Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение

Кратко о главном

В диффузном потоке насыщенность одинакова по толщине, в сегрегированном фазы разделены: вода у подошвы, газ у кровли, нефть между ними, граница резкая. Какая картина ближе к пласту, решает отношение времени переноса вдоль пласта ко времени разделения фаз поперёк него.
Граница устойчива, если $M'N_g > M' - 1$ , где $N_g$ — гравитационное число урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей. Когда сила тяжести придерживает вытесняющую фазу (вода снизу вверх по восстанию, газ сверху вниз по падению), при $M' \le 1$ это выполняется при любом темпе, а при $M' > 1$ — только ниже критического расхода $q_{\text{кр}} = q_{\text{гр}}M'/(M' - 1)$ .
Ниже критического расхода граница наклонена к напластованию: при очень малом темпе она горизонтальна, с ростом расхода при $M' > 1$ ложится всё ближе к напластованию и вытягивается вдоль пласта, а при $q_{\text{кр}}$ становится ему параллельной. Выше $q_{\text{кр}}$ вода уходит языком по подошве, газ — по кровле.
При вертикальном равновесии осреднённые по толщине ОФП — прямые между концевыми точками. С ними кривая доли воды выпукла вниз (её наклон растёт, фронт поршневой), когда граница устойчива, и выпукла вверх (наклон убывает, язык прорывается рано), когда нет: два пути дают одно условие.
Чуть выше критического расхода язык ещё короткий, и прорыв даже позже, чем при диффузном потоке. В примере урока ( $M' = 1{,}76$ ) сегрегированное вытеснение прорывается раньше при расходе вдвое и более выше критического; при большем $M'$ — уже немного выше $q_{\text{кр}}$ , а при $M'$ , близком к единице, может и вовсе не обогнать диффузное. Зато после прорыва оно вымывает подвижную нефть гораздо меньшим объёмом воды, а ниже критического расхода близко к поршневому, но идёт медленно.
Гравитационное дренирование не даёт больше $q_{\text{гр}}$ — расхода, при котором $N_g = 1$ . У газа $M'$ — десятки, поэтому критический расход газового фронта лишь на несколько процентов выше этого предела.

Ключевые соотношения

N_g = \dfrac{q_{\text{гр}}}{q_t},\qquad q_{\text{гр}} = \dfrac{k\,k_{ro}'\,A\,\Delta\rho\,g\sin\alpha}{\mu_o}

гравитационное число урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей через гравитационный расход

M'N_g > M' - 1

условие устойчивости резкой границы

q_{\text{кр}} = q_{\text{гр}}\,\dfrac{M'}{M' - 1}

критический расход при $M' > 1$

\operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}\alpha\left(1 - \dfrac{q_t}{q_{\text{кр}}}\right)

установившийся наклон границы к напластованию, $M' > 1$

\bar k_{rw} = k_{rw}'\,h_D,\qquad \bar k_{ro} = k_{ro}'\,(1 - h_D)

осреднённые по толщине ОФП, $h_D$ — доля толщины, занятая водой

\dfrac{t_x}{t_v} = \dfrac{L}{h}\cdot\dfrac{k_v\,k_{ro}'\,|\Delta\rho|\,g}{\mu_o\,u_t}

вертикальное равновесие вероятно, если отношение порядка десяти и больше

Где чаще всего ошибаются

Применять одномерную кривую доли воды к мощному пласту с хорошей вертикальной проницаемостью: вода уходит по подошве, и прорыв наступает раньше расчётного.
Считать, что ниже критического расхода фронт компактен: вблизи $q_{\text{кр}}$ граница вытянута вдоль пласта на сотни метров и больше.
Путать критический расход устойчивого вытеснения с предельным безводным дебитом скважины: первый относится к фронту между рядами скважин, второй — к конусу у одной скважины (Конусообразование воды и газа).
Подставлять в формулу критического расхода скорость фильтрации вместо полного пластового расхода через сечение пласта или ОФП при текущей насыщенности вместо концевых точек.
Закачивать газ в пониженную часть пласта или воду в повышенную в расчёте на устойчивый фронт: в этих направлениях сила тяжести гонит вытесняющую фазу вперёд.

После урока вы сможете

отличать диффузный поток от сегрегированного и по соотношению времён оценивать, выполняется ли вертикальное равновесие;
вывести условие устойчивости резкой границы между вытесняющей фазой и нефтью и рассчитать критический расход для воды и газа, движущихся вверх по восстанию или вниз по падению;
рассчитать наклон границы ниже критического расхода и длину зоны, на которой вытесняющая фаза и нефть лежат одна над другой;
построить осреднённые по толщине относительные проницаемости и по ним найти прорыв и добычу при сегрегированном вытеснении;
оценить предельный темп гравитационного дренирования и объяснить, почему для газа он почти совпадает с критическим расходом.

Диффузный и сегрегированный поток

Теория Баклея–Леверетта (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа) рассматривает диффузный поток: насыщенность одинакова по толщине пласта, как в образце керна. В мощном пласте с хорошей вертикальной проницаемостью так бывает не всегда. Вода тяжелее нефти и стекает к подошве, нефть всплывает над ней, газ поднимается к кровле. Если фазы успевают разделиться поперёк пласта быстрее, чем фронт проходит заметную часть пути между скважинами, вытеснение идёт двумя слоями с границей между ними. Это и есть сегрегированный поток.

Расчётная модель сегрегированного потока опирается на три допущения:

Вертикальное равновесие. Поперёк пласта давление в каждой фазе меняется гидростатически — по весу её столба. Перетоки по вертикали успевают выровнять давление, поэтому течение вдоль пласта определяет всю картину.
Резкая граница. Капиллярная переходная зона тонкая по сравнению с толщиной пласта, и вытесняющая фаза отделена от нефти поверхностью, а не размытой полосой.
Концевые насыщенности по обе стороны. За границей вытесняющая фаза уже при наибольшей насыщенности (вода — при остаточной нефти $S_{or}$ , газ — при остаточной нефтенасыщенности к газу), впереди — нефть с неснижаемой водой. Каждая зона проводит свою фазу с концевой ОФП: за границей $k_{rw}'$ (или $k_{rg}'$ ), впереди $k_{ro}'$ (Относительная проницаемость).

СхемаВода вытесняет нефть вверх по восстанию пласта, наклонённого под углом

\alpha

(схема, толщина преувеличена). Вверху — устойчивое вытеснение: граница наклонена к напластованию под углом

\beta

и движется, не меняя формы. Внизу — расход выше критического: вода уходит вперёд языком по подошве. Газ, закачанный в повышенную часть пласта, ведёт себя зеркально: устойчивая граница или язык по кровле.

Аналогия: наклонный лоток

Представьте наклонный лоток, заполненный маслом, в который с нижнего конца медленно подливают воду. Вода растекается по дну, и масло отступает перед ровной, почти горизонтальной границей. Если лить быстро, вода не успевает поднимать масло и убегает вперёд тонким языком по дну. Аналогия неполна: в пласте жидкости текут через поры, и кроме разности плотностей важна подвижность каждой фазы $k\,k_r/\mu$ — она и определяет, при каком темпе граница ещё держится.

Гравитационно устойчивое вытеснение: граница наклонена, но движется как целое: подвижная нефть уходит перед ней почти полностью, вода (газ) приходит к скважинам позже основной массы нефти.
Язык вытесняющей фазы: тонкий слой воды вдоль подошвы или газа вдоль кровли (gravity tongue, gravity override), уходящий вперёд основной массы; прорыв наступает рано, и нефть над водяным языком (под газовым) приходится добывать вместе с водой или газом (гравитационный язык).
Диффузный поток: фазы не успевают разделиться по толщине; вытеснение описывает одномерная кривая доли воды с гравитационным числом вдоль пласта (наклон пласта).

Когда выполняется вертикальное равновесие

Вертикальное равновесие требует, чтобы фазы успевали разделиться по толщине, пока фронт проходит путь между скважинами. Сравним два времени. Первое — за сколько разность плотностей переместит фазы поперёк пласта толщиной $h$ : скорость такого разделения не больше $u_v = k_v\,k_{ro}'\,|\Delta\rho|\,g/\mu_o$ . Второе — за сколько фронт пройдёт расстояние $L$ вдоль пласта со скоростью фильтрации $u_t = q_t/A$ .

Отношение времени переноса вдоль пласта ко времени разделения фаз поперёк него

\frac{t_x}{t_v} = \frac{L}{h}\cdot\frac{k_v\,k_{ro}'\,|\Delta\rho|\,g}{\mu_o\,u_t} = \frac{L}{h}\cdot\frac{k_v}{k}\cdot\frac{N_g}{\sin\alpha}

где:

$t_v$ время разделения фаз поперёк пласта, $\phi\,\Delta S\,h/u_v$ ; $u_v$ — скорость разделения, оценка сверху, с
$t_x$ время, за которое фронт проходит расстояние $L$ вдоль пласта, $\phi\,\Delta S\,L/u_t$ , с
$L,\ h$ расстояние между рядами нагнетательных и добывающих скважин вдоль пласта и толщина пласта, м
$k_v,\ k$ вертикальная проницаемость и проницаемость вдоль пласта, м²
$\Delta S$ подвижный интервал насыщенности $1 - S_{wi} - S_{or}$ , —
$\Delta\rho$ разность плотностей вытесняющей фазы и нефти, кг/м³
$u_t$ суммарная скорость фильтрации вдоль пласта $q_t/A$ , м/с
$N_g,\ \alpha$ гравитационное число и угол наклона пласта, как в уроке Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей, —, рад

Единицы: СИ (любая согласованная система); отношение безразмерно

Справедливо, если

оценка порядка величины, а не точный критерий;
скорость разделения взята с концевой ОФП нефти — это оценка сверху: там, где фазы движутся навстречу друг другу, их совместная подвижность меньше — для пары вода — нефть с кривыми примеров урока примерно на порядок и больше, поэтому для вертикального равновесия и требуют отношения порядка десяти; газ гораздо подвижнее нефти, и для пары газ — нефть оценка ближе к действительности;
пласт однороден по вертикали; глинистые прослои резко уменьшают $k_v$ и делают разделение медленнее.

Если отношение порядка десяти и больше, фазы успевают разделиться, и вытеснение рассчитывают как сегрегированное. Если оно порядка единицы и меньше, поток ближе к диффузному, и подходит одномерный расчёт урока Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа. Между этими пределами поток промежуточный, и его считают по двумерной модели вертикального разреза (Типы гидродинамических моделей). Отношение растёт с вертикальной проницаемостью, разностью плотностей и расстоянием между скважинами и падает с темпом закачки, толщиной пласта и вязкостью нефти.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

u_v\,[\text{м/сут}] = \frac{0{,}0853\,k_v\,k_{ro}'\cdot0{,}00981\,|\Delta\rho|}{\mu_o},\qquad u_t\,[\text{м/сут}] = \frac{q_t}{A}

$k_v$ — мД, $\Delta\rho$ — г/см³, $\mu_o$ — мПа·с, $q_t$ — м³/сут в пластовых условиях, $A$ — м²; времена — в сутках.

$0{,}0853$ — постоянная закона Дарси в метрических единицах (Проницаемость горных пород), $0{,}00981$ переводит разность плотностей в г/см³ в градиент давления в МПа/м, как в уроке Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей.

Расчётный примерУспевают ли фазы разделиться

Исходные данные (условные)

Пласт (урок Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей): 400 мД, толщина 25 м, ширина 600 м, падение 12°
Добавлено условно: пористость 0,20; от ряда нагнетательных до ряда добывающих скважин 1000 м вдоль пласта
Вертикальная проницаемость: чистый массивный песчаник $k_v/k = 0{,}5$ ; слоистый $k_v/k = 0{,}05$
Флюиды и ОФП: нефть 3,0 мПа·с, плотности 1,04 и 0,80 г/см³; $S_{wi} = 0{,}22$ , $S_{or} = 0{,}25$ , $k_{ro}' = 0{,}85$
Пластовый расход закачки: 600 и 150 м³/сут

Решение

Подвижный интервал $\Delta S = 1 - 0{,}22 - 0{,}25 = 0{,}53$ ; сечение $A = 25\cdot600 = 15\,000$ м²; скорость фильтрации $u_t$ = 0,04 м/сут при 600 м³/сут и 0,01 м/сут при 150 м³/сут.
Чистый песчаник, $k_v = 200$ мД: $u_v = 0{,}0853\cdot200\cdot0{,}85\cdot0{,}00981\cdot0{,}24/3{,}0 = 0{,}01138$ м/сут; $t_v = 0{,}20\cdot0{,}53\cdot25/0{,}01138 = 233$ сут.
Перенос на 1000 м: $t_x = 0{,}20\cdot0{,}53\cdot1000/0{,}04 = 2650$ сут при 600 м³/сут и $10\,600$ сут при 150 м³/сут.
Отношения: $2650/233 = 11{,}4$ и $10\,600/233 = 45{,}5$ . Проверка через гравитационное число урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей ( $N_g = 0{,}118$ при 600 м³/сут): $(1000/25)\cdot0{,}5\cdot0{,}118/0{,}2079 = 11{,}4$ .
Слоистый песчаник, $k_v = 20$ мД: $u_v$ вдесятеро меньше, 0,001138 м/сут; $t_v = 2329$ сут; отношения 1,14 и 4,55.

Ответ: В чистом песчанике

t_x/t_v

≈ 11,4 при 600 м³/сут и 45,5 при 150 м³/сут; в слоистом — 1,14 и 4,55.

Что это значит. При 150 м³/сут в чистом песчанике отношение более чем вчетверо выше порога: фазы разделяются с запасом, и вытеснение сегрегированное. При 600 м³/сут отношение около десяти, а с поправкой на то, что встречное течение воды и нефти медленнее оценки, — пограничное: реальное вытеснение будет между диффузным и сегрегированным, и пример ниже считает обе границы. В слоистом песчанике при 600 м³/сут фазы разделиться не успевают, и одномерный расчёт урока Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа с гравитационным числом урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей описывает вытеснение лучше. Вчетверо меньший темп даёт вчетверо большее отношение. Данные примера условные.

Устойчивость границы и критический расход

Пусть пласт толщиной $h$ наклонён под углом $\alpha$ ; ось $x$ идёт вдоль пласта по направлению вытеснения, $z$ — высота границы над подошвой, отсчитанная по нормали к напластованию. Индекс $d$ обозначает вытесняющую фазу (displacing) — воду под границей или газ над ней. Граница перемещается, не меняя формы, только если обе фазы движутся вдоль пласта с одной и той же скоростью фильтрации $u_t$ (почему — в разделе для углублённого изучения). Тогда закон Дарси задаёт градиент давления в каждой фазе, причём каждая течёт со своей концевой ОФП:

Градиенты давления в нефти и вытесняющей фазе у границы

-\frac{\partial p_o}{\partial x} = \frac{\mu_o\,u_t}{k\,k_{ro}'} + \rho_o\,g\sin\alpha,\qquad -\frac{\partial p_d}{\partial x} = \frac{\mu_d\,u_t}{k\,k_{rd}'} + \rho_d\,g\sin\alpha

где:

$p_o,\ p_d$ давление в нефти и в вытесняющей фазе, Па
$k_{ro}',\ k_{rd}'$ концевые ОФП нефти (при неснижаемой воде) и вытесняющей фазы (при остаточной нефти), —
$\rho_o,\ \rho_d$ плотности нефти и вытесняющей фазы в пластовых условиях, кг/м³
$\alpha$ угол наклона оси $x$ к горизонту: положителен, если вытесняющая фаза движется вверх по восстанию, рад

Единицы: СИ

Справедливо, если

обе фазы у границы движутся вдоль пласта с одной скоростью $u_t$ — форма границы не меняется;
несжимаемые фазы, однородный пласт постоянной толщины.

Поперёк пласта давление в каждой фазе гидростатическое: при подъёме на $\dd z$ по нормали к напластованию оно падает на $\rho\,g\cos\alpha\,\dd z$ . Разность давлений нефти и вытесняющей фазы на резкой границе всюду одна и та же. Значит, если пройти вдоль границы на $\dd x$ , изменение этой разности из-за течения вдоль пласта должно точно компенсироваться её изменением из-за подъёма или опускания границы на $\dd z$ :

Разность давлений фаз вдоль резкой границы

\frac{\partial (p_o - p_d)}{\partial x} = -(\rho_d - \rho_o)\,g\cos\alpha\,\frac{\dd z}{\dd x}

где:

$z$ высота границы над подошвой пласта по нормали к напластованию, м
$\dd z/\dd x$ наклон границы относительно напластования, —

Единицы: СИ

Справедливо, если

вертикальное равновесие: давление поперёк пласта гидростатическое в каждой фазе;
капиллярное давление на резкой границе постоянно.

Подставим градиенты из закона Дарси и разделим обе части на $\mu_o u_t/(k\,k_{ro}')$ . Отношение подвижностей фаз в концевых точках — это соотношение подвижностей $M'$ , а отношение силы тяжести вдоль пласта к вязкому сопротивлению нефти — гравитационное число $N_g$ урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей. Получаем связь наклона границы с ними:

Наклон резкой границы при сегрегированном вытеснении (анализ Дитца)

1 - \frac{1}{M'} = N_g\left(1 + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\cdot\frac{\dd z}{\dd x}\right),\qquad M' = \frac{k_{rd}'/\mu_d}{k_{ro}'/\mu_o},\qquad N_g = \frac{k\,k_{ro}'\,(\rho_d - \rho_o)\,g\sin\alpha}{\mu_o\,u_t}

где:

$M'$ соотношение подвижностей вытесняющей фазы и нефти в концевых точках, —
$N_g$ гравитационное число урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей с разностью плотностей вытесняющей фазы и нефти; положительно, когда сила тяжести придерживает вытесняющую фазу: вода идёт вверх по восстанию или газ — вниз по падению, —
$z,\ x,\ \alpha$ высота границы над подошвой, координата вдоль пласта и угол наклона, как выше, м, м, рад

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

вертикальное равновесие и резкая граница; концевые насыщенности по обе стороны от неё;
граница движется, не меняя формы (установившийся наклон);
однородный пласт постоянной толщины, несжимаемые фазы, расход постоянен.

Левая часть — вязкая «тяга» вытесняющей фазы вперёд: она тем больше, чем подвижнее эта фаза по сравнению с нефтью. Правая — сила тяжести вдоль пласта и вклад наклона границы. При $M' = 1$ левая часть равна нулю, и $\dd z/\dd x = -\operatorname{tg}\alpha$ : если сила тяжести придерживает вытесняющую фазу, граница горизонтальна при любом темпе, как в покое.

Устойчивой граница может быть, только если слой вытесняющей фазы утончается в сторону нефти: для воды под границей $\dd z/\dd x < 0$ , для газа над ней $\dd z/\dd x > 0$ . Подставив это в связь выше и учтя знак $N_g$ , в обоих случаях получаем одно и то же условие:

Условие гравитационной устойчивости фронта

M'N_g > M' - 1

где:

$M',\ N_g$ соотношение подвижностей и гравитационное число со знаком, как в связи выше, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

те же, что для наклона границы.

Если $M' \le 1$ и сила тяжести придерживает вытесняющую фазу ( $N_g > 0$ ), условие выполняется при любом темпе: вязкие силы сами не дают вытесняющей фазе обгонять нефть. Если $M' > 1$ , нужна достаточная сила тяжести: $N_g > 1 - 1/M'$ . При $N_g < 0$ (вода сверху вниз, газ снизу вверх) устойчивость возможна только при $M' < 1$ и достаточно большом темпе, а при $M' \ge 1$ — никогда.

Когда граница вытесняющей фазы устойчива

Вытеснение: Вода снизу вверх по восстанию (закачка в пониженную часть, законтурная вода)
Знак $N_g$: $> 0$
Граница устойчива: при $M' \le 1$ всегда, при $M' > 1$ — ниже $q_{\text{кр}}$

Вытеснение: Газ сверху вниз по падению (закачка в свод, расширение газовой шапки)
Знак $N_g$: $> 0$
Граница устойчива: ниже $q_{\text{кр}}$ ; у газа $M'$ велико, и $q_{\text{кр}}$ близок к $q_{\text{гр}}$

Вытеснение: Вода сверху вниз по падению
Знак $N_g$: $< 0$
Граница устойчива: только при $M' < 1$ и достаточно большом темпе; иначе вода стекает языком по подошве

Вытеснение: Газ снизу вверх по восстанию
Знак $N_g$: $< 0$
Граница устойчива: практически никогда: газ всплывает и обгоняет нефть по кровле

Вытеснение: Горизонтальный пласт
Знак $N_g$: $0$
Граница устойчива: только при $M' < 1$ ; при $M' > 1$ язык при любом темпе

Вытеснение	Знак $N_g$	Граница устойчива
Вода снизу вверх по восстанию (закачка в пониженную часть, законтурная вода)	$> 0$	при $M' \le 1$ всегда, при $M' > 1$ — ниже $q_{\text{кр}}$
Газ сверху вниз по падению (закачка в свод, расширение газовой шапки)	$> 0$	ниже $q_{\text{кр}}$ ; у газа $M'$ велико, и $q_{\text{кр}}$ близок к $q_{\text{гр}}$
Вода сверху вниз по падению	$< 0$	только при $M' < 1$ и достаточно большом темпе; иначе вода стекает языком по подошве
Газ снизу вверх по восстанию	$< 0$	практически никогда: газ всплывает и обгоняет нефть по кровле
Горизонтальный пласт	$0$	только при $M' < 1$ ; при $M' > 1$ язык при любом темпе

Расход входит только через $N_g$ : снижение темпа увеличивает $|N_g|$ и помогает там, где сила тяжести придерживает вытесняющую фазу, и вредит там, где она её подгоняет.

При $M' > 1$ граница теряет устойчивость, когда $N_g$ опускается до $1 - 1/M'$ . Гравитационное число обратно пропорционально расходу: $N_g = q_{\text{гр}}/q_t$ , где $q_{\text{гр}}$ — гравитационный расход, при котором $N_g = 1$ . Отсюда предельный расход:

Критический расход гравитационно устойчивого вытеснения

q_{\text{кр}} = q_{\text{гр}}\,\frac{M'}{M' - 1} = \frac{k\,k_{rd}'\,A\,|\Delta\rho|\,g\,|\sin\alpha|}{\mu_d\,(M' - 1)},\qquad q_{\text{гр}} = \frac{k\,k_{ro}'\,A\,|\Delta\rho|\,g\,|\sin\alpha|}{\mu_o}

где:

$q_{\text{кр}}$ критический расход: наибольший суммарный пластовый расход через сечение пласта, при котором граница ещё устойчива, м³/с
$q_{\text{гр}}$ гравитационный расход — расход, при котором $N_g = 1$ , м³/с
$A$ площадь сечения пласта поперёк потока: толщина × ширина фронта, м²
$k_{rd}',\ \mu_d$ концевая ОФП и вязкость вытесняющей фазы, —, Па·с
$\Delta\rho$ разность плотностей вытесняющей фазы и нефти, кг/м³

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

$M' > 1$ и сила тяжести придерживает вытесняющую фазу; при $M' \le 1$ такое вытеснение устойчиво при любом расходе;
вертикальное равновесие, резкая граница, однородный пласт;
расход — пластовый, через всё сечение $A$ : для элемента рядной системы это закачка одного ряда на его ширину.

Две записи равны, потому что $M'k_{ro}'/\mu_o = k_{rd}'/\mu_d$ . Критический расход растёт с проницаемостью, сечением, разностью плотностей и углом наклона и падает с ростом $M'$ . При большом $M'$ — у газа — множитель $M'/(M' - 1)$ близок к единице, и $q_{\text{кр}} \approx q_{\text{гр}}$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

q_{\text{кр}}\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{0{,}0853\,k\,k_{ro}'\,A\cdot0{,}00981\,|\Delta\rho|\,|\sin\alpha|}{\mu_o}\cdot\frac{M'}{M' - 1}

$k$ — мД, $A$ — м², $\Delta\rho$ — г/см³, $\mu_o$ — мПа·с; расход — в пластовых условиях.

$0{,}0853$ — постоянная закона Дарси (Проницаемость горных пород); $0{,}00981\,|\Delta\rho|\,|\sin\alpha|$ — градиент от разности плотностей вдоль пласта, МПа/м, как в уроке Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей.

Промысловые единицы (oilfield)

q_{\text{кр}}\,[\text{bbl/d}] = 4{,}886\cdot10^{-4}\,\frac{k\,k_{rd}'\,A\,\Delta\gamma\,|\sin\alpha|}{\mu_d\,(M' - 1)}

$k$ — мД, $A$ — ft², $\Delta\gamma$ — разность относительных плотностей фаз (пресная вода = 1), $\mu_d$ — сП, расход — пластовые баррели в сутки.

$4{,}886\cdot10^{-4} = 1{,}127\cdot10^{-3}\cdot0{,}4335$ , как в промысловой форме гравитационного числа урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей.

Расчётный примерКритический расход закачки воды вверх по восстанию

Исходные данные (условные)

Пласт и флюиды: как в предыдущем примере: 400 мД, сечение 25 × 600 м, 12°; плотности 1,04 и 0,80 г/см³; нефть 3,0 мПа·с, вода 0,5 мПа·с
Концевые ОФП: $k_{ro}' = 0{,}85$ , $k_{rw}' = 0{,}25$
Сравнить с расходами урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей: 600 и 150 м³/сут в пластовых условиях

Решение

Градиент от разности плотностей вдоль пласта: $0{,}00981\cdot0{,}24\cdot\sin12° = 0{,}00981\cdot0{,}24\cdot0{,}2079 = 4{,}895\cdot10^{-4}$ МПа/м.
Гравитационный расход: $q_{\text{гр}} = 0{,}0853\cdot400\cdot0{,}85\cdot15\,000\cdot4{,}895\cdot10^{-4}/3{,}0 = 71{,}0$ м³/сут.
Соотношение подвижностей: $M' = (0{,}25/0{,}5)/(0{,}85/3{,}0) = 1{,}765$ ; множитель $M'/(M' - 1) = 1{,}765/0{,}765 = 2{,}307$ .
Критический расход: $q_{\text{кр}} = 71{,}0\cdot2{,}307 = 163{,}8$ м³/сут в пластовых условиях, или $163{,}8/1{,}02 = 161$ м³/сут закачиваемой воды в стандартных условиях.
Через гравитационное число: устойчивость требует $N_g > 1 - 1/1{,}765 = 0{,}433$ . При 150 м³/сут $N_g = 71{,}0/150 = 0{,}473$ — больше предела; при 600 м³/сут $N_g = 0{,}118$ — в 3,7 раза меньше.

Ответ: Критический расход — около 163,8 м³/сут в пластовых условиях. Закачка 150 м³/сут идёт ниже него, 600 м³/сут — в 3,7 раза выше: вода уйдёт языком по подошве.

Что это значит. Тот же пласт урок Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей рассчитывал как диффузный и нашёл, что сила тяжести меняет долю воды лишь на несколько процентов. Если же фазы успевают разделиться по толщине, наклон решает больше: ниже 163,8 м³/сут подошвенная вода держится единым фронтом, выше — уходит языком. Множитель $M'/(M' - 1)$ здесь больше двух: вода всего в 1,765 раза подвижнее нефти. С более вязкой нефтью $M'$ растёт, множитель приближается к единице, а сам $q_{\text{гр}}$ падает обратно пропорционально вязкости — критический расход быстро уменьшается. Данные примера условные.

Что меняется, если…

…нефть вязче — $q_{\text{гр}}$ падает обратно пропорционально её вязкости, а множитель $M'/(M' - 1)$ при росте $M'$ тоже уменьшается: критический расход падает сильнее, чем в обратной пропорции к вязкости;
…загустить воду полимером — $M'$ падает; при $M' \le 1$ подошвенная вода держит фронт при любом темпе;
…пласт круче или проницаемее — $q_{\text{кр}}$ растёт пропорционально $\sin\alpha$ и $k$ ;
…повысить темп — свойства пласта и флюидов от этого не меняются, но расход — единственное, чем управляет инженер, поэтому именно его подбирают ниже $q_{\text{кр}}$ с запасом.

Наклон границы ниже критического расхода

Обозначим $\beta$ угол между границей и напластованием, отсчитанный так, что при $\beta > 0$ слой вытесняющей фазы сходит на нет в сторону нефти: для воды $\operatorname{tg}\beta = -\dd z/\dd x$ . Из связи наклона границы с $M'$ и $N_g$ , заменив $N_g$ на $q_{\text{гр}}/q_t$ , получаем установившийся наклон:

Установившийся наклон границы к напластованию

\operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}\alpha\left(1 - \frac{M' - 1}{M'N_g}\right) = \operatorname{tg}\alpha\left(1 - \frac{q_t}{q_{\text{кр}}}\right)

где:

$\beta$ угол между границей и напластованием, рад
$\alpha$ угол падения пласта (по абсолютной величине — формула одна для воды, идущей вверх по восстанию, и для газа, идущего вниз по падению), рад
$q_t,\ q_{\text{кр}}$ пластовый расход через сечение и критический расход, м³/с

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

граница успела прийти к установившемуся наклону;
вторая запись — при $M' > 1$ ; при $M' \le 1$ пользуются первой;
допущения анализа устойчивости: вертикальное равновесие, резкая граница, однородный пласт.

При очень малом расходе $\beta = \alpha$ : граница горизонтальна, как неподвижный контакт. При $M' > 1$ с ростом расхода $\beta$ уменьшается — граница ложится к напластованию, и при $q_t = q_{\text{кр}}$ становится ему параллельной. При $M' < 1$ $\beta > \alpha$ : граница наклоняется круче горизонтали, и вытеснение ещё устойчивее; при $M' = 1$ она горизонтальна при любом темпе. Вода и нефть лежат одна над другой на участке длиной $h/\operatorname{tg}\beta$ вдоль пласта.

РасчётУгол между границей и напластованием в зависимости от расхода, отнесённого к гравитационному расходу

q_{\text{гр}}

, при падении пласта 12° и разных

M'

. Кривые для

M' > 1

обрываются при критическом расходе. Точки — расходы 75 и 150 м³/сут примера ниже (

M' = 1{,}76

q_{\text{гр}} \approx 71

м³/сут).

Расчётный примерНаклон границы и длина зоны раздела

Исходные данные (условные)

Пласт и флюиды: как в примерах выше: толщина 25 м, падение 12°, $q_{\text{кр}}$ = 163,8 м³/сут
Расходы закачки: 75 и 150 м³/сут в пластовых условиях; для сравнения — покой
Расстояние между рядами: 1000 м вдоль пласта

Решение

Покой: $\operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}12° = 0{,}2126$ , граница горизонтальна и пересекает толщину на длине $25/0{,}2126 = 118$ м.
75 м³/сут: $q_t/q_{\text{кр}} = 75/163{,}8 = 0{,}458$ ; $\operatorname{tg}\beta = 0{,}2126\cdot(1 - 0{,}458) = 0{,}1152$ , $\beta = 6{,}6°$ ; длина зоны $25/0{,}1152 = 217$ м.
150 м³/сут: $q_t/q_{\text{кр}} = 0{,}916$ ; $\operatorname{tg}\beta = 0{,}2126\cdot(1 - 0{,}916) = 0{,}0179$ , $\beta = 1{,}0°$ ; длина зоны $25/0{,}0179 = 1397$ м — больше расстояния между рядами.
Если при 75 м³/сут граница успела повернуться к установившемуся наклону, к моменту, когда её подошвенный край дойдёт до добывающего ряда, над наклонной границей останется клин нефти — $217/(2\cdot1000) = 0{,}1085$ подвижного объёма, около 11 %.

Ответ: При 75 м³/сут граница наклонена к напластованию примерно на 6,6° и занимает 217 м вдоль пласта; при 150 м³/сут — около 1,0° и около 1,4 км.

Что это значит. Неподвижный контакт горизонтален; по мере отбора он поворачивается к установившемуся наклону — подошвенная вода выдвигается вперёд. При половине критического расхода зона раздела занимает пятую часть пути между рядами, и вода приходит к добывающим скважинам, когда над границей остаётся около 11 % подвижной нефти. При 150 м³/сут формально вытеснение устойчиво, но установившаяся граница длиннее расстояния между рядами: она поворачивается к нему тем медленнее, чем ближе расход к критическому, и продолжает вытягиваться всё время, пока фронт идёт к скважинам. Поэтому темп выбирают с запасом — как правило, вдвое и более ниже $q_{\text{кр}}$ , тем более что сам $q_{\text{кр}}$ известен неточно. Данные примера условные.

Горизонтальный пласт

Без наклона сила тяжести вдоль пласта не действует, и устойчивость определяет только $M'$ . При $M' < 1$ граница устойчива при любом темпе и наклоняется тем круче, чем быстрее закачка: вязкие силы удерживают воду, а сила тяжести лишь укладывает её к подошве. При $M' > 1$ вода уходит языком по подошве (газ — по кровле) при любом темпе; от расхода зависит лишь скорость роста языка. Расчёт такого вытеснения — в разделах ниже.

Расчёт вытеснения при вертикальном равновесии

При резкой границе в каждом сечении пласта часть толщины $h_D$ занята водой при насыщенности $1 - S_{or}$ , остальная — нефтью с неснижаемой водой $S_{wi}$ . Средняя по толщине водонасыщенность растёт с $h_D$ линейно, и так же линейно меняются средние по толщине относительные проницаемости: вода течёт только в своём слое с $k_{rw}'$ , нефть — в своём с $k_{ro}'$ .

Осреднённые по толщине ОФП при вертикальном равновесии

h_D = \frac{\bar S_w - S_{wi}}{1 - S_{wi} - S_{or}},\qquad \bar k_{rw} = k_{rw}'\,h_D,\qquad \bar k_{ro} = k_{ro}'\,(1 - h_D)

где:

$\bar S_w$ средняя по толщине водонасыщенность в сечении, —
$h_D$ доля толщины, занятая водой (для газа — газом), —
$\bar k_{rw},\ \bar k_{ro}$ средние по толщине относительные проницаемости воды и нефти, —
$k_{rw}',\ k_{ro}'$ концевые точки кривых ОФП керна, —

Единицы: доли единицы

Справедливо, если

вертикальное равновесие, резкая граница, однородный по толщине пласт;
за границей нефть уже при остаточной насыщенности.

Это прямые между концевыми точками: от формы кривых ОФП керна результат не зависит, нужны только $S_{wi}$ , $S_{or}$ , $k_{rw}'$ и $k_{ro}'$ . Такие осреднённые кривые — простейший пример псевдофункций ОФП; общие методы их построения для неоднородных пластов — тема Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции.

Подставив прямые в уравнение доли воды урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей с гравитационной поправкой, $f_w = (\lambda_w/\lambda_t)(1 - N_g\,k_{ro}/k_{ro}')$ , получаем долю воды в потоке через сечение как функцию $h_D$ :

Доля воды в потоке при сегрегированном вытеснении

f_w = \frac{M'h_D\,\bigl(1 - N_g\,(1 - h_D)\bigr)}{1 + (M' - 1)\,h_D}

где:

$f_w$ доля воды в пластовом расходе через сечение, —
$h_D,\ M',\ N_g$ доля толщины под водой, соотношение подвижностей в концевых точках, гравитационное число, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

осреднённые ОФП выше; наклон самой границы в формулу не входит (он учтён в разделе для углублённого изучения).

Кривая выпукла вверх (её наклон убывает с ростом $h_D$ ), если $M'N_g < M' - 1$ , и выпукла вниз (наклон растёт), если $M'N_g > M' - 1$ , — то же условие, что и для устойчивости границы. Для кривой, выпуклой вверх, касательная Уэлджа из точки $(S_{wi}, 0)$ касается её в самом начале: первой к скважинам приходит самая тонкая часть языка. Для выпуклой вниз касательная идёт до $h_D = 1$ : фронт поршневой.

Прорыв и полный охват при неустойчивом сегрегированном вытеснении

W_{iD,BT} = \frac{\Delta S}{M'(1 - N_g)},\qquad W_{iD}\big|_{h_D = 1} = \frac{M'\,\Delta S}{1 + M'N_g},\qquad \Delta S = 1 - S_{wi} - S_{or}

где:

$W_{iD,BT}$ закачка воды к прорыву в поровых объёмах; столько же нефти добыто к прорыву, —
$W_{iD}\big|_{h_D = 1}$ закачка, после которой вода занимает всю толщину на выходе и вся подвижная нефть добыта, —
$\Delta S$ подвижный интервал насыщенности, —

Единицы: поровые объёмы (пластовые условия), как в уроке Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа

Справедливо, если

$M'N_g < M' - 1$ (неустойчивая граница, язык); при устойчивой границе прорыв и полный охват совпадают: $W_{iD} = \Delta S$ ;
закачка с постоянным расходом, линейный элемент, допущения осреднённых ОФП.

Первая формула — величина, обратная наклону кривой при $h_D = 0$ , вторая — при $h_D = 1$ . Между ними добычу находят формулами Уэлджа (добыча после прорыва) для насыщенности на выходе, заданной через $h_D$ .

Расчётный примерСегрегированное и диффузное вытеснение в одном пласте

Исходные данные (условные)

Элемент: пласт примеров выше: 1000 м × 600 м × 25 м, пористость 0,20, $\Delta S = 0{,}53$ , $S_{wi} = 0{,}22$
Расходы закачки: 600 м³/сут (выше критического) и 75 м³/сут (ниже)
Из примеров выше: $M' = 1{,}765$ ; $q_{\text{гр}} = 71{,}0$ м³/сут; $1 - 1/M' = 0{,}433$

Решение

Поровый объём $V_p = 1000\cdot600\cdot25\cdot0{,}20 = 3{,}0$ млн м³: при 600 м³/сут один поровый объём закачивается за 5000 сут, при 75 м³/сут — за 40 000 сут.
600 м³/сут: $N_g = 71{,}0/600 = 0{,}118$ , $M'N_g = 0{,}208$ — меньше $M' - 1 = 0{,}765$ , граница неустойчива. Прорыв: $W_{iD,BT} = 0{,}53/(1{,}765\cdot0{,}882) = 0{,}53/1{,}5567 = 0{,}340$ порового объёма, через $0{,}340\cdot5000 = 1700$ сут (4,7 года); коэффициент вытеснения к прорыву $0{,}340/0{,}78 = 0{,}436$ .
Вся подвижная нефть добыта при $W_{iD} = 1{,}765\cdot0{,}53/(1 + 0{,}208) = 0{,}93545/1{,}208 = 0{,}774$ порового объёма — через 10,6 года; коэффициент вытеснения $0{,}53/0{,}78 = 0{,}679$ .
Диффузный расчёт при том же $N_g$ (кривая доли воды урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей и метод Уэлджа, значения модели): прорыв при 0,399 порового объёма ( $E_D$ = 0,512, через 5,5 года); при закачке 0,774 порового объёма $E_D$ = 0,552, при 2 поровых объёмах — 0,597.
75 м³/сут: $N_g = 71{,}0/75 = 0{,}947 > 0{,}433$ , граница устойчива. Расчёт с осреднёнными ОФП даёт поршневой фронт: вода пришла бы после закачки $\Delta S = 0{,}53$ порового объёма, через $0{,}53\cdot40\,000 = 21\,200$ сут (около 58 лет). С учётом наклонной границы (предыдущий пример) к прорыву добыто около $0{,}679\cdot(1 - 0{,}1085) = 0{,}61$ начальной нефти. До прорыва закачка равна добыче, $0{,}53\cdot(1 - 0{,}1085) = 0{,}472$ порового объёма, поэтому вода приходит раньше — через $0{,}472\cdot40\,000 = 18\,880$ сут (около 52 лет).

Ответ: При 600 м³/сут сегрегированное вытеснение даёт прорыв через 4,7 года (

E_D

= 0,436) и вымывает всю подвижную нефть за 10,6 года; диффузное — прорыв через 5,5 года (

E_D

= 0,512), но к тому же сроку лишь

E_D

= 0,552. При 75 м³/сут прорыв наступает при

E_D

≈ 0,61, но лишь спустя около 52 лет.

Что это значит. Пример иллюстрирует три вывода. При расходе, в 3,7 раза большем критического, язык приносит воду раньше, чем диффузный фронт (при расходе лишь немного выше критического — наоборот, позже: язык ещё короткий). Но затем осреднённые ОФП линейны: нефть в верхней части пласта течёт со своей концевой ОФП, и подвижная нефть вымывается быстро — диффузный фронт за то же время отдаёт заметно меньше, потому что за фронтом нефть течёт с малой ОФП. Ниже критического расхода вытеснение почти поршневое, но 75 м³/сут на элемент — это десятилетия разработки; отложенная добыча стоит меньше (Чистая приведённая стоимость (NPV)), и темп выбирают сравнением вариантов. При 600 м³/сут вертикальное равновесие пограничное (первый пример), поэтому реальная картина лежит между двумя расчётами. Модель резкой границы оптимистична после прорыва: она считает, что за границей нефть сразу при остаточной насыщенности; высокопроницаемый прослой у подошвы ускоряет язык (Вытеснение в неоднородных пластах). Данные примера условные.

РасчётКоэффициент вытеснения в зависимости от закачки для элемента из примера: сегрегированное и диффузное вытеснение при 600 м³/сут и сегрегированное при 75 м³/сут (поршневой фронт без учёта клина у наклонной границы). До прорыва все линии совпадают: добыча равна закачке.

Гравитационное дренирование и его предельный темп

При гравитационном дренировании (gravity drainage) нефть стекает к скважинам в пониженной части пласта под собственным весом, а её место занимает газ — газовой шапки, выделившийся из нефти или закачанный в свод (гравитационный режим). Давление в газе распределено почти гидростатически, и движущая сила для нефти — разность плотностей нефти и газа. Если газу не приходится выталкивать нефть перепадом давления, расход нефти не может превысить того, что даёт одна сила тяжести:

Предельный расход гравитационного дренирования

q_{\text{гд}} = \frac{k\,k_{ro}\,A\,(\rho_o - \rho_g)\,g\sin\alpha}{\mu_o}

где:

$q_{\text{гд}}$ наибольший пластовый расход нефти, который даёт стекание под действием силы тяжести вдоль пласта, м³/с
$k_{ro}$ ОФП нефти там, где она стекает: в нефтяной части под газонефтяным контактом — концевая $k_{ro}'$ , в зоне, уже занятой газом, — во много раз меньше, —
$\rho_o - \rho_g$ разность плотностей нефти и газа в пластовых условиях, кг/м³
$\alpha$ угол наклона пласта; при стекании по вертикали $\sin\alpha = 1$ , а $k$ и $A$ — вертикальная проницаемость и площадь в плане, рад

Единицы: СИ (любая согласованная система)

Справедливо, если

давление в газе гидростатическое: газ лишь занимает место стекающей нефти;
вертикальное равновесие, однородный пласт.

С концевой ОФП это тот же гравитационный расход $q_{\text{гр}}$ , только с разностью плотностей нефти и газа. Если отбирать больше, газу приходится выталкивать нефть перепадом давления, а такое вытеснение устойчиво лишь ниже $q_{\text{кр}} = q_{\text{гр}}M'/(M' - 1)$ . У газа $M'$ — десятки, и критический расход превышает предел дренирования лишь на несколько процентов: газ не может устойчиво наступать быстрее, чем нефть успевает от него стекать.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

q_{\text{гд}}\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{0{,}0853\,k\,k_{ro}\,A\cdot0{,}00981\,(\rho_o - \rho_g)\sin\alpha}{\mu_o}

$k$ — мД, $A$ — м², плотности — г/см³, $\mu_o$ — мПа·с; расход — в пластовых условиях.

Постоянные — как в формуле критического расхода.

Расчётный примерСколько нефти может дать гравитационное дренирование

Исходные данные (условные)

Пласт: тот же: 400 мД, сечение 25 × 600 м, падение 12°; над нефтью — газовая шапка, добывающие скважины в пониженной части
Флюиды: нефть 0,80 г/см³, 3,0 мПа·с, $B_o = 1{,}25$ ; газ в пластовых условиях 0,20 г/см³ (условно)
ОФП нефти: $k_{ro}' = 0{,}85$ под газонефтяным контактом; 0,10 — при стекании через зону, уже занятую газом (условно)

Решение

Градиент от разности плотностей вдоль пласта: $0{,}00981\cdot(0{,}80 - 0{,}20)\cdot0{,}2079 = 1{,}2237\cdot10^{-3}$ МПа/м — в 2,5 раза больше, чем у пары вода — нефть.
Предельный расход: $q_{\text{гд}} = 0{,}0853\cdot400\cdot0{,}85\cdot15\,000\cdot1{,}2237\cdot10^{-3}/3{,}0 = 177{,}4$ м³/сут в пластовых условиях, или $177{,}4/1{,}25 = 142$ м³/сут нефти в стандартных условиях.
Отбор 600 м³/сут жидкости в пластовых условиях больше предела в $600/177{,}4 = 3{,}4$ раза.
Когда нефть стекает уже через зону, занятую газом, с $k_{ro} = 0{,}10$ : $177{,}4\cdot0{,}10/0{,}85 = 20{,}9$ м³/сут — в 8,5 раза меньше.

Ответ: Гравитационное дренирование этого элемента может давать не больше 177,4 м³/сут в пластовых условиях (142 м³/сут нефти); при стекании через газонасыщенную зону — около 20,9 м³/сут.

Что это значит. Разность плотностей нефти и газа в два с половиной раза больше, чем воды и нефти, поэтому дренирование идёт быстрее подъёма подошвенной воды, но всё равно медленно. При отборе 600 м³/сут газ не успевает лишь занимать место стекающей нефти: он прорвётся по кровле к добывающим скважинам, и энергия шапки уйдёт с газом. Поэтому при гравитационном режиме добывающие скважины размещают в пониженной части и вскрывают подальше от газонефтяного контакта, отбор держат ниже предела, а давление поддерживают закачкой газа в свод (Вытеснение нефти газом). Последняя нефть из газонасыщенной зоны стекает тонкими плёнками годами, зато остаточная нефтенасыщенность при этом может стать низкой. Данные примера условные.

Почему гравитационный режим даёт высокую нефтеотдачу

Газ не смачивает породу, а нефть в присутствии газа растекается по воде и зёрнам тонкими плёнками. Пока плёнки связаны, нефть продолжает стекать, и остаточная нефтенасыщенность при медленном дренировании может оказаться намного ниже, чем после заводнения. Цена — время: скорость стекания пропорциональна $k_{ro}$ , а она падает вместе с нефтенасыщенностью. Лучшие условия — мощные или крутые пласты с хорошей вертикальной проницаемостью, лёгкая нефть и малый темп отбора.

Термины и обозначения

Сегрегированный поток: вытеснение, при котором фазы разделены по толщине пласта силой тяжести: вода у подошвы, газ у кровли, граница с нефтью резкая.
Вертикальное равновесие (VE): давление в каждой фазе поперёк пласта гидростатическое: фазы успевают перераспределиться по толщине быстрее, чем фронт проходит путь между скважинами.
Критический расход $q_{\text{кр}}$: наибольший пластовый расход через сечение пласта, при котором граница вытесняющей фазы и нефти устойчива; при $M' > 1$ равен $q_{\text{гр}}M'/(M' - 1)$ .
Гравитационный расход $q_{\text{гр}}$: расход, при котором гравитационное число равно единице; с ОФП нефти в месте стекания — предел гравитационного дренирования.
Угол $\beta$: угол между границей вытесняющей фазы и напластованием; при покое равен углу падения, при критическом расходе — нулю.
Осреднённые по толщине ОФП: прямые между концевыми точками, заменяющие кривые керна при вертикальном равновесии с резкой границей.
Гравитационный язык: слой воды у подошвы или газа у кровли, уходящий вперёд основной массы вытесняющей фазы при расходе выше критического.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Закачка идёт вверх по восстанию — значит, фронт устойчив при любом темпе».

На самом деле

Только при $M' \le 1$ . При $M' > 1$ сила тяжести удерживает фронт лишь ниже $q_{\text{кр}}$ : в примере урока это около 164 м³/сут, а 600 м³/сут — в 3,7 раза больше.

Неверно

«Ниже критического расхода вода приходит к скважинам вместе с фронтом».

На самом деле

Граница наклонена, и подошвенная вода опережает кровельную на $h/\operatorname{tg}\beta$ : в примере урока около 220 м при 75 м³/сут, а вблизи критического расхода — больше расстояния между рядами скважин.

Неверно

«Сегрегированное вытеснение хуже диффузного: вода идёт языком».

На самом деле

В примере урока при расходе, намного большем $q_{\text{кр}}$ , прорыв действительно раньше (а чуть выше $q_{\text{кр}}$ — даже позже диффузного), но потом осреднённые ОФП линейны, и подвижная нефть вымывается меньшим объёмом воды. Ниже $q_{\text{кр}}$ вытеснение близко к поршневому — лучше диффузного, хотя и медленнее.

Неверно

«Газовую шапку можно расширять с любым темпом: газ легче нефти и всё равно останется наверху».

На самом деле

Газ остаётся наверху, лишь пока нефть успевает стекать от него. При отборе больше гравитационного расхода газ выталкивает нефть перепадом давления, его подвижность в десятки раз выше, и он прорывается к скважинам по кровле.

Неверно

«Вертикальное равновесие — свойство пласта: в этом пласте оно есть».

На самом деле

Отношение времён зависит и от темпа: в примере урока чистый песчаник при 150 м³/сут разделяет фазы с запасом, а при 600 м³/сут — лишь на пределе.

Подробно: для продвинутых

Почему обе фазы у границы движутся с одной скоростью

Пусть граница перемещается вдоль пласта со скоростью $V$ , не меняя формы: толщина слоя вытесняющей фазы $z(x, t) = z(x - Vt)$ . При вертикальном равновесии течение в каждом слое практически параллельно напластованию, и баланс вытесняющей фазы в слое толщиной $z$ записывается как $\phi\,\Delta S\,\partial z/\partial t = -\partial(u_d z)/\partial x$ , где $u_d$ — её скорость фильтрации. Для формы, бегущей без изменения, $\partial z/\partial t = -V\,\partial z/\partial x$ , и после интегрирования по $x$ получаем $u_d z = \phi\,\Delta S\,V z + C$ .

На кончике слоя, где $z = 0$ , поток вытесняющей фазы тоже нулевой, поэтому $C = 0$ и $u_d = \phi\,\Delta S\,V$ во всём слое. То же рассуждение для нефти (её слой сходит на нет с другой стороны границы) даёт $u_o = \phi\,\Delta S\,V$ . Скорости фильтрации фаз одинаковы и равны суммарной $u_t$ — это и есть условие, использованное в выводе. Если же вытесняющая фаза у подошвы (или кровли) движется быстрее нефти над ней, кончик слоя уходит вперёд, и граница непрерывно вытягивается — образуется язык.

Выпуклость кривой доли воды и устойчивость границы

Запишем долю воды при осреднённых ОФП как $f(h) = M'h\,(a + bh)/(1 + ch)$ с $a = 1 - N_g$ , $b = N_g$ , $c = M' - 1$ . Её наклон $f'(h) = M'(a + 2bh + bch^2)/(1 + ch)^2$ , а знак второй производной совпадает со знаком $b - ac = M'N_g - (M' - 1)$ . Поэтому кривая выпукла вверх ровно тогда, когда граница неустойчива, и выпукла вниз, когда устойчива. Значения наклона на концах дают формулы прорыва и полного охвата: $f'(0) = M'(1 - N_g)$ , $f'(1) = (1 + M'N_g)/M'$ .

Уравнение доли воды урока Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей содержит ещё член с градиентом капиллярного давления. При резкой границе его роль играет разность гидростатических давлений фаз из-за наклона самой границы: $\partial(p_o - p_w)/\partial x = -\Delta\rho\,g\cos\alpha\,\dd z/\dd x$ . Если подставить в этот член установившийся наклон, доля воды становится просто $f_w = h_D$ : все доли толщины движутся с одной скоростью, и граница переносится как целое — тот же результат, что в анализе устойчивости. Расчёт по осреднённым ОФП без этого члена заменяет наклонную границу скачком; поэтому для устойчивого вытеснения он даёт поршневой фронт и не учитывает клин нефти длиной $h/\operatorname{tg}\beta$ — оценка добычи к прорыву в нём завышена.

Горизонтальный пласт: добыча при неустойчивом вытеснении

При $N_g = 0$ и $M' > 1$ кривая $f = M'h/(1 + (M' - 1)h)$ выпукла вверх (её наклон убывает) на всём интервале, и формулы Уэлджа решаются в явном виде. Если закачку $w$ и добычу $N$ измерять в подвижных объёмах $V_p\,\Delta S$ , то прорыв наступает при $w = 1/M'$ , вся подвижная нефть добыта при $w = M'$ , а между ними:

Добыча при сегрегированном вытеснении в горизонтальном пласте

N = \frac{2\sqrt{M'w} - w - 1}{M' - 1},\qquad \frac{1}{M'} \le w \le M'

где:

$N$ добытая нефть в долях подвижного объёма $V_p\,\Delta S$ , —
$w$ закачанная вода в долях подвижного объёма (пластовые условия), —
$M'$ соотношение подвижностей в концевых точках, $M' > 1$ , —

Единицы: доли подвижного объёма

Справедливо, если

горизонтальный пласт, вертикальное равновесие, резкая граница;
$M' > 1$ ; при $M' \le 1$ граница устойчива, и расчёт с осреднёнными ОФП даёт поршневой фронт.

Вывод: насыщенность на выходе находят из $f'(h_e) = 1/w$ , откуда $1 + (M' - 1)h_e = \sqrt{M'w}$ ; подстановка в формулу Уэлджа $N = h_e + (1 - f_e)\,w$ даёт выражение выше. Например, при $M' = 2$ к прорыву добыта половина подвижной нефти, а вся она — после закачки двух подвижных объёмов воды.

Вертикальное равновесие с капиллярной переходной зоной

Резкая граница — предел, когда капиллярная переходная зона, высота которой порядка $\Delta p_c/(\Delta\rho\,g)$ , мала по сравнению с толщиной пласта (переходная зона). В тонких пластах и в плохо проницаемых породах с высоким капиллярным давлением это не так. Вертикальное равновесие при этом может сохраняться — капиллярные силы даже помогают выравнивать насыщенность по вертикали, — но распределение насыщенности по толщине задаёт равновесие капиллярных сил и веса фаз. Осреднённые по толщине ОФП тогда уже не прямые: их получают, интегрируя кривые керна по этому распределению. Такие псевдофункции, а также динамические псевдофункции для пластов без вертикального равновесия — тема Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции.

Связь с другими темами

Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей — гравитационное число и доля воды в наклонном пласте при диффузном потоке.
Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа — фронт вытеснения, касательная Уэлджа и добыча после прорыва — тот же аппарат с осреднёнными ОФП.
Вытеснение нефти газом — критический расход при закачке газа в свод и расширении газовой шапки.
Конусообразование воды и газа — подтягивание воды и газа к одной скважине — радиальный аналог языка.
Естественные режимы работы залежей — газонапорный и гравитационный режимы залежей.
Вытеснение в неоднородных пластах — вытеснение в слоистых пластах, перетоки и вертикальное равновесие между слоями.
Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции — псевдофункции ОФП для моделей с крупными ячейками.
Относительная проницаемость — концевые точки кривых ОФП.

Проверьте себя

1
Вода вытесняет нефть вверх по восстанию, соотношение подвижностей в концевых точках $M' = 0{,}8$ . При каком темпе граница устойчива при вертикальном равновесии?
1. А.Только если пласт горизонтален
2. Б.Ни при каком
3. В.При любом темпе
4. Г.Только ниже критического расхода
Показать ответ
Правильный ответ: В. При любом темпе
При $M' < 1$ правая часть условия $M'N_g > M' - 1$ отрицательна, а при движении воды вверх по восстанию $N_g > 0$ — условие выполняется при любом расходе. Вода не подвижнее нефти и сама не стремится её обогнать, а сила тяжести дополнительно удерживает её у подошвы. Критического расхода нет.
2
Пласт: проницаемость 250 мД, толщина 15 м, ширина фронта 800 м, падение 8°, разность плотностей воды и нефти 0,25 г/см³; $k_{ro}' = 0{,}75$ , нефть 2,0 мПа·с; $k_{rw}' = 0{,}30$ , вода 0,45 мПа·с. Найдите критический расход закачки воды в пониженную часть пласта.
Показать ответ
Сечение $A = 15\cdot800 = 12\,000$ м²; градиент $0{,}00981\cdot0{,}25\cdot\sin8° = 0{,}00981\cdot0{,}25\cdot0{,}1392 = 3{,}414\cdot10^{-4}$ МПа/м. $q_{\text{гр}} = 0{,}0853\cdot250\cdot0{,}75\cdot12\,000\cdot3{,}414\cdot10^{-4}/2{,}0 \approx 32{,}8$ м³/сут. $M' = (0{,}30/0{,}45)/(0{,}75/2{,}0) = 0{,}667/0{,}375 \approx 1{,}78$ ; множитель $1{,}78/0{,}78 \approx 2{,}28$ . $q_{\text{кр}} \approx 32{,}8\cdot2{,}28 \approx 75$ м³/сут в пластовых условиях. Пласт тоньше, пологее и менее проницаем, чем в примерах урока, и предел вдвое ниже, хотя нефть здесь менее вязкая.
3
Почему критический расход газового фронта почти совпадает с предельным темпом гравитационного дренирования нефти?
1. А.Потому что соотношение подвижностей газа и нефти велико, и множитель $M'/(M' - 1)$ близок к единице
2. Б.Потому что газ смачивает породу
3. В.Потому что вязкость газа равна вязкости нефти
4. Г.Потому что газ несжимаем
Показать ответ
Правильный ответ: А. Потому что соотношение подвижностей газа и нефти велико, и множитель $M'/(M' - 1)$ близок к единице
$q_{\text{кр}} = q_{\text{гр}}M'/(M' - 1)$ , а $q_{\text{гр}}$ с концевой ОФП нефти — это и есть предел стекания нефти под действием силы тяжести. У газа $M'$ — десятки (вязкость газа в десятки раз меньше), поэтому множитель всего на несколько процентов больше единицы: газ может устойчиво наступать лишь с той скоростью, с какой от него стекает нефть.
4
Горизонтальный однородный пласт, вертикальное равновесие, $M' = 3$ . Какая доля подвижной нефти будет добыта к прорыву воды и сколько подвижных объёмов воды нужно закачать, чтобы добыть её всю?
Показать ответ
В горизонтальном пласте $N_g = 0$ , и при $M' > 1$ граница неустойчива: вода уходит языком по подошве. По формулам раздела для углублённого изучения прорыв наступает после закачки $1/M' = 1/3$ подвижного объёма — столько же нефти добыто, треть подвижной. Вся подвижная нефть добыта после закачки $M' = 3$ подвижных объёмов.
5
Что повышает вероятность вертикального равновесия при прочих равных?
1. А.Более высокий темп закачки
2. Б.Более высокая вертикальная проницаемость
3. В.Меньшее расстояние между рядами скважин
4. Г.Более вязкая нефть
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Более высокая вертикальная проницаемость
Отношение времени переноса вдоль пласта ко времени разделения фаз поперёк него пропорционально $k_v$ , разности плотностей и расстоянию между скважинами и обратно пропорционально темпу, вязкости нефти и толщине пласта. Глинистые прослои, снижающие $k_v$ , — главная причина, по которой мощный пласт ведёт себя как диффузный.
6
Пласт толщиной 20 м падает под углом 10°; закачка идёт с расходом 0,6 критического. Каков установившийся угол между границей и напластованием и на какой длине вдоль пласта вода и нефть лежат одна над другой?
Показать ответ
$\operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}10°\cdot(1 - 0{,}6) = 0{,}1763\cdot0{,}4 = 0{,}0705$ , $\beta \approx 4{,}0°$ против 10° у горизонтальной границы: подошвенная вода выдвинута вперёд. Длина зоны $20/0{,}0705 \approx 284$ м. При покое она была бы $20/0{,}1763 \approx 113$ м: с ростом расхода зона вытягивается.

Обновлено: 15 октября 2026 г.