Распределения и достаточность выборки

Кратко о главном

Гистограмма выборки — приближение к плотности вероятности совокупности. Площадь под кривой плотности между двумя значениями — доля породы с такими значениями.
Нормальное распределение задают среднее $\mu$ и стандартное отклонение $\sigma$ : в пределах $\mu \pm \sigma$ лежит 68 % значений, в пределах $\mu \pm 2\sigma$ — 95 %. К нему близки пористость одной породы и погрешности измерений.
Логнормально распределена величина, логарифм которой распределён нормально: проницаемость и вообще всё, что получается перемножением многих факторов. У такого распределения мода меньше медианы, а медиана меньше среднего.
На вероятностном графике нормальное распределение выглядит прямой. Изгибы и изломы выдают неподходящий масштаб или смесь пород.
Стандартная ошибка среднего $s/\sqrt N$ убывает медленно: чтобы уточнить среднее вдвое, нужно вчетверо больше образцов. Для точности ±20 % с вероятностью 95 % нужно около $(10\,C_v)^2$ образцов.
Смещение — систематическая ошибка отбора — от числа образцов не зависит. Образцы только из крепкой, хорошей породы дают точное, но неверное среднее.

Ключевые соотношения

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

стандартизованное значение; доля значений меньше $x$ равна $\Phi(z)$

x_{50} = \e^{\mu},\quad \bar x = \e^{\mu + \sigma^2/2}

медиана и среднее логнормального распределения ( $\mu$ и $\sigma$ — для $\ln x$ )

SE = \dfrac{s}{\sqrt{N}}

стандартная ошибка среднего

\bar x \pm t\,\dfrac{s}{\sqrt{N}}

доверительный интервал среднего; $t \approx 2$ при 95 % и $N > 30$

N_0 = (10\,C_v)^2

число образцов для точности ±20 % (95 %)

P_s = \dfrac{200\,C_v}{\sqrt{N_s}}

точность среднего, %, достигнутая при $N_s$ образцах

Где чаще всего ошибаются

Принимать стандартное отклонение данных за погрешность среднего — или наоборот.
Применять правило «± 2σ» к проницаемости в миллидарси, а не к её логарифму.
Считать P50 ожидаемым значением: у скошенного вправо распределения среднее больше медианы.
Считать сто образцов из одной скважины сотней независимых сведений о пласте.
Думать, что большое число образцов исправляет неудачный отбор.

После урока вы сможете

объяснить, что такое плотность вероятности и функция распределения и как они связаны с гистограммой и накопленной кривой;
описать нормальное и логнормальное распределения, назвать, где каждое встречается в данных о пласте, и находить по ним доли и процентили;
построить вероятностный график и по нему проверить вид распределения, найти медиану и разброс;
вычислить стандартную ошибку и доверительный интервал среднего и отличать их от стандартного отклонения данных;
оценить, сколько образцов нужно для заданной точности среднего и какую точность дают имеющиеся;
распознавать источники смещения выборки и объяснить, почему оно не уменьшается с ростом числа образцов.

От гистограммы к распределению

Гистограмма описывает выборку: сорок образцов, сто, тысячу (как её строят). Если бы образцов становилось всё больше, а классы — всё уже, ступенчатый контур гистограммы превратился бы в плавную кривую. Она описывает уже не выборку, а совокупность и называется плотностью вероятности (probability density function).

Высота кривой плотности сама вероятностью не является. Вероятность — это площадь под кривой: доля значений между $a$ и $b$ равна площади над отрезком от $a$ до $b$ , а вся площадь под кривой равна единице. Вероятность здесь — число от 0 (невозможно) до 1 (достоверно); для породы её удобно понимать как долю объёма с такими свойствами.

Накопленной кривой выборки соответствует функция распределения (cumulative distribution function) $F(x)$ — вероятность того, что величина не превысит $x$ . Она растёт от 0 до 1. Вероятность превышения равна $1 - F(x)$ ; именно её имеют в виду, когда оценку запасов называют P90.

Выборка и совокупность: что чему соответствует

По выборке (оценка): гистограмма
У совокупности (параметр): плотность вероятности $f(x)$

По выборке (оценка): накопленная кривая
У совокупности (параметр): функция распределения $F(x)$

По выборке (оценка): среднее $\bar x$
У совокупности (параметр): среднее $\mu$

По выборке (оценка): стандартное отклонение $s$
У совокупности (параметр): стандартное отклонение $\sigma$

По выборке (оценка)	У совокупности (параметр)
гистограмма	плотность вероятности $f(x)$
накопленная кривая	функция распределения $F(x)$
среднее $\bar x$	среднее $\mu$
стандартное отклонение $s$	стандартное отклонение $\sigma$

Функцией распределения пользуются и в обратную сторону: по заданной вероятности находят значение — квантиль. На этом построен метод Монте-Карло: случайное число от 0 до 1 принимают за накопленную вероятность, по функции распределения находят отвечающую ей пористость, толщину или площадь и повторяют так тысячи раз (Вероятностная оценка запасов методом Монте-Карло).

Зачем подбирать кривую, если есть гистограмма

Кривая с двумя параметрами заменяет таблицу из сотен чисел и позволяет сравнивать пласты.
Она описывает «хвосты» — редкие очень малые и очень большие значения, которых в выборке может не оказаться, но которые определяют прорыв воды или вертикальную связность.
Для нормального распределения есть простые и строгие методы: доверительные интервалы, проверка гипотез, регрессия. Данные, не похожие на нормальные, сначала преобразуют — чаще всего логарифмируют.

Нормальное распределение

Нормальное распределение (normal, Gaussian distribution) — симметричная колоколообразная кривая. Оно возникает там, где величина складывается из многих независимых небольших вкладов, ни один из которых не преобладает: случайные погрешности измерений, средние по большому числу образцов.

Плотность нормального распределения

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\left[-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right]

где:

$f(x)$ плотность вероятности, 1/единицы величины
$x$ значение величины, единицы величины
$\mu$ среднее; у нормального распределения оно же медиана и мода, единицы величины
$\sigma$ стандартное отклонение, единицы величины

Единицы: $x$ , $\mu$ и $\sigma$ — в единицах измеряемой величины

Справедливо, если

величина может принимать любые значения, в том числе отрицательные; для пористости или толщины это лишь приближение, пригодное, пока $\mu$ больше примерно $3\sigma$ ;
распределение одновершинное и симметричное.

Кривую полностью задают два числа: $\mu$ сдвигает колокол вдоль оси, $\sigma$ растягивает его. По выборке их оценивают средним арифметическим $\bar x$ и стандартным отклонением $s$ .

Стандартизованное значение

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

где:

$z$ расстояние от среднего в стандартных отклонениях, —
$x$ значение величины, единицы величины
$\mu,\ \sigma$ среднее и стандартное отклонение распределения, единицы величины

Единицы: безразмерное

Справедливо, если

распределение нормальное; тогда $z$ подчиняется стандартному нормальному распределению со средним 0 и отклонением 1.

Любая задача о нормальном распределении сводится к одной кривой: доля значений меньше $x$ равна $\Phi(z)$ — функции стандартного нормального распределения, которую берут из таблиц или вычисляют в электронной таблице. Обратно: значение с накопленной вероятностью $p$ равно $\mu + z_p\sigma$ .

Какая доля значений нормального распределения лежит в интервале

Интервал: $\mu \pm 0{,}674\sigma$
Доля значений: 50 %
Примечание: между квартилями

Интервал: $\mu \pm \sigma$
Доля значений: 68,3 %
Примечание: около двух третей

Интервал: $\mu \pm 1{,}282\sigma$
Доля значений: 80 %
Примечание: между 10-м и 90-м процентилями

Интервал: $\mu \pm 1{,}645\sigma$
Доля значений: 90 %
Примечание: между 5-м и 95-м процентилями

Интервал: $\mu \pm 1{,}960\sigma$
Доля значений: 95 %
Примечание: основа 95-процентных интервалов

Интервал: $\mu \pm 2\sigma$
Доля значений: 95,4 %
Примечание: удобное округление

Интервал: $\mu \pm 3\sigma$
Доля значений: 99,7 %
Примечание: почти все значения

Интервал	Доля значений	Примечание
$\mu \pm 0{,}674\sigma$	50 %	между квартилями
$\mu \pm \sigma$	68,3 %	около двух третей
$\mu \pm 1{,}282\sigma$	80 %	между 10-м и 90-м процентилями
$\mu \pm 1{,}645\sigma$	90 %	между 5-м и 95-м процентилями
$\mu \pm 1{,}960\sigma$	95 %	основа 95-процентных интервалов
$\mu \pm 2\sigma$	95,4 %	удобное округление
$\mu \pm 3\sigma$	99,7 %	почти все значения

РасчётНормальная кривая со средним 19,0 % и стандартным отклонением 3,16 % — параметрами пористости десяти образцов из примера ниже. Тёмная полоса — интервал

\mu \pm \sigma

, светлая —

\mu \pm 2\sigma

В данных о пласте к нормальному распределению близки четыре вида величин.

Пористость одной породы часто близка к нормальной.
Погрешности измерений — давления, глубины, каротажного отсчёта. На этом основана оценка качества адаптации модели: расхождение расчёта и замера сравнивают со стандартным отклонением погрешности замера (целевая функция).
Средние значения распределены почти нормально, даже если сами данные распределены иначе (об этом ниже).
Логарифм проницаемости и логарифмы других величин, которые формируются перемножением факторов.

Нормальная кривая не годится для величин, зажатых между границами (насыщенность или доля коллектора вблизи 0 или 1), и для смесей: если в выборке две породы, у гистограммы две вершины, и описывать их нужно по отдельности.

Расчётный примерДоля породы ниже граничного значения пористости

Исходные данные (условные)

Пористость пласта: близка к нормальной; по десяти образцам $\bar\phi = 19{,}0$ %, $s = 3{,}162$ %
Граничное значение (cut-off): 15 %

Решение

Стандартизуем границу: $z = (15 - 19{,}0)/3{,}162 = -1{,}265$ .
По таблице нормального распределения $\Phi(-1{,}265) = 0{,}103$ : около 10 % породы имеет пористость ниже 15 %.
10-й и 90-й процентили: $19{,}0 - 1{,}282\cdot3{,}162 = 14{,}9$ % и $19{,}0 + 1{,}282\cdot3{,}162 = 23{,}1$ %.

Ответ: Ниже граничного значения — около 10 % породы; 80 % значений лежат между 14,9 и 23,1 %.

Что это значит. В самой выборке ниже 15 % один образец из десяти, но по одному образцу о доле судить нельзя; кривая распределения использует все десять значений сразу. Независимая проверка: по сорока образцам того же пласта 10-й и 90-й процентили получились 14,4 и 23,0 % (пример с гистограммой). Оценка годится, пока распределение действительно близко к нормальному, а образцы представляют весь пласт. Данные примера условные.

Логнормальное распределение

Величина распределена логнормально (log-normal), если нормально распределён её логарифм. Нормальное распределение возникает при сложении многих независимых влияний, логнормальное — при их перемножении: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Логнормально — точно или приближённо — распределены многие величины, с которыми работают геологи и разработчики.

Проницаемость — главный пример: она зависит от произведения факторов (размер зёрен, пористость, сортировка, цементация).
Размеры зёрен и поровых каналов — поэтому в гранулометрии размеры откладывают в логарифмической шкале.
Запасы — результат перемножения объёма пород, доли коллектора, пористости, насыщенности и пересчётного коэффициента (Подсчёт запасов объёмным методом). Даже если каждый сомножитель распределён симметрично, распределение произведения скошено вправо.
Размеры залежей в нефтегазоносном бассейне — приближённо: мелких много, крупных мало.

Медиана, среднее и мода логнормального распределения

x_{50} = \e^{\mu}, \qquad \bar x = \e^{\mu + \sigma^2/2}, \qquad x_{\text{мод}} = \e^{\mu - \sigma^2}

где:

$\mu$ среднее натурального логарифма величины, —
$\sigma$ стандартное отклонение натурального логарифма величины, —
$x_{50}$ медиана; она же среднее геометрическое, единицы величины
$\bar x$ среднее арифметическое, единицы величины
$x_{\text{мод}}$ мода — наиболее вероятное значение, единицы величины

Единицы: $x$ — в единицах величины (например, мД); $\mu$ и $\sigma$ относятся к $\ln x$ и безразмерны

Справедливо, если

логарифм величины распределён нормально;
$\mu$ и $\sigma$ вычислены по натуральным логарифмам. Для десятичных: $\mu_{\ln} = 2{,}303\,\mu_{\lg}$ , $\sigma_{\ln} = 2{,}303\,\sigma_{\lg}$ .

Всегда мода меньше медианы, а медиана меньше среднего, и разрыв между ними растёт с $\sigma$ . При $\sigma = 1$ среднее в $\e^{0{,}5} \approx 1{,}65$ раза больше медианы, а мода в $\e \approx 2{,}7$ раза меньше её. По выборке $\mu$ и $\sigma$ оценивают средним и стандартным отклонением логарифмов.

Процентили и коэффициент вариации логнормального распределения

x_p = \e^{\mu + z_p\sigma}, \qquad C_v = \sqrt{\e^{\sigma^2} - 1}

где:

$x_p$ значение, ниже которого лежит доля $p$ значений, единицы величины
$z_p$ квантиль стандартного нормального распределения: −1,282 для 10 %, 0 для 50 %, +1,282 для 90 %, —
$C_v$ коэффициент вариации самой величины (не её логарифма), —
$\mu,\ \sigma$ среднее и стандартное отклонение натурального логарифма, —

Единицы: $x_p$ — в единицах величины; остальное безразмерно

Справедливо, если

логарифм величины распределён нормально.

Процентили расположены симметрично не по разности, а по отношению: 90-й во столько же раз больше медианы, во сколько 10-й меньше её, — в $\e^{1{,}282\sigma}$ раз. Коэффициент вариации зависит только от $\sigma$ .

РасчётЛогнормальная кривая с параметрами проницаемости десяти образцов из примера ниже (

\mu = 4{,}116

\sigma = 1{,}041

для натурального логарифма проницаемости в мД). Мода, медиана и среднее различаются в разы.

Расчётный примерЛогнормальная модель проницаемости по десяти образцам

Исходные данные (условные)

Натуральные логарифмы проницаемости (мД) десяти образцов: среднее $m = 4{,}1155$ , стандартное отклонение $s = 1{,}041$
По самим образцам: среднее арифметическое 100 мД, медиана 60 мД

Решение

Медиана: $\e^{4{,}1155} = 61{,}3$ мД.
Среднее: показатель $4{,}1155 + 1{,}041^2/2 = 4{,}657$ ; $\e^{4{,}657} = 105$ мД.
Мода: показатель $4{,}1155 - 1{,}041^2 = 3{,}032$ ; $\e^{3{,}032} = 20{,}7$ мД.
10-й и 90-й процентили: $\e^{4{,}1155 - 1{,}282\cdot1{,}041} = 16{,}1$ мД и $\e^{4{,}1155 + 1{,}282\cdot1{,}041} = 233$ мД; их отношение — около 14.
Доля породы с проницаемостью ниже 10 мД: $z = (\ln 10 - 4{,}1155)/1{,}041 = -1{,}74$ , $\Phi(z) = 0{,}041$ — около 4 %.

Ответ: Медиана 61,3 мД, среднее 105 мД, мода 20,7 мД; 80 % значений — от 16,1 до 233 мД.

Что это значит. Модель согласуется с выборкой: медиана 61 против 60 мД, среднее 105 против 100 мД. Наиболее вероятное значение (мода, около 21 мД) впятеро меньше среднего: «чаще всего встречается» и «в среднем» для такой породы — совсем разные числа. Десятая часть породы хуже 16 мД, десятая — лучше 230 мД; именно эти «хвосты» определяют застойные зоны и пути прорыва воды. Данные примера условные.

Вероятностный график: проверка распределения

Гистограмма десяти или двадцати образцов слишком груба, чтобы судить о форме распределения. Надёжнее вероятностный график (probability plot): его ось накопленной вероятности растянута так, что нормальное распределение изображается прямой линией. Раньше для этого печатали специальную вероятностную бумагу, теперь шкалу вычисляют.

Как построить

1
Упорядочить
Расположить $N$ значений по возрастанию и пронумеровать: $i = 1, 2, \dots, N$ .
2
Приписать вероятности
Каждому значению приписать накопленную вероятность $p_i = (i - 0{,}5)/N$ — середину «своей» доли $1/N$ . Встречаются и другие формулы, например $i/(N + 1)$ ; различие заметно только у крайних точек.
3
Найти квантили
Для каждого $p_i$ найти $z_i$ — квантиль стандартного нормального распределения (по таблице или функцией электронной таблицы).
4
Построить
Отложить значения против $z_i$ : сами значения — для проверки на нормальность, значения на логарифмической оси — на логнормальность.
5
Прочитать
Если точки ложатся на прямую, распределение подходит. Значение при $z = 0$ — медиана; изменение на единицу $z$ — стандартное отклонение.

Данные для вероятностного графика проницаемости десяти образцов (условные данные)

$i$: 1
$k_i$ , мД: 12
$p_i$: 0,05
$z_i$: −1,645

$i$: 2
$k_i$ , мД: 20
$p_i$: 0,15
$z_i$: −1,036

$i$: 3
$k_i$ , мД: 30
$p_i$: 0,25
$z_i$: −0,674

$i$: 4
$k_i$ , мД: 40
$p_i$: 0,35
$z_i$: −0,385

$i$: 5
$k_i$ , мД: 55
$p_i$: 0,45
$z_i$: −0,126

$i$: 6
$k_i$ , мД: 65
$p_i$: 0,55
$z_i$: 0,126

$i$: 7
$k_i$ , мД: 90
$p_i$: 0,65
$z_i$: 0,385

$i$: 8
$k_i$ , мД: 120
$p_i$: 0,75
$z_i$: 0,674

$i$: 9
$k_i$ , мД: 168
$p_i$: 0,85
$z_i$: 1,036

$i$: 10
$k_i$ , мД: 400
$p_i$: 0,95
$z_i$: 1,645

$i$	$k_i$ , мД	$p_i$	$z_i$
1	12	0,05	−1,645
2	20	0,15	−1,036
3	30	0,25	−0,674
4	40	0,35	−0,385
5	55	0,45	−0,126
6	65	0,55	0,126
7	90	0,65	0,385
8	120	0,75	0,674
9	168	0,85	1,036
10	400	0,95	1,645

Расчётный примерВероятностный график проницаемости десяти образцов

Исходные данные (условные)

Проницаемость по возрастанию, мД: 12; 20; 30; 40; 55; 65; 90; 120; 168; 400
Среднее и отклонение логарифмов: $m = 4{,}1155$ , $s = 1{,}041$

Решение

Вероятности $p_i = (i - 0{,}5)/10$ : 0,05; 0,15; 0,25 и так далее до 0,95.
Квантили для первой половины ряда: −1,645; −1,036; −0,674; −0,385; −0,126; для второй половины — те же числа с плюсом в обратном порядке.
Прямая, отвечающая среднему и отклонению логарифмов: $\ln k = 4{,}1155 + 1{,}041\,z$ . При $z = 0$ она даёт 61 мД, при $z = -1$ — 22 мД, при $z = +1$ — 174 мД.
Сильнее всех от прямой отклоняется самый проницаемый образец: он в 1,2 раза выше неё. Остальные девять точек лежат в пределах 9 % от прямой.

Ответ: Точки ложатся на прямую: логнормальное распределение подходит. Медиана 61 мД; интервал «плюс-минус одно отклонение» — от 22 до 174 мД.

Что это значит. На обычной, не логарифмической оси те же точки легли бы на крутую дугу — признак того, что для самой проницаемости нормальное распределение не годится. Десяти точек мало, чтобы уверенно различать близкие распределения, но достаточно, чтобы отвергнуть заведомо неподходящее. Данные примера условные.

РасчётВероятностный график проницаемости десяти образцов: логарифмическая ось значений и ось накопленной доли, размеченная по нормальному распределению. Прямая проведена по среднему и стандартному отклонению логарифмов; штриховые линии отмечают медиану и значения на одно стандартное отклонение ниже и выше неё.

Отклонения точек от прямой тоже несут информацию.

Плавный изгиб по всей длине — масштаб выбран неверно: например, проницаемость отложена без логарифма.
Излом, две прямые с разным наклоном — в выборке смешаны две совокупности: две породы, матрица и трещины. Их разделяют и описывают по отдельности.
Горизонтальная «полка» на краю — значения обрезаны пределом измерения прибора.
Одна-две точки в стороне на краях — возможные выбросы. Прежде чем отбрасывать, проверяют образец и замер; крайние точки вообще наименее надёжны.

Насколько точно известно среднее

Среднее по образцам — оценка. Если бы мы взяли другие десять образцов из того же пласта, среднее получилось бы другим. Вопрос в том, как далеко такие средние разбросаны вокруг истинного.

Ответ даёт центральная предельная теорема (central limit theorem): средние по независимым выборкам объёмом $N$ распределены приблизительно нормально вокруг истинного среднего $\mu$ — тем теснее, чем больше $N$ , и почти при любом распределении самих данных. Стандартное отклонение таких средних называют стандартной ошибкой (standard error, SE).

Стандартная ошибка среднего

SE = \frac{s}{\sqrt{N}}

где:

$SE$ стандартная ошибка среднего, единицы величины
$s$ стандартное отклонение данных, единицы величины
$N$ число независимых измерений, —

Единицы: те же, что у измеряемой величины

Справедливо, если

измерения независимы: значение одного образца не предсказывает значение другого;
выборка представительна: каждая часть совокупности имела равные шансы попасть в неё;
для сильно скошенных данных нормальное приближение для среднего работает только при десятках образцов.

Стандартное отклонение $s$ описывает разброс данных и с ростом числа образцов не убывает. Стандартная ошибка описывает неопределённость среднего и убывает как $1/\sqrt N$ : чтобы уменьшить её вдвое, образцов нужно вчетверо больше.

Доверительный интервал среднего

\bar x - t\,\frac{s}{\sqrt{N}} \;\le\; \mu \;\le\; \bar x + t\,\frac{s}{\sqrt{N}}

где:

$\mu$ истинное среднее совокупности, единицы величины
$\bar x$ среднее по выборке, единицы величины
$t$ коэффициент Стьюдента для выбранной доверительной вероятности и $N - 1$ степеней свободы, —
$s,\ N$ стандартное отклонение данных и число измерений, единицы величины, —

Единицы: те же, что у измеряемой величины

Справедливо, если

те же, что для стандартной ошибки;
данные распределены приблизительно нормально или образцов достаточно много;
доверительная вероятность 95 % означает: из ста интервалов, построенных так по разным выборкам, около 95 накроют истинное среднее.

При большом числе образцов и вероятности 95 % коэффициент $t$ близок к 2 (точнее, к 1,96). При малом числе он больше, потому что само $s$ оценено неточно.

Коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности 95 %

Число образцов $N$: 5
$t$: 2,78

Число образцов $N$: 10
$t$: 2,26

Число образцов $N$: 15
$t$: 2,14

Число образцов $N$: 20
$t$: 2,09

Число образцов $N$: 30
$t$: 2,05

Число образцов $N$: 60
$t$: 2,00

Число образцов $N$: очень много
$t$: 1,96

Число образцов $N$	$t$
5	2,78
10	2,26
15	2,14
20	2,09
30	2,05
60	2,00
очень много	1,96

Двусторонний интервал, $N - 1$ степеней свободы.

Расчётный примерДоверительный интервал средней пористости и средней проницаемости

Исходные данные (условные)

Пористость, 10 образцов: $\bar\phi = 19{,}0$ %, $s = 3{,}162$ %
Проницаемость, те же образцы: $\bar k = 100$ мД, $s = 116$ мД
Коэффициент Стьюдента: $t = 2{,}262$ (95 %, 9 степеней свободы)

Решение

Пористость: $SE = 3{,}162/\sqrt{10} = 1{,}00$ %. Полуширина интервала: $2{,}262\cdot1{,}00 = 2{,}26$ %.
Интервал для средней пористости — от 16,7 до 21,3 %, то есть ±12 % от самого среднего.
Проницаемость: $SE = 116/\sqrt{10} = 36{,}7$ мД. Полуширина: $2{,}262\cdot36{,}7 = 83$ мД — это ±83 % от среднего.

Ответ: Средняя пористость

19{,}0 \pm 2{,}26

%; средняя проницаемость

100 \pm 83

мД.

Что это значит. Одни и те же десять образцов определяют среднюю пористость с точностью около 12 %, а среднюю проницаемость — лишь с точностью ±83 %. Причём для проницаемости формальный интервал (от 17 до 183 мД) ещё и ненадёжен: при таком скошенном распределении среднее по десяти образцам распределено не нормально. Среднюю пористость интервала по этим образцам оценить можно; среднюю проницаемость — практически нет. Данные примера условные.

Сколько образцов достаточно

Формулу доверительного интервала можно обратить: задать желаемую точность и найти число образцов. Точность удобно задавать допуском $P$ в процентах от среднего: «среднее по образцам отличается от истинного не более чем на $P$ % с вероятностью 95 %».

Необходимое число образцов для заданной точности среднего

N_0 = \left(\frac{100\,t\,C_v}{P}\right)^2

где:

$N_0$ необходимое число образцов; результат округляют вверх, —
$t$ коэффициент Стьюдента; около 2 при вероятности 95 % и числе образцов больше тридцати, —
$C_v$ коэффициент вариации $s/\bar x$ , —
$P$ допуск — допустимое отклонение среднего по образцам от истинного, % от среднего

Единицы: $P$ — в процентах; остальные величины безразмерны

Справедливо, если

оценивается среднее арифметическое;
измерения независимы, выборка представительна;
образцов достаточно, чтобы среднее было распределено приблизительно нормально;
$C_v$ известен хотя бы приближённо — по пробной серии измерений или по аналогии с похожими породами.

Формула получается из условия, что полуширина доверительного интервала $t\,s/\sqrt{N_0}$ равна допуску $P\,\bar x/100$ . Число образцов растёт как квадрат коэффициента вариации и как квадрат обратного допуска: вдвое более неоднородная порода или вдвое более жёсткий допуск требуют вчетверо больше образцов.

Правило для числа образцов: точность среднего ±20 % с вероятностью 95 %

N_0 = (10\,C_v)^2, \qquad P_s = \frac{200\,C_v}{\sqrt{N_s}}

где:

$N_0$ число образцов для допуска ±20 %, —
$C_v$ коэффициент вариации, —
$N_s$ фактическое число образцов, —
$P_s$ точность среднего, достигнутая при $N_s$ образцах, %

Единицы: $P_s$ — в процентах от среднего

Справедливо, если

$t = 2$ : вероятность 95 %, число образцов больше тридцати;
первая формула относится к допуску 20 %, вторая — к любому числу образцов при $t = 2$ ;
для очень неоднородных пород ( $C_v$ заметно больше 1, например сложные карбонаты) допуск ±20 % часто недостижим; тогда принимают ±50 %, и $N_0 = (4\,C_v)^2$ .

Правило позволяет за минуту ответить на два вопроса: сколько измерений нужно и чего стоят имеющиеся. Оно получено и проверено главным образом для проницаемости.

Число образцов для разных пород и допусков

$C_v$: 0,2
±50 %: 1
±20 %: 4
±10 %: 16

$C_v$: 0,5
±50 %: 4
±20 %: 25
±10 %: 100

$C_v$: 1,0
±50 %: 16
±20 %: 100
±10 %: 400

$C_v$: 1,5
±50 %: 36
±20 %: 225
±10 %: 900

$C_v$: 2,0
±50 %: 64
±20 %: 400
±10 %: 1600

$C_v$: 3,0
±50 %: 144
±20 %: 900
±10 %: 3600

$C_v$	±50 %	±20 %	±10 %
0,2	1	4	16
0,5	4	25	100
1,0	16	100	400
1,5	36	225	900
2,0	64	400	1600
3,0	144	900	3600

Рассчитано при $t = 2$ . Числа меньше 30 занижены: при малых выборках $t$ больше двух, а оценить сам разброс по двум-трём образцам невозможно.

РасчётТочность среднего

P_s = 200\,C_v/\sqrt{N_s}

в зависимости от числа образцов при четырёх значениях коэффициента вариации. Штриховая линия — допуск ±20 %; точки на ней — необходимое число образцов

N_0 = (10\,C_v)^2

Расчётный примерХватает ли десяти образцов

Исходные данные (условные)

Интервал: 3,0 м, 10 образцов через 0,3 м
Коэффициенты вариации: пористость 0,166; проницаемость 1,16

Решение

Пористость: $N_0 = (10\cdot0{,}166)^2 = 2{,}8$ — формально хватило бы 3 образцов. Десяти достаточно с запасом; они дают точность $200\cdot0{,}166/\sqrt{10} = 10{,}5$ %.
Проницаемость: $N_0 = (10\cdot1{,}16)^2 = 134{,}6$ , то есть 135 образцов. Десять образцов дают $200\cdot1{,}16/\sqrt{10} = 73$ %.
Шаг отбора для 135 измерений в интервале 3,0 м: $3{,}0/135 = 0{,}022$ м, или 2,2 см.

Ответ: Для средней пористости десяти образцов хватает (±10,5 %). Для средней проницаемости с допуском ±20 % нужно около 135 измерений — в тринадцать с лишним раз больше.

Что это значит. Шаг в 2 см меньше диаметра самого цилиндрического образца: столько цилиндров из трёх метров керна не выбурить. Плотные измерения проницаемости делают точечным пермеаметром (probe permeameter; его называют также профильным или мини-пермеаметром): наконечник прижимают к поверхности распиленного керна и по расходу газа определяют проницаемость в точке. Замеры быстрые и не разрушают керн, поэтому сотня точек на интервал — посильная программа. Точности ±10,5 и ±73 % получены по правилу с $t = 2$ ; с точным $t = 2{,}26$ для десяти образцов они хуже — ±12 и ±83 %, как в предыдущем примере. Данные примера условные.

Как планировать отбор

1
Пробная серия
Сделать около 25 равномерно распределённых измерений в изучаемом интервале — пласте, пачке, отдельной породе.
2
Оценить разброс
Вычислить $C_v$ . Если он не больше 0,5, двадцати пяти измерений уже достаточно: $(10\cdot0{,}5)^2 = 25$ .
3
Сгустить сеть
Если $C_v$ больше, поставить новые точки между уже сделанными — столько, чтобы общее число измерений достигло $N_0$ . Шаг равномерной сети равен длине интервала, делённой на $N_0$ .
4
Проверить
Пересчитать $C_v$ и достигнутую точность $P_s$ . Если нужное число измерений недостижимо, прямо указать более широкий допуск.

Смещение: когда больше образцов не помогает

Всё сказанное о точности относилось к случайной ошибке: она убывает с ростом числа образцов. Но есть и другая ошибка — смещение (bias), систематическая ошибка отбора. Если образцы взяты не из всей совокупности, а из её удобной части, их среднее сходится к неверному значению — тем увереннее, чем образцов больше.

В данных керна смещение накапливается на каждом шаге — от выбора скважины до измерения в лаборатории.

В каких скважинах отбирают керн. Это разведочные и первые эксплуатационные скважины, обычно в сводовой части залежи. На крыльях и в водоносной зоне керна почти нет, хотя порода там может быть иной: вторичные изменения в нефтенасыщенной и водонасыщенной частях пласта могут идти по-разному.
Что удаётся вынести. Рыхлые, трещиноватые и кавернозные интервалы разрушаются при бурении и подъёме; вынос керна из лучших коллекторов нередко самый низкий.
Из чего выбуривают образцы. Цилиндр получается из крепкой однородной породы. Рыхлый песок рассыпается — теряются самые высокие значения проницаемости; тонкие плотные прослои обходят — теряются самые низкие.
Где сгущают отбор. Продуктивные песчаники опробуют гуще, чем алевролиты и глины. Простое среднее по образцам тогда описывает коллектор, а не разрез в целом.
Условия измерения. Образцы очищены, высушены и разгружены от горного давления, поэтому пористость и особенно проницаемость по керну обычно несколько выше пластовых.
Пределы прибора. Значения ниже и выше диапазона измерения обрезаны.

Расчётный примерГусто в хорошей породе, пусто в лучшей

Исходные данные (условные)

Крепкий чистый песчаник: 40 % толщины пласта; 24 образца; средняя проницаемость 300 мД
Глинистый песчаник: 45 % толщины; 6 образцов; 40 мД
Рыхлый крупнозернистый песок: 15 % толщины; образцы выбурить не удалось; по другим данным около 2000 мД

Решение

Простое среднее по 30 образцам: $(24\cdot300 + 6\cdot40)/30 = 248$ мД.
Среднее по тем же двум породам, но с весом их толщин: $(0{,}40\cdot300 + 0{,}45\cdot40)/0{,}85 = 162$ мД. Простое среднее завышено в 1,5 раза, потому что хороший песчаник опробован гуще.
Среднее по всему пласту, включая рыхлый песок: $0{,}40\cdot300 + 0{,}45\cdot40 + 0{,}15\cdot2000 = 438$ мД.
Если удвоить число образцов при том же способе отбора (48 и 12), простое среднее останется равным 248 мД; уменьшится только его стандартная ошибка.

Ответ: 248 мД по образцам; 162 мД для опробованной части разреза; около 438 мД для пласта в целом.

Что это значит. Смещений два, и направлены они в разные стороны. Первое — неравномерную густоту отбора — исправляют весами: средние по породам умножают на их доли в разрезе, известные по каротажу. Второе — породу, которая в образцы не попала вовсе, — никакими весами не исправить, а здесь 15 % толщины дают 68 % проводимости вдоль напластования. Нужны другие данные: керн, отобранный с сохранением рыхлых интервалов, боковой керн, каротаж, гидродинамические исследования скважин (ГДИС). Данные примера условные.

РасчётДоли трёх пород примера в толщине пласта (по каротажу) и в общем числе образцов керна. Справа — средняя проницаемость породы.

Полностью избавиться от смещения нельзя, но его можно уменьшить и, главное, вовремя заметить.

Описывать весь керн, считать средние по породам и взвешивать их по долям пород в разрезе, взятым с каротажа.
Отмечать интервалы без выноса керна и без образцов и выяснять, чем они сложены.
Сопоставлять керн с каротажем и с результатами ГДИС: систематическое расхождение — признак смещения.
Планировать отбор заранее: равномерная сеть и дополнительные точки в изменчивых прослоях, а не «где удобно выбурить».

Термины и обозначения

Плотность вероятности $f(x)$: кривая, площадь под которой между двумя значениями равна доле совокупности с такими значениями.
Функция распределения $F(x)$: вероятность того, что величина не превысит $x$ ; растёт от 0 до 1.
$\mu$ , $\sigma$: среднее и стандартное отклонение совокупности; для логнормального распределения — логарифма величины.
$z$ , $\Phi(z)$: стандартизованное значение и накопленная вероятность стандартного нормального распределения.
Вероятностный график: график значений против квантилей нормального распределения; нормальные данные ложатся на прямую.
$SE$: стандартная ошибка среднего, $s/\sqrt N$ : мера неопределённости среднего, а не разброса данных.
$t$: коэффициент Стьюдента: число стандартных ошибок в полуширине доверительного интервала; около 2 при вероятности 95 % и большом числе образцов.
$N_0$ , $P_s$: число образцов, необходимое для заданного допуска, и точность среднего, достигнутая при имеющемся числе образцов.
Смещение: систематическое отличие выборки от совокупности; не уменьшается с ростом числа образцов.
$V_{DP}$: коэффициент Дикстры–Парсонса: мера неоднородности проницаемости от 0 до 1, определяемая по вероятностному графику.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Если взять больше образцов, стандартное отклонение уменьшится».

На самом деле

Стандартное отклонение — свойство самих данных: с ростом выборки оно уточняется, но не убывает. Убывает стандартная ошибка среднего, $s/\sqrt N$ .

Неверно

«95-процентный доверительный интервал содержит 95 % образцов».

На самом деле

Он относится к среднему, а не к отдельным значениям: это диапазон, который с вероятностью 95 % накрывает истинное среднее. 95 % отдельных значений нормального распределения занимают гораздо более широкий интервал $\bar x \pm 2s$ .

Неверно

«Образцов много — значит, среднее надёжно».

На самом деле

Число образцов уменьшает только случайную ошибку. Если отбор смещён — керн только из свода, образцы только из крепкой породы, — среднее точно сходится к неверному значению.

Неверно

«Проницаемость распределена нормально, как всё в природе».

На самом деле

Приблизительно нормально распределён её логарифм. В миллидарси распределение резко скошено: мода, медиана и среднее различаются в разы.

Неверно

«P50 — это ожидаемое, то есть среднее, значение».

На самом деле

P50 — медиана. У скошенного вправо распределения среднее больше медианы: у логнормального — в $\e^{\sigma^2/2}$ раз. Для запасов это означает, что ожидаемое значение выше оценки P50.

Подробно: для продвинутых

Коэффициент Дикстры–Парсонса

В нефтяной литературе неоднородность проницаемости часто выражают коэффициентом Дикстры–Парсонса (Dykstra–Parsons coefficient; встречается и написание «Дайкстра»), предложенным в середине XX века для расчётов заводнения слоистых пластов. Он опирается на логнормальное распределение и читается прямо с вероятностного графика.

Коэффициент Дикстры–Парсонса

V_{DP} = \frac{k_{50} - k_{84{,}1}}{k_{50}} = 1 - \e^{-\sigma_{\ln k}}

где:

$V_{DP}$ коэффициент Дикстры–Парсонса, —
$k_{50}$ медиана проницаемости, мД
$k_{84{,}1}$ проницаемость, которую превышают 84,1 % образцов, — на одно стандартное отклонение логарифма ниже медианы, мД
$\sigma_{\ln k}$ стандартное отклонение натурального логарифма проницаемости, —

Единицы: безразмерный, от 0 до 1

Справедливо, если

проницаемость распределена логнормально; для других распределений коэффициент может вводить в заблуждение;
$k_{50}$ и $k_{84{,}1}$ берут по прямой, проведённой через точки вероятностного графика, а не по отдельным образцам;
процент 84,1 отсчитан как доля образцов с большей проницаемостью — это вероятность превышения, а не накопленная доля. На графике с осью накопленной доли, как в этом уроке, $k_{84{,}1}$ читают у отметки 16 % ( $z = -1$ ).

$V_{DP} = 0$ — однородный пласт; чем ближе коэффициент к 1, тем сильнее неоднородность. Вторая форма следует из того, что $k_{84{,}1} = k_{50}\,\e^{-\sigma}$ . Через десятичные логарифмы: $V_{DP} = 1 - 10^{-\sigma_{\lg k}}$ .

Расчётный примерКоэффициент Дикстры–Парсонса по десяти образцам

Исходные данные (условные)

Прямая на вероятностном графике: $\ln k = 4{,}1155 + 1{,}041\,z$

Решение

Медиана: $k_{50} = \e^{4{,}1155} = 61{,}3$ мД. На одно отклонение ниже: $k_{84{,}1} = \e^{4{,}1155 - 1{,}041} = 21{,}6$ мД.
$V_{DP} = (61{,}3 - 21{,}6)/61{,}3 = 0{,}65$ . Проверка: $1 - \e^{-1{,}041} = 0{,}65$ .
Коэффициент вариации той же логнормальной модели: $\sqrt{\e^{1{,}041^2} - 1} = 1{,}40$ . По самим десяти образцам получалось 1,16: в малых выборках из скошенных распределений коэффициент вариации обычно занижен.

Ответ:

V_{DP} \approx 0{,}65

Что это значит. У большинства коллекторов коэффициент лежит между 0,5 и 0,9, так что наш пласт — в умеренной части диапазона. Шкала сжата у верхнего края: значениям $V_{DP}$ 0,6; 0,8 и 0,9 отвечают $\sigma_{\ln k}$ около 0,9; 1,6 и 2,3, то есть пласты различаются гораздо сильнее, чем кажется по самим числам. Как коэффициент используют в расчётах заводнения — в уроке «Неоднородность пласта и осреднение проницаемости». Данные примера условные.

Меры неоднородности логнормального распределения

$\sigma_{\ln k}$: 0,5
Среднее / медиана: 1,13
$C_v$: 0,53
$V_{DP}$: 0,39
$x_{90}/x_{10}$: 3,6

$\sigma_{\ln k}$: 1,0
Среднее / медиана: 1,65
$C_v$: 1,31
$V_{DP}$: 0,63
$x_{90}/x_{10}$: 13

$\sigma_{\ln k}$: 1,5
Среднее / медиана: 3,08
$C_v$: 2,91
$V_{DP}$: 0,78
$x_{90}/x_{10}$: 47

$\sigma_{\ln k}$: 2,0
Среднее / медиана: 7,39
$C_v$: 7,32
$V_{DP}$: 0,86
$x_{90}/x_{10}$: 168

$\sigma_{\ln k}$	Среднее / медиана	$C_v$	$V_{DP}$	$x_{90}/x_{10}$
0,5	1,13	0,53	0,39	3,6
1,0	1,65	1,31	0,63	13
1,5	3,08	2,91	0,78	47
2,0	7,39	7,32	0,86	168

Здесь $x_{10}$ и $x_{90}$ — 10-й и 90-й процентили по накопленной доле. Все четыре меры однозначно связаны с $\sigma_{\ln k}$ , поэтому для логнормальных данных достаточно знать любую из них.

Доверительный интервал для логнормальных данных

Для сильно скошенных данных интервал строят в логарифмах, где распределение близко к нормальному. Получается интервал для среднего логарифма, то есть для геометрического среднего (медианы).

Доверительный интервал геометрического среднего

\exp\left(m - t\,\frac{s_{\ln}}{\sqrt N}\right) \;\le\; x_{50} \;\le\; \exp\left(m + t\,\frac{s_{\ln}}{\sqrt N}\right)

где:

$x_{50}$ медиана (геометрическое среднее) совокупности, единицы величины
$m$ среднее натуральных логарифмов выборки, —
$s_{\ln}$ стандартное отклонение натуральных логарифмов, —
$t,\ N$ коэффициент Стьюдента и число измерений, —

Единицы: границы — в единицах величины

Справедливо, если

величина распределена логнормально;
измерения независимы и представительны.

В обычном масштабе интервал несимметричен, а «в разах» симметричен: оценку умножают и делят на один и тот же множитель $\exp(t\,s_{\ln}/\sqrt N)$ .

Расчётный примерИнтервал для геометрического среднего проницаемости

Исходные данные (условные)

Логарифмы проницаемости десяти образцов: $m = 4{,}1155$ , $s_{\ln} = 1{,}041$
Коэффициент Стьюдента: $t = 2{,}262$

Решение

Полуширина в логарифмах: $2{,}262\cdot1{,}041/\sqrt{10} = 0{,}745$ . Множитель: $\e^{0{,}745} = 2{,}11$ .
Интервал: от $61{,}3/2{,}11 = 29$ мД до $61{,}3\cdot2{,}11 = 129$ мД.

Ответ: С вероятностью 95 % геометрическое среднее лежит между 29 и 129 мД.

Что это значит. Геометрическое среднее по десяти образцам известно с точностью до множителя 2,1. Для среднего арифметического логнормальных данных интервал ещё шире и тоже несимметричен: к неопределённости медианы добавляется неопределённость разброса, от которого среднее зависит через $\e^{\sigma^2/2}$ . Вывод тот же, что и в основном тексте: десятью образцами среднюю проницаемость неоднородного пласта не определить. Данные примера условные.

Зависимые образцы

Формула стандартной ошибки предполагает независимые измерения. В пласте соседние точки похожи: если образец высокопроницаем, то и образец в десяти сантиметрах от него, скорее всего, тоже. Такие измерения отчасти повторяют друг друга, и новых сведений о совокупности в них меньше, чем кажется по их числу.

Стандартная ошибка среднего при зависимых измерениях

SE = \frac{s}{\sqrt{N}}\,\sqrt{1 + (N - 1)\,\bar\rho}, \qquad N_{\text{эф}} = \frac{N}{1 + (N - 1)\,\bar\rho}

где:

$SE$ стандартная ошибка среднего, единицы величины
$\bar\rho$ средний коэффициент корреляции между парами измерений: 0 — независимы, 1 — повторяют друг друга, —
$N_{\text{эф}}$ эффективное число независимых измерений, —
$s,\ N$ стандартное отклонение данных и число измерений, единицы величины, —

Единицы: $SE$ — в единицах измеряемой величины

Справедливо, если

оценивается среднее совокупности более широкой, чем опробованный участок: пласта по одной скважине, залежи по нескольким;
все измерения имеют одинаковую дисперсию, корреляция между ними неотрицательна.

При $\bar\rho = 0$ формула переходит в обычную. При положительной корреляции стандартная ошибка с ростом $N$ не стремится к нулю, а останавливается на уровне $s\sqrt{\bar\rho}$ : сколько бы образцов ни взяли в одной скважине, о пласте в целом они говорят ограниченно.

Расчётный примерЧего стоят десять похожих образцов

Исходные данные (условные)

Число образцов: 10
Средняя корреляция между образцами $\bar\rho$: 0,3

Решение

Эффективное число независимых измерений: $10/(1 + 9\cdot0{,}3) = 2{,}7$ .
Стандартная ошибка больше, чем по формуле для независимых образцов, в $\sqrt{1 + 9\cdot0{,}3} = 1{,}9$ раза.

Ответ: Десять образцов со средней корреляцией 0,3 равноценны 2,7 независимого образца.

Что это значит. Как быстро сходство убывает с расстоянием, описывает вариограмма (Пространственная корреляция и вариограмма). Практический вывод простой: для суждения о пласте в целом число скважин с керном важнее числа образцов в каждой из них. Данные примера условные.

Связь с другими темами

Описательная статистика в геологии — среднее, медиана, три средних для проницаемости, стандартное отклонение и коэффициент вариации — исходный материал этого урока.
Подсчёт запасов объёмным методом — диапазон оценки запасов и почему произведение крайних значений — не вероятностная оценка.
Адаптация модели к истории разработки — погрешность замеров как стандартное отклонение и целевая функция, нормированная на неё.
Проницаемость горных пород — от чего зависит проницаемость и почему керн и исследование скважины дают разные числа.
Пористость — как неравномерный отбор образцов смещает среднюю пористость и запасы.
Лабораторный анализ керна — отбор и подготовка образцов керна — источник большинства смещений.

Проверьте себя

1
Пористость пласта распределена нормально со средним 20 % и стандартным отклонением 3 %. Какая доля породы имеет пористость от 17 до 23 %?
1. А.Около 50 %
2. Б.Около 68 %
3. В.Около 95 %
4. Г.Около 99,7 %
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Около 68 %
Интервал от 17 до 23 % — это среднее плюс-минус одно стандартное отклонение, а в пределах $\mu \pm \sigma$ лежит 68 % значений нормального распределения. 95 % лежит в пределах двух отклонений — от 14 до 26 %.
2
По 25 образцам коэффициент вариации проницаемости равен 0,8. Сколько образцов нужно для точности ±20 % и какую точность дают имеющиеся?
Показать ответ
Нужно $N_0 = (10\cdot0{,}8)^2 = 64$ образца. Имеющиеся 25 дают $P_s = 200\cdot0{,}8/\sqrt{25} = 32$ %: среднее известно с точностью примерно до трети. Чтобы дойти до ±20 %, сеть нужно сгустить в два с половиной раза.
3
На вероятностном графике логарифмов проницаемости точки образуют две прямые с изломом между ними. Что это означает?
1. А.Образцов слишком много
2. Б.В выборке смешаны две породы с разными распределениями
3. В.Нужно вернуться от логарифмов к самим значениям
4. Г.Распределение нормальное
Показать ответ
Правильный ответ: Б. В выборке смешаны две породы с разными распределениями
Одна прямая — одна совокупность с одним средним и одним разбросом. Излом означает смесь двух совокупностей, например двух пород или матрицы и трещин; их нужно разделить и описывать по отдельности. Число образцов на форму графика не влияет.
4
Логарифм проницаемости распределён нормально: $\mu = \ln 50$ , $\sigma = 1{,}2$ (натуральные логарифмы, проницаемость в мД). Найдите медиану и среднее арифметическое.
Показать ответ
Медиана: $\e^{\mu} = 50$ мД. Среднее: $\e^{\mu + \sigma^2/2} = 50\cdot\e^{0{,}72} \approx 103$ мД — вдвое больше медианы. Чем шире разброс, тем дальше среднее уходит от «типичного» значения.
5
Керн отобран только в сводовых скважинах, образцы — только из крепкого песчаника. Число образцов увеличили со 100 до 400. Что изменилось?
1. А.Стандартная ошибка уменьшилась вдвое, смещение осталось прежним
2. Б.Ничего не изменилось
3. В.Смещение уменьшилось вдвое
4. Г.И стандартная ошибка, и смещение уменьшились вдвое
Показать ответ
Правильный ответ: А. Стандартная ошибка уменьшилась вдвое, смещение осталось прежним
Стандартная ошибка убывает как $1/\sqrt N$ : вчетверо больше образцов — вдвое меньше ошибка. Но это точность оценки среднего опробованной породы. Рыхлые прослои и крылья залежи в выборку по-прежнему не попали, и смещение осталось тем же.
6
Средняя пористость по 16 образцам — 18 %, стандартное отклонение — 2 %. Найдите стандартную ошибку и 95-процентный доверительный интервал среднего ( $t = 2{,}13$ ).
Показать ответ
$SE = 2/\sqrt{16} = 0{,}5$ %. Полуширина интервала: $2{,}13\cdot0{,}5 \approx 1{,}1$ %. Истинная средняя пористость с вероятностью 95 % лежит между 16,9 и 19,1 %. Отдельные образцы при этом разбросаны гораздо шире — примерно от 14 до 22 %.

Обновлено: 2 октября 2026 г.