Дисконтирование и приведённая стоимость

Кратко о главном

Деньги сегодня ценнее тех же денег завтра: их можно вложить и получить доход. Дисконтирование — операция, обратная начислению сложных процентов.
$PV = FV\,(1+i)^{-n}$ ; множитель $(1+i)^{-n}$ — коэффициент дисконтирования. Ставку подставляют в долях единицы: 10 % — это 0,10.
Чем выше ставка и дальше платёж, тем меньше приведённая стоимость. При 10 % доллар через 10 лет стоит сегодня 0,39 доллара, через 30 лет — 0,06.
Приведённые к одному моменту суммы можно складывать и сравнивать; суммы разных лет без приведения — нельзя.
Результат зависит от соглашения о моменте платежа: при 10 % перенос годовых потоков с конца на середину года увеличивает приведённую стоимость примерно на 4,9 %.
Приведённая стоимость имеет смысл, только если ставка отражает доходность, действительно доступную инвестору; выбор ставки — отдельная задача.

Ключевые соотношения

PV = \dfrac{FV}{(1+i)^{n}} = FV\cdot DF_n

приведённая стоимость одной будущей суммы

DF_n = (1+i)^{-n} = \dfrac{DF_{n-1}}{1+i}

коэффициент дисконтирования: каждый следующий год делит предыдущий на $1+i$

PV = \sum_t CF_t\,(1+i)^{-t}

приведённая стоимость ряда платежей; все $t$ отсчитаны от одного начала

t = n - 0{,}5

показатель степени для потока года $n$ при соглашении «середина года» и отсчёте от начала первого года

Где чаще всего ошибаются

Подставлять ставку в процентах вместо доли: $(1+10)^{-5}$ вместо $1{,}10^{-5}$ .
Ошибаться в показателе степени: считать от другого начала отсчёта или смешивать соглашения «конец года» и «середина года» в одном расчёте.
Дисконтировать потоки в постоянных ценах номинальной ставкой или номинальные потоки — реальной.
Считать, что малая приведённая стоимость дальних затрат, например на ликвидацию, означает, что эти деньги не понадобятся.

После урока вы сможете

объяснить, почему ценность суммы денег зависит от того, когда её получают;
вычислять коэффициент дисконтирования и приведённую стоимость отдельного платежа и ряда платежей без таблиц;
объяснить, как приведённая стоимость зависит от ставки и срока и почему дальние платежи особенно чувствительны к ставке;
применять соглашения о моменте платежа — конец года, середина года — и оценивать их влияние на результат;
сравнивать варианты по приведённой стоимости и объяснять, почему их порядок зависит от ставки.

Почему деньги сегодня дороже денег завтра

Предложите выбор: 100 млн долл. сегодня или те же 100 млн через пять лет. Любой выберет сегодня — и не только из осторожности. Полученные сегодня деньги можно вложить в депозит, облигации или другой проект, и через пять лет они превратятся в большую сумму. Это и есть стоимость денег во времени (time value of money).

Сложнее выбор между 100 млн долл. сегодня и 150 млн через пять лет. Ответ зависит от того, под какую доходность можно вложить деньги: при 5 % годовых 100 млн через пять лет вырастут до 127,6 млн — выгоднее подождать 150; при 10 % — до 161,1 млн — выгоднее взять деньги сейчас.

Возможность вложить деньги — главная причина, и именно её отражает ставка дисконтирования: это доходность лучшей доступной альтернативы с сопоставимым риском.
Риск. Обещанный будущий платёж может не состояться: цена нефти упадёт, добыча окажется ниже. Часть этого риска компании закладывают в ставку (Выбор ставки дисконтирования), часть учитывают сценариями и вероятностями.
Инфляция уменьшает покупательную способность будущих денег. Её учитывают согласованно: номинальные потоки дисконтируют номинальной ставкой, потоки в постоянных ценах — реальной (Инфляция: номинальные и реальные деньги).

Наращение и дисконтирование

При сложных процентах (compound interest) проценты каждого года начисляются и на исходную сумму, и на уже начисленные проценты (Проценты и наращение). Сумма $PV$ , вложенная на $n$ лет под ставку $i$ , вырастает до $FV = PV\,(1+i)^{n}$ . Разделив обе части на множитель наращения $(1+i)^{n}$ , получаем уравнение дисконтирования.

Приведённая стоимость будущей суммы

PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}} = FV\,(1+i)^{-n}

где:

$PV$ приведённая (текущая) стоимость — сумма на момент начала отсчёта, млн долл.
$FV$ будущая сумма (future value), получаемая или выплачиваемая через $n$ лет, млн долл.
$i$ ставка дисконтирования за год, доля единицы
$n$ время от начала отсчёта до платежа; может быть дробным, лет

Единицы: любая валюта; $PV$ и $FV$ в одних единицах, ставка и срок — в согласованных единицах времени (годовая ставка — годы)

Справедливо, если

ставка постоянна весь срок; если она меняется, множители разных лет перемножают: $PV = FV/[(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)]$ ;
проценты начисляются раз в период, к которому относится ставка (для годовой ставки — раз в год);
будущая сумма задана; неопределённость в ней учитывают отдельно;
$PV$ и $FV$ выражены в одних денежных единицах (обе номинальные или обе в постоянных ценах), и ставка им соответствует.

$PV$ — сегодняшний эквивалент будущей суммы: столько нужно вложить сейчас под ставку $i$ , чтобы через $n$ лет получить $FV$ . При наращении известна исходная сумма, а результат — прогноз; при дисконтировании известна (ожидается) будущая сумма, а $PV$ — вычисленная оценка.

Расчётный примерСколько отложить сегодня на ликвидацию промысла

Исходные данные (условные)

Затраты на ликвидацию: 18 млн долл. через 12 лет
Доходность надёжных вложений: 8 % годовых

Решение

Множитель наращения за 12 лет: $1{,}08^{12} = 2{,}5182$ ; коэффициент дисконтирования: $DF = 1/2{,}5182 = 0{,}3971$ .
Приведённая стоимость: $PV = 18\cdot 0{,}3971 = 7{,}15$ млн долл.
Проверка наращением: $7{,}15\cdot 1{,}08^{12} = 18{,}0$ млн долл.

Ответ: Сегодня достаточно отложить около 7,15 млн долл.: за 12 лет под 8 % они вырастут до 18 млн долл.

Что это значит. Приведённая стоимость здесь — не абстракция, а сумма, которую действительно можно положить в ликвидационный фонд. Видно и допущение: весь срок вложения должны приносить 8 %. Если доходность окажется ниже, фонда не хватит. Данные примера условные.

Коэффициент дисконтирования и как его получить

Множитель $DF_n = (1+i)^{-n}$ называют коэффициентом дисконтирования (discount factor, DF). Это приведённая стоимость одной денежной единицы, получаемой через $n$ лет. Раньше коэффициенты брали из напечатанных таблиц по ставкам и срокам; сегодня их проще вычислить, и таблицы не нужны.

По формуле: на калькуляторе — возведением в степень, в электронной таблице — формулой вида =1/(1+i)^n со ставкой в долях единицы.
Год за годом: $DF_n = DF_{n-1}/(1+i)$ , начиная с $DF_0 = 1$ . Так удобно заполнять столбец коэффициентов в модели.
Через логарифм — для дробных сроков и проверки: $DF_n = \exp[-n\ln(1+i)]$ . Например, при 12 % на 7,5 года: $\ln 1{,}12 = 0{,}1133$ , $DF = e^{-0{,}850} = 0{,}427$ .
Прикидка в уме: приведённая стоимость уменьшается вдвое примерно за $72/p$ лет, где $p$ — ставка в процентах. При 10 % — примерно за 7,2 года (точно — за 7,27).

РасчётКоэффициент дисконтирования

(1+i)^{-n}

в зависимости от срока при ставках 5, 10 и 20 %. При 10 % приведённая стоимость платежа уменьшается вдвое примерно за 7,3 года.

Последнее свойство объясняет, почему оценка долгих нефтегазовых проектов так чувствительна к ставке: затраты сосредоточены в первые годы и дисконтируются мало, а доходы растянуты на десятилетия и дисконтируются сильно.

Приведённая стоимость ряда платежей

Проект — это не один платёж, а ряд. Приведённые к одному моменту суммы можно складывать, поэтому приведённая стоимость ряда — сумма приведённых стоимостей его элементов.

Приведённая стоимость ряда платежей

PV = \sum_{t} \frac{CF_t}{(1+i)^{t}}

где:

$CF_t$ платёж (денежный поток), отстоящий от начала отсчёта на $t$ лет: приток со знаком «+», отток со знаком «−», млн долл.
$t$ время от начала отсчёта до платежа, лет
$i$ ставка дисконтирования, доля единицы
$PV$ приведённая стоимость всего ряда на момент начала отсчёта, млн долл.

Единицы: любая валюта, одинаковая для всех платежей

Справедливо, если

все платежи выражены в одних денежных единицах, и ставка им соответствует;
время каждого платежа отсчитано от одного и того же начала, а соглашение о моменте платежа внутри года одно для всего ряда;
ставка одинакова для всех лет.

Если ряд — чистый денежный поток проекта, эта сумма и есть чистая приведённая стоимость, главный показатель следующего урока.

Считать можно двумя способами с одинаковым результатом. Прямой: каждый платёж умножают на свой коэффициент и складывают. Пошаговый (с конца): последний платёж переносят на год назад делением на $1+i$ , прибавляют к нему платёж предыдущего года, снова переносят на год назад — и так до начала отсчёта. Пошаговый способ удобен, когда ставка меняется от года к году.

Расчётный примерСтоит ли бурить скважину

Исходные данные (условные)

Бурение и обустройство: 9,0 млн долл. сейчас
Чистый доход скважины: 5,0; 3,5; 2,5 и 1,8 млн долл. в конце 1–4-го года
Ставка дисконтирования: 12 %

Решение

Коэффициенты: $DF_1 = 1/1{,}12 = 0{,}8929$ , $DF_2 = 0{,}7972$ , $DF_3 = 0{,}7118$ , $DF_4 = 0{,}6355$ .
Прямой способ: $PV = 5{,}0\cdot0{,}8929 + 3{,}5\cdot0{,}7972 + 2{,}5\cdot0{,}7118 + 1{,}8\cdot0{,}6355 = 4{,}464 + 2{,}790 + 1{,}779 + 1{,}144 = 10{,}18$ млн долл.
Пошаговый способ: на конец 3-го года $2{,}5 + 1{,}8/1{,}12 = 4{,}107$ ; на конец 2-го — $3{,}5 + 4{,}107/1{,}12 = 7{,}167$ ; на конец 1-го — $5{,}0 + 7{,}167/1{,}12 = 11{,}399$ ; на сегодня — $11{,}399/1{,}12 = 10{,}18$ млн долл.
Сравнение с затратами: $10{,}18 - 9{,}0 = 1{,}18$ млн долл.

Ответ: Приведённая стоимость доходов — 10,18 млн долл. при затратах 9,0 млн: скважина окупает вложения с доходностью выше 12 % и добавляет компании около 1,18 млн долл. в сегодняшних деньгах.

Что это значит. Без дисконтирования доход выглядел бы как 12,8 млн долл. — на 2,6 млн больше: это плата за ожидание. Разность приведённых доходов и затрат — это и есть NPV скважины. Данные примера условные.

Когда происходит платёж: конец года или середина года

В годовой модели все платежи года заменены одним числом, и нужно решить, к какому моменту года его отнести. От этого зависит показатель степени $t$ в коэффициенте дисконтирования.

Конец года (end-year): поток года $n$ получает $t = n$ при отсчёте от начала первого года. Так устроены многие финансовые формулы и стандартные функции электронных таблиц. Для доходов это консервативно: деньги, полученные в течение года, считаются полученными в его конце.
Середина года (mid-year): $t = n - 0{,}5$ . Для потоков, распределённых по году более или менее равномерно, — продаж нефти, эксплуатационных затрат — это точнее; в оценке месторождений такое соглашение распространено.
Середина года с началом отсчёта в середине первого года: $t = n - 1$ , то есть показатели 0, 1, 2 и далее — целые, как при расчёте вручную. Результат отличается от предыдущего варианта постоянным множителем $(1+i)^{0{,}5}$ .

СхемаТри соглашения о моменте годового потока и соответствующие показатели степени

t

в коэффициенте

(1+i)^{-t}

. Треугольником отмечено начало отсчёта.

Разница между соглашениями — постоянный множитель: перенос всех потоков с конца на середину года умножает приведённую стоимость на $(1+i)^{0{,}5}$ — при 10 % это +4,9 %, при 15 % — +7,2 %. Для проекта с приведённой стоимостью, близкой к нулю, этого достаточно, чтобы изменить вывод, поэтому соглашение указывают рядом с результатом. Платежи авансом — аренду, бонусы — относят к началу года.

Расчётный примерТа же скважина при потоках в середине года

Исходные данные (условные)

Доход скважины: как в предыдущем примере, но поступает равномерно в течение каждого года
Начало отсчёта: начало первого года (момент затрат)
Ставка: 12 %

Решение

Показатели степени: 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 вместо 1, 2, 3, 4.
$PV = 5{,}0\cdot1{,}12^{-0{,}5} + 3{,}5\cdot1{,}12^{-1{,}5} + 2{,}5\cdot1{,}12^{-2{,}5} + 1{,}8\cdot1{,}12^{-3{,}5} = 10{,}77$ млн долл.
Отношение к расчёту на конец года: $10{,}77/10{,}18 = 1{,}0583$ — ровно $1{,}12^{0{,}5}$ .

Ответ: При потоках в середине года приведённый доход — 10,77 млн долл., на 5,8 % больше, чем при потоках в конце года.

Что это значит. Физически ничего не изменилось — изменилось допущение о том, когда внутри года приходят деньги. Выбирают соглашение, которое ближе к реальному графику платежей, и применяют его ко всем вариантам одинаково. Данные примера условные.

Сравнение вариантов по приведённой стоимости

Приведение к одному моменту делает сравнимыми потоки любой формы и длительности. Сравнивать можно и будущие стоимости, наращивая всё к концу, но у вариантов разной длительности «конец» разный, и понадобились бы допущения о том, куда вкладываются деньги после окончания более короткого варианта. У приведения к общему началу отсчёта такой проблемы нет.

Отбор по ставке. Пусть вложение $A_0$ растёт $n$ лет с доходностью $j$ , после чего деньги с накопленным доходом возвращаются. Приведённая стоимость такой операции при ставке дисконтирования $i$ :

Проверка вложения ставкой дисконтирования

P = -A_0 + \frac{A_0\,(1+j)^{n}}{(1+i)^{n}} = A_0\left[\left(\frac{1+j}{1+i}\right)^{n} - 1\right]

где:

$P$ приведённая стоимость операции «вложить сейчас — получить через $n$ лет», млн долл.
$A_0$ вложение сейчас, млн долл.
$j$ доходность вложения, доля единицы в год
$i$ ставка дисконтирования — требуемая доходность, доля единицы в год
$n$ срок вложения, лет

Единицы: любая валюта; ставки и срок — в согласованных единицах времени

Справедливо, если

один платёж сейчас и один возврат с накопленным доходом через $n$ лет;
ставки $j$ и $i$ постоянны весь срок.

$P > 0$ тогда и только тогда, когда $j > i$ : дисконтирование по ставке $i$ проверяет, растут ли вложения быстрее, чем на $i$ в год. При $j = i$ вложение ровно проходит проверку ( $P = 0$ ). Та же логика лежит в основе правила NPV.

Расчётный примерПроходит ли вложение проверку ставкой 10 %

Исходные данные (условные)

Вложение: 10 млн долл. на 6 лет
Доходность вложения $j$: 15 % годовых
Ставка дисконтирования $i$: 10 %

Решение

Сумма через 6 лет: $10\cdot1{,}15^{6} = 23{,}13$ млн долл.
Её приведённая стоимость: $23{,}13/1{,}10^{6} = 13{,}06$ млн долл.; за вычетом вложения $P = 13{,}06 - 10 = 3{,}06$ млн долл.
То же по формуле: $10\cdot[(1{,}15/1{,}10)^{6} - 1] = 10\cdot(1{,}3057 - 1) = 3{,}06$ млн долл.

Ответ:

P = 3{,}06

млн долл. > 0: вложение растёт быстрее требуемых 10 % и проверку проходит.

Что это значит. $P$ показывает, на сколько сегодняшних денег это вложение лучше альтернативы с доходностью 10 %. Данные примера условные.

Ранжирование. Когда вариантов несколько, их приведённые стоимости сравнивают при одной ставке и одном начале отсчёта. Но порядок вариантов может зависеть от ставки: чем дальше во времени поток, тем сильнее его приведённая стоимость реагирует на ставку.

Расчётный примерРаньше, но меньше, или позже, но больше

Исходные данные (условные)

Вариант А: 12 млн долл. через 2 года
Вариант Б: 20 млн долл. через 8 лет
Ставки для сравнения: 5 % и 12 %

Решение

При 5 %: $PV_{\text{А}} = 12\cdot1{,}05^{-2} = 10{,}88$ , $PV_{\text{Б}} = 20\cdot1{,}05^{-8} = 13{,}54$ млн долл. — лучше Б.
При 12 %: $PV_{\text{А}} = 9{,}57$ , $PV_{\text{Б}} = 8{,}08$ млн долл. — лучше А.
Ставка, при которой варианты равноценны: $12\,(1+i)^{-2} = 20\,(1+i)^{-8}$ , откуда $(1+i)^{6} = 20/12$ и $i = 8{,}9$ %.

Ответ: При ставке ниже 8,9 % выгоднее поздний и больший платёж, при более высокой — ранний и меньший.

Что это значит. Вывод «что лучше» — всегда вывод при определённой ставке. Поэтому ставку выбирают обоснованно (Выбор ставки дисконтирования), а близкие варианты проверяют при нескольких ставках. Данные примера условные.

Термины и обозначения

Стоимость денег во времени: свойство денег: сумма, полученная раньше, ценнее той же суммы, полученной позже, потому что её можно вложить.
Приведённая стоимость (PV): сегодняшний эквивалент будущей суммы или ряда сумм при заданной ставке.
Будущая стоимость (FV): сумма, до которой вырастет вложение, или сумма, ожидаемая в будущем.
Ставка дисконтирования $i$: годовая доходность, по которой будущие суммы приводят к началу отсчёта; в российской практике также «норма дисконта».
Коэффициент дисконтирования (DF): $(1+i)^{-t}$ — приведённая стоимость одной денежной единицы, получаемой через $t$ лет.
Начало отсчёта: момент, к которому приводят все потоки; его сдвиг умножает все приведённые стоимости на один и тот же множитель.
Дисконтирование на середину года: соглашение, по которому годовой поток считается полученным в середине года.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Приведённая стоимость — прогноз того, сколько денег будет в будущем».

На самом деле

Наоборот: это сегодняшний эквивалент будущей суммы. Прогноз будущего — это $FV$ , а $PV$ отвечает на вопрос, сколько эта будущая сумма стоит сейчас при доступной доходности.

Неверно

«Ставка 10 % — подставляем в формулу 10».

На самом деле

Ставку подставляют в долях единицы: $1{,}10^{-5} \approx 0{,}62$ , тогда как $(1+10)^{-5} \approx 6\cdot10^{-6}$ — ошибка примерно в сто тысяч раз.

Неверно

«Затраты на ликвидацию через 25 лет после дисконтирования ничтожны, ими можно пренебречь».

На самом деле

В приведённой стоимости они действительно малы при высокой ставке, но включать их нужно всегда: при низкой ставке или для проекта на грани окупаемости они важны, а для планирования денег нужна полная сумма.

Неверно

«Если перенести начало отсчёта, лучший вариант может смениться».

На самом деле

Сдвиг начала отсчёта умножает приведённые стоимости всех вариантов на один и тот же положительный множитель $(1+i)^{\Delta t}$ , поэтому их порядок и знаки не меняются. Порядок может изменить ставка, а не начало отсчёта.

Неверно

«Конец года или середина года — техническая мелочь».

На самом деле

При ставках 10–15 % это 5–7 % приведённой стоимости; для проекта на грани окупаемости достаточно, чтобы изменить вывод. Соглашение выбирают по реальному графику платежей и указывают рядом с результатом.

Подробно: для продвинутых

Насколько приведённая стоимость чувствительна к ставке

Прологарифмируем $PV = FV\,(1+i)^{-n}$ и продифференцируем по ставке: $\ln PV = \ln FV - n\ln(1+i)$ , откуда $\dd PV/PV = -n\,\dd i/(1+i)$ . Для ряда платежей производные слагаемых складываются, и вместо $n$ появляется средний срок платежей, взвешенный по их приведённым стоимостям:

Относительная чувствительность приведённой стоимости к ставке

\frac{\dd PV}{PV} = -\frac{\bar t}{1+i}\,\dd i, \qquad \bar t = \frac{\sum_t t\,PV_t}{\sum_t PV_t}

где:

$PV$ приведённая стоимость ряда платежей; $\dd PV$ — её изменение, млн долл.
$i$ ставка дисконтирования; $\dd i$ — её малое изменение, доля единицы
$PV_t$ приведённая стоимость отдельного платежа ряда, отстоящего на $t$ лет от начала отсчёта, млн долл.
$\bar t$ средний срок платежей, взвешенный по их приведённым стоимостям; для одного платежа $\bar t = n$ , лет

Единицы: любая валюта; ставка в долях единицы

Справедливо, если

малые изменения ставки (линейное приближение);
все платежи ряда одного знака — для рядов с платежами разных знаков взвешенный срок теряет наглядный смысл.

Чувствительность пропорциональна тому, насколько далеко в будущем в среднем находятся деньги. В финансах эту величину называют дюрацией (duration). Для скважины из примера $\bar t \approx 2{,}0$ года: +1 процентный пункт ставки уменьшает приведённый доход примерно на 1,75 %. Доходы месторождения, растянутые на десятилетия, имеют гораздо больший средний срок и соответственно большую чувствительность.

Частое и непрерывное начисление

Если проценты по номинальной годовой ставке $r$ начисляются $m$ раз в год, коэффициент дисконтирования равен $(1 + r/m)^{-mn}$ ; при $m \to \infty$ он стремится к $e^{-rn}$ — это непрерывное дисконтирование. Все формы согласуются через эффективную годовую ставку: $1 + i = (1 + r/m)^{m}$ или $1 + i = e^{r}$ .

Например, номинальные 12 % при ежемесячном начислении эквивалентны эффективным 12,68 % в год, а при непрерывном — 12,75 %. В годовой модели денежного потока используют эффективную годовую ставку; если ставка задана иначе, её сначала пересчитывают (Проценты и наращение).

Связь с другими темами

Проценты и наращение — сложные проценты, номинальная и эффективная ставка — наращение, обратное дисконтированию.
Чистая приведённая стоимость (NPV) — сумма дисконтированных чистых денежных потоков — главный показатель ценности проекта.
Аннуитеты и дисконтированная добыча — приведённая стоимость равных платежей и зачем дисконтировать добычу.
Выбор ставки дисконтирования — как выбирают ставку дисконтирования и почему от неё зависят выводы.
Инфляция: номинальные и реальные деньги — номинальные и реальные ставки и потоки.
Денежный поток проекта — какие потоки дисконтируют и как их собирают по годам.

Проверьте себя

1
Какова приведённая стоимость 1000 долл., которые получат через 3 года, при ставке 10 %?
1. А.700 долл.
2. Б.751 долл.
3. В.769 долл.
4. Г.1331 долл.
Показать ответ
Правильный ответ: Б. 751 долл.
$1000\cdot1{,}1^{-3} = 1000/1{,}331 = 751{,}3$ долл. 769 получается, если вычесть простые проценты: $1000/1{,}3$ ; 1331 — это наращение, а не дисконтирование; 700 — результат вычитания 10 % исходной суммы за каждый год.
2
Ставка дисконтирования выросла с 8 до 10 %. Приведённая стоимость какого платежа уменьшится сильнее в процентах?
1. А.Платежа через 2 года
2. Б.Платежа через 20 лет
3. В.Одинаково для обоих
4. Г.Не уменьшится: ставка влияет только на будущую стоимость
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Платежа через 20 лет
Приведённая стоимость меняется в $(1{,}08/1{,}10)^{n}$ раз: для платежа через 2 года это 0,964 (−3,6 %), через 20 лет — 0,693 (−30,7 %). Чем дальше платёж, тем больше раз применяется разница в ставке.
3
Найдите без таблиц коэффициент дисконтирования для платежа через 7,5 года при ставке 12 %.
Показать ответ
$DF = 1{,}12^{-7{,}5} = \exp(-7{,}5\cdot\ln 1{,}12) = \exp(-7{,}5\cdot 0{,}1133) = e^{-0{,}850} \approx 0{,}427$ . Дробный показатель степени допустим: формула не требует целого числа лет.
4
Годовая модель: потоки относят к середине года, начало отсчёта — начало первого года. Какой показатель степени в коэффициенте дисконтирования у потока 4-го года?
1. А.3
2. Б.3,5
3. В.4
4. Г.4,5
Показать ответ
Правильный ответ: Б. 3,5
Середина 4-го года отстоит от начала первого на 3,5 года: $t = n - 0{,}5$ . При соглашении «конец года» было бы 4, а при начале отсчёта в середине первого года — 3.
5
Инвестор может вкладывать деньги под 10 % годовых. Ему предлагают отдать 100 млн долл. сегодня и получить 150 млн через 5 лет. Выгодно ли это?
Показать ответ
Приведённая стоимость 150 млн: $150/1{,}1^{5} = 150/1{,}6105 = 93{,}1$ млн долл. — меньше 100. Невыгодно: вложив 100 млн под 10 %, через 5 лет инвестор имел бы 161,1 млн. Сделка выгодна, только если доступная доходность ниже $1{,}5^{1/5} - 1 \approx 8{,}4$ %.
6
Вариант А при ставке 10 % стоит сегодня 50 млн долл., вариант Б — 45 млн. Изменится ли выбор, если приводить оба варианта не к сегодняшнему дню, а к дате через два года?
Показать ответ
Нет. Обе стоимости умножатся на один и тот же множитель $1{,}1^{2} = 1{,}21$ и станут 60,5 и 54,45 млн долл. Сдвиг начала отсчёта меняет величины, но не их соотношение и знаки; выбор может изменить только другая ставка.

Обновлено: 22 сентября 2026 г.