Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация

Кратко о главном

Закон Дарси — предел медленного течения. При больших скоростях к вязкому члену добавляется инерционный $\beta\rho v^2$ ; их отношение — число Форхгеймера $\text{Fo} = k\beta\rho v/\mu$ .
Это не турбулентность: течение в порах остаётся ламинарным, а дополнительные потери создаёт ускорение и торможение флюида в каналах переменного сечения.
Вязкие потери распределены по логарифму расстояния, инерционные убывают как $1/r$ : половина их приходится на кольцо до $2r_w$ , 95 % — до $20r_w$ . Поэтому они ведут себя как скин, но скин, пропорциональный дебиту.
Кажущийся скин $S' = S + Dq$ , причём $Dq$ — число Форхгеймера у стенки скважины. Для газа в $D$ входят плотность газа при стандартных условиях и вязкость у забоя.
$S$ и $D$ разделяют по нескольким режимам: прямая $S'$ от $q$ даёт отрезок $S$ и наклон $D$ ; прямая $\Delta m/q$ от $q$ — коэффициенты $a$ и $b$ двучленной формулы.
Повреждение призабойной зоны и вскрытие части толщины увеличивают $D$ в разы: $\beta$ растёт при снижении проницаемости, а инерционные потери — как квадрат скорости у стенки.

Ключевые соотношения

-\dfrac{\dd p}{\dd x} = \dfrac{\mu}{k}\,v + \beta\rho\,v^2

уравнение Форхгеймера, согласованные единицы

S' = S + Dq,\qquad D = \dfrac{\beta\rho_{sc}k}{2\pi h\mu_w r_w}

кажущийся скин газовой скважины, $q$ — в стандартных условиях

m(\bar p) - m(p_{wf}) = a\,q + b\,q^2

двучленная формула притока газа в псевдодавлениях

a = U\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w} - \dfrac34 + S\right),\quad b = UD,\quad U = 1{,}290\,\dfrac{T}{kh}

метрические единицы: $q$ — тыс. м³/сут, $m$ — МПа²/(мПа·с)

Где чаще всего ошибаются

Считать весь скин, измеренный при большом дебите газовой скважины, повреждением и планировать по нему кислотную обработку.
Оценивать абсолютно свободный дебит по одному режиму по формуле Дарси: инерционные потери растут как квадрат дебита, и потенциал окажется завышен.
Брать для $D$ пластовую плотность газа вместе с дебитом в стандартных условиях или вязкость при пластовом, а не забойном давлении.
Строить прямую $\Delta m/q$ от $q$ по неустановившимся режимам разной продолжительности: у каждого режима свой коэффициент $a$ .
Переносить $\beta$ из корреляции на конкретный пласт без проверки: разброс корреляций — порядок величины.

После урока вы сможете

объяснить, откуда в пористой среде берутся инерционные потери и почему это не турбулентность; записать уравнение Форхгеймера и по числу Форхгеймера оценить, когда ими нельзя пренебречь;
рассказать, как коэффициент инерционного сопротивления $\beta$ измеряют на керне и оценивают по корреляциям и от чего он зависит;
вывести установившийся приток с инерционным членом, показать, что эти потери сосредоточены у стенки скважины, и перейти к скину, растущему с дебитом: $S' = S + Dq$ ;
рассчитать коэффициент $D$ газовой скважины в метрических и промысловых единицах и записать двучленную формулу притока газа через псевдодавление;
разделить скин и инерционные потери по исследованию на нескольких режимах, построить стабилизированную индикаторную линию и найти абсолютно свободный дебит;
объяснить, почему повреждение призабойной зоны, вскрытие части толщины и перфорация многократно увеличивают инерционные потери.

Почему закон Дарси перестаёт работать

Закон Дарси описывает медленное течение: весь перепад давления расходуется на вязкое трение, и поэтому он пропорционален скорости фильтрации (Проницаемость горных пород). При больших скоростях фильтрация становится нелинейной. Но поровые каналы — не прямые трубки. Флюид протискивается через узкие горла, расширяется в порах, огибает зёрна и всё время меняет направление. В каждом сужении его нужно разогнать, а за ним — затормозить. На это уходит часть перепада давления, пропорциональная уже не скорости, а её квадрату, как кинетическая энергия $\rho v^2/2$ . При малых скоростях эта часть ничтожна, при больших она сравнима с вязкой и даже превосходит её.

Уравнение Форхгеймера

-\frac{\dd p}{\dd x} = \frac{\mu}{k}\,v + \beta\rho\,v^2

где:

$v$ скорость фильтрации: расход через единицу площади сечения (не скорость в порах), м/с
$\mu$ динамическая вязкость флюида, Па·с
$k$ проницаемость, м²
$\beta$ коэффициент инерционного сопротивления породы, м⁻¹
$\rho$ плотность флюида, кг/м³
$x$ координата вдоль потока, м

Единицы: СИ (любая согласованная система единиц)

Справедливо, если

однофазное изотермическое течение; в каждой точке скорость направлена вдоль градиента давления;
$\beta$ — свойство породы, как и $k$ ; его определяют опытом (ниже);
при $v \to 0$ второй член исчезает, и уравнение переходит в закон Дарси.

Первый член — вязкое сопротивление, второй — инерционное. В отечественной литературе это уравнение называют также двучленным законом фильтрации, а второй член иногда записывают как $\rho v^2/l$ с коэффициентом макрошероховатости $l = 1/\beta$ .

Насколько велик инерционный член, показывает отношение второго члена к первому — число Форхгеймера (Forchheimer number):

Число Форхгеймера

\text{Fo} = \frac{\beta\rho v^2}{\mu v/k} = \frac{k\beta\rho v}{\mu}

где:

$\text{Fo}$ отношение инерционного сопротивления к вязкому, —
$k,\ \beta,\ \rho,\ v,\ \mu$ как в уравнении Форхгеймера, м², м⁻¹, кг/м³, м/с, Па·с

Единицы: безразмерное; величины — в согласованных единицах

Справедливо, если

оценка в данной точке потока: у скважины $v$ и Fo меняются с расстоянием.

При Fo = 0,01 градиент давления на 1 % больше, чем по закону Дарси, при Fo = 0,1 — на 10 %, а при Fo > 1 преобладает инерционное сопротивление. Ту же величину называют модифицированным числом Рейнольдса для пористой среды.

Это не турбулентность

В промысловой практике инерционные потери часто называют турбулентными — отсюда «турбулентный скин» и «коэффициент турбулентности». Название историческое. Течение в порах при этом остаётся ламинарным: инерционные эффекты появляются, когда число Рейнольдса, рассчитанное по размеру поровых каналов, достигает порядка единицы, а турбулентность в порах возникла бы при числах в сотни раз больших. Сопротивление растёт потому, что линии тока искривляются и флюид ускоряется и тормозит, а не из-за хаотических пульсаций.

Почему речь прежде всего о газе? Пока поправка мала, скорость задаёт закон Дарси, $v \approx k|\dd p/\dd x|/\mu$ . Подставив её в число Форхгеймера, видим, что при заданном градиенте давления оно пропорционально $\rho/\mu^2$ : вязкость входит в квадрате. Газ в пласте в десятки раз менее вязок, чем лёгкая нефть, и лишь в несколько раз легче её, поэтому при том же градиенте давления число Форхгеймера для газа в сотни раз больше.

Газовые и газоконденсатные скважины — почти всегда; именно у них инерционный скин измеряют при каждом исследовании.
Нефтяные и водяные скважины — при высокой проницаемости, малой вязкости и больших дебитах, особенно если вскрыта лишь часть толщины пласта.
Перфорационные каналы и гравийная набивка — поток сходится к малой площади, и скорости в них намного выше, чем в пласте (Влияние заканчивания на приток).
Трещины гидроразрыва с проппантом — инерционные потери в упаковке проппанта снижают эффективную проводимость трещины (Приток к скважине после гидроразрыва).
Нагнетательные газовые скважины и опыты с газом на керне — та же физика при обратном направлении потока.

Коэффициент инерционного сопротивления

Коэффициент инерционного сопротивления $\beta$ (beta factor) — свойство породы, как и проницаемость. Его размерность — обратная длина: в СИ — м⁻¹, в промысловых единицах — ft⁻¹ (1 ft⁻¹ = 3,281 м⁻¹). Он тем больше, чем извилистее, неоднороднее и уже поровые каналы, поэтому в целом растёт при снижении проницаемости.

На керне $\beta$ измеряют, прокачивая газ через образец с несколькими расходами. Вдоль образца газ расширяется и скорость фильтрации меняется, но массовая скорость $G = \rho v$ — масса газа, проходящая через единицу площади за секунду, — одинакова во всех сечениях. Запишем уравнение Форхгеймера через $G$ , умножим на плотность газа $\rho = pM/(ZRT)$ и проинтегрируем по длине образца. Получается прямая:

Опыт с газом на керне: линейная форма уравнения Форхгеймера

\frac{M\,(p_1^2 - p_2^2)}{2ZRT\,L\,\mu\,G} = \frac{1}{k} + \beta\,\frac{G}{\mu}

где:

$p_1,\ p_2$ абсолютные давления на входе и выходе образца, Па
$G$ массовая скорость: массовый расход газа, делённый на площадь сечения образца, кг/(м²·с)
$M$ молярная масса газа, кг/моль
$R$ универсальная газовая постоянная, 8,314, Дж/(моль·К)
$T$ температура опыта, К
$L$ длина образца, м
$\mu,\ Z$ вязкость газа и коэффициент сверхсжимаемости (при давлениях опыта $Z \approx 1$ ), Па·с, —

Единицы: СИ; давления абсолютные

Справедливо, если

изотермическое однофазное течение; $Z$ и $\mu$ не меняются в диапазоне давлений опыта;
проскальзывание газа (поправка Клинкенберга) мало — для этого опыт ведут с противодавлением на выходе, при среднем давлении в образце порядка мегапаскаля; иначе его учитывают отдельно (Проницаемость горных пород).

В координатах « $G/\mu$ — левая часть» опыты ложатся на прямую: отрезок на оси ординат — $1/k$ , наклон — $\beta$ . Тот же приём — отложить потери давления, отнесённые к расходу, против расхода — используют и в исследованиях скважин.

Расчётный примерПроницаемость и коэффициент

\beta

по опыту на керне

Исходные данные (условные)

Образец: длина 4,0 см, диаметр 2,54 см
Газ: азот: $M$ = 0,02801 кг/моль, $\mu$ = 0,0178 мПа·с при 25 °C (298,15 К), $Z = 1$
Давление на выходе $p_2$: 0,6000 МПа (абсолютное; его держит регулятор противодавления, чтобы проскальзывание газа было мало)
Массовая скорость $G$ в четырёх опытах: 0,05; 0,15; 0,30; 0,45 кг/(м²·с)
Давление на входе $p_1$: 0,6464; 0,7490; 0,9192; 1,1007 МПа (абсолютные)

Решение

Для каждого опыта вычисляем абсциссу $X = G/\mu$ и ординату $Y$ — левую часть формулы (давления в паскалях, $\mu = 1{,}78\cdot10^{-5}$ Па·с). Опыт 1: $X_1 = 2809$ м⁻¹, $Y_1 = 9{,}178\cdot10^{12}$ м⁻². Опыт 4: $X_4 = 25\,281$ м⁻¹, $Y_4 = 15{,}015\cdot10^{12}$ м⁻².
Опыты 2 и 3 дают $Y = 10{,}633\cdot10^{12}$ и $12{,}826\cdot10^{12}$ м⁻² — точки лежат на той же прямой.
Наклон по крайним опытам: $\beta = (Y_4 - Y_1)/(X_4 - X_1)$ $= 2{,}60\cdot10^{8}$ м⁻¹.
Отрезок на оси: $1/k = Y_1 - \beta X_1 = 8{,}448\cdot10^{12}$ м⁻², откуда $k = 1{,}184\cdot10^{-13}$ м² $= 120$ мД.
Число Форхгеймера: в опыте 1 $\text{Fo} = k\beta G/\mu = 0{,}086$ , в опыте 4 — 0,78: инерционное сопротивление составляет 78 % вязкого.

Ответ: Проницаемость образца — около 120 мД, коэффициент инерционного сопротивления — около 2,60·10⁸ м⁻¹.

Что это значит. Если бы проницаемость считали по закону Дарси по одному опыту 4, получили бы $1/Y_4$ — на 44 % меньше: инерционные потери «спрятались» бы в заниженной проницаемости. Поэтому газовую проницаемость измеряют при малых расходах, а $\beta$ — по наклону на нескольких режимах. Корреляция, приведённая ниже, для 120 мД даёт 2,4·10⁸ м⁻¹ — тот же порядок. Данные примера условные.

Когда керна нет, $\beta$ оценивают по корреляциям с проницаемостью (иногда и с пористостью), построенным по измерениям на многих образцах. Одна из распространённых для сцементированных пород:

Корреляция коэффициента инерционного сопротивления с проницаемостью

\beta = \frac{7{,}64\cdot10^{10}}{k^{1{,}201}}

где:

$\beta$ коэффициент инерционного сопротивления, м⁻¹
$k$ проницаемость породы, мД

Единицы: эмпирическая: $\beta$ — м⁻¹, $k$ — мД

Справедливо, если

сцементированные породы, однофазный поток газа; разброс измерений относительно корреляции — до порядка величины;
остаточная вода или выпавший конденсат сужают каналы, и $\beta$ для газа растёт — иногда в несколько раз.

$\beta$ убывает примерно как $k^{-1{,}2}$ : в десять раз менее проницаемая порода имеет в 16 раз больший $\beta$ . Корреляция годится для первой оценки; для проекта $\beta$ (а лучше сразу коэффициент $D$ скважины) определяют по керну и исследованиям.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\beta\,[\text{ft}^{-1}] = \frac{2{,}33\cdot10^{10}}{k\,[\text{мД}]^{1{,}201}}

$\beta$ — ft⁻¹, $k$ — мД.

$7{,}64\cdot10^{10} = 3{,}281\cdot2{,}33\cdot10^{10}$ — перевод ft⁻¹ в м⁻¹.

Порядок

\beta

по корреляции

$k$ , мД: 1
$\beta$ , м⁻¹: $7{,}6\cdot10^{10}$
$\beta$ , ft⁻¹: $2{,}3\cdot10^{10}$

$k$ , мД: 10
$\beta$ , м⁻¹: $4{,}8\cdot10^{9}$
$\beta$ , ft⁻¹: $1{,}5\cdot10^{9}$

$k$ , мД: 100
$\beta$ , м⁻¹: $3{,}0\cdot10^{8}$
$\beta$ , ft⁻¹: $9{,}2\cdot10^{7}$

$k$ , мД: 1000
$\beta$ , м⁻¹: $1{,}9\cdot10^{7}$
$\beta$ , ft⁻¹: $5{,}8\cdot10^{6}$

$k$ , мД	$\beta$ , м⁻¹	$\beta$ , ft⁻¹
1	$7{,}6\cdot10^{10}$	$2{,}3\cdot10^{10}$
10	$4{,}8\cdot10^{9}$	$1{,}5\cdot10^{9}$
100	$3{,}0\cdot10^{8}$	$9{,}2\cdot10^{7}$
1000	$1{,}9\cdot10^{7}$	$5{,}8\cdot10^{6}$

Значения для ориентира: при той же проницаемости разные породы отличаются в несколько раз.

Инерционные потери у скважины: скин, растущий с дебитом

У скважины скорость фильтрации растёт к стволу: через боковую поверхность цилиндра радиусом $r$ проходит весь поток, и $v = q/(2\pi rh)$ . Вязкий член уравнения Форхгеймера растёт к скважине как $1/r$ , инерционный — как $1/r^2$ . Подставим скорость в уравнение и проинтегрируем от стенки скважины до контура питания, как при выводе формулы Дюпюи (Установившийся радиальный приток):

Установившийся радиальный приток с инерционными потерями

p_e - p_w = \frac{q\mu}{2\pi kh}\ln\frac{r_e}{r_w} + \frac{\beta\rho q^2}{(2\pi h)^2}\left(\frac{1}{r_w} - \frac{1}{r_e}\right)

где:

$q$ дебит в пластовых условиях; для жидкости $q = q_s B$ , м³/с
$p_e,\ p_w$ давление на контуре питания и на стенке скважины, Па
$r_e,\ r_w$ радиус контура питания и радиус скважины, м
$k,\ h,\ \mu$ проницаемость, толщина пласта, вязкость, м², м, Па·с
$\beta,\ \rho$ коэффициент инерционного сопротивления и плотность флюида, м⁻¹, кг/м³

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

установившийся однофазный приток слабосжимаемой жидкости (газ — ниже, через массовый расход);
однородный пласт, скважина вскрывает всю толщину открытым стволом, $\beta$ и $\rho$ постоянны.

Депрессия больше не пропорциональна дебиту: к члену, пропорциональному $q$ (формула Дюпюи), добавляется член, пропорциональный $q^2$ . При удвоении дебита вязкие потери удваиваются, а инерционные растут вчетверо.

Важнее всего, где теряется давление. Доли вязких и инерционных потерь, приходящиеся на кольцо от стенки скважины до радиуса $r$ :

Доли вязких и инерционных потерь в пределах радиуса

r

\delta_{\text{вязк}}(r) = \frac{\ln(r/r_w)}{\ln(r_e/r_w)},\qquad \delta_{\text{ин}}(r) = \frac{1/r_w - 1/r}{1/r_w - 1/r_e} \approx 1 - \frac{r_w}{r}

где:

$\delta_{\text{вязк}},\ \delta_{\text{ин}}$ доли вязких и инерционных потерь давления между $r_w$ и $r$ от потерь между $r_w$ и $r_e$ , —
$r$ расстояние от оси скважины, м

Единицы: безразмерные; радиусы в одинаковых единицах

Справедливо, если

установившийся радиальный приток, как в предыдущей формуле; приближённое равенство — при $r_e \gg r_w$ .

Половина инерционных потерь приходится на кольцо от $r_w$ до $2r_w$ , 90 % — до $10r_w$ , 95 % — до $20r_w$ , то есть в пределах двух метров у типичной скважины. Вязкие потери распределены гораздо шире: на те же два метра приходится лишь около трети.

РасчётРасчётные доли вязких и инерционных потерь давления в пределах расстояния

r

от оси скважины урока (

r_w

= 0,108 м,

r_e

= 500 м). Инерционные потери почти целиком сосредоточены в первом метре.

Раз инерционные потери сосредоточены в тонком кольце у ствола, их удобно считать частью скина (Скин-фактор) — но скина, который растёт с дебитом (коэффициент нелинейного скина). Разделим инерционный член на «единицу» радиального перепада $q\mu/(2\pi kh)$ :

Скин, растущий с дебитом

p_e - p_{wf} = \frac{q\mu}{2\pi kh}\left(\ln\frac{r_e}{r_w} + S + Dq\right),\qquad D = \frac{\beta\rho k}{2\pi h\mu r_w}

где:

$S$ скин, не зависящий от дебита: повреждение призабойной зоны, геометрия вскрытия, перфорация, —
$D$ коэффициент нелинейного (инерционного) скина (non-Darcy coefficient), с/м³
$Dq$ инерционный скин при дебите $q$ , —
$p_{wf}$ забойное давление работающей скважины, Па
$q,\ \mu,\ k,\ h,\ \beta,\ \rho,\ r_e,\ r_w$ как в формуле выше; $q$ — в пластовых условиях, СИ

Единицы: СИ; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

$r_e \gg r_w$ : член $1/r_e$ отброшен;
открытый ствол на всю толщину, $\beta$ у ствола тот же, что в пласте; при повреждении и неполном вскрытии $D$ больше (последний раздел).

Измеренный при исследовании скин $S' = S + Dq$ называют кажущимся (apparent skin). Произведение $Dq$ — это число Форхгеймера у стенки скважины: $Dq = k\beta\rho v_w/\mu$ при скорости $v_w = q/(2\pi r_w h)$ . Инерционный скин велик тогда, когда течение у самой стенки уже существенно нелинейно.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы (жидкость)

D\,[1/(\text{м}^3/\text{сут})] = 1{,}818\cdot10^{-18}\,\frac{\beta\,\rho\,B\,k}{h\,\mu\,r_w}

$\beta$ — м⁻¹, $\rho$ — кг/м³, $B$ — м³/м³, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — м, $\mu$ — мПа·с; $q$ — м³/сут в стандартных условиях.

$1{,}818\cdot10^{-18}$ — это $0{,}9869\cdot10^{-15}$ , делённое на $86\,400\cdot2\pi\cdot10^{-3}$ : перевод мД в м², суток в секунды и мПа·с в Па·с.

Промысловые единицы (oilfield, жидкость)

D\,[1/(\text{STB/d})] = 1{,}021\cdot10^{-14}\,\frac{\beta\,\rho\,B\,k}{h\,\mu\,r_w}

$\beta$ — ft⁻¹, $\rho$ — г/см³, $B$ — rb/STB, $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — ft, $\mu$ — сП.

Тот же перевод единиц из формулы в СИ.

Для газа плотность и объёмный расход меняются вдоль пути, но их произведение — массовый расход — одно и то же на всех радиусах. Поэтому в формулу для газовой скважины входят дебит при стандартных условиях и плотность газа при тех же условиях, а вязкость берут у забоя, где сосредоточены инерционные потери (вывод — в дополнительном разделе):

Коэффициент нелинейного скина газовой скважины

D = \frac{\beta\,\rho_{sc}\,k}{2\pi h\,\mu_w\,r_w}

где:

$D$ коэффициент нелинейного скина на единицу дебита газа в стандартных условиях, с/м³
$\rho_{sc}$ плотность газа при стандартных условиях: $1{,}204\,\gamma_g$ при 20 °C ( $\gamma_g$ — относительная плотность по воздуху), кг/м³
$\mu_w$ вязкость газа при забойном давлении и пластовой температуре, Па·с
$\beta,\ k,\ h,\ r_w$ как выше, м⁻¹, м², м, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

массовый расход одинаков на всех радиусах; изотермический приток;
инерционные потери сосредоточены у ствола, поэтому вязкость — при забойном давлении;
открытый ствол на всю толщину, призабойная зона не повреждена.

От давления зависит только вязкость у забоя; в диапазоне режимов обычного исследования она меняется примерно на 10 %, поэтому $D$ газовой скважины считают постоянным, пока не меняются вскрытие и состояние призабойной зоны. Его и определяют исследованиями.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

D\,[1/(\text{тыс. м}^3/\text{сут})] = 1{,}818\cdot10^{-15}\,\frac{\beta\,\rho_{sc}\,k}{h\,\mu_w\,r_w}

$\beta$ — м⁻¹, $\rho_{sc}$ — кг/м³ (20 °C, 0,101325 МПа), $k$ — мД, $h$ и $r_w$ — м, $\mu_w$ — мПа·с; дебит — тыс. м³/сут.

В тысячу раз больше постоянной для жидкости: дебит в тысячах кубометров.

Промысловые единицы (oilfield)

D\,[1/(\text{Mscf/d})] = 2{,}71\cdot10^{-15}\,\frac{\beta\,k\,M\,p_{sc}}{h\,\mu_w\,r_w\,T_{sc}}

$\beta$ — ft⁻¹, $k$ — мД, $M$ — г/моль, $p_{sc}$ — psia, $T_{sc}$ — °R, $h$ и $r_w$ — ft, $\mu_w$ — сП; дебит — тыс. стандартных кубических футов в сутки.

Плотность при стандартных условиях записана как $p_{sc}M/(RT_{sc})$ ; постоянная получается переводом единиц.

Расчётный примерИнерционный скин газовой скважины по свойствам породы

Исходные данные (условные)

Пласт: $k$ = 30 мД, $h$ = 12 м, ствол открыт на всю толщину, повреждения нет
Скважина: $r_w$ = 0,108 м; радиус области дренирования 500 м
Газ: газ урока о свойствах газа: $\gamma_g$ = 0,65, пластовая температура 80 °C
Режим: дебит 600 тыс. м³/сут при забойном давлении около 17 МПа
$\beta$: по корреляции с проницаемостью

Решение

$\beta = 7{,}64\cdot10^{10}/30^{1{,}201}$ $= 1{,}286\cdot10^{9}$ м⁻¹.
Плотность газа при стандартных условиях $\rho_{sc} = 1{,}204\cdot0{,}65 = 0{,}7826$ кг/м³; вязкость газа при 17 МПа и 80 °C $\mu_w = 0{,}01794$ мПа·с.
Числитель $\beta\rho_{sc}k = 1{,}286\cdot10^{9}\cdot0{,}7826\cdot30$ $= 3{,}019\cdot10^{10}$ , знаменатель $h\mu_w r_w = 12\cdot0{,}01794\cdot0{,}108 = 0{,}02325$ ; $D = 1{,}818\cdot10^{-15}\cdot3{,}019\cdot10^{10}/0{,}02325$ $= 2{,}36\cdot10^{-3}$ (тыс. м³/сут)⁻¹.
Инерционный скин: $Dq = 2{,}36\cdot10^{-3}\cdot600 = 1{,}42$ .
Проверка через скорость у стенки: массовый расход $5{,}43$ кг/с, массовая скорость $G_w = 5{,}43/(2\pi\cdot0{,}108\cdot12) = 0{,}667$ кг/(м²·с), $\text{Fo}_w = k\beta G_w/\mu_w = 1{,}42$ — то же число.
Логарифмический член неповреждённой скважины в псевдоустановившемся режиме $\ln(500/0{,}108) - 0{,}75 = 7{,}690$ ; доля инерционного скина в сопротивлении $1{,}42/(7{,}690 + 1{,}42) = 16$ %.

Ответ:

D \approx 2{,}36\cdot10^{-3}

(тыс. м³/сут)⁻¹; при 600 тыс. м³/сут инерционный скин 1,42 — около 16 % сопротивления неповреждённой скважины.

Что это значит. У самой стенки инерционное сопротивление в 1,42 раза больше вязкого, но число Форхгеймера убывает как $1/r$ : в метре от оси оно около 0,15, в десяти метрах — около 0,015. Это оценка для открытого ствола по корреляции. У реальных скважин $D$ обычно больше — поток сходится к перфорационным каналам, призабойная зона повреждена, работает не вся толщина (последний раздел). Поэтому $D$ измеряют. Данные примера условные.

Что меняется, если…

…удвоить дебит — инерционный скин удвоится, а инерционные потери давления вырастут вчетверо;
…вдвое увеличить радиус скважины — $D$ уменьшится вдвое; на вязкие потери радиус влияет лишь через логарифм;
…вскрыть вдвое большую толщину — скорость у стенки и $D$ уменьшатся вдвое;
…проницаемость в десять раз выше — $\beta$ в 16 раз меньше, а $D$ , пропорциональный $\beta k$ , лишь в 1,6 раза меньше; дебиты же в десять раз больше, поэтому у высокопроницаемых газовых скважин инерционный скин больше.

Приток газа: двучленная формула в псевдодавлениях

Вязкость и коэффициент сверхсжимаемости газа $Z$ меняются с давлением, поэтому уравнение Форхгеймера для газа интегрируют, как и закон Дарси, через псевдодавление $m(p) = 2\int p\,\dd p/(\mu Z)$ (псевдодавление реального газа; о его свойствах — Объёмный коэффициент, сжимаемость и вязкость газа). Вывод приведён в дополнительном разделе. Когда возмущение давления дошло до границ области дренирования и приток стал псевдоустановившимся (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы), получается двучленная формула притока:

Двучленная формула притока газа в псевдодавлениях

\begin{gathered} m(\bar p) - m(p_{wf}) = a\,q + b\,q^2\\ a = U\left(\ln\frac{r_e}{r_w} - \frac34 + S\right),\qquad b = U D\\ U = \frac{p_{sc}\,T}{\pi kh\,T_{sc}}\end{gathered}

где:

$m(p)$ псевдодавление газа, Па²/(Па·с)
$\bar p,\ p_{wf}$ среднее давление в области дренирования и забойное давление, абсолютные, Па
$q$ дебит газа в стандартных условиях, м³/с
$U$ «единица» перепада псевдодавления радиального притока, Па²/(Па·с)/(м³/с)
$T,\ T_{sc},\ p_{sc}$ пластовая температура, температура и давление стандартных условий, К, К, Па
$a,\ b$ коэффициенты фильтрационного сопротивления: вязкого и инерционного, по формулам
$S,\ D$ скин, не зависящий от дебита, и коэффициент нелинейного скина, —, с/м³

Единицы: СИ; давления абсолютные; $\ln$ — натуральный логарифм

Справедливо, если

псевдоустановившийся приток в круговой области со скважиной в центре; для другой формы области логарифмический член меняют, как в уроке о псевдоустановившемся притоке;
$m(\bar p)$ вместо псевдодавления, осреднённого по объёму, — обычное приближение;
$D$ — при вязкости газа у забоя; однофазный газ в пласте.

Коэффициент $a$ — сопротивление пласта и призабойной зоны по закону Дарси, $b$ — инерционное сопротивление. В отечественной практике их называют коэффициентами фильтрационного сопротивления. Пока $\mu Z$ почти постоянно (для газа урока — примерно до 10 МПа), $\Delta m \approx \Delta(p^2)/(\mu Z)$ , и формула переходит в двучленную формулу с квадратами давлений из урока Индикаторная кривая притока: её коэффициенты $A$ и $B$ — это $a$ и $b$ , умноженные на $\mu Z$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

U = 1{,}290\,\frac{T}{kh}

$m$ — МПа²/(мПа·с), $q$ — тыс. м³/сут при 20 °C и 0,101325 МПа, $T$ — К, $k$ — мД, $h$ — м; $a$ — МПа²/(мПа·с) на тыс. м³/сут, $b$ — на (тыс. м³/сут)².

$1{,}290$ — это $1000\cdot0{,}101325$ , делённое на $\pi\cdot0{,}0853\cdot293{,}15$ ; 0,0853 — постоянная закона Дарси в этих единицах.

Промысловые единицы (oilfield)

U = 1422\,\frac{T}{kh}

$m$ — psi²/сП, $q$ — Mscf/d (14,7 psia, 60 °F), $T$ — °R, $k$ — мД, $h$ — ft.

Та же постоянная 1422, что в формуле установившегося притока газа (Установившийся радиальный приток).

Квадратное уравнение решается относительно дебита. Абсолютно свободный дебит (AOF) — условный дебит при забойном давлении, равном атмосферному, — находят по той же формуле:

Дебит газовой скважины по двучленной формуле

q = \frac{-a + \sqrt{a^2 + 4b\,\Delta m}}{2b},\qquad \Delta m = m(\bar p) - m(p_{wf})

где:

$q$ дебит газа в стандартных условиях, тыс. м³/сут
$\Delta m$ перепад псевдодавления между областью дренирования и забоем, МПа²/(мПа·с)
$a,\ b$ коэффициенты двучленной формулы, по формуле выше
$q_{max}$ абсолютно свободный дебит: $q$ при $\Delta m_{max} = m(\bar p) - m(p_{\text{атм}})$ , тыс. м³/сут

Единицы: метрические промысловые (или любые согласованные с $a$ и $b$ )

Справедливо, если

стабилизированный приток, коэффициенты $a$ и $b$ известны; при $b = 0$ формула переходит в $q = \Delta m/a$ .

Без инерционного члена индикаторная линия в координатах « $q$ — $\Delta m$ » была бы прямой; с ним она изгибается, и каждый следующий шаг депрессии даёт всё меньший прирост дебита.

Исследования на нескольких режимах: как разделить $S$ и $D$

Исследование при одном дебите даёт один кажущийся скин $S' = S + Dq$ — сумму двух неизвестных. Чтобы их разделить, скважину исследуют на нескольких режимах с заметно разными дебитами — лучше всего в два-три раза. Результат обрабатывают одним из двух способов.

По скинам режимов. Запись давления каждого режима — падения при работе или восстановления после остановки — интерпретируют обычным образом, но в псевдодавлениях (Анализ кривой падения давления, Анализ кривой восстановления давления), и получают проводимость $kh$ и кажущийся скин $S'_j$ . Точки ложатся на прямую:

Кажущийся скин режимов

S'_j = S + D\,q_j

где:

$S'_j$ кажущийся скин $j$ -го режима по интерпретации его записи давления, —
$q_j$ дебит $j$ -го режима (для кривой восстановления — дебит перед остановкой), тыс. м³/сут
$S,\ D$ отрезок на оси ординат и наклон прямой, —, (тыс. м³/сут)⁻¹

Единицы: любые; $D$ — в единицах, обратных единицам дебита

Справедливо, если

каждый режим интерпретирован по одной модели пласта, проводимость $kh$ всех режимов одинакова;
скин и $D$ не меняются во время исследования (скважина уже очищена после освоения).

Инерционный перепад исчезает при остановке скважины мгновенно, как и любой перепад на скине. Поэтому скин по кривой восстановления содержит $Dq$ дебита, с которым скважина работала перед остановкой.

По индикаторной линии. Разделим двучленную формулу на дебит: $\Delta m/q = a + bq$ . Точки режимов в координатах « $q$ — $\Delta m/q$ » ложатся на прямую с наклоном $b$ и отрезком $a$ . Но это верно, только если коэффициент $a$ одинаков для всех режимов. Пока приток неустановившийся, в $a$ вместо $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ стоит логарифмический член, растущий со временем, и у режимов разной длительности он разный. Отсюда три вида исследований: на установившихся режимах, изохронное и модифицированное изохронное.

Исследования газовых скважин на нескольких режимах

Вид исследования: На установившихся режимах (flow-after-flow)
Как проводят: 3–5 режимов подряд, каждый до стабилизации
Что дают: $a$ и $b$ ; в плотном пласте — очень долго

Вид исследования: Изохронное (isochronal)
Как проводят: равные по длительности режимы, между ними — полное восстановление давления; плюс один длительный режим
Что дают: $b$ — по коротким режимам, $a$ — по длительному

Вид исследования: Модифицированное изохронное
Как проводят: режимы и остановки равной длительности
Что дают: то же приближённо; вместо $\bar p$ — давление перед режимом

Вид исследования	Как проводят	Что дают
На установившихся режимах (flow-after-flow)	3–5 режимов подряд, каждый до стабилизации	$a$ и $b$ ; в плотном пласте — очень долго
Изохронное (isochronal)	равные по длительности режимы, между ними — полное восстановление давления; плюс один длительный режим	$b$ — по коротким режимам, $a$ — по длительному
Модифицированное изохронное	режимы и остановки равной длительности	то же приближённо; вместо $\bar p$ — давление перед режимом

Первый вид в отечественной практике называют методом установившихся отборов. Стабилизация — выход на псевдоустановившийся режим; для скважины в центре круговой области — при $kt/(\phi\mu c_tA) \approx 0{,}1$ . У скважины урока (30 мД, радиус области 500 м) это около трёх суток, в таком же пласте проницаемостью 3 мД — около месяца.

РасчётИзохронное исследование скважины урока в координатах «дебит —

\Delta m/q

» (расчёт по модели урока): точки четырёх режимов по 6 ч лежат на прямой с наклоном

b

; стабилизированная линия параллельна ей и проходит выше на разницу логарифмических членов.

Расчётный примерСкин повреждения и коэффициент

D

по изохронному исследованию

Исходные данные (условные)

Скважина: скважина урока (пример выше): $k$ = 30 мД, $h$ = 12 м, $r_w$ = 0,108 м, газ урока, 80 °C
Исследование: четыре режима по 6 ч, после каждого — остановка до восстановления давления 20 МПа
Дебиты $q_j$: 200; 350; 500; 650 тыс. м³/сут
Интерпретация режимов в псевдодавлениях: $kh$ = 360 мД·м по всем режимам; кажущиеся скины 2,76; 3,48; 4,32; 5,22

Решение

Средние значения: $\bar q = 425$ тыс. м³/сут, $\bar S' = 3{,}945$ .
Наклон по крайним режимам: $D \approx (5{,}22 - 2{,}76)/(650 - 200)$ $= 5{,}47\cdot10^{-3}$ ; по всем четырём режимам (метод наименьших квадратов) $D = 5{,}48\cdot10^{-3}$ (тыс. м³/сут)⁻¹.
Отрезок: $S = \bar S' - D\bar q$ $= 3{,}945 - 5{,}48\cdot10^{-3}\cdot425$ $= 1{,}62$ .
Оценка $D$ для открытого неповреждённого ствола (пример выше) — $2{,}36\cdot10^{-3}$ ; измеренный $D$ больше в 2,3 раза.
При дебите 650 тыс. м³/сут инерционный скин $Dq = 3{,}56$ — 68 % кажущегося скина 5,22.

Ответ: Скин, не зависящий от дебита, — около 1,62; коэффициент нелинейного скина

D \approx 5{,}48\cdot10^{-3}

(тыс. м³/сут)⁻¹.

Что это значит. Повреждение и перфорация дают небольшой скин — около 1,62, а кажущийся скин 5,22 на верхнем режиме больше чем наполовину инерционный. Кислотная обработка уменьшила бы только $S$ . То, что измеренный $D$ в 2,3 раза больше оценки для открытого ствола, может указывать на сужение притока у скважины: поток сходится к перфорационным каналам, часть интервала может не работать. Но при разбросе корреляции для $\beta$ такое расхождение ещё не доказательство: работающий интервал проверяют промыслово-геофизическими исследованиями. Разброс точек вокруг прямой — обычная погрешность интерпретации, поэтому режимов берут не меньше трёх-четырёх. Данные примера условные.

РасчётКажущиеся скины четырёх режимов примера и прямая по методу наименьших квадратов: отрезок на оси ординат — скин

S

, не зависящий от дебита, наклон —

D

. Штриховая линия — тот же скин с

D

открытого неповреждённого ствола.

Как спланировать исследование на нескольких режимах

1
Очистить скважину
Скин должен быть постоянным во время исследования: после освоения скважину отрабатывают до выноса фильтрата и стабилизации дебита.
2
Выбрать дебиты
3–4 режима, обычно по возрастанию дебита; наибольший — в два-три раза больше наименьшего, но без выноса песка и разрушения призабойной зоны.
3
Выбрать продолжительность
Если хватает времени до стабилизации — режимы подряд; если нет — изохронная схема с одинаковой длительностью режимов и одним длительным режимом.
4
Записывать давление и дебит
Забойные манометры и замер дебита на каждом режиме; давление в конце каждого режима и во время остановок.
5
Обработать двумя способами
Скины режимов против дебита и $\Delta m/q$ против дебита; согласие двух оценок $D$ — проверка качества.

Индикаторная линия газовой скважины и абсолютно свободный дебит

Когда $S$ и $D$ известны, а $kh$ определено по тем же записям давления, стабилизированную индикаторную линию можно рассчитать, не дожидаясь стабилизации: коэффициент $a$ даёт формула с $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ для области дренирования скважины, $b$ — произведение $UD$ . Так поступают и при изохронном исследовании без длительного режима.

Расчётный примерСтабилизированная индикаторная линия скважины урока

Исходные данные (условные)

Результаты исследования (пример выше): $S$ = 1,616 (до округления), $D$ = 5,48·10⁻³ (тыс. м³/сут)⁻¹, $kh$ = 360 мД·м
Область дренирования: круговая, $r_e$ = 500 м; $r_w$ = 0,108 м; среднее давление 20 МПа; 80 °C (353,15 К)
Псевдодавление газа урока при 80 °C: $m$ (20 МПа) = 27 699; $m$ (15 МПа) = 16 573; $m$ (0,1013 МПа) = 0,8 МПа²/(мПа·с)

Решение

$U = 1{,}2903\cdot353{,}15/360 = 1{,}2657$ (постоянная 1,290 с ещё одним знаком).
$\ln(500/0{,}108) = 8{,}440$ ; $a = 1{,}2657\cdot(8{,}440 - 0{,}75 + 1{,}616)$ $= 11{,}779$ ; $b = UD = 6{,}936\cdot10^{-3}$ .
Забойное давление 15 МПа: $\Delta m = 27\,699 - 16\,573 = 11\,126$ ; $a^2 + 4b\Delta m = 447{,}4$ , корень 21,152; $q = (21{,}152 - 11{,}779)/(2b)$ $= 676$ тыс. м³/сут. Без инерционных потерь было бы $\Delta m/a = 945$ тыс. м³/сут.
Абсолютно свободный дебит: $\Delta m_{max} = 27\,699 - 0{,}8 = 27\,698$ ; $q_{max} = 1322$ тыс. м³/сут, а без инерционных потерь — $2351$ .
Инерционный скин на режиме 15 МПа $Dq = 3{,}70$ — сравним с $a/U = \ln(r_e/r_w) - 0{,}75 + S = 9{,}31$ .
Если провести через этот один режим прямую, как для жидкости ( $q$ пропорционален $\Delta m$ ), получится $q_{max} = 27\,698\cdot676/11\,126$ $= 1683$ тыс. м³/сут.

Ответ: При забойном давлении 15 МПа скважина даст около 676 тыс. м³/сут; абсолютно свободный дебит — около 1322 тыс. м³/сут.

Что это значит. Инерционные потери снижают дебит при депрессии 5 МПа на 28 %, а абсолютно свободный дебит — на 44 %: чем больше депрессия, тем больше их вклад. Прямая через один режим завысила бы абсолютно свободный дебит на 27 %, а расчёт без инерционных потерь — в 1,8 раза. Абсолютно свободный дебит — условная мера потенциала: реальный дебит ограничивают лифтовые трубы, вынос песка и конусы воды (Узловой анализ добывающей системы). Данные примера условные.

РасчётРасчётная стабилизированная индикаторная линия скважины урока (среднее давление 20 МПа) с инерционными потерями и без них, по закону Дарси. Точки — дебит при забойном давлении 15 МПа и абсолютно свободные дебиты.

Что увеличивает инерционные потери у скважины

Формулы для $D$ выше относятся к открытому стволу в неповреждённом пласте. Всё, что повышает скорость у стенки или $\beta$ там, где скорость наибольшая, увеличивает $D$ , и обычно в разы.

Зона повреждения. Проницаемость в ней ниже, а $\beta$ , растущий примерно как $k^{-1{,}2}$ , — выше. При этом именно у стенки скорость наибольшая. Если в кольце радиусом $r_s$ проницаемость снижена до $k_s$ , а коэффициент инерционного сопротивления вырос до $\beta_s$ , то, повторив интегрирование по двум кольцам, получаем:

Кажущийся скин с зоной повреждения

S' = \left(\frac{k}{k_s} - 1\right)\ln\frac{r_s}{r_w} + Dq,\qquad D = D_0\left[\frac{\beta_s}{\beta}\left(1 - \frac{r_w}{r_s}\right) + \frac{r_w}{r_s}\right]

где:

$k_s,\ \beta_s$ проницаемость и коэффициент инерционного сопротивления зоны повреждения, мД, м⁻¹
$r_s$ радиус зоны повреждения, м
$D_0$ коэффициент нелинейного скина той же скважины без повреждения, (тыс. м³/сут)⁻¹

Единицы: любые согласованные; $D$ и $D_0$ — в одних единицах

Справедливо, если

зона повреждения — цилиндр вокруг ствола, течение в ней установившееся; первый член — формула Хокинса (Скин-фактор);
$r_e \gg r_s$ ; ствол открыт на всю толщину.

Если проницаемость в зоне радиусом 0,5 м у скважины радиусом 0,108 м снижена в пять раз, $\beta$ по корреляции растёт в $5^{1{,}2} \approx 6{,}9$ раза, и $D$ — примерно в 5,6 раза. Скин повреждения и инерционный скин растут вместе.

Вскрытие части толщины. Если работает интервал $h_w$ из всей толщины $h$ , скорость у стенки больше в $h/h_w$ раз. Скин повреждения, отнесённый ко всей толщине, растёт в $h/h_w$ раз, инерционные потери — как квадрат скорости, в $(h/h_w)^2$ раз; к ним добавляется псевдоскин схождения потока $S_{pp}$ (Несовершенство вскрытия и наклон скважины):

Кажущийся скин при вскрытии части толщины

S' = S_d\,\frac{h}{h_w} + S_{pp} + D_0\left(\frac{h}{h_w}\right)^{2} q

где:

$S_d$ скин повреждения вскрытого интервала по формуле Хокинса, —
$h,\ h_w$ толщина пласта и работающий (не просто прострелянный) интервал, м
$S_{pp}$ псевдоскин частичного вскрытия, —
$D_0$ коэффициент нелинейного скина скважины, вскрывшей всю толщину, (тыс. м³/сут)⁻¹

Единицы: безразмерные; $D_0 q$ — в согласованных единицах

Справедливо, если

зона повреждения тонкая по сравнению с интервалом; поток у ствола радиален к интервалу;
инерционные потери в зоне схождения потока, дальше от ствола, малы по сравнению с потерями у стенки.

Вскрыта треть толщины — инерционный скин в девять раз больше. Поэтому высокий $D$ при небольшом $S$ часто означает, что работает лишь часть интервала. Работающий интервал показывают промыслово-геофизические исследования в действующей скважине.

Перфорация. Поток сходится к отдельным каналам, и скорость в каналах и вокруг них намного выше, чем у открытого ствола. Инерционные потери в каналах, особенно заполненных гравием, — заметная часть $D$ обсаженных скважин (Влияние заканчивания на приток).
Трещина гидроразрыва увеличивает площадь притока и уменьшает $D$ скважины в разы; зато инерционные потери в упаковке проппанта снижают эффективную проводимость самой трещины (Гидроразрыв пласта: назначение и выбор скважин).
Двухфазный поток. Выпадение конденсата или вода у ствола сужают каналы для газа и увеличивают и $S$ , и $D$ .

D как индикатор состояния скважины

Измеренный $D$ сравнивают с оценкой для открытого ствола. Если он больше в несколько раз, ищут причину — неработающие перфорации, неполное вскрытие, повреждение. Рост $D$ от исследования к исследованию указывает на ухудшение призабойной зоны (вынос мелких частиц, солеотложение), снижение после дострела или обработки — на её улучшение. У нефтяных скважин $Dq$ обычно составляет доли единицы, и инерционными потерями пренебрегают; исключения — очень проницаемые пласты, маловязкая нефть, большие дебиты и вскрытие малой части толщины.

Термины и обозначения

Нелинейная (инерционная) фильтрация: течение, при котором к вязкому сопротивлению закона Дарси добавляется инерционное, пропорциональное квадрату скорости; заметна у газовых и высокодебитных скважин.
Уравнение Форхгеймера: двучленный закон фильтрации $-\dd p/\dd x = \mu v/k + \beta\rho v^2$ .
Коэффициент инерционного сопротивления $\beta$: свойство породы размерности обратной длины; растёт при снижении проницаемости, измеряется на керне при нескольких расходах.
Число Форхгеймера Fo: отношение инерционного сопротивления к вязкому, $k\beta\rho v/\mu$ ; у стенки скважины равно инерционному скину $Dq$ .
Коэффициент нелинейного скина $D$: инерционный скин на единицу дебита; для газовой скважины $\beta\rho_{sc}k/(2\pi h\mu_w r_w)$ у открытого неповреждённого ствола.
Кажущийся скин $S'$: скин, измеренный при исследовании на одном режиме: $S' = S + Dq$ .
Коэффициенты фильтрационного сопротивления $a$ и $b$: коэффициенты двучленной формулы притока газа $\Delta m = aq + bq^2$ : вязкого и инерционного сопротивления.
Изохронное исследование: исследование на режимах одинаковой продолжительности с остановками между ними и одним длительным режимом; применяют, когда стабилизация занимает слишком много времени.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Нелинейный скин — это турбулентность в пласте».

На самом деле

Течение в порах остаётся ламинарным; потери создаёт ускорение и торможение флюида в каналах переменного сечения. Слово «турбулентный» в названиях — историческое.

Неверно

«По кривой восстановления после работы на большом дебите скин газовой скважины +5 — призабойная зона сильно повреждена».

На самом деле

Это кажущийся скин $S + Dq$ . Сначала его разделяют по нескольким режимам; в примере урока при скине +5,2 на верхнем режиме скин, не зависящий от дебита, — около 1,6.

Неверно

«Абсолютно свободный дебит можно оценить по одному режиму, продолжив линию притока по закону Дарси».

На самом деле

Инерционные потери растут как квадрат дебита, и такая оценка завышена: для скважины урока прямая через режим при 15 МПа даёт на четверть больше, а расчёт вовсе без инерционных потерь — в 1,8 раза больше. Нужны несколько режимов и двучленная формула.

Неверно

« $D$ — константа пласта: посчитаем по корреляции и исследовать не будем».

На самом деле

$D$ — характеристика скважины: он зависит от перфорации, работающего интервала, повреждения и меняется со временем. Оценка по корреляции для открытого неповреждённого ствола обычно занижает $D$ реальной скважины.

Неверно

«В формулу $D$ газовой скважины подставляют пластовую плотность газа и вязкость при пластовом давлении».

На самом деле

Постоянен массовый расход, поэтому вместе с дебитом в стандартных условиях берут плотность при стандартных условиях; вязкость — при забойном давлении, где сосредоточены инерционные потери.

Подробно: для продвинутых

Вывод двучленной формулы для газа

Запишем уравнение Форхгеймера для радиального притока газа через массовый расход $\dot m = \rho_{sc}q$ , одинаковый на всех радиусах. Скорость фильтрации $v = \dot m/(2\pi rh\rho)$ ; подставим её и умножим обе части на $\rho/\mu$ :

Уравнение Форхгеймера для газа через массовый расход

\frac{\rho}{\mu}\,\frac{\dd p}{\dd r} = \frac{\dot m}{2\pi kh}\cdot\frac{1}{r} + \frac{\beta\,\dot m^2}{(2\pi h)^2\mu}\cdot\frac{1}{r^2}

где:

$\dot m$ массовый расход газа, кг/с
$\rho = pM/(ZRT)$ плотность газа при давлении $p$ , кг/м³
$\mu$ вязкость газа при давлении $p$ , Па·с

Единицы: СИ

Справедливо, если

изотермический установившийся приток к скважине, вскрывшей всю толщину открытым стволом.

Левая часть равна $\dfrac{M}{RT}\cdot\dfrac{p}{\mu Z}\,\dfrac{\dd p}{\dd r}$ , то есть $\dfrac{M}{2RT}\,\dfrac{\dd m}{\dd r}$ , — отсюда и псевдодавление. Во втором члене справа вязкость меняется с давлением, но этот член сосредоточен у стенки, и вязкость в нём можно взять при забойном давлении. Интегрируя от $r_w$ до $r_e$ и учитывая, что $\dot m = \rho_{sc}q$ и $\rho_{sc} = p_{sc}M/(RT_{sc})$ , получаем:

Установившийся приток газа с инерционными потерями

m(p_e) - m(p_w) = \frac{p_{sc}T\,q}{\pi kh\,T_{sc}}\left(\ln\frac{r_e}{r_w} + \frac{\beta\rho_{sc}k}{2\pi h\mu_w r_w}\,q\right)

где:

$m(p_e),\ m(p_w)$ псевдодавление на контуре питания и на стенке скважины, Па²/(Па·с)
$\mu_w$ вязкость газа при забойном давлении, Па·с

Единицы: СИ; давления абсолютные

Справедливо, если

член $1/r_e$ в инерционной части отброшен ( $r_e \gg r_w$ ).

Выражение в скобках — логарифмический член плюс $Dq$ с коэффициентом $D$ газовой скважины. Для псевдоустановившегося притока $\ln(r_e/r_w)$ заменяют на $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ и прибавляют скин $S$ — получается двучленная формула основного раздела.

Инерционный скин при смене дебита и в неустановившемся притоке

Инерционный перепад, как и перепад на скине, устанавливается и исчезает вместе с дебитом: тонкое кольцо у ствола не накапливает флюид. Поэтому при суперпозиции режимов (Принцип суперпозиции) неустановившаяся часть складывается из вкладов всех изменений дебита, а скин и инерционный член относятся только к текущему дебиту $q_n$ :

Забойное давление газовой скважины после нескольких смен дебита

m(p_i) - m(p_{wf}) = U\left[\sum_{j=1}^{n}(q_j - q_{j-1})\,\tfrac12\left(\ln t_{D,j} + 0{,}809\right) + (S + Dq_n)\,q_n\right]

где:

$p_i$ начальное пластовое давление, МПа
$q_j$ дебит $j$ -го режима, $q_0 = 0$ , тыс. м³/сут
$t_{D,j}$ безразмерное время от начала $j$ -го режима: $3{,}553\cdot10^{-3}\,k(t - t_{j-1})$ , делённое на $\phi\mu_i c_{ti}r_w^2$ , —
$U$ $1{,}290\,T/(kh)$ в метрических единицах, МПа²/(мПа·с) на тыс. м³/сут
$\mu_i,\ c_{ti}$ вязкость газа и общая сжимаемость при начальном давлении, мПа·с, МПа⁻¹

Единицы: метрические промысловые; $t$ — ч, $k$ — мД, $\phi$ — доли единицы, $r_w$ — м

Справедливо, если

неограниченный пласт, радиальный приток (логарифмическое приближение);
произведение $\mu c_t$ взято при начальном давлении; при больших депрессиях вместо времени используют псевдовремя.

Член $(S + Dq_n)q_n$ нелинеен по дебиту, поэтому его нельзя «разложить» по режимам, как логарифмические члены. Отсюда практические следствия: скин по каждой записи давления — это $S + Dq$ режима, на котором она снята, а при остановке псевдодавление на забое сразу возрастает на $U(S + Dq_n)q_n$ .

Коэффициент β упаковки зёрен: гравий и проппант

Для насыпной упаковки зёрен — гравийной набивки, проппанта, рыхлого песка — течение хорошо описывает уравнение Эргуна, известное из химической технологии. Оно имеет вид уравнения Форхгеймера, и сравнение членов даёт проницаемость и $\beta$ через диаметр зёрен $d_p$ и пористость:

Проницаемость и коэффициент β упаковки зёрен

k = \frac{\phi^3 d_p^2}{150\,(1 - \phi)^2},\qquad \beta = \frac{1{,}75\,(1 - \phi)}{\phi^3 d_p} = \frac{1{,}75\,d_p}{150\,(1 - \phi)\,k}

где:

$d_p$ средний (по отношению объёма к поверхности) диаметр зёрен, м
$\phi$ пористость упаковки, доли единицы
$k,\ \beta$ проницаемость и коэффициент инерционного сопротивления, м², м⁻¹

Единицы: СИ

Справедливо, если

несцементированная упаковка близких по размеру зёрен; постоянные 150 и 1,75 эмпирические.

Для одной и той же упаковки $\beta k$ пропорционально размеру зёрен. Например, у гравия с зёрнами 1 мм и пористостью 0,35 проницаемость — около 700 Д, а $\beta$ — около $3\cdot10^4$ м⁻¹. Скорости в перфорационных каналах с гравием так велики, что даже при таком малом $\beta$ инерционные потери в них значительны.

Связь с другими темами

Скин-фактор — скин и его составляющие; инерционная составляющая растёт с дебитом.
Установившийся радиальный приток — формула Дюпюи, приток газа и псевдодавление, на которых построен вывод.
Объёмный коэффициент, сжимаемость и вязкость газа — вязкость, $Z$ и псевдодавление газа урока.
Индикаторная кривая притока — двучленная формула с квадратами давлений и уравнение с показателем степени.
Несовершенство вскрытия и наклон скважины — псевдоскин частичного вскрытия и наклонного ствола — слагаемое $S_{pp}$ , которое добавляется к инерционному скину, выросшему в $(h/h_w)^2$ раз.
Анализ кривой восстановления давления — как скин каждого режима находят по кривой восстановления давления.
Принцип суперпозиции — суперпозиция режимов с меняющимся дебитом.
Влияние заканчивания на приток — инерционные потери в перфорационных каналах и гравийной набивке.
Узловой анализ добывающей системы — как индикаторная линия газовой скважины вместе с лифтом задаёт дебит.

Проверьте себя

1
По двум режимам газовой скважины кажущийся скин равен 3,1 при 300 тыс. м³/сут и 4,9 при 600 тыс. м³/сут. Чему равны скин $S$ , не зависящий от дебита, и коэффициент $D$ ?
1. А. $S$ = 1,3; $D$ = 0,006 (тыс. м³/сут)⁻¹
2. Б. $S$ = 3,1; $D$ = 0
3. В. $S$ = 4,9; $D$ = 0,003 (тыс. м³/сут)⁻¹
4. Г. $S$ = 0; $D$ = 0,0082 (тыс. м³/сут)⁻¹
Показать ответ
Правильный ответ: А. $S$ = 1,3; $D$ = 0,006 (тыс. м³/сут)⁻¹
Наклон $D = (4{,}9 - 3{,}1)/(600 - 300) = 0{,}006$ (тыс. м³/сут)⁻¹, отрезок $S = 3{,}1 - 0{,}006\cdot300 = 1{,}3$ . При 600 тыс. м³/сут инерционный скин 3,6 — больше, чем скин повреждения.
2
Какая доля инерционных потерь давления приходится на кольцо от стенки скважины до пяти её радиусов (область дренирования много больше)?
1. А.около 95 %
2. Б.около 80 %
3. В.около 50 %
4. Г.около 20 %
Показать ответ
Правильный ответ: Б. около 80 %
Доля инерционных потерь в пределах $r$ равна примерно $1 - r_w/r = 1 - 1/5 = 0{,}8$ . Вязких потерь в том же кольце — лишь $\ln 5/\ln(r_e/r_w)$ , около 20 % при $r_e/r_w$ порядка нескольких тысяч.
3
Как изменятся коэффициент $D$ и логарифмический член формулы притока, если скважину пробурить долотом вдвое большего диаметра, а всё остальное оставить прежним?
1. А. $D$ уменьшится вдвое, логарифмический член — примерно на 0,7
2. Б.оба уменьшатся вдвое
3. В. $D$ не изменится, логарифмический член уменьшится на 0,7
4. Г. $D$ уменьшится вчетверо
Показать ответ
Правильный ответ: А. $D$ уменьшится вдвое, логарифмический член — примерно на 0,7
$D$ обратно пропорционален $r_w$ : скорость у вдвое большей стенки вдвое меньше. Логарифмический член уменьшится на $\ln 2 \approx 0{,}69$ — при значении около 8 это меньше 10 %. Для инерционных потерь радиус ствола важен гораздо сильнее, чем для вязких.
4
Почему в формулу $D$ газовой скважины входят плотность газа при стандартных условиях и вязкость при забойном давлении?
Показать ответ
Инерционный член пропорционален $\rho v^2$ . Для газа $\rho$ и $v$ меняются с давлением, но их произведение — массовая скорость — при заданном массовом расходе зависит только от площади. Поэтому $\rho v^2 = (\rho v)^2/\rho$ , и при интегрировании через псевдодавление остаётся массовый расход $\rho_{sc}q$ — плотность при стандартных условиях вместе с дебитом в стандартных условиях. Вязкость остаётся в инерционном члене, а так как он сосредоточен у стенки скважины, её берут при забойном давлении.
5
Нефтяная скважина: $k$ = 500 мД, вскрыты все 10 м толщины, $\mu$ = 0,5 мПа·с, плотность нефти в пласте 750 кг/м³, $B$ = 1,3, $r_w$ = 0,108 м, дебит 2000 м³/сут. Нужно ли учитывать инерционные потери? А если бы работала лишь четверть толщины?
Показать ответ
По корреляции $\beta = 7{,}64\cdot10^{10}/500^{1{,}201}$ $\approx 4{,}4\cdot10^7$ м⁻¹, по метрической формуле для жидкости числитель $1{,}818\cdot10^{-18}\,\beta\rho Bk \approx 3{,}9\cdot10^{-5}$ , знаменатель $h\mu r_w = 0{,}54$ , и $D \approx 7{,}2\cdot10^{-5}$ (м³/сут)⁻¹, а $Dq \approx 0{,}14$ — около 2 % логарифмического члена: пренебрежимо. При работе четверти толщины $D$ больше в 16 раз, $Dq \approx 2{,}3$ , и к нему добавляется псевдоскин частичного вскрытия — это уже заметная часть сопротивления.
6
Зачем при изохронном исследовании все короткие режимы делают одинаковой продолжительности и зачем нужен один длительный режим?
Показать ответ
Пока приток неустановившийся, коэффициент $a$ содержит логарифмический член, растущий со временем. У режимов одинаковой длительности, начатых из одного состояния (после восстановления давления), он одинаков, поэтому их точки в координатах « $q$ — $\Delta m/q$ » лежат на прямой с правильным наклоном $b$ . Стабилизированный коэффициент $a$ короткие режимы не дают: его находят по одному длительному режиму, доведённому до стабилизации, проводя через его точку прямую с тем же наклоном, — или рассчитывают по $kh$ и $S$ для известной области дренирования.

Обновлено: 26 октября 2026 г.

Кратко о главном

После урока вы сможете

Почему закон Дарси перестаёт работать

Коэффициент инерционного сопротивления

Инерционные потери у скважины: скин, растущий с дебитом

Приток газа: двучленная формула в псевдодавлениях

Исследования на нескольких режимах: как разделить SSS и DDD

Индикаторная линия газовой скважины и абсолютно свободный дебит

Что увеличивает инерционные потери у скважины

Термины и обозначения

Частые ошибки и заблуждения

Подробно: для продвинутых

Связь с другими темами

Проверьте себя

Исследования на нескольких режимах: как разделить $S$ и $D$