Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений

Кратко о главном

EMV $= \sum_j p_j\,\mathrm{NPV}_j$ по исходам, которые исключают друг друга и вместе охватывают все возможности ( $\sum_j p_j = 1$ ). Все NPV — на одну дату, по одной ставке, в одних деньгах; риск неудачи учтён вероятностями, и ставку за него не повышают.
Для поисковой скважины EMV $= P_g V - C$ : вероятность успеха, умноженная на стоимость открытия, минус стоимость скважины. Бурение окупается в среднем, пока $P_g > C/V$ ; в примере урока безубыточная вероятность — 0,13.
EMV — среднее, а не прогноз: одна скважина даёт либо $V - C$ , либо $-C$ . Ожидаемые стоимости независимых скважин складываются, но вероятность того, что все $n$ окажутся сухими, — $(1 - P_g)^n$ .
Передача доли партнёру при одинаковых оценках шансов не создаёт EMV, а перераспределяет её вместе с риском. Смысл сделки — в разном отношении сторон к риску, разных оценках или нехватке денег.
Несклонная к риску компания сравнивает варианты по ожидаемой полезности, то есть по эквиваленту определённости CE — гарантированной сумме, равноценной рискованному варианту. CE меньше EMV; разность — премия за риск. Она растёт с разбросом исходов и падает с толерантностью к риску $R$ .
Крупная компания с множеством независимых проектов может почти не учитывать риск отдельной скважины (CE ≈ EMV). Для небольшой компании та же скважина может быть ставкой, проигрыш которой грозит разорением, — тогда разумнее взять меньшую долю в большем числе проектов.

Ключевые соотношения

\mathrm{EMV} = \sum_j p_j\,\mathrm{NPV}_j

исходы исключают друг друга, $\sum_j p_j = 1$

\mathrm{EMV} = P_g V - C

поисковая скважина: открытие стоимостью $V$ или сухая скважина

P_g^{*} = C/V

безубыточная вероятность успеха

\mathrm{CE} = -R\,\ln \sum_j p_j\,\e^{-x_j/R}

эквивалент определённости при экспоненциальной функции полезности

P(k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\,P_g^{k}\,(1 - P_g)^{n-k}

вероятность $k$ открытий из $n$ независимых скважин

Где чаще всего ошибаются

Считать EMV вероятным результатом одной скважины.
Сравнивать исходы, оценённые на разные даты, или забыть стоимость скважины в исходе «успех» — либо вычесть её дважды.
Учесть сухую скважину вероятностью и вдобавок поднять за тот же риск ставку дисконтирования.
Включать в расчёт уже сделанные затраты — например, на снятую сейсморазведку.
Считать, что при EMV > 0 бурить надо всегда, а передача доли с меньшей EMV — всегда ошибка.

После урока вы сможете

вычислить EMV решения по NPV и вероятностям всех исходов и проверить, что исходы исключают друг друга, охватывают все возможности и оценены на одну дату;
рассчитать EMV поисковой скважины, найти безубыточную вероятность успеха и сравнить варианты «бурить самим», «передать долю» и «отказаться»;
объяснить, почему EMV — среднее по многим решениям, и оценить разброс результатов программы из нескольких скважин;
описать нейтральное отношение к риску, несклонность и склонность к риску через функцию полезности и вычислить эквивалент определённости;
объяснить, почему компании не всегда выбирают наибольшую EMV: размер ставки по сравнению с ресурсами, риск разорения, доля участия.

Ожидаемая денежная стоимость: среднее по исходам

Многие решения в нефтегазовом деле принимают, не зная, чем они кончатся: найдёт ли скважина нефть, окажется ли залежь крупной или мелкой, сработает ли новая технология. Такое решение описывают набором исходов (outcomes). Для каждого исхода нужны два числа — вероятность и денежный результат, обычно NPV (Чистая приведённая стоимость (NPV)). EMV объединяет их в одно число.

Ожидаемая денежная стоимость

\mathrm{EMV} = \sum_{j=1}^{m} p_j\,\mathrm{NPV}_j, \qquad \sum_{j=1}^{m} p_j = 1

где:

$\mathrm{EMV}$ ожидаемая денежная стоимость решения, млн долл.
$p_j$ вероятность $j$ -го исхода, доли единицы
$\mathrm{NPV}_j$ чистая приведённая стоимость $j$ -го исхода на дату решения (индекс — номер исхода, а не ставка), млн долл.
$m$ число исходов, —

Единицы: денежные единицы NPV, например млн долл. в постоянных ценах

Справедливо, если

исходы исключают друг друга и вместе охватывают все возможности — поэтому вероятности в сумме дают единицу;
все NPV рассчитаны на одну дату (дату решения), по одной ставке и в одних деньгах;
в NPV входят только будущие потоки, которые зависят от решения; уже сделанные затраты не входят (что относится к решению);
риск неудачи учтён вероятностями; ставку дисконтирования за тот же риск не повышают (Выбор ставки дисконтирования).

EMV — среднее значение NPV по всем исходам, как если бы решение принимали много раз в одинаковых условиях. Из нескольких вариантов по этому критерию выбирают тот, у которого EMV больше; варианту «ничего не делать» отвечает EMV, равная нулю.

Бурить или не бурить: EMV поисковой скважины

Возьмём проспект, у которого вероятность геологического успеха оценена в 0,30 (как её оценивают). Поисковая скважина стоит 12 млн долл., и эти деньги тратятся при любом исходе. Если скважина откроет залежь, месторождение разработают по проекту из примеров библиотеки (Чистая приведённая стоимость (NPV)): его NPV при ставке 10 % — 100,13 млн долл. на середину первого года проекта. Середина первого года проекта наступит через год после решения о бурении, поэтому на дату решения открытие стоит в $1{,}1$ раза меньше.

EMV поисковой скважины

\mathrm{EMV} = P_g\,(V - C) + (1 - P_g)(-C) = P_g V - C

где:

$P_g$ вероятность успеха скважины, доли единицы
$V$ стоимость открытия на дату решения: NPV его разработки без затрат на поисковую скважину, млн долл.
$C$ стоимость поисковой скважины, тратится при любом исходе, млн долл.

Единицы: млн долл. на дату решения

Справедливо, если

исходов два: открытие, которое разрабатывают, и сухая скважина; размер открытия считают известным (разные размеры — в разделе ниже);
$V$ и $C$ отнесены к одной дате; если момент, к которому приведён NPV проекта, наступит через $t$ лет после решения, NPV умножают на $(1 + i)^{-t}$ (перенос начала отсчёта);
налоговые последствия затрат на скважину не учитываются (или $C$ уже взята после налогов).

Два способа записи дают одно и то же. Первый перечисляет исходы: успех приносит $V - C$ , неудача — потерю $C$ . Второй короче: компания платит $C$ наверняка и получает $V$ с вероятностью $P_g$ . Записывая исходы, легко забыть $C$ в исходе «успех» или вычесть её дважды; проверка — оба способа должны дать одно число.

Расчётный примерEMV поисковой скважины

Исходные данные (условные)

Вероятность успеха $P_g$: 0,30
Стоимость скважины $C$: 12 млн долл.
NPV разработки при 10 %: 100,13 млн долл. на середину первого года проекта
От решения до середины первого года проекта: 1 год

Решение

Стоимость открытия на дату решения: $V = 100{,}13/1{,}1 = 91{,}03$ млн долл.
NPV исходов: открытие — $V - C = 91{,}03 - 12 = 79{,}03$ млн долл.; сухая скважина — $-12$ млн долл.
Вклады исходов: $0{,}30\cdot79{,}03 = 23{,}71$ и $0{,}70\cdot(-12) = -8{,}40$ ; EMV $= 15{,}31$ млн долл.
Проверка короткой формой: $0{,}30\cdot91{,}03 - 12 = 15{,}31$ млн долл.
Безубыточная вероятность: $P_g^{*} = 12/91{,}03 = 0{,}132$ .

Ответ: EMV ≈ 15,31 млн долл. > 0: по критерию EMV бурить стоит. Бурение окупается в среднем при вероятности успеха выше 0,132.

Что это значит. Скважина вернёт в среднем 15,31 млн долл. сверх доходности 10 % — но в среднем по многим таким скважинам. Одна конкретная даст либо 79,03 млн долл., либо убыток 12 млн, и второе в этом примере в 2,3 раза вероятнее первого. Запас по вероятности большой: оценка $P_g$ может оказаться завышенной более чем вдвое, а бурение всё ещё окупится в среднем. Данные примера условные.

Безубыточная вероятность успеха

P_g^{*} = \frac{C}{V}

где:

$P_g^{*}$ вероятность успеха, при которой EMV бурения равна нулю, доли единицы
$C,\ V$ стоимость скважины и стоимость открытия на дату решения, млн долл.

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

те же, что для EMV скважины: два исхода, $V$ и $C$ на одну дату.

Чем дороже скважина по сравнению с ценностью открытия, тем увереннее нужно быть в успехе. Отношение $V/C$ — во сколько раз выигрыш больше ставки — показывает, при каких шансах бурение ещё окупается в среднем: при $V/C = 10$ достаточно $P_g > 0{,}1$ .

РасчётEMV для компании в зависимости от вероятности успеха: бурить самим, передать половину доли партнёру, который оплатит скважину, или отказаться (EMV = 0). Безубыточная вероятность бурения самим — 0,13; при 0,26 оба способа участия дают одинаковую EMV.

Что меняется, если…

…скважина дорожает в полтора раза — безубыточная вероятность растёт во столько же раз, с 0,13 до 0,20;
…разработка откладывается ещё на год — открытие на дату решения дешевеет в 1,1 раза, и безубыточная вероятность растёт до 0,15;
…сама вероятность успеха известна неточно — например, 0,2 или 0,4 с равными шансами, — EMV считают по её среднему, 0,3: EMV линейно зависит от $P_g$ . Разброс оценки показывает другое — насколько устойчиво решение и сколько стоят данные, которые её уточнят (Деревья решений и ценность информации).

Бурить самим, передать долю или отказаться

Владелец участка не обязан нести весь риск один. Частый вариант — передача доли (farm-out): партнёр оплачивает поисковую скважину целиком и за это получает долю $w$ в проекте. Если скважина окажется сухой, владелец не теряет ничего; если откроет залежь, он сохраняет долю $1 - w$ и в разработке участвует пропорционально ей.

EMV при передаче доли партнёру, оплачивающему скважину

\mathrm{EMV}_w = P_g\,(1 - w)\,V, \qquad P_{g,w} = \frac{C}{w V}

где:

$\mathrm{EMV}_w$ EMV владельца участка после передачи доли $w$ , млн долл.
$w$ доля проекта, переданная партнёру, доли единицы
$P_{g,w}$ вероятность успеха, при которой бурение самим и передача доли дают владельцу одинаковую EMV, доли единицы
$P_g,\ V,\ C$ вероятность успеха, стоимость открытия и стоимость скважины, как выше, —, млн долл.

Единицы: млн долл. на дату решения

Справедливо, если

партнёр платит за скважину целиком, а затраты на разработку стороны несут по своим долям;
обе стороны одинаково оценивают $P_g$ и $V$ .

Разность между EMV бурения самим и $\mathrm{EMV}_w$ равна $P_g w V - C$ — это в точности EMV партнёра. При вероятности выше $P_{g,w}$ самому бурить выгоднее по EMV, ниже — выгоднее передать долю; но ниже $P_{g,w}$ отрицательна EMV партнёра, и при тех же оценках он на сделку не пойдёт.

Расчётный примерПоловина доли за оплату скважины

Исходные данные (условные)

Проспект: как в примере выше: $P_g = 0{,}30$ , $V = 91{,}03$ млн долл., $C = 12$ млн долл.
Условие сделки: партнёр оплачивает скважину и получает $w = 0{,}5$ доли проекта

Решение

Владелец: $0{,}30\cdot0{,}5\cdot91{,}03 = 13{,}65$ млн долл. против 15,31 млн при бурении самим.
Партнёр: $0{,}30\cdot0{,}5\cdot91{,}03 - 12 = 1{,}65$ млн долл. — ровно столько EMV владелец отдал: $15{,}31 - 13{,}65 \approx 1{,}65$ .
Безразличие для владельца (и нулевая EMV партнёра): $P_{g,w} = 12/(0{,}5\cdot91{,}03) = 0{,}264$ .

Ответ: По EMV владельцу выгоднее бурить самому: 15,31 млн долл. против 13,65. Сделка переносит к партнёру 1,65 млн долл. EMV — и весь риск сухой скважины.

Что это значит. Сделка не создаёт стоимости: при одинаковых оценках сколько EMV получает партнёр, столько теряет владелец. Тем не менее такие сделки заключают постоянно. Причины — в разных оценках шансов, в том, что партнёр может пробурить дешевле, в нехватке денег у владельца и, главное, в разном отношении к риску: для небольшой компании убыток 12 млн долл. может значить гораздо больше, чем для крупной. Как это учесть количественно — в разделе об отношении к риску. Данные примера условные.

Больше двух исходов: каким окажется открытие

Открытие — не одно число: залежь может оказаться меньше или больше ожидаемой. Если она слишком мала, разработка не окупится, и её не начнут: такое открытие для экономики — та же неудача, хотя геологически скважина успешна. Границу задаёт минимальный рентабельный объём — объём, при котором NPV разработки равен нулю. Вероятность найти залежь не меньше него — вероятность коммерческого успеха $P_c$ ; она не больше $P_g$ (от геологического успеха к коммерческому).

Расчётный примерСухая скважина и три размера открытия

Исходные данные (условные)

Вероятность геологического успеха: 0,30; стоимость скважины 12 млн долл.
Размеры открытия (доля базовой добычи проекта): ×0,5 с вероятностью 0,3; ×1 — 0,5; ×1,5 — 0,2 (при условии успеха)
Модель разработки: проект из примеров библиотеки: добыча каждого года умножена на долю, затраты прежние

Решение

NPV разработки на середину первого года проекта: −26,40; 100,13 и 226,51 млн долл. NPV обращается в ноль при добыче 0,60 от базовой — около 7,2 млн баррелей вместо 12: это минимальный рентабельный объём. Малое открытие меньше его, и его не разрабатывают.
Исходы на дату решения: сухая скважина ( $p = 0{,}70$ ) и малое открытие ( $p = 0{,}09$ ) — по $-12$ млн долл.; среднее ( $p = 0{,}15$ ) — $100{,}13/1{,}1 - 12 = 79{,}03$ ; крупное ( $p = 0{,}06$ ) — $226{,}51/1{,}1 - 12 = 193{,}92$ млн долл.
EMV $= 0{,}70\cdot(-12) + 0{,}09\cdot(-12) + 0{,}15\cdot79{,}03 + 0{,}06\cdot193{,}92$ $= 14{,}01$ млн долл.
Вероятность коммерческого успеха: $P_c = 0{,}30\cdot(0{,}5 + 0{,}2) = 0{,}21$ .

Ответ: EMV ≈ 14,01 млн долл. при вероятности коммерческого успеха 0,21 и геологического — 0,30.

Что это значит. Четыре исхода исключают друг друга, и их вероятности в сумме дают единицу — это первое, что проверяют в таком расчёте. Малое открытие не разрабатывают: компания теряет только скважину и не добавляет к потере отрицательный NPV разработки. Если бы его разработали «раз уж нашли», EMV уменьшилась бы на 2,16 млн долл. По той же причине нельзя заменять распределение размеров одним средним открытием: средний размер ×0,95 дал бы EMV 11,86 млн долл. — меньше, чем при честном переборе исходов. Данные примера условные; в упрощённой модели размер открытия меняет только добычу, хотя на деле от него зависят и затраты: малое открытие обустроили бы дешевле, крупное — дороже.

EMV — среднее по многим скважинам

Смысл EMV раскрывается на многих решениях. Если пробурить много похожих скважин, доля открытий приблизится к вероятности успеха, а средний результат на скважину — к EMV. Но компания бурит не сотни скважин, а несколько, и тогда важно не только среднее, но и то, как сильно результат может от него отличаться. Число открытий среди $n$ независимых скважин с одинаковой вероятностью успеха подчиняется биномиальному распределению (binomial distribution).

Вероятность

k

открытий из

n

независимых скважин

P(k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\;P_g^{k}\,(1 - P_g)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \ldots, n

где:

$P(k)$ вероятность того, что ровно $k$ скважин из $n$ окажутся успешными, доли единицы
$n$ число скважин в программе, —
$k$ число открытий, —
$P_g$ вероятность успеха одной скважины, одинаковая для всех, доли единицы
$\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ число способов выбрать $k$ успешных скважин из $n$ ( $n! = 1\cdot2\cdots n$ , $0! = 1$ ), —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

исходы скважин независимы: у проспектов нет общего риска плея;
вероятность успеха одинакова у всех скважин; при разных вероятностях распределение считают перебором исходов;
программу бурят целиком, не пересматривая её после первых результатов.

Среднее число открытий равно $nP_g$ , а EMV программы — $n$ , умноженному на EMV одной скважины. Вероятность того, что сухими окажутся все скважины, — $P(0) = (1 - P_g)^n$ : с ростом $n$ она быстро падает, но для небольшой программы остаётся заметной.

Расчётный примерПрограмма из пяти скважин

Исходные данные (условные)

Скважин в программе: 5 похожих проспектов в разных плеях
Каждая скважина: $P_g = 0{,}30$ , $C = 12$ млн долл., открытие стоит $V = 91{,}03$ млн долл.

Решение

Затраты на программу: $5\cdot12 = 60$ млн долл. NPV программы при $k$ открытиях: $k\cdot91{,}03 - 60$ .
Ни одного открытия: $P(0) = 0{,}7^5 = 0{,}168$ , NPV $= -60$ млн долл.
Одно открытие: $P(1) = 5\cdot0{,}3\cdot0{,}7^4 = 0{,}360$ , NPV $= 31{,}0$ ; два: $P(2) = 10\cdot0{,}3^2\cdot0{,}7^3 = 0{,}309$ , NPV $= 122{,}1$ млн долл.
Три открытия и больше: 0,163 в сумме.
EMV программы: $\sum_k P(k)\,\mathrm{NPV}_k = 76{,}55$ млн долл. — ровно $5\cdot15{,}31$ . Стандартное отклонение результата — 93,3 млн долл.

Ответ: EMV программы — 76,55 млн долл., но с вероятностью 17 % компания потеряет все 60 млн, а с вероятностью 53 % получит не больше 31,0 млн долл.

Что это значит. Средний результат программы хорош, но разброс вокруг него больше самой EMV: чаще чем в половине случаев программа приносит меньше половины своей ожидаемой стоимости, а в одном случае из шести — только убыток. Для компании, у которой нет других проектов, такая программа — серьёзная ставка. Если бы все пять проспектов принадлежали одному неопробованному плею, EMV осталась бы прежней, а вероятность полной неудачи выросла бы (зависимые проспекты). Данные примера условные.

РасчётВозможные результаты программы из 5 независимых скважин: NPV при 0, 1 … 5 открытиях и их вероятности. Вертикальная линия — EMV программы (76,55 млн долл.), которой не равен ни один исход.

Отношение к риску: функция полезности и эквивалент определённости

Сравним два варианта для одной и той же компании: получить гарантированные 15 млн долл. или пробурить скважину из примера с EMV 15,3 млн. По EMV они почти равны. Но во втором варианте в семи случаях из десяти компания теряет 12 млн, и для небольшой компании это может означать урезанную программу работ или невыплату долга. Критерий EMV такой разницы не видит: он одинаково относится к любым вариантам с одинаковым средним.

Нейтральное отношение к риску: варианты сравнивают только по среднему, то есть по EMV. Разумно, когда каждая отдельная ставка мала по сравнению с ресурсами и ставок много.
Несклонность к риску (risk aversion): гарантированная сумма ценится выше рискованного варианта с тем же средним. Так поступает компания, продающая нефть по фиксированной цене ниже ожидаемой (пример с форвардной продажей), или заказчик, который платит подрядчику больше за твёрдую цену работ «под ключ».
Склонность к риску (risk seeking): рискованный вариант ценится выше гарантированного с тем же средним — ради шанса на крупный выигрыш. В корпоративных решениях встречается редко, но бывает, например, когда компании нужно крупное открытие любой ценой.

Количественно отношение к риску описывает функция полезности $u(x)$ (utility function): она сопоставляет каждой сумме денег её «ценность» для того, кто принимает решение. Варианты сравнивают по ожидаемой полезности (expected utility) $\sum_j p_j\,u(x_j)$ . У несклонной к риску компании функция полезности выпуклая вверх: каждый следующий миллион прибавляет меньше полезности, чем предыдущий, а потеря миллиона отнимает больше, чем приносит такой же выигрыш.

Ожидаемую полезность удобно перевести обратно в деньги. Эквивалент определённости (certainty equivalent, CE) — гарантированная сумма, полезность которой равна ожидаемой полезности рискованного варианта: компании безразлично, получить её наверняка или рискнуть. Для несклонной к риску компании CE меньше EMV. Разность $\mathrm{EMV} - \mathrm{CE}$ называют премией за риск: это часть средней стоимости, от которой компания готова отказаться ради определённости. Это сумма денег, а не надбавка к ставке дисконтирования (надбавка к ставке и эквивалент определённости).

Экспоненциальная функция полезности и эквивалент определённости

u(x) = 1 - \e^{-x/R}, \qquad \mathrm{CE} = -R\,\ln \sum_{j} p_j\,\e^{-x_j/R}

где:

$u(x)$ полезность суммы $x$ (безразмерная; масштаб значения не имеет), —
$x,\ x_j$ денежный результат, NPV $j$ -го исхода, млн долл.
$R$ толерантность к риску (risk tolerance) — параметр компании: чем он больше, тем ближе поведение к нейтральному, млн долл.
$p_j$ вероятность $j$ -го исхода, доли единицы
$\mathrm{CE}$ эквивалент определённости варианта, млн долл.
$\ln$ натуральный логарифм, —

Единицы: $x$ , $R$ и CE — в одних денежных единицах

Справедливо, если

отношение к риску одно и то же при любом богатстве компании: прибавка гарантированной суммы ко всем исходам прибавляет её и к CE;
$R$ задают для компании в целом и пересматривают вместе с её размером и финансовым положением;
при $R$ , намного большем разброса исходов, функция на этом интервале почти прямая, и CE почти совпадает с EMV.

Вторая формула получается из условия $u(\mathrm{CE}) = \sum_j p_j\,u(x_j)$ . Экспоненциальную функцию часто применяют в оценке поисковых проектов: она задаётся одним числом $R$ , и её легко объяснить. Наглядный смысл $R$ : пари «выиграть $R$ или проиграть $R/2$ с равными шансами» для такой компании почти безразлично — немного больший выигрыш она примет, меньший отклонит.

Расчётный примерОдна скважина глазами небольшой и крупной компании

Исходные данные (условные)

Варианты: бурить самим (+79,0 или −12 млн долл.) или передать половину доли (+45,5 или 0)
Вероятность успеха: 0,30
Толерантность к риску: небольшая компания — $R = 30$ млн долл., крупная — $R = 1000$ млн долл.

Решение

Небольшая компания, бурить самим: ожидаемая полезность $\mathrm{EU} = 0{,}3\cdot u(79{,}0) + 0{,}7\cdot u(-12) = -0{,}0658$ — меньше, чем у гарантированного нуля. Из $u(\mathrm{CE}) = \mathrm{EU}$ : $\mathrm{CE} = -R\ln(1 - \mathrm{EU})$ $= -30\cdot\ln 1{,}0658 = -1{,}91$ млн долл.
Она же, передать долю: $\mathrm{CE} = 8{,}01$ млн долл. при EMV 13,65.
Крупная компания: бурить самим — CE 14,45 млн долл., передать долю — 13,44 млн долл.
Крупный партнёр, принимающий долю (+33,5 или −12 млн долл.): EMV 1,65, CE 1,44 млн долл.
При какой толерантности бурение самим перестаёт быть приемлемым (CE = 0): $R \approx 38$ млн долл.

Ответ: Для небольшой компании бурить самим неприемлемо (CE −1,91 млн долл.), а передать долю выгодно (CE 8,01). Крупная компания предпочтёт бурить сама (CE 14,45 против 13,44).

Что это значит. Один и тот же проспект с одной и той же EMV 15,31 млн долл. разумно решается по-разному. Для небольшой компании премия за риск бурения самой — 17,2 млн долл.: больше всей EMV. Для крупной — около 0,9 млн, и она ведёт себя почти нейтрально. Сделка из предыдущего раздела, невыгодная по EMV, выгодна обеим сторонам по эквиваленту определённости: риск переходит к тому, кому он обходится дешевле. Данные примера условные.

РасчётЭкспоненциальная функция полезности небольшой компании (

R = 30

млн долл.) и бурение скважины самой: два исхода на кривой, ожидаемая полезность на отрезке между ними при EMV 15,3 млн долл. и эквивалент определённости −1,9 млн долл. Расстояние между ними — премия за риск.

Почему компании не просто максимизируют EMV

Критерий EMV правилен для того, кто делает много независимых ставок, каждая из которых мала по сравнению с его ресурсами: случайные удачи и неудачи тогда гасят друг друга, и итог близок к сумме EMV. Реальная компания отступает от этого идеала по нескольким причинам.

Размер ставки. Одна и та же скважина — мелкая ставка для компании с годовым бюджетом в миллиарды долларов и ставка «на всё» для компании, у которой на поиски выделено несколько десятков миллионов.
Разорение. Деньги кончаются раньше, чем закон больших чисел успевает сработать: серия неудач может остановить программу до первого открытия, даже если у каждой скважины EMV положительна. В теории вероятностей это называют разорением игрока (gambler's ruin).
Решения, которые не повторяются. Крупный проект разработки или покупка компании бывают раз в несколько лет, и «среднее по многим попыткам» для них — абстракция.
Интересы тех, кто даёт деньги. Кредиторы и акционеры по-разному относятся к риску компании, а условия кредитных договоров и бюджетные лимиты сами ограничивают допустимый убыток.

Расчётный примерТри скважины целиком или девять по трети

Исходные данные (условные)

Бюджет на поиски: 36 млн долл.: хватает на три скважины по 12 млн
Проспекты: как в примере выше: $P_g = 0{,}30$ ; проспекты из разных плеев, исходы независимы
Вариант Б: вместо трёх скважин целиком — треть доли в девяти скважинах (партнёры берут остальное)

Решение

Вариант А: все три скважины сухие с вероятностью $0{,}7^3 = 0{,}343$ . EMV: $3\cdot15{,}31 = 45{,}9$ млн долл.
Вариант Б: деньги под риском те же, 36 млн. Ни одного открытия — $0{,}7^9 = 0{,}040$ . EMV: $9\cdot15{,}31/3 = 45{,}9$ млн долл.

Ответ: При той же EMV 45,9 млн долл. вероятность остаться без открытий падает с 34 до 4 %.

Что это значит. Деление ставок не меняет среднего, но резко сокращает вероятность катастрофы. Поэтому поисковые проекты обычно ведут консорциумы: каждая компания берёт долю в нескольких проспектах, а не всё в одном. Партнёрство, страхование и другие способы снизить риск разобраны в теме Снижение риска и диверсификация. Данные примера условные.

Отсюда практика. Крупные компании с портфелем из многих независимых проектов принимают EMV основным критерием: для них премия за риск отдельной скважины мала. Функцию полезности и эквивалент определённости привлекают для ставок, сопоставимых с размером компании, и для выбора доли участия. Небольшие компании по той же причине чаще берут доли и привлекают партнёров, даже отдавая часть EMV.

Почему не поднять ставку дисконтирования

Надбавка к ставке — привычный способ «учесть риск», но к риску сухой скважины она почти не прикасается: исход скважины известен через несколько месяцев, а надбавка действует через время и сильнее всего уменьшает далёкие потоки (барьерная ставка и надбавки). Вероятность неудачи учитывают в EMV, отношение к размеру возможного убытка — через полезность; добавлять к ним надбавку за тот же риск — значит считать его дважды.

Термины и обозначения

Исход: одно из взаимоисключающих последствий решения с его вероятностью и NPV (outcome).
EMV: среднее NPV исходов, взвешенное по их вероятностям (expected monetary value).
Безубыточная вероятность $P_g^{*}$: вероятность успеха, при которой EMV бурения равна нулю; для двух исходов $C/V$ .
Передача доли (farm-out): сделка, в которой партнёр оплачивает работы (например, поисковую скважину) и получает за это долю в проекте.
Функция полезности $u(x)$: ценность суммы денег для того, кто принимает решение; у несклонного к риску — выпуклая вверх.
Эквивалент определённости (CE): гарантированная сумма, равноценная рискованному варианту по ожидаемой полезности.
Премия за риск: $\mathrm{EMV} - \mathrm{CE}$ : часть средней стоимости, которую отдают за определённость.
Толерантность к риску $R$: параметр экспоненциальной функции полезности; чем он больше, тем ближе поведение к нейтральному.
Разорение игрока: потеря всех средств серией неудач до того, как положительное среднее успеет проявиться (gambler's ruin).

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«EMV скважины 15 млн долл. — значит, она и принесёт около 15 млн».

На самом деле

Скважина принесёт либо 79 млн долл., либо убыток 12 млн. EMV — среднее по многим похожим скважинам; для одной она лишь показывает, выгодно ли такое решение в среднем.

Неверно

«Вероятность сухой скважины учтена в EMV, а для надёжности дисконтируем ещё и по ставке 20 % вместо 10 %».

На самом деле

Это двойной учёт одного и того же риска. Ставка отражает стоимость денег и общий рыночный риск; вероятность неудачи учитывают в исходах, а отношение к размеру убытка — через полезность.

Неверно

«NPV успешного исхода — это NPV разработки, а сухой — минус скважина».

На самом деле

Скважину оплачивают при любом исходе: NPV успеха — стоимость открытия минус стоимость скважины, и обе величины — на дату решения. Проверка: $P_g(V - C) - (1 - P_g)C$ должно совпасть с $P_g V - C$ .

Неверно

«EMV положительна — бурим всегда; передача доли с меньшей EMV — ошибка».

На самом деле

Для небольшой компании та же скважина может иметь отрицательный эквивалент определённости. В примере урока при $R = 30$ млн долл. бурение самим даёт CE −1,9 млн, а передача половины доли — 8,0 млн.

Неверно

«На сейсморазведку уже потрачено 5 млн, поэтому они входят в EMV бурения».

На самом деле

Уже сделанные затраты не зависят от решения и в него не входят. EMV бурения считают по будущим потокам — от стоимости скважины до доходов разработки.

Подробно: для продвинутых

Эквивалент определённости: приближение и его пределы

Если разброс исходов мал по сравнению с $R$ , экспоненту можно разложить в ряд до квадратичного члена: $\e^{-x/R} \approx 1 - x/R + x^2/(2R^2)$ . Подстановка в формулу CE даёт простое приближение.

Эквивалент определённости через среднее и дисперсию

\mathrm{CE} \approx \mathrm{EMV} - \frac{\sigma^2}{2R}, \qquad \sigma^2 = \sum_j p_j\,(x_j - \mathrm{EMV})^2

где:

$\sigma^2$ дисперсия NPV по исходам; $\sigma$ — стандартное отклонение, (млн долл.)²
$R$ толерантность к риску, млн долл.
$\mathrm{EMV},\ \mathrm{CE}$ ожидаемая стоимость и эквивалент определённости, млн долл.

Единицы: млн долл.

Справедливо, если

экспоненциальная функция полезности;
разброс исходов мал по сравнению с $R$ ( $\sigma \ll R$ ); для нормально распределённого NPV формула точна при любом разбросе.

Премия за риск пропорциональна дисперсии и обратно пропорциональна толерантности к риску: удвоение разброса исходов учетверяет премию, удвоение $R$ уменьшает её вдвое. Для двух исходов $\sigma^2 = P_g(1 - P_g)V^2$ : разброс задаёт стоимость открытия, а не скважины.

Расчётный примерКогда приближение работает, а когда нет

Исходные данные (условные)

Скважина: EMV 15,31 млн долл., $\sigma = 41{,}7$ млн долл.
Толерантность к риску: 1000 и 30 млн долл.

Решение

$R = 1000$ : приближение $15{,}31 - 1740/(2\cdot1000) = 14{,}44$ млн долл.; точный CE — 14,45.
$R = 30$ : приближение даёт −13,7 млн долл., точный CE — −1,9.

Ответ: При

R = 1000

млн долл. приближение почти точно, при

R = 30

ошибается на 12 млн долл.

Что это значит. Стандартное отклонение исходов скважины больше толерантности к риску небольшой компании, и разложение в ряд перестаёт работать. К тому же распределение исходов сильно скошено: редкий крупный выигрыш и частый небольшой убыток. Дисперсия наказывает за выигрыш так же, как за убыток, а экспоненциальная полезность — нет, поэтому приближение завышает премию за риск. Для поисковых скважин небольших компаний CE считают по точной формуле. Данные примера условные.

Какую долю в проекте брать

Если компания может выбрать долю участия $\alpha$ — оплатить долю $\alpha$ затрат на скважину и получить ту же долю стоимости открытия, — её EMV растёт пропорционально $\alpha$ , а премия за риск, по приближённой формуле, — пропорционально $\alpha^2$ . Поэтому при малой доле риск почти ничего не стоит, а при большой может перевесить выигрыш, и у эквивалента определённости появляется наибольшее значение при некоторой доле меньше единицы.

РасчётЭквивалент определённости в зависимости от доли участия в скважине для небольшой (

R = 30

млн долл.) и крупной (

R = 1000

млн долл.) компании; штриховая прямая — EMV доли. У небольшой компании CE наибольший при доле около 34 %.

Связь с другими темами

Чистая приведённая стоимость (NPV) — NPV исходов: стоимость открытия и проект из примеров библиотеки.
Геологический риск и вероятность успеха — откуда берётся вероятность успеха и почему проспекты одного плея зависимы.
Анализ чувствительности и сценарии — что относится к решению, матрица исходов и распределение NPV проекта.
Выбор ставки дисконтирования — почему риск сухой скважины не учитывают надбавкой к ставке.
Вероятностная оценка запасов методом Монте-Карло — распределение объёмов при успехе, по которому оценивают исходы открытия.
Деревья решений и ценность информации — последовательные решения и ценность дополнительной информации.
Снижение риска и диверсификация — партнёрство, передача доли, страхование и портфель как способы снизить риск.

Проверьте себя

1
Вероятность успеха скважины 0,2, стоимость открытия на дату решения 60 млн долл., стоимость скважины 9 млн долл. Какова EMV бурения?
1. А.12 млн долл.
2. Б.3 млн долл.
3. В.10,2 млн долл.
4. Г.−9 млн долл.
Показать ответ
Правильный ответ: Б. 3 млн долл.
$\mathrm{EMV} = 0{,}2\cdot60 - 9 = 3$ млн долл. По исходам: успех $0{,}2\cdot(60 - 9) = 10{,}2$ , неудача $0{,}8\cdot(-9) = -7{,}2$ , сумма 3. Ответ 12 забывает о стоимости скважины, 10,2 — о сухой скважине.
2
При вероятности успеха 0,25 открытие стоит на дату решения 80 млн долл. До какой стоимости скважины бурение сохраняет неотрицательную EMV?
1. А.60 млн долл.
2. Б.20 млн долл.
3. В.80 млн долл.
4. Г.16 млн долл.
Показать ответ
Правильный ответ: Б. 20 млн долл.
EMV $= 0{,}25\cdot80 - C \ge 0$ , откуда $C \le 20$ млн долл. Та же граница с другой стороны: при $C = 20$ безубыточная вероятность $C/V = 20/80 = 0{,}25$ .
3
У компании EMV бурения самой больше, чем EMV при передаче доли партнёру. Может ли передача доли всё же быть разумным решением?
Показать ответ
Да. При одинаковых оценках сделка лишь переносит EMV и риск к партнёру, но для небольшой компании возможный убыток значит больше, чем для крупной: её эквивалент определённости бурения самой может быть меньше, чем у варианта с передачей доли, и даже отрицательным. Кроме того, у сторон могут быть разные оценки шансов и затрат, а у владельца — нехватка денег. Решение принимают с учётом отношения к риску, а не только по EMV.
4
Четыре независимые скважины, у каждой вероятность успеха 0,25. С какой вероятностью все окажутся сухими?
1. А.0,25
2. Б.0
3. В.0,004
4. Г.0,32
Показать ответ
Правильный ответ: Г. 0,32
$(1 - 0{,}25)^4 = 0{,}75^4 \approx 0{,}32$ . Почти треть программ из четырёх таких скважин не даёт ни одного открытия, хотя ожидаемое число открытий — одно. Ответ 0,004 — вероятность того, что успешны все четыре: $0{,}25^4$ .
5
Два варианта с одинаковой EMV 10 млн долл.: А — гарантированные 10 млн; Б — с равными шансами +60 млн или −40 млн. Какой выберет компания с экспоненциальной функцией полезности и $R = 50$ млн долл.? Оцените эквивалент определённости варианта Б.
Показать ответ
$\mathrm{CE}_\text{Б} = -50\ln(0{,}5\,\e^{-60/50} + 0{,}5\,\e^{40/50})$ $= -50\ln(0{,}151 + 1{,}113) \approx -50\cdot0{,}234 \approx -11{,}7$ млн долл. Эквивалент определённости отрицателен: возможный убыток 40 млн для такой компании весит больше, чем равновероятный выигрыш 60 млн. Она выберет вариант А; премия за риск варианта Б — около 21,7 млн долл.
6
Что верно для программы из 10 независимых скважин, у каждой из которых EMV 2 млн долл.?
1. А.EMV программы — 20 млн долл., но фактический результат может сильно отличаться от этой суммы
2. Б.EMV программы равна EMV одной скважины
3. В.Программа почти наверняка принесёт около 20 млн долл.
4. Г.EMV программы меньше 20 млн долл. из-за риска
Показать ответ
Правильный ответ: А. EMV программы — 20 млн долл., но фактический результат может сильно отличаться от этой суммы
Ожидаемые стоимости складываются: $10\cdot2 = 20$ млн долл. Но результат программы — число открытий, умноженное на стоимость открытия, минус затраты, и при небольшом числе скважин он сильно разбросан вокруг среднего; может случиться и полная неудача. Риск уменьшает не EMV, а эквивалент определённости.

Обновлено: 5 октября 2026 г.