Конусообразование воды и газа

Кратко о главном

Неподвижный конус держится, пока снижение давления в нефти под скважиной уравновешено весом поднятого столба воды $\Delta\rho\,g\,h_c$ . При разности плотностей 300 кг/м³ это всего около 0,003 МПа на каждый метр от интервала до контакта.
Предельный безводный дебит вертикальной скважины обычно мал — единицы кубометров в сутки, — поэтому большинство скважин работают выше него. Расчёт нужен не для того, чтобы ограничить скважину, а чтобы выбрать интервал, оценить время прорыва и сравнить варианты.
Методы расчёта предельного дебита расходятся в разы: простая оценка по депрессии на забое занижена, решения для поля давления дают больше. Важны порядок величины и тенденции, а не третий знак.
Малая вертикальная проницаемость сдерживает подъём конуса и удлиняет безводный период, хотя увеличивает псевдоскин и снижает продуктивность.
Время прорыва обратно пропорционально вертикальной проницаемости и быстро сокращается с ростом дебита. После прорыва обводнённость растёт примерно по логарифму времени к пределу, который задают подвижности и толщины воды и нефти.
Газовый конус описывают те же формулы с разностью плотностей нефти и газа. После прорыва газ из-за малой вязкости быстро забирает приток. В оторочке между газом и водой интервал по условию устойчивости ставят ближе к газу: газовый конус «жёстче» водяного.

Ключевые соотношения

p_e - p_w \le \Delta\rho\,g\,h_c

предельная депрессия неподвижного конуса (давления на уровне нижних отверстий)

q_c = \dfrac{2\pi k_h h\,\Delta\rho\,g\,h_c}{\mu B\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} + S_{pp}\right)}

оценка по гидростатическому равновесию, согласованные единицы

q_c = \dfrac{\pi k_h\,\Delta\rho\,g\,(h^2 - h_w^2)}{\mu B\ln(r_e/r_w)}

конус при вертикальном равновесии

Z = \dfrac{2\pi k_h\,\Delta\rho\,g\,h\,h_c}{q\,\mu B},\qquad t_{D,BT} = \dfrac{Z}{3 - 0{,}7Z}

безразмерная высота конуса и время прорыва

f_{w,\lim} = \dfrac{M' h_{aq}}{M' h_{aq} + h}

предельная обводнённость

Где чаще всего ошибаются

Считать малую вертикальную проницаемость вредной только потому, что простая формула даёт при ней меньший предельный дебит.
Принимать предельный дебит одного метода за точное число: методы расходятся в разы.
Подставлять плотности в стандартных условиях вместо пластовых — особенно опасно для газа.
Пересчитывать корреляции времени прорыва в другие единицы без проверки постоянных: в литературе встречаются записи, расходящиеся примерно вдвое.
Объяснять обводнение конусом, не исключив прорыв по высокопроницаемому пропластку, заколонный переток и воду от нагнетательных скважин.

После урока вы сможете

объяснить механизм конуса через равновесие между снижением давления в нефти и весом поднятого столба воды (или опущенного столба газа);
рассчитать предельный безводный дебит по гидростатическому условию с псевдоскином частичного вскрытия и двумя другими методами и объяснить, почему результаты расходятся в разы;
показать, как на предельный дебит влияют интервал вскрытия, вертикальная проницаемость, разность плотностей и вязкость нефти;
оценить время прорыва воды при дебите выше предельного и рост обводнённости после прорыва по безразмерным корреляциям, понимая их точность;
рассчитать предельный дебит и положение интервала в нефтяной оторочке между газовой шапкой и водой;
перечислить способы отдалить прорыв и ограничить его последствия.

Как образуется конус

Рассмотрим нефтяной пласт, подстилаемый водой. Пока скважина не работает, водонефтяной контакт (ВНК) горизонтален: каждая фаза находится в гидростатическом равновесии, и на уровне контакта давления нефти и воды согласованы (Капиллярное давление и переходная зона). Чтобы отдалить интервал от воды, скважину перфорируют в верхней части нефтенасыщенной толщи — пласт вскрыт частично (Несовершенство вскрытия и наклон скважины).

После пуска вокруг скважины образуется воронка депрессии. На уровне контакта под скважиной давление в нефти становится ниже, чем вдали. Вода под нефтью неподвижна, её давление по-прежнему гидростатическое, и она поднимается туда, где давление снизилось, — до тех пор, пока вес поднятого столба воды не уравновесит это снижение. Граница выгибается куполом — конусом. Чем ближе к скважине, тем глубже воронка и тем выше поднимается вода, поэтому вершина конуса находится прямо под интервалом.

Условие равновесия простое. Поднявшись на высоту $z$ над исходным контактом, вода заменила нефть, и столб стал тяжелее на $\Delta\rho\,g\,z$ , где $\Delta\rho = \rho_w - \rho_o$ — разность плотностей воды и нефти в пластовых условиях. Конус высотой $z$ устойчив, если снижение давления в нефти в этом месте как раз равно $\Delta\rho\,g\,z$ . Пока такое равновесие возможно на всём пути до интервала, конус стоит на месте. Когда снижение давления у нижних отверстий превышает вес, который может дать вода, поднявшаяся до самого интервала, равновесия нет, и вода прорывается в скважину.

СхемаКонусы воды и газа у вертикальной скважины (схема, не в масштабе). Интервал вскрытия

h_w

отстоит на

h_c

от исходного ВНК; вдали от скважины контакты горизонтальны, под интервалом вода поднимается конусом, над ним газ опускается.

Аналогия: соломинка над водой

Держите соломинку в нескольких миллиметрах над водой в стакане и втягивайте воздух: под соломинкой поверхность приподнимается бугорком. При слабом втягивании бугорок стоит на месте; втяните сильнее или опустите соломинку ниже — и вода попадёт в рот. Высоту бугорка задаёт равновесие разрежения и веса воды. Аналогия неполна: в пласте разрежение передаётся через породу, вода поднимается сквозь поры, и конус растёт не за доли секунды, а за недели и годы.

С газовой шапкой картина зеркальная: газ над нефтью опускается к интервалу, если тот близко к газонефтяному контакту (ГНК), а разность плотностей равна $\rho_o - \rho_g$ . Если нефтенасыщенная толща зажата между газом и водой (нефтяная оторочка, оторочка), к интервалу тянутся сразу два конуса.

Конус — не единственный путь воды к скважине. Законтурная вода приходит по пласту с краёв залежи; закачанная вода — от нагнетательных скважин по высокопроницаемым пропласткам; вода из соседнего пласта — по заколонному пространству при плохом цементе. У конусной воды есть характерный признак: она «чувствует» дебит. Снизили отбор — конус оседает, и обводнённость падает; у воды, пришедшей по пропластку, этой связи почти нет.

Предельный безводный дебит: оценка по гидростатическому равновесию

Простейшую оценку получают, записав давление на уровне исходного ВНК. Под скважиной от вершины конуса, которая при предельном дебите стоит у нижних отверстий, до контакта — столб воды высотой $h_c$ ; давление в вершине принимают равным забойному $p_w$ . Вдали от скважины на том же уровне — нефть, а давление на высоте нижних отверстий равно давлению на контуре питания $p_e$ . Равенство давлений $p_w + \rho_w g h_c = p_e + \rho_o g h_c$ даёт предельную депрессию:

Предельная депрессия неподвижного конуса

p_e - p_w = \Delta\rho\,g\,h_c,\qquad \Delta\rho = \rho_w - \rho_o

где:

$p_e$ давление в нефти на контуре питания на уровне нижних отверстий, Па
$p_w$ забойное давление на уровне нижних отверстий, Па
$\rho_w,\ \rho_o$ плотности воды и нефти в пластовых условиях, кг/м³
$g$ ускорение свободного падения, 9,81, м/с²
$h_c$ расстояние от нижних отверстий интервала до исходного ВНК — предельная высота конуса, м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

конус неподвижен, вода под ним в гидростатическом равновесии; граница резкая — капиллярная переходная зона не учитывается;
давление в вершине конуса принято равным забойному. На самом деле вершина ниже интервала, и давление там выше забойного, поэтому оценка занижает допустимую депрессию — она в запас;
для газового конуса $\Delta\rho = \rho_o - \rho_g$ , а $h_c$ — расстояние от ГНК до верхних отверстий.

Предельная депрессия — это вес столба высотой $h_c$ , «облегчённого» на разность плотностей. Она не зависит ни от проницаемости, ни от вязкости: те определят, какой дебит удастся получить при такой депрессии.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

\Delta p_c\,[\text{МПа}] = 9{,}81\cdot10^{-6}\,\Delta\rho\,[\text{кг/м}^3]\;h_c\,[\text{м}]

$\Delta\rho$ — кг/м³, $h_c$ — м.

$9{,}81\cdot10^{-6}$ — ускорение свободного падения и перевод паскалей в мегапаскали.

Промысловые единицы (oilfield)

\Delta p_c\,[\text{psi}] = 0{,}433\,\Delta\rho\,[\text{г/см}^3]\;h_c\,[\text{ft}]

$\Delta\rho$ — г/см³, $h_c$ — футы.

$0{,}433$ psi/ft — гидростатический градиент жидкости плотностью 1 г/см³.

Остаётся связать депрессию с дебитом. Подошвенная вода поддерживает давление на контуре, поэтому приток считают установившимся и берут формулу Дюпюи с псевдоскином частичного вскрытия $S_{pp}$ (Установившийся радиальный приток, Несовершенство вскрытия и наклон скважины). Подставив предельную депрессию, получаем предельный дебит:

Предельный безводный дебит по гидростатическому равновесию

q_c = \frac{2\pi k_h h\,\Delta\rho\,g\,h_c}{\mu B\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} + S_{pp}\right)}

где:

$q_c$ предельный безводный дебит нефти в стандартных условиях, м³/с
$k_h$ горизонтальная проницаемость пласта для нефти, м²
$h$ нефтенасыщенная толщина над ВНК, м
$h_c$ расстояние от нижних отверстий до ВНК; для интервала от кровли $h_c = h - h_w$ , м
$h_w$ интервал вскрытия, м
$\Delta\rho,\ g$ разность плотностей воды и нефти в пластовых условиях и ускорение свободного падения, кг/м³, м/с²
$\mu,\ B$ вязкость и объёмный коэффициент нефти, Па·с, м³/м³
$r_e,\ r_w$ радиус контура питания и радиус скважины, м
$S_{pp}$ псевдоскин частичного вскрытия (по степени вскрытия $h_w/h$ и анизотропии), —

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

установившийся приток однофазной нефти к частично вскрытой скважине в однородном пласте; давление на контуре поддерживается;
вода неподвижна, конус не искажает поле давления в нефти; вершина «чувствует» всю депрессию на забое вместе с сопротивлением схождения потока к интервалу — отсюда занижение результата;
скин повреждения в формулу не входит: перепад давления в тонкой повреждённой зоне у ствола до пласта под интервалом не доходит.

Предельный дебит — это коэффициент продуктивности частично вскрытой скважины, умноженный на предельную депрессию. Он растёт с проводимостью $k_h h$ , разностью плотностей и расстоянием до контакта и падает с вязкостью нефти. Удлинение интервала уменьшает $h_c$ , но снижает псевдоскин, поэтому есть оптимальный интервал — около половины нефтенасыщенной толщины (рисунок ниже).

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

q_c\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{5{,}26\cdot10^{-6}\,k_h\,h\,\Delta\rho\,h_c}{\mu\,B\left(\ln(r_e/r_w) + S_{pp}\right)}

$k_h$ — мД, $h$ и $h_c$ — м, $\Delta\rho$ — кг/м³, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³.

$5{,}26\cdot10^{-6} = 0{,}536\cdot9{,}81\cdot10^{-6}$ : постоянная формулы Дюпюи и перевод $\Delta\rho\,g\,h_c$ из паскалей в мегапаскали.

Промысловые единицы (oilfield)

q_c\,[\text{STB/d}] = \frac{3{,}07\cdot10^{-3}\,k_h\,h\,\Delta\rho\,h_c}{\mu\,B\left(\ln(r_e/r_w) + S_{pp}\right)}

$k_h$ — мД, $h$ и $h_c$ — футы, $\Delta\rho$ — г/см³, $\mu$ — сП, $B$ — rb/STB.

$3{,}07\cdot10^{-3} = 7{,}08\cdot10^{-3}\cdot0{,}433$ .

Расчётный примерПредельный безводный дебит скважины, вскрывшей верх пласта

Исходные данные (условные)

Скважина: из урока о несовершенстве вскрытия: нефтенасыщенная толщина $h$ = 32 м над подошвенной водой, перфорированы верхние $h_w$ = 10 м; $k_h$ = 45 мД, $k_v/k_h$ = 0,15; $r_w$ = 0,108 м, $r_e$ = 350 м
Флюиды (пластовые условия): $\rho_w$ = 1070 кг/м³, $\rho_o$ = 770 кг/м³; $\mu$ = 1,4 мПа·с, $B$ = 1,25 м³/м³

Решение

Разность плотностей $\Delta\rho = 1070 - 770 = 300$ кг/м³; расстояние до контакта $h_c = 32 - 10 = 22$ м; предельная депрессия $\Delta p_c = 300\cdot9{,}81\cdot22 = 64\,746$ Па $= 0{,}0647$ МПа.
Псевдоскин частичного вскрытия (расчёт — в уроке о несовершенстве вскрытия) $S_{pp} = 11{,}04$ ; $\ln(350/0{,}108) = 8{,}084$ .
Коэффициент продуктивности: $J = \dfrac{0{,}536\cdot45\cdot32}{1{,}4\cdot1{,}25\cdot(8{,}084 + 11{,}04)} = \dfrac{771{,}8}{1{,}75\cdot19{,}124} = 23{,}1$ м³/(сут·МПа).
Предельный дебит: $q_c = J\,\Delta p_c = 23{,}1\cdot0{,}0647 = 1{,}49$ м³/сут.
Для сравнения: при обычной депрессии 2,5 МПа скважина дала бы $23{,}1\cdot2{,}5 = 58$ м³/сут — в 39 раз больше предельного.

Ответ: Предельный безводный дебит — около 1,49 м³/сут; неподвижный конус выдерживает депрессию всего 0,0647 МПа.

Что это значит. Безводный режим требует депрессии меньше 0,1 МПа и дебита около полутора кубометров в сутки — так скважину эксплуатировать невыгодно. Поэтому её пустят с дебитом в десятки раз больше, и вода рано или поздно прорвётся. Оценка к тому же занижена: в ней вершина конуса «чувствует» всю депрессию, включая сопротивление схождения потока к интервалу. Следующие разделы показывают, что дают другие методы, когда придёт вода и что будет потом. Данные примера условные.

Другие методы и разброс оценок

Гидростатическая оценка опирается на два сильных допущения: вершина конуса «чувствует» всю депрессию на забое, а сам конус не искажает распределение давления в нефти. Другие методы ослабляют их по-разному, и результаты для одной и той же скважины расходятся в разы.

Методы расчёта предельного безводного дебита вертикальной скважины

Метод: Гидростатическое равновесие с псевдоскином
Как устроен: депрессия $\Delta\rho g h_c$ в формуле притока
Влияние $k_v$: меньшая $k_v$ — меньший $q_c$
Результат: наименьший, в запас

Метод: Вертикальное равновесие
Как устроен: нефть течёт горизонтально над конусом
Влияние $k_v$: не учитывает
Результат: больше

Метод: Решения для поля давления
Как устроен: поле притока к частично вскрытой скважине
Влияние $k_v$: меньшая $k_v$ — больший $q_c$
Результат: ещё больше

Метод: Эмпирические формулы
Как устроен: опыты на моделях и расчёты
Влияние $k_v$: изотропный пласт
Результат: того же порядка

Метод: Двухфазное моделирование
Как устроен: радиальная модель с ОФП и капиллярным давлением
Влияние $k_v$: учитывает
Результат: основа проектных решений

Метод	Как устроен	Влияние $k_v$	Результат
Гидростатическое равновесие с псевдоскином	депрессия $\Delta\rho g h_c$ в формуле притока	меньшая $k_v$ — меньший $q_c$	наименьший, в запас
Вертикальное равновесие	нефть течёт горизонтально над конусом	не учитывает	больше
Решения для поля давления	поле притока к частично вскрытой скважине	меньшая $k_v$ — больший $q_c$	ещё больше
Эмпирические формулы	опыты на моделях и расчёты	изотропный пласт	того же порядка
Двухфазное моделирование	радиальная модель с ОФП и капиллярным давлением	учитывает	основа проектных решений

Вертикальное равновесие — формула Мейера и Гардера (Meyer, Garder); решения для поля давления — методы Маскета и Уайкоффа (Muskat, Wyckoff), Кьеричи (Chierici), Шаперона (Chaperon), Хойланда (Høyland) и другие; эмпирическая формула — Шольса (Schols). Формулы первых трёх строк приведены ниже; остальные методы дают графики или громоздкие выражения. Порядок в последнем столбце — для обычных коротких интервалов у кровли: при вскрытии больше половины толщины кривые на рисунке следующего раздела пересекаются.

Конус при вертикальном равновесии. Пусть давление в нефти по вертикали постоянно — нефть течёт к скважине горизонтально через слой, утончающийся над конусом, а высота конуса в каждой точке определяется снижением давления в этом месте. Интегрирование закона Дарси от контура до ствола даёт формулу Мейера — Гардера (вывод — в дополнительном разделе):

Предельный дебит конуса при вертикальном равновесии (Мейер — Гардер)

q_c = \frac{\pi k_h\,\Delta\rho\,g\,(h^2 - h_w^2)}{\mu B\ln\dfrac{r_e}{r_w}}

где:

$q_c$ предельный безводный дебит в стандартных условиях, м³/с
$h,\ h_w$ нефтенасыщенная толщина и интервал вскрытия от кровли, м
$k_h,\ \Delta\rho,\ g,\ \mu,\ B,\ r_e,\ r_w$ как в гидростатической оценке, м², кг/м³, м/с², Па·с, м³/м³, м, м

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

вертикальное равновесие: давление в нефти по вертикали постоянно, нефть течёт горизонтально; у самой скважины это допущение грубое;
пласт изотропный: $k_v$ в формулу не входит; сопротивление схождения потока к интервалу не учитывается;
интервал от кровли; при предельном дебите у ствола толщина нефти над конусом равна интервалу $h_w$ .

Формула растёт при укорочении интервала и максимальна при самом коротком: модель не видит, что короткому интервалу для того же дебита нужна большая депрессия. Для газового конуса вместо $h_w$ стоит толщина нефти от подошвы до верхних отверстий, а $\Delta\rho = \rho_o - \rho_g$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

q_c\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{2{,}63\cdot10^{-6}\,k_h\,\Delta\rho\,(h^2 - h_w^2)}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k_h$ — мД, $\Delta\rho$ — кг/м³, $h$ и $h_w$ — м, $\mu$ — мПа·с.

$2{,}63\cdot10^{-6} = \pi\cdot0{,}0853\cdot9{,}81\cdot10^{-6}$ .

Промысловые единицы (oilfield)

q_c\,[\text{STB/d}] = \frac{2{,}46\cdot10^{-5}\,k_h\,\Delta\rho\,(h^2 - h_w^2)}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$\Delta\rho$ — фунты на кубический фут (lb/ft³), $h$ и $h_w$ — футы, $k_h$ — мД, $\mu$ — сП.

$2{,}46\cdot10^{-5} = \pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3}/144$ (144 — перевод lb/ft² в psi).

Решения для поля давления. Здесь сначала рассчитывают распределение давления при притоке к частично вскрытой скважине в анизотропном пласте, а затем ищут наибольший дебит, при котором вершина конуса ещё находит равновесие ниже интервала. Результаты сведены в графики или в простые формулы; одна из них учитывает анизотропию через безразмерный радиус:

Предельный дебит в анизотропном пласте (аппроксимация Шаперона)

q_c = \frac{k_h\,\Delta\rho\,g\,(h - h_w)^2}{\mu B}\,F,\qquad F = 0{,}7311 + \frac{1{,}943}{r_{eD}},\qquad r_{eD} = \frac{r_e}{h}\sqrt{\frac{k_v}{k_h}}

где:

$F$ безразмерный предельный дебит — аппроксимация расчётов, —
$r_{eD}$ безразмерный радиус контура с учётом анизотропии, —
$k_v$ вертикальная проницаемость, м²
$h - h_w$ расстояние от нижних отверстий до ВНК ( $h_c$ ), м
$k_h,\ \Delta\rho,\ g,\ \mu,\ B,\ r_e$ как выше, м², кг/м³, м/с², Па·с, м³/м³, м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

однородный анизотропный пласт, установившийся приток при постоянном давлении на контуре, вода неподвижна, интервал от кровли;
аппроксимация теоретических расчётов устойчивого конуса для скважины, вскрывшей верх пласта;
$F$ растёт при уменьшении $r_{eD}$ : меньшая вертикальная проницаемость повышает предельный дебит.

Масштаб дебита задаёт «гравитационная» величина $k_h\Delta\rho g h_c^2/(\mu B)$ , а геометрия и анизотропия входят только через $F$ , который обычно около единицы.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

q_c\,[\text{м}^3/\text{сут}] = 8{,}37\cdot10^{-7}\,\frac{k_h\,\Delta\rho\,(h - h_w)^2}{\mu\,B}\,F

$k_h$ — мД, $\Delta\rho$ — кг/м³, $h$ и $h_w$ — м, $\mu$ — мПа·с.

$8{,}37\cdot10^{-7} = 0{,}0853\cdot9{,}81\cdot10^{-6}$ .

Промысловые единицы (oilfield)

q_c\,[\text{STB/d}] = 7{,}83\cdot10^{-6}\,\frac{k_h\,\Delta\rho\,(h - h_w)^2}{\mu\,B}\,F

$\Delta\rho$ — lb/ft³, $h$ и $h_w$ — футы, $k_h$ — мД, $\mu$ — сП.

$7{,}83\cdot10^{-6} = 1{,}127\cdot10^{-3}/144$ .

Расчётный примерТри оценки для одной скважины

Исходные данные (условные)

Скважина и флюиды: из предыдущего примера: $h$ = 32 м, $h_w$ = 10 м, $k_h$ = 45 мД, $k_v/k_h$ = 0,15, $\Delta\rho$ = 300 кг/м³, $\mu$ = 1,4 мПа·с, $B$ = 1,25, $r_e$ = 350 м, $r_w$ = 0,108 м
Гидростатическая оценка: $q_c$ = 1,49 м³/сут

Решение

Вертикальное равновесие: $h^2 - h_w^2 = 1024 - 100 = 924$ м²; $q_c = \dfrac{2{,}63\cdot10^{-6}\cdot45\cdot300\cdot924}{1{,}75\cdot8{,}084} = 2{,}32$ м³/сут.
Аппроксимация для анизотропного пласта: $r_{eD} = (350/32)\sqrt{0{,}15} = 4{,}236$ , $F = 0{,}7311 + 1{,}943/4{,}236 = 1{,}190$ .
$q_c = 8{,}37\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{45\cdot300\cdot22^2}{1{,}75}\cdot1{,}190 = 3{,}72$ м³/сут.
Разброс: $3{,}72/1{,}49 = 2{,}5$ .

Ответ: Три метода дают 1,49, 2,32 и 3,72 м³/сут — оценки расходятся в 2,5 раза.

Что это значит. Разброс объясняется допущениями: гидростатическая оценка отдаёт вершине конуса всю депрессию, вертикальное равновесие не видит сопротивления схождения потока к интервалу, а аппроксимация поля давления учитывает анизотропию и даёт больше всех. Но все три оценки — единицы кубометров в сутки, тогда как скважина способна давать десятки. Практический вывод не зависит от метода: скважина будет работать выше предельного дебита, и важнее оценить время прорыва и рост обводнённости. Данные примера условные.

Интервал вскрытия и вертикальная проницаемость

РасчётРасчётный предельный дебит скважины из примеров в зависимости от степени вскрытия

h_w/h

по трём методам (

k_v/k_h

= 0,15). Точки — интервал примера (10 м из 32).

Методы расходятся не только числом, но и тем, где ставить интервал. Гидростатическая оценка связывает предельный дебит с продуктивностью скважины, поэтому у неё есть оптимум: длинный интервал приближает воду, короткий создаёт большой псевдоскин, и наибольший предельный дебит получается при интервале около половины толщины. Две другие модели описывают только устойчивость конуса и дают наибольший предельный дебит при самом коротком интервале — но такой скважине для любого дебита нужна огромная депрессия. На практике интервал выбирают, сопоставляя продуктивность, ожидаемое время прорыва и экономику, а не по максимуму одной формулы.

РасчётРасчётный предельный дебит той же скважины (вскрыты верхние 10 м) в зависимости от отношения

k_v/k_h

. Гидростатическая оценка и аппроксимация поля давления показывают противоположные тенденции; вертикальное равновесие анизотропии не учитывает.

Почему простая формула ошибается во влиянии

k_v

При меньшей $k_v$ растёт псевдоскин: скважине нужна большая депрессия, и гидростатическая оценка, приписывающая всю депрессию вершине конуса, даёт меньший предельный дебит. Но дополнительное сопротивление схождения сосредоточено у самого интервала, а не в пласте под ним. Когда вертикальная проницаемость мала, снижение давления под скважиной передаётся вниз хуже, конус поднимается медленнее, и безводный период удлиняется. Методы поля давления это учитывают; двухфазное моделирование и промысловый опыт подтверждают: малая $k_v$ для конусообразования выгодна.

Особенно сильно помогают выдержанные по площади глинистые прослои между интервалом и ВНК: если прослой непроницаем и простирается дальше, чем зона заметного снижения давления, конус под ним не поднимется, и вода придёт только обходным путём. Поэтому перед выбором интервала изучают разрез скважины и корреляцию прослоев с соседними скважинами. Обратное тоже верно: трещины и зоны высокой вертикальной проницаемости под интервалом ускоряют прорыв.

Время прорыва при дебите выше предельного

Если дебит больше предельного, конус растёт, пока не дойдёт до интервала. Сколько на это уйдёт времени, гидростатика не скажет — нужна динамика подъёма воды. Её сводят к двум безразмерным группам. Первая сравнивает дебит с «гравитационным» масштабом: чем больше дебит по сравнению с ним, тем сильнее вязкие силы тянут воду вверх. Вторая — безразмерное время: какую долю толщины пласта прошла бы за время $t$ вода, которую движет разность плотностей при вертикальной проницаемости $k_v$ .

Безразмерная высота конуса и безразмерное время

Z = \frac{2\pi k_h\,\Delta\rho\,g\,h\,h_c}{q\,\mu B},\qquad t_D = \frac{k_v\,\Delta\rho\,g\left(1 + M'^{\,\alpha}\right)}{2\,\phi\,\mu\,h}\,t

где:

$Z$ безразмерная высота конуса: отношение «гравитационного» масштаба дебита к фактическому дебиту, —
$q$ дебит нефти в стандартных условиях, м³/с
$t_D,\ t$ безразмерное время и время от начала работы скважины, —, с
$k_v$ вертикальная проницаемость, м²
$M'$ соотношение подвижностей в концевых точках $(k_{rw}'/\mu_w)/(k_{ro}'/\mu_o)$ (Относительная проницаемость), —
$\alpha$ 0,5 при $M' \le 1$ и 0,6 при $1 < M' \le 10$ (в корреляции Бурназеля — Жансона, о которой ниже, — 0,7 при $0{,}14 \le M' \le 7{,}3$ ), —
$\phi$ пористость, —
$k_h,\ \Delta\rho,\ g,\ h,\ h_c,\ \mu,\ B$ как в формулах предельного дебита, м², кг/м³, м/с², м, м, Па·с, м³/м³

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

группы и показатель $\alpha$ взяты из корреляции, построенной по опытам на моделях и расчётам для однородного пласта с подошвенной водой и интервалом от кровли;
в промысловых единицах ( $\Delta\rho$ — г/см³, $h$ — футы, $k$ — мД, $q$ — STB/d, $t$ — сутки) множители равны 0,00307 и 0,00137. В части справочников безразмерное время записано с тем же множителем, что и $Z$ (0,00307 вместо 0,00137), и время прорыва получается в 2,2 раза меньше. Исходному определению отвечает 0,00137, то есть запись в согласованных единицах выше; множитель для своих единиц пересчитывают из неё — проверка размерности такую ошибку не обнаружит.

При $Z$ , большем нескольких единиц, дебит мал по сравнению с гравитационным масштабом, и конус останавливается ниже интервала. При малых $Z$ преобладают вязкие силы, и прорыв наступает тем раньше, чем больше дебит.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

Z = 5{,}26\cdot10^{-6}\,\frac{k_h\,\Delta\rho\,h\,h_c}{q\,\mu\,B},\qquad t_D = 4{,}18\cdot10^{-7}\,\frac{k_v\,\Delta\rho\left(1 + M'^{\,\alpha}\right)}{\phi\,\mu\,h}\,t

$k$ — мД, $\Delta\rho$ — кг/м³, $h$ и $h_c$ — м, $q$ — м³/сут, $\mu$ — мПа·с, $t$ — сутки.

$5{,}26\cdot10^{-6} = 2\pi\cdot0{,}0853\cdot9{,}81\cdot10^{-6}$ ; $4{,}18\cdot10^{-7} = 0{,}0853\cdot9{,}81\cdot10^{-6}/2$ .

Время прорыва дают эмпирические корреляции безразмерного времени прорыва $t_{D,BT}$ от $Z$ . Простейшая из них:

Безразмерное время прорыва (корреляция Бурназеля — Жансона)

t_{D,BT} = \frac{Z}{3 - 0{,}7Z},\qquad Z < \frac{3}{0{,}7} \approx 4{,}29

где:

$t_{D,BT}$ безразмерное время прорыва; размерное время получают из определения $t_D$ , —
$Z$ безразмерная высота конуса, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

эмпирическая корреляция опытов на моделях; более ранняя корреляция с теми же группами (Собочинского — Корнелиуса) записывается как $t_{D,BT} = (4Z + 1{,}75Z^2 - 0{,}75Z^3)/(7 - 2Z)$ при $Z < 3{,}5$ ;
при $Z$ больше 4,29 (по второй корреляции — 3,5) вода до интервала не доходит: это ещё одна, «динамическая», оценка предельного дебита;
однородный пласт; прослои, трещины, неоднородность по вертикали меняют результат в разы — точность в лучшем случае около двух раз.

При малых $Z$ безразмерное время пропорционально $Z$ , то есть обратно пропорционально дебиту: вдвое больший дебит — вдвое раньше прорыв. С приближением $Z$ к 4,29 время прорыва неограниченно растёт.

Расчётный примерКогда придёт вода

Исходные данные (условные)

Скважина и флюиды: из примеров выше; $\phi$ = 0,19; $k_v = 0{,}15\cdot45 = 6{,}75$ мД
Концевые точки ОФП: $k_{rw}'$ = 0,30 при вязкости воды 0,5 мПа·с; $k_{ro}'$ = 0,80
Дебиты: 40 и 100 м³/сут нефти

Решение

Масштаб: $Z\,q = 5{,}26\cdot10^{-6}\cdot45\cdot300\cdot32\cdot22/(1{,}4\cdot1{,}25) = 28{,}57$ м³/сут, отсюда $Z = 28{,}57/40 = 0{,}714$ и $Z = 28{,}57/100 = 0{,}286$ .
Подвижности: $M' = (0{,}30/0{,}5)/(0{,}80/1{,}4) = 1{,}050 > 1$ , поэтому $\alpha = 0{,}6$ и $1 + M'^{0{,}6} = 2{,}030$ . С показателем 0,7, принятым в корреляции Бурназеля — Жансона, множитель был бы 2,035; при $M' \approx 1$ разница меньше 0,3 %, поэтому для обеих корреляций взято 0,6.
Сутки на единицу безразмерного времени: $\dfrac{\phi\mu h}{4{,}18\cdot10^{-7}\,k_v\,\Delta\rho\,(1 + M'^{\alpha})} = \dfrac{0{,}19\cdot1{,}4\cdot32}{4{,}18\cdot10^{-7}\cdot6{,}75\cdot300\cdot2{,}030} = 4954$ сут.
40 м³/сут: $t_{D,BT} = 0{,}714/(3 - 0{,}7\cdot0{,}714) = 0{,}2856$ , $t_{BT} = 0{,}2856\cdot4954 = 1415$ сут, около 3,9 года.
100 м³/сут: $t_{D,BT} = 0{,}286/(3 - 0{,}7\cdot0{,}286) = 0{,}1022$ , $t_{BT} = 506$ сут, около 1,4 года.
Корреляция Собочинского — Корнелиуса для тех же $Z$ даёт $t_{D,BT}$ = 0,6237 и 0,1975, то есть 3090 и 978 сут — примерно вдвое позже.
Пределы корреляций $Z \approx 4{,}29$ и $Z = 3{,}5$ отвечают дебитам $28{,}57/4{,}29 = 6{,}66$ и $28{,}57/3{,}5 = 8{,}16$ м³/сут.

Ответ: При 40 м³/сут вода придёт примерно через 3,9 года, при 100 м³/сут — примерно через 1,4 года по первой корреляции; вторая даёт сроки примерно вдвое больше.

Что это значит. Увеличение дебита в 2,5 раза приблизило прорыв почти втрое. Две корреляции с одинаковыми группами расходятся вдвое, а «динамические» пределы — 6,66 и 8,16 м³/сут — ещё выше, чем три оценки предельного дебита. Это нормальная точность для однородной модели пласта; для проекта время прорыва уточняют радиальной двухфазной моделью и по скважинам-аналогам. Данные примера условные.

После прорыва: рост обводнённости

После прорыва вода входит в нижние отверстия, конус расширяется, и доля воды в продукции растёт. У этого роста есть предел. Когда конус развит полностью, скважина отбирает жидкость и из нефтяной, и из водяной зоны, примерно как из двух слоёв, работающих параллельно: расходы пропорциональны подвижности и толщине (Проницаемость горных пород, доля воды в потоке). Отсюда предельная обводнённость в пластовых условиях:

Предельная обводнённость при развитом конусе

f_{w,\lim} = \frac{M' h_{aq}}{M' h_{aq} + h}

где:

$f_{w,\lim}$ предельная доля воды в потоке, —
$M'$ соотношение подвижностей воды и нефти в концевых точках, —
$h_{aq}$ толщина водонасыщенной части пласта под нефтью в пределах области дренирования, м
$h$ текущая нефтенасыщенная толщина, м

Единицы: безразмерная; толщины в одних единицах

Справедливо, если

обе зоны отдают жидкость к скважине параллельно, пропорционально $k\,k_r h/\mu$ ; давление и проницаемость по зонам одинаковы;
по мере отбора ВНК поднимается: $h_{aq}$ растёт, $h$ уменьшается, и предел со временем повышается;
доля воды в пластовых условиях; в стандартных условиях обводнённость несколько выше: при подъёме на поверхность объём нефти уменьшается сильнее, чем объём воды (объёмный коэффициент нефти больше).

Мощный водоносный горизонт и большое соотношение подвижностей $M'$ — прежде всего у вязкой нефти — поднимают предел; при вязкой нефти он близок к единице.

Как обводнённость идёт к пределу, показывают численные расчёты конусов. Их результаты сведены к простой корреляции (Куо и Десбрисей, Kuo, DesBrisay): отношение обводнённости к предельной растёт линейно по логарифму времени.

Рост обводнённости после прорыва (корреляция Куо — Десбрисея)

\frac{f_w}{f_{w,\lim}} = 0{,}29 + 0{,}94\,\lg\frac{t}{t_{BT}},\qquad 0{,}5 \le \frac{t}{t_{BT}} \le 5{,}7

где:

$f_w$ доля воды в потоке, —
$t$ время от начала работы скважины, сутки
$t_{BT}$ время прорыва по корреляции, сутки
$\lg$ десятичный логарифм, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

при $t/t_{BT} < 0{,}5$ отношение равно нулю, при $t/t_{BT} > 5{,}7$ — единице; однородный пласт с подошвенной водой, постоянный отбор жидкости;
формально вода появляется уже при половине расчётного времени прорыва: так корреляция нормирована на оценку $t_{BT}$ , и это ещё одно напоминание о точности этой оценки;
рост предела $f_{w,\lim}$ с подъёмом ВНК учитывают отдельно, пересчитывая $h$ и $h_{aq}$ по накопленной добыче.

Через время прорыва отношение равно 0,29, через два с половиной — около 0,66, через 5,7 — единице.

Расчётный примерОбводнённость через 1100 и 2200 суток

Исходные данные (условные)

Скважина: из примеров выше; под нефтью 40 м водонасыщенной части пласта; $M'$ = 1,050
Время прорыва: 506 сут при 100 м³/сут и 1415 сут при 40 м³/сут (из предыдущего примера)

Решение

Предельная обводнённость: $f_{w,\lim} = 1{,}050\cdot40/(1{,}050\cdot40 + 32) = 0{,}568$ .
100 м³/сут, 1100 сут: $t/t_{BT} = 2{,}174$ , $0{,}29 + 0{,}94\lg2{,}174 = 0{,}607$ , $f_w = 0{,}607\cdot0{,}568 = 0{,}345$ .
100 м³/сут, 2200 сут: $t/t_{BT} = 4{,}348$ , отношение 0,890, $f_w = 0{,}506$ ; нефти — $100\cdot(1 - 0{,}506) = 49{,}4$ м³/сут.
40 м³/сут, 2200 сут: $t/t_{BT} = 1{,}555$ , отношение 0,470, $f_w = 0{,}267$ ; нефти — $40\cdot(1 - 0{,}267) = 29{,}3$ м³/сут.

Ответ: Через 2200 суток при отборе 100 м³/сут жидкости обводнённость около 51 %, при 40 м³/сут — около 27 %.

Что это значит. Меньший дебит отодвинул прорыв и держит обводнённость ниже, но и нефти скважина даёт меньше: через 2200 суток 29,3 против 49,4 м³/сут. Поэтому дебит выбирают по экономике всего срока — накопленной нефти, затратам на подъём и подготовку воды, стоимости денег во времени (Чистая приведённая стоимость (NPV)), — а не ради отсрочки прорыва. Предел здесь постоянный; с подъёмом ВНК он растёт, и поздняя обводнённость будет выше расчётной. Отбор разделён по доле воды в пластовых условиях; на поверхности обводнённость будет несколько выше, а нефти — меньше. Данные примера условные.

РасчётРасчётная обводнённость (доля воды в пластовых условиях) скважины из примеров при постоянном отборе 40 и 100 м³/сут жидкости: время прорыва по корреляции Бурназеля — Жансона, рост — по корреляции Куо — Десбрисея при постоянной предельной обводнённости (штриховая линия). Точки — расчётные моменты прорыва.

Газовый конус и нефтяные оторочки

Газовый конус описывают те же формулы: вместо $\rho_w - \rho_o$ ставят $\rho_o - \rho_g$ , вместо расстояния до ВНК — расстояние от ГНК до верхних отверстий. Плотность газа берут в пластовых условиях: при давлении 20–35 МПа это порядка 150–250 кг/м³, а не около одного килограмма на кубометр, как на поверхности (Объёмный коэффициент, сжимаемость и вязкость газа). Обычно $\rho_o - \rho_g$ больше, чем $\rho_w - \rho_o$ , и на каждый метр расстояния до контакта газовый конус выдерживает большую депрессию.

После прорыва картина обратная. Вязкость газа в пласте в десятки раз и более меньше вязкости нефти, газ быстро захватывает приток, и газовый фактор растёт скачком (газовый фактор). Энергия газовой шапки расходуется впустую, а добычу часто ограничивает пропускная способность системы сбора и подготовки газа. Поэтому прорыв газа обычно дороже прорыва воды.

В нефтяной оторочке интервал зажат между двумя контактами. Если оба конуса считать в приближении вертикального равновесия, вывод (дополнительный раздел) даёт ту же формулу с объединённой разностью плотностей и положение интервала, при котором оба конуса подходят к его краям при одном и том же дебите:

Предельный дебит и положение интервала в нефтяной оторочке

\begin{gathered} q_c = \frac{\pi k_h\,\Delta\rho_{\text{эф}}\,g\,(h^2 - h_w^2)}{\mu B\ln(r_e/r_w)},\qquad \Delta\rho_{\text{эф}} = \frac{(\rho_w - \rho_o)(\rho_o - \rho_g)}{\rho_w - \rho_g}\\ h_g = (h - h_w)\,\frac{\rho_w - \rho_o}{\rho_w - \rho_g}\end{gathered}

где:

$\Delta\rho_{\text{эф}}$ эффективная разность плотностей двух конусов, кг/м³
$\rho_w,\ \rho_o,\ \rho_g$ плотности воды, нефти и газа в пластовых условиях, кг/м³
$h_g$ расстояние от ГНК до верхних отверстий; до ВНК остаётся $h - h_w - h_g$ , м
$h,\ h_w$ толщина оторочки и интервал вскрытия, м
$k_h,\ g,\ \mu,\ B,\ r_e,\ r_w$ как в формуле Мейера — Гардера, м², м/с², Па·с, м³/м³, м, м

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

вертикальное равновесие и изотропный пласт, как у формулы с одним конусом; обе фазы под и над нефтью неподвижны;
положение интервала найдено из условия устойчивости; движение контактов при разработке (расширение шапки, подъём воды) в нём не учтено.

Эффективная разность плотностей меньше каждой из двух: оторочка уязвимее, чем пласт только с водой или только с газом. Интервал смещают к тому контакту, у которого разность плотностей больше, — обычно к газу.

В других системах единиц (1)

Метрические промысловые единицы

q_c\,[\text{м}^3/\text{сут}] = \frac{2{,}63\cdot10^{-6}\,k_h\,\Delta\rho_{\text{эф}}\,(h^2 - h_w^2)}{\mu\,B\,\ln(r_e/r_w)}

$k_h$ — мД, $\Delta\rho_{\text{эф}}$ — кг/м³, $h$ и $h_w$ — м, $\mu$ — мПа·с.

как в формуле Мейера — Гардера.

Расчётный примерГде перфорировать оторочку

Исходные данные (условные)

Оторочка: толщина нефти 24 м между газовой шапкой и водой; интервал 6 м; $k_h$ = 150 мД
Плотности (пластовые условия): вода 1050, нефть 740, газ 190 кг/м³
Нефть и скважина: $\mu$ = 0,9 мПа·с, $B$ = 1,3; $r_e$ = 300 м, $r_w$ = 0,108 м

Решение

Разности плотностей: вода — нефть 310, нефть — газ 550, вода — газ 860 кг/м³; $\Delta\rho_{\text{эф}} = 310\cdot550/860 = 198{,}3$ кг/м³.
Положение интервала: $h_g = (24 - 6)\cdot310/860 = 6{,}49$ м от ГНК до верхних отверстий; до ВНК — $18 - 6{,}49 = 11{,}51$ м.
Предельный дебит: $\ln(300/0{,}108) = 7{,}929$ ; $q_c = \dfrac{2{,}63\cdot10^{-6}\cdot150\cdot198{,}3\cdot(576 - 36)}{0{,}9\cdot1{,}3\cdot7{,}929} = 4{,}55$ м³/сут.
Для сравнения: тот же интервал у кровли пласта без газовой шапки дал бы $7{,}1$ м³/сут (разность плотностей 310), у подошвы пласта без воды — $12{,}6$ (550).

Ответ: Интервал ставят в 6,49 м под ГНК и в 11,51 м над ВНК; предельный дебит — около 4,55 м³/сут.

Что это значит. По условию устойчивости интервал ближе к газу: газовый конус «жёстче». Но это статическая оценка. Если шапка расширяется и ГНК опускается, а последствия прорыва газа тяжелее, интервал опускают ниже — так поступают в залежах с газонапорным режимом (Естественные режимы работы залежей). Окончательное положение и дебит выбирают по двухфазной модели с учётом движения обоих контактов, а в длинных оторочках часто предпочитают горизонтальные скважины, проведённые на заданном расстоянии от контактов (Горизонтальные скважины). Данные примера условные.

Как отдалить прорыв и что делать после него

Дебит. Работа ниже предельного дебита почти никогда не окупается. Дебит выбирают по экономике всего срока, учитывая затраты на подъём и подготовку воды. Если обводнённость растёт из-за конуса, снижение отбора её уменьшает — это и способ управления, и признак конуса.
Интервал вскрытия. Подальше от контакта, но не настолько коротко, чтобы псевдоскин съел продуктивность (Несовершенство вскрытия и наклон скважины); в оторочке — с учётом обоих контактов и того, какой из них движется быстрее.
Природные и искусственные барьеры. Выдержанный глинистый прослой под интервалом — лучшая защита. Если его нет, под интервал закачивают гелеобразующий состав или цемент, создавая непроницаемый экран; он работает, только если достаточно широк, — иначе вода его обходит.
Горизонтальная скважина. При той же добыче депрессия в разы меньше, а вместо конуса образуется гребень воды, который поднимается медленнее (Горизонтальные скважины).
Раздельный отбор воды. Вторым интервалом ниже ВНК с отдельным подъёмником отбирают воду и удерживают контакт под скважиной; способ применяют при мощном водоносном горизонте и дешёвой утилизации воды.
Изоляция после прорыва. Обводнившуюся нижнюю часть интервала изолируют цементом, мостом или пакером и при необходимости перестреливают выше; при прорыве газа изолируют верхние отверстия.

Проектные решения — интервал, дебит, барьер, горизонтальный ствол — проверяют на двухфазной односкважинной радиальной модели с мелкими слоями у ВНК и у интервала (Типы гидродинамических моделей, Сетки в гидродинамических моделях). Она учитывает то, что не видят простые формулы: относительные проницаемости, капиллярную переходную зону, прослои и меняющийся во времени дебит. Модель настраивают по фактической обводнённости.

Термины и обозначения

Конусообразование: подтягивание подошвенной воды или газа шапки к интервалу работающей скважины под действием воронки депрессии.
Предельный безводный (безгазовый) дебит $q_c$: наибольший дебит, при котором неподвижный конус ещё не доходит до интервала вскрытия.
Предельная депрессия $\Delta\rho g h_c$: вес столба высотой $h_c$ , облегчённого на разность плотностей; наибольшая депрессия, которую выдерживает неподвижный конус.
Безразмерная высота конуса $Z$: отношение «гравитационного» масштаба дебита $2\pi k_h\Delta\rho g h h_c/(\mu B)$ к фактическому дебиту.
Время прорыва $t_{BT}$: время от пуска скважины до появления в продукции воды (газа), пришедшей конусом.
Предельная обводнённость: доля воды в потоке при полностью развитом конусе, когда скважина отбирает жидкость из нефтяной и водяной зон пропорционально их подвижности и толщине.
Нефтяная оторочка: нефтенасыщенная часть залежи между газовой шапкой и водой; уязвима для двух конусов сразу.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Дебит ниже предельного — значит, вода не придёт никогда».

На самом деле

Предельный дебит относится к неподвижному контакту. Если ВНК поднимается по всей залежи, вода дойдёт до интервала и без конуса; к тому же оценки предельного дебита расходятся в разы.

Неверно

«Простая формула при малой $k_v$ дала меньший предельный дебит — значит, малая вертикальная проницаемость вредна».

На самом деле

Это следствие допущения, что вершина конуса «чувствует» всю депрессию на забое. Малая $k_v$ сдерживает подъём конуса и удлиняет безводный период; методы поля давления дают при ней больший предельный дебит.

Неверно

«Разность плотностей нефти и газа больше, чем воды и нефти, поэтому газового конуса можно не опасаться».

На самом деле

До прорыва газовый конус действительно «жёстче». Но после прорыва газ, в десятки раз менее вязкий, быстро забирает приток: газовый фактор растёт скачком, а энергия шапки теряется.

Неверно

«Скважина обводнилась — значит, виноват конус».

На самом деле

Вода может прийти по высокопроницаемому пропластку, по заколонному пространству при плохом цементе, от нагнетательной скважины. Конус узнают по связи обводнённости с дебитом, по притоку воды через нижние отверстия и по составу воды.

Неверно

«Корреляция дала время прорыва четыре года — закладываем в план четыре года безводной добычи».

На самом деле

Корреляции времени прорыва точны в лучшем случае в пределах двух раз (в примере урока две корреляции разошлись вдвое), а неоднородность пласта может приблизить прорыв ещё сильнее. Оценку уточняют моделированием и по аналогам.

Подробно: для продвинутых

Вывод формул вертикального равновесия

Пусть на расстоянии $r$ от скважины граница нефти и воды поднялась на $z(r)$ над исходным ВНК. Вода неподвижна, поэтому снижение давления в нефти относительно контура (на одном и том же уровне) уравновешено весом поднятой воды: $p_e - p(r) = \Delta\rho\,g\,z(r)$ , откуда $\dd p/\dd r = -\Delta\rho\,g\,\dd z/\dd r$ . При вертикальном равновесии давление в нефти по вертикали постоянно, и нефть течёт к скважине горизонтально через слой толщиной $h - z$ : $q B = 2\pi r\,(h - z)\,\dfrac{k_h}{\mu}\,\dfrac{\dd p}{\dd r}$ .

Подставив градиент давления и разделив переменные, получаем $\dfrac{qB\mu}{2\pi k_h\Delta\rho g}\cdot\dfrac{\dd r}{r} = -(h - z)\,\dd z$ . Интеграл от ствола до контура, где $z = 0$ , при предельном дебите, когда у ствола над конусом остаётся ровно интервал ( $z = h - h_w$ ): $\dfrac{qB\mu}{2\pi k_h\Delta\rho g}\ln\dfrac{r_e}{r_w} = \displaystyle\int_0^{h - h_w}(h - z)\,\dd z = \frac{h^2 - h_w^2}{2}$ . Отсюда формула Мейера — Гардера.

В оторочке на снижение давления откликаются обе границы: вода поднимается на $z_w = \Delta p/(\Delta\rho_{wo}g)$ , газ опускается на $z_g = \Delta p/(\Delta\rho_{og}g)$ , и толщина нефти равна $h - z_w - z_g = h - \dfrac{\Delta p}{g}\left(\dfrac{1}{\Delta\rho_{wo}} + \dfrac{1}{\Delta\rho_{og}}\right)$ . Это та же задача с «последовательно сложенной» разностью плотностей $1/\Delta\rho_{\text{эф}} = 1/\Delta\rho_{wo} + 1/\Delta\rho_{og}$ . Конусы у ствола относятся как $z_g/z_w = \Delta\rho_{wo}/\Delta\rho_{og}$ ; поделив в этой пропорции неперфорированную толщину $h - h_w$ , получаем $h_g$ .

Где вертикальное равновесие ошибается

Допущение о постоянном по вертикали давлении хорошо работает там, где поток пологий, — на расстояниях от скважины, больших толщины пласта, «растянутой» анизотропией. У самого ствола поток сходится к интервалу и по вертикали, и форма конуса там иная, чем в модели. На предельный дебит это влияет меньше, чем кажется: для плоской задачи — гребня у горизонтального ствола — точные решения со свободной границей почти совпадают с вертикальным равновесием. Решения для поля давления, построенные без учёта того, что конус сужает нефтяной слой, при обычных коротких интервалах дают больше, а гидростатическая оценка с псевдоскином — меньше.

Что означают Z и безразмерное время

Величина $2\pi k_h\Delta\rho g h h_c/(\mu B)$ — дебит, при котором «единица» радиального перепада давления $qB\mu/(2\pi k_h h)$ равна весу столба $\Delta\rho g h_c$ . Если фактический дебит гораздо больше ( $Z \ll 1$ ), вода поднимается почти так же, как переносилась бы потоком к скважине. Тогда корреляция даёт $t_{D,BT} \approx Z/3$ , и время прорыва $t_{BT} \approx \dfrac{4\pi}{3}\cdot\dfrac{\phi\,h^2 h_c}{qB\,(1 + M'^{\alpha})}\cdot\dfrac{k_h}{k_v}$ не зависит от разности плотностей, а вязкость нефти входит в него только через соотношение подвижностей $M'$ : оно определяется тем, как быстро отбирается поровый объём над контактом, «растянутый» анизотропией $k_h/k_v$ . Для примера урока при 100 м³/сут эта оценка даёт около 470 сут против 506 по полной формуле.

Гидростатическая оценка в этих терминах — условие $Z = \ln(r_e/r_w) + S_{pp}$ : для скважины урока это $Z \approx 19$ , тогда как корреляции времени прорыва останавливают конус уже при $Z \approx 3{,}5$ –4,3. Расхождение в 4,5–5,5 раза и есть мера консервативности допущения, что вершина конуса «чувствует» всю депрессию на забое.

Связь с другими темами

Несовершенство вскрытия и наклон скважины — псевдоскин частичного вскрытия, входящий в гидростатическую оценку, и выбор интервала.
Установившийся радиальный приток — формула Дюпюи, на которой строится оценка предельного дебита.
Горизонтальные скважины — гребень воды у горизонтального ствола и почему горизонтальная скважина отодвигает прорыв.
Относительная проницаемость — концевые точки ОФП и соотношение подвижностей $M'$ .
Капиллярное давление и переходная зона — контакты, зеркало свободной воды и переходная зона.
Естественные режимы работы залежей — подошвенная вода и газовая шапка как источники энергии и прорывов.
Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей — доля воды в потоке и обводнённость.
Типы гидродинамических моделей — односкважинные радиальные модели для расчёта конусов.
Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение — гравитационное разделение фаз в пласте.
Чистая приведённая стоимость (NPV) — выбор дебита по экономике всего срока, а не по предельному дебиту.

Проверьте себя

1
Какое изменение повышает предельный безводный дебит вертикальной скважины при прочих равных?
1. А.Более вязкая нефть
2. Б.Меньшая горизонтальная проницаемость
3. В.Бóльшая разность плотностей воды и нефти
4. Г.Интервал вскрытия, опущенный ближе к ВНК
Показать ответ
Правильный ответ: В. Бóльшая разность плотностей воды и нефти
Во всех формулах предельный дебит пропорционален $k_h\,\Delta\rho$ и обратно пропорционален вязкости: тяжелее вода относительно нефти — тяжелее и поднятый столб, и конус выдерживает большую депрессию. Опускание интервала уменьшает $h_c$ и снижает предельный дебит.
2
Плотности в пласте: вода 1060, нефть 780 кг/м³; от нижних отверстий до ВНК 15 м. Какую депрессию выдержит неподвижный конус и много ли это?
Показать ответ
$\Delta p_c = (1060 - 780)\cdot9{,}81\cdot15 \approx 41\,200$ Па $\approx 0{,}041$ МПа. Обычные депрессии — от одного до нескольких мегапаскалей, то есть в десятки раз больше, поэтому без ограничения отбора конус дойдёт до интервала.
3
Гидростатическая оценка с псевдоскином дала при $k_v/k_h$ = 0,01 меньший предельный дебит, чем при $k_v/k_h$ = 1. Как это понимать?
1. А.Это следствие допущения: вершине конуса приписана вся депрессия, включая сопротивление схождения у интервала; на деле малая $k_v$ сдерживает конус
2. Б.Нужно перфорировать всю толщину
3. В.Анизотропия на конусообразование не влияет
4. Г.Малая вертикальная проницаемость ускоряет обводнение
Показать ответ
Правильный ответ: А. Это следствие допущения: вершине конуса приписана вся депрессия, включая сопротивление схождения у интервала; на деле малая $k_v$ сдерживает конус
Псевдоскин растёт при малой $k_v$ , и формула, отдающая вершине конуса всю депрессию на забое, уменьшает $q_c$ . Но это сопротивление сосредоточено у интервала. Малая $k_v$ хуже передаёт снижение давления вниз и замедляет подъём воды; методы поля давления и моделирование показывают больший предельный дебит и более поздний прорыв.
4
Скважина работает при безразмерной высоте конуса $Z = 0{,}5$ . Во сколько раз изменится время прорыва по корреляции $t_{D,BT} = Z/(3 - 0{,}7Z)$ , если дебит удвоить?
Показать ответ
При удвоении дебита $Z = 0{,}25$ . Было $t_{D,BT} = 0{,}5/2{,}65 \approx 0{,}189$ , стало $0{,}25/2{,}825 \approx 0{,}0885$ : время прорыва сократится примерно в 2,13 раза — чуть больше, чем вдвое: при исходном, большем $Z$ сдерживающий вес воды сказывался сильнее и сильнее растягивал время прорыва.
5
В оторочке разность плотностей воды и нефти 250 кг/м³, нефти и газа — 600 кг/м³. Где по условию устойчивости поставить интервал?
1. А.Вплотную к ГНК
2. Б.Посередине неперфорированной толщины
3. В.Ближе к ГНК: от него до верхних отверстий около 0,29 неперфорированной толщины
4. Г.Ближе к ВНК: около 0,29 неперфорированной толщины от него
Показать ответ
Правильный ответ: В. Ближе к ГНК: от него до верхних отверстий около 0,29 неперфорированной толщины
$h_g/(h - h_w) = (\rho_w - \rho_o)/(\rho_w - \rho_g) = 250/850 \approx 0{,}29$ : газовый конус «жёстче», и к ГНК можно подойти ближе. Если шапка будет расширяться, интервал смещают ниже.
6
После прорыва воды дебит скважины снизили вдвое, и обводнённость упала с 40 до 22 %. О чём это говорит и что можно сделать?
Показать ответ
Сильная зависимость обводнённости от дебита — признак конуса: при меньшей депрессии конус оседает. Дальше сравнивают по экономике режим с меньшим дебитом, изоляцию нижней части интервала с перестрелом выше, экран под интервалом или боковой горизонтальный ствол. Если бы обводнённость от дебита почти не зависела, искали бы прорыв по пропластку или заколонный переток.

Обновлено: 10 октября 2026 г.