Диагностика по производной давления

Кратко о главном

Производная $\Delta p' = \dd\Delta p/\dd\ln t$ — наклон полулогарифмического графика в каждой точке. Она измеряется в единицах давления и берётся по натуральному логарифму, даже если оси размечены десятичными циклами.
Если $\Delta p$ растёт как $t^n$ , производная равна $n\,\Delta p$ : на двойном логарифмическом графике обе кривые — параллельные прямые с наклоном $n$ . Отсюда единичный наклон ствола ( $n = 1$ , кривые совпадают), наклон ½ линейного притока и −½ сферического; радиальному притоку ( $\Delta p$ растёт как $\ln t$ ) соответствует горизонтальная «полка».
Уровень полки $m_e = qB\mu/(4\pi kh)$ даёт проводимость без проведения прямой, а отношение $\Delta p/m_e$ в любой точке полки — скин. Безразмерная производная на полке равна 0,5 для любой скважины.
Горб между участком ствола и полкой тем выше, чем больше $C_De^{2S}$ : вершина поднимается примерно на 0,44 единицы $p_D'$ с каждой декадой параметра. Горб дают и скин, и большой коэффициент влияния ствола.
Поздние формы: непроницаемый разлом — вторая полка вдвое выше первой, замкнутая область — подъём с единичным наклоном, граница постоянного давления — спад.
По замерам производную считают через точки, отстоящие на интервал $L$ (обычно 0,1–0,3 логарифмического цикла): узкий интервал усиливает шум, широкий срезает горб и смещает переходы.

Ключевые соотношения

\Delta p' = \dfrac{\dd\,\Delta p}{\dd\ln t} = t\,\dfrac{\dd\,\Delta p}{\dd t}

логарифмическая производная; логарифм натуральный

kh = 0{,}933\,\dfrac{qB\mu}{m_e}

проводимость по уровню полки $m_e$ : м³/сут, мПа·с, МПа, мД·м (в промысловых единицах oilfield — 70,6)

p_D' = \dfrac{kh\,\Delta p'}{1{,}866\,qB\mu}

безразмерная производная, на полке 0,5 (oilfield — 141,2)

S = \dfrac12\left[\dfrac{\Delta p}{m_e} - \ln\dfrac{kt}{\phi\mu c_tr_w^2} + 4{,}831\right]

скин по отношению давления к полке: МПа, мД, ч, мПа·с, 1/МПа, м

\Delta p' = \Delta p = \dfrac{qB}{24\,C}\,t

участок влияния ствола: м³/сут, м³/МПа, ч, МПа

Где чаще всего ошибаются

Сравнивать производную, взятую по десятичному логарифму, с формулами для натурального: ошибка в 2,303 раза.
Дифференцировать по соседним замерам: шум усиливается, и полку не видно.
Сглаживать слишком сильно: горб срезается, переходы смещаются, а скин по форме горба занижается.
Читать уровень полки по последним точкам записи, где интервал дифференцирования укорочен или где сказывается время работы скважины перед остановкой.
Принимать спад производной в конце кривой восстановления давления (КВД) за подпитку, не проверив время работы скважины перед остановкой и изменения дебита соседних скважин.

После урока вы сможете

объяснить, что такое логарифмическая производная давления, чем она отличается от обычной производной по времени и почему её берут по натуральному логарифму;
вывести и узнать на диагностическом графике характерные формы: влияние ствола, переходный «горб», радиальный приток, линейный и сферический приток, замкнутую область, границу постоянного давления и непроницаемый разлом — в размерной и безразмерной записи;
рассчитать проводимость и проницаемость по уровню «полки» производной, а скин — по отношению давления к полке, в метрических и промысловых единицах;
объяснить, от чего зависят высота и положение горба на переходном участке;
вычислить производную по замерам с интервалом дифференцирования, оценить погрешность от шума и искажение от сглаживания и выбрать интервал;
назвать ложные признаки на графике производной и способы их проверить.

Производная — наклон полулогарифмического графика

Анализ кривых падения и восстановления давления (КПД и КВД) опирается на полулогарифмическую прямую: при радиальном притоке давление меняется на одну и ту же величину за каждый логарифмический цикл времени (Анализ кривой падения давления, Анализ кривой восстановления давления). Всё, что отличает реальную запись от этой прямой, — влияние ствола, трещина, границы, неоднородность — проявляется прежде всего в изменении наклона. Но на графике $\Delta p$ — $\lg t$ изменение наклона на 10–20 % почти не видно: кривая остаётся плавной, и через её точки легко провести «прямую» не там, где нужно.

Поэтому строят сам наклон. Логарифмическая производная (logarithmic derivative) — производная изменения давления по натуральному логарифму времени. Её можно получить и из обычной производной по времени — наклона графика в обычных координатах, — умножив его на время:

Логарифмическая производная давления

\Delta p' = \frac{\dd\,\Delta p}{\dd\ln t} = t\,\frac{\dd\,\Delta p}{\dd t}

где:

$\Delta p'$ логарифмическая производная — наклон графика $\Delta p$ — $\ln t$ в данной точке, Па (те же единицы, что у $\Delta p$ )
$\Delta p$ изменение забойного давления с момента смены режима: $p_i - p_{wf}$ после пуска, $p_{ws} - p_{wf}(\Delta t = 0)$ после остановки; всегда положительно, Па
$t$ время с момента смены режима (после остановки — $\Delta t$ ), с
$\ln t$ натуральный логарифм времени; от единиц времени производная не зависит: их смена лишь сдвигает $\ln t$ на постоянную, —

Единицы: любая система единиц: $\Delta p'$ выражается в тех же единицах, что и давление

Справедливо, если

$\Delta p$ отсчитывают от давления в момент смены режима, $t$ — от этого момента;
логарифм натуральный; если ось построена в десятичных логарифмах, наклон на цикл в $\ln 10 = 2{,}303$ раза больше $\Delta p'$ ;
для КВД после короткой работы скважины производную берут по эквивалентному времени (Влияние времени работы на анализ КВД).

$\Delta p'$ — на сколько вырастает изменение давления, когда время увеличивается в $\e = 2{,}718$ раза; за десятичный цикл оно вырастает на $2{,}303\,\Delta p'$ . Обычная производная $\dd\Delta p/\dd t$ при радиальном притоке убывает как $1/t$ и мало что говорит глазу. Умножение на $t$ превращает её в постоянную, а каждое отличие от радиального притока — в отклонение от этой постоянной.

В других системах единиц (1)

Через десятичный логарифм

\Delta p' = \frac{1}{\ln 10}\,\frac{\dd\,\Delta p}{\dd\lg t} = 0{,}4343\,\frac{\dd\,\Delta p}{\dd\lg t}

те же единицы давления; $\lg t$ — десятичный логарифм времени в любых единицах.

$0{,}4343 = 1/\ln 10$ : наклон на десятичный цикл в 2,303 раза больше производной.

РасчётЗапись восстановления давления из примеров урока на полулогарифмическом графике (точки) и касательные к ней в трёх моментах. Наклон касательной на единицу натурального логарифма времени и есть производная: 0,16 МПа через 36 с, 0,075 МПа через 6 мин и 0,030 МПа через 10 ч.

Аналогия: профиль дороги и уклономер

Водитель на длинном подъёме плохо замечает по высотомеру, что дорога стала чуть круче: высота растёт и так. Уклономер показывает сам наклон, и любое его изменение видно сразу. Полулогарифмический график — «профиль» записи давления, производная — её «уклономер». Аналогия неполна: дорогу измеряют в километрах, а «пройденный путь» записи — в логарифме времени, поэтому каждый следующий цикл длится вдесятеро дольше предыдущего.

Почему производную строят в двойном логарифмическом масштабе. Многие режимы течения дают степенную зависимость давления от времени, и для неё производная пропорциональна самому давлению:

Производная степенного режима

\Delta p = A\,t^{\,n}\quad\Rightarrow\quad \Delta p' = n\,A\,t^{\,n} = n\,\Delta p,\qquad \lg\Delta p' = \lg\Delta p + \lg n

где:

$A$ постоянная режима, зависящая от свойств пласта и скважины, Па/сⁿ
$n$ показатель степени: 1 — влияние ствола или замкнутая область, ½ — линейный приток, —
$\Delta p,\ \Delta p'$ изменение давления и его логарифмическая производная, Па
$t$ время с момента смены режима, с

Единицы: любая согласованная система единиц

Справедливо, если

режим длится достаточно долго, чтобы на графике сложился прямолинейный участок;
если к степенному слагаемому прибавлена постоянная (например, перепад на скине), график $\Delta p$ искривлён, а производная — нет: производная постоянной равна нулю.

На двойном логарифмическом графике обе кривые — прямые с наклоном $n$ , а производная лежит ниже давления на $\lg(1/n)$ цикла: при $n = 1$ кривые совпадают, при $n = 1/2$ производная вдвое ниже. Производная «не видит» постоянных слагаемых: перепад на скине сдвигает $\Delta p$ , но не $\Delta p'$ , поэтому форма режима на производной видна раньше и чище, чем на самом давлении.

Режимы течения на диагностическом графике

Режим: Влияние ствола
Как растёт $\Delta p$: $qBt/(24C)$
Производная: наклон 1, $\Delta p' = \Delta p$
Что определяют: $C$ (Влияние ствола скважины)

Режим: Радиальный приток
Как растёт $\Delta p$: как $\ln t$
Производная: полка $m_e$
Что определяют: $kh$ , скин

Режим: Линейный приток
Как растёт $\Delta p$: как $\sqrt t$
Производная: наклон ½, $\Delta p' = \Delta p/2$
Что определяют: длину трещины или ширину канала

Режим: Сферический приток
Как растёт $\Delta p$: к постоянной, остаток как $1/\sqrt t$
Производная: наклон −½
Что определяют: сферическую проницаемость

Режим: Замкнутая область
Как растёт $\Delta p$: в конце — как $t$
Производная: наклон 1
Что определяют: поровый объём

Режим: Граница постоянного давления
Как растёт $\Delta p$: к постоянной
Производная: спадает к нулю
Что определяют: расстояние до границы

Режим: Непроницаемый разлом
Как растёт $\Delta p$: вторая прямая с наклоном $2m$
Производная: вторая полка $2m_e$
Что определяют: расстояние до разлома

Режим	Как растёт $\Delta p$	Производная	Что определяют
Влияние ствола	$qBt/(24C)$	наклон 1, $\Delta p' = \Delta p$	$C$ (Влияние ствола скважины)
Радиальный приток	как $\ln t$	полка $m_e$	$kh$ , скин
Линейный приток	как $\sqrt t$	наклон ½, $\Delta p' = \Delta p/2$	длину трещины или ширину канала
Сферический приток	к постоянной, остаток как $1/\sqrt t$	наклон −½	сферическую проницаемость
Замкнутая область	в конце — как $t$	наклон 1	поровый объём
Граница постоянного давления	к постоянной	спадает к нулю	расстояние до границы
Непроницаемый разлом	вторая прямая с наклоном $2m$	вторая полка $2m_e$	расстояние до разлома

$m_e = qB\mu/(4\pi kh)$ — уровень полки, он же наклон полулогарифмической прямой на единицу натурального логарифма; $m = 2{,}303\,m_e$ — наклон на десятичный цикл. Линейный приток дают трещина гидроразрыва (Приток к скважине после гидроразрыва) и узкий пласт между двумя параллельными разломами (Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки); сферический — частичное вскрытие пласта (Несовершенство вскрытия и наклон скважины) и зонд опробователя на кабеле (Перезаряд пласта и оценка проницаемости по опробователю). Границы — в разделе ниже.

Диагностический график

На диагностическом графике в двойном логарифмическом масштабе строят две кривые от одного времени: изменение давления $\Delta p$ и его производную $\Delta p'$ . Обе выражены в одних единицах давления, поэтому их взаимное положение тоже несёт сведения: на участке влияния ствола кривые сливаются, а при радиальном притоке давление лежит над производной тем выше, чем больше скин.

Масштаб тот же, что у эталонных кривых (Эталонные кривые), и по той же причине: в логарифмах переход к безразмерным величинам — сдвиг. Безразмерная производная связана с размерной тем же множителем, что и сами давления:

Безразмерная производная и её значение при радиальном притоке

p_D' = \frac{\dd p_D}{\dd\ln t_D} = \frac{2\pi kh}{qB\mu}\,\Delta p',\qquad p_D' = 0{,}5\ \ \text{(радиальный приток)}

где:

$p_D'$ безразмерная производная, —
$p_D$ безразмерное изменение давления в самой скважине, $2\pi kh\,\Delta p/(qB\mu)$ , со скином и влиянием ствола — как в уроках Решение для линейного источника и функция давления и Эталонные кривые, —
$t_D$ безразмерное время $kt/(\phi\mu c_tr_w^2)$ ; производная по $\ln t_D$ равна производной по $\ln t$ , потому что $t_D$ и $t$ различаются постоянным множителем, —
$q,\ B,\ \mu$ изменение дебита в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, м³/с, м³/м³, Па·с
$k,\ h$ проницаемость и толщина пласта, м², м

Единицы: СИ; в формах ниже — промысловые единицы

Справедливо, если

постоянный дебит после пуска (для КВД — постоянный дебит перед остановкой и время остановки много меньше времени работы);
равенство $p_D' = 0{,}5$ — для радиального притока в однородном пласте, где $p_D = \tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) + S$ .

Безразмерная и размерная производные отличаются тем же множителем, что и давления, поэтому на эталонном графике $p_D'$ сдвигается вместе с $p_D$ , а на графике записи $\Delta p'$ — вместе с $\Delta p$ . При радиальном притоке $p_D$ растёт на ½ за единицу $\ln t_D$ ; отсюда уровень 0,5, общий для всех скважин и пластов. Совместить полку записи с уровнем 0,5 — значит найти $kh$ , не проводя ни одной прямой.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

p_D' = \frac{kh\,\Delta p'}{1{,}866\,qB\mu},\qquad m_e = 0{,}933\,\frac{qB\mu}{kh}

$q$ — м³/сут в стандартных условиях, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ — м, $\Delta p'$ и $m_e$ — МПа.

$1{,}866 = 1/(2\pi\cdot0{,}0853)$ и $0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853)$ , где 0,0853 — постоянная закона Дарси в этих единицах (Проницаемость горных пород).

Промысловые единицы (oilfield)

p_D' = \frac{kh\,\Delta p'}{141{,}2\,qB\mu},\qquad m_e = 70{,}6\,\frac{qB\mu}{kh}

$q$ — STB/d (баррели нефти в стандартных условиях в сутки), $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ — ft, $\Delta p'$ и $m_e$ — psi.

$141{,}2 = 1/(2\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3})$ , $70{,}6 = 141{,}2/2$ .

Ниже — условная запись восстановления давления, которую мы разберём в этом уроке. Нефтяная скважина 250 суток работала с дебитом 150 м³/сут, затем её закрыли на устье. В насосно-компрессорных трубах есть свободный газ, поэтому влияние ствола заметное. Глубинный манометр записывал давление каждую секунду; для анализа взято по 20 замеров на логарифмический цикл времени — 105 замеров за 50 ч.

РасчётДиагностический график записи урока: рост давления после остановки (точки) и производная, рассчитанная по замерам с интервалом 0,2 цикла (оранжевая линия); обе шкалы логарифмические. Штриховые линии — результаты примера ниже: прямая единичного наклона

\Delta p = qBt/(24C)

и уровень полки.

Рост давления после остановки и его производная (условные данные, выборка)

$\Delta t$: 1,8 с
$\Delta p$ , МПа: 0,0134
$\Delta p'$ , МПа: 0,0130

$\Delta t$: 3,6 с
$\Delta p$ , МПа: 0,0256
$\Delta p'$ , МПа: 0,0262

$\Delta t$: 11 с
$\Delta p$ , МПа: 0,0770
$\Delta p'$ , МПа: 0,0723

$\Delta t$: 36 с
$\Delta p$ , МПа: 0,2080
$\Delta p'$ , МПа: 0,1605

$\Delta t$: 1,9 мин
$\Delta p$ , МПа: 0,4323
$\Delta p'$ , МПа: 0,1942

$\Delta t$: 6,0 мин
$\Delta p$ , МПа: 0,5941
$\Delta p'$ , МПа: 0,0789

$\Delta t$: 19 мин
$\Delta p$ , МПа: 0,6495
$\Delta p'$ , МПа: 0,0369

$\Delta t$: 1,00 ч
$\Delta p$ , МПа: 0,6880
$\Delta p'$ , МПа: 0,0315

$\Delta t$: 3,16 ч
$\Delta p$ , МПа: 0,7224
$\Delta p'$ , МПа: 0,0301

$\Delta t$: 10,0 ч
$\Delta p$ , МПа: 0,7569
$\Delta p'$ , МПа: 0,0306

$\Delta t$: 31,6 ч
$\Delta p$ , МПа: 0,7920
$\Delta p'$ , МПа: 0,0299

$\Delta t$	$\Delta p$ , МПа	$\Delta p'$ , МПа
1,8 с	0,0134	0,0130
3,6 с	0,0256	0,0262
11 с	0,0770	0,0723
36 с	0,2080	0,1605
1,9 мин	0,4323	0,1942
6,0 мин	0,5941	0,0789
19 мин	0,6495	0,0369
1,00 ч	0,6880	0,0315
3,16 ч	0,7224	0,0301
10,0 ч	0,7569	0,0306
31,6 ч	0,7920	0,0299

$\Delta p = p_{ws} - p_{wf}(\Delta t = 0)$ . Данные рассчитаны по модели однородного бесконечного пласта со стволом и скином; к ним добавлен случайный шум манометра со стандартным отклонением 0,0004 МПа, затем они округлены до 0,0001 МПа. Параметры модели раскрыты в примерах. Производная рассчитана по всем 105 замерам с интервалом 0,2 цикла (способ — в разделе о вычислении по замерам).

Как читать этот график. Первые секунды обе кривые идут по одной прямой единичного наклона — работает только ствол. Затем давление выполаживается, а производная продолжает расти и примерно через полторы минуты после остановки проходит горб высотой около 0,21 МПа — в семь раз выше будущей полки. После 1–2 ч производная почти горизонтальна около 0,030 МПа: это радиальный приток, и именно по этим точкам считают проводимость и скин. Признаков границ до конца записи нет: в последний цикл производная не поднимается и не падает больше, чем позволяет шум.

Полка: проводимость и скин без прямой

При радиальном притоке производная постоянна и равна наклону полулогарифмической прямой на единицу натурального логарифма. Эту горизонталь называют полкой производной. Проводимость находят прямо по её уровню — не выбирая точки для прямой и не рискуя провести её через переходный участок:

Проводимость пласта по уровню полки производной

kh = \frac{qB\mu}{4\pi\,m_e}

где:

$kh$ проводимость пласта, м³
$m_e$ уровень полки производной; он же наклон полулогарифмической прямой на единицу натурального логарифма, $m_e = m/\ln 10$ , Па
$q,\ B,\ \mu$ дебит в стандартных условиях (после пуска или перед остановкой), объёмный коэффициент, вязкость, м³/с, м³/м³, Па·с

Единицы: СИ

Справедливо, если

производная горизонтальна хотя бы на протяжении половины логарифмического цикла; её уровень осредняют по точкам этого участка;
постоянный дебит; для КВД время остановки много меньше времени работы скважины;
полка отвечает радиальному притоку во всю толщину пласта: при частичном вскрытии ранняя полка может относиться только к части толщины (Несовершенство вскрытия и наклон скважины).

Это та же формула, что для проводимости по наклону прямой (Анализ кривой падения давления), но наклон прочитан как уровень горизонтального участка. Полку видно сразу, а отклонение от неё на несколько процентов — тоже; поэтому по производной легко проверить, все ли точки, выбранные для прямой, действительно относятся к радиальному притоку.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

kh = 0{,}933\,\frac{qB\mu}{m_e}

$q$ — м³/сут, $\mu$ — мПа·с, $m_e$ — МПа; $kh$ — мД·м.

$0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853)$ ; с наклоном на десятичный цикл $m = 2{,}303\,m_e$ та же формула даёт знакомое $kh = 2{,}149\,qB\mu/m$ .

Промысловые единицы (oilfield)

kh = 70{,}6\,\frac{qB\mu}{m_e}

$q$ — STB/d, $\mu$ — сП, $m_e$ — psi; $kh$ — мД·ft.

$70{,}6 = 1/(4\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3})$ ; для наклона на десятичный цикл — 162,6.

Скин находят по положению кривой давления. При радиальном притоке $\Delta p = m_e(\ln t_D + 0{,}809 + 2S)$ , поэтому отношение давления к уровню полки в любой точке радиального притока даёт скин:

Скин-фактор по отношению давления к полке производной

S = \frac12\left[\frac{\Delta p(t)}{m_e} - \ln\frac{kt}{\phi\mu c_tr_w^2} - 0{,}809\right]

где:

$\Delta p(t)$ изменение давления в момент $t$ , взятый на полке, Па
$m_e$ уровень полки производной, Па
$k,\ \phi,\ \mu,\ c_t,\ r_w$ проницаемость (по полке), пористость, вязкость, общая сжимаемость, радиус скважины, м², —, Па·с, 1/Па, м
$t$ время с момента смены режима, с

Единицы: СИ; логарифм натуральный

Справедливо, если

точка $t$ лежит на полке: влияние ствола закончилось, границы ещё не сказались;
для КВД $\Delta p = p_{ws} - p_{wf}(\Delta t = 0)$ и время остановки много меньше времени работы;
скин относится к тому радиусу $r_w$ , который подставлен в формулу.

Это формула скина по прямой КПД, записанная через натуральный логарифм (Анализ кривой падения давления): $\Delta p/m_e$ — сколько «единиц» перепада накопилось к моменту $t$ ; из них $\ln t_D + 0{,}809$ дал бы пласт без скина, а половина остатка — скин. На диагностическом графике это расстояние по вертикали между кривыми давления и производной: чем больше скин, тем выше давление над производной.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

S = \frac12\left[\frac{\Delta p(t)}{m_e} - \ln\frac{k\,t}{\phi\mu c_tr_w^2} + 4{,}831\right]

$t$ — ч, $k$ — мД, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $r_w$ — м; $\Delta p$ и $m_e$ — МПа.

$-\ln(3{,}553\cdot10^{-3}) = 5{,}640$ и $5{,}640 - 0{,}809 = 4{,}831$ ; множитель $3{,}553\cdot10^{-3}$ переводит время в часах в безразмерное — как в уроке Анализ кривой падения давления.

Расчётный примерСтвол, проводимость и скин по диагностическому графику

Исходные данные (условные)

Скважина и пласт: $q$ = 150 м³/сут; $B$ = 1,28; $\mu$ = 0,6 мПа·с; $h$ = 20 м; $\phi$ = 0,24; $c_t = 2{,}1\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $r_w$ = 0,1 м
Время работы перед остановкой: 6000 ч — много больше длительности записи
С графика: замер на единичном наклоне: 1,8 с ( $5{,}01\cdot10^{-4}$ ч), $\Delta p$ = 0,0134 МПа; полка — среднее значение производной по всем точкам от 3,2 до 32 ч, $m_e$ = 0,02996 МПа; $\Delta p$ через 10 ч — 0,7569 МПа

Решение

Коэффициент влияния ствола по единичному наклону: $qB = 150\cdot1{,}28 = 192$ ; $C = \dfrac{qB\,\Delta t}{24\,\Delta p} = \dfrac{192\cdot5{,}01\cdot10^{-4}}{24\cdot0{,}0134} = 0{,}299$ м³/МПа. Производная по замерам в этой точке — 0,0130 МПа, почти столько же, сколько $\Delta p$ : на единичном наклоне кривые сливаются.
Проводимость по полке: $qB\mu = 192\cdot0{,}6 = 115{,}2$ ; $kh = 0{,}933\cdot115{,}2/0{,}02996 = 3588$ мД·м; $k = 3588/20 = 179{,}4$ мД.
То же в промысловых единицах (1 м³ = 6,2898 bbl, 1 МПа = 145,04 psi, 1 м = 3,2808 ft): $q$ = 943,5 STB/d, $m_e$ = 4,345 psi; $kh = 70{,}6\cdot943{,}5\cdot1{,}28\cdot0{,}6/4{,}345 = 11\,774$ мД·ft, то есть 3589 мД·м.
Скин по точке 10 ч: $\Delta p/m_e = 0{,}7569/0{,}02996 = 25{,}26$ ; $\ln\dfrac{kt}{\phi\mu c_tr_w^2} = \ln\dfrac{179{,}4\cdot10}{0{,}24\cdot0{,}6\cdot2{,}1\cdot10^{-3}\cdot0{,}01} = 20{,}20$ ; $S = \tfrac12\,(25{,}26 - 20{,}20 + 4{,}831) = 4{,}95$ .
Безразмерный коэффициент влияния ствола: $2\pi\phi c_thr_w^2 = 2\pi\cdot0{,}24\cdot2{,}1\cdot10^{-3}\cdot20\cdot0{,}1^2 = 6{,}333\cdot10^{-4}$ м³/МПа; $C_D = 0{,}299/(6{,}333\cdot10^{-4}) = 472$ ; параметр эталонной кривой $C_De^{2S} = 9{,}4\cdot10^{6}$ .

Ответ:

C \approx 0{,}299

м³/МПа,

kh \approx 3588

мД·м (

k \approx 179{,}4

мД), скин около 4,95.

Что это значит. Запись рассчитана по модели с $C$ = 0,3 м³/МПа, $k$ = 180 мД и $S$ = 5; три числа восстановлены с погрешностью 0,3 %, 0,3 % и 0,05 по скину. Ни одной прямой проводить не пришлось: уровень полки осреднён по целому логарифмическому циклу значений производной, скин взят из отношения давления к полке в одной точке. Будь скин нулевым, давление через 10 ч было бы меньше на $2m_eS$ = 0,30 МПа, и на диагностическом графике кривая давления заметно опустилась бы к производной. Данные примера условные.

Ствол и переходный горб

Пока работает только ствол, давление растёт пропорционально времени (Влияние ствола скважины), а производная линейной функции по логарифму времени равна ей самой:

Производная на участке влияния ствола

\Delta p' = t\,\frac{\dd\,\Delta p}{\dd t} = \Delta p = \frac{qB}{C}\,t,\qquad p_D' = p_D = \frac{t_D}{C_D}

где:

$q,\ B$ изменение дебита на устье в стандартных условиях и объёмный коэффициент, м³/с, м³/м³
$C$ коэффициент влияния ствола, м³/Па
$t$ время с момента смены режима, с
$t_D/C_D$ безразмерное время, отнесённое к безразмерному коэффициенту влияния ствола, —

Единицы: СИ; в метрических промысловых единицах $\Delta p = qBt/(24C)$ : м³/сут, м³/МПа, ч, МПа

Справедливо, если

приток из пласта ещё не изменился: участок чистого влияния ствола;
коэффициент $C$ постоянен.

На двойном логарифмическом графике давление и производная лежат на одной прямой единичного наклона. Как только приток из пласта начинает меняться, кривые расходятся: давление выполаживается, а производная ещё некоторое время растёт.

Откуда берётся горб. К концу перехода давление должно выйти на линию радиального притока. В переменных эталонных кривых (Эталонные кривые) на ней $p_D$ равно $\tfrac12[\ln(t_D/C_D) + 0{,}809]$ плюс $\tfrac12\ln(C_De^{2S})$ , поэтому она лежит тем выше, чем больше $C_De^{2S}$ , то есть чем больше скин и коэффициент влияния ствола. Пока ствол отдаёт или принимает флюид, давление набирает перепад медленно; потом оно «догоняет» линию радиального притока, и в масштабе логарифма времени это быстрый подъём. Быстрый подъём на полулогарифмическом графике и есть горб производной, а его вершина — точка перегиба полулогарифмического графика. При больших $C_De^{2S}$ вершина приходится примерно на момент, когда прямая единичного наклона, продолженная вверх, пересекла бы линию радиального притока.

РасчётРасчётные производные эталонных кривых скважины со стволом и скином:

p_D'

в зависимости от

t_D/C_D

при

C_De^{2S}

10^2

10^4

10^6

10^8

10^{10}

(снизу вверх); обе шкалы логарифмические. Все кривые начинаются на прямой единичного наклона и кончаются на полке 0,5; между ними — горб, тем выше и позже, чем больше параметр.

Горб производной при разных

C_De^{2S}

(расчёт по модели урока)

$C_De^{2S}$: $10^{2}$
Вершина $p_D'$: 1,25
Вершина / 0,5: 2,51
$t_D/C_D$ вершины: 5,1
Вход в ±5 % от 0,5: 210

$C_De^{2S}$: $10^{4}$
Вершина $p_D'$: 2,15
Вершина / 0,5: 4,30
$t_D/C_D$ вершины: 7,1
Вход в ±5 % от 0,5: 320

$C_De^{2S}$: $10^{6}$
Вершина $p_D'$: 3,04
Вершина / 0,5: 6,08
$t_D/C_D$ вершины: 9,4
Вход в ±5 % от 0,5: 420

$C_De^{2S}$: $10^{8}$
Вершина $p_D'$: 3,93
Вершина / 0,5: 7,85
$t_D/C_D$ вершины: 11,7
Вход в ±5 % от 0,5: 530

$C_De^{2S}$: $10^{10}$
Вершина $p_D'$: 4,80
Вершина / 0,5: 9,61
$t_D/C_D$ вершины: 14,1
Вход в ±5 % от 0,5: 630

$C_De^{2S}$	Вершина $p_D'$	Вершина / 0,5	$t_D/C_D$ вершины	Вход в ±5 % от 0,5
$10^{2}$	1,25	2,51	5,1	210
$10^{4}$	2,15	4,30	7,1	320
$10^{6}$	3,04	6,08	9,4	420
$10^{8}$	3,93	7,85	11,7	530
$10^{10}$	4,80	9,61	14,1	630

$t_D/C_D = 0{,}02232\,kh\,t/(\mu C)$ в метрических промысловых единицах (Влияние ствола скважины). Последний столбец — значение $t_D/C_D$ , после которого производная остаётся в пределах 5 % от уровня полки; это в 3–8 раз позже классической оценки начала полулогарифмической прямой $t_D \approx (60 + 3{,}5S)\,C_D$ (длительность влияния ствола). При $C_De^{2S}$ около 1 и меньше горба практически нет.

Что меняется, если…

…скин больше на единицу — параметр $C_De^{2S}$ больше в 7,4 раза, вершина горба выше примерно на 0,38 единицы $p_D'$ (на ¾ уровня полки), а сам горб наступает чуть позже;
…коэффициент влияния ствола вдвое больше — вершина выше всего на 0,13, зато вся ранняя часть записи сдвигается вправо: в реальном времени горб наступает примерно вдвое позже;
…проводимость вдвое больше — обе кривые сдвигаются вдвое вниз и вдвое влево, форма не меняется: в $C_De^{2S}$ проницаемость не входит;
…скин отрицательный, а влияние ствола мало ( $C_De^{2S}$ порядка единицы) — горба нет: производная подходит к полке снизу или почти сразу выходит на неё.

Границы и другие геометрии потока

Когда возмущение давления доходит до границ пласта, производная уходит с полки, и направление ухода сразу подсказывает, что за граница. У непроницаемой границы отбор не восполняется — давление падает быстрее, и производная растёт. Через границу с постоянным давлением отбор восполняется — давление стабилизируется, и производная падает. Форму перехода у прямолинейной границы даёт метод отражений (скважины-отражения): вклад отражения равен $\pm m_eE_1\big(\phi\mu c_tL^2/(kt)\big)$ , а производная функции $E_1(a/t)$ по $\ln t$ — простая экспонента $\e^{-a/t}$ .

Производная у прямолинейной границы

\Delta p' = m_e\left[1 \pm \exp\left(-\frac{\phi\mu c_tL^2}{kt}\right)\right],\qquad p_D' = \frac12\left[1 \pm \e^{-L_D^2/t_D}\right]

где:

$m_e$ уровень полки, $qB\mu/(4\pi kh)$ , Па
$L$ расстояние от скважины до границы; отражение стоит на расстоянии $2L$ , м
$L_D$ безразмерное расстояние $L/r_w$ , —
$\pm$ плюс — непроницаемая граница (разлом), минус — граница постоянного давления, —
$\phi,\ \mu,\ c_t,\ k,\ t$ пористость, вязкость, общая сжимаемость, проницаемость, время, —, Па·с, 1/Па, м², с

Единицы: СИ

Справедливо, если

прямолинейная граница через всю толщину однородного пласта, других границ нет;
влияние ствола закончилось, для самой скважины верно логарифмическое приближение;
отражение — линейный источник: $L$ много больше радиуса скважины.

У разлома производная поднимается с $m_e$ до $2m_e$ , у границы постоянного давления опускается с $m_e$ к нулю, в конце — с наклоном −1. Переход описывает одна и та же экспонента: середина приходится на $kt/(\phi\mu c_tL^2) = 1/\ln 2 = 1{,}44$ , от 10 до 90 % перехода проходит 1,3 логарифмического цикла, от 1 до 99 % — 2,7 цикла. Как по этому переходу находят расстояние до разлома, разобрано в уроке Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

\Delta p' = m_e\left[1 \pm \exp\left(-\frac{\phi\mu c_tL^2}{3{,}553\cdot10^{-3}\,k\,t}\right)\right]

$L$ — м, $k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа; $\Delta p'$ и $m_e$ — МПа.

$3{,}553\cdot10^{-3}$ переводит время в часах в безразмерное (Анализ кривой восстановления давления).

В замкнутой области, когда возмущение дошло до всех границ, наступает псевдоустановившийся режим: давление всюду падает с одной скоростью $qB/(c_tV_p)$ (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы). Производная тогда растёт пропорционально времени:

Производная в замкнутой области (псевдоустановившийся режим)

\Delta p' = t\,\frac{\dd\,\Delta p}{\dd t} = \frac{qB}{c_tV_p}\,t,\qquad p_D' = 2\pi\,t_{DA}

где:

$V_p$ поровый объём замкнутой области, м³
$c_t$ общая сжимаемость, 1/Па
$q,\ B$ дебит в стандартных условиях и объёмный коэффициент, м³/с, м³/м³
$t_{DA}$ безразмерное время, отнесённое к площади области $A$ : $kt/(\phi\mu c_tA)$ , —

Единицы: СИ; в метрических промысловых единицах $\Delta p' = qBt/(24\,c_tV_p)$ : м³/сут, ч, 1/МПа, м³, МПа

Справедливо, если

замкнутая область без притока через границы; возмущение дошло до всех границ;
постоянный дебит; однофазный флюид с постоянной сжимаемостью.

Снова единичный наклон, как у ствола, но в конце записи: «ёмкость», которая теперь разряжается, — весь поровый объём области. По положению этой прямой находят поровый объём, по моменту выхода на неё и форме перехода — форму области (Исследование на ограниченность пласта). У КВД в той же области всё наоборот: давление после остановки выравнивается к среднему, и производная падает (Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление).

РасчётРасчётные безразмерные производные скважины без влияния ствола и скина: бесконечный пласт (штрих), непроницаемый разлом и граница постоянного давления на расстоянии

1000\,r_w

, замкнутый круг радиусом

1000\,r_w

со скважиной в центре; обе шкалы логарифмические. До

t_D \approx 10^5

кривые совпадают (полка 0,5), затем расходятся: у разлома — к второй полке 1,0, у круга — на прямую единичного наклона, у границы постоянного давления — к нулю.

Другие геометрии течения дают степенные режимы (геометрия потока). При линейном притоке — к трещине гидроразрыва или вдоль узкого пласта между двумя параллельными разломами — перепад растёт как $\sqrt t$ . При сферическом притоке к короткому интервалу вскрытия давление быстро приближается к постоянному значению, а остаток убывает как $1/\sqrt t$ :

Производная при линейном и сферическом притоке

\Delta p = A_l\sqrt{t} + \Delta p_s\ \Rightarrow\ \Delta p' = \tfrac12\,A_l\sqrt{t};\qquad \Delta p = \Delta p_\infty - \frac{A_s}{\sqrt t}\ \Rightarrow\ \Delta p' = \frac{A_s}{2\sqrt t}

где:

$A_l,\ A_s$ постоянные линейного и сферического режимов: содержат проницаемость, упругоёмкость пласта и размер трещины или интервала вскрытия, Па/с^½, Па·с^½
$\Delta p_s$ постоянный перепад, например на скине; производная от него не зависит, Па
$\Delta p_\infty$ значение, к которому стремится перепад при сферическом притоке, Па

Единицы: любая согласованная система единиц

Справедливо, если

линейный приток: поток параллельными линиями к плоскости трещины или вдоль канала, до концов трещины или до других границ возмущение не дошло;
сферический приток: однородный пласт вокруг малого интервала притока, до кровли и подошвы возмущение ещё не дошло.

Наклоны ½ и −½ на производной — признаки геометрии потока. При линейном притоке производная идёт вдвое ниже перепада без $\Delta p_s$ и параллельно ему; сам перепад со скином на двойном логарифмическом графике искривлён, поэтому режим надёжнее распознавать по производной. Расчёт по постоянным $A_l$ и $A_s$ — в уроках о трещинах гидроразрыва, частичном вскрытии и опробователях пластов.

Где эти границы разобраны подробно

Один прямолинейный разлом и расстояние до него — урок Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений; несколько границ (канал между параллельными разломами, угол между разломами, прямоугольная область) — урок Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки; поровый объём замкнутой области — урок Исследование на ограниченность пласта; частично проводящий разлом, при котором производная поднимается и возвращается к полке, — урок Частично проводящие разломы.

Как считают производную по замерам

Манометр даёт не функцию, а ряд замеров с шумом и конечным разрешением. Если считать наклон между соседними замерами, шум многократно усилится: разность двух близких давлений сравнима с самим шумом. Поэтому производную в каждой точке считают по замерам, отстоящим от неё на заданный интервал дифференцирования (differentiation interval) $L$ , измеряемый в долях логарифмического цикла времени.

Производная по трём замерам

\Delta p_i' = \frac{s_l\,\Delta X_r + s_r\,\Delta X_l}{\Delta X_l + \Delta X_r},\qquad s_l = \frac{\Delta p_i - \Delta p_l}{\Delta X_l},\quad s_r = \frac{\Delta p_r - \Delta p_i}{\Delta X_r}

где:

$i$ замер, в котором считают производную, —
$l,\ r$ ближайшие замеры слева и справа, отстоящие от $i$ не меньше чем на $L$ десятичных циклов: $\lg(t_i/t_l) \ge L$ , $\lg(t_r/t_i) \ge L$ , —
$\Delta X_l,\ \Delta X_r$ расстояния по натуральному логарифму времени: $\ln(t_i/t_l)$ и $\ln(t_r/t_i)$ , —
$s_l,\ s_r$ наклоны хорд слева и справа, Па
$L$ интервал дифференцирования, доли десятичного логарифмического цикла, —

Единицы: $\Delta p'$ и наклоны — в единицах давления; $\Delta X$ безразмерны

Справедливо, если

замеры упорядочены по времени, давление отсчитано от момента смены режима;
интервал одинаков для всей записи; в первых и последних $L$ циклах записи нет соседа с одной стороны, и производная там не считается — или считается с укороченным интервалом и менее надёжна.

Каждая хорда — наклон на своём отрезке, а взвешенное среднее двух хорд — наклон параболы, проведённой через три замера, в средней точке. При равных $\Delta X_l$ и $\Delta X_r$ формула превращается в центральную разность $(\Delta p_r - \Delta p_l)/(\Delta X_l + \Delta X_r)$ . Чем шире интервал, тем больше разность давлений между крайними замерами по сравнению с шумом — и тем сильнее сглаживаются настоящие изгибы кривой.

Две погрешности тянут в разные стороны. Шум со стандартным отклонением $\sigma$ даёт в центральной разности ошибку около $0{,}307\,\sigma/L$ — тем меньше, чем шире интервал. Искажение формы, наоборот, растёт как квадрат интервала: хорда отличается от касательной тем сильнее, чем круче изгибается кривая. Где кривая почти прямая — на полке, — интервал можно брать широким; где изгибается сильно — на горбе, — широкий интервал срезает вершину и смещает переходы (дополнительный раздел).

Расчётный примерПроизводная в одной точке при трёх интервалах

Исходные данные (условные)

Замеры записи урока: 2,51 ч — 0,7162 МПа; 5,01 ч — 0,7364; 7,08 ч — 0,7472; 7,94 ч — 0,7501; 8,91 ч — 0,7545; 12,59 ч — 0,7643; 25,1 ч — 0,7846
Шаг записи: 20 замеров на цикл: соседние замеры отстоят на 0,05 цикла
Шум манометра: $\sigma$ = 0,0004 МПа

Решение

$L$ = 0,05 цикла — соседние замеры 7,08 и 8,91 ч: $\Delta X_l + \Delta X_r = 0{,}1\cdot\ln 10 = 0{,}2303$ ; $\Delta p' = (0{,}7545 - 0{,}7472)/0{,}2303 = 0{,}03170$ МПа.
$L$ = 0,2 цикла — замеры 5,01 и 12,59 ч: $0{,}4\cdot\ln 10 = 0{,}9210$ ; $\Delta p' = (0{,}7643 - 0{,}7364)/0{,}9210 = 0{,}03029$ МПа.
$L$ = 0,5 цикла — замеры 2,51 и 25,1 ч: $\ln 10 = 2{,}3026$ ; $\Delta p' = (0{,}7846 - 0{,}7162)/2{,}3026 = 0{,}02971$ МПа.
Модель, по которой рассчитана запись, даёт в этой точке 0,03003 МПа; ошибки 5,6, 0,9 и −1,1 %.
По всей полке, от 3,2 до 32 ч, среднеквадратичное отклонение производной от модели — 6,5 % при $L$ = 0,05, 4,1 % при 0,1, 1,6 % при 0,2 и 0,7 % при 0,5. Оценка $0{,}307\,\sigma/L$ в долях полки: 8,2, 4,1, 2,1 и 0,8 %.

Ответ: По соседним замерам производная «прыгает» на несколько процентов (среднеквадратично 6,5 %), при интервале 0,2–0,5 цикла разброс меньше двух процентов.

Что это значит. Шум 0,4 кПа ничтожен по сравнению с самим ростом давления (около 0,75 МПа), но не по сравнению с изменением давления между соседними замерами: на полке за 0,05 цикла давление вырастает всего на 3,4 кПа. Оценка разброса по простой формуле близка к фактической. Отдельная точка может случайно оказаться и ближе к модели, чем при широком интервале, — поэтому о качестве производной судят по всему участку, а не по одной точке. Данные примера условные.

РасчётПроизводная записи урока при разных интервалах дифференцирования. Вверху — полка в увеличенном масштабе: при

L

= 0,05 цикла (серая ломаная) разброс несколько процентов, при

L

= 0,5 (оранжевая) — меньше процента; штрих — модель. Внизу — горб: при

L

= 0,2 (тёмная линия) вершина срезана на 3 %, при

L

= 0,5 (оранжевая) — на 15 % и сдвинута к более раннему времени.

Расчётный примерЧто сглаживание делает с горбом

Исходные данные (условные)

Горб модели: вершина 0,2086 МПа через 85 с после остановки
Из примера о полке: $m_e$ = 0,02996 МПа; $C_D$ = 472; скин по отношению давления к полке 4,95
Таблица горбов: вершина / 0,5: 4,30 при $C_De^{2S} = 10^4$ , 6,08 при $10^6$ , 7,85 при $10^8$

Решение

Вершина производной по замерам: 0,2069 МПа при $L$ = 0,1; 0,2022 МПа при 0,2; 0,1765 МПа при 0,5 — ниже модели на 0,8, 3,1 и 15 %.
$L$ = 0,1: высота горба в долях полки 0,2069/0,02996 = 6,91 — между $10^6$ и $10^8$ . Интерполяция по десятичному логарифму параметра: $\lg(C_De^{2S}) = 6 + 2\,(6{,}91 - 6{,}08)/(7{,}85 - 6{,}08) = 6{,}94$ ; $S = \tfrac12\ln(10^{6{,}94}/472) = 4{,}91$ .
$L$ = 0,2: отношение 6,75, $\lg(C_De^{2S}) = 6{,}76$ , $S = 4{,}70$ .
$L$ = 0,5: отношение 5,89 — уже между $10^4$ и $10^6$ : $\lg(C_De^{2S}) = 4 + 2\,(5{,}89 - 4{,}30)/(6{,}08 - 4{,}30) = 5{,}79$ , $S = 3{,}6$ .

Ответ: По горбу скин 4,91, 4,70 и 3,6 при интервалах 0,1, 0,2 и 0,5 цикла; по отношению давления к полке — 4,95.

Что это значит. Горб несёт ту же информацию о скине, что и положение кривой давления: и то и другое зависит от $C_De^{2S}$ , и при узком интервале две оценки совпадают — это подтверждает модель однородного пласта с постоянным влиянием ствола. Но горб — самый крутой изгиб записи, и широкий интервал срезает его вершину: при 0,5 цикла скин получился меньше на 1,4. Ту же ошибку даёт совмещение с эталонными кривыми, если сравнивать с ними пересглаженную производную. Если горб искажён перераспределением газа и жидкости в стволе (Неидеальное влияние ствола, очистка скважины и меняющийся скин), скин по нему не оценивают вовсе. Данные примера условные.

Пересчитывать с несколькими интервалами. Начинают с 0,1–0,2 цикла и сравнивают с 0,05 и с 0,3–0,5: формы, которые сохраняются, принадлежат записи, а меняющиеся — обработке.
Не делать выводов по краям записи. В последние $L$ циклов производная либо не считается, либо считается с укороченным интервалом; именно там чаще всего «появляются» мнимые границы.
Точно задавать момент смены режима и давление в этот момент. Ошибка в них искажает раннюю часть производной сильнее, чем шум (Влияние ствола скважины).
Помнить о разрешении манометра. На полке за 0,1 цикла давление меняется на $0{,}23\,m_e$ ; если это сравнимо с разрешением и шумом, производной нужна широкая база, а в высокопроницаемых пластах — кварцевый манометр.
Учитывать историю дебита. Если дебит перед остановкой или во время записи менялся, производную берут не по $\ln t$ , а по функции суперпозиции времени (Принцип суперпозиции); для КВД после короткой работы — по эквивалентному времени (Влияние времени работы на анализ КВД).

Ложные признаки и проверка

Производная чувствительна ко всему, что меняет наклон полулогарифмического графика, — не только к пласту. Прежде чем приписать форму пласту, проверяют более простые причины.

Что может изобразить границу или неоднородность

Что видно: Спад производной в конце КВД
Причины, кроме пласта: короткая работа перед остановкой; выравнивание давления в замкнутой области; работа соседней добывающей или остановка нагнетательной скважины
Как проверить: производная по эквивалентному времени (Влияние времени работы на анализ КВД); история дебитов соседних скважин

Что видно: Подъём производной в конце записи
Причины, кроме пласта: при КПД — пуск соседней добывающей скважины или рост дебита; при КВД — остановка соседней добывающей или пуск нагнетательной; дрейф манометра
Как проверить: история дебитов; сравнение КПД и КВД одной скважины

Что видно: Горб при малом скине
Причины, кроме пласта: большой коэффициент влияния ствола; перераспределение газа и жидкости в стволе
Как проверить: $C$ по единичному наклону; форма раннего участка (Неидеальное влияние ствола, очистка скважины и меняющийся скин)

Что видно: Провал между двумя участками полки
Причины, кроме пласта: меняющийся коэффициент влияния ствола; двойная пористость; слоистый пласт с перетоком
Как проверить: конструкция и содержимое ствола; керн и геология

Что видно: Зубцы и колебания
Причины, кроме пласта: шум, узкий интервал, колебания дебита, приливные колебания давления в пласте
Как проверить: пересчёт с другим интервалом; запись дебита

Что видно: Ранний участок с наклоном не 1
Причины, кроме пласта: неточный момент пуска или остановки; меняющийся $C$
Как проверить: уточнить момент по записи манометра (Влияние ствола скважины)

Что видно	Причины, кроме пласта	Как проверить
Спад производной в конце КВД	короткая работа перед остановкой; выравнивание давления в замкнутой области; работа соседней добывающей или остановка нагнетательной скважины	производная по эквивалентному времени (Влияние времени работы на анализ КВД); история дебитов соседних скважин
Подъём производной в конце записи	при КПД — пуск соседней добывающей скважины или рост дебита; при КВД — остановка соседней добывающей или пуск нагнетательной; дрейф манометра	история дебитов; сравнение КПД и КВД одной скважины
Горб при малом скине	большой коэффициент влияния ствола; перераспределение газа и жидкости в стволе	$C$ по единичному наклону; форма раннего участка (Неидеальное влияние ствола, очистка скважины и меняющийся скин)
Провал между двумя участками полки	меняющийся коэффициент влияния ствола; двойная пористость; слоистый пласт с перетоком	конструкция и содержимое ствола; керн и геология
Зубцы и колебания	шум, узкий интервал, колебания дебита, приливные колебания давления в пласте	пересчёт с другим интервалом; запись дебита
Ранний участок с наклоном не 1	неточный момент пуска или остановки; меняющийся $C$	уточнить момент по записи манометра (Влияние ствола скважины)

Одна и та же форма производной может иметь разные причины. Модель выбирают по всем признакам записи и проверяют геологией, сейсмикой и данными соседних скважин (что может пойти не так).

Падающая производная — не всегда подпитка

В конце КВД производная часто опускается, и граница постоянного давления — лишь одна из причин. Если скважина работала перед остановкой недолго, наклон по $\ln\Delta t$ уменьшается сам по себе: это следствие суперпозиции, и его устраняют, строя производную по эквивалентному времени. В замкнутой области давление после остановки выравнивается к среднему, и производная тоже падает. Различают эти случаи по истории дебита, по КПД той же скважины (в замкнутой области на КПД производная, наоборот, растёт) и по геологии.

Откуда метод

Мысль анализировать производную давления по времени высказывали ещё в 1970-х годах, в том числе для поиска разломов. Практическим инструментом её сделали работы Д. Бурде с соавторами: в 1983 году они дополнили производной эталонные кривые скважины со стволом и скином, а в 1989 году описали расчёт производной по замерам с интервалом дифференцирования. Широко применять метод позволили кварцевые манометры высокого разрешения, а повсеместным его сделали программы интерпретации.

Термины и обозначения

Логарифмическая производная $\Delta p'$: наклон графика $\Delta p$ — $\ln t$ в данной точке, $t\,\dd\Delta p/\dd t$ ; в единицах давления.
Диагностический график: $\Delta p$ и $\Delta p'$ от времени в двойном логарифмическом масштабе; по форме кривых распознают режимы течения.
Полка производной $m_e$: горизонтальный участок производной на уровне $qB\mu/(4\pi kh)$ — признак радиального притока; безразмерный уровень 0,5.
Горб производной: максимум производной между участком влияния ствола и полкой; его высота растёт с $C_De^{2S}$ .
Безразмерная производная $p_D'$: $\dd p_D/\dd\ln t_D = 2\pi kh\,\Delta p'/(qB\mu)$ ; сдвигается на эталонном графике вместе с $p_D$ .
Интервал дифференцирования $L$: расстояние в долях логарифмического цикла до замеров, по которым считают производную; задаёт компромисс между шумом и сглаживанием.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Полка производной на уровне 0,030 МПа — значит, наклон полулогарифмической прямой 0,030 МПа на цикл».

На самом деле

Производная — наклон на единицу натурального логарифма. Наклон на десятичный цикл в 2,303 раза больше: 0,069 МПа. Перепутав их, получают проводимость с ошибкой в 2,3 раза.

Неверно

«Горб производной означает положительный скин».

На самом деле

Высоту горба задаёт $C_De^{2S}$ : при большом коэффициенте влияния ствола горб есть и при нулевом скине. Скин находят по положению кривой давления относительно полки или по совмещению с моделью, зная $C_D$ .

Неверно

«Чем глаже производная, тем лучше её посчитали».

На самом деле

Гладкость покупается сглаживанием: широкий интервал срезает горб и растягивает переходы. В примере урока при интервале 0,5 цикла вершина горба ниже на 15 %, а скин, оценённый по горбу, меньше примерно на 1,4.

Неверно

«Производная ушла вниз в конце КВД — у пласта есть подпитка».

На самом деле

Так же выглядят короткое время работы перед остановкой и выравнивание давления в замкнутой области. Сначала строят производную по эквивалентному времени и проверяют историю дебитов, потом думают о границе постоянного давления.

Неверно

«На двойном логарифмическом графике поздние отклонения выглядят мелкими, значит, ими можно пренебречь».

На самом деле

На кривой давления — да, но производная их усиливает: разлом удваивает её уровень, а это хорошо видно и в логарифмическом масштабе. Поэтому границы ищут по производной.

Подробно: для продвинутых

Как рассчитаны кривые урока

Кривые урока рассчитаны по решениям в изображениях Лапласа, как в уроке о влиянии ствола. Производную численно не дифференцируют: если $\bar p_{wD}(s)$ — изображение давления, то изображение его производной по времени равно $s\,\bar p_{wD}(s)$ , потому что в начальный момент $p_{wD} = 0$ .

Логарифмическая производная через изображение Лапласа

p_D' = t_D\,\frac{\dd p_{wD}}{\dd t_D} = t_D\,\mathcal{L}^{-1}\left\{s\,\bar p_{wD}(s)\right\}

где:

$\bar p_{wD}(s)$ изображение Лапласа безразмерного давления в скважине, —
$s$ переменная преобразования Лапласа, соответствующая $t_D$ , —
$\mathcal{L}^{-1}$ обратное преобразование; численно — алгоритм Стефеста с шестнадцатью слагаемыми (алгоритм Стефеста), —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

$p_{wD}(0) = 0$ : до пуска давление в пласте выровнено;
численное обращение даёт производную с тремя-четырьмя верными знаками.

Для скважины у прямолинейной границы к изображению скважины в бесконечном пласте прибавляют изображение отражения $\pm K_0(2L_D\sqrt s)/s$ — оно входит туда же, где решение без ствола и скина (изображение со стволом и скином); для замкнутого круга берут решение с непроницаемой внешней границей (изображение Лапласа).

Модель скважины конечного радиуса показывает тонкость, которую в давлении не видно. Линейный источник выходит на полку 0,5 с точностью 1 % уже при $t_D \approx 25$ , а скважина конечного радиуса без ствола — лишь при $t_D \approx 330$ (с точностью 2 % — при $t_D \approx 140$ ). В самом начале, при $t_D$ меньше примерно 0,01, поток к стенке скважины почти параллелен, и производная идёт с наклоном ½ вдвое ниже давления — как у трещины. В реальной скважине это доли секунды, скрытые влиянием ствола. Заметной такая картина становится при большом приведённом радиусе — у скважины с сильно отрицательным скином, поэтому её и скважину с трещиной гидроразрыва описывают похожими моделями (Приток к скважине после гидроразрыва).

Погрешность численной производной и выбор интервала

Оценим обе погрешности центральной разности с равными плечами $\delta$ по натуральному логарифму времени, $\delta = L\ln 10$ . Разложение функции в ряд Тейлора даёт поправку, пропорциональную второй производной от $\Delta p'$ ; шум двух независимых замеров даёт случайную ошибку:

Две погрешности численной производной

\varepsilon_{\text{шум}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt2\,\delta},\qquad \varepsilon_{\text{сгл}} \approx \frac{\delta^2}{6}\,\frac{\dd^2\Delta p'}{\dd X^2},\qquad \delta = L\ln 10,\quad X = \ln t

где:

$\varepsilon_{\text{шум}}$ стандартное отклонение ошибки производной от шума замеров, Па
$\varepsilon_{\text{сгл}}$ систематическая ошибка сглаживания (хорда вместо касательной); со знаком второй производной, Па
$\sigma$ стандартное отклонение шума одного замера, Па
$\delta$ плечо центральной разности по натуральному логарифму времени, —
$\dd^2\Delta p'/\dd X^2$ кривизна графика производной в координатах $\ln t$ , Па

Единицы: любая согласованная система единиц

Справедливо, если

центральная разность с равными плечами; шум независим от замера к замеру;
кривизна на отрезке почти постоянна; при очень широком интервале оценка сглаживания становится грубой.

Первая ошибка убывает с интервалом, вторая растёт как его квадрат, и их сумма наименьшая при $\delta^3 \approx 3\sigma/(\sqrt2\,|\dd^2\Delta p'/\dd X^2|)$ . На полке кривизна близка к нулю, и интервал можно расширять почти без потерь; на вершине горба кривизна отрицательна и велика, поэтому широкий интервал занижает вершину. Отсюда практика: интервал 0,1–0,3 цикла и проверка устойчивости форм к его изменению.

Расчётный примерБюджет погрешностей для записи урока

Исходные данные (условные)

Шум: $\sigma$ = 0,0004 МПа
Кривизна графика производной по модели: на вершине горба −0,178 МПа; на полке около 10 ч — около 0,00011 МПа

Решение

$L$ = 0,2 ( $\delta$ = 0,461): шум даёт $0{,}0004/(\sqrt2\cdot0{,}461) = 0{,}00061$ МПа, сглаживание на вершине — $0{,}461^2/6\cdot(-0{,}178) = -0{,}0063$ МПа, то есть 3,0 % вершины.
$L$ = 0,5 ( $\delta$ = 1,151): шум — 0,00025 МПа, сглаживание на вершине по формуле — −0,039 МПа (19 %); точная центральная разность по модели занижает вершину на 16 %: при таком широком интервале формула лишь показывает порядок.
На полке при $L$ = 0,5 сглаживание даёт $1{,}151^2/6\cdot0{,}00011 = 0{,}00002$ МПа — 0,1 % уровня полки, а шум 0,00025 МПа — 0,8 %.
Наилучший интервал на вершине: $\delta^3 \approx 3\cdot0{,}0004/(\sqrt2\cdot0{,}178)$ , $\delta \approx 0{,}17$ , то есть $L \approx 0{,}07$ цикла.

Ответ: На вершине горба выгоден узкий интервал (около 0,07 цикла), на полке — широкий: там сглаживание почти ничего не искажает, а шум подавляется.

Что это значит. Поэтому один интервал для всей записи — всегда компромисс. Программы интерпретации позволяют менять его и сравнивать результаты; надёжны только те формы производной, которые сохраняются при разумном изменении интервала. Данные примера условные.

Связь с другими темами

Эталонные кривые — совмещение давления и производной с эталонными кривыми: производная делает совмещение однозначнее.
Влияние ствола скважины — единичный наклон и длительность влияния ствола, после которой начинается полка.
Анализ кривой падения давления — полулогарифмическая прямая, наклон которой — уровень полки производной.
Анализ кривой восстановления давления — график Хорнера и выбор участка прямой по производной.
Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений — ступень производной у разлома и расстояние до него.
Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки — каналы, углы между разломами и их наклоны на производной.
Исследование на ограниченность пласта — замкнутая область: единичный наклон производной и поровый объём.
Влияние времени работы на анализ КВД — производная КВД после короткой работы скважины и эквивалентное время.
Неидеальное влияние ствола, очистка скважины и меняющийся скин — горбы и провалы, которые даёт меняющийся коэффициент влияния ствола.
Режимы фильтрации — режимы и геометрии потока, которые распознают по производной.
Принцип суперпозиции — отражения у границ и производная по функции суперпозиции времени при меняющемся дебите.

Проверьте себя

1
На диагностическом графике производная от 2 до 40 ч горизонтальна на уровне 0,18 МПа. Что это означает и что можно определить по этому участку?
1. А.Радиальный приток: по уровню находят проводимость $kh$
2. Б.Чистое влияние ствола: находят $C$
3. В.Линейный приток к трещине
4. Г.Псевдоустановившийся режим замкнутой области
Показать ответ
Правильный ответ: А. Радиальный приток: по уровню находят проводимость $kh$
Постоянная производная — постоянный наклон полулогарифмического графика, то есть радиальный приток в бесконечном пласте. Уровень полки равен $qB\mu/(4\pi kh)$ : по нему находят $kh$ , а по отношению давления к полке — скин. Влиянию ствола и замкнутой области соответствует наклон 1, линейному притоку — ½.
2
Уровень полки — 0,18 МПа; дебит 60 м³/сут, $B$ = 1,15, $\mu$ = 2,2 мПа·с, толщина пласта 9 м. Найдите проводимость, проницаемость и наклон полулогарифмической прямой на десятичный цикл.
Показать ответ
$qB\mu = 60\cdot1{,}15\cdot2{,}2 = 151{,}8$ ; $kh = 0{,}933\cdot151{,}8/0{,}18 \approx 787$ мД·м; $k \approx 87$ мД. Наклон на цикл $m = 2{,}303\cdot0{,}18 \approx 0{,}415$ МПа; проверка по формуле для прямой: $2{,}149\cdot151{,}8/0{,}415 \approx 786$ мД·м.
3
Через сутки после пуска производная начала расти и примерно через три логарифмических цикла вышла на новую горизонталь, вдвое выше первой. Что это вероятнее всего?
1. А.Граница постоянного давления
2. Б.Замкнутая область
3. В.Окончание влияния ствола
4. Г.Один прямолинейный непроницаемый разлом
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Один прямолинейный непроницаемый разлом
Отражение с тем же дебитом в конце концов добавляет к наклону ещё $m_e$ , и производная выходит на $2m_e$ ; переход от 1 до 99 % занимает около 2,7 цикла. В замкнутой области производная росла бы с наклоном 1 без новой горизонтали, у границы постоянного давления — падала бы; влияние ствола кончается в начале записи.
4
Почему широкий интервал дифференцирования сильнее искажает горб производной, чем полку?
Показать ответ
Ошибка сглаживания пропорциональна кривизне графика производной и квадрату интервала. На полке кривизна близка к нулю, и широкий интервал почти ничего не меняет, зато подавляет шум. На вершине горба кривизна большая и отрицательная, и хорда заметно ниже касательной: в примере урока при интервале 0,5 цикла вершина ниже на 15 %, а разброс на полке меньше процента.
5
На полке через 10 ч после пуска $\Delta p$ = 0,92 МПа, уровень полки 0,040 МПа; $k$ = 25 мД, $\phi$ = 0,16, $\mu$ = 1,4 мПа·с, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹, $r_w$ = 0,1 м. Найдите скин.
Показать ответ
$\Delta p/m_e = 0{,}92/0{,}040 = 23{,}0$ . $\dfrac{kt}{\phi\mu c_tr_w^2} = \dfrac{25\cdot10}{0{,}16\cdot1{,}4\cdot1{,}5\cdot10^{-3}\cdot0{,}01} = 7{,}44\cdot10^7$ , натуральный логарифм 18,12. $S = \tfrac12(23{,}0 - 18{,}12 + 4{,}831) \approx 4{,}9$ .
6
На участке линейного притока к трещине (перепад на скине вычтен) как соотносятся давление и производная на двойном логарифмическом графике?
1. А.Совпадают на прямой с наклоном 1
2. Б.Производная в 2,303 раза выше давления
3. В.Параллельные прямые с наклоном ½, производная вдвое ниже
4. Г.Производная горизонтальна, давление растёт
Показать ответ
Правильный ответ: В. Параллельные прямые с наклоном ½, производная вдвое ниже
При $\Delta p = A\sqrt t$ производная $\dd\Delta p/\dd\ln t = \tfrac12 A\sqrt t = \Delta p/2$ : обе кривые — прямые с наклоном ½, производная ниже на $\lg 2 \approx 0{,}3$ цикла. Совпадение на единичном наклоне — признак влияния ствола или замкнутой области.

Обновлено: 7 октября 2026 г.