МоделированиеРемасштабирование и петрофизика Продвинутый 26 мин чтения

Особые вопросы ремасштабирования

Особые вопросы ремасштабирования — случаи, в которых обычные приёмы переноса свойств на крупную сетку (эквивалентная проницаемость, псевдофункции) теряют точность или смысл, и способы их распознать. Это ячейки размером с длину корреляции, тонкие протяжённые барьеры и проводящие прослои, строение мельче ячейки геологической модели, наклонная анизотропия, которую не видит обычная схема симулятора, приток к скважине и течение не в том направлении, для которого считали, и смена соотношения вязких, капиллярных и гравитационных сил. Сюда же относится проверка укрупнённой модели в условиях задачи.

Зачем это нужно

Ошибки ремасштабирования незаметны: крупная модель выглядит правдоподобно, сохраняет объёмы и даже однофазный расход — и при этом может в разы ошибаться в индексе скважины и в вертикальной сообщаемости пластов и терять быстрые пути воды. В примерах урока индекс скважины в русле приходится увеличить в 5,3 раза, а сетка из тонких слоёв завышает вертикальную проницаемость пачки с глинистыми линзами в 5,0 раза. Такие ошибки потом «исправляют» при адаптации множителями, и прогноз смещается. Кто знает, где ремасштабирование слабо, выбирает размер и форму ячеек, метод и граничные условия под свой пласт и проверяет именно то, что может быть неверно.

Сначала прочитайте:Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции

Кратко о главном

Эквивалентная проницаемость ячейки определена, когда неоднородность много мельче ячейки, а течение меняется на расстояниях много больше её (разделение масштабов). У ячеек размером около длины корреляции ответ сильнее всего зависит от граничных условий: в расчёте урока при $\sigma_{\ln k}$ = 1,5 у 56 % блоков два вида условий расходятся больше чем на 20 %.
Опаснее всего тела тонкие, но протяжённые: глинистые линзы и прослои, плотные пропластки, проводящие прослои, трещины. Непроницаемые боковые грани ячейки не дают потоку обойти линзу через соседнюю ячейку, а равномерное давление на верхней и нижней гранях действует как проводящая плёнка и позволяет обойти её слишком легко.
Неоднородность мельче ячейки геологической модели — слойки, косые серии — переносят отдельной первой ступенью. На масштабе слойков течение почти всюду капиллярное, и для неё годится предел капиллярного равновесия; на масштабе крупной ячейки режим меняется от вязкого у скважин до смешанного между ними.
Обычная двухточечная схема видит только диагональ тензора. Если главные оси проницаемости повёрнуты к сетке, недиагональный член теряется, и при повороте на 45° ячейка выглядит изотропной, какой бы ни была анизотропия.
У скважины поток радиальный: если порода у ствола неоднородна, ячейке со скважиной нужен индекс, найденный местным расчётом на мелкой сетке. Он почти не зависит от размера области расчёта, а отношение дебитов — зависит, поэтому поправляют индекс.
Однофазный расход — проверка суммы. Распределение потока по быстрым и медленным путям показывают кривая «проводимость — ёмкость» и первый приход индикатора; больше слоёв не значит точнее — важно, какие прослои объединены.

Ключевые соотношения

\lambda \ll \Delta \ll L

разделение масштабов: неоднородность — ячейка — масштаб изменения течения

k(\varphi) = k_{xx}\cos^2\varphi + k_{yy}\sin^2\varphi + 2k_{xy}\sin\varphi\cos\varphi

направленная проницаемость; схема без $k_{xy}$ теряет последний член

u(r) = \dfrac{q}{2\pi r h}

скорость фильтрации у нагнетательной скважины: $N_{cv}$ и $N_{gv}$ растут пропорционально расстоянию

W_{iD,1} = \dfrac{\Delta C_1}{\Delta F_1}

первый приход индикатора по самому быстрому слою, поровые объёмы

Где чаще всего ошибаются

Брать эквивалентную проницаемость ячеек размером с длину корреляции, не сравнив её при двух видах граничных условий.
Считать, что более тонкие слои крупной сетки всегда точнее передают вертикальный поток.
Ставить в ячейку геологической модели проницаемость и кривые ОФП образцов, пропустив ступень слойков.
Отбрасывать недиагональный член тензора при сильной анизотропии и главных осях под 20–70° к сетке.
Исправлять дебит скважины множителем, подобранным при адаптации, вместо индекса по местному расчёту.
Проверять укрупнённую модель только в тех условиях, по которым её строили.

После урока вы сможете

объяснить условие разделения масштабов и по длине корреляции, размеру ячейки и расстоянию между скважинами оценить, насколько надёжна эквивалентная проницаемость ячейки;
показать на расчёте, почему прерывистые глинистые прослои и другие тонкие протяжённые тела — главный источник ошибок вертикальной проницаемости и как знак ошибки зависит от формы крупной ячейки;
описать ступенчатое ремасштабирование от слойков к ячейке геологической модели и по соотношению сил выбрать метод для каждой ступени и каждой части пласта;
объяснить, что теряет двухточечная схема при наклонной анизотропии, и выбрать между ориентацией сетки, многоточечной схемой и пренебрежением недиагональным членом;
рассчитать индекс скважины по местному расчёту на мелкой сетке и объяснить, почему поправку вносят в индекс, а не в дебит;
проверить укрупнённую модель по кривой «проводимость — ёмкость» и первому приходу индикатора и узнать случаи, когда ремасштабирование не работает.

Разделение масштабов: когда у ячейки есть своя проницаемость

Ремасштабирование заменяет неоднородный блок однородным с эквивалентной проницаемостью $k^{*}$ (расчёт течения в блоке). Замена имеет смысл при двух условиях. Первое: в ячейке много независимых участков неоднородности, и её $k^{*}$ не зависит ни от их случайного расположения, ни от того, что лежит за её гранями. Второе: течение внутри ячейки почти однородно — давление и насыщенность меняются на расстояниях, много больших самой ячейки. Вместе эти условия называют разделением масштабов (scale separation).

Условие разделения масштабов

\lambda \;\ll\; \Delta \;\ll\; L

где:

$\lambda$ размер неоднородности по данному направлению — длина корреляции проницаемости, м
$\Delta$ размер ячейки по тому же направлению, м
$L$ расстояние, на котором заметно меняется течение: между скважинами, ширина фронта вытеснения, зона радиального притока у скважины, м

Единицы: любые одинаковые единицы длины

Справедливо, если

условие проверяют по каждому направлению отдельно: длины корреляции по горизонтали и по вертикали различаются в десятки и сотни раз;
«много меньше» на практике означает различие в несколько раз; при $\Delta$ , сравнимом с $\lambda$ , эквивалентная проницаемость ячейки зависит от граничных условий её расчёта (рисунок ниже).

Левое неравенство делает $k^{*}$ свойством ячейки, правое позволяет считать течение в ней линейным, каким его принимают при расчёте. Наименьший объём, в котором осреднённое свойство перестаёт зависеть от размера самого объёма, называют представительным элементарным объёмом (REV); та же идея работает и на масштабе пор (Моделирование течения на уровне пор).

В модели пласта оба условия выполняются редко. Длины корреляции проницаемости по горизонтали — от десятков метров до километров, по вертикали — от сантиметров до метров (длина корреляции), ячейки — 50–200 м по площади и 1–10 м по толщине: того же порядка. Между соседними скважинами укладывается несколько ячеек. Насколько это опасно, покажет расчёт на синтетических полях: из случайных логнормальных полей вырезаны блоки разного размера, и для каждого найдена $k^{*}_x$ при непроницаемых боковых гранях и при линейных условиях (граничные условия).

РасчётБлоки размером от 25 до 800 м, вырезанные из логнормальных полей с длиной корреляции 150 м (10 реализаций поля 1,6 × 1,6 км на ячейках 25 м). Вверху — медиана расхождения

k^{*}_x

при линейных условиях и при непроницаемых боковых гранях для трёх значений

\sigma_{\ln k}

; внизу — доля разброса

\ln k

, сохранившаяся между блоками (при

\sigma_{\ln k}

= 1,5; при 1,0 и 2,0 кривые почти те же). Расхождение наибольшее у блоков размером около длины корреляции и быстро растёт с неоднородностью.

Ячейка много меньше длины корреляции ( $\Delta/\lambda$ < 0,3). Порода внутри ячейки почти однородна: граничные условия почти не влияют, крупные ячейки сохраняют почти весь разброс свойств. Ремасштабирование мало меняет модель — и мало экономит.
Ячейка порядка длины корреляции ( $\Delta/\lambda$ от 0,5 до 3). В ячейке одно-два тела, которые могут соединиться с соседними, а могут и нет, и $k^{*}$ зависит от допущения о соседях. При $\sigma_{\ln k}$ = 1,5 у блоков в 1,3 длины корреляции медиана расхождения 23 %, у 56 % блоков — больше 20 %. Это самый ненадёжный размер — и самый распространённый.
Ячейка много больше длины корреляции ( $\Delta/\lambda$ > 5). Неоднородность внутри ячейки осредняется, $k^{*}$ устанавливается, граничные условия значат всё меньше. Но и разброс между ячейками почти исчезает: при 5,3 длины корреляции между блоками остаётся 9 % исходного разброса $\ln k$ . Неоднородность масштаба $\lambda$ ушла из модели внутрь ячеек. Для однофазного потока это верно, для вытеснения — нет: вода по-прежнему идёт по лучшим телам внутри ячейки, и это возвращают псевдофункциями (Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции).

Расхождение быстро растёт с неоднородностью: у блоков в 1,3 длины корреляции медиана — 9 % при $\sigma_{\ln k}$ = 1,0, 23 % при 1,5 и 48 % при 2,0. Расчёт относится к изотропному плоскому полю; вытянутые тела и объёмный поток меняют числа, но не картину (раздел для углублённого изучения).

Расчётный примерЕсть ли разделение масштабов в модели речного пласта

Исходные данные (условные)

Длина корреляции проницаемости: вдоль поясов русел 1200 м, поперёк 300 м, по вертикали 1,5 м
Неоднородность: $\sigma_{\ln k}$ ≈ 1,5
Ячейки модели: 100 × 100 м, слои по 2 м
Расстояние между скважинами: 500 м

Решение

Отношение размера ячейки к длине корреляции: вдоль поясов $100/1200 = 0{,}083$ , поперёк $100/300 = 0{,}33$ , по вертикали $2/1{,}5 = 1{,}33$ .
По рисунку при $\sigma_{\ln k}$ = 1,5: при отношении 0,33 медиана расхождения граничных условий 5,5 %, больше 20 % — у 21 % блоков; при отношении 1,33 — 23 % и 56 % блоков. Вдоль поясов расхождение ещё меньше, чем поперёк.
Между скважинами $500/100 = 5$ ячеек: у ствола давление заметно меняется уже от ячейки к соседней, и правое неравенство нарушено.
Слои по 0,5 м дали бы по вертикали отношение $0{,}5/1{,}5 = 0{,}33$ — расхождение 5,5 %, но вчетверо больше слоёв.

Ответ: По площади ячейки меньше длины корреляции: неоднородность этого масштаба передаёт сама сетка, и расхождение граничных условий в медиане невелико. По вертикали слои по 2 м сравнимы с длиной корреляции — разделения масштабов нет, и вертикальная проницаемость ячеек — самое ненадёжное свойство модели; у скважин нарушено и правое неравенство.

Что это значит. Размер ячеек обычно выбирают по площади и не проверяют по вертикали. Здесь нужны либо более тонкие слои там, где важен вертикальный поток — у подошвенной воды и газовой шапки, при гравитационном разделении фаз, — либо проверка вертикальной проводимости расчётом на мелкой сетке (следующий раздел); у скважин — свой индекс (раздел о скважинах). Кривые рисунка получены для изотропного плоского поля и служат ориентиром, а не нормой. Данные примера условные.

Тонкие протяжённые тела: линзы, прослои, трещины

Длина корреляции и гистограмма описывают неоднородность, но не говорят главного для течения: соединяются ли хорошие участки в сквозные пути и перекрывают ли плохие путь потоку. Модели с одинаковыми гистограммой и вариограммой бывают связаны совсем по-разному: связность задают форма и протяжённость тел (связность и перколяция), а двухточечная статистика — вариограмма — её не определяет.

Для ремасштабирования опаснее всего тела тонкие, но протяжённые: глинистые линзы и прослои, плотные карбонатные пропластки, прослои крупнозернистого песчаника, открытые трещины, зоны разломов. Они тоньше ячейки — значит, ячейка их осредняет, — и длиннее её — значит, их действие не местное: поток, остановленный линзой в одной ячейке, обходит её через соседнюю. Разберём самый частый случай — вертикальный поток через песчаник с прерывистыми глинистыми линзами (перегородки).

РасчётОдна из реализаций разреза примера: песчаник 100 мД длиной 1000 м и толщиной 10 м (вертикальный масштаб увеличен в 25 раз) с глинистыми линзами толщиной 0,5 м и длиной около 100 м — 10 % объёма. Вертикальные линии — границы крупных ячеек шириной 100 м: многие линзы пересекают их, и обход линзы идёт через соседнюю ячейку.

Расчётный примерГлинистые линзы: вертикальная проницаемость на мелкой и крупных сетках

Исходные данные (условные)

Разрез: 1000 × 10 м; мелкая сетка 200 × 20 ячеек по 5 × 0,5 м; песчаник 100 мД
Линзы: толщина 0,5 м, проницаемость 0,001 мД, около 10 % объёма; длина $\ell$ = 10, 100 или 400 м, положение случайное; по 12 реализаций на каждую длину
Крупные сетки: столбцы по 100 м; один слой 10 м, два слоя по 5 м или двадцать по 0,5 м; в каждой ячейке $k^{*}_z$ и $k^{*}_x$ — расчётом течения с непроницаемыми боковыми гранями
Проверка: вертикальный поток через весь разрез: подошва и кровля — при разных постоянных давлениях, торцы закрыты

Решение

Мелкая сетка, средняя $k_v$ разреза: 24,2 мД при $\ell$ = 10 м, 10,6 мД при 100 м и 7,0 мД при 400 м. Правило «доля песчаника × его проницаемость» дало бы 90 мД при любой длине.
Крупная сетка в один слой, медиана отношения её $k_v$ к мелкой: 0,98; 0,98; 0,93. При $\ell$ = 400 м отдельные реализации — от 0,08 до 1,00.
Два слоя по 5 м: 1,53; 1,51; 1,07; при $\ell$ = 400 м — от 0,14 до 11,7.
Двадцать слоёв по 0,5 м, то есть укрупнение только по площади: 3,7; 5,0; 1,9.

Ответ: При почти одной и той же доле глины

k_v

разреза падает с 24,2 до 7,0 мД с удлинением линз. Крупная сетка в один слой близка к мелкой в медиане, но при линзах длиннее ячейки в отдельных реализациях ошибается в разы; сетки с внутренними гранями завышают

k_v

— до 5,0 раза при

\ell

= 100 м.

Что это значит. Две противоположные ошибки задаёт сама постановка расчёта ячейки. Непроницаемые боковые грани не дают потоку обойти линзу через соседний столбец: это занижает $k_v$ , и сильнее всего, когда линза перекрывает столбец целиком, — с длинными линзами так бывает часто. Постоянное давление на верхней и нижней гранях ячейки равносильно тонкой проводящей плёнке по всей её ширине: поток, прошедший один разрыв между линзами, свободно растекается к любому разрыву выше, — это завышает $k_v$ так же, как проводящие перегородки дают верхнюю границу Кардуэлла–Парсонса (границы). В одном слое на 10 м внутренних граней нет, и остаётся первая ошибка; в двадцати слоях грань лежит над каждой строкой, и результат приближается к правилу «доля песчаника × проницаемость». Какая ошибка перевесит, зависит от длины и доли линз, от формы ячейки и от случайного расположения линз. Данные примера условные.

РасчётОтношение вертикальной проницаемости крупной сетки к мелкой в зависимости от длины линз, отнесённой к ширине крупной ячейки: точки — медианы по 12 реализациям, отрезки — от наименьшего до наибольшего значения. Пока линзы короче ячейки, сетка в один слой почти точна; сетки с внутренними гранями завышают

k_v

при любой длине; при линзах длиннее ячейки разброс между реализациями достигает порядков.

Что делают с тонкими протяжёнными телами

Вертикальную проводимость пачек с линзами и прерывистыми прослоями проверяют расчётом течения на мелкой сетке для представительных разрезов и при необходимости подбирают множители вертикальной проводимости крупной модели.
Выдержанные барьеры длиннее ячейки задают явно — нулевой проводимостью граней или отдельным тонким слоем, — а не осреднением в ячейке (ремасштабирование проводимости).
Проводящие прослои сохраняют отдельными слоями крупной сетки (неравномерная сетка).
Сеть открытых трещин — отдельная среда: её описывают моделью двойной пористости (Трещины и трещиноватые коллекторы), а не эквивалентной проницаемостью матрицы.

Мельче ячейки геологической модели: ступенчатое ремасштабирование

Ячейка геологической модели — десятки метров по площади и доли метра по толщине — тоже неоднородна: в ней слойки, косые серии, глинистые присыпки и прослойки сантиметровой толщины (Первичные осадочные текстуры). А данные о породе получены на ещё меньшем масштабе: образец керна — несколько сантиметров, точечный пермеаметр на распиле керна — миллиметры. Значит, прежде чем переносить свойства с геологической сетки на гидродинамическую, их надо перенести с образца на ячейку геологической модели. Это первая ступень ремасштабирования.

Её часто пропускают и приписывают ячейке проницаемость и кривые ОФП образцов, как будто она однородна. Ошибок две. Для одной фазы: образцы выбуривают из крепких слойков, и вертикальная проницаемость ячейки получается завышенной иногда на порядки (пропущенный прослой). Для двух фаз: в слоистой ячейке капиллярные силы перераспределяют воду по слойкам, и её псевдо-ОФП вдоль и поперёк слойков различаются в разы (слойки в капиллярном равновесии) — образцы этого не показывают.

Поэтому свойства переносят в несколько ступеней по геологически значимым масштабам. Подход называют ступенчатым ремасштабированием, или методом геопсевдофункций (geopseudo): строят модели типичных структур — ряби, косой серии, пачки с прослойками, — задают слойкам проницаемость по точечным замерам и кривые ОФП и капиллярного давления по опытам на керне (Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление), рассчитывают течение и получают эквивалентную проницаемость и псевдофункции для следующей ступени.

Ступени ремасштабирования

Ступень: Слойки → слой или серия
Масштаб: мм → дм
Что управляет течением: капиллярные силы
Чем считают: предел капиллярного равновесия

Ступень: Слой → ячейка геологической модели
Масштаб: дм → десятки м × доли м
Что управляет течением: капиллярные и вязкие силы
Чем считают: расчёт течения в блоке, псевдофункции

Ступень: Ячейка геологической модели → гидродинамической
Масштаб: → сотни м × метры
Что управляет течением: вязкие силы, сила тяжести, связность тел
Чем считают: однофазное ремасштабирование, неравномерная сетка, динамические псевдофункции

Ступень	Масштаб	Что управляет течением	Чем считают
Слойки → слой или серия	мм → дм	капиллярные силы	предел капиллярного равновесия
Слой → ячейка геологической модели	дм → десятки м × доли м	капиллярные и вязкие силы	расчёт течения в блоке, псевдофункции
Ячейка геологической модели → гидродинамической	→ сотни м × метры	вязкие силы, сила тяжести, связность тел	однофазное ремасштабирование, неравномерная сетка, динамические псевдофункции

Границы ступеней и режимы — ориентир; режим каждой ступени проверяют по соотношению сил (пример ниже и раздел о соотношении сил).

Расчётный примерСлойки в капиллярном равновесии: до какой скорости фильтрации

Исходные данные (условные)

Слойки: из примера урока Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции: 400, 60 и 6 мД, толщина около 1 см; вертикальная проницаемость пачки 24,8 мД
Длина, на которой выравнивается насыщенность: 0,3 м — ячейка детальной модели
Флюиды: нефть 3,0 мПа·с, $k_{ro}'$ = 0,85; перепад капиллярного давления между слойками 0,04 МПа
Нагнетательная скважина: 300 м³/сут в пластовых условиях, толщина пласта 16 м

Решение

Отношение капиллярных и вязких сил $N_{cv}$ (формула) равно единице при скорости фильтрации $u^{*} = 0{,}0853\cdot24{,}8\cdot0{,}85\cdot0{,}04\cdot0{,}3/(3{,}0\cdot0{,}01^2) = 71{,}9$ м/сут.
У нагнетательной скважины $u = q/(2\pi rh)$ больше $u^{*}$ лишь при $r < r^{*} = 300/(2\pi\cdot16\cdot71{,}9) = 0{,}042$ м — внутри ствола.
Для слойков толщиной 5 см $u^{*}$ в 25 раз меньше: 2,88 м/сут, и $r^{*} = 300/(2\pi\cdot16\cdot2{,}88) = 1{,}04$ м.

Ответ: Сантиметровые слойки остаются в капиллярном равновесии всюду в пласте; пятисантиметровые выходят из него лишь в пределах 1,04 м от скважины.

Что это значит. На первой ступени псевдофункции можно рассчитывать в пределе капиллярного равновесия, и от темпа закачки они почти не зависят. С толщиной слоёв картина меняется быстро: время капиллярного выравнивания растёт как квадрат толщины, и для пачек толщиной в метры капиллярное равновесие при пластовом темпе уже не устанавливается (слойки и разрез) — там нужны динамические методы. Оценка даёт порядок величины, а не границу. Данные примера условные.

Первая ступень обязательна не везде. Она нужна, когда:

вытесняют несмешивающиеся фазы — водой или газом; для однофазного течения обычно хватает осреднения проницаемости с проверкой вертикальной;
слойки различаются по проницаемости в разы и больше — а значит, и по капиллярному давлению;
поток идёт поперёк слойков: вертикальный — к подошвенной воде и газовой шапке, при гравитационном разделении фаз — или поперёк наклонных косых серий (косая серия);
мелкая слоистость выдержана по всему пласту и её влияние не перекрыто более крупными ошибками: если пласт — набор разобщённых тел, сначала разбираются со связностью тел, и лишь потом уточняют мелкий масштаб (типы строения).

Наклонная анизотропия: что теряет двухточечная схема

Если главные направления проницаемости не совпадают с осями сетки, эквивалентная проницаемость ячейки — полный тензор. Так бывает с наклонными слойками косых серий (вывод для наклонных слойков), с пластами, падающими относительно горизонтальной декартовой сетки, и с руслами, идущими наискось к линиям сетки в плане, — как в блоке урока о ремасштабировании проницаемости, где периодические условия дали недиагональный член 20,0 мД. Вопрос этого раздела — что с таким тензором делает симулятор.

Обычная схема симулятора считает переток через грань по давлениям двух ячеек с одной проводимостью грани (уравнение ячейки). Это двухточечная аппроксимация потока (two-point flux approximation, TPFA). Она точна, только если сетка K-ортогональна: вектор $\mathbf{K}\mathbf{n}$ , где $\mathbf{n}$ — нормаль к грани, направлен вдоль линии, соединяющей центры двух ячеек. Декартова сетка с диагональным тензором K-ортогональна; с полным тензором — нет; угловая сетка со скошенными ячейками — тоже нет, даже при диагональном тензоре (угловая геометрия). Тогда двухточечная схема теряет поток, который вызывает составляющая градиента вдоль грани, и эта ошибка не исчезает при измельчении сетки (раздел для углублённого изучения).

Направленная проницаемость тензора

k(\varphi) = \mathbf{n}^{\mathsf{T}}\mathbf{K}\,\mathbf{n} = k_{xx}\cos^2\varphi + k_{yy}\sin^2\varphi + 2k_{xy}\sin\varphi\cos\varphi

где:

$\varphi$ направление: угол от оси $x$ к оси $y$ , °
$\mathbf{n}$ единичный вектор этого направления, $(\cos\varphi, \sin\varphi)$ , —
$k_{xx},\ k_{yy},\ k_{xy}$ компоненты тензора эквивалентной проницаемости в осях сетки, мД
$k(\varphi)$ составляющая скорости фильтрации вдоль $\mathbf{n}$ при единичном градиенте давления вдоль $\mathbf{n}$ , выраженная как проницаемость, мД

Единицы: проницаемости — в любых одинаковых единицах

Справедливо, если

поток в плоскости $x$ – $y$ ; тензор симметричен;
наибольшее и наименьшее значения — главные проницаемости $k_1$ и $k_2$ — достигаются вдоль главных осей, повёрнутых на угол $\alpha$ : $\operatorname{tg}2\alpha = 2k_{xy}/(k_{xx} - k_{yy})$ ;
сетка, отбросившая $k_{xy}$ , видит $k_{xx}\cos^2\varphi + k_{yy}\sin^2\varphi$ ; вдоль главной оси она ошибается на $-(1 - k_2/k_1)\sin^2 2\alpha/2$ .

При $k_{xy}$ = 0 главные оси совпадают с осями сетки, и отбрасывать нечего. При главных осях под 45° к сетке $k_{xx} = k_{yy} = (k_1 + k_2)/2$ : без недиагонального члена ячейка выглядит изотропной, как бы сильна ни была анизотропия.

Расчётный примерБлок с руслом наискось: что видит сетка без недиагонального члена

Исходные данные (условные)

Тензор блока (периодические условия): $k_{xx}$ = 62,4, $k_{yy}$ = 64,2, $k_{xy}$ = 20,0 мД — урок Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке

Решение

Главные оси: $\operatorname{tg}2\alpha = 2\cdot20{,}0/(62{,}4 - 64{,}2) = -22{,}22$ ; числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому $2\alpha$ во второй четверти: $2\alpha = 92{,}6°$ , $\alpha = 46{,}3°$ — вдоль русла.
Главные проницаемости: $(62{,}4 + 64{,}2)/2 \pm \sqrt{0{,}9^2 + 20{,}0^2} = 63{,}3 \pm 20{,}0$ , то есть $k_1$ = 83,3 мД вдоль русла и $k_2$ = 43,3 мД поперёк.
Сетка без $k_{xy}$ вдоль русла: $62{,}4\cdot0{,}4773 + 64{,}2\cdot0{,}5227 = 63{,}3$ мД, поперёк: $62{,}4\cdot0{,}5227 + 64{,}2\cdot0{,}4773 = 63{,}3$ мД; здесь $\cos^2\alpha = 0{,}4773$ , $\sin^2\alpha = 0{,}5227$ .
Ошибка вдоль русла $63{,}3/83{,}3 - 1 = -24$ %, поперёк $63{,}3/43{,}3 - 1 = +46$ %; анизотропия $k_1/k_2$ = 1,92 превращается в 1,00.

Ответ: Без недиагонального члена сетка видит блок почти изотропным — около 63,3 мД во всех направлениях — вместо 83,3 мД вдоль русла и 43,3 мД поперёк.

Что это значит. Русло идёт почти точно по диагонали — худший случай для двухточечной схемы: $k_{xx}$ и $k_{yy}$ почти равны, и вся анизотропия сидит в $k_{xy}$ . Если такие тела пересекают модель наискось на сотни ячеек, двухточечная модель недооценит проводимость вдоль них на четверть и переоценит поперёк почти наполовину: вода в ней пойдёт шире и медленнее, чем в пласте. Данные примера условные.

РасчётНаправленная проницаемость блока примера: полный тензор (сплошная линия) и та же ячейка без недиагонального члена (штриховая). Полный тензор даёт 83,3 мД вдоль русла и 43,3 мД поперёк; без

k_{xy}

кривая почти плоская.

Что с этим делают:

Ориентируют сетку по структуре. Оси декартовой сетки ставят вдоль поясов русел или по падению косых серий, угловую сетку строят по слоям — в осях слоя тензор почти диагонален. Цена — скошенные ячейки угловой сетки, на которых двухточечная формула тоже теряет точность, поэтому сильных перекосов избегают.
Считают многоточечной схемой. Многоточечная аппроксимация потока (multipoint flux approximation, MPFA) находит переток через грань по давлениям нескольких ячеек — в плоской задаче уравнение ячейки связывает её с восемью соседями, в объёмной до двадцати шести — и передаёт полный тензор. Цена — больше коэффициентов в уравнениях и медленнее решение, а при очень сильной анизотропии или сильно скошенных ячейках возможны нефизичные колебания давления.
Проверяют, что потеря мала. По формуле выше ошибка вдоль главной оси при повороте на 10° и десятикратной анизотропии — около 5 %, при 45° и всего двукратной — 25 %. Простая проверка — повторить расчёт на сетке, повёрнутой на 45°, и сравнить (эффект ориентации сетки).

Направление потока и скважины

Эквивалентную проницаемость считают для линейного потока вдоль оси ячейки и при допущении о соседях. В пласте течение не таково: у скважин оно радиальное, между нагнетательной и добывающей скважинами — расходящееся и сходящееся, в площадном элементе — диагональное к сетке; при переводе скважин под закачку и бурении новых оно меняет направление. Ремасштабирование, выполненное для одной картины течения, для другой может ошибаться.

Методы различаются тем, откуда берут граничные условия. Местные (local) считают каждую ячейку отдельно — с непроницаемыми, периодическими или линейными условиями, с буферной зоной (граничные условия). Глобальные (global) берут условия из однофазного расчёта всей детальной модели со скважинами: крупная модель «знает» пути течения именно при этой схеме скважин (глобальные граничные условия). Локально-глобальные (local–global) чередуют одно с другим: расчёт крупной модели задаёт условия на границах местных расчётов, местные расчёты уточняют проводимости, и так до тех пор, пока результаты не перестанут меняться. Чем ближе условия к реальному течению, тем точнее результат — и тем сильнее он привязан к схеме скважин, для которой получен.

Особый случай — ячейка со скважиной. Поток сходится к стволу, сопротивление каждой зоны пропорционально логарифму отношения её радиусов, и порода у ствола весит несравнимо больше своей доли объёма. Оценку по скин-фактору зоны вокруг ствола разбирает урок о ремасштабировании проницаемости; она годится, пока изменённая зона округла и лежит внутри эквивалентного радиуса ячейки. Иначе индекс скважины находят ремасштабированием у скважины (near-well upscaling) — местным расчётом на мелкой сетке.

Ремасштабирование у скважины

1
Вырезать область
Ячейку со скважиной и кольцо соседних ячеек — на мелкой сетке.
2
Решить приток на мелкой сетке
Однофазное установившееся течение: скважина — в своей мелкой ячейке с индексом Писмена по проницаемости этой ячейки (Модель скважины в ячейке сетки); на внешней границе — постоянное давление или давление из глобального расчёта.
3
Решить ту же задачу на крупной сетке
С ремасштабированными проницаемостями и тем же условием на границе; индекс скважины пока неизвестен.
4
Подобрать индекс
Найти $\mathrm{WI}^{*}$ , при котором крупная модель даёт тот же дебит при тех же давлениях. При необходимости так же уточняют проводимости между ячейкой со скважиной и соседями.
5
Проверить
Повторить с большей областью: индекс должен почти не измениться.

Расчётный примерСкважина в русле: индекс по местному расчёту

Исходные данные (условные)

Ячейки: 100 × 100 м; вертикальная скважина в центре ячейки, $r_w$ = 0,1 м, скин ствола 0; расчёт на 1 м толщины
Порода: русло шириной 20 м и проницаемостью 300 мД проходит через скважину с запада на восток и продолжается в соседних ячейках; вокруг — 30 мД
Местная область: 3 × 3 крупные ячейки (300 × 300 м); мелкая сетка из ячеек 4 м — 5625 ячеек; внешняя граница при постоянном давлении

Решение

Проницаемость крупной ячейки со скважиной — для полосы она точная: вдоль русла $k^{*}_x = (20\cdot300 + 80\cdot30)/100 = 84{,}0$ мД, поперёк $k^{*}_y = 100/(20/300 + 80/30) = 36{,}6$ мД.
Индекс Писмена для анизотропной ячейки (формула): $r_0$ = 20,2 м, $\mathrm{WI} = 2\pi\sqrt{84{,}0\cdot36{,}6}/\ln(20{,}2/0{,}1) = 2\pi\cdot55{,}4/5{,}308 = 65{,}6$ мД·м.
Мелкая сетка при той же разности давлений между внешней границей и забоем даёт дебит в 2,40 раза больше крупной.
Индекс, при котором крупная модель даёт дебит мелкой: $\mathrm{WI}^{*}$ = 345 мД·м — в 5,3 раза больше индекса Писмена.
Контроль. Однородная порода 30 мД: местный расчёт даёт 35,3 мД·м против 35,6 мД·м по формуле Писмена. Область 5 × 5 ячеек с руслом: $\mathrm{WI}^{*}$ = 351 мД·м, а отношение дебитов 2,12 вместо 2,40.

Ответ: Индекс скважины в русле надо увеличить в 5,3 раза: 345 мД·м вместо 65,6 мД·м на метр толщины.

Что это значит. Скважина стоит в породе 300 мД, а крупная ячейка знает о ней лишь через средние 84,0 и 36,6 мД, рассчитанные для линейного потока. Поправку вносят в индекс, а не в дебит: индекс — свойство окрестности скважины и почти не зависит от размера области (345 и 351 мД·м), а отношение дебитов зависит, потому что в него входит сопротивление дальних ячеек, которое крупная модель передаёт верно. Оценка по скину круглой зоны здесь не годится: полоса не круглая и уходит далеко за эквивалентный радиус 20,2 м. Однородный контроль показывает, что сам способ ошибается примерно на 1 %. Данные примера условные.

СхемаМестная область примера: девять крупных ячеек по 100 м, русло 300 мД шириной 20 м через скважину в центре, вокруг — 30 мД. Крупной сетке русло видно только как анизотропия ячеек средней строки (84,0 и 36,6 мД); местный расчёт возвращает скважине индекс 345 мД·м вместо 65,6 мД·м.

Слоистая ячейка, скважина вскрывает все слои. Индекс крупного слоя пропорционален сумме $k_ih_i$ его мелких слоёв — тому же арифметическому среднему, что и для линейного потока вдоль слоёв, — и ремасштабирование проницаемости здесь верно (слои при радиальном притоке).
Вскрыта часть крупного слоя. Индекс считают по $k_ih_i$ вскрытых мелких слоёв, а не по доле толщины: перфорация в лучшем слое при среднем по крупному слою занижает индекс, в худшем — завышает; приток из невскрытых слоёв добавляет скин частичного вскрытия (Несовершенство вскрытия и наклон скважины).
Горизонтальный ствол. Его индекс зависит от проницаемостей в плоскости, поперечной стволу (индекс горизонтальной скважины), и от того, в каком мелком слое лежит ствол; в крупной ячейке это знание теряется.
Две фазы у скважины. Конусы воды и газа развиваются в метрах от ствола (Конусообразование воды и газа); на крупной сетке их передают местным измельчением или радиальной сеткой у скважины (местное измельчение), реже — псевдофункциями, рассчитанными для скважины по расчёту конуса на мелкой радиальной сетке.

Соотношение сил: от слойков до ячейки, от скважины до середины между скважинами

Псевдофункции зависят от того, где в ячейке находится вода, а это задаёт соотношение вязких, капиллярных и гравитационных сил (стационарные методы). Два отношения сил уже знакомы: капиллярных к вязким $N_{cv}$ (формула) и гравитационных к вязким $N_{gv}$ (формула). Оба обратно пропорциональны скорости фильтрации и растут с длиной ячейки; $N_{cv}$ к тому же обратно пропорционально квадрату толщины, на которой выравнивается насыщенность. Значит, режим меняется и с масштабом, и с расстоянием от скважины.

Скорость фильтрации у нагнетательной скважины

u(r) = \frac{q}{2\pi r h}

где:

$u$ скорость фильтрации (расход на единицу площади) на расстоянии $r$ от оси скважины, м/сут
$q$ приёмистость в пластовых условиях, м³/сут
$r$ расстояние от оси скважины, м
$h$ толщина пласта, принимающего воду, м

Единицы: м, сут, м³ (любые согласованные)

Справедливо, если

плоский радиальный поток в пачке постоянной толщины; распределение притока по слоям не учитывается;
вблизи других скважин картина течения сложнее; для оценки порядка формулу применяют до середины расстояния между скважинами.

Скорость у ствола в сотни раз больше, чем в середине между скважинами, и в той же пропорции меняются $N_{cv}$ и $N_{gv}$ : режим, верный для одной части пласта, неверен для другой.

Расчётный примерСоотношение сил по пути от нагнетательной скважины

Исходные данные (условные)

Скважина: 300 м³/сут в пластовых условиях, толщина 16 м, до добывающих — 500 м
Масштаб слойков: предыдущий пример: $N_{cv} = u^{*}/u = 71{,}9/u$ , $u$ в м/сут
Масштаб крупной ячейки: длина 100 м, толщина 16 м, $k_v$ = 25,8 мД — разрез урока Вытеснение в неоднородных пластах без глинистых прослоек; нефть 3,0 мПа·с, $k_{ro}'$ = 0,85, $\Delta\rho$ = 0,24 г/см³; перепад капиллярного давления 0,04 МПа

Решение

Скорость фильтрации $u = 300/(2\pi r\cdot16) = 2{,}984/r$ м/сут: 2,984 на расстоянии 1 м, 0,2984 — 10 м, 0,02984 — 100 м и 0,01194 — 250 м, в середине между скважинами.
Слойки: $N_{cv}$ = 24,1; 241; 2410; 6022.
Крупная ячейка: $N_{gv} = 0{,}0853\cdot25{,}8\cdot0{,}85\cdot0{,}00981\cdot0{,}24\cdot100/(3{,}0\cdot16\cdot u) = 0{,}009175/u$ : 0,0031; 0,031; 0,31; 0,77.
Для той же ячейки $N_{cv}/N_{gv} = 0{,}04/(0{,}00981\cdot0{,}24\cdot16) = 1{,}06$ : капиллярные силы того же порядка, что и сила тяжести.

Ответ: Слойки в капиллярном равновесии на всём пути (

N_{cv}

от 24,1 до 6022). Крупная ячейка у скважины в вязком режиме (

N_{gv}

≈ 0,031 в 10 м), а в середине между скважинами все три силы соизмеримы (

N_{gv}

≈ 0,77).

Что это значит. Псевдофункции крупных ячеек, рассчитанные при одном темпе, верны лишь в части пласта: у скважин вода уходит вперёд по проницаемым прослоям, как при вязком режиме, а между скважинами успевает опуститься к подошве и перераспределиться капиллярными силами. Поэтому таблицы псевдофункций разбивают по зонам — у скважин и между ними — или сохраняют разрешение по толщине, чтобы сила тяжести и капиллярные силы считались на сетке. Данные примера условные.

РасчётОтношения сил по пути от нагнетательной скважины примера (обе оси логарифмические): капиллярных к вязким на масштабе слойков и гравитационных к вязким на масштабе крупной ячейки; капиллярные силы ячейки почти совпадают с гравитационными и не показаны. Горизонталь — равенство сил.

Какие псевдофункции где: стационарные или динамические

Режим в ячейке: капиллярный
Признак: $N_{cv}$ ≫ 1
Метод: предел капиллярного равновесия

Режим в ячейке: гравитационный
Признак: $N_{gv}$ ≫ 1, слои сообщаются
Метод: вертикальное равновесие

Режим в ячейке: вязкий, ячейка однородна
Признак: $N_{cv}$ и $N_{gv}$ ≪ 1
Метод: кривые керна с поправкой на численную дисперсию

Режим в ячейке: вязкий, ячейка слоистая или мозаичная
Признак: то же
Метод: динамические псевдофункции или неравномерная сетка

Режим в ячейке: промежуточный
Признак: отношения порядка единицы
Метод: динамические с силой тяжести и капиллярным давлением или мельче сетка

Режим в ячейке	Признак	Метод
капиллярный	$N_{cv}$ ≫ 1	предел капиллярного равновесия
гравитационный	$N_{gv}$ ≫ 1, слои сообщаются	вертикальное равновесие
вязкий, ячейка однородна	$N_{cv}$ и $N_{gv}$ ≪ 1	кривые керна с поправкой на численную дисперсию
вязкий, ячейка слоистая или мозаичная	то же	динамические псевдофункции или неравномерная сетка
промежуточный	отношения порядка единицы	динамические с силой тяжести и капиллярным давлением или мельче сетка

Таблица — ориентир для выбора метода, а не результат расчёта. Стационарные методы дёшевы и устойчивы, но верны только в своём пределе; динамические охватывают любой режим — но лишь тот, при котором рассчитаны (где псевдофункции перестают работать).

Проверка: распределение потока, а не только его сумма

Проверки однофазного потока — расход через сектор, продуктивность скважин (как проверить укрупнённую модель) — необходимы, но смотрят на сумму. Вытеснение зависит от того, как поток распределён: какая его доля идёт быстрыми путями и какую долю порового объёма эти пути занимают. Эту картину даёт кривая «проводимость — ёмкость» (F–Φ): части пласта упорядочивают от самых быстрых к самым медленным и откладывают накопленную долю потока против накопленной доли порового объёма. Для слоистого разреза при однофазном потоке это кривая Лоренца по слоям (меры неоднородности); в общем случае её строят по времени пробега (раздел для углублённого изучения).

Первый приход индикатора в слоистом разрезе

W_{iD,1} = \frac{\Delta C_1}{\Delta F_1} = \frac{\phi_1h_1\big/\sum_j\phi_jh_j}{k_1h_1\big/\sum_j k_jh_j}

где:

$W_{iD,1}$ закачанный объём в поровых объёмах разреза к приходу индикатора по самому быстрому слою, —
$\Delta C_1,\ \Delta F_1$ доли ёмкости и проводимости этого слоя — первая точка кривой F–Φ, —
$\phi_j,\ k_j,\ h_j$ пористость, проницаемость и толщина слоя $j$ ; слой 1 — с наибольшим $k/\phi$ , д. ед., мД, м

Единицы: безразмерные; $k$ и $h$ — в любых одинаковых единицах

Справедливо, если

слои выдержаны между рядами скважин, поток в каждом линейный, перепад давления одинаков — при однофазном течении перетоков между слоями тогда нет;
индикатор движется с водой без отставания и размытия; расход каждого слоя пропорционален $k_jh_j$ , его поровый объём — $\phi_jh_j$ .

Чем круче начало кривой F–Φ, тем раньше приходит вода. Однородный разрез даёт $W_{iD,1}$ = 1: индикатор приходит после закачки одного порового объёма.

Расчётный примерКакие прослои объединять: проверка по кривой F–Φ

Исходные данные (условные)

Разрез: восемь прослоев урока Неоднородность пласта и осреднение проницаемости: 16 м, от 8 до 900 мД; сумма $\phi h$ — 2,95 м, сумма $kh$ — 2234 мД·м
Укрупнение А: четыре слоя по парам прослоев: 1–2, 3–4, 5–6, 7–8
Укрупнение Б: три слоя: 1–3, прослой 900 мД отдельно, 5–8 — неравномерная сетка урока Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции
Свойства крупных слоёв: $k$ и $\phi$ — средние с весом толщины

Решение

Укрупнение А, слои (толщина, $k$ , $\phi$ ): 3,5 м, 158,6 мД, 0,2014; 4,0 м, 315 мД, 0,22; 4,5 м, 43,3 мД, 0,1678; 4,0 м, 56 мД, 0,1525.
По убыванию $k/\phi$ — слои 2, 1, 4, 3. Накопленные доли ёмкости $C$ = 0,298; 0,537; 0,744; 1 и проводимости $F$ = 0,564; 0,812; 0,913; 1.
Коэффициент Лоренца — удвоенная площадь между ломаной и диагональю: 0,34. Первый приход: $0{,}298/0{,}564 = 0{,}53$ порового объёма.
Укрупнение Б: $C$ = 0,085; 0,537; 1 и $F$ = 0,403; 0,812; 1. Коэффициент Лоренца 0,42, первый приход $0{,}085/0{,}403 = 0{,}21$ .
Мелкая модель — восемь прослоев: коэффициент Лоренца 0,56 и тот же первый приход, что у Б; один слой: 0 и 1.

Ответ: Три слоя Б сохранили 75 % неоднородности по Лоренцу и первый приход мелкой модели; четыре слоя А — 61 %, а индикатор у них приходит в 2,5 раза позже.

Что это значит. Больше слоёв — не значит точнее: важно, какие прослои объединены. В укрупнении А прослой 900 мД слился с соседним 120 мД, и быстрый путь исчез. Проверка стоит секунды и делается до расчётов вытеснения; её вывод подтверждает расчёт заводнения урока Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции, где сетка Б уменьшила завышение добычи после закачки одного порового объёма с 16 до 6 %. Однофазная кривая F–Φ не видит силы тяжести и капиллярных сил — их проверяют расчётом вытеснения. Данные примера условные.

РасчётКривые «проводимость — ёмкость» разреза примера: восемь прослоев, укрупнения Б (три слоя) и А (четыре слоя) и один слой — диагональ. Кривая Б повторяет начало мелкой модели, кривая А срезает его.

Что ещё проверять, кроме объёмов и однофазного расхода:

чувствительность $k^{*}$ к граничным условиям — признак ячеек размером с длину корреляции (первый раздел);
вертикальную сообщаемость — расчётом вертикального потока на мелкой и крупной сетке для представительных разрезов (раздел о линзах);
потерю недиагональных членов — расчётом на сетке, повёрнутой на 45°;
индексы скважин — местным расчётом у типичных скважин;
вытеснение — расчётом сектора на мелкой и крупной сетке при пластовом темпе, а затем при другом темпе и другой схеме скважин (проверка псевдофункций);
сходимость по сетке — сравнением с моделью, измельчённой вдвое (сколько ячеек нужно).

Когда моделей много — при оценке неопределённости, — ошибку ремасштабирования учитывают как ещё один её источник: часть вариантов считают на мелкой и крупной сетке и найденное расхождение переносят на остальные (Геологическая и техническая неопределённость проекта).

Когда ремасштабирование не работает

Иногда никакой выбор метода и граничных условий не спасает: крупная ячейка не может передать то, что определяет течение. Признаки таких случаев и что делают вместо ремасштабирования — в таблице.

Случаи, когда крупная ячейка не передаёт течение

Случай: Нет разделения масштабов
Признак: ячейка порядка длины корреляции; граничные условия дают разные $k^{*}$
Что делают: мельче ячейки, буферная зона, ремасштабирование проводимости, глобальные условия

Случай: Тонкие протяжённые барьеры и проводящие прослои
Признак: тела длиннее ячейки; $k_v$ мелкой и крупной сеток расходятся
Что делают: явные барьеры, множители проводимости, отдельные слои

Случай: Неустойчивое вытеснение
Признак: вытесняющий агент подвижнее нефти, языки
Что делают: мелкая сетка, проверка на повёрнутой сетке

Случай: Трещиноватый пласт
Признак: трещины проводят, матрица хранит
Что делают: модель двойной пористости

Случай: Смешивающееся или композиционное вытеснение
Признак: ширина зоны смешения зависит от сетки
Что делают: мелкая сетка или поправки, проверенные на ней

Случай: Меняется схема скважин
Признак: перевод под закачку, уплотнение сетки
Что делают: пересчёт для новой схемы, глобальные методы

Случай: Конусы у скважин
Признак: вода или газ подтягиваются к стволу
Что делают: местное измельчение, радиальная сетка у скважины

Случай	Признак	Что делают
Нет разделения масштабов	ячейка порядка длины корреляции; граничные условия дают разные $k^{*}$	мельче ячейки, буферная зона, ремасштабирование проводимости, глобальные условия
Тонкие протяжённые барьеры и проводящие прослои	тела длиннее ячейки; $k_v$ мелкой и крупной сеток расходятся	явные барьеры, множители проводимости, отдельные слои
Неустойчивое вытеснение	вытесняющий агент подвижнее нефти, языки	мелкая сетка, проверка на повёрнутой сетке
Трещиноватый пласт	трещины проводят, матрица хранит	модель двойной пористости
Смешивающееся или композиционное вытеснение	ширина зоны смешения зависит от сетки	мелкая сетка или поправки, проверенные на ней
Меняется схема скважин	перевод под закачку, уплотнение сетки	пересчёт для новой схемы, глобальные методы
Конусы у скважин	вода или газ подтягиваются к стволу	местное измельчение, радиальная сетка у скважины

Неустойчивое вытеснение и эффект ориентации сетки — уроки Численная дисперсия и Вытеснение нефти газом; трещиноватые пласты — Трещины и трещиноватые коллекторы.

Общий выход — тратить ячейки там, где они нужны: местное измельчение у скважин и на фронтах, неравномерные сетки по путям течения, секторные модели с мелкой сеткой для отдельных вопросов, расчёт на линиях тока для быстрого перебора геологических вариантов. Развиваются и многомасштабные методы (multiscale methods): давление решают на крупной сетке, но с функциями, построенными по мелкой, а потоки восстанавливают на мелкой сетке. Это уже не ремасштабирование свойств, а способ быстрее решать мелкую задачу.

Термины и обозначения

Разделение масштабов: условие $\lambda \ll \Delta \ll L$ : неоднородность много мельче ячейки, течение меняется на расстояниях много больше её.
Представительный элементарный объём (REV): наименьший объём, в котором осреднённое свойство перестаёт зависеть от размера объёма.
Расхождение граничных условий: различие $k^{*}$ одной ячейки при разных граничных условиях расчёта; признак ячеек размером с длину корреляции.
Ступенчатое ремасштабирование (геопсевдофункции): перенос свойств от слойков к ячейке геологической модели и дальше по геологически значимым масштабам.
Двухточечная и многоточечная аппроксимация потока (TPFA, MPFA): переток через грань по давлениям двух ячеек или нескольких; вторая передаёт полный тензор.
K-ортогональная сетка: сетка, где вектор $\mathbf{K}\mathbf{n}$ каждой грани направлен вдоль линии между центрами соседних ячеек; только на ней двухточечная схема точна.
Направленная проницаемость $k(\varphi)$: составляющая скорости вдоль направления при единичном градиенте вдоль него; $\mathbf{n}^{\mathsf{T}}\mathbf{K}\mathbf{n}$ .
Индекс скважины по местному расчёту $\mathrm{WI}^{*}$: индекс, при котором крупная модель даёт дебит мелкой при тех же давлениях.
Местное, глобальное, локально-глобальное ремасштабирование: граничные условия расчёта ячейки — допущение, расчёт всей модели со скважинами или их чередование.
Кривая F–Φ, первый приход индикатора: накопленная доля потока против доли порового объёма от быстрых путей к медленным; её первая точка даёт приход индикатора.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Ячейки размером с длину корреляции — разумный компромисс: они крупнее мелких и мельче больших».

На самом деле

Именно у них эквивалентная проницаемость сильнее всего зависит от граничных условий: в расчёте урока при $\sigma_{\ln k}$ = 1,5 у блоков в 1,3 длины корреляции медиана расхождения 23 %. Такие ячейки проверяют двумя видами условий и расчётом на мелкой сетке.

Неверно

«Чем тоньше слои крупной сетки, тем точнее вертикальная проницаемость».

На самом деле

Каждая внутренняя грань при расчёте $k_v$ ячейки работает как проводящая плёнка. В примере с линзами длиной 100 м сетка из двадцати слоёв по 0,5 м завысила $k_v$ в 5,0 раза, а сетка в один слой ошиблась в медиане на 2 %.

Неверно

«Недиагональные члены тензора малы — их можно отбросить».

На самом деле

Малы они, только если главные оси близки к осям сетки. В блоке урока $k_{xy}$ = 20,0 мД при диагонали около 63 мД, но без него сетка теряет всю анизотропию: около 63 мД во всех направлениях вместо 83,3 и 43,3.

Неверно

«Скважина в модели даёт меньше, чем на промысле, — подберём множитель дебита при адаптации».

На самом деле

Поправку вносят в индекс скважины по местному расчёту на мелкой сетке: в примере урока индекс скважины в русле — в 5,3 раза больше индекса Писмена с проницаемостью ячейки. Множитель, подобранный при адаптации, прячет причину и переносится в прогноз вместе с ошибкой.

Неверно

«Однофазный расход крупной модели совпал с мелкой — значит, ремасштабирование верно».

На самом деле

Расход — сумма; вытеснение зависит от распределения потока по быстрым и медленным путям. Однослойная модель восьми прослоев урока пропускает тот же расход, но индикатор в ней приходит после одного порового объёма, а в мелкой — после 0,21.

Подробно: для продвинутых

Почему граничные условия важнее всего у ячеек размером с длину корреляции

Граничные условия влияют на поток в полосе у граней блока шириной порядка длины корреляции: дальше от грани течение определяется уже самой породой. Если блок много меньше длины корреляции, порода в нём почти однородна, и условия почти неважны. Если блок много больше, полоса занимает малую долю его площади — около $\lambda/\Delta$ , — и расхождение убывает примерно обратно пропорционально размеру блока. Между этими пределами расхождение проходит через максимум — у блоков порядка длины корреляции (в расчёте урока наибольшее из рассчитанных значений — у блоков в 1,3 длины корреляции).

Разброс $k^{*}$ между блоками тоже убывает с размером блока. В плоском поле дисперсия среднего по блоку убывает примерно обратно пропорционально числу независимых участков в нём, то есть как $(\lambda/\Delta)^2$ , а стандартное отклонение — как $\lambda/\Delta$ . На рисунке у блоков крупнее длины корреляции доля сохранившегося разброса быстро падает: 0,40; 0,23; 0,09.

Как устроен расчёт. Поле 64 × 64 ячейки по 25 м строится генератором урока Неоднородность пласта и осреднение проницаемости: стандартное нормальное поле с экспоненциальной корреляцией и масштабом затухания 2 ячейки (длина корреляции — три масштаба, 150 м), $\ln k = \ln 50 + \sigma z$ ; для трёх значений $\sigma$ используются одни и те же поля. Поле режется на квадратные блоки по 1, 2, 4, 8, 16 и 32 ячейки; в каждом блоке $k^{*}_x$ рассчитана по двухточечным уравнениям ячеек (расчёт течения в блоке) с непроницаемыми боковыми гранями и с линейным давлением на всех гранях. Статистика — по всем блокам десяти реализаций. Для вытянутых тел и объёмного потока числа будут другими; их получают таким же расчётом на полях своего пласта.

Двухточечный и многоточечный поток через грань

Поток через восточную грань ячейки с нормалью вдоль $x$ по закону Дарси с тензором — $u_x = -(k_{xx}\,\partial p/\partial x + k_{xy}\,\partial p/\partial y)/\mu$ . Двухточечная схема заменяет первую производную разностью давлений соседних ячеек, делённой на расстояние между их центрами, а второй производной у неё нет: давления двух ячеек по разные стороны грани ничего не говорят о градиенте вдоль грани. Если $k_{xy} \neq 0$ , теряется слагаемое, которое не уменьшается с измельчением сетки: градиент вдоль грани от этого не исчезает. То же получается при диагональном тензоре на скошенной ячейке: линия между центрами не перпендикулярна грани, и разность давлений по ней содержит составляющую вдоль грани.

Многоточечные схемы восстанавливают и градиент вдоль грани — по давлениям ячеек выше и ниже по обе стороны грани. В плоской задаче поток через грань зависит тогда от шести ячеек, а уравнение ячейки — от неё самой и восьми соседей; в объёмной — до двадцати шести соседей. Коэффициенты выбирают так, чтобы схема была точна для любого линейного поля давления при любом постоянном тензоре; на K-ортогональной сетке она сводится к двухточечной.

Время пробега и кривая F–Φ модели

В общем случае — с площадной неоднородностью и скважинами — кривую F–Φ строят по времени пробега (time of flight): времени, за которое частица флюида доходит от нагнетательной скважины до данной точки по линии тока. По однофазному полю скоростей время пробега находят для каждой ячейки; ячейки сортируют по возрастанию суммарного времени пробега от нагнетательной до добывающей скважины, и накопленная доля их порового объёма $\Phi$ откладывается против накопленной доли расхода $F$ , который через них проходит. Для выдержанных слоёв без перетоков время пробега слоя пропорционально $\phi/k$ , и кривая совпадает с кривой Лоренца по слоям.

Такая диагностика течения требует лишь одного расчёта давления и линий тока, поэтому её выполняют на мелкой и на крупной модели и сравнивают: кривые, коэффициент Лоренца и время первого прихода к каждой добывающей скважине. Расхождение показывает, какие быстрые пути крупная сетка потеряла, ещё до расчётов вытеснения.

Связь с другими темами

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке — эквивалентная проницаемость, граничные условия, ремасштабирование проводимости и первая оценка индекса скважины.
Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции — псевдофункции, их методы и ограничения.
Неоднородность пласта и осреднение проницаемости — длина корреляции, анизотропия, кривая Лоренца.
Строение коллектора и поведение пласта при разработке — связность тел, барьеры и перегородки, типы строения.
Модель скважины в ячейке сетки — индекс скважины и эквивалентный радиус ячейки.
Сетки в гидродинамических моделях — угловые сетки, местное измельчение, эффект ориентации сетки, сходимость.
Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление — кривые ОФП и капиллярного давления слойков для первой ступени.
Континентальные обстановки: эоловые и речные — наклонные слойки и тензор проницаемости косой серии.
Моделирование течения на уровне пор — представительный объём и свойства на масштабе пор.
Адаптация модели к истории разработки — почему ошибки ремасштабирования нельзя прятать в множители.

Проверьте себя

1
Ячейка 200 м, длина корреляции 150 м, $\sigma_{\ln k}$ ≈ 2. Расчёт течения в ячейке с непроницаемыми боковыми гранями дал 40 мД, с линейными условиями — 70 мД. Что это значит?
1. А.Надо взять среднее, 55 мД: оно точнее обоих
2. Б.Надо взять 70 мД: линейные условия всегда точнее
3. В.Ошибка расчёта: правильные условия дают одно значение
4. Г.Ячейка размером с длину корреляции, её эквивалентная проницаемость не определена однозначно; нужны буферная зона, другой размер ячеек или проверка на мелкой сетке
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Ячейка размером с длину корреляции, её эквивалентная проницаемость не определена однозначно; нужны буферная зона, другой размер ячеек или проверка на мелкой сетке
Отношение размера ячейки к длине корреляции около 1,3 — как раз там, где расхождение граничных условий наибольшее, а при $\sigma_{\ln k}$ ≈ 2 медиана расхождения в расчёте урока около половины. Значение зависит от того, продолжаются ли тела в соседних ячейках, а этого ячейка не знает. Среднее не точнее: истинное значение может лежать ближе к любому краю. Линейные условия дают наибольшее значение, но не обязательно верное.
2
Пачку с прерывистыми глинистыми линзами укрупнили по площади, сохранив слои по 0,5 м. Вертикальная проницаемость крупной модели оказалась впятеро больше, чем у мелкой. Почему?
1. А.Непроницаемые боковые грани ячеек занижают $k_v$
2. Б.При расчёте $k_v$ каждой ячейки давление на её верхней и нижней гранях равномерно — как проводящая плёнка, по которой поток свободно обходит линзы
3. В.Виновата численная дисперсия
4. Г.Тонкие слои лучше передают линзы, значит, мелкая модель ошибается
Показать ответ
Правильный ответ: Б. При расчёте $k_v$ каждой ячейки давление на её верхней и нижней гранях равномерно — как проводящая плёнка, по которой поток свободно обходит линзы
В мелкой модели поток, прошедший разрыв в одной линзе, должен ещё дойти до разрыва в следующей, и путь удлиняется. В крупной модели вертикальная проницаемость каждой ячейки рассчитана при одинаковом давлении по всей ширине её граней, и ячейки складываются последовательно: длинных обходов нет, и результат приближается к правилу «доля песчаника × проницаемость». Непроницаемые боковые грани действуют в обратную сторону — занижают $k_v$ , — но в тонких ячейках их роль мала. Численная дисперсия относится к переносу насыщенности, а не к однофазной проницаемости.
3
Главные проницаемости косой серии 400 и 40 мД, главные оси повёрнуты на 45° к осям сетки. Найдите $k_{xx}$ , $k_{yy}$ , $k_{xy}$ и направленную проницаемость вдоль слойков, которую увидит двухточечная схема.
Показать ответ
При 45° $\cos^2 = \sin^2 = 0{,}5$ , $\sin\cos = 0{,}5$ : $k_{xx} = k_{yy} = 0{,}5\cdot400 + 0{,}5\cdot40 = 220$ мД, $k_{xy} = (400 - 40)\cdot0{,}5 = 180$ мД. Схема без $k_{xy}$ видит $220\cdot0{,}5 + 220\cdot0{,}5 = 220$ мД в любом направлении: вдоль слойков на 45 % меньше 400 мД, поперёк — в 5,5 раза больше 40 мД. Десятикратная анизотропия исчезает целиком.
4
Местный расчёт у скважины на области 3 × 3 ячейки дал индекс 410 мД·м и отношение дебитов мелкой и крупной моделей 2,6; на области 5 × 5 — 418 мД·м и 2,2. Что переносить в полную модель?
1. А.Индекс около 415 мД·м: он почти не зависит от области, а отношение дебитов включает сопротивление дальних ячеек
2. Б.Ничего: результаты разных областей противоречат друг другу
3. В.Множитель дебита 2,2, потому что область больше
4. Г.Множитель дебита 2,6 — он получен на меньшей, более точной области
Показать ответ
Правильный ответ: А. Индекс около 415 мД·м: он почти не зависит от области, а отношение дебитов включает сопротивление дальних ячеек
Индекс описывает окрестность скважины и меняется с областью на 2 %. Отношение дебитов зависит от того, какую часть общего сопротивления дают дальние ячейки, которые крупная модель передаёт верно, — поэтому оно меняется с размером области и в полную модель не переносится.
5
Пачка из двух выдержанных слоёв: 2 м, 500 мД, $\phi$ = 0,25 и 6 м, 50 мД, $\phi$ = 0,20. Когда при однофазной закачке придёт индикатор по быстрому слою, если слои не объединять, и если объединить их в один слой крупной сетки?
Показать ответ
Сумма $\phi h = 0{,}5 + 1{,}2 = 1{,}7$ м, сумма $kh = 1000 + 300 = 1300$ мД·м. Быстрый слой — первый ( $k/\phi$ = 2000 против 250 мД): $\Delta C = 0{,}5/1{,}7 = 0{,}294$ , $\Delta F = 1000/1300 = 0{,}769$ , приход через $0{,}294/0{,}769 \approx 0{,}38$ порового объёма. В объединённом слое индикатор придёт через 1 поровый объём — в 2,6 раза позже. Однофазный расход при этом одинаков: $k$ объединённого слоя — арифметическое среднее, 162,5 мД.
6
У нагнетательной скважины, принимающей 200 м³/сут в пласт толщиной 10 м, отношение гравитационных и вязких сил крупной ячейки при скорости фильтрации 0,02 м/сут равно 0,4. На каком расстоянии от скважины оно достигнет единицы?
Показать ответ
$N_{gv}$ обратно пропорционально скорости: единица — при $u = 0{,}02\cdot0{,}4 = 0{,}008$ м/сут. По формуле $u = q/(2\pi rh)$ : $r = 200/(2\pi\cdot10\cdot0{,}008) \approx 398$ м. Ближе к скважине ячейка в вязком режиме, дальше сила тяжести успевает разделять фазы, и псевдофункции этих зон должны различаться.

Обновлено: 19 октября 2026 г.