Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление

Кратко о главном

В замкнутой области КВД со временем выполаживается и выходит на среднее давление $\bar p$ — то, что было в области в момент остановки. Ждать для этого приходится столько же, сколько скважине после пуска нужно для выхода на псевдоустановившийся режим, — часто недели.
Продолжение прямой Хорнера $p^*$ здесь не равно ни $p_i$ , ни $\bar p$ . Обычно $p^* > \bar p$ , но у скважины рядом с границей бывает и наоборот.
Метод MBH: $\bar p = p^* - (m/2{,}303)\,p_{DMBH}(t_{pDA})$ . Функция $p_{DMBH}$ зависит только от формы области и положения скважины; её рассчитывают заранее (графики MBH).
Если до остановки скважина вышла на псевдоустановившийся режим, $p_{DMBH} = \ln(C_At_{pDA})$ и $\bar p = p^* - m\lg(C_At_{pDA})$ . То же дают формулы Дитца и Рэми — Кобба.
Если скважина до остановки вышла на режим, то какое время работы подставить в функцию Хорнера, на $\bar p$ не влияет — лишь бы $p^*$ и $t_{pDA}$ были посчитаны с одним и тем же временем; прямая же сохраняется намного дольше, если взять время, при котором $t_{pDA} \approx 0{,}08$ .
Без площади и формы области поправку не сделать. Их устанавливают по первому длительному исследованию, геологии и расстановке скважин, а дальше контролируют давление короткими КВД.

Ключевые соотношения

p_{DMBH} = \dfrac{4\pi kh\,(p^* - \bar p)}{qB\mu} = \dfrac{2{,}303\,(p^* - \bar p)}{m}

безразмерная поправка MBH

\bar p = p^* - m\,\lg\left(C_A\,t_{pDA}\right)

скважина до остановки работала в псевдоустановившемся режиме

t_{pDA} = \dfrac{3{,}553\cdot10^{-3}\,k\,t_p}{\phi\mu c_t A}

метрические единицы: мД, ч, мПа·с, 1/МПа, м²

\Delta t_{\bar p} = \dfrac{\phi\mu c_t A}{3{,}553\cdot10^{-3}\,k\,C_A}

время Дитца, ч: на прямой MDH (давление от $\lg\Delta t$ ) в этот момент давление равно $\bar p$

\bar p = p_i - \dfrac{B\,N_p}{c_t V_p}

материальный баланс замкнутой области (однофазная нефть)

Где чаще всего ошибаются

Принимать $p^*$ за среднее давление в разрабатываемой залежи.
Брать для поправки коэффициент формы круга 31,6, когда скважина стоит у разлома или в вытянутом блоке.
Подставлять $\ln(C_At_{pDA})$ , когда скважина до остановки ещё не вышла на псевдоустановившийся режим, — тогда нужен график MBH.
Считать, что давление «почти выровнялось», раз за последние часы оно росло медленно: на полулогарифмической шкале рост может продолжаться ещё недели.
Применять длинную КВД к скважине среди работающих соседей без учёта их влияния.

После урока вы сможете

объяснить, почему в замкнутой области давление после остановки выравнивается к среднему пластовому, а не к начальному, и сколько времени это занимает;
показать, почему продолжение прямой Хорнера $p^*$ в ограниченной области не равно ни начальному, ни среднему давлению;
рассчитать среднее давление методом MBH по безразмерному времени $t_{pDA}$ и форме области, а для скважины, вышедшей на псевдоустановившийся режим, — по формулам Дитца и Рэми — Кобба;
выбрать время работы для функции Хорнера и оценить, как оно влияет на длину прямой и на результат;
найти среднее давление по поздним точкам длинной КВД и построить по средним давлениям повторных исследований материальный баланс области.

Какое давление называют средним

Пока скважина работает, давление в области дренирования неодинаково: у ствола — воронка депрессии, вдали давление выше. Среднее пластовое давление $\bar p$ — среднее по объёму пор. Если область замкнута и отбор прекратить, флюид перетечёт из мест с высоким давлением в места с низким, и давление выровняется. При постоянной сжимаемости выровнявшееся значение равно именно $\bar p$ : сколько флюида расширилось там, где давление упало, столько же сжалось там, где оно выросло, и общее количество флюида в области не изменилось.

Для чего нужно «среднее» давление и какое именно

Задача: Коэффициент продуктивности, индикаторная кривая скважины
Какое давление нужно: среднее по области дренирования этой скважины в момент остановки — его дают методы урока

Задача: Материальный баланс залежи или блока
Какое давление нужно: среднее по всему связанному объёму пор; в псевдоустановившемся режиме — среднее давлений областей, взвешенное по дебитам (несколько скважин)

Задача: Сравнение с гидродинамической моделью
Какое давление нужно: среднее по ячейке со скважиной; его пересчитывают из давления по КВД с учётом размера ячейки (Модель скважины в ячейке сетки)

Задача: Приток из водоносного горизонта
Какое давление нужно: давление на контуре залежи, а не среднее по ней (Модели притока законтурной воды)

Задача	Какое давление нужно
Коэффициент продуктивности, индикаторная кривая скважины	среднее по области дренирования этой скважины в момент остановки — его дают методы урока
Материальный баланс залежи или блока	среднее по всему связанному объёму пор; в псевдоустановившемся режиме — среднее давлений областей, взвешенное по дебитам (несколько скважин)
Сравнение с гидродинамической моделью	среднее по ячейке со скважиной; его пересчитывают из давления по КВД с учётом размера ячейки (Модель скважины в ячейке сетки)
Приток из водоносного горизонта	давление на контуре залежи, а не среднее по ней (Модели притока законтурной воды)

В разбуренной залежи остановка одной скважины не останавливает соседей: давление в её области сначала растёт, а потом начинает снижаться вместе со всей залежью. Поэтому КВД относят к области дренирования скважины такой, какой она была в момент остановки. Метод MBH пользуется только прямой радиального притока — ранней частью КВД, которую соседи ещё не исказили, — и потому применим и в разбуренной залежи; длинные КВД среди работающих скважин требуют учёта соседей (Исследования в разбуренной залежи: метод Слайдера). Примеры урока проще: скважина одна в замкнутом блоке.

Аналогия: ванна со сливом

Откройте слив в ванне: у отверстия появится воронка, а уровень остальной воды будет медленно опускаться. Закройте слив — воронка заполнится, и поверхность выровняется на уровне, который отвечает оставшемуся объёму воды, а не тому, с которого начинали. Начальный уровень — это $p_i$ , выровнявшийся — $\bar p$ . Аналогия неполна: в пласте выравнивание идёт не секунды, а часы и недели — его скорость задают пьезопроводность пласта и размеры области.

РасчётРасчётное давление в пласте вдоль длинной оси блока из примеров урока (1000 × 500 м, скважина в 250 м от короткой стороны) в момент остановки после 4000 ч работы и через 24, 200 и 1000 ч после неё; пунктир — среднее давление области. Перепад на скине не показан: в стволе в момент остановки давление ещё на 0,8 МПа ниже — 15,7 МПа. Воронка у скважины заполняется за сутки, а дальний конец блока выравнивается с остальным неделями.

Восстановление давления в замкнутой области

КВД описывают суперпозицией: остановка равносильна пуску в той же точке воображаемой нагнетательной скважины с тем же расходом. В ограниченной области в эту сумму подставляют функцию давления замкнутой области, а не бесконечного пласта:

КВД в замкнутой области как сумма двух дебитов

p_i - p_{ws}(\Delta t) = \frac{qB\mu}{2\pi kh}\Big[p_D(t_p + \Delta t) - p_D(\Delta t)\Big]

где:

$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$p_{ws}(\Delta t)$ забойное давление через время $\Delta t$ после остановки, Па
$p_D(t)$ безразмерное падение давления на стенке скважины, работающей с постоянным дебитом время $t$ в замкнутой области, без скина (скин входит в оба слагаемых одинаково и сокращается), —
$t_p$ время работы с дебитом $q$ до остановки, с
$q,\ B,\ \mu$ дебит в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, м³/с, м³/м³, Па·с
$k,\ h$ проницаемость и эффективная толщина, м², м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

однофазный слабосжимаемый флюид, однородный пласт, область замкнута;
постоянный дебит до остановки (при меняющемся — эквивалентное время $N_p/q$ );
влияние ствола не учитываем: скважину закрывают у забоя или ранние точки не используют.

От формулы урока Анализ кривой восстановления давления она отличается только функцией $p_D$ . Пока возмущения не дошли до границ, это логарифм, и получается уравнение Хорнера. Потом $p_D$ начинает расти линейно во времени — область истощается.

Когда и время работы, и время остановки больше времени выхода на псевдоустановившийся режим, оба значения $p_D$ равны $2\pi t_{DA} + \tfrac12\ln\big(4A/(\gamma C_Ar_w^2)\big)$ (забойное давление через начальное). Постоянные сокращаются, и остаётся только истощение:

Давление, на которое выходит КВД в замкнутой области

p_{ws}(\Delta t \to \infty) = p_i - 2\pi t_{pDA}\,\frac{qB\mu}{2\pi kh} = p_i - \frac{qB\,t_p}{c_t V_p} = \bar p

где:

$t_{pDA}$ время работы, отнесённое к площади: $kt_p/(\phi\mu c_tA)$ , —
$A$ площадь области дренирования, м²
$V_p = \phi hA$ поровый объём области, м³
$c_t$ общая сжимаемость пород и флюидов, 1/Па
$\bar p$ среднее давление области в момент остановки, Па

Единицы: СИ; в метрических единицах снижение давления равно $qBt_p/(24\,c_tV_p)$ при $q$ в м³/сут, $t_p$ в часах и $c_t$ в 1/МПа

Справедливо, если

$\Delta t_{DA} = k\Delta t/(\phi\mu c_tA)$ больше времени выхода на режим для данной формы области;
область замкнута, соседние скважины не работают, флюид однофазный.

КВД выходит на давление, которое материальный баланс приписывает области в момент остановки, то есть на среднее пластовое давление. Ждать приходится столько же, сколько скважине после пуска нужно для выхода на псевдоустановившийся режим: в равенстве участвует то же $p_D(\Delta t)$ . Для компактной области со скважиной в центре это $t_{DA}$ около 0,1–0,15, для вытянутой или со скважиной у края — около единицы.

КВД из примеров урока: как давление подходит к среднему (расчёт модели)

$\Delta t$ , ч: 24
$\Delta t$ , сут: 1,0
$p_{ws}$ , МПа: 19,515
$\bar p - p_{ws}$ , МПа: 0,625

$\Delta t$ , ч: 72
$\Delta t$ , сут: 3,0
$p_{ws}$ , МПа: 19,683
$\bar p - p_{ws}$ , МПа: 0,458

$\Delta t$ , ч: 200
$\Delta t$ , сут: 8,3
$p_{ws}$ , МПа: 19,831
$\bar p - p_{ws}$ , МПа: 0,310

$\Delta t$ , ч: 400
$\Delta t$ , сут: 17
$p_{ws}$ , МПа: 19,962
$\bar p - p_{ws}$ , МПа: 0,179

$\Delta t$ , ч: 800
$\Delta t$ , сут: 33
$p_{ws}$ , МПа: 20,081
$\bar p - p_{ws}$ , МПа: 0,060

$\Delta t$ , ч: 1600
$\Delta t$ , сут: 67
$p_{ws}$ , МПа: 20,134
$\bar p - p_{ws}$ , МПа: 0,007

$\Delta t$ , ч	$\Delta t$ , сут	$p_{ws}$ , МПа	$\bar p - p_{ws}$ , МПа
24	1,0	19,515	0,625
72	3,0	19,683	0,458
200	8,3	19,831	0,310
400	17	19,962	0,179
800	33	20,081	0,060
1600	67	20,134	0,007

Блок 1000 × 500 м, скважина на длинной оси в 250 м от короткой стороны, 4000 ч работы с дебитом 45 м³/сут; среднее давление области в момент остановки — 20,141 МПа, начальное — 26,0 МПа. Данные условные.

На графике Хорнера такая КВД выглядит так: после влияния ствола — прямая радиального притока, затем точки отходят от неё вниз и выполаживаются к $\bar p$ . Продолжение прямой до отношения Хорнера, равного 1, даёт $p^*$ , и здесь оно не равно ни начальному давлению (его в области давно нет), ни среднему. Уравнение Хорнера построено для бесконечного пласта, где бесконечно долгая остановка вернула бы давление к $p_i$ ; в замкнутой области это не так.

РасчётГрафик Хорнера КВД из примеров урока: точки — замеры за первые 72 ч, тонкая линия — продолжение той же КВД по модели до 3000 ч, штриховая прямая — прямая радиального притока и её продолжение до

p^*

, пунктир — среднее давление. Через 72 ч давление ещё почти на 0,5 МПа ниже среднего.

Метод MBH: поправка от p* к среднему давлению

Прямая радиального притока на КВД в замкнутой области сохраняется: в первые часы после остановки давление растёт почти так же, как в бесконечном пласте (оговорка — в разделе о времени работы). Значит, по ней по-прежнему находят $kh$ , скин и $p^*$ . Остаётся связать $p^*$ со средним давлением. Разность между ними зависит только от формы области, положения в ней скважины и безразмерного времени работы — её удобно выразить безразмерно и рассчитать один раз для каждой геометрии. Это функция MBH (метод MBH):

Безразмерная поправка MBH

p_{DMBH}(t_{pDA}) = \frac{4\pi kh}{qB\mu}\,(p^* - \bar p) = \frac{2{,}303\,(p^* - \bar p)}{m}

где:

$p^*$ давление на продолжении прямой Хорнера, построенной с фактическим временем работы $t_p$ , при отношении Хорнера 1, Па
$\bar p$ среднее давление области в момент остановки, Па
$m$ наклон прямой Хорнера на десятичный цикл (положительный), Па
$t_{pDA}$ время работы, отнесённое к площади: $kt_p/(\phi\mu c_tA)$ , —
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h$ дебит до остановки, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м

Единицы: СИ; вторая форма верна в любых единицах, если $p^*$ , $\bar p$ и $m$ выражены в одних единицах давления

Справедливо, если

на КВД есть прямая радиального притока (её подтверждают производной давления);
однородный пласт, однофазный флюид, область замкнута, скважина в ней одна (или область — часть блока, отделённая от соседних скважин линиями раздела потоков);
до остановки дебит был постоянным; на участке прямой $\Delta t \ll t_p$ .

Отсюда рабочая формула: $\bar p = p^* - (m/2{,}303)\,p_{DMBH}(t_{pDA})$ . Значение $p_{DMBH}$ берут с графика MBH для подходящей формы области и положения скважины.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

p^* - \bar p = 0{,}933\,\frac{q\,B\,\mu}{k\,h}\,p_{DMBH}

$q$ — м³/сут в стандартных условиях, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ — м; давление — МПа.

$0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853) = 2{,}149/2{,}303$ — наклон на единицу натурального логарифма (откуда постоянные).

Промысловые единицы (oilfield)

p^* - \bar p = 70{,}6\,\frac{q\,B\,\mu}{k\,h}\,p_{DMBH}

$q$ — STB/d, $B$ — rb/STB, $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ — ft; давление — psi.

$70{,}6 = 162{,}6/2{,}303$ .

Откуда берётся эта функция, показывает суперпозиция (вывод — в дополнительных разделах):

Функция MBH через решение для работающей скважины

p_{DMBH}(t_{pDA}) = 4\pi t_{pDA} - 2\Big[p_D(t_{pD}) - \tfrac12\big(\ln t_{pD} + 0{,}809\big)\Big]

где:

$p_D(t_{pD})$ функция давления скважины в замкнутой области при постоянном дебите (без скина) в момент остановки, —
$\tfrac12(\ln t_{pD} + 0{,}809)$ то же для бесконечного пласта (Решение для линейного источника и функция давления), —
$t_{pD}$ время работы в безразмерном виде, $kt_p/(\phi\mu c_tr_w^2)$ , —

Единицы: безразмерная; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

те же, что для функции MBH; $p_D$ рассчитан для конкретной формы области и положения скважины.

Первое слагаемое — истощение по материальному балансу, $p_i - \bar p$ в единицах $qB\mu/(4\pi kh)$ . Второе — насколько границы успели понизить забойное давление к моменту остановки по сравнению с бесконечным пластом: ровно на столько же $p^*$ ниже $p_i$ . Если границы ещё не сказались, второе слагаемое равно нулю, $p^* = p_i$ и $p_{DMBH} = 4\pi t_{pDA}$ — поправка сводится к материальному балансу. В псевдоустановившемся режиме $p_{DMBH} = \ln(C_At_{pDA})$ — прямая на полулогарифмическом графике; при $t_{pDA} = 1$ её ордината равна $\ln C_A$ .

РасчётРасчётные функции MBH для скважины в замкнутом квадрате и прямоугольниках (модель урока); оранжевая кривая — блок примеров урока (2:1, скважина в четверти длины). Штриховая кривая —

4\pi t_{pDA}

: границы ещё не повлияли на работу скважины. Каждая кривая со временем выходит на свою прямую

\ln(C_At_{pDA})

. Чем вытянутее область и чем ближе скважина к её границе, тем ниже кривая и тем позже она выходит на прямую.

Функция MBH для некоторых замкнутых областей (расчёт модели)

Форма и положение скважины: Квадрат, скважина в центре
$C_A$: 30,88
$\ln(C_At_{pDA})$ годится при $t_{pDA} >$: 0,11
$p_{DMBH}$ при $t_{pDA}$ = 0,1: 1,15
при $t_{pDA}$ = 0,3: 2,23

Форма и положение скважины: Прямоугольник 2:1, в центре
$C_A$: 21,84
$\ln(C_At_{pDA})$ годится при $t_{pDA} >$: 0,21
$p_{DMBH}$ при $t_{pDA}$ = 0,1: 0,96
при $t_{pDA}$ = 0,3: 1,88

Форма и положение скважины: Прямоугольник 2:1, на оси в 1/4 длины от короткой стороны
$C_A$: 4,52
$\ln(C_At_{pDA})$ годится при $t_{pDA} >$: 0,98
$p_{DMBH}$ при $t_{pDA}$ = 0,1: 0,76
при $t_{pDA}$ = 0,3: 0,88

Форма и положение скважины: Прямоугольник 2:1, на оси в 1/8 длины от короткой стороны
$C_A$: 0,58
$\ln(C_At_{pDA})$ годится при $t_{pDA} >$: 1,09
$p_{DMBH}$ при $t_{pDA}$ = 0,1: −0,10
при $t_{pDA}$ = 0,3: −0,75

Форма и положение скважины: Прямоугольник 4:1, в центре
$C_A$: 5,38
$\ln(C_At_{pDA})$ годится при $t_{pDA} >$: 0,49
$p_{DMBH}$ при $t_{pDA}$ = 0,1: 0,34
при $t_{pDA}$ = 0,3: 0,61

Форма и положение скважины: Прямоугольник 5:1, в центре
$C_A$: 2,36
$\ln(C_At_{pDA})$ годится при $t_{pDA} >$: 0,64
$p_{DMBH}$ при $t_{pDA}$ = 0,1: 0,04
при $t_{pDA}$ = 0,3: −0,05

Форма и положение скважины	$C_A$	$\ln(C_At_{pDA})$ годится при $t_{pDA} >$	$p_{DMBH}$ при $t_{pDA}$ = 0,1	при $t_{pDA}$ = 0,3
Квадрат, скважина в центре	30,88	0,11	1,15	2,23
Прямоугольник 2:1, в центре	21,84	0,21	0,96	1,88
Прямоугольник 2:1, на оси в 1/4 длины от короткой стороны	4,52	0,98	0,76	0,88
Прямоугольник 2:1, на оси в 1/8 длины от короткой стороны	0,58	1,09	−0,10	−0,75
Прямоугольник 4:1, в центре	5,38	0,49	0,34	0,61
Прямоугольник 5:1, в центре	2,36	0,64	0,04	−0,05

Скважина — линейный источник в однородном замкнутом прямоугольнике; «годится» — по критерию урока: отличие от $\ln(C_At_{pDA})$ меньше 0,02 (ошибка $\bar p$ меньше $0{,}01\,m$ ). Классические табличные $C_A$ совпадают с этими в пределах 0,4 %. Отрицательные значения означают, что $\bar p > p^*$ .

Порядок расчёта по методу MBH

1
Прямая Хорнера
По точкам радиального притока находят наклон $m$ , проводимость $kh$ и $p^*$ , как в уроке Анализ кривой восстановления давления; в функцию Хорнера подставляют время работы $t_p$ или $N_p/q$ .
2
Площадь и форма
По карте разломов, сейсмике, расстановке скважин или первому длительному исследованию задают площадь области $A$ , её форму и положение скважины. В разбуренной залежи площади делят пропорционально дебитам.
3
Безразмерное время
$t_{pDA} = 3{,}553\cdot10^{-3}\,kt_p/(\phi\mu c_tA)$ при $t_p$ в часах, $k$ в мД, $\mu$ в мПа·с, $c_t$ в 1/МПа и $A$ в м².
4
Поправка
С графика MBH для подходящей формы снимают $p_{DMBH}(t_{pDA})$ ; если $t_{pDA}$ больше времени, с которого кривая совпадает со своей прямой, берут $\ln(C_At_{pDA})$ .
5
Среднее давление
$\bar p = p^* - (m/2{,}303)\,p_{DMBH}$ . Результат сверяют с материальным балансом и с предыдущими исследованиями.

КВД добывающей скважины в замкнутом блоке (условные данные)

$\Delta t$ , ч: 0,25
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 16 001
$p_{ws}$ , МПа: 18,592

$\Delta t$ , ч: 0,5
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 8001
$p_{ws}$ , МПа: 18,737

$\Delta t$ , ч: 1
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 4001
$p_{ws}$ , МПа: 18,882

$\Delta t$ , ч: 2
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 2001
$p_{ws}$ , МПа: 19,026

$\Delta t$ , ч: 4
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 1001
$p_{ws}$ , МПа: 19,169

$\Delta t$ , ч: 8
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 501,0
$p_{ws}$ , МПа: 19,308

$\Delta t$ , ч: 12
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 334,3
$p_{ws}$ , МПа: 19,388

$\Delta t$ , ч: 24
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 167,7
$p_{ws}$ , МПа: 19,515

$\Delta t$ , ч: 48
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 84,3
$p_{ws}$ , МПа: 19,627

$\Delta t$ , ч: 72
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 56,6
$p_{ws}$ , МПа: 19,683

$\Delta t$ , ч	Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$	$p_{ws}$ , МПа
0,25	16 001	18,592
0,5	8001	18,737
1	4001	18,882
2	2001	19,026
4	1001	19,169
8	501,0	19,308
12	334,3	19,388
24	167,7	19,515
48	84,3	19,627
72	56,6	19,683

Время работы $t_p$ = 4000 ч с дебитом 45 м³/сут; скважину закрыли у забоя, влияние ствола закончилось в первые минуты. Данные рассчитаны по модели однородного замкнутого блока 1000 × 500 м и округлены до 0,001 МПа.

Расчётный примерСреднее давление по КВД методом MBH

Исходные данные (условные)

Скважина и блок: единственная скважина в замкнутом тектоническом блоке 1000 × 500 м ( $A$ = 50 га) на длинной оси в 250 м от короткой стороны; $C_A$ = 4,52
Работа до остановки: 45 м³/сут нефти; накоплено 7500 м³, $t_p = N_p/q$ = 4000 ч
$B$ ; $\mu$ ; $h$ ; $\phi$ ; $c_t$: 1,25 м³/м³; 1,2 мПа·с; 10 м; 0,20; $1{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Начальное давление: 26,0 МПа
КВД: таблица выше; прямая — по замерам 0,5 и 2 ч

Решение

Абсциссы Хорнера: $\lg(4000{,}5/0{,}5) = 3{,}90314$ и $\lg(4002/2) = 3{,}30125$ ; наклон $m = \dfrac{19{,}026 - 18{,}737}{3{,}90314 - 3{,}30125} = 0{,}4802$ МПа на цикл.
Проводимость и проницаемость: $kh = 2{,}149\cdot\dfrac{45\cdot1{,}25\cdot1{,}2}{0{,}4802} = 302$ мД·м, $k = 30{,}2$ мД.
Экстраполированное давление: $p^* = 19{,}026 + 0{,}4802\cdot3{,}30125 = 20{,}611$ МПа.
Безразмерное время работы: $t_{pDA} = \dfrac{3{,}553\cdot10^{-3}\cdot30{,}2\cdot4000}{0{,}20\cdot1{,}2\cdot1{,}6\cdot10^{-3}\cdot500\,000} = 2{,}235$ . Для этой формы функция MBH совпадает со своей прямой при $t_{pDA} > 0{,}98$ (таблица), поэтому $p_{DMBH} = \ln(C_At_{pDA})$ .
Поправка: $C_At_{pDA} = 4{,}52\cdot2{,}235 = 10{,}10$ , $\lg 10{,}10 = 1{,}0043$ , $m\lg(C_At_{pDA}) = 0{,}4823$ МПа.
Среднее давление: $\bar p = 20{,}611 - 0{,}4823 = 20{,}129$ МПа.
Проверка материальным балансом: поровый объём блока $500\,000\cdot10\cdot0{,}20 = 10^6$ м³, $\bar p = 26{,}0 - \dfrac{1{,}25\cdot7500}{1{,}6\cdot10^{-3}\cdot10^6} = 20{,}141$ МПа.

Ответ: Среднее давление в блоке на момент остановки — около 20,129 МПа;

p^*

выше него почти на полмегапаскаля.

Что это значит. Метод MBH дал среднее давление с ошибкой 0,012 МПа — около 0,2 % от снижения давления в блоке (5,86 МПа). Если бы за среднее приняли $p^*$ , ошибка составила бы 0,47 МПа, и материальный баланс показал бы меньшее истощение, а значит, завышенные запасы. Дождаться выравнивания нельзя: через 72 ч КВД ещё на 0,46 МПа ниже среднего давления, а до разницы 0,05 МПа надо ждать больше месяца (таблица выше). Данные примера условные: они рассчитаны по модели однородного блока.

Короткая работа перед остановкой

Если скважина до остановки работала недолго и границ не почувствовала (как разведочная скважина после короткого испытания), $p_{DMBH} = 4\pi t_{pDA}$ , $p^*$ равен начальному давлению, а поправка MBH даёт просто $\bar p = p_i - qBt_p/(c_tV_p)$ . При небольшом отборе из большой области $\bar p$ и $p^*$ почти совпадают — поэтому по первой КВД в новом пласте и определяют начальное давление.

Если скважина вышла на псевдоустановившийся режим: формулы Дитца и Рэми — Кобба

Добывающие скважины обычно работают перед остановкой месяцами, и их $t_{pDA}$ намного больше времени выхода на режим. Тогда график MBH не нужен:

Среднее давление после работы в псевдоустановившемся режиме

\bar p = p^* - m\,\lg\left(C_A\,t_{pDA}\right)

где:

$C_A$ коэффициент формы области с данным положением скважины, —
$t_{pDA}$ время работы, отнесённое к площади, —
$p^*,\ m$ продолжение прямой Хорнера при отношении 1 и её наклон на десятичный цикл, МПа

Единицы: любые согласованные: $p^*$ , $\bar p$ и $m$ — в одних единицах давления

Справедливо, если

до остановки скважина вышла на псевдоустановившийся режим: $t_{pDA}$ больше времени, с которого функция MBH совпадает с $\ln(C_At_{pDA})$ (таблица выше);
$p^*$ и $t_{pDA}$ рассчитаны с одним и тем же временем работы.

При $C_At_{pDA} > 1$ среднее давление ниже $p^*$ , при $C_At_{pDA} < 1$ — выше. Второе бывает у скважины рядом с границей (малый $C_A$ ) после не слишком долгой работы.

Две графические формы той же формулы избавляют от вычитания поправки:

Метод Дитца (метод Дитца). На графике MDH — давление от $\lg\Delta t$ — прямую радиального притока продолжают до времени $\Delta t_{\bar p}$ (формула ниже); давление на прямой в этот момент и есть $\bar p$ . Время работы знать не нужно, но оно должно быть много больше $\Delta t_{\bar p}$ .
Метод Рэми — Кобба. На графике Хорнера давление читают на прямой при отношении Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t = C_At_{pDA}$ .

Время Дитца

\Delta t_{\bar p} = \frac{\phi\mu c_t A}{k\,C_A}

где:

$\Delta t_{\bar p}$ время на продолжении прямой MDH, при котором она проходит через $\bar p$ , с
$A,\ C_A$ площадь области и коэффициент формы, м², —
$k,\ \phi,\ \mu,\ c_t$ проницаемость, пористость, вязкость, общая сжимаемость, м², —, Па·с, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

до остановки скважина работала в псевдоустановившемся режиме, и время работы много больше $\Delta t_{\bar p}$ ;
прямая MDH проведена по точкам радиального притока.

В безразмерном виде $\Delta t_{DA} = 1/C_A$ . Это не время, через которое скважина действительно выйдет на среднее давление (оно в несколько раз больше), а точка, где продолжение прямой пересекает уровень $\bar p$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

\Delta t_{\bar p}\,[\text{ч}] = \frac{\phi\;\mu\,[\text{мПа·с}]\;c_t\,[\text{МПа}^{-1}]\;A\,[\text{м}^2]}{3{,}553\cdot10^{-3}\,k\,[\text{мД}]\;C_A}

$\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $A$ — м², $k$ — мД; время — часы.

$3{,}553\cdot10^{-3}$ — множитель безразмерного времени в этих единицах (время выхода на режим).

Промысловые единицы (oilfield)

\Delta t_{\bar p}\,[\text{h}] = \frac{\phi\;\mu\,[\text{сП}]\;c_t\,[\text{psi}^{-1}]\;A\,[\text{ft}^2]}{2{,}637\cdot10^{-4}\,k\,[\text{мД}]\;C_A}

$\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $A$ — квадратные футы, $k$ — мД; время — часы.

$2{,}637\cdot10^{-4}$ — множитель безразмерного времени в промысловых единицах.

Какое время работы подставлять в функцию Хорнера

В функцию Хорнера подставляют время работы $t_p$ , а при меняющемся дебите — эквивалентное время $N_p/q$ (метод MDH и эквивалентное время). В ограниченной области от этого выбора зависит $p^*$ : если заменить $t_p$ на $t_p'$ , точки сдвинутся по оси абсцисс, и продолжение прямой изменится на $m\lg(t_p'/t_p)$ . Но и поправка $m\lg(C_At_{pDA})$ изменится на ту же величину, поэтому среднее давление по формуле предыдущего раздела останется прежним — если скважина вышла на режим и обе величины посчитаны с одним временем.

Время работы влияет на другое — на то, как долго точки лежат на прямой. После долгой работы в псевдоустановившемся режиме к росту давления после остановки примешивается продолжающееся истощение от воображаемой «работающей» скважины суперпозиции, и наклон на графике Хорнера с фактическим $t_p$ уменьшается задолго до того, как сказываются границы:

Местный наклон графика Хорнера после работы в псевдоустановившемся режиме

\frac{\text{местный наклон}}{m} = \left(1 + \frac{\Delta t}{t_p'}\right)\left(1 - 4\pi\,\Delta t_{DA}\right)

где:

$t_p'$ время работы, подставленное в функцию Хорнера (не обязательно фактическое), ч
$\Delta t_{DA}$ время остановки, отнесённое к площади: $k\Delta t/(\phi\mu c_tA)$ , —
$m$ наклон радиального притока, МПа

Единицы: безразмерная; $\Delta t$ и $t_p'$ в одних единицах

Справедливо, если

до остановки скважина работала в псевдоустановившемся режиме;
после остановки вокруг скважины ещё радиальный приток: возмущение от остановки не дошло до границ.

С фактическим долгим $t_p$ первая скобка почти равна 1, и наклон падает на 5 % уже при $\Delta t_{DA} \approx 0{,}004$ . Если же подставить время, при котором $t_{pDA}' = 1/(4\pi) \approx 0{,}08$ , искажения первого порядка взаимно гасятся, и прямая держится в несколько раз дольше: до отклонения 5 % — примерно в четыре раза, до 1 % — в десять. Поэтому после долгой работы удобно строить график Хорнера с $t_{pDA}' \approx 0{,}08$ , а среднее давление считать по той же формуле с $C_At_{pDA}'$ .

Расчётный примерТе же данные: другое время в функции Хорнера и метод Дитца

Исходные данные (условные)

КВД и пласт: из предыдущего примера; $k$ = 30,2 мД, $C_A$ = 4,52, $\phi\mu c_tA$ = 192 мПа·с·м²/МПа
Время для функции Хорнера: такое, что $t_{pDA}' = 0{,}08$
Прямая: по замерам 2 ч (19,026 МПа) и 12 ч (19,388 МПа)

Решение

Время Хорнера: $t_p' = \dfrac{0{,}08\cdot192}{3{,}553\cdot10^{-3}\cdot30{,}2} = 143{,}1$ ч.
Абсциссы: $\lg\dfrac{143{,}1 + 2}{2} = 1{,}86064$ , $\lg\dfrac{143{,}1 + 12}{12} = 1{,}11143$ ; наклон $m' = \dfrac{19{,}388 - 19{,}026}{1{,}86064 - 1{,}11143} = 0{,}4832$ МПа на цикл.
Продолжение прямой: $p^{*\prime} = 19{,}388 + 0{,}4832\cdot1{,}11143 = 19{,}925$ МПа — на 0,686 МПа ниже, чем с фактическим временем.
Среднее давление: $C_At_{pDA}' = 4{,}52\cdot0{,}08 = 0{,}3616$ , $\lg 0{,}3616 = -0{,}4418$ ; $\bar p = 19{,}925 - 0{,}4832\cdot(-0{,}4418) = 20{,}138$ МПа.
Метод Дитца: $\Delta t_{\bar p} = \dfrac{192}{3{,}553\cdot10^{-3}\cdot30{,}2\cdot4{,}52} = 396$ ч. Прямая MDH через замеры 0,5 и 2 ч: наклон $0{,}289/\lg 4 = 0{,}4800$ МПа на цикл; на ней при 396 ч давление $19{,}026 + 0{,}4800\cdot\lg\dfrac{396}{2} = 19{,}026 + 0{,}4800\cdot2{,}2967 = 20{,}128$ МПа.

Ответ: Короткое время Хорнера даёт 20,138 МПа, метод Дитца — 20,128 МПа, метод MBH в предыдущем примере — 20,129 МПа; материальный баланс — 20,141 МПа.

Что это значит. Расхождения — сотые доли мегапаскаля. Точнее всех вариант с коротким временем Хорнера: прямая по замерам 2–12 ч лежит на участке, где наклон искажён меньше чем на 0,7 %, тогда как на графике с фактическим временем работы к 12 ч наклон уже на 8 % меньше. Поэтому с фактическим временем прямую пришлось строить по первым двум часам. Время Дитца — около 17 сут — не момент, когда скважина действительно выйдет на среднее давление: по модели через 396 ч КВД ещё на 0,18 МПа ниже него. Данные примера условные.

Обобщение этой идеи — подставлять в функцию Хорнера не фактическое время, а такое, при котором продолжение прямой проходит через давление на границе области, — и случаи с несколькими скважинами в одном блоке разобраны в уроке Эквивалентное и синтетическое время работы. Если же работа перед остановкой была короткой, наклон искажает уже не истощение, а сама суперпозиция; это урок Влияние времени работы на анализ КВД.

Поздние точки КВД: подход к среднему давлению

Если КВД всё-таки длинная — скважину остановили надолго по другим причинам, это наблюдательная скважина или пласт очень проницаемый, — среднее давление можно найти и без формы области. В конце восстановления остаток $\bar p - p_{ws}$ затухает по экспоненте. Давление выравнивается одновременно по разным направлениям и масштабам, но медленнее всего — вдоль самого длинного размера области; этот «тон» и остаётся последним.

Поздняя КВД в замкнутой области

\bar p - p_{ws}(\Delta t) \approx a\,\e^{-\lambda\,\Delta t},\qquad \lambda \approx \frac{\pi^2\eta}{L^2}

где:

$a$ постоянная (зависит от формы области и истории работы), Па
$\lambda$ показатель затухания, 1/с
$\eta = k/(\phi\mu c_t)$ пьезопроводность пласта, м²/с
$L$ длина прямоугольной области (длинная сторона), м

Единицы: СИ; в метрических единицах $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\,k/(\phi\mu c_t)$ м²/ч, и $\lambda$ получается в 1/ч

Справедливо, если

поздний период: остальные, более быстрые «тоны» уже затухли — для прямоугольника это $\Delta t_{DA}$ порядка 0,2–0,5 и больше;
формула для $\lambda$ — для прямоугольной области и скважины не посередине её длины; посередине этот тон не возбуждается, и затухание быстрее. Для скважины в центре круга $\lambda = 14{,}7\,\eta/r_e^2$ ;
одна скважина в замкнутой области, соседи не работают.

По нескольким поздним замерам находят $\lambda$ и $a$ , а с ними и $\bar p$ . На этом основаны два давних приёма: подобрать $\bar p$ так, чтобы $\lg(\bar p - p_{ws})$ от $\Delta t$ легло на прямую (метод Маскета для КВД; не путать с одноимённым методом прогноза режима растворённого газа, Прогноз работы залежи с режимом растворённого газа), или построить скорость роста давления $\dd p_{ws}/\dd\Delta t$ от самого давления — прямую, которая пересекает ось при $p_{ws} = \bar p$ (метод Арпса — Смита).

Расчётный примерСреднее давление по трём поздним замерам

Исходные данные (условные)

Скважина: та же, но остановленная надолго (продолжение КВД по модели)
Замеры: 400 ч — 19,962 МПа; 600 ч — 20,037 МПа; 800 ч — 20,081 МПа
Пьезопроводность; длина блока: $\eta$ = 277,6 м²/ч; 1000 м

Решение

Приращения за равные промежутки 200 ч: $d_1 = 20{,}037 - 19{,}962 = 0{,}075$ МПа, $d_2 = 20{,}081 - 20{,}037 = 0{,}044$ МПа; их отношение $q_r = d_2/d_1 = 0{,}5867$ .
Показатель затухания: $\lambda = -\ln 0{,}5867/200 = 0{,}00267$ ч⁻¹; по формуле $\pi^2\eta/L^2 = 9{,}87\cdot277{,}6/1000^2 = 0{,}00274$ ч⁻¹ — близко.
Остаток роста после последнего замера — сумма убывающей геометрической прогрессии: $d_2\,\dfrac{q_r}{1 - q_r} = 0{,}044\cdot\dfrac{0{,}5867}{1 - 0{,}5867} = 0{,}062$ МПа.
Среднее давление: $\bar p = 20{,}081 + 0{,}062 = 20{,}143$ МПа.

Ответ: По поздним точкам

\bar p \approx 20{,}143

МПа (материальный баланс — 20,141 МПа).

Что это значит. Приём работает, только когда остался один тон. По замерам 100, 200 и 300 ч (19,727, 19,831 и 19,905 МПа) та же арифметика дала бы 20,088 МПа — на 0,05 МПа меньше. И он требует остановки больше чем на месяц, что для добывающей скважины почти всегда неприемлемо; для наблюдательной или длительно простаивающей скважины — вполне. Данные примера условные.

Повторные исследования и материальный баланс

Первое исследование новой скважины стоит сделать длинным: по позднему участку записи находят границы, площадь и форму области (Исследование на ограниченность пласта, Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений), а значит, и $C_A$ . Дальше достаточно коротких остановок — только до появления прямой радиального притока: $p^*$ и поправка MBH дают среднее давление на каждую дату, а скважина простаивает часы, а не недели.

Скин по коротким КВД сравнивают при одном и том же наклоне — проводимости из первого, надёжного исследования (если она заметно не меняется): короткая прямая определяет наклон неточно, и его разброс превратился бы в мнимые изменения скина. А средние давления повторных исследований вместе с накопленной добычей дают материальный баланс области:

Среднее давление замкнутой области и накопленная добыча

\bar p = p_i - \frac{B}{c_t V_p}\,N_p

где:

$N_p$ накопленная добыча нефти в стандартных условиях к моменту остановки, м³
$V_p$ поровый объём области, связанный со скважиной, м³
$B,\ c_t$ объёмный коэффициент нефти и общая сжимаемость, м³/м³, 1/МПа
$p_i$ начальное пластовое давление, МПа

Единицы: любые согласованные (например, м³, 1/МПа и МПа)

Справедливо, если

замкнутая область без притока воды; однофазная нефть выше давления насыщения; $B$ и $c_t$ постоянны;
в области одна скважина, или $N_p$ и $V_p$ относятся ко всему замкнутому блоку.

Средние давления в зависимости от накопленной добычи ложатся на прямую. Её наклон даёт $c_tV_p$ , а продолжение к $N_p = 0$ должно вернуть начальное давление — это проверка. Запасы нефти в области равны $V_p(1 - S_{wi})/B$ , где $S_{wi}$ — начальная водонасыщенность, а $B$ взят при начальном давлении (Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи).

Расчётный примерПоровый объём по трём исследованиям

Исходные данные (условные)

Исследования той же скважины: после 2000, 3000 и 4000 ч работы с дебитом 45 м³/сут ( $N_p$ = 3750, 5625 и 7500 м³)
Прямые Хорнера: $m$ = 0,480 МПа на цикл во всех трёх; $p^*$ = 23,399; 22,016 и 20,611 МПа
$C_A$ ; $B$ ; $c_t$: 4,52; 1,25; $1{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $t_{pDA}$ при 4000 ч — 2,235 (первый пример)

Решение

Безразмерное время при 2000 и 3000 ч: $2{,}235\cdot2000/4000 = 1{,}118$ и $2{,}235\cdot3000/4000 = 1{,}676$ — оба больше 0,98, поэтому годится $\ln(C_At_{pDA})$ .
Средние давления: $23{,}399 - 0{,}480\cdot\lg(4{,}52\cdot1{,}118) = 23{,}399 - 0{,}480\cdot0{,}7036 = 23{,}061$ МПа; $22{,}016 - 0{,}480\cdot0{,}8794 = 21{,}594$ МПа; $20{,}611 - 0{,}480\cdot1{,}0044 = 20{,}129$ МПа.
Наклон по первому и последнему: при отборе $1{,}25\cdot(7500 - 3750) = 4687{,}5$ м³ в пластовых условиях среднее давление снизилось на $23{,}061 - 20{,}129 = 2{,}932$ МПа; $c_tV_p = 4687{,}5/2{,}932 = 1599$ м³/МПа, $V_p = 1599/(1{,}6\cdot10^{-3}) = 999$ тыс. м³.
Проверка: продолжение к $N_p = 0$ — $23{,}061 + 2{,}932 = 25{,}993$ МПа — совпадает с начальным давлением 26,0 МПа.
Если вместо средних давлений взять сами $p^*$ : $c_tV_p = 4687{,}5/(23{,}399 - 20{,}611) = 1681$ м³/МПа — объём на 5 % больше, а продолжение к $N_p = 0$ даёт 26,19 МПа — выше начального давления.

Ответ: Поровый объём, связанный со скважиной, — около 999 тыс. м³ (в модели — 1000 тыс. м³); без поправки MBH он завышен на 5 %.

Что это значит. Разность $p^* - \bar p = m\lg(C_At_{pDA})$ растёт со временем работы, поэтому ряд $p^*$ снижается медленнее среднего давления — отсюда завышенный объём и «начальное давление» выше настоящего. Не менее сильно на результат влияет сжимаемость: $V_p$ обратно пропорционален $c_t$ , а сжимаемость пор известна хуже всего (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна). При притоке воды точки отклоняются от прямой вверх, и простой баланс неприменим (Модели притока законтурной воды). Данные примера условные.

Расширенная пробная эксплуатация с промежуточными КВД

Так поступают и при длительной работе разведочной скважины, когда удержать постоянный дебит не удаётся: работу прерывают короткими КВД, по каждой находят среднее давление, а поровый объём — по наклону средних давлений от накопленной добычи (Исследование на ограниченность пласта). Здесь возникает замкнутый круг: для поправки MBH нужна площадь, а площадь — как раз то, что ищут. Его разрывают последовательными приближениями: берут площадь по карте, считают средние давления и поровый объём, пересчитывают площадь и повторяют, пока результат не перестанет меняться.

Пределы методов и практика

Способы найти среднее давление по КВД

Способ: MBH по графику
Что нужно знать: площадь, форму, положение скважины, $t_p$
Когда применим: при любом времени работы; нужна прямая Хорнера
Главный риск: неверная площадь или форма

Способ: Формулы Дитца, Рэми — Кобба
Что нужно знать: площадь и $C_A$
Когда применим: скважина до остановки вышла на режим
Главный риск: работа короче времени выхода на режим

Способ: Поздние точки (экспонента)
Что нужно знать: только сами замеры
Когда применим: остановка на $\Delta t_{DA}$ порядка 0,3 и больше
Главный риск: длительность; работа соседей

Способ: Материальный баланс
Что нужно знать: $V_p$ , $c_t$ , накопленную добычу
Когда применим: замкнутая область, однофазный флюид
Главный риск: приток воды, неверная $c_t$

Способ	Что нужно знать	Когда применим	Главный риск
MBH по графику	площадь, форму, положение скважины, $t_p$	при любом времени работы; нужна прямая Хорнера	неверная площадь или форма
Формулы Дитца, Рэми — Кобба	площадь и $C_A$	скважина до остановки вышла на режим	работа короче времени выхода на режим
Поздние точки (экспонента)	только сами замеры	остановка на $\Delta t_{DA}$ порядка 0,3 и больше	длительность; работа соседей
Материальный баланс	$V_p$ , $c_t$ , накопленную добычу	замкнутая область, однофазный флюид	приток воды, неверная $c_t$

Слоистый пласт. Слои разной проницаемости истощаются по-разному, и в остановленной скважине между ними идёт переток через ствол. Давление такой скважины — не среднее ни одного слоя; пластовое давление по слоям измеряют опробователем пластов (Замеры давления в разрабатываемых пластах: барьеры и точность).
Газ. Сжимаемость газа зависит от давления, поэтому методы применяют в псевдодавлениях (псевдодавление), а материальный баланс строят по $p/Z$ (Материальный баланс газовой залежи).
Давление ниже давления насыщения. В пласте свободный газ, сжимаемость и подвижность меняются с давлением; поправки становятся приближёнными.
Подпитка. Если к области подходит вода или в ней есть газовая шапка, область не замкнута, и давление после остановки выходит не на баланс замкнутой области (Модели притока законтурной воды).
Соседние скважины. При долгой остановке их работа меняет и рост давления, и уровень, к которому оно стремится (Исследования в разбуренной залежи: метод Слайдера).

Термины и обозначения

Среднее пластовое давление $\bar p$: среднее по объёму пор давление области дренирования; к нему в замкнутой области выходит давление после бесконечно долгой остановки.
Функция MBH $p_{DMBH}$: безразмерная разность $p^* - \bar p$ в единицах $qB\mu/(4\pi kh)$ ; зависит от формы области, положения скважины и $t_{pDA}$ .
$t_{pDA}$: время работы до остановки, отнесённое к площади области: $kt_p/(\phi\mu c_tA)$ .
Время Дитца $\Delta t_{\bar p}$: время на продолжении прямой MDH, при котором она проходит через $\bar p$ ; в безразмерном виде $\Delta t_{DA} = 1/C_A$ .
Время Хорнера $t_p'$: время работы, подставленное в функцию Хорнера; может отличаться от фактического, если $t_{pDA}$ в поправке посчитано с ним же.
Повторные исследования: короткие КВД для контроля пластового давления и скина после первого, длинного исследования, которое установило границы области.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Давление за последние часы почти не растёт — значит, КВД закончилась, и последний замер равен среднему давлению».

На самом деле

На полулогарифмической шкале рост может идти ещё недели: в примере урока через 72 ч давление на 0,46 МПа ниже среднего. Последний замер — нижняя граница среднего давления, а не оно само.

Неверно

« $p^*$ всегда выше среднего давления».

На самом деле

Обычно да, но у скважины рядом с границей (малый $C_A$ ) после не слишком долгой работы функция MBH отрицательна, и $\bar p > p^*$ .

Неверно

«Для поправки достаточно взять $C_A$ = 31,6».

На самом деле

31,6 — круг со скважиной в центре. В примере урока $C_A$ = 4,52, и с 31,6 среднее давление получилось бы на $0{,}48\cdot\lg(31{,}6/4{,}52) \approx 0{,}41$ МПа ниже.

Неверно

«Раз время работы известно неточно, метод MBH бесполезен».

На самом деле

После выхода на режим результат от выбранного времени не зависит, если $p^*$ и $t_{pDA}$ посчитаны с одним и тем же временем.

Неверно

«Время Дитца — это сколько нужно держать скважину закрытой».

На самом деле

Это точка на продолжении прямой; реальное выравнивание идёт в несколько раз дольше.

Подробно: для продвинутых

Вывод функции MBH и её предельных форм

Запишем КВД суперпозицией в безразмерном виде, $p_{Ds} = 2\pi kh(p_i - p_{ws})/(qB\mu) = p_D(t_p + \Delta t) - p_D(\Delta t)$ . На участке прямой Хорнера после остановки вокруг скважины радиальный приток, $p_D(\Delta t) = \tfrac12(\ln\Delta t_D + 0{,}809)$ , а $\Delta t \ll t_p$ , так что $p_D(t_p + \Delta t) \approx p_D(t_p)$ . Прибавив и вычтя $\tfrac12\ln t_{pD}$ , получим $p_{Ds} = \tfrac12\ln(t_p/\Delta t) + p_D(t_{pD}) - \tfrac12(\ln t_{pD} + 0{,}809)$ : прямая Хорнера с наклоном $qB\mu/(4\pi kh)$ на единицу натурального логарифма, продолжение которой ( $t_p/\Delta t \to 1$ ) равно $p^* = p_i - \frac{qB\mu}{2\pi kh}\big[p_D(t_{pD}) - \tfrac12(\ln t_{pD} + 0{,}809)\big]$ .

Среднее давление в момент остановки — материальный баланс: $\frac{2\pi kh}{qB\mu}(p_i - \bar p) = 2\pi t_{pDA}$ . Вычитая, получаем $\frac{4\pi kh}{qB\mu}(p^* - \bar p) = 4\pi t_{pDA} - 2\big[p_D(t_{pD}) - \tfrac12(\ln t_{pD} + 0{,}809)\big]$ — формулу основного раздела. Радиус скважины и скин в неё не входят: они одинаково сдвигают $p_D$ и его логарифмическое приближение.

В псевдоустановившемся режиме $p_D(t_{pD}) = 2\pi t_{pDA} + \tfrac12\ln\frac{4A}{\gamma C_Ar_w^2}$ , а $0{,}809 = \ln(4/\gamma)$ и $t_{pD}\,r_w^2/A = t_{pDA}$ . Подстановка даёт $p_{DMBH} = \ln(C_At_{pDA})$ . Отсюда и формула Рэми — Кобба (на прямой Хорнера $\ln[(t_p + \Delta t)/\Delta t] = \ln(C_At_{pDA})$ ), и время Дитца: на прямой MDH $p = p^* - \frac{qB\mu}{4\pi kh}\ln(t_p/\Delta t)$ равно $\bar p$ при $t_p/\Delta t = C_At_{pDA}$ , то есть при $\Delta t_{DA} = 1/C_A$ .

Та же арифметика показывает, сколько ждать выравнивания. Если работа шла в псевдоустановившемся режиме, то $\bar p - p_{ws}(\Delta t) = \frac{qB\mu}{4\pi kh}\big[p_{DMBH}(\Delta t_{DA}) - \ln(C_A\Delta t_{DA})\big]$ : КВД подходит к среднему давлению так же, как функция MBH, рассчитанная для времени остановки, — к своей прямой. В примере урока при 400 ч остановки ( $\Delta t_{DA} = 0{,}22$ ) эта разность около 0,85, то есть 0,18 МПа.

Почему прямая Хорнера после долгой работы короче

Пусть до остановки скважина работала в псевдоустановившемся режиме. Тогда $p_D(t_p + \Delta t) = p_D(t_p) + 2\pi\Delta t_{DA}$ — пока скважина «продолжает работать» в суперпозиции, область истощается дальше. После остановки вокруг скважины радиальный приток: $p_D(\Delta t) = \tfrac12\ln\Delta t_D + \text{const}$ . Значит, давление в остановленной скважине $p_{ws} = \text{const} + m_e\ln\Delta t - 2m_e\cdot2\pi\Delta t_{DA}$ , где $m_e = qB\mu/(4\pi kh)$ .

Абсцисса Хорнера с временем $t_p'$ — $X = \ln[(t_p' + \Delta t)/\Delta t]$ , и $\dd X/\dd\Delta t = -t_p'/[\Delta t(t_p' + \Delta t)]$ . Производная давления по $\Delta t$ равна $m_e(1 - 4\pi\Delta t_{DA})/\Delta t$ . Делим одно на другое и получаем наклон $-\dd p_{ws}/\dd X = m_e(1 + \Delta t/t_p')(1 - 4\pi\Delta t_{DA})$ . Раскрыв скобки, видим поправку первого порядка $\Delta t_{DA}(1/t_{pDA}' - 4\pi)$ : она исчезает при $t_{pDA}' = 1/(4\pi) = 0{,}0796$ . Расчёт по точной модели урока подтверждает формулу с точностью до третьего знака, пока возмущение от остановки не дошло до границ.

Как рассчитаны кривые урока

Скважина — линейный источник в однородном замкнутом прямоугольнике $L\times W$ . Функция Грина такой области — произведение функций Грина двух «полос» с непроницаемыми краями: по $x$ шириной $L$ и по $y$ шириной $W$ . Каждую при малых временах удобно считать как сумму отражённых источников (скважины-отражения), а при больших — как ряд косинусов. Безразмерное давление на стенке скважины — интеграл по времени от их произведения; вклад самой скважины даёт привычное $\tfrac12E_1(r_D^2/(4t_D))$ , вклад границ — всё остальное.

В псевдоустановившемся режиме отношение наклона в обычных координатах к предельному равно $\Pi_x\Pi_y$ , где $\Pi_x = 1 + 2\sum_n \e^{-n^2\pi^2 t_{DA}W/L}\cos^2(n\pi x_D)$ и $\Pi_y$ — то же с $L/W$ и $y_D$ . Отсюда видно, что выравнивание — сумма затухающих экспонент, и самая медленная из них — вдоль длинной стороны. Расчёт сверен двумя независимыми способами: прямым суммированием экспоненциальных интегралов от отражённых скважин (совпадение до $10^{-13}$ ) и классическими таблицами $C_A$ (в пределах 0,4 %). Среднее по площади давление в модели в любой момент равно $2\pi t_{DA}$ — материальный баланс выполняется.

Связь с другими темами

Анализ кривой восстановления давления — прямая Хорнера, $p^*$ и скин — исходные данные для поправки.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — коэффициент формы, $t_{DA}$ и время выхода на режим.
Исследование на ограниченность пласта — как по длительной работе найти поровый объём и форму области.
Принцип суперпозиции — КВД как сумма двух дебитов и скважины-отражения.
Диагностика по производной давления — почему в конце КВД в замкнутой области производная падает.
Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи — куда идут средние давления: уравнение материального баланса.
Материальный баланс газовой залежи — то же для газа: прямая $p/Z$ .
Исследования в разбуренной залежи: метод Слайдера — КВД в окружении работающих скважин.
Эквивалентное и синтетическое время работы — какое время работы подставлять при меняющемся дебите и нескольких скважинах.
Влияние времени работы на анализ КВД — искажения КВД после короткой работы.
Модель скважины в ячейке сетки — сравнение давления по КВД с давлением ячейки модели.

Проверьте себя

1
Скважина три месяца работала в замкнутом тектоническом блоке, затем её остановили. К какому давлению со временем выйдет КВД?
1. А.К экстраполированному давлению $p^*$
2. Б.К среднему давлению блока в момент остановки
3. В.К давлению на границе блока в момент остановки
4. Г.К начальному пластовому давлению
Показать ответ
Правильный ответ: Б. К среднему давлению блока в момент остановки
После остановки флюид только перераспределяется внутри блока; при постоянной сжимаемости давление выравнивается на среднем по объёму пор значении — том, что даёт материальный баланс к моменту остановки. Начальное давление недостижимо: часть флюида уже добыта. $p^*$ — продолжение прямой, а не уровень выравнивания. Давление на границе в момент остановки выше среднего.
2
Скважина в центре замкнутой прямоугольной области 2:1 ( $C_A$ = 21,8) работала до остановки до $t_{pDA}$ = 0,9. Прямая Хорнера: $m$ = 0,30 МПа на цикл, $p^*$ = 18,40 МПа. Найдите среднее давление.
Показать ответ
Для центральной скважины в области 2:1 функция MBH совпадает с $\ln(C_At_{pDA})$ уже с $t_{pDA} \approx 0{,}2$ , поэтому $\bar p = 18{,}40 - 0{,}30\cdot\lg(21{,}8\cdot0{,}9) = 18{,}40 - 0{,}30\cdot\lg 19{,}6 = 18{,}40 - 0{,}30\cdot1{,}292 \approx 18{,}01$ МПа.
3
Что обязательно нужно знать, кроме самой КВД, чтобы применить метод MBH?
1. А.Давление насыщения нефти
2. Б.Площадь области дренирования, её форму и положение скважины
3. В.Коэффициент влияния ствола
4. Г.Только наклон прямой и $p^*$
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Площадь области дренирования, её форму и положение скважины
Поправка $p_{DMBH}(t_{pDA})$ зависит от формы области и положения скважины, а безразмерное время — от площади. Наклон и $p^*$ дают сами точки КВД; давление насыщения и влияние ствола важны для выбора участка прямой, но не для поправки.
4
Почему после долгой работы прямую Хорнера лучше строить с временем, при котором $t_{pDA}' \approx 0{,}08$ , и почему среднее давление от такой замены не меняется?
Показать ответ
С фактическим долгим временем местный наклон равен $m(1 + \Delta t/t_p)(1 - 4\pi\Delta t_{DA}) \approx m(1 - 4\pi\Delta t_{DA})$ и падает на 5 % уже при $\Delta t_{DA} \approx 0{,}004$ . При $t_{pDA}' = 1/(4\pi)$ поправки первого порядка гасятся, и прямая держится в несколько раз дольше. Замена времени сдвигает $p^*$ на $m\lg(t_p'/t_p)$ , а $m\lg(C_At_{pDA})$ — на ту же величину, поэтому $\bar p = p^* - m\lg(C_At_{pDA})$ не меняется, если скважина до остановки вышла на режим.
5
Скважина давно работает в центре квадратной области площадью 40 га ( $C_A$ = 30,9); $k$ = 80 мД, $\phi\mu c_t = 4\cdot10^{-4}$ МПа⁻¹·мПа·с. При каком времени остановки нужно прочитать давление на продолжении прямой MDH, чтобы получить среднее давление?
Показать ответ
По формуле Дитца $\Delta t_{\bar p} = \phi\mu c_tA/(3{,}553\cdot10^{-3}\,kC_A) = 4\cdot10^{-4}\cdot400\,000/(3{,}553\cdot10^{-3}\cdot80\cdot30{,}9) = 160/8{,}78 \approx 18$ ч. Сама скважина к этому времени ещё не выйдет на среднее давление — это лишь точка на продолжении прямой.
6
При подсчёте запасов по материальному балансу вместо средних давлений повторных КВД взяли значения $p^*$ . Как это скажется на найденном поровом объёме?
1. А.Изменится только начальное давление
2. Б.Объём будет завышен
3. В.Никак
4. Г.Объём будет занижен
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Объём будет завышен
$p^* - \bar p = m\lg(C_At_{pDA})$ растёт со временем работы, поэтому ряд $p^*$ снижается медленнее среднего давления. Меньшее снижение давления на ту же добычу означает больший $c_tV_p$ : в примере урока объём завышен на 5 %, а продолжение к нулевой добыче даёт давление выше начального.

Обновлено: 7 октября 2026 г.