = 2\sigma\cos\theta/r$ , и безразмерная комбинация $J = p_c\sqrt{k/\phi}/(\sigma\cos\theta)$ оказывается равной $2/(\tau\sqrt{8})$ — она не зависит ни от размера трубок, ни от флюидов. В реальной породе каналы разного размера, поэтому $J$ меняется с насыщенностью, но если извилистость и форма распределения каналов у образцов одинаковы, кривые $J(S_w)$ совпадают. Главное допущение — одинаковая извилистость; поэтому функция и работает только в пределах одного типа породы.

Если контакт поднимался: профиль пропитки и остаточная нефть

Кривая дренирования описывает залежь, которая сформировалась, когда нефть вытесняла воду. Если позже уровень воды поднялся — из-за перестройки структуры, частичного разрушения залежи или разработки, — нижняя часть залежи прошла пропитку. Там насыщенность определяется кривой пропитки: на той же высоте воды больше, а нефть, оставшаяся в промытом интервале, защемлена и неподвижна.

Такие интервалы коварны: по сопротивлению они могут выглядеть частично нефтенасыщенными, но при испытании дают воду. Это зоны остаточной нефти — следы прежней залежи ниже современного контакта. Для профилей насыщенности обводнившейся части пласта и для модели после начала заводнения нужны кривые пропитки, а не дренирования.

Распределение каналов по размерам по ртутной кривой

Каждой ступени давления ртути соответствует радиус сужений, через которые она проходит: $r = 2\sigma|\cos\theta|/p_c$ . При 485 мН/м и 140° это $r\,[\text{мкм}] \approx 0{,}74/p_c\,[\text{МПа}]$ . Прирост ртутонасыщенности между соседними ступенями — доля порового объёма, доступного через каналы этого размера. Так ртутная кривая превращается в распределение поровых каналов по размерам, по которому выделяют типы пород и оценивают проницаемость.

Две оговорки. Полость за узким сужением заполняется только при давлении этого сужения, поэтому крупные поры, доступные через узкие каналы, ртутная кривая относит к мелким. И давлению 400 МПа отвечают каналы радиусом около 2 нм — в такие поры нефть в пласте не входит, поэтому верхнюю часть ртутной кривой для пласта не используют.

Связь с другими темами

Насыщенность пласта флюидами — начальная, неснижаемая и остаточная насыщенности и зоны над контактом.
Смачиваемость и межфазные явления — межфазное натяжение, краевой угол и отрицательная ветвь капиллярного давления.
Относительная проницаемость — кривые относительной проницаемости с теми же концевыми точками $S_{wirr}$ и $S_{or}$ .
Градиенты давления, контакты флюидов и капиллярное равновесие — как находят зеркало свободной воды по градиентам давления.
Коллектор и покрышка — давление входа покрышки и высота удерживаемой залежи.
Подсчёт запасов объёмным методом — как профиль насыщенности входит в подсчёт запасов.

Проверьте себя

1
Радиус поровых каналов уменьшился вдвое при тех же флюидах. Как изменятся давление входа и высота ВНК над зеркалом свободной воды?
1. А.Не изменятся
2. Б.Увеличатся вчетверо
3. В.Увеличатся вдвое
4. Г.Уменьшатся вдвое
Показать ответ
Правильный ответ: В. Увеличатся вдвое
$p_c = 2\sigma\cos\theta/r$ обратно пропорционально радиусу, а $h_d = p_d/(\Delta\rho\,g)$ пропорциональна давлению входа — обе величины удвоятся.
2
Давление входа породы в пластовых условиях 10 кПа, плотности воды и нефти 1030 и 830 кг/м³. На какой высоте над зеркалом свободной воды находится ВНК?
Показать ответ
$h_d = p_d/((\rho_w - \rho_o)\,g) = 10\,000/(200\cdot 9{,}81) \approx 5{,}1$ м.
3
По какой кривой строят начальное распределение насыщенности в нефтяной залежи, сформированной миграцией нефти?
1. А.Любой — они совпадают
2. Б.Первичного дренирования
3. В.Принудительной пропитки
4. Г.Самопроизвольной пропитки
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Первичного дренирования
Нефть, заполняя ловушку, вытесняла воду — смачивающую фазу. Это дренирование. Кривые пропитки описывают обводнившиеся интервалы и заводнение и из-за гистерезиса дают на той же высоте другую насыщенность.
4
По ртутной кривой при 0,5 МПа ртутонасыщенность равна 0,55. Каким капиллярному давлению и высоте над зеркалом свободной воды это соответствует для нефти и воды, если $\sigma\cos\theta = 26$ мН/м, для ртути $\sigma|\cos\theta| = 372$ мН/м, а разность плотностей воды и нефти 250 кг/м³?
Показать ответ
$p_c = 0{,}5\cdot 26/372 \approx 0{,}035$ МПа, то есть 35 кПа; $h = 35\,000/(250\cdot 9{,}81) \approx 14$ м. На этой высоте водонасыщенность равна $1 - 0{,}55 = 0{,}45$ .
5
Как изменится толщина переходной зоны, если в той же породе над водой находится газ, а не нефть?
1. А.Уменьшится
2. Б.Увеличится
3. В.Не изменится
Показать ответ
Правильный ответ: А. Уменьшится
Капиллярное давление набирается за счёт разности плотностей. У пары газ — вода она в несколько раз больше, чем у пары нефть — вода, поэтому нужное давление достигается на меньшей высоте. Большее межфазное натяжение газ — вода отчасти компенсирует это, но в целом переходная зона газовых залежей тоньше.
6
Почему в одной скважине плотный прослой может оказаться полностью водонасыщенным выше нефтенасыщенного песчаника?
Показать ответ
У плотной породы мелкие поры и высокое давление входа, поэтому её собственный ВНК лежит высоко над общим зеркалом свободной воды. Если прослой находится ниже этой высоты, нефть в него не вошла, хотя в проницаемый песчаник под ним вошла. Это капиллярный эффект, а не отдельный водоносный горизонт.

Обновлено: 19 октября 2026 г.