Приток к скважине после гидроразрыва

Кратко о главном

Величина $\ln(x_f/r_w')$ — это $S_f + \ln(x_f/r_w)$ — зависит только от $F_{CD}$ : одна кривая на все трещины. При высокой проводимости $r_w' \to x_f/2$ , при низкой $r_w' \to 0{,}28\,k_f w/k$ , и длина трещины перестаёт влиять.
Если трещина сравнима с областью дренирования, приведённый радиус завышает продуктивность. Нужен безразмерный коэффициент продуктивности $J_D$ замкнутой области: в квадрате он не превышает $6/\pi \approx 1{,}91$ — предела линейного притока к трещине во всю ширину; у вертикальной скважины без скина он около 0,14.
После пуска режимы сменяют друг друга: билинейный (перепад давления растёт как $t^{1/4}$ ), линейный (как $\sqrt t$ , только при очень высокой проводимости), псевдорадиальный (с $t_{Dxf} \approx 3$ –5), затем псевдоустановившийся.
В плотном пласте с длинной трещиной граница области сказывается раньше, чем наступает псевдорадиальный режим: в квадратной области — уже при коэффициенте проникновения $I_x$ больше примерно 0,2–0,25.
Пока режим неустановившийся, продуктивность выше стабилизированной. Сравнение первых недель после гидроразрыва со стабилизированным дебитом до него завышает прирост в разы.
Пережатие трещины у ствола и повреждение её стенок добавляют положительный скин. Пережатие опаснее: через короткий участок проходит весь поток крыла.

Ключевые соотношения

t_{Dxf} = \dfrac{k\,t}{\phi\mu c_t x_f^2}

безразмерное время по полудлине (СИ; в метрических единицах множитель $3{,}553\cdot10^{-3}$ при $t$ в часах)

r_w' \to x_f/2

трещина высокой проводимости, $F_{CD}$ от 30

r_w' \to 0{,}2807\,k_f w/k

трещина низкой проводимости, $F_{CD}$ до 0,1: длина не влияет

J_D = \dfrac{qB\mu}{2\pi kh\,(\bar p - p_{wf})},\qquad I_x = \dfrac{2x_f}{x_e}

безразмерный коэффициент продуктивности и коэффициент проникновения трещины

p_{wD} = 2{,}45\,\dfrac{t_{Dxf}^{1/4}}{\sqrt{F_{CD}}},\qquad p_{wD} = \sqrt{\pi\,t_{Dxf}}

билинейный и линейный приток

s_{ch} \approx \dfrac{\pi k\,x_s}{k_{f,ch}w},\qquad s_{fs} = \dfrac{\pi b_s}{2x_f}\left(\dfrac{k}{k_s} - 1\right)

скин пережатия трещины и скин её стенок

Где чаще всего ошибаются

Брать $r_w' = x_f/2$ для трещины, полудлина которой сравнима с половиной стороны области дренирования: продуктивность будет завышена, при трещине во всю ширину области — вдвое и больше.
Оценивать эффект гидроразрыва по дебиту первых недель, сравнивая его со стабилизированным дебитом до обработки.
Считать, что удлинение трещины всегда увеличивает приток: при $F_{CD}$ меньше 0,1 дополнительная длина почти не работает.
Искать полку производной давления, чтобы найти $kh$ у скважины с длинной трещиной в плотном пласте: псевдорадиального участка может не быть.
Путать коэффициент проникновения трещины $I_x$ со степенью вскрытия пласта $h_w/h$ .

После урока вы сможете

построить зависимость приведённого радиуса от безразмерной проводимости во всём диапазоне, объяснить обе её асимптоты и границы применимости аппроксимации;
рассчитать безразмерный коэффициент продуктивности скважины с трещиной в замкнутой области и объяснить, почему он не может превысить предел линейного притока;
узнать билинейный, линейный и псевдорадиальный режимы течения, оценить их продолжительность и понять, когда псевдорадиального режима не будет вовсе;
объяснить и оценить, почему дебиты первых недель и месяцев после гидроразрыва завышают долговременный прирост;
рассчитать скин пережатия трещины у ствола и скин её стенок и оценить, когда они лишают обработку выигрыша.

Что остаётся за рамками эквивалентного скина

Урок Гидроразрыв пласта: назначение и выбор скважин дал главный инструмент: через месяцы после пуска скважина с трещиной ведёт себя как обычная скважина радиусом $r_w'$ , а безразмерная проводимость $F_{CD} = k_f w/(k x_f)$ показывает, какая часть длины трещины работает. Для быстрой оценки этого хватает, но остаются четыре вопроса:

как ведёт себя приведённый радиус при очень низкой и очень высокой проводимости и где кончается точность его аппроксимации;
что делать, если трещина сравнима с областью дренирования — например, при плотной сетке скважин в низкопроницаемом пласте;
сколько длится неустановившийся период и почему первые дебиты после гидроразрыва обманчивы;
что происходит, если трещина плохо соединена со стволом или её стенки повреждены жидкостью разрыва.

Решения для скважины с трещиной удобно записывать в безразмерных переменных, взяв полудлину трещины за масштаб длины. Безразмерный перепад давления — тот же, что в уроках о неустановившемся притоке: $p_D = 2\pi kh\,\Delta p/(qB\mu)$ , без скина (Решение для линейного источника и функция давления). Отрицательный скин трещины в нём отдельно не появляется: решение строится сразу для трещины, а не для ствола. Время отсчитывают в безразмерных единицах по полудлине:

Безразмерное время по полудлине трещины

t_{Dxf} = \frac{k\,t}{\phi\,\mu\,c_t\,x_f^2}

где:

$t_{Dxf}$ безразмерное время, отнесённое к квадрату полудлины трещины, —
$k$ проницаемость пласта, м²
$t$ время после пуска скважины с постоянным дебитом, с
$\phi,\ \mu,\ c_t$ пористость, вязкость флюида в пластовых условиях, общая сжимаемость, —, Па·с, Па⁻¹
$x_f$ закреплённая полудлина трещины, м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

однофазный слабосжимаемый флюид; та же пьезопроводность $k/(\phi\mu c_t)$ , что в уравнении пьезопроводности (Уравнение пьезопроводности).

При $t_{Dxf} \approx 1$ возмущение давления уходит от трещины на расстояние порядка её полудлины. Продолжительность каждого режима растёт как $x_f^2/k$ : вдвое более длинная трещина в пласте вдесятеро меньшей проницаемости «живёт» в неустановившемся режиме в сорок раз дольше.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

t_{Dxf} = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\frac{k\,t}{\phi\,\mu\,c_t\,x_f^2}

$k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — МПа⁻¹, $x_f$ — м.

$3{,}553\cdot10^{-3}$ — тот же множитель, что у пьезопроводности в уроке Уравнение пьезопроводности.

Промысловые единицы (oilfield)

t_{Dxf} = 2{,}637\cdot10^{-4}\,\frac{k\,t}{\phi\,\mu\,c_t\,x_f^2}

$k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — сП, $c_t$ — psi⁻¹, $x_f$ — ft.

Модель урока

Все кривые и примеры рассчитаны для одной модели: вертикальная трещина на всю толщину пласта с двумя одинаковыми крыльями, однородный изотропный пласт, однофазный слабосжимаемый флюид, течение по закону Дарси и в пласте, и в трещине, проводимость постоянна по длине (если не оговорено пережатие). Трещину делят на отрезки с равномерным притоком и решают систему уравнений для притока на каждом отрезке — это полуаналитическое решение классической задачи о трещине конечной проводимости (дополнительный раздел в конце урока). Реальные трещины неоднородны по высоте и длине, поэтому результаты модели — ориентир, а не точный прогноз.

Приведённый радиус при любой проводимости

Пласт отдаёт флюид в трещину по всей её длине, а трещина несёт накопленный поток к стволу. Если она проводит намного лучше, чем пласт отдаёт ( $F_{CD}$ велик), давление вдоль неё почти постоянно, и вся трещина работает как продолжение ствола. Если хуже ( $F_{CD}$ мал), давление вдоль трещины быстро растёт от ствола к её концу, пласт отдаёт флюид в основном в ближнюю к стволу часть, а дальняя почти не работает.

Из безразмерной постановки задачи следует важный вывод: на поздних временах величина $\ln(x_f/r_w')$ зависит только от $F_{CD}$ . Поэтому одна кривая описывает любые трещины в любых пластах — достаточно вычислить безразмерную проводимость, а эквивалентный скин получить вычитанием:

Эквивалентный скин трещины через универсальную кривую

S_f = \ln\frac{x_f}{r_w'}\bigg|_{F_{CD}} - \ln\frac{x_f}{r_w}

где:

$S_f$ эквивалентный скин скважины с трещиной, —
$\ln(x_f/r_w')\big|_{F_{CD}}$ значение универсальной кривой при данной безразмерной проводимости: от $\ln 2 \approx 0{,}693$ (бесконечная проводимость) до нескольких единиц (низкая проводимость), —
$x_f,\ r_w,\ r_w'$ полудлина трещины, радиус ствола и приведённый радиус, м

Единицы: безразмерная; логарифмы натуральные

Справедливо, если

псевдорадиальный приток: возмущение давления ушло от трещины на расстояние в несколько её полудлин;
трещина мала по сравнению с областью дренирования (коэффициент проникновения меньше примерно 0,3, см. следующий раздел);
однородная проводимость по длине; пережатие у ствола и повреждение стенок учитывают отдельными скинами (последний раздел).

Первое слагаемое описывает трещину, второе — ствол, к которому её «приставили». Поэтому одна и та же трещина даёт тем больший по модулю скин, чем меньше радиус скважины: при $x_f$ = 50 м и $r_w$ = 0,108 м слагаемое $\ln(x_f/r_w) = 6{,}14$ .

У кривой две асимптоты. При высокой проводимости $r_w' \to x_f/2$ — этот предел использует урок о гидроразрыве. При низкой проводимости приведённый радиус перестаёт зависеть от длины трещины:

Приведённый радиус трещины низкой проводимости

r_w' \approx \frac{1}{2\gamma}\,\frac{k_f w}{k} = 0{,}2807\,\frac{k_f w}{k}

где:

$r_w'$ приведённый радиус скважины с трещиной, м
$k_f w$ проводимость трещины, мД·м
$k$ проницаемость пласта, мД
$\gamma$ $\e^{0{,}5772} = 1{,}781$ — экспонента постоянной Эйлера, как в формулах притока; $1/(2\gamma) = 0{,}2807$ , —

Единицы: $k_f w/k$ имеет размерность длины: при $k_f w$ в мД·м и $k$ в мД радиус получается в метрах

Справедливо, если

$F_{CD} \lesssim 0{,}1$ : при $F_{CD}$ = 0,1 точная кривая лежит на 3,3 % ниже асимптоты, при 0,05 — на 1,6 %;
псевдорадиальный приток; трещина длиннее участка, который реально работает (длины порядка $k_f w/k$ ).

Трещина низкой проводимости работает лишь на участке у ствола, длину которого задаёт отношение проводимостей трещины и пласта; всё, что дальше, почти не отдаёт флюид. Поэтому удлинять такую трещину бесполезно, а повышение проводимости вдвое увеличивает $r_w'$ вдвое и уменьшает скин на $\ln 2 \approx 0{,}69$ . Постоянную 0,2807 дала модель урока: при уменьшении $F_{CD}$ её значения сходятся к $1/(2\gamma)$ — тому же значению, что даёт точное решение для бесконечно длинной трещины.

РасчётРасчётная зависимость приведённого радиуса от безразмерной проводимости (модель урока, двойной логарифмический масштаб) и её асимптоты:

r_w'/x_f = 0{,}2807\,F_{CD}

при низкой проводимости и

r_w'/x_f = 0{,}5

при высокой. Переход между ними занимает примерно от

F_{CD}

= 0,3 до 30.

Аппроксимация из урока о гидроразрыве против модели урока

$F_{CD}$: 0,01
$r_w'/x_f$ , модель: 0,0028
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,0045
Отклонение $r_w'$: +60,7 %

$F_{CD}$: 0,05
$r_w'/x_f$ , модель: 0,0138
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,0169
Отклонение $r_w'$: +22,6 %

$F_{CD}$: 0,1
$r_w'/x_f$ , модель: 0,0271
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,0303
Отклонение $r_w'$: +11,7 %

$F_{CD}$: 0,3
$r_w'/x_f$ , модель: 0,0755
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,0780
Отклонение $r_w'$: +3,2 %

$F_{CD}$: 1
$r_w'/x_f$ , модель: 0,193
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,192
Отклонение $r_w'$: −0,5 %

$F_{CD}$: 10
$r_w'/x_f$ , модель: 0,436
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,435
Отклонение $r_w'$: −0,1 %

$F_{CD}$: 100
$r_w'/x_f$ , модель: 0,493
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,493
Отклонение $r_w'$: +0,0 %

$F_{CD}$: 1000
$r_w'/x_f$ , модель: 0,499
$r_w'/x_f$ , аппроксимация: 0,492
Отклонение $r_w'$: −1,3 %

$F_{CD}$	$r_w'/x_f$ , модель	$r_w'/x_f$ , аппроксимация	Отклонение $r_w'$
0,01	0,0028	0,0045	+60,7 %
0,05	0,0138	0,0169	+22,6 %
0,1	0,0271	0,0303	+11,7 %
0,3	0,0755	0,0780	+3,2 %
1	0,193	0,192	−0,5 %
10	0,436	0,435	−0,1 %
100	0,493	0,493	+0,0 %
1000	0,499	0,492	−1,3 %

Аппроксимация точна в пределах 1,5 % по $r_w'$ от $F_{CD} \approx 0{,}5$ до тысяч; при меньших значениях она всё сильнее завышает $r_w'$ , и там лучше пользоваться асимптотой 0,2807 $k_f w/k$ или моделью. Ошибка в $r_w'$ на $\varepsilon$ % меняет скин примерно на $\varepsilon/100$ .

Расчётный примерДлинная трещина низкой проводимости в проницаемом пласте

Исходные данные (условные)

Пласт: $k$ = 40 мД, $r_w$ = 0,108 м
Трещина: $x_f$ = 70 м, $k_f w$ = 140 мД·м (мало проппанта)
Варианты: та же трещина вдвое короче; та же длина с вдвое большей проводимостью

Решение

Безразмерная проводимость: $F_{CD} = \dfrac{140}{40\cdot 70} = 0{,}05$ — ветвь низкой проводимости.
Асимптота: $r_w' \approx 0{,}2807\cdot\dfrac{140}{40} = 0{,}98$ м; по модели $r_w' = 0{,}966$ м и $S_f = -\ln\dfrac{0{,}966}{0{,}108} = -2{,}19$ .
Аппроксимация из урока о гидроразрыве дала бы $r_w' = 1{,}185$ м и $S_f = -2{,}40$ : приведённый радиус завышен на 23 %.
Трещина вдвое короче, $x_f$ = 35 м: $F_{CD} = 0{,}10$ , по модели $r_w' = 0{,}949$ м, $S_f = -2{,}17$ — почти то же самое.
Проводимость 280 мД·м при $x_f$ = 70 м: $F_{CD} = 0{,}10$ , $r_w' = 1{,}899$ м, $S_f = -2{,}87$ .

Ответ: Трещина работает как скважина радиусом около 0,966 м (

S_f \approx

−2,19). Укорочение вдвое почти ничего не меняет, удвоение проводимости улучшает скин на 0,68.

Что это значит. Здесь не хватает проводимости, а не длины: половина трещины, а с ней и половина жидкости и проппанта, потрачена впустую. Для проницаемого пласта нужна короткая и широкая трещина. Данные примера условные.

Проводимость в пласте меньше паспортной

В формулы входит проводимость трещины в пласте, а не по лабораторному испытанию проппанта: её снижают давление смыкания, вдавливание зёрен в стенки, остатки геля, вынос проппанта, а у газовых скважин — инерционные потери в упаковке (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация) и двухфазный поток. Если $F_{CD}$ посчитан по паспортной проводимости, а реальный в несколько раз меньше, трещина может оказаться на крутом участке кривой, где её длина работает лишь частично (Размеры и проводимость трещины: проектирование).

Трещина в ограниченной области дренирования

Приведённый радиус описывает трещину так, как её «видит» поток издалека. Если полудлина сравнима с размерами области дренирования — при плотной сетке скважин в низкопроницаемом пласте это обычное дело, — этого «издалека» нет: от границ области флюид идёт прямо к плоскости трещины, и значительная часть потока линейная. Тогда продуктивность скважины в замкнутой области считают напрямую. Длину трещины сравнивают с размером области через коэффициент проникновения (penetration ratio):

Коэффициент проникновения трещины

I_x = \frac{2x_f}{x_e}

где:

$I_x$ коэффициент проникновения трещины: доля стороны области, перекрытая трещиной, —
$x_f$ закреплённая полудлина трещины, м
$x_e$ сторона квадратной области дренирования (у прямоугольной — сторона, параллельная трещине), м

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

трещина проходит через центр области параллельно её стороне; при $I_x$ = 1 концы трещины достигают границ.

Не путать со степенью вскрытия пласта $h_w/h$ (Несовершенство вскрытия и наклон скважины): там сравнивают вскрытую и полную толщину, здесь — длину трещины и размер области в плане.

Продуктивность выражают безразмерным коэффициентом продуктивности (dimensionless productivity index). Он удобен тем, что позволяет сравнивать скважины и трещины в пластах с любыми $k$ , $h$ и свойствами флюида:

Безразмерный коэффициент продуктивности

J_D = \frac{qB\mu}{2\pi kh\,(\bar p - p_{wf})},\qquad J = \frac{2\pi kh}{B\mu}\,J_D

где:

$J_D$ безразмерный коэффициент продуктивности, —
$J$ коэффициент продуктивности по среднему пластовому давлению, м³/(с·Па)
$q,\ B,\ \mu$ дебит в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, м³/с, м³/м³, Па·с
$k,\ h$ проницаемость и толщина пласта, м², м
$\bar p,\ p_{wf}$ среднее давление в области дренирования и забойное давление, Па

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

псевдоустановившийся режим в замкнутой области (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы); в неустановившемся режиме $J_D$ зависит от времени (раздел о первых дебитах);
однофазный приток; у вертикальной скважины в квадрате $1/J_D$ равно $\ln(x_e/r_w) - 1{,}311 + S$ , где $-1{,}311$ — это $\tfrac12\ln\big(4/(\gamma C_A)\big)$ при $C_A$ = 30,88.

$J_D$ — это обратная величина безразмерной депрессии. У вертикальной скважины без скина в квадрате со стороной 300–500 м $J_D \approx 0{,}14$ –0,15. Для короткой трещины годится та же формула, в которой $r_w$ заменён на $r_w'$ , а скин равен нулю.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

J\,[\text{м}^3/(\text{сут}\cdot\text{МПа})] = \frac{0{,}536\,k\,h}{\mu\,B}\,J_D

$k$ — мД, $h$ — м, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³; дебит в стандартных условиях.

$0{,}536 = 2\pi\cdot0{,}0853$ — постоянная формулы Дюпюи в этих единицах.

Чем длиннее трещина, тем больше $J_D$ , но рост не беспределен. Трещина бесконечной проводимости во всю ширину квадрата ( $I_x$ = 1) превращает приток в линейный: флюид из каждой половины области идёт к плоскости трещины параллельными линиями. Лучше этого скважина с одной трещиной в этой области работать не может:

Предел безразмерного коэффициента продуктивности

J_D \le J_{D,\max} = \frac{6}{\pi}\cdot\frac{x_e}{y_e}

где:

$J_{D,\max}$ безразмерный коэффициент продуктивности при линейном притоке к трещине бесконечной проводимости во всю длину области, —
$x_e$ сторона области, вдоль которой идёт трещина, м
$y_e$ другая сторона области (поперёк трещины), м

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

замкнутая прямоугольная область, трещина через центр параллельно стороне $x_e$ , псевдоустановившийся режим;
одна вертикальная трещина на всю толщину пласта; вывод — в дополнительном разделе.

Для квадрата предел равен $6/\pi \approx 1{,}91$ — примерно в 13 раз больше, чем у неповреждённой вертикальной скважины. В области, вытянутой вдоль трещины, предел выше, поперёк — ниже: путь флюида к трещине короче или длиннее.

РасчётРасчётный безразмерный коэффициент продуктивности трещины в центре замкнутой квадратной области в зависимости от коэффициента проникновения при трёх значениях

F_{CD}

(модель урока, псевдоустановившийся режим). Штрих — оценка через приведённый радиус для трещины бесконечной проводимости; горизонталь — предел

6/\pi

Расчётный примерТри полудлины трещины в плотном пласте при сетке 400 × 400 м

Исходные данные (условные)

Пласт: $k$ = 0,2 мД, $h$ = 12 м, $\mu$ = 1,0 мПа·с, $B$ = 1,2 м³/м³
Область дренирования: квадрат 400 × 400 м, скважина в центре, $r_w$ = 0,108 м
До гидроразрыва: скин +1
Трещины: $x_f$ = 40, 100 и 200 м; проводимость у всех $k_f w$ = 200 мД·м

Решение

До гидроразрыва: $J_D = \dfrac{1}{\ln(400/0{,}108) - 1{,}311 + 1} = \dfrac{1}{8{,}217 - 1{,}311 + 1} = 0{,}1265$ ; $J = \dfrac{0{,}536\cdot0{,}2\cdot12}{1{,}0\cdot1{,}2}\,J_D = 1{,}072\cdot J_D = 0{,}136$ м³/(сут·МПа).
Коэффициенты проникновения $I_x = 2x_f/400$ : 0,2; 0,5 и 1,0. Безразмерные проводимости $F_{CD} = 200/(0{,}2\,x_f)$ : 25; 10 и 5.
$J_D$ по модели замкнутого квадрата: 0,569; 0,999 и 1,397; продуктивность $J$ = 0,61; 1,07 и 1,50 м³/(сут·МПа), кратность увеличения 4,5; 7,9 и 11,0.
Оценка через приведённый радиус ( $r_w'$ по модели при тех же $F_{CD}$ , формула для вертикальной скважины в квадрате): $J_D$ = 0,574; 1,103 и 2,966 — завышение на 1; 10 и 112 %.
Предел для этой области: $J_{D,\max} = 6/\pi = 1{,}91$ , то есть $J = 2{,}05$ м³/(сут·МПа).

Ответ: Трещины 40, 100 и 200 м увеличивают продуктивность в 4,5; 7,9 и 11,0 раза. Приведённый радиус годится для первой, завышает вторую на 10 % и вдвое с лишним завышает третью.

Что это значит. Удвоение длины со 100 до 200 м при той же проводимости дало прирост лишь в 1,40 раза: трещина упирается в границы области, а её $F_{CD}$ падает. Длинную трещину при плотной сетке оценивают только моделью замкнутой области, а выбор длины и проводимости при заданном количестве проппанта — задача проектирования (Размеры и проводимость трещины: проектирование). Данные примера условные.

Режимы течения после пуска скважины

Формулы с приведённым радиусом и $J_D$ описывают стабилизированный приток. Сразу после пуска картина другая: возмущение давления только начинает расходиться от трещины, и геометрия потока несколько раз меняется. На диагностическом графике производной давления (Диагностика по производной давления) каждый режим узнаётся по наклону.

СхемаРежимы течения к скважине с трещиной гидроразрыва (вид сверху, схема не в масштабе): билинейный — поток вдоль трещины и к ней из ближней к стволу части пласта; линейный — параллельные линии тока ко всей плоскости трещины; псевдорадиальный — поток издалека сходится к трещине как к скважине большого радиуса; псевдоустановившийся — дренируется вся замкнутая область.

Линейный поток в самой трещине. Длится секунды–минуты и почти всегда скрыт влиянием ствола скважины (Влияние ствола скважины).
Билинейный приток (bilinear flow). В трещине давление падает к стволу, флюид течёт вдоль неё, а в пласте — к её плоскости, но только в ближней к стволу части: до конца трещины возмущение ещё не дошло. Два одновременных линейных потока дают рост перепада давления как $t^{1/4}$ — наклон ¼ на двойном логарифмическом графике.
Линейный приток (formation linear flow). Если проводимость очень высока ( $F_{CD}$ больше примерно 300), давление вдоль трещины выравнивается раньше, чем возмущение уходит от неё далеко, и пласт отдаёт флюид всей плоскостью трещины. Перепад растёт как $\sqrt t$ — наклон ½. При обычных $F_{CD}$ от 1 до 100 этого режима почти нет.
Переходный период: линии тока изгибаются, огибая концы трещины.
Псевдорадиальный приток (pseudo-radial flow). Возмущение ушло от трещины на несколько её длин, поток сходится к ней, как к скважине радиусом $r_w'$ ; производная выходит на полку радиального притока, по ней находят $kh$ , а по давлению — скин $S_f$ .
Псевдоустановившийся режим — возмущение дошло до границ замкнутой области; продуктивность определяет $J_D$ предыдущего раздела.

Билинейный приток к трещине конечной проводимости

p_{wD} = \frac{\pi}{\Gamma(5/4)\sqrt2}\,\frac{t_{Dxf}^{1/4}}{\sqrt{F_{CD}}} = 2{,}45\,\frac{t_{Dxf}^{1/4}}{\sqrt{F_{CD}}}

где:

$p_{wD}$ безразмерный перепад давления на забое, $2\pi kh\,\Delta p/(qB\mu)$ , —
$t_{Dxf}$ безразмерное время по полудлине, —
$F_{CD}$ безразмерная проводимость трещины, —
$\Gamma(5/4)$ гамма-функция, 0,9064, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

ранние времена: при $F_{CD} \ge 3$ режим длится примерно до $t_{Dxf} \approx 0{,}1/F_{CD}^2$ ; при $F_{CD}$ от 1,6 до 3 — дольше, чем по этой формуле (при $F_{CD}$ = 1,6 — до $t_{Dxf} \approx 0{,}7$ ); при $F_{CD} < 1$ — меньше: работает лишь короткий участок трещины у ствола, и уже при $t_{Dxf}$ порядка $F_{CD}^2/400$ приток начинает переходить в псевдорадиальный, минуя линейный режим;
трещина однородна и не пережата у ствола; влияние ствола закончилось.

Длина трещины из формулы выпала: в этом режиме конец трещины ещё «не известен» потоку. Подставив $p_{wD}$ , $t_{Dxf}$ и $F_{CD}$ , получаем перепад давления, который зависит от проводимости $k_f w$ , а не от $x_f$ . На графике перепада давления от $t^{1/4}$ это прямая: по её наклону находят $k_f w$ , а положительный отрезок на оси давления указывает на пережатие трещины у ствола.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

\Delta p\,[\text{МПа}] = 1{,}117\,\frac{qB\mu}{h\sqrt{k_f w}}\left(\frac{t}{\phi\mu c_t k}\right)^{1/4}

$q$ — м³/сут, $\mu$ — мПа·с, $h$ — м, $k_f w$ — мД·м, $t$ — ч, $c_t$ — МПа⁻¹, $k$ — мД.

$1{,}117 = 2{,}4508\cdot(3{,}553\cdot10^{-3})^{1/4}/0{,}5358$ (точные значения коэффициентов; $0{,}5358 = 2\pi\cdot0{,}08527$ ).

Промысловые единицы (oilfield)

\Delta p\,[\text{psi}] = 44{,}1\,\frac{qB\mu}{h\sqrt{k_f w}}\left(\frac{t}{\phi\mu c_t k}\right)^{1/4}

$q$ — STB/d, $\mu$ — сП, $h$ — ft, $k_f w$ — мД·ft, $t$ — ч, $c_t$ — psi⁻¹, $k$ — мД.

$44{,}1 = 141{,}2\cdot2{,}45\cdot(2{,}637\cdot10^{-4})^{1/4}$ .

Линейный приток к трещине высокой проводимости

p_{wD} = \sqrt{\pi\,t_{Dxf}}\quad\Longleftrightarrow\quad \Delta p = \frac{qB\mu}{2hx_f}\sqrt{\frac{t}{\pi k\phi\mu c_t}}

где:

$\Delta p$ перепад давления на забое после пуска с постоянным дебитом, Па
$q,\ B,\ \mu$ дебит в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, м³/с, м³/м³, Па·с
$h,\ x_f$ толщина пласта и полудлина трещины, м
$k,\ \phi,\ c_t,\ t$ проницаемость, пористость, общая сжимаемость, время, м², —, Па⁻¹, с

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

$F_{CD}$ больше примерно 300; режим длится до $t_{Dxf} \approx 0{,}016$ , при меньшей проводимости его вытесняет билинейный приток;
трещина на всю толщину пласта; у трещины, которая ниже пласта, начальный участок искажён.

Из наклона прямой «перепад давления — $\sqrt t$ » находят произведение $x_f\sqrt k$ ; при известной из исследования до гидроразрыва проницаемости — полудлину. Скин стенок трещины добавляет к перепаду постоянную величину, и прямая не проходит через начало координат (Диагностика по производной давления).

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

\Delta p\,[\text{МПа}] = 0{,}1972\,\frac{qB\mu}{h\,x_f}\sqrt{\frac{t}{k\phi\mu c_t}}

$q$ — м³/сут, $\mu$ — мПа·с, $h$ и $x_f$ — м, $t$ — ч, $k$ — мД, $c_t$ — МПа⁻¹.

$0{,}1972 = \sqrt{\pi\cdot3{,}553\cdot10^{-3}}/0{,}5358$ .

Промысловые единицы (oilfield)

\Delta p\,[\text{psi}] = 4{,}064\,\frac{qB\mu}{h\,x_f}\sqrt{\frac{t}{k\phi\mu c_t}}

$q$ — STB/d, $\mu$ — сП, $h$ и $x_f$ — ft, $t$ — ч, $k$ — мД, $c_t$ — psi⁻¹.

$4{,}064 = 141{,}2\cdot\sqrt{\pi\cdot2{,}637\cdot10^{-4}}$ .

Псевдорадиальный приток к трещине

p_{wD} = \frac12\left(\ln t_{Dxf} + 0{,}809\right) + \ln\frac{x_f}{r_w'}

где:

$p_{wD},\ t_{Dxf}$ безразмерные перепад давления и время по полудлине, —
$\ln(x_f/r_w')$ значение универсальной кривой при данном $F_{CD}$ : $\ln 2$ для бесконечной проводимости, —
$0{,}809$ $\ln(4/\gamma)$ , постоянная логарифмической аппроксимации, —

Единицы: безразмерная; логарифмы натуральные

Справедливо, если

производная выходит на полку 0,5 с точностью 7–8 % при $t_{Dxf} = 3$ и 5 % при $t_{Dxf} = 5$ при любых $F_{CD}$ от 1 до бесконечности;
бесконечный пласт: возмущение ещё не дошло до границ области.

Если перейти от $t_{Dxf}$ к безразмерному времени по радиусу ствола, получится обычная полулогарифмическая формула со скином $S_f$ (Анализ кривой падения давления). Поэтому по участку псевдорадиального притока трещину видят как отрицательный скин — и только на нём.

Границы режимов течения (модель урока)

Режим: Билинейный
Производная: наклон ¼, в 4 раза ниже перепада
Когда: до $t_{Dxf} \approx 0{,}1/F_{CD}^2$ (при $F_{CD} \ge 3$ )
Что даёт: $k_f w$ ; пережатие

Режим: Линейный
Производная: наклон ½, вдвое ниже перепада
Когда: при $F_{CD} \gtrsim 300$ , до $t_{Dxf} \approx 0{,}016$
Что даёт: $x_f\sqrt k$ ; скин стенок

Режим: Псевдорадиальный
Производная: полка 0,5
Когда: с $t_{Dxf} \approx 3$ –5
Что даёт: $kh$ , $S_f$

Режим: Граница области
Производная: подъём производной
Когда: в квадрате с $t_{DA} \approx 0{,}03$ –0,05
Что даёт: площадь, $J_D$

Режим	Производная	Когда	Что даёт
Билинейный	наклон ¼, в 4 раза ниже перепада	до $t_{Dxf} \approx 0{,}1/F_{CD}^2$ (при $F_{CD} \ge 3$ )	$k_f w$ ; пережатие
Линейный	наклон ½, вдвое ниже перепада	при $F_{CD} \gtrsim 300$ , до $t_{Dxf} \approx 0{,}016$	$x_f\sqrt k$ ; скин стенок
Псевдорадиальный	полка 0,5	с $t_{Dxf} \approx 3$ –5	$kh$ , $S_f$
Граница области	подъём производной	в квадрате с $t_{DA} \approx 0{,}03$ –0,05	площадь, $J_D$

$t_{DA} = kt/(\phi\mu c_tA)$ — безразмерное время по площади области (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы); в квадрате $t_{DA} = t_{Dxf}\,I_x^2/4$ . Границы сказываются на производной заметно (несколько процентов) раньше, чем у вертикальной скважины: концы трещины ближе к границам.

РасчётРасчётные безразмерные производные давления скважины с трещиной в бесконечном пласте при трёх значениях

F_{CD}

(модель урока, без влияния ствола и скина). Слева — билинейный участок с наклоном ¼, у трещины очень высокой проводимости — линейный с наклоном ½; справа все кривые выходят на полку 0,5 псевдорадиального притока.

Расчётный примерСколько длятся режимы в плотном пласте

Исходные данные (условные)

Пласт и область: из предыдущего примера: $k$ = 0,2 мД, $\phi$ = 0,12, $\mu$ = 1,0 мПа·с, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹, квадрат 400 × 400 м
Трещины: $x_f$ = 40 м ( $F_{CD}$ = 25) и $x_f$ = 100 м ( $F_{CD}$ = 10)

Решение

Пьезопроводность: $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot\dfrac{0{,}2}{0{,}12\cdot1{,}0\cdot1{,}5\cdot10^{-3}} = 3{,}95$ м²/ч; за час $t_{Dxf}$ растёт на $\eta/x_f^2$ : 0,002467 и 0,0003948.
Конец билинейного притока $t_{Dxf} = 0{,}1/F_{CD}^2$ : 0,00016 и 0,001, то есть через 0,06 и 2,5 ч — обычно ещё в пределах влияния ствола.
Начало псевдорадиального притока $t_{Dxf} \approx 3$ : через 51 и 317 сут.
Безразмерное время по площади к этому моменту: $t_{DA} = 3\,I_x^2/4$ = 0,03 и 0,19. Граница области становится заметной на производной при $t_{DA} \approx 0{,}03$ –0,05, то есть через $t_{DA}A/(24\eta)$ = 51–84 сут ( $A$ = 160 000 м²).

Ответ: У трещины 40 м производная едва успевает приблизиться к полке через 51 сут, и почти сразу начинает сказываться граница. У трещины 100 м псевдорадиального режима нет: граница приходит раньше.

Что это значит. На момент начала псевдорадиального режима $t_{DA} = 0{,}75\,I_x^2$ ; отсюда правило: в квадратной области этот режим успевает сложиться, только если $I_x$ меньше примерно 0,2–0,25. В плотных пластах с длинными трещинами $kh$ по полке производной не найти — его определяют до гидроразрыва или по совмещению с расчётными кривыми, а приток прогнозируют моделью, учитывающей и трещину, и границы. Данные примера условные.

Ранние участки легко спутать

Влияние ствола тоже даёт наклон, только единичный, а переходный «горб» после него маскирует билинейный участок (Влияние ствола скважины, Диагностика по производной давления). Трещина, которая не перекрывает всю толщину пласта, сначала даёт почти радиальный приток к своей высоте. Поэтому наклоны ¼ и ½ проверяют по нескольким признакам: отношение производной к перепаду (¼ и ½), прямая на графике от $t^{1/4}$ или $\sqrt t$ , согласие $k_f w$ и $x_f$ с проектом обработки.

Почему первые дебиты завышают эффект

Сразу после пуска вся депрессия приходится на тонкий слой пласта вдоль огромной поверхности трещины. Градиенты давления у её стенок велики, и скважина даёт много. По мере того как возмущение расходится, та же депрессия распределяется по всё большему объёму, градиенты падают, и дебит снижается к стабилизированному значению. Скважина до гидроразрыва обычно давно работала стабилизированно. Если сравнить первые недели после обработки со стабилизированным дебитом до неё, прирост будет завышен.

Количественно это показывает неустановившийся коэффициент продуктивности: отношение дебита к разности среднего пластового и забойного давления в момент $t$ . В безразмерной форме при постоянном дебите среднее давление в замкнутой области падает на $2\pi t_{DA}$ (в единицах $p_D$ ; Исследование на ограниченность пласта), поэтому:

Неустановившийся коэффициент продуктивности и кажущаяся кратность прироста

J_D(t) = \frac{1}{p_{wD}(t) - 2\pi t_{DA}},\qquad n_{\text{каж}}(t) = \frac{J_D(t)}{J_{D,\text{до}}}

где:

$J_D(t)$ безразмерный коэффициент продуктивности скважины с трещиной в момент $t$ (постоянный дебит), —
$p_{wD}(t)$ безразмерный перепад давления на забое с начала работы, —
$t_{DA}$ безразмерное время по площади области; $2\pi t_{DA}$ — среднее снижение давления в области, —
$n_{\text{каж}}(t)$ кажущаяся кратность прироста продуктивности в момент $t$ , —
$J_{D,\text{до}}$ стабилизированный $J_D$ той же скважины до гидроразрыва, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

замкнутая однородная область, однофазный приток; до обработки скважина работала в псевдоустановившемся режиме;
при постоянном забойном давлении дебит меняется во времени похоже, но не точно так же: эта формула — мера, а не прогноз дебита по дням.

При больших временах $p_{wD} - 2\pi t_{DA}$ стремится к $1/J_D$ псевдоустановившегося режима, и кажущаяся кратность — к истинной. Пока режим неустановившийся, знаменатель меньше, и кратность больше.

РасчётКажущаяся кратность прироста продуктивности после гидроразрыва в зависимости от времени работы (модель урока): пласт и область из примеров, трещины 40 и 100 м. Штриховые горизонтали — стабилизированные значения, к которым кривые подходят сверху.

Расчётный примерЧто покажут первые недели после гидроразрыва

Исходные данные (условные)

Скважина: из примеров выше: $k$ = 0,2 мД, квадрат 400 × 400 м, скин до обработки +1
Трещина: $x_f$ = 100 м, $F_{CD}$ = 10
Сравнение: продуктивность после обработки со стабилизированной продуктивностью до неё

Решение

Стабилизированная кратность — из примера о трёх полудлинах: 7,90.
Через 7 сут: $t_{Dxf}$ = 0,066, кажущаяся кратность 16,0 — в 2,0 раза больше стабилизированной.
Через 30 сут: $t_{Dxf}$ = 0,28, кратность 10,25 (в 1,3 раза больше).
Через 90 и 365 сут: 8,3 и 7,9.

Ответ: Первая неделя показала бы прирост в 16,0 раза, первый месяц — в 10,25, а долговременный прирост — 7,90.

Что это значит. Тот, кто оценит обработку по первому месяцу, переоценит её на 30 % — и будет разочарован через полгода, даже если трещина сохранила проводимость. На деле дебит снижается ещё и потому, что падает пластовое давление и проводимость трещины. Результаты обработок сравнивают по стабилизированной продуктивности или по модели, в которой учтён неустановившийся режим. Данные примера условные.

Как оценивать обработку честно

сравнивать стабилизированные коэффициенты продуктивности до и после, а не дебиты разной «давности»;
если стабилизации ждать долго, сравнивать фактические дебиты с расчётом по модели неустановившегося притока к трещине, а не с формулой для стабилизированного режима;
сравнивать скважины одного «возраста» работы и с одинаковыми забойными давлениями: рост депрессии после обработки тоже увеличивает дебит;
помнить, что часть прироста — ускорение добычи тех же запасов области дренирования, а не новые запасы.

Пережатие трещины и повреждение её стенок

Трещина может потерять часть выигрыша двумя способами. Пережатие (choked fracture) — участок длиной $x_s$ у самого ствола с проводимостью $k_{f,ch}w$ намного ниже проектной: проппант продавили дальше ствола, его вынесло при освоении, зёрна у ствола раздробились, или трещина соединена со стволом через узкий извилистый канал. Повреждение стенок (fracture-face damage) — тонкий слой пласта толщиной $b_s$ вдоль поверхности трещины с проницаемостью $k_s$ , сниженной фильтратом и полимером жидкости разрыва.

Скин пережатия трещины

s_{ch} \approx \pi k\,x_s\left(\frac{1}{k_{f,ch}w} - \frac{1}{k_f w}\right) \approx \frac{\pi k\,x_s}{k_{f,ch}w}

где:

$s_{ch}$ добавочный скин пережатия, —
$k$ проницаемость пласта, мД
$x_s$ длина пережатого участка от ствола, м
$k_{f,ch}w,\ k_f w$ проводимость пережатого участка и остальной трещины, мД·м

Единицы: безразмерная; проницаемости и проводимости в согласованных единицах (мД и мД·м)

Справедливо, если

весь поток крыла проходит пережатый участок вдоль трещины: на каждое крыло — половина дебита;
это верхняя оценка: если $k_{f,ch}w$ не намного больше $k\,x_s$ , часть флюида обходит пережатый участок по пласту, и фактический скин меньше (в примере ниже — примерно на 40 %).

Вывод: перепад на пережатом участке по закону Дарси $\Delta p = (q/2)\,\mu x_s/(k_{f,ch}w\,h)$ (в пластовых условиях), делённый на $qB\mu/(2\pi kh)$ . Короткий участок с низкой проводимостью «стоит» дорого, потому что через него идёт весь поток: 0,3 м с проводимостью 150 мД·м в пласте 300 мД дают около +1,8.

Скин стенок трещины

s_{fs} = \frac{\pi b_s}{2x_f}\left(\frac{k}{k_s} - 1\right)

где:

$s_{fs}$ скин стенок трещины, —
$b_s$ толщина повреждённого слоя от стенки трещины в глубь пласта, м
$k_s$ проницаемость повреждённого слоя, мД
$x_f,\ k$ полудлина трещины и проницаемость пласта, м, мД

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

тонкий слой, $b_s \ll x_f$ , одинаковый вдоль всей трещины; поток через него перпендикулярен стенке;
в линейном режиме $s_{fs}$ прибавляется к $p_{wD}$ точно; в псевдорадиальном итоговый скин растёт примерно на $s_{fs}$ , но не меньше: по модели — на 5–20 % больше при $s_{fs}$ от 0,5 до 1 и относительно ещё больше при малых $s_{fs}$ , потому что приток перераспределяется вдоль трещины.

Это формула Хокинса (Скин-фактор), развёрнутая на плоскость трещины: тот же поток проходит через площадь четырёх стенок $4x_fh$ вместо $2\pi r_wh$ . Площадь огромна, поэтому даже сильное повреждение длинной трещины даёт малый скин; заметным он становится у коротких трещин в проницаемых пластах.

Расчётный примерКороткая широкая трещина в проницаемом пласте: что съели пережатие и стенки

Исходные данные (условные)

Пласт: $k$ = 300 мД, $r_w$ = 0,108 м
Трещина по проекту: $x_f$ = 6 м, $k_f w$ = 3000 мД·м
Пережатие: у ствола $x_s$ = 0,3 м с $k_{f,ch}w$ = 150 мД·м (проппант продавлен)
Стенки: повреждённый слой $b_s$ = 0,05 м, $k/k_s$ = 30

Решение

Проект: $F_{CD} = \dfrac{3000}{300\cdot6} = 1{,}67$ ; по модели $\ln(x_f/r_w') = 1{,}351$ , $S_f = 1{,}351 - \ln\dfrac{6}{0{,}108} = -2{,}67$ .
Пережатие: $s_{ch} \approx \pi\cdot300\cdot0{,}3\left(\dfrac{1}{150} - \dfrac{1}{3000}\right) = 1{,}79$ .
Стенки: $s_{fs} = \dfrac{\pi\cdot0{,}05}{2\cdot6}\,(30 - 1) = 0{,}38$ .
Сумма по формулам: $-2{,}67 + 1{,}79 + 0{,}38 = -0{,}50$ ; модель с обоими дефектами даёт $S = -0{,}67$ .
Продуктивность относительно проекта при $X = \ln(r_e/r_w) - 0{,}75$ = 7,179 ( $r_e$ = 300 м): $\dfrac{X + S_f}{X + S} = \dfrac{7{,}179 - 2{,}67}{7{,}179 - 0{,}67} = 0{,}69$ .

Ответ: Вместо проектного скина −2,67 скважина имеет около −0,67 и даёт 69 % проектного дебита.

Что это значит. Главный ущерб нанесли 30 см у ствола, а не повреждение всей поверхности стенок. Формула пережатия здесь завышена — модель даёт добавку 1,06 вместо 1,79, потому что часть флюида обходит пережатый участок по пласту, — но вывод тот же: в коротких трещинах для проницаемых пластов главное — надёжное соединение трещины со стволом, а продавку проппанта дальше ствола не допускают (Размеры и проводимость трещины: проектирование). Данные примера условные.

Порядок оценки притока к скважине с трещиной

1
Безразмерная проводимость
по проводимости трещины в пластовых условиях, а не по паспорту проппанта; для газовых скважин — с учётом инерционных потерь в упаковке.
2
Короткая или длинная трещина
если $I_x$ меньше 0,2–0,3 — приведённый радиус по универсальной кривой (при $F_{CD} < 0{,}1$ — по асимптоте $0{,}28\,k_f w/k$ ); если больше — $J_D$ по модели замкнутой области, не выше $6/\pi$ для квадрата.
3
Масштаб времени
$t_{Dxf}$ за сутки и $t_{DA}$ : сколько продлится неустановившийся приток, будет ли псевдорадиальный режим до прихода границ.
4
Дефекты трещины
скины пережатия и стенок как верхние оценки; для коротких трещин в проницаемых пластах они решают исход.
5
Прогноз
неустановившийся приток в первые месяцы, затем стабилизированный; проверить, пропустит ли подъёмник возросший дебит (Узловой анализ добывающей системы).
6
Проверка после обработки
диагностика по производной давления: наклоны ¼ и ½, проводимость и полудлина по ранним участкам, сравнение стабилизированной продуктивности с расчётом.

Термины и обозначения

Безразмерное время по полудлине $t_{Dxf}$: $kt/(\phi\mu c_t x_f^2)$ ; при $t_{Dxf} \approx 1$ возмущение давления ушло от трещины на расстояние порядка её полудлины.
Билинейный приток: ранний режим трещины конечной проводимости: одновременный линейный поток в трещине и к ней; перепад давления растёт как $t^{1/4}$ .
Линейный приток: поток параллельными линиями к плоскости трещины высокой проводимости; перепад давления растёт как $\sqrt t$ .
Псевдорадиальный приток: поздний режим, при котором поток издалека сходится к трещине, как к скважине радиусом $r_w'$ .
Коэффициент проникновения трещины $I_x$: $2x_f/x_e$ — доля стороны области дренирования, перекрытая трещиной.
Безразмерный коэффициент продуктивности $J_D$: $qB\mu/(2\pi kh(\bar p - p_{wf}))$ ; позволяет сравнивать скважины и трещины в разных пластах.
Пережатие трещины: участок низкой проводимости у самого ствола, через который проходит весь поток крыла; даёт скин $s_{ch}$ .
Скин стенок трещины $s_{fs}$: добавочное сопротивление тонкого повреждённого слоя пласта вдоль поверхности трещины.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Приведённый радиус $x_f/2$ годится для любой трещины высокой проводимости».

На самом деле

Только для трещины, малой по сравнению с областью дренирования. В примере урока при $I_x$ = 0,5 оценка через приведённый радиус завышает продуктивность на 10 %, при $I_x$ = 1 — больше чем вдвое; для квадрата $J_D$ не может превысить $6/\pi$ .

Неверно

«Удвоим длину трещины — приведённый радиус удвоится».

На самом деле

Это верно лишь при высокой проводимости ( $F_{CD}$ от 30). При $F_{CD}$ меньше 0,1 приведённый радиус равен примерно $0{,}28\,k_f w/k$ и от длины не зависит; удвоение длины при той же проводимости вдвое уменьшает и $F_{CD}$ .

Неверно

«Дебит первого месяца после гидроразрыва и есть его результат».

На самом деле

В плотном пласте первый месяц приходится на неустановившийся режим, и продуктивность в это время выше стабилизированной; в примере урока кажущаяся кратность прироста за первый месяц была почти на треть больше истинной.

Неверно

«Если исследование длинное, полка производной обязательно появится».

На самом деле

У длинной трещины в плотном пласте граница области сказывается раньше, чем наступает псевдорадиальный режим: в квадрате — при $I_x$ больше примерно 0,2–0,25.

Неверно

«Повреждение стенок трещины опаснее всего».

На самом деле

Оно распределено по огромной площади и у длинных трещин даёт малый скин. Опаснее пережатие у ствола: через короткий участок проходит весь поток.

Подробно: для продвинутых

Откуда предел 6/π

Пусть трещина бесконечной проводимости делит замкнутую область $x_e \times y_e$ пополам вдоль стороны $x_e$ . Каждая половина — пласт толщиной $L = y_e/2$ в направлении потока с непроницаемой внешней гранью; флюид идёт к трещине линейно через площадь $x_e h$ с одной стороны. В псевдоустановившемся режиме через сечение на расстоянии $y$ от трещины проходит лишь флюид, выделившийся дальше этого сечения, то есть доля $1 - y/L$ потока $q/2$ .

Интегрируя закон Дарси, получаем разность давлений между точкой $y$ и трещиной $\dfrac{q\mu}{2kx_eh}\left(y - \dfrac{y^2}{2L}\right)$ (в пластовых условиях, $B$ = 1). Среднее по слою значение этой разности — $\dfrac{q\mu L}{6kx_eh}$ . Отсюда $\bar p - p_{wf} = \dfrac{q\mu\,y_e}{12\,kx_eh}$ и $J_D = \dfrac{q\mu}{2\pi kh(\bar p - p_{wf})} = \dfrac{6}{\pi}\cdot\dfrac{x_e}{y_e}$ .

Та же логика объясняет члены $-1/2$ и $-3/4$ в радиальной формуле (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы): разница лишь в геометрии. Трещина конечной проводимости, не доходящая до границ, всегда даёт меньший $J_D$ — модель урока воспроизводит предел $6/\pi$ при $I_x$ = 1 и бесконечной проводимости с точностью до пятого знака.

Как рассчитаны кривые урока

Крыло трещины делят на 16–60 отрезков (при очень низкой проводимости — до 240), сгущая их у ствола и у конца трещины. На каждом отрезке приток из пласта считают равномерным, но неизвестным. Давление в пласте у середины каждого отрезка выражают через все притоки с помощью функции влияния линейного источника. Перепад давления вдоль трещины — через закон Дарси для течения в ней. Условие «давление в трещине равно давлению в пласте у её стенки» в серединах отрезков и заданный суммарный дебит дают систему линейных уравнений.

Бесконечный пласт, неустановившийся приток: функция влияния — интеграл модифицированной функции Бесселя $K_0$ в пространстве изображений Лапласа; переход к времени — численным обращением по Стефесту (алгоритм Стефеста), как в уроках о неустановившемся притоке.
Псевдорадиальная постоянная $\ln(x_f/r_w')$ : предел той же задачи при больших временах, где $K_0$ заменяется логарифмом; при бесконечной проводимости решение даёт точно $\ln 2$ .
Замкнутый квадрат: функция влияния записана рядом по косинусам поперёк области; медленно сходящуюся часть ряда суммируют точно через функцию Клаузена. Модель сверена с решением методом конечных разностей и с пределом $6/\pi$ .

Проверки модели: билинейная асимптота $2{,}4508\,t^{1/4}/\sqrt{F_{CD}}$ и линейная $\sqrt{\pi t}$ воспроизводятся на ранних временах с точностью до десятых долей процента; приведённый радиус при уменьшении $F_{CD}$ сходится к $0{,}2807\,k_f w/k$ ; неустановившееся решение для квадрата в начале совпадает с решением для бесконечного пласта, а в конце выходит на псевдоустановившийся $J_D$ . Погрешность самих расчётов — десятые доли процента, много меньше неопределённости реальных параметров трещины.

Полудлина трещины по участку линейного притока

Если проводимость трещины очень высока, ранний участок записи давления после пуска или остановки — линейный приток, и по нему находят полудлину. Для этого строят перепад давления против $\sqrt t$ , проверяют на диагностическом графике наклон ½ и по наклону прямой $m_l$ вычисляют $x_f$ из метрической формы формулы линейного притока.

Расчётный примерПолудлина по наклону прямой «перепад — корень из времени»

Исходные данные (условные)

Режим: $q$ = 15 м³/сут, $B$ = 1,2, $\mu$ = 1,0 мПа·с, $h$ = 12 м
Пласт: $k$ = 0,05 мД (по исследованию до гидроразрыва), $\phi$ = 0,12, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Запись давления: наклон ½ на производной от 6 до 60 ч; наклон прямой $m_l$ = 1,23 МПа на $\sqrt{\text{ч}}$ , прямая проходит через ноль

Решение

Из формулы линейного притока: $x_f = \dfrac{0{,}1972\,qB\mu}{h\,m_l\sqrt{k\phi\mu c_t}}$ .
$\sqrt{0{,}05\cdot0{,}12\cdot1{,}0\cdot1{,}5\cdot10^{-3}} = 0{,}0030$ .
$x_f = \dfrac{0{,}1972\cdot15\cdot1{,}2\cdot1{,}0}{12\cdot1{,}23\cdot0{,}0030} = 80$ м.
Проверка режима: линейный приток кончается при $t_{Dxf} \approx 0{,}016$ , то есть через $t = \dfrac{0{,}016\,\phi\mu c_t x_f^2}{3{,}553\cdot10^{-3}\,k} = 104$ ч — участок 6–60 ч лежит внутри режима.

Ответ: Полудлина трещины — около 80 м; скин стенок близок к нулю, раз прямая проходит через начало координат.

Что это значит. Результат прямо зависит от проницаемости: найдено произведение $x_f\sqrt k$ , и ошибка в $k$ вдвое даёт ошибку в $x_f$ в $\sqrt2$ раз. Если проводимость не очень высока, ранний участок — билинейный или переходный, и формула линейного притока занизит $x_f$ ; тогда используют совмещение с расчётными кривыми. Данные примера условные.

Аналогично по наклону прямой «перепад — $t^{1/4}$ » на билинейном участке находят проводимость: $k_f w = \left(\dfrac{1{,}117\,qB\mu}{h\,m_b}\right)^2\dfrac{1}{\sqrt{\phi\mu c_t k}}$ , где $m_b$ — наклон в МПа на $\text{ч}^{1/4}$ . Обе оценки требуют, чтобы трещина перекрывала всю толщину пласта и чтобы влияние ствола к этому времени закончилось.

Связь с другими темами

Гидроразрыв пласта: назначение и выбор скважин — безразмерная проводимость, эквивалентный скин и кратность прироста — основа этого урока.
Скин-фактор — приведённый радиус и формула Хокинса, на которой построен скин стенок трещины.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — коэффициент формы и стабилизированный приток в замкнутой области.
Диагностика по производной давления — диагностический график, на котором узнают билинейный, линейный и псевдорадиальный приток.
Размеры и проводимость трещины: проектирование — как выбрать длину и проводимость трещины при заданном количестве проппанта.
Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация — инерционные потери в упаковке проппанта снижают эффективную проводимость трещины газовой скважины.
Узловой анализ добывающей системы — пропустит ли подъёмник дебит скважины после гидроразрыва.
Влияние заканчивания на приток — сопротивление перфорации и гравийной набивки — для скважин, где трещина соединена со стволом через перфорацию.

Проверьте себя

1
Трещина полудлиной 80 м с проводимостью 100 мД·м создана в пласте 25 мД. Что даст её удлинение вдвое при той же проводимости?
1. А.Продуктивность удвоится
2. Б.Приведённый радиус удвоится, скин уменьшится на 0,69
3. В.Почти ничего
4. Г.Приведённый радиус уменьшится вдвое
Показать ответ
Правильный ответ: В. Почти ничего
$F_{CD} = 100/(25\cdot80) = 0{,}05$ — ветвь низкой проводимости. Приведённый радиус $\approx 0{,}28\cdot100/25 \approx 1{,}1$ м и от длины не зависит: работает лишь участок у ствола. Помогло бы повышение проводимости.
2
Скважина в центре квадратной области 300 × 300 м, трещина бесконечной проводимости полудлиной 150 м. Инженер оценил продуктивность через $r_w' = x_f/2$ . Насколько он ошибся?
Показать ответ
$I_x = 2\cdot150/300 = 1$ : трещина во всю ширину, и $J_D = 6/\pi \approx 1{,}91$ . Оценка через приведённый радиус: $r_w' = 75$ м, $\ln(300/75) = 1{,}386$ , и $J_D = 1/(1{,}386 - 1{,}311) \approx 13$ — завышение почти в 7 раз. Приведённый радиус описывает только трещины, малые по сравнению с областью.
3
На диагностическом графике после гидроразрыва производная в первые часы идёт параллельно перепаду давления и в 4 раза ниже него. Что это за режим и что по нему можно найти?
1. А.Псевдорадиальный приток; проницаемость пласта
2. Б.Билинейный приток; проводимость трещины
3. В.Влияние ствола; коэффициент влияния ствола
4. Г.Линейный приток; полудлину трещины
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Билинейный приток; проводимость трещины
Если перепад растёт как $t^n$ , производная равна $n\,\Delta p$ ; отношение ¼ означает $n$ = ¼ — билинейный приток к трещине конечной проводимости. По наклону прямой «перепад — $t^{1/4}$ » находят $k_f w$ ; отрезок на оси давления указывает на пережатие. При линейном притоке отношение было бы ½, при влиянии ствола — 1.
4
Почему у скважины с трещиной полудлиной 150 м в плотном пласте при расстоянии между скважинами 400 м исследование может так и не показать полку производной?
Показать ответ
Псевдорадиальный приток начинается при $t_{Dxf} \approx 3$ , а к этому времени $t_{DA} = 3\,I_x^2/4$ . Здесь $I_x = 0{,}75$ и $t_{DA} \approx 0{,}42$ — граница области давно сказалась (заметно уже с $t_{DA}$ около 0,03–0,05). Поток переходит из билинейного или переходного режима сразу в режим истощения области; $kh$ находят до гидроразрыва или совмещением с расчётными кривыми.
5
В первый месяц после гидроразрыва скважина давала 14 м³/сут, а до обработки стабилизированно — 1,5 м³/сут при той же депрессии. Можно ли считать, что продуктивность выросла в 9 раз?
Показать ответ
Нет. Первый месяц в плотном пласте — неустановившийся режим, и продуктивность в это время выше стабилизированной; до обработки скважина работала уже стабилизированно. Истинную кратность дают стабилизированные данные или расчёт по модели неустановившегося притока к трещине; в примере урока при сходных условиях первый месяц завышал прирост почти на треть. Дебит будет снижаться и при сохранной трещине.
6
У короткой трещины в пласте 400 мД у ствола остался участок длиной 0,2 м с проводимостью 100 мД·м. Какой порядок у скина пережатия?
1. А.2,5
2. Б.0,03
3. В.25
4. Г.0,25
Показать ответ
Правильный ответ: А. 2,5
$s_{ch} \approx \pi k x_s/(k_{f,ch}w) = \pi\cdot400\cdot0{,}2/100 \approx 2{,}5$ — верхняя оценка, часть потока обойдёт участок по пласту. Для короткой трещины с проектным скином около −3 это потеря большей части выигрыша.

Обновлено: 28 октября 2026 г.