Расчёт траектории скважины по инклинометрии

Кратко о главном

Замер даёт три числа: глубину по стволу $L$ , зенитный угол $\theta$ и азимут $\varphi$ . Координаты — результат расчёта от точки к точке, начиная с точки с известным положением, а форму ствола между замерами приходится предполагать.
Тангенциальный метод заменяет интервал отрезком по нижнему замеру; его ошибка растёт пропорционально шагу и на участке набора достигает метров. Сбалансированный тангенциальный метод и метод среднего угла ошибаются на величину порядка квадрата угла искривления — на сантиметры.
Метод минимальной кривизны — отраслевой стандарт: ствол между замерами — дуга окружности, а расчёт сводится к сбалансированному тангенциальному, умноженному на коэффициент $RF = \operatorname{tg}(\beta/2)/(\beta/2)$ .
Пространственный угол искривления $\beta$ учитывает изменение и зенитного угла, и азимута. Интенсивность искривления — этот угол, отнесённый к 30 м (10 м, 100 футам) ствола.
Отход и азимут отхода — положение точки в плане в полярных координатах; смещение по проектному азимуту — проекция отхода на вертикальную плоскость цели, а отклонение от этой плоскости — боковая ошибка проводки.
Все азимуты приводят к одному северу: истинный азимут равен магнитному плюс склонение, дирекционный — истинному минус сближение меридианов.

Ключевые соотношения

\Delta H = \tfrac{\Delta L}{2}\,(\cos\theta_1 + \cos\theta_2)\,RF

метод минимальной кривизны; $\Delta N$ и $\Delta E$ — так же, с $\sin\theta\cos\varphi$ и $\sin\theta\sin\varphi$

\cos\beta = \cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)

пространственный угол искривления на интервале

RF = \dfrac{\operatorname{tg}(\beta/2)}{\beta/2}, \qquad i = \dfrac{\beta\,l_0}{\Delta L}

коэффициент метода минимальной кривизны ( $\beta$ в радианах) и интенсивность искривления ( $\beta$ в градусах)

A = \sqrt{N^2 + E^2}, \qquad A_{\text{пр}} = A\cos(\varphi_A - \varphi_{\text{пр}})

отход и смещение по проектному азимуту

\varphi_{\text{д}} = \varphi_{\text{м}} + \delta - \gamma

дирекционный азимут из магнитного: склонение $\delta$ и сближение меридианов $\gamma$ , восточные — со знаком плюс

Где чаще всего ошибаются

Усреднять азимуты 350° и 10° как числа: получится 180°, а не 0°.
Принимать всерьёз азимут почти вертикального замера: при зенитном угле в доли градуса он почти ничего не значит.
Смешивать в одном расчёте магнитные, истинные и дирекционные азимуты.
Подставлять в коэффициент $RF$ и в формулы радиуса кривизны углы в градусах там, где нужны радианы.
Считать малые углы искривления по арккосинусу с округлённым косинусом: потеря одного-двух знаков даёт ошибку в десятые доли градуса.

После урока вы сможете

перечислить, что даёт замер инклинометрии и что к нему нужно добавить, чтобы получить координаты ствола;
привести азимуты замеров к одному северу с учётом магнитного склонения и сближения меридианов;
рассчитать приращения координат на интервале между замерами методами тангенциальным, сбалансированным тангенциальным, среднего угла, радиуса кривизны и минимальной кривизны и объяснить, почему результаты различаются;
рассчитать пространственный угол искривления и интенсивность искривления на интервале;
найти отход и азимут отхода, смещение по проектному азимуту и отклонение от проектной плоскости и сравнить фактический ствол с проектным;
оценить, как выбор метода и шаг замеров влияют на точность траектории.

Что даёт замер

Точка замера (survey station) — место в стволе, где прибор измерил направление ствола: зенитный угол $\theta$ (inclination) — отклонение оси ствола от вертикали — и азимут $\varphi$ (azimuth) — направление горизонтальной проекции оси, отсчитанное от севера по часовой стрелке (Наклонно-направленные скважины: применение и профиль). Третье число — глубина по стволу $L$ (measured depth): её даёт бурильщик по длине спущенной колонны за вычетом расстояния от долота до датчика.

Положения точки замер не даёт: координаты получают расчётом, шаг за шагом, начиная с точки привязки (tie-in point) — места с известным положением. Это может быть стол ротора или устье, а при продолжении бурения — последняя рассчитанная точка ствола или точка, найденная гироскопическим прибором. Для каждой следующей точки рассчитывают приращения глубины по вертикали $\Delta H$ и смещений на север $\Delta N$ и на восток $\Delta E$ на интервале длиной $\Delta L$ и прибавляют их к предыдущим координатам $H$ , $N$ , $E$ . В уроке о профиле смещения цели от устья обозначены $\Delta N$ и $\Delta E$ ; здесь координаты точек ствола относительно устья — $N$ и $E$ , а знак $\Delta$ обозначает приращение на интервале между замерами.

Направление ствола в точке замера

\mathbf{t} = (\sin\theta\cos\varphi;\ \sin\theta\sin\varphi;\ \cos\theta)

где:

$\mathbf{t}$ единичный вектор вдоль оси ствола, направленный вниз по стволу: составляющие на север, на восток и вниз, —
$\theta$ зенитный угол, градусы
$\varphi$ азимут от выбранного севера, градусы

Единицы: безразмерные составляющие; углы в градусах

Справедливо, если

ось $N$ направлена на север, $E$ — на восток, $H$ — вертикально вниз; азимуты всех замеров отсчитаны от одного и того же севера;
при $\theta = 0$ первые две составляющие равны нулю, и азимут не влияет на результат — у вертикального ствола азимута нет.

Отрезок длиной $l$ , идущий в этом направлении, даёт приращения $l\sin\theta\cos\varphi$ на север, $l\sin\theta\sin\varphi$ на восток и $l\cos\theta$ по вертикали. Все методы расчёта отличаются только тем, какие отрезки или дуги они подставляют вместо неизмеренного ствола между двумя точками замера.

СхемаЧто предполагают методы о стволе между двумя замерами (схема в одной плоскости, углы сильно преувеличены). Тонкая дуга — ствол, идущий с постоянной кривизной; кружок — его истинный конец. Тангенциальный метод ведёт весь интервал по направлению нижнего замера; сбалансированный тангенциальный — половину по верхнему, половину по нижнему; метод среднего угла — одним отрезком по усреднённому направлению; методы радиуса кривизны и минимальной кривизны — дугой, и в плоском случае совпадают.

Как часто замерять, задаёт программа бурения. На участках набора угла и поворота замеры обычно берут на каждой свече — примерно через 25–30 м; на прямых участках стабилизации их можно брать реже, если это позволяют допуск на цель и расстояние до соседних стволов. Чем реже замеры и круче ствол, тем больше значит выбор метода.

Замеры здесь считаются точными

Сами замеры тоже содержат погрешности: датчики неидеальны, на магнитные приборы влияют сталь колонны и магнитные бури, глубина по стволу известна с точностью до растяжения труб. Поэтому положение ствола описывают не точкой, а областью неопределённости. Как устроены приборы и как оценивают их погрешности — тема урока Инклинометры: магнитные, гироскопические и инерциальные; в этом уроке замеры считаются точными, и речь идёт только о расчёте.

Приведение азимутов к одному северу

Магнитные приборы измеряют азимут от магнитного севера, гироскопические — от истинного (географического), а координаты устья, цели и соседних скважин заданы в прямоугольной сетке, у которой свой, сеточный север; азимут от него в геодезии стран СНГ называют дирекционным углом (Наклонно-направленные скважины: применение и профиль). Прежде чем считать координаты, все азимуты приводят к одному северу — обычно к сеточному, в котором заданы цель и соседние стволы.

Пересчёт магнитного азимута в истинный и дирекционный

\varphi_{\text{и}} = \varphi_{\text{м}} + \delta, \qquad \varphi_{\text{д}} = \varphi_{\text{и}} - \gamma

где:

$\varphi_{\text{м}}$ магнитный азимут — от направления на магнитный север, градусы
$\varphi_{\text{и}}$ истинный азимут — от географического меридиана, градусы
$\varphi_{\text{д}}$ дирекционный (сеточный) азимут — от вертикальной линии координатной сетки, градусы
$\delta$ магнитное склонение — угол от истинного севера до магнитного, восточное — плюс, западное — минус, градусы
$\gamma$ сближение меридианов — угол от истинного севера до сеточного, плюс, если сеточный север восточнее истинного, градусы

Единицы: градусы; результат приводят к диапазону 0–360°

Справедливо, если

склонение берут из геомагнитной модели для места и даты замера: оно меняется год от года, а местами — заметно;
сближение меридианов зависит от положения точки в зоне координатной сетки: в северном полушарии к востоку от осевого меридиана зоны оно положительно, к западу — отрицательно; приближённо $\gamma \approx \Delta\lambda\sin B$ , где $\Delta\lambda$ — разность долгот точки и осевого меридиана, $B$ — широта;
знаки — по приведённым выше определениям; в программах и документах их условия бывают иными, поэтому соглашение о знаках всегда проверяют.

Поправка одна и та же для всех замеров участка, поэтому ошибка в ней не случайна: она поворачивает всю траекторию вокруг устья. Ошибка в 1° на отходе 1000 м — это 17 м в сторону.

Расчётный примерИз магнитного азимута — в дирекционный

Исходные данные (условные)

Магнитный азимут последнего замера: 51,5°
Магнитное склонение на дату замера: +6,0° (восточное)
Сближение меридианов в точке устья: +2,3° (устье восточнее осевого меридиана зоны)
Отход цели в проекте: 1100 м

Решение

Истинный азимут: $51{,}5 + 6{,}0 = 57{,}5^\circ$ .
Дирекционный азимут: $57{,}5 - 2{,}3 = 55{,}2^\circ$ — именно он стоит в таблице замеров ниже.
Если бы магнитный азимут приняли за дирекционный, ошибка составила бы $55{,}2 - 51{,}5 = 3{,}7^\circ$ . На отходе цели это $1100\cdot\sin 3{,}7^\circ = 71$ м в сторону.
Если бы забыли только сближение меридианов, ошибка 2,3° дала бы $1100\cdot\sin 2{,}3^\circ = 44$ м.

Ответ: Дирекционный азимут — 55,2°; пропущенные поправки увели бы забой на десятки метров от цели.

Что это значит. Поправки малы по сравнению с самим азимутом, но действуют на всю траекторию сразу, поэтому они важнее многих тонкостей расчёта. Значения склонения и сближения меридианов, принятые в расчёте, записывают в документы скважины вместе с замерами. Данные примера условные.

Методы прямых отрезков: тангенциальный, сбалансированный, средний угол

Самый простой способ — заменить весь интервал одним прямым отрезком по направлению, измеренному в его нижней точке. Это тангенциальный метод (tangential method), или метод касательных. Он появился в первые десятилетия наклонного бурения, когда замеры брали редко, а считали вручную, и сегодня для расчёта реальных скважин не применяется: на участке набора он всё время берёт самый большой зенитный угол интервала, поэтому завышает отход и занижает глубину по вертикали, а при снижении угла — наоборот.

Тангенциальный метод

\Delta N = \Delta L\sin\theta_2\cos\varphi_2, \qquad \Delta E = \Delta L\sin\theta_2\sin\varphi_2, \qquad \Delta H = \Delta L\cos\theta_2

где:

$\Delta N,\ \Delta E,\ \Delta H$ приращения смещения на север, на восток и глубины по вертикали на интервале, м
$\Delta L$ длина интервала по стволу между замерами, $L_2 - L_1$ , м
$\theta_2,\ \varphi_2$ зенитный угол и азимут в нижней точке интервала, градусы

Единицы: длины — в метрах (или в футах, одинаково для всех)

Справедливо, если

ствол на интервале — прямой отрезок с направлением нижнего замера; верхний замер не используется.

Ошибка на интервале пропорциональна длине интервала и изменению угла на нём; на участке набора она копится в одну сторону.

Используя оба замера, точность резко повышают. Сбалансированный тангенциальный метод (balanced tangential method) проводит верхнюю половину интервала по направлению верхнего замера, а нижнюю — по направлению нижнего.

Сбалансированный тангенциальный метод

\begin{aligned} \Delta N &= \frac{\Delta L}{2}\,(\sin\theta_1\cos\varphi_1 + \sin\theta_2\cos\varphi_2),\\ \Delta E &= \frac{\Delta L}{2}\,(\sin\theta_1\sin\varphi_1 + \sin\theta_2\sin\varphi_2),\\ \Delta H &= \frac{\Delta L}{2}\,(\cos\theta_1 + \cos\theta_2) \end{aligned}

где:

$\theta_1,\ \varphi_1$ зенитный угол и азимут в верхней точке интервала, градусы
$\theta_2,\ \varphi_2$ то же в нижней точке, градусы
$\Delta L$ длина интервала по стволу, м

Единицы: длины — в метрах

Справедливо, если

ствол на интервале — два прямых отрезка равной длины $\Delta L/2$ с направлениями верхнего и нижнего замеров.

Конец ломаной лежит на хорде дуги, но не доходит до её конца: звенья длиной $\Delta L/2$ короче отрезков касательных до точки их пересечения (рисунок в разделе о методах дуги). Поэтому метод немного занижает приращения — тем сильнее, чем больше искривление на интервале.

Метод среднего угла (average angle method) проводит один отрезок длиной $\Delta L$ по направлению со средним зенитным углом и средним азимутом. Считать по нему легко даже на калькуляторе, поэтому им долго пользовались на буровых.

Метод среднего угла

\begin{aligned} \Delta N &= \Delta L\sin\bar\theta\cos\bar\varphi, \qquad \Delta E = \Delta L\sin\bar\theta\sin\bar\varphi, \qquad \Delta H = \Delta L\cos\bar\theta,\\ \bar\theta &= \frac{\theta_1 + \theta_2}{2}, \qquad \bar\varphi = \varphi_1 + \frac{\Delta\varphi}{2} \end{aligned}

где:

$\bar\theta,\ \bar\varphi$ средние зенитный угол и азимут интервала, градусы
$\Delta\varphi$ изменение азимута на интервале, приведённое к диапазону от −180 до +180° — по кратчайшей дуге, градусы

Единицы: длины — в метрах; углы — в градусах

Справедливо, если

ствол на интервале — прямой отрезок длиной $\Delta L$ с усреднённым направлением;
азимуты усредняют по кратчайшей дуге: для 350° и 10° изменение равно +20°, а средний азимут — 0°, а не 180°;
если один из замеров почти вертикален, его азимут случаен, и усреднять его нельзя (пример — в разделе о сравнении методов).

Отрезок длиной $\Delta L$ длиннее хорды дуги той же длины, поэтому метод немного завышает приращения — примерно вдвое меньше, чем сбалансированный тангенциальный их занижает.

Методы дуги: радиус кривизны и минимальная кривизна

Реальный ствол между замерами не ломается, а плавно изгибается, поэтому точнее описывать его дугой. Метод радиуса кривизны (radius of curvature method) предполагает, что зенитный угол меняется равномерно по длине ствола, а в плане ствол идёт по дуге окружности, вдоль которой равномерно меняется азимут. Интегрирование таких зависимостей даёт формулы ниже (вывод — в углублённом разделе).

Метод радиуса кривизны

\begin{aligned} \Delta H &= \Delta L\,\frac{\sin\theta_2 - \sin\theta_1}{\theta_2 - \theta_1}, \qquad \Delta A = \Delta L\,\frac{\cos\theta_1 - \cos\theta_2}{\theta_2 - \theta_1},\\ \Delta N &= \Delta A\,\frac{\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1}{\varphi_2 - \varphi_1}, \qquad \Delta E = \Delta A\,\frac{\cos\varphi_1 - \cos\varphi_2}{\varphi_2 - \varphi_1} \end{aligned}

где:

$\Delta A$ длина горизонтальной проекции ствола на интервале, м
$\theta_2 - \theta_1,\ \varphi_2 - \varphi_1$ изменения зенитного угла и азимута; в знаменателях — в радианах, азимут — по кратчайшей дуге, рад

Единицы: длины — в метрах; разности углов в знаменателях — в радианах

Справедливо, если

зенитный угол меняется линейно по длине ствола, азимут — линейно по длине горизонтальной проекции;
если $\theta_1 = \theta_2$ , то $\Delta H = \Delta L\cos\theta$ и $\Delta A = \Delta L\sin\theta$ ; если $\varphi_1 = \varphi_2$ , то $\Delta N = \Delta A\cos\varphi$ и $\Delta E = \Delta A\sin\varphi$ — пределы формул при нулевом знаменателе;
в пространстве такая кривая — не дуга окружности, а винтообразная линия; у почти вертикального замера азимут случаен, и метод его «доверчиво» использует.

Для участка с постоянным азимутом и постоянной интенсивностью набора метод точен. При малом шаге замеров его результаты почти не отличаются от метода минимальной кривизны.

Метод минимальной кривизны (minimum curvature method) проводит через две точки замера дугу окружности, касательную к обоим измеренным направлениям, — самую плавную кривую, совместимую с замерами. Дуга лежит в плоскости двух векторов направления, а угол между этими векторами — пространственный угол искривления (dogleg) $\beta$ .

Пространственный угол искривления на интервале

\cos\beta = \cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)

где:

$\beta$ угол между направлениями ствола в верхней и нижней точках интервала, градусы
$\theta_1,\ \theta_2$ зенитные углы в точках замера, градусы
$\varphi_1,\ \varphi_2$ азимуты в точках замера, градусы

Единицы: градусы

Справедливо, если

формула — скалярное произведение двух единичных векторов направления;
при малых углах точнее считать по равносильной формуле с синусами половинных углов (углублённый раздел): косинус близок к единице, и при округлении теряются значащие цифры.

Это угол, на который в сумме повернул ствол, — по зенитному углу и по азимуту одновременно. Он не равен сумме изменений углов: поворот азимута при малом зенитном угле почти не искривляет ствол, а при большом — искривляет сильно.

Метод минимальной кривизны

\begin{aligned} \Delta N &= \frac{\Delta L}{2}\,(\sin\theta_1\cos\varphi_1 + \sin\theta_2\cos\varphi_2)\,RF,\\ \Delta E &= \frac{\Delta L}{2}\,(\sin\theta_1\sin\varphi_1 + \sin\theta_2\sin\varphi_2)\,RF,\\ \Delta H &= \frac{\Delta L}{2}\,(\cos\theta_1 + \cos\theta_2)\,RF, \qquad RF = \frac{2}{\beta}\operatorname{tg}\frac{\beta}{2} \end{aligned}

где:

$RF$ коэффициент метода (ratio factor); $\beta$ в нём — в радианах; при $\beta = 0$ он равен 1, —
$\beta$ пространственный угол искривления на интервале, рад
$\theta,\ \varphi,\ \Delta L$ как в сбалансированном тангенциальном методе, градусы, м

Единицы: длины — в метрах; $\beta$ в коэффициенте — в радианах

Справедливо, если

ствол на интервале — дуга окружности, касательная к направлениям обоих замеров;
коэффициент больше единицы и растёт с искривлением: при $\beta = 3^\circ$ он равен 1,00023, при $10^\circ$ — 1,0025.

Сбалансированный тангенциальный метод, умноженный на поправку: две касательные к дуге длиной $R\operatorname{tg}(\beta/2)$ каждая (рисунок ниже) сходятся точно в конец дуги, а $RF$ — отношение этой длины к половине интервала. Метод минимальной кривизны — стандарт отрасли: его используют программы расчёта траекторий и обмена данными между компаниями.

СхемаГеометрия метода минимальной кривизны в плоскости дуги (схема, угол искривления преувеличен). Дуга радиуса

R

с центром О соединяет точки замера A и B; касательные к ней в этих точках пересекаются в точке C, и отрезки AC и CB равны

R\operatorname{tg}(\beta/2)

. Ломаная сбалансированного тангенциального метода (штрих) идёт по тем же направлениям, но по

\Delta L/2

и не доходит до B; коэффициент

RF

растягивает её звенья до AC и CB.

Интенсивность искривления

Сам угол искривления мало что говорит без длины интервала: 3° на 30 м и 3° на 300 м — очень разные стволы. Поэтому его относят к длине ствола и получают интенсивность искривления (dogleg severity, DLS). В плоском профиле с постоянным азимутом она совпадает с интенсивностью набора или снижения угла (Наклонно-направленные скважины: применение и профиль), в общем случае учитывает и поворот азимута.

Интенсивность искривления на интервале

i = \frac{\beta\,l_0}{\Delta L}

где:

$i$ интенсивность искривления — градусы на базовую длину $l_0$ , °/30 м
$\beta$ пространственный угол искривления на интервале, градусы
$\Delta L$ длина интервала по стволу, м
$l_0$ базовая длина: 30 м, 10 м или 100 футов (30,48 м), м

Единицы: $\beta$ и $i$ — в градусах; $\Delta L$ и $l_0$ — в одних единицах длины

Справедливо, если

искривление считается равномерным по интервалу — это средняя интенсивность; местные перегибы внутри интервала по двум замерам не видны.

Интенсивность ограничивают программа бурения и требования к оборудованию: в резко искривлённом стволе вращающиеся бурильные трубы испытывают знакопеременный изгиб и быстрее разрушаются от усталости, сильнее изнашиваются обсадная колонна и замки труб, образуются желобные выработки, труднее спустить колонну и насосное оборудование. Поэтому её считают по каждому замеру.

В других системах единиц (3)

Градусы на 30 м

i = \frac{30\,\beta}{\Delta L\,[\text{м}]}

$\beta$ — градусы, $\Delta L$ — метры.

30 — базовая длина в метрах.

Градусы на 10 м

i = \frac{10\,\beta}{\Delta L\,[\text{м}]}

$\beta$ — градусы, $\Delta L$ — метры.

втрое меньше, чем на 30 м.

Градусы на 100 футов (oilfield)

i = \frac{100\,\beta}{\Delta L\,[\text{ft}]} = \frac{30{,}48\,\beta}{\Delta L\,[\text{м}]}

$\beta$ — градусы, $\Delta L$ — футы или метры.

100 футов $= 30{,}48$ м.

Расчётный примерТри интервала: набор с поворотом, чистый поворот и зарезка

Исходные данные (условные)

Интервал 690–720 м: $\theta$ : 19,6° → 22,5°; $\varphi$ : 57,6° → 56,3°
Интервал длиной 30 м на участке стабилизации: $\theta = 30^\circ$ без изменения; $\varphi$ : 50° → 56°
Интервал 480–510 м у точки зарезки: $\theta$ : 0,3° → 1,6°; $\varphi$ : 215° → 63°

Решение

Набор с поворотом: $\beta = 2{,}94^\circ$ на 30 м, то есть $i = 2{,}94$ °/30 м $= 0{,}98$ °/10 м $= 2{,}98$ °/100 ft. Зенитный угол вырос на 2,9°, азимут уменьшился на 1,3°, а суммарный поворот ствола чуть больше изменения зенитного угла.
Чистый поворот на зенитном угле 30°: $\beta = 3{,}00^\circ$ , $i = 3{,}00$ °/30 м. Азимут изменился на 6°, но ствол искривился лишь на 3,00°: поворот азимута входит в искривление с множителем, близким к $\sin\theta = 0{,}5$ .
Зарезка: зенитный угол изменился лишь на 1,3°, а $\beta = 1{,}87^\circ$ . Почти вертикальный ствол сменил направление наклона — с юго-запада на северо-восток — и этот поворот добавил искривления.

Ответ: Интенсивность искривления — 2,94, 3,00 и 1,87°/30 м: во втором случае зенитный угол не менялся вовсе, а ствол искривлён так же, как при наборе 3° на 30 м.

Что это значит. Интенсивность искривления нельзя оценить по одному зенитному углу или одному азимуту: решает пространственный угол. В таблице замеров её пересчитывают на каждом интервале и сравнивают с допустимой по программе бурения. Данные примера условные.

Один интервал пятью методами

Сравним методы на одном интервале скважины из урока о профиле — она пробурена с зарезкой на 500 м и набором около 3° на 30 м. Чтобы различия были заметны, возьмём длинный интервал: от замера на 660 м прямо до замера на 750 м, как если бы два промежуточных замера не прошли. Результат по всем замерам через 30 м известен и послужит ориентиром.

Расчётный примерИнтервал 660–750 м методами прямых отрезков

Исходные данные (условные)

Верхний замер: $L_1 = 660$ м, $\theta_1 = 16{,}4^\circ$ , $\varphi_1 = 59{,}0^\circ$
Нижний замер: $L_2 = 750$ м, $\theta_2 = 25{,}4^\circ$ , $\varphi_2 = 55{,}2^\circ$
Длина интервала: $\Delta L = 90$ м

Решение

Направление в верхней точке: $\sin\theta_1\cos\varphi_1 = 0{,}14542$ , $\sin\theta_1\sin\varphi_1 = 0{,}24201$ , $\cos\theta_1 = 0{,}95931$ ; в нижней — 0,24480, 0,35222 и 0,90334.
Тангенциальный: $\Delta N = 90\cdot 0{,}24480 = 22{,}03$ м, $\Delta E = 90\cdot 0{,}35222 = 31{,}70$ м, $\Delta H = 90\cdot 0{,}90334 = 81{,}30$ м.
Сбалансированный тангенциальный: $\Delta N = 45\cdot(0{,}14542 + 0{,}24480) = 17{,}56$ м, $\Delta E = 45\cdot(0{,}24201 + 0{,}35222) = 26{,}74$ м, $\Delta H = 45\cdot(0{,}95931 + 0{,}90334) = 83{,}82$ м.
Средний угол: $\bar\theta = 20{,}9^\circ$ , $\bar\varphi = 57{,}1^\circ$ ; $\Delta N = 90\sin 20{,}9^\circ\cos 57{,}1^\circ = 17{,}44$ м, $\Delta E = 26{,}96$ м, $\Delta H = 90\cos 20{,}9^\circ = 84{,}08$ м.

Ответ: Тангенциальный метод дал отход на интервале 38,60 м, сбалансированный тангенциальный — 31,99 м, метод среднего угла — 32,11 м.

Что это значит. Тангенциальный метод провёл весь интервал под зенитным углом 25,4°, которого ствол достиг только в конце, — отсюда лишние метры в плане и недостача по вертикали. Два других метода расходятся между собой на десятки сантиметров; какой из них ближе к правде, покажут методы дуги. Данные примера условные.

Расчётный примерТот же интервал методами дуги

Исходные данные (условные)

Замеры: те же: 16,4° и 59,0° на 660 м, 25,4° и 55,2° на 750 м
Результат сбалансированного тангенциального метода: $\Delta N = 17{,}56$ м, $\Delta E = 26{,}74$ м, $\Delta H = 83{,}82$ м

Решение

Угол искривления: $\cos\beta = \cos 16{,}4^\circ\cos 25{,}4^\circ + \sin 16{,}4^\circ\sin 25{,}4^\circ\cos(-3{,}8^\circ) = 0{,}98742$ ; $\beta = 9{,}10^\circ = 0{,}15877$ рад; интенсивность 3,03°/30 м.
Коэффициент: $RF = \operatorname{tg}(0{,}15877/2)/(0{,}15877/2) = 1{,}00211$ .
Минимальная кривизна: $\Delta N = 17{,}56\cdot 1{,}00211 = 17{,}60$ м, $\Delta E = 26{,}74\cdot 1{,}00211 = 26{,}80$ м, $\Delta H = 83{,}82\cdot 1{,}00211 = 84{,}00$ м.
Радиус кривизны: разности углов в радианах — $\theta_2 - \theta_1 = 0{,}15708$ , $\varphi_2 - \varphi_1 = -0{,}06632$ . $\Delta H = 90\cdot(\sin 25{,}4^\circ - \sin 16{,}4^\circ)/0{,}15708 = 83{,}99$ м; $\Delta A = 90\cdot(\cos 16{,}4^\circ - \cos 25{,}4^\circ)/0{,}15708 = 32{,}07$ м.
Дальше по азимуту: $\Delta N = 32{,}07\cdot(\sin 55{,}2^\circ - \sin 59{,}0^\circ)/(-0{,}06632) = 17{,}42$ м, $\Delta E = 32{,}07\cdot(\cos 59{,}0^\circ - \cos 55{,}2^\circ)/(-0{,}06632) = 26{,}92$ м.
Ориентир — расчёт по всем замерам через 30 м методом минимальной кривизны: $\Delta N = 17{,}62$ м, $\Delta E = 26{,}97$ м, $\Delta H = 83{,}94$ м.

Ответ: Методы дуги дают

\Delta H

84,00 и 83,99 м; по всем замерам — 83,94 м. Тангенциальный метод ошибся на 2,6 м по вертикали и на 6,4 м в плане.

Что это значит. При искривлении 9° на интервале поправка $RF$ меняет результат сбалансированного тангенциального метода всего на 0,2 %. Методы дуги и прямых отрезков (кроме тангенциального) расходятся на сантиметры-дециметры, а с расчётом по частым замерам — на десятые доли метра: никакой метод не знает, как шёл ствол между редкими замерами. Ошибка же тангенциального метода — метры, и на каждом интервале набора она прибавляется в ту же сторону. Данные примера условные.

Интервал 660–750 м: приращения по пяти методам

Метод: Тангенциальный
$\Delta H$ , м: 81,30
$\Delta N$ , м: 22,03
$\Delta E$ , м: 31,70
Отход, м: 38,60

Метод: Сбалансированный тангенциальный
$\Delta H$ , м: 83,82
$\Delta N$ , м: 17,56
$\Delta E$ , м: 26,74
Отход, м: 31,99

Метод: Среднего угла
$\Delta H$ , м: 84,08
$\Delta N$ , м: 17,44
$\Delta E$ , м: 26,96
Отход, м: 32,11

Метод: Радиуса кривизны
$\Delta H$ , м: 83,99
$\Delta N$ , м: 17,42
$\Delta E$ , м: 26,92
Отход, м: 32,07

Метод: Минимальной кривизны
$\Delta H$ , м: 84,00
$\Delta N$ , м: 17,60
$\Delta E$ , м: 26,80
Отход, м: 32,06

Метод: По всем замерам через 30 м
$\Delta H$ , м: 83,94
$\Delta N$ , м: 17,62
$\Delta E$ , м: 26,97
Отход, м: 32,21

Метод	$\Delta H$ , м	$\Delta N$ , м	$\Delta E$ , м	Отход, м
Тангенциальный	81,30	22,03	31,70	38,60
Сбалансированный тангенциальный	83,82	17,56	26,74	31,99
Среднего угла	84,08	17,44	26,96	32,11
Радиуса кривизны	83,99	17,42	26,92	32,07
Минимальной кривизны	84,00	17,60	26,80	32,06
По всем замерам через 30 м	83,94	17,62	26,97	32,21

Отход — горизонтальное смещение на интервале. Последняя строка — метод минимальной кривизны по замерам на 660, 690, 720 и 750 м.

Почему методы расходятся именно так. Ломаная сбалансированного тангенциального метода идёт по направлениям касательных, но её звенья короче, чем нужно, и она не дотягивает до конца дуги — отсюда меньшие приращения. Отрезок метода среднего угла направлен почти по хорде дуги, но длиной равен самой дуге, а хорда короче дуги — отсюда небольшой избыток. В пространстве к этому добавляется распределение по азимуту: методы среднего угла и радиуса кривизны берут средний азимут интервала, а сбалансированный тангенциальный и минимальной кривизны придают больший вес направлению той точки, где ствол наклонён сильнее, — и разносят приращение между севером и востоком немного иначе.

Отход, азимут отхода и проекция на плоскость цели

Координаты точки ствола удобно представлять ещё двумя способами. Отход $A$ и азимут отхода $\varphi_A$ (closure distance and direction) — расстояние от устья до проекции точки на горизонтальную плоскость и направление на неё: те же величины, что для цели в уроке о профиле (отход). А для вертикального профиля скважины отход проецируют на вертикальную плоскость, проходящую через устье по проектному азимуту — обычно на цель; эта проекция — смещение по проектному азимуту (vertical section). Расстояние точки от этой плоскости показывает, насколько ствол ушёл вбок.

Отход, азимут отхода и проекции на плоскость цели

\begin{aligned} A &= \sqrt{N^2 + E^2}, \qquad \operatorname{tg}\varphi_A = \frac{E}{N},\\ A_{\text{пр}} &= A\cos(\varphi_A - \varphi_{\text{пр}}) = N\cos\varphi_{\text{пр}} + E\sin\varphi_{\text{пр}},\\ A_{\text{б}} &= A\sin(\varphi_A - \varphi_{\text{пр}}) = E\cos\varphi_{\text{пр}} - N\sin\varphi_{\text{пр}} \end{aligned}

где:

$N,\ E$ координаты точки: смещения на север и на восток от устья, м
$A,\ \varphi_A$ отход и азимут отхода, м, градусы
$\varphi_{\text{пр}}$ проектный азимут — азимут вертикальной плоскости профиля, градусы
$A_{\text{пр}}$ смещение по проектному азимуту (vertical section), м
$A_{\text{б}}$ отклонение от проектной плоскости: плюс — вправо, если смотреть по проектному азимуту, м

Единицы: метры; углы в градусах

Справедливо, если

четверть азимута отхода выбирают по знакам $N$ и $E$ , как для азимута цели;
все азимуты — от одного севера, в котором заданы координаты.

Вертикальный профиль строят в координатах «смещение по проектному азимуту — глубина по вертикали», план — в координатах «восток — север». Пока ствол близок к проектной плоскости, смещение по проектному азимуту почти равно отходу; боковое отклонение показывает, нужна ли коррекция азимута.

Замеры скважины примера (азимуты — дирекционные)

$L$ , м: 480
$\theta$ , °: 0,3
$\varphi$ , °: 215,0
$i$ , °/30 м: —

$L$ , м: 510
$\theta$ , °: 1,6
$\varphi$ , °: 63,0
$i$ , °/30 м: 1,87

$L$ , м: 540
$\theta$ , °: 4,3
$\varphi$ , °: 59,0
$i$ , °/30 м: 2,71

$L$ , м: 570
$\theta$ , °: 7,2
$\varphi$ , °: 58,0
$i$ , °/30 м: 2,90

$L$ , м: 600
$\theta$ , °: 10,3
$\varphi$ , °: 58,5
$i$ , °/30 м: 3,10

$L$ , м: 630
$\theta$ , °: 13,5
$\varphi$ , °: 59,4
$i$ , °/30 м: 3,21

$L$ , м: 660
$\theta$ , °: 16,4
$\varphi$ , °: 59,0
$i$ , °/30 м: 2,90

$L$ , м: 690
$\theta$ , °: 19,6
$\varphi$ , °: 57,6
$i$ , °/30 м: 3,23

$L$ , м: 720
$\theta$ , °: 22,5
$\varphi$ , °: 56,3
$i$ , °/30 м: 2,94

$L$ , м: 750
$\theta$ , °: 25,4
$\varphi$ , °: 55,2
$i$ , °/30 м: 2,93

$L$ , м	$\theta$ , °	$\varphi$ , °	$i$ , °/30 м
480	0,3	215,0	—
510	1,6	63,0	1,87
540	4,3	59,0	2,71
570	7,2	58,0	2,90
600	10,3	58,5	3,10
630	13,5	59,4	3,21
660	16,4	59,0	2,90
690	19,6	57,6	3,23
720	22,5	56,3	2,94
750	25,4	55,2	2,93

Точка привязки — 480 м: по гироскопическому замеру забой здесь практически под устьем, и его координаты приняты равными нулю. Азимут 215° при зенитном угле 0,3° почти ничего не значит.

Координаты точек замера (метод минимальной кривизны)

$L$ , м: 480
$H$ , м: 480,00
$N$ , м: 0,00
$E$ , м: 0,00
$A_{\text{пр}}$ , м: 0,00

$L$ , м: 510
$H$ , м: 510,00
$N$ , м: 0,13
$E$ , м: 0,33
$A_{\text{пр}}$ , м: 0,34

$L$ , м: 540
$H$ , м: 539,95
$N$ , м: 0,90
$E$ , м: 1,67
$A_{\text{пр}}$ , м: 1,87

$L$ , м: 570
$H$ , м: 569,80
$N$ , м: 2,47
$E$ , м: 4,22
$A_{\text{пр}}$ , м: 4,86

$L$ , м: 600
$H$ , м: 599,45
$N$ , м: 4,87
$E$ , м: 8,11
$A_{\text{пр}}$ , м: 9,41

$L$ , м: 630
$H$ , м: 628,80
$N$ , м: 8,05
$E$ , м: 13,41
$A_{\text{пр}}$ , м: 15,56

$L$ , м: 660
$H$ , м: 657,78
$N$ , м: 12,02
$E$ , м: 20,05
$A_{\text{пр}}$ , м: 23,25

$L$ , м: 690
$H$ , м: 686,31
$N$ , м: 16,90
$E$ , м: 27,94
$A_{\text{пр}}$ , м: 32,49

$L$ , м: 720
$H$ , м: 714,30
$N$ , м: 22,78
$E$ , м: 36,96
$A_{\text{пр}}$ , м: 43,24

$L$ , м: 750
$H$ , м: 741,72
$N$ , м: 29,64
$E$ , м: 47,02
$A_{\text{пр}}$ , м: 55,40

$L$ , м	$H$ , м	$N$ , м	$E$ , м	$A_{\text{пр}}$ , м
480	480,00	0,00	0,00	0,00
510	510,00	0,13	0,33	0,34
540	539,95	0,90	1,67	1,87
570	569,80	2,47	4,22	4,86
600	599,45	4,87	8,11	9,41
630	628,80	8,05	13,41	15,56
660	657,78	12,02	20,05	23,25
690	686,31	16,90	27,94	32,49
720	714,30	22,78	36,96	43,24
750	741,72	29,64	47,02	55,40

Проектный азимут — 53,1°, направление на цель из урока о профиле.

Расчётный примерГде ствол на 750 м относительно проекта

Исходные данные (условные)

Последний замер, метод минимальной кривизны: $H = 741{,}72$ м, $N = 29{,}64$ м, $E = 47{,}02$ м
Проектный азимут: $\varphi_{\text{пр}} = 53{,}13^\circ$
Проект на 750 м по стволу: зенитный угол 25,0°, глубина по вертикали 742,14 м, отход 53,68 м

Решение

Отход: $A = \sqrt{29{,}64^2 + 47{,}02^2} = 55{,}58$ м; азимут отхода $\varphi_A = \operatorname{arctg}(47{,}02/29{,}64) = 57{,}78^\circ$ — оба смещения положительны, поправка четверти не нужна.
Проектный азимут задан смещениями цели 660 м на север и 880 м на восток, поэтому $\cos\varphi_{\text{пр}} = 660/1100 = 0{,}6$ и $\sin\varphi_{\text{пр}} = 880/1100 = 0{,}8$ . Смещение по проектному азимуту: $A_{\text{пр}} = 29{,}64\cdot 0{,}6 + 47{,}02\cdot 0{,}8 = 55{,}40$ м.
Отклонение от проектной плоскости: $A_{\text{б}} = 47{,}02\cdot 0{,}6 - 29{,}64\cdot 0{,}8 = 4{,}50$ м — вправо; то же даёт $A\sin(\varphi_A - \varphi_{\text{пр}})$ .
Сравнение с проектом: по проектной плоскости ствол впереди на $55{,}40 - 53{,}68 = 1{,}72$ м, по вертикали выше на $742{,}14 - 741{,}72 = 0{,}42$ м, вбок отошёл на 4,50 м.

Ответ: На 750 м ствол на 4,50 м правее проектной плоскости и на 1,72 м впереди проекта по отходу.

Что это значит. Набор угла идёт почти по проекту — небольшое опережение не страшно, — а боковой уход на 4,50 м уже заметен: ствол с самого начала шёл по азимуту около 58° вместо 53,1°. Пока до цели больше километра, его исправляют небольшим поворотом влево, не меняя интенсивности набора (Отклоняющие инструменты и забойные двигатели). Данные примера условные.

РасчётПлан скважины примера (расчёт методом минимальной кривизны, масштабы по осям одинаковые): точки замера от 480 до 750 м и проектная линия на цель с азимутом 53,1°. Ствол идёт правее проектной линии; на 750 м отклонение — около 4,5 м.

Как метод и шаг замеров влияют на результат

На одном интервале разница методов мала, но расчёт идёт от точки к точке, и ошибки складываются. Посчитаем всю таблицу замеров скважины примера каждым из пяти методов.

Положение точки 750 м по пяти методам

Метод: Тангенциальный
$H$ , м: 740,21
$N$ , м: 33,37
$E$ , м: 52,34
От результата МК, м: 6,67

Метод: Сбалансированный тангенциальный
$H$ , м: 741,66
$N$ , м: 29,63
$E$ , м: 47,01
От результата МК, м: 0,06

Метод: Среднего угла
$H$ , м: 741,74
$N$ , м: 29,10
$E$ , м: 47,05
От результата МК, м: 0,54

Метод: Радиуса кривизны
$H$ , м: 741,72
$N$ , м: 29,20
$E$ , м: 46,96
От результата МК, м: 0,45

Метод: Минимальной кривизны
$H$ , м: 741,72
$N$ , м: 29,64
$E$ , м: 47,02
От результата МК, м: —

Метод	$H$ , м	$N$ , м	$E$ , м	От результата МК, м
Тангенциальный	740,21	33,37	52,34	6,67
Сбалансированный тангенциальный	741,66	29,63	47,01	0,06
Среднего угла	741,74	29,10	47,05	0,54
Радиуса кривизны	741,72	29,20	46,96	0,45
Минимальной кривизны	741,72	29,64	47,02	—

МК — метод минимальной кривизны. В последнем столбце — расстояние в пространстве между точкой, рассчитанной данным методом, и точкой по методу минимальной кривизны.

Тангенциальный метод ушёл на 6,7 м: на каждом из девяти интервалов набора он брал наибольший зенитный угол интервала.
Сбалансированный тангенциальный отстаёт от минимальной кривизны на несколько сантиметров по вертикали — это поправка $RF$ , накопленная за девять интервалов.
Методы среднего угла и радиуса кривизны разошлись с минимальной кривизной на 0,54 и 0,45 м — и почти всё это набежало на первом интервале, у точки зарезки (пример ниже).

Расчётный примерПочему средний азимут подводит у точки зарезки

Исходные данные (условные)

Замер на 480 м: $\theta = 0{,}3^\circ$ , $\varphi = 215^\circ$ — ствол едва наклонён на юго-запад
Замер на 510 м: $\theta = 1{,}6^\circ$ , $\varphi = 63^\circ$ — ствол наклонён на северо-восток

Решение

Средний угол: $\bar\theta = 0{,}95^\circ$ ; изменение азимута по кратчайшей дуге $63 - 215 = -152^\circ$ , средний азимут $215 - 152/2 = 139^\circ$ — юго-восток, куда ствол не был наклонён ни в одной из точек.
Метод среднего угла: $\Delta N = -0{,}38$ м, $\Delta E = 0{,}33$ м.
Метод минимальной кривизны: $\Delta N = 0{,}13$ м, $\Delta E = 0{,}33$ м — вклад верхнего замера умножен на $\sin 0{,}3^\circ \approx 0{,}0052$ , и его азимут почти не влияет.
Расхождение на этом интервале — 0,50 м; из полуметра на 750 м почти всё набежало здесь.

Ответ: Средний азимут почти вертикального интервала 139° уводит приращение на юго-восток; ошибка — 0,50 м уже на первом интервале.

Что это значит. Азимут почти вертикального замера — шум: датчик видит лишь едва заметный наклон ствола. Методы, которые усредняют азимут или считают его меняющимся равномерно (среднего угла, радиуса кривизны), принимают этот шум всерьёз. Методы, где вклад замера пропорционален синусу зенитного угла (сбалансированный тангенциальный, минимальной кривизны), его почти не замечают. Ошибка в полметра невелика, но она переносится на всю скважину ниже. Данные примера условные.

Насколько точны методы при разном шаге замеров, видно на траектории, для которой ответ известен заранее: участок набора от вертикали до 30° с постоянной интенсивностью 3° на 30 м и постоянным азимутом. Такой ствол — дуга окружности, и методы дуги здесь точны; ошибки остальных показывает график.

РасчётРасчётная ошибка положения конца участка набора (300 м ствола, от 0 до 30° при 3° на 30 м, азимут постоянен) в зависимости от шага замеров; шкала ошибок логарифмическая. Ошибка тангенциального метода растёт пропорционально шагу и составляет метры; сбалансированного тангенциального и среднего угла — пропорционально квадрату шага, сантиметры. Методы радиуса кривизны и минимальной кривизны для такого ствола точны.

Термины и обозначения

Инклинометрия, точка замера: измерение зенитного угла и азимута на известной глубине по стволу.
Точка привязки: точка с известными координатами, от которой ведут расчёт.
Тангенциальный метод: интервал — отрезок по направлению нижнего замера; систематически ошибается на искривлённых участках.
Сбалансированный тангенциальный метод: две половины интервала — по направлениям верхнего и нижнего замеров.
Метод среднего угла: один отрезок по средним зенитному углу и азимуту.
Метод радиуса кривизны: зенитный угол меняется равномерно по стволу, азимут — по горизонтальной проекции.
Метод минимальной кривизны: дуга окружности, касательная к обоим замерам; отраслевой стандарт.
Пространственный угол искривления $\beta$: угол между направлениями ствола в двух точках замера.
Интенсивность искривления $i$: пространственный угол искривления на 30 м (10 м, 100 футов) ствола.
Отход и азимут отхода: расстояние от устья до проекции точки в плане и направление на неё.
Смещение по проектному азимуту $A_{\text{пр}}$: проекция отхода на вертикальную плоскость профиля (vertical section).
Магнитное склонение $\delta$ , сближение меридианов $\gamma$: поправки, приводящие магнитный азимут к истинному и истинный — к дирекционному.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Все методы дают почти одно и то же, можно считать любым».

На самом деле

Методы, использующие оба замера, действительно близки при частых замерах. Тангенциальный — нет: на участке набора его ошибка копится в одну сторону и доходит до метров.

Неверно

«Интенсивность искривления — это изменение зенитного угла на 30 м».

На самом деле

Только при неизменном азимуте. В общем случае считают пространственный угол между направлениями; поворот азимута на большом зенитном угле искривляет ствол не меньше, чем набор.

Неверно

«Средний азимут — это полусумма азимутов».

На самом деле

Только если между ними нет перехода через север и замеры не почти вертикальны. Изменение азимута берут по кратчайшей дуге, а азимут почти вертикального замера в среднее не включают.

Неверно

«Поправки за склонение и сближение меридианов — мелочь в пару градусов».

На самом деле

Пара градусов на отходе в километр — это десятки метров в сторону, причём для всей траектории сразу. Поправки обязательно вносят и записывают вместе с замерами.

Неверно

«Если метод точный, то и траектория точная».

На самом деле

Метод решает только, как соединить замеры. Между редкими замерами ствол мог идти иначе, а сами замеры содержат погрешности приборов — их оценивают отдельно.

Подробно: для продвинутых

Откуда коэффициент RF и как считать малые углы

Пусть $\mathbf{t}_1$ и $\mathbf{t}_2$ — единичные векторы направления в точках A и B, а ствол между ними — дуга окружности радиуса $R$ длиной $\Delta L$ . Центральный угол дуги равен углу между касательными, то есть $\beta$ , поэтому $R = \Delta L/\beta$ ( $\beta$ в радианах). Касательные в концах дуги пересекаются в точке C, и по симметрии $AC = CB = R\operatorname{tg}(\beta/2)$ .

Хорда AB равна сумме двух касательных отрезков: $\overrightarrow{AB} = R\operatorname{tg}(\beta/2)\,(\mathbf{t}_1 + \mathbf{t}_2)$ . Подставив $R = \Delta L/\beta$ , получим хорду, равную $\tfrac{\Delta L}{2}(\mathbf{t}_1 + \mathbf{t}_2)$ , умноженной на $\operatorname{tg}(\beta/2)/(\beta/2)$ , — это и есть сбалансированный тангенциальный метод с коэффициентом $RF$ . Разложение в ряд $RF \approx 1 + \beta^2/12$ показывает, что поправка — второго порядка: при искривлении 3° на интервале она меньше 0,03 %.

Угол искривления через половинные углы

\sin^2\frac{\beta}{2} = \sin^2\frac{\theta_2 - \theta_1}{2} + \sin\theta_1\sin\theta_2\,\sin^2\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}

где:

$\beta$ пространственный угол искривления, градусы или радианы
$\theta_1,\ \theta_2,\ \varphi_1,\ \varphi_2$ зенитные углы и азимуты в точках замера, градусы

Единицы: любые единицы угла, одинаковые для всех величин

Справедливо, если

получается из формулы с косинусами подстановкой $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ ; равносильна ей при любых углах.

При малом угле $\cos\beta$ близок к единице, и вся информация об угле — в последних знаках косинуса: арккосинус от округлённого числа ошибается тем сильнее, чем меньше угол. Половинные углы этой беды лишены, поэтому программы считают по этой формуле.

Расчётный примерМалый угол искривления: арккосинус против половинных углов

Исходные данные (условные)

Замеры через 30 м на участке стабилизации: $\theta$ : 32,0° → 32,5°; $\varphi$ : 53,0° → 54,5°

Решение

По половинным углам: $\sin^2(\beta/2) = \sin^2 0{,}25^\circ + \sin 32{,}0^\circ\sin 32{,}5^\circ\sin^2 0{,}75^\circ = 6{,}782\cdot 10^{-5}$ , откуда $\beta = 0{,}944^\circ$ .
По косинусу: $\cos\beta = 0{,}9998644$ . Если округлить его до четырёх знаков (0,9999), арккосинус даст 0,81°, до пяти (0,99986) — 0,96°.

Ответ: Угол искривления — 0,944°; округление косинуса до четырёх знаков занизило бы его на 14 %.

Что это значит. Чем меньше угол, тем больше знаков косинуса нужно, чтобы его не потерять. При ручном расчёте это легко упустить, а занижённая интенсивность искривления — это пропущенный перегиб ствола. Данные примера условные.

Вывод формул метода радиуса кривизны

Если зенитный угол меняется линейно по длине ствола, $\theta(l) = \theta_1 + (\theta_2 - \theta_1)\,l/\Delta L$ , то $\dd l = \Delta L\,\dd\theta/(\theta_2 - \theta_1)$ , и приращение глубины по вертикали — интеграл $\int\cos\theta\,\dd l = \Delta L\,(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)/(\theta_2 - \theta_1)$ . Длина горизонтальной проекции — интеграл $\int\sin\theta\,\dd l$ — даёт $\Delta A$ с разностью косинусов.

Затем в плане азимут меняется линейно по длине горизонтальной проекции: проекция — дуга окружности, и интегралы $\int\cos\varphi\,\dd a$ и $\int\sin\varphi\,\dd a$ по ней дают $\Delta N$ и $\Delta E$ . Обе дуги — в вертикальной развёртке и в плане — окружности, отсюда название метода. В пространстве такая линия похожа на виток спирали; она совпадает с дугой окружности метода минимальной кривизны, только если азимут постоянен (плоский набор угла) или постоянен зенитный угол на 90° (горизонтальный поворот).

Связь с другими темами

Наклонно-направленные скважины: применение и профиль — проектный профиль, уровни отсчёта, отход и азимут цели, три севера.
Отклоняющие инструменты и забойные двигатели — чем исправляют траекторию, когда замеры показывают уход от проекта.
Каротаж в открытом стволе: зачем, как и когда — пересчёт глубин каротажа по стволу в глубины по вертикали по данным инклинометрии.
Поровое и горное давление — почему давления считают по глубине по вертикали, которую даёт расчёт траектории.
Расчёт обсадных колонн — напряжения изгиба в колонне, спущенной в искривлённый ствол.

Проверьте себя

1
Какой метод на участке набора угла систематически завышает отход и занижает глубину по вертикали?
1. А.Сбалансированный тангенциальный
2. Б.Метод среднего угла
3. В.Тангенциальный
4. Г.Метод минимальной кривизны
Показать ответ
Правильный ответ: В. Тангенциальный
Тангенциальный метод ведёт весь интервал под зенитным углом нижнего замера — наибольшим на участке набора. Поэтому каждый интервал получается более пологим, чем на самом деле: лишнее смещение в плане и недостача по вертикали, и всё это копится от интервала к интервалу.
2
Замеры: 1200 м — $\theta = 30^\circ$ , $\varphi = 120^\circ$ ; 1230 м — $\theta = 32^\circ$ , $\varphi = 124^\circ$ . Найдите приращения методом среднего угла и интенсивность искривления.
Показать ответ
Средние углы: $\bar\theta = 31^\circ$ , $\bar\varphi = 122^\circ$ . $\Delta H = 30\cos 31^\circ \approx 25{,}72$ м; горизонтальная проекция $30\sin 31^\circ \approx 15{,}45$ м, откуда $\Delta N \approx 15{,}45\cos 122^\circ \approx -8{,}19$ м и $\Delta E \approx 15{,}45\sin 122^\circ \approx 13{,}10$ м. Угол искривления: $\cos\beta = \cos 30^\circ\cos 32^\circ + \sin 30^\circ\sin 32^\circ\cos 4^\circ \approx 0{,}99875$ , $\beta \approx 2{,}87^\circ$ — интенсивность около 2,87° на 30 м.
3
Какой средний азимут нужно взять для замеров с азимутами 350° и 20°?
1. А.15°
2. Б.185°
3. В.355°
4. Г.5°
Показать ответ
Правильный ответ: Г. 5°
Изменение азимута по кратчайшей дуге: $20 - 350 = -330^\circ$ , плюс 360° — это +30°. Средний азимут $350 + 15 = 365^\circ$ , то есть 5°. Полусумма 185° развернула бы интервал на юг.
4
Почему метод минимальной кривизны можно назвать сбалансированным тангенциальным с поправкой и когда эта поправка близка к единице?
Показать ответ
Если ствол — дуга окружности, касательные к ней в концах интервала пересекаются, и отрезки касательных равны $R\operatorname{tg}(\beta/2)$ . Хорда дуги — сумма этих отрезков, то есть те же два направления, что в сбалансированном тангенциальном методе, но с длинами $R\operatorname{tg}(\beta/2)$ вместо $\Delta L/2$ . Отношение этих длин и есть $RF = \operatorname{tg}(\beta/2)/(\beta/2) \approx 1 + \beta^2/12$ . При малом искривлении на интервале (частые замеры, малая интенсивность искривления) оно почти равно единице.
5
Магнитный азимут замера — 210,0°, магнитное склонение +7,0° (восточное), сближение меридианов −1,5°. Найдите дирекционный азимут.
Показать ответ
Истинный азимут: $210{,}0 + 7{,}0 = 217{,}0^\circ$ . Дирекционный: $217{,}0 - (-1{,}5) = 218{,}5^\circ$ . Отрицательное сближение означает, что сеточный север западнее истинного (точка к западу от осевого меридиана зоны), поэтому дирекционный азимут больше истинного.
6
Забой находится в точке $N = -300$ м, $E = -400$ м, проектный азимут 200°. Найдите отход, азимут отхода, смещение по проектному азимуту и отклонение от проектной плоскости.
Показать ответ
Отход $A = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500$ м. Арктангенс: $\operatorname{arctg}(-400/-300) = 53{,}13^\circ$ , но $N < 0$ , поэтому прибавляем 180°: $\varphi_A = 233{,}13^\circ$ — юго-запад. Разность с проектным азимутом 33,13°: $A_{\text{пр}} = 500\cos 33{,}13^\circ \approx 418{,}7$ м, $A_{\text{б}} = 500\sin 33{,}13^\circ \approx 273{,}3$ м — вправо от проектной плоскости.

Обновлено: 5 октября 2026 г.