Решение для линейного источника и функция давления

Кратко о главном

В неограниченном пласте давление зависит не от расстояния и времени по отдельности, а от одной комбинации $x = r^2/(4\eta t)$ — квадрата отношения расстояния к радиусу исследования.
Решение: $p_i - p = \frac{qB\mu}{4\pi kh}\,E_1(x)$ , где $E_1(x) = -\mathrm{Ei}(-x)$ — интегральная показательная функция. Она велика при малых $x$ и практически равна нулю при $x > 5$ .
При $x < 0{,}01$ функцию заменяют логарифмом: $E_1(x) \approx -\ln(1{,}781x)$ с погрешностью меньше 0,25 %. На стенке скважины это условие выполняется через секунды после пуска, а в сотне метров от неё — только через недели и месяцы.
На скважине $p_D = \tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) + S$ : каждое удесятерение времени добавляет к снижению давления одну и ту же величину.
Решение верно, пока возмущение не дошло до границ: для скважины в центре круга — примерно до $t_D/r_{eD}^2 = 0{,}25$ . Затем его сменяет псевдоустановившийся или установившийся приток.
Если на скважине задан не дебит, а забойное давление, дебит падает со временем примерно как $1/p_D(t_D)$ .

Ключевые соотношения

p_i - p(r,t) = \dfrac{qB\mu}{4\pi kh}\,E_1\!\left(\dfrac{\phi\mu c_t r^2}{4kt}\right)

решение для линейного источника (СИ)

E_1(x) \approx -\ln(1{,}781\,x)\quad \text{при}\ x < 0{,}01

логарифмическое приближение

p_D(t_D) = \tfrac12\left(\ln t_D + 0{,}809\right) + S

функция давления скважины в бесконечном пласте, $t_D > 25$

p_i - p = 0{,}933\,\dfrac{qB\mu}{kh}\,E_1\!\left(\dfrac{\phi\mu c_t r^2}{0{,}01421\,kt}\right)

метрические промысловые единицы: м³/сут, мПа·с, мД, м, 1/МПа, ч, МПа

q_D(t_D) \approx \dfrac{2}{\ln t_D + 0{,}809}

безразмерный дебит при постоянном забойном давлении

Где чаще всего ошибаются

Применять логарифмическую формулу вдали от скважины: при $x > 0{,}56$ она даёт отрицательный перепад — «рост» давления.
Путать знаки и обозначения: $E_1(x)$ и $-\mathrm{Ei}(-x)$ — одно и то же положительное число; постоянная Эйлера равна 0,5772, а в формулах притока стоит её экспонента 1,781.
Продолжать логарифмическую прямую назад, к первым мгновениям после пуска: там скважину уже нельзя считать линией.
Пользоваться решением для бесконечного пласта после того, как возмущение дошло до границ.
Подставлять в аргумент время в сутках или расстояние в футах при постоянной 0,01421, рассчитанной на часы и метры.

После урока вы сможете

сформулировать задачу о пуске скважины с постоянным дебитом в неограниченном пласте и объяснить замену скважины линейным источником;
рассчитать по интегральной показательной функции давление в заданной точке пласта в заданный момент в метрических и промысловых единицах;
применять логарифмическое приближение и проверять условие его применимости на скважине и вдали от неё;
назвать пределы применимости решения во времени и выбрать нужную формулу функции давления $p_D(t_D)$ для каждого периода;
объяснить, чем решение при постоянном забойном давлении отличается от решения при постоянном дебите и где оно нужно.

Задача: скважина в неограниченном пласте

Скважину пускают с постоянным дебитом в пласте, где давление всюду равно начальному. Каким будет давление в любой точке пласта в любой момент, пока возмущение не дошло до границ? Это задача для уравнения пьезопроводности с тремя условиями (начальное и граничные условия): давление $p_i$ во всём пласте до пуска, постоянный дебит на скважине, давление $p_i$ на бесконечном удалении.

Точное условие на скважине ставится на её стенке, при $r = r_w$ . Но радиус скважины — около 0,1 м, а давление меняется на расстояниях в десятки и сотни метров. Поэтому скважину заменяют линией нулевого радиуса, через которую отбирается тот же дебит. Это и есть линейный источник (line source); для добывающей скважины точнее было бы говорить «линейный сток», но термин общий для отбора и закачки.

Условие постоянного дебита для линейного источника

\lim_{r\to 0}\left(r\,\frac{\partial p}{\partial r}\right) = \frac{qB\mu}{2\pi kh}

где:

$p(r, t)$ давление на расстоянии $r$ от оси скважины в момент $t$ , Па
$q,\ B$ дебит в стандартных условиях и объёмный коэффициент, м³/с, м³/м³
$k,\ h,\ \mu$ проницаемость, толщина пласта, вязкость флюида, м², м, Па·с

Единицы: СИ

Справедливо, если

дебит постоянен с момента пуска;
скважина вскрывает всю толщину пласта, приток равномерен по толщине.

То же условие, что на стенке настоящей скважины, только перенесённое на её ось: через цилиндр сколь угодно малого радиуса вокруг оси проходит весь дебит. Радиус скважины из задачи исчезает.

Одна переменная вместо двух

У задачи с линейным источником нет собственного масштаба длины: радиус скважины из неё исчез, а пласт бесконечен. Из расстояния $r$ , времени $t$ и пьезопроводности $\eta$ можно составить единственную безразмерную комбинацию — $r^2/(\eta t)$ . Значит, давление зависит не от расстояния и времени по отдельности, а только от этой комбинации. Её называют переменной Больцмана:

Автомодельная переменная (переменная Больцмана)

x = \frac{r^2}{4\eta t} = \frac{\phi\mu c_t\,r^2}{4kt} = \left(\frac{r}{r_i}\right)^{2},\qquad r_i = \sqrt{4\eta t}

где:

$x$ безразмерная переменная, от которой зависит решение, —
$r,\ t$ расстояние от оси скважины и время после пуска, м, с
$\eta$ пьезопроводность $k/(\phi\mu c_t)$ , м²/с
$r_i$ радиус исследования в момент $t$ , м

Единицы: СИ

Справедливо, если

неограниченный однородный пласт, линейный источник, постоянный дебит с момента пуска.

Переменная $x$ — квадрат отношения расстояния к радиусу исследования. При $x \ll 1$ точка находится глубоко внутри воронки депрессии, при $x \approx 1$ — на её краю, при $x \gg 1$ возмущение до неё ещё не дошло. Профили давления в разные моменты подобны друг другу: если растянуть расстояния пропорционально $\sqrt t$ , получится одна и та же кривая.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

x = \frac{\phi\mu c_t\,r^2}{0{,}01421\,k\,t}

$r$ — м, $t$ — ч, $k$ — мД, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа.

$0{,}01421 = 4\cdot3{,}553\cdot10^{-3}$ , где $3{,}553\cdot10^{-3}$ — множитель пьезопроводности в этих единицах (Уравнение пьезопроводности).

Промысловые единицы (oilfield)

x = \frac{948\,\phi\mu c_t\,r^2}{k\,t}

$r$ — ft, $t$ — ч, $k$ — мД, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi.

$948 = 1/(4\cdot2{,}637\cdot10^{-4})$ .

Замена двух переменных одной превращает уравнение в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение, которое интегрируется (вывод — в дополнительном разделе). Результат:

Решение для линейного источника

p_i - p(r, t) = \frac{qB\mu}{4\pi kh}\,E_1\!\left(\frac{\phi\mu c_t\,r^2}{4kt}\right),\qquad E_1(x) = -\mathrm{Ei}(-x) = \int_x^{\infty}\frac{\e^{-u}}{u}\,\dd u

где:

$p(r, t)$ давление в пласте на расстоянии $r$ от оси скважины через время $t$ после пуска, Па
$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$q,\ B$ дебит в стандартных условиях и объёмный коэффициент, м³/с, м³/м³
$\mu,\ k,\ h$ вязкость флюида, проницаемость и толщина пласта, Па·с, м², м
$\phi,\ c_t$ пористость и общая сжимаемость, —, 1/Па
$E_1(x)$ интегральная показательная функция, —

Единицы: СИ

Справедливо, если

неограниченный однородный изотропный пласт постоянной толщины; до пуска давление всюду равно $p_i$ ;
постоянный дебит с момента пуска; скважина заменена линейным источником и вскрывает всю толщину;
один слабосжимаемый флюид — условия уравнения пьезопроводности (Уравнение пьезопроводности);
без скина и без влияния объёма ствола: формула описывает давление в пласте, а не в самой скважине.

Снижение давления в любой точке — произведение половины «единицы» радиального перепада $qB\mu/(2\pi kh)$ на функцию одного аргумента. В безразмерных переменных это $p_D = \tfrac12E_1\!\big(r_D^2/(4t_D)\big)$ . Чем дальше точка и чем меньше прошло времени, тем больше аргумент и тем меньше снижение давления.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

p_i - p = 0{,}933\,\frac{qB\mu}{kh}\,E_1\!\left(\frac{\phi\mu c_t\,r^2}{0{,}01421\,k\,t}\right)

$q$ — м³/сут в стандартных условиях, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ и $r$ — м, $c_t$ — 1/МПа, $t$ — ч, давление — МПа.

$0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853)$ , где $0{,}0853$ — постоянная закона Дарси в этих единицах; $0{,}01421 = 4\cdot3{,}553\cdot10^{-3}$ .

Промысловые единицы (oilfield)

p_i - p = 70{,}6\,\frac{qB\mu}{kh}\,E_1\!\left(\frac{948\,\phi\mu c_t\,r^2}{k\,t}\right)

$q$ — STB/d (баррели нефти в стандартных условиях в сутки), $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ и $r$ — ft, $c_t$ — 1/psi, $t$ — ч, давление — psi.

$70{,}6 = 1/(4\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3})$ ; $948 = 1/(4\cdot2{,}637\cdot10^{-4})$ .

Интегральная показательная функция

Функция $E_1(x)$ — площадь под кривой $\e^{-u}/u$ от $x$ до бесконечности. При малых $x$ она велика и ведёт себя как логарифм, при больших — быстро стремится к нулю. Вычисляют её по ряду, по таблицам или встроенными функциями программ.

Ряд для интегральной показательной функции

E_1(x) = -\ln x - 0{,}5772 + x - \frac{x^2}{2\cdot2!} + \frac{x^3}{3\cdot3!} - \dots

где:

$x$ аргумент, $x > 0$ , —
$0{,}5772$ постоянная Эйлера, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

ряд сходится при любом $x > 0$ , но удобен при $x \le 1$ ; для больших $x$ пользуются таблицами или непрерывной дробью (дополнительный раздел).

Первые два слагаемых — логарифмическая часть: $-\ln x - 0{,}5772 = -\ln(\gamma x)$ , где $\gamma = \e^{0{,}5772} = 1{,}781$ . Остальные слагаемые при малых $x$ быстро убывают. Постоянную Эйлера 0,5772 не следует путать с её экспонентой: в формулах притока буквой $\gamma$ обозначают именно 1,781.

Интегральная показательная функция и её логарифмическое приближение

$x$: 0,001
$E_1(x)$: 6,332
$-\ln(1{,}781x)$: 6,331
Погрешность логарифма: 0,016 %

$x$: 0,01
$E_1(x)$: 4,038
$-\ln(1{,}781x)$: 4,028
Погрешность логарифма: 0,25 %

$x$: 0,05
$E_1(x)$: 2,468
$-\ln(1{,}781x)$: 2,419
Погрешность логарифма: 2,0 %

$x$: 0,1
$E_1(x)$: 1,823
$-\ln(1{,}781x)$: 1,725
Погрешность логарифма: 5,4 %

$x$: 0,5
$E_1(x)$: 0,5598
$-\ln(1{,}781x)$: 0,1159
Погрешность логарифма: 79 %

$x$: 1
$E_1(x)$: 0,2194
$-\ln(1{,}781x)$: меньше нуля
Погрешность логарифма: неприменимо

$x$: 2
$E_1(x)$: 0,0489
$-\ln(1{,}781x)$: меньше нуля
Погрешность логарифма: неприменимо

$x$: 5
$E_1(x)$: 0,001148
$-\ln(1{,}781x)$: меньше нуля
Погрешность логарифма: неприменимо

$x$	$E_1(x)$	$-\ln(1{,}781x)$	Погрешность логарифма
0,001	6,332	6,331	0,016 %
0,01	4,038	4,028	0,25 %
0,05	2,468	2,419	2,0 %
0,1	1,823	1,725	5,4 %
0,5	0,5598	0,1159	79 %
1	0,2194	меньше нуля	неприменимо
2	0,0489	меньше нуля	неприменимо
5	0,001148	меньше нуля	неприменимо

Погрешность — на сколько процентов логарифмическое приближение меньше точного значения. При $x > 0{,}56$ логарифм отрицателен и теряет смысл.

РасчётРасчётные значения функции

E_1(x)

и логарифмического приближения

-\ln(1{,}781x)

; шкала аргумента логарифмическая. Левее

x = 0{,}01

кривые неразличимы; на краю воронки депрессии, при

x = 1

, функция равна 0,219, а логарифм уже отрицателен.

Получаются три области. При $x < 0{,}01$ функцию заменяют логарифмом. При $x$ от 0,01 до примерно 5 нужна сама функция. При $x > 5$ она меньше 0,0012: давление в такой точке практически не изменилось.

Логарифмическое приближение

Подставив $E_1(x) \approx -\ln(\gamma x)$ в решение, получаем формулу, в которой нет специальных функций. Это логарифмическое приближение:

Логарифмическое приближение решения для линейного источника

p_i - p(r, t) = \frac{qB\mu}{4\pi kh}\left[\ln\frac{kt}{\phi\mu c_t r^2} + 0{,}809\right]

где:

$p(r, t)$ давление в пласте на расстоянии $r$ через время $t$ после пуска, Па
$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ \phi,\ c_t$ как в решении для линейного источника, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, —, 1/Па
$0{,}809$ $\ln(4/\gamma)$ , где $\gamma = 1{,}781$ , —

Единицы: СИ; логарифм натуральный

Справедливо, если

условия решения для линейного источника;
$x < 0{,}01$ , то есть $kt/(\phi\mu c_tr^2) > 25$ : погрешность меньше 0,25 %; при $kt/(\phi\mu c_tr^2) = 5$ она около 2 %.

Глубоко внутри воронки депрессии давление линейно зависит и от логарифма времени, и от логарифма расстояния. Профиль там такой же, как при установившемся притоке, только его уровень со временем опускается. В безразмерном виде $p_D = \tfrac12\left[\ln(t_D/r_D^2) + 0{,}809\right]$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы (десятичный логарифм)

p_i - p = 2{,}149\,\frac{qB\mu}{kh}\left[\lg\frac{k\,t}{\phi\mu c_t r^2} - 2{,}098\right]

$q$ — м³/сут, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ и $r$ — м, $c_t$ — 1/МПа, $t$ — ч, давление — МПа.

$2{,}149 = \ln 10/(4\pi\cdot0{,}0853)$ ; $2{,}098 = -\lg(3{,}553\cdot10^{-3}) - 0{,}809/\ln 10$ .

Промысловые единицы (oilfield, десятичный логарифм)

p_i - p = 162{,}6\,\frac{qB\mu}{kh}\left[\lg\frac{k\,t}{\phi\mu c_t r^2} - 3{,}23\right]

$q$ — STB/d, $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ и $r$ — ft, $c_t$ — 1/psi, $t$ — ч, давление — psi.

$162{,}6 = 70{,}6\cdot\ln 10$ ; $3{,}23 = -\lg(2{,}637\cdot10^{-4}) - 0{,}809/\ln 10$ .

Условие $x < 0{,}01$ означает, что прошло время больше $25\,r^2/\eta$ . Для скважины примеров ниже ( $\eta$ = 350 м²/ч) на стенке, при $r$ = 0,1 м, это 2,6 секунды; в 10 м от оси — 7 часов; в 100 м — около месяца, и за это время возмущение давно дойдёт до границ. Поэтому на скважине пользуются логарифмом, а для точек в пласте — самой функцией $E_1$ .

Что меняется, если…

…время выросло в 10 раз — давление внутри воронки снижается ещё на 1,151 «единицы» $qB\mu/(2\pi kh)$ : на одну и ту же величину за каждый десятикратный интервал времени;
…расстояние выросло в 10 раз — снижение давления при том же времени меньше на 2,303 «единицы» (пока годится логарифм);
…проницаемость вдвое выше — «единица» перепада вдвое меньше, а то же расстояние воронка проходит вдвое быстрее;
…дебит вдвое больше — снижение давления вдвое больше в каждой точке, а размер воронки тот же.

Расчётный примерДавление в пласте через 10 часов после пуска

Исходные данные (условные)

Скважина и пласт (урок Режимы фильтрации): $q$ = 100 м³/сут; $B$ = 1,3; $\mu$ = 1,2 мПа·с; $k$ = 50 мД; $h$ = 15 м
Пьезопроводность $\eta$: 350,4 м²/ч ( $\phi$ = 0,20; $c_t = 2{,}1125\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹)
Время после пуска: 10 ч; до границ возмущение ещё не дошло
Точки: стенка скважины ( $r_w$ = 0,1 м), 30 м и 100 м от оси

Решение

Множитель перед функцией: $0{,}933\,\dfrac{qB\mu}{kh} = 0{,}933\cdot\dfrac{156}{750} = 0{,}194$ МПа.
Аргумент $x = r^2/(4\eta t)$ при $4\eta t = 14\,016$ м²: $7{,}135\cdot 10^{-7}$ для стенки скважины, 0,0642 для 30 м, 0,713 для 100 м.
Стенка скважины: $x \ll 0{,}01$ , годится логарифм: $E_1 \approx -\ln(1{,}781x) = 13{,}58$ . Снижение давления: $0{,}194\cdot13{,}58 = 2{,}63$ МПа.
30 м: $E_1(0{,}0642) = 2{,}232$ , снижение давления 0,433 МПа. Логарифм дал бы 0,421 МПа — на 2,8 % меньше.
100 м: $E_1(0{,}713) = 0{,}364$ , снижение давления 0,071 МПа. Логарифм здесь даёт −0,047 МПа — бессмысленный «рост» давления.
Радиус исследования к этому моменту: $r_i = \sqrt{4\eta t} = 118$ м. На этом расстоянии $x = 1$ , и давление снизилось на $0{,}194\cdot0{,}219 = 0{,}043$ МПа.

Ответ: Через 10 ч давление снизилось на 2,63 МПа на стенке скважины, на 0,433 МПа в 30 м и на 0,071 МПа в 100 м от неё.

Что это значит. На первые 30 м приходится больше 80 % снижения давления: воронка депрессии крутая у скважины и пологая на краю. Числа совпадают с профилем «10 ч» на графике урока Режимы фильтрации, рассчитанным численно для ограниченной области: до границы возмущение ещё не дошло, и область ведёт себя как бесконечный пласт. Логарифмическое приближение надёжно только глубоко внутри воронки; в 30 м оно ошибается на несколько процентов, в 100 м непригодно. Данные примера условные.

Давление на скважине: функция давления

В исследованиях скважин измеряют давление в самой скважине, то есть при $r = r_w$ , или $r_D = 1$ . Там аргумент $x = 1/(4t_D)$ становится меньше 0,01 через секунды после пуска, и решение сводится к логарифму времени. Прибавив перепад давления на скине (Скин-фактор), получаем зависимость, на которой построены все полулогарифмические методы:

Функция давления скважины в бесконечном пласте

p_D(t_D) = \frac{2\pi kh\,(p_i - p_{wf})}{qB\mu} = \frac12\left(\ln t_D + 0{,}809\right) + S,\qquad t_D = \frac{kt}{\phi\mu c_t r_w^2}

где:

$p_D(t_D)$ безразмерное снижение забойного давления, —
$p_{wf}$ забойное давление работающей скважины через время $t$ после пуска, Па
$t_D$ безразмерное время, отнесённое к радиусу скважины, —
$S$ скин-фактор, —
$r_w$ радиус скважины, м
$p_i,\ q,\ B,\ \mu$ начальное давление, дебит, объёмный коэффициент, вязкость, Па, м³/с, м³/м³, Па·с
$k,\ h,\ \phi,\ c_t$ проницаемость, толщина, пористость, общая сжимаемость, м², м, —, 1/Па

Единицы: СИ; в метрических промысловых единицах $t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,kt/(\phi\mu c_tr_w^2)$ при $t$ в часах

Справедливо, если

неограниченный пласт, постоянный дебит с момента пуска;
$t_D > 25$ (погрешность около 2 %) или $t_D > 100$ (около 0,5 %): для обычной скважины это секунды;
скин — дополнительный перепад в тонкой зоне у ствола, который появляется вместе с дебитом;
влияние объёма ствола закончилось (Влияние ствола скважины).

Каждое удесятерение времени увеличивает $p_D$ на $\tfrac12\ln 10 = 1{,}151$ , а скин сдвигает всю зависимость на постоянную величину. Ту же формулу можно прочитать как формулу Дюпюи с растущим радиусом: $p_D = \ln(r_d/r_w) + S$ , где $r_d = \sqrt{4\eta t/\gamma} \approx 0{,}75\,r_i$ — радиус дренирования (квазиустановившийся профиль). Размерная запись и определение проницаемости и скина по замерам — в уроке Анализ кривой падения давления.

Безразмерное давление на стенке скважины по трём формулам

$t_D$: 1
Скважина конечного радиуса: 0,802
Линейный источник: 0,522
Логарифм: 0,405
Ошибка логарифма: −50 %

$t_D$: 5
Скважина конечного радиуса: 1,362
Линейный источник: 1,234
Логарифм: 1,209
Ошибка логарифма: −11 %

$t_D$: 10
Скважина конечного радиуса: 1,651
Линейный источник: 1,568
Логарифм: 1,556
Ошибка логарифма: −5,8 %

$t_D$: 25
Скважина конечного радиуса: 2,062
Линейный источник: 2,019
Логарифм: 2,014
Ошибка логарифма: −2,3 %

$t_D$: 100
Скважина конечного радиуса: 2,723
Линейный источник: 2,708
Логарифм: 2,707
Ошибка логарифма: −0,58 %

$t_D$: 1000
Скважина конечного радиуса: 3,861
Линейный источник: 3,859
Логарифм: 3,858
Ошибка логарифма: −0,056 %

$t_D$	Скважина конечного радиуса	Линейный источник	Логарифм	Ошибка логарифма
1	0,802	0,522	0,405	−50 %
5	1,362	1,234	1,209	−11 %
10	1,651	1,568	1,556	−5,8 %
25	2,062	2,019	2,014	−2,3 %
100	2,723	2,708	2,707	−0,58 %
1000	3,861	3,859	3,858	−0,056 %

Скин равен нулю. «Скважина конечного радиуса» — решение с условием постоянного дебита на стенке при $r = r_w$ , рассчитанное численным обращением преобразования Лапласа (дополнительный раздел). Для скважины примеров $t_D = 25$ наступает через 2,6 с после пуска, $t_D = 100$ — через 10 с.

РасчётРасчётное безразмерное давление на стенке скважины в первые мгновения после пуска: решение для скважины конечного радиуса, решение для линейного источника и логарифмическое приближение. Шкала времени логарифмическая. К

t_D = 25

три кривые сходятся; левее логарифмическая прямая занижает перепад, а при

t_D < 0{,}45

уходит ниже нуля.

Практический вывод двойной. Во-первых, на скважине логарифмическая формула точна уже через секунды после пуска — задолго до того, как закончится влияние объёма ствола, которое на деле и определяет первые минуты и часы записи. Во-вторых, логарифмическую прямую нельзя продолжать назад, к самому моменту пуска: при малых $t_D$ настоящий перепад давления больше, чем по этой прямой.

Где решение перестаёт работать: границы пласта

Решение для бесконечного пласта верно, пока возмущение не дошло до границ. Для скважины в центре круговой области радиусом $r_e$ забойное давление отходит от него, когда радиус исследования сравнивается с радиусом области, то есть при $t_D/r_{eD}^2 \approx 0{,}25$ (время до границы). Расчёт точного решения для замкнутого круга (при $r_e/r_w$ = 3000) даёт расхождение 0,2 % при $t_D/r_{eD}^2 = 0{,}25$ , 0,5 % при 0,3 и больше 1 % при 0,4. Дальше работает другая формула — какая именно, зависит от условия на границе.

Функция давления скважины в разные периоды

Период: Первые мгновения
Условие: $t_D \ll 1$
$p_D$ на скважине: $2\sqrt{t_D/\pi}$

Период: Бесконечный пласт
Условие: $t_D > 25$ и $t_D/r_{eD}^2 < 0{,}25$
$p_D$ на скважине: $\tfrac12(\ln t_D + 0{,}809)$

Период: Замкнутый круг, псевдоустановившийся режим
Условие: $t_D/r_{eD}^2 > 0{,}3$
$p_D$ на скважине: $2t_D/r_{eD}^2 + \ln r_{eD} - \tfrac34$

Период: Круг с постоянным давлением на границе
Условие: $t_D/r_{eD}^2 > 0{,}5$
$p_D$ на скважине: $\ln r_{eD}$

Период	Условие	$p_D$ на скважине
Первые мгновения	$t_D \ll 1$	$2\sqrt{t_D/\pi}$
Бесконечный пласт	$t_D > 25$ и $t_D/r_{eD}^2 < 0{,}25$	$\tfrac12(\ln t_D + 0{,}809)$
Замкнутый круг, псевдоустановившийся режим	$t_D/r_{eD}^2 > 0{,}3$	$2t_D/r_{eD}^2 + \ln r_{eD} - \tfrac34$
Круг с постоянным давлением на границе	$t_D/r_{eD}^2 > 0{,}5$	$\ln r_{eD}$

Здесь $r_{eD} = r_e/r_w$ ; скин прибавляют к каждой формуле. Для скважины в центре круга переход от второй строки к третьей короткий; у вытянутых областей и скважин, смещённых к границе, он растягивается (коэффициент формы).

РасчётРасчётная функция давления скважины в центре замкнутого круга при трёх значениях

r_{eD} = r_e/r_w

и в бесконечном пласте (штриховая прямая). По горизонтали — десятичный логарифм безразмерного времени: 6 означает

t_D = 10^6

. Каждая кривая идёт по общей прямой, пока

t_D/r_{eD}^2

меньше 0,25–0,3, а затем уходит вверх: начинается псевдоустановившееся истощение. Стократное увеличение площади области откладывает уход в сто раз.

Решение для линейного источника полезно и после того, как возмущение дошло до границ. Уравнение пьезопроводности линейно, поэтому решения можно складывать: давление от нескольких скважин равно сумме их вкладов, смену дебита описывают как пуск ещё одной скважины в той же точке, а непроницаемый разлом заменяют воображаемой скважиной-отражением по другую его сторону (Принцип суперпозиции, Анализ кривой восстановления давления, Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений).

Давление в соседней скважине

Формула с функцией $E_1$ нужна прежде всего там, где расстояние велико: при гидропрослушивании, когда дебит меняют в одной скважине, а давление записывают в другой, и при оценке взаимного влияния скважин. Логарифмическое приближение для таких расстояний не годится — см. пример выше.

РасчётРасчётное снижение давления в точках на расстоянии 50, 150 и 250 м от скважины примеров после её пуска с дебитом 100 м³/сут; пласт считается неограниченным. Обе шкалы логарифмические. Точки на кривых — момент, когда радиус исследования достигает данного расстояния: давление к этому времени снизилось уже на 0,043 МПа. Штриховая линия — снижение на 0,005 МПа, уверенно различимое точным манометром.

Расчётный примерКогда отклик дойдёт до соседней скважины

Исходные данные (условные)

Возмущающая скважина: скважина предыдущего примера: множитель перед функцией 0,194 МПа, $\eta$ = 350,4 м²/ч
Реагирующая скважина: остановлена, в 150 м от возмущающей
Уверенно различимое изменение давления: 0,005 МПа (разрешение манометра 0,0001 МПа)

Решение

Нужное значение функции: $E_1(x) = 0{,}005/0{,}194 = 0{,}0258$ .
По таблице или подбором $x = 2{,}47$ (для проверки: $E_1(2{,}5) = 0{,}0249$ ).
Время: $t = \dfrac{r^2}{4\eta x} = \dfrac{150^2}{4\cdot350{,}4\cdot2{,}47} = 6{,}5$ ч.
Радиус исследования достигает 150 м позже — через $r^2/(4\eta) = 16$ ч; к этому моменту давление в реагирующей скважине снизилось уже на 0,043 МПа.
Грубый манометр, различающий только 0,05 МПа, «увидел» бы отклик лишь через 18 ч ( $E_1 = 0{,}258$ , $x = 0{,}91$ ).

Ответ: Отклик 0,005 МПа придёт в скважину в 150 м примерно через 6,5 ч — в 2,5 раза раньше, чем туда «дойдёт» радиус исследования.

Что это значит. У возмущения нет резкого фронта: давление вдали начинает меняться сразу, только очень слабо. Когда отклик будет замечен, зависит от чувствительности манометра, а радиус исследования — условная граница, на которой снижение давления равно 0,11 «единицы» $qB\mu/(2\pi kh)$ . По времени прихода и величине отклика при гидропрослушивании находят пьезопроводность и проводимость пласта между скважинами. Данные примера условные.

Если задан не дебит, а забойное давление

До сих пор на скважине был задан постоянный дебит, а давление получалось из расчёта. Бывает наоборот: скважина работает при постоянном забойном давлении — например, на фонтане с постоянным давлением на устье или с насосом, поддерживающим уровень. Тогда падает не давление, а дебит: воронка депрессии расширяется, и тот же перепад приходится на всё большее расстояние. Решение этой задачи тоже известно; безразмерный дебит $q_D(t_D)$ табулирован, а при больших $t_D$ его приближённо выражают через функцию давления:

Дебит при постоянном забойном давлении

q(t) = \frac{2\pi kh\,(p_i - p_{wf})}{B\mu}\,q_D(t_D),\qquad q_D(t_D) \approx \frac{1}{p_D(t_D)} = \frac{2}{\ln t_D + 0{,}809}

где:

$q(t)$ дебит в стандартных условиях через время $t$ после пуска, м³/с
$p_i - p_{wf}$ постоянная разность начального пластового и забойного давлений, Па
$q_D(t_D)$ безразмерный дебит, —
$p_D(t_D)$ функция давления скважины при постоянном дебите, —
$k,\ h,\ B,\ \mu$ проницаемость, толщина, объёмный коэффициент, вязкость, м², м, м³/м³, Па·с

Единицы: СИ; в метрических промысловых единицах множитель $2\pi$ заменяют постоянной 0,536

Справедливо, если

неограниченный пласт, постоянное забойное давление с момента пуска, без скина; со скином $q_D \approx 1/(p_D + S)$ ;
приближение $q_D \approx 1/p_D$ завышает дебит: примерно на 2 % при $t_D = 10^4$ и меньше чем на 1 % при $t_D > 10^6$ .

Дебит убывает обратно пропорционально логарифму времени — медленно, но без остановки. Отношение дебита к депрессии в неустановившемся режиме выше, чем после выхода на псевдоустановившийся режим, и всё время снижается. Ту же постановку — постоянное давление на внутренней границе — используют для притока воды из водоносного горизонта к залежи; там рассчитывают накопленный приток (Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста).

Расчётный примерКак падает дебит при постоянной депрессии

Исходные данные (условные)

Пласт и скважина: те же: $k$ = 50 мД, $h$ = 15 м, $\mu$ = 1,2 мПа·с, $B$ = 1,3; за 1 ч $t_D$ = 35 039
Разность начального и забойного давлений: 3,0 МПа, постоянна с момента пуска

Решение

Множитель: $\dfrac{0{,}536\,kh\,\Delta p}{B\mu} = \dfrac{0{,}536\cdot750\cdot3{,}0}{1{,}56} = 773$ м³/сут.
Через 1 ч: $p_D = 5{,}637$ , и $q \approx 773/5{,}637 = 137$ м³/сут. Точное решение: $q_D = 0{,}1749$ , $q = 135$ м³/сут.
Через сутки ( $t_D = 840\,947$ ): $p_D = 7{,}226$ , приближённо 107 м³/сут, точно 106 м³/сут.
Через 64 ч, когда возмущение доходит до границы области радиусом 300 м: приближённо 100 м³/сут, точно 99 м³/сут.

Ответ: При постоянной депрессии 3 МПа дебит падает с 135 м³/сут через час после пуска до 99 м³/сут через 64 ч; приближение

1/p_D

завышает его на 1,5 %.

Что это значит. Дебит снизился на четверть не из-за истощения — за это время отобрана ничтожная доля запасов, — а потому, что воронка депрессии расширилась. В проницаемом пласте такое падение длится считаные сутки, пока не сказались границы; в плотном оно растягивается на месяцы и годы, и прогнозировать добычу по одному замеру продуктивности нельзя (длительность режимов). Данные примера условные.

Термины и обозначения

Линейный источник: идеализация скважины: линия нулевого радиуса, через которую отбирается (или закачивается) заданный дебит.
Интегральная показательная функция $E_1(x)$: $\int_x^\infty \e^{-u}/u\,\dd u$ ; то же, что $-\mathrm{Ei}(-x)$ . Задаёт форму воронки депрессии в бесконечном пласте.
Переменная Больцмана $x$: $r^2/(4\eta t)$ — квадрат отношения расстояния к радиусу исследования; единственный аргумент решения.
Логарифмическое приближение: замена $E_1(x)$ на $-\ln(1{,}781x)$ при $x < 0{,}01$ .
Постоянная $\gamma$: 1,781 — экспонента постоянной Эйлера 0,5772; $\ln(4/\gamma) = 0{,}809$ .
Функция давления $p_D(t_D)$: безразмерное снижение забойного давления скважины, работающей с постоянным дебитом; в бесконечном пласте $\tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) + S$ .
Безразмерный дебит $q_D(t_D)$: дебит скважины при постоянном забойном давлении в единицах $2\pi kh\,\Delta p/(B\mu)$ .

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Логарифмическая формула годится для любого расстояния от скважины».

На самом деле

Только при $x = r^2/(4\eta t) < 0{,}01$ . В примере урока через 10 ч она ошибается на 3 % в 30 м от скважины, а в 100 м даёт отрицательный перепад.

Неверно

«В формулу давления в пласте входит радиус скважины».

На самом деле

В решении для линейного источника радиуса скважины нет: давление на расстоянии $r$ определяют дебит, свойства пласта и время. Радиус появляется, только когда решение применяют к самой стенке скважины.

Неверно

«Постоянная Эйлера равна 1,781».

На самом деле

Постоянная Эйлера — 0,5772. В формулах притока стоит её экспонента $\gamma = \e^{0{,}5772} = 1{,}781$ , а постоянная 0,809 — это $\ln(4/\gamma)$ .

Неверно

«Решение для бесконечного пласта годится только для очень больших залежей».

На самом деле

Оно годится для любого пласта, пока возмущение не дошло до границ: в области радиусом 300 м из примеров — первые 64 часа.

Неверно

«Если держать забойное давление постоянным, дебит тоже будет постоянным».

На самом деле

В неустановившемся режиме дебит падает примерно как $1/(\ln t_D + 0{,}809)$ : воронка депрессии расширяется, и тот же перепад приходится на большее расстояние.

Подробно: для продвинутых

Вывод решения подстановкой Больцмана

Ищем давление как функцию одной переменной $x = r^2/(4\eta t)$ . По правилу дифференцирования сложной функции $r\,\partial p/\partial r = 2x\,\dd p/\dd x$ и $\partial p/\partial t = -(x/t)\,\dd p/\dd x$ . Подстановка в уравнение пьезопроводности даёт обыкновенное дифференциальное уравнение:

Уравнение пьезопроводности в переменной Больцмана

x\,\frac{\dd^2 p}{\dd x^2} + (1 + x)\,\frac{\dd p}{\dd x} = 0\quad\Rightarrow\quad \frac{\dd p}{\dd x} = C\,\frac{\e^{-x}}{x}

где:

$p(x)$ давление как функция переменной Больцмана, Па
$C$ постоянная интегрирования, Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

условия решения для линейного источника: начальное и оба граничных условия выражаются через одну переменную $x$ .

Уравнение первого порядка относительно производной $\dd p/\dd x$ ; его решение проверяется подстановкой. Условие на оси скважины $2x\,\dd p/\dd x \to qB\mu/(2\pi kh)$ при $x \to 0$ даёт $C = qB\mu/(4\pi kh)$ .

Осталось проинтегрировать от $x$ до бесконечности, где давление равно начальному: $p_i - p = C\int_x^\infty \e^{-u}/u\,\dd u = C\,E_1(x)$ . Начальное условие выполняется автоматически: при $t \to 0$ переменная $x$ стремится к бесконечности в любой точке с $r > 0$ . Подстановка работает именно потому, что в задаче нет ни радиуса скважины, ни радиуса границы — ни одной длины, с которой можно было бы сравнить $r$ .

Как вычислить интегральную показательную функцию

При $x \le 1$ достаточно ряда из основного раздела. Его степенные слагаемые чередуются по знаку и убывают, поэтому погрешность не больше первого отброшенного слагаемого: при $x = 0{,}2$ хватает трёх степенных слагаемых, при $x = 1$ для четырёх верных знаков их нужно шесть. При больших $x$ ряд сходится медленно, и функцию считают по непрерывной дроби или берут из таблиц; так рассчитаны значения в таблицах и примерах этого урока. Для быстрой проверки полезна двусторонняя оценка:

Двусторонняя оценка интегральной показательной функции

\frac12\,\e^{-x}\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) < E_1(x) < \e^{-x}\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)

где:

$x$ аргумент, $x > 0$ , —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

верна при любом $x > 0$ .

При $x = 1$ границы равны 0,202 и 0,255 при точном значении 0,219; при $x = 5$ — 0,00113 и 0,00123 при точном 0,00115. Оценка помогает заметить грубую ошибку: перепутанный знак аргумента или десятичный логарифм вместо натурального.

Скважина конечного радиуса и первые мгновения

Если условие постоянного дебита поставить не на оси, а на стенке скважины при $r_D = 1$ , решение выражается через функции Бесселя и записывается компактно только в изображениях Лапласа. Для безразмерного давления на стенке:

Скважина конечного радиуса: изображение Лапласа

\bar p_D(s) = \frac{K_0(\sqrt{s})}{s^{3/2}\,K_1(\sqrt{s})}

где:

$\bar p_D(s)$ изображение Лапласа функции $p_D(t_D)$ на стенке скважины, —
$s$ переменная преобразования Лапласа, —
$K_0,\ K_1$ модифицированные функции Бесселя второго рода, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

неограниченный пласт, постоянный дебит на стенке скважины, без скина и без влияния объёма ствола.

К функции времени переходят численно, например по алгоритму Стефеста; так получен столбец «скважина конечного радиуса» в таблице основного раздела. При $t_D \ll 1$ решение ведёт себя как $2\sqrt{t_D/\pi}$ : пока возмущение не отошло от стенки дальше, чем на долю радиуса скважины, её кривизна не чувствуется, и приток к стенке линейный. При $t_D > 100$ оно отличается от логарифмической формулы меньше чем на 0,6 %.

На практике первые мгновения записи определяет не радиус скважины, а объём ствола: пока в стволе расширяется жидкость или газ, приток из пласта отстаёт от дебита на устье (Влияние ствола скважины). Решение для скважины конечного радиуса действительно необходимо, когда «скважина» велика: так рассчитывают приток воды к залежи, где внутренней границей служит контур самой залежи (Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста).

Связь с другими темами

Уравнение пьезопроводности — уравнение, решением которого является формула этого урока, и его допущения.
Режимы фильтрации — радиус исследования и время, за которое возмущение доходит до границ.
Анализ кривой падения давления — проницаемость и скин по наклону и положению логарифмической прямой.
Анализ кривой восстановления давления — восстановление давления как сумма двух решений для постоянного дебита.
Принцип суперпозиции — несколько скважин, смена дебита и разломы как суммы решений для линейных источников.
Скин-фактор — дополнительный перепад на стенке скважины, который прибавляют к функции давления.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — что сменяет решение для бесконечного пласта в замкнутой области.
Гидродинамические исследования: цели и виды — гидропрослушивание и радиус исследования при планировании исследований.
Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста — решение при постоянном давлении на внутренней границе для водоносных горизонтов.

Проверьте себя

1
Точка пласта находится на расстоянии, равном радиусу исследования в данный момент. Чему там равны аргумент $x$ и безразмерное снижение давления $p_D$ ?
1. А. $x = 0{,}01$ , $p_D \approx 2$
2. Б. $x = 1$ , $p_D \approx 0{,}11$
3. В. $x = 1$ , $p_D = 0$
4. Г. $x = 4$ , $p_D \approx 0{,}002$
Показать ответ
Правильный ответ: Б. $x = 1$ , $p_D \approx 0{,}11$
По определению $x = (r/r_i)^2$ , поэтому при $r = r_i$ аргумент равен 1. Тогда $p_D = \tfrac12E_1(1) = \tfrac12\cdot0{,}219 \approx 0{,}11$ : на «краю» воронки давление снизилось на одну девятую «единицы» радиального перепада, а не осталось начальным.
2
Скважина работает с дебитом 80 м³/сут ( $B$ = 1,2; $\mu$ = 1,0 мПа·с) в пласте с $k$ = 100 мД, $h$ = 10 м, $\phi$ = 0,20, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹. На сколько снизится давление в точке в 100 м от неё через 10 ч?
Показать ответ
Множитель: $0{,}933\cdot80\cdot1{,}2\cdot1{,}0/(100\cdot10) = 0{,}0896$ МПа. Аргумент: числитель $\phi\mu c_tr^2 = 0{,}20\cdot1{,}0\cdot1{,}5\cdot10^{-3}\cdot100^2 = 3{,}0$ , знаменатель $0{,}01421\cdot100\cdot10 = 14{,}21$ , откуда $x = 0{,}211$ . Это больше 0,01, поэтому нужна сама функция: $E_1(0{,}211) \approx 1{,}18$ (по ряду: $-\ln 0{,}211 - 0{,}577 + 0{,}211 - 0{,}011 = 1{,}18$ ). Снижение давления: $0{,}0896\cdot1{,}18 \approx 0{,}106$ МПа.
3
Через какое время после пуска на стенке обычной скважины можно пользоваться логарифмической формулой вместо функции $E_1$ ?
1. А.Через несколько суток
2. Б.Через секунды
3. В.Через несколько часов
4. Г.Только после выхода на псевдоустановившийся режим
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Через секунды
Нужно $t_D > 25$ , а одна «единица» безразмерного времени $r_w^2/\eta$ — доли секунды: для скважины примеров $t_D = 25$ наступает через 2,6 с. Часы и сутки требуются только для точек, удалённых от скважины на десятки и сотни метров.
4
Скважина работает с постоянным дебитом в бесконечном пласте. На сколько вырастет безразмерное снижение забойного давления $p_D$ за время от 10 до 100 ч и от 100 до 1000 ч?
1. А.На 1,151 и на 11,51
2. Б.Зависит от скина
3. В.На 1,151 в обоих случаях
4. Г.На 2,303 в обоих случаях
Показать ответ
Правильный ответ: В. На 1,151 в обоих случаях
$p_D = \tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) + S$ : десятикратный рост времени добавляет $\tfrac12\ln 10 = 1{,}151$ независимо от того, с какого времени считать, и независимо от скина — он входит постоянным слагаемым. Поэтому на графике «давление — логарифм времени» получается прямая.
5
Почему в формулу давления в пласте на расстоянии $r$ от скважины радиус скважины не входит, а в формулу забойного давления входит?
Показать ответ
В решении для линейного источника скважина — линия; давление в пласте зависит только от дебита, свойств пласта, расстояния и времени. Забойное давление — это то же решение, взятое в точке $r = r_w$ : радиус скважины появляется как расстояние, на котором давление вычисляют. Чем меньше радиус, тем ближе к оси берётся точка и тем больше перепад.
6
Скважину пустили и держат постоянное забойное давление. Как меняется её дебит, пока возмущение не дошло до границ?
1. А.Падает обратно пропорционально времени
2. Б.Растёт: воронка депрессии охватывает всё больший объём
3. В.Остаётся постоянным
4. Г.Падает примерно обратно пропорционально логарифму времени
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Падает примерно обратно пропорционально логарифму времени
Безразмерный дебит $q_D \approx 2/(\ln t_D + 0{,}809)$ : воронка расширяется, перепад распределяется на большее расстояние, градиент давления у стенки уменьшается, и дебит медленно падает. Линейное падение или падение обратно пропорционально времени для радиального притока в бесконечном пласте не характерны.

Обновлено: 2 октября 2026 г.