Аннуитеты и дисконтированная добыча

Кратко о главном

Ряд из $n$ равных платежей $A$ в конце каждого года стоит сегодня $A\,a_n(i)$ , где $a_n(i) = [1 - (1+i)^{-n}]/i$ — множитель аннуитета, сумма коэффициентов дисконтирования с 1-го по $n$ -й год.
Множитель всегда меньше $n$ и с ростом срока стремится к $1/i$ — стоимости бессрочной ренты. При 10 % ряд на 30 лет стоит 9,43 годового платежа, а вечный — 10: дальние годы добавляют мало.
Аванс, середина года и отсрочка меняют стоимость ряда постоянными множителями $(1+i)$ , $(1+i)^{0{,}5}$ и $(1+i)^{-m}$ . Наращённую к последнему платежу сумму даёт множитель $s_n(i) = [(1+i)^{n} - 1]/i$ .
Ряд, меняющийся на долю $g$ в год, приводят формулой растущей ренты; падающая добыча — это $g < 0$ . Бессрочный растущий ряд конечен, только пока $g < i$ .
При постоянной цене приведённая выручка равна цене, умноженной на дисконтированную добычу $Q_\text{д}$ : дисконтировать баррели — значит вынести цену за знак суммы. Если цена растёт на $e_r$ в год, баррели дисконтируют по ставке $(1+i)/(1+e_r) - 1$ .
При экспоненциальном падении $q = q_i e^{-Dt}$ и непрерывном дисконтировании дисконтированная добыча равна $q_i[1 - e^{-(D+j)T}]/(D+j)$ , где $j = \ln(1+i)$ : дисконтирование действует как дополнительное падение.

Ключевые соотношения

a_n(i) = \sum_{t=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^{t}} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

множитель аннуитета: платежи в конце каждого года

PV_\infty = \frac{A}{i}, \qquad PV_{g,\infty} = \frac{A_1}{i-g}

бессрочная рента: постоянная и растущая (при $g < i$ )

PV_R = P\,Q_\text{д}, \qquad Q_\text{д} = \sum_t \frac{Q_t}{(1+i)^{t}}

приведённая выручка при постоянной цене

1 + i_q = \frac{1+i}{1+e_r}

ставка для баррелей при реальном росте цены $e_r$ в год

Q_\text{д} = \frac{q_i\left[1 - e^{-(D+j)T}\right]}{D+j}, \qquad j = \ln(1+i)

экспоненциальное падение дебита при непрерывном дисконтировании

Где чаще всего ошибаются

Брать множитель для платежей в конце года, когда платежи приходят в середине года или авансом: ошибка в $(1+i)^{0{,}5}$ или $(1+i)$ раз.
Подставлять в непрерывную формулу годовую долю падения $d$ и эффективную ставку $i$ вместо $D = -\ln(1-d)$ и $j = \ln(1+i)$ .
Дисконтировать баррели по той же ставке, что и деньги, когда цена в деньгах расчёта не постоянна: например, в постоянных ценах растёт сверх инфляции или, оставаясь постоянной в номинальных деньгах, падает.
Считать дисконтированную добычу «настоящими» запасами: объекты проектируют и запасы учитывают по недисконтированным объёмам.
Пользоваться растущей бессрочной рентой при $g$ , близком к $i$ : результат неограниченно растёт и ничего не значит.

После урока вы сможете

вывести множитель аннуитета и вычислять приведённую и наращённую стоимость ряда равных платежей при любом моменте платежа внутри года;
находить, за сколько лет равные поступления возвращают вложение с заданной доходностью и какую доходность они дают;
оценивать ряды, растущие или падающие с постоянным темпом, и бессрочные ряды — и понимать, когда такая оценка теряет смысл;
рассчитывать дисконтированную добычу и коэффициент приведения запасов и объяснять, почему дисконтирование баррелей согласуется с дисконтированием выручки при постоянной цене;
выбирать ставку для дисконтирования баррелей, когда цена растёт, падает или задана в номинальных деньгах;
вычислять дисконтированную добычу при экспоненциальном падении дебита и непрерывном дисконтировании.

Аннуитет и его множитель

Во многих расчётах деньги приходят или уходят равными суммами через равные промежутки: арендная плата за установку, тариф за перекачку нефти по чужому трубопроводу, взносы по кредиту, ежегодная экономия от замены оборудования, выручка на полке добычи при постоянной цене. Такой ряд называют аннуитетом (annuity), или постоянной рентой. Если платежи приходят в конце каждого периода, это рента постнумерандо (ordinary annuity), если в начале — пренумерандо (annuity due). Ниже, если не сказано иное, платежи годовые и приходят в конце года: первый — через год после начала отсчёта.

Приведённую стоимость ряда можно найти, как любого ряда, — сложив дисконтированные платежи (приведённая стоимость ряда платежей). Но для равных платежей сумма сворачивается в формулу, и проще всего её увидеть через бессрочную ренту (perpetuity) — ряд, который никогда не кончается.

Положите на счёт сумму $A/i$ под ставку $i$ . Каждый год она приносит ровно $A$ процентов; если их снимать, вклад остаётся нетронутым, и выплаты идут вечно. Значит, вечный ряд платежей $A$ стоит сегодня $A/i$ . Ряд из $n$ платежей — это вечный ряд, из которого вычли такой же вечный ряд, начинающийся после $n$ -го года. Вычитаемый ряд на конец $n$ -го года тоже стоит $A/i$ , а сегодня — $(A/i)(1+i)^{-n}$ . Разность и есть формула аннуитета.

Приведённая стоимость аннуитета и множитель аннуитета

PV = A\,a_n(i), \qquad a_n(i) = \sum_{t=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^{t}} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}

где:

$PV$ приведённая стоимость всего ряда на момент начала отсчёта, млн долл.
$A$ равный платёж в конце каждого года, млн долл. в год
$a_n(i)$ множитель аннуитета — приведённая стоимость единицы, получаемой в конце каждого из $n$ лет, число годовых платежей
$i$ ставка дисконтирования, доля единицы в год
$n$ число платежей (лет), —

Единицы: любая валюта; $A$ и $PV$ — в одних денежных единицах, ставка — эффективная за период платежа

Справедливо, если

платежи равны и идут без пропусков с периодом ставки: годовая ставка — годовые платежи;
первый платёж — через один период после начала отсчёта, последний — через $n$ периодов; другие моменты учитывают множителями из следующего раздела;
ставка постоянна весь срок; при $i = 0$ множитель равен $n$ ;
платежи и ставка — в одних деньгах: в постоянных ценах — реальная ставка, в номинальных — номинальная (Инфляция: номинальные и реальные деньги).

$a_n(i)$ показывает, сколько годовых платежей стоит весь ряд сегодня. Он всегда меньше $n$ — каждый платёж дисконтируется — и с ростом $n$ стремится к $1/i$ , стоимости вечной ренты. Чем выше ставка, тем раньше наступает этот предел: дальние платежи почти ничего не добавляют.

РасчётМножитель аннуитета

a_n(i)

в зависимости от числа годовых платежей при ставках 5, 10 и 20 %. Штриховые линии — пределы

1/i

, к которым множитель приближается при бесконечном сроке.

Множитель аннуитета

a_n(i)

: во сколько годовых платежей обходится ряд

Ставка $i$: 5 %
10 лет: 7,722
20 лет: 12,462
30 лет: 15,372
Вечно, $1/i$: 20,000

Ставка $i$: 10 %
10 лет: 6,145
20 лет: 8,514
30 лет: 9,427
Вечно, $1/i$: 10,000

Ставка $i$: 15 %
10 лет: 5,019
20 лет: 6,259
30 лет: 6,566
Вечно, $1/i$: 6,667

Ставка $i$: 20 %
10 лет: 4,192
20 лет: 4,870
30 лет: 4,979
Вечно, $1/i$: 5,000

Ставка $i$	10 лет	20 лет	30 лет	Вечно, $1/i$
5 %	7,722	12,462	15,372	20,000
10 %	6,145	8,514	9,427	10,000
15 %	5,019	6,259	6,566	6,667
20 %	4,192	4,870	4,979	5,000

Платежи в конце каждого года. Таблица нужна для прикидок; сам множитель проще вычислить по формуле.

Формулу можно решать и относительно срока. Если вложение $PV$ сделано сейчас, а поступления $A$ приходят в конце каждого года, приведённая стоимость поступлений сравняется с вложением, когда $a_n(i) = PV/A$ . Отсюда следует срок, за который поступления возвращают вложение вместе с доходностью $i$ на него, — дисконтированный срок окупаемости равного ряда (Накопленный денежный поток и срок окупаемости):

Число равных платежей, возвращающих вложение

n = -\frac{\ln\left(1 - i\,PV/A\right)}{\ln(1+i)}

где:

$n$ число годовых платежей, при котором их приведённая стоимость равна $PV$ ; может быть дробным, лет
$PV$ вложение сейчас (или сумма долга), млн долл.
$A$ равное поступление (или выплата) в конце каждого года, млн долл. в год
$i$ ставка дисконтирования, доля единицы в год
$\ln$ натуральный логарифм, —

Единицы: $PV$ и $A$ — в одних денежных единицах, $i$ — доля единицы в год

Справедливо, если

решение существует, только если $i\,PV < A$ : иначе поступлений не хватает даже на проценты, и вложение не возвращается никогда;
дробное $n$ — непрерывная оценка; при платежах в конце года вложение окупается с платежом года, номер которого — ближайшее целое сверху.

Без дисконтирования ( $i \to 0$ ) формула даёт простой срок окупаемости $PV/A$ . С ростом ставки срок растёт всё быстрее и при $i\,PV/A \to 1$ уходит в бесконечность.

Расчётный примерОкупятся ли частотные преобразователи

Исходные данные (условные)

Частотные преобразователи для 40 скважин с установками электроцентробежных насосов (УЭЦН): 1,9 млн долл. сейчас
Экономия электроэнергии: 0,42 млн долл. в конце каждого года, 7 лет службы, в постоянных ценах
Ставка дисконтирования: 10 % (реальная)

Решение

Множитель аннуитета: $1{,}1^{-7} = 0{,}51316$ , $a_7(10\,\%) = (1 - 0{,}51316)/0{,}1 = 4{,}8684$ .
Приведённая экономия: $0{,}42\cdot 4{,}8684 = 2{,}045$ млн долл.; чистая приведённая стоимость $\mathrm{NPV} = 2{,}045 - 1{,}9 = 0{,}145$ млн долл.
Без дисконтирования экономия за 7 лет — $7\cdot0{,}42 = 2{,}94$ млн долл., простой срок окупаемости $1{,}9/0{,}42 = 4{,}5$ года.
С учётом ставки: $a_n = 1{,}9/0{,}42 = 4{,}524$ , $n = -\ln(1 - 0{,}1\cdot4{,}524)/\ln 1{,}1$ $= 6{,}3$ года.
Если оборудование прослужит 6 лет, а не 7: $0{,}42\cdot a_6(10\,\%) = 0{,}42\cdot4{,}3553 = 1{,}829$ млн долл. — меньше вложения.

Ответ: Приведённая экономия — 2,045 млн долл. при вложении 1,9 млн: NPV ≈ +0,145 млн долл., вложение возвращается с доходностью 10 % примерно за 6,3 года.

Что это значит. Простой расчёт создаёт иллюзию большого запаса: 2,94 млн долл. экономии против 1,9 млн затрат и окупаемость за 4,5 года. С учётом стоимости денег запас мал: проект окупается лишь на седьмом году из семи, и сокращение срока службы на год делает NPV отрицательным. Поэтому для таких решений важнее всего надёжность допущения о сроке службы и о том, что скважины будут работать весь этот срок. Данные примера условные.

Аванс, середина года, отсрочка и наращённая сумма

Формула аннуитета предполагает платежи в конце каждого года. В годовых моделях поток года часто относят к его середине, аренду платят авансом, а выплаты нередко начинаются не сразу. Всё это — тот же ряд, сдвинутый во времени, поэтому его стоимость отличается от $A\,a_n(i)$ постоянным множителем (соглашения о моменте платежа).

Один и тот же ряд из

n

платежей при разных моментах платежа

Когда приходят платежи: в конце каждого года (постнумерандо)
Множитель: $a_n(i)$
$n = 10$ , $i = 10\,\%$: 6,145

Когда приходят платежи: в начале каждого года (пренумерандо, аванс)
Множитель: $(1+i)\,a_n(i)$
$n = 10$ , $i = 10\,\%$: 6,759

Когда приходят платежи: в середине каждого года, отсчёт от начала 1-го года
Множитель: $(1+i)^{0{,}5}\,a_n(i)$
$n = 10$ , $i = 10\,\%$: 6,444

Когда приходят платежи: в конце года, но первый платёж через $m + 1$ лет
Множитель: $(1+i)^{-m}\,a_n(i)$
$n = 10$ , $i = 10\,\%$: 5,078 при $m = 2$

Когда приходят платежи: наращённая сумма на дату последнего платежа
Множитель: $s_n(i) = (1+i)^{n}\,a_n(i)$
$n = 10$ , $i = 10\,\%$: 15,937

Когда приходят платежи	Множитель	$n = 10$ , $i = 10\,\%$
в конце каждого года (постнумерандо)	$a_n(i)$	6,145
в начале каждого года (пренумерандо, аванс)	$(1+i)\,a_n(i)$	6,759
в середине каждого года, отсчёт от начала 1-го года	$(1+i)^{0{,}5}\,a_n(i)$	6,444
в конце года, но первый платёж через $m + 1$ лет	$(1+i)^{-m}\,a_n(i)$	5,078 при $m = 2$
наращённая сумма на дату последнего платежа	$s_n(i) = (1+i)^{n}\,a_n(i)$	15,937

Множители — это сдвиг всего ряда во времени: на год раньше — умножение на $1+i$ , на полгода раньше — на $(1+i)^{0{,}5}$ , на $m$ лет позже — деление на $(1+i)^{m}$ .

Иногда нужна не приведённая, а наращённая сумма — например, сколько накопится в фонде, если вносить в него равные суммы. Её даёт множитель наращения ренты; он уже встречался при сравнении вариантов по конечной стоимости (сравнение по конечной стоимости).

Наращённая сумма ряда равных взносов

FV_n = A\,s_n(i), \qquad s_n(i) = \frac{(1+i)^{n} - 1}{i} = (1+i)^{n}\,a_n(i)

где:

$FV_n$ сумма, накопленная к дате последнего, $n$ -го взноса, млн долл.
$A$ равный взнос в конце каждого года, млн долл. в год
$s_n(i)$ множитель наращения ренты, число годовых взносов
$i$ доходность счёта или фонда, доля единицы в год

Единицы: любая валюта; ставка — эффективная за период взноса

Справедливо, если

взносы равны и идут через равные промежутки; доход капитализируется по той же ставке;
сумма отнесена к моменту последнего взноса; к более поздней дате её наращивают дальше множителем $(1+i)^{k}$ .

Обратная величина $1/s_n(i)$ показывает, какой равный взнос нужен, чтобы к сроку накопить единицу. По ней рассчитывают отчисления в фонд будущих затрат, например на ликвидацию промысла.

Расчётный примерРавные взносы в ликвидационный фонд

Исходные данные (условные)

Ликвидация промысла (проект из примеров библиотеки): 12 млн долл. в середине 10-го года
Взносы: равные, в середине каждого года добычи — с 3-го по 9-й, всего 7
Доходность фонда: 3 % в год сверх инфляции (надёжные вложения)
Ставка дисконтирования проекта: 10 % (реальная); начало отсчёта — середина 1-го года

Решение

К последнему взносу, в середине 9-го года, семь взносов $A$ накапливаются до $A\,s_7(3\,\%)$ ; $s_7 = (1{,}03^{7} - 1)/0{,}03 = 7{,}66246$ .
До ликвидации остаётся год роста: $A\cdot 7{,}66246\cdot 1{,}03 = A\cdot 7{,}8923 = 12$ , откуда $A = 1{,}520$ млн долл. в год.
Всего взносов $7\cdot 1{,}520 = 10{,}64$ млн долл.; недостающее до 12 млн дают доходы фонда.
Для проекта при 10 %: взносы стоят $1{,}520\cdot\sum_{t=2}^{8} 1{,}1^{-t}$ $= 1{,}520\cdot 4{,}4258 = 6{,}73$ млн долл., а оплата ликвидации в срок — $12\cdot 1{,}1^{-9} = 5{,}09$ млн долл.

Ответ: Нужно вносить около 1,520 млн долл. в год; для проекта при ставке 10 % фонд обходится на 1,64 млн долл. дороже, чем оплата ликвидации в срок.

Что это значит. Фонд — не экономия, а гарантия: деньги лежат под 3 %, тогда как проект требует 10 %, и эта разница стоит проекту 1,64 млн долл. в приведённых деньгах. Зато к сроку ликвидации деньги точно есть, поэтому фонд часто требуют государство или партнёры. Если взносы уменьшают налогооблагаемую прибыль, его стоимость для проекта ниже; как поздние затраты и отложенные под них деньги влияют на доходность, разобрано в уроке о внутренней норме доходности. Данные примера условные.

Формулы ренты решают и относительно других величин. Платёж по известной сумме: $A = PV/a_n(i)$ — так считают равные выплаты по кредиту, а в оценке проектов — равные годовые затраты, эквивалентные капитальным вложениям. Множитель $1/a_n(i)$ называют коэффициентом возмещения капитала (capital recovery factor), а в банковских расчётах аннуитетных платежей — коэффициентом аннуитета; не путайте его с множителем аннуитета $a_n(i)$ . Как коэффициент возмещения капитала применяют для сравнения вариантов, разбирает урок Годовой платёж за капитал. Ставку при известных $PV$ , $A$ и $n$ находят только численно: это внутренняя норма доходности ряда (Внутренняя норма доходности (IRR)), пример — в разделе для углублённого изучения.

Растущие и падающие ряды

Равные платежи — удобное, но редкое упрощение. Дебит скважины падает, тарифы индексируют, затраты растут. Если ряд меняется на одну и ту же долю $g$ каждый год — растёт при $g > 0$ , падает при $g < 0$ , — его приведённая стоимость тоже сворачивается в формулу растущей ренты (growing annuity). Её выводят так же, как формулу аннуитета: вечный растущий ряд минус такой же ряд, начинающийся после $n$ -го года.

Приведённая стоимость ряда с постоянным темпом изменения

PV = \frac{A_1}{i - g}\left[1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^{n}\right], \qquad g \ne i

где:

$A_1$ первый платёж — в конце 1-го года; платёж года $t$ равен $A_1(1+g)^{t-1}$ , млн долл.
$g$ годовой темп изменения платежа; при падении — отрицательный: $g = -d$ , доля единицы в год
$i$ ставка дисконтирования, доля единицы в год
$n$ число платежей, —

Единицы: любая валюта; $g$ и $i$ — доли единицы за один и тот же период

Справедливо, если

темп $g$ постоянен весь срок; для падающего ряда $d$ — доля, на которую платёж уменьшается за год;
при $g = i$ формула не определена, но предел конечен: $PV = n A_1/(1+i)$ — рост в точности возмещает дисконтирование;
бессрочный ряд ( $n \to \infty$ ) стоит $A_1/(i - g)$ , только если $g < i$ ; при $g \ge i$ сумма бесконечна — признак того, что допущение о вечном росте нереально.

Растущую ренту можно свести к обычной: $PV = \dfrac{A_1}{1+g}\,a_n(i^{*})$ , где $1 + i^{*} = (1+i)/(1+g)$ . Падение действует как надбавка к ставке: при падении на 18 % в год и ставке 10 % «чистая» ставка $i^{*}$ около 34 %.

Расчётный примерСкважина после обработки: доход падает каждый год

Исходные данные (условные)

Дополнительный чистый доход скважины: 3,2 млн долл. за 1-й год (в конце года), затем на 18 % меньше каждый год
Срок учёта: 8 лет
Ставка дисконтирования: 10 % (реальная)

Решение

Отношение соседних дисконтированных платежей: $(1 - 0{,}18)/1{,}1 = 0{,}74545$ ; за 8 лет — $0{,}74545^{8} = 0{,}09536$ .
По формуле растущей ренты с $g = -0{,}18$ : $PV = \dfrac{3{,}2}{0{,}10 + 0{,}18}\,(1 - 0{,}09536)$ $= 11{,}429\cdot 0{,}90464 = 10{,}34$ млн долл.
Проверка через «чистую» ставку: $i^{*} = 1{,}10/0{,}82 - 1 = 34{,}15$ %, $a_8(i^{*}) = 2{,}6493$ ; $PV = (3{,}2/0{,}82)\cdot 2{,}6493$ $= 3{,}9024\cdot 2{,}6493 = 10{,}34$ млн долл.
Для сравнения: без падения $3{,}2\cdot a_8(10\,\%) = 3{,}2\cdot 5{,}3349 = 17{,}07$ млн долл.; без дисконтирования сумма падающего ряда — 14,14 млн долл.; бессрочный падающий ряд — $3{,}2/0{,}28 = 11{,}429$ млн долл.

Ответ: Приведённая стоимость дохода за 8 лет — около 10,34 млн долл.: 90 % от стоимости бесконечного падающего ряда.

Что это значит. Падение и дисконтирование складываются: вместе они действуют как ставка около 34 % в год, поэтому стоимость на 39 % меньше, чем при равном доходе, а всё, что скважина дала бы после 8-го года, стоит меньше десятой части стоимости бесконечного ряда. Одно уточнение: если у скважины есть постоянные затраты, чистый доход падает быстрее добычи (экономический предел), и формула с темпом падения добычи завысит стоимость. Данные примера условные.

Вечный рост — опасное допущение

Формулу $A_1/(i - g)$ применяют для «остаточной стоимости» за горизонтом прогноза. При $g$ , близком к $i$ , знаменатель мал, и небольшая ошибка в темпе меняет результат в разы: при $i = 10$ % и $g = 8$ % стоимость равна $50\,A_1$ , при $g = 9$ % — уже $100\,A_1$ . Для месторождения с конечными запасами вечный рост невозможен в принципе. Для падающего ряда ( $g < 0$ ) формула, наоборот, устойчива и даёт верхнюю оценку стоимости «хвоста».

Дисконтированная добыча: зачем дисконтировать баррели

Инженеру, впервые увидевшему дисконтированную добычу, она кажется странной: деньги можно вложить и получить проценты, а нефть в пласте процентов не приносит. Зачем же умножать баррели на коэффициенты дисконтирования? Ответ в том, что дисконтируют не баррели, а выручку, которую они принесут. Если цена во всех годах одна и та же, её можно вынести за знак суммы — и под знаком суммы останутся дисконтированные баррели.

Приведённая выручка при постоянной цене и дисконтированная добыча

PV_R = \sum_t \frac{P\,Q_t}{(1+i)^{t}} = P\,Q_\text{д}, \qquad Q_\text{д} = \sum_t \frac{Q_t}{(1+i)^{t}}

где:

$PV_R$ приведённая стоимость выручки, млн долл.
$P$ цена на промысле, одинаковая во всех годах, долл./барр.
$Q_t$ продажи года, отстоящего от начала отсчёта на $t$ лет, млн барр.
$Q_\text{д}$ дисконтированная добыча, млн барр.
$i$ ставка дисконтирования, доля единицы в год

Единицы: млн долл. = долл./барр. × млн барр.; ставка — доля единицы в год

Справедливо, если

цена постоянна в тех деньгах, в которых ведётся расчёт: в постоянных ценах — постоянная реальная цена и реальная ставка;
выручка и добыча отнесены к одним моментам и дисконтированы от одного начала отсчёта, как в NPV (начало отсчёта и соглашения);
$Q_t$ — проданные объёмы: добыча за вычетом собственных нужд и потерь.

$Q_\text{д}$ — число баррелей, которые, будучи проданы по той же цене в момент начала отсчёта, принесли бы ту же приведённую выручку, что и весь профиль. Отношение $k_\text{д} = Q_\text{д}/\sum_t Q_t$ называют коэффициентом приведения запасов (неопределённость дебитов и сроков). То же верно для всего, что пропорционально добыче: переменные затраты $vQ_t$ и роялти $rPQ_t$ дисконтируются как баррели, поэтому приведённые затраты имеет смысл делить на $Q_\text{д}$ (Удельные затраты на баррель).

Расчётный примерДисконтированная добыча проекта из примеров

Исходные данные (условные)

Добыча на 3–9-м годах: 1,6; 2,4; 2,4; 2,0; 1,6; 1,2; 0,8 млн барр. — всего 12 млн барр.
Цена: 50 долл./барр., постоянная в реальном выражении
Ставка и соглашение: 10 % (реальная); начало отсчёта — середина 1-го года, потоки в середине каждого года ( $t = 0 \ldots 9$ ), как в уроке Чистая приведённая стоимость (NPV)

Решение

Коэффициенты лет добычи: $1{,}1^{-2} = 0{,}8264$ для 3-го года, …, $1{,}1^{-8} = 0{,}4665$ для 9-го. Дисконтированная добыча по годам — в таблице ниже, сумма $Q_\text{д} = 7{,}8987$ млн барр.
Коэффициент приведения запасов: $k_\text{д} = 7{,}8987/12 = 0{,}658$ .
Приведённая выручка: $50\cdot 7{,}8987 = 394{,}9$ млн долл. Если дисконтировать саму строку выручки (80; 120; 120; 100; 80; 60; 40 млн долл.), получится то же: 394,9 млн долл.
Первые три года добычи дают $1{,}6 + 2{,}4 + 2{,}4 = 6{,}4$ млн барр. — 53 % запасов, но 60 % дисконтированной добычи при 10 % и 66 % при 20 %.

Ответ:

Q_\text{д} = 7{,}8987

млн барр. (

k_\text{д} = 0{,}658

): при постоянной цене 12 млн барр. проекта стоят столько же, сколько 7,9 млн барр., проданных сразу.

Что это значит. Деление выручки на цену и дисконтирование баррелей дают одно и то же — в этом и состоит оправдание дисконтированной добычи. Чем выше ставка, тем больше весят ранние годы: поэтому ошибка в сроке пуска или в темпе выхода на полку стоит дороже такой же ошибки в «хвосте» добычи. Данные примера условные.

Дисконтированная добыча проекта по годам при ставке 10 %

Год: 3
$t$: 2
$Q_t$ , млн барр.: 1,6
$1{,}1^{-t}$: 0,8264
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 1,3223

Год: 4
$t$: 3
$Q_t$ , млн барр.: 2,4
$1{,}1^{-t}$: 0,7513
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 1,8032

Год: 5
$t$: 4
$Q_t$ , млн барр.: 2,4
$1{,}1^{-t}$: 0,6830
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 1,6392

Год: 6
$t$: 5
$Q_t$ , млн барр.: 2,0
$1{,}1^{-t}$: 0,6209
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 1,2418

Год: 7
$t$: 6
$Q_t$ , млн барр.: 1,6
$1{,}1^{-t}$: 0,5645
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 0,9032

Год: 8
$t$: 7
$Q_t$ , млн барр.: 1,2
$1{,}1^{-t}$: 0,5132
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 0,6158

Год: 9
$t$: 8
$Q_t$ , млн барр.: 0,8
$1{,}1^{-t}$: 0,4665
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 0,3732

Год: Итого
$t$: —
$Q_t$ , млн барр.: 12,0
$1{,}1^{-t}$: —
$Q_t\,1{,}1^{-t}$: 7,8987

Год	$t$	$Q_t$ , млн барр.	$1{,}1^{-t}$	$Q_t\,1{,}1^{-t}$
3	2	1,6	0,8264	1,3223
4	3	2,4	0,7513	1,8032
5	4	2,4	0,6830	1,6392
6	5	2,0	0,6209	1,2418
7	6	1,6	0,5645	0,9032
8	7	1,2	0,5132	0,6158
9	8	0,8	0,4665	0,3732
Итого	—	12,0	—	7,8987

Начало отсчёта — середина 1-го года, потоки в середине каждого года; в 1-м, 2-м и 10-м годах добычи нет. Данные примера условные.

РасчётГодовая добыча проекта из примеров (светлые столбцы) и та же добыча, умноженная на коэффициенты дисконтирования при 10 % (тёмные). Сумма светлых — 12 млн барр., тёмных — 7,90 млн барр.

Дисконтированная добыча проекта при разных ставках

Ставка $i$: 0 %
$Q_\text{д}$ , млн барр.: 12,000
$k_\text{д}$: 1,000

Ставка $i$: 5 %
$Q_\text{д}$ , млн барр.: 9,654
$k_\text{д}$: 0,805

Ставка $i$: 10 %
$Q_\text{д}$ , млн барр.: 7,899
$k_\text{д}$: 0,658

Ставка $i$: 15 %
$Q_\text{д}$ , млн барр.: 6,559
$k_\text{д}$: 0,547

Ставка $i$: 20 %
$Q_\text{д}$ , млн барр.: 5,518
$k_\text{д}$: 0,460

Ставка $i$	$Q_\text{д}$ , млн барр.	$k_\text{д}$
0 %	12,000	1,000
5 %	9,654	0,805
10 %	7,899	0,658
15 %	6,559	0,547
20 %	5,518	0,460

Начало отсчёта — середина 1-го года, потоки в середине каждого года. При 10 % каждые 1000 барр. запасов проекта «стоят» как 658 барр., проданных сразу; при 20 % — как 460.

Соглашение указывают и для баррелей

Как и NPV, дисконтированная добыча зависит от начала отсчёта и момента потоков: если отнести добычу проекта к концу каждого года и вести отсчёт от начала 1-го года, получится 7,899/1,1 = 7,181 млн барр. Поэтому $Q_\text{д}$ записывают вместе со ставкой и соглашением. Отношения приведённых величин — например, приведённых затрат к дисконтированной добыче — от начала отсчёта не зависят: числитель и знаменатель умножаются на один и тот же множитель.

Почему ценность проекта сосредоточена в первых годах добычи, видно уже по баррелям: дальние годы и дисконтируются сильнее, и дают меньше нефти, потому что добыча падает. В деньгах эффект ещё сильнее: постоянные затраты делятся на всё меньший объём, а налог на прибыль к концу проекта растёт, когда заканчиваются вычеты по амортизации (денежный поток проекта). Поэтому NPV проекта реагирует на сроки пуска и темп выхода на полку сильнее, чем на точность прогноза поздней добычи.

Если цена меняется: эскалация, номинальные деньги и сценарий цен

Вынести цену за знак суммы можно, только если она одна во всех годах. Если цена в расчёте меняется с постоянным темпом, её всё равно удаётся «спрятать» — в ставку, по которой дисконтируют баррели.

Ставка для баррелей при постоянном темпе роста цены

PV_R = \sum_t \frac{P_0\,(1+e_r)^{t}\,Q_t}{(1+i)^{t}} = P_0\,Q_\text{д}(i_q), \qquad 1 + i_q = \frac{1+i}{1+e_r}

где:

$P_0$ цена в момент начала отсчёта ( $t = 0$ ), долл./барр.
$e_r$ реальный темп роста цены (сверх общей инфляции); при падении — отрицательный, доля единицы в год
$i_q$ ставка, по которой дисконтируют баррели, доля единицы в год
$Q_\text{д}(i_q)$ дисконтированная добыча, рассчитанная по ставке $i_q$ , млн барр.
$i$ ставка дисконтирования денег (реальная), доля единицы в год

Единицы: доли единицы в год; цены — долл./барр., объёмы — млн барр.

Справедливо, если

темп роста цены постоянен; реальный темп — рост сверх общей инфляции (эскалация);
цена года $t$ равна $P_0(1+e_r)^{t}$ при том же начале отсчёта, что и для добычи.

Растущая цена уменьшает ставку для баррелей, падающая — увеличивает. Частный случай — номинальный расчёт: при номинальной ставке и цене, постоянной в номинальных деньгах, баррели дисконтируют по номинальной ставке, а такая цена в реальном выражении падает с темпом инфляции. Смешивать постоянную реальную цену с номинальной ставкой нельзя (согласованность потока и ставки).

Расчётный примерЦена растёт на 2 % в год

Исходные данные (условные)

Добыча: проект из примеров, 12 млн барр. на 3–9-м годах
Цена: 50 долл./барр. в 1-м году ( $t = 0$ ), далее растёт на 2 % в год в реальном выражении
Ставка и соглашение: 10 % (реальная); середина 1-го года, потоки в середине года

Решение

Ставка для баррелей: $i_q = 1{,}10/1{,}02 - 1 = 7{,}843$ %.
Дисконтированная добыча по этой ставке: $Q_\text{д}(i_q) = 8{,}596$ млн барр. вместо 7,899 при 10 %.
Приведённая выручка: $50\cdot 8{,}596 = 429{,}8$ млн долл. Дисконтирование выручки год за годом при ценах от 52,02 долл. в 3-м году до 58,58 долл. в 9-м даёт то же: 429,8 млн долл.
Средняя цена, взвешенная по дисконтированной добыче: $429{,}8/7{,}899 = 54{,}4$ долл./барр.; простое среднее цен 3–9-го годов — 55,2 долл./барр.

Ответ: Приведённая выручка — 429,8 млн долл., на 8,8 % больше, чем при постоянной цене 50 долл./барр.

Что это значит. Рост цены частично возмещает дисконтирование, поэтому баррели дисконтируют по меньшей ставке. Простое среднее цен завысило бы выручку: самые высокие цены приходятся на поздние годы с малой добычей и малым весом. Если бы цена так же падала на 2 % в год, баррели пришлось бы дисконтировать по ставке 12,24 %. Данные примера условные.

Если цена задана сценарием по годам без постоянного темпа, честный путь один — дисконтировать выручку. Результат и тогда можно записать через баррели: $PV_R = \bar P\,Q_\text{д}$ , где $\bar P$ — средняя цена, взвешенная по дисконтированной добыче каждого года. Простое среднее цен для этого не годится: оно не учитывает ни объёмов, ни времени.

Дисконтированная добыча — не запасы. Запасы и профиль добычи — физические объёмы: по ним проектируют объекты, планируют сбыт, отчитываются перед государством. $Q_\text{д}$ — мера ценности этих объёмов при выбранной ставке.
Это не прогноз потерь. Дисконтирование не уменьшает нефть в пласте; оно показывает, что поздние баррели стоят сегодня меньше ранних.
Это не число без условий. $Q_\text{д}$ меняется со ставкой, началом отсчёта, моментом потоков и с тем, постоянна ли цена.

Экспоненциальное падение при непрерывном дисконтировании

Годовая таблица — не единственный способ. Если дебит скважины или залежи падает экспоненциально, $q(t) = q_i e^{-Dt}$ (экспоненциальное падение; та же функция, что и при непрерывном начислении процентов, — непрерывное начисление), а деньги дисконтируют непрерывно множителем $e^{-jt}$ со ставкой $j = \ln(1+i)$ (частое и непрерывное начисление), дисконтированная добыча — интеграл, который берётся в явном виде.

Дисконтированная добыча при экспоненциальном падении

Q_\text{д} = \int_0^{T} q_i\,e^{-Dt}\,e^{-jt}\dd t = \frac{q_i\left[1 - e^{-(D+j)T}\right]}{D + j}

где:

$q_i$ начальный дебит, выраженный как объём в год (суточный дебит × 365), барр./год (м³/год, т/год)
$D$ номинальный темп падения; доля падения за год $d = 1 - e^{-D}$ , 1/год
$j$ непрерывная ставка дисконтирования, $j = \ln(1+i)$ , 1/год
$T$ время до экономического предела $q_\text{пр}$ : $T = \ln(q_i/q_\text{пр})/D$ , лет
$Q_\text{д}$ дисконтированная добыча за время $T$ , приведённая к началу добычи, барр. (м³, т)

Единицы: $q_i$ — объём в год, $D$ и $j$ — 1/год, $T$ — годы; $Q_\text{д}$ — в тех же единицах объёма

Справедливо, если

падение экспоненциальное с начала добычи; начало отсчёта — начало добычи ( $t = 0$ );
дисконтирование непрерывное: $j$ соответствует эффективной годовой ставке $i$ ;
добыча прекращается при дебите $q_\text{пр}$ ; без предела ( $T \to \infty$ ) $Q_\text{д} = q_i/(D + j)$ .

Недисконтированная добыча за то же время — $N_p = q_i(1 - e^{-DT})/D$ . Сравнение формул показывает главное: дисконтирование действует как дополнительное падение с темпом $j$ . Без экономического предела коэффициент приведения запасов $k_\text{д} = D/(D + j)$ : чем быстрее падение, тем ближе он к единице, потому что нефть добывается раньше.

РасчётКоэффициент приведения запасов

k_\text{д} = D/(D + j)

при экспоненциальном падении без экономического предела в зависимости от ставки дисконтирования при трёх темпах падения. Отмечена скважина из примера ниже при бесконечном сроке работы.

Расчётный примерНовая скважина с экспоненциальным падением дебита

Исходные данные (условные)

Начальный дебит $q_i$: 1000 барр./сут (около 159 м³/сут, или 137 т/сут при плотности 0,86 т/м³)
Номинальный темп падения $D$: 0,25 1/год (дебит падает на 22,1 % за год)
Экономический предел: 50 барр./сут
Ставка: 10 % в год (эффективная, реальная)

Решение

Срок работы: $T = \ln(1000/50)/0{,}25 = 11{,}983$ года. Непрерывная ставка: $j = \ln 1{,}1 = 0{,}09531$ 1/год, $D + j = 0{,}34531$ 1/год.
Запасы скважины: $q_i = 365\,000$ барр./год, $e^{-DT} = 50/1000$ , $N_p = 365\,000\cdot(1 - 0{,}05)/0{,}25 = 1387$ тыс. барр.
Дисконтированная добыча: $e^{-(D+j)T} = 0{,}01596$ ; $Q_\text{д} = 365\,000\cdot(1 - 0{,}01596)/0{,}34531$ $= 1040$ тыс. барр.
Коэффициент приведения: $k_\text{д} = 1040/1387 = 0{,}750$ ; без экономического предела было бы $0{,}25/0{,}34531 = 0{,}724$ .
Проверка годовой таблицей: объёмы каждого года, дисконтированные на середину их времени добычи, дают 1037,7 тыс. барр. (на 0,2 % меньше), а на конец года — 989,4 тыс. барр. (на 4,9 % меньше).

Ответ: Скважина отдаст 1387 тыс. барр. примерно за 12 лет; их дисконтированный эквивалент — около 1040 тыс. барр. (

k_\text{д} \approx 0{,}750

Что это значит. Непрерывная формула почти совпадает с годовым расчётом на середину года и заметно расходится с расчётом на конец года — это ещё один довод в пользу соглашения «середина года» для добычи, идущей равномерно. За первые три года скважина отдаёт 56 % запасов, но 66 % дисконтированной добычи: и здесь ранние годы решают. Экономический предел немного повышает $k_\text{д}$ — отрезан самый сильно дисконтируемый «хвост». Данные примера условные.

Равноценная ровная добыча

Иногда профиль добычи удобно заменить ровным — например, чтобы сравнивать проекты по капитальным затратам на баррель суточной добычи (капиталоёмкость). Простое среднее — запасы, делённые на срок добычи, — занижает ценность профиля с ранним пиком. Ровная добыча, равноценная профилю, должна давать ту же дисконтированную добычу за те же годы; её находят по сумме коэффициентов дисконтирования этих лет — для лет подряд это множитель аннуитета.

Ровная годовая добыча, равноценная профилю

q_\text{экв} = \frac{Q_\text{д}}{\sum_{t} (1+i)^{-t}}

где:

$q_\text{экв}$ ровная годовая добыча, равноценная профилю, млн барр. в год
$Q_\text{д}$ дисконтированная добыча профиля, млн барр.
$\sum_{t}(1+i)^{-t}$ сумма коэффициентов дисконтирования лет добычи; для $n$ лет подряд, первый из которых отстоит на $m + 1$ лет, — $(1+i)^{-m}\,a_n(i)$ , лет

Единицы: млн барр. в год; суточная добыча — деление на 365

Справедливо, если

те же годы добычи, ставка и соглашение о моменте потоков, что и у профиля;
равноценность понимается при постоянной цене: обе добычи приносят одну и ту же приведённую выручку.

Если профиль «тяжёлый» в начале, ровная добыча той же ценности выше простого среднего; если добыча растёт к концу срока — ниже.

Расчётный примерКакой ровной добыче равноценен профиль проекта

Исходные данные (условные)

Дисконтированная добыча проекта: 7,899 млн барр. при 10 % (середина 1-го года, потоки в середине года)
Годы добычи: с 3-го по 9-й ( $t = 2 \ldots 8$ ), 12 млн барр.

Решение

Сумма коэффициентов лет добычи: $\sum_{t=2}^{8} 1{,}1^{-t} = a_7(10\,\%)/1{,}1$ $= 4{,}8684/1{,}1 = 4{,}4258$ .
Равноценная ровная добыча: $q_\text{экв} = 7{,}899/4{,}4258 = 1{,}785$ млн барр. в год, или 4890 барр./сут.
Простое среднее: $12/7 = 1{,}714$ млн барр. в год (4697 барр./сут); полка — 2,4 млн барр. в год (6575 барр./сут).

Ответ: Профиль проекта равноценен ровной добыче 1,785 млн барр. в год (около 4890 барр./сут) — на 4,1 % больше простого среднего.

Что это значит. Ровный профиль с той же суммой добычи стоил бы меньше: он переносит часть нефти из ранних лет в поздние. Какое из трёх чисел — полку, простое или равноценное среднее — брать для удельных показателей, зависит от вопроса, и это всегда нужно указывать (затраты на баррель суточной добычи). Данные примера условные.

Та же идея — заменить неровный ряд равным рядом той же приведённой стоимости — работает и для денег. Приведённые затраты на баррель — это постоянная цена, при которой приведённая выручка равна приведённым затратам (Удельные затраты на баррель), а равные годовые платежи, эквивалентные капитальным вложениям, — тема урока Годовой платёж за капитал.

Термины и обозначения

Аннуитет (постоянная рента): ряд равных платежей через равные промежутки; постнумерандо — платежи в конце периодов, пренумерандо — в начале.
Множитель аннуитета $a_n(i)$: $[1 - (1+i)^{-n}]/i$ — приведённая стоимость единицы, получаемой в конце каждого из $n$ периодов.
Множитель наращения ренты $s_n(i)$: $[(1+i)^{n} - 1]/i$ — во что превращаются $n$ равных взносов к дате последнего из них.
Бессрочная рента: вечный ряд платежей; стоит $A/i$ , а растущий с темпом $g < i$ — $A_1/(i - g)$ .
Растущая рента: ряд, каждый платёж которого на долю $g$ больше предыдущего; падающая добыча — растущая рента с $g < 0$ .
Дисконтированная добыча $Q_\text{д}$: сумма добычи по годам, умноженной на коэффициенты дисконтирования; при постоянной цене приведённая выручка равна $P\,Q_\text{д}$ .
Коэффициент приведения запасов $k_\text{д}$: отношение дисконтированной добычи к недисконтированной: доля запасов, «доходящая» до начала отсчёта.
Ставка для баррелей $i_q$: ставка, по которой дисконтируют добычу, когда цена растёт с постоянным реальным темпом: $(1+i)/(1+e_r) - 1$ .
Номинальный темп падения $D$: показатель экспоненты $q = q_i e^{-Dt}$ ; доля падения за год $d = 1 - e^{-D}$ .
Равноценная ровная добыча: постоянная годовая добыча за те же годы, дающая ту же дисконтированную добычу, что и профиль.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Дисконтировать баррели бессмысленно: нефть в пласте процентов не приносит».

На самом деле

Дисконтируют не нефть, а выручку от неё. При постоянной цене приведённая выручка равна цене, умноженной на дисконтированную добычу, — это та же сумма, записанная иначе. Дисконтированная добыча — мера ценности баррелей во времени, а не утверждение о том, что баррели «растут».

Неверно

«Ряд на 20 лет стоит вдвое больше ряда на 10 лет».

На самом деле

Только без дисконтирования. При 10 % множитель аннуитета для 20 лет — 8,514, для 10 лет — 6,145: ряд дороже лишь на 39 %. Вторые десять лет стоят сегодня меньше первых, потому что каждый их платёж дисконтируется на 10 лет дольше.

Неверно

«Потоки модели отнесены к середине года, но множитель аннуитета от этого не меняется».

На самом деле

Меняется: ряд, сдвинутый на полгода раньше, стоит в $(1+i)^{0{,}5}$ раз больше — при 10 % на 4,9 %. Множитель для платежей в конце года нужно умножить на этот коэффициент или пересчитать ряд при нужном соглашении.

Неверно

«В формулу непрерывного дисконтирования подставим годовое падение дебита 22 % и ставку 10 %».

На самом деле

Непрерывная формула требует непрерывных величин: номинального темпа падения $D = -\ln(1 - 0{,}22) \approx 0{,}25$ 1/год и непрерывной ставки $j = \ln 1{,}1 \approx 0{,}095$ 1/год. Подстановка 0,22 и 0,10 занижает темп падения (0,22 вместо 0,25) заметно сильнее, чем завышает ставку (0,10 вместо 0,095), и в итоге завышает дисконтированную добычу — для скважины из примера урока примерно на 8 %.

Неверно

«Цена в прогнозе растёт, поэтому дисконтированную добычу считаем по обычной ставке и умножаем на простое среднее цен».

На самом деле

Простое среднее не учитывает, что высокие цены приходятся на поздние годы с малой добычей и малым весом. При постоянном темпе роста цены баррели дисконтируют по ставке $(1+i)/(1+e_r) - 1$ , при произвольном сценарии — дисконтируют саму выручку.

Подробно: для продвинутых

Выводы формул

Множитель аннуитета как геометрическая прогрессия. Обозначим $v = 1/(1+i)$ . Тогда $a_n(i) = v + v^{2} + \ldots + v^{n}$ — сумма $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $v$ и знаменателем $v$ : $v(1 - v^{n})/(1 - v)$ . Так как $1 - v = i/(1+i)$ , отношение $v/(1 - v)$ равно $1/i$ , и получается $a_n(i) = (1 - v^{n})/i$ — та же формула, что и через разность бессрочных рент. При $i \to 0$ разложение $(1+i)^{-n} \approx 1 - ni$ даёт $a_n \to n$ .

Растущая рента. Платёж года $t$ равен $A_1(1+g)^{t-1}$ , поэтому $PV = A_1 v\,(1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n-1})$ с $q = (1+g)/(1+i)$ . Сумма прогрессии — $(1 - q^{n})/(1 - q)$ , а $v/(1 - q) = 1/(i - g)$ , откуда формула раздела. При $g = i$ отношение $q = 1$ , каждый член суммы равен $A_1 v$ , и $PV = n A_1/(1+i)$ . Если вынести $1/(1+g)$ , остаётся сумма $q + q^{2} + \ldots + q^{n}$ — множитель аннуитета при ставке $i^{*}$ , для которой $1/(1+i^{*}) = q$ .

Непрерывный случай. Интеграл от $q_i e^{-(D+j)t}$ по $t$ от 0 до $T$ равен $q_i[1 - e^{-(D+j)T}]/(D+j)$ ; при $j = 0$ это недисконтированная добыча $N_p$ . Годовой расчёт приближается к непрерывному, если поток года отнести к середине его времени добычи: на коротком отрезке экспонента почти линейна, и её среднее близко к значению в середине. Отнесение к концу года систематически занижает приведённую величину — примерно в $(1+i)^{0{,}5}$ раз.

Какую доходность даёт равный ряд

Если известны вложение, равные поступления и их число, ставку, при которой они равноценны, находят подбором: при ставке ниже искомой приведённые поступления больше вложения, при ставке выше — меньше. Удобно делить отрезок пополам (численный поиск IRR). Найденная ставка — внутренняя норма доходности (IRR) ряда; её сравнивают со ставкой, которую требует компания.

Расчётный примерДоходность частотных преобразователей

Исходные данные (условные)

Вложение и экономия: 1,9 млн долл. сейчас; 0,42 млн долл. в конце каждого из 7 лет

Решение

Нужен множитель $a_7(i) = 1{,}9/0{,}42 = 4{,}5238$ .
При 12 %: $a_7 = 4{,}5638$ — больше нужного, ставка выше 12 %. При 13 %: $a_7 = 4{,}4226$ — меньше, ставка ниже 13 %.
Деление отрезка пополам даёт $i = 12{,}28$ %; проверка: $0{,}42\cdot a_7(12{,}28\,\%) = 1{,}900$ млн долл.

Ответ: Внутренняя норма доходности — около 12,28 % в год против требуемых 10 %.

Что это значит. Запас в 2,3 процентного пункта согласуется с выводом основного примера: проект выгоден, но окупается почти в конце срока службы, и при сроке на год короче его доходность опустится ниже 10 %. Данные примера условные.

Связь с другими темами

Дисконтирование и приведённая стоимость — коэффициенты дисконтирования, приведённая стоимость ряда и соглашения о моменте платежа.
Проценты и наращение — наращение, непрерывное начисление и связь номинального и эффективного темпов.
Чистая приведённая стоимость (NPV) — сумма дисконтированных потоков проекта, начало отсчёта и соглашения.
Удельные затраты на баррель — приведённые затраты на баррель: затраты, делённые на дисконтированную добычу.
Геологическая и техническая неопределённость проекта — дисконтированная добыча как мера потерь от медленных скважин и задержек.
Анализ чувствительности и сценарии — наклон NPV по цене — дисконтированная добыча за вычетом роялти и налога.
Инфляция: номинальные и реальные деньги — реальная эскалация цены и согласование ставки с деньгами расчёта.
Накопленный денежный поток и срок окупаемости — срок окупаемости и IRR при равных поступлениях.
Годовой платёж за капитал — равные годовые платежи, эквивалентные капитальным вложениям.

Проверьте себя

1
Аренда установки по договору обходится в 2,5 млн долл. в конце каждого года в течение 6 лет. Какова приведённая стоимость платежей при номинальной ставке 9 %?
1. А.15,0 млн долл.
2. Б.11,2 млн долл.
3. В.12,2 млн долл.
4. Г.27,8 млн долл.
Показать ответ
Правильный ответ: Б. 11,2 млн долл.
$a_6(9\,\%) = (1 - 1{,}09^{-6})/0{,}09 = 4{,}4859$ , $PV = 2{,}5\cdot 4{,}4859 = 11{,}2$ млн долл. 15,0 — сумма без дисконтирования; 12,2 получится, если платить авансом, в начале каждого года ( $\times 1{,}09$ ); 27,8 — стоимость вечной ренты $2{,}5/0{,}09$ .
2
Покупателю предлагают право на 1 млн долл. в год — бессрочно или на 30 лет. Ставка 12 %. Насколько бессрочное право дороже и за что именно он доплачивает?
Показать ответ
Бессрочное право стоит $1/0{,}12 = 8{,}333$ млн долл., право на 30 лет — $a_{30}(12\,\%) = 8{,}055$ млн долл.: разница около 3,5 %. Доплачивают за все платежи после 30-го года, но каждый из них дисконтируется больше чем на 30 лет, и вместе они стоят сегодня всего 0,28 млн долл. Поэтому при ставках 10–15 % ряд на 30 лет почти равноценен вечному.
3
В расчёте в постоянных ценах цена нефти растёт на 3 % в год, ставка дисконтирования — 10 % (реальная). По какой ставке нужно дисконтировать добычу, чтобы приведённая выручка равнялась начальной цене, умноженной на дисконтированную добычу?
1. А.7,0 %
2. Б.6,8 %
3. В.10 %
4. Г.13,3 %
Показать ответ
Правильный ответ: Б. 6,8 %
$1 + i_q = 1{,}10/1{,}03$ , $i_q = 6{,}80$ %. Вычитание $10 - 3$ даёт приближённые 7,0 %. 13,3 % — результат умножения $1{,}10\cdot1{,}03$ вместо деления: так баррели дисконтировали бы сильнее, будто цена падает. 10 % годятся, только если цена постоянна.
4
Две скважины начинают с одинакового дебита. У первой номинальный темп падения $D = 0{,}1$ 1/год, у второй — $0{,}4$ 1/год. Без экономического предела и при ставке 10 % сравните их запасы и дисконтированную добычу.
Показать ответ
Запасы $q_i/D$ различаются вчетверо: $10\,q_i$ и $2{,}5\,q_i$ (где $q_i$ — годовой начальный дебит). Дисконтированная добыча $q_i/(D + j)$ при $j = \ln 1{,}1 = 0{,}0953$ : $5{,}120\,q_i$ и $2{,}019\,q_i$ — разница уже в 2,54 раза. Коэффициенты приведения — 0,51 и 0,81: медленная скважина теряет от дисконтирования почти половину ценности своих запасов, быстрая — пятую часть.
5
Тариф за транспорт по договору растёт на 8 % в год: 1,0 млн долл. в конце 1-го года, затем больше на 8 % каждый год, всего 5 платежей. Номинальная ставка дисконтирования — тоже 8 %. Чему равна приведённая стоимость платежей?
1. А.Не определена: при $g = i$ формула растущей ренты делит на ноль
2. Б.3,99 млн долл.
3. В.4,63 млн долл.
4. Г.5,00 млн долл.
Показать ответ
Правильный ответ: В. 4,63 млн долл.
При $g = i$ рост каждого платежа в точности возмещает его дисконтирование, и все платежи стоят сегодня одинаково — по $1/1{,}08$ : $PV = 5/1{,}08 = 4{,}63$ млн долл. 5,00 — это $nA_1 = 5\cdot 1{,}0$ : в этой сумме не учтено дисконтирование первого платежа; 3,99 — стоимость ряда без роста, $a_5(8\,\%)$ . Деление на ноль — свойство записи формулы, а не задачи: предел конечен.
6
Скважина даёт 0,6 млн долл. чистого дохода в конце каждого года. За сколько лет она вернёт вложенные в неё 3,0 млн долл. при ставке 12 %? А при ставке 20 %?
Показать ответ
Нужно $a_n = 3{,}0/0{,}6 = 5$ . При 12 %: $n = -\ln(1 - 0{,}12\cdot5)/\ln 1{,}12 = -\ln 0{,}4/\ln 1{,}12 = 8{,}09$ года — против 5 лет простой окупаемости. При 20 % проценты на вложение, $0{,}2\cdot3{,}0 = 0{,}6$ млн долл. в год, равны всему доходу: долг перед инвестором не уменьшается, и вложение не окупается никогда ( $1 - 0{,}2\cdot5 = 0$ , логарифм не определён).

Обновлено: 28 октября 2026 г.