Установившийся радиальный приток

Кратко о главном

Установившийся режим возможен, только если отбор возмещается через внешнюю границу — закачкой воды или активным водоносным горизонтом. Без подпитки давление в области падает, и приток становится псевдоустановившимся.
Через каждую окружность вокруг скважины проходит один и тот же расход, а площадь $2\pi rh$ к стволу уменьшается. Поэтому градиент давления растёт как $1/r$ , давление меняется по логарифму расстояния, и на каждое десятикратное удаление от скважины приходится одинаковая доля депрессии.
Формула Дюпюи в согласованных единицах: $q = 2\pi kh\,\Delta p/(\mu\ln(r_e/r_w))$ ; здесь $q$ — дебит в пластовых условиях, логарифм натуральный.
Размеры области входят через логарифм: удвоение $r_e$ меняет дебит лишь на 7–9 %, а скин +4 при логарифмическом члене около 8 снижает дебит на треть.
Среднее давление в области ниже давления на контуре на половину «единицы» $q\mu/(2\pi kh)$ ; в формуле через среднее давление вместо $\ln(r_e/r_w)$ стоит $\ln(r_e/r_w) - 1/2$ .
Для газа по радиусу сохраняется массовый, а не объёмный расход; при постоянном $\mu Z$ приток пропорционален разности квадратов абсолютных давлений.

Ключевые соотношения

q = \dfrac{2\pi kh\,(p_e - p_w)}{\mu\ln(r_e/r_w)}

формула Дюпюи, согласованные единицы, дебит в пластовых условиях

p(r) = p_w + \dfrac{q\mu}{2\pi kh}\ln\dfrac{r}{r_w}

распределение давления вокруг скважины

\bar p - p_w = \dfrac{q\mu}{2\pi kh}\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} - \dfrac12\right)

через среднее давление в области

q_{sc} = \dfrac{\pi kh\,T_{sc}\,(p_e^2 - p_w^2)}{p_{sc}\,T\,\mu Z\ln(r_e/r_w)}

приток газа, давления абсолютные

Где чаще всего ошибаются

Подставить десятичный логарифм вместо натурального: дебит получится в 2,3 раза больше.
Забыть объёмный коэффициент: в согласованных единицах формула даёт дебит в пластовых, а не в стандартных условиях.
Взять среднее пластовое давление, но оставить в знаменателе $\ln(r_e/r_w)$ — член для давления на контуре.
Подставить в формулу газа избыточные давления или разность давлений вместо разности квадратов.
Объяснять пониженный дебит низкой проницаемостью, не проверив скин.

После урока вы сможете

вывести формулу Дюпюи из закона Дарси и записать распределение давления вокруг скважины;
рассчитать дебит и коэффициент продуктивности в СИ, метрических и промысловых единицах, в том числе со скин-фактором, и объяснить происхождение постоянных;
объяснить, почему дебит слабо зависит от радиуса области дренирования и сильно — от призабойной зоны, и оценить, какая доля депрессии расходуется вблизи скважины;
различать формулы, записанные через давление на контуре питания и через среднее пластовое давление, и вывести разницу между ними;
рассчитать установившийся приток газа по разности квадратов абсолютных давлений.

Когда приток установившийся

Приток установившийся (steady state), когда дебит и давление в каждой точке пласта не меняются во времени. Флюид нигде не накапливается и не убывает: сколько его входит в любой объём пласта, столько и выходит. Для скважины это значит, что всё отобранное возмещается притоком через внешнюю границу области дренирования. Так бывает при поддержании давления закачкой воды, когда добывающую скважину окружают нагнетательные, и в залежах с активным водоносным горизонтом.

Простейшая модель такой скважины — базовая модель притока:

однородный пласт постоянной толщины $h$ и проницаемости $k$ , сверху и снизу ограниченный непроницаемыми породами;
вертикальная скважина радиусом $r_w$ вскрывает пласт на всю толщину и стоит в центре круговой области радиусом $r_e$ ;
на внешней границе поддерживается давление $p_e$ — это контур питания; при заводнении $r_e$ примерно равен половине расстояния до нагнетательных скважин, а $p_e$ — давлению посередине между скважинами, которое можно замерить опробователем пластов в наблюдательной скважине;
в порах движется одна фаза — недонасыщенная нефть без свободного газа; связанная вода неподвижна, поэтому $k$ — это проницаемость для нефти при связанной водонасыщенности;
течение ламинарное и подчиняется закону Дарси (Проницаемость горных пород).

СхемаУстановившийся приток (схема, не в масштабе). Внизу — разрез пласта: флюид сходится к скважине, а через контур питания на расстоянии

r_e

поступает столько же, сколько отбирается. Вверху — распределение давления: крутая «воронка» у ствола и пологий подъём к давлению

p_e

на контуре. Среднее давление

\bar p

лишь немного ниже

p_e

; такое давление в пласте — на расстоянии около

0{,}61\,r_e

от скважины.

Если подпитки нет, давление во всей области со временем снижается, и приток становится псевдоустановившимся (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы); сразу после пуска скважины он неустановившийся (Гидродинамические исследования: цели и виды). Но вблизи скважины распределение давления во всех трёх режимах почти одинаково, поэтому выводы этого урока о призабойной зоне справедливы всегда.

Формула Дюпюи

При установившемся течении через каждую окружность радиусом $r$ вокруг скважины проходит один и тот же расход $q$ . Площадь, через которую он проходит, — боковая поверхность цилиндра $2\pi rh$ — уменьшается к стволу, поэтому скорость фильтрации $u = q/(2\pi rh)$ растёт обратно пропорционально расстоянию до оси скважины.

По закону Дарси скорость пропорциональна градиенту давления: $u = (k/\mu)\,\dd p/\dd r$ (давление растёт с удалением от скважины, а поток направлен к ней). Приравняв два выражения для скорости и разделив переменные, получаем $\dd p = \dfrac{q\mu}{2\pi kh}\,\dfrac{\dd r}{r}$ . Интеграл от стенки скважины ( $r_w$ , $p_w$ ) до контура питания ( $r_e$ , $p_e$ ) даёт перепад давления, а вместе с ним и дебит — формулу Дюпюи:

Установившийся радиальный приток (формула Дюпюи)

q = \frac{2\pi kh\,(p_e - p_w)}{\mu\ln\dfrac{r_e}{r_w}}

где:

$q$ дебит в пластовых условиях; в стандартных условиях он равен $q/B$ , м³/с
$k$ проницаемость пласта для текущего флюида, м²
$h$ эффективная толщина пласта, м
$p_e$ давление на контуре питания, Па
$p_w$ давление на стенке скважины (забойное), Па
$\mu$ вязкость флюида в пластовых условиях, Па·с
$r_e$ радиус контура питания, м
$r_w$ радиус скважины, м
$B$ объёмный коэффициент флюида; входит в промысловые формы, где дебит в стандартных условиях, м³/м³

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц); $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

установившийся режим: на контуре поддерживается постоянное давление $p_e$ ;
однородный изотропный пласт постоянной толщины, скважина в центре круговой области вскрывает его на всю толщину;
однофазный поток несжимаемого или слабосжимаемого флюида по закону Дарси; течение горизонтальное;
призабойная зона не изменена — скин-фактор равен нулю (как его учесть, показано ниже).

Депрессия пропорциональна дебиту и вязкости и обратно пропорциональна проводимости $kh$ (проводимость пласта); отношение $kh/\mu$ называют гидропроводностью. Геометрия входит только через $\ln(r_e/r_w)$ . Если в справочной формуле стоит десятичный логарифм $\lg$ , перед ним будет множитель $\ln 10 = 2{,}303$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

q\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{0{,}536\,k\,h\,(p_e - p_w)}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — м, $p$ — МПа, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³; $q$ — дебит в стандартных условиях.

$0{,}536 = 2\pi\cdot 0{,}0853$ , где $0{,}0853$ — постоянная закона Дарси в этих единицах: перевод мД → м², МПа → Па, мПа·с → Па·с и секунд в сутки.

Промысловые единицы (oilfield)

q\,[\text{STB/d}] = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,k\,h\,(p_e - p_w)}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)} = \frac{k\,h\,(p_e - p_w)}{141{,}2\,\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — футы, $p$ — psi, $\mu$ — сП, $B$ — rb/STB; $q$ — баррели нефти в стандартных условиях в сутки.

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot 1{,}127\cdot10^{-3}$ , где $1{,}127\cdot10^{-3}$ — постоянная закона Дарси в промысловых единицах; $141{,}2 = 1/(7{,}08\cdot10^{-3})$ .

Если проинтегрировать не до контура, а до произвольного радиуса $r$ , получится распределение давления вокруг скважины:

Распределение давления при установившемся радиальном притоке

p(r) = p_w + \frac{q\mu}{2\pi kh}\ln\frac{r}{r_w}

где:

$p(r)$ давление в пласте на расстоянии $r$ от оси скважины, Па
$r$ расстояние от оси скважины, $r_w \le r \le r_e$ , м
$q,\ \mu,\ k,\ h,\ p_w,\ r_w$ как в формуле Дюпюи; $q$ — в пластовых условиях, м³/с, Па·с, м², м, Па, м

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

те же, что для формулы Дюпюи.

Величину $q\mu/(2\pi kh)$ удобно считать «единицей» перепада давления радиального потока. В этих единицах безразмерный перепад $p_D = (p - p_w)/(q\mu/(2\pi kh))$ равен просто $\ln(r/r_w)$ и зависит только от геометрии. Для реальных скважин $r_e/r_w$ — от тысячи до нескольких десятков тысяч, и полный безразмерный перепад $\ln(r_e/r_w)$ — примерно от 7 до 11.

Из логарифмического профиля следует простое правило: на каждое десятикратное удаление от скважины приходится одинаковый перепад давления — $\ln 10$ «единиц» $q\mu/(2\pi kh)$ . При радиусе скважины 0,1 м путь от её стенки до 1 м «стоит» столько же, сколько путь от 10 до 100 м. Но объём пласта в этих кольцах несопоставим: во втором он в десять тысяч раз больше.

Доля депрессии и доля площади области в пределах радиуса r (скважина радиусом 0,108 м, контур питания 400 м)

Радиус $r$: 0,5 м
Доля депрессии: 19 %
Доля площади области: 0,00015 %

Радиус $r$: 1 м
Доля депрессии: 27 %
Доля площади области: 0,00062 %

Радиус $r$: 3 м
Доля депрессии: 40 %
Доля площади области: 0,0056 %

Радиус $r$: 10 м
Доля депрессии: 55 %
Доля площади области: 0,062 %

Радиус $r$: 50 м
Доля депрессии: 75 %
Доля площади области: 1,6 %

Радиус $r$: 100 м
Доля депрессии: 83 %
Доля площади области: 6,2 %

Радиус $r$	Доля депрессии	Доля площади области
0,5 м	19 %	0,00015 %
1 м	27 %	0,00062 %
3 м	40 %	0,0056 %
10 м	55 %	0,062 %
50 м	75 %	1,6 %
100 м	83 %	6,2 %

Доля депрессии — $\ln(r/r_w)/\ln(r_e/r_w)$ , доля площади — $(r^2 - r_w^2)/(r_e^2 - r_w^2)$ . На каждое десятикратное удаление здесь приходится $\ln 10/\ln(r_e/r_w) \approx 28$ % депрессии.

Отсюда три практических следствия. Во-первых, состояние породы в первых метрах вокруг ствола определяет дебит непропорционально сильно: повреждение этой зоны буровым раствором или, наоборот, её обработка меняют дебит больше, чем изменение проницаемости далеко в пласте (Скин-фактор). Во-вторых, радиус контура питания достаточно знать приближённо. В-третьих, у высокодебитных скважин именно у ствола скорость фильтрации наибольшая, и там в первую очередь нарушается закон Дарси (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация).

Коэффициент продуктивности и размеры области

Разделив дебит в стандартных условиях на депрессию, получаем коэффициент продуктивности установившегося притока. Он не зависит ни от дебита, ни от депрессии — только от свойств пласта, флюида и геометрии, поэтому линия притока прямая (Приток к скважине: диаграмма работы скважины).

Коэффициент продуктивности при установившемся притоке

J = \frac{q_s}{p_e - p_w} = \frac{2\pi kh}{B\mu\ln\dfrac{r_e}{r_w}}

где:

$J$ коэффициент продуктивности по давлению на контуре питания, м³/(с·Па)
$q_s$ дебит в стандартных условиях, м³/с
$B$ объёмный коэффициент флюида, м³/м³
$k,\ h,\ \mu,\ r_e,\ r_w,\ p_e,\ p_w$ как в формуле Дюпюи, м², м, Па·с, м, м, Па, Па

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

условия формулы Дюпюи; скин равен нулю.

Продуктивность прямо пропорциональна проводимости $kh$ и обратно пропорциональна вязкости и объёмному коэффициенту. Радиусы стоят под логарифмом и влияют слабо.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

J\,[\text{м}^3/(\text{сут}\cdot\text{МПа})] = \frac{0{,}536\,k\,h}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — м, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³.

$0{,}536 = 2\pi\cdot 0{,}0853$ , как в формуле Дюпюи.

Промысловые единицы (oilfield)

J\,[\text{STB/(d·psi)}] = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,k\,h}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — футы, $\mu$ — сП, $B$ — rb/STB. Перевод: 1 STB/(d·psi) = 23,06 м³/(сут·МПа).

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot 1{,}127\cdot10^{-3}$ .

РасчётРасчётный дебит скважины из примера ниже (депрессия 4,5 МПа) в зависимости от радиуса контура питания, без скина и со скином +4. Шкала радиуса логарифмическая: десятикратное увеличение

r_e

снижает дебит меньше, чем скин +4, — к логарифмическому члену оно добавляет

\ln 10 \approx 2{,}3

, а скин — 4.

Слабая зависимость от радиусов имеет и обратную сторону. Уплотнение сетки скважин почти не увеличивает дебит каждой из них — выигрыш уплотнения в другом: больше скважин и охват пласта. Долото большего диаметра даёт прибавку в несколько процентов. А вот трещина гидроразрыва действует как скважина огромного «приведённого» радиуса и увеличивает дебит в разы (Скин-фактор).

Скин в установившемся притоке

Реальная призабойная зона почти всегда изменена бурением, заканчиванием или обработкой. Её влияние описывают скин-фактором $S$ — безразмерным дополнительным сопротивлением, которое складывается с логарифмическим членом пласта. Сопротивления пласта и призабойной зоны включены последовательно, как два участка одной трубы:

Установившийся приток со скин-фактором

q_s = \frac{2\pi kh\,(p_e - p_{wf})}{B\mu\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} + S\right)}

где:

$q_s$ дебит в стандартных условиях, м³/с
$p_{wf}$ фактическое забойное давление работающей скважины, Па
$S$ скин-фактор: $S > 0$ — приток затруднён, $S < 0$ — облегчён, —
$k,\ h,\ B,\ \mu,\ r_e,\ r_w,\ p_e$ как в формуле Дюпюи, м², м, м³/м³, Па·с, м, м, Па

Единицы: СИ; в метрических и промысловых единицах постоянные те же, что в формуле Дюпюи

Справедливо, если

изменённая зона мала по сравнению с областью дренирования, и течение в ней можно считать установившимся;
скин не зависит от дебита (нет инерционных потерь).

Доля депрессии, которая теряется в призабойной зоне, равна $S/(\ln(r_e/r_w) + S)$ . При логарифмическом члене около 8 скин +4 забирает треть депрессии, а скин +8 — половину. Откуда берётся скин и как его рассчитать по размеру и проницаемости изменённой зоны, разобрано в уроке Скин-фактор.

Расчётный примерДебит по формуле Дюпюи: без скина, со скином и в промысловых единицах

Исходные данные (условные)

Проницаемость $k$ ; толщина $h$: 60 мД; 18 м
Вязкость нефти $\mu$ ; объёмный коэффициент $B$: 1,8 мПа·с; 1,25 м³/м³
Радиус скважины $r_w$ (долото 216 мм); радиус контура $r_e$: 0,108 м; 400 м
Давление на контуре $p_e$ ; забойное давление $p_{wf}$: 22,0 МПа; 17,5 МПа
Скин-фактор (по исследованию): +4

Решение

Логарифмический член (натуральный логарифм): $\ln(400/0{,}108) = 8{,}217$ .
Без скина: $q = \dfrac{0{,}536\cdot 60\cdot 18\cdot 4{,}5}{1{,}8\cdot 1{,}25\cdot 8{,}217} = 141$ м³/сут; коэффициент продуктивности $141/4{,}5 = 31{,}3$ м³/(сут·МПа).
Со скином +4 в знаменателе стоит $8{,}217 + 4 = 12{,}217$ : $q = 141\cdot 8{,}217/12{,}217 = 95$ м³/сут — 67 % от идеального.
Перепад давления на скине: $\Delta p_s = 4{,}5\cdot 4/12{,}217 = 1{,}47$ МПа.
Проверка в промысловых единицах: 18 м = 59,06 ft, 4,5 МПа = 652,7 psi; $q = \dfrac{7{,}08\cdot10^{-3}\cdot 60\cdot 59{,}06\cdot 652{,}7}{1{,}8\cdot 1{,}25\cdot 8{,}217} = 886$ STB/d.
Перевод баррелей: $886\cdot 0{,}159 = 141$ м³/сут — тот же результат, что в метрических единицах.

Ответ: Без скина скважина дала бы около 141 м³/сут, со скином +4 даёт около 95 м³/сут; на призабойную зону уходит 1,47 МПа из 4,5 МПа депрессии.

Что это значит. Умеренный скин +4 отнял треть дебита, потому что логарифмический член всего около 8, и четыре единицы скина прибавляют к сопротивлению пласта половину. Две системы единиц дают один и тот же дебит, если аккуратно перевести все величины: постоянные 0,536 и $7{,}08\cdot10^{-3}$ различаются только выбором единиц. Данные примера условные.

Среднее давление в области дренирования

Давление на контуре питания прямо замерить трудно, а среднее давление в области дренирования $\bar p$ находят по восстановлению давления после остановки скважины и по материальному балансу. Поэтому формулу притока удобнее записать через $\bar p$ . Среднее берут по объёму пор: каждое кольцо пласта входит с весом своего объёма $2\pi rh\phi\,\dd r$ . Подставив логарифмический профиль и проинтегрировав от $r_w$ до $r_e$ , получаем:

Среднее давление при установившемся радиальном притоке

\bar p - p_w = \frac{q_s B\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r_e}{r_w} - \frac12\right),\qquad p_e - \bar p = \frac12\cdot\frac{q_s B\mu}{2\pi kh}

где:

$\bar p$ среднее по объёму пор давление в области дренирования, Па
$q_s$ дебит в стандартных условиях, м³/с
$p_w,\ p_e$ давление на стенке скважины и на контуре питания, Па
$B,\ \mu,\ k,\ h,\ r_e,\ r_w$ как в формуле Дюпюи, м³/м³, Па·с, м², м, м, м
$J$ коэффициент продуктивности по среднему давлению (метрическая форма), м³/(сут·МПа)
$S$ скин-фактор, если призабойная зона изменена, —

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

установившийся приток в круговой области, пористость и толщина постоянны;
$r_w \ll r_e$ : отброшены слагаемые порядка $(r_w/r_e)^2$ .

Большая часть объёма пор лежит далеко от скважины, где давление близко к $p_e$ , поэтому среднее давление всего на половину «единицы» радиального перепада ниже давления на контуре. Логарифмический профиль проходит через $\bar p$ на расстоянии $r_e\,\e^{-1/2} \approx 0{,}61\,r_e$ .

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы (коэффициент продуктивности)

J = \frac{q_s}{\bar p - p_w} = \frac{0{,}536\,k\,h}{\mu\,B\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} - \dfrac12 + S\right)}

$J$ — м³/(сут·МПа), $k$ — мД, $h$ — м, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³; скин прибавляется так же, как в формуле через $p_e$ .

$0{,}536$ — та же постоянная; в промысловых единицах $7{,}08\cdot10^{-3}$ .

Логарифмический член в формулах радиального притока

Режим: Установившийся
Давление в формуле: на контуре питания $p_e$
Логарифмический член: $\ln(r_e/r_w) + S$

Режим: Установившийся
Давление в формуле: среднее $\bar p$
Логарифмический член: $\ln(r_e/r_w) - 1/2 + S$

Режим: Псевдоустановившийся
Давление в формуле: на внешней границе $p_e$
Логарифмический член: $\ln(r_e/r_w) - 1/2 + S$

Режим: Псевдоустановившийся
Давление в формуле: среднее $\bar p$
Логарифмический член: $\ln(r_e/r_w) - 3/4 + S$

Режим	Давление в формуле	Логарифмический член
Установившийся	на контуре питания $p_e$	$\ln(r_e/r_w) + S$
Установившийся	среднее $\bar p$	$\ln(r_e/r_w) - 1/2 + S$
Псевдоустановившийся	на внешней границе $p_e$	$\ln(r_e/r_w) - 1/2 + S$
Псевдоустановившийся	среднее $\bar p$	$\ln(r_e/r_w) - 3/4 + S$

Формулы псевдоустановившегося притока выводятся в уроке Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы. Разница постоянных невелика по сравнению с логарифмом, но при сравнении продуктивностей её нужно учитывать.

Расчётный примерПочему по установившемуся режиму проницаемость не найти

Исходные данные (условные)

Установившийся режим при поддержании давления: $q$ = 120 м³/сут при $p_{wf}$ = 17,0 МПа
По КВД в той же скважине: $\bar p$ = 21,3 МПа; проводимость $kh$ = 1500 мД·м
$B$ ; $\mu$ ; толщина $h$: 1,20; 2,0 мПа·с; 12 м
$r_e$ ; $r_w$: 350 м; 0,1 м

Решение

Член для среднего давления: $\ln(350/0{,}1) - 0{,}5 = 7{,}661$ .
Если считать скин нулевым, проводимость по установившемуся режиму: $kh = qB\mu(\ln(r_e/r_w) - 1/2)/(0{,}536\,\Delta p)$ .
Подставляем: $kh = \dfrac{120\cdot 1{,}2\cdot 2{,}0\cdot 7{,}661}{0{,}536\cdot 4{,}3} = 957$ мД·м, откуда «кажущаяся» проницаемость $957/12 = 79{,}8$ мД.
По КВД проводимость 1500 мД·м, то есть $k$ = 125 мД. Разницу объясняет скин: $S = \dfrac{0{,}536\cdot 1500\cdot 4{,}3}{120\cdot 1{,}2\cdot 2{,}0} - 7{,}661 = 4{,}34$ .

Ответ: По установившемуся режиму «кажущаяся» проницаемость — 79,8 мД, на 36 % ниже определённой по КВД; разницу даёт скин около 4,34.

Что это значит. Установившийся режим даёт одно число — продуктивность, в которой проницаемость и скин неразделимы. «Кажущаяся» проницаемость, рассчитанная при нулевом скине, занижена у повреждённой скважины и завышена у обработанной. Разделить их позволяет запись давления на неустановившемся режиме (Гидродинамические исследования: цели и виды). Данные примера условные.

Установившийся приток газа

Газ сильно сжимаем, и это меняет вывод. Через каждую окружность вокруг скважины по-прежнему проходит одно и то же количество газа — постоянен массовый расход, или, что то же самое, дебит в стандартных условиях $q_{sc}$ . А объёмный расход в пласте растёт к скважине: давление падает, и газ расширяется. В пластовых условиях объём газа равен $q_{sc}B_g$ , где объёмный коэффициент $B_g = p_{sc}ZT/(pT_{sc})$ обратно пропорционален давлению.

Подставив этот объём в закон Дарси, получим под интегралом не $\dd p$ , а $p\,\dd p/(\mu Z)$ . Если произведение вязкости на коэффициент сверхсжимаемости $\mu Z$ мало меняется в диапазоне давлений, его выносят за интеграл со значением при среднем давлении, и приток оказывается пропорционален разности квадратов давлений:

Установившийся радиальный приток газа

q_{sc} = \frac{\pi kh\,T_{sc}\,(p_e^2 - p_w^2)}{p_{sc}\,T\,\bar\mu\bar Z\ln\dfrac{r_e}{r_w}}

где:

$q_{sc}$ дебит газа в стандартных условиях, м³/с
$p_e,\ p_w$ абсолютные давления на контуре и на забое, Па
$T$ пластовая температура, К
$T_{sc},\ p_{sc}$ температура и давление стандартных условий, К, Па
$\bar\mu,\ \bar Z$ вязкость газа и коэффициент сверхсжимаемости при среднем давлении $(p_e + p_w)/2$ , Па·с, —
$k,\ h,\ r_e,\ r_w$ как в формуле Дюпюи, м², м, м, м

Единицы: СИ; давления только абсолютные; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

установившийся изотермический приток, однородный пласт, скважина вскрывает его на всю толщину;
$\mu Z$ мало меняется между $p_w$ и $p_e$ — ориентировочно при давлениях до 14 МПа; при более высоких давлениях используют псевдодавление (дополнительный раздел);
закон Дарси: у газовых скважин при больших дебитах добавляются инерционные потери (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация); скин прибавляют к логарифму так же, как для нефти.

Так как $p_e^2 - p_w^2 = 2\bar p_m(p_e - p_w)$ при $\bar p_m = (p_e + p_w)/2$ , формула — та же формула Дюпюи для объёмного расхода при среднем давлении, делённого на $B_g$ при этом давлении. Отсюда и рецепт: для газа всё, что зависит от давления, оценивают при среднем давлении.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

q_{sc}\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{0{,}2679\,k\,h\,T_{sc}\,(p_e^2 - p_w^2)}{p_{sc}\,T\,\bar\mu\bar Z\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — м, $p$ — МПа (абсолютные), $T$ — К, $\mu$ — мПа·с. Для стандартных условий 20 °C и 0,101325 МПа множитель $0{,}2679\,T_{sc}/p_{sc} = 775$ .

$0{,}2679 = \pi\cdot 0{,}08527$ — половина постоянной 0,536, потому что $\pi = 2\pi/2$ .

Промысловые единицы (oilfield)

q_{sc}\,[\text{Mscf/d}] = \frac{k\,h\,(p_e^2 - p_w^2)}{1422\,T\,\bar\mu\bar Z\ln(r_e/r_w)}

$k$ — мД, $h$ — футы, $p$ — psia (абсолютные), $T$ — градусы Ранкина, $\mu$ — сП; дебит в тысячах стандартных кубических футов в сутки.

$1422$ получается из той же постоянной закона Дарси при стандартных условиях 14,7 psia и 60 °F (520 °R).

Только абсолютные давления

В разность давлений можно подставлять и абсолютные, и избыточные давления — атмосферное давление сокращается. В разности квадратов оно не сокращается. При давлениях 1,0 и 0,5 МПа (абсолютных) разность квадратов 0,75 МПа², а те же давления, взятые как избыточные (0,9 и 0,4 МПа при атмосферном около 0,1 МПа), дают 0,65 МПа² — на 13 % меньше. При пластовых давлениях в десятки мегапаскалей ошибка около процента, но привычку лучше не заводить.

Расчётный примерДебит газовой скважины при установившемся притоке

Исходные данные (условные)

Проницаемость $k$ ; толщина $h$: 8 мД; 12 м
Давления на контуре и на забое (абсолютные): 12,0 МПа и 9,0 МПа
Пластовая температура $T$: 358 К (85 °C)
При среднем давлении 10,5 МПа: вязкость газа; коэффициент $Z$: 0,016 мПа·с; 0,88
$r_e$ ; $r_w$: 500 м; 0,1 м
Стандартные условия: 293,15 К и 0,101325 МПа

Решение

Логарифмический член: $\ln(500/0{,}1) = 8{,}517$ ; разность квадратов давлений $12^2 - 9^2 = 63$ МПа².
Множитель стандартных условий: $0{,}2679\cdot 293{,}15/0{,}101325 = 775$ .
Дебит: $q_{sc} = 775\cdot\dfrac{8\cdot 12\cdot 63}{358\cdot 0{,}016\cdot 0{,}88\cdot 8{,}517} = 109$ тыс. м³/сут.
Проверка через объёмный коэффициент при среднем давлении: $B_g = \dfrac{0{,}101325\cdot 0{,}88\cdot 358}{10{,}5\cdot 293{,}15} = 0{,}01037$ .
Формула Дюпюи для объёма в пласте: $q = \dfrac{0{,}536\cdot 8\cdot 12\cdot 3{,}0}{0{,}016\cdot 8{,}517} = 1133$ м³/сут; делим на $B_g$ : $1133/0{,}01037 = 109$ тыс. м³/сут.

Ответ: Скважина даёт около 109 тыс. м³ газа в сутки в стандартных условиях.

Что это значит. В пласте тот же газ занимает около 1133 м³ в сутки — в сотню раз меньше, чем на поверхности. Обе записи дают одинаковый результат, потому что формула с квадратами давлений — это формула Дюпюи с объёмом газа, приведённым к среднему давлению. При реальных дебитах газовых скважин к этому вязкому сопротивлению добавляются инерционные потери у ствола, поэтому потенциал газовых скважин определяют по исследованиям на нескольких режимах (Индикаторная кривая притока). Данные примера условные.

Термины и обозначения

Установившийся приток: режим, при котором давление и скорость в каждой точке пласта не меняются во времени; отбор возмещается через внешнюю границу.
Контур питания ( $r_e$ , $p_e$ ): внешняя граница области дренирования, на которой поддерживается давление $p_e$ закачкой или водоносным горизонтом.
Формула Дюпюи: дебит установившегося радиального притока: $q = 2\pi kh\,\Delta p/(\mu\ln(r_e/r_w))$ .
Проводимость $kh$ и гидропроводность $kh/\mu$: произведение проницаемости на толщину пласта и его отношение к вязкости; определяют дебит при данной депрессии.
Безразмерное давление $p_D$: перепад давления в «единицах» $q\mu/(2\pi kh)$ ; при установившемся притоке $p_D = \ln(r/r_w)$ .
Среднее пластовое давление $\bar p$: среднее по объёму пор давление в области дренирования; при установившемся притоке ниже $p_e$ на половину «единицы» радиального перепада.
Абсолютное давление: давление, отсчитанное от вакуума; избыточное — от атмосферного. В формулы с квадратами давлений подставляют только абсолютные.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Удвоим радиус области дренирования — дебит упадёт вдвое».

На самом деле

Радиусы входят через логарифм: при $r_w$ = 0,1 м увеличение $r_e$ с 250 до 500 м снижает дебит лишь на 8 %.

Неверно

«Формула Дюпюи сразу даёт дебит на поверхности».

На самом деле

В согласованных единицах $q$ — дебит в пластовых условиях; в стандартных он равен $q/B$ . В метрической и промысловой формах объёмный коэффициент записан явно.

Неверно

«Давление на контуре питания и среднее пластовое давление — одно и то же».

На самом деле

При установившемся притоке $p_e - \bar p$ равно половине «единицы» $q\mu/(2\pi kh)$ , и в формуле через $\bar p$ вместо $\ln(r_e/r_w)$ стоит $\ln(r_e/r_w) - 1/2$ .

Неверно

«Газ течёт к скважине так же, как нефть: достаточно подставить его вязкость».

На самом деле

Объёмный расход газа растёт к скважине, постоянен массовый расход. Поэтому в формуле стоит разность квадратов абсолютных давлений (или псевдодавлений), а вязкость и $Z$ берут при среднем давлении.

Неверно

«Скважина даёт меньше, чем по формуле Дюпюи, — значит, проницаемость ниже».

На самом деле

Чаще виновата призабойная зона: повреждение, неполное вскрытие, перфорация — всё это скин. Проницаемость и скин разделяют по гидродинамическим исследованиям.

Подробно: для продвинутых

Логарифм из уравнения неразрывности

Тот же результат следует из уравнения неразрывности. При установившемся течении несжимаемого флюида поток не накапливается ни в одном объёме, и для радиально-симметричного течения это записывается как $\dfrac{1}{r}\dfrac{\dd}{\dd r}\!\left(r\,\dfrac{\dd p}{\dd r}\right) = 0$ . Значит, произведение $r\,\dd p/\dd r$ постоянно (оно пропорционально дебиту), а общее решение — $p = a\ln r + b$ . Постоянные $a$ и $b$ находят из двух граничных условий: давления на стенке скважины и на контуре питания или дебита на стенке.

Та же математика описывает теплопроводность через стенку трубы: тепловое сопротивление цилиндрического слоя пропорционально $\ln(r_2/r_1)$ , и сопротивления концентрических слоёв складываются. Так и в пласте: сопротивления последовательных колец складываются, и на этом основана формула скина для зоны изменённой проницаемости (Скин-фактор).

Установившийся профиль внутри неустановившегося притока

Формулы установившегося притока полезны и тогда, когда пласт в целом далёк от установившегося состояния. После пуска скважины возмущение давления уходит вглубь пласта, но в области, куда оно давно пришло, расход через окружности почти не меняется с радиусом: флюид там почти не расширяется. Поэтому вблизи скважины давление распределено так же, как при установившемся притоке, только уровень его со временем снижается:

Квазиустановившийся профиль давления у скважины

p(r, t) = p_{wf}(t) + \frac{q_sB\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r}{r_w} + S\right)

где:

$p(r,t)$ давление на расстоянии $r$ от скважины в момент $t$ (за пределами изменённой зоны), Па
$p_{wf}(t)$ забойное давление в тот же момент, Па
$q_s,\ B,\ \mu,\ k,\ h,\ S$ дебит в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, скин, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м, —

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

постоянный дебит после пуска; однородный пласт;
$r$ много меньше радиуса исследования $\sqrt{4kt/(\phi\mu c_t)}$ : возмущение пришло сюда давно.

Забойное давление при неустановившемся притоке можно записать как установившееся, если заменить $r_e$ растущим со временем радиусом дренирования $r_d = \sqrt{4kt/(\gamma\phi\mu c_t)} \approx 0{,}75\,r_i$ , где $\gamma = 1{,}781$ . Именно поэтому скин, определённый через установившийся перепад в тонкой зоне у ствола, одинаково входит и в формулы исследований скважин (Анализ кривой восстановления давления).

Газ при высоких давлениях: псевдодавление

Если $\mu Z$ заметно меняется в диапазоне давлений, выносить его за интеграл нельзя. Тогда вводят псевдодавление реального газа (real gas pseudo-pressure) — функцию, которая вбирает эту зависимость:

Приток газа через псевдодавление

m(p) = 2\int_{p_0}^{p}\frac{p'\,\dd p'}{\mu(p')\,Z(p')},\qquad q_{sc} = \frac{\pi kh\,T_{sc}\,\big[m(p_e) - m(p_w)\big]}{p_{sc}\,T\,\ln\dfrac{r_e}{r_w}}

где:

$m(p)$ псевдодавление реального газа, Па²/(Па·с)
$p_0$ любое опорное давление: в формулу входит только разность псевдодавлений, Па
$\mu(p),\ Z(p)$ вязкость газа и коэффициент сверхсжимаемости как функции давления при пластовой температуре, Па·с, —

Единицы: СИ; давления абсолютные

Справедливо, если

изотермический установившийся приток по закону Дарси; свойства газа известны по PVT-данным.

При постоянном $\mu Z$ разность псевдодавлений равна $(p_e^2 - p_w^2)/(\mu Z)$ — получается формула с квадратами давлений. При высоких давлениях отношение $p/(\mu Z)$ почти постоянно, и приток становится пропорциональным просто разности давлений, как у жидкости. Псевдодавление работает во всём диапазоне и поэтому стандартно используется в программах интерпретации исследований газовых скважин.

Связь с другими темами

Проницаемость горных пород — закон Дарси, на котором построен вывод.
Скин-фактор — дополнительное сопротивление призабойной зоны и приведённый радиус скважины.
Приток к скважине: диаграмма работы скважины — как формула притока вместе с кривой лифта определяет дебит.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — приток без подпитки: постоянная −3/4 и коэффициенты формы области.
Индикаторная кривая притока — индикаторная кривая, когда приток перестаёт быть однофазным.
Гидродинамические исследования: цели и виды — как разделяют проницаемость и скин.
Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация — инерционные потери у газовых и высокодебитных скважин.
Объёмный коэффициент, сжимаемость и вязкость газа — объёмный коэффициент, вязкость и сжимаемость газа.

Проверьте себя

1
Скважина радиусом 0,1 м работает в установившемся режиме. Как изменится её дебит при той же депрессии, если радиус контура питания увеличится с 250 до 500 м?
1. А.Увеличится примерно на 8 %
2. Б.Уменьшится примерно на 8 %
3. В.Не изменится
4. Г.Уменьшится вдвое
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Уменьшится примерно на 8 %
Дебит обратно пропорционален $\ln(r_e/r_w)$ : $\ln 2500 = 7{,}82$ , $\ln 5000 = 8{,}52$ , отношение $7{,}82/8{,}52 = 0{,}92$ . Размеры области входят через логарифм и влияют слабо.
2
Скважина радиусом 0,1 м, контур питания 300 м. Какая доля депрессии расходуется в пределах 1 м от оси скважины?
1. А.Около 29 %
2. Б.Около 58 %
3. В.Около 0,3 %
4. Г.Около 3 %
Показать ответ
Правильный ответ: А. Около 29 %
Доля равна $\ln 10/\ln 3000 = 2{,}30/8{,}01 \approx 0{,}29$ . Почти треть депрессии теряется в кольце толщиной меньше метра, где заключены тысячные доли процента объёма области.
3
Почему в формуле установившегося притока газа стоит разность квадратов давлений и почему давления должны быть абсолютными?
Показать ответ
Постоянен массовый, а не объёмный расход: объём газа в пласте обратно пропорционален давлению. Подстановка объёма $q_{sc}B_g$ в закон Дарси даёт под интегралом $p\,\dd p$ , а его интеграл — разность квадратов. Объём газа обратно пропорционален именно абсолютному давлению, а в разности квадратов атмосферное давление не сокращается, поэтому избыточные давления дают ошибку, особенно заметную при низких давлениях.
4
Коэффициент продуктивности рассчитывают по среднему пластовому давлению, найденному по КВД, при установившемся режиме. Какой логарифмический член должен стоять в знаменателе (без скина)?
1. А. $\lg(r_e/r_w)$
2. Б. $\ln(r_e/r_w) - 3/4$
3. В. $\ln(r_e/r_w)$
4. Г. $\ln(r_e/r_w) - 1/2$
Показать ответ
Правильный ответ: Г. $\ln(r_e/r_w) - 1/2$
При установившемся притоке среднее давление ниже давления на контуре на половину «единицы» $q\mu/(2\pi kh)$ , поэтому через $\bar p$ член равен $\ln(r_e/r_w) - 1/2$ . Член $-3/4$ относится к псевдоустановившемуся режиму, а десятичный логарифм без множителя 2,303 здесь вообще неверен.
5
Рассчитайте дебит в промысловых единицах: $kh$ = 1000 мД·ft, депрессия 500 psi, $\mu$ = 1,0 сП, $B$ = 1,2, $\ln(r_e/r_w)$ = 8,0, скин нулевой. Сколько это в кубометрах в сутки?
Показать ответ
Знаменатель $141{,}2\cdot 1{,}0\cdot 1{,}2\cdot 8{,}0 = 1355{,}5$ , и $q = 5\cdot10^{5}/1355{,}5 \approx 369$ STB/d, или $369\cdot 0{,}159 \approx 59$ м³/сут в стандартных условиях. С постоянной $7{,}08\cdot10^{-3}$ получается то же: $3540/9{,}6 \approx 369$ .
6
Скважина в установившемся режиме даёт на 40 % меньше, чем рассчитано по формуле Дюпюи с проницаемостью по керну. Назовите возможные причины и как их проверить.
Показать ответ
Скорее всего, положительный скин: повреждение призабойной зоны, неполное вскрытие пласта, слишком мало перфорационных каналов или они короткие. Возможны и другие причины: проницаемость керна не равна эффективной проницаемости пласта для нефти, у забоя выделяется газ (давление ниже давления насыщения), неверно оценены давление на контуре или толщина работающей части пласта. Проверяют гидродинамическим исследованием — оно даёт проводимость $kh$ и скин по отдельности — и промыслово-геофизическими исследованиями работающих интервалов.

Обновлено: 26 октября 2026 г.

Кратко о главном

После урока вы сможете

Когда приток установившийся

Формула Дюпюи

Где расходуется депрессия

Коэффициент продуктивности и размеры области

Скин в установившемся притоке

Среднее давление в области дренирования

Установившийся приток газа

Термины и обозначения

Частые ошибки и заблуждения

Подробно: для продвинутых

Связь с другими темами

Проверьте себя