Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы

Кратко о главном

В замкнутой области без подпитки отбор возмещается только расширением пород и флюидов, поэтому среднее давление падает линейно во времени. После неустановившегося периода с той же скоростью падает давление в каждой точке.
Через окружность радиусом $r$ проходит не весь дебит, а только флюид, выделившийся за её пределами: доля $1 - r^2/r_e^2$ . Поэтому вдали от скважины градиент давления меньше, чем при установившемся притоке.
Для скважины в центре круга депрессия $\bar p - p_{wf}$ пропорциональна $\ln(r_e/r_w) - 3/4 + S$ , а разность $p_e - p_{wf}$ — члену $\ln(r_e/r_w) - 1/2 + S$ . Логарифм натуральный.
Для области любой формы вместо $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ ставят $\tfrac12\ln\big(4A/(\gamma C_Ar_w^2)\big)$ . У круга $C_A$ = 31,62; у вытянутых областей и смещённых к границе скважин он меньше, и продуктивность ниже.
В круговой области со скважиной в центре режим устанавливается при $kt/(\phi\mu c_tA) \approx 0{,}1$ , в вытянутых и несимметричных — в несколько раз позже.
В блоке с несколькими скважинами каждая дренирует поровый объём, пропорциональный её дебиту; среднее давление блока — среднее давлений областей, взвешенное по дебитам.

Ключевые соотношения

\bar p - p_{wf} = \dfrac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} - \dfrac34 + S\right)

скважина в центре круговой области, согласованные единицы

\bar p - p_{wf} = \dfrac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\dfrac12\ln\dfrac{4A}{\gamma C_A r_w^2} + S\right)

область любой формы, $\gamma = 1{,}781$

\dfrac{\dd\bar p}{\dd t} = -\dfrac{qB}{c_t V_p}

темп снижения давления в замкнутой области

S_A = \dfrac12\ln\dfrac{4\pi}{\gamma C_A} + \dfrac34

псевдоскин формы

t_{DA} = \dfrac{k\,t}{\phi\mu c_t A}

безразмерное время по площади (СИ)

Где чаще всего ошибаются

Подставить в формулу псевдоустановившегося притока через среднее давление член $\ln(r_e/r_w) - 1/2$ : в этом режиме он относится к давлению на внешней границе (с $-1/2$ через среднее давление записывают установившийся приток).
Применять коэффициент формы до выхода на псевдоустановившийся режим: пока $t_{DA}$ меньше табличного значения, формула неверна.
Переводить объёмы дренирования в площади, не учитывая разломов и различий толщины, пористости и насыщенности.
Ожидать постоянной продуктивности ниже давления насыщения: свободный газ снижает её с каждым шагом падения давления.
Распределять объёмы пропорционально дебитам между скважинами разных блоков, разделённых непроницаемым разломом.

После урока вы сможете

объяснить, почему в замкнутой области давление после неустановившегося периода снижается всюду с одной скоростью, и связать эту скорость с материальным балансом;
вывести формулу псевдоустановившегося притока и объяснить члены $-1/2$ и $-3/4$ ;
рассчитать коэффициент продуктивности, среднее пластовое и забойное давление в псевдоустановившемся режиме;
учесть форму области дренирования и положение скважины через коэффициент формы и псевдоскин формы;
оценить время выхода на режим и определить среднее давление блока с несколькими скважинами.

Замкнутая область: давление падает всюду одинаково

Возьмём скважину в центре круговой области радиусом $r_e$ , внешняя граница которой непроницаема. Такой границей бывает разлом, выклинивание пласта или линия раздела потоков между соседними скважинами (непроницаемая граница). Скважину пустили с постоянным дебитом.

Сначала воронка депрессии расширяется, как в бесконечном пласте: режим неустановившийся (Режимы фильтрации). Когда она доходит до границы, подпитки нет, и отбор возмещается только расширением пород и флюидов по всей области. Вскоре распределение давления приобретает постоянную форму и опускается как целое: давление в каждой точке снижается с одной скоростью. Это и есть псевдоустановившийся режим; его называют также квазистационарным, а в британской литературе — semi-steady state.

РасчётРасчётные профили снижения давления в замкнутой круговой области радиусом 300 м (данные примеров урока Режимы фильтрации, дебит 100 м³/сут, скин 0). Через 1 и 10 ч (штриховые линии) воронка ещё расширяется; через 100, 250 и 400 ч (сплошные) профиль сохраняет форму и опускается параллельно самому себе. Шкала расстояний логарифмическая, от 1 м.

Скорость снижения давления следует из материального баланса. За время $\dd t$ скважина отбирает пластовый объём $qB\,\dd t$ . Его возмещает расширение флюидов и пор во всей области: $c_tV_p$ на каждую единицу снижения среднего давления.

Темп снижения давления в замкнутой области

\frac{\dd \bar p}{\dd t} = -\frac{qB}{c_t V_p} = -\frac{qB}{c_t\,\phi h A}

где:

$\bar p$ среднее пластовое давление — среднее по объёму пор давление в области, Па
$q$ дебит в стандартных условиях, м³/с
$B$ объёмный коэффициент флюида, м³/м³
$c_t$ общая сжимаемость пород и флюидов, 1/Па
$V_p = \phi hA$ поровый объём области дренирования, м³
$\phi,\ h,\ A$ пористость, эффективная толщина и площадь области, —, м, м²

Единицы: любые согласованные: например, м³/сут, 1/МПа и м³ дают МПа/сут

Справедливо, если

замкнутая область: через границы флюид не поступает;
постоянный дебит; однофазный флюид, сжимаемость постоянна;
для среднего давления равенство верно в любой момент, для давления в каждой точке — после выхода на псевдоустановившийся режим.

Темп снижения зависит только от отбора, сжимаемости и порового объёма — не от проницаемости и не от скина. Интегрирование даёт $\bar p = p_i - qBt/(c_tV_p)$ : среднее давление падает линейно во времени. По наклону этой прямой находят поровый объём области (Гидродинамические исследования: цели и виды).

Формула притока

В псевдоустановившемся режиме каждый элемент пласта расширяется с одной скоростью. Значит, через окружность радиусом $r$ проходит только флюид, выделившийся в кольце между $r$ и $r_e$ , — доля отбора, равная доле площади этого кольца:

Расход через окружность радиусом r

q(r) = q\left(1 - \frac{r^2}{r_e^2}\right)

где:

$q(r)$ расход через цилиндрическую поверхность радиусом $r$ , м³/с
$q$ дебит скважины в тех же условиях, м³/с
$r,\ r_e$ расстояние от оси скважины и радиус области, м

Единицы: любые согласованные

Справедливо, если

псевдоустановившийся режим, скважина в центре круговой области, однородный пласт;
$r_w \ll r_e$ .

У скважины через окружность проходит почти весь дебит, у границы — ничего. При установившемся притоке, для сравнения, через любую окружность проходит весь дебит (Установившийся радиальный приток). Поэтому вблизи скважины градиенты давления в обоих режимах почти одинаковы, а вдали при псевдоустановившемся режиме меньше.

Подставив этот расход в закон Дарси для цилиндрической поверхности и проинтегрировав от стенки скважины (вывод — в дополнительном разделе), получаем распределение давления:

Распределение давления при псевдоустановившемся притоке

p(r) - p_{wf} = \frac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r}{r_w} - \frac{r^2}{2r_e^2} + S\right)

где:

$p(r)$ давление на расстоянии $r$ от оси скважины, за пределами изменённой призабойной зоны, Па
$p_{wf}$ забойное давление, Па
$q$ дебит в стандартных условиях, м³/с
$B,\ \mu$ объёмный коэффициент и вязкость флюида, м³/м³, Па·с
$k,\ h$ проницаемость и эффективная толщина пласта, м², м
$S$ скин-фактор, —

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

псевдоустановившийся режим, круговая область со скважиной в центре;
$r_w \ll r_e$ : отброшены слагаемые порядка $(r_w/r_e)^2$ ;
скин — дополнительный перепад давления в тонкой зоне у ствола (Скин-фактор).

Вблизи скважины член $r^2/(2r_e^2)$ ничтожен, и профиль совпадает с логарифмическим профилем установившегося притока. Отличие появляется на расстояниях, сравнимых с $r_e$ : профиль выполаживается, и у непроницаемой границы градиент давления равен нулю.

При $r = r_e$ профиль даёт давление на границе, а усреднение профиля по объёму пор — среднее давление области:

Псевдоустановившийся приток к скважине в центре круговой области

\begin{aligned} p_e - p_{wf} &= \frac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r_e}{r_w} - \frac12 + S\right)\\ \bar p - p_{wf} &= \frac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r_e}{r_w} - \frac34 + S\right)\end{aligned}

где:

$p_e$ давление на непроницаемой внешней границе, Па
$\bar p$ среднее по объёму пор давление области, Па
$r_e,\ r_w$ радиус области и радиус скважины, м
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ S$ как в распределении давления, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, —

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц); $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

те же, что для распределения давления;
однофазный слабосжимаемый флюид, закон Дарси, скин не зависит от дебита.

Давление на границе выше среднего на четверть «единицы» радиального перепада $qB\mu/(2\pi kh)$ : большая часть объёма пор лежит далеко от скважины, где давление близко к $p_e$ . Профиль проходит через $\bar p$ на расстоянии около $0{,}55\,r_e$ от скважины.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы (коэффициент продуктивности)

J = \frac{q}{\bar p - p_{wf}} = \frac{0{,}536\,k\,h}{\mu\,B\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} - 0{,}75 + S\right)}

$J$ — м³/(сут·МПа), $k$ — мД, $h$ — м, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³; дебит в стандартных условиях.

$0{,}536 = 2\pi\cdot0{,}0853$ , как в формуле Дюпюи (Установившийся радиальный приток).

Промысловые единицы (oilfield)

J\,[\text{STB/(d·psi)}] = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,k\,h}{\mu\,B\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} - 0{,}75 + S\right)}

$k$ — мД, $h$ — футы, $\mu$ — сП, $B$ — rb/STB.

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3}$ .

Какое давление подставлено

Для одной и той же скважины с одним и тем же дебитом логарифмический член разный: $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ — через среднее давление, $\ln(r_e/r_w) - 1/2$ — через давление на границе, а при установившемся притоке с постоянным давлением на контуре — просто $\ln(r_e/r_w)$ . Рядом с логарифмом около 7–8 разница кажется малой, но при расчёте скина по замеренной продуктивности она даёт ошибку до 0,75. Сводка всех вариантов — в уроке об установившемся притоке.

Расчётный примерПродуктивность и забойное давление при истощении замкнутой области

Исходные данные (условные)

Проницаемость $k$ ; толщина $h$: 50 мД; 15 м
Вязкость $\mu$ ; объёмный коэффициент $B$: 1,2 мПа·с; 1,3 м³/м³
Пористость; связанная вода; общая сжимаемость $c_t$: 0,20; 0,25; $2{,}11\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Область дренирования: круг радиусом 300 м, граница непроницаема; $r_w$ = 0,1 м; скин +2
Дебит нефти $q$ ; начальное давление $p_i$: 100 м³/сут; 25,0 МПа (давление насыщения 18 МПа)

Решение

Логарифмический член: $\ln(300/0{,}1) - 0{,}75 + 2 = 9{,}256$ .
Коэффициент продуктивности: $J = \dfrac{0{,}536\cdot50\cdot15}{1{,}2\cdot1{,}3\cdot9{,}256} = 27{,}8$ м³/(сут·МПа); депрессия $q/J = 3{,}59$ МПа.
Поровый объём области: $V_p = \pi\cdot300^2\cdot15\cdot0{,}20 = 848$ тыс. м³; темп снижения давления $qB/(c_tV_p) = 0{,}0726$ МПа/сут.
Через 30 сут среднее давление $\bar p = 25{,}0 - 0{,}0726\cdot30 = 22{,}82$ МПа, забойное $p_{wf} = 22{,}82 - 3{,}59 = 19{,}23$ МПа.
Давление на границе выше среднего на четверть «единицы» $qB\mu/(0{,}536\,kh) = 0{,}388$ МПа, то есть на 0,097 МПа.
Среднее давление опустится до давления насыщения через $(25{,}0 - 18)/0{,}0726 = 96$ сут. За это время будет добыто 9,6 тыс. м³ нефти — 2,0 % её запасов в области ( $V_p\cdot0{,}75/1{,}3 = 489$ тыс. м³).

Ответ: Коэффициент продуктивности — около 27,8 м³/(сут·МПа); без подпитки давление в области падает на 0,0726 МПа в сутки, и через месяц забойное давление составит около 19,23 МПа.

Что это значит. Продуктивность в псевдоустановившемся режиме постоянна, пока приток однофазный, но само давление падает быстро: небольшая замкнутая область за три месяца теряет весь запас давления над давлением насыщения, отдав лишь около 2,0 % нефти. У скважины газ начнёт выделяться ещё раньше: забойное давление опустится ниже 18 МПа примерно через 47 сут, и с этого момента продуктивность станет снижаться (Индикаторная кривая притока); после 96 сут газ выделяется во всей области (Естественные режимы работы залежей). Чтобы удержать дебит, давление поддерживают закачкой воды. Данные примера условные; пласт и нефть — те же, что в уроке Режимы фильтрации.

Форма области и положение скважины: коэффициент формы

Круговая область со скважиной в центре — идеализация. Реальные области дренирования — многоугольники, ограниченные разломами и линиями раздела с соседними скважинами, и скважина стоит в них не обязательно посередине. Если скважина ближе к одной из границ, пути от дальних частей области длиннее, а линии тока сгущаются у ближней границы, поэтому для того же дебита нужна большая депрессия.

Этот эффект учитывают коэффициентом формы Дитца (Dietz shape factor) $C_A$ , записывая логарифмический член через площадь области $A$ :

Псевдоустановившийся приток в области произвольной формы

\bar p - p_{wf} = \frac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\frac12\ln\frac{4A}{\gamma C_A r_w^2} + S\right)

где:

$A$ площадь области дренирования, м²
$C_A$ коэффициент формы: зависит от формы области и положения скважины, —
$\gamma$ $\e^{0{,}5772} = 1{,}781$ — экспонента постоянной Эйлера, —
$\bar p,\ p_{wf},\ q,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ S,\ r_w$ как в формуле для круговой области, Па, Па, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, —, м

Единицы: СИ; $A$ и $r_w^2$ в одних единицах площади; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

псевдоустановившийся режим: безразмерное время $t_{DA}$ больше табличного значения для данной формы;
однородный изотропный пласт, скважина вскрывает всю толщину, граница непроницаема по всему периметру.

Для круга $A = \pi r_e^2$ и $C_A = 4\pi\e^{3/2}/\gamma = 31{,}62$ — формула совпадает с членом $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ . Чем меньше $C_A$ , тем больше депрессия при том же дебите. Постоянная $\gamma$ перешла сюда из решений для неустановившегося притока, где она появляется естественно (Гидродинамические исследования: цели и виды).

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы (коэффициент продуктивности)

J = \frac{0{,}536\,k\,h}{\mu\,B\left(\dfrac12\ln\dfrac{4A}{1{,}781\,C_A\,r_w^2} + S\right)}

$J$ — м³/(сут·МПа), $A$ — м², $r_w$ — м, $k$ — мД, $h$ — м, $\mu$ — мПа·с.

$0{,}536$ — та же постоянная, что для круговой области; в промысловых единицах $7{,}08\cdot10^{-3}$ при $A$ в квадратных футах.

Часто удобнее сравнивать с идеальной круговой областью той же площади. Тогда влияние формы выражают псевдоскином формы $S_A$ , который прибавляют к скину скважины:

Псевдоскин формы

\frac12\ln\frac{4A}{\gamma C_A r_w^2} = \ln\frac{r_e}{r_w} - \frac34 + S_A,\qquad S_A = \frac12\ln\frac{4\pi}{\gamma C_A} + \frac34

где:

$r_e = \sqrt{A/\pi}$ радиус круга той же площади, м
$S_A$ псевдоскин формы, —
$C_A,\ \gamma$ коэффициент формы и постоянная 1,781, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

те же, что для формулы с коэффициентом формы.

Для круга $S_A = 0$ , для скважины в центре квадрата — 0,01, в центре прямоугольника 4:1 — 0,89. Скважина у самой границы или в углу области получает псевдоскин 2–3 и больше. Это такая же потеря продуктивности, как от заметного повреждения призабойной зоны, но кислотной обработкой её не устранить (псевдоскин) — только размещением скважин.

Коэффициенты формы некоторых замкнутых областей

Форма и положение скважины: Круг, в центре
$C_A$: 31,62
$S_A$: 0
Формула верна при $t_{DA} >$: 0,1
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,1

Форма и положение скважины: Квадрат, в центре
$C_A$: 30,88
$S_A$: 0,01
Формула верна при $t_{DA} >$: 0,1
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,09

Форма и положение скважины: Квадрат, посередине между центром и серединой стороны
$C_A$: 12,99
$S_A$: 0,45
Формула верна при $t_{DA} >$: 0,7
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,03

Форма и положение скважины: Квадрат, в центре четверти
$C_A$: 4,51
$S_A$: 0,97
Формула верна при $t_{DA} >$: 0,6
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,025

Форма и положение скважины: Прямоугольник 2:1, в центре
$C_A$: 21,84
$S_A$: 0,19
Формула верна при $t_{DA} >$: 0,3
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,025

Форма и положение скважины: Прямоугольник 2:1, на оси в 1/8 длины от короткой стороны
$C_A$: 0,58
$S_A$: 2,00
Формула верна при $t_{DA} >$: 2,0
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,02

Форма и положение скважины: Прямоугольник 4:1, в центре
$C_A$: 5,38
$S_A$: 0,89
Формула верна при $t_{DA} >$: 0,8
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,01

Форма и положение скважины: Прямоугольник 5:1, в центре
$C_A$: 2,36
$S_A$: 1,30
Формула верна при $t_{DA} >$: 1,0
Бесконечный пласт при $t_{DA} <$: 0,025

Форма и положение скважины	$C_A$	$S_A$	Формула верна при $t_{DA} >$	Бесконечный пласт при $t_{DA} <$
Круг, в центре	31,62	0	0,1	0,1
Квадрат, в центре	30,88	0,01	0,1	0,09
Квадрат, посередине между центром и серединой стороны	12,99	0,45	0,7	0,03
Квадрат, в центре четверти	4,51	0,97	0,6	0,025
Прямоугольник 2:1, в центре	21,84	0,19	0,3	0,025
Прямоугольник 2:1, на оси в 1/8 длины от короткой стороны	0,58	2,00	2,0	0,02
Прямоугольник 4:1, в центре	5,38	0,89	0,8	0,01
Прямоугольник 5:1, в центре	2,36	1,30	1,0	0,025

Классические расчётные значения для однородного пласта (Дитц, 1965); $S_A$ рассчитан по формуле выше. Формула псевдоустановившегося притока верна при $t_{DA}$ больше значения в четвёртом столбце; решение для бесконечного пласта описывает забойное давление с погрешностью меньше 1 % при $t_{DA}$ меньше значения в пятом. Между ними — переходный период.

РасчётРасчётный псевдоскин формы прямоугольной области в зависимости от отношения длины к ширине: скважина в центре и скважина на продольной оси в четверти длины от короткой стороны. Линии — приближённая формула из дополнительного раздела, точки — табличные значения.

Расчётный примерВытянутая область: продуктивность и время выхода на режим

Исходные данные (условные)

Площадь области $A$: 282 700 м² — как у круга радиусом 300 м
Форма: круг со скважиной в центре ( $C_A$ = 31,62, режим при $t_{DA}$ = 0,1) или прямоугольник 4:1 со скважиной в центре ( $C_A$ = 5,38, режим при $t_{DA}$ = 0,8)
Пласт и скважина: как в предыдущем примере: $k$ = 50 мД, $\phi\mu c_t = 5{,}07\cdot10^{-4}$ МПа⁻¹·мПа·с, $r_w$ = 0,1 м, скин +2

Решение

Круг: $\tfrac12\ln\dfrac{4\cdot282\,700}{1{,}781\cdot31{,}62\cdot0{,}1^2} = 7{,}256$ — это и есть $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ .
Прямоугольник 4:1: $\tfrac12\ln\dfrac{4\cdot282\,700}{1{,}781\cdot5{,}38\cdot0{,}1^2} = 8{,}142$ ; псевдоскин формы $S_A = 0{,}89$ . Размеры прямоугольника — 266 на 1063 м.
Отношение продуктивностей при скине +2: $(7{,}256 + 2)/(8{,}142 + 2) = 0{,}913$ — в прямоугольной области скважина даёт на 8,7 % меньше.
Время выхода на псевдоустановившийся режим $t = t_{DA}\,\phi\mu c_tA/(3{,}553\cdot10^{-3}\,k)$ : для круга $0{,}1\cdot5{,}07\cdot10^{-4}\cdot282\,700/(3{,}553\cdot10^{-3}\cdot50) = 81$ ч, для прямоугольника — 645 ч, или 27 сут.

Ответ: Вытянутая область отнимает около 8,7 % продуктивности и выходит на псевдоустановившийся режим в восемь раз дольше — 27 сут вместо 3,4.

Что это значит. Пока скважина стоит посередине, потеря продуктивности невелика: псевдоскин 0,9 меньше обычного скина повреждения. Гораздо заметнее время: пока режим не установился, отношение дебита к снижению давления выше установившегося значения, поэтому продуктивность, замеренная в первые недели работы скважины в вытянутом блоке, окажется завышенной. Данные примера условные.

Когда наступает псевдоустановившийся режим

Выход на режим удобно выражать через безразмерное время по площади:

Безразмерное время по площади области

t_{DA} = \frac{k\,t}{\phi\mu c_t A}

где:

$t_{DA}$ безразмерное время, отнесённое к площади области, —
$t$ время работы с постоянным дебитом после пуска или последней смены дебита, с
$A$ площадь области дренирования, м²
$k,\ \phi,\ \mu,\ c_t$ проницаемость, пористость, вязкость, общая сжимаемость, м², —, Па·с, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

однородный пласт; время отсчитывают от пуска скважины или от последней смены дебита.

Формулы псевдоустановившегося притока верны, когда $t_{DA}$ больше табличного значения для данной формы: для круга и квадрата со скважиной в центре — 0,1, для прямоугольника 4:1 — 0,8, для скважины у границы вытянутой области — 2 и больше. Несимметричные области стабилизируются дольше: возмущению нужно дойти до самой дальней границы и «перестроить» поток во всей области.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

t\,[\text{ч}] = \frac{t_{DA}\;\phi\;\mu\,[\text{мПа·с}]\;c_t\,[\text{МПа}^{-1}]\;A\,[\text{м}^2]}{3{,}553\cdot10^{-3}\,k\,[\text{мД}]}

$\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $A$ — м², $k$ — мД; время в часах.

$3{,}553\cdot10^{-3}$ — перевод мД → м², часов → секунды, мПа·с → Па·с, 1/МПа → 1/Па (Режимы фильтрации).

Промысловые единицы (oilfield)

t\,[\text{ч}] = \frac{t_{DA}\;\phi\;\mu\,[\text{сП}]\;c_t\,[\text{psi}^{-1}]\;A\,[\text{ft}^2]}{2{,}637\cdot10^{-4}\,k\,[\text{мД}]}

$\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $A$ — квадратные футы, $k$ — мД; время в часах.

$2{,}637\cdot10^{-4}$ — множитель безразмерного времени в промысловых единицах.

Пока режим не установился, отношение дебита к снижению давления выше, чем в псевдоустановившемся режиме, и медленно снижается. Поэтому продуктивность для прогноза замеряют после стабилизации, а в плотных пластах, где стабилизация занимает месяцы, её рассчитывают по проницаемости и скину из гидродинамических исследований (Гидродинамические исследования: цели и виды).

Сложив истощение по материальному балансу и депрессию, получаем снижение забойного давления от начального в любой момент псевдоустановившегося режима:

Забойное давление в псевдоустановившемся режиме через начальное давление

p_i - p_{wf} = \frac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\frac12\ln\frac{4A}{\gamma C_A r_w^2} + S + 2\pi t_{DA}\right)

где:

$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$t_{DA}$ безразмерное время по площади, —
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ A,\ C_A,\ r_w,\ S$ как в формуле с коэффициентом формы, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, м², —, м, —

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

постоянный дебит от начального состояния, псевдоустановившийся режим уже наступил;
замкнутая область, однофазный слабосжимаемый флюид.

Слагаемое $2\pi t_{DA}$ — снижение среднего давления по материальному балансу, выраженное в «единицах» $qB\mu/(2\pi kh)$ : оно растёт линейно во времени, остальные слагаемые постоянны. Поэтому на графике «забойное давление — время» в обычных координатах поздние точки ложатся на прямую. Её наклон даёт поровый объём, а отрезок на оси давления — коэффициент формы, если проницаемость и скин известны по раннему участку записи (исследование на ограниченность, Исследование на ограниченность пласта).

Несколько скважин: объёмы дренирования и среднее давление

Когда в замкнутом блоке работают несколько скважин и все они вышли на псевдоустановившийся режим, давление во всём блоке падает с одной скоростью. Между скважинами устанавливаются линии раздела потоков: через них флюид не перетекает, и для каждой скважины они служат такой же непроницаемой границей, как разлом.

СхемаОбласти дренирования скважин в блоке, ограниченном разломом (схема, не в масштабе). В псевдоустановившемся режиме линии раздела потоков между скважинами ведут себя как непроницаемые границы. В однородном блоке при одинаковых дебитах области одинаковы, при разных — пропорциональны дебитам.

Раз темп снижения давления $qB/(c_tV_p)$ одинаков во всех областях, поровый объём, который дренирует каждая скважина, пропорционален её дебиту. Скважина с бо́льшим дебитом «отодвигает» линии раздела к соседям.

Объёмы дренирования и среднее давление блока

V_i = V_t\,\frac{q_i}{q_t},\qquad \bar p_{\text{бл}} = \frac{\sum_i \bar p_i V_i}{\sum_i V_i} = \frac{\sum_i \bar p_i q_i}{\sum_i q_i}

где:

$V_i$ поровый объём, дренируемый $i$ -й скважиной, м³
$V_t$ поровый объём блока, м³
$q_i,\ q_t$ дебит $i$ -й скважины и суммарный дебит блока, м³/сут
$\bar p_i$ среднее давление в области $i$ -й скважины (например, по кривой восстановления давления), МПа
$\bar p_{\text{бл}}$ среднее давление блока, МПа

Единицы: любые согласованные

Справедливо, если

все скважины блока работают в псевдоустановившемся режиме с постоянными дебитами;
однофазный флюид, сжимаемость и объёмный коэффициент одинаковы по блоку;
скважины разных блоков, разделённых непроницаемыми разломами, рассматривают по отдельности.

Для материального баланса удобнее форма с дебитами: дебит каждой скважины известен из ежедневных замеров, а поровый объём её области напрямую не измерить. Полученные объёмы — именно поровые: чтобы нанести области на карту, объём каждой делят на местное произведение пористости и толщины, а если насыщенность по блоку заметно меняется, учитывают и её.

Расчётный примерСреднее давление блока с тремя скважинами

Исходные данные (условные)

Блок между разломами: поровый объём 5,0 млн м³; три скважины в псевдоустановившемся режиме
Дебиты нефти: 120, 80 и 50 м³/сут
Средние давления в областях скважин (по кривым восстановления): 21,6; 22,0 и 22,6 МПа
$B$ ; $c_t$: 1,3 м³/м³; $2{,}11\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Четвёртая скважина: в соседнем изолированном блоке: 60 м³/сут, 18,9 МПа

Решение

Суммарный дебит блока — 250 м³/сут. Объёмы дренирования: $5{,}0\cdot120/250 = 2{,}4$ , $5{,}0\cdot80/250 = 1{,}6$ и $5{,}0\cdot50/250 = 1{,}0$ млн м³.
Среднее давление блока: $\bar p = \dfrac{21{,}6\cdot120 + 22{,}0\cdot80 + 22{,}6\cdot50}{250} = 21{,}93$ МПа; простое среднее трёх давлений — 22,07 МПа.
Темп снижения давления в блоке: $250\cdot1{,}3/(2{,}11\cdot10^{-3}\cdot5{,}0\cdot10^6) = 0{,}031$ МПа/сут — одинаковый во всех трёх областях.
Четвёртую скважину в расчёт не включают: её область — весь её изолированный блок. Если бы её по ошибке сочли частью блока, взвешенное среднее получилось бы 21,34 МПа.

Ответ: Среднее давление блока — 21,93 МПа; первая скважина дренирует 2,4 млн м³, почти половину блока.

Что это значит. Взвешенное среднее ниже простого на 0,14 МПа: самая производительная скважина дренирует больший объём, и её пониженное давление весит больше. Ошибка с четвёртой скважиной сдвинула бы среднее ещё на 0,59 МПа и исказила бы материальный баланс блока. Данные примера условные.

Когда продуктивность перестаёт быть постоянной

В идеальном псевдоустановившемся режиме коэффициент продуктивности постоянен: дебит пропорционален депрессии, а снижение среднего давления $J$ не меняет. На практике продуктивность со временем и с ростом депрессии снижается. Причины:

Свободный газ. Ниже давления насыщения у скважины выделяется газ, он снижает относительную проницаемость для нефти (Относительная проницаемость), и индикаторная кривая изгибается (Индикаторная кривая притока). При давлении ниже давления насыщения постоянный коэффициент продуктивности теряет смысл.
Вязкость нефти. Нефть, потерявшая газ, вязче. Выше давления насыщения, наоборот, вязкость нефти при снижении давления немного уменьшается.
Инерционные потери. При больших скоростях у ствола к вязкому сопротивлению добавляется инерционное, растущее быстрее дебита (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация).
Уплотнение пласта. С ростом эффективного напряжения поры и трещины сужаются, и проницаемость снижается; особенно чувствительны трещиноватые и слабосцементированные породы.
Вода и газ у скважины. Приход фронта воды или конуса газа меняет фазовые проницаемости у ствола (Конусообразование воды и газа).

Для газовых скважин псевдоустановившийся режим описывают в псевдодавлениях: сжимаемость газа близка к $1/p$ и заметно меняется при истощении, поэтому давление снижается во времени не линейно. Линейным оказывается материальный баланс по $p/Z$ (Материальный баланс газовой залежи, Объёмный коэффициент, сжимаемость и вязкость газа).

Термины и обозначения

Псевдоустановившийся приток: режим, при котором давление в замкнутой области снижается всюду с одной скоростью; разность среднего и забойного давлений постоянна.
Среднее пластовое давление $\bar p$: среднее по объёму пор давление области дренирования.
Давление на границе $p_e$: давление на непроницаемой внешней границе; в псевдоустановившемся режиме выше среднего на четверть «единицы» $qB\mu/(2\pi kh)$ .
Коэффициент формы $C_A$: учитывает форму области дренирования и положение скважины; для центральной скважины в круге 31,62.
Псевдоскин формы $S_A$: дополнительное сопротивление, эквивалентное отличию формы области от круга той же площади.
Безразмерное время $t_{DA}$: $kt/(\phi\mu c_tA)$ ; по нему судят, наступил ли псевдоустановившийся режим.
Линия раздела потоков: граница между областями дренирования соседних скважин, через которую флюид не перетекает.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«В псевдоустановившемся режиме давление стабилизировалось».

На самом деле

Давление продолжает падать, и с одной скоростью во всех точках; постоянны лишь разности давлений, в том числе депрессия $\bar p - p_{wf}$ .

Неверно

«Формула с −3/4 годится для любой области дренирования».

На самом деле

Только для скважины в центре круговой или близкой к ней области. Для других форм и положений скважины нужен коэффициент формы $C_A$ или псевдоскин $S_A$ .

Неверно

«Объём, который дренирует скважина, определяется расстоянием до соседей».

На самом деле

В псевдоустановившемся режиме — дебитом: объём дренирования пропорционален доле скважины в отборе из блока.

Неверно

«Продуктивность, замеренная через неделю после пуска, годится для прогноза».

На самом деле

Только если к этому времени режим установился — $t_{DA}$ больше табличного значения. В плотных или вытянутых блоках неделя может прийтись на неустановившийся период, и замер завысит продуктивность.

Неверно

«Скин и псевдоскин формы — одно и то же».

На самом деле

Скин описывает призабойную зону и снижается обработкой. Псевдоскин формы описывает геометрию области и положение в ней скважины; его меняют только размещением скважин.

Подробно: для продвинутых

Вывод формулы притока

Запишем закон Дарси для цилиндрической поверхности радиусом $r$ и подставим в него расход $q(r)$ в пластовых условиях:

Закон Дарси для цилиндрической поверхности

q_{\text{пл}}\left(1 - \frac{r^2}{r_e^2}\right) = \frac{2\pi kh\,r}{\mu}\,\frac{\dd p}{\dd r}\quad\Rightarrow\quad \dd p = \frac{q_{\text{пл}}\mu}{2\pi kh}\left(\frac{1}{r} - \frac{r}{r_e^2}\right)\dd r

где:

$q_{\text{пл}}$ дебит в пластовых условиях, $qB$ , м³/с
$p,\ r$ давление и расстояние от оси скважины, Па, м
$k,\ h,\ \mu,\ r_e$ проницаемость, толщина, вязкость, радиус области, м², м, Па·с, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

давление растёт с удалением от скважины, поток направлен к ней.

Интеграл от стенки скважины до $r$ даёт профиль из основного раздела (без скина): $\ln(r/r_w)$ минус $(r^2 - r_w^2)/(2r_e^2)$ , где $r_w^2$ отбрасывают. При $r = r_e$ получается член $\ln(r_e/r_w) - 1/2$ .

Среднее давление — интеграл профиля с весом объёма кольца $2\pi rh\phi\,\dd r$ , делённый на объём области $\pi r_e^2h\phi$ :

Среднее давление области

\bar p - p_{wf} = \frac{2}{r_e^2}\int_{r_w}^{r_e}(p - p_{wf})\,r\,\dd r = \frac{q_{\text{пл}}\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r_e}{r_w} - \frac12 - \frac14\right)

где:

$\bar p$ среднее по объёму пор давление, Па
$p - p_{wf}$ профиль давления относительно забоя, Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

$r_w \ll r_e$ ; пористость и толщина постоянны.

Слагаемое с логарифмом даёт после интегрирования по частям $\ln(r_e/r_w) - 1/2$ , слагаемое $r^2/(2r_e^2)$ — ещё $-1/4$ . Так и получается $-3/4$ . Скин прибавляется к скобке как дополнительный перепад в тонкой зоне у ствола.

Коэффициент формы прямоугольника: приближённая формула

Для прямоугольной области длиной $L$ и шириной $W$ логарифмический член можно разложить на две части. Первая — линейный поток вдоль длинной оси: флюид из всей области стекает к поперечному сечению, в котором стоит скважина. Вторая — схождение этого потока к самой скважине в полосе шириной $W$ :

Приближённый коэффициент формы прямоугольной области

\frac12\ln\frac{4A}{\gamma C_A r_w^2} \approx \frac{2\pi L}{W}\left(\frac13 - x_D + x_D^2\right) + \ln\frac{W}{2\pi r_w\sin(\pi y_D)}

где:

$L,\ W$ длина и ширина прямоугольника, $L \ge W$ ; площадь $A = LW$ , м
$x_D$ расстояние от скважины до одной из коротких сторон, делённое на $L$ , —
$y_D$ расстояние от скважины до одной из длинных сторон, делённое на $W$ , —
$C_A,\ \gamma,\ r_w$ коэффициент формы, постоянная 1,781, радиус скважины, —, —, м

Единицы: безразмерная; $L$ , $W$ и $r_w$ в одних единицах; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

псевдоустановившийся режим, однородный пласт, скважина вскрывает всю толщину;
скважина отстоит от обеих коротких сторон не меньше чем на ширину $W$ : тогда погрешность логарифмического члена меньше 0,01; для скважины на продольной оси ( $y_D = 1/2$ ) достаточно половины ширины;
ближе к короткой стороне формула занижает сопротивление: у скважины вне оси на расстоянии $W/2$ ошибка доходит до 0,1–0,2, а для скважины в углу области формула непригодна — нужны табличные значения.

Первое слагаемое — сопротивление линейного притока: оно растёт пропорционально $L/W$ и наименьшее, когда скважина посередине ( $x_D = 1/2$ ). Второе — сопротивление схождения к скважине: оно растёт, когда скважина приближается к длинной стороне. Для центральной скважины в прямоугольниках 2:1, 4:1 и 5:1 формула воспроизводит табличные $C_A$ с точностью около 0,1 %.

Расчётный примерПроверка по таблице: скважина в прямоугольнике 4:1

Исходные данные (условные)

Прямоугольник 4:1, вариант 1: скважина в центре: $x_D = y_D = 1/2$
Прямоугольник 4:1, вариант 2: скважина на продольной оси в четверти длины от короткой стороны: $x_D = 3/4$ , $y_D = 1/2$

Решение

При $A = 4W^2$ левая часть равна $\tfrac12\ln\dfrac{16}{\gamma C_A} + \ln\dfrac{W}{r_w}$ , и $\ln(W/r_w)$ сокращается со вторым слагаемым правой части. Для скважины в центре остаётся $\tfrac12\ln\dfrac{16}{\gamma C_A} = 2\pi\cdot4\cdot\tfrac{1}{12} - \ln 2\pi = 0{,}2565$ .
Отсюда $\ln C_A = \ln(16/1{,}781) - 2\cdot0{,}2565 = 1{,}6824$ и $C_A = 5{,}378$ ; в таблице — 5,38.
Скважина в четверти длины: $\tfrac12\ln\dfrac{16}{\gamma C_A} = 2\pi\cdot4\cdot\left(\tfrac13 - \tfrac34 + \tfrac{9}{16}\right) - \ln 2\pi = 1{,}8273$ .
$\ln C_A = \ln(16/1{,}781) - 2\cdot1{,}8273 = -1{,}4592$ , $C_A = 0{,}232$ (табличное значение 0,232); псевдоскин формы $S_A = 2{,}46$ .

Ответ: Приближённая формула даёт

C_A

= 5,378 и 0,232 — практически табличные значения.

Что это значит. Смещение скважины на четверть длины к короткой стороне в области 4:1 уменьшает $C_A$ в двадцать с лишним раз, а псевдоскин формы растёт с 0,89 до 2,46. В вытянутых блоках — узких блоках между разломами, русловых песчаниках — скважину выгодно ставить посередине, а соседние скважины располагать так, чтобы их области были ближе к квадратам. Геометрия примера условная.

Связь с другими темами

Установившийся радиальный приток — установившийся приток и сводка логарифмических членов формул притока.
Режимы фильтрации — как неустановившийся режим сменяется псевдоустановившимся.
Скин-фактор — скин и коэффициент совершенства в формуле псевдоустановившегося притока.
Приток к скважине: диаграмма работы скважины — коэффициент продуктивности на диаграмме работы скважины.
Индикаторная кривая притока — индикаторная кривая, когда приток перестаёт быть однофазным.
Гидродинамические исследования: цели и виды — исследование на ограниченность и темп падения давления.
Исследование на ограниченность пласта — поровый объём и форма области по длительной записи давления.
Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление — как среднее давление области находят по кривой восстановления давления.
Естественные режимы работы залежей — упругий режим залежи как псевдоустановившееся истощение.

Проверьте себя

1
Коэффициент продуктивности рассчитывают по среднему пластовому давлению для скважины в центре круговой замкнутой области. Какой член стоит в знаменателе формулы (без скина)?
1. А. $\ln(r_e/r_w) - 3/4$
2. Б. $\lg(r_e/r_w) - 3/4$
3. В. $\ln(r_e/r_w)$
4. Г. $\ln(r_e/r_w) - 1/2$
Показать ответ
Правильный ответ: А. $\ln(r_e/r_w) - 3/4$
Через среднее давление в псевдоустановившемся режиме — $-3/4$ . Член $-1/2$ относится к давлению на внешней границе, а $\ln(r_e/r_w)$ без поправки — к установившемуся притоку с постоянным давлением на контуре. Десятичный логарифм без множителя 2,303 здесь неверен.
2
Замкнутый блок с поровым объёмом 2,0 млн м³ разрабатывает одна скважина с дебитом 150 м³/сут; $B$ = 1,25, $c_t = 2{,}0\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹. На сколько снизится пластовое давление за год?
Показать ответ
Темп снижения $150\cdot1{,}25/(2{,}0\cdot10^{-3}\cdot2{,}0\cdot10^6) = 187{,}5/4000 \approx 0{,}047$ МПа/сут, за 365 сут — около 17 МПа. Без подпитки такой отбор быстро исчерпает запас давления: если давление насыщения на 10 МПа ниже начального, его достигнут примерно через 213 сут.
3
Скважина стоит в прямоугольной области 2:1 на оси в 1/8 длины от короткой стороны ( $C_A$ = 0,58). Какой псевдоскин формы это даёт?
1. А.Около 0
2. Б.Около 0,2
3. В.Около 20
4. Г.Около 2
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Около 2
$S_A = \tfrac12\ln\dfrac{4\pi}{1{,}781\cdot0{,}58} + 0{,}75 = \tfrac12\ln 12{,}2 + 0{,}75 \approx 1{,}25 + 0{,}75 = 2{,}0$ . При логарифмическом члене около 7,3 это снижает продуктивность примерно на пятую часть.
4
Почему в блоке с несколькими скважинами в псевдоустановившемся режиме среднее давление считают как среднее давлений областей дренирования, взвешенное по дебитам?
Показать ответ
Давление во всех областях падает с одной скоростью $q_iB/(c_tV_i)$ , значит, объём, дренируемый каждой скважиной, пропорционален её дебиту. Среднее по объёму пор совпадает тогда со средним, взвешенным по дебитам, а дебиты, в отличие от объёмов, замеряют постоянно. Правило действует внутри одного гидродинамически связанного блока.
5
Через какое время скважина в центре квадратной области площадью 0,5 км² выйдет на псевдоустановившийся режим, если $k$ = 20 мД, а $\phi\mu c_t = 5\cdot10^{-4}$ МПа⁻¹·мПа·с?
1. А.Около 350 ч
2. Б.Около 3500 ч
3. В.Около 4 ч
4. Г.Около 35 ч
Показать ответ
Правильный ответ: А. Около 350 ч
Для квадрата со скважиной в центре $t_{DA}$ = 0,1: $t = 0{,}1\cdot5\cdot10^{-4}\cdot5\cdot10^5/(3{,}553\cdot10^{-3}\cdot20) = 25/0{,}0711 \approx 352$ ч, около двух недель.

Обновлено: 1 октября 2026 г.