Механика горных пород для гидроразрыва

Кратко о главном

Напряжения в пласте описывают три главных напряжения: вертикальное $\sigma_v$ (вес пород) и горизонтальные $\sigma_H$ и $\sigma_h$ . Трещина раскрывается против наименьшего — обычно $\sigma_h$ — и вытягивается вдоль $\sigma_H$ .
Минимальное горизонтальное напряжение складывается из доли эффективного вертикального, части порового давления и тектонической добавки, пропорциональной жёсткости слоя. Поэтому у разных слоёв оно разное, а модель напряжений калибруют по давлению закрытия трещины.
Стенка скважины концентрирует напряжения: окружное напряжение на ней меняется по окружности от $3\sigma_h - \sigma_H - p_w$ до $3\sigma_H - \sigma_h - p_w$ . Давление разрыва стенки зависит от прочности на растяжение и от того, проникает ли жидкость в породу, поэтому мерой $\sigma_h$ служит не оно, а давление закрытия.
После остановки закачки давление падает от мгновенного давления остановки (ISIP) до давления закрытия; разность — чистое давление в конце закачки. Закрытие находят по отходу записи от прямой в координатах функции $G$ .
Высоту трещины ограничивает контраст напряжений между пластом и барьерами: пока чистое давление заметно меньше контраста, трещина почти не выходит из пласта, а когда приближается к нему, растёт по высоте неудержимо. Истощение пласта снижает в нём $\sigma_h$ и улучшает удержание.

Ключевые соотношения

\sigma_h = \dfrac{\nu}{1-\nu}(\sigma_v - \alpha p_p) + \alpha p_p + \dfrac{E\,(\varepsilon_h + \nu\varepsilon_H)}{1-\nu^2}

пороупругая модель с тектоническими деформациями

\sigma_\theta = \sigma_H + \sigma_h - 2(\sigma_H - \sigma_h)\cos 2\theta - p_w

окружное напряжение на стенке вертикальной скважины; $\theta$ отсчитан от направления $\sigma_H$

p_b = \dfrac{3\sigma_h - \sigma_H + T - A\,p_p}{2 - A},\quad A = \dfrac{\alpha(1-2\nu)}{1-\nu}

давление разрыва стенки, когда жидкость проникает в породу

p_{ISIP} = p_c + p_{net}

мгновенное давление остановки, давление закрытия и чистое давление

h_f = \dfrac{h}{\cos\left(\pi p_{net}/(2\Delta\sigma)\right)}

равновесная высота трещины в пласте толщиной $h$ между барьерами с контрастом $\Delta\sigma$

Где чаще всего ошибаются

Принимать за минимальное напряжение давление разрыва стенки или давление распространения трещины: оба выше давления закрытия.
Считать $\sigma_h$ по одному коэффициенту Пуассона без тектонической добавки и без калибровки по замеру.
Думать, что глина всегда удержит трещину: при тектоническом сжатии жёсткий песчаник несёт больше напряжения, а тонкий барьер трещина прорывает.
Читать давления на устье без пересчёта на забой — без гидростатики, трения в трубах, потерь в перфорации и у ствола.
Забывать, что истощение и закачка меняют напряжения: профиль, измеренный в начале разработки, через годы может стать другим.

После урока вы сможете

описать напряжённое состояние пласта тремя главными напряжениями, оценить минимальное горизонтальное напряжение по пороупругой модели с коэффициентом Био и тектонической деформацией и откалибровать её по замеру;
рассчитать концентрацию напряжений у стенки скважины и давление разрыва стенки без проникновения жидкости в породу и с проникновением;
найти давление закрытия трещины по спаду давления после калибровочной закачки и давление распространения трещины по ступенчатой закачке;
объяснить, что такое чистое давление, как оно связано с шириной трещины и что говорит его поведение во время закачки;
оценить рост трещины по высоте при заданном контрасте напряжений и объяснить, как на него влияют истощение пласта, толщина барьеров и жёсткость слоёв;
предсказать ориентацию трещины в вертикальных, наклонных и горизонтальных скважинах и объяснить, почему важна ориентация перфорации.

Три главных напряжения в пласте

Напряжённое состояние породы в любой точке описывают три главных напряжения (principal stresses) — нормальные напряжения на трёх взаимно перпендикулярных площадках, на которых нет касательных. В спокойном осадочном бассейне одно из них вертикально — это $\sigma_v$ , — а два других горизонтальны: наибольшее $\sigma_H$ и наименьшее $\sigma_h$ . Почему трещина раскрывается против наименьшего напряжения и как по соотношению трёх напряжений различают тектонические режимы, разобрано в уроке Градиент гидроразрыва и испытание на поглощение. Здесь речь о том, откуда берутся их значения и как их измеряют.

Вертикальное напряжение $\sigma_v$: вес вышележащих пород, то есть горное давление. Его находят, интегрируя плотностной каротаж от поверхности (Поровое и горное давление); в среднем это 22–25 кПа на метр глубины, у молодых неуплотнённых осадков и под глубоким морем меньше. Из трёх напряжений оно известно надёжнее всего.
Минимальное горизонтальное напряжение $\sigma_h$: главная величина для гидроразрыва. Его измеряют: это давление закрытия (смыкания) трещины при калибровочной закачке и при расширенном испытании на поглощение. Между замерами его переносят по разрезу с помощью модели, о которой — в следующем разделе.
Максимальное горизонтальное напряжение $\sigma_H$: напрямую не измеряется. Его оценивают по разрушениям стенки скважины — вывалам и трещинам растяжения (раздел о напряжениях у стенки), по давлению повторного раскрытия трещины и по моделям, а сверху его ограничивает прочность разломов (раздел для углублённого изучения).

Направление напряжений узнают по самой скважине. Вывалы стенки (breakouts) — места, где порода разрушилась от сжатия, — вытягивают сечение ствола в направлении $\sigma_h$ . Тонкие трещины растяжения, наведённые бурением, наоборот, ориентированы по $\sigma_H$ . И то и другое видно на скважинных имиджах и по кавернометрии в двух взаимно перпендикулярных плоскостях; направление $\sigma_H$ часто указывает и анизотропия поперечных волн при дипольном акустическом каротаже (Акустический каротаж). В пределах месторождения направление обычно выдержано, поэтому трещины гидроразрыва в соседних скважинах почти параллельны.

Где напряжения ведут себя необычно

Каменная соль течёт как очень вязкая жидкость, поэтому напряжения в ней почти одинаковы во всех направлениях и близки к горному давлению. Соляная покрышка останавливает рост трещины вверх: напряжение в ней на много мегапаскалей выше, чем в пласте под ней.
Размыв. Если часть толщи размыта, вертикальное напряжение уменьшилось, а горизонтальные во многом сохранились — порода «запомнила» прежнюю нагрузку. У поверхности наименьшим может оказаться вертикальное напряжение, и трещины там горизонтальны.
Разломы, складки, соляные купола поворачивают главные напряжения и меняют их величину; в районах активного горообразования главные напряжения бывают наклонены.
Разработка меняет напряжения: истощение снижает горизонтальные напряжения в пласте, закачка воды повышает их ростом давления, а охлаждение породы у нагнетательных скважин — снижает.

Минимальное горизонтальное напряжение: пороупругая модель

Откуда в породе горизонтальное напряжение? Вес вышележащих толщ сжимает слой сверху, и слой стремится расшириться в стороны, как резиновый ластик под пальцем. Соседние породы ему этого не дают и давят на него с боков. В простейшем виде эта идея уже использована в методе Итона (оценка давления гидроразрыва): горизонтальное эффективное напряжение составляет $\nu/(1-\nu)$ от вертикального. Для гидроразрыва этого мало, и модель уточняют двумя добавками.

Коэффициент Био $\alpha$ (Biot coefficient). Поровое давление разгружает скелет не полностью, а лишь на $\alpha p_p$ : в сцементированной породе часть нагрузки передаётся через цемент, на который давление флюида не действует. Для рыхлых пород $\alpha$ близок к единице, для плотных сцементированных песчаников — 0,6–0,9 (откуда берётся коэффициент Био).
Тектоническая деформация. Земная кора не только нагружена весом пород, но и сжата или растянута по горизонтали движениями плит. Эту деформацию задают двумя малыми числами $\varepsilon_h$ и $\varepsilon_H$ — укорочением по направлениям $\sigma_h$ и $\sigma_H$ . Одна и та же деформация создаёт в жёстком слое большее напряжение, чем в мягком: добавка пропорциональна модулю Юнга.

Горизонтальные напряжения пороупругого слоя с тектоническими деформациями

\sigma_h = \frac{\nu}{1-\nu}\left(\sigma_v - \alpha p_p\right) + \alpha p_p + \frac{E}{1-\nu^2}\left(\varepsilon_h + \nu\,\varepsilon_H\right)

где:

$\sigma_h$ минимальное горизонтальное напряжение (полное), МПа
$\sigma_v$ вертикальное напряжение (горное давление), МПа
$p_p$ поровое давление, МПа
$\nu$ статический коэффициент Пуассона слоя, —
$E$ статический модуль Юнга слоя (Young's modulus), МПа
$\alpha$ коэффициент Био, от 0 до 1, —
$\varepsilon_h,\ \varepsilon_H$ тектонические деформации (укорочения) по направлениям $\sigma_h$ и $\sigma_H$ ; положительны при сжатии, —

Единицы: любые одинаковые единицы напряжения и модуля (МПа или psi); деформации безразмерны

Справедливо, если

слой линейно упругий и изотропный, широкий по сравнению с толщиной; вертикальное напряжение — главное;
деформации отсчитаны от состояния, в котором горизонтальные напряжения создавал только вес пород; $\varepsilon_h$ и $\varepsilon_H$ одинаковы для всех слоёв разреза, но напряжения от них в каждом слое свои;
модули статические — измеренные при медленном нагружении керна или пересчитанные из динамических по зависимости, проверенной на керне (Акустический каротаж);
$\sigma_H$ получают той же формулой, поменяв местами $\varepsilon_h$ и $\varepsilon_H$ ; при $\varepsilon_h = \varepsilon_H = 0$ оба горизонтальных напряжения равны, и при $\alpha = 1$ получается формула Итона.

Первые два слагаемых — вклад веса пород: доля $\nu/(1-\nu)$ эффективного вертикального напряжения плюс та часть порового давления, которую несёт флюид. Третье — тектоническая добавка: $E/(1-\nu^2)$ показывает, какое напряжение создаёт в слое единичная деформация при заданном вертикальном напряжении (по вертикали слой деформируется свободно). Деформации нельзя измерить прямо: их подбирают так, чтобы модель совпала с замеренными давлениями закрытия, а отношение $\varepsilon_H/\varepsilon_h$ берут по данным района или по оценкам $\sigma_H$ .

Что меняется, если…

…коэффициент Пуассона выше — $\sigma_h$ выше: у глин он обычно больше, чем у чистых песчаников, отсюда их роль барьеров;
…слой жёстче (больше $E$ ) — тектоническое сжатие добавляет ему больше напряжения; при сильной тектонике жёсткий песчаник может оказаться напряжённее соседней глины, и барьер исчезает;
…поровое давление выше (зона аномально высокого пластового давления, АВПД) — полное $\sigma_h$ выше, но эффективное меньше; окно между поровым давлением и давлением разрыва сужается;
…пласт истощается — $\sigma_h$ в нём падает (следующая формула), а в глинах, где давление не изменилось, остаётся прежним.

Изменение горизонтального напряжения при изменении порового давления

\Delta\sigma_h = A\,\Delta p_p,\qquad A = \frac{\alpha\,(1 - 2\nu)}{1 - \nu}

где:

$\Delta\sigma_h$ изменение минимального горизонтального напряжения, МПа
$\Delta p_p$ изменение порового давления (при истощении отрицательно), МПа
$A$ пороупругий коэффициент напряжений (poroelastic stress coefficient); в литературе встречается и вдвое меньшая величина $\eta = A/2$ , —
$\alpha,\ \nu$ коэффициент Био и коэффициент Пуассона пласта, —

Единицы: любые одинаковые единицы давления

Справедливо, если

давление меняется во всём широком пласте, и пласт деформируется только по вертикали (одноосная деформация, uniaxial strain);
порода упругая; горное давление при разработке не меняется;
измеренные на месторождениях отношения $\Delta\sigma_h/\Delta p_p$ разбросаны и могут заметно отличаться от расчётного; его проверяют повторными замерами давления закрытия.

При $\alpha = 1$ это $(1-2\nu)/(1-\nu) = 1 - K$ , где $K = \nu/(1-\nu)$ — коэффициент бокового распора: тот же множитель, с которым в уроке Градиент гидроразрыва и испытание на поглощение давление гидроразрыва падает при истощении. Обычно $A$ составляет 0,5–0,8: на каждые 10 МПа снижения давления $\sigma_h$ пласта падает на 5–8 МПа. Глины над и под ним почти не истощаются, и контраст напряжений растёт.

РасчётНапряжения в интервале примера ниже: песчаник толщиной 24 м между глинами. Минимальное горизонтальное напряжение по пороупругой модели с откалиброванной тектонической деформацией (сплошная линия) и без неё (штриховая), горное и поровое давление. Вертикальная штриховая линия — давление в трещине в конце калибровочной закачки (44,4 МПа).

Расчётный примерКалибровка модели напряжений по давлению закрытия

Исходные данные (условные)

Середина пласта: 2900 м; $\sigma_v = 65{,}54$ МПа (средний градиент 22,6 кПа/м); $p_p = 30{,}5$ МПа
Песчаник (статические свойства): $\nu = 0{,}22$ ; $E = 22$ ГПа; $\alpha = 0{,}80$
Глины над и под пластом: $\nu = 0{,}28$ ; $E = 12$ ГПа; $\alpha = 1{,}0$
Давление закрытия в песчанике по калибровочной закачке: 41,8 МПа (пример в разделе о закачке)
Отношение $\varepsilon_H/\varepsilon_h$ по данным района: 3

Решение

Без тектоники: $\sigma_h = 0{,}2821\cdot(65{,}54 - 0{,}8\cdot30{,}5) + 0{,}8\cdot30{,}5 = 0{,}2821\cdot41{,}14 + 24{,}4 = 36{,}0$ МПа — на 5,8 МПа меньше замеренного.
Нехватку даёт тектоническая добавка $E'(\varepsilon_h + \nu\varepsilon_H) = E'\varepsilon_h(1 + 3\nu)$ , где $E' = E/(1-\nu^2) = 23\,119$ МПа. Отсюда $\varepsilon_h = 5{,}8/(23\,119\cdot1{,}66) = 0{,}151\cdot10^{-3}$ и $\varepsilon_H = 0{,}453\cdot10^{-3}$ .
Максимальное горизонтальное напряжение: $\sigma_H = 36{,}0 + 23\,119\cdot(0{,}453 + 0{,}22\cdot0{,}151)\cdot10^{-3} = 47{,}2$ МПа. Режим сбросовый: $\sigma_v > \sigma_H > \sigma_h$ , трещина вертикальна и вытянута по $\sigma_H$ .
Глина без тектоники: $\sigma_h = 0{,}3889\cdot(65{,}54 - 30{,}5) + 30{,}5 = 44{,}1$ МПа. Тектоническая добавка в ней $13\,021\cdot(0{,}151 + 0{,}28\cdot0{,}453)\cdot10^{-3} = 3{,}62$ МПа, итого 47,7 МПа.
Контраст напряжений глина — песчаник: $47{,}7 - 41{,}8 = 5{,}9$ МПа; без тектоники было бы $44{,}1 - 36{,}0 = 8{,}1$ МПа.

Ответ: Тектоническое укорочение около

0{,}151\cdot10^{-3}

по

\sigma_h

объясняет замер;

\sigma_H \approx 47{,}2

МПа, а контраст напряжений между глиной и песчаником — около 5,9 МПа.

Что это значит. Расчёт по одному коэффициенту Пуассона занизил бы $\sigma_h$ песчаника почти на 6 МПа и на 2,2 МПа завысил бы контраст с глиной — то есть переоценил бы удержание трещины по высоте. Жёсткий песчаник принял на себя больше тектонического сжатия, чем мягкая глина. Две деформации по одному замеру не найти: отношение 3 взято из данных района, и $\sigma_H$ стоит проверить по вывалам в стволе. Данные примера условные.

Напряжения у стенки скважины и давление разрыва

Пробурив скважину, мы вынули из нагруженной породы цилиндр. Нагрузка, которую он нёс, перераспределилась на породу вокруг: напряжения у стенки «обтекают» отверстие и концентрируются, как линии тока воды вокруг опоры моста. Для упругой породы и вертикальной скважины эту картину описывает решение Кирша (Kirsch solution). Нас интересует прежде всего окружное, или тангенциальное, напряжение на самой стенке — оно решает, где порода сломается от сжатия и где разорвётся от растяжения.

Напряжения на стенке вертикальной скважины (решение Кирша)

\sigma_\theta = \sigma_H + \sigma_h - 2\,(\sigma_H - \sigma_h)\cos 2\theta - p_w,\qquad \sigma_r = p_w

где:

$\sigma_\theta$ окружное (тангенциальное) полное напряжение на стенке, МПа
$\sigma_r$ радиальное напряжение на стенке — равно давлению в скважине, МПа
$\theta$ угол на стенке, отсчитанный от направления $\sigma_H$ , рад
$\sigma_H,\ \sigma_h$ максимальное и минимальное горизонтальные напряжения вдали от скважины, МПа
$p_w$ давление в скважине на этой глубине, МПа

Единицы: любые одинаковые единицы напряжения; сжатие положительно

Справедливо, если

порода линейно упругая, однородная и изотропная; скважина вертикальна и вертикальное напряжение — главное;
поровое давление у стенки не отличается от пластового: стенку отделяет от скважины фильтрационная корка или давление меняется так быстро, что жидкость не успевает войти в породу (влияние фильтрации — ниже);
температура стенки равна пластовой;
плоская деформация вдоль оси скважины; с удалением от стенки возмущение быстро затухает, и уже в нескольких радиусах от оси напряжения почти не отличаются от $\sigma_H$ и $\sigma_h$ (раздел для углублённого изучения).

Окружное напряжение наибольшее при $\theta = 90°$ — в точках стенки, лежащих в направлении $\sigma_h$ : там оно $3\sigma_H - \sigma_h - p_w$ , и там порода разрушается от сжатия, образуя вывалы. Наименьшее — при $\theta = 0$ и $180°$ , в направлении $\sigma_H$ : $3\sigma_h - \sigma_H - p_w$ . Рост давления в скважине уменьшает окружное напряжение везде, и когда в направлении $\sigma_H$ оно становится растягивающим и превышает прочность на растяжение, стенка разрывается. Трещина поэтому зарождается в плоскости, где ей и предстоит расти, — вдоль $\sigma_H$ .

РасчётЭффективное окружное напряжение

\sigma_\theta - p_p

на стенке скважины в песчанике примеров при трёх давлениях в скважине: равном поровому, равном давлению закрытия и равном давлению разрыва без проникновения жидкости. Штриховая линия — прочность на растяжение

-T

: при давлении разрыва кривая касается её в направлении

\sigma_H

Давление разрыва стенки без проникновения жидкости в породу, $p_b = 3\sigma_h - \sigma_H - p_p + T$ , получено из этого решения в уроке о градиенте гидроразрыва. Но при гидроразрыве жидкость часто входит в поры у стенки — через перфорационные каналы, где корки нет, при медленном нагнетании маловязкой жидкости в проницаемую породу. Тогда поровое давление у стенки растёт вместе с давлением в скважине, и разрыв наступает раньше: давление в порах раздвигает зёрна изнутри. Частично это возмещает пороупругий эффект — порода у стенки, «надутая» давлением, расширяется, соседи ей мешают, и окружное сжатие на стенке растёт на $A\,(p_w - p_p)$ , где $A$ — тот же пороупругий коэффициент, что и в предыдущем разделе.

Давление разрыва стенки при проникновении жидкости в породу

p_b = \frac{3\sigma_h - \sigma_H + T - A\,p_p}{2 - A},\qquad A = \frac{\alpha\,(1 - 2\nu)}{1 - \nu}

где:

$p_b$ давление разрыва стенки (breakdown pressure) на забое, МПа
$\sigma_h,\ \sigma_H$ минимальное и максимальное горизонтальные напряжения, МПа
$p_p$ пластовое (поровое) давление до закачки, МПа
$T$ прочность породы на растяжение; для стенки с трещинами и после первого разрыва — ноль, МПа
$A$ пороупругий коэффициент напряжений, от 0 до 1, —

Единицы: любые одинаковые единицы давления

Справедливо, если

те же, что у решения Кирша, но поровое давление на стенке равно давлению в скважине, а изменение порового давления вокруг скважины осесимметрично; разрыв — когда эффективное окружное напряжение $\sigma_\theta - p_w$ достигает $-T$ ;
медленное нагружение: в каждый момент порода успевает прийти в равновесие с давлением в порах;
реальное давление разрыва лежит между этим значением и значением без проникновения; какое ближе, зависит от скорости закачки, вязкости жидкости, корки и проницаемости.

При $A = 1$ формула совпадает с формулой без проникновения, при $A \to 0$ даёт $\sigma_h - (\sigma_H - \sigma_h)/2 + T/2$ — намного меньше. Поэтому давление разрыва — плохая мера напряжений: оно зависит от прочности, которую трудно измерить, и от того, как вели закачку. Для оценки $\sigma_h$ служит давление закрытия трещины.

Расчётный примерДавление разрыва стенки в песчанике

Исходные данные (условные)

Напряжения (пример выше): $\sigma_h = 41{,}8$ МПа; $\sigma_H = 47{,}2$ МПа; $p_p = 30{,}5$ МПа
Песчаник: $T = 4$ МПа; $\nu = 0{,}22$ ; $\alpha = 0{,}80$
Глубина: 2900 м

Решение

Без проникновения: $p_b = 3\cdot41{,}8 - 47{,}2 - 30{,}5 + 4 = 51{,}7$ МПа.
Пороупругий коэффициент: $A = 0{,}8\cdot(1 - 0{,}44)/0{,}78 = 0{,}574$ .
С проникновением: $p_b = (3\cdot41{,}8 - 47{,}2 + 4 - 0{,}574\cdot30{,}5)/(2 - 0{,}574) = 64{,}69/1{,}426 = 45{,}4$ МПа.
Повторное раскрытие трещины на стенке ( $T = 0$ , без проникновения): $3\cdot41{,}8 - 47{,}2 - 30{,}5 = 47{,}7$ МПа.
В эквивалентных плотностях ( $p/(0{,}00981\cdot2900)$ ): закрытие 1,47, разрыв 1,60…1,82, раскрытие 1,68 г/см³.

Ответ: Стенка разорвётся при 45,4…51,7 МПа на забое — в зависимости от того, проникает ли жидкость в породу; трещина затем сомкнётся при 41,8 МПа.

Что это значит. Давление разрыва на 3,6…9,9 МПа выше давления закрытия, и именно его должны обеспечить насосы с учётом гидростатики и трения в трубах. Если стенка уже имеет трещины, а перфорация ориентирована по $\sigma_H$ , прочность на растяжение не работает, и давление начала закачки ближе к 47,7 МПа. Разброс в 6 МПа между двумя предельными случаями — ещё одна причина не судить о $\sigma_h$ по давлению разрыва. Данные примера условные.

Холодная жидкость облегчает разрыв

Жидкость разрыва и закачиваемая вода обычно холоднее пласта. Охлаждённая стенка сжимается, соседняя порода ей мешает, и окружное напряжение на стенке падает на $E\alpha_T\Delta T/(1-\nu)$ , где $\alpha_T$ — коэффициент линейного теплового расширения породы, около $10^{-5}$ на °C. Для песчаника примеров это 0,28 МПа на каждый градус охлаждения — при охлаждении на 30 °C давление разрыва снижается на несколько мегапаскалей. При длительной закачке холодной воды охлаждается и порода вокруг скважины, её $\sigma_h$ падает, и нагнетательные скважины начинают принимать воду через трещины при давлениях ниже расчётных.

Калибровочная закачка: давление закрытия и чистое давление

Перед основной обработкой в пласт закачивают небольшой объём жидкости без проппанта — от единиц до нескольких десятков кубометров — и записывают давление при закачке и после остановки. Это калибровочная закачка, или мини-ГРП (ГРП — гидравлический разрыв пласта); по-английски — mini-frac или diagnostic fracture injection test (DFIT). Давление лучше всего записывать забойным манометром: пересчёт с устья требует гидростатики и потерь на трение в трубах, а они при закачке известны неточно.

Что происходит при закачке и после остановки

1
Рост давления
Закрытая система сжимается, жидкость частично уходит в поры; давление растёт почти прямолинейно.
2
Разрыв стенки
Стенка раскалывается, давление падает. Если трещина уже есть (повторный цикл, перфорация вдоль $\sigma_H$ ), пика нет: трещина просто раскрывается.
3
Распространение
Трещина растёт при почти постоянном давлении, которое складывается из давления закрытия, чистого давления и потерь у ствола.
4
Остановка
Потери на трение исчезают мгновенно; давление сразу после остановки — ISIP (instantaneous shut-in pressure).
5
Смыкание
Жидкость уходит в пласт, трещина сужается; когда её стенки сходятся, давление проходит давление закрытия, и характер его спада меняется.
6
После закрытия
Давление медленно стремится к пластовому; по этому участку оценивают пластовое давление и проводимость пласта.

Забойное давление при закачке и после остановки

p_{wf} = p_c + p_{net} + \Delta p_{\text{перф}} + \Delta p_{\text{пз}},\qquad p_{ISIP} = p_c + p_{net}

где:

$p_{wf}$ забойное давление при закачке, МПа
$p_c$ давление закрытия трещины (closure pressure) — при однородном пласте равно $\sigma_h$ , МПа
$p_{net}$ чистое давление (net pressure) — превышение давления в трещине над давлением закрытия, МПа
$\Delta p_{\text{перф}}$ потери давления в перфорационных отверстиях; растут как квадрат расхода, МПа
$\Delta p_{\text{пз}}$ потери в призабойной зоне: в извилистом, суженном начале трещины (tortuosity), МПа
$p_{ISIP}$ мгновенное давление после остановки на забое, МПа

Единицы: любые одинаковые единицы давления; все давления — на глубине пласта

Справедливо, если

давление на устье переводят на забой, прибавляя гидростатику столба жидкости и вычитая потери на трение в трубах;
в момент остановки потери на трение в трубах, перфорации и у ствола исчезают, а чистое давление ещё не успело измениться.

Чистое давление держит трещину раскрытой нужной ширины, проталкивает жидкость вдоль неё и раскалывает породу у кончика. Потери у ствола отделяют от чистого давления ступенчатым снижением расхода перед остановкой: потери в перфорации пропорциональны квадрату расхода, а в извилистом начале трещины растут с расходом медленнее, примерно как квадратный корень.

Как найти момент закрытия на кривой спада давления? Пока трещина раскрыта, жидкость уходит в пласт через всю её поверхность, а чистое давление пропорционально ширине трещины и, значит, объёму жидкости в ней. Объём, ушедший после остановки, удобно выразить через функцию $G$ — безразмерное время, которое учитывает, что разные участки трещины открылись в разные моменты и фильтруют по-разному.

Функция G (для трещины, площадь которой росла пропорционально времени)

G(\Delta t_D) = \frac{16}{3\pi}\left[(1 + \Delta t_D)^{1{,}5} - \Delta t_D^{1{,}5} - 1\right],\qquad \Delta t_D = \frac{\Delta t}{t_p}

где:

$G$ функция Нолте — безразмерное время спада давления, —
$\Delta t$ время после остановки закачки, мин
$t_p$ продолжительность закачки, мин

Единицы: безразмерная; $\Delta t$ и $t_p$ в одних единицах

Справедливо, если

закачка с постоянным расходом; после остановки площадь трещины не меняется;
фильтрация из трещины в пласт подчиняется закону Картера: скорость утечки обратно пропорциональна корню из времени, прошедшего с момента, когда данный участок стенки открылся;
жёсткость трещины постоянна: чистое давление пропорционально объёму жидкости в ней;
существует и вторая предельная форма функции — для трещины, площадь которой росла как корень из времени; две формы различаются не больше чем примерно на 20 % (тем меньше, чем позже закрытие), а на найденное давление закрытия выбор не влияет.

При этих условиях до закрытия давление падает по прямой в координатах $p$ — $G$ , а производная $G\,\dd p/\dd G$ лежит на прямой, проходящей через начало координат. Когда стенки трещины сходятся, площадь фильтрации и жёсткость меняются, и производная уходит вниз от прямой — это и есть закрытие. Вывод — в разделе для углублённого изучения.

РасчётСпад давления после калибровочной закачки примера ниже в координатах функции

G

: сверху — забойное давление и прямая до закрытия, снизу — производная

G\,\dd p/\dd G

и прямая через начало координат. Закрытие — там, где производная отходит от прямой:

G_c \approx 4{,}27

p_c = 41{,}8

МПа. Запись построена по простой модели спада и условна.

Расчётный примерДавление закрытия и чистое давление по калибровочной закачке

Исходные данные (условные)

Закачка: 8 мин с постоянным расходом; затем остановка
Мгновенное давление остановки на забое: 44,4 МПа
Отход производной от прямой (по графику): через 40 мин после остановки, давление 41,8 МПа
Глубина середины пласта: 2900 м

Решение

Безразмерное время закрытия: $\Delta t_D = 40/8 = 5$ .
Функция $G$ в момент закрытия: $G_c = 1{,}698\cdot(6^{1{,}5} - 5^{1{,}5} - 1) = 1{,}698\cdot(14{,}697 - 11{,}180 - 1) = 4{,}27$ .
Наклон прямой до закрытия: $m = (44{,}4 - 41{,}8)/4{,}27 = 0{,}609$ МПа на единицу $G$ .
Чистое давление в конце закачки: $p_{net} = 44{,}4 - 41{,}8 = 2{,}6$ МПа.
Градиент давления закрытия: $41{,}8/2900 = 14{,}41$ кПа/м (0,637 psi/ft), эквивалентная плотность $41{,}8/(0{,}00981\cdot2900) = 1{,}47$ г/см³.
Со второй предельной формой функции $G$ закрытие пришлось бы на $G_c = 4{,}06$ — на 5 % меньше; давление закрытия, считанное с кривой, то же.

Ответ: Давление закрытия 41,8 МПа (14,41 кПа/м) — минимальное напряжение в песчанике; чистое давление в конце закачки 2,6 МПа.

Что это значит. Давление закрытия использовано для калибровки модели напряжений (пример в предыдущем разделе). Порядок давлений одной и той же скважины полезно держать в голове: закрытие 41,8 МПа ниже ISIP на чистое давление, давление при закачке выше ISIP на потери у ствола, а давление разрыва стенки — выше всех. Время до закрытия говорит о том, как быстро жидкость уходит в пласт: чем дольше трещина не смыкается, тем выше доля закачанной жидкости, остающейся в ней. Эти данные идут в проектирование основной обработки (Размеры и проводимость трещины: проектирование). Данные примера условные.

Закрытие не всегда видно сразу

Трещина может сходиться постепенно: сначала смыкаются её края у кровли и подошвы или кончик, затем середина. На производной тогда несколько изгибов, и выбор зависит от метода: метод касательной к производной и методы, ищущие рост жёсткости трещины, дают разные ответы — иногда различающиеся на мегапаскали.
Естественные трещины, раскрывающиеся при повышенном давлении, ускоряют уход жидкости: производная сначала выгибается вверх над прямой, и раннее отклонение легко принять за закрытие.
Поэтому закрытие сверяют на нескольких графиках — по $G$ , по корню из времени, в логарифмических координатах — и с другими испытаниями: ступенчатой закачкой, обратным выпуском жидкости.

Ступенчатая закачка

В нагнетательных скважинах важно знать, при каком давлении пласт начинает принимать воду через растущую трещину. Для этого проводят ступенчатую закачку (step-rate test): расход повышают ступенями одинаковой продолжительности и записывают забойное давление в конце каждой ступени. Пока трещины нет, вода уходит в поры, и давление растёт с расходом круто — почти по прямой, как велит закон Дарси. Когда давление достигает давления распространения трещины, пласт начинает принимать воду через трещину, и каждый следующий кубометр в сутки добавляет лишь немного давления. Пересечение двух прямых даёт давление распространения трещины (fracture extension pressure).

Ступенчатая закачка в нагнетательную скважину (пластовое давление 18,0 МПа)

Расход, м³/сут: 60
Забойное давление, МПа: 19,92

Расход, м³/сут: 120
Забойное давление, МПа: 21,80

Расход, м³/сут: 180
Забойное давление, МПа: 23,73

Расход, м³/сут: 240
Забойное давление, МПа: 25,62

Расход, м³/сут: 300
Забойное давление, МПа: 27,55

Расход, м³/сут: 360
Забойное давление, МПа: 28,41

Расход, м³/сут: 420
Забойное давление, МПа: 28,74

Расход, м³/сут: 480
Забойное давление, МПа: 29,08

Расход, м³/сут: 540
Забойное давление, МПа: 29,40

Расход, м³/сут	Забойное давление, МПа
60	19,92
120	21,80
180	23,73
240	25,62
300	27,55
360	28,41
420	28,74
480	29,08
540	29,40

Данные условные. Давление — в конце 30-минутной ступени; первые пять ступеней — закачка в поры.

РасчётСтупенчатая закачка из таблицы: прямая по первым пяти ступеням (закачка в поры), прямая по последним четырём (закачка через трещину) и их пересечение — давление распространения трещины.

Расчётный примерДавление распространения трещины по ступенчатой закачке

Исходные данные (условные)

Данные испытания: таблица выше
Давление закрытия по спаду давления после испытания: 27,5 МПа

Решение

Прямая по первым пяти ступеням (метод наименьших квадратов): $p = 18{,}00 + 0{,}0318\,q$ . Отрезок на оси давления совпал с пластовым давлением — ступени стабилизировались одинаково.
Прямая по последним четырём: $p = 26{,}425 + 0{,}00552\,q$ .
Пересечение: $q^* = (26{,}425 - 18{,}00)/(0{,}0318 - 0{,}00552) = 321$ м³/сут, давление распространения $p^* = 28{,}2$ МПа.
Приёмистость: до трещины $1/0{,}0318 = 31{,}4$ м³/(сут·МПа), с трещиной — 181, в 5,8 раза больше.
Давление распространения выше давления закрытия на 0,7 МПа.

Ответ: Трещина растёт при забойном давлении выше 28,2 МПа, то есть при закачке больше примерно 321 м³/сут.

Что это значит. Для закачки в поры забойное давление держат ниже 28,2 МПа с запасом, пересчитав его в давление на устье. Выше него скважина принимает воду охотнее, но через трещину, вытянутую по $\sigma_H$ : если в этом направлении стоит добывающая скважина, вода может прорваться к ней раньше времени. Иногда закачку выше давления раскрытия ведут сознательно — в плотных пластах — и тогда расстановку скважин согласуют с направлением трещин (Зачем закачивают воду: поддержание давления и вытеснение нефти). Давление распространения — верхняя оценка давления закрытия: разница — чистое давление и потери у ствола. Данные примера условные.

Чтобы ступенчатая закачка получилась

Ступени делают одинаковыми по времени — тогда неустановившийся приток искажает все точки одинаково, и точки до трещины ложатся на прямую. Первая ступень должна быть заведомо ниже давления разрыва, а ступеней после излома нужно хотя бы три. Сразу после испытания полезно записать спад давления или выпустить часть воды обратно с постоянным малым расходом: излом на этих кривых даёт давление закрытия.

Чистое давление и ширина трещины

Стенки трещины сжимает напряжение $\sigma_h$ , а раздвигает давление жидкости. Ширину создаёт только превышение одного над другим — чистое давление. Порода упруга, поэтому ширина трещины пропорциональна чистому давлению и её наименьшему размеру: у трещины, вытянутой в длину и ограниченной по высоте, это высота.

Наибольшая ширина трещины при заданном чистом давлении

w_{\max} = \frac{2\,p_{net}\,h_f}{E'},\qquad E' = \frac{E}{1 - \nu^2}

где:

$w_{\max}$ наибольшая ширина трещины, в середине её вертикального сечения, м
$p_{net}$ чистое давление, МПа
$h_f$ высота трещины, м
$E'$ модуль плоской деформации породы, МПа

Единицы: согласованные: $p_{net}$ и $E'$ в одних единицах, $w$ в единицах $h_f$

Справедливо, если

трещина много длиннее своей высоты, её вертикальное сечение — эллипс (плоская деформация);
чистое давление одинаково по высоте; порода однородна и упруга;
это оценка порядка: на самом деле давление падает к кончику трещины, а слои разной жёсткости раскрываются по-разному.

При модуле в десятки гигапаскалей и чистом давлении в единицы мегапаскалей ширина трещины во время закачки — миллиметры. Мягкие породы раскрываются шире, жёсткие — уже: в плотных жёстких песчаниках трещина узкая и длинная, и проппант проходит в неё с трудом. Ширину и длину рассчитывают модели роста трещины, которые сочетают это соотношение с течением жидкости и утечками в пласт (Размеры и проводимость трещины: проектирование).

Как меняется чистое давление во время закачки, зависит от того, куда растёт трещина. Если высота ограничена барьерами и трещина растёт в длину, жидкости приходится проталкиваться по всё более длинному узкому каналу, и чистое давление медленно растёт. Если трещина растёт и в высоту, и в длину без ограничений, оно падает. Поэтому на графике чистого давления от времени в логарифмических координатах инженер, ведущий закачку, читает, что происходит в пласте.

Как читать чистое давление во время закачки

Поведение $\log p_{net}$ от $\log t$: Медленный рост, наклон 0,1–0,25
Что, вероятно, происходит: растёт в длину, высота удержана
Что делать: продолжать по плану

Поведение $\log p_{net}$ от $\log t$: Почти постоянное
Что, вероятно, происходит: умеренный рост в высоту или уход жидкости в естественные трещины
Что делать: следить: возможен рост высоты

Поведение $\log p_{net}$ от $\log t$: Резкий рост, наклон около 1 и больше
Что, вероятно, происходит: проппант остановился у кончика, трещина только расширяется
Что делать: готовиться к стопу (иногда это цель)

Поведение $\log p_{net}$ от $\log t$: Падение
Что, вероятно, происходит: прорыв барьера, рост в слой с меньшим напряжением
Что делать: проверить, не ушла ли трещина в воду или газ

Поведение $\log p_{net}$ от $\log t$	Что, вероятно, происходит	Что делать
Медленный рост, наклон 0,1–0,25	растёт в длину, высота удержана	продолжать по плану
Почти постоянное	умеренный рост в высоту или уход жидкости в естественные трещины	следить: возможен рост высоты
Резкий рост, наклон около 1 и больше	проппант остановился у кончика, трещина только расширяется	готовиться к стопу (иногда это цель)
Падение	прорыв барьера, рост в слой с меньшим напряжением	проверить, не ушла ли трещина в воду или газ

Качественные признаки; наклоны зависят от свойств жидкости и утечек. Чистое давление считают по забойному давлению за вычетом давления закрытия и потерь у ствола.

Первые модели трещины

Одну из первых моделей роста трещины гидроразрыва построили в 1955 году С. А. Христианович и Ю. П. Желтов; позднее её развили нидерландские исследователи Гертсма и де Клерк, и модель для трещины, высота которой больше длины, называют по первым буквам латинского написания фамилий — KGD. Модель для длинной трещины, ограниченной по высоте, — PKN — названа по фамилиям Т. Перкинса, Л. Керна и Р. Нордгрена (1961–1972). В первой давление при росте трещины падает, во второй растёт, — отсюда и признаки из таблицы.

Рост трещины по высоте

Высоту трещины задают не границы продуктивного пласта, а то, насколько трудно ей войти в соседние слои. Главное — контраст напряжений: если $\sigma_h$ в глине над пластом на несколько мегапаскалей выше, чем в пласте, трещине, чтобы раскрыться в глине, нужно давление выше этого напряжения. Но трещина — не щель, раскрытая только там, где давление превышает напряжение: давление на всей её поверхности создаёт у кончиков концентрацию напряжений, и кончики заходят в барьер. Насколько — зависит от отношения чистого давления к контрасту.

Равновесная высота трещины между двумя барьерами

h_f = \frac{h}{\cos\left(\dfrac{\pi\,p_{net}}{2\,\Delta\sigma}\right)},\qquad p_{net} < \Delta\sigma

где:

$h_f$ полная высота трещины, м
$h$ толщина пласта между барьерами, м
$p_{net}$ чистое давление в трещине, МПа
$\Delta\sigma$ контраст напряжений — превышение $\sigma_h$ барьеров над $\sigma_h$ пласта, МПа

Единицы: $p_{net}$ и $\Delta\sigma$ в одних единицах; $h_f$ в единицах $h$ ; угол в радианах

Справедливо, если

трещина симметрична относительно середины пласта; барьеры одинаковые и достаточно мощные, за ними нет слоёв с низким напряжением;
давление по высоте трещины одинаково (вес жидкости и потери на трение не учтены);
трещиностойкость породы не учтена — с ней трещина входит в барьеры чуть меньше; модули упругости слоёв одинаковы.

Пока чистое давление не больше примерно половины контраста, трещина заходит в барьеры лишь на доли толщины пласта. Дальше рост ускоряется, а при $p_{net} \to \Delta\sigma$ высота в модели неограниченна: барьер перестаёт держать. Отсюда практическое правило — чистое давление основной закачки должно оставаться заметно ниже контраста напряжений.

РасчётОтношение высоты трещины к толщине пласта в зависимости от отношения чистого давления к контрасту напряжений (симметричные мощные барьеры, трещиностойкость не учтена). Точки — случаи примера ниже: калибровочная закачка, основная закачка с ростом чистого давления и та же закачка после истощения пласта.

Расчётный примерУдержит ли глина трещину

Исходные данные (условные)

Пласт и барьеры: толщина 24 м; контраст напряжений 5,9 МПа (пример о калибровке модели)
Калибровочная закачка: чистое давление 2,6 МПа; $E' = 23{,}1$ ГПа
Основная закачка: вязкая жидкость, чистое давление может вырасти до 4,5 МПа
Через несколько лет: пласт истощён на 8 МПа; $A = 0{,}574$ ; давление в глинах прежнее

Решение

Калибровочная закачка: $h_f = 24/\cos(\pi\cdot2{,}6/(2\cdot5{,}9)) = 24/\cos 0{,}692 = 31{,}2$ м — по 3,6 м в каждый барьер.
Ширина в середине: $w = 2\cdot2{,}6\cdot31{,}2\cdot10^3/23\,100 = 7{,}0$ мм (множитель $10^3$ переводит метры в миллиметры).
Основная закачка: $h_f = 24/\cos(\pi\cdot4{,}5/11{,}8) = 24/\cos 1{,}198 = 66$ м — трещина входит в каждый барьер на 21 м.
Истощение на 8 МПа снижает $\sigma_h$ песчаника на $0{,}574\cdot8 = 4{,}59$ МПа; контраст становится $5{,}9 + 4{,}59 = 10{,}49$ МПа, и при тех же 4,5 МПа $h_f = 30{,}7$ м.

Ответ: При чистом давлении 2,6 МПа трещина почти не выходит из пласта (31,2 м при толщине 24 м); при 4,5 МПа её высота — около 66 м; в истощённом пласте те же 4,5 МПа дают лишь 30,7 м.

Что это значит. Высота растёт с чистым давлением резко нелинейно: увеличение $p_{net}$ на 1,9 МПа удвоило высоту. Если в 20 м над пластом лежит водоносный песчаник с низким напряжением, основная закачка прорвётся в него, и модель с мощными барьерами здесь уже неприменима. Поэтому чистое давление ограничивают — расходом и вязкостью жидкости — и следят за ним во время закачки. Истощение пласта улучшает удержание: трещины, созданные в поздние годы разработки, лучше держатся в пласте, чем созданные в начале. Модель без трещиностойкости и без падения давления к кончику трещины несколько завышает высоту, а без слоёв с низким напряжением за барьером — занижает. Данные примера условные.

Толщина барьера. Тонкий прослой глины с высоким напряжением трещина проходит насквозь, если за ним лежит слой с низким напряжением; удерживает лишь мощный барьер.
Жёсткость слоёв. Жёсткий слой раскрывается уже, мягкий — шире, но сам по себе перепад модулей трещину не останавливает: решает контраст напряжений.
Вес жидкости. Давление в трещине растёт вниз с градиентом жидкости — около 10–12 кПа/м, а $\sigma_h$ в однородном пласте обычно растёт с глубиной быстрее, на 12–16 кПа/м, и чистое давление у кровли трещины оказывается больше, чем у подошвы. Если напряжение растёт с глубиной медленнее веса жидкости, тяжёлая жидкость тянет трещину вниз; если заметно быстрее — трещина охотнее растёт вверх.
Утечки и границы слоёв. Проницаемый прослой, принимающий много жидкости, тормозит рост; слабые границы между слоями могут раскрыться и затупить кончик трещины.

Высоту созданной трещины измеряют несколькими способами: термометрией до и после закачки (холодная жидкость охлаждает интервал, в который ушла трещина), гамма-каротажем после закачки проппанта с радиоактивной меткой, записью микросейсмических событий в соседних скважинах и наклономерами. Первые два способа видят трещину только у ствола, и созданная, закреплённая и работающая высоты различаются: работающая — та часть, по которой флюид действительно поступает в скважину.

Ориентация трещины, перфорация и траектория скважины

Вдали от скважины трещина растёт перпендикулярно наименьшему напряжению. В сбросовом и сдвиговом режимах это вертикальная плоскость вдоль $\sigma_H$ ; в надвиговом режиме и на малой глубине, где наименьшим становится $\sigma_v$ , — горизонтальная. Но у самого ствола трещина начинается там, где ей позволяет перфорация и концентрация напряжений, и, если эти направления расходятся, ей приходится поворачивать.

Перфорация не по направлению трещины. Трещина зарождается у отверстия и разворачивается к выгодной плоскости. На повороте её стенки сжимает не $\sigma_h$ , а большее напряжение, ширина мала, путь извилист: растут потери давления у ствола, и проппант может застрять у входа — преждевременный стоп. Помогает перфорация с фазировкой 60° — хотя бы одно отверстие окажется не дальше 30° от выгодной плоскости — или ориентированная перфорация по $\sigma_H$ .
Наклонная скважина. Если ствол лежит в плоскости трещины, трещина вскрыта на большой длине. Если нет — трещина пересекает ствол на коротком участке, а у ствола могут образоваться несколько параллельных трещин. Иногда скважину проводят через пласт вертикально — S-образным профилем.
Горизонтальная скважина вдоль $\sigma_h$ получает поперечные трещины — так устроен многостадийный гидроразрыв; вдоль $\sigma_H$ — одну продольную трещину вдоль ствола (Горизонтальные скважины).
Напряжения меняются при разработке. Истощение вокруг работающих скважин неравномерно снижает горизонтальные напряжения и может повернуть их; повторная трещина в старой скважине иногда растёт в другом направлении. Соседние трещины многостадийного гидроразрыва повышают напряжение друг возле друга (эффект «тени напряжений») и отклоняют друг друга.
Системы разработки. Трещины нагнетательных скважин вытянуты по $\sigma_H$ , поэтому ряды скважин располагают вдоль этого направления, чтобы вода шла от трещины к добывающим, а не по трещине к ним.

Термины и обозначения

Главные напряжения $\sigma_v$ , $\sigma_H$ , $\sigma_h$: три взаимно перпендикулярных нормальных напряжения, на площадках которых нет касательных; в спокойном бассейне — вертикальное и два горизонтальных.
Коэффициент Био $\alpha$: доля порового давления, которая разгружает скелет породы; эффективное напряжение $\sigma - \alpha p_p$ .
Тектоническая деформация $\varepsilon_h$ , $\varepsilon_H$: горизонтальное укорочение коры, создающее в каждом слое добавку напряжения, пропорциональную его жёсткости; калибровочный параметр модели напряжений.
Пороупругий коэффициент $A$: $\alpha(1-2\nu)/(1-\nu)$ : изменение $\sigma_h$ на единицу изменения порового давления при одноосной деформации и поправка окружного напряжения на стенке при фильтрации.
Давление разрыва стенки $p_b$: давление в скважине, при котором стенка раскалывается; зависит от напряжений, прочности на растяжение и проникновения жидкости.
Давление закрытия $p_c$: давление, при котором стенки трещины сходятся; мера минимального напряжения.
Чистое давление $p_{net}$: превышение давления в трещине над давлением закрытия; создаёт ширину трещины.
Функция $G$: безразмерное время спада давления после закачки, в котором до закрытия давление падает по прямой.
Контраст напряжений $\Delta\sigma$: превышение $\sigma_h$ соседних слоёв над $\sigma_h$ пласта; главный фактор удержания трещины по высоте.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Давление разрыва на записи — это и есть минимальное напряжение».

На самом деле

Давление разрыва выше минимального напряжения на величину, зависящую от $\sigma_H$ , прочности на растяжение и проникновения жидкости; в примере урока — на 3,6–9,9 МПа. Мерой $\sigma_h$ служит давление закрытия.

Неверно

«ISIP равно давлению закрытия».

На самом деле

ISIP выше давления закрытия на чистое давление, которое в конце закачки держит трещину раскрытой: в примере урока 44,4 против 41,8 МПа. Закрытие находят по дальнейшему спаду давления.

Неверно

«Раз коэффициент Пуассона глины больше, она всегда удержит трещину».

На самом деле

Тектоническое сжатие нагружает жёсткий песчаник сильнее мягкой глины и уменьшает контраст: в примере урока — с 8,1 до 5,9 МПа. Кроме того, решают толщина барьера и то, что лежит за ним.

Неверно

«Ступенчатая закачка показывает давление закрытия».

На самом деле

Излом на графике «давление — расход» — давление распространения трещины. Оно выше давления закрытия на чистое давление и потери у ствола; закрытие находят по спаду давления или обратному выпуску после испытания.

Неверно

«Профиль напряжений, измеренный при первом гидроразрыве, годится на весь срок разработки».

На самом деле

Истощение снижает $\sigma_h$ пласта примерно на $A$ от падения давления; рост давления при закачке воды повышает его, а охлаждение породы холодной водой снижает. Перед повторными обработками напряжения измеряют снова.

Подробно: для продвинутых

Поле напряжений вокруг ствола и пороупругая поправка

Решение Кирша даёт напряжения не только на стенке, но и в окружающей породе. В полярных координатах с началом на оси скважины, радиусом скважины $r_w$ и углом $\theta$ от направления $\sigma_H$ :

Решение Кирша для вертикальной скважины

\begin{aligned} \sigma_r &= \tfrac{\sigma_H+\sigma_h}{2}\left(1-\tfrac{r_w^2}{r^2}\right) + \tfrac{\sigma_H-\sigma_h}{2}\left(1-\tfrac{4r_w^2}{r^2}+\tfrac{3r_w^4}{r^4}\right)\cos 2\theta + p_w\tfrac{r_w^2}{r^2}\\ \sigma_\theta &= \tfrac{\sigma_H+\sigma_h}{2}\left(1+\tfrac{r_w^2}{r^2}\right) - \tfrac{\sigma_H-\sigma_h}{2}\left(1+\tfrac{3r_w^4}{r^4}\right)\cos 2\theta - p_w\tfrac{r_w^2}{r^2}\\ \tau_{r\theta} &= -\tfrac{\sigma_H-\sigma_h}{2}\left(1+\tfrac{2r_w^2}{r^2}-\tfrac{3r_w^4}{r^4}\right)\sin 2\theta \end{aligned}

где:

$\sigma_r,\ \sigma_\theta,\ \tau_{r\theta}$ радиальное, окружное и касательное напряжения на расстоянии $r$ от оси, МПа
$r_w,\ r$ радиус скважины и расстояние от оси, $r \ge r_w$ , м
$\theta$ угол от направления $\sigma_H$ , рад

Единицы: любые одинаковые единицы напряжения; сжатие положительно

Справедливо, если

те же, что у формулы для стенки; при $r = r_w$ получаются $\sigma_r = p_w$ , формула для $\sigma_\theta$ на стенке и $\tau_{r\theta} = 0$ .

Возмущение затухает как $(r_w/r)^2$ и $(r_w/r)^4$ . Например, в направлении $\sigma_H$ для песчаника примеров при $p_w = p_p$ окружное напряжение на стенке 47,7 МПа, на расстоянии трёх радиусов от оси — 43,3 МПа, а вдали от скважины — 41,8 МПа: трещине, ушедшей от ствола на несколько радиусов, «видно» уже только $\sigma_h$ .

Откуда пороупругая поправка. Пусть поровое давление вокруг скважины изменилось на $\Delta p(r)$ , одинаково по всем направлениям и только вблизи скважины. Решение задачи упругости для такой осесимметричной добавки (с теми же уравнениями, что у теплового расширения, где роль температуры играет давление в порах) даёт на стенке, где радиальное напряжение не меняется, $\Delta\sigma_\theta = A\,\Delta p(r_w)$ — независимо от того, как далеко в пласт проникло изменение. При закачке $\Delta p > 0$ , и окружное сжатие растёт; при отборе $\Delta p < 0$ , и оно падает. На этом построена формула давления разрыва с проникновением и расчёт критической депрессии в уроке Пескопроявление: виды, прогноз и цена проблемы.

Пределы напряжений: трение на разломах

Земная кора пронизана разломами и трещинами разной ориентации. Если отношение наибольшего эффективного напряжения к наименьшему станет слишком большим, на удачно ориентированных разломах начнётся скольжение, и напряжения сбросятся. Поэтому это отношение ограничено трением на разломах:

Предельное отношение эффективных напряжений при трении на разломах

\frac{\sigma_1 - p_p}{\sigma_3 - p_p} \le \left(\sqrt{\mu^2 + 1} + \mu\right)^2

где:

$\sigma_1,\ \sigma_3$ наибольшее и наименьшее главные напряжения, МПа
$p_p$ поровое давление, МПа
$\mu$ коэффициент трения на разломе; для большинства пород 0,6–1,0, —

Единицы: любые одинаковые единицы давления

Справедливо, если

в массиве есть разломы любой ориентации без сцепления; эффективное напряжение — по Терцаги (коэффициент Био для разломов принимают равным 1).

При $\mu = 0{,}6$ правая часть равна 3,12. В сбросовом режиме $\sigma_1 = \sigma_v$ , $\sigma_3 = \sigma_h$ , и минимальное горизонтальное напряжение не может быть меньше $p_p + (\sigma_v - p_p)/3{,}12$ — то есть эффективное горизонтальное напряжение не меньше 0,32 вертикального, около трети. Это и есть физический смысл правила «одной трети» из урока Градиент гидроразрыва и испытание на поглощение: оно описывает породы в состоянии предельного трения в районах растяжения. Для пласта примеров нижняя граница — 41,7 МПа. Модель без тектоники дала 36,0 МПа — ниже предела, а замер 41,8 МПа лежит у самой границы: пласт находится в районе, где разломы близки к скольжению. Такие проверки отсекают невозможные сочетания напряжений, особенно при оценке $\sigma_H$ .

Откуда функция G

Пусть закачка с постоянным расходом длилась время $t_p$ , а площадь трещины росла пропорционально времени. Каждый участок стенки, открывшийся в момент $\tau$ , теряет жидкость со скоростью $C_L/\sqrt{t - \tau}$ (закон Картера; $C_L$ — коэффициент утечки). Если после остановки площадь не меняется, объём жидкости, ушедший через обе стенки к моменту $\Delta t$ после остановки, получается интегрированием по площади: он пропорционален $(1 + \Delta t_D)^{1{,}5} - \Delta t_D^{1{,}5} - 1$ , где $\Delta t_D = \Delta t/t_p$ . Множитель $16/(3\pi)$ — нормировка, принятая для функции $G$ .

Пока трещина раскрыта и её жёсткость постоянна, чистое давление пропорционально объёму жидкости в ней, то есть убыль давления пропорциональна ушедшему объёму — и, значит, функции $G$ . Отсюда прямая $p$ — $G$ до закрытия. Производная $G\,\dd p/\dd G$ при постоянном $\dd p/\dd G$ — прямая через начало координат; на неё удобно смотреть, потому что отклонение от прямой через ноль заметнее, чем изгиб самой кривой давления. Если площадь трещины росла как корень из времени, интеграл даёт другую форму функции — вторую предельную, использованную в примере урока для сравнения. По времени до закрытия и наклону прямой оценивают коэффициент утечки и долю жидкости, оставшуюся в трещине к концу закачки, — исходные данные проектирования основной обработки.

Связь с другими темами

Градиент гидроразрыва и испытание на поглощение — наименьшее напряжение, тектонические режимы, давление разрыва стенки без проникновения и испытания под башмаком.
Гидроразрыв пласта: назначение и выбор скважин — что даёт трещина, её полудлина и проводимость, выбор скважин.
Поровое и горное давление — горное давление по плотностному каротажу и эффективное напряжение.
Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна — коэффициент Био, одноосная деформация, рост эффективного напряжения при истощении.
Акустический каротаж — динамические упругие модули по интервальным временам продольной и поперечной волн.
Приток к скважине после гидроразрыва — приток к скважине с трещиной и продолжительность режимов течения.
Размеры и проводимость трещины: проектирование — модели роста трещины, коэффициент утечки, проппант и оптимальные размеры.
Пескопроявление: виды, прогноз и цена проблемы — те же напряжения у стенки — при отборе, а не при закачке: прочность породы и критическая депрессия.

Проверьте себя

1
На записи калибровочной закачки: пик давления на забое 53 МПа, давление при закачке 46 МПа, ISIP 44 МПа, закрытие по функции $G$ — 41 МПа. Какое значение брать как минимальное горизонтальное напряжение?
1. А.46 МПа — давление распространения
2. Б.44 МПа — ISIP
3. В.41 МПа — давление закрытия
4. Г.53 МПа — давление разрыва
Показать ответ
Правильный ответ: В. 41 МПа — давление закрытия
Давление разрыва включает концентрацию напряжений и прочность на растяжение, давление при закачке — чистое давление и потери у ствола, ISIP — чистое давление в конце закачки. Только давление закрытия, при котором стенки трещины сходятся, равно напряжению, сжимающему их, — $\sigma_h$ . Чистое давление в конце закачки — 3 МПа.
2
В пласте $\sigma_h = 35$ МПа, $\sigma_H = 40$ МПа, поровое давление 24 МПа, прочность на растяжение 3 МПа, $A = 0{,}6$ . Найдите давление разрыва стенки без проникновения и с проникновением жидкости.
Показать ответ
Без проникновения: $3\cdot35 - 40 - 24 + 3 = 44$ МПа. С проникновением: $(105 - 40 + 3 - 0{,}6\cdot24)/(2 - 0{,}6) = 53{,}6/1{,}4 \approx 38{,}3$ МПа. Разница почти 6 МПа: давление разрыва зависит от того, как ведут закачку, и поэтому не годится как мера $\sigma_h$ .
3
Пласт истощён на 12 МПа, $A = 0{,}55$ ; давление в глинах над и под ним не изменилось, контраст напряжений до разработки был 3 МПа. Как изменится удержание трещины по высоте?
1. А.Улучшится: контраст вырастет примерно до 9,6 МПа
2. Б.Улучшится, но контраст вырастет на все 12 МПа
3. В.Не изменится: напряжения не зависят от порового давления
4. Г.Ухудшится: истощённый пласт слабее
Показать ответ
Правильный ответ: А. Улучшится: контраст вырастет примерно до 9,6 МПа
$\sigma_h$ пласта снизится на $0{,}55\cdot12 = 6{,}6$ МПа, а в глинах останется прежним. Контраст станет $3 + 6{,}6 = 9{,}6$ МПа, и при том же чистом давлении трещина войдёт в барьеры гораздо меньше. Напряжение падает не на всё снижение порового давления, а на его долю $A$ .
4
Пласт толщиной 30 м лежит между мощными глинами, контраст напряжений 4 МПа. Оцените высоту трещины при чистом давлении 2 МПа. Что произойдёт, если чистое давление поднимется до 3,6 МПа?
Показать ответ
$h_f = 30/\cos(\pi\cdot2/8) = 30/\cos 45° \approx 42$ м — по 6 м в каждый барьер. При 3,6 МПа: $30/\cos(\pi\cdot3{,}6/8) = 30/\cos 81° \approx 192$ м: отношение $p_{net}/\Delta\sigma = 0{,}9$ , барьер практически не держит. Чистое давление надо ограничивать расходом и вязкостью жидкости, следя за ним во время закачки.
5
Горизонтальную скважину для многостадийного гидроразрыва хотят получить с поперечными трещинами. В каком направлении её бурить?
1. А.Вдоль $\sigma_h$
2. Б.Направление не важно
3. В.Под 45° к $\sigma_H$
4. Г.Вдоль $\sigma_H$
Показать ответ
Правильный ответ: А. Вдоль $\sigma_h$
Вертикальная трещина растёт в плоскости, перпендикулярной $\sigma_h$ , то есть вдоль $\sigma_H$ . Чтобы она пересекала ствол поперёк, ствол должен идти вдоль $\sigma_h$ . При стволе вдоль $\sigma_H$ трещина будет продольной — одна вдоль всего ствола.
6
Почему при ступенчатой закачке все ступени делают одинаковыми по времени и что даёт излом на графике «давление — расход»?
Показать ответ
При одинаковых ступенях неустановившийся приток искажает давление каждой ступени одинаково, и точки до появления трещины ложатся на прямую. Излом — давление распространения трещины: выше него пласт принимает жидкость через растущую трещину. Оно выше давления закрытия на чистое давление и потери у ствола, поэтому закрытие находят по спаду давления или обратному выпуску после испытания.

Обновлено: 28 октября 2026 г.