Моделирование течения на уровне пор

Кратко о главном

Для моделей порода — поры (полости) и сужения (каналы между ними). Давление входа и сопротивление задают сужения, объём — поры, связность — координационное число, а угловатое сечение удерживает смачивающую фазу в углах.
Пучок капилляров даёт ОФП, сумма которых равна единице, без порога потока, защемления и гистерезиса: в нём нет связей между порами.
В сети нефть входит в пору, только если сужение пропускает её при данном давлении и к сужению есть путь от входа. Нефть начинает течь, когда занятые ею поры соединят вход с выходом, — в сети урока при нефтенасыщенности 0,24; сумма ОФП в середине интервала — около 0,43.
При пропитке вода заполняет поры и сужения поршнем либо пережимает нефть в сужении — по воде в углах, без соседней водяной поры. Пережатие отрезает капли нефти в порах; оно тем вероятнее, чем меньше краевой угол натекания и чем крупнее поры относительно сужений.
В сети урока остаточная нефть растёт от 0,37 при угле натекания 30° до 0,77 при нулевом угле, где пережатие отрезает нефть почти во всех порах. Модель объясняет тенденции, но её числа — и остаточная нефть, и концевые точки ОФП — без калибровки по опытам неточны.
Цифровой керн — расчёт по микротомограмме: разрешение и объём образца ограничивают друг друга, мельчайшие поры и смачиваемость на изображении не видны.

Ключевые соотношения

g = \dfrac{\pi r^4}{8\mu\ell},\qquad \sum_j g_{ij}\,(p_j - p_i) = 0

проводимость сужения и баланс в поре — система уравнений сети

p_c^{\text{вход}} = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{r},\qquad p_c^{\text{пережатие}} = \dfrac{\sigma(\cos\theta - \sin\theta)}{r}

поршневое прохождение сужения и пережатие в квадратном сужении

\frac{R}{r} > \dfrac{2}{1 - \operatorname{tg}\theta}

пережатие сужения опережает поршневое заполнение поры

Где чаще всего ошибаются

Считать сумму ОФП, равную единице, признаком хорошей модели — так ведёт себя пучок без связей.
Принимать радиусы по ртутной кривой за размеры пор: это размеры сужений, через которые поры доступны.
Переносить остаточную нефть модели в пласт без данных о смачиваемости: она сильно зависит от краевого угла натекания.
Путать поршневое заполнение поры (мениск проходит пору целиком) с поршневым вытеснением в пласте (фронт без переходной зоны).
Доверять расчёту по изображению, разрешение которого не видит мелких сужений и глинистой пористости.

После урока вы сможете

описать поровое пространство порами и сужениями, координационным числом, отношением размеров пор и сужений и формой сечения и сравнить три представления — пучок капилляров, сеть пор и цифровое изображение;
рассчитать проницаемость небольшой сети пор по уравнениям баланса в порах и объяснить, почему её не задаёт средний радиус сужений;
рассчитать насыщенность и ОФП пучка капилляров и объяснить, чего ему не хватает по сравнению с сетью: доступности пор, порога перколяции, защемления;
сравнить поршневое заполнение и пережатие при пропитке, рассчитать их пороги для поры и сужения и объяснить, как смачиваемость и отношение размеров пор и сужений определяют остаточную нефть;
перечислить, что модели пор и цифровой керн дают для ОФП, и где их результаты нельзя брать без проверки.

Поры, сужения и способы их описать

Поровое пространство песчаника — полости между зёрнами, соединённые узкими каналами. Для моделей их разделяют: поры (pore bodies) — полости, в которых сосредоточен почти весь объём, и сужения (pore throats; в уроке Проницаемость горных пород — поровые каналы) — узкие проходы между ними. Капиллярное давление, при котором мениск проходит из поры в пору, и сопротивление потоку определяют сужения, запасы флюида — поры.

Размеры пор и сужений: распределения радиусов: сужений — по ртутной кривой (распределение каналов), пор — по изображениям; в песчаниках поры обычно в несколько раз шире сужений.
Координационное число $z$: среднее число сужений, сходящихся в поре (координационное число). Чем оно больше, тем больше обходных путей у каждой фазы и тем меньше защемление.
Отношение размеров $R/r$: радиус поры к радиусу сужения (aspect ratio). От него зависит, как вода заполняет поры при пропитке (раздел о пропитке).
Форма сечения: реальные каналы угловаты; в углах смачивающая фаза удерживается даже там, где центр занят несмачивающей, и по этим угловым плёнкам перетекает (распределение фаз в порах).

СхемаТри представления порового пространства (схема): пучок параллельных капилляров разного радиуса; сеть пор, соединённых сужениями; цифровое изображение — поры и зёрна на сетке вокселей.

Что сохраняет и что теряет каждое представление

Представление: Пучок капилляров
Сохраняет: распределение размеров сужений
Теряет: связи между порами, различие пор и сужений
Для чего: оценки проницаемости и капиллярного давления

Представление: Сеть пор и сужений
Сохраняет: связность, размеры пор и сужений, форму сечений в упрощённом виде
Теряет: точную геометрию
Для чего: капиллярное давление, ОФП, остаточная насыщенность

Представление: Цифровое изображение
Сохраняет: геометрию пор крупнее вокселя
Теряет: поры мельче вокселя, смачиваемость
Для чего: проницаемость, построение сети, проверка моделей

Представление	Сохраняет	Теряет	Для чего
Пучок капилляров	распределение размеров сужений	связи между порами, различие пор и сужений	оценки проницаемости и капиллярного давления
Сеть пор и сужений	связность, размеры пор и сужений, форму сечений в упрощённом виде	точную геометрию	капиллярное давление, ОФП, остаточная насыщенность
Цифровое изображение	геометрию пор крупнее вокселя	поры мельче вокселя, смачиваемость	проницаемость, построение сети, проверка моделей

Сеть строят по изображению или подбирают по статистике (распределения размеров, координационное число) и ртутной кривой.

Модель должна охватывать объём, свойства которого уже не зависят от его размера, — представительный элементарный объём (REV). Для однородного песчаника это тысячи пор, то есть миллиметры; для слоистых, кавернозных и трещиноватых пород — гораздо больше. Та же идея на масштабе ячеек модели — разделение масштабов.

Пучок капилляров: что он объясняет и чего не может

Самая простая модель — пучок параллельных трубок. Сравнив течение Пуазейля в трубках с законом Дарси, получают $k = \phi r^2/(8\tau^2)$ (вывод), а ступени давления ртути переводят в размеры каналов (по ртутной кривой). При дренировании гидрофильного пучка нефть сразу входит во все трубки шире $r_c = 2\sigma\cos\theta/p_c$ : каждая трубка открыта и на входе, и на выходе.

Насыщенность и ОФП пучка капилляров при дренировании

\begin{gathered}S_o = \frac{\sum_{r_i \ge r_c} N_i r_i^2}{\sum_i N_i r_i^2},\\ k_{ro} = \frac{\sum_{r_i \ge r_c} N_i r_i^4}{\sum_i N_i r_i^4},\qquad k_{rw} = 1 - k_{ro}\end{gathered}

где:

$N_i,\ r_i$ число трубок класса $i$ на единицу площади сечения и их радиус, —, мкм
$r_c$ наименьший радиус трубок, занятых нефтью при капиллярном давлении $p_c$ : $r_c = 2\sigma\cos\theta/p_c$ , мкм
$\sigma,\ \theta$ межфазное натяжение и краевой угол оттекания (отсчитанный через воду), Н/м, °
$S_o,\ k_{ro},\ k_{rw}$ нефтенасыщенность и относительные проницаемости нефти и воды, —

Единицы: радиусы — в одних единицах; в $r_c$ — согласованные единицы ( $p_c$ в Па, $\sigma$ в Н/м, $r_c$ в м)

Справедливо, если

трубки одинаковой длины и извилистости, каждая заполнена одной фазой целиком (плёнками воды пренебрегаем);
объём трубки пропорционален $r^2$ , проводимость по Пуазейлю — $r^4$ ;
нефть входит в трубку, как только $p_c$ превышает её давление входа; трубки между собой не соединены.

Нефть занимает самые широкие трубки, а проводимость растёт как четвёртая степень радиуса, поэтому малая доля объёма даёт большую долю потока. Фазы друг другу не мешают: проводимость, которую потеряла вода, целиком перешла к нефти, — сумма ОФП всегда равна единице.

Расчётный примерПучок из четырёх классов трубок

Исходные данные (условные)

Трубки: радиусы 2, 4, 6 и 8 мкм; на единицу площади 400, 200, 80 и 30 трубок
Флюиды: нефть — вода, $\sigma$ = 30 мН/м, порода гидрофильна ( $\theta$ = 0)
Капиллярное давление: 12 кПа — больше давления входа трубок 6 мкм, но меньше, чем у трубок 4 мкм

Решение

Давления входа $2\sigma/r$ : у трубок 8 мкм 2 · 0,03 / (8 · 10⁻⁶) = 7500 Па, то есть 7,5 кПа; у трубок 6 мкм — 10,0 кПа, 4 мкм — 15,0 кПа. При 12 кПа нефть занимает трубки 8 и 6 мкм.
Объёмы классов $N r^2$ : 1600; 3200; 2880; 1920, в сумме 9600. Нефтенасыщенность $S_o$ = (2880 + 1920) / 9600 = 0,50.
Проводимости классов $N r^4$ : 6400; 51 200; 103 680; 122 880, в сумме 284 160. $k_{ro}$ = (103 680 + 122 880) / 284 160 = 0,797, $k_{rw}$ = (6400 + 51 200) / 284 160 = 0,203.

Ответ: При 12 кПа нефть занимает половину порового объёма и даёт 80 % проводимости;

k_{ro} + k_{rw}

= 1.

Что это значит. Пучок верно показывает, что нефть, занявшая широкие каналы, проводит непропорционально много, и объясняет форму кривой капиллярного давления. Но в породе широкая пора бывает доступна только через узкое сужение, нефть не течёт, пока занятые ею поры не соединят вход с выходом, а при пропитке часть нефти остаётся защемлённой. Поэтому реальные ОФП в сумме меньше единицы, а пропитка не повторяет дренирования. Данные примера условные.

Однофазный поток в сети пор

В сетевой модели (pore network model) поры — узлы, сужения — трубки между ними. Сопротивление потоку сосредоточено в сужениях, давление в поре одно. Каждое сужение проводит расход, пропорциональный разности давлений в соединяемых порах, а в каждой поре приток равен оттоку. Получается та же система, что у ячеек гидродинамической модели (Уравнение давления для однофазной фильтрации), только ячейки — поры размером в десятки микрометров.

Проводимость сужения и баланс расхода в поре

\begin{gathered}q_{ij} = g_{ij}\,(p_i - p_j),\qquad g_{ij} = \frac{\pi r_{ij}^4}{8\,\mu\,\ell_{ij}},\\ \sum_j g_{ij}\,(p_j - p_i) = 0\end{gathered}

где:

$q_{ij}$ расход через сужение между порами $i$ и $j$ , м³/с
$g_{ij}$ гидравлическая проводимость сужения, м³/(Па·с)
$r_{ij},\ \ell_{ij}$ радиус и длина сужения, м
$\mu$ вязкость флюида, Па·с
$p_i,\ p_j$ давления в порах, Па

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

ламинарное течение Пуазейля в цилиндрическом сужении; для угловатых сечений вводят поправку формы;
сопротивлением самих пор пренебрегают — они намного шире сужений;
сумма в балансе — по всем сужениям поры; на входной и выходной гранях образца давления заданы.

Проводимость растёт как $r^4$ : сужение вдвое шире проводит в 16 раз больше. Решив систему для всех пор, суммируют расход через выходную грань и находят проницаемость сети по закону Дарси: $k = Q\mu L/(A\,\Delta p)$ (закон Дарси).

РасчётСеть примера: девять пор в слое толщиной 100 мкм между входной гранью (давление 1) и выходной (0). Толщина линий пропорциональна радиусу сужения; у сужений — радиусы в мкм, в порах — рассчитанные давления в долях перепада.

Расчётный примерПроницаемость сети из девяти пор

Исходные данные (условные)

Сеть: 3 × 3 поры в слое толщиной 100 мкм; все сужения, включая входные и выходные, длиной $\ell$ = 100 мкм; радиусы — на рисунке, от 4 до 10 мкм
Размеры: от грани до грани четыре сужения: $L = 4\ell$ = 400 мкм; сечение — три ряда по 100 мкм на толщину 100 мкм, $A$ = 30 000 мкм²
Условия: давление на входной грани 1, на выходной 0 (в долях перепада), верх и низ закрыты; вязкость принята за единицу, поэтому проводимости $\pi r^4/(8\ell)$ и расход — в мкм³, а проницаемость $k = QL/A$ — в мкм²

Решение

Проводимости: среднего входного сужения ( $r$ = 9 мкм) π · 9⁴ / (8 · 100) = 25,765 мкм³, следующего за ним ( $r$ = 10 мкм) π · 10⁴ / 800 = 39,270 мкм³; у сужений 4 мкм — всего 1,005 мкм³.
Девять уравнений баланса решены на компьютере, давления — на рисунке. Проверка в центральной поре ( $p$ = 0,6754): приток слева 39,270 · (0,8019 − 0,6754) и сверху 9,429 · (0,6923 − 0,6754), всего 5,13; отток вправо 25,765 · (0,6754 − 0,4938) и вниз 1,005 · (0,6754 − 0,2280), всего 5,13 — баланс сходится.
Расход через выходные сужения (7, 6 и 8 мкм): $Q$ = 9,429 · 0,2482 + 5,089 · 0,4938 + 16,085 · 0,1202 = 6,787 мкм³.
Проницаемость: $k$ = 6,787 · 400 / 30 000 = 0,09049 мкм², то есть 0,09049 / 0,000987 = 91,7 мД (1 мД ≈ 0,000987 мкм²).
Через среднее входное сужение проходит 5,10 из 6,787 мкм³ — 75 % расхода.
Та же сеть со всеми сужениями среднего радиуса 6,5 мкм: вертикальные сужения стоят без потока, каждый ряд — четыре одинаковых сужения подряд с проводимостью π · 6,5⁴ / 800 = 7,010 мкм³. $Q$ = 3 · 7,010 / 4 = 5,258 мкм³, $k$ = 5,258 · 400 / 30 000 / 0,000987 = 71,0 мД.

Ответ: Проницаемость сети — около 91,7 мД, и три четверти расхода входят через одно сужение — самое широкое из входных. Сеть со средним радиусом сужений дала бы на 23 % меньше.

Что это значит. Средний радиус сужений проницаемости не задаёт: проводимость растёт как четвёртая степень радиуса, поток собирается в цепочку самых широких сужений (9, 10 и 9 мкм в среднем ряду), и важно, как широкие сужения связаны между собой. При другом расположении тех же сужений ответ был бы иным. Это та же задача, что и при ремасштабировании ячеек (средние и границы), только на масштабе пор. Данные примера условные.

Дренирование: вторжение через сужения

При дренировании гидрофильной породы нефть вытесняет воду ступенями капиллярного давления (кривые дренирования и пропитки). В сети действуют два правила. Нефть проходит сужение, когда капиллярное давление превышает его давление входа $2\sigma\cos\theta/r$ , — и только если к сужению уже подошла нефть, от входной грани по занятым ею порам. Пора за сужением шире него и заполняется сразу. Такой процесс называют перколяцией с вторжением (invasion percolation): фронт идёт не сплошь, а пальцами по цепочкам самых широких доступных сужений.

Доступность. Широкая пора за узким сужением заполняется только при давлении этого сужения. Поэтому давление, при котором пора заполняется, говорит о её сужении, а не о ней самой, — ртутная кривая даёт размеры сужений (распределение каналов).
Порог потока. Пока занятые нефтью поры не соединили вход с выходом, нефть не течёт, хотя её в образце уже немало. Соединение появляется скачком, когда капиллярное давление откроет долю сужений, равную порогу перколяции: только тогда открытые сужения образуют сквозную цепочку (теория перколяции).
Вода в углах. Вода, вытесняемая из центра пор, уходит по углам и не защемляется; в углах занятых нефтью пор её остаётся немного — отсюда основная часть неснижаемой водонасыщенности. В порах круглого сечения вода, отрезанная нефтью от выхода, осталась бы защемлённой.

Сеть урока

Что: Решётка
Значение: 10 × 10 × 10 пор с шагом 80 мкм — куб 0,8 мм

Что: Поры
Значение: радиус 16–36 мкм, медиана около 26 мкм

Что: Сужения
Значение: 80 % связей решётки, среднее координационное число 4,34; радиус сужения — радиус меньшей из соседних пор, делённый на число от 2,0 до 5,0

Что: Получилось
Значение: пористость 0,179, проницаемость 206 мД, среднее $R/r$ 3,4

Что: Флюиды
Значение: нефть — вода, $\sigma$ = 30 мН/м; при дренировании $\theta$ = 0

Что: Вода в углах
Значение: 15 % объёма занятой нефтью поры или сужения; её проводимость — 2 % проводимости сужения

Что	Значение
Решётка	10 × 10 × 10 пор с шагом 80 мкм — куб 0,8 мм
Поры	радиус 16–36 мкм, медиана около 26 мкм
Сужения	80 % связей решётки, среднее координационное число 4,34; радиус сужения — радиус меньшей из соседних пор, делённый на число от 2,0 до 5,0
Получилось	пористость 0,179, проницаемость 206 мД, среднее $R/r$ 3,4
Флюиды	нефть — вода, $\sigma$ = 30 мН/м; при дренировании $\theta$ = 0
Вода в углах	15 % объёма занятой нефтью поры или сужения; её проводимость — 2 % проводимости сужения

Модель упрощённая: поры — сферы без сопротивления, сужения — цилиндры (но вода в углах и пережатие учтены так, будто их сечение угловато), длина сужения в проводимости равна шагу решётки. Данные условные.

РасчётКапиллярное давление сети урока: дренирование и затем пропитка при угле натекания 30°; для сравнения — дренирование пучка из тех же сужений. Пучок начинает заполняться при давлении входа самого широкого сужения (3,69 кПа) и при 6,05 кПа уже отдаёт нефти 0,44 порового объёма, а сеть — лишь 0,12: широкие поры спрятаны за узкими сужениями.

Расчётный примерДренирование сети и пучка из тех же сужений

Исходные данные (условные)

Сеть: таблица выше; нефть нагнетают через одну грань, вода уходит через противоположную
Пучок для сравнения: те же сужения, но параллельными трубками: объём $\propto r^2$ , проводимость $\propto r^4$
ОФП сети: течение каждой фазы через занятые ею сужения и поры от грани до грани; вода проходит и по углам

Решение

Давление входа самого широкого сужения — 3,69 кПа: с него начинает заполняться пучок. При 6,05 кПа водонасыщенность пучка уже 0,56, а сети — 0,88: широкие поры сети доступны только через более узкие сужения.
Нефть соединяет грани при 6,31 кПа, когда водонасыщенность снизилась до 0,757: нефть занимает уже 0,243 порового объёма, но течь начинает только теперь. В момент соединения $k_{ro}$ = 0,020, $k_{rw}$ = 0,569.
При этом давлении открыты все сужения шире $2\sigma/p_c$ = 2 · 0,03 / (6,31 · 10³) = 9,51 · 10⁻⁶ м, то есть 9,51 мкм — 595 из 2700 связей решётки, доля 0,22. Это близко к порогу перколяции связей простой кубической решётки (около 0,25); в небольшой сети и в одной реализации сквозная цепочка появляется с разбросом около порога.
При 6,57 кПа $S_w$ = 0,536: $k_{ro}$ = 0,094, $k_{rw}$ = 0,336, сумма 0,43; у пучка сумма всегда равна 1.
Конец дренирования при 9,93 кПа: $S_{wi}$ = 0,167, $k_{ro}$ = 0,878, $k_{rw}$ = 0,041 — вода течёт только по углам.

Ответ: Сети нужно большее давление, чтобы набрать ту же нефтенасыщенность; нефть течёт лишь начиная с

S_o

≈ 0,243, а сумма ОФП в середине интервала — около 0,43.

Что это значит. Три отличия от пучка — следствия связей между порами: доступность пор через сужения, порог перколяции для потока нефти и помехи фаз в общих путях. Почти горизонтальный участок кривой у порога — тоже перколяция: как только давление открывает сквозную цепочку сужений, за ней разом становятся доступны многие широкие поры; с этим же связывают плато на ртутных кривых хорошо отсортированных пород. Неснижаемая вода модели почти вся — вода в углах, заданная допущением; в породе её долю определяют форма пор и мелкие поры, которых модель не содержит. Данные примера условные.

РасчётОФП сети урока и пучка из тех же сужений. Вверху — дренирование: у пучка нефть течёт с первых процентов насыщенности и сумма ОФП равна единице, у сети нефть течёт только после соединения граней, а ОФП воды почти совпадают с пучком: вода занимает мелкие сужения и углы и остаётся связной, так что разницу несёт нефть. Внизу — дренирование и пропитка сети при угле натекания 30°: при пропитке нефть теряет связность ещё до конца процесса, и часть её остаётся защемлённой.

Пропитка: поршневое заполнение и пережатие

Когда капиллярное давление снижается — вода впитывается или её закачивают, — вода возвращается в поры. Пропитка не повторяет дренирования: у неё свои механизмы, и от их соотношения зависит, сколько нефти останется.

Поршневое заполнение сужения: мениск из соседней поры, уже занятой водой, проходит сужение при $p_c < 2\sigma\cos\theta_a/r$ . Этот порог высокий, поэтому сужения рядом с водой заполняются первыми.
Поршневое заполнение поры: мениск должен пройти самое широкое сечение поры: $p_c < 2\sigma\cos\theta_a/R$ . Если водой заняты несколько сужений поры, заполнить её легче — это кооперативное заполнение; простая модель урока его не учитывает.
Пережатие (snap-off): по мере снижения $p_c$ вода в углах сужения набухает, и, когда угловые мениски встречаются, нить нефти в сужении рвётся (пережатие). Соседняя водяная пора не нужна: вода приходит по углам.

СхемаМеханизмы пропитки (схема): а) поршневое заполнение — мениск идёт от поры с водой через сужение в пору с нефтью; б) пережатие — вода в углах квадратного сужения набухает, мениски смыкаются, и нефть в поре отрезается от остальной нефти.

Пороги пропитки: поршень и пережатие

\begin{gathered}p_c^{\text{сужение}} = \frac{2\sigma\cos\theta_a}{r},\qquad p_c^{\text{пора}} = \frac{2\sigma\cos\theta_a}{R},\\ p_c^{\text{пережатие}} = \frac{\sigma(\cos\theta_a - \sin\theta_a)}{r}\end{gathered}

где:

$r,\ R$ радиусы сужения и поры (для квадратного сужения $r$ — радиус вписанной окружности), м
$\theta_a$ краевой угол натекания, отсчитанный через воду (краевой угол), °
$\sigma$ межфазное натяжение нефть — вода, Н/м

Единицы: СИ: $p_c$ в Па при $\sigma$ в Н/м и радиусах в м

Справедливо, если

капиллярное равновесие: течение настолько медленное, что положение менисков задаёт только капиллярное давление (малое капиллярное число);
первые две формулы — для круглого сечения; формула пережатия — для сужения квадратного сечения с водой в углах, при $\theta_a \ge 45°$ пережатие в нём невозможно;
пора заполняется с одной стороны (без кооперативного заполнения).

Пережатие опережает поршневое заполнение поры, когда его порог выше, — при $R/r > 2/(1 - \operatorname{tg}\theta_a)$ (вывод — в разделе для углублённого изучения). Широкие поры за узкими сужениями и сильная гидрофильность (малый $\theta_a$ ) благоприятствуют пережатию, рост угла натекания его подавляет.

Расчётный примерОдна пора: что случится раньше — заполнение или пережатие

Исходные данные (условные)

Пора и сужение: $R$ = 30 мкм, $r$ = 10 мкм; сужение квадратного сечения
Флюиды: $\sigma$ = 30 мН/м; при дренировании угол оттекания 0
Угол натекания при пропитке: 0 или 30°

Решение

Дренирование: нефть прошла сужение при $2\sigma/r$ = 2 · 0,03 / (10 · 10⁻⁶) Па = 6,0 кПа.
Пропитка при $\theta_a$ = 0: заполнение поры — $2\sigma/R$ = 2,0 кПа, пережатие — $\sigma/r$ = 3,0 кПа. Пережатие наступает первым.
При $\theta_a$ = 30°: заполнение поры — 2 · 0,03 · 0,866 / (30 · 10⁻⁶) Па = 1,73 кПа, пережатие — 0,03 · (0,866 − 0,5) / (10 · 10⁻⁶) Па = 1,10 кПа. Теперь первой заполняется пора.
Граница между режимами для $R/r$ = 3: $\operatorname{tg}\theta_a = 1 - 2/3$ , $\theta_a$ = 18,4°.

Ответ: При нулевом угле натекания сужение пережимается (при 3,0 кПа) раньше, чем вода заполнит пору (2,0 кПа); при 30° — наоборот. Граница — около 18,4°.

Что это значит. Если все сужения поры пережаты прежде, чем её заполнила вода, нефть в поре отрезана от остальной и останется в ней каплей — это защемление. При угле больше граничного вода продвигается от поры к поре фронтом и вытесняет нефть сплошнее, хотя защемлённой может остаться и нефть, которую фронт обошёл: широкие поры заполняются последними, и вода успевает их окружить. Пропитка идёт при давлениях в несколько раз ниже, чем дренирование той же поры, — это и есть гистерезис капиллярного давления. Данные примера условные.

Что сеть даёт для ОФП и остаточной нефти

Для каждого состояния насыщенности расчёт «замораживает» положение фаз и решает однофазное течение каждой фазы по занятым ею сужениям и порам — как в разделе об однофазном потоке. Так получают ОФП капиллярного режима, когда положение фаз задаёт капиллярное давление, а не скорость. Этот режим обычен в пласте вдали от скважин, где капиллярное число порядка $10^{-7}$ . Повторив пропитку при разных углах натекания и на сетях разного строения, видят, что определяет остаточную нефть.

РасчётОстаточная нефтенасыщенность после пропитки в зависимости от краевого угла натекания: сеть урока (среднее

R/r

≈ 3,4) и сеть с более широкими сужениями (≈ 1,85); средние по трём реализациям, отрезки — от наименьшего значения до наибольшего.

Расчётный примерОстаточная нефть сети: смачиваемость и отношение размеров

Исходные данные (условные)

Сети: сеть урока (среднее $R/r$ = 3,4) и сеть с более широкими сужениями (1,85); по три реализации каждой
Процесс: дренирование до $S_{wi}$ , затем пропитка до нулевого капиллярного давления при угле натекания от 0 до 50°

Решение

Сеть урока, средние по трём реализациям: 0,77 при 0°, 0,64 при 10°, 0,48 при 20°, 0,37 при 30° и 0,36 при 40–50°. В первой реализации при 0° все 1307 событий пропитки — пережатия, при 30° пережатий только 4 из 2198.
Граничный угол для среднего $R/r$ = 3,4: $\operatorname{tg}\theta_a$ = 1 − 2 / 3,4, $\theta_a$ ≈ 22° — между 20 и 30°, где кривая и выходит на постоянное значение.
Сеть с широкими сужениями: 0,34 при 0° и 0,295 при 10–50°. Её среднее $R/r$ = 1,85 меньше 2, поэтому даже при нулевом угле пережатие опережает заполнение лишь там, где сужение особенно узко: пережатий 198 из 2259 событий.
Разброс реализаций сети урока при 30°: 0,34; 0,38; 0,38.

Ответ: Остаточная нефть сети урока падает с 0,77 до 0,37, когда угол натекания растёт от 0 до 30°; в сети с широкими сужениями она ниже — 0,34 при 0° и 0,295 при больших углах.

Что это значит. Выше граничного угла пережатий почти нет, и остаётся нефть, которую фронт обошёл в широких порах; ниже пережатие отрезает нефть во многих порах, а при нулевом угле — почти в каждой. При нулевом угле модель сильно преувеличивает защемление: все её сужения по меньшей мере вдвое уже соседних пор ( $R/r \ge 2$ — как раз граница пережатия при нулевом угле), поэтому каждое сужение пережимается раньше, чем вода заполнит пору, а кооперативного заполнения в модели нет. На сильно гидрофильном керне остаточная нефть заметно меньше. Разброс реализаций в несколько сотых — напоминание, что куб 0,8 мм ещё не представительный объём. Данные примера условные.

Концевые точки ОФП сети урока (первая реализация, по ней построены кривые): $S_{wi}$ = 0,167, $k_{ro}$ при ней 0,88; после пропитки при 30° $S_{or}$ = 0,34, а $k_{rw}$ при ней 0,59 — это 0,67 от $k_{ro}$ при $S_{wi}$ . По правилам Крейга у гидрофильной породы это отношение обычно меньше 0,3, а неснижаемая водонасыщенность больше 0,20–0,25 (признаки смачиваемости): по концевым точкам сеть похожа скорее на гидрофобную породу, хотя гидрофильна по построению. Отличаются от керна и сами кривые пропитки (нижний график рисунка ОФП): в начале пропитки ОФП нефти сети выше, чем при дренировании при той же водонасыщенности, а дальше заметно выше ОФП воды, тогда как у гидрофильного керна ОФП нефти при пропитке ниже, а кривые воды обоих процессов почти совпадают.

Причины — в упрощениях. Неснижаемая вода модели — заданная допущением вода в углах. Поры не оказывают сопротивления и пропускают воду даже тогда, когда в них защемлена нефть; разброс размеров сужений узок, решётка правильная. Сети, построенные по изображению конкретной породы, с реальной формой сечений, сопротивлением пор и кооперативным заполнением, передают такие кривые заметно лучше, но и их сверяют с опытами. Тенденции простая модель передаёт, а числа без калибровки — нет.

Форма кривых и гистерезис. Модель объясняет, откуда гистерезис: при пропитке нефть теряет связность и защемляется, и её ОФП обращается в нуль при большей нефтенасыщенности, чем та, с которой нефть начала течь при дренировании, — и зачем гидродинамической модели кривые пропитки (история насыщения).
Смачиваемость. Назначив части пор гидрофобность — например, крупным порам, где стояла нефть, — получают смешанную смачиваемость и видят, как меняются остаточная нефть и концевые точки (типы смачиваемости).
Три фазы. Трёхфазные ОФП измеряют редко; сетевые модели с теми же правилами для газа помогают выбрать и проверить трёхфазную модель симулятора (три подвижные фазы).
Чувствительность. Что изменится, если сужения уже, связей меньше или межфазное натяжение ниже, — вопросы, на которые опыт отвечал бы месяцами.

Цифровой керн

Цифровой керн (digital rock) — расчёт свойств породы по её трёхмерному изображению. Образец размером в миллиметры просвечивают на рентгеновском микротомографе (принцип тот же, что у томографии керна, — ослабление рентгеновского луча), изображение делят на поры и зёрна (сегментация) и дальше идут одним из двух путей. Можно выделить поры и сужения и построить сеть, как в этом уроке, а можно считать течение прямо по вокселям — решая уравнения Стокса или решёточным методом Больцмана (lattice Boltzmann). Первый путь быстр и даёт многофазные свойства; второй точнее передаёт геометрию, но требует огромных вычислений, особенно для двух фаз.

Расчётный примерРазрешение против объёма

Исходные данные (условные)

Изображение: 2000 × 2000 × 2000 вокселей, один байт на воксель
Порода: сеть урока: шаг между порами 80 мкм, радиусы сужений от 3,3 до 16,3 мкм
Условие примера: сужение различимо для расчёта течения, если его диаметр — не меньше 4 вокселей

Решение

Воксель 2,5 мкм: поле 2000 · 2,5 = 5000 мкм = 5 мм; пор в нём (5000 / 80)³ = 62,5³ ≈ 244 тыс. Различимы сужения радиусом от 4 · 2,5 / 2 = 5 мкм — это 91 % сужений сети урока.
Воксель 1 мкм: поле 2 мм; пор (2000 / 80)³ = 25³ ≈ 15,6 тыс. Различимы сужения радиусом от 2 мкм — все сужения сети (самое узкое — 3,3 мкм).
Объём данных в обоих случаях — 2000³ = 8 млрд вокселей, то есть 8 ГБ на изображение.

Ответ: При вокселе 2,5 мкм изображение охватывает около 244 тыс. пор, но не различает 9 % сужений; при 1 мкм видит все сужения, но пор в нём в 2,5³ ≈ 15,6 раза меньше.

Что это значит. Разрешение и поле зрения связаны: каждое уменьшение вокселя вдвое при том же числе вокселей уменьшает объём образца в восемь раз. Для чистого песчаника хватает поля в несколько миллиметров; для глинистых и карбонатных пород с порами от нанометров до миллиметров одного изображения мало, и объединяют снимки разного масштаба. Ещё два ограничения от разрешения не зависят: смачиваемость на изображении не видна, а малый образец может не представлять пласт. Поэтому расчёты по цифровому керну сверяют с лабораторными: пористостью, проницаемостью, ртутной кривой. Данные примера условные.

Микропористость. Глины и микропористые зёрна (например, в карбонатах) мельче вокселя: на изображении они выглядят сплошными, хотя держат воду и проводят ток. Их задают отдельной средой с проницаемостью и капиллярным давлением по лабораторным данным.
Сегментация. Граница пор и зёрен на изображении размыта. Сдвиг порога сегментации заметно меняет пористость, а проницаемость — ещё сильнее: она зависит от узких сужений шириной в несколько вокселей.
Смачиваемость. На снимке сухой породы её нет. Краевые углы задают по опытам на керне — в том числе по снимкам нефти и воды в порах — или подбирают так, чтобы модель повторила измеренные кривые.
Представительность. Миллиметровый образец описывает свою породу, а не пласт: результаты переносят на тип пород после проверки на нескольких образцах (Качество коллектора: геологические факторы пористости и проницаемости).

Пределы моделей пор

Что модели пор дают надёжно и что — нет

Вопрос: Проницаемость
Надёжно: по хорошему изображению чистой породы
Осторожно: глины и микропористость, малый образец

Вопрос: Капиллярное давление дренирования
Надёжно: форма кривой по ртутной кривой или изображению
Осторожно: абсолютные значения без калибровки

Вопрос: ОФП и остаточная нефть
Надёжно: тенденции: смачиваемость, связность, отношение размеров
Осторожно: концевые точки; сильная гидрофильность; смешанная смачиваемость без данных

Вопрос: Быстрое вытеснение
Надёжно: —
Осторожно: модели капиллярного равновесия неприменимы при высоком капиллярном числе

Вопрос	Надёжно	Осторожно
Проницаемость	по хорошему изображению чистой породы	глины и микропористость, малый образец
Капиллярное давление дренирования	форма кривой по ртутной кривой или изображению	абсолютные значения без калибровки
ОФП и остаточная нефть	тенденции: смачиваемость, связность, отношение размеров	концевые точки; сильная гидрофильность; смешанная смачиваемость без данных
Быстрое вытеснение	—	модели капиллярного равновесия неприменимы при высоком капиллярном числе

Численные результаты моделей пор проверяют по лабораторным опытам на той же породе и уточняют, прежде чем передавать в гидродинамическую модель.

Главное, что модели пор дают инженеру, — понимание. Почему ОФП в сумме меньше единицы, откуда остаточная нефть и почему она зависит от смачиваемости, почему пропитка не повторяет дренирования, почему ртутная кривая говорит о сужениях, а не о порах, — всё это следствия устройства порового пространства. С этим пониманием легче проверить лабораторные кривые (Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление) и обоснованно выбрать их для модели.

Термины и обозначения

Пора и сужение: полость, в которой сосредоточен объём, и узкий канал между полостями, задающий давление входа и сопротивление.
Координационное число $z$: среднее число сужений, сходящихся в поре.
Отношение размеров $R/r$: радиус поры к радиусу её сужения; от него зависит соотношение механизмов пропитки.
Пучок капилляров: модель из параллельных трубок; не знает связей между порами, поэтому её ОФП в сумме равны единице.
Сетевая модель: поры-узлы и сужения-трубки; однофазное течение в ней — система уравнений баланса в порах.
Перколяция с вторжением: дренирование сети: несмачивающая фаза проходит сужения в порядке давлений входа, только если к ним есть путь от входа.
Порог потока: насыщенность, при которой занятые фазой поры впервые соединяют вход с выходом; ниже неё фаза не течёт.
Поршневое заполнение и пережатие: механизмы пропитки: мениск проходит пору или сужение — или вода в углах сужения смыкается и отрезает нефть.
Цифровой керн: расчёт свойств по трёхмерному изображению породы: по выделенной сети или прямо по вокселям.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Сумма ОФП, равная единице, — признак хорошей модели».

На самом деле

Так ведёт себя только пучок капилляров без связей. В сети урока сумма ОФП в середине интервала дренирования — около 0,43: фазы мешают друг другу в общих путях.

Неверно

«Ртутная кривая показывает размеры пор».

На самом деле

Она показывает размеры сужений, через которые поры доступны: широкая пора за узким сужением заполняется при давлении сужения. Размеры самих пор видны только на изображениях.

Неверно

«Чем гидрофильнее порода, тем меньше остаточная нефть».

На самом деле

Не всегда. В сети урока при угле натекания 0 пережатие отрезает нефть почти в каждой поре, и остаточная нефтенасыщенность — 0,77 (простая модель это число сильно преувеличивает), а при 30° — 0,37. Опыты на керне тоже часто показывают наибольшее вытеснение при слабой гидрофильности (смачиваемость и вытеснение).

Неверно

«Сеть со средним радиусом сужений даёт ту же проницаемость».

На самом деле

Проводимость растёт как $r^4$ , и поток выбирает широкие сужения и их цепочки. В примере урока у сети из девяти пор проницаемость 92 мД, а у той же сети со средним радиусом сужений — 71 мД.

Неверно

«Модель по изображению точна: в ней настоящая геометрия породы».

На самом деле

Только той её части, что крупнее вокселя, и только для образца в миллиметры. Глины, микропористость и смачиваемость на изображении не видны, поэтому расчёты сверяют с лабораторными данными.

Подробно: для продвинутых

Откуда пороги поршня и пережатия

Поршень. В круглом канале радиуса $r$ мениск — часть сферы радиуса $r/\cos\theta$ , обе его главные кривизны равны $\cos\theta/r$ , и по уравнению Лапласа $p_c = 2\sigma\cos\theta/r$ (откуда берётся капиллярное давление). Чтобы пройти пору, мениск должен пройти её самое широкое сечение, где кривизна наименьшая, — отсюда $2\sigma\cos\theta/R$ .

Пережатие. В сужении квадратного сечения с вписанным радиусом $r$ вода в каждом углу ограничена дугой радиуса $r_k = \sigma/p_c$ , которая касается стенок под краевым углом $\theta$ (вторая кривизна — вдоль сужения — почти нулевая). Точка касания отстоит от вершины угла на $b = r_k\cos(\theta + 45°)/\sin 45°$ . Когда $p_c$ падает, $r_k$ растёт, дуги соседних углов сходятся и встречаются в середине стенки, где $b = r$ . Подставив, получим $r_k = r/(\cos\theta - \sin\theta)$ , то есть $p_c = \sigma(\cos\theta - \sin\theta)/r$ . При $\theta \ge 45°$ мениск в углу плоский (при 45°) или выгнут в сторону нефти — такое равновесие возможно лишь при нулевом или отрицательном $p_c$ , — поэтому при пропитке до нулевого капиллярного давления пережатие в квадратном сужении невозможно; в треугольных сужениях с более острыми углами оно возможно и при больших углах.

Пережатие опережает поршневое заполнение поры, если $(\cos\theta - \sin\theta)/r > 2\cos\theta/R$ . Разделив на $\cos\theta$ , получим $R/r > 2/(1 - \operatorname{tg}\theta)$ . При $\theta$ = 0 граница — $R/r$ = 2, при 20° — около 3,1, при 30° — около 4,7. Поэтому в породах, где поры много шире сужений, пережатие важно и при умеренных углах натекания.

Почему сети строят в трёх измерениях

Порог перколяции зависит от размерности и связности решётки. Для связей квадратной решётки на плоскости он равен 0,5, для простой кубической в пространстве — около 0,249. Произведение порога на координационное число почти постоянно: около 2 на плоскости и около 1,5 в пространстве (теория перколяции).

Отсюда важное следствие. На плоскости при случайном расположении фаз связи фазы образуют сквозной путь, только если занимают больше половины решётки квадратных связей, — а больше половины не может быть у обеих фаз сразу. Поэтому в плоской сети обе фазы текут одновременно лишь в узком интервале насыщенности, и тем более узком, чем больше сеть. В пространстве каждой фазе для связности хватает около четверти связей, и обе связаны в широком интервале — примерно от четверти до трёх четвертей связей, занятых одной из фаз, как в породе. Поэтому плоские сети и микромодели хороши, чтобы увидеть механизмы, а ОФП рассчитывают на объёмных сетях.

Связь с другими темами

Капиллярное давление и переходная зона — уравнение Лапласа, кривые дренирования и пропитки, распределение каналов по ртутной кривой.
Смачиваемость и межфазные явления — краевой угол, типы смачиваемости и защемление нефти.
Относительная проницаемость — кривые ОФП, концевые точки, правила Крейга и гистерезис.
Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление — как лабораторные кривые готовят для модели — и как модели пор помогают их проверить.
Проницаемость горных пород — закон Дарси, поровые каналы, модель Козени — Кармана.
Лабораторный анализ керна — рентгеновская томография керна — источник цифровых изображений.
Особые вопросы ремасштабирования — представительный объём и следующий шаг — от керна к ячейкам модели.
Строение коллектора и поведение пласта при разработке — перколяция на масштабе песчаных тел.

Проверьте себя

1
Модель пор дала ОФП нефти и воды, сумма которых при любой насыщенности равна единице. Что это говорит о модели?
1. А.Так всегда бывает при капиллярном равновесии
2. Б.Порода гидрофобна
3. В.Модель точна: фазы не теряют проводимости
4. Г.Модель не учитывает связей между порами — так ведёт себя пучок капилляров; в породе сумма меньше единицы
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Модель не учитывает связей между порами — так ведёт себя пучок капилляров; в породе сумма меньше единицы
В пучке каждая трубка открыта с обоих концов и занята одной фазой, поэтому проводимость, потерянная водой, целиком переходит к нефти. В сети фазы делят общие пути, нефть течёт только после соединения входа с выходом, а при пропитке часть её защемляется — и сумма ОФП в середине интервала заметно меньше единицы (в сети урока около 0,43).
2
Сужения радиусом 12 и 6 мкм одинаковой длины. Во сколько раз различаются их проводимости и давления входа нефти при дренировании гидрофильной породы?
Показать ответ
Проводимость пропорциональна $r^4$ : $(12/6)^4 = 16$ — широкое сужение проводит в 16 раз больше. Давление входа обратно пропорционально радиусу: в узкое сужение нефть войдёт при вдвое большем капиллярном давлении. Поэтому нефть сначала занимает широкие сужения и сразу получает непропорционально большую долю потока.
3
Почему радиусы, рассчитанные по ртутной кривой, обычно меньше радиусов пор на шлифах и томограммах?
1. А.Ртуть сжимает породу
2. Б.Шлифы преувеличивают поры
3. В.Ртуть смачивает породу
4. Г.Пора заполняется при давлении сужения, через которое она доступна, поэтому её объём приписывается радиусу сужения
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Пора заполняется при давлении сужения, через которое она доступна, поэтому её объём приписывается радиусу сужения
Это эффект доступности: широкая пора за узким сужением ждёт, пока давление не откроет сужение, и весь её объём попадает в ступень, отвечающую радиусу сужения. Поэтому ртутная кривая — распределение сужений (с объёмами пор за ними), а не пор.
4
Отношение радиусов поры и сужения $R/r$ = 2,5. При каком краевом угле натекания пережатие сужения перестаёт опережать поршневое заполнение поры (сужение квадратного сечения)?
Показать ответ
Пережатие идёт первым при $R/r > 2/(1 - \operatorname{tg}\theta_a)$ . На границе $1 - \operatorname{tg}\theta_a = 2/2{,}5 = 0{,}8$ , $\operatorname{tg}\theta_a = 0{,}2$ , $\theta_a \approx 11{,}3°$ . При меньших углах сужения пережимаются раньше, чем вода заполнит пору, и нефть в порах может остаться защемлённой; при больших пора заполняется первой.
5
В какой породе модель пор предскажет наибольшую остаточную нефть при пропитке?
1. А.Поры в 4–5 раз шире сужений, угол натекания около нуля, мало связей между порами
2. Б.Поры немного шире сужений, угол натекания 40°
3. В.Остаточная нефть от строения пор не зависит
4. Г.Поры в 4–5 раз шире сужений, угол натекания 40°, много связей
Показать ответ
Правильный ответ: А. Поры в 4–5 раз шире сужений, угол натекания около нуля, мало связей между порами
Пережатию благоприятствуют широкие поры за узкими сужениями и малый угол натекания, а малое координационное число лишает нефть обходных путей. Все три условия сходятся в породе с порами в 4–5 раз шире сужений, углом около нуля и малым числом связей. При угле 40° в квадратных сужениях пережатие опережает заполнение поры, только если она шире сужения более чем в 12 раз, а много связей уменьшает и обход нефти фронтом.
6
Томограмма в 2000 вокселей по стороне снята с вокселем 1,5 мкм. Каково поле зрения, сколько пор оно охватывает при шаге между порами 100 мкм и какие сужения различимы, если сужению нужно не меньше 4 вокселей по диаметру?
Показать ответ
Поле $2000\cdot1{,}5 = 3000$ мкм, то есть 3 мм; по стороне $3000/100 = 30$ пор, всего $30^3$ = 27 тыс. Различимы сужения диаметром от $4\cdot1{,}5 = 6$ мкм, то есть радиусом от 3 мкм. Более узкие сужения и глинистая пористость окажутся «закрытыми», и проницаемость по такому изображению будет занижена, если их не учесть отдельно.

Обновлено: 28 октября 2026 г.