Анализ кривой восстановления давления

Кратко о главном

Остановка скважины равносильна пуску в той же точке воображаемой нагнетательной скважины с тем же расходом (принцип суперпозиции). Отсюда уравнение Хорнера: $p_{ws}$ линейно зависит от $\lg[(t_p + \Delta t)/\Delta t]$ .
Наклон прямой Хорнера $m$ на один логарифмический цикл даёт проводимость: $kh = 2{,}149\,qB\mu/m$ (м³/сут, мПа·с, МПа).
Продолжение прямой до отношения Хорнера, равного 1, даёт давление $p^*$ ; в новом пласте при малом отборе оно равно начальному пластовому.
Давления восстановления скина не содержат: скин находят по разнице давления на прямой через 1 ч и забойного давления в момент остановки.
Прямая появляется не сразу: в начале мешает приток в ствол после остановки, в конце — границы пласта и соседние скважины. Участок радиального притока подтверждают диагностическим графиком в логарифмических координатах.
Метод MDH ( $p_{ws}$ от $\lg\Delta t$ ) проще, но верен только при $\Delta t \ll t_p$ .

Ключевые соотношения

p_{ws} = p^* - m\,\lg\dfrac{t_p + \Delta t}{\Delta t}

уравнение Хорнера ( $m$ — изменение давления на логарифмический цикл)

kh = 2{,}149\,\dfrac{qB\mu}{m}

проводимость, метрические промысловые единицы (в промысловых единицах oilfield постоянная 162,6)

S = 1{,}151\left[\dfrac{p_{1\text{ч}} - p_{wf}(\Delta t = 0)}{m} - \lg\dfrac{k}{\phi\mu c_t r_w^2} + 2{,}098\right]

скин-фактор, метрические промысловые единицы (в промысловых oilfield постоянная 3,23)

\Delta p_s = 0{,}869\,m\,S

перепад давления на скине

Где чаще всего ошибаются

Проводить прямую через ранние точки, искажённые влиянием ствола: наклон получится круче, проницаемость — заниженной.
Брать $p_{1\text{ч}}$ из замеров, а не с прямой: через 1 ч после остановки влияние ствола может ещё не закончиться.
Путать наклон на десятичный цикл и на единицу натурального логарифма: они различаются в 2,303 раза.
Принимать $p^*$ за среднее пластовое давление в давно разрабатываемой залежи.
Применять MDH, когда время остановки сравнимо со временем работы скважины.

После урока вы сможете

объяснить, почему давление в остановленной скважине растёт, и получить уравнение Хорнера из принципа суперпозиции;
построить график Хорнера и выбрать на нём участок радиального притока, отличив его от искажений влиянием ствола и границами;
определить проводимость $kh$ , проницаемость и экстраполированное давление $p^*$ по прямой Хорнера в метрических и промысловых единицах;
рассчитать скин-фактор по давлению на прямой через 1 ч и забойному давлению в момент остановки;
понимать, когда допустим упрощённый метод MDH и почему при коротком времени работы он искажает результат.

Исследование КВД: что измеряют

Скважина работает с постоянным дебитом $q$ в течение времени работы $t_p$ (producing time), затем её останавливают и регистрируют забойное давление $p_{ws}$ в зависимости от времени после остановки $\Delta t$ (shut-in time). Рост давления после остановки и есть кривая восстановления давления.

Главное достоинство КВД — дебит в период записи точно известен: он равен нулю. Поддерживать строго постоянный дебит при исследовании падения давления после пуска (Анализ кривой падения давления) гораздо труднее. Недостаток — пока идёт запись, скважина не добывает.

РасчётРасчётное забойное давление при исследовании для данных примера урока: 60 ч работы с дебитом 70 м³/сут, затем 24 ч после остановки. После остановки давление сначала растёт быстро, потом всё медленнее и за время записи не возвращается к начальному.

Для анализа нужны: история дебита перед остановкой, точные забойное давление и время в момент остановки — $p_{wf}(\Delta t = 0)$ (последнее давление работающей скважины), свойства пласта и флюида ( $h$ , $\phi$ , $\mu$ , $B$ , общая сжимаемость $c_t$ ), радиус скважины и её конструкция: глубина манометра, диаметры труб, положение пакера.

Почему давление восстанавливается и как это описать

Пока скважина работала, вокруг неё сформировалась воронка депрессии: давление у ствола ниже, чем вдали. После остановки флюид по-прежнему течёт к скважине — перепад давления в пласте сохранился, — но выйти из пласта уже не может. Он накапливается у ствола, сжимается, и давление растёт; воронка постепенно заполняется. У стенки скважины градиент давления становится нулевым, а по мере выравнивания давления перетоки ослабевают, поэтому последние этапы восстановления идут всё медленнее.

Уравнение пьезопроводности линейно, поэтому решения для разных дебитов можно складывать — это принцип суперпозиции. Остановку скважины удобно представить так: скважина продолжает работать с дебитом $q$ , а с момента $t_p$ в той же точке начинает работать воображаемая нагнетательная скважина с тем же расходом. Суммарный расход равен нулю, а изменение давления равно разности двух «падений давления»:

Восстановление давления как суперпозиция двух дебитов

p_i - p_{ws}(\Delta t) = \frac{qB\mu}{2\pi kh}\Big[p_D(t_p + \Delta t) - p_D(\Delta t)\Big]

где:

$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$p_{ws}(\Delta t)$ забойное давление через время $\Delta t$ после остановки, Па
$p_D(t)$ безразмерное падение давления на стенке скважины, которая работает с постоянным дебитом время $t$ , с учётом скина (Решение для линейного источника и функция давления), —
$t_p,\ \Delta t$ время работы до остановки и время после остановки, с
$q,\ B,\ \mu$ дебит перед остановкой в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, м³/с, м³/м³, Па·с
$k,\ h$ проницаемость и толщина пласта, м², м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

линейная задача: однофазный слабосжимаемый флюид, свойства пласта и флюида не зависят от давления;
перед остановкой дебит был постоянным;
приток из пласта прекращается сразу после остановки (влияние ствола не учитываем).

Первое слагаемое — падение давления, как если бы скважина продолжала работать; второе — «возврат» давления от воображаемой нагнетательной скважины. Скин входит в оба слагаемых одинаково и сокращается: давления идеальной КВД скина не содержат.

Уравнение и график Хорнера

Пока возмущение давления не дошло до границ пласта (пласт ведёт себя как бесконечный, infinite-acting), безразмерное падение давления на стенке скважины уже через секунды после пуска описывается логарифмом времени. Подставив его в суперпозицию, получаем уравнение Хорнера: скин и все постоянные сокращаются, остаётся логарифм отношения времён (вывод — в дополнительных разделах).

Уравнение Хорнера

p_{ws} = p_i - \frac{qB\mu}{4\pi kh}\,\ln\frac{t_p + \Delta t}{\Delta t}

где:

$p_{ws}$ забойное давление через время $\Delta t$ после остановки, Па
$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$(t_p + \Delta t)/\Delta t$ отношение Хорнера (Horner time ratio); безразмерно, —
$t_p,\ \Delta t$ время работы до остановки и время после остановки (в любых одинаковых единицах), с
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h$ дебит перед остановкой, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

и в период работы, и в период остановки пласт ведёт себя как бесконечный: возмущение не дошло до границ;
постоянный дебит перед остановкой; однородный пласт, однофазный слабосжимаемый флюид;
влияние ствола закончилось: приток из пласта в ствол после остановки прекратился.

В координатах $p_{ws}$ — $\lg[(t_p + \Delta t)/\Delta t]$ точки ложатся на прямую. Её наклон определяется проводимостью $kh$ , а продолжение до отношения Хорнера, равного 1 (бесконечно долгая остановка), даёт начальное давление. Отношение времён безразмерно, поэтому $t_p$ и $\Delta t$ можно брать в любых одинаковых единицах.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы (десятичный логарифм)

p_{ws} = p^* - m\,\lg\frac{t_p + \Delta t}{\Delta t},\qquad m = 2{,}149\,\frac{qB\mu}{kh}

$q$ — м³/сут в стандартных условиях, $B$ — м³/м³, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ — м; $p$ и $m$ — МПа ( $m$ — изменение давления на один логарифмический цикл).

$2{,}149 = \ln 10/(4\pi\cdot 0{,}0853)$ : $\ln 10$ — переход к десятичному логарифму, $0{,}0853$ — постоянная закона Дарси в этих единицах. Для натурального логарифма постоянная равна $0{,}933$ .

Промысловые единицы (oilfield)

p_{ws} = p^* - m\,\lg\frac{t_p + \Delta t}{\Delta t},\qquad m = 162{,}6\,\frac{qB\mu}{kh}

$q$ — STB/d, $B$ — rb/STB, $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ — ft; $p$ и $m$ — psi.

$162{,}6 = 70{,}6\cdot\ln 10$ , где $70{,}6 = 1/(4\pi\cdot 1{,}127\cdot10^{-3})$ — постоянная для натурального логарифма.

На практике пользуются десятичным логарифмом и наклоном $m$ — изменением давления на один логарифмический цикл (например, при уменьшении отношения Хорнера со 100 до 10). Здесь $m$ положителен; в некоторых источниках наклон считают отрицательным, и тогда меняются знаки в формулах для $kh$ и скина. Ось отношения Хорнера обычно направляют так, чтобы оно уменьшалось вправо: тогда время остановки растёт слева направо, как на обычном графике.

В отечественной литературе ту же зависимость часто записывают через гидропроводность $\varepsilon = kh/\mu$ : наклон прямой на цикл десятичного логарифма $i = 0{,}183\,Q/\varepsilon$ , где $Q = qB$ — дебит в пластовых условиях, а $0{,}183 = \ln 10/(4\pi)$ (согласованные единицы).

Ниже — условная КВД, которую мы разберём в этом уроке, и её график Хорнера.

Замеры давления после остановки (условные данные)

$\Delta t$ , ч: 0,05
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 1201
$p_{ws}$ , МПа: 20,209

$\Delta t$ , ч: 0,1
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 601
$p_{ws}$ , МПа: 21,385

$\Delta t$ , ч: 0,2
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 301
$p_{ws}$ , МПа: 22,024

$\Delta t$ , ч: 0,5
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 121
$p_{ws}$ , МПа: 22,470

$\Delta t$ , ч: 1
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 61
$p_{ws}$ , МПа: 22,739

$\Delta t$ , ч: 2
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 31
$p_{ws}$ , МПа: 22,989

$\Delta t$ , ч: 3
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 21
$p_{ws}$ , МПа: 23,130

$\Delta t$ , ч: 4
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 16
$p_{ws}$ , МПа: 23,227

$\Delta t$ , ч: 6
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 11
$p_{ws}$ , МПа: 23,360

$\Delta t$ , ч: 8
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 8,5
$p_{ws}$ , МПа: 23,451

$\Delta t$ , ч: 12
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 6
$p_{ws}$ , МПа: 23,574

$\Delta t$ , ч: 16
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 4,75
$p_{ws}$ , МПа: 23,656

$\Delta t$ , ч: 24
Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$: 3,5
$p_{ws}$ , МПа: 23,763

$\Delta t$ , ч	Отношение Хорнера $(t_p + \Delta t)/\Delta t$	$p_{ws}$ , МПа
0,05	1201	20,209
0,1	601	21,385
0,2	301	22,024
0,5	121	22,470
1	61	22,739
2	31	22,989
3	21	23,130
4	16	23,227
6	11	23,360
8	8,5	23,451
12	6	23,574
16	4,75	23,656
24	3,5	23,763

Время работы перед остановкой $t_p$ = 60 ч, дебит 70 м³/сут, забойное давление в момент остановки 15,816 МПа. Данные рассчитаны по модели однородного бесконечного пласта с учётом влияния ствола и округлены до 0,001 МПа.

РасчётГрафик Хорнера для данных таблицы; ось отношения Хорнера логарифмическая, время остановки растёт вправо. Точки первых 1–2 ч лежат ниже прямой — это влияние ствола; дальше они ложатся на прямую радиального притока. Пунктир — прямая, проведённая в примере ниже через точки 4 и 24 ч, и её продолжение до отношения 1, где читается

p^*

Где на графике прямая: ранний, средний и поздний участки

Теория предполагает, что приток из пласта прекращается в момент остановки. На деле скважину обычно закрывают на устье, и пласт ещё какое-то время подаёт флюид в ствол, пока не сожмёт находящуюся там жидкость или газ. Это приток после остановки (afterflow) — проявление влияния ствола скважины. Пока он продолжается, давление растёт медленнее, чем в идеальной КВД, а перепад на скине исчезает не сразу. Поэтому ранние точки лежат ниже прямой — на рисунке выше это первые 1–2 ч.

Чем больше объём ствола и сжимаемость его содержимого (особенно газа) и чем ниже гидропроводность пласта, тем дольше длится этот участок. Запорный клапан у забоя, как в испытателях пластов на трубах, сокращает его до минут.

Ложная прямая

Через точки, искажённые влиянием ствола, иногда удаётся провести прямую — она круче истинной. Проницаемость по ней получится заниженной, скин — искажённым. Поэтому прежде чем выбирать прямую, строят диагностический график: $\Delta p = p_{ws} - p_{wf}(\Delta t = 0)$ от $\Delta t$ в логарифмических координатах. Участок с наклоном 1 — чистое влияние ствола; радиальный приток начинается там, где логарифмическая производная давления выходит на горизонталь (Диагностика по производной давления).

Средний участок — прямая радиального притока в бесконечном пласте; только по нему находят $kh$ , $p^*$ и скин. Когда возмущение давления доходит до границ, прямая заканчивается: непроницаемый разлом увеличивает наклон (в пределе вдвое, Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений), в замкнутой области давление выполаживается к среднему пластовому (Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление), поздние точки искажает и работа соседних скважин.

Участки КВД на графике Хорнера

Участок: Ранний
Что определяет давление: приток в ствол после остановки, скин, свойства пласта у ствола
Как выглядит: точки ниже прямой; на логарифмическом графике $\Delta p$ — наклон 1
Что из него получают: коэффициент влияния ствола; для $kh$ и скина не используют

Участок: Средний
Что определяет давление: радиальный приток в бесконечном пласте
Как выглядит: прямая
Что из него получают: $kh$ , проницаемость, $p^*$ , скин

Участок: Поздний
Что определяет давление: границы пласта, соседние скважины, истощение
Как выглядит: изгиб: наклон растёт у разлома, давление выполаживается в замкнутой области
Что из него получают: расстояние до границ, среднее пластовое давление

Участок	Что определяет давление	Как выглядит	Что из него получают
Ранний	приток в ствол после остановки, скин, свойства пласта у ствола	точки ниже прямой; на логарифмическом графике $\Delta p$ — наклон 1	коэффициент влияния ствола; для $kh$ и скина не используют
Средний	радиальный приток в бесконечном пласте	прямая	$kh$ , проницаемость, $p^*$ , скин
Поздний	границы пласта, соседние скважины, истощение	изгиб: наклон растёт у разлома, давление выполаживается в замкнутой области	расстояние до границ, среднее пластовое давление

Условие бесконечного пласта двойное: границ не должно достигать ни возмущение от работы скважины, ни возмущение от её остановки. Если скважина работала так долго, что «почувствовала» границы области дренирования, прямую Хорнера всё ещё можно выделить, но её продолжение $p^*$ уже не равно ни начальному, ни среднему пластовому давлению.

Проводимость, p* и скин по прямой Хорнера

Проводимость пласта по наклону прямой Хорнера

kh = \frac{qB\mu\,\ln 10}{4\pi m}

где:

$kh$ проводимость пласта: произведение проницаемости на толщину работающей части пласта, м³
$m$ наклон прямой на один десятичный логарифмический цикл, Па
$q,\ B,\ \mu$ дебит перед остановкой в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, м³/с, м³/м³, Па·с

Единицы: СИ

Справедливо, если

наклон измерен на участке радиального притока;
$h$ — толщина работающей части пласта; если она неизвестна, результатом остаётся $kh$ .

Исследование даёт именно произведение $kh$ — проводимость всей работающей толщины. Проницаемость — это $kh$ , делённое на эффективную толщину; она осреднена по большому объёму пласта и относится к подвижному флюиду, поэтому может заметно отличаться от проницаемости керна (Проницаемость горных пород).

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

kh\,[\text{мД·м}] = 2{,}149\,\frac{q\,[\text{м}^3/\text{сут}]\;B\;\mu\,[\text{мПа·с}]}{m\,[\text{МПа на цикл}]}

$q$ — м³/сут в стандартных условиях, $\mu$ — мПа·с, $m$ — МПа на логарифмический цикл; $kh$ — мД·м.

$2{,}149 = \ln 10/(4\pi\cdot 0{,}0853)$ , как в уравнении Хорнера.

Промысловые единицы (oilfield)

kh\,[\text{мД·ft}] = 162{,}6\,\frac{q\,[\text{STB/d}]\;B\;\mu\,[\text{сП}]}{m\,[\text{psi на цикл}]}

$q$ — STB/d, $B$ — rb/STB, $\mu$ — сП, $m$ — psi на цикл; $kh$ — мД·ft.

$162{,}6 = 70{,}6\cdot\ln 10$ .

Продолжение прямой до отношения Хорнера, равного 1, даёт экстраполированное давление $p^*$ (extrapolated pressure). В новом пласте, из которого отобрано мало флюида, $p^* \approx p_i \approx \bar p$ — так по первой же КВД определяют начальное пластовое давление. После длительной добычи $p^*$ не равен ни начальному, ни среднему давлению в области дренирования; среднее давление находят с поправками для ограниченного пласта (Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление).

Давления восстановления скина не содержат, поэтому скин находят, сравнивая прямую с забойным давлением в момент остановки $p_{wf}(\Delta t = 0)$ . Перед остановкой давление подчинялось уравнению падения давления со скином; если заменить в нём $p_i$ на $p^*$ , а $qB\mu/(4\pi kh)$ — на наклон прямой, получится формула скина. Удобно пользоваться давлением $p_{1\text{ч}}$ — значением на прямой или её продолжении через 1 ч после остановки, то есть при отношении Хорнера $t_p + 1$ ( $t_p$ в часах):

Скин-фактор по КВД

S = 1{,}151\left[\frac{p_{1\text{ч}} - p_{wf}(\Delta t = 0)}{m} - \lg\frac{k}{\phi\,\mu\,c_t\,r_w^2} + 2{,}098\right]

где:

$p_{1\text{ч}}$ давление на прямой Хорнера (или её продолжении) при $\Delta t$ = 1 ч, МПа
$p_{wf}(\Delta t = 0)$ забойное давление в момент остановки, МПа
$m$ наклон прямой на логарифмический цикл, МПа
$k$ проницаемость, найденная по наклону, мД
$\phi$ пористость, доли единицы
$\mu$ вязкость флюида в пласте, мПа·с
$c_t$ общая сжимаемость пласта и флюидов, 1/МПа
$r_w$ радиус скважины, м

Единицы: метрические промысловые: давление — МПа, $k$ — мД, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $r_w$ — м, время — часы

Справедливо, если

время работы $t_p$ много больше 1 ч; в общем случае в скобки добавляют $\lg[(t_p + 1)/t_p]$ ;
и работа, и остановка проходят в режиме радиального притока в бесконечном пласте;
$p_{1\text{ч}}$ читают на прямой, даже если сам замер через 1 ч ещё искажён влиянием ствола.

Постоянные: $1{,}151 = \ln 10/2$ ; $2{,}098 = -\lg(3{,}553\cdot10^{-3}) - 0{,}351$ , где $3{,}553\cdot10^{-3}$ переводит время в часах в безразмерное время при этих единицах, а $0{,}351 = 0{,}809/\ln 10$ — из логарифмического приближения решения. Чем больше разница $p_{1\text{ч}} - p_{wf}$ по сравнению с тем, что даёт однородный пласт, тем больше скин.

В других системах единиц (2)

Промысловые единицы (oilfield)

S = 1{,}151\left[\frac{p_{1\text{h}} - p_{wf}(\Delta t = 0)}{m} - \lg\frac{k}{\phi\,\mu\,c_t\,r_w^2} + 3{,}23\right]

давление и $m$ — psi, $k$ — мД, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $r_w$ — ft, время — часы.

$3{,}23 = -\lg(2{,}637\cdot10^{-4}) - 0{,}351$ ; $2{,}637\cdot10^{-4}$ — множитель безразмерного времени в промысловых единицах.

СИ, натуральный логарифм, через $p^*$

S = \frac12\left[\frac{p^* - p_{wf}(\Delta t = 0)}{m_e} - \ln\frac{k\,t_p}{\phi\,\mu\,c_t\,r_w^2} - 0{,}809\right],\qquad m_e = \frac{qB\mu}{4\pi kh}

давление — Па, $k$ — м², $t_p$ — с, $\mu$ — Па·с, $c_t$ — 1/Па, $r_w$ — м; $m_e$ — наклон на единицу натурального логарифма.

$0{,}809 = \ln(4/\gamma)$ , где $\gamma = 1{,}781$ — экспонента постоянной Эйлера.

Перепад на скине и коэффициент гидродинамического совершенства считают, как в уроке о скин-факторе: $\Delta p_s = 0{,}869\,m\,S$ и $\text{FE} = (p^* - p_{wf} - \Delta p_s)/(p^* - p_{wf})$ ; для новой скважины $p^*$ заменяет среднее пластовое давление.

Расчётный примерПроницаемость, p* и скин по КВД

Исходные данные (условные)

Дебит нефти перед остановкой $q$ и время работы $t_p$: 70 м³/сут; 60 ч
Объёмный коэффициент $B$ , вязкость $\mu$ , толщина $h$: 1,20 м³/м³; 1,6 мПа·с; 9 м
Пористость $\phi$ , общая сжимаемость $c_t$ , радиус скважины $r_w$: 0,21; $1{,}4\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; 0,108 м
Забойное давление в момент остановки $p_{wf}(\Delta t = 0)$: 15,816 МПа
Замеры после остановки: таблица и график выше

Решение

Выбор прямой: на графике точки после 2 ч лежат на прямой, ранние — ниже неё (влияние ствола). Берём две точки на прямой: $\Delta t$ = 4 ч (отношение Хорнера 16; 23,227 МПа) и 24 ч (3,5; 23,763 МПа).
Наклон на цикл: $m = \dfrac{23{,}763 - 23{,}227}{\lg 16 - \lg 3{,}5} = \dfrac{0{,}536}{0{,}6601} = 0{,}812$ МПа.
Проводимость и проницаемость: $kh = 2{,}149\cdot\dfrac{70\cdot 1{,}2\cdot 1{,}6}{0{,}812} = 356$ мД·м, $k = 356/9 = 39{,}5$ мД.
Экстраполированное давление: $p^* = 23{,}763 + 0{,}812\cdot\lg 3{,}5 = 24{,}205$ МПа.
Давление на прямой через 1 ч (отношение Хорнера 61): $p_{1\text{ч}} = 24{,}205 - 0{,}812\cdot\lg 61 = 22{,}755$ МПа. Замер через 1 ч (22,739 МПа) ниже — там ещё сказывается влияние ствола.
Скин: $\lg\dfrac{k}{\phi\mu c_t r_w^2} = \lg\dfrac{39{,}5}{0{,}21\cdot 1{,}6\cdot 1{,}4\cdot10^{-3}\cdot 0{,}108^2} = 6{,}857$ , $S = 1{,}151\left[\dfrac{22{,}755 - 15{,}816}{0{,}812} - 6{,}857 + 2{,}098\right] = 4{,}36$ .
Перепад на скине и совершенство: $\Delta p_s = 0{,}869\cdot 0{,}812\cdot 4{,}36 = 3{,}1$ МПа, $\text{FE} = \dfrac{24{,}205 - 15{,}816 - 3{,}1}{24{,}205 - 15{,}816} = 0{,}63$ .

Ответ:

kh \approx 356

мД·м,

k \approx 39{,}5

мД; начальное пластовое давление около 24,20 МПа; скин около 4,4, на призабойную зону приходится 3,1 МПа из 8,39 МПа депрессии.

Что это значит. Данные примера условные: они рассчитаны по модели однородного бесконечного пласта с проницаемостью 40 мД и скином 4,5 с учётом влияния ствола. Анализ вернул эти значения с погрешностью около 1 % по проницаемости и 3 % по скину — это след влияния ствола, не вполне закончившегося к 4 ч, и округления замеров. На практике прямую проводят методом наименьших квадратов по всем точкам радиального участка. Больше трети депрессии уходит на призабойную зону: устранение повреждения подняло бы дебит примерно в 1,6 раза, если его не ограничивает подъёмник.

Метод MDH и эквивалентное время работы

Если время остановки много меньше времени работы, $\Delta t \ll t_p$ , то $(t_p + \Delta t)/\Delta t \approx t_p/\Delta t$ , и уравнение Хорнера превращается в зависимость давления от логарифма одного лишь времени остановки. На этом основан метод MDH (метод Миллера — Дайеса — Хатчинсона): $p_{ws}$ строят от $\lg\Delta t$ .

Прямая MDH

p_{ws} = p_{1\text{ч}} + m\,\lg\Delta t

где:

$p_{ws}$ забойное давление через время $\Delta t$ после остановки, МПа
$\Delta t$ время после остановки, ч
$p_{1\text{ч}}$ давление на прямой MDH при $\Delta t$ = 1 ч, МПа
$m$ наклон на логарифмический цикл — тот же, что у прямой Хорнера, МПа

Единицы: метрические промысловые (давление — МПа, время — часы)

Справедливо, если

$\Delta t \ll t_p$ на всём используемом участке: если время остановки не больше примерно десятой доли времени работы, наклон искажён не больше чем на несколько процентов;
остальные условия — как у метода Хорнера.

Проводимость и скин считают по тем же формулам, что и для прямой Хорнера. Время работы знать не нужно — в этом удобство метода. В отечественной практике такую обработку КВД часто называют методом касательной.

Расчётный примерMDH на тех же данных

Исходные данные (условные)

Замеры: те же, что в предыдущем примере; время работы 60 ч
Точки для прямой: $\Delta t$ = 4 ч (23,227 МПа) и 24 ч (23,763 МПа)

Решение

Наклон на графике $p_{ws}$ — $\lg\Delta t$ : $m_{\text{MDH}} = \dfrac{23{,}763 - 23{,}227}{\lg 24 - \lg 4} = \dfrac{0{,}536}{0{,}7782} = 0{,}689$ МПа.
Проницаемость: $k = 2{,}149\cdot\dfrac{70\cdot 1{,}2\cdot 1{,}6}{0{,}689\cdot 9} = 46{,}6$ мД — на 18 % больше, чем по Хорнеру (39,5 мД).
Скин с $p_{1\text{ч}}$ на прямой MDH ( $23{,}227 - 0{,}689\cdot\lg 4 = 22{,}812$ МПа): $S = 6{,}13$ вместо 4,36 по Хорнеру.
Причина: MDH отбрасывает слагаемое $m\,\lg[(t_p + \Delta t)/t_p]$ . К 24 ч оно равно 0,12 МПа, поэтому поздние точки на графике MDH оказываются ниже продолжения ранних, и прямая через них получается положе истинной.

Ответ: По MDH проницаемость 46,6 мД и скин 6,13 — оба завышены: при

t_p

= 60 ч и

\Delta t

до 24 ч условие

\Delta t \ll t_p

не выполняется.

Что это значит. MDH удобен, когда скважина работала долго — сотни и тысячи часов, а точное время работы неизвестно или дебит менялся задолго до остановки: тогда отброшенное слагаемое мало. После короткого периода работы, как в разведочных скважинах, пользуются методом Хорнера. Данные примера условные.

Если дебит перед остановкой менялся, в формулу Хорнера подставляют эквивалентное время работы $t_p = N_p/q$ : накопленную добычу $N_p$ делят на последний устойчивый дебит $q$ . Приём не годится при резко меняющемся дебите — например, когда скважина переливает при поднимающемся в трубах уровне жидкости; тогда учитывают всю историю дебита суперпозицией (Эквивалентное время работы при меняющемся дебите).

Как получить КВД, пригодную для анализа

Перед остановкой скважина работает с постоянным, стабилизированным дебитом; история дебита записана.
Точно зарегистрированы давление и время в момент остановки: от них отсчитывают $\Delta t$ , по ним считают скин.
Замеры частые в начале (раз в несколько секунд) и всё более редкие потом, чтобы на логарифмической шкале времени точки легли равномерно.
Манометр с достаточным разрешением: в высокопроницаемых пластах всё восстановление может составлять доли мегапаскаля, и нужны кварцевые датчики с разрешением порядка 0,0001 МПа.
Если возможно, скважину закрывают у забоя: так сокращается влияние ствола.
Длительность выбирают так, чтобы после окончания влияния ствола записать не меньше одного логарифмического цикла радиального притока; ориентир дают расчёты при планировании исследования.
Известна конструкция скважины: глубина манометра, диаметры труб, положение пакера, интервал перфорации.

Термины и обозначения

Время работы $t_p$: продолжительность работы скважины с постоянным дебитом перед остановкой; при меняющемся дебите — эквивалентное время $N_p/q$ .
Отношение Хорнера: $(t_p + \Delta t)/\Delta t$ ; безразмерно и уменьшается от очень больших значений к 1 по мере роста времени остановки.
Экстраполированное давление $p^*$: давление на продолжении прямой Хорнера при отношении Хорнера, равном 1; в новом пласте близко к начальному пластовому.
$p_{1\text{ч}}$: давление на прямой (или её продолжении) через 1 ч после остановки; нужно для расчёта скина.
Приток после остановки: продолжающийся приток из пласта в ствол после закрытия скважины на устье; проявление влияния ствола, искажающее ранние точки КВД.
Радиальный приток (бесконечный пласт): режим, в котором возмущение давления ещё не дошло до границ; на графике Хорнера ему соответствует прямая.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Прямая Хорнера — это любой прямолинейный отрезок графика».

На самом деле

Прямолинейным может выглядеть и участок, искажённый влиянием ствола; его наклон круче, и проницаемость получится заниженной. Радиальный приток подтверждают диагностическим графиком и производной давления.

Неверно

« $p^*$ — это среднее пластовое давление».

На самом деле

Только в новом пласте при малом отборе. После длительной разработки $p^*$ выше среднего давления в области дренирования; среднее давление находят с поправками для ограниченного пласта.

Неверно

«Скин можно найти по одной КВД, без данных о работе скважины».

На самом деле

Давления восстановления скина не содержат: нужны точное забойное давление в момент остановки и дебит перед ней.

Неверно

«Наклон на натуральный логарифм и на десятичный цикл — одно и то же».

На самом деле

Они различаются в 2,303 раза. Постоянные 2,149 и 162,6 относятся к десятичному циклу, 0,933 и 70,6 — к натуральному логарифму.

Неверно

«MDH и Хорнер всегда дают одинаковую проницаемость».

На самом деле

Только при $\Delta t \ll t_p$ . В примере урока при 60 ч работы и записи до 24 ч MDH завышает проницаемость почти на 20 %.

Подробно: для продвинутых

Вывод уравнения Хорнера и формулы скина

Для скважины, работающей с постоянным дебитом в бесконечном пласте, безразмерное давление на стенке уже через секунды после пуска равно $p_D(t) = \tfrac12\left(\ln t_D + 0{,}809\right) + S$ , где $t_D = \dfrac{kt}{\phi\mu c_t r_w^2}$ (СИ). Подставим это в суперпозицию: $p_D(t_p + \Delta t) - p_D(\Delta t) = \tfrac12\ln\dfrac{t_p + \Delta t}{\Delta t}$ — постоянная 0,809, множитель $k/(\phi\mu c_t r_w^2)$ и скин сокращаются. Умножив на $qB\mu/(2\pi kh)$ , получаем уравнение Хорнера.

В момент остановки $p_{wf} = p_i - \dfrac{qB\mu}{4\pi kh}\left(\ln\dfrac{k t_p}{\phi\mu c_t r_w^2} + 0{,}809 + 2S\right)$ . Заменив $p_i$ на $p^*$ , а $qB\mu/(4\pi kh)$ на наклон $m_e$ , выражаем $S$ — это форма через $p^*$ . Переход к десятичным логарифмам и к $p_{1\text{ч}} = p^* - m\lg(t_p + 1)$ даёт рабочую формулу с постоянной 2,098.

Логарифмическое приближение неверно в первые мгновения после остановки, пока безразмерное время меньше примерно 25; теоретически самые ранние точки лежат выше прямой. На практике это секунды, и их полностью маскирует влияние ствола, из-за которого ранние точки, наоборот, оказываются ниже прямой.

КВД как зонд: какому давлению в пласте отвечает замер

Восстановление давления можно прочитать как снимок пласта в момент остановки. Приравняв давление восстановления к давлению в пласте при работе скважины (оба — в логарифмическом приближении), получим: замер через время $\Delta t$ после остановки равен давлению, которое в момент остановки было на расстоянии $r_p$ от скважины.

Радиус «зонда» при восстановлении давления

r_p = \sqrt{\frac{4k\,\Delta t_e}{\gamma\,\phi\mu c_t}},\qquad \Delta t_e = \frac{t_p\,\Delta t}{t_p + \Delta t}

где:

$r_p$ расстояние от скважины, на котором давление в момент остановки было равно замеру $p_{ws}(\Delta t)$ , м
$\Delta t_e$ эквивалентное время (Влияние времени работы на анализ КВД); при $\Delta t \ll t_p$ почти равно $\Delta t$ , с
$t_p,\ \Delta t$ время работы до остановки и время после остановки, с
$\gamma$ экспонента постоянной Эйлера, 1,781, —
$k,\ \phi,\ \mu,\ c_t$ проницаемость, пористость, вязкость, общая сжимаемость, м², —, Па·с, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

бесконечный пласт; в точке $r_p$ справедливо логарифмическое приближение — возмущение давно прошло её;
влияние ствола закончилось; скин меняет давление только в самой скважине и в формулу не входит.

Чем дольше идёт восстановление, тем дальше от скважины точка, давление в которой «показывает» замер: для примера урока замеры через 1, 4 и 24 ч отвечают расстояниям около 26, 50 и 108 м. Приём используют, например, при сопоставлении давлений в ячейках гидродинамической модели с результатами КВД (Модель скважины в ячейке сетки).

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

r_p\,[\text{м}] = 0{,}0893\sqrt{\frac{k\,[\text{мД}]\;\Delta t_e\,[\text{ч}]}{\phi\;\mu\,[\text{мПа·с}]\;c_t\,[\text{МПа}^{-1}]}}

$k$ — мД, $\Delta t_e$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $r_p$ — м.

$0{,}0893 = \sqrt{4\cdot 3{,}553\cdot10^{-3}/1{,}781}$ , где $3{,}553\cdot10^{-3}$ — множитель безразмерного времени в этих единицах.

Откуда метрические постоянные

Наклон на единицу натурального логарифма в СИ равен $qB\mu/(4\pi kh)$ . Подставим $q$ в м³/сут (делим на 86 400), $\mu$ в мПа·с (умножаем на $10^{-3}$ ), $k$ в мД (умножаем на $0{,}9869\cdot10^{-15}$ м²) и выразим давление в МПа (делим на $10^6$ ): множитель равен $\dfrac{10^{-3}}{86\,400\cdot 4\pi\cdot 0{,}9869\cdot10^{-15}\cdot10^{6}} = 0{,}933$ . Умножение на $\ln 10$ даёт 2,149 для десятичного цикла.

Безразмерное время в СИ — $t_D = \dfrac{kt}{\phi\mu c_t r_w^2}$ . При $t$ в часах (умножаем на 3600), $k$ в мД, $\mu$ в мПа·с и $c_t$ в 1/МПа (умножаем на $10^{-6}$ ) множитель равен $\dfrac{0{,}9869\cdot10^{-15}\cdot 3600}{10^{-3}\cdot10^{-6}} = 3{,}553\cdot10^{-3}$ . Отсюда постоянная формулы скина: $-\lg(3{,}553\cdot10^{-3}) - 0{,}809/\ln 10 = 2{,}449 - 0{,}351 = 2{,}098$ .

Связь с другими темами

Скин-фактор — что такое скин и как перевести его в перепад давления и потерю дебита.
Проницаемость горных пород — что означает проницаемость, найденная по КВД, и чем она отличается от керновой.
Принцип суперпозиции — принцип суперпозиции, на котором построен метод.
Анализ кривой падения давления — тот же полулогарифмический анализ для периода работы скважины.
Влияние ствола скважины — почему ранние точки КВД лежат ниже прямой.
Диагностика по производной давления — как надёжно найти участок радиального притока.
Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление — среднее пластовое давление по КВД в ограниченном пласте.
Влияние времени работы на анализ КВД — как короткое время работы искажает КВД.
Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений — изменение наклона при влиянии разлома.

Проверьте себя

1
Почему в отношение Хорнера время работы и время остановки можно подставлять в любых одинаковых единицах?
1. А.Отношение безразмерно
2. Б.Потому что используется десятичный логарифм
3. В.Нельзя: только в часах
4. Г.Потому что наклон не зависит от дебита
Показать ответ
Правильный ответ: А. Отношение безразмерно
$(t_p + \Delta t)/\Delta t$ — отношение двух времён, и единицы сокращаются. Часы нужны только там, где время входит само по себе: в $p_{1\text{ч}}$ и в постоянную формулы скина.
2
Через какие точки проводят прямую Хорнера?
1. А.Через все точки
2. Б.Через самые ранние: они самые точные
3. В.Через точки среднего участка — после окончания влияния ствола и до влияния границ
4. Г.Через последнюю точку и начальное давление
Показать ответ
Правильный ответ: В. Через точки среднего участка — после окончания влияния ствола и до влияния границ
Ранние точки искажены притоком в ствол после остановки, поздние — границами и соседними скважинами. Уравнению Хорнера подчиняется только участок радиального притока; его подтверждают по диагностическому графику и производной давления.
3
Наклон прямой Хорнера — 0,30 МПа на цикл, дебит перед остановкой — 50 м³/сут, $B$ = 1,25, $\mu$ = 0,9 мПа·с, $h$ = 6 м. Найдите проводимость и проницаемость.
Показать ответ
$kh = 2{,}149\cdot 50\cdot 1{,}25\cdot 0{,}9/0{,}30 \approx 403$ мД·м; $k \approx 403/6 \approx 67$ мД.
4
Почему по одной КВД, без забойного давления в момент остановки, нельзя найти скин?
Показать ответ
При остановке перепад на скине исчезает, и в суперпозиции скин входит в оба слагаемых одинаково — давления восстановления его не содержат. Скин проявляется только в забойном давлении работающей скважины, поэтому его находят по разнице между прямой (через $p_{1\text{ч}}$ или $p^*$ ) и $p_{wf}(\Delta t = 0)$ .
5
Скважина работала с постоянным дебитом 2000 ч, КВД записана за 48 ч. Можно ли обработать её методом MDH?
1. А.Да: $\Delta t \ll t_p$ , погрешность мала
2. Б.Нет, MDH применим только к разведочным скважинам
3. В.Только если скин равен нулю
Показать ответ
Правильный ответ: А. Да: $\Delta t \ll t_p$ , погрешность мала
Отброшенное в MDH слагаемое $m\lg[(t_p + \Delta t)/t_p]$ к 48 ч составляет всего $\lg(2048/2000) \approx 0{,}01$ цикла, и наклон по MDH отличается от наклона Хорнера меньше чем на 1 %.
6
В залежи, которая разрабатывается много лет, КВД дала экстраполированное давление $p^*$ . Как оно соотносится со средним давлением в области дренирования скважины?
1. А.Равно ему
2. Б.Обычно выше него
3. В.Всегда ниже забойного давления
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Обычно выше него
Уравнение Хорнера построено для бесконечного пласта, где давление при бесконечной остановке вернулось бы к начальному. В ограниченной и частично истощённой области давление выравнивается на уровне среднего, а продолжение прямой уходит выше; среднее давление находят с поправками для ограниченного пласта.

Обновлено: 22 сентября 2026 г.