Модели притока законтурной воды

Кратко о главном

Залежь и водоносный горизонт — одна гидродинамическая система. При снижении давления на контакте вода и поры горизонта упруго расширяются, и вода входит в залежь; питание горизонта с поверхности встречается редко.
Наибольший возможный приток при снижении давления на $\Delta p$ во всём горизонте — его упругий запас $(c_w + c_f)W\Delta p$ , где $W$ — поровый объём горизонта. Сжимаемость мала, поэтому заметный приток дают только горизонты, во много раз большие залежи.
Снижение давления расходится от контакта по уравнению пьезопроводности: чем больше горизонт и чем меньше его пьезопроводность $k/(\phi\mu_wc_t)$ , тем дольше он отдаёт свой запас. Малый горизонт выравнивается за недели и месяцы, большой — за годы и десятилетия.
Модель малого горизонта: давление во всём горизонте равно давлению на контакте, $W_e = (c_w + c_f)W(p_i - p)$ ; времени в ней нет. Выше давления насыщения она действует как добавочная сжимаемость залежи.
Стационарная модель: темп притока пропорционален снижению давления на контакте, $J_a(p_i - p)$ ; давление на удалённой границе постоянно, и приток растёт, пока давление на контакте снижено. Коэффициент $J_a$ находят по закону Дарси для горизонта или по истории разработки.
Полустационарная модель представляет конечный горизонт баком за сопротивлением, нестационарная решает для горизонта уравнение пьезопроводности. Две простые модели — их предельные случаи: при очень малом сопротивлении получается бак, при очень большом объёме — стационарная модель.

Ключевые соотношения

W_e = (c_w + c_f)\,W\,(p_i - p)

модель малого водоносного горизонта; при снижении давления во всём горизонте — его упругий запас

W = \pi\,(r_a^2 - r_o^2)\,h\,\phi\,f

поровый объём радиального горизонта; $f$ — доля периметра залежи, к которой он примыкает

\frac{\dd W_e}{\dd t} = J_a\,(p_i - p),\qquad W_e = J_a\int_0^t (p_i - p)\dd t

стационарная модель

J_a = \frac{0{,}536\,f\,k\,h}{\mu_w\ln(r_a/r_o)}

коэффициент продуктивности, м³/(сут·МПа): $k$ — мД, $h$ — м, $\mu_w$ — мПа·с; $r_a$ — радиус границы с постоянным давлением

t_D = \frac{k\,t}{\phi\,\mu_w\,c_t\,r_o^2}

безразмерное время водоносного горизонта (СИ); $c_t = c_w + c_f$

Где чаще всего ошибаются

Считать, что водоносный горизонт отдаёт упругий запас сразу: большой горизонт отдаёт его десятилетиями, и модель малого горизонта многократно завышает ранний приток.
Брать сжимаемость одной воды без сжимаемости пор: упругий запас занижается почти втрое.
Путать поровый объём горизонта с объёмом пород или забывать долю периметра $f$ , к которой горизонт примыкает.
Продолжать в будущее коэффициент стационарной модели, подобранный по первым годам: у замкнутого горизонта приток со временем ослабевает.
Подставлять в модель давление в скважинах вместо давления на контакте с водоносным горизонтом.

После урока вы сможете

объяснить, откуда берётся энергия водоносного горизонта и почему приток воды отстаёт от снижения давления на контакте;
рассчитать упругий запас водоносного горизонта и приток по модели малого горизонта и оценить, как он меняет работу залежи;
рассчитать коэффициент продуктивности горизонта по его свойствам и накопленный приток по стационарной модели для заданной истории давления;
описать идеи полустационарной и нестационарной моделей и выбрать класс модели по размерам и пьезопроводности горизонта;
объяснить, как параметры модели уточняют по истории разработки и почему подобранная модель редко бывает единственной.

Откуда берётся приток воды

Нефть и газ пришли в ловушку, когда порода уже была заполнена водой, и вытеснили её лишь из верхней части пласта (Ловушки и время их формирования). Поэтому залежь почти всегда окружена той же водой — краевой, за контуром нефтеносности, или подошвенной, под залежью, — и вместе с ней образует одну гидродинамическую систему (водонапорный режим).

Когда залежь разрабатывают, давление на её контакте с водоносным горизонтом снижается. Вода в горизонте сжата до пластового давления; когда давление падает, она немного расширяется, а поры горизонта под весом вышележащих пород немного сжимаются (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна). Оба эффекта выталкивают воду в залежь. Изредка добавляется питание извне — если пласт выходит на поверхность выше залежи и вода поступает туда с той же скоростью, с какой её отбирают. Но обычно горизонт отрезан разломами или выклиниванием пласта, и приток — это упругое расширение самого горизонта.

СхемаВодоносный горизонт и залежь (схема, не в масштабе). Слева — в плане: горизонт примыкает к части периметра залежи с углом

\theta

, то есть к доле

f = \theta/360°

, остальной периметр закрыт разломом;

r_o

— радиус залежи (начального контакта),

r_a

— внешний радиус горизонта. Справа — в разрезе: краевая вода подходит по пласту с крыльев, подошвенная подстилает залежь.

От чего зависит приток воды

Что: Поровый объём горизонта $W$
Как влияет: задаёт упругий запас — сколько воды горизонт может отдать на каждый мегапаскаль снижения давления

Что: Сжимаемость воды и пор $c_w + c_f$
Как влияет: то же; у воды и сцементированной породы вместе — порядка $1\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹

Что: Проводимость $kh/\mu_w$
Как влияет: скорость: как быстро вода подходит к залежи и как далеко за то же время распространяется снижение давления

Что: Доля периметра $f$
Как влияет: часть контура залежи, через которую входит вода

Что: Внешняя граница
Как влияет: замкнутый горизонт отдаёт только свой упругий запас, горизонт с питанием — сколько угодно долго

Что	Как влияет
Поровый объём горизонта $W$	задаёт упругий запас — сколько воды горизонт может отдать на каждый мегапаскаль снижения давления
Сжимаемость воды и пор $c_w + c_f$	то же; у воды и сцементированной породы вместе — порядка $1\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Проводимость $kh/\mu_w$	скорость: как быстро вода подходит к залежи и как далеко за то же время распространяется снижение давления
Доля периметра $f$	часть контура залежи, через которую входит вода
Внешняя граница	замкнутый горизонт отдаёт только свой упругий запас, горизонт с питанием — сколько угодно долго

Упругий запас водоносного горизонта

W_{e,\max} = (c_w + c_f)\,W\,\Delta p,\qquad W = \pi\,(r_a^2 - r_o^2)\,h\,\phi\,f

где:

$W_{e,\max}$ наибольший приток при снижении давления на $\Delta p$ во всём горизонте, м³
$W$ поровый объём горизонта — он же начальный объём воды в нём (в литературе часто $W_i$ ), м³
$c_w,\ c_f$ сжимаемость воды и порового объёма горизонта, 1/МПа
$\Delta p$ снижение давления от начального, $p_i - p$ , МПа
$r_o,\ r_a$ радиус залежи (начального контакта с водой) и внешний радиус горизонта, м
$h,\ \phi$ толщина и пористость горизонта, м, —
$f$ доля периметра залежи, к которой примыкает горизонт, $\theta/360°$ , —

Единицы: согласованные единицы: м³, МПа и 1/МПа

Справедливо, если

горизонт насыщен водой, сжимаемости постоянны;
радиальная геометрия — сектор кольца с углом $\theta$ ; для полосообразного горизонта шириной $w$ и длиной $L$ объём равен $wLh\phi$ ;
снижение давления успело дойти до всех частей горизонта.

Это верхний предел: столько воды горизонт отдаст, лишь когда давление во всём нём снизится до давления на контакте. Каждый мегапаскаль снижения давления высвобождает около тысячной доли порового объёма горизонта. Поэтому заметную поддержку давлению дают только горизонты, во много раз большие залежи (источники пластовой энергии).

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

W_{e,\max}\,[\text{bbl}] = 0{,}1781\,(c_w + c_f)\,\pi\,(r_a^2 - r_o^2)\,h\,\phi\,f\,\Delta p

$r$ и $h$ — футы, $c$ — 1/psi, $\Delta p$ — psi.

$0{,}1781 = 1/5{,}615$ — перевод кубических футов в баррели.

Аналогия: остывающая пластина

Положите кусок льда на край тёплой металлической пластины. Небольшая пластина остынет почти сразу и целиком — так ведёт себя малый водоносный горизонт. Большая будет остывать долго: холод расходится от края постепенно, и дальний конец ещё тёплый, когда ближний уже холодный, — это нестационарный горизонт. Если же дальний край лежит на горячей плите, через пластину установится постоянный поток тепла — так работает горизонт с питанием на границе. Сравнение точное: остывание и снижение давления описывает одно и то же уравнение (Уравнение пьезопроводности); только вместо тепла из горизонта уходит вода.

Модель малого водоносного горизонта

Если горизонт невелик и хорошо проницаем, снижение давления проходит его быстро — за время, малое по сравнению с промежутками между замерами давления в залежи. Тогда можно считать, что давление во всём горизонте в каждый момент равно давлению на контакте. Это модель малого водоносного горизонта, или «бака» (pot aquifer).

Приток из малого водоносного горизонта

W_e = (c_w + c_f)\,W\,(p_i - p)

где:

$W_e$ накопленный приток воды в пластовых условиях, м³
$W$ поровый объём водоносного горизонта, м³
$c_w + c_f$ сжимаемость воды и пор горизонта, 1/МПа
$p_i,\ p$ начальное и текущее давление на контакте, МПа

Единицы: м³, МПа, 1/МПа (или баррели, psi и 1/psi)

Справедливо, если

давление во всём горизонте равно давлению на контакте: горизонт выравнивается быстрее, чем меняется давление в залежи;
питания извне нет;
давление на контакте принимают равным среднему давлению залежи.

Приток зависит только от снижения давления: горизонт откликается мгновенно, и времени в модели нет. В материальном балансе он выглядит ещё одним упругим слагаемым, $F = N(E_o + E_{fw}) + (c_w + c_f)W\Delta p$ , — то есть просто увеличивает сжимаемость залежи (Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи).

Расчётный примерМалый водоносный горизонт и отбор до давления насыщения

Исходные данные (условные)

Нефтяная часть: залежь уроков Естественные режимы работы залежей и Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи: поровый объём 16,0 млн м³ при толщине 10 м и пористости 0,20, то есть радиус $r_o = 1596$ м; запасы 9,06 млн м³; начальное давление 30 МПа, давление насыщения 18 МПа
Свойства: $B_{oi} = 1{,}3243$ и $B_{ob} = 1{,}35$ м³/м³; $(c_wS_w + c_f)/(1 - S_w) = 1{,}2167\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Водоносный горизонт: кольцо той же толщины и пористости вокруг всей залежи ( $f = 1$ ), внешний радиус 3,2 км; $c_w + c_f = (0{,}45 + 0{,}8)\cdot10^{-3} = 1{,}25\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹

Решение

Поровый объём горизонта: $W = \pi\cdot(3200^2 - 1596^2)\cdot10\cdot0{,}20 = 48{,}3$ млн м³ — в 3,0 раза больше порового объёма залежи.
Упругий запас на мегапаскаль: $(c_w + c_f)\,W = 1{,}25\cdot10^{-3}\cdot48{,}3\cdot10^6 = 60{,}4$ тыс. м³/МПа. Для сравнения: сама залежь до давления насыщения высвобождает в среднем 34,0 тыс. м³/МПа (следующий шаг).
Снижение давления до давления насыщения, $\Delta p = 12$ МПа. Расширение залежи: $E_o = 1{,}35 - 1{,}3243 = 0{,}0257$ ; $E_{fw} = 1{,}3243\cdot1{,}2167\cdot10^{-3}\cdot12 = 0{,}01933$ ; $N(E_o + E_{fw}) = 9{,}06\cdot10^6\cdot0{,}04503 = 408{,}0$ тыс. м³. Приток из горизонта: $W_e = 60{,}4\cdot12 = 725{,}1$ тыс. м³.
Отбор до давления насыщения ( $N_pB_{ob}$ равен сумме расширения и притока): без горизонта $N_p = 408{,}0/1{,}35 = 302$ тыс. м³ (3,3 % запасов); с горизонтом $N_p = (408{,}0 + 725{,}1)/1{,}35 = 839$ тыс. м³ (9,3 %).

Ответ: Горизонт, лишь втрое больший залежи, увеличивает отбор до давления насыщения в 2,8 раза — с 302 до 839 тыс. м³.

Что это значит. Горизонт дал энергии почти вдвое больше, чем сама залежь: на единицу объёма пор он менее упруг — в нём нет нефти, которая сжимается сильнее воды, — зато объём его пор втрое больше. Результат верен, если горизонт выравнивается быстрее, чем падает давление в залежи. Для этого горизонта снижение давления доходит до внешней границы примерно за две недели (пример в разделе о полустационарной и нестационарной моделях), и при отборе в течение нескольких лет допущение выполняется. Для горизонта в десятки раз больше это уже не так. Данные примера условные.

Выше давления насыщения малый горизонт не виден в балансе

И расширение недонасыщенной нефти, воды и пор, и приток из малого горизонта пропорциональны снижению давления. Поэтому по истории давления и добычи такой горизонт не отличить от более крупной замкнутой залежи: кажущиеся запасы будут постоянными, но завышенными — в примере выше почти втрое (Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха)). Ниже давления насыщения расширение нефти с газом растёт быстрее снижения давления, и различие проявляется.

Почему приток отстаёт от давления

Модель малого горизонта предполагает, что снижение давления мгновенно охватывает весь горизонт. На самом деле оно распространяется от контакта постепенно — так же, как вокруг пущенной скважины (Режимы фильтрации). Течение воды в горизонте описывает уравнение пьезопроводности, в котором роль скважины играет залежь: внутренняя граница — контакт на радиусе $r_o$ , внешняя — граница горизонта на радиусе $r_a$ (Уравнение пьезопроводности).

Пока снижение давления не дошло до внешней границы, горизонт ведёт себя как бесконечный: приток дают лишь ближние к залежи части, и он растёт со временем всё медленнее. Когда дошло, дальнейшее зависит от границы. Замкнутый горизонт начинает истощаться целиком — давление в нём падает всюду почти с одной скоростью, это псевдоустановившийся режим (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы). Горизонт с питанием на границе выходит на установившийся режим: при постоянном снижении давления на контакте приток идёт с постоянной скоростью.

Безразмерное время водоносного горизонта и время выхода на его границу

t_D = \frac{\eta\,t}{r_o^2} = \frac{k\,t}{\phi\,\mu_w\,c_t\,r_o^2},\qquad t_a \approx \frac{(r_a - r_o)^2}{4\eta}

где:

$t_D$ безразмерное время горизонта, —
$t$ время от начала снижения давления на контакте, с
$\eta$ пьезопроводность горизонта, $k/(\phi\mu_wc_t)$ , м²/с
$k,\ \phi$ проницаемость и пористость горизонта, м², —
$\mu_w$ вязкость пластовой воды, Па·с
$c_t$ общая сжимаемость горизонта, $c_w + c_f$ , 1/Па
$r_o,\ r_a$ радиус залежи и внешний радиус горизонта, м
$t_a$ время, за которое радиус исследования $\sqrt{4\eta t}$ проходит от контакта до внешней границы, с

Единицы: СИ

Справедливо, если

однородный горизонт постоянной толщины, радиальная геометрия;
$t_a$ — оценка порядка величины: заметное снижение давления у границы начинается раньше, а выравнивание всего горизонта наступает в несколько раз позже.

Безразмерное время — «часы» горизонта: при одинаковом отношении $r_a/r_o$ одинаковым $t_D$ отвечает одинаковая доля отданного запаса. Время выхода на границу растёт как квадрат расстояния от контакта до границы: вдвое дальше — вчетверо дольше.

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\frac{k\,t}{\phi\,\mu_w\,c_t\,r_o^2}

$k$ — мД, $t$ — ч, $\mu_w$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $r_o$ — м. При времени в сутках множитель в 24 раза больше — 0,0853.

Тот же множитель, что у пьезопроводности в уроке Уравнение пьезопроводности: перевод мД → м², часов → секунды, мПа·с → Па·с и 1/МПа → 1/Па.

Промысловые единицы (oilfield)

t_D = 2{,}637\cdot10^{-4}\,\frac{k\,t}{\phi\,\mu_w\,c_t\,r_o^2}

$k$ — мД, $t$ — ч, $\mu_w$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $r_o$ — ft.

РасчётРасчётное снижение давления в большом водоносном горизонте (внешний радиус 16 км, замкнут) в долях снижения на контакте, через 0,1; 1; 3; 10 и 30 лет после того, как давление на контакте снизилось и дальше не менялось. Горизонт и залежь — из примеров урока; расчёт по уравнению пьезопроводности.

Рисунок показывает, почему приток отстаёт от давления. Через месяц с небольшим снижение давления заметно лишь в кольце шириной около трёх километров у контакта: воду отдаёт только эта часть горизонта. Через год оно доходит до 10 км, но вдали составляет лишь проценты от снижения на контакте; через три года достигает границы. Весь упругий запас горизонт отдаст, лишь когда давление в нём всюду сравняется с давлением на контакте, а для большого горизонта это десятилетия.

Стационарная модель

Если давление на внешней границе горизонта поддерживается постоянным — горизонт сообщается с областью питания или с огромной высокопроницаемой толщей, — после короткого переходного периода течение воды в горизонте становится установившимся. Тогда по закону Дарси темп притока пропорционален разности давлений на границе и на контакте, то есть снижению давления на контакте. Это стационарная модель (steady-state aquifer model), которую предложил Р. Шилтуис в 1936 году.

Стационарная модель притока воды

\frac{\dd W_e}{\dd t} = J_a\,(p_i - p),\qquad W_e = J_a\int_0^t (p_i - p)\dd t

где:

$\dd W_e/\dd t$ темп притока воды в пластовых условиях, м³/сут
$J_a$ коэффициент продуктивности водоносного горизонта (постоянная притока), м³/(сут·МПа)
$p_i,\ p$ начальное и текущее давление на контакте, МПа
$t$ время, сут
$W_e$ накопленный приток, м³

Единицы: м³ в пластовых условиях, сутки, МПа; в промысловых единицах — баррели в сутки на psi

Справедливо, если

давление на внешней границе горизонта постоянно и равно начальному;
течение в горизонте установившееся: переходный период короток по сравнению с историей разработки;
давление на контакте принимают равным среднему давлению залежи.

Приток копится всё время, пока давление на контакте снижено: при постоянном снижении он растёт линейно и неограниченно. Давление в залежи стабилизируется, когда темп притока сравняется с пластовым объёмом отбора в сутки (предельный отбор). Интеграл по замерам давления считают по трапециям, как в уроке Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха).

Коэффициент продуктивности радиального водоносного горизонта (установившееся течение)

J_a = \frac{2\pi\,f\,k\,h}{\mu_w\,\ln(r_a/r_o)}

где:

$J_a$ коэффициент продуктивности горизонта, м³/(с·Па)
$f$ доля периметра залежи, к которой примыкает горизонт, —
$k,\ h$ проницаемость и толщина горизонта, м², м
$\mu_w$ вязкость пластовой воды, Па·с
$r_a$ радиус, на котором давление постоянно (граница питания), м
$r_o$ радиус залежи, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

радиальный горизонт постоянной толщины и проницаемости;
давление на радиусе $r_a$ постоянно; течение установившееся и однофазное.

Это формула радиального притока Дюпюи (радиальный приток к скважине), в которой роль скважины играет залежь. От расстояния до границы питания коэффициент зависит слабо — через логарифм; главное — проводимость горизонта $kh/\mu_w$ и доля периметра $f$ .

В других системах единиц (2)

Метрические промысловые единицы

J_a\,[\text{м}^3/(\text{сут}\cdot\text{МПа})] = \frac{0{,}536\,f\,k\,h}{\mu_w\ln(r_a/r_o)}

$k$ — мД, $h$ — м, $\mu_w$ — мПа·с.

$0{,}536 = 2\pi\cdot0{,}0853$ — та же постоянная, что в формуле радиального притока урока Проницаемость горных пород.

Промысловые единицы (oilfield)

J_a\,[\text{bbl}/(\text{d}\cdot\text{psi})] = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,f\,k\,h}{\mu_w\ln(r_a/r_o)}

$k$ — мД, $h$ — ft, $\mu_w$ — сП; $J_a$ — пластовые баррели в сутки на psi.

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3}$ .

Расчётный примерКоэффициент продуктивности горизонта и приток за четыре года

Исходные данные (условные)

Залежь: нефтяная часть урока Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи, радиус 1596 м; давление на контакте — 27,0; 25,0; 23,8 и 23,0 МПа в конце первого — четвёртого года при начальном 30 МПа
Водоносный горизонт: примыкает к половине периметра ( $f = 0{,}5$ ); толщина 10 м, проницаемость 50 мД, вязкость воды 0,4 мПа·с; на расстоянии 4 км от центра залежи сообщается с высокопроницаемой толщей, давление в которой не меняется

Решение

Коэффициент продуктивности: $\ln(4000/1596) = 0{,}9189$ ; $J_a = 0{,}536\cdot0{,}5\cdot50\cdot10/(0{,}4\cdot0{,}9189) = 364{,}6$ м³/(сут·МПа).
Интеграл снижения давления — по трапециям между ежегодными замерами, год — 365,25 сут: к концу первого — четвёртого года 547,9, 2008,9, 4054,3 и 6464,9 МПа·сут.
Накопленный приток $W_e = J_a\int(p_i - p)\dd t$ : 200, 732, 1478 и 2357 тыс. м³. Темп притока в конце четвёртого года $J_a\cdot7 = 2552$ м³/сут.
Сравнение с балансом: при запасах 9,06 млн м³ на те же даты залежь «требует» 191, 702, 1418 и 2261 тыс. м³ воды (Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи). Модель даёт на 4,2–4,6 % больше.
По той же истории прямая метода Хавлены–Одеха дала коэффициент около 350 м³/(сут·МПа) (Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха)); при той же геометрии ему отвечает проницаемость $50\cdot350/364{,}6 = 48$ мД.

Ответ: Коэффициент продуктивности горизонта — около 365 м³/(сут·МПа); за четыре года горизонт отдал бы 2357 тыс. м³ воды — на 4 % больше, чем требует баланс.

Что это значит. Отличие в несколько процентов меньше, чем неопределённость свойств горизонта: его проницаемость, при почти полном отсутствии скважин, известна в лучшем случае с точностью до десятков процентов. Поэтому коэффициент по свойствам горизонта — проверка правдоподобия, а рабочее значение подбирают по истории. Обратите внимание: за четвёртый год вошло больше воды, чем за первые два вместе, хотя давление за этот год снизилось всего на 0,8 МПа. Приток определяется не скоростью падения давления, а тем, насколько и как долго давление снижено. Данные примера условные.

Если горизонт не питается, а лишь очень велик, давление в нём вдали постепенно снижается, и «расстояние до области постоянного давления» со временем растёт. У. Херст в 1943 году предложил учесть это, заменив в коэффициенте постоянный логарифм на логарифм, растущий со временем: $J_a$ убывает как $1/\ln(at)$ , где постоянную $a$ подбирают по истории. Это промежуточная ступень между стационарной и нестационарной моделями; сегодня её применяют редко.

Коэффициент, подобранный по первым годам

Если горизонт на самом деле замкнут, стационарная модель с коэффициентом, подобранным по первым годам, будет всё больше завышать приток: она «не знает», что упругий запас горизонта конечен. На рисунке в следующем разделе стационарная модель большого горизонта (с коэффициентом, как если бы его граница питалась) к десятому году даёт почти столько же воды, сколько точное решение для замкнутого горизонта, а к двадцатому — уже на треть больше. В координатах метода Хавлены–Одеха это видно по поздним точкам, которые ложатся ниже прямой (Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха)).

Полустационарная и нестационарная модели

Большинство горизонтов не питается извне, но и не мало. Для них нужны модели, которые учитывают и конечный упругий запас, и время его отдачи.

Полустационарная модель (pseudo-steady-state aquifer) представляет горизонт баком за сопротивлением. Давление в «баке» — среднее давление горизонта $\bar p_a$ ; вода поступает в залежь с темпом, пропорциональным разности $\bar p_a - p$ , а сам горизонт при этом истощается по собственному балансу.

Полустационарная модель водоносного горизонта

\frac{\dd W_e}{\dd t} = J\,(\bar p_a - p),\qquad W_e = (c_w + c_f)\,W\,(p_i - \bar p_a)

где:

$\bar p_a$ среднее давление в водоносном горизонте, МПа
$J$ коэффициент продуктивности горизонта при псевдоустановившемся течении, м³/(сут·МПа)
$W,\ c_w + c_f$ поровый объём и сжимаемость горизонта, м³, 1/МПа
$p_i,\ p$ начальное давление и давление на контакте, МПа
$W_e$ накопленный приток, м³

Единицы: м³ в пластовых условиях, сутки, МПа

Справедливо, если

горизонт замкнут; после переходного периода давление в нём падает всюду с одной скоростью;
давление на контакте принимают равным среднему давлению залежи.

При постоянном снижении давления на контакте $\Delta p$ из двух уравнений получается $W_e = (c_w + c_f)W\Delta p\,\big(1 - \e^{-t/\tau}\big)$ с постоянной времени $\tau = (c_w + c_f)W/J$ : горизонт отдаёт свой упругий запас по экспоненте. При очень малом сопротивлении ( $J \to \infty$ ) модель превращается в малый горизонт, при очень большом объёме ( $W \to \infty$ ) — в стационарную. Пошаговый расчёт для меняющегося давления разобран в уроке Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси.

Нестационарная модель (unsteady-state aquifer) не упрощает течение в горизонте, а решает для него уравнение пьезопроводности — то самое, по которому построен рисунок с профилями давления. Решение для одного скачка давления на контакте записывают в безразмерном виде, общем для всех горизонтов.

Приток при постоянном снижении давления на контакте (нестационарная модель)

W_e = U\,\Delta p\,W_D(t_D),\qquad U = 2\pi\,f\,\phi\,c_t\,h\,r_o^2

где:

$U$ постоянная водоносного горизонта (aquifer constant), м³/МПа
$\Delta p$ снижение давления на контакте, постоянное с момента $t = 0$ , МПа
$W_D$ безразмерный приток — функция безразмерного времени $t_D$ и отношения $r_{aD} = r_a/r_o$ , —
$f,\ \phi,\ c_t,\ h,\ r_o$ доля периметра, пористость, сжимаемость $c_w + c_f$ и толщина горизонта, радиус залежи, —, —, 1/МПа, м, м

Единицы: м³, МПа, 1/МПа, м

Справедливо, если

однородный радиальный горизонт; давление на контакте снизилось на $\Delta p$ скачком и дальше не меняется;
для меняющегося давления историю разбивают на ступени и складывают отклики (Принцип суперпозиции).

Вначале $W_D \approx 2\sqrt{t_D/\pi}$ : приток растёт как корень из времени, и вдвое большее время даёт не вдвое больший приток. У замкнутого горизонта $W_D$ стремится к $(r_{aD}^2 - 1)/2$ , и тогда $U\Delta p\,W_D = (c_w + c_f)W\Delta p$ — упругий запас горизонта. Значения $W_D$ находят решением уравнения пьезопроводности; как пользоваться ими для реальной истории давления, разобрано в уроке Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

U\,[\text{bbl/psi}] = 1{,}119\,f\,\phi\,c_t\,h\,r_o^2

$c_t$ — 1/psi, $h$ и $r_o$ — ft.

$1{,}119 = 2\pi/5{,}615$ — перевод кубических футов в баррели.

РасчётДоля упругого запаса, которую отдаёт водоносный горизонт после того, как давление на контакте снизилось и дальше не менялось (время — в логарифмическом масштабе). Сплошные линии — решение уравнения пьезопроводности для малого (3,2 км) и большого (16 км) замкнутых горизонтов урока; штриховые — простые модели: бак (для любого горизонта весь запас сразу) и для большого горизонта полустационарная (сопротивление — по формуле псевдоустановившегося притока, в которой роль скважины играет залежь) и стационарная, как если бы его граница питалась.

Расчётный примерКак быстро горизонт отдаёт упругий запас

Исходные данные (условные)

Горизонты: малый (внешний радиус 3,2 км) и большой (16 км), замкнутые, вокруг всей залежи радиусом 1596 м; толщина 10 м, пористость 0,20
Свойства: проницаемость 50 мД, вязкость воды 0,4 мПа·с, $c_t = c_w + c_f = 1{,}25\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Нагрузка: давление на контакте снизилось на 1 МПа и дальше не меняется

Решение

Пьезопроводность горизонта: $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot50/(0{,}20\cdot0{,}4\cdot1{,}25\cdot10^{-3}) = 1776{,}5$ м²/ч, или 15,6 км² в год. Безразмерное время за год: $t_D = 1776{,}5\cdot8766/1596^2 = 6{,}1$ .
Радиус исследования доходит до внешней границы малого горизонта за $(3200 - 1596)^2/(4\cdot1776{,}5) = 362$ ч, то есть примерно за 15 сут; большого — за 29 198 ч, около 3,3 года.
Упругий запас на 1 МПа: малого горизонта — 60,4 тыс. м³, большого — 1991 тыс. м³.
По решению уравнения пьезопроводности малый горизонт отдаёт 66 % запаса за первый месяц и 95 % за три месяца. Большой за первый год отдаёт 10 % — 209 тыс. м³ вместо 1991 тыс. м³ по модели бака; за 10 лет — 54 %, за 30 лет — 90 %.

Ответ: Малый горизонт выравнивается за месяцы, и для годового баланса его можно считать баком. Большой отдаёт запас десятилетиями: модель бака завысила бы его приток за первый год примерно в 10 раз.

Что это значит. Внешний радиус больше в пять раз, расстояние от контакта до границы — в 9 раз, а время выхода на границу — в 81 раз: оно растёт как квадрат этого расстояния. Поэтому для большого горизонта нужна нестационарная модель; полустационарная годится после первых лет — на рисунке она сближается с точным решением через пять — десять лет. Стационарная модель с подходящим коэффициентом может описать отрезок истории, но у замкнутого горизонта со временем завысит приток. Данные примера условные.

Нестационарная модель — общий случай; остальные — её упрощения для предельных условий. В гидродинамических моделях водоносный горизонт задают либо аналитической моделью, присоединённой к граничным ячейкам (обычно нестационарной в приближении Картера–Трейси или полустационарной), либо дополнительными ячейками сетки с большим поровым объёмом (Построение модели: входные данные и результаты).

Как выбирают модель

Классы моделей водоносного горизонта

Модель: Малый горизонт («бак»)
Главное допущение: давление во всём горизонте равно давлению на контакте
Где уместна: небольшие проницаемые горизонты, выравнивающиеся за недели и месяцы
Параметры: $W$

Модель: Стационарная
Главное допущение: давление на внешней границе постоянно
Где уместна: горизонты с питанием; эмпирически — на ограниченном отрезке истории
Параметры: $J_a$

Модель: Полустационарная
Главное допущение: горизонт истощается как бак за сопротивлением
Где уместна: конечные горизонты после первых лет разработки
Параметры: $W$ , $J$

Модель: Нестационарная
Главное допущение: уравнение пьезопроводности для горизонта
Где уместна: общий случай, прежде всего большие горизонты
Параметры: $U$ , $r_a/r_o$ , $\eta$

Модель	Главное допущение	Где уместна	Параметры
Малый горизонт («бак»)	давление во всём горизонте равно давлению на контакте	небольшие проницаемые горизонты, выравнивающиеся за недели и месяцы	$W$
Стационарная	давление на внешней границе постоянно	горизонты с питанием; эмпирически — на ограниченном отрезке истории	$J_a$
Полустационарная	горизонт истощается как бак за сопротивлением	конечные горизонты после первых лет разработки	$W$ , $J$
Нестационарная	уравнение пьезопроводности для горизонта	общий случай, прежде всего большие горизонты	$U$ , $r_a/r_o$ , $\eta$

Доля периметра $f$ входит во все модели через объём или коэффициент. Если приток мал по сравнению с другими источниками энергии (газовой шапкой, растворённым газом), выбор модели влияет на результат слабо, и обычно хватает стационарной.

Как модель настраивают по истории

1
Получить приток по балансу
При известных запасах — $W_e = F - N(E_o + mE_g + E_{fw})$ на каждую дату (Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи); при неизвестных — вместе с запасами по прямой (Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха)).
2
Начать с простейшей модели
Оценить по геологии размер и проводимость горизонта и время его отклика: быстро выравнивающийся горизонт — бак; горизонт с питанием — стационарная модель; иначе — нестационарная или полустационарная.
3
Подобрать параметры
Так, чтобы модель воспроизводила приток на все даты. Систематическое расхождение означает неверную модель, а не неточный параметр.
4
Проверить правдоподобие
Сравнить подобранные объём и проводимость горизонта с геологическими данными: протяжённостью пласта за контуром, его толщиной и проницаемостью.
5
Обновлять
С каждым новым замером давления: модель, найденная по короткой истории, редко бывает единственной (Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки).

Самая неопределённая часть системы

Объём и проводимость водоносного горизонта почти никогда не измеряют прямо: за контуром нефтеносности скважин мало, и параметры модели восстанавливают косвенно — по геологическому строению района и по тому, как давление в залежи откликается на отбор. Поэтому прогнозы, зависящие от горизонта, проверяют на чувствительность к его модели, а решение о закачке воды часто принимают, не дожидаясь, пока станет ясно, насколько силён естественный приток (Зачем закачивают воду: поддержание давления и вытеснение нефти).

Термины и обозначения

Водоносный горизонт: водонасыщенная часть пласта, гидродинамически связанная с залежью; при снижении давления отдаёт воду в залежь.
Упругий запас горизонта: $(c_w + c_f)W\Delta p$ — наибольший приток при снижении давления на $\Delta p$ во всём горизонте.
Модель малого горизонта: давление во всём горизонте равно давлению на контакте; приток пропорционален снижению давления и не зависит от времени.
Стационарная модель: темп притока пропорционален снижению давления на контакте; давление на внешней границе постоянно.
Полустационарная модель: конечный горизонт как бак за сопротивлением; отдаёт упругий запас по экспоненте.
Нестационарная модель: решение уравнения пьезопроводности для горизонта; приток зависит от всей истории давления.
$J_a$ , $U$ , $f$: коэффициент продуктивности горизонта, постоянная водоносного горизонта и доля периметра залежи, к которой он примыкает.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Водоносный горизонт огромный — значит, давление в залежи не упадёт».

На самом деле

Объём даёт запас энергии, но не скорость её отдачи. Большой горизонт в примере урока за первый год отдаёт лишь десятую часть упругого запаса; если отбор опережает приток, давление падает (Естественные режимы работы залежей).

Неверно

«Приток считают по сжимаемости воды».

На самом деле

Нужна сумма сжимаемостей воды и пор: у сцементированной породы $c_f$ часто больше $c_w$ , и без неё упругий запас занижен почти втрое.

Неверно

«Стационарная модель описала историю — значит, и прогноз будет верным».

На самом деле

Подобранный коэффициент верен для того отрезка, на котором его подбирали. У замкнутого горизонта приток со временем ослабевает, и стационарная модель начинает его завышать.

Неверно

«Модель бака годится для любого горизонта, нужно лишь подобрать объём».

На самом деле

Бак не знает времени: большой горизонт он «разряжает» мгновенно. Объём, подобранный по ранним данным, окажется сильно заниженным и будет расти с каждым новым замером — верный признак того, что горизонт не бак. Сначала проверяют время отклика горизонта.

Подробно: для продвинутых

Экспонента полустационарной модели и её пределы

Из баланса горизонта среднее давление в нём $\bar p_a = p_i - W_e/\big[(c_w + c_f)W\big]$ . Подставим его в уравнение притока при постоянном давлении на контакте $p = p_i - \Delta p$ :

Отклик полустационарного горизонта на постоянное снижение давления

\frac{\dd W_e}{\dd t} = J\left[\Delta p - \frac{W_e}{(c_w + c_f)W}\right]\;\Rightarrow\; W_e = (c_w + c_f)\,W\,\Delta p\left(1 - \e^{-t/\tau}\right),\quad \tau = \frac{(c_w + c_f)\,W}{J}

где:

$\tau$ постоянная времени горизонта, сут
$J$ коэффициент продуктивности горизонта при псевдоустановившемся течении, м³/(сут·МПа)
$W,\ c_w + c_f,\ \Delta p$ поровый объём и сжимаемость горизонта, снижение давления на контакте, м³, 1/МПа, МПа

Единицы: м³, сутки, МПа

Справедливо, если

снижение давления на контакте постоянно; при $t = 0$ горизонт не тронут: $W_e = 0$ .

В начале, при $t \ll \tau$ , $1 - \e^{-t/\tau} \approx t/\tau$ , и $W_e \approx J\Delta p\,t$ — стационарная модель с коэффициентом $J$ . При $t \gg \tau$ приток стремится к упругому запасу — модели бака. Чем больше горизонт и чем меньше его проводимость, тем больше $\tau$ и тем дольше горизонт ведёт себя как стационарный, ещё «не замечая» своей ограниченности. Для большого горизонта урока $\tau$ — около 13 лет.

Связь с другими темами

Естественные режимы работы залежей — водонапорный режим среди других источников пластовой энергии.
Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи — приток воды в общем уравнении баланса и его расчёт по объёмным запасам.
Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха) — совместное определение запасов и параметров горизонта по истории.
Уравнение пьезопроводности — уравнение, которое описывает распространение снижения давления по горизонту.
Режимы фильтрации — неустановившийся, псевдоустановившийся и установившийся режимы — для горизонта так же, как для скважины.
Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста — нестационарная модель для реальной истории давления.
Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси — пошаговые упрощённые модели притока.
Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки — как подбирают размеры и проводимость горизонта по истории.
Материальный баланс газовой залежи — приток воды в газовую залежь и защемлённый газ.

Проверьте себя

1
Что чаще всего обеспечивает приток законтурной воды в залежь?
1. А.Упругое расширение воды горизонта и уменьшение объёма его пор при снижении давления
2. Б.Питание горизонта водой с поверхности
3. В.Капиллярная пропитка
4. Г.Гравитационное опускание воды под залежь
Показать ответ
Правильный ответ: А. Упругое расширение воды горизонта и уменьшение объёма его пор при снижении давления
Питание с поверхности требует, чтобы пласт выходил на поверхность и вода поступала туда с той же скоростью, с какой её отбирают, — это редкость. Обычно горизонт отрезан разломами или выклиниванием, и приток — упругое расширение воды и сжатие пор горизонта: $(c_w + c_f)W\Delta p$ в пределе.
2
Поровый объём горизонта — 200 млн м³, $c_w + c_f = 1{,}2\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹. Каков наибольший приток при снижении давления на 5 МПа, и всегда ли он реализуется?
Показать ответ
$W_{e,\max} = 1{,}2\cdot10^{-3}\cdot200\cdot10^6\cdot5 = 1{,}2$ млн м³. Столько воды горизонт отдаст, только когда снижение давления дойдёт до всех его частей и выровняется. Если горизонт велик или малопроницаем, за годы разработки он отдаст лишь часть запаса — модель бака здесь завышает приток.
3
Стационарная модель, $J_a = 500$ м³/(сут·МПа). Давление на контакте сразу снизилось на 4 МПа и держится так два года (730,5 сут). Сколько воды вошло и каков темп притока? Что изменится, если давление снижалось равномерно от нуля до 4 МПа за те же два года?
Показать ответ
Темп $500\cdot4 = 2000$ м³/сут; приток $500\cdot4\cdot730{,}5 \approx 1{,}46$ млн м³. При равномерном снижении среднее снижение давления за два года — 2 МПа, и приток вдвое меньше, около 0,73 млн м³, хотя конечное давление то же: стационарный приток зависит от всей истории давления.
4
Горизонт в 15 раз больше залежи по радиусу, проницаемость невелика, история разработки — 5 лет. Какую модель выбрать?
1. А.Малый горизонт: он всё равно отдаст весь упругий запас
2. Б.Стационарную с коэффициентом по закону Дарси до внешней границы
3. В.Нестационарную: снижение давления ещё не дошло до границы, и приток зависит от времени
4. Г.Модель не нужна: приток мал
Показать ответ
Правильный ответ: В. Нестационарную: снижение давления ещё не дошло до границы, и приток зависит от времени
Время выхода на границу растёт как квадрат расстояния до неё и обратно пропорционально пьезопроводности; у большого малопроницаемого горизонта это десятилетия. Пока горизонт ведёт себя как бесконечный, приток определяется уравнением пьезопроводности — нужна нестационарная модель. Бак многократно завысит приток, а стационарная модель с границей питания там, где её нет, со временем тоже.
5
Коэффициент стационарной модели подобран по первым пяти годам и хорошо описывает их. Через десять лет приток по модели оказался заметно больше, чем следует из баланса. Почему и как это выглядело бы на графике метода Хавлены–Одеха?
Показать ответ
Горизонт, скорее всего, замкнут: его давление вдали со временем падает, и реальный приток растёт медленнее интеграла снижения давления на контакте. На графике $F/E_t$ от $\int(p_i - p)\dd t/E_t$ поздние точки легли бы ниже прямой, проведённой по ранним. Нужна модель конечного горизонта — полустационарная или нестационарная.

Обновлено: 5 октября 2026 г.