Уравнение пьезопроводности

Кратко о главном

Уравнение складывается из трёх частей: баланса массы (вошло в элемент пласта минус вышло — столько и накопилось), закона Дарси (скорость пропорциональна градиенту давления) и сжимаемости (сколько флюида отдаёт пласт при снижении давления).
Для радиального притока в однородном пласте «кривизна» профиля давления равна скорости его изменения, делённой на пьезопроводность $\eta = k/(\phi\mu c_t)$ . Это единственный параметр пласта в уравнении.
Линейным уравнение делают допущения: проницаемость, вязкость и сжимаемость не зависят от давления, а произведение сжимаемости на изменение давления мало, $c\,\Delta p \ll 1$ . Для нефти выше давления насыщения и для воды погрешность — доли процента; для газа условие не выполняется.
Уравнение одно, решений много. Конкретное решение задают начальное условие и два граничных: на скважине (постоянный дебит или постоянное забойное давление) и на внешней границе (бесконечный пласт, непроницаемая граница, постоянное давление).
В безразмерных переменных $r_D$ , $t_D$ , $p_D$ в уравнении не остаётся ни одного параметра пласта: решение, найденное один раз, пересчитывают к любому пласту.
Линейность даёт главное практическое свойство: решения можно складывать (принцип суперпозиции), а перепад давления пропорционален дебиту.

Ключевые соотношения

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,\frac{\partial p}{\partial r}\right) = \frac{1}{\eta}\,\frac{\partial p}{\partial t},\qquad \eta = \frac{k}{\phi\mu c_t}

уравнение пьезопроводности для радиального потока (СИ)

\mathbf{u} = -\dfrac{k}{\mu}\left(\nabla p - \rho g\,\nabla D\right)

закон Дарси в векторном виде; $D$ — глубина

r_D = \dfrac{r}{r_w},\quad t_D = \dfrac{k\,t}{\phi\mu c_t r_w^2},\quad p_D = \dfrac{2\pi kh\,(p_i - p)}{qB\mu}

безразмерные переменные (СИ)

t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\dfrac{k\,t}{\phi\mu c_t r_w^2}

метрические промысловые единицы: мД, ч, мПа·с, 1/МПа, м

\Delta p \approx \Delta p_{\text{лин}}\left(1 + \dfrac{c\,\Delta p_{\text{лин}}}{2}\right)

поправка к линейному уравнению для жидкости с постоянной сжимаемостью

Где чаще всего ошибаются

Применять уравнение к газу и к нефти ниже давления насыщения так же, как к недонасыщенной нефти: там сжимаемость велика и меняется с давлением.
Подставлять в пьезопроводность сжимаемость одной нефти вместо общей $c_t$ или абсолютную проницаемость вместо проницаемости для подвижного флюида.
Путать уравнение с его решением: формула с логарифмом времени или с членом $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ — решения при определённых граничных условиях, а не свойства самого уравнения.
Смешивать единицы в безразмерном времени: постоянная $3{,}553\cdot10^{-3}$ относится к часам, мД, мПа·с, 1/МПа и метрам, а $2{,}637\cdot10^{-4}$ — к часам, мД, сП, 1/psi и футам.

После урока вы сможете

вывести уравнение пьезопроводности для радиального потока из баланса массы, закона Дарси и уравнения состояния;
перечислить допущения и объяснить, что даёт линеаризация и когда она недопустима;
записать закон Дарси и уравнение в общем виде — с вектором скорости, анизотропной проницаемостью и силой тяжести;
сформулировать начальное и граничные условия основных задач и связать их с режимами фильтрации;
переходить к безразмерным переменным и обратно в метрических и промысловых единицах.

Три закона — одно уравнение

В уроке Режимы фильтрации уравнение пьезопроводности появилось готовым: слева — «кривизна» профиля давления, справа — скорость его изменения во времени. Здесь мы соберём его из частей и посмотрим, какое допущение делается на каждом шаге. Частей три.

Сохранение массы — уравнение неразрывности (continuity equation). Флюид не возникает и не исчезает: разность массы, вошедшей в элемент пласта и вышедшей из него, равна изменению массы внутри элемента.
Закон Дарси — уравнение движения. Скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления, коэффициент пропорциональности — подвижность $k/\mu$ (Проницаемость горных пород).
Уравнение состояния (equation of state). Плотность флюида и объём пор зависят от давления; эту зависимость задаёт сжимаемость (общая сжимаемость).

Первое положение — общий закон природы и выполняется всегда. Второе и третье — модели, и именно они несут допущения: медленное (ламинарное) течение одного флюида, малая и постоянная сжимаемость. Поэтому границы применимости уравнения определяют закон Дарси и уравнение состояния, а не баланс массы.

Аналогия: цепочка конденсаторов и резисторов

Пласт можно представить длинной электрической цепочкой: каждый элемент объёма — конденсатор, соседние элементы соединены резисторами. Напряжение соответствует давлению, ток — расходу, сопротивление резистора — вязкому сопротивлению породы $\mu/k$ , ёмкость конденсатора — упругой ёмкости пласта $\phi c_t$ . Если с одного конца цепочки начать отбирать ток, напряжение сначала падает только на ближних конденсаторах: чтобы «дотянуться» до дальних, ток должен пройти через все промежуточные резисторы. Чем больше сопротивление и ёмкость, тем медленнее распространяется возмущение; в пласте это означает малую пьезопроводность. Математически аналогия точна: напряжение в такой цепочке подчиняется тому же уравнению. Физически она неполна: в пласте движется вещество, свойства которого сами зависят от давления.

Закон Дарси в общем виде

В уроке о проницаемости закон Дарси записан для потока вдоль одной оси. В пласте флюид движется в трёх измерениях, и скорость фильтрации — вектор: у неё есть величина и направление. Давление же — скалярное поле: в каждой точке одно число. Связывает их градиент (gradient) давления — вектор, который показывает, в каком направлении давление растёт быстрее всего и насколько быстро.

Закон Дарси в векторном виде

\mathbf{u} = -\frac{k}{\mu}\left(\nabla p - \rho g\,\nabla D\right),\qquad \nabla p = \left(\frac{\partial p}{\partial x},\ \frac{\partial p}{\partial y},\ \frac{\partial p}{\partial z}\right)

где:

$\mathbf{u}$ вектор скорости фильтрации: расход через единицу площади, перпендикулярной потоку, м/с
$k$ проницаемость (здесь одинаковая во всех направлениях), м²
$\mu$ вязкость флюида, Па·с
$\nabla p$ градиент давления, Па/м
$\rho$ плотность флюида, кг/м³
$g$ ускорение свободного падения, 9,81, м/с²
$D$ глубина, отсчитываемая вниз; $\nabla D$ — единичный вектор, направленный вниз, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

медленное (ламинарное) течение одного флюида; связанная вода неподвижна, и $k$ — проницаемость для подвижного флюида;
изотропная порода: проницаемость одинакова во всех направлениях (общий случай — ниже);
силами инерции пренебрегают; у высокодебитных газовых скважин к вязкому сопротивлению добавляют инерционное (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация).

Знак минус означает, что флюид течёт в сторону убывания давления. Слагаемое с $\rho g$ вычитает гидростатическую часть градиента: в покоящемся флюиде давление растёт с глубиной на $\rho g$ на каждый метр, и это не вызывает движения. Движет флюид только отклонение от гидростатического распределения. Если ось $z$ направлена вверх, в скобках стоит $\partial p/\partial z + \rho g$ ; для потока вдоль пласта, погружающегося под углом $\theta$ (ось $x$ направлена вниз по падению), — $\partial p/\partial x - \rho g\sin\theta$ .

В расчётах притока к вертикальной скважине в горизонтальном пласте поток горизонтален, и слагаемое с силой тяжести выпадает. Оно становится важным в наклонных пластах, при перетоках между слоями и при вытеснении нефти водой или газом (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа, Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение). Там вместо давления удобно пользоваться давлением, приведённым к одной глубине (приведённое давление).

Проницаемость осадочных пород зависит от направления (анизотропия). Если оси координат направлены вдоль главных направлений проницаемости — обычно вдоль напластования и поперёк него, — каждая составляющая скорости определяется «своей» проницаемостью: $u_x = -(k_x/\mu)\,\partial p/\partial x$ и так далее. Если же оси повёрнуты относительно главных направлений (косая слоистость, сетка модели, не согласованная с напластованием), градиент давления вдоль одной оси вызывает поток и вдоль других. Тогда проницаемость записывают тензором — таблицей из девяти чисел.

Закон Дарси с тензором проницаемости

\mathbf{u} = -\frac{1}{\mu}\,\mathbf{K}\,\nabla p,\qquad \mathbf{K} = \begin{pmatrix} k_{xx} & k_{xy} & k_{xz}\\ k_{yx} & k_{yy} & k_{yz}\\ k_{zx} & k_{zy} & k_{zz}\end{pmatrix}

где:

$\mathbf{K}$ тензор проницаемости, м²
$k_{xx},\ k_{yy},\ k_{zz}$ диагональные составляющие: связь потока вдоль оси с градиентом вдоль той же оси, м²
$k_{xy},\ k_{xz},\ k_{yz}$ недиагональные составляющие: поток вдоль одной оси от градиента вдоль другой, м²
$\mathbf{u},\ \mu,\ \nabla p$ вектор скорости фильтрации, вязкость, градиент давления, м/с, Па·с, Па/м

Единицы: СИ

Справедливо, если

без учёта силы тяжести: её добавляют так же, как в изотропном случае;
тензор симметричен ( $k_{xy} = k_{yx}$ и так далее), поэтому поворотом осей его всегда можно привести к диагональному виду с тремя главными проницаемостями.

Произведение тензора на вектор считают как произведение матрицы на столбец: в $u_x$ входят $k_{xx}$ , $k_{xy}$ и $k_{xz}$ , умноженные на три составляющие градиента. Недиагональные члены отличны от нуля только тогда, когда оси не совпадают с главными направлениями. В аналитических решениях для скважин обычно достаточно диагонального тензора или одной проницаемости; полный тензор встречается в гидродинамических моделях (Сетки в гидродинамических моделях).

Баланс массы в кольце пласта

Возьмём однородный горизонтальный пласт толщиной $h$ и вертикальную скважину, вскрывшую его на всю толщину. Поток радиальный: все величины зависят только от расстояния $r$ до оси скважины и от времени $t$ . Выделим в пласте тонкое кольцо между окружностями радиусом $r$ и $r + \dd r$ .

СхемаКольцевой элемент пласта (схема, не в масштабе): вид сверху и разрез. Через внешнюю поверхность кольца флюид входит, через внутреннюю выходит к скважине; разность идёт на изменение массы флюида в порах кольца.

Через цилиндрическую поверхность радиусом $r$ к скважине проходит массовый расход $\rho u\cdot 2\pi rh$ , где $u$ — скорость фильтрации, направленная к скважине. Через внешнюю поверхность кольца входит не столько же, сколько выходит через внутреннюю. Разность равна скорости изменения массы флюида в кольце: его поровый объём — $2\pi rh\phi\,\dd r$ , масса флюида в нём — $\rho\phi\cdot 2\pi rh\,\dd r$ . Разделив баланс на $2\pi rh\,\dd r$ , получаем уравнение неразрывности:

Уравнение неразрывности и закон Дарси для радиального потока

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,\rho\,u\big) = \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t},\qquad u = \frac{k}{\mu}\,\frac{\partial p}{\partial r}

где:

$\rho$ плотность флюида в пластовых условиях, кг/м³
$u$ скорость фильтрации к скважине: расход через единицу площади цилиндрической поверхности, м/с
$\phi$ пористость, доли единицы
$r,\ t$ расстояние от оси скважины и время, м, с
$k,\ \mu,\ p$ проницаемость, вязкость, давление, м², Па·с, Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

радиальный горизонтальный поток в пласте постоянной толщины; скважина вскрывает всю толщину;
один подвижный флюид; закон Дарси;
скорость $u$ положительна, когда флюид течёт к скважине: давление растёт с расстоянием, поэтому перед $\partial p/\partial r$ стоит плюс.

Левая часть — превышение притока в кольцо над оттоком из него в расчёте на единицу объёма пласта, правая — скорость накопления массы. При установившемся течении правая часть равна нулю, произведение $r\rho u$ не зависит от радиуса, и получается формула Дюпюи (Установившийся радиальный приток). Когда из пласта идёт отбор, правая часть отрицательна: масса в кольце убывает, и через внутреннюю поверхность выходит больше, чем входит через внешнюю.

В трёх измерениях то же утверждение записывают через дивергенцию (divergence) — оператор, который по вектору потока даёт число: сколько массы «расходится» из единицы объёма за единицу времени. Баланс массы принимает вид $\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = -\partial(\rho\phi)/\partial t$ . Знак здесь другой, потому что $\mathbf{u}$ — вектор, а не скорость «к скважине». Выражение $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\,\ldots)$ — это и есть дивергенция радиального потока.

Сжимаемость и линеаризация

В уравнении неразрывности две неизвестные — давление и плотность. Связь между ними даёт уравнение состояния. Для жидкости его записывают через сжимаемость $c = \frac{1}{\rho}\frac{\dd\rho}{\dd p}$ — относительное изменение плотности на единицу изменения давления. Если сжимаемость постоянна, плотность меняется по экспоненте: $\rho = \rho_i\,\e^{c(p - p_i)}$ . Так же описывают и объём пор — сжимаемостью пор $c_f = \frac{1}{\phi}\frac{\dd\phi}{\dd p}$ (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна). Флюид с малой постоянной сжимаемостью называют слабосжимаемым.

Накопление массы через изменение давления

\frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t} = \rho\phi\,(c + c_f)\,\frac{\partial p}{\partial t}\ \longrightarrow\ \rho\phi\,c_t\,\frac{\partial p}{\partial t}

где:

$c$ сжимаемость подвижного флюида, 1/Па
$c_f$ сжимаемость пор, 1/Па
$c_t$ общая сжимаемость $S_oc_o + S_wc_w + c_f$ , 1/Па
$\rho,\ \phi,\ p,\ t$ плотность, пористость, давление, время, кг/м³, —, Па, с

Единицы: СИ

Справедливо, если

сжимаемости постоянны в рассматриваемом диапазоне давлений;
стрелка — переход к пласту, в порах которого кроме подвижной нефти есть неподвижная связанная вода: она тоже расширяется при снижении давления.

Правая часть уравнения неразрывности выражена через одно давление. Сколько массы отдаёт единица объёма пласта при снижении давления на единицу, определяет произведение $\phi c_t$ — упругая ёмкость пласта (общая сжимаемость). Проницаемость $k$ в таком пласте — проницаемость для нефти при связанной водонасыщенности, а не абсолютная.

Подставив закон Дарси и уравнение состояния в уравнение неразрывности и считая проницаемость и вязкость постоянными, получаем уравнение для одного давления — но нелинейное:

Уравнение до линеаризации

\frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial r} + c\left(\frac{\partial p}{\partial r}\right)^{2} = \frac{\phi\mu c_t}{k}\,\frac{\partial p}{\partial t}

где:

$p(r, t)$ давление на расстоянии $r$ от оси скважины в момент $t$ , Па
$c$ сжимаемость подвижного флюида, 1/Па
$c_t$ общая сжимаемость, 1/Па
$\phi,\ \mu,\ k$ пористость, вязкость, проницаемость, —, Па·с, м²

Единицы: СИ

Справедливо, если

проницаемость и вязкость не зависят от давления и одинаковы во всём пласте;
сжимаемость флюида постоянна.

Слагаемое с квадратом градиента появляется оттого, что плотность флюида меняется вдоль потока. Из-за него уравнение нелинейно: решения нельзя складывать, и готовых формул для него почти нет.

Квадратичное слагаемое сравнивают с соседним слагаемым $\frac{1}{r}\,\partial p/\partial r$ : их отношение равно $c\,r\,\partial p/\partial r$ . У скважины $r\,\partial p/\partial r$ — это «единица» перепада давления радиального потока $qB\mu/(2\pi kh)$ , обычно от десятых долей до нескольких мегапаскалей, а сжимаемость жидкостей — порядка $10^{-3}$ МПа⁻¹. Отношение получается порядка тысячных долей, и квадратичное слагаемое отбрасывают. Критерий, таким образом, — не малость градиента «вообще» (градиент — размерная величина, и у скважины он как раз велик), а малость произведения сжимаемости на характерное изменение давления: $c\,\Delta p \ll 1$ .

Уравнение пьезопроводности для радиального потока: линейная форма и допущения

\frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,\frac{\partial p}{\partial r}\right) = \frac{1}{\eta}\,\frac{\partial p}{\partial t},\qquad \eta = \frac{k}{\phi\mu c_t}

где:

$p(r, t)$ давление на расстоянии $r$ от оси скважины в момент $t$ , Па
$\eta$ пьезопроводность (hydraulic diffusivity); в отечественной литературе её обозначают также $\kappa$ или $\chi$ , м²/с
$k$ проницаемость пласта для подвижного флюида, м²
$\phi$ пористость, доли единицы
$\mu$ вязкость флюида, Па·с
$c_t$ общая сжимаемость, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

однородный изотропный пласт постоянной толщины; пористость и проницаемость не зависят от давления;
горизонтальный радиальный поток: скважина вскрывает всю толщину, сила тяжести не учитывается;
один подвижный флюид; закон Дарси (течение без инерционных потерь);
изотермическое течение, вязкость постоянна;
малая и постоянная сжимаемость: $c\,\Delta p \ll 1$ .

Уравнение линейно: давление и его производные входят только в первой степени, а коэффициент $\eta$ постоянен. Все свойства пласта и флюида собраны в одном параметре — пьезопроводности. Чем она больше, тем быстрее выравнивается давление: высокая подвижность $k/\mu$ ускоряет процесс, большая упругая ёмкость $\phi c_t$ замедляет.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы (пьезопроводность)

\eta\,[\text{м}^2/\text{ч}] = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\frac{k\,[\text{мД}]}{\phi\;\mu\,[\text{мПа·с}]\;c_t\,[\text{МПа}^{-1}]}

$k$ — мД, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $\eta$ — квадратные метры в час.

$3{,}553\cdot10^{-3} = 0{,}9869\cdot10^{-15}\cdot3600/(10^{-3}\cdot10^{-6})$ : перевод мД → м², часов → секунды, мПа·с → Па·с, 1/МПа → 1/Па.

Промысловые единицы (oilfield)

\eta\,[\text{ft}^2/\text{ч}] = 2{,}637\cdot10^{-4}\,\frac{k\,[\text{мД}]}{\phi\;\mu\,[\text{сП}]\;c_t\,[\text{psi}^{-1}]}

$k$ — мД, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $\eta$ — квадратные футы в час.

$2{,}637\cdot10^{-4}$ получается теми же переводами при давлении в psi (1 psi = 6894,76 Па) и длине в футах (1 ft = 0,3048 м).

Что меняется, если…

…проницаемость вдвое выше — пьезопроводность вдвое больше, и любой переходный процесс идёт вдвое быстрее;
…нефть вдвое более вязкая — вдвое медленнее;
…в порах появился свободный газ — общая сжимаемость вырастает в разы, пьезопроводность во столько же раз падает, а само уравнение перестаёт быть линейным;
…толщина пласта вдвое больше — пьезопроводность не меняется: толщина влияет на величину перепада давления (через проводимость $kh$ ), но не на скорость распространения возмущения.

РасчётРасчётное превышение точного перепада давления над перепадом по линейному уравнению в зависимости от произведения сжимаемости на перепад по линейному уравнению,

c\,\Delta p

; жидкость с постоянной сжимаемостью, формула — в дополнительном разделе. Для нефти и воды

c\,\Delta p

редко превышает 0,02, и погрешность не больше процента. Для газа

c\,\Delta p

порядка

\Delta p/p

— десятые доли; кривая для него даёт только порядок величины.

Расчётный примерПогрешность линеаризации для нефти и для газа

Исходные данные (условные)

Скважина и пласт (урок Режимы фильтрации): $q$ = 100 м³/сут; $B$ = 1,3; $\mu$ = 1,2 мПа·с; $k$ = 50 мД; $h$ = 15 м
Сжимаемость нефти $c$: $1{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Снижение забойного давления к 64 ч работы: 3,0 МПа
Для сравнения — газ: давление 15 МПа, снижение давления 3,0 МПа

Решение

«Единица» перепада давления: $\dfrac{qB\mu}{0{,}536\,kh} = \dfrac{156}{402} = 0{,}388$ МПа. Отношение отброшенного слагаемого к соседнему у скважины: $c\cdot0{,}388 = 0{,}00062$ .
Нефть: $c\,\Delta p = 1{,}6\cdot10^{-3}\cdot3{,}0 = 0{,}0048$ . Точное решение для жидкости с постоянной сжимаемостью даёт перепад больше линейного в $-\ln(1 - x)/x = 1{,}0024$ раза.
Это 0,24 %, или 0,007 МПа из 3,0 МПа.
Газ: сжимаемость около $1/p = 0{,}067$ МПа⁻¹, поэтому $c\,\Delta p \approx 0{,}2$ . Та же формула даёт расхождение около 12 %.

Ответ: Для нефти линейное уравнение ошибается на 0,24 % (0,007 МПа) — много меньше погрешности замера дебита. Для газа расхождение — больше десяти процентов.

Что это значит. Поэтому формулы следующих уроков — с интегральной показательной функцией, с логарифмом времени, методы Хорнера и Миллера — Дайеса — Хатчинсона (MDH) — к нефти и воде применяют напрямую, а к газу только после перехода к псевдодавлению (газ). Оценка для газа — лишь порядок величины: у газа меняются с давлением и сжимаемость, и вязкость. Данные примера условные.

Когда линейное уравнение применимо

Флюид и порода: Вода, нефть выше давления насыщения
Произведение $c\,\Delta p$: 0,001–0,02
Что делают: линейное уравнение; погрешность — до 1 %

Флюид и порода: Газ
Произведение $c\,\Delta p$: порядка $\Delta p/p$ : 0,1–0,5
Что делают: псевдодавление, при больших перепадах и псевдовремя

Флюид и порода: Нефть ниже давления насыщения
Произведение $c\,\Delta p$: велико и меняется
Что делают: многофазные модели (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна)

Флюид и порода: Порода, проницаемость которой падает с давлением
Произведение $c\,\Delta p$: —
Что делают: псевдодавление с $k(p)$ или численная модель

Флюид и порода	Произведение $c\,\Delta p$	Что делают
Вода, нефть выше давления насыщения	0,001–0,02	линейное уравнение; погрешность — до 1 %
Газ	порядка $\Delta p/p$ : 0,1–0,5	псевдодавление, при больших перепадах и псевдовремя
Нефть ниже давления насыщения	велико и меняется	многофазные модели (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна)
Порода, проницаемость которой падает с давлением	—	псевдодавление с $k(p)$ или численная модель

Значения ориентировочные.

Начальное и граничные условия

Уравнение пьезопроводности одно для всех скважин и пластов. Различает задачи то, что задано в начальный момент и на границах области. Чтобы решение было единственным, нужны одно начальное условие и два граничных: на скважине и на внешней границе.

Начальное условие: до пуска скважины давление во всём пласте равно начальному: $p(r, 0) = p_i$ . Если скважина уже работала, начальным состоянием служит распределение давления, оставшееся от её истории; его учитывают суперпозицией (Принцип суперпозиции).
Скважина: постоянный дебит: задан градиент давления на стенке (формула ниже). Это условие исследований скважин: дебит держат постоянным и записывают давление. В англоязычной литературе — constant terminal rate (решение при постоянном дебите).
Скважина: постоянное забойное давление: задано $p(r_w, t) = p_{wf}$ , а дебит со временем падает (constant terminal pressure). Так описывают скважину, работающую при постоянном давлении на забое, и приток воды из водоносного горизонта к залежи (Модели притока законтурной воды).
Внешняя граница: бесконечный пласт: $p \to p_i$ при $r \to \infty$ . Условие годится для любого пласта, пока возмущение не дошло до его границ.
Внешняя граница: нет потока: $\partial p/\partial r = 0$ при $r = r_e$ : разлом, выклинивание, линия раздела с соседней скважиной (непроницаемая граница).
Внешняя граница: постоянное давление: $p(r_e, t) = p_i$ : подпитка закачкой или активной законтурной водой.

Условие постоянного дебита на стенке скважины

\left.r\,\frac{\partial p}{\partial r}\right|_{r = r_w} = \frac{qB\mu}{2\pi kh}

где:

$q$ дебит в стандартных условиях; $qB$ — дебит в пластовых условиях, м³/с
$B$ объёмный коэффициент флюида (при начальном пластовом давлении), м³/м³
$r_w$ радиус скважины, м
$k,\ h,\ \mu$ проницаемость, толщина пласта, вязкость, м², м, Па·с

Единицы: СИ

Справедливо, если

дебит на забое постоянен с момента пуска: влияние объёма ствола не учитывается (Влияние ствола скважины);
приток равномерен по всей толщине пласта.

Это закон Дарси, записанный для стенки скважины: через поверхность $2\pi r_wh$ проходит весь дебит. Правая часть — «единица» перепада давления радиального потока; в неё входит всё, что отличает одну скважину от другой при том же безразмерном решении.

Одно уравнение — разные решения

Условие на скважине: постоянный дебит
Внешняя граница: бесконечный пласт
Решение: интегральная показательная функция; на скважине — логарифм времени
Где разобрано: Решение для линейного источника и функция давления, Анализ кривой падения давления

Условие на скважине: постоянный дебит
Внешняя граница: нет потока
Решение: после переходного периода — псевдоустановившийся приток
Где разобрано: Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы

Условие на скважине: постоянный дебит
Внешняя граница: постоянное давление
Решение: в пределе — формула Дюпюи
Где разобрано: Установившийся радиальный приток

Условие на скважине: постоянное давление
Внешняя граница: бесконечный или замкнутый водоносный горизонт
Решение: падающий дебит и накопленный приток
Где разобрано: Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста

Условие на скважине: дебит меняется; скважин несколько
Внешняя граница: любая
Решение: сумма решений для постоянного дебита
Где разобрано: Принцип суперпозиции, Анализ кривой восстановления давления

Условие на скважине	Внешняя граница	Решение	Где разобрано
постоянный дебит	бесконечный пласт	интегральная показательная функция; на скважине — логарифм времени	Решение для линейного источника и функция давления, Анализ кривой падения давления
постоянный дебит	нет потока	после переходного периода — псевдоустановившийся приток	Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы
постоянный дебит	постоянное давление	в пределе — формула Дюпюи	Установившийся радиальный приток
постоянное давление	бесконечный или замкнутый водоносный горизонт	падающий дебит и накопленный приток	Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста
дебит меняется; скважин несколько	любая	сумма решений для постоянного дебита	Принцип суперпозиции, Анализ кривой восстановления давления

РасчётТри решения одного уравнения для скважины из урока Режимы фильтрации (дебит 100 м³/сут, скин 0, круговая область радиусом 300 м). Начальное условие и условие на скважине одинаковы, поэтому забойное давление ведёт себя одинаково, пока возмущение не дошло до внешней границы, а затем расходится в зависимости от условия на ней. Серая штриховая линия — бесконечный пласт; шкала времени логарифмическая.

Отсюда важное следствие: пока возмущение не дошло до границ, решение для бесконечного пласта годится для любого реального пласта. Поэтому одна и та же формула с логарифмом времени описывает начало работы каждой скважины, а различия между пластами проявляются позже.

Безразмерная форма

В размерном виде задача содержит девять величин: $k$ , $h$ , $\phi$ , $\mu$ , $c_t$ , $r_w$ , $q$ , $B$ и начальное давление. Решать её заново для каждого пласта незачем. Достаточно измерять расстояния в радиусах скважины, давление — в «единицах» $qB\mu/(2\pi kh)$ , а время — в единицах $r_w^2/\eta$ : за такое время возмущение проходит расстояние порядка радиуса скважины. Так получаются безразмерные переменные.

Безразмерные переменные: радиус, время и давление

r_D = \frac{r}{r_w},\qquad t_D = \frac{\eta\,t}{r_w^2} = \frac{k\,t}{\phi\mu c_t r_w^2},\qquad p_D = \frac{2\pi kh\,(p_i - p)}{qB\mu}

где:

$r_D,\ t_D,\ p_D$ безразмерные расстояние, время и снижение давления, —
$r_w$ радиус скважины, м
$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$q,\ B$ дебит в стандартных условиях и объёмный коэффициент, м³/с, м³/м³
$k,\ h,\ \phi,\ \mu,\ c_t,\ \eta$ проницаемость, толщина, пористость, вязкость, общая сжимаемость, пьезопроводность, м², м, —, Па·с, 1/Па, м²/с

Единицы: СИ

Справедливо, если

условия уравнения пьезопроводности; постоянный дебит; начальное давление одинаково во всём пласте;
$p_D$ положительно при снижении давления; для нагнетательной скважины знак обратный.

Безразмерное давление показывает, сколько «единиц» радиального перепада составляет снижение давления; при установившемся притоке на стенке скважины оно равно $\ln(r_e/r_w)$ (Установившийся радиальный приток). Безразмерное время сравнивает прошедшее время с характерным временем скважины $r_w^2/\eta$ — обычно это доли секунды или секунды, поэтому в практических задачах $t_D$ измеряется тысячами и миллионами.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\frac{k\,t}{\phi\mu c_t r_w^2},\qquad p_D = \frac{0{,}536\,kh\,(p_i - p)}{qB\mu}

$k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $r_w$ и $h$ — м, $p$ — МПа, $q$ — м³/сут в стандартных условиях.

$3{,}553\cdot10^{-3}$ — тот же множитель, что у пьезопроводности; $0{,}536 = 2\pi\cdot0{,}0853$ — постоянная формулы Дюпюи в этих единицах.

Промысловые единицы (oilfield)

t_D = 2{,}637\cdot10^{-4}\,\frac{k\,t}{\phi\mu c_t r_w^2},\qquad p_D = \frac{kh\,(p_i - p)}{141{,}2\,qB\mu}

$k$ — мД, $t$ — ч, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $r_w$ и $h$ — футы, $p$ — psi, $q$ — STB/d (баррели нефти в стандартных условиях в сутки).

$141{,}2 = 1/(2\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3})$ , где $1{,}127\cdot10^{-3}$ — постоянная закона Дарси в промысловых единицах.

Безразмерная задача о скважине с постоянным дебитом

\begin{aligned} &\frac{1}{r_D}\frac{\partial}{\partial r_D}\!\left(r_D\,\frac{\partial p_D}{\partial r_D}\right) = \frac{\partial p_D}{\partial t_D}\\[4pt] &p_D = 0\ \text{при}\ t_D = 0,\qquad r_D\,\frac{\partial p_D}{\partial r_D} = -1\ \text{при}\ r_D = 1\end{aligned}

где:

$r_D,\ t_D,\ p_D$ безразмерные расстояние, время и снижение давления, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

те же, что у размерного уравнения; постоянный дебит;
третье условие задают на внешней границе: $p_D \to 0$ при $r_D \to \infty$ , либо $\partial p_D/\partial r_D = 0$ , либо $p_D = 0$ при $r_D = r_{eD}$ , где $r_{eD} = r_e/r_w$ .

Ни в уравнении, ни в условиях на скважине не осталось параметров пласта. Решение $p_D(r_D, t_D)$ для бесконечного пласта — одна функция двух переменных, общая для всех пластов; для ограниченного пласта добавляется единственный параметр — безразмерный радиус $r_{eD}$ .

Обратный переход прост: $p = p_i - \dfrac{qB\mu}{2\pi kh}\,p_D$ . Удобны и другие безразмерные времена, отнесённые не к радиусу скважины, а к размеру области: $t_D/r_{eD}^2 = \eta t/r_e^2$ и $t_{DA} = \eta t/A$ . По ним судят, дошло ли возмущение до границ (время выхода на режим).

Расчётный примерБезразмерные переменные скважины в метрических и промысловых единицах

Исходные данные (условные)

Пласт и нефть (урок Режимы фильтрации): $k$ = 50 мД; $\phi$ = 0,20; $\mu$ = 1,2 мПа·с; $c_t = 2{,}1125\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Скважина: $r_w$ = 0,1 м; $h$ = 15 м; $q$ = 100 м³/сут; $B$ = 1,3
Переводы единиц: 1 м = 3,2808 ft; 1 м³ = 6,2898 bbl; 1 МПа = 145,04 psi

Решение

Метрические единицы. Знаменатель: $\phi\mu c_t r_w^2 = 5{,}07\cdot10^{-6}$ . За 1 ч: $t_D = \dfrac{3{,}553\cdot10^{-3}\cdot50}{5{,}07\cdot10^{-6}} = 35\,039$ .
«Единица» давления: $\dfrac{qB\mu}{0{,}536\,kh} = \dfrac{156}{402} = 0{,}388$ МПа.
Промысловые единицы: $c_t = 1{,}4565\cdot10^{-5}$ psi⁻¹, $r_w = 0{,}3281$ ft, $h = 49{,}21$ ft, $q = 629$ STB/d.
Знаменатель: $\phi\mu c_t r_w^2 = 3{,}7625\cdot10^{-7}$ . За 1 ч: $t_D = \dfrac{2{,}637\cdot10^{-4}\cdot50}{3{,}7625\cdot10^{-7}} = 35\,043$ .
«Единица» давления: $\dfrac{141{,}2\,qB\mu}{kh} = 56{,}3$ psi, то есть 0,388 МПа.
Через 6 ч работы $t_D = 210\,237$ . На стенке скважины в бесконечном пласте $p_D = \tfrac12(\ln t_D + 0{,}809) = 6{,}533$ (Решение для линейного источника и функция давления); снижение давления $6{,}533\cdot0{,}388 = 2{,}535$ МПа.

Ответ: В обеих системах единиц

t_D \approx 35\,039

за час, а «единица» давления — 0,388 МПа (56,3 psi): безразмерные величины не зависят от выбора единиц.

Что это значит. Совпадение — проверка постоянных: $3{,}553\cdot10^{-3}$ и $2{,}637\cdot10^{-4}$ , 0,536 и 141,2 описывают одно и то же в разных единицах; расхождение в четвёртой–пятой значащей цифре — след округления постоянных и переводных множителей. Характерное время скважины $r_w^2/\eta$ равно $1/35\,039$ ч, то есть около 0,1 с: уже через минуту работы безразмерное время измеряется сотнями. Данные примера условные.

Расчётный примерОдин расчёт — два пласта

Исходные данные (условные)

Пласт А: скважина предыдущего примера: $k$ = 50 мД, $\mu$ = 1,2 мПа·с
Пласт Б: $k$ = 10 мД, $\mu$ = 2,4 мПа·с; остальные данные те же
Дебит: 100 м³/сут в обоих случаях

Решение

Подвижность $k/\mu$ в пласте Б меньше в $5\cdot2 = 10$ раз. Во столько же раз меньше пьезопроводность, поэтому одному и тому же $t_D$ отвечает в 10 раз большее время.
То, что в пласте А происходит за 1 ч, в пласте Б занимает 10 ч: безразмерное время в обоих случаях 35 039, безразмерное давление на скважине $p_D = 5{,}637$ .
«Единица» давления пропорциональна $\mu/k$ : в пласте А она равна 0,388 МПа, в пласте Б — 3,88 МПа.
Снижение забойного давления: в пласте А через 1 ч — 2,19 МПа, в пласте Б через 10 ч — 21,9 МПа.
Чтобы в пласте Б снижение давления осталось таким же, как в пласте А, дебит нужно уменьшить в 10 раз — до 10 м³/сут.

Ответ: Десятикратное снижение подвижности растягивает все времена в 10 раз и во столько же раз увеличивает перепад давления при том же дебите.

Что это значит. Безразмерное решение одно, а масштабы у каждого пласта свои: время пропорционально $\phi\mu c_tr_w^2/k$ , давление — $qB\mu/(kh)$ . Перепад 21,9 МПа сравним с самим пластовым давлением, то есть дебит 100 м³/сут пласту Б не под силу. Так по безразмерному решению сразу видно, какой дебит и какую длительность исследования можно планировать в новом пласте. Данные примера условные.

Что уравнение говорит о давлении ещё до решения

Многое о поведении давления видно из самого уравнения, без формул решений.

Возмущение расплывается, а не бежит волной. В уравнение входит первая производная по времени и вторая по расстоянию, поэтому расстояние, охваченное возмущением, растёт как $\sqrt{\eta t}$ : чтобы «увидеть» вдвое дальше, нужно вчетверо больше времени (радиус исследования).
Решения можно складывать. Уравнение линейно: сумма двух решений — тоже решение. Давление от нескольких скважин или от скважины с меняющимся дебитом равно сумме давлений от простых составляющих (Принцип суперпозиции); на этом построен анализ восстановления давления (Анализ кривой восстановления давления).
Перепад пропорционален дебиту. Удвоение дебита удваивает снижение давления в каждой точке и в каждый момент. Поэтому результаты исследований удобно выражать через отношение перепада давления к дебиту.
Вблизи скважины профиль почти установившийся. Там, где возмущение прошло давно, правая часть уравнения мала по сравнению с каждым слагаемым левой, и давление линейно зависит от $\ln r$ — как в формуле Дюпюи. Неустановившийся характер проявляется на краю воронки депрессии.
Резкие перепады сглаживаются. Любая неровность профиля давления со временем расплывается; обратного не бывает. Поэтому по записи давления в скважине нельзя однозначно восстановить мелкие детали строения пласта вдали от неё (Гидродинамические исследования: цели и виды).
Скорость распространения формально бесконечна. По уравнению давление в любой точке начинает меняться сразу после пуска скважины. Но вдали это изменение исчезающе мало, поэтому говорят о конечном радиусе исследования.

Как именно давление зависит от расстояния и времени при постоянном дебите, показывает решение для линейного источника — следующий урок (Решение для линейного источника и функция давления).

Термины и обозначения

Уравнение неразрывности: запись сохранения массы: разность притока в элемент пласта и оттока из него равна скорости накопления массы в элементе.
Уравнение состояния: связь плотности флюида (и объёма пор) с давлением; для жидкости её задаёт сжимаемость.
Пьезопроводность $\eta$: $k/(\phi\mu c_t)$ , м²/с: единственный параметр пласта в уравнении; задаёт скорость выравнивания давления.
Линеаризация: отбрасывание слагаемого с квадратом градиента давления и замена свойств флюида и породы постоянными; допустима при $c\,\Delta p \ll 1$ .
Начальное и граничные условия: давление в начальный момент, условие на скважине (дебит или давление) и на внешней границе; вместе с уравнением определяют единственное решение.
Безразмерные переменные $r_D$ , $t_D$ , $p_D$: расстояние в радиусах скважины, время в единицах $r_w^2/\eta$ и снижение давления в единицах $qB\mu/(2\pi kh)$ .
Градиент и дивергенция: градиент превращает поле давления в вектор его наибольшего роста; дивергенция превращает вектор потока в число — сколько флюида «расходится» из единицы объёма.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Уравнение пьезопроводности — это закон Дарси, записанный по-другому».

На самом деле

Закон Дарси — одна из трёх составляющих. Без баланса массы и сжимаемости из него следует только установившееся течение; время в задаче появляется благодаря сжимаемости.

Неверно

«Квадратом градиента пренебрегают, потому что градиент давления мал».

На самом деле

У скважины градиент как раз велик. Мало произведение сжимаемости на изменение давления $c\,\Delta p$ : для нефти и воды это тысячные и сотые доли единицы.

Неверно

«Уравнение одно — значит, и формула давления одна для всех скважин».

На самом деле

Решение определяют ещё начальное и граничные условия. Бесконечный пласт, замкнутая область и область с подпиткой дают три разные формулы; общая у них только начальная часть.

Неверно

«В пьезопроводность входит сжимаемость нефти».

На самом деле

Входит общая сжимаемость $c_t$ — нефти, связанной воды и пор. В примере урока о режимах фильтрации сжимаемость пор дала 38 % общей.

Неверно

«Безразмерное время — это просто время в других единицах».

На самом деле

Масштаб времени $r_w^2/\eta$ свой у каждого пласта и каждой скважины: одному и тому же $t_D$ в пласте с вдесятеро меньшей подвижностью отвечает вдесятеро большее время.

Подробно: для продвинутых

Насколько точна линеаризация: уравнение для плотности

Квадратичное слагаемое можно не отбрасывать, а устранить заменой переменной. Для жидкости с постоянной сжимаемостью $\rho\,\partial p/\partial r = \frac{1}{c}\,\partial\rho/\partial r$ , поэтому массовый поток пропорционален градиенту плотности, и уравнение неразрывности превращается в уравнение для плотности — линейное без всяких приближений:

Уравнение пьезопроводности для плотности

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,\frac{\partial\rho}{\partial r}\right) = \frac{\phi\mu c_t}{k}\,\frac{\partial\rho}{\partial t}

где:

$\rho(r, t)$ плотность флюида в пластовых условиях, кг/м³
$\phi,\ \mu,\ c_t,\ k$ пористость, вязкость, общая сжимаемость, проницаемость, —, Па·с, 1/Па, м²

Единицы: СИ

Справедливо, если

один подвижный флюид с постоянной сжимаемостью $c$ ; проницаемость, вязкость и произведение $\phi c_t$ постоянны;
отбор задан постоянным массовым расходом (постоянным дебитом в стандартных условиях): тогда и условие на скважине линейно относительно плотности.

Плотность подчиняется тому же уравнению, что и давление в линейной теории, с тем же коэффициентом и такими же условиями. Значит, формулы линейной теории точно описывают относительное изменение плотности: $\rho/\rho_i = 1 - c\,\Delta p_{\text{лин}}$ , где $\Delta p_{\text{лин}}$ — перепад давления по линейному уравнению.

Точное давление находят из плотности по уравнению состояния $\rho = \rho_i\,\e^{-c\,\Delta p}$ :

Точный перепад давления через перепад по линейному уравнению

\Delta p = -\frac{1}{c}\ln\left(1 - c\,\Delta p_{\text{лин}}\right) \approx \Delta p_{\text{лин}}\left(1 + \frac{c\,\Delta p_{\text{лин}}}{2}\right)

где:

$\Delta p$ точное снижение давления $p_i - p$ в данной точке в данный момент, Па
$\Delta p_{\text{лин}}$ то же по линейному уравнению пьезопроводности, Па
$c$ сжимаемость подвижного флюида, 1/Па

Единицы: любые согласованные (произведение $c\,\Delta p$ безразмерно)

Справедливо, если

те же, что у уравнения для плотности; приближённая форма — при $c\,\Delta p_{\text{лин}} \ll 1$ .

Линейное уравнение занижает перепад давления, и относительная погрешность равна примерно половине произведения $c\,\Delta p$ : при 0,01 это 0,5 %, при 0,1 — около 5 %. По этой формуле построен график в основном разделе.

Общий вид: три измерения и анизотропия

Если подставить закон Дарси в векторном виде в баланс массы и линеаризовать так же, как для радиального потока, получится уравнение пьезопроводности для произвольной геометрии:

Уравнение пьезопроводности в трёх измерениях

\nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{K}}{\mu}\,\nabla p\right) = \phi c_t\,\frac{\partial p}{\partial t}\quad\Rightarrow\quad k_x\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + k_y\frac{\partial^2 p}{\partial y^2} + k_z\frac{\partial^2 p}{\partial z^2} = \phi\mu c_t\,\frac{\partial p}{\partial t}

где:

$\mathbf{K}$ тензор проницаемости, м²
$k_x,\ k_y,\ k_z$ главные проницаемости (оси координат направлены вдоль главных направлений), м²
$p(x, y, z, t)$ давление, Па
$\phi,\ \mu,\ c_t$ пористость, вязкость, общая сжимаемость, —, Па·с, 1/Па

Единицы: СИ

Справедливо, если

линеаризованное уравнение; сила тяжести не учитывается (или давление заменено приведённым давлением);
вторая запись — для однородного пласта с осями вдоль главных направлений проницаемости.

Для изотропного пласта слева остаётся $k\,\nabla^2 p$ , где $\nabla^2$ — оператор Лапласа, сумма вторых производных по трём координатам. В гидродинамическом симуляторе это уравнение записывают для каждой ячейки сетки и решают численно (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна).

Анизотропию в плане убирают растяжением координат. Если ввести $x' = x\sqrt{\bar k/k_x}$ и $y' = y\sqrt{\bar k/k_y}$ , где $\bar k = \sqrt{k_xk_y}$ , уравнение для плоского потока принимает изотропный вид с проницаемостью $\bar k$ . Поэтому исследование вертикальной скважины в пласте с разной проницаемостью по двум горизонтальным направлениям даёт среднее геометрическое $\sqrt{k_xk_y}$ , а воронка депрессии в плане — не круг, а эллипс, вытянутый вдоль направления большей проницаемости.

Когда уравнение перестаёт работать

Газ. Сжимаемость порядка $1/p$ , вязкость зависит от давления. Давление заменяют псевдодавлением реального газа, после чего уравнение снова почти линейно (газ в режимах фильтрации, псевдодавление).
Нефть ниже давления насыщения. В порах движутся две фазы, подвижность каждой зависит от насыщенности (Относительная проницаемость), а сжимаемость системы резко растёт. Нужны уравнения для каждой фазы — их решают численно.
Проницаемость, зависящая от давления. В трещиноватых и слабосцементированных породах проницаемость падает при снижении порового давления (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна); уравнение становится нелинейным.
Большие скорости у ствола. Закон Дарси дополняют инерционным слагаемым; в решениях для скважин оно проявляется как скин, растущий с дебитом (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация).
Трещиновато-пористые пласты. Трещины проводят, блоки породы хранят флюид. Давление в трещинах и в блоках описывают двумя связанными уравнениями пьезопроводности.

Связь с другими темами

Режимы фильтрации — три режима фильтрации как три вида решений уравнения; общая сжимаемость.
Проницаемость горных пород — закон Дарси и единицы проницаемости.
Решение для линейного источника и функция давления — решение для скважины с постоянным дебитом в бесконечном пласте.
Установившийся радиальный приток — решение с нулевой правой частью — формула Дюпюи.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — решение для замкнутой области после переходного периода.
Принцип суперпозиции — сложение решений — следствие линейности уравнения.
Гидродинамические исследования: цели и виды — как решения уравнения используют при исследовании скважин.
Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна — сжимаемость пор и зависимость свойств породы от напряжений.
Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна — численное решение того же уравнения на сетке ячеек.

Проверьте себя

1
Какое из положений, на которых построено уравнение пьезопроводности, вносит в задачу зависимость от времени?
1. А.Постоянство вязкости
2. Б.Баланс массы вместе со сжимаемостью флюида и пор
3. В.Условие постоянного дебита на скважине
4. Г.Закон Дарси
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Баланс массы вместе со сжимаемостью флюида и пор
Закон Дарси связывает скорость с градиентом давления в данный момент и времени не содержит. Время появляется в правой части баланса массы — в скорости накопления флюида, а накапливаться или убывать флюид может только потому, что он и поры сжимаемы. В несжимаемой системе правая часть равна нулю, и остаётся установившееся течение.
2
Проницаемость пласта вдвое выше, чем у соседнего, а общая сжимаемость втрое больше (в порах есть свободный газ); пористость и вязкость одинаковы. Как соотносятся пьезопроводности?
1. А.Одинаковы
2. Б.У первого в 1,5 раза меньше
3. В.У первого в 1,5 раза больше
4. Г.У первого в 6 раз больше
Показать ответ
Правильный ответ: Б. У первого в 1,5 раза меньше
$\eta = k/(\phi\mu c_t)$ : множитель 2 в числителе и 3 в знаменателе дают $2/3$ , то есть пьезопроводность первого пласта в 1,5 раза меньше. Свободный газ замедляет переходные процессы сильнее, чем их ускоряет более высокая проницаемость.
3
Оцените относительную погрешность линейного уравнения для нефти со сжимаемостью $2\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹ при снижении давления на 10 МПа и для воды со сжимаемостью $0{,}45\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹ при снижении на 20 МПа.
Показать ответ
Погрешность равна примерно половине произведения $c\,\Delta p$ . Для нефти $c\,\Delta p = 0{,}02$ , погрешность около 1 %; для воды $c\,\Delta p = 0{,}009$ , погрешность около 0,45 %. В обоих случаях линейное уравнение точнее, чем замеры дебита.
4
Скважину исследуют с постоянным дебитом в блоке, со всех сторон ограниченном непроницаемыми разломами. Какие условия задают для уравнения пьезопроводности?
1. А.Только постоянный дебит на скважине
2. Б.Постоянное давление на скважине и на границе
3. В.Начальное давление во всём блоке, постоянный дебит на скважине, нулевой поток через границу
4. Г.Постоянный дебит на скважине и постоянное давление на границе
Показать ответ
Правильный ответ: В. Начальное давление во всём блоке, постоянный дебит на скважине, нулевой поток через границу
Нужны три условия: начальное (давление всюду равно $p_i$ ), на скважине (градиент давления, отвечающий дебиту) и на внешней границе (через непроницаемый разлом поток нулевой, $\partial p/\partial r = 0$ ). Пока возмущение не дошло до разломов, решение совпадает с решением для бесконечного пласта, затем наступает псевдоустановившийся режим.
5
Рассчитайте безразмерное время через 10 ч после пуска скважины радиусом 0,1 м, если $k$ = 20 мД, $\phi$ = 0,15, $\mu$ = 2 мПа·с, $c_t = 1{,}5\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹.
Показать ответ
$t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,kt/(\phi\mu c_tr_w^2)$ . Числитель: $3{,}553\cdot10^{-3}\cdot20\cdot10 = 0{,}7106$ ; знаменатель: $0{,}15\cdot2\cdot1{,}5\cdot10^{-3}\cdot0{,}01 = 4{,}5\cdot10^{-6}$ . Получаем $t_D \approx 1{,}58\cdot10^{5}$ .
6
Проницаемость пласта вдоль напластования 100 мД, поперёк — 10 мД. Оси сетки гидродинамической модели направлены вдоль и поперёк напластования. Нужен ли в такой модели полный тензор проницаемости с недиагональными членами?
Показать ответ
Нет. Оси совпадают с главными направлениями проницаемости, поэтому тензор диагонален: $k_x = k_y = 100$ мД, $k_z = 10$ мД, недиагональные члены равны нулю. Они понадобились бы, если бы сетка была повёрнута относительно напластования — например, при косой слоистости.

Обновлено: 2 октября 2026 г.