Внутренняя норма доходности (IRR)

Кратко о главном

IRR — корень уравнения $\mathrm{NPV}(i) = 0$ , на профиле NPV — точка пересечения с осью ставок. У проекта из уроков о денежном потоке и NPV IRR ≈ 29,6 %.
IRR зависит только от денежного потока проекта: не от ставки компании и не от начала отсчёта. Её сравнивают с требуемой ставкой: у обычного проекта IRR > $i$ тогда и только тогда, когда NPV( $i$ ) > 0.
Формулы для IRR нет: её находят численно — подбором, делением отрезка пополам, методом Ньютона. Так же, итерациями, работает функция ВСД (IRR) электронной таблицы.
Расчёт по одной ставке оценивает все промежуточные остатки «счёта проекта» по IRR. Если деньги, отложенные на поздние затраты, приносят меньше, фактическая доходность ниже; её оценивают методом фонда ликвидации или модифицированной IRR (MIRR).
Если знак потока меняется больше одного раза, IRR может быть несколько или ни одной. Тогда решение принимают по NPV при ставке компании.
IRR не учитывает масштаб проекта и чувствительна к распределению денег во времени. Из взаимоисключающих вариантов выбирают по NPV; IRR приростного потока показывает, окупает ли дополнительное вложение требуемую доходность.

Ключевые соотношения

\sum_{t=0}^{T} \frac{\mathrm{NCF}_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

определение внутренней нормы доходности

\mathrm{IRR} > i \iff \mathrm{NPV}(i) > 0

правило решения для обычного проекта (одна смена знака потока)

i_{k+1} = i_k - \frac{\mathrm{NPV}(i_k)}{\mathrm{NPV}'(i_k)}

шаг метода Ньютона

B_t = B_{t-1}\,(1 + \mathrm{IRR}) + \mathrm{NCF}_t, \quad B_T = 0

счёт проекта при ставке, равной IRR, в конце обнуляется

\mathrm{MIRR} = \left(\frac{FV^{+}}{|PV^{-}|}\right)^{1/T} - 1

модифицированная IRR с явными ставками финансирования и реинвестирования

Где чаще всего ошибаются

Выбирать из взаимоисключающих вариантов вариант с большей IRR.
Доверять одному числу функции ВСД, когда знак потока меняется несколько раз: функция вернёт тот корень, к которому приведёт начальное приближение.
Сравнивать IRR, рассчитанную по номинальному потоку, с реальной ставкой — и наоборот.
Считать высокую IRR признаком большого выигрыша: 50 % на вложение в 1 млн долл. — это меньше стоимости, чем 20 % на 100 млн.
Включать в поток кредиты и проценты по ним: получится доходность собственного капитала, а не проекта.

После урока вы сможете

определить IRR через NPV и через «счёт проекта» и объяснить, почему она не зависит ни от ставки дисконтирования, ни от начала отсчёта;
найти IRR подбором, делением отрезка пополам и методом Ньютона и проверить ответ электронной таблицы;
объяснить, что предполагает расчёт по одной ставке, как на IRR влияют поздние затраты, например на ликвидацию, и учесть их методом фонда ликвидации или модифицированной IRR;
распознать поток, у которого несколько IRR или ни одной, и принять решение по NPV;
объяснить, почему ранжирование по IRR и по NPV расходится, и выбрать вариант приростным анализом.

IRR — ставка, при которой NPV равен нулю

В уроке о NPV показано, что NPV обычного проекта — сначала вложения, потом поступления — уменьшается с ростом ставки дисконтирования. При некоторой ставке он обращается в ноль: поступления проекта, приведённые по этой ставке, в точности равны приведённым вложениям. Эту ставку называют внутренней нормой доходности.

Внутренняя норма доходности

\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR}) = \sum_{t=0}^{T} \frac{\mathrm{NCF}_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

где:

$\mathrm{IRR}$ внутренняя норма доходности, доля единицы в год
$\mathrm{NCF}_t$ чистый денежный поток момента $t$ : приток «+», отток «−», млн долл.
$t$ время от начала отсчёта до потока, лет
$T$ время последнего потока проекта, включая ликвидацию, лет

Единицы: валюта денежного потока; IRR — в долях единицы за период, через который отстоят потоки (для годовых потоков — в год)

Справедливо, если

поток — чистый денежный поток проекта после налогов, без кредитов и процентов по ним: иначе получится доходность собственного капитала, а не проекта;
у обычного потока (сначала минусы, потом плюсы — одна смена знака) корень единственный и положителен, если сумма потока больше нуля; если знак меняется несколько раз, корней может быть несколько или ни одного (см. раздел ниже);
все потоки отнесены к моментам по одному соглашению; одинаковый сдвиг всех потоков во времени IRR не меняет.

Для обычного проекта IRR — наибольшая ставка, при которой проект ещё не уменьшает стоимость компании: доходность, которую приносят деньги, пока они вложены в проект. В отличие от NPV, IRR — процент, а не сумма денег, и для её расчёта не нужна ставка дисконтирования.

NPV проекта из примера при разных ставках, млн долл.

Ставка $i$: 0 %
NPV: 210,4

Ставка $i$: 10 %
NPV: 100,1

Ставка $i$: 20 %
NPV: 36,9

Ставка $i$: 25 %
NPV: 15,5

Ставка $i$: 30 %
NPV: −1,3

Ставка $i$: 40 %
NPV: −25,3

Ставка $i$	NPV
0 %	210,4
10 %	100,1
20 %	36,9
25 %	15,5
30 %	−1,3
40 %	−25,3

Тот же проект, что в уроках Денежный поток проекта и Чистая приведённая стоимость (NPV): начало отсчёта — середина 1-го года, потоки в середине каждого года. Данные примера условные.

NPV меняет знак между 25 и 30 %, а точный корень — IRR = 29,57 %. На профиле NPV это точка, в которой кривая пересекает ось ставок (рисунок в уроке о NPV).

Почему «внутренняя». IRR зависит только от денежного потока проекта: ставка дисконтирования для её расчёта не нужна, и начало отсчёта её не меняет. Сдвиг начала отсчёта на $\Delta$ лет умножает NPV при любой ставке на $(1+i)^{\Delta}$ , а ноль, умноженный на что угодно, остаётся нулём. По той же причине IRR не меняется, если все годовые потоки перенести с середины года на конец: все они сдвигаются на одно и то же время. Поэтому функция ВСД электронной таблицы даёт правильную IRR без той поправки, которой требует функция NPV (см. урок о NPV).

IRR > $i$ — проект возвращает вложения с доходностью выше требуемой; NPV( $i$ ) > 0, проект создаёт стоимость.
IRR = $i$ — NPV( $i$ ) = 0: проект лишь окупает стоимость капитала.
IRR < $i$ — NPV( $i$ ) < 0: деньги выгоднее вложить туда, где доступна доходность $i$ .

Это правило верно для обычного проекта. Поток проекта из примера меняет знак ещё раз в конце — из-за ликвидации на 10-м году, — но положительная IRR у него всё равно одна, и правило к нему применимо (почему — в разделе для углублённого изучения). Ставку $i$ , с которой сравнивают IRR, называют барьерной (hurdle rate): обычно это ставка дисконтирования компании, иногда с надбавкой за риск (Выбор ставки дисконтирования). Разность $\mathrm{IRR} - i$ показывает запас по ставке: у проекта из примера при ставке 10 % он около 20 процентных пунктов.

Как находят IRR

Уравнение $\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR}) = 0$ — многочлен степени $T$ относительно $x = 1/(1 + \mathrm{IRR})$ . Для трёх платежей это квадратное уравнение, но уже для потока длиной пять лет и больше общей формулы корня нет, поэтому IRR находят численно. Все методы ищут ставку, при которой NPV обращается в ноль, и различаются тем, как выбирают следующую пробную ставку.

Подбор с интерполяцией. Считают NPV при нескольких ставках, находят две соседние ставки с разными знаками NPV и соединяют точки прямой (пример в уроке о NPV). Профиль выпуклый, поэтому хорда немного завышает IRR; оценку уточняют, сужая интервал.
Деление отрезка пополам. Если на концах интервала NPV разного знака, берут середину и оставляют ту половину, на концах которой знаки по-прежнему разные. Каждый шаг вдвое сужает интервал: 20 шагов — точность около миллионной доли его ширины. Метод медленный, но надёжный: корень внутри интервала не потеряется.
Метод Ньютона. Следующую ставку находят по касательной к профилю NPV. Метод сходится очень быстро, но нуждается в хорошем начальном приближении и может уйти к другому корню или к бессмысленной ставке.

Шаг метода Ньютона для IRR

i_{k+1} = i_k - \frac{\mathrm{NPV}(i_k)}{\mathrm{NPV}'(i_k)}, \qquad \mathrm{NPV}'(i) = -\sum_{t} \frac{t\,\mathrm{NCF}_t}{(1+i)^{t+1}}

где:

$i_k$ ставка на $k$ -м шаге, доля единицы
$\mathrm{NPV}(i_k)$ NPV при этой ставке, млн долл.
$\mathrm{NPV}'(i)$ производная NPV по ставке — наклон профиля NPV, млн долл. на единицу ставки

Единицы: ставки — в долях единицы; NPV и его производная — в валюте потока

Справедливо, если

профиль NPV гладкий и вблизи корня не горизонтален;
начальное приближение достаточно близко к корню; если корней несколько, метод найдёт тот, к которому приведёт начальная ставка.

Касательная к профилю в точке $i_k$ пересекает ось ставок в точке $i_{k+1}$ . Вблизи корня число верных знаков примерно удваивается с каждым шагом.

Расчётный примерIRR проекта методом Ньютона

Исходные данные (условные)

Поток проекта на 1–10-м годах: −50,0; −90,0; 32,8; 78,4; 78,4; 65,6; 52,8; 33,6; 20,8; −12,0 млн долл. (урок Денежный поток проекта)
Начальное приближение: 10 % — это значение функция ВСД берёт по умолчанию

Решение

При $i_0 = 0{,}10$ : $\mathrm{NPV} = 100{,}13$ млн долл., наклон профиля $\mathrm{NPV}' = -816{,}6$ млн долл. на единицу ставки.
Первый шаг: $i_1 = 0{,}10 + 100{,}13/816{,}6$ $= 0{,}2226$ , то есть 22,26 %.
При $i_1$ : $\mathrm{NPV} = 26{,}57$ , $\mathrm{NPV}' = -431{,}4$ ; второй шаг даёт $i_2 = 28{,}42$ %.
Дальше: $i_3 = 29{,}54$ %, $i_4 = 29{,}566$ %. При $i_4$ NPV равен 0,000 млн долл. — практически нулю.

Ответ: IRR = 29,57 %: четырёх шагов хватило, чтобы получить её с точностью до сотых долей процента.

Что это значит. Каждый шаг заменяет профиль NPV касательной. Профиль этого проекта выпуклый, поэтому из ставки ниже корня касательные подходят к нему снизу и не перескакивают. Так же, итерациями, работают функции ВСД и ЧИСТВНДОХ электронной таблицы; если расчёт не сходится, задают другое начальное приближение. Данные примера условные.

Функции электронной таблицы

ВСД (в английской версии IRR) считает, что значения диапазона отстоят друг от друга на один период, и возвращает IRR за этот период: по годовым потокам — годовую, по месячным — месячную. Месячную переводят в годовую как $(1 + \mathrm{IRR}_{\text{мес}})^{12} - 1$ (Проценты и наращение).
Необязательный аргумент «предположение» — начальное приближение; по умолчанию 10 %.
ЧИСТВНДОХ (XIRR) принимает даты платежей и возвращает эффективную годовую ставку. МВСД (MIRR) — модифицированная IRR, о ней в разделе для углублённого изучения.

Что означает IRR: счёт проекта

Представим, что все потоки проекта проходят через счёт, на котором остаток любого знака каждый год умножается на $1 + \mathrm{IRR}$ . Вложения делают остаток отрицательным — проект «должен» инвестору; поступления гасят этот долг вместе с процентами. При ставке, равной IRR, к концу проекта остаток ровно нулевой: проект вернул все вложения и заплатил за пользование ими IRR в год — не больше и не меньше.

Остаток счёта проекта при ставке, равной IRR

B_t = B_{t-1}\,(1 + \mathrm{IRR}) + \mathrm{NCF}_t, \qquad B_0 = \mathrm{NCF}_0, \qquad B_T = 0

где:

$B_t$ остаток счёта после потока момента $t$ ; минус — деньги инвестора ещё вложены в проект, млн долл.
$\mathrm{NCF}_t$ чистый денежный поток момента $t$ , млн долл.
$\mathrm{IRR}$ внутренняя норма доходности, доля единицы в год

Единицы: валюта денежного потока

Справедливо, если

проценты начисляются по одной ставке IRR на остаток любого знака;
потоки отстоят друг от друга на один период, к которому относится IRR.

Отрицательный остаток — капитал, всё ещё вложенный в проект. IRR — доходность именно этого капитала, а не первоначальной суммы вложений на весь срок проекта: по мере возврата денег вложенный капитал уменьшается.

Счёт проекта при ставке, равной IRR (29,57 %), млн долл.

Год: 1
NCF: −50,0
Проценты за год: —
Остаток на конец года: −50,0

Год: 2
NCF: −90,0
Проценты за год: −14,8
Остаток на конец года: −154,8

Год: 3
NCF: 32,8
Проценты за год: −45,8
Остаток на конец года: −167,7

Год: 4
NCF: 78,4
Проценты за год: −49,6
Остаток на конец года: −138,9

Год: 5
NCF: 78,4
Проценты за год: −41,1
Остаток на конец года: −101,6

Год: 6
NCF: 65,6
Проценты за год: −30,0
Остаток на конец года: −66,1

Год: 7
NCF: 52,8
Проценты за год: −19,5
Остаток на конец года: −32,8

Год: 8
NCF: 33,6
Проценты за год: −9,7
Остаток на конец года: −8,9

Год: 9
NCF: 20,8
Проценты за год: −2,6
Остаток на конец года: 9,3

Год: 10
NCF: −12,0
Проценты за год: 2,7
Остаток на конец года: 0,0

Год	NCF	Проценты за год	Остаток на конец года
1	−50,0	—	−50,0
2	−90,0	−14,8	−154,8
3	32,8	−45,8	−167,7
4	78,4	−49,6	−138,9
5	78,4	−41,1	−101,6
6	65,6	−30,0	−66,1
7	52,8	−19,5	−32,8
8	33,6	−9,7	−8,9
9	20,8	−2,6	9,3
10	−12,0	2,7	0,0

Проценты начисляются на остаток прошлого года; отрицательный остаток — долг проекта перед инвестором. Данные примера условные.

Долг проекта растёт до конца 3-го года (167,7 млн долл.): поступлений 3-го года не хватает даже на проценты. Затем он гасится, к концу 8-го года остаётся 8,9 млн долл., а после 9-го года остаток становится положительным — 9,3 млн долл.: инвестор уже вернул всё с доходностью IRR. Но впереди ликвидация — 12,0 млн долл. на 10-м году, — и расчёт молча предполагает, что эти 9,3 млн за год вырастут на 29,6 % и как раз её покроют: $9{,}26\cdot 1{,}2957 = 12{,}0$ .

Поздние затраты и допущение о ставке

Для капитала, вложенного в проект, начисление по ставке IRR — само определение этой ставки. Но для денег, которые проект уже заработал и держит в ожидании поздних затрат, это допущение: на деле деньги, отложенные на ликвидацию, приносят доходность надёжных вложений, а не 30 %. То же относится к любому расчёту по одной постоянной ставке: промежуточные остатки обоих знаков оцениваются по этой ставке.

Реалистичнее выделить деньги на ликвидацию явно. В методе фонда ликвидации (sinking fund; в англоязычной литературе такой расчёт называют extended yield) затраты на ликвидацию переносят назад во времени, дисконтируя по доходности фонда $s$ , и покрывают из ближайших предшествующих положительных потоков: эти потоки уменьшают, а поздние затраты убирают. IRR такого «нормализованного» потока уже не опирается на допущение, что фонд растёт по ставке IRR.

Расчётный примерIRR с явным фондом ликвидации

Исходные данные (условные)

Поток: проект из примера; ликвидация 12 млн долл. на 10-м году
Доходность фонда ликвидации $s$: 5 % годовых

Решение

Чтобы к 10-му году иметь 12 млн долл., на 9-м году нужно отложить $12/1{,}05 = 11{,}43$ млн долл.
Поток 9-го года (20,8 млн долл.) это покрывает: он уменьшается до 9,37 млн долл., а поток 10-го года становится нулевым.
IRR нормализованного потока — 29,48 % против 29,57 % у исходного. Если фонд вовсе не приносит дохода ( $s = 0$ ), — 29,45 %.

Ответ: Явный учёт фонда ликвидации снижает IRR с 29,57 до 29,48 % — на 0,09 процентного пункта.

Что это значит. Для небольшой и далёкой ликвидации эффект мал: при ставке около 30 % поздние потоки весят немного. Для дорогой ликвидации — например, морских сооружений — разница больше, и её стоит проверять. А при очень больших поздних затратах поток может получить вторую IRR (следующий раздел). Данные примера условные.

Другой способ заменить скрытое допущение явным — модифицированная IRR (modified IRR, MIRR): вложения приводят к началу по ставке финансирования, поступления наращивают к концу проекта по ставке реинвестирования, а MIRR — постоянный темп роста, который переводит одно в другое. Формула и пример — в разделе для углублённого изучения.

Несколько IRR или ни одной

У обычного проекта знак потока меняется один раз — с минуса на плюс, и профиль NPV пересекает ось ставок один раз. Если знак меняется несколько раз, пересечений может быть несколько — не больше, чем смен знака, — а может не быть ни одного. Такие потоки называют нестандартными (non-conventional). В нефтегазовых проектах они возникают у проектов ускорения добычи, при очень дорогой ликвидации и при крупных повторных вложениях в середине срока.

Расчётный примерДве IRR уплотняющей скважины

Исходные данные (условные)

Приростной поток по годам 0–7: −10; +11; +6; +4; −3; −3; −3; −3 млн долл.
Откуда такой поток: скважина ускоряет отбор: соседние скважины позже добудут меньше, чем без неё
Ставка компании: 10 %

Решение

Знак потока меняется дважды: минус → плюс → минус. Недисконтированная сумма $\mathrm{NPV}(0) = -1{,}0$ млн долл.
NPV при 10 % — 0,82, при 20 % — 1,15, при 60 % — −0,84 млн долл.: профиль сначала растёт, потом падает.
Корни уравнения $\mathrm{NPV} = 0$ , найденные делением отрезка пополам на интервалах 0–20 % и 20–60 %: 4,0 % и 46,0 %.
Метод Ньютона из начального приближения 10 % приходит к 4,0 %, из 30 % — к 46,0 %, а из 20 %, где профиль почти горизонтален, уходит к бессмысленной ставке −166 %.

Ответ: IRR две — около 4,0 и 46,0 %, а NPV при ставке компании 10 % положителен: 0,82 млн долл.

Что это значит. Ни одна из двух IRR не является «доходностью» скважины. Поток сочетает вложение (−10 сейчас, затем +21) и заём у будущего: нефть, которую соседние скважины добыли бы позже, получают сейчас и «возвращают» недобором. При низких ставках дорог заём, при высоких — вложение. Решение принимают по NPV при ставке компании. Метод Ньютона из 10 % — а это начальное приближение функции ВСД по умолчанию — даёт корень около 4 %, и проект, создающий стоимость при 10 %, по IRR был бы ошибочно отклонён. Данные примера условные.

РасчётПрофиль NPV приростного потока уплотняющей скважины: кривая пересекает ось ставок дважды — около 4 и 46 %. При ставке компании 10 % NPV положителен.

Посчитать смены знака потока. Если их больше одной, IRR может быть неединственной (признаки — в разделе для углублённого изучения).
Построить профиль NPV на широком интервале ставок, а не искать один корень от одного начального приближения.
Решение принимать по NPV при ставке компании. Если нужна мера эффективности в процентах, использовать MIRR или метод фонда ликвидации: их ответ однозначен.

Бывает и так, что IRR нет совсем. Поток «+5 сейчас, −12 через год, +8 через два года» — например, аванс заказчика, затем затраты подрядчика и окончательный расчёт — имеет положительный NPV при любой ставке: уравнение $\mathrm{NPV} = 0$ корней не имеет. Такая сделка выгодна при любой ставке, но IRR для неё не определена.

Две IRR может получить и проект обычного вида, если поздние затраты очень велики. Если бы ликвидация проекта из примера стоила не 12, а 230 млн долл., его недисконтированный итог стал бы отрицательным (−7,6 млн долл.), а профиль NPV пересекал бы ось ставок дважды — около 1,9 и 16,7 %. При этом NPV при 10 % положителен (7,7 млн долл.): ставка «обесценивает» далёкие затраты. Такой вывод верен, только если деньги на ликвидацию действительно удастся вложить под эту ставку, — снова вопрос о фонде ликвидации.

IRR и NPV при выборе между вариантами

Для независимых проектов с обычными потоками IRR и NPV дают одинаковые ответы «принять или отклонить». Расходиться они начинают, когда из нескольких вариантов можно выбрать только один — варианты взаимоисключающие — и когда варианты различаются размером вложений или распределением денег во времени.

Расчётный примерГидроразрыв или боковой ствол

Исходные данные (условные)

Вариант А — гидроразрыв пласта: −3,0 сейчас; +2,2; +1,4; +0,8; +0,4 на 1–4-м годах, млн долл.
Вариант Б — боковой горизонтальный ствол: −8,0 сейчас; +2,8; +2,8; +2,4; +2,0; +1,6; +1,2 на 1–6-м годах
Условие: в скважине можно выполнить только одно из двух; ставка компании 10 %

Решение

IRR: у А — 30,7 %, у Б — 18,1 %. По IRR лучше А.
NPV при 10 %: у А — 1,03, у Б — 1,70 млн долл. По NPV лучше Б.
Приростной поток «Б минус А» по годам 0–6: −5,0; +0,6; +1,4; +1,6; +1,6; +1,6; +1,2 млн долл. Его IRR — 14,1 %, NPV при 10 % — 0,67 млн долл.
Профили NPV вариантов пересекаются при ставке 14,1 %, где NPV обоих равен 0,78 млн долл.: при более низких ставках больше NPV у Б, при более высоких — у А.

Ответ: При ставке 10 % выбирают Б: дополнительные 5 млн долл. вложений приносят 14,1 % — больше требуемых 10 %.

Что это значит. Высокая IRR варианта А отражает не больший выигрыш, а быстрый возврат небольших денег. Чтобы сравнение по IRR было честным, пришлось бы считать, что ранние поступления А снова удастся вложить под 30 %, а на деле их вложат под ставку компании. Приростной анализ отвечает на вопрос прямо: окупает ли дополнительное вложение требуемую доходность. Данные примера условные.

РасчётПрофили NPV вариантов А (гидроразрыв) и Б (боковой ствол). Они пересекаются при 14,1 %: при ставке компании 10 % больше NPV у Б, хотя IRR выше у А (30,7 % против 18,1 %).

Что показывают NPV и IRR

Вопрос: Создаёт ли проект стоимость при ставке компании?
NPV: да, прямо
IRR: да, если поток обычный: IRR выше ставки

Вопрос: Сколько стоимости он создаёт?
NPV: да, в деньгах
IRR: нет

Вопрос: Какой из взаимоисключающих вариантов лучше?
NPV: вариант с большим NPV
IRR: только через IRR приростного потока

Вопрос: Какую ставку проект выдерживает?
NPV: нужен профиль NPV
IRR: да: это и есть IRR

Вопрос: Однозначен ли ответ при нестандартном потоке?
NPV: да
IRR: нет: корней может быть несколько или ни одного

Вопрос	NPV	IRR
Создаёт ли проект стоимость при ставке компании?	да, прямо	да, если поток обычный: IRR выше ставки
Сколько стоимости он создаёт?	да, в деньгах	нет
Какой из взаимоисключающих вариантов лучше?	вариант с большим NPV	только через IRR приростного потока
Какую ставку проект выдерживает?	нужен профиль NPV	да: это и есть IRR
Однозначен ли ответ при нестандартном потоке?	да	нет: корней может быть несколько или ни одного

IRR полезна как наглядная мера запаса по ставке, для первичного отбора независимых проектов, в переговорах («проект выдерживает стоимость капитала до 29 %») и для сравнения похожих по размеру и профилю проектов. При ограниченном капитале эффективность вложений лучше показывает индекс NPV (Чистая приведённая стоимость (NPV)); проекты ускорения добычи разбирает урок Проекты ускорения добычи и приростной анализ.

Термины и обозначения

IRR (ВНД): ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю; доходность денег, пока они вложены в проект.
Барьерная ставка: минимальная требуемая доходность, с которой сравнивают IRR; обычно ставка дисконтирования компании.
Обычный поток: денежный поток с одной сменой знака — сначала вложения, потом поступления; у него одна положительная IRR.
Нестандартный поток: поток, знак которого меняется больше одного раза; IRR может быть несколько или ни одной.
Приростная IRR: IRR разности потоков двух вариантов; равна ставке, при которой их NPV одинаковы.
Метод фонда ликвидации: учёт поздних затрат деньгами, заранее отложенными из предшествующих поступлений под явную ставку фонда.
MIRR: модифицированная IRR с явными ставками финансирования вложений и реинвестирования поступлений; ответ всегда один.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«IRR 30 % — значит, все вложенные деньги весь срок приносят 30 % в год».

На самом деле

IRR — доходность капитала, пока он вложен в проект; по мере возврата денег вложенный капитал уменьшается. Расчёт к тому же предполагает, что и промежуточные излишки растут по ставке IRR; реалистичнее это проверяет MIRR.

Неверно

«Из двух вариантов разработки лучше тот, у которого IRR выше».

На самом деле

Из взаимоисключающих вариантов выбирают по NPV при ставке компании. IRR не учитывает масштаб и благоприятствует вариантам с быстрым возвратом денег; разницу вариантов проверяют по IRR приростного потока.

Неверно

«Функция ВСД вернула 4 % — проект не проходит ставку 10 %».

На самом деле

Сначала проверьте, сколько раз меняется знак потока. У нестандартного потока корней может быть несколько, и функция возвращает тот, к которому привело начальное приближение; решение принимают по NPV.

Неверно

«IRR, как и NPV, нужно поправлять при переносе начала отсчёта или потоков с середины года на конец».

На самом деле

Одинаковый сдвиг всех потоков IRR не меняет: NPV умножается на один множитель, и ноль остаётся нулём. Важны только промежутки между потоками; если они неравные, используют расчёт по датам.

Неверно

«IRR по номинальному потоку 25 %, реальная ставка компании 10 % — запас огромный».

На самом деле

Сравнивать можно только величины одного вида: номинальную IRR — с номинальной ставкой. При инфляции 5 % реальным 10 % соответствуют номинальные $1{,}10\cdot1{,}05 - 1 = 15{,}5$ %.

Подробно: для продвинутых

Сколько корней может быть

Уравнение $\mathrm{NPV} = 0$ — многочлен относительно $x = 1/(1+i)$ с коэффициентами $\mathrm{NCF}_t$ . По правилу знаков Декарта число его положительных корней — то есть IRR больше −100 % — не больше числа смен знака в ряду $\mathrm{NCF}_t$ и отличается от него на чётное число. Одна смена знака — ровно один корень; две — два или ни одного.

Более тонкий признак смотрит на накопленный поток: если он меняет знак ровно один раз, начиная с отрицательных значений, то положительная IRR ровно одна (это достаточное, но не необходимое условие). У проекта из примера знак NCF меняется дважды — из-за ликвидации, — но накопленный поток (−50,0; −140,0; −107,2; −28,8; 49,6; 115,2; 168,0; 201,6; 222,4; 210,4) меняет знак один раз, и положительная IRR одна. Второй корень, существование которого следует из правила знаков, лежит при отрицательной ставке — около −69 % — и экономического смысла не имеет. У уплотняющей скважины накопленный поток (−10; 1; 7; 11; 8; 5; 2; −1) меняет знак дважды — и корней действительно два.

Модифицированная IRR

Модифицированная внутренняя норма доходности

\mathrm{MIRR} = \left(\frac{FV^{+}}{|PV^{-}|}\right)^{1/T} - 1

где:

$FV^{+}$ сумма положительных потоков, наращённых к моменту последнего потока по ставке реинвестирования, млн долл.
$PV^{-}$ сумма отрицательных потоков, приведённых к моменту первого потока по ставке финансирования, млн долл.
$T$ число периодов от первого до последнего потока, лет

Единицы: валюта потока; MIRR — в долях единицы за период

Справедливо, если

положительные потоки вкладываются под ставку реинвестирования до конца проекта;
отрицательные потоки обеспечиваются заранее деньгами, вложенными под ставку финансирования;
так её определяет функция МВСД электронной таблицы; встречаются и другие варианты, поэтому ставки указывают рядом с результатом.

У MIRR всегда один ответ. Если обе ставки равны ставке компании $i$ , то MIRR > $i$ тогда и только тогда, когда NPV( $i$ ) > 0 — вывод совпадает с NPV.

Расчётный примерMIRR проекта из примера

Исходные данные (условные)

Поток: проект из примера, 1–10-й годы ( $T = 9$ )
Ставки финансирования и реинвестирования: 10 % годовых

Решение

Отрицательные потоки к 1-му году: $PV^{-} = -50 - 90/1{,}1 - 12/1{,}1^{9}$ $= -136{,}9$ млн долл. Ликвидация тоже здесь: деньги на неё откладывают заранее.
Положительные потоки 3–9-го годов, наращённые к 10-му году: $FV^{+} = 558{,}9$ млн долл.
$\mathrm{MIRR} = (558{,}9/136{,}9)^{1/9} - 1$ $= 16{,}9$ %.
Если поступления удаётся вкладывать только под 5 % (ставка финансирования прежняя, 10 %), MIRR снижается до 14,2 %.

Ответ: MIRR ≈ 16,9 % против IRR 29,6 %: MIRR — средний темп роста всех денег инвестора до 10-го года, если свободные поступления приносят только 10 %, а IRR — доходность лишь того капитала, который ещё вложен в проект.

Что это значит. MIRR выше ставки компании, значит, проект выгоден — как и по NPV. Её величина честнее показывает рост денег инвестора, если свободные деньги проекта он может вложить только под 10 %. Данные примера условные.

IRR в реальных и номинальных деньгах

Если номинальный поток получен из потока в постоянных ценах умножением на $(1+f)^{t}$ , то $1 + \mathrm{IRR}_{\text{ном}} = (1 + \mathrm{IRR}_{\text{реал}})(1 + f)$ — то же соотношение, что для процентных ставок (Проценты и наращение). IRR проекта из примера в постоянных ценах — 29,6 %; при инфляции 5 % в год IRR того же потока в номинальных деньгах составила бы 36,0 %. Сравнивать IRR можно только со ставкой того же вида: реальную — с реальной, номинальную — с номинальной. Налоги считают в номинальных деньгах, поэтому в полной модели эта простая связь может нарушаться (Денежный поток проекта).

Связь с другими темами

Чистая приведённая стоимость (NPV) — профиль NPV, правило решения и индекс NPV при ограниченном капитале.
Дисконтирование и приведённая стоимость — коэффициенты дисконтирования и соглашения о моменте потоков.
Проценты и наращение — сложные проценты, эффективные и реальные ставки, ставка реинвестирования.
Денежный поток проекта — из чего складывается денежный поток, по которому считают IRR.
Проекты ускорения добычи и приростной анализ — проекты ускорения добычи, у которых IRR часто неоднозначна.
Выбор ставки дисконтирования — с какой ставкой сравнивать IRR.
Анализ чувствительности и сценарии — как IRR и NPV реагируют на цену, затраты и сроки.

Проверьте себя

1
Поток проекта: −100 сейчас и +121 через два года. Чему равна IRR?
1. А.11 %
2. Б.10,5 %
3. В.21 %
4. Г.10 %
Показать ответ
Правильный ответ: Г. 10 %
$(1+\mathrm{IRR})^{2} = 121/100 = 1{,}21$ , откуда IRR = 10 %. 21 % — рост за два года, а не годовая ставка; 10,5 % получается, если разделить 21 % на два года, как при простых процентах.
2
NPV обычного проекта при ставке 12 % равен +8 млн долл. Что можно сказать об IRR?
1. А.IRR больше 12 %
2. Б.Ничего: IRR не связана с NPV
3. В.IRR меньше 12 %
4. Г.IRR равна 12 %
Показать ответ
Правильный ответ: А. IRR больше 12 %
У обычного проекта NPV убывает с ростом ставки и обращается в ноль при IRR. Раз при 12 % NPV ещё положителен, ноль наступает при более высокой ставке.
3
Поток: −100 сейчас, +60 через год, +60 через два года. Найдите IRR и проверьте её счётом проекта.
Показать ответ
При $x = 1/(1+\mathrm{IRR})$ : $60x^{2} + 60x - 100 = 0$ , откуда $x = 0{,}8844$ и IRR ≈ 13,1 %. Счёт проекта: $-100\cdot1{,}131 + 60 = -53{,}1$ ; $-53{,}1\cdot1{,}131 + 60 \approx 0$ — долг погашен ровно к концу второго года. При ставке 10 % NPV этого потока равен +4,1 (урок о NPV), что согласуется с IRR выше 10 %.
4
Два взаимоисключающих варианта: А — IRR 35 %, NPV при 10 % равен 4 млн долл.; Б — IRR 22 %, NPV при 10 % равен 9 млн долл. Ставка компании 10 %. Что выбрать?
1. А.А: у него выше IRR
2. Б.Б: у него больше NPV при ставке компании
3. В.Оба: они оба выгодны
4. Г.Нужно знать срок окупаемости
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Б: у него больше NPV при ставке компании
Реализовать можно только один вариант, и выбирают тот, что создаёт больше стоимости при ставке компании, — Б. Более высокая IRR варианта А говорит о быстром возврате меньших денег, а не о большем выигрыше. Если приростной поток «Б минус А» обычный — сначала дополнительное вложение, потом дополнительные поступления, — его IRR выше 10 %, раз NPV приростного потока $9 - 4 = 5 > 0$ .
5
Поток: +5 сейчас, −12 через год, +8 через два года. Найдите IRR.
Показать ответ
При $x = 1/(1+i)$ : $\mathrm{NPV} = 8x^{2} - 12x + 5$ . Дискриминант $144 - 160 < 0$ , корней нет, а при $x = 0$ и $x = 1$ многочлен положителен — NPV больше нуля при любой ставке. IRR не существует, но сделка выгодна при любой ставке дисконтирования.
6
Почему функция ВСД не требует поправки на начало отсчёта, а функция NPV (ЧПС) требует?
Показать ответ
ЧПС дисконтирует первое значение диапазона на целый период, поэтому её результат зависит от того, к какому моменту отнесены потоки, и его поправляют. IRR — ставка, при которой NPV равен нулю; сдвиг всех потоков на одно и то же время умножает NPV на один положительный множитель, и ноль остаётся нулём. Поэтому ВСД по ряду годовых потоков даёт ту же IRR при любом начале отсчёта и при соглашении «середина года».

Обновлено: 30 сентября 2026 г.