ГДИСГраницы и поздний период Продвинутый 21 мин чтения

Полуограниченные системы: теория и анализ исследований

Полуограниченная система (semi-infinite system) — пласт, ограниченный непроницаемыми границами не со всех сторон: хотя бы в одном направлении он открыт и простирается далеко за пределы исследования. Простейшие такие системы — полуплоскость за одним разломом, прямой угол между двумя перпендикулярными разломами, канал между параллельными разломами и канал, закрытый с одного конца (U-образная система разломов). Псевдоустановившегося режима у них нет: поздняя производная давления выходит на новую полку или идёт с наклоном ½, а после остановки давление восстанавливается до начального. Урок собирает эти системы в одну картину — общее решение с отражениями, одна характерная длина, правило произведения для прямоугольных систем — и подробно разбирает канал, закрытый с одного конца.

Зачем это нужно

Вытянутые блоки между разломами и русловые песчаные тела, которые с одной стороны выклиниваются или упираются в поперечный разлом, встречаются и в рифтовых, и в речных отложениях. Исследование скважины отличает такую систему от открытого канала и от замкнутого блока и даёт ширину канала и расстояние до закрытого конца — то есть объём, на который можно рассчитывать в одном направлении, и направление, в котором стоит искать продолжение залежи. Нераспознанный торец ведёт к ошибкам: удвоенный наклон линейного притока принимают за вдвое более узкий канал, а давление, восстанавливающееся медленнее ожидаемого, — за истощение.

Сначала прочитайте:Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки

Кратко о главном

Полуограниченная система открыта хотя бы в одном направлении: псевдоустановившегося режима нет, а давление после долгой остановки возвращается к начальному $p_i$ , а не к среднему давлению блока, как в замкнутой системе.
Каждая прямая граница — отражение. Если положение всех отражений задаёт одна длина $L$ , их вклад зависит только от $\eta t/L^2$ : одной геометрии — одна эталонная кривая.
Правило произведения: в прямоугольной системе производная, отнесённая к полке $m_e$ , равна произведению множителей по двум направлениям. Открытое направление даёт 1, одна граница на расстоянии $L$ — $1 + \e^{-L^2/(\eta t)}$ , две параллельные — множитель полосы, растущий как $\sqrt{4\pi\eta t}/W$ .
Поэтому торец канала действует на линейный приток так же, как разлом на радиальный: удваивает его. Наклон прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ становится $2m_L$ ; расстояние до торца надёжнее всего находить по одной точке производной: $L_3 = \sqrt{\eta t\,\ln[1/(r - 1)]}$ .
Скважина у самой границы ведёт себя как скважина с удвоенным дебитом в системе без этой границы; скин при этом относится к настоящему дебиту.
После короткой работы торец канала оставляет на восстановлении давления след, обратно пропорциональный $WL_3$ , а не $L^2$ , как разлом в радиальном пласте: поэтому он заметнее, но приходит поздно — около $2L_3^2/\eta$ после остановки.

Ключевые соотношения

\Delta p = m_e\Big[\ln t_D + 0{,}809 + 2S + \sum_j E_1\!\Big(\dfrac{d_j^2}{4\eta t}\Big)\Big]

давление в скважине с отражениями после окончания влияния ствола; $m_e = qB\mu/(4\pi kh)$

\dfrac{\Delta p'}{m_e} = F_x(t)\,F_y(t),\qquad F = 1 + \e^{-L^2/(\eta t)}

правило произведения; множитель одной границы на расстоянии $L$

L_3 = \sqrt{\eta t\,\ln\dfrac{1}{r - 1}},\qquad r = \dfrac{\Delta p'}{\tfrac12 m_L\sqrt t}

расстояние до торца канала по одной точке производной

L_3 = \sqrt{\eta t_x/\pi} = 0{,}0336\sqrt{\dfrac{k\,t_x}{\phi\mu c_t}}

по пересечению прямых $\Delta p$ — $\sqrt t$ : м, мД, ч, мПа·с, 1/МПа (требует очень длинной записи)

\delta p_{\max} = \dfrac{qB\,t_p}{198\,\phi c_t h\,WL_3}

наибольший след торца на кривой восстановления давления (КВД) после короткой работы $t_p$ : м³/сут, ч, 1/МПа, м, МПа

Где чаще всего ошибаются

Считать ширину канала по позднему наклону $\sqrt t$ , когда торец уже сказывается: наклон удвоен, и ширина получается вдвое заниженной.
Проводить вторую прямую $\Delta p$ — $\sqrt t$ через последние точки и брать расстояние до торца по пересечению: поздняя прямая формируется медленно, и расстояние занижено.
Принимать восстановление давления, которое медленнее обычного выходит к $p_i$ , за истощение блока, не проверив открытое направление.
Удваивать вместе с дебитом и скин скважины, стоящей у самой границы.
Искать по исследованию одной скважины, с какой стороны закрыт канал: запись даёт расстояния, а не направления.

После урока вы сможете

объяснить, чем полуограниченная система отличается от замкнутой и от неограниченного пласта, и назвать её признаки на производной и при восстановлении давления;
записать давление в скважине с отражениями в безразмерном виде с одной характерной длиной и объяснить, почему поздняя часть решения зависит только от $\eta t/L^2$ ;
строить производную прямоугольной системы разломов как произведение множителей по двум направлениям;
узнать канал, закрытый с одного конца, по удвоению наклона линейного притока и найти ширину канала и расстояние до торца по прямым $\Delta p$ — $\sqrt t$ и по одной точке производной;
оценить, увидит ли исследование торец канала при работе скважины и после остановки, и назвать, что запись различить не может.

Полуограниченные системы среди моделей границ

Модели границ пласта, которые используют при интерпретации исследований, делятся на три семейства. В неограниченном пласте возмущение уходит без помех. В замкнутой области оно со всех сторон встречает непроницаемые границы, и после переходного периода давление снижается всюду с одной скоростью — наступает псевдоустановившийся режим (Исследование на ограниченность пласта). Между ними — полуограниченные системы: границы есть, но хотя бы в одном направлении пласт открыт. Возмущение уходит в открытую сторону бесконечно далеко, охваченный им объём растёт без предела, и псевдоустановившегося режима не наступает.

Простейшие полуограниченные системы и замкнутый блок для сравнения

Система: Один разлом (полуплоскость)
Отражения: одно, на $2L$
Поздняя производная: полка $2m_e$
Где разобрано: Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений

Система: Прямой угол
Отражения: три
Поздняя производная: полка $4m_e$
Где разобрано: Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки и ниже

Система: Канал (две параллельные границы)
Отражения: бесконечный ряд
Поздняя производная: наклон ½
Где разобрано: Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки

Система: Канал, закрытый с одного конца
Отражения: два ряда
Поздняя производная: наклон ½, вдвое выше
Где разобрано: этот урок

Система: Замкнутый прямоугольник
Отражения: решётка
Поздняя производная: наклон 1
Где разобрано: Исследование на ограниченность пласта

Система	Отражения	Поздняя производная	Где разобрано
Один разлом (полуплоскость)	одно, на $2L$	полка $2m_e$	Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений
Прямой угол	три	полка $4m_e$	Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки и ниже
Канал (две параллельные границы)	бесконечный ряд	наклон ½	Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки
Канал, закрытый с одного конца	два ряда	наклон ½, вдвое выше	этот урок
Замкнутый прямоугольник	решётка	наклон 1	Исследование на ограниченность пласта

$L$ — расстояние до разлома, $m_e = qB\mu/(4\pi kh)$ — уровень полки производной при радиальном притоке (Диагностика по производной давления). Клин с произвольным углом — тоже полуограниченная система; его поздний уровень $(360^\circ/\theta)\,m_e$ разобран в уроке Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки.

Общее у полуограниченных систем — открытая сторона. Сколько бы скважина ни работала, где-то в пласте давление остаётся начальным, и флюид продолжает поступать из всё более далёких частей. Поэтому после остановки давление в такой системе восстанавливается до начального $p_i$ , а не до среднего давления блока, как в замкнутой области (Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление). Это главный признак, отличающий канал с одним закрытым концом от вытянутого замкнутого блока: в блоке поздняя производная рано или поздно выходит на наклон 1, а КВД — на среднее давление ниже начального.

СхемаКанал, закрытый с одного конца (схема, не в масштабе). Скважина посередине канала в

L_3

от торца. Отражения в стенках образуют вертикальный ряд, как у открытого канала; торец отражает весь этот ряд — появляется второй, зеркальный ряд на расстоянии

2L_3

. В сторону, где канал открыт, отражений нет.

Решение с отражениями и одна характерная длина

Давление в скважине у прямых непроницаемых границ складывается из её собственного отклика и вкладов скважин-отражений (метод отражений). После окончания влияния ствола собственный отклик — логарифм времени, а каждое отражение на расстоянии $d_j$ добавляет решение для линейного источника:

Давление в скважине с отражениями в безразмерном виде

p_{wD} = \tfrac12\left(\ln t_D + 0{,}809\right) + S + \tfrac12\sum_j E_1\!\left(\frac{\beta_j^2}{4\tau}\right),\qquad \tau = \frac{\eta t}{L^2} = \frac{t_D}{L_D^2},\quad \beta_j = \frac{d_j}{L}

где:

$p_{wD}$ безразмерное снижение забойного давления $2\pi kh\,\Delta p/(qB\mu)$ , —
$t_D,\ S$ безразмерное время $kt/(\phi\mu c_tr_w^2)$ и скин, —
$L,\ L_D$ характерная длина системы — например, расстояние до ближней границы — и она же в радиусах скважины, м, —
$\tau$ безразмерное время, отнесённое к $L^2$ , —
$d_j,\ \beta_j$ расстояние от скважины до $j$ -го отражения и оно же в единицах $L$ , м, —
$E_1$ интегральная показательная функция (Решение для линейного источника и функция давления), —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

прямые непроницаемые границы через всю толщину однородного пласта; отражения — линейные источники ( $d_j \gg r_w$ );
постоянный дебит, влияние ствола закончилось, $t_D > 25$ ;
для отражений, уходящих в бесконечность (каналы), сумма берётся до тех пор, пока слагаемые не станут пренебрежимо малыми.

Радиус скважины и скин входят только в первые слагаемые — они сдвигают кривую по вертикали. Все границы — в сумму, и она зависит от одной переменной $\tau$ , если все расстояния пропорциональны одной длине $L$ . Поэтому для каждой геометрии строят одну эталонную кривую в координатах $\tau$ : совмещение по времени даёт $L$ , по давлению — проводимость, как в обычном совмещении (Эталонные кривые). Производная — $p_D' = \tfrac12\big[1 + \sum_j\e^{-\beta_j^2/(4\tau)}\big]$ (отражения отражений).

Если отражений конечное число $n$ , поздняя производная выходит на полку $(1 + n)\,m_e$ , а наклон полулогарифмической прямой увеличивается во столько же раз: вдвое у одного разлома, вчетверо в прямом угле. Если их бесконечно много, как в канале, новой полки нет: число «почувствованных» отражений растёт как $\sqrt t$ , и производная идёт с наклоном ½. Отношение позднего уровня к раннему или поздний наклон — первый признак, по которому выбирают модель.

Правило произведения для прямоугольных систем

Если все границы параллельны двум взаимно перпендикулярным направлениям — назовём их $x$ и $y$ , — отражения стоят в узлах прямоугольной решётки. Сдвиг каждого отражения складывается из сдвига по $x$ и сдвига по $y$ , квадрат расстояния — из их квадратов, а экспонента суммы равна произведению экспонент. Сумма по всем отражениям распадается на произведение двух сумм — по каждому направлению отдельно (правило произведения):

Правило произведения: производная прямоугольной системы

\frac{\Delta p'}{m_e} = F_x(t)\,F_y(t),\qquad F_x = \sum_i \exp\!\left(-\frac{\xi_i^2}{4\eta t}\right),\quad F_y = \sum_l \exp\!\left(-\frac{\zeta_l^2}{4\eta t}\right)

где:

$\Delta p'$ логарифмическая производная снижения давления $\dd\Delta p/\dd\ln t$ , Па
$m_e$ полка производной при радиальном притоке, $qB\mu/(4\pi kh)$ , Па
$F_x,\ F_y$ множители направлений: суммы по одномерным отражениям вдоль $x$ и вдоль $y$ , включая саму скважину (сдвиг 0), —
$\xi_i,\ \zeta_l$ сдвиги одномерных отражений по $x$ и по $y$ , м
$\eta$ пьезопроводность $k/(\phi\mu c_t)$ , м²/с

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

все границы — прямые непроницаемые плоскости, параллельные $x$ или $y$ , через всю толщину однородного пласта;
скважина — линейный источник, влияние ствола закончилось; постоянный дебит.

Каждое направление вносит свой множитель независимо от другого. Открытое направление — 1 (одна «скважина» без отражений). Одна граница на расстоянии $L$ — $1 + \e^{-L^2/(\eta t)}$ : отражение на $2L$ . Две параллельные границы — множитель полосы: сумма по ряду отражений, которая на поздних временах растёт как $\sqrt{4\pi\eta t}/W$ (вывод — в дополнительном разделе).

Множители направлений и системы, которые из них собираются

По $x$: 1
По $y$: $1 + \e^{-L^2/(\eta t)}$
Система: один разлом
Поздняя производная: $2m_e$

По $x$: $1 + \e^{-L_A^2/(\eta t)}$
По $y$: $1 + \e^{-L_B^2/(\eta t)}$
Система: прямой угол
Поздняя производная: $4m_e$

По $x$: 1
По $y$: полоса ширины $W$
Система: канал
Поздняя производная: $m_e\sqrt{4\pi\eta t}/W$

По $x$: $1 + \e^{-L_3^2/(\eta t)}$
По $y$: полоса ширины $W$
Система: канал, закрытый с одного конца
Поздняя производная: $2m_e\sqrt{4\pi\eta t}/W$

По $x$: полоса длины $L$
По $y$: полоса ширины $W$
Система: замкнутый прямоугольник
Поздняя производная: растёт как $t$

По $x$	По $y$	Система	Поздняя производная
1	$1 + \e^{-L^2/(\eta t)}$	один разлом	$2m_e$
$1 + \e^{-L_A^2/(\eta t)}$	$1 + \e^{-L_B^2/(\eta t)}$	прямой угол	$4m_e$
1	полоса ширины $W$	канал	$m_e\sqrt{4\pi\eta t}/W$
$1 + \e^{-L_3^2/(\eta t)}$	полоса ширины $W$	канал, закрытый с одного конца	$2m_e\sqrt{4\pi\eta t}/W$
полоса длины $L$	полоса ширины $W$	замкнутый прямоугольник	растёт как $t$

Для прямого угла правило произведения даёт $1 + \e^{-L_A^2/(\eta t)} + \e^{-L_B^2/(\eta t)} + \e^{-(L_A^2 + L_B^2)/(\eta t)}$ — ровно три отражения угла. Для замкнутого прямоугольника те же множители полос описывают выход на псевдоустановившийся режим (Исследование на ограниченность пласта).

РасчётРасчётные множители для скважины посередине канала шириной 300 м, закрытого в 1200 м от неё (

\eta

= 1480 м²/ч, данные примера ниже): множитель полосы

F_y

, множитель торца

F_x

и их произведение — производная, отнесённая к полке

m_e

. Обе шкалы логарифмические.

Расчётный примерПрогноз производной по правилу произведения

Исходные данные (условные)

Пласт: $k$ = 100 мД; $\phi$ = 0,20; $\mu$ = 1,0 мПа·с; $c_t = 1{,}2\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Канал по геологической модели: ширина 300 м, скважина посередине; в 1200 м канал, по-видимому, закрыт поперечным разломом
Вопрос: какой будет производная через 2, 20 и 200 сут работы с постоянным дебитом

Решение

Пьезопроводность: $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot100/(0{,}20\cdot1{,}0\cdot1{,}2\cdot10^{-3}) = 1480$ м²/ч. Скважина посередине канала, поэтому при $\eta t/W^2 > 0{,}2$ множитель полосы равен $2\sqrt{\pi\eta t/W^2}$ точнее чем на 0,1 %.
48 ч: $\eta t = 71\,040$ м², $\eta t/W^2 = 0{,}7893$ . Полоса в линейном притоке: $F_y = 2\sqrt{\pi\cdot0{,}7893} = 3{,}149$ . Торец: $L_3^2/(\eta t) = 20{,}270$ , $\e^{-20{,}270}$ ничтожно мало, $F_x = 1$ . Производная — $3{,}149\,m_e$ : открытый канал.
480 ч: $\eta t/W^2 = 7{,}8933$ , $F_y = 9{,}959$ ; $L_3^2/(\eta t) = 2{,}027$ , $F_x = 1 + \e^{-2{,}027} = 1{,}1317$ ; производная — $9{,}959\cdot1{,}1317 = 11{,}27\,m_e$ (сумма всех отражений даёт 11,27).
4800 ч: $\eta t/W^2 = 78{,}9333$ , $F_y = 31{,}495$ ; $L_3^2/(\eta t) = 0{,}203$ , $F_x = 1{,}8163$ ; производная — $57{,}2\,m_e$ .
Торец поднимет производную на 10 %, когда $\e^{-L_3^2/(\eta t)} = 0{,}1$ , то есть при $t = L_3^2/(\eta\ln10) = 423$ ч; почти полное удвоение (90 %) — при $\eta t \approx 9{,}5\,L_3^2$ , через 385 сут.

Ответ: Через 2 сут производная — около 3,149

m_e

(открытый канал), через 20 сут — 11,27

m_e

(торец поднял её на 13 %), через 200 сут — 57,2

m_e

Что это значит. Множитель полосы и множитель торца считаются независимо, и их произведение совпадает с суммой по всем отражениям до последнего знака. Торец в 1200 м заметен уже через 2–3 недели работы, но полностью удвоенную прямую можно увидеть лишь за год — это задача не для исследования, а для постоянных забойных манометров при эксплуатации. Данные примера условные.

Канал, закрытый с одного конца

Канал, закрытый с одного конца, — это вытянутый блок между параллельными разломами, перегороженный поперечным разломом, или русловое песчаное тело, которое выклинивается или упирается в глинистую пробку брошенного русла (Континентальные обстановки: эоловые и речные). В плане границы образуют букву П — отсюда второе название, U-образная система разломов (U-shaped fault system). Пусть скважина стоит в $L_1$ и $L_2$ от стенок ( $W = L_1 + L_2$ ) и в $L_3$ от торца.

По правилу произведения производная такой системы — производная открытого канала, умноженная на множитель торца $1 + \e^{-L_3^2/(\eta t)}$ . Если торец в несколько раз дальше, чем ширина канала, запись проходит четыре участка: полку радиального притока $m_e$ ; подъём, пока сказываются стенки; линейный приток открытого канала — производная $\tfrac12m_L\sqrt t$ с наклоном ½ (линейный приток в канале); и, когда «почувствован» торец, переход на параллельную прямую вдвое выше, $m_L\sqrt t$ . Торец делает с линейным притоком то же, что разлом с радиальным: удваивает его, и по тому же закону.

Скважина в канале, закрытом с одного конца: поздний линейный приток

\Delta p = 2m_L\sqrt t + \frac{qB\mu}{2\pi kh}\,(S + S_{ch}) - \frac{qB\mu}{khW}\,L_3,\qquad \Delta p' = m_L\sqrt t

где:

$\Delta p$ снижение забойного давления $p_i - p_{wf}$ , Па
$m_L$ наклон прямой $\Delta p$ — $\sqrt t$ открытого канала той же ширины, $\dfrac{qB}{hW}\sqrt{\dfrac{\mu}{\pi k\phi c_t}}$ , Па/√с
$S,\ S_{ch}$ скин скважины и геометрический скин канала $\ln\frac{W}{2\pi r_w} - \ln\sin\frac{\pi L_1}{W}$ (геометрический скин канала), —
$W,\ L_3$ ширина канала и расстояние от скважины до торца, м
$q,\ B,\ \mu,\ k,\ h$ дебит в стандартных условиях, объёмный коэффициент, вязкость, проницаемость, толщина, м³/с, м³/м³, Па·с, м², м

Единицы: СИ

Справедливо, если

стенки и торец — непроницаемые плоскости через всю толщину однородного пласта; в другую сторону канал не ограничен;
торец дальше ширины канала ( $L_3 > W$ ), и $\eta t \gg L_3^2$ — торец давно «почувствован»; влияние ствола закончилось, дебит постоянен.

Наклон удвоен: флюид идёт к скважине только с открытой стороны, по одной «трубе» сечением $Wh$ вместо двух. Последнее слагаемое — перепад, который дал бы весь дебит, протекая по каналу на длине $L_3$ : чем дальше торец, тем ниже прямая. Подход к этой прямой медленный — избыток над ней убывает как $L_3^2/\sqrt{\pi\eta t}$ , а не как $1/t$ , поэтому поздние точки ещё долго лежат выше неё.

РасчётРасчётные производные скважины посередине канала шириной

W

, без влияния ствола: открытый канал и каналы, закрытые в

L_3

W

3W

10W

от скважины. По вертикали — отношение производной к полке

m_e

; штриховые прямые — линейный приток открытого канала и вдвое выше. Обе шкалы логарифмические.

Расстояние до торца находят тремя способами. Надёжнее всего — по одной точке производной: множитель торца $1 + \e^{-L_3^2/(\eta t)}$ точен в любой момент, и отношение производной к продолжению линейной прямой открытого канала сразу даёт $L_3$ . Вторая возможность — пересечение двух прямых на графике $\Delta p$ — $\sqrt t$ , как пересечение двух полулогарифмических прямых у разлома (Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений); но поздняя прямая формируется очень долго, и без поправки расстояние получается заниженным. Третья — подбор модели ко всей записи.

Расстояние до торца канала: по точке производной и по пересечению прямых Δp — √t

L_3 = \sqrt{\eta t\,\ln\frac{1}{r - 1}},\quad r = \frac{\Delta p'(t)}{\tfrac12 m_L\sqrt t};\qquad L_3 = \sqrt{\frac{\eta\,t_x}{\pi}}

где:

$r$ отношение производной в момент $t$ к продолжению прямой линейного притока открытого канала, $1 < r < 2$ , —
$\Delta p'(t)$ логарифмическая производная давления в момент $t$ , Па
$t_x$ время пересечения прямой открытого канала (наклон $m_L$ ) и поздней прямой (наклон $2m_L$ ) на графике $\Delta p$ — $\sqrt t$ , с
$\eta$ пьезопроводность $k/(\phi\mu c_t)$ , м²/с

Единицы: СИ

Справедливо, если

в записи есть линейный приток открытого канала — по нему проводят прямую $\tfrac12m_L\sqrt t$ на производной и прямую с наклоном $m_L$ на графике $\Delta p$ — $\sqrt t$ ;
торец дальше ширины канала; проницаемость известна по полке радиального притока;
вторая формула верна, если поздняя прямая действительно достигнута: при прямой с наклоном $2m_L$ через последний замер в момент $t_{end}$ она даёт $L_x = L_3 - L_3^2/\sqrt{\pi\eta t_{end}}$ (поправка — в примере).

Первая формула — та же, что для ступени производной у разлома, только отношение берут к прямой с наклоном ½, а не к полке. Вторая получается приравниванием двух прямых: разность их отрезков равна $qB\mu L_3/(khW)$ , а $m_L = \tfrac{qB\mu}{khW}\sqrt{\eta/\pi}$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

L_3 = 0{,}0596\sqrt{\frac{k\,t}{\phi\mu c_t}\ln\frac{1}{r - 1}},\qquad L_3 = 0{,}0336\sqrt{\frac{k\,t_x}{\phi\mu c_t}}

$L_3$ — м, $k$ — мД, $t$ и $t_x$ — ч, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа.

$0{,}0596 = \sqrt{3{,}553\cdot10^{-3}}$ , как в формуле ступени у разлома (Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений); $0{,}0336 = \sqrt{3{,}553\cdot10^{-3}/\pi}$ .

Промысловые единицы (oilfield)

L_3 = 0{,}01624\sqrt{\frac{k\,t}{\phi\mu c_t}\ln\frac{1}{r - 1}},\qquad L_3 = 0{,}00916\sqrt{\frac{k\,t_x}{\phi\mu c_t}}

$L_3$ — ft, $k$ — мД, $t$ и $t_x$ — ч, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi.

$0{,}01624 = \sqrt{2{,}637\cdot10^{-4}}$ ; $0{,}00916 = \sqrt{2{,}637\cdot10^{-4}/\pi}$ .

Удвоенный наклон — не узкий канал

Если торец уже сказался, а запись приняли за открытый канал, наклон $\sqrt t$ будет почти $2m_L$ , и ширина по формуле канала выйдет почти вдвое меньше настоящей. Признак ошибки — излом на графике $\Delta p$ — $\sqrt t$ или производная, перешедшая с одной прямой наклона ½ на другую. Если же в записи нет раннего линейного притока (торец близко или запись коротка), удвоенную прямую можно отличить от узкого открытого канала только по геологии и по восстановлению давления.

Пробная эксплуатация скважины в русловом теле

Разберём условную запись. Разведочная скважина вскрыла песчаник руслового тела; по сейсмике и соседним скважинам тело узкое и вытянутое, но неизвестно, открыто ли оно в обе стороны. Скважину пустили открытием забойного клапана с постоянным дебитом 150 м³/сут и записывали давление около 26 суток.

Снижение давления в скважине руслового тела (условные данные, выборка)

$t$: 36 с
$\sqrt t$ , √ч: 0,10
$\Delta p$ , МПа: 0,4148
$\Delta p'$ , МПа: 0,0398

$t$: 6 мин
$\sqrt t$ , √ч: 0,32
$\Delta p$ , МПа: 0,5031
$\Delta p'$ , МПа: 0,0377

$t$: 1,00 ч
$\sqrt t$ , √ч: 1,00
$\Delta p$ , МПа: 0,5970
$\Delta p'$ , МПа: 0,0553

$t$: 2,00 ч
$\sqrt t$ , √ч: 1,41
$\Delta p$ , МПа: 0,6419
$\Delta p'$ , МПа: 0,0775

$t$: 6,31 ч
$\sqrt t$ , √ч: 2,51
$\Delta p$ , МПа: 0,7615
$\Delta p'$ , МПа: 0,1380

$t$: 10,0 ч
$\sqrt t$ , √ч: 3,16
$\Delta p$ , МПа: 0,8324
$\Delta p'$ , МПа: 0,1753

$t$: 20,0 ч
$\sqrt t$ , √ч: 4,47
$\Delta p$ , МПа: 0,9785
$\Delta p'$ , МПа: 0,2663

$t$: 50,1 ч
$\sqrt t$ , √ч: 7,08
$\Delta p$ , МПа: 1,3207
$\Delta p'$ , МПа: 0,5280

$t$: 100 ч
$\sqrt t$ , √ч: 10,00
$\Delta p$ , МПа: 1,7898
$\Delta p'$ , МПа: 0,8742

$t$: 200 ч
$\sqrt t$ , √ч: 14,13
$\Delta p$ , МПа: 2,5474
$\Delta p'$ , МПа: 1,3703

$t$: 398 ч
$\sqrt t$ , √ч: 19,95
$\Delta p$ , МПа: 3,7065
$\Delta p'$ , МПа: 2,0535

$t$: 631 ч
$\sqrt t$ , √ч: 25,12
$\Delta p$ , МПа: 4,7740
$\Delta p'$ , МПа: —

$t$	$\sqrt t$ , √ч	$\Delta p$ , МПа	$\Delta p'$ , МПа
36 с	0,10	0,4148	0,0398
6 мин	0,32	0,5031	0,0377
1,00 ч	1,00	0,5970	0,0553
2,00 ч	1,41	0,6419	0,0775
6,31 ч	2,51	0,7615	0,1380
10,0 ч	3,16	0,8324	0,1753
20,0 ч	4,47	0,9785	0,2663
50,1 ч	7,08	1,3207	0,5280
100 ч	10,00	1,7898	0,8742
200 ч	14,13	2,5474	1,3703
398 ч	19,95	3,7065	2,0535
631 ч	25,12	4,7740	—

$\Delta p = p_i - p_{wf}$ , $p_i$ = 24 МПа. Данные рассчитаны по модели однородного пласта со стволом, скином и тремя непроницаемыми границами (две стенки и торец) и округлены до 0,0001 МПа; параметры модели раскрыты в примере. Производная — по всем 59 замерам (10 на цикл) с интервалом 0,2 цикла; в последних двух замерах её нет.

РасчётДиагностический график записи: снижение давления (точки) и производная по замерам (линия). Штриховые линии — полка

m_e

, прямая линейного притока открытого канала

\tfrac12m_L\sqrt t

и вдвое более высокая прямая

m_L\sqrt t

РасчётТа же запись в координатах

\Delta p

—

\sqrt t

(точки). Первая прямая проведена через замеры 2 и 6,3 ч (линейный приток открытого канала), вторая — с вдвое большим наклоном через последний замер; отмечено их пересечение. Светлая штриховая — асимптота модели, к которой запись подходит лишь при очень долгой работе: поздние точки ещё лежат выше неё, и прямая через последний замер пересекает первую раньше — при

\sqrt{t_x}

= 10,8 вместо 12,9.

Расчётный примерПроницаемость, ширина канала и расстояние до торца

Исходные данные (условные)

Скважина и пласт: $q$ = 150 м³/сут; $B$ = 1,2; $\mu$ = 0,8 мПа·с; $h$ = 12 м; $\phi$ = 0,22; $c_t = 1{,}4\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹; $r_w$ = 0,1 м
Полка производной: среднее от 0,1 до 0,2 ч: $m_e$ = 0,03759 МПа; замер через 0,1 ч: $\Delta p$ = 0,5031 МПа
Линейный приток открытого канала: замеры 1,995 ч — 0,6419 МПа, 6,310 ч — 0,7615 МПа; производная на этом участке, делённая на $\sqrt t$ , в среднем 0,05489 МПа/√ч
Поздние данные: производная через 100 ч — 0,8742 МПа; последний замер через 631 ч — 4,7740 МПа

Решение

Проводимость: $qB\mu = 150\cdot1{,}2\cdot0{,}8 = 144$ ; $kh = 0{,}933\cdot144/0{,}03759 = 3574$ мД·м, $k = 297{,}8$ мД. Скин: $\ln\dfrac{kt}{\phi\mu c_tr_w^2} = 16{,}308$ при $t$ = 0,1 ч; $S = \tfrac12\,(0{,}5031/0{,}03759 - 16{,}308 + 4{,}831) = 0{,}95$ (Диагностика по производной давления).
Пьезопроводность: $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot297{,}8/(0{,}22\cdot0{,}8\cdot1{,}4\cdot10^{-3}) = 4294$ м²/ч.
Первая прямая $\Delta p$ — $\sqrt t$ : $m_L = (0{,}7615 - 0{,}6419)/(2{,}5119 - 1{,}4125) = 0{,}10879$ МПа/√ч. Ширина канала: $\sqrt{\mu/(k\phi c_t)} = 2{,}9533$ ; $W = 0{,}394\cdot180/(12\cdot0{,}10879)\cdot2{,}9533 = 160$ м (ширина канала).
Торец по точке производной: продолжение прямой открытого канала, проведённой по самой производной (так ошибка численного дифференцирования сокращается), через 100 ч — $0{,}05489\cdot\sqrt{100}$ ; $r = 0{,}8742/(0{,}05489\cdot10) = 1{,}593$ ; $\ln[1/(1{,}593 - 1)] = 0{,}523$ ; $L_3 = \sqrt{4294\cdot100\cdot0{,}523} = 474$ м.
По пересечению прямых: отрезок первой $b_1 = 0{,}6419 - 0{,}10879\cdot1{,}4125 = 0{,}4882$ МПа; прямая с наклоном $2m_L$ через последний замер: $b_2 = 4{,}7740 - 2\cdot0{,}10879\cdot25{,}119 = -0{,}6914$ МПа. Пересечение: $\sqrt{t_x} = (b_1 - b_2)/m_L = 10{,}843$ , $t_x = 117{,}6$ ч; $L_x = 0{,}0336\sqrt{297{,}8\cdot117{,}6/(0{,}22\cdot0{,}8\cdot1{,}4\cdot10^{-3})} = 401$ м.
Поправка на медленный подход поздней прямой: $X = \sqrt{\pi\eta t_{end}} = \sqrt{\pi\cdot4294\cdot631} = 2918$ м; $L_3 = \tfrac{X}{2}\left(1 - \sqrt{1 - 4L_x/X}\right) = 480$ м.

Ответ:

k \approx 297{,}8

мД, скин 0,95, канал шириной около 160 м; торец — в 474 м по точке производной и в 480 м по пересечению прямых с поправкой (без поправки — 401 м).

Что это значит. Запись рассчитана по модели с $k$ = 300 мД, $S$ = 1, каналом шириной 160 м и торцом в 480 м. Проницаемость занижена примерно на 1 %: полка ещё чуть приподнята хвостом влияния ствола. Точка производной дала расстояние до торца с ошибкой около 1 % уже через 100 ч, а пересечение прямых без поправки занизило его на 16 %: за 26 сут поздние точки ещё не легли на асимптоту. Если бы канал считали открытым и взяли наклон последних точек, ширина вышла бы около 80 м — почти вдвое меньше. С какой стороны от скважины торец, запись не говорит: это дают сейсмика и геологическая модель. Данные примера условные.

Скважина у самой границы: удвоенный дебит

Если скважина стоит в нескольких метрах от разлома, её отражение почти совпадает с ней самой. Как только возмущение пройдёт расстояние до границы (время порядка $\delta^2/\eta$ — секунды или минуты), они работают как одна скважина с удвоенным дебитом: флюид подходит только с одной стороны, и сопротивление притоку вдвое больше (полурадиальный приток). Это позволяет свести «пристенные» системы к более простым без новой эталонной кривой: скважина у одной стенки канала шириной $W$ — это скважина с удвоенным дебитом посередине открытого канала шириной $2W$ , скважина у торца канала — скважина с удвоенным дебитом в открытом канале той же ширины, скважина в углу — четырёхкратный дебит в неограниченном пласте.

Скважина у непроницаемой границы как скважина с удвоенным дебитом

p_{wD} = 2\,p_D^{*}(t_D) - \ln\frac{2\delta}{r_w} + S

где:

$p_{wD}$ безразмерное снижение забойного давления скважины у границы, —
$p_D^{*}(t_D)$ безразмерное решение без скина для той же системы без ближней границы (все остальные границы и их отражения сохраняются), —
$\delta$ расстояние от оси скважины до ближней границы, м
$S$ скин скважины — входит один раз, потому что относится к настоящему дебиту, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

граница прямая и непроницаемая; $\delta$ мало по сравнению с остальными размерами системы;
время больше нескольких $\delta^2/\eta$ : отражение на расстоянии $2\delta$ уже сливается со скважиной (вывод — в дополнительном разделе).

Удвоенный дебит удваивает весь «пластовый» перепад, а скин — нет. Слагаемое $-\ln(2\delta/r_w)$ — поправка на то, что отражение стоит не в самой скважине, а в $2\delta$ от неё: эквивалентная скважина с удвоенным дебитом имеет радиус $\sqrt{2\delta r_w}$ — среднее геометрическое радиуса скважины и расстояния до отражения. Это та же поправка, что в формуле полурадиального притока.

Отсюда ловушка. Скважина у торца канала сначала даёт полку $2m_e$ , затем линейный приток с удвоенным наклоном $2m_L$ . Если принять её за обычную скважину в открытом канале, полка даст вдвое заниженную проводимость, а ширина канала по наклону выйдет в $\sqrt2$ раз меньше настоящей: наклон вдвое больше, но и $\sqrt{1/k}$ в формуле ширины — в $\sqrt2$ раз больше. Запись при этом выглядит безупречно — её выдаёт только несогласие с керном, соседними скважинами и геологией.

Восстановление давления в полуограниченной системе

Кривая восстановления давления (КВД) — суперпозиция пуска и остановки, и каждое отражение тоже «останавливается» вместе со скважиной (Анализ кривой восстановления давления). Обобщение формулы для одного разлома (КВД у разлома) на любой набор отражений:

КВД скважины в системе с отражениями

p_i - p_{ws} = m_e\left[\ln\frac{t_p + \Delta t}{\Delta t} + \sum_j\left(E_1\!\left(\frac{d_j^2}{4\eta\,(t_p + \Delta t)}\right) - E_1\!\left(\frac{d_j^2}{4\eta\,\Delta t}\right)\right)\right]

где:

$p_{ws}$ забойное давление через $\Delta t$ после остановки, Па
$t_p,\ \Delta t$ время работы с постоянным дебитом и время после остановки, с
$d_j$ расстояния до отражений, м
$m_e,\ \eta$ уровень полки производной и пьезопроводность, Па, м²/с

Единицы: СИ; логарифм натуральный

Справедливо, если

до пуска давление в пласте было $p_i$ ; дебит постоянен в течение $t_p$ ; для самой скважины — логарифмическое приближение, влияние ствола закончилось;
для каналов сумма бесконечна, но сходится: дальние отражения дают одинаковые слагаемые при $t_p + \Delta t$ и $\Delta t$ , и разность исчезает.

Результат зависит теперь от двух безразмерных времён, $\eta t_p/L^2$ и $\eta\Delta t/L^2$ , а не от одного, как у кривой падения давления (КПД): граница видна на КВД, только если возмущение успело до неё дойти за время работы или успевает за время записи. При $\Delta t \to \infty$ все слагаемые обращаются в ноль, и $p_{ws} \to p_i$ : полуограниченная система восстанавливается до начального давления. Продолжение ранней прямой Хорнера даёт $p^*$ ниже $p_i$ — на $m_e\sum_j E_1\big(d_j^2/(4\eta t_p)\big)$ .

У канала поздние точки КВД ложатся на прямую в координатах $p_{ws}$ — $(\sqrt{t_p + \Delta t} - \sqrt{\Delta t})$ (КВД в канале); у закрытого с одного конца — с вдвое большим наклоном $2m_L$ , когда и $t_p$ , и $\Delta t$ уже на участке удвоенного линейного притока. Производную такой КВД строят с учётом времени работы (Влияние времени работы на анализ КВД). Чаще, однако, торец видят по КВД после короткой работы — испытания пласта на трубах, — когда до него возмущение за время притока почти не дошло. Тогда след торца — небольшое отставание давления от КВД открытого канала, и его наибольшую величину можно оценить заранее:

Наибольший след торца канала на КВД после короткой работы

\delta p_{\max} = \frac{\e^{-1/2}}{2\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{qB\,t_p}{\phi c_t h\,WL_3} = 0{,}121\,\frac{qB\,t_p}{\phi c_t h\,WL_3},\qquad \Delta t_{\max} \approx \frac{2L_3^2}{\eta}

где:

$\delta p_{\max}$ наибольшее отставание давления КВД от КВД того же канала без торца, Па
$qB\,t_p$ объём, отобранный за время работы, в пластовых условиях, м³
$\phi,\ c_t,\ h$ пористость, общая сжимаемость, толщина, —, 1/Па, м
$W,\ L_3$ ширина канала и расстояние до торца, м
$\Delta t_{\max}$ время после остановки, когда отставание наибольшее, с

Единицы: СИ

Справедливо, если

за время работы торец почти не почувствовался: $\eta t_p \ll L_3^2$ (практически годится при $L_3^2 > 3\eta t_p$ );
торец дальше ширины канала, и к моменту $\Delta t_{\max}$ в канале давно линейный приток;
однородный пласт; ни дрейфа манометра, ни работы соседних скважин.

Сравните с одним разломом в радиальном пласте: там след убывает как $1/L^2$ , здесь — как $1/(WL_3)$ . В канале возмущение не растекается по плоскости, и торец сказывается на давлении гораздо сильнее, чем разлом на том же расстоянии; приходит же сигнал так же поздно — время растёт как $L_3^2$ (вывод — в дополнительном разделе).

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

\delta p_{\max} = \frac{qB\,t_p}{198\,\phi c_t h\,WL_3}

$q$ — м³/сут, $t_p$ — ч, $c_t$ — 1/МПа, $h$ , $W$ , $L_3$ — м; $\delta p_{\max}$ — МПа.

$198 = 24/0{,}121$ (24 — часов в сутках).

РасчётРасчётное отставание давления КВД от КВД открытого канала после притока 6, 12 и 24 ч в русловом теле из примера выше (ширина 160 м, торец в 480 м). Точки — оценка

\delta p_{\max}

по формуле при

\Delta t = 2L_3^2/\eta

. Шкала времени логарифмическая.

Расчётный примерУвидит ли испытание на трубах торец руслового тела

Исходные данные (условные)

Испытание: приток 12 ч с дебитом 150 м³/сут ( $B$ = 1,2), затем КВД; манометр различает 0,5 кПа
Пласт: как в примере выше: $k$ = 300 мД, $\phi$ = 0,22, $\mu$ = 0,8 мПа·с, $c_t = 1{,}4\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹, $h$ = 12 м
Канал: ширина 160 м, торец в 480 м от скважины

Решение

Пьезопроводность $\eta = 4326$ м²/ч; $\eta t_p = 51\,912$ м² против $L_3^2$ = 230 400 м² — за время притока торец почти не почувствовался ( $\eta t_p/L_3^2 = 0{,}23$ ).
Упругая ёмкость участка канала до торца: $\phi c_thWL_3 = 0{,}22\cdot1{,}4\cdot10^{-3}\cdot12\cdot160\cdot480 = 283{,}85$ м³/МПа; $qBt_p = 150\cdot1{,}2\cdot12 = 2160$ (м³/сут·ч).
Наибольший след торца: $\delta p_{\max} = 2160/(198\cdot283{,}85) = 0{,}0384$ МПа, то есть 38,4 кПа, примерно через $2L_3^2/\eta = 107$ ч после остановки.
Расчёт по полной сумме отражений даёт 38,4 кПа через 101 ч — формула верна.
Для сравнения: разлом на тех же 480 м в радиальном пласте оставил бы след $qBt_p/(820\,\phi c_thL^2) = 3{,}1$ кПа (предел обнаружения разлома) — примерно в 12 раз меньше.

Ответ: Торец в 480 м отклонит КВД примерно на 38,4 кПа — в десятки раз больше порога манометра, — но максимум наступит лишь через 107 ч после остановки.

Что это значит. Сигнал торца велик, потому что весь отбор приходится на узкую полосу; трудность в другом — во времени. Чтобы увидеть максимум, КВД должна длиться четверо-пятеро суток — почти вдесятеро дольше притока. Более короткая КВД покажет только начало отставания, и его нужно отличать от влияния времени работы и от шума: полезно продлить приток или повторить исследование при пробной эксплуатации. Данные примера условные.

Что запись различить не может

Направления. Запись зависит только от расстояний до отражений. С какой стороны торец, в какую сторону вытянут канал, запись не скажет — это дают сейсмика, геологическая модель и соседние скважины.
Торец или ухудшение пласта. Если по одну сторону от скважины канал дальше сужается, утончается или теряет проницаемость, наклон $\sqrt t$ тоже растёт: на поздних временах — в $2/(1 + \sqrt{k_2/k})$ раза, если по ту сторону проницаемость $k_2$ , а пористость и сечение те же (одномерный приток с двух сторон к скважине). При проницаемости вдвое ниже наклон больше примерно на 17 %, в 10 раз ниже — в 1,5 раза, в 100 раз ниже — в 1,8 раза. Такую запись легко принять за ещё не закончившееся удвоение от торца; различить их помогают длина записи, геология и соседние скважины.
Торец, пропускающий флюид. Если поперечный разлом частично проводящий, производная поднимается к удвоенной прямой и затем возвращается к прямой открытого канала (Частично проводящие разломы).
Замкнутый блок. Вытянутый замкнутый блок до выхода на наклон 1 тоже даёт наклон ½; второй торец проявится поздним подъёмом с наклоном 1 и КВД, которая выходит не на $p_i$ , а на среднее давление (Исследование на ограниченность пласта).
Незаконченный переход. На производной торец сказывается по тому же закону, что разлом, но поздняя прямая $\Delta p$ — $\sqrt t$ подходит к асимптоте медленно, и расстояние по второй прямой без поправки занижено на долю около $L_3/\sqrt{\pi\eta t}$ : чтобы ошибка была меньше 5 %, $\eta t$ должно превысить $L_3^2$ больше чем в сто раз. Точка производной и подбор модели надёжнее.
Прямые границы — модель. Русловые тела изгибаются, меняют ширину и толщину; расстояния по простой модели — оценки, которые сверяют с картой.

Термины и обозначения

Полуограниченная система: пласт, ограниченный непроницаемыми границами не со всех сторон: полуплоскость, угол, канал, канал с одним закрытым концом; псевдоустановившегося режима нет.
Канал, закрытый с одного конца: пласт между двумя параллельными границами, перегороженный третьей с одной стороны (U-образная система разломов); поздний линейный приток вдвое сильнее, чем в открытом канале.
Характерная длина $L$: размер, которому пропорциональны все расстояния до отражений; поздняя часть решения зависит только от $\eta t/L^2$ .
Правило произведения: в прямоугольной системе производная, отнесённая к полке, равна произведению множителей по двум направлениям.
Множитель направления: сумма $\exp(-\xi^2/(4\eta t))$ по одномерным отражениям вдоль одного направления: 1 — открыто, $1 + \e^{-L^2/(\eta t)}$ — одна граница, полоса — две.
Торец канала $L_3$: расстояние от скважины до закрытого конца канала; находят по точке производной или по пересечению прямых $\Delta p$ — $\sqrt t$ .
Удвоенный дебит: приём для скважины у самой границы: её отражение сливается с ней, и она работает как скважина с удвоенным дебитом в системе без этой границы; скин не удваивают.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Если производная идёт с наклоном ½ после полки — это открытый канал, и ширину можно считать по последним точкам».

На самом деле

Сначала проверяют, не перешла ли производная на параллельную прямую вдвое выше. В примере урока ширина по поздним точкам вышла бы около 80 м вместо 160.

Неверно

«Вторая прямая на графике $\Delta p$ — $\sqrt t$ — это последние точки записи».

На самом деле

Поздняя прямая у торца формируется медленно: избыток над ней убывает как $1/\sqrt t$ . Прямая с наклоном $2m_L$ через последний замер в примере урока дала торец в 401 м вместо 480; поправка или точка производной это исправляют.

Неверно

«Давление после остановки не дошло до начального за неделю — значит, блок замкнут и истощается».

На самом деле

В канале, закрытом с одного конца, давление восстанавливается до $p_i$ , но медленно: торец задерживает его на время порядка $2L_3^2/\eta$ . Замкнутость доказывает только выход на среднее давление ниже $p_i$ и наклон 1 при работе.

Неверно

«У скважины рядом с разломом удваиваются и дебит, и скин».

На самом деле

Отражение удваивает только пластовую часть перепада; скин связан с настоящим дебитом и входит один раз. Если в модели удвоить и скин, подобранный по записи скин выйдет вдвое меньше настоящего — повреждение будет недооценено.

Неверно

«Торец далеко — короткое испытание его не увидит, как не увидит далёкий разлом».

На самом деле

В канале след торца убывает как $1/(WL_3)$ , а не как $1/L^2$ : в примере урока 12-часовой приток дал бы на КВД след около 38 кПа — в 12 раз больше, чем разлом на том же расстоянии в радиальном пласте. Ограничение — время: максимум приходит через $2L_3^2/\eta$ .

Подробно: для продвинутых

Выводы: правило произведения, поздняя прямая, удвоенный дебит и след торца

Правило произведения. Отражение в прямоугольной системе получают, отражая скважину несколько раз в границах вдоль $x$ и вдоль $y$ ; его сдвиг — пара $(\xi_i, \zeta_l)$ , где $\xi_i$ пробегает одномерные отражения по $x$ (включая 0), а $\zeta_l$ — по $y$ . Все пары встречаются ровно по разу, и $\sum_{i,l}\exp\big(-(\xi_i^2 + \zeta_l^2)/(4\eta t)\big) = \sum_i\exp(-\xi_i^2/(4\eta t))\cdot\sum_l\exp(-\zeta_l^2/(4\eta t))$ . Производная по $\ln t$ от решения для линейного источника с отражением на расстоянии $d$ равна $m_e\e^{-d^2/(4\eta t)}$ , отсюда правило. Для полосы шириной $W$ ряд по $\zeta_l$ (шаг $2W$ ) по формуле суммирования Пуассона переходит в ряд по косинусам, главный член которого $\sqrt{4\pi\eta t}/W$ : множитель полосы растёт как корень из времени.

Поздняя прямая и пересечение. Когда $\eta t \gg W^2$ , ряд отражений в стенках действует как плоский источник, и одномерное решение для ряда на расстоянии $2L_3$ даёт вклад $\tfrac{qB\mu}{khW}\big[\sqrt{\eta t/\pi}\,\e^{-a} - L_3\,\mathrm{erfc}\sqrt a\big]$ , $a = L_3^2/(\eta t)$ . При малых $a$ это $m_L\sqrt t - \tfrac{qB\mu}{khW}\,L_3 + \tfrac{qB\mu}{khW}\cdot\tfrac{L_3^2}{\sqrt{\pi\eta t}} + \dots$ — асимптота из основного раздела и медленно убывающий избыток над ней. Приравнивая прямые $m_L\sqrt t + b$ и $2m_L\sqrt t + b - \tfrac{qB\mu}{khW}L_3$ и учитывая $m_L = \tfrac{qB\mu}{khW}\sqrt{\eta/\pi}$ , получаем $\sqrt{t_x} = L_3\sqrt{\pi/\eta}$ . Прямая с наклоном $2m_L$ через замер в момент $t_{end}$ поднята на избыток, и пересечение даёт $L_x = L_3 - L_3^2/X$ , $X = \sqrt{\pi\eta t_{end}}$ ; решение этого квадратного уравнения — поправка из примера.

Удвоенный дебит. Отражение скважины в ближней границе стоит на расстоянии $2\delta$ и при $t_D \gg \delta_D^2$ даёт $\tfrac12E_1(\delta_D^2/t_D) \approx \tfrac12\big[\ln(t_D/\delta_D^2) - 0{,}5772\big]$ . Вместе со скважиной: $\ln t_D + 0{,}809 - \ln(2\delta_D)$ , то есть $2\cdot\tfrac12\big[\ln\big(t_D/(2\delta_D)\big) + 0{,}809\big]$ — удвоенное решение для скважины радиусом $\sqrt{2\delta r_w}$ . Все остальные отражения тоже стоят парами в почти совпадающих точках и удваиваются.

След торца на КВД. Вклад зеркального ряда при КВД — разность $g(t_p + \Delta t) - g(\Delta t)$ одномерного решения из второго абзаца. При $t_p \ll \Delta t$ она близка к $t_p\,\dd g/\dd t$ , а $\dd g/\dd t = \tfrac{qB\mu}{khW}\cdot\tfrac12\sqrt{\eta/(\pi t)}\,\e^{-L_3^2/(\eta t)}$ . Максимум функции $t^{-1/2}\e^{-L_3^2/(\eta t)}$ — при $t = 2L_3^2/\eta$ ; подстановка даёт $\delta p_{\max} = \tfrac{\e^{-1/2}}{2\sqrt{2\pi}}\cdot\tfrac{qB\,t_p}{\phi c_thWL_3}$ , потому что $\tfrac{qB\mu\eta}{kh} = \tfrac{qB}{\phi c_th}$ .

Связь с другими темами

Непроницаемый разлом у скважины: метод изображений — один разлом: отражение, удвоение наклона, ступень производной, предел обнаружения на КВД.
Несколько границ: параллельные разломы и клиновидные блоки — канал и клин: линейный приток, ширина канала, геометрический скин, уровень $360^\circ/\theta$ .
Частично проводящие разломы — торец или стенка, частично пропускающие флюид.
Решения для скважины: скин, радиус исследования и единицы — безразмерные решения, радиус исследования и когда граница видна на производной.
Принцип суперпозиции — метод отражений и сложение решений во времени и в пространстве.
Диагностика по производной давления — диагностический график, полка и наклоны производной.
Исследование на ограниченность пласта — замкнутые блоки: наклон 1 и поровый объём.
Восстановление давления в ограниченной области и среднее пластовое давление — почему замкнутый блок восстанавливается до среднего давления, а не до начального.
Континентальные обстановки: эоловые и речные — русловые тела: ширина, протяжённость, выклинивание.
Разломы — геология разломов, которые образуют каналы и торцы.

Проверьте себя

1
После полки радиального притока производная около цикла идёт с наклоном ½, затем поднимается и выходит на параллельную прямую примерно вдвое выше. Какая система самая вероятная?
1. А.Граница постоянного давления
2. Б.Канал, закрытый с одного конца
3. В.Прямой угол между разломами
4. Г.Один непроницаемый разлом
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Канал, закрытый с одного конца
Наклон ½ — линейный приток в канале. Переход на прямую вдвое выше при том же наклоне — множитель торца $1 + \e^{-L_3^2/(\eta t)}$ , выросший до 2. Разлом и угол дают горизонтальные полки, граница постоянного давления опускает производную.
2
В записи скважины в канале через 200 ч производная в 1,42 раза выше продолжения прямой линейного притока открытого канала; $\eta$ = 2000 м²/ч. Как далеко торец?
Показать ответ
$\ln[1/(1{,}42 - 1)] = \ln 2{,}381 = 0{,}868$ . $L_3 = \sqrt{2000\cdot200\cdot0{,}868} = \sqrt{347\,200} \approx 589$ м. Отношение уже заметно больше единицы, поэтому оценка устойчива к шуму производной в несколько процентов.
3
По позднему участку записи, где производная уже на удвоенной прямой, наклон $\sqrt t$ — 0,30 МПа/√ч. Интерпретатор посчитал ширину канала, приняв канал за открытый, и получил 110 м. Какова ширина на самом деле?
1. А.55 м
2. Б.Около 155 м
3. В.110 м
4. Г.Около 220 м
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Около 220 м
На удвоенной прямой наклон равен $2m_L$ , а ширина обратно пропорциональна наклону. Настоящий $m_L$ = 0,15 МПа/√ч, и ширина вдвое больше — около 220 м (если проницаемость определена по полке правильно).
4
Скважину пробурили в 8 м от торца канала, и первая полка скрыта влиянием ствола. Интерпретатор обработал запись как скважину в открытом канале. Во сколько раз ошибутся проницаемость и ширина канала?
Показать ответ
Скважина у торца работает как скважина с удвоенным дебитом в открытом канале. Видимая полка — $2m_e$ , и проницаемость получится вдвое меньше настоящей. Наклон $\sqrt t$ тоже удвоен, а в формулу ширины входит $\sqrt{1/k}$ — в $\sqrt2$ раз больше: $W_{\text{видимая}} = W\cdot\tfrac12\cdot\sqrt2 \approx 0{,}71\,W$ . Скин тоже исказится; вскрыть ошибку помогают керн, соседние скважины и геология.
5
После долгой работы скважину в канале, закрытом с одного конца, остановили. К какому давлению стремится КВД?
1. А.К начальному пластовому давлению $p_i$
2. Б.К давлению $p^*$ первой прямой Хорнера
3. В.К среднему давлению участка канала до торца
4. Г.К забойному давлению в момент остановки
Показать ответ
Правильный ответ: А. К начальному пластовому давлению $p_i$
Канал открыт в одну сторону, объём, охваченный возмущением, растёт без предела, и при $\Delta t \to \infty$ все слагаемые суперпозиции исчезают: $p_{ws} \to p_i$ . Только медленнее, чем в открытом канале: торец задерживает выравнивание. $p^*$ первой прямой ниже $p_i$ на вклад отражений.
6
Испытание: приток 8 ч с дебитом 100 м³/сут ( $B$ = 1,3), $\phi$ = 0,18, $c_t = 1{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹, $h$ = 10 м; канал шириной 200 м закрыт в 600 м от скважины; $\eta$ = 1500 м²/ч. Каков наибольший след торца на КВД и когда его ждать?
Показать ответ
$qBt_p = 100\cdot1{,}3\cdot8 = 1040$ ; $\phi c_thWL_3 = 0{,}18\cdot1{,}6\cdot10^{-3}\cdot10\cdot200\cdot600 = 345{,}6$ м³/МПа. $\delta p_{\max} = 1040/(198\cdot345{,}6) = 0{,}0152$ МПа, около 15 кПа. Время: $2L_3^2/\eta = 2\cdot360\,000/1500 = 480$ ч — 20 сут; условие $\eta t_p = 12\,000 \ll L_3^2 = 360\,000$ выполнено. Сигнал заметен, но КВД такой длины после 8-часового притока — редкость: торец вероятнее увидеть при пробной эксплуатации.

Обновлено: 19 октября 2026 г.