Напряжения, деформации и методы структурного анализа

Кратко о главном

Напряжение — сила на единицу площади (МПа), деформация — безразмерное изменение длин, углов и объёма. Форму породы меняет разность главных напряжений; среднее напряжение лишь уплотняет её.
Касательное напряжение на площадке наибольшее под 45° к $\sigma_1$ , а ближе всего к скольжению плоскость, нормаль которой составляет с $\sigma_1$ около 60° (при коэффициенте трения 0,6). Поровое давление уменьшает эффективное нормальное напряжение и облегчает скольжение.
Хрупкие породы разрушаются с образованием трещин и разломов, пластичные — текут и сминаются. С глубиной, с ростом температуры и при медленной деформации породы становятся пластичнее; соль и недоуплотнённые глины пластичны уже у поверхности.
Элементы залегания — азимут простирания, азимут падения и угол падения. В отечественной записи указывают азимут и угол падения («аз. пад. 130° ∠ 35°»), в англоязычной — чаще простирание по правилу правой руки и угол падения (040/35).
Кажущийся угол падения на разрезе меньше истинного: $\mathrm{tg}\,\delta' = \mathrm{tg}\,\delta\,\sin\beta$ . Истинный виден только на разрезе вкрест простирания, а искажённый вертикальный масштаб делает падение круче.
Изогипсы направлены по простиранию, их сгущение означает более крутое падение: $\mathrm{tg}\,\delta = \Delta z/w$ . По глубинам горизонта в трёх скважинах находят его падение и прогнозируют глубину в новой скважине.

Ключевые соотношения

\sigma_n = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\cos 2\theta,\quad \tau = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\sin 2\theta

напряжения на площадке, нормаль которой составляет угол $\theta$ с $\sigma_1$

e = \frac{l - l_0}{l_0},\qquad \gamma = \mathrm{tg}\,\psi

относительное удлинение и сдвиговая деформация

\mathrm{tg}\,\delta' = \mathrm{tg}\,\delta\,\sin\beta,\qquad \mathrm{tg}\,\delta_V = V\,\mathrm{tg}\,\delta'

кажущийся угол падения на разрезе под углом $\beta$ к простиранию и тот же угол на разрезе с искажением вертикального масштаба $V$

\mathrm{tg}\,\delta = \frac{\Delta z}{w},\qquad h = h_\text{в}\cos\delta

угол падения по изогипсам; истинная толщина пласта по толщине в вертикальной скважине

Где чаще всего ошибаются

Путать касательное и нормальное напряжения, общие и эффективные: скольжение по плоскости определяют касательное напряжение и эффективное нормальное $\sigma_n - p$ .
Считать, что порода, хрупкая в лабораторном опыте, останется хрупкой за миллионы лет: при скоростях деформации порядка $10^{-15}$ с⁻¹ и температурах в несколько сотен градусов текут даже прочные породы.
Записывать простирание без правила, по которому определена сторона падения: по правилу правой руки 040/35 и 220/35 — разные плоскости.
Принимать угол, снятый с разреза не вкрест простирания или с разреза с искажённым вертикальным масштабом, за истинный угол падения.
Принимать толщину наклонного пласта в вертикальной, а тем более в наклонной скважине за истинную.

После урока вы сможете

отличать напряжение от деформации, находить нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке и оценивать, насколько поровое давление приближает плоскость к скольжению;
описывать деформацию удлинением, сдвигом и эллипсом деформации и сравнивать скорости деформации в природе и в лаборатории;
объяснять, от чего зависит хрупкое или пластичное поведение пород, и оценивать глубину хрупко-пластичного перехода в земной коре;
записывать элементы залегания плоскостей и линий в отечественной и англоязычной форме и переводить одну запись в другую;
рассчитывать кажущийся угол падения на разрезе, угол на разрезе с искажённым вертикальным масштабом и истинную толщину пласта по скважине;
определять падение по изогипсам структурной карты и по глубинам горизонта в трёх скважинах.

Что изучает структурный анализ

Слои осадочных пород отлагаются почти горизонтально, но в скважинах и на сейсмических разрезах они наклонены, изогнуты в складки, разорваны разломами и пронизаны трещинами. Всё это — результат деформации (deformation) пород под действием сил, которые прикладывались к ним миллионы лет. Структурная геология изучает формы, возникшие при деформации, — их называют структурами (structures): складку, разлом, купол, систему трещин, — и процессы, которые их создали.

Структурный анализ отвечает на вопросы трёх уровней. Геометрия: какую форму и положение имеют слои, разломы и трещины сейчас — куда и под каким углом они падают. Кинематика: какие перемещения и изменения формы привели к этой геометрии — что сместилось, повернулось, укоротилось или растянулось и в какой последовательности. Динамика, или геомеханика: какие напряжения вызвали эти перемещения и почему порода ответила на них трещиной или изгибом. Инженеру нужны все три. Геометрия задаёт ловушку и положение скважин; кинематика — последовательность событий, например успела ли ловушка возникнуть до прихода нефти (время формирования ловушек); геомеханика — поведение пласта при бурении, гидроразрыве и разработке.

Откуда берутся структурные данные

Источник: Сейсморазведка
Что даёт: форму горизонтов и крупных разломов в объёме
Масштаб: от сотен метров до десятков километров

Источник: Скважины: глубины пластов, наклонометрия, имиджи стенки
Что даёт: точные глубины, углы и направления падения слоёв и трещин у ствола
Масштаб: от сантиметров до метров у ствола

Источник: Керн
Что даёт: наклон слоёв, трещины, следы скольжения, швы растворения
Масштаб: от миллиметров до метров

Источник: Обнажения и геологические карты
Что даёт: элементы залегания и взаимоотношения пород на поверхности
Масштаб: от метров до километров

Источник	Что даёт	Масштаб
Сейсморазведка	форму горизонтов и крупных разломов в объёме	от сотен метров до десятков километров
Скважины: глубины пластов, наклонометрия, имиджи стенки	точные глубины, углы и направления падения слоёв и трещин у ствола	от сантиметров до метров у ствола
Керн	наклон слоёв, трещины, следы скольжения, швы растворения	от миллиметров до метров
Обнажения и геологические карты	элементы залегания и взаимоотношения пород на поверхности	от метров до километров

Данные разного масштаба дополняют друг друга: разломы с амплитудой меньше разрешения сейсморазведки видны только в скважинах и на керне, а форму структуры между скважинами показывает сейсмика.

Напряжение в горных породах

Внутри породы на любую мысленно проведённую площадку действует сила со стороны соседних частиц. Напряжение (stress) — эта сила, отнесённая к площади площадки; единица — паскаль, на практике мегапаскаль (1 МПа = 10⁶ Па ≈ 10 атм). Силу раскладывают на две составляющие: перпендикулярную площадке — нормальное напряжение $\sigma_n$ (normal stress), прижимающее одну сторону площадки к другой, — и параллельную ей — касательное напряжение $\tau$ (shear stress), стремящееся сдвинуть одну сторону вдоль другой. В геологии и геомеханике сжатие считают положительным: в недрах почти все нормальные напряжения сжимающие (в механике материалов знак обычно обратный).

В каждой точке есть три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательных напряжений нет. Нормальные напряжения на них — главные напряжения (principal stresses); в структурной геологии их нумеруют по величине: $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ . В спокойном осадочном бассейне одно из них вертикально — это вес пород $\sigma_v$ , — а два других горизонтальны — $\sigma_H$ и $\sigma_h$ . Какое из трёх окажется наибольшим, определяет тектонический режим (режимы напряжений, как напряжения оценивают и измеряют).

Для деформации важна не столько величина напряжений, сколько их различие. Среднее напряжение $(\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3)/3$ сжимает породу одинаково со всех сторон и уменьшает её объём — так уплотняются осадки. Дифференциальное напряжение $\sigma_1 - \sigma_3$ меняет форму: оно создаёт касательные напряжения, которые сдвигают зёрна, раскрывают трещины и сминают слои. Поровое давление $p$ поддерживает часть нагрузки, поэтому на скелет породы действует эффективное напряжение $\sigma - p$ (подробнее): оно уменьшает прижатие по любой площадке, но не меняет дифференциального напряжения. В законе трения и в критериях разрушения вычитают всё поровое давление, а для упругого сжатия скелета — только его долю $\alpha p$ , где $\alpha \le 1$ — коэффициент Био (пороупругая модель).

Напряжения на наклонной площадке (двумерный случай)

\sigma_n = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\cos 2\theta, \qquad \tau = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\sin 2\theta

где:

$\sigma_n$ нормальное напряжение на площадке, МПа
$\tau$ касательное напряжение на площадке, МПа
$\sigma_1,\ \sigma_3$ наибольшее и наименьшее главные напряжения, МПа
$\theta$ угол между направлением $\sigma_1$ и нормалью (перпендикуляром) к площадке, °

Единицы: любые одинаковые единицы напряжения; угол — в градусах или радианах

Справедливо, если

площадка содержит направление промежуточного главного напряжения $\sigma_2$ , поэтому оно в формулы не входит;
напряжения однородны в окрестности площадки; формулы следуют из равновесия сил на треугольной призме (раздел для углублённого изучения);
для эффективных напряжений поровое давление вычитают из $\sigma_1$ , $\sigma_3$ и $\sigma_n$ ; касательное напряжение $\tau$ от него не зависит.

При $\theta = 0$ площадка перпендикулярна $\sigma_1$ и несёт только нормальное напряжение $\sigma_1$ , при $\theta = 90°$ — только $\sigma_3$ . Касательное напряжение наибольшее, $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$ , при $\theta = 45°$ . Если отложить пары $(\sigma_n, \tau)$ для всех $\theta$ , получится окружность — круг Мора (Mohr circle) с центром в $(\sigma_1 + \sigma_3)/2$ и радиусом $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$ ; площадке с углом $\theta$ отвечает точка, повёрнутая от $\sigma_1$ на угол $2\theta$ .

Готовая плоскость ослабления — трещина или разлом без сцепления — начинает скользить, когда касательное напряжение достигает силы трения: $\tau = \mu\,(\sigma_n - p)$ . Для большинства пород коэффициент трения $\mu$ лежит между 0,6 и 0,85 почти независимо от их состава (закон Байерли, Byerlee's law); у разломов, заполненных глинистым материалом, он заметно меньше — около 0,2–0,4. Прочность сплошной, ещё не разрушенной породы описывают похожим критерием, но с учётом сцепления (критерий Мора — Кулона).

РасчётКруг Мора в эффективных напряжениях для примера ниже: до роста порового давления (сплошная окружность) и после его роста на 5,6 МПа (штриховая), когда точка трещины достигает линии трения

\tau = 0{,}6\,(\sigma_n - p)

. Размер круга при этом не меняется.

Расчётный примерДалеко ли наклонная трещина от скольжения

Исходные данные (условные)

Глубина: 2600 м
Градиент горного давления: 23,0 кПа/м; вертикальное $\sigma_v$ — наибольшее главное напряжение $\sigma_1$
Минимальное горизонтальное напряжение $\sigma_h = \sigma_3$: 41,0 МПа
Поровое давление: гидростатическое, 10,2 кПа/м
Плоскость: трещина без сцепления, падение 60°, простирание вдоль $\sigma_H = \sigma_2$
Коэффициент трения $\mu$: 0,6

Решение

Главные напряжения и давление: $\sigma_1 = 0{,}023\cdot 2600 = 59{,}8$ МПа, $\sigma_3 = 41{,}0$ МПа, $p = 0{,}0102\cdot 2600 = 26{,}52$ МПа. Центр круга Мора $(59{,}8 + 41{,}0)/2 = 50{,}40$ МПа, радиус $9{,}40$ МПа.
$\sigma_1$ вертикально, поэтому нормаль к плоскости с падением 60° составляет с ним угол $\theta = 60°$ и $2\theta = 120°$ : $\sigma_n = 50{,}40 + 9{,}40\cos 120° = 45{,}70$ МПа, $\tau = 9{,}40\sin 120° = 8{,}14$ МПа.
Эффективное нормальное напряжение $\sigma_n - p = 45{,}70 - 26{,}52 = 19{,}18$ МПа; отношение $\tau/(\sigma_n - p) = 8{,}14/19{,}18 = 0{,}42$ — меньше коэффициента трения 0,6.
Скольжение начнётся при $\tau = 0{,}6\,(\sigma_n - p)$ , то есть при $p = \sigma_n - \tau/0{,}6 = 45{,}70 - 13{,}57 = 32{,}13$ МПа — на 5,6 МПа выше нынешнего.

Ответ: Сейчас трещина устойчива: касательное напряжение составляет 42 % от эффективного нормального при пороге трения 60 %. Скольжение начнётся, если поровое давление вырастет примерно на 5,6 МПа.

Что это значит. Тектонические силы для этого менять не нужно — достаточно поднять поровое давление, например закачкой воды под давлением выше пластового вблизи разлома (заводнение). Так объясняют наведённые землетрясения и утечки по разломам при закачке; поэтому давление нагнетания вблизи крупных разломов ограничивают по геомеханическому расчёту. Падение 60° выбрано не случайно: при $\mu = 0{,}6$ ближе всего к скольжению плоскости с $\theta \approx 60°$ , и в обстановке растяжения сбросы чаще всего падают под углом около 60° (Разломы). Упрощения сдвигают оценку в безопасную сторону: сцепление трещины не учтено — с ним скольжение наступило бы позже; не учтено и то, что рост давления в пласте частично повышает горизонтальное напряжение — при вертикальном $\sigma_1$ это уменьшает круг Мора и тоже отдаляет скольжение. Данные примера условные.

Что меняется, если…

…растёт поровое давление (закачка, недоуплотнение) — круг Мора в эффективных напряжениях смещается влево, не меняя размера, и приближается к линии трения: сдвиг может начаться без изменения тектонических сил;
…растёт дифференциальное напряжение — круг увеличивается, и первыми линии трения достигают плоскости с $\theta$ около 60°;
…плоскость ориентирована иначе — меняется $\theta$ , и точка на круге уходит от линии трения; на плоскостях, перпендикулярных или параллельных $\sigma_1$ , касательного напряжения нет вовсе.

Деформация: удлинение, сдвиг и эллипс деформации

Деформация (strain) описывает, насколько изменились размеры и форма тела, безразмерными величинами. Любое перемещение пород складывается из четырёх частей: переноса как целого, поворота, изменения формы и изменения объёма. Первые две ничего не меняют внутри тела; деформацией в узком смысле называют последние две.

Удлинение, коэффициент удлинения и сдвиговая деформация

e = \frac{l - l_0}{l_0}, \qquad S = \frac{l}{l_0} = 1 + e, \qquad \gamma = \mathrm{tg}\,\psi

где:

$e$ относительное удлинение линии (extension); отрицательное значение — укорочение, —
$S$ коэффициент удлинения (stretch), —
$l_0,\ l$ длина линии до и после деформации, м
$\gamma$ сдвиговая деформация (shear strain), —
$\psi$ угловой сдвиг: на сколько отклонилась от прямого угла линия, бывшая перпендикулярной заданному направлению, °

Единицы: безразмерные величины; длины в одних единицах

Справедливо, если

величины описывают конечную, накопленную деформацию, а не путь, которым она шла;
при однородной деформации они одинаковы во всём объёме, при неоднородной относятся к малому участку.

Растяжение литосферы в $\beta$ раз из урока о бассейнах — это коэффициент удлинения $S = \beta$ ; укорочение на четверть — $e = -0{,}25$ . Уплотнение осадков — тоже деформация: глина, потерявшая пористость с 60 до 15 % при неизменном объёме зёрен, укорачивается по вертикали более чем вдвое, $e \approx -0{,}53$ (расчёт мощностей при уплотнении).

Окружность, нарисованная на породе до деформации, после однородной деформации превращается в эллипс — эллипс деформации (strain ellipse); в объёме шар превращается в эллипсоид с полуосями $S_1 \ge S_2 \ge S_3$ . Отношение осей $R = S_1/S_3$ показывает, насколько искажена форма, а направления осей — направления наибольшего удлинения и укорочения. Природными «окружностями» служат объекты, изначально близкие к шарам: оолиты, пятна восстановления в красноцветах, некоторые окаменелости.

Расчётный примерДеформация известняка по сплющенным оолитам

Исходные данные (условные)

Средняя длинная ось оолитов в шлифе $a$: 1,32 мм
Средняя короткая ось $b$: 0,75 мм
Допущения: до деформации оолиты были шарами; площадь их сечения не изменилась

Решение

Исходный диаметр при сохранении площади сечения: $\pi a b/4 = \pi d_0^2/4$ , откуда $d_0 = \sqrt{ab} = \sqrt{1{,}32\cdot 0{,}75} = 0{,}995$ мм.
Коэффициенты удлинения: $S_1 = 1{,}32/0{,}995 = 1{,}327$ , $S_3 = 0{,}75/0{,}995 = 0{,}754$ .
Удлинения: $e_1 = 32{,}7$ %, $e_3 = -24{,}6$ %; отношение осей $R = 1{,}32/0{,}75 = 1{,}76$ .

Ответ: Порода укорочена примерно на 25 % поперёк длинных осей оолитов и удлинена на 33 % вдоль них.

Что это значит. Направление укорочения указывает, откуда давило при деформации, а его величина — насколько смята толща; в складчатых поясах такие оценки помогают восстановить исходную ширину бассейна. Результат занижает укорочение в двух случаях: если часть карбоната растворилась под давлением — тогда площадь сечения уменьшилась, $\sqrt{ab}$ меньше исходного диаметра, а удлинение, наоборот, завышено, — и если оолиты прочнее цемента и деформировались слабее породы в целом: тогда занижены и удлинение, и отношение осей. Реальные оолиты не идеально круглые, поэтому измеряют десятки зёрен и учитывают разброс их исходной формы. Данные примера условные.

Важно не только сколько, но и как быстро. Скорость деформации (strain rate) $\dot e = e/t$ измеряют в с⁻¹. В лабораторном испытании на прочность образец укорачивают на проценты за десятки минут — со скоростью порядка $10^{-5}$ с⁻¹. В природе деформация идёт в миллиарды раз медленнее, и это меняет поведение пород (следующий раздел).

Расчётный примерС какой скоростью деформируется горный пояс

Исходные данные (условные)

Скорость сокращения пояса по спутниковой геодезии: 15 мм/год
Ширина деформируемого пояса: 300 км
Скорость деформации в лабораторном опыте: $10^{-5}$ с⁻¹

Решение

Скорость деформации: $\dot e = v/W = 0{,}015/(3\cdot 10^{5}) = 5{,}0\cdot 10^{-8}$ год⁻¹; в году $3{,}156\cdot 10^{7}$ с, поэтому $\dot e = 1{,}58\cdot 10^{-15}$ с⁻¹.
Укорочение на 1 % накапливается за $0{,}01/\dot e = 200$ тыс. лет, а за 1 млн лет — $5{,}0$ %.
Лабораторный опыт быстрее природы в $10^{-5}/\dot e \approx 6{,}3\cdot 10^{9}$ раз.

Ответ: Пояс деформируется со скоростью около 1,58·10⁻¹⁵ с⁻¹ — почти на десять порядков медленнее, чем образец в лаборатории.

Что это значит. Скорость сокращения и ширина взяты по порядку величины для Тянь-Шаня (тектоника Казахстана). Деформация распределена по поясу неравномерно — она сосредоточена на разломах и в предгорных складках, — поэтому местные скорости бывают в разы выше средних. Главный вывод от деталей не зависит: за геологическое время порода проходит путь, который в лаборатории занимает десятки минут, но при скоростях, при которых успевают действовать ползучесть и растворение под давлением. Поэтому прочность, измеренную на керне, нельзя напрямую переносить на тектонические процессы. Данные примера условные.

Хрупкое и пластичное поведение пород

Будем сжимать образец породы, медленно увеличивая дифференциальное напряжение. Сначала порода деформируется упруго: после разгрузки она вернётся к исходной форме (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна). Затем наступает предел текучести, и деформация становится необратимой. Дальше возможны два пути. При хрупком поведении (brittle) в породе копятся микротрещины, и она внезапно разрушается по одной или нескольким поверхностям — напряжение резко падает. При пластичном (ductile) деформация распределяется по всему объёму, и порода течёт, не теряя сплошности, при почти постоянном или даже растущем напряжении.

СхемаКривые «напряжение — деформация» одной породы при разном всестороннем обжатии (схема): при малом — хрупкое разрушение с падением напряжения, при среднем — переходное поведение, при большом — пластичное течение без потери сплошности.

Хрупкое поведение создаёт трещины, разломы и зоны дробления, пластичное — складки, течение соли и глин, сплющенные зёрна, кливаж. Одна и та же порода может вести себя и так и так: решают условия, в которых она деформируется.

Что делает породу пластичнее

Фактор: Эффективное всестороннее обжатие
Сдвигает к пластичному поведению: рост
Почему: трение на зарождающихся трещинах растёт, и они не могут раскрыться и соединиться

Фактор: Поровое давление
Сдвигает к пластичному поведению: снижение (рост давления делает породу хрупче)
Почему: давление жидкости разгружает скелет и уменьшает эффективное обжатие

Фактор: Температура
Сдвигает к пластичному поведению: рост
Почему: дефекты кристаллической решётки движутся легче, ускоряются растворение и переотложение

Фактор: Скорость деформации
Сдвигает к пластичному поведению: уменьшение
Почему: медленные механизмы — ползучесть и растворение под давлением — успевают снимать напряжения

Фактор: Состав породы
Сдвигает к пластичному поведению: соль, гипс, глины; при нагреве — кальцит, затем кварц, затем полевые шпаты
Почему: у этих минералов течение начинается при меньших напряжениях и температурах

Фактор	Сдвигает к пластичному поведению	Почему
Эффективное всестороннее обжатие	рост	трение на зарождающихся трещинах растёт, и они не могут раскрыться и соединиться
Поровое давление	снижение (рост давления делает породу хрупче)	давление жидкости разгружает скелет и уменьшает эффективное обжатие
Температура	рост	дефекты кристаллической решётки движутся легче, ускоряются растворение и переотложение
Скорость деформации	уменьшение	медленные механизмы — ползучесть и растворение под давлением — успевают снимать напряжения
Состав породы	соль, гипс, глины; при нагреве — кальцит, затем кварц, затем полевые шпаты	у этих минералов течение начинается при меньших напряжениях и температурах

Изменение каждого фактора в обратную сторону делает породу хрупче. Течению помогают также вода в породе и мелкий размер зёрен.

Вместе эти факторы задают хрупко-пластичный переход (brittle–ductile transition) в земной коре. Выше него разломы скользят рывками — здесь происходят почти все землетрясения внутри континентов; ниже породы текут. Главный регулятор — температура: при геологических скоростях деформации кварц начинает течь примерно при 300 °C, полевые шпаты — около 450–500 °C. Поэтому глубина перехода зависит от теплового потока: в горячих рифтах переход мельче, под холодными щитами глубже.

Расчётный примерНа какой глубине кора перестаёт быть хрупкой

Исходные данные (условные)

Распределение температуры: модель из урока о строении Земли: тепловой поток 65 мВт/м², радиогенное тепло в верхних 15 км коры
Начало пластичного течения: кварц — около 300 °C, полевые шпаты — около 450 °C

Решение

В верхних 15 км $T(z) = 10 + 26 z - 0{,}36 z^2$ (°C, $z$ в км; $q_0/\lambda = 26$ °C/км, $A/(2\lambda) = 0{,}36$ °C/км²). Уравнение $T = 300$ °C даёт $z = 13{,}8$ км.
На глубине 15 км температура 319 °C; глубже радиогенным теплом пренебрегаем, градиент 15,2 °C/км, и 450 °C достигаются на $15 + (450 - 319)/15{,}2 = 23{,}6$ км.

Ответ: В этой модели кора хрупкая примерно до 14 км; глубже породы, богатые кварцем, текут, а с глубины около 24 км текут и породы, богатые полевыми шпатами.

Что это значит. Это согласуется с тем, что землетрясения внутри континентов обычно происходят не глубже 15–20 км. Осадочный чехол с залежами нефти и газа — первые километры при 50–150 °C — целиком лежит в хрупкой области, поэтому в коллекторах так важны трещины и разломы (Трещины и трещиноватые коллекторы, Разломы). Исключение — соль и недоуплотнённые глины, которые текут и при низких температурах. Граница не резкая: переход занимает километры, а 300 и 450 °C — округлённые значения; влажность пород, размер зёрен и скорость деформации сдвигают её на километры. В горячем бассейне с тепловым потоком 90 мВт/м² 300 °C достигаются уже на глубине около 9 км. Данные примера условные.

Соль и глины текут и у поверхности

Каменная соль течёт под весом перекрывающих осадков при обычных для бассейна температурах — за тысячи и миллионы лет. В Прикаспийской впадине соль кунгурского яруса нижней перми выдавлена в купола и гряды: их выявлено больше тысячи, и деформация соли продолжается, а некоторые купола выходят на поверхность (бассейны Казахстана). Песчаники и карбонаты на тех же глубинах разрушаются хрупко. Пластично ведут себя и недоуплотнённые глины с аномально высоким поровым давлением: они тоже образуют диапиры (Складки, соляные диапиры и их связь с разломами). Ползучесть соли учитывают при бурении и креплении скважин: текущая соль сужает ствол и нагружает обсадную колонну (Обсадные колонны: назначение, типы, свойства и стандарты).

Элементы залегания: простирание, падение и их запись

Положение плоскости — кровли пласта, трещины, разлома — задают её элементами залегания (attitude). Линия простирания (strike) — горизонтальная линия на плоскости; её направление — азимут простирания. Линия падения перпендикулярна простиранию и идёт по плоскости вниз по самому крутому направлению; её азимут — азимут падения (dip azimuth, dip direction), а угол между ней и горизонталью — угол падения $\delta$ (dip): от 0° у горизонтального пласта до 90° у вертикального. Азимуты отсчитывают от севера по часовой стрелке.

СхемаБлок-диаграмма пласта с элементами залегания аз. пад. 130° ∠ 35° (схема): на горизонтальной верхней грани кровля пласта выходит по линии простирания; на вертикальных гранях запад — восток и север — юг видны кажущиеся углы падения около 28 и 24°. Истинный угол

\delta = 35°

виден только в вертикальной плоскости по направлению падения — в штриховом треугольнике внутри блока.

Азимут простирания определён неоднозначно: горизонтальная линия уходит в две стороны, например на 40° и на 220°. Азимут падения однозначен. Поэтому в отечественной практике записывают азимут и угол падения, а простирание при необходимости находят как азимут падения минус или плюс 90°. В англоязычной практике чаще пишут простирание и угол падения и договариваются, с какой стороны от простирания плоскость падает: по правилу правой руки (right-hand rule) пласт падает вправо, если смотреть вдоль записанного простирания, то есть азимут простирания на 90° меньше азимута падения.

Одна и та же плоскость в разных записях

Запись: аз. пад. 130° ∠ 35°
Как читать: отечественная: азимут падения 130°, угол падения 35°; встречается форма «аз. пад. ЮВ 130, уг. пад. 35»

Запись: 130/35
Как читать: азимут падения и угол падения (dip direction / dip) — то же, что в отечественной записи

Запись: 040/35
Как читать: простирание по правилу правой руки и угол падения: смотрим на 40°, пласт падает вправо — на 130°

Запись: N40°E, 35°SE
Как читать: квадрантная запись: простирание на 40° к востоку от севера, падение 35° на юго-восток

Запись	Как читать
аз. пад. 130° ∠ 35°	отечественная: азимут падения 130°, угол падения 35°; встречается форма «аз. пад. ЮВ 130, уг. пад. 35»
130/35	азимут падения и угол падения (dip direction / dip) — то же, что в отечественной записи
040/35	простирание по правилу правой руки и угол падения: смотрим на 40°, пласт падает вправо — на 130°
N40°E, 35°SE	квадрантная запись: простирание на 40° к востоку от севера, падение 35° на юго-восток

Записи «130/35» и «040/35» по виду одинаковы: без пояснения «130/35» можно прочитать как простирание по правилу правой руки, то есть падение на 220°, а «220/35» по этому правилу означает падение на 310° — совсем другие плоскости. Поэтому в отчётах указывают принятую запись, а при сомнениях пересчитывают всё в азимут падения.

Положение линии — оси складки, линии пересечения пласта с разломом, борозд скольжения на поверхности разлома — задают азимутом погружения (trend) и углом погружения (plunge): азимутом вертикальной плоскости, в которой лежит линия, в сторону её наклона вниз, и углом между линией и горизонталью. Например, линия, погружающаяся под 25° на юг, имеет азимут погружения 180° и угол погружения 25°.

В обнажениях элементы залегания измеряют горным компасом с угломером (clinometer). В скважинах их дают пластовая наклонометрия (dipmeter) и скважинные имиджи (borehole images) — развёртки стенки ствола по электрическому сопротивлению или по отражению ультразвука. Наклонная плоскость пересекает цилиндрический ствол по эллипсу, который на развёртке выглядит синусоидой. Её нижняя точка указывает азимут падения, а высота синусоиды $H$ при диаметре ствола $d$ даёт угол между плоскостью и плоскостью, перпендикулярной стволу: $\mathrm{tg}\,\delta = H/d$ . Для вертикальной скважины это и есть угол падения; для наклонной результат пересчитывают с учётом зенитного угла и азимута ствола (раздел для углублённого изучения). Так по имиджам находят падение слоёв и трещин через каждые несколько сантиметров ствола.

Какой север

Горный компас и многие скважинные приборы дают магнитные азимуты. Перед построением карт их приводят к истинному или к сеточному северу карты — с поправкой на магнитное склонение и сближение меридианов, как при обработке инклинометрии (Расчёт траектории скважины по инклинометрии). Ошибка на несколько градусов незаметна для пологого пласта, но разворачивает систему трещин и сбивает прогноз направления трещин гидроразрыва.

В большинстве нефтегазоносных бассейнов слои не опрокинуты, и вопрос, где у слоя верх, не возникает. В складчатых поясах встречаются опрокинутые крылья складок; тогда верх слоя определяют по первичным текстурам — косой и градационной слоистости, следам размыва на подошве (Первичные осадочные текстуры).

Истинный и кажущийся угол падения; толщина пласта в скважине

На вертикальном разрезе, проведённом вкрест простирания (по линии падения), наклон пласта равен истинному углу падения. На любом другом вертикальном разрезе он меньше — это кажущийся, или видимый, угол падения $\delta'$ (apparent dip). На разрезе вдоль простирания пласт выглядит горизонтальным.

Кажущийся угол падения на вертикальном разрезе

\mathrm{tg}\,\delta' = \mathrm{tg}\,\delta\cdot\sin\beta = \mathrm{tg}\,\delta\cdot\cos\omega

где:

$\delta'$ кажущийся угол падения на разрезе, °
$\delta$ истинный угол падения, °
$\beta$ угол между линией разреза и простиранием, °
$\omega$ угол между линией разреза и направлением падения, $\omega = 90° - \beta$ , °

Единицы: углы в градусах; tg — тангенс (в англоязычной записи tan)

Справедливо, если

пласт плоский в пределах участка; для изогнутой поверхности формулу применяют к касательной плоскости;
разрез вертикальный; для наклонного сечения, например вдоль ствола наклонной скважины, нужен векторный расчёт (раздел для углублённого изучения).

Пройдём по линии разреза расстояние $L$ : вниз по пласту мы сместимся только на $L\cos\omega$ вдоль направления падения, а смещение вдоль простирания глубины не меняет. Пласт опустится на $L\cos\omega\,\mathrm{tg}\,\delta$ — отсюда формула. Кажущийся угол всегда меньше истинного. При пологом падении он почти пропорционален $\sin\beta$ , а крутые пласты выглядят крутыми почти на любом разрезе, кроме близких к простиранию.

РасчётКажущийся угол падения в зависимости от угла между разрезом и простиранием при истинном падении 10, 35 и 70° — по формуле урока. Точка — пример ниже: профиль под 50° к простиранию пласта с падением 35°.

Расчётный примерПадение пласта на сейсмическом профиле

Исходные данные (условные)

Элементы залегания кровли пласта (по скважинам): аз. пад. 130° ∠ 35°
Направление сейсмического профиля: запад — восток (азимут 90°)
Вертикальный масштаб разреза: в 5 раз крупнее горизонтального

Решение

Простирание по правилу правой руки: $130° - 90° = 40°$ (и противоположное 220°). Угол между профилем и направлением падения $\omega = 130° - 90° = 40°$ , между профилем и простиранием $\beta = 50°$ .
$\mathrm{tg}\,\delta' = \mathrm{tg}\,35°\cdot\cos 40° = 0{,}7002\cdot 0{,}7660 = 0{,}5364$ , откуда $\delta' = 28{,}2°$ .
На разрезе с пятикратным вертикальным масштабом этот пласт будет нарисован под углом $\mathrm{arctg}(5\cdot 0{,}5364) = 69{,}6°$ .

Ответ: На профиле запад — восток пласт падает под 28,2° вместо истинных 35°, а на разрезе с пятикратным вертикальным масштабом выглядит почти вертикальным — 69,6°.

Что это значит. Угол, снятый с такого профиля, нельзя использовать как истинное падение — например, для пересчёта толщин или прогноза глубины пласта в соседней скважине. По одному профилю истинное падение не найти: нужен второй профиль другого направления или данные скважин (раздел для углублённого изучения). Сильное искажение вертикального масштаба — обычное дело на сейсмических разрезах и корреляционных схемах: оно помогает увидеть тонкие слои, но превращает пологие складки в крутые, а разломы делает почти вертикальными. Данные примера условные.

Наклон пласта меняет и его толщину в скважине. Вертикальная скважина пересекает наклонный пласт по вертикали, и расстояние между кровлей и подошвой по стволу — толщина по вертикали $h_\text{в}$ (true vertical thickness, TVT) — больше истинной толщины $h$ (true stratigraphic thickness, TST), измеренной перпендикулярно напластованию. В геологических текстах толщину слоя чаще называют мощностью.

Истинная толщина пласта по толщине по вертикали

h = h_\text{в}\cos\delta

где:

$h$ истинная (стратиграфическая) толщина — по нормали к напластованию, м
$h_\text{в}$ толщина по вертикали — между кровлей и подошвой в вертикальной скважине, м
$\delta$ угол падения пласта, °

Единицы: любые одинаковые единицы длины

Справедливо, если

кровля и подошва параллельны, падение постоянно на толщине пласта;
скважина вертикальная; в наклонной скважине длина ствола в пласте связана с истинной толщиной через угол между стволом и нормалью к пласту (раздел для углублённого изучения).

Карты толщин строят либо по истинным толщинам (isopach), либо по толщинам по вертикали (isochore); для объёма пород между двумя структурными поверхностями нужна вторая (Общий объём пород по картам). При падении 10° разница около 1,5 %, при 35° — уже около 18 %.

Расчётный примерТолщина песчаника в вертикальной скважине

Исходные данные (условные)

Кровля и подошва пласта в вертикальной скважине: 2412,0 и 2436,5 м
Угол падения пласта (по имиджу): 35°

Решение

Толщина по вертикали: $h_\text{в} = 2436{,}5 - 2412{,}0 = 24{,}5$ м.
Истинная толщина: $h = 24{,}5\cdot\cos 35° = 24{,}5\cdot 0{,}8192 = 20{,}07$ м — на 18 % меньше.

Ответ: Истинная толщина пласта — около 20,07 м при 24,5 м по вертикали.

Что это значит. Если сравнить эту скважину со скважиной на пологом крыле, где пласт падает под 5°, там толщина по вертикали окажется на 18 % меньше, чем здесь. Но это «утонение» кажущееся: истинная толщина та же. Поэтому перед корреляцией и построением карт толщины приводят к одному виду. Данные примера условные.

Изогипсы, структурные карты и разрезы

Форму геологической поверхности в плане показывает структурная карта (structure contour map) — карта изогипс (structure contours), или стратоизогипс: линий равных абсолютных отметок кровли или подошвы пласта (или равных глубин ниже уровня моря). Каждая изогипса — горизонтальная линия на этой поверхности, поэтому изогипсы направлены по простиранию, а падение перпендикулярно им, в сторону больших глубин. Чем гуще изогипсы, тем круче падение.

Угол падения по изогипсам

\mathrm{tg}\,\delta = \frac{\Delta z}{w}

где:

$\delta$ угол падения, °
$\Delta z$ сечение изогипс — разность глубин соседних изогипс, м
$w$ горизонтальное расстояние между соседними изогипсами, измеренное перпендикулярно им, м

Единицы: $\Delta z$ и $w$ в одних единицах; $w$ — расстояние на местности, то есть расстояние на карте, умноженное на знаменатель масштаба

Справедливо, если

между соседними изогипсами поверхность считают плоской;
расстояние берут по нормали к изогипсам; по любому другому направлению получится кажущийся угол падения.

На карте масштаба 1:25 000 при сечении 25 м расстояние 8 мм между изогипсами — это 200 м на местности и падение около 7°, а расстояние 2 мм — 50 м и падение около 27°.

Изогипсы строят по точкам с известной глубиной — по скважинам и по сейсмическим горизонтам, пересчитанным из времени в глубину; как выбирают сечение, интерполируют между точками и каких ошибок избегают, разобрано в теме Структурные карты: данные и построение изолиний. Простейший случай — три скважины, вскрывшие один горизонт. Если поверхность между ними можно считать плоской, по трём глубинам находят её падение и прогнозируют глубину в любой точке — это задача трёх точек (three-point problem).

Расчётный примерПадение кровли по трём скважинам и глубина в проектной скважине

Исходные данные (условные)

Скважина А: начало координат; кровля на глубине 2380 м
Скважина Б: 1800 м на восток и 600 м на север от А; кровля на 2512 м
Скважина В: 700 м на восток и 2000 м на север от А; кровля на 2340 м
Проектная скважина Г: 1200 м на восток и 1200 м на север от А
Глубины: вертикальные, ниже уровня моря

Решение

Отметка кровли — плоскость $e = -z = -2380 + g_x x + g_y y$ , где $g_x$ и $g_y$ — уклоны отметки на восток и на север. Разности относительно скважины А: для Б $1800\,g_x + 600\,g_y = -132$ , для В $700\,g_x + 2000\,g_y = 40$ .
Определитель системы $1800\cdot 2000 - 600\cdot 700 = 3{,}18\cdot 10^{6}$ ; $g_x = \dfrac{-132\cdot 2000 - 600\cdot 40}{3{,}18\cdot 10^{6}} = -0{,}09057$ , $g_y = \dfrac{1800\cdot 40 + 132\cdot 700}{3{,}18\cdot 10^{6}} = 0{,}05170$ .
Угол падения: $\mathrm{tg}\,\delta = \sqrt{g_x^2 + g_y^2} = 0{,}1043$ , $\delta = 6{,}0°$ . Отметка быстрее всего убывает в направлении, противоположном вектору $(g_x;\ g_y)$ , — к юго-востоку: азимут падения 120°, простирание 30°.
Глубина кровли в скважине Г: $z = 2380 - (-0{,}09057\cdot 1200 + 0{,}05170\cdot 1200) = 2426{,}6$ м.

Ответ: Кровля падает под углом около 6,0° с азимутом падения 120°; в проектной скважине Г её ожидают на глубине около 2427 м.

Что это значит. Расчёт верен, только если поверхность между скважинами плоская: складка, разлом или изменение толщины между ними исказят прогноз, поэтому глубину в проектной скважине задают диапазоном и сверяют с сейсмикой. Проверка: плоскость должна давать глубину каждой из трёх скважин. На том же расчёте основано компьютерное построение поверхностей — плоскости строят по треугольникам между множеством скважин. Данные примера условные.

Геологический разрез (cross-section) показывает строение пород в вертикальной плоскости вдоль выбранной линии; его строят по картам, по скважинам и по сейсмическим данным. Несколько разрезов разных направлений, изображённых в перспективе, дают блок-диаграмму или панельную диаграмму (fence diagram). Истинное падение видно только на разрезе вкрест простирания, на остальных — кажущееся. Кроме того, разрезы часто строят с искажённым вертикальным масштабом (vertical exaggeration): вертикальный масштаб крупнее горизонтального в $V$ раз, чтобы были видны тонкие пласты. При этом все наклоны становятся круче.

Угол на разрезе с искажённым вертикальным масштабом

\mathrm{tg}\,\delta_V = V\cdot\mathrm{tg}\,\delta'

где:

$\delta_V$ угол, под которым пласт нарисован на разрезе, °
$V$ коэффициент искажения: во сколько раз вертикальный масштаб крупнее горизонтального, —
$\delta'$ кажущийся угол падения на этом разрезе (на разрезе вкрест простирания — истинный), °

Единицы: углы в градусах

Справедливо, если

искажение одинаково по всему разрезу; на сейсмическом разрезе во времени вертикальный масштаб к тому же меняется со скоростью волн, и углы искажаются неравномерно (Интерпретация сейсмических разрезов).

Пологое падение 3° при $V = 10$ выглядит как 28°, а уклон 25 м на 200 м (около 7°, как на рисунке ниже) при $V = 4$ — как 27°. Толщины на таком разрезе тоже растянуты в $V$ раз. Поэтому на каждом разрезе указывают оба масштаба, а углы оценивают на разрезе без искажения ( $V = 1$ ). Как строят разрез по структурной карте и показывают на картах разломы, разобрано в теме Разрезы по картам, совмещение карт и разломы на картах.

СхемаСтруктурная карта наклонной кровли пласта (изогипсы через 25 м, падение около 7° на юго-восток) и разрез по линии А–А′ вкрест простирания с вертикальным масштабом, увеличенным в 4 раза: на разрезе пласт нарисован под углом около 27°. Схема.

Следы деформации внутри породы: кливаж, будинаж, стилолиты

Деформация оставляет следы не только в форме слоёв, но и в строении самой породы. Ориентированные элементы — параллельно уложенные пластинки глинистых минералов, плоскости раскалывания, швы растворения, трещины — образуют ориентированную текстуру, или текстуру деформации (fabric). Для инженера она важна тем, что делает свойства породы зависящими от направления.

Текстура уплотнения глин: При захоронении глина теряет воду и пористость, а пластинчатые глинистые частицы поворачиваются и укладываются параллельно напластованию. У уплотнённых глин и аргиллитов скорость упругих волн и электропроводность вдоль напластования выше, чем поперёк, — эту анизотропию учитывают при обработке сейсмических данных и каротажа; проницаемость поперёк слоёв в разы, а в тонкослоистых толщах и на порядки меньше, чем вдоль. Слоистые толщи разной твёрдости уводят долото в сторону, и ствол отклоняется сам (Отклоняющие инструменты и забойные двигатели).
Кливаж (cleavage): система тесно расположенных параллельных плоскостей, по которым порода раскалывается на тонкие плитки. Возникает в глинистых породах при сильном сжатии и начинающейся перекристаллизации глинистых минералов — в складчатых поясах и в самых глубоких частях бассейнов. Плоскости кливажа располагаются почти перпендикулярно направлению наибольшего укорочения и могут пересекать слоистость под большим углом. При ещё более сильном сжатии и нагреве глина превращается в метаморфический глинистый сланец (slate), который раскалывается по кливажу на ровные тонкие пластины.
Будинаж (boudinage): растяжение пачки, в которой прочные слои чередуются с податливыми: прочный слой разрывается на вытянутые блоки — будины, а податливый затекает в промежутки. Толщи, лежащие на пластичной соли, при растяжении тоже могут разрываться на отдельные блоки, а соль затекает между ними (Складки, соляные диапиры и их связь с разломами).
Стилолиты (stylolites): зубчатые швы растворения, чаще всего в известняках и доломитах, реже в песчаниках. Под нагрузкой минерал растворяется в местах контакта зёрен, нерастворимый остаток — глинистые частицы, органическое вещество, оксиды железа — копится тонкой плёнкой, а зёрна по обе стороны шва сближаются. Высота «зубцов» показывает, сколько породы растворилось как минимум. Стилолиты, параллельные напластованию, созданы весом пород, наклонные и вертикальные — тектоническим сжатием.

Стилолиты — частая причина вертикальной неоднородности карбонатных коллекторов. Шов, выстланный глинистым остатком, бывает плохо проницаем и может разделять пласт на слабо сообщающиеся прослои, а растворённый карбонат переотлагается рядом в порах в виде цемента и снижает пористость. Вдоль стилолитов иногда развиваются мелкие трещины, которые, наоборот, повышают проницаемость. Поэтому на керне стилолиты описывают отдельно и сопоставляют их частоту с профилем притока (Неоднородность пласта и осреднение проницаемости). Трещины без смещения — тоже текстура деформации; их происхождение и влияние на разработку разобраны в теме Трещины и трещиноватые коллекторы, разломы — в теме Разломы.

Термины и обозначения

Напряжение: сила, приходящаяся на единицу площади площадки внутри породы, МПа; нормальное $\sigma_n$ прижимает стороны площадки, касательное $\tau$ сдвигает их.
Главные напряжения $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$: нормальные напряжения на трёх взаимно перпендикулярных площадках без касательных напряжений.
Дифференциальное напряжение: разность $\sigma_1 - \sigma_3$ ; меняет форму породы, тогда как среднее напряжение меняет объём.
Круг Мора: геометрическое изображение напряжений на всех площадках, содержащих $\sigma_2$ : окружность с центром $(\sigma_1 + \sigma_3)/2$ и радиусом $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$ .
Деформация: изменение размеров и формы тела: удлинение $e$ , коэффициент удлинения $S$ , сдвиговая деформация $\gamma$ , изменение объёма.
Эллипс деформации: эллипс, в который при однородной деформации превращается окружность; отношение осей $R = S_1/S_3$ — мера искажения формы.
Скорость деформации $\dot e$: деформация за единицу времени, с⁻¹; в тектонике — порядка $10^{-15}$ – $10^{-13}$ с⁻¹, в лабораторных опытах — около $10^{-5}$ с⁻¹.
Хрупкое и пластичное поведение: разрушение с образованием трещин и разломов или течение без потери сплошности; граница между ними в коре — хрупко-пластичный переход.
Элементы залегания: азимут простирания, азимут падения и угол падения плоскости; для линии — азимут и угол погружения.
Правило правой руки: соглашение для записи простирания: пласт падает вправо от записанного направления простирания, азимут падения = азимут простирания + 90°.
Кажущийся угол падения $\delta'$: наклон пласта на вертикальном разрезе, не перпендикулярном простиранию; всегда меньше истинного.
Изогипса: линия равной отметки (глубины) геологической поверхности; структурная карта — карта изогипс.
Коэффициент вертикального искажения $V$: во сколько раз вертикальный масштаб разреза крупнее горизонтального; делает все наклоны круче: $\mathrm{tg}\,\delta_V = V\,\mathrm{tg}\,\delta'$ .
Истинная толщина и толщина по вертикали: толщина пласта по нормали к напластованию ( $h$ , TST) и вдоль вертикали ( $h_\text{в}$ , TVT): $h = h_\text{в}\cos\delta$ .
Стереографическая проекция: изображение ориентировок плоскостей и линий на круге: линия — точкой, плоскость — дугой или полюсом.
Кливаж, будинаж, стилолиты: текстуры деформации: плоскости раскалывания глинистых пород, разорванные прочные слои в податливой матрице, зубчатые швы растворения.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Раз на трещине есть касательное напряжение, она скользит».

На самом деле

Скольжению мешает трение, пропорциональное эффективному нормальному напряжению: трещина неподвижна, пока $\tau < \mu\,(\sigma_n - p)$ . Рост порового давления может нарушить это равновесие без изменения тектонических сил.

Неверно

«Соль и глина на глубине 3 км такие же хрупкие, как песчаник».

На самом деле

Соль течёт при любых температурах бассейна, недоуплотнённые глины — при высоком поровом давлении. Рядом с хрупкими коллекторами они ведут себя как очень вязкая жидкость: образуют купола и диапиры, сужают ствол, нагружают обсадные колонны.

Неверно

«На сейсмическом разрезе пласт падает под 40°, значит, его падение 40°».

На самом деле

Угол на разрезе кажущийся, если разрез идёт не вкрест простирания, и завышенный, если вертикальный масштаб искажён. Истинное падение находят по двум направлениям, по скважинам или по структурной карте.

Неверно

«Простирание 220°, падение 35° — запись однозначная».

На самом деле

Без указания правила или стороны падения это две плоскости: с падением на 130° и на 310°. Надёжнее записывать азимут падения: «аз. пад. 310° ∠ 35°».

Неверно

«Наклонная скважина вскрыла пласт на 60 м — значит, его толщина 60 м».

На самом деле

Длина ствола в пласте равна истинной толщине, только если ствол перпендикулярен напластованию. В общем случае $h = \Delta l\cos\gamma$ , где $\gamma$ — угол между стволом и нормалью к пласту.

Подробно: для продвинутых

Векторный расчёт: пласт в наклонной скважине и истинное падение по двум разрезам

Задачи о залегании удобно решать векторами в системе координат «восток — север — вверх». Нормаль к плоскости с азимутом падения $a$ и углом падения $\delta$ , направленная вверх, — $\mathbf n = (\sin\delta\sin a;\ \sin\delta\cos a;\ \cos\delta)$ . Ствол скважины с зенитным углом $\theta$ и азимутом $\varphi$ (обозначения урока Расчёт траектории скважины по инклинометрии) направлен вниз по вектору $\mathbf w = (\sin\theta\sin\varphi;\ \sin\theta\cos\varphi;\ -\cos\theta)$ . Здесь $\theta$ — зенитный угол ствола, а не угол площадки из раздела о напряжениях, а $\gamma$ ниже — угол, а не сдвиговая деформация.

Угол между стволом и нормалью к пласту и длина ствола в пласте

\cos\gamma = \left|\sin\delta\,\sin\theta\,\cos(a - \varphi) - \cos\delta\,\cos\theta\right|, \qquad h = \Delta l\,\cos\gamma

где:

$\gamma$ угол между осью ствола и нормалью к напластованию, °
$\delta,\ a$ угол и азимут падения пласта, °
$\theta,\ \varphi$ зенитный угол и азимут ствола, °
$\Delta l$ длина ствола между кровлей и подошвой пласта, м
$h$ истинная толщина пласта, м

Единицы: углы в градусах; длины в одних единицах

Справедливо, если

пласт плоский, кровля и подошва параллельны; ствол на интервале пласта прямолинейный;
азимуты пласта и ствола отсчитаны от одного и того же севера.

Формула — модуль скалярного произведения $\mathbf n\cdot\mathbf w$ . Для вертикальной скважины ( $\theta = 0$ ) она даёт $\cos\gamma = \cos\delta$ , то есть $h = h_\text{в}\cos\delta$ . Если ствол идёт навстречу падению, вверх по восстанию ( $\varphi = a + 180°$ ), то $\gamma = |\theta - \delta|$ ; если по падению ( $\varphi = a$ ), то $\gamma = \theta + \delta$ (при $\theta + \delta \le 90°$ ).

Расчётный примерОдин пласт в трёх скважинах

Исходные данные (условные)

Пласт: аз. пад. 130° ∠ 35°, истинная толщина 20,07 м (как в примере урока)
Скважина 1: вертикальная
Скважина 2: зенитный угол 40°, азимут 310° — навстречу падению
Скважина 3: зенитный угол 40°, азимут 130° — по падению

Решение

Скважина 1: $\cos\gamma = \cos 35° = 0{,}81915$ ; длина ствола в пласте $20{,}07/0{,}81915 = 24{,}5$ м.
Скважина 2: $\gamma = |40° - 35°| = 5°$ , $\cos\gamma = 0{,}99619$ ; длина $20{,}07/0{,}99619 = 20{,}1$ м.
Скважина 3: $\gamma = 40° + 35° = 75°$ , $\cos\gamma = 0{,}25882$ ; длина $20{,}07/0{,}25882 = 77{,}5$ м.

Ответ: Один и тот же пласт толщиной 20 м занимает 24,5 м ствола вертикальной скважины, 20,1 м — скважины, идущей навстречу падению, и 77,5 м — скважины, идущей по падению.

Что это значит. Длина ствола в пласте — не толщина: в скважине 3 она почти вчетверо больше истинной. Для эффективной толщины в подсчёте запасов и для сопоставления скважин интервалы пересчитывают через $\cos\gamma$ ; у горизонтальных скважин, идущих вдоль пласта, $\gamma$ близок к 90°, и в пласте оказываются сотни метров ствола (Горизонтальные скважины). Зенитный угол и азимут ствола берут из инклинометрии, падение пласта — по имиджам или по структурной карте. Данные примера условные.

Тот же подход решает обратную задачу. Если на двух разрезах разного направления измерены кажущиеся углы падения, каждый из них задаёт линию, лежащую в плоскости пласта. Нормаль к пласту перпендикулярна обеим линиям, то есть равна их векторному произведению; из её составляющих находят азимут и угол падения. А для синусоиды на имидже наклонной скважины формула $\mathrm{tg}\,\delta = H/d$ даёт угол между пластом и плоскостью, перпендикулярной стволу, — элементы залегания получают поворотом этой плоскости вместе со стволом.

Стереографическая проекция

Когда ориентировок много — сотни трещин по имиджу, слоистость по всему стволу, — их изображают на стереографической проекции (stereonet). Представим сферу, центр которой лежит на плоскости или линии. Линия протыкает нижнюю полусферу в одной точке, плоскость пересекает её по дуге большого круга. Нижнюю полусферу проецируют на горизонтальный круг: у края круга оказываются горизонтальные линии, в центре — вертикальная. В структурной геологии чаще используют равноплощадную проекцию (сетку Шмидта): она сохраняет площади и поэтому годится для подсчёта плотности точек; равноугольная проекция (сетка Вульфа) сохраняет углы.

Равноплощадная проекция линии на нижнюю полусферу

r = R\sqrt{2}\,\sin\frac{90° - \rho}{2}, \qquad x = r\sin\varphi,\quad y = r\cos\varphi

где:

$r$ расстояние точки от центра круга проекции, мм на чертеже
$R$ радиус круга проекции, мм
$\rho$ угол погружения линии, °
$\varphi$ азимут погружения линии, °
$x,\ y$ координаты точки: на восток и на север от центра, мм

Единицы: $r$ , $R$ , $x$ , $y$ — в одних единицах длины; углы в градусах

Справедливо, если

проекция нижней полусферы — принятая в структурной геологии;
плоскость изображают дугой — проекциями всех лежащих в ней линий — или одной точкой, своим полюсом: проекцией нормали, погружающейся под углом $90° - \delta$ в сторону, противоположную падению.

Горизонтальная линия ( $\rho = 0$ ) попадает на край круга, $r = R$ ; вертикальная — в центр. Множество трещин удобнее показывать полюсами: трещины одной системы дают сгусток точек, и его центр — средняя ориентировка системы.

РасчётРавноплощадная проекция нижней полусферы: напластование аз. пад. 130° ∠ 35° и трещина аз. пад. 250° ∠ 54° — дуги и их полюсы — и линия их пересечения, по формулам урока.

Расчётный примерЛиния пересечения напластования и трещины

Исходные данные (условные)

Напластование: аз. пад. 130° ∠ 35°
Трещина (по имиджу): аз. пад. 250° ∠ 54°

Решение

Нормали (восток; север; вверх): $\mathbf n_1 = (0{,}4394;\ -0{,}3687;\ 0{,}8192)$ , $\mathbf n_2 = (-0{,}7602;\ -0{,}2767;\ 0{,}5878)$ .
Линия пересечения лежит в обеих плоскостях, то есть перпендикулярна обеим нормалям: её направление — векторное произведение $\mathbf l = \mathbf n_1\times\mathbf n_2 = (0{,}0100;\ -0{,}8810;\ -0{,}4019)$ , длина $|\mathbf l| = 0{,}9684$ ; вертикальная составляющая отрицательна — вектор уже направлен вниз.
Горизонтальная проекция $(0{,}0100;\ -0{,}8810)$ смотрит почти точно на юг: азимут погружения $179{,}4°$ . Угол погружения $\arcsin(0{,}4019/0{,}9684) = 24{,}5°$ .

Ответ: Трещины этой системы пересекают слои по линиям, погружающимся под 24,5° на юг (азимут 179,4°).

Что это значит. Такие линии видны на керне и на поверхностях слоёв как ребристость; вдоль них вытянуты блоки породы между трещинами и нередко каналы повышенной проницаемости. Тем же расчётом находят ось цилиндрической складки по падению пластов на её крыльях и линию, вдоль которой разлом пересекает пласт. На стереографической проекции линия пересечения — точка пересечения двух дуг. Данные примера условные.

Откуда формулы напряжений на площадке

Вырежем из породы треугольную призму единичной толщины. Её наклонная грань имеет длину 1, и нормаль к ней составляет угол $\theta$ с $\sigma_1$ ; две другие грани перпендикулярны $\sigma_1$ и $\sigma_3$ и имеют длины $\cos\theta$ и $\sin\theta$ . На них действуют силы $\sigma_1\cos\theta$ вдоль $\sigma_1$ и $\sigma_3\sin\theta$ вдоль $\sigma_3$ . Призма в равновесии, поэтому их сумма уравновешивает силу на наклонной грани. Проецируя её на нормаль и на саму грань, получаем $\sigma_n = \sigma_1\cos^2\theta + \sigma_3\sin^2\theta$ и $\tau = (\sigma_1 - \sigma_3)\sin\theta\cos\theta$ .

Формулы двойного угла $\cos^2\theta = (1 + \cos 2\theta)/2$ , $\sin^2\theta = (1 - \cos 2\theta)/2$ и $\sin\theta\cos\theta = \tfrac12\sin 2\theta$ приводят их к виду, приведённому в уроке. Это параметрическое уравнение окружности с центром $(\sigma_1 + \sigma_3)/2$ и радиусом $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$ — круга Мора. Площадки, наклонные к $\sigma_2$ , лежат внутри области между тремя кругами, построенными на парах главных напряжений; для разломов и трещин, простирающихся вдоль $\sigma_2$ , достаточно одного большого круга.

Связь с другими темами

Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна — упругость пород и эффективное напряжение в пласте.
Механика горных пород для гидроразрыва — главные напряжения в пласте, их величины и как их измеряют.
Градиент гидроразрыва и испытание на поглощение — тектонические режимы напряжений и ориентация трещин.
Пескопроявление: виды, прогноз и цена проблемы — прочность сплошной породы и критерий Мора — Кулона.
Разломы — типы разломов, их геометрия и роль в ловушках и сообщаемости пласта.
Складки, соляные диапиры и их связь с разломами — складки и соляные диапиры.
Трещины и трещиноватые коллекторы — трещины, их системы и трещиноватые коллекторы.
Структурные карты: данные и построение изолиний — как строят структурные карты по скважинам и сейсмике.
Разрезы по картам, совмещение карт и разломы на картах — разрезы по картам и изображение разломов на картах.
Ловушки и время их формирования — структурные ловушки: свод, замыкание, время образования.
Стратиграфия и геологическое время — как восстанавливают последовательность событий, в том числе деформаций.

Проверьте себя

1
Вертикальное напряжение $\sigma_1 = 60$ МПа, минимальное горизонтальное $\sigma_3 = 40$ МПа, поровое давление 25 МПа. На какой площадке, простирающейся вдоль $\sigma_2$ , касательное напряжение наибольшее?
1. А.На наклонённой под 45°
2. Б.На горизонтальной
3. В.На всех площадках одинаковое
4. Г.На вертикальной
Показать ответ
Правильный ответ: А. На наклонённой под 45°
$\tau = \tfrac12(\sigma_1 - \sigma_3)\sin 2\theta$ наибольшее при $\theta = 45°$ и равно 10 МПа. Горизонтальная и вертикальная площадки — главные, касательных напряжений на них нет. Поровое давление касательное напряжение не меняет, а уменьшает только эффективное нормальное. Ближе всего к скольжению, однако, не площадка с наибольшим $\tau$ : трение растёт с нормальным напряжением, и при $\mu = 0{,}6$ первой порога достигает площадка круче 45° — её нормаль составляет с $\sigma_1$ около 60°.
2
Пласт залегает с элементами «аз. пад. 225° ∠ 20°». Какой угол падения будет виден на сейсмическом профиле север — юг и в какую сторону?
Показать ответ
Угол между профилем (азимут 180°) и направлением падения 225° — 45°. $\mathrm{tg}\,\delta' = \mathrm{tg}\,20°\cdot\cos 45° = 0{,}364\cdot 0{,}707 = 0{,}257$ , $\delta' \approx 14{,}4°$ ; на профиле пласт падает к югу. Простирание пласта по правилу правой руки — 135°, и профиль идёт под 45° к нему.
3
На структурной карте масштаба 1:10 000 изогипсы с сечением 10 м отстоят друг от друга на 5 мм. Каков угол падения?
1. А.около 1°
2. Б.около 2°
3. В.около 11°
4. Г.около 45°
Показать ответ
Правильный ответ: В. около 11°
5 мм на карте масштаба 1:10 000 — это 50 м на местности. $\mathrm{tg}\,\delta = 10/50 = 0{,}2$ , $\delta \approx 11{,}3°$ . Частая ошибка — подставить расстояние на карте, забыв о масштабе.
4
На имидже вертикальной скважины диаметром 216 мм граница слоёв видна как синусоида высотой 0,30 м с нижней точкой на азимуте 250°. Запишите элементы залегания двумя способами.
Показать ответ
$\mathrm{tg}\,\delta = H/d = 0{,}30/0{,}216 = 1{,}39$ , $\delta \approx 54°$ ; нижняя точка синусоиды показывает направление падения. Отечественная запись — «аз. пад. 250° ∠ 54°»; по правилу правой руки — 160/54: простирание 160°, пласт падает вправо, на 250°. Эта же плоскость использована в разделе о стереографической проекции.
5
Почему каменная соль в осадочном бассейне течёт, а песчаник на той же глубине разрушается трещинами?
1. А.Соль горячее песчаника
2. Б.Песчаник находится под большим поровым давлением
3. В.Соль всегда моложе песчаника
4. Г.Соль деформируется ползучестью и растворением с переотложением уже при низких температурах и напряжениях
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Соль деформируется ползучестью и растворением с переотложением уже при низких температурах и напряжениях
Галит мягок, дефекты его решётки подвижны, и он растворим в поровой воде, поэтому при геологических скоростях деформации течёт уже при температуре поверхности. Кварц начинает течь лишь около 300 °C, поэтому песчаники на глубинах залежей деформируются хрупко.
6
Порода деформируется со скоростью $10^{-14}$ с⁻¹. За какое время она укоротится на 10 %? Сравните с опытом на керне при $10^{-5}$ с⁻¹.
Показать ответ
$t = e/\dot e = 0{,}1/10^{-14} = 10^{13}$ с — около 317 тыс. лет. В лаборатории — $0{,}1/10^{-5} = 10^{4}$ с, меньше трёх часов. При таких разных скоростях порода ведёт себя по-разному: в природе успевают действовать ползучесть и растворение под давлением.

Обновлено: 26 октября 2026 г.