Формулы: Земля и горные породы

Формулы уроков темы «Земля и горные породы» раздела «Нефтегазовая геология» с условиями применимости и единицами, а также обозначения: что означает каждый символ в этих уроках.

Скорости продольной и поперечной волн

V_p = \sqrt{\frac{K + \tfrac{4}{3}G}{\rho}}, \qquad V_s = \sqrt{\frac{G}{\rho}}

СИ; если плотность взять в г/см³, а скорость в км/с, то $\rho V^2$ получается сразу в гигапаскалях

Справедливо, если: однородная изотропная упругая среда; модули — динамические, при малых и быстрых деформациях, которые создаёт волна.

Строение и состав Земли →

Корень гор при местной компенсации (модель Эри)

r = \frac{\rho_c}{\rho_m - \rho_c}\,h

любые согласованные: $r$ и $h$ в одних единицах длины, плотности в одних единицах

Справедливо, если: плотность коры везде одинакова, меняется только её толщина (модель Эри; в модели Пратта, наоборот, меняется плотность при общей глубине подошвы); компенсация местная: каждый столб уравновешен сам по себе, прочность литосферы не учитывается; под горами и под равниной одна и та же мантия.

Строение и состав Земли →

Мощность осадков, заполнивших бассейн (местная компенсация)

S = \frac{\rho_m - \rho_w}{\rho_m - \rho_s}\,w

любые согласованные

Справедливо, если: бассейн заполнен до прежнего уровня воды, уровень моря не менялся; компенсация местная; литосфера под бассейном за время заполнения не растягивается и не остывает; средняя плотность осадков постоянна (на деле она растёт по мере их уплотнения).

Строение и состав Земли →

Температура в слое, выделяющем радиогенное тепло

T(z) = T_0 + \frac{q_0}{\lambda}\,z - \frac{A}{2\lambda}\,z^2

СИ: $q_0$ в Вт/м², $A$ в Вт/м³, $\lambda$ в Вт/(м·К), $z$ в м; температура в °C

Справедливо, если: установившийся одномерный перенос тепла теплопроводностью, без движения подземных вод; $\lambda$ и $A$ постоянны в слое толщиной $D$ ; ниже, где $A \approx 0$ , градиент постоянен и равен $(q_0 - A D)/\lambda$ ; нет недавнего нагрева или остывания: рифтинг, быстрое осадконакопление и размыв нарушают установившийся профиль.

Строение и состав Земли →

Расстояние, на котором головная волна обгоняет прямую

x_c = 2h\,\sqrt{\frac{V_2 + V_1}{V_2 - V_1}}

любые согласованные

Справедливо, если: граница горизонтальна, слои однородны; источник и приёмники на поверхности.

Строение и состав Земли →

Теплогенерация по содержанию урана, тория и калия

A = 10^{-5}\,\rho\,\left(9{,}52\,C_U + 2{,}56\,C_{Th} + 3{,}48\,C_K\right)

$A$ — мкВт/м³, $\rho$ — кг/м³, $C_U$ и $C_{Th}$ — ppm, $C_K$ — % по массе

Справедливо, если: коэффициенты — тепло распада, выделяемое 1 кг природного урана (около 95 мкВт), тория (около 26 мкВт) и калия (около 0,0035 мкВт), пересчитанное на принятые единицы содержаний; в разных сводках констант распада они расходятся на несколько процентов; ряды урана и тория в радиоактивном равновесии.

Строение и состав Земли →

Соотношение кислорода и кремния в силикатной постройке

\frac{N_{\text{O}}}{N_{\text{Si}}} = 4 - \frac{s}{2}

безразмерная величина

Справедливо, если: все тетраэдры кремниевые; если часть кремния заменена алюминием, в знаменатель входит сумма атомов кремния и алюминия в тетраэдрах.

Минералы и горные породы →

Плотность обломка гидростатическим взвешиванием

\rho = \rho_l\,\frac{W_a}{W_a - W_l}

показания весов в одних единицах, плотности в одних единицах

Справедливо, если: обломок из одного минерала, без пор и трещин, в которые проникает жидкость (иначе получится плотность с учётом пустот); жидкость не растворяет обломок и не реагирует с ним, пузырьки воздуха удалены; выталкивающей силой воздуха пренебрегают (поправка меньше 0,1 %).

Минералы и горные породы →

Содержание кальцита и доломита по объёму углекислого газа

w_{cc} = \frac{V_1}{k\,m}, \qquad w_{dol} = \frac{V_2}{1{,}086\,k\,m}

мл и г; $k$ определяют калибровкой при тех же условиях

Справедливо, если: соляная кислота в избытке; кальцит реагирует почти полностью за первую минуту, доломит — за десятки минут, и граница по времени условна; сидерит и другие медленно реагирующие карбонаты попадают в «доломит»; часть газа растворяется в кислоте; калибровка по чистому кальциту в тех же условиях это учитывает.

Минералы и горные породы →

Скорость спрединга по датированной магнитной аномалии

v = \frac{x}{t}, \qquad V = v_1 + v_2

километры и миллионы лет: 1 км/млн лет = 1 мм/год

Справедливо, если: дно образуется на узкой оси хребта, и его намагниченность не меняется после остывания; скорость — средняя за время $t$ ; если она менялась, разные аномалии дают разные значения; расстояние измеряют вдоль направления раскрытия — параллельно трансформным разломам; косой профиль через полосы искажает скорость (если ось хребта перпендикулярна раскрытию — завышает).

Тектоника плит и осадочные бассейны →

Начальное (синрифтовое) погружение при растяжении литосферы

S_i = \frac{a\left[(\rho_m - \rho_c)\,\frac{t_c}{a}\left(1 - \frac{\alpha_V T_1 t_c}{2a}\right) - \frac{\rho_m \alpha_V T_1}{2}\right]}{\rho_m\,(1 - \alpha_V T_1) - \rho_w}\left(1 - \frac{1}{\beta}\right)

СИ; при $a$ и $t_c$ в километрах $S_i$ получается в километрах

Справедливо, если: растяжение мгновенное и однородное: кора и мантийная литосфера утоняются в одинаковое число раз, а распределение температуры в литосфере остаётся линейным; местная изостазия, прочность литосферы не учитывается; плотность пород уменьшается с температурой как $\rho(T) = \rho_0(1 - \alpha_V T)$ ; впадина заполнена водой, исходная поверхность — на уровне моря.

Тектоника плит и осадочные бассейны →

Термическое (пострифтовое) погружение

S_t(t) = E_0\,\frac{\beta}{\pi}\sin\frac{\pi}{\beta}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),\qquad E_0 = \frac{4\,a\,\rho_m \alpha_V T_1}{\pi^2(\rho_m - \rho_w)},\qquad \tau = \frac{a^2}{\pi^2 \kappa}

СИ ( $\tau$ из секунд переводят в миллионы лет: 1 млн лет ≈ $3{,}156\cdot10^{13}$ с)

Справедливо, если: литосфера остывает теплопроводностью по вертикали; бассейн шире примерно 100 км, и тепло не уходит в стороны; из ряда, описывающего остывание, взят первый, самый медленный член: при $\beta$ от 1,3 до 3 предельное термическое погружение отличается от суммы ряда на несколько процентов, при $\beta$ около 1,2 занижено примерно на 7 %; в первые 20 млн лет после растяжения расхождение больше — до 10–25 %, но и само термическое погружение тогда ещё невелико; не учтены радиогенное тепло и то, что осадки с низкой теплопроводностью «утепляют» литосферу и замедляют остывание.

Тектоника плит и осадочные бассейны →

Изгибная жёсткость и изгибный параметр литосферы

D = \frac{E\,T_e^3}{12\,(1 - \nu^2)}, \qquad \alpha = \left[\frac{4D}{(\rho_m - \rho_i)\,g}\right]^{1/4}

СИ

Справедливо, если: тонкая упругая плита постоянной толщины на жидком основании (астеносфера за время образования прогиба ведёт себя как жидкость); весь прогиб заполнен материалом одной плотности $\rho_i$ ; выталкивает плиту вверх разность $\rho_m - \rho_i$ .

Тектоника плит и осадочные бассейны →

Прогиб разорванной упругой плиты под нагрузкой на её конце

w(x) = w_0\,e^{-x/\alpha}\cos\frac{x}{\alpha}, \qquad x_0 = \frac{\pi}{2}\,\alpha, \qquad x_b = \frac{3\pi}{4}\,\alpha, \qquad w_b \approx -0{,}067\,w_0

любые согласованные: $x$ и $\alpha$ в одних единицах длины

Справедливо, если: плита разорвана под фронтом надвигов, нагрузка — линейная, на её конце; так обычно моделируют передовые прогибы перед горными поясами; если считать плиту сплошной, край прогиба дальше ( $x_0 = 3\pi\alpha/4$ ), гребень на $x_b = \pi\alpha$ , а поднятие ниже — 4,3 % от $w_0$ .

Тектоника плит и осадочные бассейны →

Изостатическое равновесие исходного и растянутого столбов

M_0 = \rho_w S_i + \frac{M_0}{\beta} + \rho_m(1 - \alpha_V T_1)\left(a - \frac{a}{\beta} - S_i\right)

СИ

Справедливо, если: местная изостазия: на глубине $a$ давление под исходным и растянутым столбами одинаково.

Тектоника плит и осадочные бассейны →

Скорость точки плиты, вращающейся вокруг полюса

v = \omega\,R\,\sin\Delta

км и миллионы лет

Справедливо, если: плиты жёсткие; Земля — шар.

Тектоника плит и осадочные бассейны →

Закон радиоактивного распада и возраст по накопленному дочернему изотопу

P = P_0\,e^{-\lambda t}, \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}, \qquad t = \frac{1}{\lambda}\ln\left(1 + \frac{D^*}{P}\right)

$\lambda$ и $t$ во взаимно обратных единицах (год⁻¹ и годы); $D^*/P$ — отношение чисел атомов; ln — натуральный логарифм

Справедливо, если: система закрыта: после образования минерала материнский и дочерний изотопы в него не приходили и из него не уходили; дочернего изотопа в начале не было или его начальное количество известно (иначе — метод изохрон, раздел для углублённого изучения); каждый распад даёт атом именно этого дочернего изотопа; у ⁴⁰K в ⁴⁰Ar превращается лишь около 10 % распадов (остальные дают ⁴⁰Ca), поэтому для калий-аргонового возраста $D^*/P$ делят на эту долю; постоянная распада известна точно; возраст отсчитывается от момента, когда минерал остыл настолько, что дочерний изотоп перестал из него уходить.

Стратиграфия и геологическое время →

Скорость создания пространства для осадков

\dot A = \dot S + \dot E

м/млн лет (то же, что мм за тысячу лет)

Справедливо, если: уплотнение ранее отложенных осадков включено в погружение; прогиб литосферы под весом самих осадков и воды не выделен из тектонического погружения (изостазия).

Стратиграфия и геологическое время →

Изохрона рубидий-стронциевой системы

\frac{{}^{87}\mathrm{Sr}}{{}^{86}\mathrm{Sr}} = \left(\frac{{}^{87}\mathrm{Sr}}{{}^{86}\mathrm{Sr}}\right)_0 + \left(e^{\lambda t} - 1\right)\frac{{}^{87}\mathrm{Rb}}{{}^{86}\mathrm{Sr}}

отношения чисел атомов, безразмерные

Справедливо, если: образцы одновременны и имели одинаковое начальное отношение изотопов стронция; после образования система оставалась закрытой.

Стратиграфия и геологическое время →

Обозначения

Символ	Значение и где встречается
$\dot A$	скорость относительного подъёма уровня моря, то есть создания пространства для осадков; отрицательная — относительное падение уровня, м/млн летСтратиграфия и геологическое время
$\dot S$	скорость тектонического погружения дна; поднятие — со знаком минус, м/млн летСтратиграфия и геологическое время
$\dot E$	скорость эвстатического изменения уровня моря; подъём — со знаком плюс, м/млн летСтратиграфия и геологическое время
$\left(\frac{{}^{87}\mathrm{Sr}}{{}^{86}\mathrm{Sr}}\right)_0$	начальное отношение, одинаковое для всех образцов, —Стратиграфия и геологическое время
$\frac{{}^{87}\mathrm{Rb}}{{}^{86}\mathrm{Sr}}$	измеренное отношение материнского ⁸⁷Rb к ⁸⁶Sr в образце, —Стратиграфия и геологическое время
$\frac{{}^{87}\mathrm{Sr}}{{}^{86}\mathrm{Sr}}$	измеренное отношение изотопов стронция в образце, —Стратиграфия и геологическое время
$a$	толщина литосферы до растяжения; типично 125 км, мТектоника плит и осадочные бассейны
$A$	теплогенерация (heat production) — тепло радиоактивного распада, выделяемое в 1 м³ породы (обычно указывают в мкВт/м³), Вт/м³Строение и состав Земли теплогенерация породы, мкВт/м³Строение и состав Земли
$a,\ \rho_m,\ \rho_w,\ \alpha_V,\ T_1,\ \beta$	как в формуле начального погружения, см. вышеТектоника плит и осадочные бассейны
$C_K$	содержание калия, % по массеСтроение и состав Земли
$C_U,\ C_{Th}$	содержание урана и тория, ppm (г/т)Строение и состав Земли
$D$	изгибная жёсткость плиты, Н·мТектоника плит и осадочные бассейны
$D^*$	число атомов радиогенного дочернего изотопа, накопившихся за время $t$ : $D^* = P_0 - P$ , атомыСтратиграфия и геологическое время
$E$	модуль Юнга литосферы; типично 70 ГПа, ПаТектоника плит и осадочные бассейны
$E_0$	масштаб термического погружения; при типичных значениях около 3,2 км, мТектоника плит и осадочные бассейны
$g$	ускорение свободного падения, 9,81, м/с²Тектоника плит и осадочные бассейны
$G$	модуль сдвига: сопротивление изменению формы, ПаСтроение и состав Земли
$h$	высота гор над поверхностью этой равнины, кмСтроение и состав Земли толщина верхнего слоя (коры), кмСтроение и состав Земли
$k$	объём газа от 1 г чистого кальцита по калибровке прибора; около 240 мл/г при 20 °C и атмосферном давлении, мл/гМинералы и горные породы
$K$	модуль всестороннего сжатия: сопротивление изменению объёма, ПаСтроение и состав Земли
$m$	масса навески, гМинералы и горные породы
$M_0$	масса столба исходной литосферы сечением 1 м² от поверхности до глубины $a$ — интеграл плотности по глубине, кг/м²Тектоника плит и осадочные бассейны
$N_{\text{O}}/N_{\text{Si}}$	число атомов кислорода на один атом кремния, —Минералы и горные породы
$P_0,\ P$	число атомов материнского изотопа в минерале в момент его образования и сейчас, атомы (или моли)Стратиграфия и геологическое время
$q_0$	тепловой поток у поверхности, Вт/м²Строение и состав Земли
$r$	глубина корня: насколько подошва коры под горами глубже, чем под равниной с нормальной корой, кмСтроение и состав Земли
$R$	радиус Земли, 6371 км, кмТектоника плит и осадочные бассейны
$s$	сколько вершин в среднем тетраэдр делит с соседними тетраэдрами (от 0 до 4), —Минералы и горные породы
$S$	мощность осадков, заполнивших бассейн до прежнего уровня воды, кмСтроение и состав Земли
$S_i$	погружение поверхности сразу после растяжения, если впадина заполнена водой; отрицательное значение означает подъём, мТектоника плит и осадочные бассейны
$S_i,\ \rho_w,\ \rho_m,\ \alpha_V,\ T_1,\ a,\ \beta$	как в формуле начального погружения, см. вышеТектоника плит и осадочные бассейны
$S_t(t)$	погружение за время $t$ после окончания растяжения (впадина заполнена водой), мТектоника плит и осадочные бассейны
$t$	возраст этой границы по шкале инверсий, млн летТектоника плит и осадочные бассейны время после растяжения, млн летТектоника плит и осадочные бассейны возраст — время, прошедшее с закрытия системы, летСтратиграфия и геологическое время возраст, летСтратиграфия и геологическое время
$T_0$	среднегодовая температура поверхности, °CСтроение и состав Земли
$T_1$	температура подошвы литосферы и астеносферы; типично 1333 °C (поверхность — 0 °C), °CТектоника плит и осадочные бассейны
$t_{1/2}$	период полураспада: время, за которое распадается половина материнских ядер, летСтратиграфия и геологическое время
$t_c$	толщина коры до растяжения, мТектоника плит и осадочные бассейны
$T_e$	эффективная упругая толщина, мТектоника плит и осадочные бассейны
$T(z)$	температура на глубине $z$ , °CСтроение и состав Земли
$v$	полускорость — скорость удаления дна одной стороны от оси хребта, мм/год = км/млн летТектоника плит и осадочные бассейны скорость точки относительно соседней плиты, км/млн лет = мм/годТектоника плит и осадочные бассейны
$V$	полная скорость раскрытия: сумма полускоростей двух сторон, мм/годТектоника плит и осадочные бассейны
$V_1$	объём газа, выделившегося за первую минуту (кальцит), млМинералы и горные породы
$V_1,\ V_2$	скорости продольных волн в коре и в верхней мантии, км/сСтроение и состав Земли
$V_2$	объём газа, выделившегося затем за 20–30 минут (доломит), млМинералы и горные породы
$V_p,\ V_s$	скорости продольной и поперечной волн, м/сСтроение и состав Земли
$w$	исходная глубина воды в бассейне, кмСтроение и состав Земли
$w_0$	прогиб под нагрузкой — у фронта надвигов, мТектоника плит и осадочные бассейны
$W_a$	показание весов при взвешивании в воздухе, гМинералы и горные породы
$w_{cc},\ w_{dol}$	массовые доли кальцита и доломита в навеске, доли единицыМинералы и горные породы
$W_l$	показание весов, когда обломок подвешен в жидкости, гМинералы и горные породы
$w(x)$	прогиб (вниз — положительный) на расстоянии $x$ от нагрузки, мТектоника плит и осадочные бассейны
$x$	расстояние от оси хребта до границы полос намагниченности, кмТектоника плит и осадочные бассейны
$x_0$	расстояние до края прогиба, где изгиб меняет знак, мТектоника плит и осадочные бассейны
$x_b,\ w_b$	расстояние до гребня периферического поднятия и его высота (знак минус — вверх), мТектоника плит и осадочные бассейны
$x_c$	расстояние от источника, на котором первыми начинают приходить головные волны (излом графика «время — расстояние»), кмСтроение и состав Земли
$z$	глубина, мСтроение и состав Земли
$\alpha$	изгибный параметр — характерная длина изгиба, мТектоника плит и осадочные бассейны
$\alpha_V$	объёмный коэффициент теплового расширения пород; типично $3{,}28\cdot10^{-5}$ , К⁻¹Тектоника плит и осадочные бассейны
$\beta$	коэффициент растяжения: во сколько раз утонились кора и литосфера, —Тектоника плит и осадочные бассейны
$\Delta$	угловое расстояние точки от полюса вращения, °Тектоника плит и осадочные бассейны
$\kappa$	температуропроводность пород; типично $0{,}8\cdot10^{-6}$ , м²/сТектоника плит и осадочные бассейны
$\lambda$	теплопроводность пород слоя, Вт/(м·К)Строение и состав Земли постоянная распада — доля ядер, распадающихся за единицу времени, год⁻¹Стратиграфия и геологическое время постоянная распада ⁸⁷Rb, $1{,}3972\cdot 10^{-11}$ , год⁻¹Стратиграфия и геологическое время
$\nu$	коэффициент Пуассона; типично 0,25, —Тектоника плит и осадочные бассейны
$\rho$	плотность, кг/м³Строение и состав Земли плотность породы, кг/м³Строение и состав Земли плотность обломка, г/см³Минералы и горные породы
$\rho_c$	плотность коры, г/см³Строение и состав Земли
$\rho_i$	плотность того, что заполняет прогиб: осадков, воды или воздуха, кг/м³Тектоника плит и осадочные бассейны
$\rho_l$	плотность жидкости: вода около 1,00, керосин около 0,8, г/см³Минералы и горные породы
$\rho_m$	плотность верхней мантии, г/см³Строение и состав Земли плотность мантии под плитой, кг/м³Тектоника плит и осадочные бассейны
$\rho_m,\ \rho_c$	плотности мантии и коры при 0 °C; типично 3330 и 2800 кг/м³, кг/м³Тектоника плит и осадочные бассейны
$\rho_m,\ \rho_w,\ \rho_s$	плотности мантии, воды и осадков (средняя по толще), г/см³Строение и состав Земли
$\rho_w$	плотность воды, заполняющей впадину (морская вода — 1030), кг/м³Тектоника плит и осадочные бассейны
$\tau$	тепловая постоянная времени литосферы; при $a$ = 125 км около 63 млн лет, млн летТектоника плит и осадочные бассейны
$\omega$	угловая скорость относительного вращения плит, рад/млн лет (градусы × π/180)Тектоника плит и осадочные бассейны