Вероятностная оценка запасов методом Монте-Карло

Кратко о главном

Метод не меняет формулу запасов — меняется то, что в неё подставляют: вместо одного значения каждого параметра берут его распределение. Результат — распределение запасов.
Значение параметра получают из случайного числа $u$ между 0 и 1: его принимают за накопленную вероятность и находят значение с такой накопленной вероятностью, $x = F^{-1}(u)$ . Частые значения выбираются часто, редкие — редко.
P90 — значение, которое превышается с вероятностью 90 % (осторожная оценка), P10 — с вероятностью 10 % (оптимистичная), P50 — медиана. В примере урока это 11,6; 13,8 и 16,2 млн м³ при детерминированных вариантах 7,4; 13,8 и 23,9 млн м³.
Произведение независимых параметров разбросано гораздо уже, чем расстояние между произведениями всех худших и всех лучших значений: редко все параметры отклоняются в одну сторону сразу. Зависимость между параметрами расширяет распределение; при полной зависимости P90 результата совпадает с запасами, посчитанными по осторожным значениям всех параметров — тем, хуже которых каждый окажется с вероятностью 10 %.
Для независимых параметров среднее запасов равно произведению средних, а величина $1 + C_v^2$ результата — произведению таких же величин параметров ( $C_v$ — коэффициент вариации: стандартное отклонение, делённое на среднее). Это проверка моделирования и способ увидеть, какой параметр даёт основную неопределённость.
Погрешность самого расчёта убывает как корень из числа испытаний: у среднего она равна $s/\sqrt{n}$ . Среднему и P50 хватает тысячи испытаний, «хвостам» нужно больше. Результат сообщают вместе с допущениями: распределения, зависимости, число испытаний, смысл обозначений P90 и P10.

Ключевые соотношения

N = \dfrac{\mathrm{GRV}\cdot\mathrm{NTG}\cdot\phi\cdot(1 - S_w)}{B_{oi}}

формула запасов та же; каждый параметр — распределение

x = F^{-1}(u)

значение параметра по случайному числу $u$ между 0 и 1

\mu = \dfrac{a + m + b}{3}

среднее треугольного распределения с наименьшим $a$ , наиболее вероятным $m$ и наибольшим $b$ значениями

1 + C_v^2(N) = \prod_j \left[1 + C_v^2(x_j)\right]

разброс произведения независимых сомножителей $x_j$

SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}

стандартная ошибка среднего по $n$ испытаниям

Где чаще всего ошибаются

Называть произведение всех пессимистичных значений оценкой P90.
Не выяснить, что означают края диапазона параметра: предельные значения или значения с вероятностью 10 и 90 %.
Разыгрывать связанные параметры независимо — или, наоборот, все параметры одним случайным числом.
Считать P50 средним: у скошенного вправо распределения среднее больше медианы.
Складывать P90 отдельных залежей и называть сумму оценкой P90 месторождения.
Принимать число испытаний за меру надёжности: расчёт не достовернее распределений, которые в него заложены.

После урока вы сможете

объяснить, чем вероятностная оценка запасов отличается от набора детерминированных вариантов и что означают P90, P50, P10 и среднее;
описать порядок расчёта методом Монте-Карло и получить значение параметра по случайному числу через обратную функцию распределения;
выбрать форму распределения исходного параметра и выяснить, что означают края его диапазона;
объяснить, как зависимость между параметрами меняет результат и как её задают;
оценить, достаточно ли испытаний, по стандартной ошибке и по устойчивости оценок;
проверить моделирование по произведению средних и коэффициентам вариации и правильно представить результат.

От трёх вариантов к распределению

Объёмный метод даёт запасы как произведение пяти параметров, и ни один из них не известен точно (Подсчёт запасов объёмным методом). Простейший способ показать неопределённость — посчитать три варианта: подставить в формулу сначала все пессимистичные значения, затем все базовые, затем все оптимистичные. Такой расчёт называют детерминированным (deterministic): каждому параметру приписано одно определённое значение. Для залежи из урока об объёмном методе получается 7,4; 13,8 и 23,9 млн м³.

У такого расчёта два недостатка. Он не говорит, насколько вероятно то или иное значение: что считать осторожной оценкой — 7 млн м³ или 11? И его крайние варианты слишком крайние. Чтобы получить 7,4 млн м³, все пять параметров должны одновременно оказаться на худших значениях. Если параметры не связаны между собой, такое совпадение — большая редкость.

Аналогия: пять игральных костей

Бросьте пять костей и сложите очки. Сумма может быть любой от 5 до 30, но каждая из крайних сумм выпадает в среднем раз в 7776 бросков, а больше половины бросков дают сумму от 15 до 20. Крайние значения возможны, но для них все кости должны «договориться». С параметрами залежи то же самое: каждый может отклониться в любую сторону, и отклонения большей частью гасят друг друга. Аналогия неполна: запасы — произведение, а не сумма, и параметры залежи не всегда независимы.

Метод Монте-Карло (в русской литературе его называют также методом статистических испытаний) заменяет три набора чисел тысячами. Каждый набор — одно возможное сочетание значений параметров, выбранное случайно, но так, чтобы вероятные значения выбирались часто, а маловероятные — редко. По результатам видно всё распределение запасов: и его середина, и края, и вероятность любого значения. Больше всего метод даёт на стадии поисков: о ловушке известно мало, диапазоны параметров широки, а распределения — прежде всего объёма пород — сильно скошены, и три детерминированных варианта передают такую картину хуже всего.

Как устроен расчёт

Порядок расчёта

1
Модель
Формула, связывающая результат с параметрами. Для геологических запасов нефти — объёмная формула; для извлекаемых к ней добавляют коэффициент извлечения нефти (КИН).
2
Распределения
Каждому неопределённому параметру задают распределение: какие значения возможны и насколько вероятны.
3
Зависимости
Выясняют, какие параметры связаны между собой, и задают эту связь.
4
Розыгрыш
Для каждого параметра берут случайное число между 0 и 1 и по функции распределения находят отвечающее ему значение.
5
Испытание
Подставляют выбранные значения в формулу и записывают результат. Один такой расчёт называют испытанием, или реализацией (trial, realisation).
6
Повторение
Розыгрыш и расчёт повторяют тысячи раз.
7
Результат
Результаты упорядочивают, строят их распределение и читают по нему среднее и оценки P90, P50, P10.

Главный шаг — розыгрыш. Функция распределения (cumulative distribution function) $F(x)$ показывает вероятность того, что параметр не превысит $x$ ; она растёт от 0 до 1 (от гистограммы к распределению). Случайное число между 0 и 1 принимают за значение этой вероятности и идут по кривой в обратную сторону — от вероятности к значению параметра.

Значение параметра по случайному числу

x = F^{-1}(u)

где:

$x$ значение параметра в данном испытании, единицы параметра
$u$ случайное число, равномерно распределённое между 0 и 1, —
$F(x)$ функция распределения параметра: вероятность того, что он не превысит $x$ , —
$F^{-1}(u)$ обратная функция: значение, ниже которого лежит доля $u$ распределения, единицы параметра

Единицы: $u$ и $F$ безразмерны; $x$ — в единицах параметра

Справедливо, если

$u$ распределено равномерно: любое значение между 0 и 1 одинаково вероятно;
$F(x)$ непрерывна и возрастает, так что каждому $u$ отвечает одно значение $x$ ;
для независимых параметров случайные числа независимы друг от друга.

Доля случайных чисел, меньших $u$ , равна самому $u$ , поэтому доля полученных значений, меньших $x$ , равна $F(x)$ : выборка воспроизводит заданное распределение. Там, где кривая $F(x)$ идёт круто, одинаковому шагу по $u$ отвечает малый шаг по $x$ — такие значения выбираются чаще.

РасчётРозыгрыш значения объёма пород (GRV) из треугольного распределения: вверху плотность вероятности, внизу функция распределения. Три случайных числа — 0,10; 0,57; 0,90 — дают значения 159; 186; 209 млн м³.

Случайные числа выдаёт компьютер. Их последовательность задана начальным числом, и при том же начальном числе расчёт повторяется в точности; как это устроено, показано в углублённой части.

Обратная функция у каждого распределения своя. Для равномерного распределения от $a$ до $b$ это просто $x = a + u\,(b - a)$ . Для нормального — $x = \mu + z_u\sigma$ , для логнормального — $x = \e^{\mu + z_u\sigma}$ , где $z_u$ — квантиль стандартного нормального распределения для вероятности $u$ , а $\mu$ и $\sigma$ — среднее и стандартное отклонение: у нормального распределения — самой величины, у логнормального — её логарифма (нормальное распределение). Для треугольного распределения — его задают наименьшее, наиболее вероятное и наибольшее значения — она состоит из двух ветвей: до вершины и после неё.

Функция распределения треугольного распределения

F(x) = \begin{cases} \dfrac{(x - a)^2}{(b - a)(m - a)}, & a \le x \le m \\[10pt] 1 - \dfrac{(b - x)^2}{(b - a)(b - m)}, & m < x \le b \end{cases}

где:

$F(x)$ вероятность того, что параметр не превысит $x$ , —
$x$ значение параметра, единицы параметра
$a$ наименьшее возможное значение, единицы параметра
$m$ наиболее вероятное значение (мода), единицы параметра
$b$ наибольшее возможное значение, единицы параметра

Единицы: $x$ , $a$ , $m$ и $b$ — в единицах параметра; $F$ безразмерна

Справедливо, если

плотность вероятности растёт линейно от нуля при $a$ до наибольшей при $m$ и линейно убывает до нуля при $b$ ;
значения меньше $a$ и больше $b$ невозможны: там $F = 0$ и $F = 1$ ;
$a < m < b$ ; если $m$ стоит посередине, распределение симметрично, иначе скошено.

Плотность — треугольник с основанием от $a$ до $b$ и вершиной при $m$ . Его площадь равна единице, поэтому высота вершины — $2/(b - a)$ . Функция распределения — площадь этого треугольника левее $x$ : две ветви параболы, которые сходятся в вершине при $F(m) = (m - a)/(b - a)$ . Среднее треугольного распределения равно $(a + m + b)/3$ ; с наиболее вероятным значением оно совпадает только у симметричного треугольника.

Розыгрыш из треугольного распределения

x = \begin{cases} a + \sqrt{u\,(b - a)(m - a)}, & u \le F(m) \\[4pt] b - \sqrt{(1 - u)(b - a)(b - m)}, & u > F(m) \end{cases} \qquad F(m) = \frac{m - a}{b - a}

где:

$x$ значение параметра, отвечающее случайному числу $u$ , единицы параметра
$a$ наименьшее возможное значение, единицы параметра
$m$ наиболее вероятное значение (мода), единицы параметра
$b$ наибольшее возможное значение, единицы параметра
$u$ случайное число между 0 и 1, —
$F(m)$ накопленная вероятность наиболее вероятного значения: доля распределения левее вершины, —

Единицы: $x$ , $a$ , $m$ и $b$ — в единицах параметра

Справедливо, если

те же, что для функции распределения выше;
$u$ равномерно распределено между 0 и 1.

Формула получается, если решить уравнение $F(x) = u$ относительно $x$ отдельно для каждой ветви. Сначала сравнивают $u$ с $F(m)$ : меньшие числа дают значения левее вершины, большие — правее.

Распределения исходных параметров

Распределение параметра — запись того, что о нём известно и что неизвестно. Форму выбирают по данным и по смыслу величины (Распределения и достаточность выборки).

Распределения, которыми описывают параметры подсчёта

Распределение: Равномерное
Чем задано: наименьшее и наибольшее значения
Когда подходит: известны только пределы, и нет оснований предпочесть какое-либо значение между ними

Распределение: Треугольное
Чем задано: наименьшее, наиболее вероятное и наибольшее значения
Когда подходит: есть три оценки специалиста; бывает симметричным и скошенным

Распределение: Нормальное
Чем задано: среднее и стандартное отклонение
Когда подходит: симметричный разброс вокруг среднего: средняя пористость, погрешности измерений; обрезают по физическим пределам

Распределение: Логнормальное
Чем задано: среднее и стандартное отклонение логарифма
Когда подходит: величина получается перемножением факторов и скошена вправо: площадь и объём ловушки, размеры залежей

Распределение: По данным (эмпирическое)
Чем задано: гистограмма измерений или аналогов
Когда подходит: данных достаточно, и подбирать формулу незачем

Распределение	Чем задано	Когда подходит
Равномерное	наименьшее и наибольшее значения	известны только пределы, и нет оснований предпочесть какое-либо значение между ними
Треугольное	наименьшее, наиболее вероятное и наибольшее значения	есть три оценки специалиста; бывает симметричным и скошенным
Нормальное	среднее и стандартное отклонение	симметричный разброс вокруг среднего: средняя пористость, погрешности измерений; обрезают по физическим пределам
Логнормальное	среднее и стандартное отклонение логарифма	величина получается перемножением факторов и скошена вправо: площадь и объём ловушки, размеры залежей
По данным (эмпирическое)	гистограмма измерений или аналогов	данных достаточно, и подбирать формулу незачем

Форма не должна знать больше, чем данные. Вершина треугольника — утверждение, что одно значение вероятнее остальных. Если оснований для него нет и известны только пределы, честнее равномерное распределение.
Соблюдать физические пределы. Доля коллектора и насыщенность лежат между 0 и 1, пористость коллектора — выше граничного значения.
Распределение относится к среднему по залежи. Пористость отдельных образцов может меняться от 12 до 25 %, но в формулу входит средняя пористость залежи, а её неопределённость гораздо уже разброса образцов: её мера — стандартная ошибка среднего, а не стандартное отклонение данных (насколько точно известно среднее).
Учитывать все источники неопределённости параметра. У объёма пород это и пересчёт сейсмических времён в глубины, и положение контакта, и толщина пласта.

Что означают края диапазона

Специалист называет три числа: «от 0,60 до 0,78, скорее всего 0,70». Прежде чем строить треугольник, нужно выяснить, что он понимает под краями: значения, за которые параметр выйти не может, — или значения, за которые он выходит редко, например в одном случае из десяти с каждой стороны. Люди склонны называть слишком узкие диапазоны, поэтому второе прочтение встречается чаще, чем кажется. Результат от этого зависит заметно — пример есть в следующем разделе.

Пример: запасы залежи из урока об объёмном методе

Возьмём залежь, для которой в уроке об объёмном методе посчитаны три детерминированных варианта (неопределённость подсчёта). Примем три значения каждого параметра — пессимистичное, базовое и оптимистичное — за наименьшее, наиболее вероятное и наибольшее и опишем каждый параметр треугольным распределением. Параметров пять: объём пород (GRV), доля коллектора (NTG), пористость $\phi$ , водонасыщенность $S_w$ и объёмный коэффициент нефти $B_{oi}$ . Пока считаем их независимыми.

Исходные параметры: треугольные распределения

Параметр: GRV, млн м³
Наименьшее: 140
Наиболее вероятное: 180
Наибольшее: 230
Среднее: 183,3

Параметр: NTG
Наименьшее: 0,60
Наиболее вероятное: 0,70
Наибольшее: 0,78
Среднее: 0,693

Параметр: $\phi$
Наименьшее: 0,17
Наиболее вероятное: 0,19
Наибольшее: 0,21
Среднее: 0,190

Параметр: $S_w$
Наименьшее: 0,24
Наиболее вероятное: 0,28
Наибольшее: 0,33
Среднее: 0,283

Параметр: $B_{oi}$ , м³/м³
Наименьшее: 1,20
Наиболее вероятное: 1,25
Наибольшее: 1,30
Среднее: 1,250

Параметр	Наименьшее	Наиболее вероятное	Наибольшее	Среднее
GRV, млн м³	140	180	230	183,3
NTG	0,60	0,70	0,78	0,693
$\phi$	0,17	0,19	0,21	0,190
$S_w$	0,24	0,28	0,33	0,283
$B_{oi}$ , м³/м³	1,20	1,25	1,30	1,250

Для $S_w$ и $B_{oi}$ пессимистичное значение — наибольшее: больше воды и больше усадка нефти означают меньше запасов. Данные примера условные.

Расчётный примерОдно испытание шаг за шагом

Исходные данные (условные)

Случайные числа первого испытания (GRV, NTG, $\phi$ , $S_w$ , $B_{oi}$ ): 0,5701; 0,5202; 0,6998; 0,6989; 0,5955
Распределения: треугольные, по таблице выше

Решение

GRV. Доля распределения левее вершины: $F(m) = (180 - 140)/(230 - 140)$ $= 0{,}444$ . Число 0,5701 больше, значит, работает вторая ветвь формулы.
Под корнем: $(1 - 0{,}5701)\cdot90\cdot50 = 1934{,}6$ ; корень равен 43,98. $\mathrm{GRV} = 230 - 43{,}98 = 186{,}02$ млн м³.
NTG. $F(m) = 0{,}10/0{,}18 = 0{,}556$ ; число 0,5202 меньше — первая ветвь. Под корнем: $0{,}5202\cdot0{,}18\cdot0{,}10 = 0{,}00936$ ; корень 0,0968. $\mathrm{NTG} = 0{,}60 + 0{,}0968 = 0{,}6968$ .
Так же получаем $\phi = 0{,}1945$ , $S_w = 0{,}2932$ и $B_{oi} = 1{,}255$ .
Запасы в этом испытании: $N = 186{,}02\cdot0{,}6968\cdot0{,}1945\cdot(1 - 0{,}2932)/1{,}255$ $= 14{,}20$ млн м³.
Второе и третье испытания с новыми случайными числами дают 12,75 и 14,93 млн м³.

Ответ: Первое испытание:

N = 14{,}20

млн м³ — одна возможная залежь, не противоречащая исходным данным.

Что это значит. Отдельное испытание — не прогноз и не «вариант»: это один из тысяч равноправных наборов значений. В первом испытании объём пород оказался немного выше наиболее вероятного, а водонасыщенность — тоже выше, то есть хуже; отклонения разных параметров смотрят в разные стороны. О вероятностях говорит только вся совокупность испытаний. Данные примера условные.

Расчётный примерДесять тысяч испытаний

Исходные данные (условные)

Распределения параметров: по таблице выше; параметры независимы
Число испытаний: 10 000
Детерминированные варианты: 7,4; 13,8 и 23,9 млн м³

Решение

Среднее по испытаниям — 13,83 млн м³, стандартное отклонение — 1,74 млн м³, коэффициент вариации — 0,126.
Упорядочим результаты по возрастанию. Десятая часть испытаний дала меньше 11,6 млн м³ — это P90: с вероятностью 90 % запасы не меньше. Половина испытаний дала меньше 13,8 — P50. Девять десятых — меньше 16,2 млн м³ — P10.
Наименьший и наибольший результаты — 8,9 и 20,3 млн м³. Детерминированные крайние варианты (7,4 и 23,9) не встретились ни разу.
Отношение P10 к P90 — 1,39; отношение оптимистичного варианта к пессимистичному — 3,2.
В других единицах те же три оценки — 73; 87 и 102 млн баррелей (в кубометре 6,2898 барреля) или, при плотности нефти 850 кг/м³, 9,9; 11,7 и 13,7 млн т. Пересчёт единиц умножает все результаты на одно число и вероятностей не меняет.
Проверка по средним значениям параметров из таблицы (у нефтенасыщенности среднее $1 - 0{,}2833 = 0{,}7167$ ): $183{,}33\cdot0{,}6933\cdot0{,}19\cdot0{,}7167/1{,}25$ $= 13{,}85$ млн м³ — расхождение со средним по испытаниям 0,1 %.

Ответ: P90 = 11,6, P50 = 13,8, P10 = 16,2 млн м³; среднее — 13,83 млн м³.

Что это значит. Расстояние между осторожной и оптимистичной оценками оказалось гораздо меньше, чем между крайними детерминированными вариантами: P90 в полтора раза выше пессимистичного варианта. Среднее и P50 здесь близки к базовому варианту, потому что скошенности параметров почти гасят друг друга: объём пород скошен в большую сторону, доля коллектора — в меньшую. Если бы все пять распределений были симметричными, среднее запасов при независимых параметрах практически совпало бы с базовым вариантом. Обычно бывает иначе: на стадии поисков объём пород сильно скошен в большую сторону, и среднее запасов заметно превышает базовый вариант — тогда разница между ними сама говорит о форме исходных распределений. Данные примера условные.

РасчётРезультат 10 000 испытаний. Вверху — гистограмма запасов, внизу — кривая вероятности превышения с оценками P90, P50 и P10. Треугольники на нижней оси — пессимистичный и оптимистичный детерминированные варианты.

Расчётный примерТе же три числа — другое прочтение

Исходные данные (условные)

Исходные числа: те же пессимистичные, базовые и оптимистичные значения параметров
Новое допущение: пессимистичное и оптимистичное значения — не пределы: каждый параметр окажется хуже первого или лучше второго с вероятностью 10 %
Распределения: треугольные с той же вершиной; границы подобраны так, чтобы за каждым из двух значений оставалось по 10 % вероятности

Решение

Границы раздвигаются. У симметричного треугольника условие «10 % левее значения» даёт полуширину в 1,81 раза больше расстояния от вершины до этого значения. Для пористости это от 0,154 до 0,226 вместо 0,17–0,21.
Остальные параметры: GRV от 105 до 268 млн м³, NTG от 0,52 до 0,85, $S_w$ от 0,205 до 0,368, $B_{oi}$ от 1,16 до 1,34.
10 000 испытаний с новыми распределениями: P90 = 9,9, P50 = 13,6, P10 = 18,1 млн м³; среднее 13,8 млн м³.
При первом прочтении было: P90 = 11,6, P10 = 16,2 млн м³. Диапазон P90–P10 расширился с 4,6 до 8,2 млн м³.
Где теперь произведение всех пессимистичных значений, 7,4 млн м³? Среди 50 000 испытаний меньший результат получился в 0,5 %. Оно превышается с вероятностью около 99,5 %, а не 90 %.

Ответ: При втором прочтении P90 = 9,9 и P10 = 18,1 млн м³ против 11,6 и 16,2 при первом.

Что это значит. Одни и те же три числа на параметр дали два заметно разных распределения запасов, и ни одно из них не «правильнее» само по себе: всё решает то, что означали края диапазона для того, кто их назвал. Поэтому вместе с результатом сообщают и это допущение. Заодно подтверждается вывод урока об объёмном методе: если каждый параметр окажется хуже своего пессимистичного значения с вероятностью 10 %, расчёт по всем пессимистичным значениям — не P90 запасов, а оценка уровня P99 и выше. Событие «все пять параметров хуже своих пессимистичных значений» ещё реже — один случай на сто тысяч; до 7,4 млн м³ запасы недотягивают чаще, потому что для этого достаточно сильного отклонения двух-трёх параметров. Данные примера условные.

Зависимость между параметрами

До сих пор параметры разыгрывались независимо: случайное число для пористости ничего не говорило о числе для водонасыщенности. В пласте это не всегда так. В более пористой породе поры обычно крупнее и удерживают меньше воды, поэтому высокая средняя пористость чаще сопровождается низкой водонасыщенностью (Насыщенность пласта флюидами, Капиллярное давление и переходная зона). В формулу входят обе величины, и в удачном испытании обе работают на увеличение запасов: отклонения перестают гасить друг друга.

Связь между параметрами задают одним из трёх способов.

Полная зависимость. Оба параметра получают по одному случайному числу: $u$ для пористости и $1 - u$ для водонасыщенности, если связь обратная. Высокой пористости всегда отвечает низкая водонасыщенность.
Частичная зависимость. Задают коэффициент корреляции и разыгрывают пару связанных случайных чисел (как именно — в углублённой части). Силу связи оценивают по данным: по средним значениям параметров в скважинах или на залежах-аналогах.
Расчётная связь. Один параметр разыгрывают, а второй вычисляют по нему через зависимость, найденную по данным, и добавляют случайное отклонение от неё.

Расчётный примерЧетыре расчёта с одними и теми же распределениями

Исходные данные (условные)

Распределения параметров: треугольные, как в примере выше; 10 000 испытаний, те же случайные числа
Независимые параметры: P90 = 11,6, P10 = 16,2 млн м³; стандартное отклонение 1,74 млн м³

Решение

Пористость и водонасыщенность связаны с корреляцией −0,7: стандартное отклонение 1,83 млн м³, P90 = 11,5, P10 = 16,3 млн м³.
Полная обратная связь пористости и водонасыщенности: стандартное отклонение 1,87 млн м³, P90 = 11,5, P10 = 16,4 млн м³.
Все пять параметров разыгрываются одним случайным числом, каждый в свою благоприятную сторону: стандартное отклонение 3,37 млн м³, P90 = 9,8, P10 = 18,9 млн м³.
Для сравнения — без моделирования. Значение, хуже которого параметр окажется с вероятностью 10 %, у каждого параметра своё: у водонасыщенности и объёмного коэффициента оно больше наиболее вероятного, у остальных — меньше. Запасы, посчитанные по этим пяти значениям, — 9,9 млн м³. По значениям, лучше которых параметр окажется с вероятностью 10 %, — 18,9 млн м³.

Ответ: От независимых параметров к полностью зависимым P90 опускается с 11,6 до 9,8 млн м³, P10 поднимается с 16,2 до 18,9 млн м³.

Что это значит. Связь пористости с водонасыщенностью расширила распределение лишь на несколько процентов: вместе эти два параметра дают малую часть общей неопределённости. Связь, в которой участвует главный параметр, действует гораздо сильнее. В пределе, когда все параметры меняются согласованно, распределение вдвое шире, а его P90 и P10 совпадают — с точностью моделирования — с запасами, посчитанными по таким значениям самих параметров. Отсюда правило: перемножать осторожные значения параметров — значит молча допускать, что все они жёстко связаны. Данные примера условные.

РасчётКривые вероятности превышения для трёх расчётов примера: независимые параметры, полная обратная связь пористости и водонасыщенности, все параметры меняются согласованно.

В обе стороны ошибиться одинаково легко. Независимый розыгрыш связанных параметров сужает распределение и делает P90 слишком высоким. Розыгрыш всех параметров одним числом возвращает к детерминированным вариантам и теряет то, ради чего расчёт затевался. Связи задают там, где для них есть физическая причина и данные.

Сколько испытаний достаточно

Результат моделирования сам случаен: другой набор случайных чисел даст немного другие среднее и P90. Эта погрешность — свойство расчёта, а не залежи. Она убывает с числом испытаний, и её можно оценить заранее. Число испытаний обозначим $n$ : буква $N$ в этом уроке занята запасами.

Погрешность среднего и вероятности по результатам моделирования

SE = \frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad SE_p = \sqrt{\frac{p\,(1 - p)}{n}}

где:

$SE$ стандартная ошибка среднего по испытаниям, единицы результата
$s$ стандартное отклонение результатов испытаний, единицы результата
$n$ число испытаний, —
$p$ вероятность, оцениваемая как доля испытаний, — например, доля результатов ниже заданного значения, доля единицы
$SE_p$ стандартная ошибка этой доли, доля единицы

Единицы: $SE$ — в единицах результата (млн м³); $SE_p$ и $p$ — доли единицы

Справедливо, если

испытания независимы друг от друга — простой случайный розыгрыш;
$n$ достаточно велико, чтобы среднее и доля были распределены приблизительно нормально (сотни испытаний и больше);
формулы описывают погрешность счёта при заданных распределениях, а не неопределённость запасов.

Обе погрешности убывают как $1/\sqrt{n}$ : чтобы уменьшить их вдвое, испытаний нужно вчетверо больше (та же формула для среднего по образцам). Для оценки P90 ( $p = 0{,}1$ ) при тысяче испытаний $SE_p \approx 0{,}0095$ : найденное значение на деле отвечает вероятности превышения где-то между 88 и 92 %.

Результат моделирования при разном числе испытаний, млн м³

Число испытаний: 100
Среднее ± $SE$: 13,72 ± 0,17
P90: 11,42
P50: 13,59
P10: 16,25

Число испытаний: 1000
Среднее ± $SE$: 13,78 ± 0,05
P90: 11,57
P50: 13,69
P10: 16,10

Число испытаний: 10 000
Среднее ± $SE$: 13,83 ± 0,02
P90: 11,61
P50: 13,76
P10: 16,16

Число испытаний: 50 000
Среднее ± $SE$: 13,84 ± 0,01
P90: 11,64
P50: 13,75
P10: 16,18

Число испытаний	Среднее ± $SE$	P90	P50	P10
100	13,72 ± 0,17	11,42	13,59	16,25
1000	13,78 ± 0,05	11,57	13,69	16,10
10 000	13,83 ± 0,02	11,61	13,76	16,16
50 000	13,84 ± 0,01	11,64	13,75	16,18

Одна последовательность случайных чисел: каждая строка — её первые $n$ испытаний. Расчёт без моделирования даёт среднее 13,85 млн м³ (углублённая часть). Данные примера условные.

РасчётКак устанавливаются оценки с ростом числа испытаний: среднее, P90 и P10 по первым

n

испытаниям одной последовательности. Полоса вокруг среднего — две стандартные ошибки в каждую сторону.

Сто испытаний дают среднее с ошибкой около 0,17 млн м³, тысяча — 0,05, десять тысяч — 0,02 млн м³. Среднему и P50 тысячи испытаний обычно хватает. Оценки P90 и P10 устанавливаются медленнее, а вероятности в доли процента требуют десятков и сотен тысяч испытаний.

Увеличивайте число испытаний, пока нужные оценки не перестанут меняться в тех цифрах, которые вы собираетесь сообщать.
Повторите расчёт с другим начальным числом генератора: расхождение двух расчётов — наглядная мера погрешности.
Не добивайтесь точности счёта, которая на порядок выше точности исходных данных. Границы распределений известны с точностью до процентов и десятков процентов, а погрешность десяти тысяч испытаний — доли процента.
Послойная выборка — латинский гиперкуб — даёт ту же точность среднего при гораздо меньшем числе испытаний (углублённая часть).

Как читать и представлять результат

Результат показывают кривой вероятности превышения (её называют также expectation curve): по горизонтали — запасы, по вертикали — вероятность того, что они окажутся не меньше этого значения. Кривая убывает от 100 % до нуля; чем она круче, тем уже неопределённость. По ней читают три стандартные оценки и рядом приводят среднее.

Оценки, которые сообщают по результатам моделирования

Оценка: P90
Что означает: с вероятностью 90 % запасы не меньше; осторожная («низкая») оценка
В примере, млн м³: 11,6

Оценка: P50
Что означает: медиана: запасы с равной вероятностью больше и меньше
В примере, млн м³: 13,8

Оценка: P10
Что означает: с вероятностью 10 % запасы не меньше; оптимистичная («высокая») оценка
В примере, млн м³: 16,2

Оценка: Среднее
Что означает: среднее по всем исходам с учётом их вероятностей; на нём строят расчёты ожидаемой стоимости
В примере, млн м³: 13,8

Оценка	Что означает	В примере, млн м³
P90	с вероятностью 90 % запасы не меньше; осторожная («низкая») оценка	11,6
P50	медиана: запасы с равной вероятностью больше и меньше	13,8
P10	с вероятностью 10 % запасы не меньше; оптимистичная («высокая») оценка	16,2
Среднее	среднее по всем исходам с учётом их вероятностей; на нём строят расчёты ожидаемой стоимости	13,8

Обозначения — как принято в оценке запасов: число после P — вероятность превышения. В математической статистике и во многих программах наоборот: P90 — большое значение. Соглашение всегда называют (два прочтения P10 и P90).

Среднее и P50 — разные оценки. Запасы — произведение, поэтому их распределение обычно скошено вправо, и среднее больше медианы; при широких распределениях разница достигает десятков процентов. В примере она мала, потому что разброс невелик.

От геологических запасов к извлекаемым переходят, добавив в произведение коэффициент извлечения со своим распределением (геологические и извлекаемые запасы).

Расчётный примерИзвлекаемые объёмы и три уровня уверенности

Исходные данные (условные)

Геологические запасы: 10 000 испытаний из примера выше
Коэффициент извлечения: треугольное распределение: 0,22 — 0,30 — 0,38; от остальных параметров не зависит

Решение

В каждом испытании запасы умножаются на своё значение коэффициента извлечения. Среднее извлекаемого объёма — 4,15 млн м³.
P90 = 3,3, P50 = 4,1, P10 = 5,1 млн м³. Отношение P10 к P90 — 1,55; у геологических запасов было 1,39.
Три уровня уверенности: нижняя оценка 3,3 млн м³; средняя — 4,1, то есть на 0,8 млн м³ больше; верхняя — 5,1, ещё на 1,0 млн м³ больше.

Ответ: Извлекаемый объём: P90 = 3,3, P50 = 4,1, P10 = 5,1 млн м³.

Что это значит. Коэффициент извлечения на ранней стадии известен плохо, и неопределённость извлекаемого объёма заметно шире, чем геологических запасов. В вероятностном подходе к классификации три оценки соответствуют уровням 1P, 2P и 3P: доказанные запасы — объём, который будет добыт с вероятностью не менее 90 %; доказанные вместе с вероятными — не менее 50 %; вместе с возможными — не менее 10 %. Вероятные и возможные запасы — приращения: 0,8 и 1,0 млн м³. Но одной вероятности для слова «запасы» мало: нужны проект разработки и его экономическая обоснованность (Классификация запасов и ресурсов). Данные примера условные.

По мере изучения и разработки залежи кривая сужается. Новые скважины уменьшают неопределённость объёма пород и свойств, история добычи уточняет коэффициент извлечения, а уже добытая нефть перестаёт быть оценкой. У зрелого месторождения P90 и P10 оставшихся запасов близки друг к другу.

Для неразбуренной ловушки распределение описывает объём при условии, что залежь существует. Вероятность самого открытия — отдельное число (вероятность геологического успеха). Оценки P90–P10 риска неудачи не содержат; объём «с учётом риска» — среднее, умноженное на вероятность успеха, — используют при сравнении поисковых объектов (Геологический риск и вероятность успеха, Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений).

Вклад параметров в неопределённость запасов

Сомножитель: GRV
$C_v$: 0,100
$1 + C_v^2$: 1,0101
Доля в разбросе: 64 %

Сомножитель: NTG
$C_v$: 0,053
$1 + C_v^2$: 1,0028
Доля в разбросе: 18 %

Сомножитель: $\phi$
$C_v$: 0,043
$1 + C_v^2$: 1,0018
Доля в разбросе: 12 %

Сомножитель: $1 - S_w$
$C_v$: 0,026
$1 + C_v^2$: 1,0007
Доля в разбросе: 4 %

Сомножитель: $1/B_{oi}$
$C_v$: 0,016
$1 + C_v^2$: 1,0003
Доля в разбросе: 2 %

Сомножитель: Запасы $N$
$C_v$: 0,125
$1 + C_v^2$: 1,0157
Доля в разбросе: 100 %

Сомножитель	$C_v$	$1 + C_v^2$	Доля в разбросе
GRV	0,100	1,0101	64 %
NTG	0,053	1,0028	18 %
$\phi$	0,043	1,0018	12 %
$1 - S_w$	0,026	1,0007	4 %
$1/B_{oi}$	0,016	1,0003	2 %
Запасы $N$	0,125	1,0157	100 %

Коэффициенты вариации — по формулам треугольного распределения; нижняя строка — произведение величин $1 + C_v^2$ (углублённая часть). Доля в разбросе — доля $\ln(1 + C_v^2)$ сомножителя в их сумме. Данные примера условные.

Такой разбор называют параметрическим методом. Здесь почти две трети неопределённости (64 %) даёт объём пород. Значит, уточнять нужно структуру и положение контакта — сейсморазведкой и оценочными скважинами, — а не пористость: даже точное знание пористости сузило бы диапазон запасов совсем немного.

Вместе с результатом сообщают всё, без чего его нельзя ни проверить, ни сравнить с другим.

что оценено — геологические запасы или извлекаемый объём, в каких единицах и при каких стандартных условиях;
распределения параметров: вид, значения и смысл краёв диапазона;
какие параметры считались зависимыми и как задана связь;
число испытаний, способ розыгрыша и начальное число генератора;
оценки P90, P50, P10 и среднее — с названным соглашением об обозначениях;
детерминированный базовый вариант рядом с вероятностным результатом.

Последний пункт — не формальность. Детерминированный и вероятностный расчёты проверяют друг друга: базовый вариант должен лежать вблизи середины распределения. Большое расхождение — повод искать причину: сильно скошенное распределение, пропущенную зависимость или ошибку во входных данных.

Термины и обозначения

Испытание (реализация): один расчёт результата со случайно выбранным набором значений параметров.
$u$ , $F^{-1}(u)$: случайное число между 0 и 1 и значение параметра с такой накопленной вероятностью.
Треугольное распределение: распределение, заданное наименьшим ( $a$ ), наиболее вероятным ( $m$ ) и наибольшим ( $b$ ) значениями; среднее равно $(a + m + b)/3$ .
P90, P50, P10: значения, которые превышаются с вероятностью 90, 50 и 10 %; в оценке запасов P90 — осторожная оценка.
Кривая вероятности превышения: вероятность того, что результат окажется не меньше заданного значения; убывает от 100 % до нуля.
Зависимость параметров: связь, при которой отклонение одного параметра делает более вероятным отклонение другого; задаётся общим случайным числом, корреляцией или расчётной формулой.
$n$ , $SE$: число испытаний и стандартная ошибка среднего по ним, $s/\sqrt{n}$ .
Начальное число генератора: число, с которого начинается последовательность псевдослучайных чисел; при том же начальном числе расчёт повторяется в точности.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«P90 запасов получится, если подставить в формулу осторожные значения (P90) всех параметров».

На самом деле

Так было бы, только если бы все параметры менялись согласованно. Для независимых параметров P90 запасов заметно выше: в примере урока 11,6 млн м³ против 9,9 млн м³.

Неверно

«P50 — это средние ожидаемые запасы».

На самом деле

P50 — медиана. Распределение запасов скошено вправо, и среднее больше медианы; при широких распределениях — намного. В расчётах ожидаемой стоимости используют среднее.

Неверно

«Сто тысяч испытаний дают точную оценку запасов».

На самом деле

Число испытаний уменьшает только погрешность счёта. Достоверность результата определяют распределения параметров и связи между ними; если они заданы неверно, большое число испытаний точно воспроизведёт неверный ответ.

Неверно

«Распределение пористости для расчёта — это гистограмма пористости образцов».

На самом деле

В формулу входит средняя пористость залежи. Её неопределённость гораздо уже разброса образцов и убывает с числом скважин и измерений; гистограмма образцов описывает изменчивость породы, а не то, насколько точно известно среднее.

Неверно

«P90 месторождения — сумма P90 его залежей».

На самом деле

Складываются средние. Сумма оценок P90 независимых залежей меньше, чем P90 суммы: маловероятно, что все залежи одновременно окажутся на своих осторожных значениях. Объединять нужно распределения, а не готовые оценки.

Подробно: для продвинутых

Проверка без моделирования: среднее и разброс произведения

Для простой модели — произведения независимых сомножителей — среднее и разброс результата можно найти без единого случайного числа. Это и проверка моделирования, и объяснение того, откуда берётся его результат.

Среднее и дисперсия треугольного распределения

\mu = \frac{a + m + b}{3}, \qquad \sigma^2 = \frac{a^2 + m^2 + b^2 - am - ab - mb}{18}

где:

$\mu$ среднее, единицы параметра
$\sigma^2$ дисперсия; стандартное отклонение $\sigma$ — её квадратный корень, квадрат единиц параметра
$a,\ m,\ b$ наименьшее, наиболее вероятное и наибольшее значения, единицы параметра

Единицы: в единицах параметра; коэффициент вариации $C_v = \sigma/\mu$ безразмерен

Справедливо, если

треугольное распределение с $a < m < b$ .

У симметричного треугольника с полушириной $w$ формула даёт $\sigma = w/\sqrt{6} \approx 0{,}41\,w$ : стандартное отклонение заметно меньше половины диапазона, потому что значения у краёв редки.

Среднее и коэффициент вариации произведения независимых величин

\mu_N = \prod_j \mu_j, \qquad 1 + C_v^2(N) = \prod_j \left[1 + C_v^2(x_j)\right]

где:

$N$ результат — произведение сомножителей $x_j$ ; для запасов это GRV, NTG, $\phi$ , $1 - S_w$ и $1/B_{oi}$ , млн м³
$\mu_N$ среднее результата, млн м³
$\mu_j$ среднее сомножителя $x_j$ , единицы сомножителя
$C_v(x_j)$ коэффициент вариации сомножителя: стандартное отклонение, делённое на среднее, —
$C_v(N)$ коэффициент вариации результата, —

Единицы: средние — в единицах величин; коэффициенты вариации безразмерны

Справедливо, если

сомножители независимы; при зависимости среднее произведения уже не равно произведению средних;
сомножителем служит именно то, что входит в произведение: $1 - S_w$ , а не $S_w$ , и $1/B_{oi}$ , а не $B_{oi}$ ;
вид распределений не важен: формулы точны для любых независимых сомножителей.

Среднее произведения независимых величин равно произведению их средних, а средний квадрат — произведению средних квадратов; отсюда вторая формула. При малых разбросах она переходит в привычное правило сложения относительных погрешностей: $C_v^2(N) \approx \sum_j C_v^2(x_j)$ . Сомножитель с наибольшим $C_v$ определяет результат; сомножители с малым $C_v$ почти ничего не добавляют.

Распределение произведения нескольких сомножителей близко к логнормальному (логнормальное распределение). Зная среднее и коэффициент вариации, можно оценить и процентили; $\mu$ и $\sigma$ здесь — среднее и стандартное отклонение натурального логарифма запасов $\ln N$ , а не самих запасов: $\sigma^2 = \ln[1 + C_v^2(N)]$ , $\mu = \ln\mu_N - \sigma^2/2$ , а значения P90 и P10 равны $\e^{\mu \mp 1{,}282\sigma}$ .

Расчётный примерФормулы против десяти тысяч испытаний

Исходные данные (условные)

Средние сомножителей: GRV 183,3 млн м³; NTG 0,6933; $\phi$ 0,19; $1 - S_w$ 0,7167; $1/B_{oi}$ 0,8002
Коэффициенты вариации: 0,100; 0,053; 0,043; 0,026; 0,016

Решение

Среднее: $183{,}3\cdot0{,}6933\cdot0{,}19\cdot0{,}7167\cdot0{,}8002$ $= 13{,}85$ млн м³. По испытаниям — 13,83 млн м³.
Разброс: произведение величин $1 + C_v^2$ равно 1,0157, откуда $C_v(N) = 0{,}1255$ и стандартное отклонение 1,74 млн м³. По испытаниям — 1,74 млн м³.
Логнормальное приближение: $\sigma = 0{,}1250$ , $\mu = 2{,}6205$ ; P90 = 11,71, P50 = 13,74, P10 = 16,13 млн м³. По испытаниям — 11,61; 13,76 и 16,16 млн м³.
Среднее $1/B_{oi}$ равно 0,8002, а единица, делённая на среднее $B_{oi}$ , — 0,8000: разница 0,03 %. При узком распределении её можно не замечать; при широком — нельзя.
Связанные пористость и водонасыщенность (корреляция −0,7) добавляют к сумме квадратов слагаемое $2\cdot0{,}7\cdot0{,}043\cdot0{,}026 = 0{,}0015$ : $C_v(N) \approx 0{,}131$ , стандартное отклонение около 1,82 млн м³. По испытаниям — 1,83 млн м³.

Ответ: Формулы дают среднее 13,85 и стандартное отклонение 1,74 млн м³ — те же, что и моделирование в пределах его погрешности.

Что это значит. Для такой простой модели моделирование не добавило к формулам ничего, кроме формы распределения — и это хорошая проверка обоих расчётов. Незаменимым метод становится, когда формул нет: при зависимых параметрах, обрезанных распределениях, отсечках, нескольких залежах с общими параметрами или когда за формулой запасов следует модель добычи и экономики. Данные примера условные.

Откуда берутся случайные числа

Когда такие расчёты делали вручную, случайные числа брали из печатных таблиц: столбцы двузначных чисел от 00 до 99, полученных заранее. Шкалу накопленной вероятности делили на сто частей, и каждое число таблицы указывало свою часть. Компьютер получает случайные числа иначе — вычисляет их. Такие числа называют псевдослучайными (pseudo-random): последовательность полностью определена правилом и начальным числом (seed), но по своим статистическим свойствам похожа на случайную.

Генератор псевдослучайных чисел, использованный в уроке

x_{k+1} = 16\,807\cdot x_k \bmod \left(2^{31} - 1\right), \qquad u_k = \frac{x_k}{2^{31} - 1}

где:

$x_k$ целое число — состояние генератора на шаге $k$ ; $x_0$ — начальное число, —
$\bmod$ остаток от деления, —
$u_k$ случайное число между 0 и 1, которое идёт в расчёт, —

Единицы: безразмерные; $2^{31} - 1 = 2\,147\,483\,647$

Справедливо, если

начальное число — любое целое от 1 до $2^{31} - 2$ ;
последовательность повторяется через $2^{31} - 2$ шагов — для расчётов урока этого достаточно с большим запасом;
это один из простейших генераторов, выбранный за то, что его легко повторить; в рабочих расчётах пользуются проверенными генераторами расчётных пакетов.

Каждое следующее число — остаток от деления предыдущего, умноженного на 16 807, на простое число $2^{31} - 1$ . Такой генератор называют мультипликативным конгруэнтным. Соседние числа связаны правилом, но выглядят и ведут себя в расчёте как независимые.

Расчётный примерПервые случайные числа урока

Исходные данные (условные)

Начальное число $x_0$: 20 261 003

Решение

$x_0\cdot16\,807 = 340\,526\,677\,421$ . Делим на 2 147 483 647: целая часть 158, остаток $x_1 = 1\,224\,261\,195$ .
Делим $x_1$ на $2^{31} - 1$ : $u_1 = 0{,}5701$ — это число определило объём пород в первом испытании.
Тем же правилом: $x_2 = 1\,117\,082\,458$ , $u_2 = 0{,}5202$ ; $x_3 = 1\,502\,829\,532$ , $u_3 = 0{,}6998$ .

Ответ: Первые три случайных числа: 0,5701; 0,5202; 0,6998.

Что это значит. Расчёт можно повторить в электронной таблице: одна ячейка с формулой остатка от деления, протянутая вниз. Все произведения меньше $2^{53}$ , поэтому таблица считает их точно. Воспроизводимость — практическое требование: расчёт, который при каждом запуске даёт другие цифры, нельзя ни проверить, ни сравнить с прошлогодним. Поэтому начальное число записывают вместе с результатом.

Как задают частичную зависимость

Полную зависимость даёт общее случайное число, независимость — два разных. Чтобы получить связь промежуточной силы, пользуются тем, что нормально распределённые величины легко связать коэффициентом корреляции.

Пара связанных случайных чисел

z_2 = \rho\,z_1 + \sqrt{1 - \rho^2}\;z', \qquad u_2 = \Phi(z_2)

где:

$z_1,\ z'$ квантили стандартного нормального распределения для двух независимых случайных чисел: $z_1 = \Phi^{-1}(u_1)$ , $z' = \Phi^{-1}(u')$ , —
$\rho$ заданный коэффициент корреляции, от −1 до 1, —
$z_2$ нормальная величина, связанная с $z_1$ корреляцией $\rho$ , —
$\Phi$ функция стандартного нормального распределения, —
$u_2$ случайное число для второго параметра; для первого берут само $u_1$ , —

Единицы: все величины безразмерны

Справедливо, если

$u_1$ и $u'$ независимы и равномерно распределены между 0 и 1;
$\rho$ — корреляция нормальных величин $z_1$ и $z_2$ ; корреляция самих параметров близка к ней, но в точности с ней не совпадает;
распределения обоих параметров остаются прежними: меняется только то, как сочетаются их значения.

При $\rho = 0$ получается $u_2 = u'$ — независимый розыгрыш. При $\rho = -1$ получается $u_2 = 1 - u_1$ — полная обратная связь. Промежуточные значения дают связь промежуточной силы. Значения параметров находят как обычно: $x_1 = F_1^{-1}(u_1)$ , $x_2 = F_2^{-1}(u_2)$ (нормальное распределение и его квантили).

Для нескольких связанных параметров задают таблицу попарных корреляций. Её нельзя заполнить произвольно: если первый параметр сильно связан со вторым, а второй — с третьим, первый и третий не могут быть независимыми. Расчётные пакеты проверяют это сами, но назначать корреляции «на глаз» не стоит: за каждой должны стоять данные или физическая причина.

Послойная выборка: латинский гиперкуб

При простом розыгрыше случайные числа ложатся неравномерно: в сотне испытаний на одни участки шкалы вероятностей попадает больше чисел, на другие меньше. Латинский гиперкуб (Latin hypercube sampling, LHS) — разновидность послойной (стратифицированной) выборки — устраняет эту неравномерность. Шкалу вероятностей каждого параметра делят на $n$ равных слоёв — столько, сколько будет испытаний, — и из каждого слоя берут ровно одно значение: в случайной точке слоя или, как в примере ниже, в его середине. Слои разных параметров сочетают в случайном порядке. Каждый параметр оказывается представлен всеми частями своего распределения, от самых малых значений до самых больших.

Расчётный примерСто испытаний: простой розыгрыш и латинский гиперкуб

Исходные данные (условные)

Распределения параметров: как в основном примере; параметры независимы
Число испытаний в расчёте: 100
Число повторений: 200 расчётов каждым способом с разными начальными числами

Решение

Простой розыгрыш. Средние по двумстам расчётам разбросаны со стандартным отклонением 0,17 млн м³ — как и следует из формулы: $1{,}74/\sqrt{100} = 0{,}17$ .
Латинский гиперкуб. Разброс средних — 0,011 млн м³, в 16 раз меньше.
Погрешность простого розыгрыша убывает как корень из числа испытаний, поэтому для такой же точности среднего ему понадобилось бы примерно в 250 раз больше испытаний.
Оценка P90 выигрывает меньше: разброс 0,26 млн м³ при простом розыгрыше и 0,16 млн м³ при послойном.

Ответ: При ста испытаниях латинский гиперкуб определяет среднее примерно в 16 раз точнее простого розыгрыша.

Что это значит. Выигрыш велик, потому что запасы почти «раскладываются» на вклады отдельных параметров, а послойная выборка представляет каждый параметр безупречно. Оценки краёв распределения зависят от сочетаний значений, и здесь выигрыш скромнее. Когда каждое испытание — секунды счёта, это неважно; когда за ним стоит расчёт гидродинамической модели, экономия решает. Простые формулы погрешности для послойной выборки не годятся: её точность проверяют повторными расчётами, как здесь. Данные примера условные.

Сложение оценок нескольких залежей

Месторождение часто состоит из нескольких залежей или блоков, и их оценки нужно объединить. Средние складывать можно всегда. Оценки P90 и P10 складывать нельзя — кроме случая, когда залежи полностью зависимы.

Расчётный примерДве одинаковые независимые залежи

Исходные данные (условные)

Каждая залежь: как в основном примере: P90 = 11,6, среднее 13,8 млн м³
Связь между залежами: нет: у каждой свои случайные числа

Решение

Вторая залежь разыграна своими случайными числами: распределение то же, выборка другая, и среднее по 10 000 испытаний у неё 13,9 млн м³. Сумма средних — 27,7 млн м³; среднее суммы — то же число: средние складываются всегда, при любой связи между залежами.
Сумма оценок P90 двух залежей: 23,2 млн м³.
P90 суммы — значение, которое сумма запасов превышает в 90 % испытаний: 24,5 млн м³, на 1,3 млн м³ больше.
Для P10 наоборот: сумма оценок 32,3 млн м³, P10 суммы — 30,9 млн м³.

Ответ: P90 двух залежей вместе — 24,5 млн м³, а не 23,2; сумма отдельных P90 занижает осторожную оценку.

Что это значит. Неудача в одной залежи обычно частично возмещается другой, поэтому разброс суммы в долях среднего меньше, чем у каждой залежи. Арифметическая сумма оценок P90 соответствовала бы полной зависимости залежей. В действительности залежи одного месторождения связаны частично — общим контактом, общими свойствами коллектора, — и объединять нужно распределения с этой связью, а не готовые числа. Данные примера условные.

Связь с другими темами

Подсчёт запасов объёмным методом — объёмная формула, её параметры и три детерминированных варианта, с которых начинается этот урок.
Распределения и достаточность выборки — плотность и функция распределения, нормальное и логнормальное распределения, стандартная ошибка среднего.
Описательная статистика в геологии — процентили, два прочтения обозначений P10 и P90, коэффициент вариации.
Классификация запасов и ресурсов — категории запасов и ресурсов и их связь с оценками 1P, 2P и 3P.
Геологический риск и вероятность успеха — вероятность геологического успеха, которую распределение объёма не содержит.
Анализ чувствительности и сценарии — тот же метод в экономике проекта: распределение NPV вместо одного базового варианта.
Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений — как средние объёмы и вероятности превращаются в решения.
Общий объём пород по картам — откуда берётся объём пород — главный источник неопределённости запасов.

Проверьте себя

1
Параметр описан треугольным распределением с наименьшим значением 10, наиболее вероятным 20 и наибольшим 40. Какое значение даёт случайное число $u = 0{,}25$ ?
1. А.17,5
2. Б.25,0
3. В.18,7
4. Г.20,0
Показать ответ
Правильный ответ: В. 18,7
Доля распределения левее вершины: $F(m) = (20 - 10)/(40 - 10) = 0{,}333$ . Число 0,25 меньше, поэтому берём первую ветвь: $x = 10 + \sqrt{0{,}25\cdot30\cdot10}$ $= 10 + 8{,}66 = 18{,}7$ . Ответ 17,5 — линейная интерполяция по диапазону, она годится только для равномерного распределения.
2
Почему P90 запасов, полученный моделированием при независимых параметрах, выше запасов, посчитанных по осторожным значениям (P90) всех параметров?
Показать ответ
Расчёт по осторожным значениям — результат при условии, что все параметры одновременно оказались на этих значениях. Для независимых параметров такое совпадение гораздо менее вероятно, чем 10 %: отклонения разных параметров большей частью гасят друг друга. Поэтому значение, ниже которого запасы оказываются в 10 % испытаний, лежит выше. Совпадают эти числа только при полной зависимости параметров.
3
По 400 испытаниям стандартное отклонение результата — 2,0 млн м³. Какова стандартная ошибка среднего и сколько испытаний нужно, чтобы уменьшить её вдвое?
1. А.2,0 млн м³; сколько угодно — она не меняется
2. Б.0,1 млн м³; 800 испытаний
3. В.0,005 млн м³; 800 испытаний
4. Г.0,1 млн м³; 1600 испытаний
Показать ответ
Правильный ответ: Г. 0,1 млн м³; 1600 испытаний
$SE = 2{,}0/\sqrt{400} = 0{,}1$ млн м³. Ошибка убывает как корень из числа испытаний, поэтому вдвое меньшая ошибка требует вчетверо больше испытаний — 1600. Стандартное отклонение результата при этом не уменьшается: оно описывает неопределённость запасов, а не погрешность счёта.
4
В отчёте: P90 = 40, P50 = 60, P10 = 95 млн т. Что можно сказать о среднем?
1. А.Ничего: среднее с процентилями не связано
2. Б.Оно больше 60 млн т
3. В.Оно равно 60 млн т
4. Г.Оно меньше 60 млн т
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Оно больше 60 млн т
Расстояние от P50 до P10 (35 млн т) больше, чем от P90 до P50 (20 млн т): распределение скошено вправо. У такого распределения редкие большие значения тянут среднее вверх, и оно больше медианы. Для запасов это обычная картина.
5
Средние значения сомножителей: объём пород 100 млн м³, доля коллектора 0,8, пористость 0,2, нефтенасыщенность 0,7, объёмный коэффициент 1,25. Коэффициенты вариации первых трёх — 0,20; 0,10 и 0,05, остальными можно пренебречь. Оцените среднее запасов и их коэффициент вариации при независимых параметрах.
Показать ответ
Среднее: $100\cdot0{,}8\cdot0{,}2\cdot0{,}7/1{,}25 = 8{,}96$ млн м³. Разброс: $1{,}04\cdot1{,}01\cdot1{,}0025 = 1{,}0530$ , откуда $C_v = \sqrt{0{,}0530} \approx 0{,}23$ . Почти весь разброс даёт объём пород: без двух других сомножителей было бы 0,20.
6
В расчёте запасов пористость и водонасыщенность разыграны независимо, хотя по скважинам видно: чем выше средняя пористость, тем ниже водонасыщенность. Как это сказалось на результате?
1. А.Распределение получилось слишком широким
2. Б.Никак: распределения параметров заданы верно
3. В.Среднее запасов завышено вдвое
4. Г.Распределение запасов получилось слишком узким: P90 завышен, P10 занижен
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Распределение запасов получилось слишком узким: P90 завышен, P10 занижен
При обратной связи высокая пористость приходит вместе с высокой нефтенасыщенностью: оба сомножителя отклоняются в одну сторону и усиливают друг друга. Независимый розыгрыш эти сочетания делает редкими, и распределение получается уже действительного. Насколько — зависит от доли этих параметров в общей неопределённости; в примере урока стандартное отклонение выросло на несколько процентов.

Обновлено: 3 октября 2026 г.