Решения для скважины: скин, радиус исследования и единицы

Кратко о главном

Безразмерное решение одно на все скважины: давление — в «единицах» $qB\mu/(2\pi kh)$ , время — в $r_w^2/\eta$ (доли секунды), расстояния — в радиусах скважины. Скважину и пласт дальше описывают несколько групп: $S$ , $C_D$ , $r_{eD}$ , $L_D$ , $t_{DA}$ .
Безразмерные величины не зависят от системы единиц: $t_D$ и $C_D$ , посчитанные в метрических и промысловых единицах, совпадают — так проверяют постоянные и переводы.
Линейный источник пропускает через стенку скважины только долю $\e^{-1/(4t_D)}$ дебита: при $t_D = 1$ это 78 %, при $t_D = 25$ — 99 %. Уже через секунды после пуска он заменяет точное решение, а первые минуты записи на деле определяет влияние ствола.
Скин можно прибавить к решению или заменить приведённым радиусом $r_w' = r_w\e^{-S}$ . На поздних временах это одно и то же; в начале отрицательный скин правильно описывает только «увеличенная» скважина, и полулогарифмическая прямая начинается, когда $t_D\e^{2S}$ доходит примерно до 100.
Радиус исследования $r_i = \sqrt{4\eta t}$ — условная граница: там скорость снижения давления как раз проходит свой максимум (быстрее всего давление падает у самой скважины). Изнутри $r_i$ пришло 85 % отобранного объёма, изнутри $1{,}33\,r_i$ — 95 %, а точный манометр в соседней скважине замечает отклик примерно вдвое дальше.
Радиус дренирования $r_d = 0{,}75\,r_i$ — радиус установившегося притока с тем же перепадом. Пока он растёт, коэффициент продуктивности падает; после выхода на псевдоустановившийся режим продуктивность считают по среднему пластовому давлению.

Ключевые соотношения

t_D = \dfrac{kt}{\phi\mu c_t r_w^2},\quad p_D = \dfrac{2\pi kh\,\Delta p}{qB\mu},\quad C_D = \dfrac{C}{2\pi\phi c_t h r_w^2}

безразмерные время, давление и коэффициент влияния ствола (СИ)

q(r, t) = q\,\e^{-r^2/(4\eta t)}

расход через окружность радиуса $r$ в решении для линейного источника

r_i = \sqrt{4\eta t},\qquad r_d = \sqrt{4\eta t/\gamma} = 0{,}75\,r_i

радиус исследования и радиус дренирования; $\eta = k/(\phi\mu c_t)$ , $\gamma = 1{,}781$

\dfrac{V(r)}{V} = 1 - \e^{-X} + X\,E_1(X),\quad X = \dfrac{r^2}{4\eta t}

доля отобранного объёма, отданная пластом внутри радиуса $r$

J_t = \dfrac{2\pi kh}{B\mu\,[\ln(r_d/r_w) + S]}

неустановившийся коэффициент продуктивности (СИ; в метрических промысловых единицах $2\pi$ заменяют на 0,536)

Где чаще всего ошибаются

Подставлять промысловые постоянные (2,637·10⁻⁴, 141,2, 0,8936) в метрические данные или наоборот; проверка — $t_D$ и $C_D$ в двух системах должны совпасть.
Прибавлять большой отрицательный скин к решению для скважины конечного радиуса в первые мгновения: получается «рост» давления при отборе.
Считать радиус исследования резкой границей, за которой давление ещё не изменилось.
Путать радиус дренирования с радиусом исследования или с радиусом области дренирования $r_e$ .
Принимать продуктивность по короткому притоку за установившуюся: она завышена, пока растёт радиус дренирования.

После урока вы сможете

перечислить безразмерные группы гидродинамических исследований и переводить безразмерные решения в метрические и промысловые единицы по проверенным постоянным;
объяснить, чем скважина конечного радиуса отличается от линейного источника, и по числовому критерию решать, когда линейного источника достаточно — на стенке скважины, вдали от неё и при отрицательном скине;
учитывать скин в безразмерном решении слагаемым и приведённым радиусом и оценивать, когда зона изменённой проницаемости конечного размера ведёт себя как тонкий скин;
рассчитать радиус исследования по нескольким определениям и объяснить, почему они дают разные числа;
отличать радиус дренирования от радиуса исследования и оценивать неустановившийся коэффициент продуктивности.

Безразмерные группы скважины

Задача о скважине в однородном пласте содержит десяток размерных величин: проницаемость, толщину, пористость, вязкость, сжимаемость, радиус скважины, дебит, объёмный коэффициент, объём ствола, расстояния до границ. Безразмерные переменные сводят их к нескольким группам (безразмерная форма уравнения). Расстояния измеряют в радиусах скважины, давление — в «единицах» перепада радиального потока, время — в единицах $r_w^2/\eta$ : за такое время возмущение проходит расстояние порядка радиуса скважины, и для обычной скважины это доли секунды.

Каждая новая особенность скважины или пласта добавляет к задаче одну группу: скин — число $S$ , объём ствола — $C_D$ , граница — безразмерное расстояние до неё. Решение становится функцией $t_D$ и этих параметров, $p_D = f(t_D;\,S,\,C_D,\,r_{eD},\dots)$ . Две скважины с одинаковыми группами имеют одну и ту же кривую $p_D(t_D)$ , только в разных масштабах давления и времени. На этом построены эталонные кривые (Эталонные кривые).

Безразмерные группы гидродинамических исследований

Группа: $r_D = r/r_w$
Что сравнивает: расстояние с радиусом скважины
Типичные значения: 1 на стенке; $10^3$ – $10^5$ у границ

Группа: $t_D = \eta t/r_w^2$
Что сравнивает: время с временем прохождения возмущением радиуса скважины
Типичные значения: от десятков до миллионов за час

Группа: $p_D = \Delta p\cdot 2\pi kh/(qB\mu)$
Что сравнивает: перепад давления с «единицей» радиального притока
Типичные значения: 5–20 при радиальном притоке

Группа: $S$
Что сравнивает: дополнительный перепад у ствола в тех же «единицах»
Типичные значения: от −5 до +20 и больше

Группа: $C_D = C/(2\pi\phi c_thr_w^2)$
Что сравнивает: ёмкость ствола с ёмкостью пласта вокруг ствола
Типичные значения: от единиц до $10^4$ и больше

Группа: $r_{eD} = r_e/r_w$ , $L_D = L/r_w$
Что сравнивает: размер области и расстояния до границ
Типичные значения: $10^3$ – $10^5$

Группа: $t_{DA} = \eta t/A$
Что сравнивает: время с временем охвата площади $A$
Типичные значения: 0,1 — начало псевдоустановившегося режима в круге

Группа	Что сравнивает	Типичные значения
$r_D = r/r_w$	расстояние с радиусом скважины	1 на стенке; $10^3$ – $10^5$ у границ
$t_D = \eta t/r_w^2$	время с временем прохождения возмущением радиуса скважины	от десятков до миллионов за час
$p_D = \Delta p\cdot 2\pi kh/(qB\mu)$	перепад давления с «единицей» радиального притока	5–20 при радиальном притоке
$S$	дополнительный перепад у ствола в тех же «единицах»	от −5 до +20 и больше
$C_D = C/(2\pi\phi c_thr_w^2)$	ёмкость ствола с ёмкостью пласта вокруг ствола	от единиц до $10^4$ и больше
$r_{eD} = r_e/r_w$ , $L_D = L/r_w$	размер области и расстояния до границ	$10^3$ – $10^5$
$t_{DA} = \eta t/A$	время с временем охвата площади $A$	0,1 — начало псевдоустановившегося режима в круге

$\eta = k/(\phi\mu c_t)$ — пьезопроводность, $\Delta p = p_i - p$ . Для эталонных кривых группы комбинируют: $t_D/C_D$ и $C_D\e^{2S}$ (Эталонные кривые), $t_D/L_D^2 = \eta t/L^2$ для границ (Полуограниченные системы: теория и анализ исследований).

Что меняется, если…

…проницаемость вдвое выше — та же безразмерная кривая проходится вдвое быстрее, а все перепады давления вдвое меньше;
…радиус скважины вдвое меньше — $t_D$ за тот же час вчетверо больше, $p_D$ на радиальном притоке больше на $\tfrac12\ln 4 = 0{,}69$ , а $C_D$ при том же стволе вчетверо больше: радиус скважины входит в давление только через логарифм;
…вязкость вдвое выше — и масштаб времени, и «единица» давления вдвое больше.

Постоянные в трёх системах единиц

Переход от безразмерного решения к размерным величинам — две операции: безразмерное время умножают на характерное время $\phi\mu c_tr_w^2/k$ , безразмерное давление — на «единицу» перепада. В метрических промысловых и промысловых единицах в эти масштабы входят постоянные — переводные множители, собранные в одно число (постоянные формул).

Переход от безразмерного решения к перепаду давления и времени

\Delta p = \frac{qB\mu}{2\pi kh}\,p_D,\qquad t = \frac{\phi\mu c_t r_w^2}{k}\,t_D

где:

$\Delta p$ снижение давления $p_i - p$ в рассматриваемой точке, Па
$t$ время после пуска скважины, с
$p_D,\ t_D$ безразмерные давление и время, прочитанные по решению или эталонной кривой, —
$q,\ B$ дебит в стандартных условиях и объёмный коэффициент; $qB$ — дебит в пластовых условиях, м³/с, м³/м³
$k,\ h,\ \mu$ проницаемость, толщина пласта, вязкость, м², м, Па·с
$\phi,\ c_t,\ r_w$ пористость, общая сжимаемость, радиус скважины, —, 1/Па, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

условия уравнения пьезопроводности: однофазный слабосжимаемый флюид, постоянные свойства пласта и флюида (Уравнение пьезопроводности);
$\Delta p$ положителен при отборе; для нагнетательной скважины знак обратный.

Обе формулы — определения $p_D$ и $t_D$ , разрешённые относительно размерных величин. Всё, что отличает одну скважину от другой при одинаковых безразмерных параметрах, сидит в двух масштабах: «единице» давления $qB\mu/(2\pi kh)$ и характерном времени $\phi\mu c_tr_w^2/k$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

\Delta p = 1{,}866\,\frac{qB\mu}{kh}\,p_D,\qquad t = \frac{\phi\mu c_t r_w^2}{3{,}553\cdot10^{-3}\,k}\,t_D

$q$ — м³/сут в стандартных условиях, $\mu$ — мПа·с, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — м, $c_t$ — 1/МПа; $\Delta p$ — МПа, $t$ — ч.

$1{,}866 = 1/(2\pi\cdot0{,}0853)$ , где $0{,}0853$ — постоянная закона Дарси в этих единицах; $3{,}553\cdot10^{-3} = 0{,}9869\cdot10^{-15}\cdot3600/(10^{-3}\cdot10^{-6})$ .

Промысловые единицы (oilfield)

\Delta p = 141{,}2\,\frac{qB\mu}{kh}\,p_D,\qquad t = \frac{\phi\mu c_t r_w^2}{2{,}637\cdot10^{-4}\,k}\,t_D

$q$ — STB/d, $\mu$ — сП, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — ft, $c_t$ — 1/psi; $\Delta p$ — psi, $t$ — ч.

$141{,}2 = 1/(2\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3})$ , где $1{,}127\cdot10^{-3}$ — постоянная закона Дарси в промысловых единицах; $2{,}637\cdot10^{-4}$ — тот же перевод миллидарси, сантипуаз, psi, футов и часов.

Постоянная

a

безразмерных групп и формул исследований в трёх системах единиц

Величина: $t_D$
Формула: $a\,kt/(\phi\mu c_tr_w^2)$
СИ: 1
Метрические: $3{,}553\cdot10^{-3}$
Промысловые: $2{,}637\cdot10^{-4}$

Величина: $p_D$
Формула: $a\,kh\,\Delta p/(qB\mu)$
СИ: $2\pi$
Метрические: $1/1{,}866$
Промысловые: $1/141{,}2$

Величина: $C_D$
Формула: $a\,C/(\phi c_thr_w^2)$
СИ: $1/(2\pi)$
Метрические: $1/(2\pi)$
Промысловые: $0{,}8936$

Величина: $t_D/C_D$
Формула: $a\,kh\,t/(\mu C)$
СИ: $2\pi$
Метрические: $1/44{,}8$
Промысловые: $2{,}951\cdot10^{-4}$

Величина: $r_i$
Формула: $a\sqrt{kt/(\phi\mu c_t)}$
СИ: 2
Метрические: $0{,}119$
Промысловые: $0{,}0325$

Величина: $r_d$
Формула: $a\sqrt{kt/(\phi\mu c_t)}$
СИ: $1{,}499$
Метрические: $0{,}0893$
Промысловые: $0{,}0243$

Величина: $m$
Формула: $a\,qB\mu/(kh)$
СИ: $0{,}1832$
Метрические: $2{,}149$
Промысловые: $162{,}6$

Величина: $m_e$
Формула: $a\,qB\mu/(kh)$
СИ: $1/(4\pi)$
Метрические: $0{,}933$
Промысловые: $70{,}6$

Величина	Формула	СИ	Метрические	Промысловые
$t_D$	$a\,kt/(\phi\mu c_tr_w^2)$	1	$3{,}553\cdot10^{-3}$	$2{,}637\cdot10^{-4}$
$p_D$	$a\,kh\,\Delta p/(qB\mu)$	$2\pi$	$1/1{,}866$	$1/141{,}2$
$C_D$	$a\,C/(\phi c_thr_w^2)$	$1/(2\pi)$	$1/(2\pi)$	$0{,}8936$
$t_D/C_D$	$a\,kh\,t/(\mu C)$	$2\pi$	$1/44{,}8$	$2{,}951\cdot10^{-4}$
$r_i$	$a\sqrt{kt/(\phi\mu c_t)}$	2	$0{,}119$	$0{,}0325$
$r_d$	$a\sqrt{kt/(\phi\mu c_t)}$	$1{,}499$	$0{,}0893$	$0{,}0243$
$m$	$a\,qB\mu/(kh)$	$0{,}1832$	$2{,}149$	$162{,}6$
$m_e$	$a\,qB\mu/(kh)$	$1/(4\pi)$	$0{,}933$	$70{,}6$

Метрические промысловые: $k$ — мД, $h$ и $r$ — м, $t$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, давление — МПа, $q$ — м³/сут в стандартных условиях, $C$ — м³/МПа. Промысловые: $k$ — мД, $h$ и $r$ — ft, $t$ — ч, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, давление — psi, $q$ — STB/d, $C$ — bbl/psi. $m$ — наклон полулогарифмической прямой на десятичный цикл (Анализ кривой падения давления), $m_e$ — уровень полки производной (Диагностика по производной давления); $r_d$ — радиус дренирования (раздел ниже). $t_{DA}$ имеет ту же постоянную, что $t_D$ , с площадью $A$ вместо $r_w^2$ (в промысловых единицах — в квадратных футах, 1 акр = 43 560 ft²). Все постоянные пересчитаны из точных определений: 1 ft = 0,3048 м, 1 bbl = 0,158987 м³, 1 psi = 6894,757 Па, 1 мД = $0{,}9869233\cdot10^{-15}$ м², 1 сП = 1 мПа·с.

Бары, сутки и архивные единицы

Многие программы и старые отчёты дают давление в барах, атмосферах или кгс/см², а время — в сутках. Тогда постоянные пересчитывают: при давлении в барах $p_D = kh\,\Delta p/(18{,}66\,qB\mu)$ , при времени в сутках постоянная $t_D$ в 24 раза больше — $0{,}0853$ . Перевод архивных единиц — в уроке о системах единиц. Проверка всегда одна: безразмерная величина, посчитанная двумя путями, должна совпасть.

Расчётный примерОтчёт в промысловых единицах: проверка безразмерных групп

Исходные данные (условные)

Скважина и пласт (из отчёта подрядчика): $q$ = 503 STB/d; $B$ = 1,25; $\mu$ = 1,1 сП; $k$ = 40 мД; $h$ = 32,8 ft; $\phi$ = 0,19
Сжимаемость, радиус, ствол, скин: $c_t = 1{,}10\cdot10^{-5}$ psi⁻¹; $r_w$ = 0,328 ft; $C = 5{,}2\cdot10^{-4}$ bbl/psi; $S$ = 2
Переводы: 1 ft = 0,3048 м; 1/psi = 145,04 1/МПа; 1 bbl/psi = 23,06 м³/МПа

Решение

Промысловые единицы, безразмерное время за час: $\phi\mu c_tr_w^2 = 0{,}19\cdot1{,}1\cdot1{,}10\cdot10^{-5}\cdot0{,}328^2 = 2{,}4734\cdot10^{-7}$ ; $t_D = 2{,}637\cdot10^{-4}\cdot40/(2{,}4734\cdot10^{-7}) = 42\,646$ .
Безразмерный коэффициент влияния ствола: $C_D = 0{,}8936\cdot5{,}2\cdot10^{-4}/(0{,}19\cdot1{,}10\cdot10^{-5}\cdot32{,}8\cdot0{,}328^2) = 63{,}0$ .
Те же данные в метрических единицах: $c_t = 1{,}5954\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹, $r_w = 0{,}09997$ м, $h = 9{,}997$ м, $C = 5{,}2\cdot10^{-4}\cdot23{,}06 = 0{,}01199$ м³/МПа.
Метрический расчёт: $t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot40/(0{,}19\cdot1{,}1\cdot1{,}5954\cdot10^{-3}\cdot0{,}09997^2) = 42\,648$ за час; $C_D = 0{,}01199/(2\pi\cdot0{,}19\cdot1{,}5954\cdot10^{-3}\cdot9{,}997\cdot0{,}09997^2) = 63{,}0$ .
Конец влияния ствола по правилу $t_D \approx (60 + 3{,}5S)\,C_D$ (Влияние ствола скважины): $t_D = 67\cdot63{,}0 = 4221$ , то есть $4221/42\,648 = 0{,}0990$ ч — около 5,9 мин после пуска.

Ответ: В обеих системах за час

t_D \approx 42\,648

C_D \approx 63{,}0

; полулогарифмическая прямая может начаться примерно через 5,9 мин после пуска.

Что это значит. Совпадение безразмерных групп до третьей-четвёртой значащей цифры — проверка: потерянный или лишний переводной множитель дал бы расхождение в разы. Остаток — округление данных отчёта (0,328 ft — это 0,09997 м). Перевод bbl/psi в м³/МПа (множитель 23,06) — частый источник ошибок, когда коэффициент влияния ствола переносят из зарубежных отчётов. Данные примера условные.

Скважина конечного радиуса и линейный источник

Скважину в решениях представляют двумя способами. Линейный источник — линия нулевого радиуса, через которую отбирается дебит; давление выражается через интегральную показательную функцию (Решение для линейного источника и функция давления). Скважина конечного радиуса (finite wellbore radius, цилиндрический источник) — цилиндр радиусом $r_w$ , на стенке которого задан тот же дебит; решение записывается через функции Бесселя. Сравнение двух решений на стенке скважины приведено в уроке о линейном источнике; здесь — почему они расходятся и где именно.

Причину видно по расходу. В решении для линейного источника через окружность радиуса $r$ проходит не весь дебит скважины, а лишь его часть:

Расход через окружность в решении для линейного источника

\frac{q(r, t)}{q} = \exp\!\left(-\frac{r^2}{4\eta t}\right) = \exp\!\left(-\frac{r_D^2}{4t_D}\right)

где:

$q(r, t)$ расход флюида через цилиндрическую поверхность радиуса $r$ в момент $t$ , приведённый к стандартным условиям, м³/с
$q$ дебит скважины в стандартных условиях, м³/с
$\eta$ пьезопроводность $k/(\phi\mu c_t)$ , м²/с
$r_D,\ t_D$ безразмерные расстояние и время, —

Единицы: безразмерная (отношение расходов)

Справедливо, если

решение для линейного источника: неограниченный однородный пласт, постоянный дебит с момента пуска (вывод — в дополнительном разделе).

Остаток дебита отдают флюид и порода, расширяющиеся внутри окружности. Для окружности радиуса скважины это значит, что модель линейного источника берёт часть дебита «из ствола» — из породы, которой там нет. При $t_D = 1$ через стенку проходит лишь 78 % дебита, при $t_D = 5$ — 95 %, при $t_D = 25$ — 99 %, при $t_D = 100$ — 99,75 %. Отсюда условие $t_D > 25$ : дальше разница постановок меньше процента дебита.

Точное решение для скважины конечного радиуса в изображениях Лапласа записывается для любой точки пласта:

Скважина конечного радиуса: давление в пласте в изображениях Лапласа

\bar p_D(r_D, s) = \frac{K_0\!\left(r_D\sqrt{s}\right)}{s^{3/2}\,K_1\!\left(\sqrt{s}\right)},\qquad r_D \ge 1

где:

$\bar p_D(r_D, s)$ изображение Лапласа безразмерного снижения давления на расстоянии $r_D$ , —
$s$ переменная преобразования Лапласа по $t_D$ , —
$K_0,\ K_1$ модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядка, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

неограниченный пласт, постоянный дебит на стенке $r_D = 1$ , без скина и без влияния ствола; к функции времени переходят численно (алгоритм Стефеста).

При $r_D = 1$ это решение на стенке из урока о линейном источнике. Для линейного источника в тех же переменных $\bar p_D = K_0(r_D\sqrt s)/s$ : множитель $1/(\sqrt s\,K_1(\sqrt s))$ стремится к единице при малых $s$ , то есть на больших временах, — тогда решения совпадают.

РасчётРасчётное безразмерное снижение давления у скважины при

t_D

= 1, 10 и 100: скважина конечного радиуса (сплошные линии) и линейный источник (штриховые). Шкала расстояний логарифмическая, от стенки скважины (

r_D = 1

) до 30 её радиусов. Разница велика только в первые мгновения и у самой скважины.

Безразмерное давление у скважины: конечный радиус и линейный источник

$r_D$: 1
$t_D = 10$ : точно: 1,651
линия: 1,568
$t_D = 100$ : точно: 2,723
линия: 2,708

$r_D$: 2
$t_D = 10$ : точно: 0,975
линия: 0,911
$t_D = 100$ : точно: 2,032
линия: 2,019

$r_D$: 5
$t_D = 10$ : точно: 0,244
линия: 0,216
$t_D = 100$ : точно: 1,138
линия: 1,128

$r_D$: 10
$t_D = 10$ : точно: 0,016
линия: 0,012
$t_D = 100$ : точно: 0,529
линия: 0,522

$r_D$	$t_D = 10$ : точно	линия	$t_D = 100$ : точно	линия
1	1,651	1,568	2,723	2,708
2	0,975	0,911	2,032	2,019
5	0,244	0,216	1,138	1,128
10	0,016	0,012	0,529	0,522

«Точно» — решение для скважины конечного радиуса, «линия» — для линейного источника, $\tfrac12E_1(r_D^2/(4t_D))$ . При $t_D = 100$ разница во всей ближней зоне около 0,01 — от 0,015 у стенки до 0,007 в десяти радиусах — и убывает медленнее, чем $1/t_D$ : на стенке от $t_D$ = 10 до 100 — почти в шесть раз.

Почему на записи давления этого не видно

Для скважины урока ( $r_w$ = 0,1 м, $\eta$ = 425 м²/ч) $t_D = 100$ наступает через 8,5 с после пуска, а влияние ствола даже при небольшом коэффициенте $C$ = 0,012 м³/МПа длится около шести минут (пример выше). Поэтому различие двух решений на записи скрыто стволом. Существенно оно там, где «скважина» велика: при сильно отрицательном скине (следующий раздел), для залежи, которая служит «скважиной» для водоносного горизонта (Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста), и для давления в самой призабойной зоне в первые секунды.

Скин в безразмерном решении: слагаемое или приведённый радиус

Скин — дополнительный перепад давления в тонкой зоне у ствола (определение скина). В безразмерном решении его учитывают двумя способами: прибавляют к давлению на стенке или заменяют скважину другой, без скина, но с приведённым радиусом $r_w' = r_w\e^{-S}$ (приведённый радиус).

Два способа учесть скин в решении для скважины

p_{wD}(t_D) = p_D(t_D) + S\qquad\text{или}\qquad p_{wD}(t_D) = p_D\!\left(t_D\,\e^{2S}\right)

где:

$p_{wD}$ безразмерное снижение забойного давления скважины со скином, —
$p_D(t_D)$ решение для скважины конечного радиуса без скина, на стенке, —
$S$ скин-фактор, —
$\e^{2S}$ отношение $(r_w/r_w')^2$ : безразмерное время скважины с приведённым радиусом равно $t_D\e^{2S}$ , —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

первая форма — скин бесконечно тонкой зоны, мгновенно следующий за дебитом;
вторая — скважина без скина радиусом $r_w' = r_w\e^{-S}$ в том же пласте; давление по-прежнему отнесено к $k$ и $h$ пласта;
влияние ствола не учтено; его добавляют к любой из форм (Влияние ствола скважины).

При логарифмическом приближении формы совпадают: $\tfrac12[\ln(t_D\e^{2S}) + 0{,}809] = \tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) + S$ . Различаются они в начале. Прибавленный отрицательный скин даёт при малых $t_D$ отрицательное $p_{wD}$ — «рост» давления при отборе, а скважина с увеличенным радиусом остаётся физичной: её давление выходит на ту же прямую, когда $t_D\e^{2S}$ становится больше 25–100.

Отсюда практическое следствие для обработанных скважин. Полулогарифмическая прямая начинается не при $t_D \approx 100$ , а при $t_D \approx 100\,\e^{-2S}$ : при $S = -2$ — около 5500, при $S = -3$ — около 40 000. Для повреждённой скважины ( $S > 0$ ) приведённый радиус крошечный, и условие выполняется мгновенно, но у настоящей зоны повреждения есть размер и свой переходный процесс (дополнительный раздел).

Расчётный примерКогда у обработанной скважины начинается полулогарифмическая прямая

Исходные данные (условные)

Скважина урока после кислотной обработки: $S$ = −2; $r_w$ = 0,1 м; $\eta$ = 425 м²/ч; за час $t_D$ = 42 500
Ствол: $C$ = 0,012 м³/МПа, $C_D$ = 62,8

Решение

Приведённый радиус: $r_w' = 0{,}1\cdot\e^{2} = 0{,}739$ м.
Условие $t_D\e^{2S} > 100$ — то же, что $r_i > 20\,r_w'$ : $t > 100\,r_w'^2/\eta = 100\cdot0{,}739^2/425 = 0{,}1285$ ч, около 7,7 мин.
Влияние ствола по правилу $(60 + 3{,}5S)\,C_D$ : $t_D = 53\cdot62{,}8 = 3328$ , то есть 4,7 мин. Это ориентир для $C_D\e^{2S} > 10^3$ (Влияние ствола скважины), а здесь $C_D\e^{2S} = 1{,}15$ : ствол мал по сравнению с ёмкостью пласта вокруг «увеличенной» скважины, и правило применено за пределами своей области.
Проверка решением для скважины радиусом $r_w'$ : через 2 мин ( $t_D$ = 1417, $t_D\e^{-4}$ = 25,9) $p_{wD} = 2{,}0793$ , а полулогарифмическая формула $\tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) + S$ даёт 2,0326 — меньше на 2,2 %; через 10 мин — 2,8500 и 2,8373, разница 0,45 %.
С обоими эффектами — та же скважина радиусом $r_w'$ со стволом, $C_D\e^{2S} = 1{,}15$ , — $p_{wD}$ меньше полулогарифмического значения на 0,9 % через 4,7 мин и на 0,56 % через 7,7 мин. Ствол и размер скважины здесь действуют в разные стороны и в одном масштабе, но вывод тот же: раньше 7,7 мин прямая не точнее полупроцента.

Ответ: Полулогарифмическая прямая у этой скважины начинается примерно через 7,7 мин — позже, чем закончится влияние ствола по обычному правилу (около 4,7 мин).

Что это значит. У обработанной скважины начало прямой может задавать не ствол, а «размер» скважины: чем отрицательнее скин, тем дольше давление помнит ближнюю зону. Приведённый радиус — идеализация (обработанная зона как бы бесконечно проницаема); зона конечной проницаемости выходит на ту же прямую за сопоставимое время (дополнительный раздел). У скважины с трещиной гидроразрыва ранний приток вообще не радиальный — он линейный к трещине, и приведённый радиус описывает только поздний радиальный приток (Приток к скважине после гидроразрыва). Данные примера условные.

Радиус исследования: как далеко «видит» исследование

Резкого фронта у возмущения нет: по уравнению пьезопроводности давление начинает меняться сразу во всём пласте, только вдали — исчезающе мало. Поэтому вопрос «как далеко видит исследование» имеет несколько ответов, и каждый отвечает на свой вопрос. Принятый в практике радиус исследования $r_i = \sqrt{4\eta t}$ (планирование исследований) имеет простой физический смысл: в этой точке скорость снижения давления в данный момент проходит свой максимум — до этого она росла, дальше будет падать.

Скорость снижения давления в точке пласта

\frac{\partial\,\Delta p}{\partial t} = \frac{qB\mu}{4\pi kh}\cdot\frac1t\,\exp\!\left(-\frac{r^2}{4\eta t}\right)

где:

$\Delta p$ снижение давления $p_i - p$ на расстоянии $r$ от скважины, Па
$t$ время после пуска, с
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h$ дебит в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м
$\eta$ пьезопроводность $k/(\phi\mu c_t)$ , м²/с

Единицы: СИ

Справедливо, если

решение для линейного источника, неограниченный пласт, постоянный дебит.

В точке на расстоянии $r$ скорость снижения давления сначала растёт, потом падает. Её максимум — ровно при $t = r^2/(4\eta)$ , то есть когда $r = r_i$ . Значит, $r_i$ — место, где углубление воронки депрессии как раз сейчас идёт с наибольшей для этой точки скоростью: движущийся «фронт» возмущения (в целом же быстрее всего давление падает у самой скважины). Снижение давления там уже равно $0{,}11$ «единицы» $qB\mu/(2\pi kh)$ ; потом оно продолжается, только медленнее.

Второй вопрос — откуда пришёл отобранный флюид. Его отдают расширяющиеся флюид и порода по всей воронке депрессии; доля, отданная внутри радиуса $r$ , выражается через ту же функцию $E_1$ :

Третий вопрос — где отклик заметит манометр. Ответ зависит от дебита и разрешения манометра: снижение давления $\delta p$ достигается на расстоянии, где $m_eE_1(X) = \delta p$ , $m_e = qB\mu/(4\pi kh)$ — уровень полки производной (Диагностика по производной давления). Как это используют при гидропрослушивании, показано в уроке о линейном источнике. Четвёртый вопрос — на каком расстоянии граница уже меняет давление в самой скважине. Его задают по производной давления: на сколько процентов она поднимается над полкой (ступень производной у разлома).

Радиусы, отвечающие на разные вопросы, в долях радиуса исследования

Признак: Скорость снижения давления проходит свой максимум
Радиус: $r_i$
Замечание: снижение там — $0{,}11$ «единицы» $qB\mu/(2\pi kh)$

Признак: Установившийся приток с тем же перепадом
Радиус: $0{,}75\,r_i$
Замечание: радиус дренирования (раздел ниже)

Признак: Отдана половина отобранного объёма
Радиус: $0{,}52\,r_i$
Замечание: почти весь перепад давления — внутри этого круга

Признак: Отдано 85 % объёма
Радиус: $r_i$
Замечание: доля внутри $r_i$ — 85,2 %

Признак: Отдано 95 % объёма
Радиус: $1{,}33\,r_i$
Замечание: 99 % — внутри $1{,}75\,r_i$

Признак: Снижение давления — 1 % от $m_e$
Радиус: $1{,}79\,r_i$
Замечание: манометр в соседней скважине; зависит от дебита

Признак: Разлом поднимает производную на 1 %
Радиус: $1{,}07\,r_i$
Замечание: на 10 % — разлом не дальше $0{,}76\,r_i$

Признак: Замкнутый круг поднимает производную на 1 %
Радиус: $1{,}32\,r_i$
Замечание: радиус круга; на 10 % — $1{,}06\,r_i$

Признак	Радиус	Замечание
Скорость снижения давления проходит свой максимум	$r_i$	снижение там — $0{,}11$ «единицы» $qB\mu/(2\pi kh)$
Установившийся приток с тем же перепадом	$0{,}75\,r_i$	радиус дренирования (раздел ниже)
Отдана половина отобранного объёма	$0{,}52\,r_i$	почти весь перепад давления — внутри этого круга
Отдано 85 % объёма	$r_i$	доля внутри $r_i$ — 85,2 %
Отдано 95 % объёма	$1{,}33\,r_i$	99 % — внутри $1{,}75\,r_i$
Снижение давления — 1 % от $m_e$	$1{,}79\,r_i$	манометр в соседней скважине; зависит от дебита
Разлом поднимает производную на 1 %	$1{,}07\,r_i$	на 10 % — разлом не дальше $0{,}76\,r_i$
Замкнутый круг поднимает производную на 1 %	$1{,}32\,r_i$	радиус круга; на 10 % — $1{,}06\,r_i$

Расчёт по решению для линейного источника; для замкнутого круга со скважиной в центре — по точному решению. Соотношения не зависят от свойств пласта: всё выражено через $r_i = \sqrt{4\eta t}$ . Граница начинает сказываться на производной примерно тогда, когда до неё доходит радиус исследования: влияние должно дойти до границы и вернуться, и разлом на расстоянии $r_i$ поднимает производную лишь примерно на 2 %.

РасчётРасчёт для скважины урока через сутки после пуска (

r_i

= 202 м). Оранжевая кривая — доля перепада давления: снижение давления на расстоянии

r

, отнесённое к снижению на стенке скважины (без скина). Бирюзовая — доля отобранного объёма, отданная пластом внутри радиуса

r

. Точки — радиус дренирования, радиус исследования и радиус, внутри которого отдано 95 % объёма.

Расчётный примерКак далеко «видит» суточный приток: четыре ответа

Исходные данные (условные)

Скважина урока: $q$ = 80 м³/сут; $B$ = 1,25; $\mu$ = 1,1 мПа·с; $k$ = 40 мД; $h$ = 10 м; $\phi$ = 0,19; $c_t = 1{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $\eta$ = 425 м²/ч
Время после пуска: 24 ч; границ поблизости нет — пласт ведёт себя как неограниченный
Манометр в соседней скважине: уверенно различает 0,5 кПа (0,0005 МПа)

Решение

Радиус исследования: $r_i = \sqrt{4\cdot425\cdot24} = 202$ м; радиус дренирования $0{,}749\cdot202 = 151$ м.
Откуда флюид: половина отобранного объёма отдана внутри $0{,}517\,r_i = 104$ м, 95 % — внутри $1{,}335\,r_i = 270$ м.
Соседняя скважина: $m_e = 0{,}933\cdot80\cdot1{,}25\cdot1{,}1/(40\cdot10) = 0{,}2566$ МПа; нужно $E_1(X) = 0{,}0005/0{,}2566 = 0{,}00195$ , откуда $X = 4{,}55$ и $r = \sqrt{X}\,r_i = 431$ м.
Граница: разлом поднимет производную к концу суток на 10 %, если он ближе $0{,}759\,r_i = 153$ м, и хотя бы на 1 %, если ближе $1{,}073\,r_i = 217$ м.

Ответ: За сутки исследование «дотянулось» от 151 до 431 м — смотря что считать: радиус дренирования 151 м, радиус исследования 202 м, 95 % объёма — изнутри 270 м, отклик в соседней скважине — до 431 м, разлом заметен на производной до 217 м.

Что это значит. Для продуктивности и формул притока нужен радиус дренирования, для вопроса «из какого объёма шла нефть» — радиусы долей объёма, для гидропрослушивания — радиус, где отклик превышает разрешение манометра, а для поиска границ — критерий по производной. Последний немного шире $r_i$ на уровне 1 % и уже на уровне 10 %: уверенно распознать разлом по записи можно, когда он заметно ближе радиуса исследования. Данные примера условные.

Радиус дренирования и неустановившаяся продуктивность

Вблизи скважины, куда возмущение пришло давно, профиль давления почти установившийся: расход через окружности почти не меняется с радиусом, и давление растёт с расстоянием по логарифму, как в формуле Дюпюи (квазиустановившийся профиль). Продолжим эту логарифмическую прямую до начального давления $p_i$ . Радиус, на котором она его достигнет, называют радиусом дренирования (radius of drainage): формула Дюпюи с $r_e = r_d$ даёт то же забойное давление, что и неустановившийся приток. Это не радиус области дренирования $r_e$ , который в отечественной практике тоже иногда называют радиусом дренирования или радиусом контура питания: $r_e$ задан границами, а $r_d$ растёт со временем.

Радиус дренирования при неустановившемся притоке

r_d = \sqrt{\frac{4\eta t}{\gamma}} = 0{,}749\,r_i,\qquad p_i - p_{wf} = \frac{qB\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r_d}{r_w} + S\right)

где:

$r_d$ радиус дренирования в момент $t$ , м
$\gamma$ $\e^{0{,}5772} = 1{,}781$ , —
$r_i$ радиус исследования $\sqrt{4\eta t}$ , м
$p_i,\ p_{wf}$ начальное пластовое и забойное давление, Па
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ S$ дебит в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, скин, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, —

Единицы: СИ; логарифм натуральный

Справедливо, если

постоянный дебит, неограниченный однородный пласт;
$t_D > 25$ : на стенке скважины годится логарифмическое приближение.

Вторая формула — та же функция давления $\tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) + S$ , переписанная как формула Дюпюи. Радиус дренирования растёт как корень из времени и всегда составляет три четверти радиуса исследования. За ним давление уже отличается от логарифмической прямой: та «упирается» в $p_i$ при $r_d$ , а настоящий профиль плавно подходит к $p_i$ дальше.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

r_d = 0{,}0893\sqrt{\frac{k\,t}{\phi\mu c_t}}

$r_d$ — м, $k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа.

$0{,}0893 = \sqrt{4\cdot3{,}553\cdot10^{-3}/1{,}781}$ .

Промысловые единицы (oilfield)

r_d = 0{,}0243\sqrt{\frac{k\,t}{\phi\mu c_t}}

$r_d$ — ft, $k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi.

$0{,}0243 = \sqrt{4\cdot2{,}637\cdot10^{-4}/1{,}781}$ .

Отношение дебита к депрессии при неустановившемся притоке называют неустановившимся коэффициентом продуктивности (transient productivity index). Это та же формула продуктивности, что для установившегося притока, только с растущим радиусом дренирования:

Неустановившийся коэффициент продуктивности

J_t = \frac{q}{p_i - p_{wf}(t)} = \frac{2\pi kh}{B\mu\left[\ln(r_d/r_w) + S\right]}

где:

$J_t$ коэффициент продуктивности в момент $t$ , по начальному давлению, м³/(с·Па)
$p_{wf}(t)$ забойное давление в момент $t$ при постоянном дебите, Па
$r_d$ радиус дренирования в момент $t$ , м
$k,\ h,\ B,\ \mu,\ r_w,\ S$ проницаемость, толщина, объёмный коэффициент, вязкость, радиус скважины, скин, м², м, м³/м³, Па·с, м, —

Единицы: СИ

Справедливо, если

неустановившийся приток: возмущение не дошло до границ, депрессию отсчитывают от начального давления $p_i$ — среднее давление в бесконечном пласте не определено;
если держат постоянной депрессию, дебит падает по той же формуле, с небольшой поправкой (дебит при постоянном давлении).

Пока воронка расширяется, тот же дебит требует всё большего перепада, и продуктивность медленно падает — на каждый десятикратный интервал времени логарифм в знаменателе растёт на 1,151. В замкнутой области падение продуктивности, отнесённой к $p_i$ , не останавливается: область истощается. Продуктивность, отнесённая к среднему давлению, выходит на постоянное значение псевдоустановившегося притока, где вместо $\ln(r_d/r_w)$ стоит $\ln(r_e/r_w) - \tfrac34$ (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы): радиус дренирования как бы останавливается на $r_e\e^{-3/4} = 0{,}47\,r_e$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

J_t = \frac{0{,}536\,kh}{B\mu\left[\ln(r_d/r_w) + S\right]}

$J_t$ — м³/(сут·МПа) в стандартных условиях, $k$ — мД, $h$ — м, $\mu$ — мПа·с.

$0{,}536 = 2\pi\cdot0{,}0853$ .

Промысловые единицы (oilfield)

J_t = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,kh}{B\mu\left[\ln(r_d/r_w) + S\right]}

$J_t$ — STB/(d·psi), $k$ — мД, $h$ — ft, $\mu$ — сП.

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3} = 1/141{,}2$ .

РасчётРасчётный коэффициент продуктивности скважины урока (

S

= 2) в центре замкнутой круговой области радиусом 600 м: отнесённый к начальному давлению (оранжевая линия) и к среднему давлению области (бирюзовая); штриховая горизонталь — псевдоустановившееся значение. Шкала времени логарифмическая. Продуктивность по начальному давлению до 100 ч совпадает с продуктивностью в неограниченном пласте; по среднему давлению она с первых часов немного выше (через сутки — на 0,6 %, к 100 ч — на 2,4 %): среднее давление замкнутой области снижается с самого пуска.

Расчётный примерПродуктивность через час, через сутки и после стабилизации

Исходные данные (условные)

Скважина урока: $kh$ = 400 мД·м; $B\mu$ = 1,375 мПа·с; $S$ = 2; $r_w$ = 0,1 м; $\phi\mu c_t = 3{,}344\cdot10^{-4}$ МПа⁻¹·мПа·с
Область дренирования: замкнутый круг радиусом 600 м, скважина в центре

Решение

Множитель: $0{,}536\,kh/(B\mu) = 0{,}536\cdot400/1{,}375 = 155{,}9$ м³/(сут·МПа).
Через 1 ч: $r_d = 0{,}0893\sqrt{40/(3{,}344\cdot10^{-4})} = 30{,}9$ м; $\ln(r_d/r_w) = 5{,}733$ ; $J_t = 155{,}9/(5{,}733 + 2) = 20{,}16$ м³/(сут·МПа).
Через 24 ч: $r_d = 151{,}3$ м; $\ln(r_d/r_w) = 7{,}322$ ; $J_t = 155{,}9/(7{,}322 + 2) = 16{,}72$ .
После выхода на псевдоустановившийся режим: $\ln(600/0{,}1) - 0{,}75 = 7{,}950$ ; $J = 155{,}9/(7{,}950 + 2) = 15{,}67$ .
Неустановившаяся продуктивность сравняется с установившейся, когда $r_d = 600\,\e^{-0{,}75} = 283{,}4$ м, то есть через $t = 1{,}781\cdot283{,}4^2/(4\cdot425) = 84$ ч.

Ответ: Через час продуктивность 20,16, через сутки 16,72, после стабилизации 15,67 м³/(сут·МПа): короткий приток завышает её на 29 % и 6,7 %.

Что это значит. Пласт и скин за это время не изменились — изменился только радиус дренирования. Поэтому продуктивность, измеренную за первые часы испытания, нельзя переносить на эксплуатацию: её пересчитывают по проницаемости и скину на размер будущей области дренирования. В замкнутой области продуктивность по начальному давлению после 84 ч продолжает падать, а по среднему давлению останавливается на 15,67 (рисунок выше). Данные примера условные.

Когда достаточно линейного источника

Сводка для практики. Решение для линейного источника и его логарифмическое приближение — рабочие инструменты почти всех исследований; заменять их приходится в немногих, но важных случаях.

Где решение для линейного источника годится и где нет

Случай: Забойное давление при $t_D > 25$ (или 100)
Линейный источник: погрешность около 2 % (0,5 %)
Что делать иначе: —

Случай: Первые секунды после пуска
Линейный источник: занижает перепад
Что делать иначе: решение для конечного радиуса; на записи всё скрыто стволом

Случай: Отрицательный скин
Линейный источник: годится при $t_D\e^{2S} > 100$
Что делать иначе: приведённый радиус или двухзонная модель

Случай: Соседняя скважина, отражения у границ
Линейный источник: годится: $r \gg r_w$
Что делать иначе: учесть влияние ствола возмущающей скважины

Случай: Трещина гидроразрыва, горизонтальный ствол
Линейный источник: не годится в начале
Что делать иначе: Приток к скважине после гидроразрыва, Горизонтальные скважины

Случай: Залежь как «скважина» в водоносном горизонте
Линейный источник: не годится
Что делать иначе: решения с конечным радиусом (Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста)

Случай: Возмущение дошло до границ
Линейный источник: только вместе с отражениями
Что делать иначе: Принцип суперпозиции, Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы

Случай	Линейный источник	Что делать иначе
Забойное давление при $t_D > 25$ (или 100)	погрешность около 2 % (0,5 %)	—
Первые секунды после пуска	занижает перепад	решение для конечного радиуса; на записи всё скрыто стволом
Отрицательный скин	годится при $t_D\e^{2S} > 100$	приведённый радиус или двухзонная модель
Соседняя скважина, отражения у границ	годится: $r \gg r_w$	учесть влияние ствола возмущающей скважины
Трещина гидроразрыва, горизонтальный ствол	не годится в начале	Приток к скважине после гидроразрыва, Горизонтальные скважины
Залежь как «скважина» в водоносном горизонте	не годится	решения с конечным радиусом (Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста)
Возмущение дошло до границ	только вместе с отражениями	Принцип суперпозиции, Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы

Критерии — по сравнению с точными решениями, рассчитанными в этом уроке и в уроке Решение для линейного источника и функция давления.

Термины и обозначения

Безразмерное решение: решение уравнения пьезопроводности в переменных $r_D$ , $t_D$ , $p_D$ и безразмерных параметрах скважины и пласта; одно на все скважины с теми же параметрами.
Скважина конечного радиуса: постановка, в которой дебит задан на стенке цилиндра радиусом $r_w$ ; в отличие от линейного источника, не берёт флюид «изнутри ствола».
Приведённый радиус $r_w'$: $r_w\e^{-S}$ — радиус скважины без скина с тем же забойным давлением; позволяет описать отрицательный скин в начале притока.
Радиус исследования $r_i$: $\sqrt{4\eta t}$ — расстояние, на котором скорость снижения давления в данный момент проходит свой максимум; условная граница охваченной исследованием зоны.
Радиус дренирования $r_d$: $\sqrt{4\eta t/\gamma} = 0{,}75\,r_i$ — радиус установившегося притока с тем же забойным давлением.
Неустановившийся коэффициент продуктивности $J_t$: отношение дебита к разности начального и забойного давлений при неустановившемся притоке; падает, пока растёт радиус дренирования.
Двухзонная модель: пласт с зоной другой проницаемости вокруг скважины; при большом размере зоны заменяет скин и даёт на производной два уровня.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Радиус исследования — граница, за которой давление ещё не изменилось».

На самом деле

Давление меняется во всём пласте сразу после пуска; $r_i$ — место, где скорость его снижения как раз проходит максимум. В примере урока за сутки $r_i$ = 202 м, а точный манометр в соседней скважине заметил бы отклик и в 430 м.

Неверно

«Отрицательный скин можно просто вычесть из решения с самого пуска».

На самом деле

Только на поздних временах. В начале прибавленный отрицательный скин даёт «рост» давления при отборе; правильно — скважина с приведённым радиусом, и полулогарифмическая прямая у неё начинается при $t_D\e^{2S} \approx 100$ — для $S = -2$ через несколько минут.

Неверно

«Продуктивность по первым часам работы — та, с которой скважина будет работать».

На самом деле

Пока растёт радиус дренирования, продуктивность падает. В примере урока через час она на 29 % выше установившейся, через сутки — на 7 %.

Неверно

«Если перевести давление в psi, можно пользоваться постоянной 141,2».

На самом деле

Только если в промысловые единицы переведены все величины: дебит, толщина, вязкость, сжимаемость, радиус. Проверка — безразмерные $t_D$ и $C_D$ , посчитанные в обеих системах, должны совпасть.

Неверно

«Скин всегда действует мгновенно».

На самом деле

Зона с проницаемостью в 3–5 раз ниже пластовой ведёт себя как тонкий скин, когда радиус исследования примерно в 10 раз больше её радиуса: полуметровая зона — через минуту, пятнадцатиметровая — только через полсуток (дополнительный раздел).

Подробно: для продвинутых

Выводы: расход через окружность, доля объёма и максимум скорости

Расход через окружность. По решению для линейного источника $\Delta p = \tfrac{qB\mu}{4\pi kh}E_1(x)$ , $x = r^2/(4\eta t)$ . Поскольку $\dd E_1/\dd x = -\e^{-x}/x$ и $\dd x/\dd r = 2x/r$ , градиент давления $\partial p/\partial r = -\partial\Delta p/\partial r = \tfrac{qB\mu}{2\pi kh}\cdot\tfrac{\e^{-x}}{r}$ . По закону Дарси через цилиндр радиуса $r$ проходит $\tfrac{2\pi rhk}{\mu}\,\tfrac{\partial p}{\partial r} = qB\,\e^{-x}$ в пластовых условиях — это $q\,\e^{-x}$ в стандартных.

Доля объёма. Упругий запас, отданный внутри радиуса $R$ , равен $\phi c_th\int_0^R 2\pi r\,\Delta p\,\dd r$ . Подстановка $u = r^2/(4\eta t)$ даёт $2\pi r\,\dd r = 4\pi\eta t\,\dd u$ , и интеграл превращается в $qBt\int_0^X E_1(u)\,\dd u$ . Интегрирование по частям: $\int_0^X E_1(u)\,\dd u = XE_1(X) + 1 - \e^{-X}$ . При $X \to \infty$ это 1 — весь отобранный объём $qBt$ : материальный баланс выполняется.

Максимум скорости снижения давления. Производная $\Delta p$ по времени равна $\tfrac{qB\mu}{4\pi kh}\cdot\tfrac{\e^{-a/t}}{t}$ , $a = r^2/(4\eta)$ . Её производная по $t$ пропорциональна $\e^{-a/t}(a/t - 1)/t^2$ и обращается в ноль при $t = a$ — то есть когда $r^2 = 4\eta t$ .

Зона скина конечного размера: когда скин «мгновенный»

Скин как бесконечно тонкая зона предполагает, что изменённая проницаемость сосредоточена у самой стенки и флюид в этой зоне не накапливается. У настоящей зоны радиусом $r_s$ и проницаемостью $k_s$ есть свой переходный процесс: пока возмущение не вышло далеко за её пределы, скважина «видит» проницаемость зоны. Точное решение — двухзонная модель пласта (radial composite): внутри $r_s$ — $k_s$ , снаружи — $k$ , на границе зон непрерывны давление и расход.

Скважина с зоной другой проницаемости: изображение Лапласа

\bar p_{wD}(s) = \frac{K_0(\sigma) + \rho\,I_0(\sigma)}{s\,\kappa\sigma\left[K_1(\sigma) - \rho\,I_1(\sigma)\right]},\qquad \sigma = \sqrt{s/\kappa}

где:

$\kappa$ отношение $k_s/k$ проницаемости зоны к пластовой, —
$\rho$ коэффициент, найденный из непрерывности давления и расхода на границе зоны $R = r_s/r_w$ : $\rho = -\dfrac{u\lambda K_0(\sigma R) - \kappa\sigma K_1(\sigma R)}{u\lambda I_0(\sigma R) + \kappa\sigma I_1(\sigma R)}$ , $u = \sqrt s$ , $\lambda = K_1(uR)/K_0(uR)$ , —
$I_0,\ I_1,\ K_0,\ K_1$ модифицированные функции Бесселя, —

Единицы: безразмерная; $p_D$ отнесено к проницаемости $k$ внешней зоны

Справедливо, если

однофазный приток; пористость, сжимаемость и вязкость одинаковы в обеих зонах; без влияния ствола.

При $\kappa = 1$ получается решение для скважины конечного радиуса. На ранних временах, если зона достаточно велика, производная выходит на уровень $0{,}5/\kappa$ (приток идёт через зону), на поздних — на 0,5, а давление — на $p_D + S$ со скином Хокинса $S = (1/\kappa - 1)\ln R$ (формула Хокинса).

РасчётРасчётная производная давления скважины урока с зоной пониженной проницаемости, отнесённая к полке радиального притока

m_e

, без влияния ствола: зона радиусом 0,5 м с проницаемостью

k/5

и зона радиусом 15 м с проницаемостью

k/3

; серая штриховая линия — скважина без зоны, светлая — уровень полки. Обе шкалы логарифмические.

Когда зона изменённой проницаемости начинает вести себя как тонкий скин

Зона: повреждение, 0,5 м
Проницаемость: $k/5$
Скин: 6,4
Производная в 5 % от полки: 71 с
$r_i/r_s$ в этот момент: 11,6

Зона: зона, 15 м
Проницаемость: $k/3$
Скин: 10,0
Производная в 5 % от полки: 11,7 ч
$r_i/r_s$ в этот момент: 9,4

Зона	Проницаемость	Скин	Производная в 5 % от полки	$r_i/r_s$ в этот момент
повреждение, 0,5 м	$k/5$	6,4	71 с	11,6
зона, 15 м	$k/3$	10,0	11,7 ч	9,4

Скважина урока: $\eta$ = 425 м²/ч, $r_w$ = 0,1 м; скин — по формуле Хокинса. Расчёт по двухзонной модели без влияния ствола.

Правило, которое следует из расчёта: зона с проницаемостью в 3–5 раз ниже пластовой действует как тонкий скин, когда радиус исследования примерно в десять раз больше её радиуса (производная — в пределах 5 % от полки). Чем сильнее контраст, тем дольше: при $k/10$ нужно около $20\,r_s$ , а зона улучшенной проницаемости «исчезает» уже к $5$ – $6\,r_s$ (расчёт по той же модели). Полуметровая зона повреждения раствором «исчезает» за минуту — задолго до конца влияния ствола, поэтому формула со скином для таких зон точна. Зона в десятки метров — вода у бывшей нагнетательной скважины, выпавший конденсат у газоконденсатной скважины (Ретроградная конденсация, парафины, асфальтены и флюиды высоких давлений), газ, выделившийся при давлении ниже давления насыщения, — даёт на производной два уровня: сначала $0{,}5/\kappa$ , потом 0,5. Так выглядит двухзонный пласт, и обрабатывать такую запись как радиальный приток со скином нельзя: первая полка дала бы проницаемость зоны вместо пластовой.

Связь с другими темами

Решение для линейного источника и функция давления — решение для линейного источника, логарифмическое приближение и сравнение на стенке скважины.
Уравнение пьезопроводности — откуда берутся безразмерные переменные.
Системы единиц: СИ, промысловые и метрические промысловые — точные определения единиц и вывод постоянных формул.
Скин-фактор — скин, формула Хокинса и приведённый радиус.
Влияние ствола скважины — влияние ствола, которое скрывает первые минуты записи.
Эталонные кривые — безразмерные группы $t_D/C_D$ и $C_D\e^{2S}$ на эталонных кривых.
Гидродинамические исследования: цели и виды — радиус исследования при планировании исследований.
Установившийся радиальный приток — формула Дюпюи и квазиустановившийся профиль у скважины.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — продуктивность после выхода на псевдоустановившийся режим.
Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений — как граница поднимает производную и когда её видно.
Полуограниченные системы: теория и анализ исследований — безразмерное время $\eta t/L^2$ для систем разломов.

Проверьте себя

1
Скважина радиусом 0,1 м, пласт с пьезопроводностью 360 м²/ч. Через какое время после пуска через стенку скважины в решении для линейного источника проходит 99 % дебита?
1. А.Около 2,5 с
2. Б.Только после выхода на псевдоустановившийся режим
3. В.Около 2,5 мин
4. Г.Около 2,5 ч
Показать ответ
Правильный ответ: А. Около 2,5 с
Доля дебита $\e^{-1/(4t_D)} = 0{,}99$ при $t_D = 24{,}9$ . Время $t = t_D r_w^2/\eta = 24{,}9\cdot0{,}01/360 = 6{,}9\cdot10^{-4}$ ч, то есть 2,5 с. Различие линейного источника и скважины конечного радиуса — дело первых секунд.
2
В отчёте коэффициент влияния ствола — 0,02 bbl/psi. Найдите $C$ в м³/МПа и $C_D$ при $\phi$ = 0,2, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹, $h$ = 15 м, $r_w$ = 0,108 м.
Показать ответ
$C = 0{,}02\cdot23{,}06 = 0{,}461$ м³/МПа. Знаменатель $2\pi\phi c_thr_w^2 = 2\pi\cdot0{,}2\cdot1{,}5\cdot10^{-3}\cdot15\cdot0{,}108^2 = 3{,}30\cdot10^{-4}$ м³/МПа. $C_D = 0{,}461/(3{,}30\cdot10^{-4}) \approx 1400$ . В промысловых единицах получится то же число — это и есть проверка перевода.
3
У скважины после обработки скин $S = -3$ . С какого безразмерного времени (по радиусу ствола) можно пользоваться полулогарифмической формулой с погрешностью около 0,5 %?
1. А. $t_D \approx 25$
2. Б. $t_D \approx 100$
3. В. $t_D \approx 40\,000$
4. Г. $t_D \approx 4\cdot10^8$
Показать ответ
Правильный ответ: В. $t_D \approx 40\,000$
Скважина ведёт себя как скважина радиусом $r_w' = r_w\e^{3}$ , и условие $t_D' > 100$ для неё означает $t_D\e^{2S} > 100$ , то есть $t_D > 100\,\e^{6} \approx 40\,000$ . Для обычной скважины это минуты, а не секунды.
4
Приток длился 12 ч в пласте с $\eta$ = 800 м²/ч. Найдите радиус исследования, радиус дренирования и радиус, изнутри которого отдано 95 % отобранного объёма. На каком расстоянии должен быть разлом, чтобы к концу притока производная поднялась на 10 %?
Показать ответ
$r_i = \sqrt{4\cdot800\cdot12} = 196$ м; $r_d = 0{,}749\cdot196 = 147$ м; 95 % объёма — изнутри $1{,}335\cdot196 = 262$ м. Ступень производной $\e^{-L^2/(\eta t)} = 0{,}1$ при $L = \sqrt{\eta t\ln10} = 0{,}759\,r_i = 149$ м: разлом должен быть не дальше примерно 150 м.
5
Почему коэффициент продуктивности новой скважины по первому часу работы выше, чем через месяц, если пласт и скин не изменились?
1. А.Падает вязкость нефти
2. Б.Растёт радиус дренирования: тот же дебит требует большего перепада
3. В.Растёт скин
4. Г.Снижается проницаемость пласта
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Растёт радиус дренирования: тот же дебит требует большего перепада
В знаменателе неустановившейся продуктивности стоит $\ln(r_d/r_w) + S$ , а радиус дренирования $r_d$ растёт как $\sqrt t$ . В примере урока продуктивность через час на 29 % выше установившейся. Поэтому продуктивность короткого испытания пересчитывают на будущую область дренирования.
6
Вокруг скважины радиусом 0,1 м — зона радиусом 3 м с проницаемостью вчетверо ниже пластовой; пьезопроводность пласта 200 м²/ч. Через какое время зону можно считать тонким скином?
Показать ответ
По правилу урока — когда радиус исследования примерно вдесятеро больше радиуса зоны, около 30 м: $t \approx r_i^2/(4\eta) = 900/800 \approx 1{,}1$ ч. До этого производная выше полки радиального притока, и проницаемость по ней получилась бы заниженной; скин такой зоны по Хокинсу $3\ln 30 \approx 10{,}2$ .

Обновлено: 19 октября 2026 г.