Описательная статистика в геологии

Кратко о главном

Выборка — ничтожная часть совокупности: керн составляет миллиардные доли объёма пласта, а образцы, на которых измерены свойства, — ещё в сотню раз меньше. Любое среднее по ним — оценка с погрешностью, а не свойство пласта.
Сначала на данные смотрят — строят гистограмму и накопленную кривую, — потом считают: одно число не покажет ни двух вершин, ни длинного «хвоста».
У симметричных данных (пористость одной породы) среднее, медиана и мода близки. У скошенных (проницаемость) среднее арифметическое заметно больше медианы, а геометрическое близко к ней.
Всегда $\bar k_{\text{гарм}} \le \bar k_{\text{геом}} \le \bar k_{\text{ар}}$ . Поток вдоль слоёв описывает арифметическое среднее, поперёк слоёв — гармоническое, случайную мозаику — геометрическое.
Среднее приводят вместе с мерой разброса. Коэффициент вариации $C_v = s/\bar x$ для проницаемости: меньше 0,5 — порода однородна, от 0,5 до 1 — неоднородна, больше 1 — очень неоднородна.
P50 — медиана. P10 и P90 читают двумя противоположными способами: в оценке запасов P90 — осторожное (малое) значение, в статистике 90-й процентиль — большое. Соглашение всегда уточняют.

Ключевые соотношения

\bar x = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i

среднее арифметическое

\bar k_{\text{геом}} = \exp\left(\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\ln k_i\right)

среднее геометрическое

\bar k_{\text{гарм}} = N\left(\sum_{i=1}^{N}\dfrac{1}{k_i}\right)^{-1}

среднее гармоническое

s = \sqrt{\dfrac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar x)^2}

стандартное отклонение выборки

C_v = \dfrac{s}{\bar x}

коэффициент вариации

Где чаще всего ошибаются

Осреднять проницаемость арифметически «по привычке», не выяснив, как поток идёт относительно слоёв.
Приводить среднее без меры разброса и без числа образцов.
Пользоваться чужими P10 и P90, не узнав, отсчитаны они как накопленные доли или как вероятности превышения.
Заменять значения «ниже предела измерения» нулями или молча отбрасывать их.
Применять правило «среднее ± одно отклонение» к проницаемости в миллидарси: её распределение несимметрично.

После урока вы сможете

отличать генеральную совокупность от выборки, а свойство пласта — от его оценки по образцам;
построить гистограмму и накопленную кривую и прочитать по ним медиану и процентили;
объяснить два противоположных смысла обозначений P10 и P90 и уточнять, какой из них использован;
вычислить среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое, медиану и моду и объяснить, почему для неоднородных данных они расходятся;
вычислить дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации и по нему оценить степень неоднородности;
выбрать меру центра под задачу и объяснить, зачем проницаемость рассматривают в логарифмическом масштабе.

Выборка и совокупность: что мы на самом деле измерили

Всё, о чём мы хотим судить, — например, проницаемость во всех точках пласта — в статистике называют генеральной совокупностью (population). Измерить её целиком невозможно. Измеряют выборку (sample): несколько десятков или сотен образцов керна, показания каротажа в нескольких скважинах.

Истинное среднее и истинный разброс совокупности — её параметры — остаются неизвестными. По выборке вычисляют их оценки: среднее по образцам, стандартное отклонение по образцам. Оценка — не свойство пласта, а наше приближение к нему; другой набор образцов дал бы немного другое число. Насколько другое — вопрос следующего урока (Распределения и достаточность выборки).

Совокупность нужно назвать до того, как что-то осреднять: залежь целиком, один пласт, одна порода в его составе. Если в одну выборку попали песчаник и глина, её среднее не описывает ни то ни другое.

Расчётный примерКакую долю пласта мы измерили

Исходные данные (условные)

Залежь: площадь 10 км², толщина пласта 20 м
Керн: отобран в 5 скважинах по всей толщине пласта, диаметр 100 мм
Образцы: по 60 цилиндров из каждой скважины, диаметр и длина 30 мм

Решение

Объём пород: $10\cdot10^{6}\cdot20 = 2\cdot10^{8}$ м³.
Объём керна: $5\cdot\pi\cdot0{,}05^{2}\cdot20 = 0{,}785$ м³ — это $3{,}9\cdot10^{-9}$ объёма пласта.
Объём одного образца: $\pi\cdot1{,}5^{2}\cdot3{,}0 = 21{,}2$ см³. Трёхсот образцов — 6,36 л, или $3{,}2\cdot10^{-11}$ объёма пласта.
Для наглядности: от олимпийского бассейна (2500 м³) такие доли — это 9,8 мл для керна и 0,08 мл для образцов.

Ответ: Керн — около четырёх миллиардных долей объёма пласта; образцы, на которых измерены свойства, — около трёх стомиллиардных.

Что это значит. Две чайные ложки воды расскажут о бассейне всё, потому что вода перемешана. Порода не перемешана: свойства меняются от слоя к слою и от скважины к скважине. Поэтому судить о целом по такой малой части приходится осторожно — с оценкой разброса и погрешности, о которых идёт речь ниже. Данные примера условные.

О любом наборе данных стоит выяснить пять вещей. Первым трём посвящён этот урок.

Центр: вокруг какого значения группируются измерения.
Разброс: насколько измерения отличаются друг от друга.
Форма: симметричны ли данные, нет ли длинного «хвоста» или двух вершин.
Надёжность: насколько точны эти оценки при имеющемся числе образцов (Распределения и достаточность выборки).
Изменчивость в пространстве: как свойство меняется по разрезу и по площади (Пространственная корреляция и вариограмма).

Типы данных: что можно осреднять

Не всякие данные можно складывать и делить. Прежде чем считать среднее, стоит понять, к какому типу относится величина.

Типы величин и подходящие меры

Тип: Названия (номинальные)
Примеры: литология, фация, название свиты
Что имеет смысл: доли и мода — самая частая категория

Тип: Ранги (порядковые)
Примеры: класс сортировки зёрен, степень цементации в баллах
Что имеет смысл: медиана и мода; «средний балл 2,3» ничего не означает

Тип: Счётные (дискретные)
Примеры: число трещин на метр керна, число пропластков
Что имеет смысл: среднее и разброс; сами значения целые

Тип: Непрерывные
Примеры: пористость, проницаемость, толщина, насыщенность
Что имеет смысл: все меры центра и разброса

Тип	Примеры	Что имеет смысл
Названия (номинальные)	литология, фация, название свиты	доли и мода — самая частая категория
Ранги (порядковые)	класс сортировки зёрен, степень цементации в баллах	медиана и мода; «средний балл 2,3» ничего не означает
Счётные (дискретные)	число трещин на метр керна, число пропластков	среднее и разброс; сами значения целые
Непрерывные	пористость, проницаемость, толщина, насыщенность	все меры центра и разброса

Среди непрерывных величин есть ещё одно важное различие. Поровый объём — аддитивная величина: объёмы пор двух кусков породы складываются. Поэтому средняя пористость с весом объёма (для пласта постоянной площади — с весом толщины) имеет точный физический смысл: она сохраняет поровый объём (средняя пористость и запасы).

Проницаемость неаддитивна. Возьмём два образца одинакового размера с проницаемостью 5 и 500 мД. Соединённые параллельно, они пропускают почти столько же, сколько один хороший образец; в пересчёте на удвоенное сечение это порода с проницаемостью около 250 мД. Соединённые последовательно, они оказывают почти такое же сопротивление, как один плохой; в пересчёте на удвоенную длину это около 10 мД. Единственного «правильного» среднего у проницаемости нет: оно зависит от того, как участки расположены относительно потока.

То же относится к отношениям — анизотропии $k_v/k_h$ , коэффициенту вариации. Их не осредняют напрямую, а вычисляют заново по осреднённым величинам.

Гистограмма, накопленная кривая и процентили

Считать средние, не взглянув на данные, — всё равно что описывать людей в комнате одним средним ростом, не зная, что половина из них дети. Первый шаг — гистограмма (histogram): диапазон значений делят на равные интервалы (классы), подсчитывают, сколько измерений попало в каждый, и рисуют столбики соответствующей высоты. При построении держатся нескольких правил.

Классов обычно берут от 7 до 25. При малом их числе форма распределения сглаживается; при большом в каждом классе остаётся по одному-два значения, и картина распадается на случайные зубцы.
Границы классов выбирают круглыми и заранее решают, куда относить значение, попавшее точно на границу, — например, всегда в класс справа.
По вертикали вместо числа образцов можно отложить их долю (относительную частоту). Тогда сравнимы гистограммы выборок разного объёма.

Накопленная кривая (cumulative frequency curve, кумулята) показывает для каждого значения, какая доля измерений не превышает его. Она растёт от 0 до 100 %, и по ней читают процентили (percentile) — значения, ниже которых лежит заданная доля данных. 50-й процентиль — это медиана: половина измерений меньше неё, половина больше. 25-й и 75-й процентили называют квартилями.

Расчётный примерГистограмма, накопленная кривая и процентили пористости

Исходные данные (условные)

Выборка: 40 образцов одного пласта
Классы пористости, %: 10–12; 12–14; 14–16; 16–18; 18–20; 20–22; 22–24; 24–26
Число образцов в классах: 1; 2; 5; 8; 10; 8; 4; 2

Решение

Накопленное число образцов на верхней границе каждого класса: 1; 3; 8; 16; 26; 34; 38; 40. В долях от 40 это 2,5; 7,5; 20; 40; 65; 85; 95 и 100 %.
Среднее по сгруппированным данным — середины классов с весом числа образцов. Сумма $11\cdot1 + 13\cdot2 + 15\cdot5 + 17\cdot8 + 19\cdot10 + 21\cdot8 + 23\cdot4 + 25\cdot2 = 748$ ; делим на 40: $\bar\phi = 18{,}7$ %.
Медиана. Половина образцов набирается внутри класса 18–20 %, где накопленная доля растёт с 40 до 65 %. Считая образцы распределёнными внутри класса равномерно: $18 + 2\cdot(50 - 40)/(65 - 40) = 18{,}8$ %.
Так же находим значение, ниже которого лежит 10 % образцов: $14 + 2\cdot(10 - 7{,}5)/(20 - 7{,}5) = 14{,}4$ %, и значение, ниже которого лежит 90 %: $22 + 2\cdot(90 - 85)/(95 - 85) = 23{,}0$ %.
Самый высокий столбик — класс 18–20 %: это модальный класс.

Ответ: Среднее 18,7 %, медиана 18,8 %, мода — в классе 18–20 %; у 80 % образцов пористость от 14,4 до 23,0 %.

Что это значит. Среднее, медиана и мода почти совпали, столбики по обе стороны от вершины убывают почти одинаково: распределение близко к симметричному, и среднего с мерой разброса достаточно, чтобы его описать. Для проницаемости тех же образцов, как показано ниже, это уже не так. Данные примера условные.

РасчётГистограмма и накопленная кривая пористости 40 образцов из примера. Точками на кривой отмечены значения, ниже которых лежит 10, 50 и 90 % образцов.

На гистограмме ищут то, чего не покажет ни одно среднее. Две вершины означают, что в выборке смешаны две породы и описывать их нужно по отдельности. Длинный «хвост» в одну сторону говорит об асимметрии. Одиночные столбики далеко от остальных — возможные выбросы: ошибки замера или редкие, но настоящие значения. Обрыв на краю выдаёт предел измерения прибора.

С процентилями связана одна из самых частых путаниц в нефтяной статистике. Обозначения P10, P50 и P90 читают двумя способами, и для P10 и P90 эти способы дают противоположные числа.

Одно обозначение — два смысла (пористость из примера выше)

Обозначение: P10
Накопленная доля («не больше»): пористость 14,4 % — малое значение: ниже него лежит 10 % образцов
Вероятность превышения («не меньше»): пористость 23,0 % — большое значение: его превышают только 10 % образцов

Обозначение: P50
Накопленная доля («не больше»): 18,8 % — медиана
Вероятность превышения («не меньше»): 18,8 % — медиана

Обозначение: P90
Накопленная доля («не больше»): пористость 23,0 % — большое значение: ниже него лежит 90 % образцов
Вероятность превышения («не меньше»): пористость 14,4 % — малое значение: его превышают 90 % образцов

Обозначение	Накопленная доля («не больше»)	Вероятность превышения («не меньше»)
P10	пористость 14,4 % — малое значение: ниже него лежит 10 % образцов	пористость 23,0 % — большое значение: его превышают только 10 % образцов
P50	18,8 % — медиана	18,8 % — медиана
P90	пористость 23,0 % — большое значение: ниже него лежит 90 % образцов	пористость 14,4 % — малое значение: его превышают 90 % образцов

Первое прочтение принято в математической статистике и во многих программах. Второе — в оценке ресурсов и запасов, где P90 — осторожная оценка, а P10 — оптимистичная (Подсчёт запасов объёмным методом).

Меры центра: среднее, медиана, мода

Мера центра (central tendency) отвечает на вопрос, вокруг какого значения группируются данные. Таких мер три, и каждая понимает «центр» по-своему.

Среднее арифметическое (arithmetic mean): сумма значений, делённая на их число; «центр тяжести» данных. Учитывает каждое значение, поэтому чувствительно к редким очень большим или очень малым.
Медиана (median): значение, которое делит упорядоченный ряд пополам. При чётном числе измерений берут полусумму двух значений, стоящих в середине ряда. Не зависит от того, насколько велики крайние значения.
Мода (mode): самое частое значение; для непрерывных данных — середина самого высокого столбика гистограммы. Единственная мера, применимая к названиям (самая распространённая литология).

Среднее арифметическое выборки

\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i

где:

$\bar x$ среднее арифметическое — оценка истинного среднего совокупности, единицы величины
$x_i$ $i$ -е измерение, единицы величины
$N$ число измерений, —

Единицы: те же, что у измеряемой величины

Справедливо, если

каждое измерение представляет одинаковую долю изучаемого объёма (образцы отобраны равномерно); иначе нужны веса — толщины или объёмы;
все измерения относятся к одной совокупности — одному пласту, одной породе.

Для аддитивных величин среднее арифметическое сохраняет сумму: средняя пористость, умноженная на объём пород, даёт объём пор. Для неаддитивных это лишь одно из возможных средних.

Десять образцов керна одного пласта (условные данные)

Глубина, м: 2450,15
Пористость, %: 22
Проницаемость, мД: 120

Глубина, м: 2450,45
Пористость, %: 25
Проницаемость, мД: 400

Глубина, м: 2450,75
Пористость, %: 20
Проницаемость, мД: 168

Глубина, м: 2451,05
Пористость, %: 21
Проницаемость, мД: 90

Глубина, м: 2451,35
Пористость, %: 19
Проницаемость, мД: 55

Глубина, м: 2451,65
Пористость, %: 18
Проницаемость, мД: 65

Глубина, м: 2451,95
Пористость, %: 18
Проницаемость, мД: 30

Глубина, м: 2452,25
Пористость, %: 17
Проницаемость, мД: 40

Глубина, м: 2452,55
Пористость, %: 14
Проницаемость, мД: 20

Глубина, м: 2452,85
Пористость, %: 16
Проницаемость, мД: 12

Глубина, м	Пористость, %	Проницаемость, мД
2450,15	22	120
2450,45	25	400
2450,75	20	168
2451,05	21	90
2451,35	19	55
2451,65	18	65
2451,95	18	30
2452,25	17	40
2452,55	14	20
2452,85	16	12

Образцы отобраны через 0,3 м в интервале 2450,0–2453,0 м. Этот набор используется во всех примерах ниже и в следующем уроке.

Расчётный примерСреднее, медиана и мода по десяти образцам

Исходные данные (условные)

Пористость по возрастанию, %: 14; 16; 17; 18; 18; 19; 20; 21; 22; 25
Проницаемость по возрастанию, мД: 12; 20; 30; 40; 55; 65; 90; 120; 168; 400

Решение

Пористость. Сумма 190, среднее $\bar\phi = 190/10 = 19{,}0$ %. Медиана — полусумма пятого и шестого значений: $(18 + 19)/2 = 18{,}5$ %. Мода — 18 % (встречается дважды), но при десяти значениях она ненадёжна.
Проницаемость. Сумма 1000, среднее $\bar k = 100$ мД. Медиана: $(55 + 65)/2 = 60$ мД. Среднее в 1,7 раза больше медианы; 7 образцов из десяти — ниже среднего.
Уберём один, самый проницаемый образец (400 мД). Среднее по девяти оставшимся: $600/9 = 66{,}7$ мД — на треть меньше. Медиана — пятое значение из девяти: 55 мД — почти не изменилась.

Ответ: Пористость: среднее 19,0 %, медиана 18,5 %. Проницаемость: среднее 100 мД, медиана 60 мД.

Что это значит. У пористости среднее и медиана близки — данные почти симметричны. У проницаемости среднее «оттянуто» вверх: один образец из десяти даёт 40 % суммы. Это не значит, что среднее арифметическое здесь неверно, — оно отвечает на свой вопрос (см. следующий раздел). Но «типичным образцом» его считать нельзя: типичный образец описывает медиана. Данные примера условные.

Если образцы представляют разные толщины или объёмы, простое среднее заменяют взвешенным: каждое значение умножают на свою толщину и сумму делят на общую толщину. Керн, отобранный гуще в хороших прослоях, без весов даёт завышенное среднее — такой пример разобран в уроке о пористости.

Три средних для проницаемости

Проницаемость неаддитивна, поэтому для неё используют три разных средних: арифметическое, геометрическое и гармоническое. Все три вычисляют по одним и тем же образцам, но отвечают они на разные вопросы.

Среднее геометрическое

\bar k_{\text{геом}} = \left(\prod_{i=1}^{N} k_i\right)^{1/N} = \exp\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\ln k_i\right)

где:

$\bar k_{\text{геом}}$ среднее геометрическое, мД
$k_i$ проницаемость $i$ -го образца, мД
$N$ число образцов, —

Единицы: те же, что у $k_i$ ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

все значения положительны: единственный нуль обращает среднее в нуль, поэтому вместо «нулей» подставляют предел измерения прибора;
образцы представляют равные объёмы породы; иначе логарифмы взвешивают по толщине.

Среднее геометрическое — это среднее арифметическое, взятое в логарифмическом масштабе: осредняют не сами значения, а их порядки. Основание логарифма не важно: десять в степени среднего десятичного логарифма даёт то же число. Считают обычно по второй форме: складывать логарифмы удобнее, чем перемножать сотни значений.

Среднее гармоническое

\bar k_{\text{гарм}} = N\left(\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{k_i}\right)^{-1}

где:

$\bar k_{\text{гарм}}$ среднее гармоническое, мД
$k_i$ проницаемость $i$ -го образца, мД
$N$ число образцов, —

Единицы: те же, что у $k_i$

Справедливо, если

все значения положительны;
образцы представляют равные толщины; иначе $\bar k_{\text{гарм}} = \sum h_i / \sum (h_i/k_i)$ .

Здесь осредняют не проницаемости, а обратные им величины $1/k$ — сопротивления потоку, — и от среднего сопротивления возвращаются к проницаемости. Поэтому результат определяют самые малые значения: один плотный образец «весит» больше десятка хороших.

Соотношение трёх средних

\bar k_{\text{гарм}} \le \bar k_{\text{геом}} \le \bar k_{\text{ар}}

где:

$\bar k_{\text{гарм}}$ среднее гармоническое, мД
$\bar k_{\text{геом}}$ среднее геометрическое, мД
$\bar k_{\text{ар}}$ среднее арифметическое, мД

Единицы: любые, одинаковые для всех трёх

Справедливо, если

все значения положительны и взяты с одинаковыми весами;
равенство достигается, только если все значения одинаковы.

Чем неоднороднее порода, тем дальше три средних расходятся; у однородной они почти совпадают. Расхождение средних само по себе признак неоднородности.

СхемаКакое среднее отвечает какому расположению участков разной проницаемости относительно потока. Стрелки показывают поток; их длина в верхней схеме условно передаёт расход по слою.

Какое среднее какому потоку соответствует

Расположение относительно потока: Поток вдоль выдержанных слоёв: слои работают параллельно
Среднее: арифметическое, с весом толщин
Что определяет результат: самые проницаемые слои

Расположение относительно потока: Поток поперёк слоёв: слои работают последовательно
Среднее: гармоническое, с весом толщин
Что определяет результат: самые плотные слои

Расположение относительно потока: Участки перемешаны случайно, выдержанных слоёв нет
Среднее: геометрическое
Что определяет результат: «типичная» порода; близко к медиане

Расположение относительно потока	Среднее	Что определяет результат
Поток вдоль выдержанных слоёв: слои работают параллельно	арифметическое, с весом толщин	самые проницаемые слои
Поток поперёк слоёв: слои работают последовательно	гармоническое, с весом толщин	самые плотные слои
Участки перемешаны случайно, выдержанных слоёв нет	геометрическое	«типичная» порода; близко к медиане

Правила относятся к однофазному потоку. Первые два разобраны в уроке о проницаемости; третье строго выполняется для двумерного потока в изотропной случайной среде с логнормальным распределением проницаемости, а в трёхмерном случае эффективная проницаемость несколько выше геометрического среднего.

Расчётный примерТри средних проницаемости по десяти образцам

Исходные данные (условные)

Проницаемость, мД: 12; 20; 30; 40; 55; 65; 90; 120; 168; 400
Толщина, приходящаяся на образец: одинаковая, 0,3 м

Решение

Арифметическое: $\bar k_{\text{ар}} = 1000/10 = 100$ мД.
Геометрическое. Натуральные логарифмы: 2,4849; 2,9957; 3,4012; 3,6889; 4,0073; 4,1744; 4,4998; 4,7875; 5,1240; 5,9915. Их сумма 41,1552, среднее 4,1155; $\bar k_{\text{геом}} = \e^{4{,}1155} = 61{,}3$ мД.
Гармоническое. Сумма обратных величин $1/12 + 1/20 + \dots + 1/400 = 0{,}2531$ мД⁻¹; $\bar k_{\text{гарм}} = 10/0{,}2531 = 39{,}5$ мД.
Арифметическое больше гармонического в 2,5 раза. Геометрическое (61,3 мД) почти совпало с медианой (60 мД).

Ответ: Гармоническое 39,5 мД, геометрическое 61,3 мД, арифметическое 100 мД.

Что это значит. Если эти десять прослоев выдержаны по площади, пачка проводит вдоль напластования как порода с проницаемостью около 100 мД, а поперёк — около 40 мД. Отношение $k_v/k_h$ для пачки — около 0,4, даже если каждый образец сам по себе изотропен. Если же прослои между скважинами не прослеживаются и участки перемешаны, ближе к истине геометрическое среднее — около 60 мД. Выбор среднего — это решение о геологическом строении пласта, а не арифметика. Данные примера условные.

Расчётный примерОдин пропущенный глинистый прослой

Исходные данные (условные)

Интервал: 3,0 м; по десяти образцам $\bar k_{\text{ар}} = 100$ мД, $\bar k_{\text{гарм}} = 39{,}5$ мД
Прослой, не попавший в образцы: глинистый, толщина 2 см, проницаемость 0,002 мД

Решение

Сопротивление вертикальному потоку — сумма отношений $h_i/k_i$ . Для песчаника: $2{,}98/39{,}5 = 0{,}0754$ м/мД. Для прослоя: $0{,}02/0{,}002 = 10$ м/мД — в 133 раза больше, чем у всей остальной толщи.
Вертикальная проницаемость интервала: $k_v = 3{,}0/(0{,}0754 + 10) = 0{,}30$ мД вместо 39,5 мД.
Горизонтальная: $k_h = (2{,}98\cdot100 + 0{,}02\cdot0{,}002)/3{,}0 = 99{,}3$ мД — практически прежняя.

Ответ: Двухсантиметровый прослой снизил вертикальную проницаемость интервала более чем в сто раз — с 39,5 до 0,30 мД, а горизонтальную оставил прежней.

Что это значит. Такие прослои почти никогда не попадают в образцы: цилиндр выбуривают из крепкого песчаника, а не из глинистой прослойки толщиной в палец. Поэтому гармоническое среднее по образцам обычно завышает вертикальную проницаемость, иногда на порядки. Надёжнее оценивать её по описанию керна (есть ли выдержанные прослои), по исследованиям скважин на вертикальную связь интервалов и по поведению конусов воды и газа. Данные примера условные.

К этим правилам нужны три оговорки.

Наклонные пласты. Важны не вертикаль и горизонталь, а направление потока относительно слоёв. В пологих пластах вдоль слоёв идёт горизонтальный поток, поперёк — вертикальный. В круто падающих (углы больше 70°) вертикальный поток и горизонтальный поток по простиранию идут вдоль слоёв и описываются арифметическим средним, а горизонтальный поток вкрест простирания пересекает слои — здесь нужно гармоническое.
Границы. Как бы ни были расположены участки, эффективная проницаемость не может быть ниже гармонического среднего и выше арифметического. Если они различаются в десятки раз, строение пласта важнее точности отдельных измерений.
Многофазный поток. Правила получены для одной фазы. При вытеснении нефти водой высокопроницаемый прослой не просто добавляет проводимость, а пропускает воду раньше остальных, и одним средним такую систему не описать (Неоднородность пласта и осреднение проницаемости).

Значения за пределами измерения

В отчётах о керне встречаются записи «< 0,01 мД», «> 5000 мД» и «нет замера» (образец разрушился). Это не нули и не пропуски, которые можно молча отбросить.
Отброшенные малые значения завышают гармоническое и геометрическое средние, отброшенные большие — занижают арифметическое. Заменить «< 0,01» нулём тоже нельзя: с нулём геометрическое и гармоническое средние обращаются в нуль. Обычно подставляют сам предел измерения и проверяют, насколько результат чувствителен к этой подстановке.
Медиана от таких записей не зависит, пока их меньше половины, — ещё один довод в её пользу.
Если ответ решающим образом зависит именно от крайних значений (вертикальная проницаемость — от самых плотных прослоев, приток — от самых проницаемых), никакая подстановка их не восстановит: такие интервалы измеряют заново, методом с подходящим диапазоном.

Меры разброса: дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации

Два пласта с одинаковой средней проницаемостью могут вести себя совершенно по-разному: в одном все образцы близки к среднему, в другом рядом лежат прослои по 5 и по 500 мД. Различает их мера разброса (variability). Она же показывает, сколько образцов нужно для надёжного среднего, и подсказывает, насколько равномерным будет вытеснение. Среднее без меры разброса — половина ответа.

Простейшая мера — размах: разность наибольшего и наименьшего значений. Он зависит всего от двух измерений и растёт с числом образцов, поэтому пользуются мерами, которые учитывают все значения: дисперсией, стандартным отклонением и коэффициентом вариации.

Дисперсия и стандартное отклонение выборки

s^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(x_i - \bar x\right)^2, \qquad s = \sqrt{s^2}

где:

$s^2$ дисперсия выборки (variance), квадрат единиц величины
$s$ стандартное, или среднеквадратическое, отклонение (standard deviation, SD), единицы величины
$x_i$ $i$ -е измерение, единицы величины
$\bar x$ среднее арифметическое тех же измерений, единицы величины
$N$ число измерений, —

Единицы: $s$ — в единицах измеряемой величины, $s^2$ — в их квадратах

Справедливо, если

измерения относятся к одной совокупности;
в знаменателе $N - 1$ , а не $N$ : отклонения отсчитаны от среднего той же выборки и поэтому в среднем чуть меньше, чем от истинного среднего. При $N$ больше нескольких десятков разница несущественна.

Дисперсия — средний квадрат отклонения от среднего; стандартное отклонение возвращает её к единицам измерения. Если распределение близко к нормальному, в пределах $\bar x \pm s$ лежит около 68 % значений, в пределах $\bar x \pm 2s$ — около 95 %. Для скошенных данных это правило не работает.

Коэффициент вариации

C_v = \frac{s}{\bar x}

где:

$C_v$ коэффициент вариации (coefficient of variation), —
$s$ стандартное отклонение, единицы величины
$\bar x$ среднее арифметическое тех же измерений, единицы величины

Единицы: безразмерный; иногда его выражают в процентах

Справедливо, если

величина положительна и отсчитывается от естественного нуля (проницаемость, пористость, толщина); для температуры в градусах Цельсия или для абсолютных отметок коэффициент вариации смысла не имеет;
среднее и отклонение вычислены по одним и тем же измерениям в обычном, не логарифмическом масштабе.

Разброс ±50 мД — это очень много для пласта со средней проницаемостью 60 мД и почти ничего для пласта с 2000 мД. Коэффициент вариации показывает разброс в долях среднего и потому позволяет сравнивать разные свойства и разные пласты.

Расчётный примерРазброс пористости и проницаемости десяти образцов

Исходные данные (условные)

Пористость, %: 14; 16; 17; 18; 18; 19; 20; 21; 22; 25; среднее 19,0
Проницаемость, мД: 12; 20; 30; 40; 55; 65; 90; 120; 168; 400; среднее 100

Решение

Пористость. Отклонения от среднего: −5; −3; −2; −1; −1; 0; 1; 2; 3; 6. Сумма их квадратов: $25 + 9 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 36 = 90$ .
Дисперсия $s^2 = 90/9 = 10{,}0$ , стандартное отклонение $s = 3{,}16$ %, коэффициент вариации $C_v = 3{,}16/19{,}0 = 0{,}166$ .
Проницаемость. Отклонения: −88; −80; −70; −60; −45; −35; −10; 20; 68; 300. Сумма квадратов — 121 018, из них 90 000 даёт один образец.
Дисперсия $s^2 = 121\,018/9 = 13\,446$ мД², $s = 116$ мД, $C_v = 116/100 = 1{,}16$ .

Ответ: Пористость:

s = 3{,}16

C_v = 0{,}166

. Проницаемость:

s = 116

мД,

C_v = 1{,}16

Что это значит. Разброс проницаемости в долях среднего в семь раз больше, чем пористости: по пористости пласт однороден, по проницаемости — очень неоднороден. Заметьте: разность $\bar k - s$ получилась отрицательной (100 − 116 мД), чего для проницаемости быть не может. Это признак несимметричного распределения: описывать его «средним плюс-минус отклонение» нельзя. Данные примера условные.

Степень неоднородности по коэффициенту вариации проницаемости

$C_v$: меньше 0,5
Оценка: однородная порода
Что это значит: образцы близки друг к другу; три средних почти совпадают

$C_v$: 0,5–1,0
Оценка: неоднородная
Что это значит: средние заметно расходятся; распределение скошено

$C_v$: больше 1,0
Оценка: очень неоднородная
Что это значит: арифметическое среднее определяют несколько лучших образцов; для надёжной оценки нужны сотни измерений

$C_v$	Оценка	Что это значит
меньше 0,5	однородная порода	образцы близки друг к другу; три средних почти совпадают
0,5–1,0	неоднородная	средние заметно расходятся; распределение скошено
больше 1,0	очень неоднородная	арифметическое среднее определяют несколько лучших образцов; для надёжной оценки нужны сотни измерений

Границы условные и приняты для проницаемости. У пористости одной породы $C_v$ обычно 0,1–0,3.

Постоянное свойство (uniform): во всех точках одно и то же значение — идеализация, принятая в простейших расчётных формулах.
Однородность (homogeneity): свойство меняется от точки к точке мало ( $C_v$ меньше 0,5).
Неоднородность (heterogeneity): свойство меняется от точки к точке сильно. Не путать с переслаиванием разных пород: чистый песчаник без единого глинистого прослоя тоже может быть очень неоднородным по проницаемости.
Анизотропия (anisotropy): свойство зависит от направления (обычно $k_v < k_h$ ). Это другое качество: порода может быть однородной и анизотропной или неоднородной и изотропной.

Кроме коэффициента вариации, неоднородность проницаемости характеризуют коэффициентом Дикстры–Парсонса (Dykstra–Parsons), который находят по вероятностному графику (Распределения и достаточность выборки), и коэффициентом Лоренца (Lorenz), связывающим проводимость с ёмкостью (он разобран в углублённой части урока).

Почему проницаемость рассматривают в логарифмическом масштабе

Проницаемость одного пласта нередко меняется на два-три порядка, тогда как пористость — в полтора-два раза. Причина в том, что влияния на проницаемость не складываются, а перемножаются: размер зёрен входит в неё в квадрате, пористость — примерно в кубе, к этому добавляются сортировка, цемент, глинистые минералы (от чего зависит проницаемость, откуда берётся качество коллектора). В обычной шкале такие данные неудобны: почти все значения теснятся у нуля, а немногие большие растягивают ось.

Логарифм превращает умножение в сложение, а отношения — в разности. В логарифмическом масштабе расстояние от 10 до 100 мД такое же, как от 100 до 1000 мД, и гистограмма проницаемости обычно становится почти симметричной.

РасчётПроницаемость тех же 40 образцов, что на гистограмме пористости выше. Вверху — классы по 50 мД: распределение резко скошено. Внизу — классы, границы которых каждый раз удваиваются: распределение почти симметрично, а три средних выстраиваются в порядке гармоническое — геометрическое — арифметическое.

Отсюда три практических следствия.

Графики проницаемости — гистограммы, зависимости от пористости, каротажные диаграммы — строят в логарифмическом масштабе.
Среднее в логарифмическом масштабе — это среднее геометрическое. Для таких данных оно близко к медиане и описывает «типичный» образец.
Разброс выражают стандартным отклонением логарифма $s_{\ln k}$ . Оно безразмерно и означает не «плюс-минус столько-то миллидарси», а «во столько-то раз больше или меньше».

Расчётный примерРазброс проницаемости в логарифмах

Исходные данные (условные)

Натуральные логарифмы проницаемости десяти образцов: 2,4849; 2,9957; 3,4012; 3,6889; 4,0073; 4,1744; 4,4998; 4,7875; 5,1240; 5,9915
Их среднее: 4,1155 (пример выше)

Решение

Сумма квадратов отклонений логарифмов от их среднего — 9,756. Дисперсия: $9{,}756/9 = 1{,}084$ ; стандартное отклонение $s_{\ln k} = 1{,}041$ .
«Плюс-минус одно отклонение» в логарифмах — это интервал от $\e^{4{,}1155 - 1{,}041} = 22$ до $\e^{4{,}1155 + 1{,}041} = 174$ мД: в $\e^{1{,}041} \approx 2{,}8$ раза меньше и больше геометрического среднего.
В этот интервал попали 7 образцов из десяти — близко к 68 %, которых следует ожидать от нормального распределения.
В десятичных логарифмах то же отклонение: $s_{\lg k} = 1{,}041/2{,}303 = 0{,}45$ — меньше половины порядка.

Ответ:

s_{\ln k} = 1{,}041

: типичный образец отличается от геометрического среднего (61,3 мД) примерно в 2,8 раза в ту или другую сторону.

Что это значит. В логарифмах данные ведут себя «прилично»: интервал в одно стандартное отклонение не уходит в отрицательную область и содержит ожидаемую долю образцов. Поэтому статистику проницаемости считают в логарифмах, а к миллидарси возвращаются в конце. Какое распределение за этим стоит и как проверить его по вероятностному графику — в уроке «Распределения и достаточность выборки». Данные примера условные.

Масштаб измерения: керн, каротаж, исследования скважин

Любое измерение осредняет свойство по своему объёму. Точечный пермеаметр, наконечник которого прижимают к поверхности керна, охватывает меньше кубического сантиметра породы; цилиндрический образец — два-три десятка кубических сантиметров; каротаж — дециметры вокруг ствола; гидродинамические исследования скважин (ГДИС) — десятки и сотни метров пласта. Статистика всегда относится к тому масштабу, на котором получены данные. Отсюда несколько следствий.

Разброс, как правило, убывает с ростом объёма измерения. Крупный объём уже содержит внутри себя и хорошие, и плохие участки. Поэтому значения по каротажу обычно разбросаны меньше, чем по образцам, а по образцам — меньше, чем по точечным замерам. Сравнивать коэффициенты вариации можно только для данных одного масштаба.
Анизотропия усиливается с ростом масштаба. Отдельный образец однородного песчаника почти изотропен. Пачка из десяти прослоев в примере выше имеет $k_v/k_h \approx 0{,}4$ , а с одним глинистым прослоем — около 0,003. Для ячейки модели толщиной в несколько метров это отношение задают слои и прослои, а не измерения на образцах.
Среднее по керну и проницаемость по ГДИС сопоставляют, подбирая среднее под строение пласта. Если проницаемые прослои выдержаны на сотни метров, исследование «видит» арифметическое среднее с весом толщин. Если это небольшие линзы в менее проницаемой породе, результат ближе к геометрическому среднему. Расхождение — сведения о связности пласта, а не ошибка одного из методов.
Условия измерения разные. Образцы исследуют очищенными и высушенными, при меньшем сжатии, чем в пласте, и чаще всего по газу. ГДИС дают эффективную проницаемость для пластового флюида в пластовых условиях (как измеряют проницаемость).

Термины и обозначения

Генеральная совокупность и выборка: всё множество значений свойства, о котором делают вывод, и измеренная его часть.
Гистограмма: столбчатый график числа (или доли) измерений в равных интервалах значений.
Процентиль: значение, ниже которого лежит заданная доля данных; 50-й процентиль — медиана.
Медиана: значение, делящее упорядоченный ряд пополам; не зависит от крайних значений.
Мода: самое частое значение или класс.
$\bar k_{\text{ар}}$ , $\bar k_{\text{геом}}$ , $\bar k_{\text{гарм}}$: среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое; первое относится к потоку вдоль слоёв, третье — поперёк, второе — к случайной мозаике.
$s^2$ , $s$: дисперсия и стандартное отклонение выборки — меры разброса в квадратах единиц величины и в самих единицах.
$C_v$: коэффициент вариации: стандартное отклонение в долях среднего арифметического.
$L_c$: коэффициент Лоренца: удвоенная площадь между кривой «доля проводимости — доля ёмкости» и диагональю; от 0 до 1.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«P90 — это большое значение: 90 % ведь больше, чем 10 %».

На самом деле

Зависит от соглашения. В оценке запасов P90 — значение, которое превышается с вероятностью 90 %, то есть малое, осторожное. В статистике 90-й процентиль — большое значение. Не уточнив соглашение, числом пользоваться нельзя.

Неверно

«Среднее арифметическое проницаемости — это проницаемость типичного образца».

На самом деле

У скошенных данных большинство образцов ниже арифметического среднего (в примере урока — семь из десяти). Типичный образец описывают медиана и геометрическое среднее; арифметическое отвечает на другой вопрос — о проводимости вдоль слоёв.

Неверно

«Образцы с пометкой „ниже предела измерения“ можно не учитывать».

На самом деле

Именно плотные прослои определяют вертикальную проницаемость. Отбросив их, завышают гармоническое и геометрическое средние; заменять их нулями тоже нельзя.

Неверно

«Стандартное отклонение 116 мД при среднем 100 мД означает, что проницаемость лежит в пределах 100 ± 116 мД».

На самом деле

Правило «среднее ± одно отклонение — две трети данных» относится к симметричным распределениям, близким к нормальному. Разброс проницаемости выражают в логарифмах: там одно отклонение означает «примерно в 2,8 раза больше или меньше».

Неверно

«Неоднородный пласт — это пласт с глинистыми прослоями».

На самом деле

Неоднородность — изменчивость свойства внутри одной породы, её мера — коэффициент вариации. Чистый песчаник может быть очень неоднородным по проницаемости. Песчаник и глина — разные совокупности, и описывают их по отдельности.

Подробно: для продвинутых

Кривая и коэффициент Лоренца

Коэффициент вариации описывает разброс одной величины. Кривая Лоренца (Lorenz plot) связывает две: она показывает, какая доля проводимости пласта сосредоточена в какой доле его ёмкости. Приём заимствован из экономики, где такой кривой с начала XX века показывают, какой доле населения принадлежит какая доля дохода.

Построение

1
Упорядочить прослои
Расположить прослои (образцы) по убыванию отношения $k/\phi$ — от лучших к худшим.
2
Накопить суммы
На каждом шаге вычислить накопленную долю проводимости $F$ и накопленную долю ёмкости $C$ .
3
Построить кривую
Отложить $F$ против $C$ . Кривая выходит из точки (0; 0), приходит в точку (1; 1) и лежит выше диагонали.
4
Измерить площадь
Коэффициент Лоренца $L_c$ — удвоенная площадь между кривой и диагональю.

Накопленные доли проводимости и ёмкости (кривая Лоренца)

F_J = \frac{\sum_{j=1}^{J} k_j h_j}{\sum_{i=1}^{I} k_i h_i}, \qquad C_J = \frac{\sum_{j=1}^{J} \phi_j h_j}{\sum_{i=1}^{I} \phi_i h_i}

где:

$k_j,\ \phi_j,\ h_j$ проницаемость, пористость и толщина $j$ -го прослоя в порядке убывания $k/\phi$ , мД, доли единицы, м
$I$ общее число прослоев; суммы в знаменателях берут по всем прослоям, —
$J$ число прослоев, учтённых к данному шагу, —
$F_J$ накопленная доля проводимости (flow capacity), доли единицы
$C_J$ накопленная доля ёмкости (storage capacity), доли единицы

Единицы: доли единицы; $k$ , $\phi$ и $h$ — в любых единицах, одинаковых для всех прослоев

Справедливо, если

прослои упорядочены по убыванию $k/\phi$ ;
каждый образец представляет свой прослой; при равных толщинах $h$ сокращается.

Произведение $k h$ — проводимость прослоя, $\phi h$ — его ёмкость. У однородного пласта кривая совпадает с диагональю: каждая доля ёмкости даёт такую же долю проводимости.

Коэффициент Лоренца

L_c = 2A

где:

$L_c$ коэффициент Лоренца (Lorenz coefficient), —
$A$ площадь между кривой Лоренца и диагональю, —

Единицы: безразмерный, от 0 до 1

Справедливо, если

площадь находят по построенной кривой, например по правилу трапеций.

$L_c = 0$ — однородный пласт. Чем ближе коэффициент к 1, тем большая доля проводимости приходится на малую долю ёмкости. Значения, близкие к 1, характерны для трещиноватых коллекторов, где проводят трещины, а запасы содержит матрица.

Расчётный примерКривая Лоренца по десяти образцам

Исходные данные (условные)

Образцы по убыванию $k/\phi$ : $k$ , мД / $\phi$ , %: 400 / 25; 168 / 20; 120 / 22; 90 / 21; 65 / 18; 55 / 19; 40 / 17; 30 / 18; 20 / 14; 12 / 16
Толщины: одинаковые
Суммы: $\sum k = 1000$ мД, $\sum\phi = 190$ %

Решение

После лучшего образца: $F = 400/1000 = 0{,}400$ , $C = 25/190 = 0{,}132$ . После двух лучших: $F = 568/1000 = 0{,}568$ , $C = 45/190 = 0{,}237$ .
Продолжая так же, получаем десять точек; последняя — (1; 1). После пяти образцов $F = 0{,}843$ при $C = 0{,}558$ .
Площадь под кривой по правилу трапеций — 0,723; под диагональю — 0,5.
$L_c = 2\cdot(0{,}723 - 0{,}5) = 0{,}446$ .

Ответ:

L_c \approx 0{,}45

; на два лучших образца — 24 % ёмкости — приходится 57 % проводимости.

Что это значит. Коэффициент лежит в середине шкалы: неоднородность заметная, но до значений, близких к единице, далеко. Если построить ту же кривую, не переставляя образцы, а в порядке глубин (модифицированная кривая Лоренца), крутые участки покажут интервалы, которые дадут основной приток, пологие — слабо работающие. Такой график сравнивают с профилем притока по промыслово-геофизическим исследованиям. В нашем наборе три верхних образца — 35 % ёмкости — дают 69 % проводимости. Данные примера условные.

РасчётКривая Лоренца для десяти образцов урока. Закрашена площадь

A

между кривой и диагональю; оранжевая точка — два лучших образца.

Почему в знаменателе N − 1 и что делать с очень малыми выборками

Отклонения отсчитывают от среднего, вычисленного по тем же образцам. Это среднее «подстроено» под выборку: сумма отклонений от него всегда равна нулю, а сумма их квадратов меньше, чем была бы от истинного среднего совокупности. Независимых отклонений не $N$ , а $N - 1$ (последнее определяется остальными) — столько у выборки степеней свободы. Деление на $N - 1$ исправляет занижение, и $s^2$ в среднем равна дисперсии совокупности.

С самим стандартным отклонением остаётся небольшая неточность: корень из несмещённой дисперсии в среднем чуть меньше истинного значения. Для нормально распределённых данных поправочный множитель близок к $1 + \dfrac{1}{4(N-1)}$ : при пяти образцах это 1,06, при десяти — 1,03, при тридцати — меньше 1,01. Поправку вводят только для очень малых выборок, меньше десяти значений.

Гораздо важнее другое: по малой выборке сам разброс известен грубо. Для нормально распределённых данных относительная погрешность стандартного отклонения — около $1/\sqrt{2(N-1)}$ : при пяти образцах 35 %, при десяти — почти четверть, при тридцати — 13 %. Коэффициент вариации, вычисленный по пяти образцам, годится только для самой грубой оценки.

Связь с другими темами

Распределения и достаточность выборки — нормальное и логнормальное распределения, вероятностный график и число образцов, нужное для надёжного среднего.
Проницаемость горных пород — закон Дарси и осреднение проницаемости слоёв, работающих параллельно и последовательно.
Пористость — осреднение пористости по толщине и влияние неравномерного отбора образцов.
Лабораторный анализ керна — как на керне измеряют пористость и проницаемость и что ограничивает эти измерения.
Подсчёт запасов объёмным методом — средние значения параметров в подсчёте запасов и диапазон неопределённости.
Коллектор и покрышка — какие породы становятся коллекторами и от чего зависит их качество.

Проверьте себя

1
Проницаемость пяти образцов: 2, 40, 50, 60 и 848 мД. Какая мера лучше всего описывает «типичный» образец?
1. А.Размах — 846 мД
2. Б.Наибольшее значение — 848 мД
3. В.Среднее арифметическое — 200 мД
4. Г.Медиана — 50 мД
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Медиана — 50 мД
Сумма равна 1000, среднее — 200 мД, но четыре образца из пяти в разы ниже него: среднее определяет единственный образец. Медиана — третье значение из пяти, 50 мД — от крайних значений не зависит и описывает типичный образец.
2
Три слоя одинаковой толщины имеют проницаемость 10, 100 и 1000 мД. Найдите три средних и скажите, какое относится к потоку вдоль слоёв, а какое — поперёк.
Показать ответ
Арифметическое: $(10 + 100 + 1000)/3 = 370$ мД — вдоль слоёв. Гармоническое: $3/(0{,}1 + 0{,}01 + 0{,}001) \approx 27$ мД — поперёк. Геометрическое: $\sqrt[3]{10\cdot100\cdot1000} = 100$ мД — для случайно перемешанных участков. Отношение $k_v/k_h$ пачки — около 0,07.
3
В отчёте о запасах указано: P90 = 12 млн т, P10 = 31 млн т. В каком смысле использованы обозначения?
1. А.Как накопленные доли: 90 % исходов меньше 12 млн т
2. Б.Определить невозможно
3. В.Как вероятности превышения: с вероятностью 90 % запасы не меньше 12 млн т
Показать ответ
Правильный ответ: В. Как вероятности превышения: с вероятностью 90 % запасы не меньше 12 млн т
P90 меньше, чем P10, значит, это вероятности превышения — соглашение, принятое в оценке запасов: 12 млн т — осторожная оценка, 31 млн т — оптимистичная. При записи через накопленные доли было бы наоборот: 90-й процентиль больше 10-го.
4
Средняя проницаемость двух пластов одинакова — 150 мД. У первого $C_v = 0{,}3$ , у второго $C_v = 1{,}4$ . Чем различаются пласты и что это значит для разработки?
Показать ответ
Первый однороден: образцы близки к среднему, три средних почти совпадают, вытеснение будет относительно равномерным. Второй очень неоднороден: основную проводимость дают немногие прослои, гармоническое и геометрическое средние намного ниже арифметического, а закачиваемая вода пойдёт прежде всего по лучшим прослоям. Для надёжной оценки среднего во втором пласте нужно гораздо больше образцов.
5
Гармоническое среднее проницаемости по образцам керна берут как оценку вертикальной проницаемости пачки. В какую сторону эта оценка обычно ошибается?
1. А.Не ошибается, если образцов больше тридцати
2. Б.Завышает: тонкие плотные прослои в образцы не попадают
3. В.Занижает: образцы отбирают из худших прослоев
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Завышает: тонкие плотные прослои в образцы не попадают
Гармоническое среднее определяют самые плотные участки, а они — тонкие глинистые и сцементированные прослои — в образцы обычно не попадают. В примере урока один пропущенный двухсантиметровый прослой снижал вертикальную проницаемость трёхметровой пачки более чем в сто раз. Число образцов этой ошибки не исправляет.
6
Почему гистограмму проницаемости строят в логарифмическом масштабе и какое среднее соответствует её центру?
Показать ответ
Проницаемость формируется перемножением факторов и меняется на порядки; в обычной шкале почти все значения собираются в первых классах, а редкие большие растягивают ось. В логарифмической шкале распределение становится близким к симметричному. Его центр — среднее логарифмов, то есть логарифм геометрического среднего, которое для таких данных близко к медиане.

Обновлено: 2 октября 2026 г.