Проценты и наращение

Кратко о главном

Ставка имеет смысл только вместе с периодом: «10 % в год» и «10 % за два года» — разные условия.
Простые проценты начисляются только на исходную сумму, сложные — и на накопленные проценты. Разница быстро растёт со сроком: при 10 % годовых за 30 лет сумма вырастает в 4 раза при простых процентах и в 17,4 раза при сложных.
При сложных процентах сумма удваивается примерно за $72/p$ лет, где $p$ — ставка в процентах (правило 72).
Номинальная годовая ставка $j$ при начислении $m$ раз в год равноценна эффективной ставке $i = (1 + j/m)^{m} - 1$ . Ставки с разной частотой начисления сравнивают только как эффективные.
При непрерывном начислении сумма растёт как $A_0 e^{jn}$ , эффективная ставка равна $e^{j} - 1$ , а обратный переход — $j = \ln(1+i)$ .
Реальная ставка — прирост покупательной способности: $1 + i = (1 + r)(1 + f)$ . Приближение $r \approx i - f$ годится только при невысокой инфляции.

Ключевые соотношения

A_n = A_0\,(1 + n\,i)

простые проценты: база начисления не меняется

A_n = A_0\,(1 + i)^{n}

сложные проценты; $(1+i)^{n}$ — множитель наращения

i = \left(1 + \dfrac{j}{m}\right)^{m} - 1

эффективная годовая ставка по номинальной $j$ при $m$ начислениях в год

A_n = A_0\,e^{jn}, \qquad i = e^{j} - 1

непрерывное начисление

1 + i = (1 + r)(1 + f)

номинальная ставка $i$ , реальная $r$ и темп инфляции $f$

Где чаще всего ошибаются

Делить годовую эффективную ставку на 12, чтобы получить месячную: правильно $(1+i)^{1/12} - 1$ .
Сравнивать ставки с разной частотой начисления, не пересчитав их в эффективные.
Путать два смысла слова «номинальная»: ставка без учёта частоты начисления и ставка в деньгах, включающая инфляцию.
Считать, что проценты, которые каждый год снимают со счёта, растут по схеме сложных процентов: без реинвестирования рост простой.
Прогнозировать цены и затраты на десятилетия вперёд с постоянным темпом роста и не замечать, как быстро растёт множитель.

После урока вы сможете

объяснить, чем сложные проценты отличаются от простых, и оценить время удвоения суммы;
переводить номинальную годовую ставку в эффективную и обратно при любой частоте начисления, в том числе непрерывной;
сравнивать предложения с разными схемами начисления по эффективной ставке;
переносить суммы и ряды платежей во времени наращением — пошагово и напрямую;
применять ту же формулу к росту цен и затрат и отделять реальную ставку от номинальной.

Процент — плата за время

Деньги можно вложить и получить доход, поэтому тот, кто отдаёт их в пользование, требует платы. Эту плату называют процентом, а её отношение к сумме за период — процентной ставкой (interest rate). Для кредитора процент — доход, для заёмщика — затраты. В оценке проектов роль кредитора играет инвестор: деньги, вложенные в скважину, могли бы приносить доход в другом месте (стоимость денег во времени).

У ставки обязательно есть период. Сказать «10 %» без срока — значит не сказать ничего: 10 % за квартал и 10 % за два года — совершенно разные условия. Поэтому ставку указывают вместе с периодом, обычно годом, и со схемой начисления: когда проценты начисляются и что с ними происходит дальше.

$A_0$: исходная сумма (principal) — вложенная или взятая в долг в начальный момент.
$A_n$: наращённая сумма через $n$ периодов; её называют также будущей стоимостью (future value, FV) или конечной стоимостью (terminal value).
$i$: ставка за период в долях единицы: 10 % — это 0,10.
$n$: число периодов начисления; единица времени должна совпадать с периодом ставки.

Простые проценты

При простых процентах (simple interest) за каждый период начисляется одна и та же доля исходной суммы. Начисленные проценты к базе не прибавляются: их выплачивают или они накапливаются отдельно, не принося дохода. Поэтому сумма растёт линейно — на одну и ту же величину $A_0 i$ за каждый период.

Наращение по простым процентам

A_n = A_0\,(1 + n\,i)

где:

$A_n$ наращённая сумма через $n$ периодов, денежные единицы
$A_0$ исходная сумма, те же денежные единицы
$i$ ставка за период, доля единицы
$n$ число периодов, —

Единицы: любая валюта; ставка и число периодов — в согласованных единицах времени

Справедливо, если

проценты начисляются только на исходную сумму и в следующих периодах дохода не приносят;
ставка постоянна весь срок;
внутри срока нет дополнительных вложений и изъятий.

Множитель $1 + ni$ линеен по сроку: удвоить срок — удвоить сумму процентов.

Простые проценты встречаются в краткосрочных кредитах и депозитах без капитализации, в облигациях, купон которых выплачивают, а не вкладывают снова, и при расчёте процентов за неполный период: например, если вклад закрыт в середине периода, проценты за прошедшие дни обычно считают пропорционально их числу по правилу, записанному в договоре. В оценке проектов, где сроки — годы и десятилетия, простые проценты почти не используют.

Сложные проценты

При сложных процентах начисленные за период проценты прибавляются к сумме — происходит капитализация, и в следующем периоде проценты начисляются уже на увеличенную сумму. После первого периода $A_1 = A_0(1+i)$ , после второго $A_2 = A_1(1+i) = A_0(1+i)^2$ , и так далее: каждый период умножает сумму на один и тот же множитель $1 + i$ .

Наращение по сложным процентам

A_n = A_0\,(1 + i)^{n}

где:

$A_n$ наращённая (будущая) сумма через $n$ периодов, денежные единицы
$A_0$ исходная сумма, те же денежные единицы
$i$ ставка за период начисления, доля единицы
$n$ число периодов; в расчётах проектов допускают и дробное значение, —
$(1+i)^{n}$ множитель наращения (compound factor): во сколько раз вырастает единица денег, —

Единицы: любая валюта; годовая ставка — с числом лет, месячная — с числом месяцев

Справедливо, если

проценты остаются вложенными и приносят доход по той же ставке;
ставка постоянна; если она меняется, множители отдельных периодов перемножают: $(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$ ;
проценты начисляются один раз за период, к которому относится ставка.

Рост показательный: за каждый период сумма увеличивается не на одну и ту же величину, а в одно и то же число раз. Поэтому сложные проценты за короткий срок почти не отличаются от простых, а за длинный — отличаются в разы.

Удобная мера скорости роста — время удвоения: из $(1+i)^{n} = 2$ получаем $n_2 = \ln 2/\ln(1+i)$ . Для прикидки в уме служит правило 72: сумма удваивается примерно за $72/p$ лет, где $p$ — ставка в процентах. При 8 % — примерно за 9 лет (точно — за 9,01), при 12 % — примерно за 6 (точно — за 6,12). То же правило, прочитанное наоборот, показывает, за сколько лет вдвое уменьшается приведённая стоимость будущего платежа.

РасчётРост одной денежной единицы при ставке 10 % годовых: простые проценты, сложные с начислением раз в год (точки — значения в конце каждого года) и непрерывное начисление по номинальной ставке 10 %. За 30 лет — 4,0; 17,4 и 20,1.

Расчётный примерПростые и сложные проценты за 10 лет

Исходные данные (условные)

Исходная сумма $A_0$: 20 млн долл.
Ставка $i$: 9 % годовых
Срок $n$: 10 лет

Решение

Простые проценты: каждый год начисляется $0{,}09\cdot 20 = 1{,}8$ млн долл., за 10 лет — 18 млн. Наращённая сумма $A_{10} = 20\,(1 + 10\cdot 0{,}09)$ $= 38{,}0$ млн долл.
Сложные проценты: множитель наращения $1{,}09^{10} = 2{,}3674$ , наращённая сумма $A_{10} = 20\cdot 2{,}3674$ $= 47{,}35$ млн долл.
Разница — 9,35 млн долл.: это проценты, начисленные на проценты прошлых лет.
Время удвоения при сложных процентах: $n_2 = \ln 2/\ln 1{,}09$ $= 8{,}04$ года; правило 72 даёт $72/9 = 8$ лет. При простых процентах сумма удвоится только через $1/0{,}09 = 11{,}1$ года.

Ответ: Через 10 лет — 38,0 млн долл. при простых процентах и 47,35 млн долл. при сложных.

Что это значит. В первый год обе схемы дают одно и то же, но разрыв растёт с каждым годом, потому что при сложных процентах растёт база начисления. Правило 72 даёт хорошую прикидку при ставках примерно от 5 до 15 %. Данные примера условные.

Частота начисления: номинальная и эффективная ставка

Банки нередко начисляют проценты несколько раз в год — раз в полгода, квартал, месяц или даже ежедневно, — а ставку объявляют годовую. Такую ставку называют номинальной годовой (nominal annual rate); обозначим её $j$ . Это ставка за период начисления, умноженная на число периодов в году $m$ . Например, 1,5 % в месяц — это номинальные 18 % годовых. За каждый период сумма умножается на $1 + j/m$ , за год — на $(1 + j/m)^{m}$ .

Наращение при начислении m раз в год

A_n = A_0\left(1 + \frac{j}{m}\right)^{mn}

где:

$j$ номинальная годовая ставка, доля единицы в год
$m$ число периодов начисления в году: 2, 4, 12, 365…, —
$j/m$ ставка за период начисления, доля единицы
$n$ срок, лет

Единицы: любая валюта

Справедливо, если

периоды начисления одинаковы по длине;
проценты каждого периода капитализируются.

При той же номинальной ставке сумма растёт тем быстрее, чем чаще начисляют проценты: проценты начинают приносить доход раньше.

Чтобы сравнивать схемы с разной частотой, их приводят к одному эталону — эффективной годовой ставке (effective annual rate): ставке с начислением раз в год, которая даёт за год тот же рост.

Эффективная годовая ставка

i = \left(1 + \frac{j}{m}\right)^{m} - 1, \qquad j = m\left[(1+i)^{1/m} - 1\right]

где:

$i$ эффективная годовая ставка, доля единицы в год
$j$ номинальная годовая ставка при начислении $m$ раз в год, доля единицы в год
$m$ число начислений в году, —

Единицы: безразмерные доли единицы

Справедливо, если

все начисленные проценты капитализируются;
в сравнении не участвуют разовые комиссии и бонусы — если они есть, их учитывают отдельно, в полном денежном потоке.

При $m = 1$ эффективная ставка равна номинальной, при $m > 1$ — больше неё. Вторая формула — обратный переход: какая номинальная ставка при начислении $m$ раз в год даёт заданную эффективную.

Эффективная годовая ставка при разной частоте начисления, %

Номинальная ставка: 6 %
2 раза в год: 6,09
4 раза в год: 6,14
12 раз в год: 6,17
Непрерывно: 6,18

Номинальная ставка: 10 %
2 раза в год: 10,25
4 раза в год: 10,38
12 раз в год: 10,47
Непрерывно: 10,52

Номинальная ставка: 20 %
2 раза в год: 21,00
4 раза в год: 21,55
12 раз в год: 21,94
Непрерывно: 22,14

Номинальная ставка: 30 %
2 раза в год: 32,25
4 раза в год: 33,55
12 раз в год: 34,49
Непрерывно: 34,99

Номинальная ставка	2 раза в год	4 раза в год	12 раз в год	Непрерывно
6 %	6,09	6,14	6,17	6,18
10 %	10,25	10,38	10,47	10,52
20 %	21,00	21,55	21,94	22,14
30 %	32,25	33,55	34,49	34,99

Разница между эффективной и номинальной ставкой растёт примерно как квадрат ставки: при 6 % она меньше 0,2 процентного пункта при любой частоте, при 30 % и непрерывном начислении — почти 5.

Из таблицы видны две закономерности. Первая: переход от ежегодного начисления к ежемесячному заметен, а от ежемесячного к непрерывному — почти нет; частота выше месячной практически ничего не добавляет. Вторая: при низких ставках частотой можно пренебречь, а при ставках в десятки процентов годовых — например, по кредитам в национальной валюте в периоды высокой инфляции — нельзя.

Расчётный примерКакое предложение банка выгоднее для вкладчика

Исходные данные (условные)

Предложение А: 15,5 % годовых, начисление раз в год
Предложение Б: 15,0 % годовых, ежемесячная капитализация
Предложение В: 15,2 % годовых, капитализация раз в полгода

Решение

А: проценты начисляются раз в год, поэтому эффективная ставка равна номинальной — 15,50 %.
Б: ставка за месяц $0{,}15/12 = 0{,}0125$ ; эффективная ставка $1{,}0125^{12} - 1$ $= 16{,}08$ %.
В: ставка за полгода $0{,}152/2 = 0{,}076$ ; эффективная ставка $1{,}076^{2} - 1$ $= 15{,}78$ %.
Для сравнения: при ежедневном начислении те же 15,0 % дали бы 16,180 %, а при непрерывном — предельном — 16,183 %: чаще, чем раз в месяц, начислять почти бессмысленно.

Ответ: Выгоднее всего предложение Б (16,08 %), затем В (15,78 %) и А (15,50 %) — хотя по номинальной ставке Б выглядит худшим.

Что это значит. Сравнивать можно только эффективные ставки. Частое начисление выгодно тому, кто получает проценты, и невыгодно тому, кто их платит. Если по вкладу или кредиту есть комиссии, их учитывают вместе с процентами как полный денежный поток. Данные примера условные.

Как называют эффективную ставку

В Казахстане банки указывают по кредитам и вкладам годовую эффективную ставку вознаграждения (ГЭСВ): она учитывает капитализацию, а по кредитам — и обязательные комиссии, поэтому может быть заметно выше номинальной. В англоязычных документах эффективную ставку называют effective annual rate (EAR), annual equivalent rate (AER) или annual percentage yield (APY). Аббревиатура APR в одних странах означает эффективную ставку, в других — номинальную, поэтому определение ставки всегда проверяют по договору.

Непрерывное начисление

Чем чаще начисляют проценты, тем больше годовой множитель $(1 + j/m)^{m}$ , но рост замедляется и стремится к пределу: при $m \to \infty$ множитель стремится к $e^{j}$ , где $e \approx 2{,}718$ — основание натуральных логарифмов. Такой предельный случай называют непрерывным начислением (continuous compounding).

Непрерывное начисление

A_n = A_0\,e^{jn}, \qquad i = e^{j} - 1, \qquad j = \ln(1 + i)

где:

$j$ номинальная годовая ставка при непрерывном начислении (её называют также силой роста или непрерывной ставкой), доля единицы в год
$i$ равноценная эффективная годовая ставка, доля единицы в год
$n$ срок, лет
$\ln$ натуральный логарифм, —

Единицы: любая валюта; ставки — в долях единицы в год

Справедливо, если

проценты начисляются и капитализируются непрерывно;
ставка постоянна весь срок.

Непрерывное начисление — верхняя граница для любой частоты: номинальные 10 % дают 10,00 % эффективных при ежегодном начислении, 10,47 % при ежемесячном и 10,52 % при непрерывном. Обратная формула показывает, какая непрерывная ставка равноценна заданной эффективной: 10 % эффективных — это $\ln 1{,}1 = 9{,}53$ % при непрерывном начислении.

По вкладам и кредитам непрерывное начисление не применяют, а в годовых моделях денежного потока используют эффективную годовую ставку. Непрерывная форма удобна в теории и в аналитических расчётах: непрерывные ставки последовательных периодов, умноженные на их длительность, просто складываются — это логарифмы множителей наращения, — а формулы для платежей, распределённых по времени, записываются через интегралы. Если ставка задана как непрерывная, перед применением в годовой модели её пересчитывают в эффективную.

Та же математика в прогнозе добычи

Экспоненциальное падение добычи описывают той же функцией: $q = q_i e^{-Dt}$ , где $D$ — номинальный (непрерывный) темп падения. Годовой, или эффективный, темп падения $d = 1 - e^{-D}$ связан с ним так же, как эффективная ставка с непрерывной. При $D = 0{,}25$ в год добыча за год падает на 22,1 %, а за три года — до 47 % начального уровня. Путать $D$ и $d$ так же опасно, как путать номинальную и эффективную ставку.

Перенос сумм во времени

Деньги разных дат нельзя складывать напрямую, как нельзя складывать метры и футы. Сначала все суммы приводят к одной дате: наращение переносит их вперёд, дисконтирование — назад. Для ряда платежей это можно сделать двумя способами с одинаковым результатом.

Два способа нарастить ряд платежей к одной дате

1
Пошагово
накопленную сумму переносят на один период вперёд умножением на $1+i$ , прибавляют платёж этого периода и повторяют до нужной даты. Так ведут банковский счёт; промежуточные остатки видны на каждом шаге.
2
Напрямую
каждый платёж умножают на свой множитель наращения $(1+i)^{n-t}$ , где $n - t$ — число периодов от платежа до даты приведения, и складывают. Так удобно сравнивать вклад отдельных платежей.

Наращённая сумма ряда платежей

FV_n = \sum_{t=0}^{n} CF_t\,(1 + i)^{\,n-t}

где:

$FV_n$ сумма всех платежей, наращённых к моменту $n$ , денежные единицы
$CF_t$ платёж (денежный поток) в момент $t$ : вложение или поступление со своим знаком, денежные единицы
$i$ ставка за период, доля единицы
$n - t$ число периодов от платежа до даты приведения, —

Единицы: любая валюта, одинаковая для всех платежей

Справедливо, если

все платежи отсчитаны от одного начала и относятся к моментам по одному соглашению;
ставка одна для всех периодов и для остатков любого знака.

Если платежи — чистый денежный поток проекта, $FV_n$ — остаток «счёта проекта» в момент $n$ ; приведённый к началу отсчёта, он равен NPV (Чистая приведённая стоимость (NPV)).

Расчётный примерСколько стоит обустройство месторождения к первому году добычи

Исходные данные (условные)

Капитальные затраты проекта из урока Денежный поток проекта: 50, 90 и 20 млн долл. на 1, 2 и 3-м годах, в середине каждого года
Ставка: 10 % годовых
Дата приведения: середина 3-го года — первого года добычи

Решение

Пошагово: к середине 2-го года $50\cdot 1{,}1 + 90 = 145{,}0$ млн долл.; к середине 3-го года $145{,}0\cdot 1{,}1 + 20 = 179{,}5$ млн долл.
Напрямую: $50\cdot 1{,}1^{2} = 60{,}5$ и $90\cdot 1{,}1 = 99{,}0$ млн долл.; вместе с затратами 3-го года $60{,}5 + 99{,}0 + 20 = 179{,}5$ млн долл.
Сверх фактически заплаченных 160 млн долл. это 19,5 млн долл., или 12,2 %: во столько обходится то, что деньги до двух лет были заморожены в строительстве.

Ответ: К середине первого года добычи обустройство обходится в 179,5 млн долл. с учётом стоимости денег при 10 % годовых.

Что это значит. Если бы деньги на строительство брали в долг под 10 % и проценты капитализировались, к этой дате долг составил бы именно эту сумму; такую надбавку называют процентами за период строительства (interest during construction). Оба способа дают один ответ; пошаговый показывает ещё и промежуточный остаток — как банковская выписка. Данные примера условные.

Пошаговый способ — это и есть расчёт остатка банковского счёта, на который вносят и с которого снимают деньги: остаток прошлого периода с процентами плюс взносы минус изъятия. В уроке о NPV так же прослежен «счёт проекта» при ставке дисконтирования, а в уроке об IRR — при ставке, на которой этот счёт в конце проекта обнуляется.

Рост цен и затрат, реальная ставка

Та же формула описывает рост цен и затрат с постоянным темпом — эскалацию (escalation). Если услуга стоит сегодня $P_0$ и дорожает на долю $f$ в год, через $n$ лет она будет стоить $P_0(1+f)^{n}$ . Так индексируют стоимость бурения, сервисных работ и оборудования в прогнозах затрат.

Рост цены при постоянном темпе

P_n = P_0\,(1 + f)^{n}

где:

$P_n$ цена через $n$ лет, денежные единицы
$P_0$ цена в базовом году, денежные единицы
$f$ годовой темп роста цены — общей инфляции или отраслевой эскалации, доля единицы в год
$n$ число лет от базового года, лет

Единицы: любая валюта

Справедливо, если

темп роста постоянен; если он меняется, годовые множители перемножают;
это допущение прогноза, а не закон: рыночные цены, например на нефть, так равномерно не меняются.

Постоянный темп на длинном горизонте даёт неожиданно большие множители: 5 % в год за 20 лет — это рост в 2,65 раза. Прогноз с постоянной эскалацией на десятилетия вперёд всегда проверяют на правдоподобие.

Когда растут и деньги на счёте, и цены, важно, насколько больше товаров и услуг можно будет купить. Если деньги растут по ставке $i$ , а цены — с темпом $f$ , покупательная способность растёт по реальной ставке (real interest rate) $r$ . Ставку $i$ , в которую инфляция уже входит, в этом смысле тоже называют номинальной.

Связь номинальной ставки, реальной ставки и инфляции

1 + i = (1 + r)(1 + f), \qquad r = \frac{i - f}{1 + f}

где:

$i$ ставка в номинальных деньгах, то есть включающая инфляцию, доля единицы в год
$r$ реальная ставка — прирост покупательной способности, доля единицы в год
$f$ темп инфляции — роста общего уровня цен, доля единицы в год

Единицы: доли единицы за один и тот же период

Справедливо, если

все три величины относятся к одному периоду и являются эффективными ставками;
инфляцию измеряют индексом цен, подходящим к задаче.

Множители перемножаются, а не складываются: приближение $r \approx i - f$ хорошо работает при инфляции в несколько процентов и заметно ошибается при высокой. Номинальные денежные потоки дисконтируют номинальной ставкой, потоки в постоянных ценах — реальной (Инфляция: номинальные и реальные деньги).

Расчётный примерРеальная доходность депозита

Исходные данные (условные)

Ставка по вкладу $i$ (эффективная): 14 % годовых
Инфляция $f$: 9 % в год

Решение

Через год 100 тенге на вкладе превратятся в 114 тенге, а набор товаров, стоивший 100 тенге, будет стоить 109 тенге.
Покупательная способность вклада вырастет в $114/109 = 1{,}0459$ раза, то есть реальная ставка $r = 4{,}59$ %.
То же по формуле: $r = (0{,}14 - 0{,}09)/1{,}09 = 4{,}59$ %; приближение $i - f$ даёт 5 %.
При ставке 30 % и инфляции 25 % приближение по-прежнему даёт 5 %, а точная реальная ставка — $1{,}30/1{,}25 - 1 = 4{,}0$ %.

Ответ: Реальная доходность вклада — около 4,59 % в год.

Что это значит. Номинальные 14 % на деле означают прирост покупательной способности меньше 5 % в год. Чем выше инфляция, тем больше ошибается приближение «ставка минус инфляция». Данные примера условные.

Два смысла слова «номинальная»

Номинальная годовая ставка противопоставляется эффективной: речь о частоте начисления, инфляция тут ни при чём.
Номинальная ставка в деньгах каждого года противопоставляется реальной: речь об инфляции, частота начисления тут ни при чём.
Прежде чем пересчитывать ставку, выясните, в каком смысле она «номинальная». Ставка может быть одновременно эффективной и номинальной во втором смысле: например, 14 % годовых с начислением раз в год по вкладу в тенге.

Термины и обозначения

Наращённая сумма (FV): сумма, до которой вырастет вложение через заданный срок при заданной ставке; будущая стоимость.
Множитель наращения: $(1+i)^{n}$ — во сколько раз вырастает единица денег за $n$ периодов при сложных процентах.
Капитализация процентов: прибавление начисленных процентов к сумме, после которого они сами приносят проценты.
Номинальная годовая ставка $j$: ставка за период начисления, умноженная на число периодов в году.
Эффективная годовая ставка $i$: ставка с начислением раз в год, дающая тот же рост, что и данная схема; основа сравнения.
Непрерывное начисление: предельный случай бесконечно частого начисления; множитель наращения $e^{jn}$ .
Эскалация: рост цены или затрат во времени; при постоянном темпе $f$ описывается множителем $(1+f)^{n}$ .
Реальная ставка $r$: прирост покупательной способности денег: $(1+i)/(1+f) - 1$ .

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«1,5 % в месяц — это 18 % годовых».

На самом деле

Это номинальная ставка. Если проценты капитализируются ежемесячно, за год сумма вырастает в $1{,}015^{12} = 1{,}1956$ раза — эффективная ставка 19,56 %.

Неверно

«Месячная ставка равна годовой, делённой на 12».

На самом деле

Так получается месячная ставка из номинальной годовой. Из эффективной годовой ставки месячную находят как $(1+i)^{1/12} - 1$ ; деление на 12 завышает годовой рост.

Неверно

«При 10 % годовых за 30 лет сумма вырастет вчетверо».

На самом деле

Вчетверо — при простых процентах. При сложных множитель $1{,}1^{30} = 17{,}4$ : основная часть роста приходится на проценты, начисленные на проценты.

Неверно

«Реальная ставка — это номинальная минус инфляция».

На самом деле

Это приближение. Точно: $r = (i - f)/(1 + f)$ . При 30 % и инфляции 25 % приближение даёт 5 %, а на деле реальная ставка 4 %.

Подробно: для продвинутых

Откуда берутся число e и правило 72

Прологарифмируем годовой множитель: $\ln(1 + j/m)^{m} = m\ln(1 + j/m)$ . При больших $m$ величина $j/m$ мала, и $\ln(1 + x) \approx x$ , поэтому $m\ln(1 + j/m) \to j$ , а сам множитель стремится к $e^{j}$ . Отсюда и непрерывное начисление: за $n$ лет множитель $e^{jn}$ .

Время удвоения при сложных процентах $n_2 = \ln 2/\ln(1+i)$ . Разложение $\ln(1+i) \approx i - i^2/2$ даёт $n_2 \approx \dfrac{0{,}693}{i}\,(1 + i/2)$ . При ставке около 8 % множитель $1 + i/2 = 1{,}04$ , и $69{,}3\cdot 1{,}04 \approx 72$ — отсюда правило 72: $n_2 \approx 72/p$ . Число 72 удобно ещё и тем, что делится на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12. При непрерывном начислении точное правило — $69{,}3/p$ .

Сравнение вариантов по конечной стоимости

Варианты вложений можно сравнивать, нарастив все их потоки к одной будущей дате. Если варианты приносят деньги в разное время, придётся решить, куда вкладывать ранние поступления до этой даты, — и ответ зависит от этой ставки реинвестирования.

Расчётный примерОдна сумма потом или ряд платежей сейчас

Исходные данные (условные)

Вариант X: 20 млн долл. одной суммой через 8 лет
Вариант Y: 2,3 млн долл. в конце каждого года в течение 8 лет
Полученные деньги: вкладываются под ставку $r$ до конца 8-го года

Решение

Конечная стоимость Y — сумма наращённых платежей: $FV_Y = 2{,}3\,s_8(r)$ , где $s_8(r) = [(1+r)^{8} - 1]/r$ .
При $r = 0$ : $FV_Y = 2{,}3\cdot 8 = 18{,}4$ млн долл. — лучше X.
При $r = 3$ %: $FV_Y = 20{,}45$ ; при $r = 6$ %: $FV_Y = 22{,}76$ млн долл. — лучше Y.
Варианты равноценны при $r = 2{,}37$ %: при этой же ставке равны и их приведённые стоимости.

Ответ: Если ранние поступления можно вложить под ставку выше 2,37 %, выгоднее Y, если ниже — X.

Что это значит. Сравнение по конечной стоимости при ставке реинвестирования $r$ даёт тот же порядок, что сравнение по приведённой стоимости при той же ставке: все суммы отличаются одним множителем $(1+r)^{8}$ . Поэтому на практике сравнивают приведённые стоимости, явно указав ставку. Скрытое допущение о ставке реинвестирования — главная ловушка показателя IRR (Внутренняя норма доходности (IRR)). Данные примера условные.

Связь с другими темами

Дисконтирование и приведённая стоимость — наращение наоборот: приведённая стоимость и коэффициенты дисконтирования.
Чистая приведённая стоимость (NPV) — сумма дисконтированных потоков проекта и «счёт проекта» при ставке дисконтирования.
Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV равен нулю, и допущение о ставке реинвестирования.
Аннуитеты и дисконтированная добыча — ряды равных платежей и их наращённая и приведённая стоимость.
Инфляция: номинальные и реальные деньги — номинальные деньги, постоянные цены и пересчёт по индексам цен.
Денежный поток проекта — денежный поток проекта, который наращивают и дисконтируют.

Проверьте себя

1
На вклад положили 100 млн тенге на 3 года под 10 % годовых с капитализацией раз в год. Сколько будет на счёте в конце срока?
1. А.130,0 млн тенге
2. Б.110,0 млн тенге
3. В.133,1 млн тенге
4. Г.134,8 млн тенге
Показать ответ
Правильный ответ: В. 133,1 млн тенге
$100\cdot 1{,}1^{3} = 133{,}1$ млн тенге. 130 — результат простых процентов, 134,8 — ежемесячной капитализации при номинальных 10 % ( $1{,}00833^{36}$ ), 110 — наращение только за один год.
2
Что выгоднее для вкладчика: 10 % годовых с ежемесячной капитализацией или 10,4 % годовых с начислением раз в год?
1. А.Одинаково
2. Б.10,4 % с начислением раз в год
3. В.10 % с ежемесячной капитализацией
Показать ответ
Правильный ответ: В. 10 % с ежемесячной капитализацией
Эффективная ставка первого предложения $(1 + 0{,}10/12)^{12} - 1 = 10{,}47$ %, второго — 10,40 %. Разница невелика, но сравнивать можно только эффективные ставки.
3
Модель денежного потока ведут по месяцам, а ставка дисконтирования задана как эффективная годовая — 12 %. Какую месячную ставку взять?
Показать ответ
$(1{,}12)^{1/12} - 1 = 0{,}949$ % в месяц. Если взять $12/12 = 1$ %, за год накопится $1{,}01^{12} - 1 = 12{,}68$ %, то есть модель будет дисконтировать по более высокой ставке, чем задано.
4
За сколько лет удвоится сумма при 6 % годовых с ежегодной капитализацией? Оцените в уме и проверьте расчётом.
Показать ответ
По правилу 72: $72/6 = 12$ лет. Точно: $\ln 2/\ln 1{,}06 = 0{,}6931/0{,}05827 = 11{,}9$ года.
5
Ставка по вкладу — 15 % годовых, инфляция — 10 % в год. Какова реальная ставка?
1. А.4,5 %
2. Б.5,5 %
3. В.25 %
4. Г.5,0 %
Показать ответ
Правильный ответ: А. 4,5 %
$r = (1{,}15/1{,}10) - 1 = 0{,}0455$ , то есть 4,5 %. 5 % — приближение «ставка минус инфляция»; оно завышает реальную ставку тем сильнее, чем выше инфляция.
6
Ремонт скважины стоит сегодня 40 млн тенге. Сколько он будет стоить через 7 лет, если затраты растут на 6 % в год?
Показать ответ
$40\cdot 1{,}06^{7} = 40\cdot 1{,}504 = 60{,}1$ млн тенге — в полтора раза больше. Это прогноз при допущении о постоянном темпе роста, а не обещание цены.

Обновлено: 19 октября 2026 г.