Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки

Кратко о главном

Отражения отражаются друг в друге, пока картина не станет симметричной относительно всех границ. У канала получается бесконечный ряд с шагом $2W$ , у клина с углом $180^\circ/n$ — $2n$ скважин вместе с реальной, на окружности вокруг вершины угла.
После окончания влияния ствола производная равна $m_e\big[1 + \sum_j \e^{-d_j^2/(4\eta t)}\big]$ : каждое отражение, до которого «дотянулось» возмущение, добавляет к уровню ещё одно $m_e$ .
В канале число «почувствованных» отражений растёт как $\sqrt t$ , поэтому $\Delta p$ растёт как $\sqrt t$ , а производная идёт с наклоном ½. Наклон прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ даёт ширину канала, если проницаемость известна по радиальному притоку.
Отрезок той же прямой содержит скин скважины и геометрический скин канала $\ln\tfrac{W}{2\pi r_w} - \ln\sin\tfrac{\pi L_1}{W}$ — по нему проверяют положение скважины в канале.
В клине с углом $\theta$ (любым, не только $180^\circ/n$ ) производная выходит на уровень $(360^\circ/\theta)\,m_e$ . Подход к нему медленный: недостача около $d^2/(2\eta t)$ , где $d$ — расстояние от скважины до вершины угла; 95 % уровня — примерно при $\eta t \approx 10\,d^2$ .
Ступени от разных границ сливаются, если расстояния до них отличаются меньше чем в 6–7 раз. Исследование даёт расстояния, но не направления: где именно проходят разломы, показывают сейсморазведка и геология.

Ключевые соотношения

\Delta p' = m_e\Big[1 + \sum_j \exp\Big(-\dfrac{d_j^2}{4\eta t}\Big)\Big]

производная при любой системе отражений; $d_j$ — расстояния до отражений, $\eta = k/(\phi\mu c_t)$

\Delta p = m_L\sqrt t + 1{,}866\,\dfrac{qB\mu}{kh}\,(S + S_{ch})

линейный приток в канале; $\Delta p' = \tfrac12 m_L\sqrt t$

W = 0{,}394\,\dfrac{qB}{h\,m_L}\sqrt{\dfrac{\mu}{k\phi c_t}}

ширина канала: м³/сут, м, МПа/√ч, мПа·с, мД, 1/МПа (oilfield — 8,13; ft, psi/√h, сП, 1/psi)

S_{ch} = \ln\dfrac{W}{2\pi r_w} - \ln\sin\dfrac{\pi L_1}{W}

геометрический скин канала

\theta = 360^\circ\,\dfrac{m_e}{\Delta p'_{\infty}}

угол между разломами по позднему уровню производной $\Delta p'_\infty$

Где чаще всего ошибаются

Принимать поздний наклон ½ за трещину гидроразрыва или, наоборот, считать ширину канала по раннему наклону ½, который дала трещина.
Считать угол между разломами по последней точке ещё растущей производной: угол получается завышенным.
Считать ширину канала, когда радиальный приток в записи не виден: наклон $\sqrt t$ даёт только произведение $W\sqrt k$ .
Искать промежуточную полку $2m_e$ там, где расстояния до двух границ отличаются всего в 2–3 раза: ступени сливаются.
Ориентировать границы по исследованию одной скважины: оно даёт расстояния, но не направления.

После урока вы сможете

построить систему отражений для канала и для клина с углом $180^\circ/n$ и объяснить, почему поздняя производная давления «считает» отражения;
узнать канал по наклону ½ производной, найти ширину канала по наклону прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ , расстояние до ближней границы — по первой ступени производной, до дальней — по разности, а по отрезку прямой проверить положение скважины через геометрический скин;
найти угол между пересекающимися разломами по позднему уровню производной и оценить его по ещё не закончившемуся подъёму;
оценить, когда в записи появятся линейный приток и поздний уровень клина, и рассчитать нужную длительность исследования;
перечислить, что исследование одной скважины различить не может: направления разломов, сторону ближней границы, ширину канала без проницаемости, клин и пласт с ухудшенной проводимостью вдали.

Отражения отражений

Одну прямолинейную непроницаемую границу заменяет одна скважина-отражение (Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений): две одинаковые скважины симметричны относительно линии разлома, поэтому через неё нет перетока. Если границ две, одного отражения мало. Отражение за разломом A нарушает условие на разломе B: относительно B оно ничем не уравновешено. Поэтому его самого отражают в B, получившееся отражение — снова в A, и так далее, пока вся картина не станет симметричной относительно обеих линий (метод отражений).

Для двух случаев эта цепочка устроена просто. Параллельные разломы на расстоянии $W$ друг от друга дают бесконечный ряд отражений вдоль перпендикуляра к разломам: картина повторяется с шагом $2W$ , как в двух параллельных зеркалах. Пересекающиеся разломы с углом $\theta = 180^\circ/n$ ( $n$ — целое) дают конечное число отражений: $2n - 1$ , все на окружности вокруг вершины угла, радиус которой равен расстоянию $d$ от скважины до вершины. Для других углов отражения «попадают» внутрь самого пласта, и решение находят иначе — рядом по собственным функциям клина; поздний уровень производной при этом тот же (раздел ниже).

СхемаСистемы отражений (схема, не в масштабе). Слева — канал между двумя параллельными разломами: реальный канал выделен, штриховые линии — его зеркальные копии, в каждой копии — отражение скважины; ряд продолжается в обе стороны. Справа — клин с углом 60° между разломами A и B: скважина и пять её отражений лежат на окружности вокруг вершины угла.

Каждое отражение — это ещё одна скважина с тем же дебитом. Пока возмущение от неё не дошло до реальной скважины, она не сказывается; потом её вклад в давление растёт как ещё одно решение для линейного источника. Производная от вклада одной скважины-отражения на расстоянии $d$ по логарифму времени равна $m_e\e^{-d^2/(4\eta t)}$ — это та самая ступень производной у одного разлома. Отсюда общая формула:

Производная давления в скважине с несколькими непроницаемыми границами

\Delta p' = m_e\left[1 + \sum_{j} \exp\left(-\frac{d_j^2}{4\eta t}\right)\right],\qquad m_e = \frac{qB\mu}{4\pi kh},\quad \eta = \frac{k}{\phi\mu c_t}

где:

$\Delta p'$ логарифмическая производная снижения давления, $\dd\Delta p/\dd\ln t$ , Па
$m_e$ уровень полки производной при радиальном притоке, Па
$d_j$ расстояние от скважины до $j$ -го отражения, м
$\eta$ пьезопроводность, м²/с
$t$ время с момента пуска, с

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

границы — прямые непроницаемые плоскости через всю толщину однородного пласта; отражения точно описывают канал и клин с углом $180^\circ/n$ ;
влияние ствола закончилось; отражения — линейные источники ( $d_j$ много больше радиуса скважины);
дебит постоянен; для кривой восстановления давления (КВД) то же складывают с учётом времени работы (Анализ кривой восстановления давления).

Производная «считает» отражения: каждое добавляет к уровню одно $m_e$ , когда $\eta t$ становится сравнимым с $d_j^2$ (середина его ступени — при $\eta t = d_j^2/(4\ln 2)$ ). Конечное число отражений даёт новую полку, растущее число — подъём: в канале с наклоном ½, в замкнутой области с наклоном 1.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

\Delta p' = m_e\left[1 + \sum_{j} \exp\left(-\frac{\phi\mu c_t\,d_j^2}{0{,}01421\,k\,t}\right)\right],\qquad m_e = 0{,}933\,\frac{qB\mu}{kh}

$d_j$ — м, $k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $q$ — м³/сут, $h$ — м; $\Delta p'$ и $m_e$ — МПа.

$0{,}01421 = 4\cdot3{,}553\cdot10^{-3}$ ; $0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853)$ (Диагностика по производной давления).

Системы границ и поздняя производная

Границы: Один разлом
Отражения: одно, на $2L$
Поздняя производная: $2m_e$
Что находят: расстояние $L$

Границы: Два параллельных (канал)
Отражения: бесконечный ряд, шаг $2W$
Поздняя производная: наклон ½
Что находят: $W$ , $L_1$ , $L_2$

Границы: Два под углом $\theta = 180^\circ/n$
Отражения: $2n - 1$ на окружности
Поздняя производная: $(360^\circ/\theta)\,m_e$
Что находят: угол $\theta$

Границы: Канал, закрытый с одного конца
Отражения: два ряда
Поздняя производная: наклон ½, вдвое выше, чем в открытом канале
Что находят: Полуограниченные системы: теория и анализ исследований

Границы: Замкнутый прямоугольник
Отражения: двумерная решётка
Поздняя производная: наклон 1
Что находят: поровый объём (Исследование на ограниченность пласта)

Границы	Отражения	Поздняя производная	Что находят
Один разлом	одно, на $2L$	$2m_e$	расстояние $L$
Два параллельных (канал)	бесконечный ряд, шаг $2W$	наклон ½	$W$ , $L_1$ , $L_2$
Два под углом $\theta = 180^\circ/n$	$2n - 1$ на окружности	$(360^\circ/\theta)\,m_e$	угол $\theta$
Канал, закрытый с одного конца	два ряда	наклон ½, вдвое выше, чем в открытом канале	Полуограниченные системы: теория и анализ исследований
Замкнутый прямоугольник	двумерная решётка	наклон 1	поровый объём (Исследование на ограниченность пласта)

$L$ — расстояние до разлома, $W$ — ширина канала, $L_1$ и $L_2$ — расстояния до его стенок. Для клина с углом, не равным $180^\circ/n$ , поздний уровень тот же $(360^\circ/\theta)\,m_e$ , но отражения точного решения не дают.

Что меняется, если…

…все расстояния вдвое больше — все ступени и наклоны наступают вчетверо позже: время входит только в сочетании $\eta t/d^2$ ;
…проницаемость вдвое выше — всё наступает вдвое раньше, а уровни $m_e$ вдвое ниже;
…систему разломов повернуть на любой угол — запись не изменится: исследование одной скважины «видит» только расстояния до отражений, но не направления;
…одна из границ — не разлом, а контур активной законтурной воды, где давление почти постоянно, — её отражение берут с обратным знаком, и производная не поднимается, а опускается (граница постоянного давления).

Канал: линейный приток

Канал образуют грабен — блок, опущенный между двумя параллельными сбросами, — узкий блок между параллельными экранирующими разломами или русловое песчаное тело, окружённое глинами пойменных отложений (Континентальные обстановки: эоловые и речные). Ширина таких тел — от десятков метров до нескольких километров, длина — во много раз больше.

Пока возмущение давления не дошло до стенок, скважина работает как в бесконечном пласте: на производной полка $m_e$ . Если скважина ближе к одной стенке, сначала сказывается она — производная начинает удваиваться, как у одного разлома. Когда возмущение доходит до обеих стенок, линии тока выпрямляются вдоль канала: флюид идёт к скважине с двух сторон по двум «трубам» сечением $Wh$ . Возмущённая длина каждой трубы растёт как $\sqrt{\eta t}$ , а чтобы прогнать постоянный расход через всё более длинную трубу, нужен пропорционально больший перепад. Поэтому при линейном притоке (linear flow) снижение давления растёт как корень из времени:

Скважина в канале: линейный приток

p_D = 2\sqrt{\pi t_{DW}} + S + S_{ch},\qquad t_{DW} = \frac{kt}{\phi\mu c_tW^2}\quad\Leftrightarrow\quad \Delta p = m_L\sqrt t + \frac{qB\mu}{2\pi kh}\,(S + S_{ch})

где:

$p_D$ безразмерное снижение забойного давления $2\pi kh\,\Delta p/(qB\mu)$ , —
$t_{DW}$ безразмерное время, отнесённое к квадрату ширины канала, —
$W$ ширина канала: расстояние между стенками, $W = L_1 + L_2$ , м
$m_L$ наклон прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ , $\dfrac{qB}{hW}\sqrt{\dfrac{\mu}{\pi k\phi c_t}}$ , Па/√с
$S,\ S_{ch}$ скин скважины и геометрический скин канала (формула ниже), —
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ \phi,\ c_t$ дебит, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, пористость, общая сжимаемость, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, —, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

стенки — параллельные непроницаемые границы через всю толщину однородного пласта; вдоль канала пласт неограничен;
возмущение дошло до обеих стенок: производная лежит на прямой с наклоном ½ (по таблице ниже — при $\eta t/W^2$ от 0,1 до 0,4 в зависимости от положения скважины);
постоянный дебит, влияние ствола закончилось.

Наклон $m_L$ зависит от ширины канала, но не от положения скважины в нём; положение и скин входят только в постоянное слагаемое. Логарифмическая производная $\Delta p' = \tfrac12 m_L\sqrt t$ — прямая с наклоном ½ на двойном логарифмическом графике (степенные режимы). Сам перепад $\Delta p$ на этом графике кривой, потому что содержит постоянное слагаемое.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

\Delta p = 0{,}394\,\frac{qB}{hW}\sqrt{\frac{\mu\,t}{k\phi c_t}} + 1{,}866\,\frac{qB\mu}{kh}\,(S + S_{ch})

$q$ — м³/сут, $h$ и $W$ — м, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $c_t$ — 1/МПа, $t$ — ч; $\Delta p$ — МПа.

$0{,}394 = 4\cdot0{,}933\cdot\sqrt{\pi\cdot3{,}553\cdot10^{-3}}$ ; $1{,}866 = 2\cdot0{,}933$ .

Промысловые единицы (oilfield)

\Delta p = 8{,}13\,\frac{qB}{hW}\sqrt{\frac{\mu\,t}{k\phi c_t}} + 141{,}2\,\frac{qB\mu}{kh}\,(S + S_{ch})

$q$ — STB/d, $h$ и $W$ — ft, $\mu$ — сП, $k$ — мД, $c_t$ — 1/psi, $t$ — ч; $\Delta p$ — psi.

$8{,}13 = 4\cdot70{,}6\cdot\sqrt{\pi\cdot2{,}637\cdot10^{-4}}$ ; $141{,}2 = 2\cdot70{,}6$ .

Геометрический скин канала

S_{ch} = \ln\frac{W}{2\pi r_w} - \ln\sin\frac{\pi L_1}{W}

где:

$S_{ch}$ добавочный перепад (в единицах $qB\mu/(2\pi kh)$ ) на переход от линейного потока вдоль канала к радиальному у скважины, —
$r_w$ радиус скважины, м
$L_1$ расстояние от скважины до одной из стенок (формула симметрична: $L_1$ и $W - L_1$ дают одно и то же), м

Единицы: любые одинаковые единицы длины

Справедливо, если

установившийся линейный приток; скважина — линейный источник в однородном канале (псевдоскин геометрии, а не повреждение пласта).

Первое слагаемое велико — для канала шириной 400 м и скважины радиусом 0,1 м около 6,5: поток должен «собраться» из ширины канала к стволу. Второе мало, пока скважина не у самой стенки: в середине канала $\sin = 1$ , в четверти ширины добавка 0,35, в двадцатой части — 1,86.

РасчётРасчётные производные скважины без влияния ствола в канале шириной

W

: в середине канала и в

0{,}1W

от одной стенки; для сравнения — та же скважина в центре замкнутого квадрата со стороной

W

. По вертикали — отношение производной к уровню полки

m_e

, обе шкалы логарифмические.

Когда в канале устанавливается линейный приток

$L_1/W$: 0,50
Производная в пределах 5 % от прямой с наклоном ½, $\eta t/W^2$: 0,09
В пределах 1 %: 0,13
$-\ln\sin(\pi L_1/W)$: 0,00

$L_1/W$: 0,25
Производная в пределах 5 % от прямой с наклоном ½, $\eta t/W^2$: 0,30
В пределах 1 %: 0,47
$-\ln\sin(\pi L_1/W)$: 0,35

$L_1/W$: 0,10
Производная в пределах 5 % от прямой с наклоном ½, $\eta t/W^2$: 0,36
В пределах 1 %: 0,53
$-\ln\sin(\pi L_1/W)$: 1,17

$L_1/W$: 0,05
Производная в пределах 5 % от прямой с наклоном ½, $\eta t/W^2$: 0,37
В пределах 1 %: 0,53
$-\ln\sin(\pi L_1/W)$: 1,86

$L_1/W$	Производная в пределах 5 % от прямой с наклоном ½, $\eta t/W^2$	В пределах 1 %	$-\ln\sin(\pi L_1/W)$
0,50	0,09	0,13	0,00
0,25	0,30	0,47	0,35
0,10	0,36	0,53	1,17
0,05	0,37	0,53	1,86

Расчёт по формуле производной с отражениями (скважина без влияния ствола); дальше этого времени отличие только убывает. Скважина в середине канала выходит на линейный приток раньше всех: у неё отражения стоят симметрично и самая медленная составляющая перехода выпадает.

Ширина и проницаемость входят вместе

Наклон $m_L$ пропорционален $1/(W\sqrt k)$ . Если радиальный приток в записи не виден — скрыт влиянием ствола или канал очень узкий, — по наклону $\sqrt t$ находят только произведение $W\sqrt k$ : вдвое меньшую проницаемость нельзя отличить от канала в $\sqrt 2$ раз шире. Так же в линейный приток к трещине гидроразрыва входит произведение $x_f\sqrt k$ (Приток к скважине после гидроразрыва). Проницаемость тогда берут из другого исследования, керна или соседних скважин.

Ширина канала по записи

Разберём условную запись. Новая скважина вскрыла песчаник в узком блоке: по сейсмике блок ограничен двумя параллельными разломами, но расстояния до них известны грубо. Скважину пустили открытием забойного клапана с постоянным дебитом 60 м³/сут и записывали давление около 500 ч.

Снижение давления в скважине в канале (условные данные, выборка)

$t$: 36 с
$\sqrt t$ , √ч: 0,10
$\Delta p$ , МПа: 0,9480
$\Delta p'$ , МПа: 0,2697

$t$: 6 мин
$\sqrt t$ , √ч: 0,32
$\Delta p$ , МПа: 1,3101
$\Delta p'$ , МПа: 0,1126

$t$: 30 мин
$\sqrt t$ , √ч: 0,71
$\Delta p$ , МПа: 1,4834
$\Delta p'$ , МПа: 0,1049

$t$: 1,00 ч
$\sqrt t$ , √ч: 1,00
$\Delta p$ , МПа: 1,5554
$\Delta p'$ , МПа: 0,1038

$t$: 2,00 ч
$\sqrt t$ , √ч: 1,41
$\Delta p$ , МПа: 1,6269
$\Delta p'$ , МПа: 0,1038

$t$: 5,01 ч
$\sqrt t$ , √ч: 2,24
$\Delta p$ , МПа: 1,7249
$\Delta p'$ , МПа: 0,1136

$t$: 10,0 ч
$\sqrt t$ , √ч: 3,16
$\Delta p$ , МПа: 1,8094
$\Delta p'$ , МПа: 0,1343

$t$: 20,0 ч
$\sqrt t$ , √ч: 4,47
$\Delta p$ , МПа: 1,9109
$\Delta p'$ , МПа: 0,1598

$t$: 50,1 ч
$\sqrt t$ , √ч: 7,08
$\Delta p$ , МПа: 2,0750
$\Delta p'$ , МПа: 0,2031

$t$: 100 ч
$\sqrt t$ , √ч: 10,00
$\Delta p$ , МПа: 2,2334
$\Delta p'$ , МПа: 0,2683

$t$: 200 ч
$\sqrt t$ , √ч: 14,13
$\Delta p$ , МПа: 2,4510
$\Delta p'$ , МПа: 0,3754

$t$: 316 ч
$\sqrt t$ , √ч: 17,78
$\Delta p$ , МПа: 2,6437
$\Delta p'$ , МПа: 0,4727

$t$: 501 ч
$\sqrt t$ , √ч: 22,39
$\Delta p$ , МПа: 2,8864
$\Delta p'$ , МПа: —

$t$	$\sqrt t$ , √ч	$\Delta p$ , МПа	$\Delta p'$ , МПа
36 с	0,10	0,9480	0,2697
6 мин	0,32	1,3101	0,1126
30 мин	0,71	1,4834	0,1049
1,00 ч	1,00	1,5554	0,1038
2,00 ч	1,41	1,6269	0,1038
5,01 ч	2,24	1,7249	0,1136
10,0 ч	3,16	1,8094	0,1343
20,0 ч	4,47	1,9109	0,1598
50,1 ч	7,08	2,0750	0,2031
100 ч	10,00	2,2334	0,2683
200 ч	14,13	2,4510	0,3754
316 ч	17,78	2,6437	0,4727
501 ч	22,39	2,8864	—

$\Delta p = p_i - p_{wf}$ , $p_i$ = 26 МПа. Данные рассчитаны по модели однородного пласта со стволом, скином и двумя параллельными непроницаемыми границами и округлены до 0,0001 МПа; параметры модели раскрыты в примере. Производная — по всем 58 замерам записи (10 на цикл) с интервалом 0,2 цикла; в последних двух замерах её нет.

РасчётДиагностический график записи: снижение давления (точки) и производная по замерам (линия). Штриховые линии — полка

m_e

по раннему участку и прямая с наклоном ½, проведённая через позднюю производную.

Ширина канала по наклону прямой Δp — √t

W = \frac{qB}{h\,m_L}\sqrt{\frac{\mu}{\pi k\phi c_t}}

где:

$m_L$ наклон прямой снижения давления в координатах $\Delta p$ — $\sqrt t$ на участке линейного притока, Па/√с
$k$ проницаемость по полке производной (радиальный приток), м²
$q,\ B,\ h,\ \mu,\ \phi,\ c_t$ как в формуле линейного притока, м³/с, м³/м³, м, Па·с, —, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

прямая проведена по точкам, где производная уже идёт с наклоном ½;
проницаемость определена независимо — по радиальному притоку той же записи или по другим данным;
$\phi$ , $c_t$ и $h$ известны: их ошибка входит в $W$ как $1/\sqrt{\phi c_t}$ и $1/h$ .

Ширину находят по наклону, не дожидаясь, пока точки «выпрямятся» в самом давлении: участок с наклоном ½ на производной показывает, по каким точкам проводить прямую. Расстояние до дальней стенки — $L_2 = W - L_1$ , где $L_1$ — расстояние до ближней стенки по первой ступени производной.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

W = 0{,}394\,\frac{qB}{h\,m_L}\sqrt{\frac{\mu}{k\phi c_t}}

$W$ и $h$ — м, $q$ — м³/сут, $m_L$ — МПа/√ч, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $c_t$ — 1/МПа.

Та же 0,394, что в формуле линейного притока.

Промысловые единицы (oilfield)

W = 8{,}13\,\frac{qB}{h\,m_L}\sqrt{\frac{\mu}{k\phi c_t}}

$W$ и $h$ — ft, $q$ — STB/d, $m_L$ — psi/√h, $\mu$ — сП, $k$ — мД, $c_t$ — 1/psi.

РасчётТа же запись в координатах

\Delta p

—

\sqrt t

(точки). Прямая проведена через замеры 199,5 и 501,2 ч и продолжена до

\sqrt t = 0

, где читается отрезок

b

. Ранние точки лежат ниже прямой: там ещё нет линейного притока.

Расчётный примерПроницаемость, скин, ширина канала и положение скважины

Исходные данные (условные)

Скважина и пласт: $q$ = 60 м³/сут; $B$ = 1,18; $\mu$ = 1,4 мПа·с; $h$ = 10 м; $\phi$ = 0,21; $c_t = 1{,}3\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $r_w$ = 0,1 м
Полка производной: среднее от 0,5 до 2 ч: $m_e$ = 0,10403 МПа; замер через 1 ч: $\Delta p$ = 1,5554 МПа
Первая ступень: через 10 ч производная 0,13431 МПа
Поздние замеры: 199,5 ч — 2,4510 МПа; 501,2 ч — 2,8864 МПа

Решение

Проводимость: $qB\mu = 60\cdot1{,}18\cdot1{,}4 = 99{,}12$ ; $kh = 0{,}933\cdot99{,}12/0{,}10403 = 889$ мД·м, $k = 88{,}9$ мД.
Скин по отношению давления к полке (Диагностика по производной давления): $\ln\dfrac{kt}{\phi\mu c_tr_w^2} = 16{,}962$ при $t$ = 1 ч; $S = \tfrac12\,(1{,}5554/0{,}10403 - 16{,}962 + 4{,}831) = 1{,}41$ .
Ближняя стенка по точке первой ступени (ступень производной): $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot88{,}9/(0{,}21\cdot1{,}4\cdot1{,}3\cdot10^{-3}) = 826$ м²/ч; $\Delta p'/m_e = 1{,}291$ , $\ln[1/(1{,}291 - 1)] = 1{,}234$ ; $L_1 = \sqrt{826\cdot10\cdot1{,}234} = 101$ м. Дальняя стенка в этот момент ещё не сказывается.
Линейный приток: между 100 и 316 ч (полцикла) производная выросла с 0,2683 до 0,4727 МПа; наклон на двойном логарифмическом графике $\lg(0{,}4727/0{,}2683)/0{,}5 = 0{,}49$ , то есть ½. Значит, поздние замеры лежат на прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ .
Наклон прямой: $m_L = (2{,}8864 - 2{,}4510)/(22{,}387 - 14{,}125) = 0{,}05270$ МПа/√ч.
Ширина: $qB = 70{,}8$ ; $\sqrt{\mu/(k\phi c_t)} = \sqrt{1{,}4/(88{,}9\cdot0{,}21\cdot1{,}3\cdot10^{-3})} = 7{,}595$ ; $W = 0{,}394\cdot70{,}8/(10\cdot0{,}05270)\cdot7{,}595 = 402$ м. Дальняя стенка: $L_2 = 402 - 101 = 301$ м.
Проверка по отрезку: $b = 2{,}8864 - 0{,}05270\cdot22{,}387 = 1{,}7066$ МПа; $S + S_{ch} = b/(2m_e) = 8{,}20$ , откуда $S_{ch} = 6{,}79$ . По формуле геометрического скина для $W$ = 402 м и $L_1$ = 101 м: $6{,}461 + 0{,}343 = 6{,}80$ — положение скважины согласуется.

Ответ:

k \approx 88{,}9

мД, скин 1,41; канал шириной около 402 м, скважина в 101 м от одной стенки и в 301 м от другой.

Что это значит. Запись рассчитана по модели с $k$ = 90 мД, $S$ = 1,5, стенками в 100 и 300 м (ширина 400 м). Проницаемость занижена примерно на 1 %: полка ещё чуть приподнята хвостом влияния ствола. Ширина найдена с точностью около 0,5 %, потому что поздние замеры лежат глубоко в линейном притоке ( $\eta t/W^2$ около 1 и 2,6). Отрезок прямой — хорошая проверка, но плохой способ искать $L_1$ : синус у середины канала пологий, и ошибка скина на 0,1 сдвигает $L_1$ на 10–15 м. По записи нельзя сказать, с какой стороны ближняя стенка и куда вытянут канал: это дают сейсморазведка, геологическая модель и соседние скважины. Данные примера условные.

Канал виден и на кривой восстановления давления (КВД). Если и к концу работы, и через время $\Delta t$ после остановки поток в канале уже линейный, суперпозиция двух решений даёт простое соотношение: постоянные слагаемые со скином сокращаются.

КВД в канале на участке линейного притока

p_i - p_{ws} = m_L\left(\sqrt{t_p + \Delta t} - \sqrt{\Delta t}\right)

где:

$p_{ws}$ забойное давление через $\Delta t$ после остановки, Па
$t_p,\ \Delta t$ время работы до остановки и время после остановки, с
$m_L$ наклон линейного притока, тот же, что при работе скважины, Па/√с

Единицы: СИ (метрические промысловые: МПа, ч, $m_L$ в МПа/√ч)

Справедливо, если

постоянный дебит в течение $t_p$ ; до пуска давление в пласте было $p_i$ ;
и $t_p$ , и $\Delta t$ достаточно велики, чтобы оба слагаемых суперпозиции были на участке линейного притока ( $\eta\Delta t/W^2$ не меньше 0,1–0,4 по таблице выше).

Если строить $p_{ws}$ против $\sqrt{t_p + \Delta t} - \sqrt{\Delta t}$ , поздние точки ложатся на прямую с наклоном $-m_L$ ; её продолжение до нуля функции (бесконечно долгая остановка) даёт начальное давление $p_i$ : вдоль оси канал не ограничен, и давление в нём со временем восстанавливается до начального. Производную такой КВД строят с учётом времени работы — по функции суперпозиции или эквивалентному времени (Влияние времени работы на анализ КВД).

Пересекающиеся разломы: клин

Блок, ограниченный двумя пересекающимися разломами, — частый случай в разломных зонах: два сброса разного направления сходятся, и скважина оказывается внутри угла между ними. Если угол $\theta = 180^\circ/n$ , отражения замыкаются: скважина и её $2n - 1$ отражений стоят на окружности радиусом $d$ вокруг вершины угла, где $d$ — расстояние от скважины до вершины. Например, прямой угол даёт три отражения, угол 60° — пять. Сам прямолинейный разлом — тоже «клин» с углом 180°: одно отражение.

Когда возмущение охватило всю окрестность вершины, все отражения «почувствованы», и производная выходит на уровень $2n\,m_e = (360^\circ/\theta)\,m_e$ . Этот результат не зависит от того, укладывается ли угол в ряд $180^\circ/n$ . Вдали от вершины поток радиальный, но идёт не по всей окружности, а только по её доле $\theta/360^\circ$ : тот же дебит проходит через сечение, во столько же раз меньшее, и перепад на каждый логарифмический цикл во столько же раз больше (вывод — в дополнительном разделе).

Поздний уровень производной в клине и угол по нему

\Delta p'_{\infty} = \frac{360^\circ}{\theta}\,m_e\quad\Rightarrow\quad \theta = 360^\circ\,\frac{m_e}{\Delta p'_{\infty}}

где:

$\Delta p'_{\infty}$ поздний уровень производной, когда возмущение охватило окрестность вершины угла, Па
$m_e$ уровень полки радиального притока, $qB\mu/(4\pi kh)$ , Па
$\theta$ угол между разломами со стороны скважины, градусы

Единицы: любые одинаковые единицы давления

Справедливо, если

два прямолинейных непроницаемых разлома через всю толщину однородного пласта сходятся в одной точке (в плане); других границ возмущение не достигло;
уровень действительно достигнут: на подходе производная ещё ниже, и угол по ней получается завышенным;
угол меньше 180° — скважина внутри «острого» или «тупого» угла, а не за изломом разлома.

Отношение позднего уровня к полке — «число скважин» вместе с отражениями: 2 у одного разлома, 4 у прямого угла, 6 у угла 60°. Для любого угла это просто $360^\circ/\theta$ : уровень в 2,5 раза выше полки означает угол 144°.

Клинья с углом

180^\circ/n

: скважина на биссектрисе, расстояние до каждого разлома

L

Угол: $180^\circ$ (один разлом)
Отражений: 1
Поздний уровень, $m_e$: 2
95 % уровня при $\eta t/L^2$: 9,5
То же в единицах $d^2$: —

Угол: $90^\circ$
Отражений: 3
Поздний уровень, $m_e$: 4
95 % уровня при $\eta t/L^2$: 19
То же в единицах $d^2$: 9,6

Угол: $60^\circ$
Отражений: 5
Поздний уровень, $m_e$: 6
95 % уровня при $\eta t/L^2$: 38
То же в единицах $d^2$: 9,6

Угол: $45^\circ$
Отражений: 7
Поздний уровень, $m_e$: 8
95 % уровня при $\eta t/L^2$: 66
То же в единицах $d^2$: 9,6

Угол: $30^\circ$
Отражений: 11
Поздний уровень, $m_e$: 12
95 % уровня при $\eta t/L^2$: 144
То же в единицах $d^2$: 9,6

Угол	Отражений	Поздний уровень, $m_e$	95 % уровня при $\eta t/L^2$	То же в единицах $d^2$
$180^\circ$ (один разлом)	1	2	9,5	—
$90^\circ$	3	4	19	9,6
$60^\circ$	5	6	38	9,6
$45^\circ$	7	8	66	9,6
$30^\circ$	11	12	144	9,6

Расчёт по формуле производной с отражениями; $d = L/\sin(\theta/2)$ — расстояние от скважины до вершины угла. Время выхода на уровень определяется расстоянием до вершины, а не до разломов: в единицах $d^2$ оно одно и то же для всех углов.

РасчётРасчётные производные скважины на биссектрисе клина, расстояние до каждого разлома

L

, без влияния ствола: 180° (один разлом), 90°, 60° и 45°. По вертикали — отношение производной к уровню полки; штриховые линии — поздние уровни 2, 4, 6 и 8.

Почему узкий клин так медленно выходит на уровень? Для поздних времён в формуле производной каждое слагаемое $\e^{-x}$ можно заменить на $1 - x$ , а сумма квадратов расстояний от скважины до всех её отражений в клине равна $4nd^2$ . Получается простой закон подхода, верный и для углов, не равных $180^\circ/n$ :

Подход производной к позднему уровню клина и угол по двум поздним точкам

\frac{\Delta p'}{m_e} \approx R_\infty\left(1 - \frac{a}{t}\right),\quad a = \frac{d^2}{2\eta};\qquad a = \frac{r_1 - r_2}{r_1/t_2 - r_2/t_1},\quad R_\infty = \frac{r_2}{1 - a/t_2}

где:

$R_\infty$ поздний уровень в единицах $m_e$ , $360^\circ/\theta$ , —
$r_1,\ r_2$ отношения $\Delta p'/m_e$ в моменты $t_1 < t_2$ на подходе к уровню, —
$d$ расстояние от скважины до вершины угла, м
$a$ постоянная подхода: в момент $t$ недостача до позднего уровня составляет долю $a/t$ , с
$\eta$ пьезопроводность, м²/с

Единицы: СИ; $t$ и $a$ — в одних единицах времени

Справедливо, если

недостача мала — не больше 15–20 %: при большей сказываются следующие члены разложения, и оценка $R_\infty$ занижается, а угол завышается;
производная по замерам без заметного шума: разность $r_2 - r_1$ невелика, и её ошибка сильно влияет на результат;
других границ, кроме двух разломов, возмущение не достигло.

Две поздние точки дают два неизвестных: уровень и постоянную подхода. Уровень — угол между разломами, постоянная — расстояние до вершины $d = \sqrt{2\eta a}$ (оценка обычно занижена на 5–15 %: следующие члены разложения уменьшают кажущуюся недостачу). Для 95 % уровня нужно $\eta t \approx 10\,d^2$ .

Что меняется, если…

…скважина вдвое дальше от вершины при том же угле — выход на уровень наступает вчетверо позже;
…угол уже, а расстояние до ближнего разлома прежнее — вершина дальше ( $d = L/\sin(\theta/2)$ на биссектрисе), уровень выше, и выходить на него приходится дольше: клину 30° нужно в 7–8 раз больше времени, чем прямому углу;
…скважина ближе к одному из разломов — сначала производная удваивается от него, потом поднимается дальше; промежуточная полка $2m_e$ видна, только если второй разлом много дальше первого (раздел о сочетании границ).

Угол между разломами по записи

Скважина в высокопроницаемом пласте вскрыла блок у пересечения двух разломов. По сейсмике ближний разлом A проходит примерно в сотне метров, второй разлом B — в нескольких сотнях; угол между ними по карте от 50 до 80°. Скважину пустили открытием забойного клапана с постоянным дебитом 400 м³/сут и записывали давление около 500 ч.

Пробная эксплуатация у пересечения разломов (условные данные, выборка)

$t$: 36 с
$\Delta p$ , МПа: 0,6265
$\Delta p'$ , МПа: 0,05754
$\Delta p'/m_e$: 1,025

$t$: 6 мин
$\Delta p$ , МПа: 0,7569
$\Delta p'$ , МПа: 0,05613
$\Delta p'/m_e$: 1,000

$t$: 12 мин
$\Delta p$ , МПа: 0,7956
$\Delta p'$ , МПа: 0,05613
$\Delta p'/m_e$: 1,000

$t$: 1,00 ч
$\Delta p$ , МПа: 0,8896
$\Delta p'$ , МПа: 0,06569
$\Delta p'/m_e$: 1,170

$t$: 1,58 ч
$\Delta p$ , МПа: 0,9215
$\Delta p'$ , МПа: 0,07405
$\Delta p'/m_e$: 1,319

$t$: 3,16 ч
$\Delta p$ , МПа: 0,9774
$\Delta p'$ , МПа: 0,08751
$\Delta p'/m_e$: 1,559

$t$: 10,0 ч
$\Delta p$ , МПа: 1,0909
$\Delta p'$ , МПа: 0,11487
$\Delta p'/m_e$: 2,046

$t$: 31,6 ч
$\Delta p$ , МПа: 1,2605
$\Delta p'$ , МПа: 0,19076
$\Delta p'/m_e$: 3,399

$t$: 100 ч
$\Delta p$ , МПа: 1,5314
$\Delta p'$ , МПа: 0,27219
$\Delta p'/m_e$: 4,849

$t$: 316 ч
$\Delta p$ , МПа: 1,8731
$\Delta p'$ , МПа: 0,31323
$\Delta p'/m_e$: 5,580

$t$	$\Delta p$ , МПа	$\Delta p'$ , МПа	$\Delta p'/m_e$
36 с	0,6265	0,05754	1,025
6 мин	0,7569	0,05613	1,000
12 мин	0,7956	0,05613	1,000
1,00 ч	0,8896	0,06569	1,170
1,58 ч	0,9215	0,07405	1,319
3,16 ч	0,9774	0,08751	1,559
10,0 ч	1,0909	0,11487	2,046
31,6 ч	1,2605	0,19076	3,399
100 ч	1,5314	0,27219	4,849
316 ч	1,8731	0,31323	5,580

$\Delta p = p_i - p_{wf}$ , $p_i$ = 31 МПа. Данные рассчитаны по модели однородного пласта со стволом, скином и двумя непроницаемыми разломами, сходящимися под углом, и округлены до 0,0001 МПа; параметры модели раскрыты в примере. Производная — по всем замерам (10 на цикл) с интервалом 0,2 цикла; отношение — к уровню полки из примера.

РасчётПроизводная записи, делённая на уровень полки (точки), и расчёт по модели (линия). Штриховые линии — уровни 1, 2 и 6; отмечены замеры 100 и 316 ч, по которым в примере находят угол.

Расчётный примерУгол между разломами и расстояние до вершины

Исходные данные (условные)

Скважина и пласт: $q$ = 400 м³/сут; $B$ = 1,25; $\mu$ = 0,6 мПа·с; $h$ = 20 м; $\phi$ = 0,22; $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Полка производной: среднее от 0,1 до 0,2 ч: $m_e$ = 0,05613 МПа
Подъём от ближнего разлома: через 1,58 ч производная 0,07405 МПа
Поздние точки: через 100 ч — 0,27219 МПа; через 316,2 ч — 0,31323 МПа

Решение

Проводимость: $qB\mu = 400\cdot1{,}25\cdot0{,}6 = 300$ ; $kh = 0{,}933\cdot300/0{,}05613 = 4987$ мД·м, $k = 249{,}4$ мД; $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot249{,}4/(0{,}22\cdot0{,}6\cdot1{,}5\cdot10^{-3}) = 4475$ м²/ч.
Ближний разлом: $\Delta p'/m_e = 1{,}319$ , $\ln[1/(1{,}319 - 1)] = 1{,}143$ ; $L_A = \sqrt{4475\cdot1{,}58\cdot1{,}143} = 90$ м.
Поздние отношения: $r_1 = 0{,}27219/0{,}05613 = 4{,}849$ , $r_2 = 0{,}31323/0{,}05613 = 5{,}580$ . Производная всё ещё растёт: по последней точке угол был бы $360^\circ/5{,}580 = 64{,}5^\circ$ — это верхняя граница.
Подход к уровню: $a = \dfrac{4{,}849 - 5{,}580}{4{,}849/316{,}2 - 5{,}580/100} = 18{,}1$ ч; $R_\infty = 5{,}580/(1 - 18{,}1/316{,}2) = 5{,}919$ .
Угол: $\theta = 360^\circ/5{,}919 = 60{,}8^\circ$ .
Расстояние до вершины: $d = \sqrt{2\cdot4475\cdot18{,}1} = 402$ м — нижняя оценка.

Ответ: Угол между разломами около 60,8° (по последней точке — 64,5°); ближний разлом в 90 м, вершина угла не ближе 402 м.

Что это значит. Модель записи — угол 60°, разломы в 90 и 330 м от скважины, вершина в 442 м. Через 316 ч производная прошла только 93 % пути к уровню 6, и угол по последней точке завышен на 4–5°; экстраполяция по двум точкам почти убрала ошибку. Расстояние до вершины занижено примерно на 10 % — как и предупреждает формула подхода. Угол и расстояние до ближнего разлома согласуются с сейсмикой; вывод «угол около 60°, вершина в 400–450 м» можно передать в геологическую модель. Чтобы прочитать уровень напрямую с точностью 5 %, производная должна дойти примерно до $10\,d^2/\eta$ — около 440 ч, а запись — ещё на 0,2 цикла дальше, почти до 700 ч. Данные примера условные.

Как складываются границы

Каждая граница вступает в запись примерно тогда, когда $\eta t$ становится сравнимым с квадратом расстояния до неё: производная поднимается на 1 % при $\eta t \approx 0{,}22\,L^2$ и проходит половину ступени при $\eta t \approx 1{,}44\,L^2$ (Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений). Ступени от разных границ разделяются, только если их времена отличаются больше чем на 1,6–1,7 логарифмического цикла, то есть расстояния — в 6–7 раз и больше.

Прямой угол: длина промежуточной полки

2m_e

при скважине у одного из разломов

$L_B/L_A$: 3
Полка в пределах ±5 %, логарифмических циклов: 0,13

$L_B/L_A$: 5
Полка в пределах ±5 %, логарифмических циклов: 0,22

$L_B/L_A$: 7
Полка в пределах ±5 %, логарифмических циклов: 0,34

$L_B/L_A$: 10
Полка в пределах ±5 %, логарифмических циклов: 0,59

$L_B/L_A$	Полка в пределах ±5 %, логарифмических циклов
3	0,13
5	0,22
7	0,34
10	0,59

Расчёт по формуле производной с отражениями для угла 90°: $L_A$ — расстояние до ближнего разлома, $L_B$ — до дальнего. При $L_B/L_A$ = 3 производная проходит уровень $2m_e$ почти не задерживаясь.

Поэтому запись с двумя ступенями «1 → 2 → 4» встречается редко: обычно видна плавная лестница, и её подбирают моделью целиком. Отсюда практическое правило: по первой, самой ранней части подъёма находят расстояние до ближней границы — пока дальние не сказываются, формула одного разлома точна; по позднему поведению (наклон ½, новый уровень или наклон 1) — тип системы и её второй размер.

Канал, закрытый с одного конца (U-образная система разломов): отражения в торце удваивают поздний линейный приток — производная идёт с наклоном ½, но вдвое выше, чем в открытом канале той же ширины. Такие полуограниченные системы разобраны отдельно (Полуограниченные системы: теория и анализ исследований).
Замкнутый прямоугольник: отражения заполняют плоскость решёткой, их число растёт пропорционально $t$ — производная выходит на наклон 1, а по темпу снижения давления находят поровый объём (Исследование на ограниченность пласта).
Разлом и граница постоянного давления: отражение от контура активной законтурной воды берут с обратным знаком; производная после подъёма от разлома опускается.
Разлом, пропускающий флюид: производная поднимается, не доходит до $2m_e$ и возвращается к полке (Частично проводящие разломы).

Расчётный примерСколько записывать, чтобы увидеть канал и угол

Исходные данные (условные)

Канал: из первого примера: $W$ ≈ 402 м, $L_1/W$ ≈ 0,25, $\eta$ ≈ 826 м²/ч
Клин: из второго примера: $d$ ≈ 402 м, $\eta$ ≈ 4475 м²/ч

Решение

Канал: по таблице производная ложится на прямую с наклоном ½ (в пределах 5 %) при $\eta t/W^2$ = 0,30, то есть через $0{,}30\cdot402^2/826 = 59$ ч.
Чтобы прямую $\Delta p$ — $\sqrt t$ провести по участку хотя бы в один логарифмический цикл, запись продлевают в 10 раз: 590 ч, около 25 сут.
Клин: 95 % позднего уровня — при $\eta t \approx 9{,}6\,d^2$ , через $9{,}6\cdot402^2/4475 = 347$ ч, около 14 сут.

Ответ: Линейный приток в этом канале устанавливается примерно через 59 ч, для уверенной ширины нужно около 25 сут записи; уровень клина читается напрямую после 14 сут — поэтому в примере угол находили экстраполяцией.

Что это значит. Оба времени растут как квадрат размера системы: канал вдвое шире потребует вчетверо более длинной записи. Для клина взято $d$ из второго примера — нижняя оценка, поэтому и время — нижняя граница: с настоящими 442 м оно около 420 ч (17–18 сут). Время до вершины клина задаёт не угол, а расстояние $d$ : для скважины далеко от вершины прочитать уровень по записи разумной длины не получится, и остаётся экстраполяция или подбор модели. Длительные записи при постоянном дебите получают при пробной эксплуатации; при КВД возможности ограничены объёмом, отобранным перед остановкой (восстановление давления у разлома). Данные примера условные.

Что запись различить не может

Поздний участок записи — самый информативный и самый неоднозначный. Одна и та же форма производной может получиться у разных пластов, а одни и те же числа — при разной геометрии. Вот что исследование одной скважины даёт и чего не даёт:

Поздние признаки и их возможные причины

Что видно: Наклон ½ в конце записи
Возможные причины: канал; вытянутый замкнутый блок до выхода на наклон 1
Чем проверить: геология, сейсмика, длина записи

Что видно: Наклон ½ в начале записи
Возможные причины: трещина гидроразрыва или естественная трещина
Чем проверить: история скважины; длительность участка

Что видно: Новый уровень $N\,m_e$
Возможные причины: клин с углом $360^\circ/N$ ; ухудшение проводимости вдали в $N$ раз
Чем проверить: карта разломов; форма перехода; соседние скважины

Что видно: Подъём, затем спад к полке
Возможные причины: частично проводящий разлом; конечный по длине разлом
Чем проверить: Частично проводящие разломы

Что видно: Удвоение без полки $m_e$ перед ним
Возможные причины: скважина у самого разлома, первая полка скрыта стволом
Чем проверить: разлом рядом со скважиной

Что видно	Возможные причины	Чем проверить
Наклон ½ в конце записи	канал; вытянутый замкнутый блок до выхода на наклон 1	геология, сейсмика, длина записи
Наклон ½ в начале записи	трещина гидроразрыва или естественная трещина	история скважины; длительность участка
Новый уровень $N\,m_e$	клин с углом $360^\circ/N$ ; ухудшение проводимости вдали в $N$ раз	карта разломов; форма перехода; соседние скважины
Подъём, затем спад к полке	частично проводящий разлом; конечный по длине разлом	Частично проводящие разломы
Удвоение без полки $m_e$ перед ним	скважина у самого разлома, первая полка скрыта стволом	разлом рядом со скважиной

Перечень не полный: похожие формы дают и неоднородности пласта, и изменения дебита соседних скважин во время записи.

Направления. Запись зависит только от расстояний до отражений. Скважина в 100 м от стенки канала, вытянутого на север, и такая же скважина в канале, вытянутом на восток, дают одинаковое давление. С какой стороны ближняя стенка, исследование тоже не скажет.
Ширина без проницаемости. Без радиального притока наклон $\sqrt t$ даёт только $W\sqrt k$ (выноска выше). Ошибка $\phi c_t$ на 20 % меняет ширину на 10 %.
Незаконченный переход. Угол по ещё растущей производной завышен, а вторая прямая, проведённая слишком рано, занижает расстояния. Экстраполяция и подбор модели помогают, но не заменяют длинной записи.
Клин или неоднородность. Уровень $4m_e$ дают и прямой угол между разломами, и пласт, проводимость которого за некоторым радиусом вчетверо меньше. Формы переходов немного различаются, но при шуме манометра их легко спутать.
Прямые границы — модель. Реальные разломы изогнуты, затухают по простиранию, смещают пласт не на всю толщину. Расстояния и угол по простой модели — оценки, которые сверяют с картой.

Откуда метод

Системы отражений для нескольких границ строили ещё в теории теплопроводности и электростатики XIX века. В анализе исследований скважин ими пользуются с 1950–1960-х годов: тогда появились полулогарифмические приёмы для разломов и линейного притока. Узнаваемые «отпечатки» систем границ на графике производной — полки, наклоны ½ и 1 — вошли в практику в 1980-х годах вместе с самой производной (Диагностика по производной давления).

Термины и обозначения

Система отражений: набор скважин-отражений, при котором картина давления симметрична относительно всех непроницаемых границ; для канала бесконечный ряд, для клина с углом $180^\circ/n$ — $2n - 1$ отражений.
Канал: пласт между двумя параллельными непроницаемыми границами: грабен, узкий блок, русловое песчаное тело.
Линейный приток в канале: поздний режим, при котором поток идёт к скважине вдоль канала; $\Delta p$ растёт как $\sqrt t$ , производная — с наклоном ½.
Геометрический скин канала $S_{ch}$: постоянная $\ln\tfrac{W}{2\pi r_w} - \ln\sin\tfrac{\pi L_1}{W}$ в отрезке прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ ; растёт при приближении скважины к стенке.
Клин: блок между двумя пересекающимися непроницаемыми разломами; поздний уровень производной $(360^\circ/\theta)\,m_e$ .
Расстояние до вершины $d$: расстояние от скважины до точки пересечения разломов в плане; задаёт время выхода производной на поздний уровень, $\eta t \approx 10\,d^2$ .
Промежуточная полка: участок производной на уровне $2m_e$ между двумя ступенями; виден, если вторая граница в 6–7 раз дальше первой.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Наклон ½ на производной — значит, скважина с трещиной гидроразрыва».

На самом деле

Трещина даёт наклон ½ в начале записи, до радиального притока. Наклон ½ в конце записи, после полки, — признак канала или вытянутого блока, и по нему считают ширину, а не длину трещины.

Неверно

«Угол между разломами — это 360°, делённые на последнее отношение производной к полке».

На самом деле

Только если производная уже вышла на уровень. Пока она растёт, такой угол — верхняя граница; в примере урока 64,5° вместо 60°. Уровень оценивают по двум поздним точкам или подбором модели.

Неверно

«Ширину канала можно найти по одному наклону $\sqrt t$ ».

На самом деле

Наклон даёт $W\sqrt k$ . Нужна проницаемость — по полке радиального притока той же записи или по другим данным; без неё ширина неопределима.

Неверно

«По исследованию видно, где проходят разломы».

На самом деле

Видно, на каком расстоянии от скважины стоят отражения. Направления разломов и сторону ближней стенки дают сейсморазведка, геологическая модель и соседние скважины.

Неверно

«Если скважина в канале не в центре, на производной обязательно будет промежуточная полка $2m_e$ ».

На самом деле

Только если дальняя стенка в 6–7 раз дальше ближней. В примере урока стенки в 100 и 300 м, и производная проходит уровень $2m_e$ , не задерживаясь.

Подробно: для продвинутых

Выводы: линейный приток в канале, уровень и подход в клине

Канал. Функция Грина полосы $0 < y < W$ с непроницаемыми краями — ряд по косинусам $\cos(n\pi y/W)$ с множителями $\e^{-n^2\pi^2\eta t/W^2}$ , вдоль канала — одномерное решение $1/\sqrt{4\pi\eta t}$ . Логарифмическая производная в скважине равна $2\pi\eta t$ , умноженному на их произведение в точке скважины:

Производная в канале: ряд по собственным функциям полосы

p_D' = \sqrt{\pi t_{DW}}\left[1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} \e^{-n^2\pi^2t_{DW}}\cos^2\frac{n\pi L_1}{W}\right]

где:

$p_D'$ безразмерная производная, $\Delta p'/(2m_e)$ , —
$t_{DW}$ безразмерное время $\eta t/W^2$ , —
$L_1,\ W$ расстояние до стенки и ширина канала, м

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

скважина — линейный источник; влияние ствола закончилось.

При больших временах сумма исчезает, и остаётся $\sqrt{\pi t_{DW}}$ — наклон ½. Самая медленная поправка — с $n = 1$ , она убывает как $\e^{-\pi^2 t_{DW}}$ , а в середине канала её множитель $\cos^2(\pi/2)$ равен нулю. Этот ряд и сумма отражений — два вида одного решения; численно они совпадают до восьмого знака.

Геометрический скин. Проинтегрировав то же решение по времени, получаем $2\sqrt{\pi t_{DW}}$ плюс сумму по $n$ с множителями $\tfrac2n\cos^2(n\pi L_1/W)\,\e^{-n\pi r_w/W}$ и убывающие слагаемые. Сумма — известный в замкнутом виде ряд с членами $\cos(nx)\,\e^{-nu}/n$ ; при $u = \pi r_w/W \to 0$ она даёт $\ln\tfrac{W}{\pi r_w} - \ln\big(2\sin\tfrac{\pi L_1}{W}\big)$ , то есть $S_{ch}$ .

Уровень клина для любого угла. Далеко от вершины (на расстояниях $r \gg d$ ) поток сходится к вершине по сектору с дугой $\theta r$ : $q = (kh\,\theta r/\mu)\,\partial p/\partial r$ , откуда $p = \tfrac{q\mu}{kh\theta}\ln r + \text{const}$ . В бесконечном пласте вместо $\theta$ стоит $2\pi$ , поэтому перепад на единицу $\ln r$ — а значит, и на единицу $\ln t$ , раз радиус возмущения растёт как $\sqrt t$ , — больше в $2\pi/\theta$ раз. В скважине, где давление меняется вслед за дальней областью, производная выходит на тот же уровень $(2\pi/\theta)\,m_e$ .

Подход к уровню. При углах $180^\circ/n$ скважина и отражения стоят в точках окружности радиусом $d$ с полярными углами $\pm\varphi_0 + 2j\theta$ . Квадрат расстояния до точки с угловым сдвигом $\psi$ равен $2d^2(1 - \cos\psi)$ , а сумма косинусов по всем $2n$ точкам равна нулю (каждая группа из $n$ точек расставлена равномерно). Поэтому $\sum_j d_j^2 = 4nd^2$ , и при малых $d_j^2/(4\eta t)$ производная равна $2n\,m_e\,[1 - d^2/(2\eta t)]$ . Для произвольного угла строгое решение клина — ряд по функциям Бесселя порядков $k\pi/\theta$ ; его главный член даёт ту же поправку $1 - d^2/(2\eta t)$ , а остальные при $\theta < 180^\circ$ убывают быстрее.

Связь с другими темами

Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений — одна непроницаемая граница: отражение, ступень производной, расстояние по одной точке ступени.
Принцип суперпозиции — метод отражений и сложение решений, на которых построен урок.
Диагностика по производной давления — диагностический график, полка, наклоны ½ и 1 и расчёт производной по замерам.
Частично проводящие разломы — разлом, пропускающий флюид: подъём производной и возврат к полке.
Полуограниченные системы: теория и анализ исследований — каналы, закрытые с одного конца, и другие полуограниченные системы разломов.
Исследование на ограниченность пласта — замкнутые блоки: наклон 1, поровый объём и коэффициент формы.
Приток к скважине после гидроразрыва — линейный приток к трещине: тот же наклон ½, но в начале записи.
Режимы фильтрации — геометрия потока: радиальный, линейный, псевдоустановившийся режимы.
Разломы — геология разломов: типы, пересечения, экранирование.
Гидродинамические исследования: цели и виды — виды исследований и планирование их длительности.

Проверьте себя

1
После полки радиального притока производная поднялась и в конце записи идёт прямой с наклоном ½ на двойном логарифмическом графике. Что это скорее всего?
1. А.Канал между двумя параллельными непроницаемыми границами
2. Б.Клин между пересекающимися разломами
3. В.Граница постоянного давления
4. Г.Один непроницаемый разлом
Показать ответ
Правильный ответ: А. Канал между двумя параллельными непроницаемыми границами
В канале число «почувствованных» отражений растёт как $\sqrt t$ , давление — тоже, и производная идёт с наклоном ½. Один разлом и клин дают новую горизонтальную полку ( $2m_e$ и $(360^\circ/\theta)m_e$ ), граница постоянного давления опускает производную. Похожий поздний наклон бывает и у вытянутого замкнутого блока до выхода на наклон 1 — это проверяют длиной записи и геологией.
2
Уровень полки радиального притока — 0,045 МПа. Поздняя производная поднялась до 0,108 МПа и третий логарифмический цикл держится на этом уровне. Какой угол между разломами образует блок?
Показать ответ
Отношение уровней $0{,}108/0{,}045 = 2{,}4$ . Угол $\theta = 360^\circ/2{,}4 = 150^\circ$ — тупой угол, например излом разлома или два разлома, сходящихся под большим углом. Отражения для такого угла точного решения не дают, но поздний уровень $(360^\circ/\theta)\,m_e$ верен для любого угла. Раз производная держится на уровне долго, подход к нему уже закончился, и угол не завышен.
3
Скважина в канале: $q$ = 90 м³/сут, $B$ = 1,2, $h$ = 8 м, $\mu$ = 2 мПа·с, $\phi$ = 0,18, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; по полке производной $k$ = 50 мД. Поздние точки лежат на прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ с наклоном 0,20 МПа/√ч. Найдите ширину канала.
Показать ответ
Под корнем: $\mu/(k\phi c_t) = 2/(50\cdot0{,}18\cdot1{,}5\cdot10^{-3}) = 148{,}1$ , корень — 12,17. Множитель $qB/(h\,m_L) = 90\cdot1{,}2/(8\cdot0{,}20) = 67{,}5$ . Ширина: $W = 0{,}394\cdot67{,}5\cdot12{,}17 \approx 324$ м. Если бы проницаемость была вдвое меньше, при том же наклоне ширина вышла бы в $\sqrt2$ раз больше — около 458 м.
4
По записи найдены расстояния 100 и 300 м до двух параллельных стенок канала. Можно ли по той же записи сказать, с какой стороны от скважины ближняя стенка и куда вытянут канал?
1. А.Да, по отрезку прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$
2. Б.Нет: запись зависит только от расстояний до отражений
3. В.Да, по форме ступени производной
4. Г.Да, если запись длиннее 1000 ч
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Нет: запись зависит только от расстояний до отражений
Давление в скважине определяется расстояниями до отражений, а не их направлениями: поворот всей системы разломов запись не меняет. Даже отрезок прямой симметричен — геометрический скин одинаков для $L_1$ и $W - L_1$ . Направления дают сейсморазведка, геологическая модель и соседние скважины.
5
Почему клину с углом 30° нужна гораздо более длинная запись, чем прямому углу, если расстояние от скважины на биссектрисе до каждого разлома одно и то же?
Показать ответ
Время выхода на поздний уровень задаёт расстояние до вершины угла: 95 % уровня — при $\eta t \approx 10\,d^2$ . На биссектрисе $d = L/\sin(\theta/2)$ : для 90° это $1{,}41L$ , для 30° — $3{,}86L$ . Отношение квадратов $(3{,}86/1{,}41)^2 \approx 7{,}5$ : клин 30° выходит на свой уровень (12 $m_e$ ) примерно в 7,5 раза дольше, чем прямой угол на уровень 4 $m_e$ .
6
Через 200 ч отношение производной к полке равно 3,4 и продолжает расти. Оценка угла $360^\circ/3{,}4 = 106^\circ$ — это занижение или завышение настоящего угла?
1. А.Точная оценка
2. Б.Завышение
3. В.Занижение
4. Г.Нельзя сказать
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Завышение
Пока производная растёт, она ниже позднего уровня $360^\circ/\theta$ , а угол обратно пропорционален уровню. Значит, 106° — верхняя граница, настоящий угол меньше. Уровень оценивают по двум поздним точкам по закону $R_\infty(1 - a/t)$ или продлевают запись.

Обновлено: 19 октября 2026 г.