Принцип суперпозиции

Кратко о главном

Уравнение пьезопроводности для слабосжимаемого флюида линейно: решение, умноженное на число, и сумма решений — тоже решения. Поэтому снижение давления пропорционально дебиту, а снижения от разных источников складываются.
Сложение в пространстве: снижение давления в точке равно сумме снижений от всех скважин, у каждой — свои дебит, расстояние и время работы. Скин прибавляют только для той скважины, в которой считают давление.
Сложение во времени: смена дебита с $q_{j-1}$ на $q_j$ равносильна пуску в той же точке ещё одной скважины с дебитом $q_j - q_{j-1}$ . Остановка — пуск воображаемой нагнетательной скважины с прежним дебитом.
Слагаемые со скином складываются в $q_nS$ : перепад на скине определяется текущим дебитом, а вся предыдущая история дебита сказывается через пласт.
Запись давления при нескольких режимах обрабатывают на графике с функцией суперпозиции времени: точки всех режимов ложатся на одну прямую, её наклон даёт проводимость $kh$ , положение — скин.
Непроницаемую границу заменяют скважиной-отражением с той же историей дебита на удвоенном расстоянии до границы, границу постоянного давления — отражением с обратным знаком.

Ключевые соотношения

p_i - p = \sum_{j} \dfrac{q_jB\mu}{4\pi kh}\,E_1\!\left(\dfrac{\phi\mu c_t\,r_j^2}{4k\,(t - t_j)}\right)

давление в точке от нескольких скважин (СИ); у работающей скважины в точке её ствола — логарифм и скин

p_i - p_{wf} = \dfrac{B\mu}{2\pi kh}\sum_{j=1}^{n}\left(q_j - q_{j-1}\right)\left[p_D\big(t - t_{j-1}\big) + S\right]

ступенчатое изменение дебита; $q_0 = 0$ , $p_D$ — функция давления без скина

X_n = \sum_{j=1}^{n}\dfrac{q_j - q_{j-1}}{q_n}\,\lg\left(t - t_{j-1}\right)

функция суперпозиции времени; $(p_i - p_{wf})/q_n$ линейно зависит от $X_n$

kh = 2{,}149\,\dfrac{B\mu}{m'}

проводимость по наклону $m'$ графика многорежимного исследования (МПа на 1 м³/сут за цикл)

\Delta p_{\text{отр}} = \dfrac{qB\mu}{4\pi kh}\,E_1\!\left(\dfrac{\phi\mu c_t\,(2L)^2}{4kt}\right)

добавка от непроницаемого разлома на расстоянии $L$ (СИ)

Где чаще всего ошибаются

Прибавлять к вкладу соседней скважины её скин: он меняет давление только у её собственного ствола.
Отсчитывать время всех ступеней дебита от начала работы, а не от момента каждой смены режима.
Брать для соседней скважины или отражения логарифмическое приближение: на расстояниях в сотни метров оно годится только через месяцы и годы.
Складывать решения там, где задача нелинейна: газ при больших изменениях давления, выделение газа из нефти у ствола, проницаемость, зависящая от давления, скин, растущий с дебитом.
Думать, что после остановки скважины давление вокруг неё сразу начинает расти: в соседней скважине оно ещё долго падает.

После урока вы сможете

объяснить, почему решения уравнения пьезопроводности можно складывать, и назвать условия, при которых это перестаёт быть верным;
рассчитать давление в работающей скважине и в точке пласта при работе нескольких скважин, пущенных в разное время, правильно учитывая скин;
представить историю дебита ступенями и рассчитать забойное давление при смене режимов и давление в соседней скважине после остановки;
построить график с функцией суперпозиции времени и найти проводимость и скин по записи давления при нескольких режимах работы, не останавливая скважину;
заменить непроницаемую границу или границу постоянного давления воображаемой скважиной-отражением и оценить, когда граница скажется на давлении в скважине.

Почему решения можно складывать

В уроке Решение для линейного источника и функция давления получено решение для одной скважины: её пускают с постоянным дебитом в пласте, где давление всюду одинаково. Реальная история сложнее. Дебит меняют штуцером, скважину останавливают на исследование и снова пускают, рядом бурят и вводят новые скважины. Искать для каждого такого случая новое решение уравнения не нужно — достаточно сложить уже известные.

Причина — в устройстве уравнения пьезопроводности (Уравнение пьезопроводности). Давление и его производные входят в него только в первой степени: нет ни их произведений, ни коэффициентов, зависящих от самого давления. Такое уравнение называют линейным, и у него два свойства. Решение, умноженное на число, — тоже решение: вдвое больший дебит даёт вдвое большее снижение давления. Сумма решений — тоже решение: если в пласте действуют два источника, изменение давления от них равно сумме изменений от каждого. Вместе эти свойства и составляют принцип суперпозиции.

Линейность уравнения пьезопроводности

\nabla^2 \Delta p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\,\frac{\partial\,\Delta p}{\partial t}\quad\Rightarrow\quad \Delta p = a_1\,\Delta p_1 + a_2\,\Delta p_2\ \ \text{— тоже решение}

где:

$\Delta p$ снижение давления относительно начального, $p_i - p(x, y, t)$ , в точке пласта с координатами $x$ , $y$ в момент $t$ , Па
$\nabla^2$ оператор Лапласа по координатам в плоскости пласта, $\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2$ , 1/м²
$\Delta p_1,\ \Delta p_2$ два решения того же уравнения, например от двух скважин или от двух ступеней дебита одной скважины, Па
$a_1,\ a_2$ постоянные множители (отношения дебитов), —
$\phi,\ \mu,\ c_t,\ k$ пористость, вязкость, общая сжимаемость, проницаемость, —, Па·с, 1/Па, м²

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

однофазный слабосжимаемый флюид; пористость, проницаемость, вязкость и сжимаемость не зависят от давления;
закон Дарси: скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления, без инерционных потерь;
условия на скважинах и границах тоже линейны: заданы дебиты, постоянные давления или непроницаемые границы;
до начала событий давление во всём пласте одинаково, $p = p_i$ ; если пласт уже был возмущён, к сумме добавляют решение, описывающее это прежнее возмущение.

Складывают не сами давления, а их изменения относительно начального состояния. Каждое слагаемое — решение для одного источника: одной скважины с постоянным дебитом, пущенной в свой момент. Если источник один, но его дебит меняется, слагаемые — это ступени дебита.

Аналогия: обогреватели в холодном цеху

В цеху включили два обогревателя. Если теплопроводность и теплоёмкость стен и воздуха не зависят от температуры, прибавка температуры в любой точке равна сумме прибавок от каждого обогревателя, как если бы он работал один. Выключенный обогреватель можно представить работающим, а рядом с ним — «охладитель» той же мощности. Давление в пласте подчиняется уравнению того же вида, что и теплопроводность. Аналогия неполна: в цеху тепло переносит ещё и движение воздуха, и сложение там приближённое; в пласте при выполнении условий выше оно точное.

Что меняется, если…

…дебит соседней скважины вдвое больше — её вклад в снижение давления в каждой точке вдвое больше;
…соседнюю скважину пустили позже — её вклад отсчитывают от её собственного пуска, и в каждый момент он меньше, чем был бы при более раннем пуске;
…соседняя скважина нагнетательная — её вклад отрицателен: давление в точке выше, чем было бы без неё;
…у соседней скважины большой скин — давление в нашей скважине не меняется: при том же дебите скин действует только у её ствола.

Когда складывать нельзя

Сложение точно только для линейной задачи. Оно становится приближённым, если свойства флюида или пласта заметно меняются с давлением (газ при больших перепадах, проницаемость, зависящая от давления), если у ствола выделяется газ из нефти и поток становится двухфазным, если к скину добавляются инерционные потери, растущие с дебитом (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация), или если скин меняется во время очистки скважины (Неидеальное влияние ствола, очистка скважины и меняющийся скин). Для газа часть нелинейности снимают, переходя к псевдодавлению. Насколько хорош приближённый ответ, проверяют численной моделью.

Несколько скважин: сложение в пространстве

Пусть в пласте работают несколько скважин. Каждая создаёт свою воронку депрессии, и воронки накладываются. Снижение давления в любой точке — в работающей скважине, в остановленной наблюдательной скважине или просто в точке пласта — равно сумме снижений, которые дала бы каждая скважина, работая одна.

Сложение в пространстве: давление в точке от нескольких скважин

p_i - p(x, y, t) = \sum_{j=1}^{N} \frac{q_jB\mu}{4\pi kh}\,E_1\!\left(\frac{\phi\mu c_t\,r_j^2}{4k\,(t - t_j)}\right)

где:

$p(x, y, t)$ давление в точке пласта в момент $t$ , Па
$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$N$ число скважин, —
$q_j$ дебит $j$ -й скважины в стандартных условиях; у нагнетательной скважины отрицателен, м³/с
$r_j$ расстояние от $j$ -й скважины до точки, м
$t_j$ момент пуска $j$ -й скважины; пока $t \le t_j$ , её слагаемое равно нулю, с
$E_1$ интегральная показательная функция, —
$B,\ \mu,\ k,\ h,\ \phi,\ c_t$ объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, пористость, общая сжимаемость, м³/м³, Па·с, м², м, —, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

неограниченный однородный пласт; каждая скважина работает с постоянным дебитом с момента своего пуска;
условия линейности из предыдущего раздела;
для работающей скважины в точке её собственного ствола ( $r = r_w$ ) функцию заменяют логарифмом и прибавляют её скин; скины других скважин в сумму не входят.

Вклад каждой скважины определяется её дебитом и тем, насколько далеко точка от её воронки депрессии: аргумент функции — квадрат отношения расстояния к радиусу исследования этой скважины. Близкие и давно работающие скважины дают большой вклад, далёкие и недавно пущенные — малый.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

p_i - p = 0{,}933\,\frac{B\mu}{kh}\sum_{j} q_j\,E_1\!\left(\frac{\phi\mu c_t\,r_j^2}{0{,}01421\,k\,(t - t_j)}\right)

$q_j$ — м³/сут в стандартных условиях, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ и $r_j$ — м, $c_t$ — 1/МПа, $t$ — ч, давление — МПа.

$0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853)$ , где $0{,}0853$ — постоянная закона Дарси в этих единицах; $0{,}01421 = 4\cdot3{,}553\cdot10^{-3}$ .

Промысловые единицы (oilfield)

p_i - p = 70{,}6\,\frac{B\mu}{kh}\sum_{j} q_j\,E_1\!\left(\frac{948\,\phi\mu c_t\,r_j^2}{k\,(t - t_j)}\right)

$q_j$ — STB/d (баррели нефти в стандартных условиях в сутки), $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ и $r_j$ — ft, $c_t$ — 1/psi, $t$ — ч, давление — psi.

$70{,}6 = 1/(4\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3})$ ; $948 = 1/(4\cdot2{,}637\cdot10^{-4})$ .

Для самой скважины, в которой считают давление, расстояние равно её радиусу $r_w$ . Там аргумент функции уже через секунды становится меньше 0,01, и функцию заменяют логарифмом (логарифмическое приближение): $E_1 \approx \ln t_D + 0{,}809$ . К нему прибавляют $2S$ — удвоенный скин этой скважины, потому что множитель перед скобкой — половина «единицы» $qB\mu/(2\pi kh)$ . Для соседних скважин, удалённых на сотни метров, аргумент мал только через месяцы и годы работы, поэтому для них нужна сама функция $E_1$ .

Что входит в сумму для забойного давления скважины

Источник: сама скважина
Расстояние: $r_w$ (логарифм)
Время отсчёта: от её пуска
Скин: её скин

Источник: соседняя добывающая
Расстояние: между скважинами ( $E_1$ )
Время отсчёта: от пуска соседней
Скин: не входит

Источник: соседняя нагнетательная
Расстояние: между скважинами ( $E_1$ )
Время отсчёта: от начала закачки
Скин: не входит; вклад со знаком минус

Источник: отражение за границей
Расстояние: до отражения ( $E_1$ )
Время отсчёта: как у реальной скважины
Скин: не входит

Источник	Расстояние	Время отсчёта	Скин
сама скважина	$r_w$ (логарифм)	от её пуска	её скин
соседняя добывающая	между скважинами ( $E_1$ )	от пуска соседней	не входит
соседняя нагнетательная	между скважинами ( $E_1$ )	от начала закачки	не входит; вклад со знаком минус
отражение за границей	до отражения ( $E_1$ )	как у реальной скважины	не входит

Если дебит какой-либо скважины менялся, её вклад сам раскладывается на ступени — следующий раздел.

Расчётный примерЗабойное давление скважины с учётом соседней

Исходные данные (условные)

Пласт (условные данные): $k$ = 40 мД; $h$ = 12 м; $\phi$ = 0,18; $\mu$ = 1,6 мПа·с; $B$ = 1,25; $c_t = 1{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $p_i$ = 25 МПа; давление насыщения 12 МПа
Скважина П-1: работает 480 ч (20 сут) с дебитом 80 м³/сут; скин 1
Скважина П-2: в 450 м от П-1; работает 192 ч (8 сут) с дебитом 60 м³/сут; $r_w$ = 0,108 м; $S$ = 2

Решение

Пьезопроводность: $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\,k/(\phi\mu c_t) = 308{,}4$ м²/ч. Множитель $0{,}933\,B\mu/(kh) = 0{,}003888$ МПа на 1 м³/сут дебита.
Собственный вклад П-2: $t_D = \eta t/r_w^2 = 5{,}08\cdot10^{6}$ ; $\ln t_D + 0{,}809 + 2S = 20{,}25$ ; снижение давления $60\cdot0{,}003888\cdot20{,}25 = 4{,}724$ МПа.
Вклад П-1 в забое П-2: $x = r^2/(4\eta t) = 450^2/(4\cdot308{,}4\cdot480) = 0{,}3420$ . Это далеко не меньше 0,01, нужна сама функция: $E_1(0{,}3420) = 0{,}8106$ . Снижение давления $80\cdot0{,}003888\cdot0{,}8106 = 0{,}252$ МПа; скин П-1 сюда не входит.
Забойное давление П-2: $p_{wf} = 25 - 4{,}724 - 0{,}252 = 20{,}02$ МПа. Соседняя скважина даёт 5,1 % снижения давления.
Если бы для П-1 взяли логарифм: $-\ln(1{,}781\cdot0{,}3420) = 0{,}4958$ вместо 0,8106 — вклад соседа занижен на 39 %.
Обратное влияние: в забое П-1 скважина П-2 даёт $x = 450^2/(4\cdot308{,}4\cdot192) = 0{,}855$ , $E_1 = 0{,}2816$ и снижение давления $60\cdot0{,}003888\cdot0{,}2816 = 0{,}066$ МПа.

Ответ: Забойное давление П-2 — около 20,02 МПа; из 4,98 МПа снижения давления 0,252 МПа даёт соседняя скважина П-1.

Что это значит. Вклад соседней скважины меньше собственного, но не пренебрежимо мал. Если при исследовании П-2 его не учесть, часть снижения давления припишут самой П-2, и проницаемость и скин по записи исказятся. Влияние скважин друг на друга несимметрично: П-2 работает меньше и с меньшим дебитом, поэтому в забое П-1 она даёт почти вчетверо меньшую добавку. Давление всюду выше давления насыщения, и однофазная модель применима. Данные примера условные.

На том же сложении построено гидропрослушивание: дебит меняют в одной скважине и записывают давление в соседней, остановленной. Отклик в ней — одно слагаемое суммы; по времени его прихода и величине находят проводимость и пьезопроводность пласта между скважинами (давление в соседней скважине). Если в это время работают и другие скважины, их вклады рассчитывают и вычитают из записи — тоже по суперпозиции.

Меняющийся дебит: сложение во времени

Теперь скважина одна, но её дебит меняется ступенями: $q_1$ с момента пуска, $q_2$ с момента $t_1$ , $q_3$ с момента $t_2$ и так далее. Приём тот же. Каждую смену дебита представляют как пуск в той же точке ещё одной скважины с дебитом, равным приросту: первая «скважина» продолжает работать с дебитом $q_1$ , вторая добавляет $q_2 - q_1$ , третья — $q_3 - q_2$ . После $t_2$ в сумме получается ровно $q_3$ . Снижение дебита — это добавка отрицательного дебита, то есть воображаемая нагнетательная скважина.

РасчётРасчётный пример урока: дебит скважины П-3 увеличивают дважды — 40, 70 и 100 м³/сут (вверху). Внизу — снижение забойного давления: вклады трёх ступеней (штриховые линии), каждая отсчитывается от своего момента, и их сумма (сплошная линия). Скин 3; влияние ствола не учитывается, поэтому в моменты смены режима давление меняется почти скачком.

Сложение во времени: забойное давление при ступенчатом изменении дебита

p_i - p_{wf}(t) = \frac{B\mu}{2\pi kh}\sum_{j=1}^{n}\left(q_j - q_{j-1}\right)\left[p_D\!\left(\frac{k\,(t - t_{j-1})}{\phi\mu c_t r_w^2}\right) + S\right]

где:

$p_{wf}(t)$ забойное давление в момент $t$ , Па
$p_i$ начальное пластовое давление (давление перед первым пуском), Па
$q_j$ дебит на $j$ -м режиме в стандартных условиях; $q_0 = 0$ , м³/с
$t_{j-1}$ момент начала $j$ -го режима; $t_0 = 0$ , с
$n$ номер текущего режима: $t_{n-1} < t$ , —
$p_D$ безразмерное давление на стенке скважины при постоянном дебите, без скина; в бесконечном пласте $\tfrac12(\ln t_D + 0{,}809)$ , —
$S$ скин-фактор, —
$B,\ \mu,\ k,\ h,\ \phi,\ c_t,\ r_w$ объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, пористость, общая сжимаемость, радиус скважины, м³/м³, Па·с, м², м, —, 1/Па, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

условия линейности; скин не зависит от дебита и не меняется во времени;
дебит на забое меняется мгновенно: влияние ствола не учитывается — его учитывают, подставив вместо $p_D + S$ решение со стволом и скином (Влияние ствола скважины);
в бесконечном пласте логарифмическая форма $p_D$ верна, если после каждой смены режима прошло больше нескольких секунд; в ограниченном пласте берут решение для ограниченного пласта.

Каждая смена режима посылает в пласт своё возмущение, и все они продолжают действовать одновременно. Слагаемые со скином складываются в $q_nS$ : сумма приростов дебита равна текущему дебиту. Поэтому перепад на скине «помнит» только текущий дебит, а вся предыдущая история сказывается через пласт.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы, логарифмическое приближение

p_i - p_{wf} = 0{,}933\,\frac{B\mu}{kh}\left[\sum_{j=1}^{n}\left(q_j - q_{j-1}\right)\left(\ln\frac{3{,}553\cdot10^{-3}\,k\,(t - t_{j-1})}{\phi\mu c_t r_w^2} + 0{,}809\right) + 2q_nS\right]

$q_j$ — м³/сут, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — м, $c_t$ — 1/МПа, $t$ — ч, давление — МПа; логарифм натуральный.

$0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853)$ ; $3{,}553\cdot10^{-3}$ переводит время в часах в безразмерное; $0{,}809 = \ln(4/\gamma)$ , $\gamma = 1{,}781$ .

Промысловые единицы (oilfield), логарифмическое приближение

p_i - p_{wf} = 70{,}6\,\frac{B\mu}{kh}\left[\sum_{j=1}^{n}\left(q_j - q_{j-1}\right)\left(\ln\frac{2{,}637\cdot10^{-4}\,k\,(t - t_{j-1})}{\phi\mu c_t r_w^2} + 0{,}809\right) + 2q_nS\right]

$q_j$ — STB/d, $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — ft, $c_t$ — 1/psi, $t$ — ч, давление — psi.

$70{,}6 = 1/(4\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3})$ ; $2{,}637\cdot10^{-4}$ — множитель безразмерного времени в этих единицах.

Расчётный примерЗабойное давление при трёх режимах

Исходные данные (условные)

Пласт: тот же, что в предыдущем примере
Скважина П-3: $r_w$ = 0,108 м; $S$ = 3
Режимы: 40 м³/сут от 0 до 24 ч; 70 м³/сут от 24 до 48 ч; 100 м³/сут после 48 ч

Решение

Безразмерное время за 1 ч: $\eta/r_w^2 = 26\,442$ ; «единица» давления на 1 м³/сут: $B\mu/(0{,}536\,kh) = 0{,}007777$ МПа.
Функция давления без скина $p_D = \tfrac12(\ln t_D + 0{,}809)$ : через 24 ч — 7,085, 48 ч — 7,431, 72 ч — 7,634, 96 ч — 7,778.
Конец первого режима, 24 ч: $\Delta p = 0{,}007777\cdot40\cdot(7{,}085 + 3) = 3{,}137$ МПа; $p_{wf}$ = 21,863 МПа.
Конец второго режима, 48 ч: первая ступень работает 48 ч, вторая — 24 ч. $\Delta p = 0{,}007777\,[40\,(7{,}431 + 3) + 30\,(7{,}085 + 3)] = 5{,}598$ МПа; $p_{wf}$ = 19,402 МПа.
96 ч: ступени работают 96, 72 и 48 ч. $\Delta p = 0{,}007777\,[40\cdot7{,}778 + 30\cdot7{,}634 + 30\cdot7{,}431 + 100\cdot3] = 8{,}268$ МПа; $p_{wf}$ = 16,732 МПа.
Скин даёт из этого $100\cdot0{,}007777\cdot3 = 2{,}33$ МПа — столько же, сколько при постоянном дебите 100 м³/сут.

Ответ: Забойное давление — 21,863 МПа в конце первого режима, 19,402 МПа в конце второго и 16,732 МПа через 96 ч после пуска.

Что это значит. Через 48 ч после последней смены режима история уже мало сказывается на давлении: при постоянном дебите 100 м³/сут с самого пуска давление было бы 16,62 МПа — всего на 0,11 МПа ниже. Функция давления растёт как логарифм времени, и вклады ступеней, которые работают 96, 72 и 48 ч, различаются мало. Перепад на скине сразу соответствует новому дебиту. Сразу после смены режима история важна гораздо сильнее — это показывает следующий пример. Давление остаётся выше давления насыщения 12 МПа. Данные примера условные.

Расчётный примерЕсли забыть историю дебита

Исходные данные (условные)

Скважина: в том же пласте, $S$ = 3, $r_w$ = 0,108 м
История: 744 ч (31 сут) с дебитом 100 м³/сут, затем дебит снижен до 30 м³/сут
Вопрос: снижение забойного давления через 24 ч после смены дебита

Решение

Суперпозиция: ступень 100 м³/сут работает 768 ч, ступень $-70$ м³/сут — 24 ч. $\Delta p = 0{,}007777\,[100\,(8{,}818 + 3) - 70\,(7{,}085 + 3)] = 3{,}70$ МПа.
Ошибка первая: считать, что скважина все 768 ч работала с дебитом 30 м³/сут, — $\Delta p = 2{,}76$ МПа.
Ошибка вторая: отсчитывать время от смены дебита, будто до неё пласт был нетронут, — $\Delta p = 2{,}35$ МПа.

Ответ: Снижение давления — 3,70 МПа; без учёта истории получилось бы 2,76 или 2,35 МПа, то есть на 25–36 % меньше.

Что это значит. Месяц работы с большим дебитом оставил в пласте глубокую воронку депрессии, и после снижения дебита она заполняется медленно: давление в скважине растёт, но остаётся намного ниже, чем у скважины, которая всё время работала с меньшим дебитом. Поэтому исследование, начатое после смены режима, нельзя обрабатывать как обычную КПД или КВД с отсчётом от этого момента — нужна вся история дебита. Данные примера условные.

Остановка — пуск нагнетательной скважины

Остановка — частный случай смены режима: дебит меняется с $q$ до нуля. В момент остановки в той же точке «пускают» скважину с дебитом $-q$ , то есть нагнетательную с тем же расходом. Для забойного давления это даёт формулу восстановления давления, на которой построены методы Хорнера и MDH (Анализ кривой восстановления давления). Если перед остановкой скважина работала на нескольких режимах, формула лишь удлиняется:

Восстановление давления после работы на нескольких режимах

p_i - p_{ws}(\Delta t) = \frac{B\mu}{2\pi kh}\left[\sum_{j=1}^{n}\left(q_j - q_{j-1}\right)p_D\big(t_n - t_{j-1} + \Delta t\big) - q_n\,p_D(\Delta t)\right]

где:

$p_{ws}(\Delta t)$ забойное давление через время $\Delta t$ после остановки, Па
$t_n$ момент остановки (конец $n$ -го, последнего режима), с
$q_j,\ t_{j-1}$ дебиты режимов и моменты их начала, $q_0 = 0$ , $t_0 = 0$ , м³/с, с
$q_n$ дебит перед остановкой, м³/с
$p_D(\cdot)$ функция давления скважины без скина; аргумент — время, переведённое в безразмерное, —
$p_i,\ B,\ \mu,\ k,\ h$ начальное давление, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, Па, м³/м³, Па·с, м², м

Единицы: СИ

Справедливо, если

условия сложения во времени; влияние ствола после остановки не учитывается.
при одном режиме ( $n = 1$ , $t_1 = t_p$ ) формула совпадает с формулой, из которой выводится уравнение Хорнера.

Слагаемые со скином сократились: сумма приростов дебита равна $q_n$ , а остановка вычитает ровно $q_nS$ . Поэтому давления восстановления скина не содержат, а скин находят по давлению в момент остановки. Для обработки такой записи применяют ту же функцию суперпозиции времени, что и в следующем разделе, или упрощают историю эквивалентным временем работы (Эквивалентное и синтетическое время работы).

Самое неожиданное следствие видно не в остановленной скважине, а в соседней. Возмущение от остановки — повышение давления — расходится по пласту так же постепенно, как расходилось снижение после пуска. Пока оно не дошло до соседней точки, давление там продолжает падать, хотя скважина уже стоит.

РасчётРасчётное снижение давления в наблюдательной скважине в 200 м от скважины П-4, которая 72 ч работала с дебитом 100 м³/сут, а затем остановлена. Верхняя штриховая кривая — вклад скважины, если бы она продолжала работать; нижняя — вклад воображаемой нагнетательной скважины с момента остановки (отрицательный); сплошная — их сумма. Отмечены момент остановки и наибольшее снижение давления — через 15 ч после неё.

Расчётный примерДавление в наблюдательной скважине после остановки соседней

Исходные данные (условные)

Возмущающая скважина П-4: 100 м³/сут в течение 72 ч, затем остановлена
Наблюдательная скважина: в 200 м от П-4, сама не работает
Пласт: тот же; $\eta$ = 308 м²/ч

Решение

Множитель: $0{,}933\,qB\mu/(kh) = 0{,}389$ МПа; $r^2/(4\eta) = 32{,}4$ ч, поэтому аргумент функции $x = 32{,}4/t$ при $t$ в часах.
В момент остановки, 72 ч: $x = 0{,}450$ , $E_1 = 0{,}625$ , снижение давления 0,243 МПа.
После остановки: $\Delta p(t) = 0{,}389\,[E_1(32{,}4/t) - E_1(32{,}4/(t - 72))]$ . Производная $E_1(a/t)$ по времени равна $\e^{-a/t}/t$ , поэтому давление перестаёт падать, когда $\e^{-a/t}/t = \e^{-a/(t - 72)}/(t - 72)$ . Подбором $t = 87{,}4$ ч — через 15 ч после остановки.
Наибольшее снижение: $0{,}389\cdot[E_1(0{,}371) - E_1(2{,}108)] = 0{,}277$ МПа — на 0,034 МПа больше, чем в момент остановки.
Дальше давление растёт: через 144 ч от пуска снижение 0,195 МПа, через 400 ч — 0,071 МПа.

Ответ: Давление в наблюдательной скважине падает ещё 15 ч после остановки соседней — до 0,277 МПа ниже начального — и только потом начинает расти.

Что это значит. Запаздывание тем больше, чем дальше наблюдательная скважина и чем ниже пьезопроводность пласта. На этом основано импульсное гидропрослушивание (pulse test): возмущающую скважину попеременно пускают и останавливают, а по запаздыванию и размаху отклика в соседней скважине находят пьезопроводность и проводимость пласта между ними. Тот же эффект важен при анализе КВД в разбуренной залежи: давление в остановленной скважине растёт, а возмущения от соседних скважин продолжают приходить (Исследования в разбуренной залежи: метод Слайдера). Данные примера условные.

Запись при нескольких режимах: функция суперпозиции времени

Формулу сложения во времени можно обратить: по записи забойного давления при нескольких режимах найти проводимость и скин. Это нужно, когда скважину нельзя или невыгодно останавливать, — например, при отработке новой скважины на нескольких штуцерах с глубинным манометром. Подставим в формулу логарифмическое приближение и разделим обе части на текущий дебит $q_n$ . Все логарифмы времени соберутся в одну величину — функцию суперпозиции времени (superposition time):

Функция суперпозиции времени и прямая многорежимной записи

\frac{p_i - p_{wf}(t)}{q_n} = m'\,X_n(t) + b',\qquad X_n(t) = \sum_{j=1}^{n}\frac{q_j - q_{j-1}}{q_n}\,\lg\left(t - t_{j-1}\right)

где:

$q_n$ дебит текущего, $n$ -го режима в стандартных условиях, м³/сут
$X_n(t)$ функция суперпозиции времени: взвешенная сумма десятичных логарифмов времён, прошедших после каждой смены режима, —
$q_j,\ t_{j-1}$ дебиты режимов и моменты их начала, $q_0 = 0$ , $t_0 = 0$ , м³/сут, ч
$m'$ наклон прямой — изменение $(p_i - p_{wf})/q_n$ при росте $X_n$ на единицу (на цикл), МПа/(м³/сут)
$b'$ значение $(p_i - p_{wf})/q_n$ на прямой при $X_n = 0$ , МПа/(м³/сут)
$p_i,\ p_{wf}$ давление перед первым пуском и забойное давление, МПа
$k,\ h,\ B,\ \mu,\ \phi,\ c_t,\ r_w,\ S$ в формах ниже: проницаемость, толщина, объёмный коэффициент, вязкость, пористость, общая сжимаемость, радиус скважины, скин, мД, м, м³/м³, мПа·с, —, 1/МПа, м, —

Единицы: метрические промысловые: давление — МПа, дебит — м³/сут, время — ч

Справедливо, если

бесконечный однородный пласт; от каждой смены режима прошло достаточно времени, чтобы закончилось влияние ствола;
дебиты и моменты смены режимов известны точно; до первого пуска давление в пласте выровнялось и равно $p_i$ ;
скин постоянен и не зависит от дебита.

При одном режиме $X_1 = \lg t$ , и формула превращается в полулогарифмическую прямую КПД, делённую на дебит (Анализ кривой падения давления). При нескольких режимах точки всех режимов ложатся на одну прямую: функция $X_n$ учитывает всю историю дебита. Наклон зависит только от проводимости, положение прямой — ещё и от скина.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

kh = 2{,}149\,\frac{B\mu}{m'},\qquad S = 1{,}151\left[\frac{b'}{m'} - \lg\frac{k}{\phi\mu c_t r_w^2} + 2{,}098\right]

$m'$ и $b'$ — МПа/(м³/сут), $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — м, $c_t$ — 1/МПа, время — ч; $kh$ — мД·м.

$2{,}149 = \ln 10/(4\pi\cdot0{,}0853)$ ; $1{,}151 = \ln 10/2$ ; $2{,}098 = -\lg(3{,}553\cdot10^{-3}) - 0{,}809/\ln 10$ — те же, что в анализе КПД.

Промысловые единицы (oilfield)

kh = 162{,}6\,\frac{B\mu}{m'},\qquad S = 1{,}151\left[\frac{b'}{m'} - \lg\frac{k}{\phi\mu c_t r_w^2} + 3{,}23\right]

$m'$ и $b'$ — psi/(STB/d), $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — ft, $c_t$ — 1/psi, время — ч; $kh$ — мД·ft.

$162{,}6 = 70{,}6\cdot\ln 10$ ; $3{,}23 = -\lg(2{,}637\cdot10^{-4}) - 0{,}809/\ln 10$ .

Ниже — условная запись скважины П-3, отработанной на трёх режимах из примера выше. Манометр у забоя записывал давление всё время; в таблице — выборка замеров и рассчитанные по ним координаты графика.

Забойное давление скважины П-3 при трёх режимах (условные данные)

$t$ , ч: 0,25
$q_n$ , м³/сут: 40
$p_{wf}$ , МПа: 22,606
$X_n$: −0,602
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 59,85

$t$ , ч: 1
$q_n$ , м³/сут: 40
$p_{wf}$ , МПа: 22,365
$X_n$: 0,000
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 65,88

$t$ , ч: 3
$q_n$ , м³/сут: 40
$p_{wf}$ , МПа: 22,189
$X_n$: 0,477
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 70,28

$t$ , ч: 8
$q_n$ , м³/сут: 40
$p_{wf}$ , МПа: 22,035
$X_n$: 0,903
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 74,13

$t$ , ч: 24
$q_n$ , м³/сут: 40
$p_{wf}$ , МПа: 21,863
$X_n$: 1,380
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 78,43

$t$ , ч: 24,25
$q_n$ , м³/сут: 70
$p_{wf}$ , МПа: 20,066
$X_n$: 0,533
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 70,49

$t$ , ч: 25
$q_n$ , м³/сут: 70
$p_{wf}$ , МПа: 19,881
$X_n$: 0,799
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 73,13

$t$ , ч: 27
$q_n$ , м³/сут: 70
$p_{wf}$ , МПа: 19,737
$X_n$: 1,022
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 75,19

$t$ , ч: 32
$q_n$ , м³/сут: 70
$p_{wf}$ , МПа: 19,594
$X_n$: 1,247
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 77,23

$t$ , ч: 48
$q_n$ , м³/сут: 70
$p_{wf}$ , МПа: 19,403
$X_n$: 1,552
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 79,96

$t$ , ч: 48,25
$q_n$ , м³/сут: 100
$p_{wf}$ , МПа: 17,605
$X_n$: 0,908
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 73,95

$t$ , ч: 49
$q_n$ , м³/сут: 100
$p_{wf}$ , МПа: 17,418
$X_n$: 1,095
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 75,82

$t$ , ч: 51
$q_n$ , м³/сут: 100
$p_{wf}$ , МПа: 17,271
$X_n$: 1,256
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 77,29

$t$ , ч: 56
$q_n$ , м³/сут: 100
$p_{wf}$ , МПа: 17,121
$X_n$: 1,422
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 78,79

$t$ , ч: 72
$q_n$ , м³/сут: 100
$p_{wf}$ , МПа: 16,906
$X_n$: 1,661
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 80,94

$t$ , ч: 96
$q_n$ , м³/сут: 100
$p_{wf}$ , МПа: 16,733
$X_n$: 1,854
$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут): 82,67

$t$ , ч	$q_n$ , м³/сут	$p_{wf}$ , МПа	$X_n$	$(p_i - p_{wf})/q_n$ , кПа/(м³/сут)
0,25	40	22,606	−0,602	59,85
1	40	22,365	0,000	65,88
3	40	22,189	0,477	70,28
8	40	22,035	0,903	74,13
24	40	21,863	1,380	78,43
24,25	70	20,066	0,533	70,49
25	70	19,881	0,799	73,13
27	70	19,737	1,022	75,19
32	70	19,594	1,247	77,23
48	70	19,403	1,552	79,96
48,25	100	17,605	0,908	73,95
49	100	17,418	1,095	75,82
51	100	17,271	1,256	77,29
56	100	17,121	1,422	78,79
72	100	16,906	1,661	80,94
96	100	16,733	1,854	82,67

Режимы: 40 м³/сут с 0 ч, 70 м³/сут с 24 ч, 100 м³/сут с 48 ч; $p_i$ = 25 МПа. Данные рассчитаны по модели однородного бесконечного пласта ( $k$ = 40 мД, $S$ = 3) со стволом ( $C$ = 0,02 м³/МПа) и округлены до 0,001 МПа.

РасчётГрафик многорежимной записи для данных таблицы: по горизонтали — функция суперпозиции времени, по вертикали — снижение давления, делённое на текущий дебит. Точки всех трёх режимов ложатся на одну прямую; немного ниже неё лежат только замеры через 15 мин после пуска и после смены режима, когда ещё сказывается влияние ствола. Прямая проведена в примере ниже.

Расчётный примерПроводимость и скин без остановки скважины

Исходные данные (условные)

Пласт и скважина: $h$ = 12 м; $\phi$ = 0,18; $\mu$ = 1,6 мПа·с; $B$ = 1,25; $c_t = 1{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $r_w$ = 0,108 м
Режимы: 40, 70 и 100 м³/сут с 0, 24 и 48 ч
Точки для прямой: 10 замеров, сделанных не раньше чем через 3 ч после смены режима

Решение

Функция суперпозиции, например, для 56 ч (третий режим): $X_3 = \tfrac{40}{100}\lg 56 + \tfrac{30}{100}\lg 32 + \tfrac{30}{100}\lg 8 = 1{,}422$ .
Прямая методом наименьших квадратов: наклон $m' = 9{,}000$ кПа/(м³/сут), то есть 0,00900 МПа/(м³/сут); отрезок при $X_n = 0$ : $b' = 65{,}99$ кПа/(м³/сут).
Проводимость: $kh = 2{,}149\cdot1{,}25\cdot1{,}6/0{,}00900 = 478$ мД·м; проницаемость $k = 478/12 = 39{,}8$ мД.
Скин: $b'/m' = 7{,}332$ ; $\lg\dfrac{k}{\phi\mu c_tr_w^2} = 6{,}869$ ; $S = 1{,}151\,(7{,}332 - 6{,}869 + 2{,}098) = 2{,}95$ .
Проверка на ошибку: если обработать третий режим как обычную КПД с отсчётом времени от 48 ч, наклон $p_{wf}$ по $\lg(t - 48)$ на тех же точках получится 0,444 МПа на цикл вместо $2{,}149\cdot100\cdot1{,}25\cdot1{,}6/(40\cdot12) = 0{,}895$ , а проницаемость — 81 мД.

Ответ: По записи при трёх режимах

kh \approx 478

мД·м,

k \approx 39{,}8

мД, скин около 2,95 — без остановки скважины.

Что это значит. Данные рассчитаны по модели с проницаемостью 40 мД и скином 3; анализ вернул проницаемость с погрешностью 0,5 % и скин с погрешностью 0,05. Это след влияния ствола: через 3 ч после смены режима оно ещё не совсем закончилось. По записи, рассчитанной без ствола, тот же расчёт возвращает 40 мД и скин 3 точно, а округление замеров до 0,001 МПа почти не сказывается. Замеры через 15 мин после смены режима лежат ниже прямой на 0,2–0,7 кПа/(м³/сут): приток из пласта ещё не догнал новый дебит. Обработка последнего режима без истории завысила бы проницаемость вдвое: давление в нём падает медленнее, потому что возмущения от первых двух режимов уже замедлились. Данные примера условные.

Что нужно для такого анализа

Главное — точные дебиты и моменты смены режимов: ошибка в дебите текущего режима переходит в проводимость, ошибка в моменте смены искажает функцию суперпозиции для первых часов нового режима. Если дебит меняется плавно, его историю разбивают на мелкие ступени или обрабатывают свёрткой (дополнительный раздел). Для восстановления давления после нескольких режимов строят $p_{ws}$ против функции суперпозиции, в которую остановка входит последней ступенью с дебитом $-q_n$ , а в знаменателе стоит дебит перед остановкой $q_n$ . При одном режиме эта функция равна десятичному логарифму отношения Хорнера.

Границы пласта и скважины-отражения

Суперпозиция помогает и тогда, когда возмущение доходит до границы. Пусть скважина работает на расстоянии $L$ от прямолинейного непроницаемого разлома. Готового решения для пласта с такой границей нет, но его можно составить из решений для бесконечного пласта. Поставим по другую сторону разлома, на таком же расстоянии, воображаемую скважину с той же историей дебита — скважину-отражение (image well; в отечественной литературе её называют также фиктивной скважиной, а приём — методом отображения). Две одинаковые скважины симметричны относительно линии разлома: в симметричных точках по обе стороны от неё давление одинаково. Значит, поперёк линии нет перепада давления, и через неё ничего не течёт — поток идёт только вдоль неё. Это и есть условие непроницаемой границы.

СхемаСхема: как отражения заменяют границы. Непроницаемая граница — отражение с тем же дебитом; граница постоянного давления — отражение с обратным знаком (нагнетательное); угол между двумя перпендикулярными разломами — три отражения; канал между параллельными разломами — бесконечный ряд отражений, который обрывают, когда вклад следующих становится пренебрежимо мал. Не в масштабе.

Скважина у непроницаемого разлома

p_i - p_{wf} = \frac{qB\mu}{4\pi kh}\left[\ln\frac{kt}{\phi\mu c_t r_w^2} + 0{,}809 + 2S + E_1\!\left(\frac{\phi\mu c_t\,(2L)^2}{4kt}\right)\right]

где:

$L$ расстояние от скважины до разлома; $2L$ — расстояние до отражения, м
$E_1$ интегральная показательная функция: вклад отражения, —
$p_{wf},\ p_i$ забойное и начальное давление, Па
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h$ дебит, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м
$\phi,\ c_t,\ r_w,\ S$ пористость, общая сжимаемость, радиус скважины, скин, —, 1/Па, м, —

Единицы: СИ; логарифм натуральный

Справедливо, если

разлом — прямая непроницаемая граница через всю толщину пласта; других границ возмущение не достигло;
пласт однороден; за разломом его продолжают мысленно, такой же;
скин прибавляют только для реальной скважины; у отражения та же история дебита — при меняющемся дебите обе раскладывают на одинаковые ступени.

Последнее слагаемое — вклад отражения. Пока возмущение не успело дойти до разлома и «вернуться», оно ничтожно. Потом оно растёт и в конце концов само становится логарифмом времени, так что наклон полулогарифмической прямой удваивается. Как по записи давления найти расстояние до разлома, разобрано в уроке Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

p_i - p_{wf} = 0{,}933\,\frac{qB\mu}{kh}\left[\ln\frac{3{,}553\cdot10^{-3}\,kt}{\phi\mu c_t r_w^2} + 0{,}809 + 2S + E_1\!\left(\frac{\phi\mu c_t\,(2L)^2}{0{,}01421\,kt}\right)\right]

$q$ — м³/сут, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ , $r_w$ и $L$ — м, $c_t$ — 1/МПа, $t$ — ч, давление — МПа.

$0{,}933 = 1/(4\pi\cdot0{,}0853)$ ; $3{,}553\cdot10^{-3}$ и $0{,}01421 = 4\cdot3{,}553\cdot10^{-3}$ — множители безразмерного времени.

РасчётРасчётное снижение давления вдоль прямой, проходящей через скважину П-5 перпендикулярно разлому, через 240 ч после пуска (скважина в начале координат, разлом в 150 м). Сплошная кривая — пласт с разломом: сумма вкладов скважины и отражения; у разлома она горизонтальна — поток через границу равен нулю. Пунктир за разломом — воображаемая половина картины с отражением в 300 м. Серая штриховая кривая — тот же пласт без разлома.

Расчётный примерКогда скважина «почувствует» разлом

Исходные данные (условные)

Скважина П-5: 80 м³/сут; $S$ = 1; $r_w$ = 0,108 м
Расстояние до разлома $L$: 150 м
Пласт: тот же; $\eta$ = 308 м²/ч

Решение

Радиус исследования $\sqrt{4\eta t}$ доходит до разлома за $L^2/(4\eta) = 18$ ч. Аргумент отражения в этот момент $x = (2L)^2/(4\eta t) = 4$ , $E_1(4) = 0{,}0038$ : добавка к снижению давления всего 0,0012 МПа.
До отражения, на расстояние $2L$ , радиус исследования доходит за $(2L)^2/(4\eta) = 73$ ч. Там $x = 1$ , $E_1(1) = 0{,}219$ , добавка 0,068 МПа — 1,3 % снижения давления в скважине.
Через 240 ч: $x = 0{,}304$ , $E_1 = 0{,}896$ , добавка 0,279 МПа; забойное давление 18,97 МПа вместо 19,25 МПа без разлома.
Через 720 ч: добавка 0,56 МПа — 8 % снижения давления.

Ответ: Разлом в 150 м становится заметен примерно через трое суток работы — когда радиус исследования приближается к удвоенному расстоянию до него (73 ч); к 30 суткам он даёт 8 % снижения давления в скважине.

Что это значит. Граница действует с запаздыванием: возмущение должно дойти до разлома и «вернуться» к скважине. Если разлом не учесть, ускоренное снижение давления в поздние часы можно принять за ухудшение пласта или растущий скин. Будь граница не непроницаемой, а с постоянным давлением, давление в скважине в конце концов стабилизировалось бы на 5,56 МПа ниже начального (формула ниже). Данные примера условные.

Если граница поддерживает постоянное давление — например, это близкий контур активной законтурной воды или ряд нагнетательных скважин, — отражение ставят с обратным знаком: нагнетательную скважину с тем же расходом. На линии границы вклады скважины и отражения равны по величине и противоположны по знаку, и давление там остаётся начальным. Со временем отбор целиком восполняется через границу, и давление в скважине перестаёт снижаться:

Скважина у границы постоянного давления: установившееся состояние

p_i - p_{wf} \to \frac{qB\mu}{2\pi kh}\left[\ln\frac{2L}{r_w} + S\right]\quad \text{при}\ t \gg \frac{\phi\mu c_t\,(2L)^2}{4k}

где:

$L$ расстояние от скважины до границы постоянного давления, м
$p_i$ начальное давление, оно же давление на границе, Па
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ r_w,\ S$ дебит, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, радиус скважины, скин, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, м, —
$\phi,\ c_t$ пористость и общая сжимаемость (в условии на время), —, 1/Па

Единицы: СИ; в метрических промысловых единицах множитель $2\pi$ заменяют постоянной 0,536

Справедливо, если

прямолинейная граница с постоянным давлением $p_i$ через всю толщину пласта; других границ нет;
время много больше того, за которое возмущение доходит до отражения.

Разность логарифма вклада скважины и логарифма вклада отражения перестаёт зависеть от времени. Получается формула установившегося притока, в которой роль радиуса контура питания играет удвоенное расстояние до границы (Установившийся радиальный приток).

Для других границ отражения расставляют по тем же правилам, что изображения в системе зеркал. Скважине в углу между двумя перпендикулярными разломами нужны три отражения; между двумя параллельными разломами — бесконечный ряд, который обрывают, когда вклад следующих отражений становится пренебрежимо мал; замкнутому прямоугольнику — двумерная решётка отражений. Признаки таких границ на записях давления разобраны в уроках Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений и Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки.

Где работает суперпозиция

Суперпозиция в методах, которые встречаются в других уроках

Задача: Восстановление давления (КВД)
Что складывают: пуск с дебитом $q$ и «пуск» с дебитом $-q$ в момент остановки
Где разобрано: Анализ кривой восстановления давления

Задача: Многорежимная запись
Что складывают: ступени дебита одной скважины
Где разобрано: этот урок

Задача: Гидропрослушивание
Что складывают: вклады нескольких скважин в точке наблюдения
Где разобрано: Гидродинамические исследования: цели и виды

Задача: Влияние ствола
Что складывают: плавно меняющийся приток из пласта
Где разобрано: Влияние ствола скважины

Задача: Разломы и непроницаемые границы
Что складывают: реальная скважина и её отражения
Где разобрано: Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений

Задача: Приток законтурной воды
Что складывают: ступени снижения давления на контуре залежи
Где разобрано: Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста

Задача: Упрощённая история дебита
Что складывают: эквивалентное время работы вместо ступеней
Где разобрано: Эквивалентное и синтетическое время работы

Задача	Что складывают	Где разобрано
Восстановление давления (КВД)	пуск с дебитом $q$ и «пуск» с дебитом $-q$ в момент остановки	Анализ кривой восстановления давления
Многорежимная запись	ступени дебита одной скважины	этот урок
Гидропрослушивание	вклады нескольких скважин в точке наблюдения	Гидродинамические исследования: цели и виды
Влияние ствола	плавно меняющийся приток из пласта	Влияние ствола скважины
Разломы и непроницаемые границы	реальная скважина и её отражения	Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений
Приток законтурной воды	ступени снижения давления на контуре залежи	Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста
Упрощённая история дебита	эквивалентное время работы вместо ступеней	Эквивалентное и синтетическое время работы

Во всех случаях складывают решения для постоянного дебита (или постоянного давления) — решения одного и того же линейного уравнения.

Ограниченный пласт

В ограниченном пласте суперпозиция по-прежнему точна, но слагаемыми должны быть решения для ограниченного пласта с учётом положения каждой скважины относительно границ. Складывать решения для бесконечного пласта можно, только пока возмущения от всех скважин не дошли до границ, или если границы заменены отражениями. Если продолжать складывать их и дальше, снижение давления в замкнутой области получится заниженным (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы).

Термины и обозначения

Принцип суперпозиции: сложение решений линейного уравнения: изменение давления от нескольких источников равно сумме изменений от каждого.
Сложение в пространстве: давление в точке от нескольких скважин; у каждой свои дебит, расстояние и время работы, скин — только у скважины, где считают давление.
Сложение во времени: смена дебита как пуск в той же точке скважины с дебитом, равным приросту $q_j - q_{j-1}$ ; остановка — пуск нагнетательной скважины.
Функция суперпозиции времени $X_n$: взвешенная сумма десятичных логарифмов времён, прошедших после каждой смены режима; по ней строят график многорежимной записи.
Скважина-отражение: воображаемая скважина за границей пласта, вклад которой воспроизводит условие на границе: с тем же дебитом — непроницаемая граница, с обратным знаком — постоянное давление.
Импульсное гидропрослушивание: гидропрослушивание с чередованием пусков и остановок возмущающей скважины; использует запаздывание и размах отклика в соседней скважине.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Скин соседней скважины увеличивает снижение давления в нашей скважине».

На самом деле

При заданном дебите скин меняет давление только в стволе своей скважины. В сумму для нашей скважины входит только её собственный скин.

Неверно

«После смены дебита давление зависит только от нового дебита и времени, прошедшего после смены».

На самом деле

Возмущения от всех предыдущих режимов продолжают действовать. В примере урока через сутки после снижения дебита со 100 до 30 м³/сут расчёт без истории занижает снижение давления на четверть и больше.

Неверно

«Остановили скважину — давление вокруг неё сразу начинает расти».

На самом деле

В её стволе — да, а в соседней точке пласта давление ещё некоторое время падает: в примере урока в 200 м от скважины — ещё 15 ч.

Неверно

«Для соседней скважины, как и для своей, можно взять логарифмическое приближение».

На самом деле

Только при $x = r^2/(4\eta t) < 0{,}01$ . Для скважин в 450 м друг от друга в пласте урока это наступило бы почти через два года; через 20 суток логарифм занижает вклад соседа больше чем на треть.

Неверно

«Разлом проявится в скважине, как только до него дойдёт радиус исследования».

На самом деле

Вклад отражения становится заметным, когда радиус исследования приближается к удвоенному расстоянию до разлома: возмущение должно дойти до границы и «вернуться».

Подробно: для продвинутых

Плавно меняющийся дебит: интеграл Дюамеля

Если дебит меняется непрерывно, его историю можно разбить на всё более мелкие ступени. В пределе сумма превращается в интеграл — его называют интегралом Дюамеля, или свёрткой (convolution):

Интеграл Дюамеля (свёртка) для меняющегося дебита

p_i - p_{wf}(t) = \int_0^t \Delta p_u(t - \tau)\,\dd q(\tau)

где:

$\Delta p_u(t)$ снижение забойного давления при пуске скважины с единичным постоянным дебитом (вместе со скином и, если нужно, со стволом), Па/(м³/с)
$\dd q(\tau)$ приращение дебита в момент $\tau$ , включая скачок от нуля в момент пуска, м³/с
$\tau$ момент, к которому относится приращение дебита, с

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

линейная задача; до пуска давление в пласте выровнено.
при ступенчатой истории интеграл превращается в сумму из раздела о сложении во времени.

Каждое малое приращение дебита запускает свой отклик, а интеграл их складывает. В изображениях Лапласа свёртка превращается в произведение — так в уроке о влиянии ствола получено решение со стволом и скином. Обратная задача — по записи давления и дебита восстановить отклик на единичный постоянный дебит, как если бы всё исследование было одной длинной КПД, — называется деконволюцией (deconvolution). Её решают численно с регуляризацией; она очень чувствительна к ошибкам в дебитах и в начальном давлении.

Где суперпозиция приближённа

Газ. Вязкость и сжимаемость газа зависят от давления, и уравнение для давления нелинейно. Переход к псевдодавлению делает его почти линейным по координатам; при больших изменениях давления нелинейным остаётся член с производной по времени, и вводят ещё псевдовремя. При умеренных перепадах суперпозиция в псевдодавлениях работает хорошо.
Двухфазный поток у ствола. Когда забойное давление ниже давления насыщения, у скважины выделяется газ, подвижность нефти падает и зависит от истории давления. Сложение тогда лишь грубое приближение; давление рассчитывают численной моделью (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна).
Инерционные потери. Добавочный перепад растёт как квадрат дебита, то есть скин равен $S + Dq$ . В сложении во времени слагаемое со скином перестаёт быть линейным по дебиту; на практике скин каждого режима берут при его дебите (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация).
Проницаемость, зависящая от давления. В трещиноватых и слабо сцементированных породах проницаемость падает при снижении давления, и «единица» перепада меняется со временем (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна).
Меняющиеся скин и ствол. Очистка скважины, перераспределение газа и жидкости в стволе нарушают условие постоянных $S$ и $C$ (Неидеальное влияние ствола, очистка скважины и меняющийся скин).
Неоднородное начальное давление. Если до исследования пласт уже был возмущён работой скважин, к сумме добавляют продолжение этого прежнего возмущения — тренд давления. Без него восстановление или падение давления будет искажено.

Связь с другими темами

Решение для линейного источника и функция давления — решение, которое складывают; функция $E_1$ и логарифмическое приближение.
Уравнение пьезопроводности — линейность уравнения — основание суперпозиции, и условия, при которых она выполняется.
Анализ кривой восстановления давления — восстановление давления как сумма пуска и воображаемой нагнетательной скважины; уравнение Хорнера.
Анализ кривой падения давления — полулогарифмическая прямая одного режима — частный случай графика с функцией суперпозиции.
Влияние ствола скважины — плавно меняющийся приток из пласта после смены режима и его учёт свёрткой.
Гидродинамические исследования: цели и виды — гидропрослушивание и многорежимные записи среди видов исследований.
Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений — анализ записи у разлома методом отражений: удвоение наклона и расстояние до границы.
Эквивалентное и синтетическое время работы — как историю дебита упрощают эквивалентным временем работы.
Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста — суперпозиция ступеней давления на контуре залежи для расчёта притока законтурной воды.

Проверьте себя

1
Скважина А работает с дебитом 50 м³/сут, скважина Б в 300 м от неё — с дебитом 80 м³/сут. Скин А равен 5, скин Б — 0. Какие скины входят в расчёт забойного давления скважины А?
1. А.Только скин А
2. Б.Скины обеих скважин
3. В.Только скин Б
4. Г.Никакие: скин в суперпозицию не входит
Показать ответ
Правильный ответ: А. Только скин А
Скин — перепад давления в тонкой зоне у ствола своей скважины. При заданном дебите скважины Б её скин меняет давление только в её стволе, а в точке скважины А вклад Б определяется пластом, то есть функцией $E_1$ . Собственный скин А входит обязательно.
2
Скважина 10 ч работала с дебитом 60 м³/сут, затем дебит увеличили до 90 м³/сут. Найдите снижение забойного давления через 30 ч после пуска, если «единица» давления $B\mu/(0{,}536\,kh)$ = 0,005 МПа на 1 м³/сут, безразмерное время за 1 ч равно 20 000, скин 2.
Показать ответ
Две ступени: 60 м³/сут работает 30 ч, прирост 30 м³/сут — 20 ч. $p_D(30\ \text{ч}) = \tfrac12(\ln 600\,000 + 0{,}809) = 7{,}06$ ; $p_D(20\ \text{ч}) = \tfrac12(\ln 400\,000 + 0{,}809) = 6{,}85$ . $\Delta p = 0{,}005\,[60\,(7{,}06 + 2) + 30\,(6{,}85 + 2)] = 0{,}005\,(543{,}6 + 265{,}5) \approx 4{,}05$ МПа. Скин дал $0{,}005\cdot90\cdot2 = 0{,}9$ МПа — по текущему дебиту.
3
Скважину остановили после месяца работы. Что происходит в первые часы после остановки с давлением в наблюдательной скважине в 300 м от неё?
1. А.Не меняется до прихода возмущения, затем падает
2. Б.Сразу начинает расти
3. В.Продолжает падать, затем начинает расти
4. Г.Мгновенно возвращается к начальному
Показать ответ
Правильный ответ: В. Продолжает падать, затем начинает расти
Остановка — пуск воображаемой нагнетательной скважины. Её вклад в далёкой точке сначала ничтожен, а вклад работавшей скважины продолжает расти. Давление в наблюдательной скважине падает, пока скорость роста второго вклада не сравняется со скоростью первого, и только потом начинает восстанавливаться.
4
Скважина находится в 100 м от непроницаемого разлома. Во сколько раз позже проявится разлом, если он окажется в 200 м?
1. А.Вчетверо позже
2. Б.Разлом в 200 м не проявится никогда
3. В.Вдвое позже
4. Г.Так же
Показать ответ
Правильный ответ: А. Вчетверо позже
Вклад отражения зависит от аргумента $x = \phi\mu c_t(2L)^2/(4kt)$ , то есть от отношения $L^2/t$ . Одинаковое влияние при вдвое большем $L$ наступает при вчетверо большем времени.
5
Почему в формуле сложения во времени скин входит только как $q_nS$ , хотя он записан в каждом слагаемом?
Показать ответ
Каждая ступень несёт перепад на скине, пропорциональный своему приросту дебита: $(q_j - q_{j-1})S$ . Сумма приростов равна текущему дебиту: $(q_1 - 0) + (q_2 - q_1) + \dots + (q_n - q_{n-1}) = q_n$ . Перепад на скине определяется текущим притоком через призабойную зону, а не историей; при остановке ( $q = 0$ ) он исчезает, поэтому давления восстановления скина не содержат.
6
Можно ли рассчитать по суперпозиции забойное давление газовой скважины, давление в которой снижается вдвое, складывая решения для давления?
1. А.Нет, для газа суперпозиция запрещена
2. Б.Да, если скин равен нулю
3. В.Только приближённо: уравнение для газа нелинейно, складывают решения в псевдодавлениях
4. Г.Да, суперпозиция верна всегда
Показать ответ
Правильный ответ: В. Только приближённо: уравнение для газа нелинейно, складывают решения в псевдодавлениях
Вязкость и сжимаемость газа меняются с давлением, и уравнение для давления нелинейно. Переход к псевдодавлению делает его почти линейным, и сложение в псевдодавлениях работает хорошо при умеренных изменениях давления; при больших добавляют псевдовремя или считают численно.

Обновлено: 5 октября 2026 г.