Уравнение Арчи и насыщенность чистых коллекторов

Кратко о главном

В чистой породе ток проводит только вода в порах: минеральные зёрна, нефть и газ — изоляторы.
Параметр пористости $F = R_0/R_w$ показывает, во сколько раз водонасыщенная порода проводит ток хуже самой воды. Он зависит от пористости и извилистости путей тока: $F = a/\phi^m$ .
Параметр насыщения $I = R_t/R_0$ показывает, во сколько раз углеводороды повысили сопротивление: $I = S_w^{-n}$ .
Вместе: $S_w = \left(a R_w / \phi^m R_t\right)^{1/n}$ ; для песчаников часто $a \approx 1$ , $m \approx n \approx 2$ .
Неопределённость $m$ и $n$ влияет на результат не меньше, чем ошибка в $R_w$ : коэффициенты подбирают по керну конкретного пласта.
Глинистость, трещины, каверны, гидрофобность и тонкие пласты нарушают предпосылки уравнения — там нужны поправки или другие модели.

Ключевые соотношения

F = \dfrac{R_0}{R_w} = \dfrac{a}{\phi^m}

параметр пористости: определение и связь с пористостью

I = \dfrac{R_t}{R_0} = S_w^{-n}

параметр насыщения

S_w = \left(\dfrac{a\,R_w}{\phi^m\,R_t}\right)^{1/n}

водонасыщенность неизменённого пласта

S_{xo} = \left(\dfrac{a\,R_{mf}}{\phi^m\,R_{xo}}\right)^{1/n}

водонасыщенность промытой зоны

Где чаще всего ошибаются

Подставлять пористость в процентах вместо долей единицы.
Брать $R_w$ при температуре лаборатории, а не пласта.
Путать $R_0$ — сопротивление водонасыщенной породы — и $R_w$ — сопротивление самой воды.
Смешивать $a$ из одной зависимости с $m$ из другой: коэффициенты подбираются парой.
Считать показание глубокого зонда равным $R_t$ без поправок.

После урока вы сможете

объяснить, почему сопротивление чистой породы определяется водой в порах и что описывают параметр пористости $F$ и параметр насыщения $I$ ;
записать уравнение Арчи в общем виде с коэффициентами $a$ , $m$ , $n$ и объяснить смысл каждого;
рассчитать водонасыщенность неизменённого пласта и промытой зоны и оценить долю подвижной нефти;
оценить, как ошибки в $R_w$ , $R_t$ , пористости и коэффициентах переходят в ошибку водонасыщенности;
определить $a$ и $m$ по лабораторным данным на керне;
распознать условия, в которых уравнение Арчи неприменимо без поправок: глинистые, трещиноватые, кавернозные и гидрофобные породы.

Почему сопротивление говорит о насыщенности

Зёрна кварца, полевых шпатов и кальцита практически не проводят электрический ток, нефть и газ — тоже. Проводит пластовая вода: в ней растворены соли, и ток переносят ионы. Поэтому сопротивление чистой породы-коллектора определяется тремя вещами: насколько солёная вода в порах, сколько её и насколько сложные пути она образует.

Удельное электрическое сопротивление (resistivity, $R$ ) измеряют в ом-метрах (Ом·м). Обратная величина — удельная электропроводность, её выражают в сименсах на метр; индукционные приборы часто выдают её в миллисименсах на метр: $\sigma\,[\text{мСм/м}] = 1000/R\,[\text{Ом·м}]$ . Солёные пластовые воды при пластовой температуре имеют сопротивление порядка сотых и десятых долей Ом·м, водоносные песчаники — от десятых долей до единиц Ом·м, продуктивные — от единиц до сотен Ом·м.

Аналогия: коридоры в здании

Представьте поток людей, которым нужно пересечь здание по узким извилистым коридорам. Пропускная способность зависит не только от суммарной площади коридоров (пористость), но и от того, насколько они извилисты и где сужаются (показатель $m$ ). Если часть коридоров загородить мебелью — нефтью, — поток уменьшится ещё сильнее (показатель $n$ ). Аналогия неполна: электрический ток, в отличие от людей, идёт по всем путям сразу, в каждый — пропорционально его проводимости.

Обозначения в отечественной литературе

Пористость обозначают $K_\text{п}$ , водонасыщенность — $K_\text{в}$ , параметр пористости — $P_\text{п}$ , параметр насыщения (коэффициент увеличения сопротивления) — $P_\text{н}$ , сопротивление пласта — $\rho_\text{п}$ , пластовой воды — $\rho_\text{в}$ . Зависимости $P_\text{п}(K_\text{п})$ и $P_\text{н}(K_\text{в})$ часто называют уравнениями Арчи — Дахнова: в советской литературе их развивал В. Н. Дахнов.

Параметр пористости: вода в поровом лабиринте

Возьмём образец чистой породы, полностью насыщенный водой сопротивлением $R_w$ , и измерим его сопротивление $R_0$ . Отношение этих величин называют параметром пористости (formation resistivity factor, $F$ ). Опыты показывают, что для чистой породы $F$ не зависит от того, какой солёности воду в неё закачали: он описывает саму породу — долю проводящего сечения и геометрию поровых каналов.

Параметр пористости

F = \frac{R_0}{R_w} = \frac{a}{\phi^m}

где:

$F$ параметр пористости (formation resistivity factor), —
$R_0$ сопротивление породы, полностью насыщенной водой, Ом·м
$R_w$ сопротивление этой воды при той же температуре, Ом·м
$\phi$ пористость, доли единицы
$a$ коэффициент извилистости (tortuosity factor), эмпирический, —
$m$ показатель цементации (cementation exponent), эмпирический, —

Единицы: безразмерная; $R_0$ и $R_w$ в одинаковых единицах

Справедливо, если

чистая порода: ток проводит только вода в порах, поверхностная проводимость зёрен и глин пренебрежимо мала;
межзерновая пористость, более или менее однородная по объёму;
$a$ и $m$ подобраны для данной породы и применяются в том диапазоне пористости, где их определили;
$R_0$ и $R_w$ относятся к одной температуре; для пласта — к пластовой.

Первое равенство — определение: $F$ измеряют на керне. Второе — эмпирическая связь с пористостью. В логарифмических координатах $\lg F = \lg a - m\lg\phi$ — прямая с наклоном $-m$ . Чем сложнее путь тока, тем больше $m$ и тем выше $F$ при той же пористости.

РасчётПараметр пористости в зависимости от пористости при

a = 1

(логарифмические шкалы). Числа у прямых — значения показателя цементации

m

. Точка — порода из примера ниже:

\phi = 0{,}21

F \approx 22{,}7

при

m = 2

Физический смысл коэффициентов: при $\phi = 1$ (одна вода, без породы) $F$ должен быть равен единице, то есть в идеале $a = 1$ . Значения $a \ne 1$ появляются, когда прямую подбирают по керну в ограниченном диапазоне пористости: $a$ и $m$ подстраиваются друг под друга. Поэтому пару $a$ – $m$ используют только вместе.

Ориентировочные коэффициенты для разных пород

Порода: Рыхлые (несцементированные) пески
$a$: 1
$m$: 1,3–1,5
Комментарий: пути тока простые, каналы широкие

Порода: Сцементированные песчаники
$a$: 0,6–1
$m$: 1,8–2,2
Комментарий: часто $F = 0{,}62/\phi^{2{,}15}$ (формула Хамбла) или $F = 0{,}81/\phi^2$

Порода: Карбонаты с межзерновой и межкристаллической пористостью
$a$: 1
$m$: около 2
Комментарий: $F = 1/\phi^2$

Порода: Плотные карбонаты, породы с кавернами и порами на месте растворённых зёрен
$a$: 1
$m$: 2,2–2,5, до 3 и выше
Комментарий: изолированные поры увеличивают пористость, но почти не проводят ток

Порода: Трещиноватые породы
$a$: 1
$m$: 1,1–1,5
Комментарий: трещины — прямые проводящие пути

Порода	$a$	$m$	Комментарий
Рыхлые (несцементированные) пески	1	1,3–1,5	пути тока простые, каналы широкие
Сцементированные песчаники	0,6–1	1,8–2,2	часто $F = 0{,}62/\phi^{2{,}15}$ (формула Хамбла) или $F = 0{,}81/\phi^2$
Карбонаты с межзерновой и межкристаллической пористостью	1	около 2	$F = 1/\phi^2$
Плотные карбонаты, породы с кавернами и порами на месте растворённых зёрен	1	2,2–2,5, до 3 и выше	изолированные поры увеличивают пористость, но почти не проводят ток
Трещиноватые породы	1	1,1–1,5	трещины — прямые проводящие пути

Порядки величин для ориентира. Для подсчёта запасов $a$ , $m$ и $n$ определяют на керне конкретного пласта.

Параметр насыщения: что меняют углеводороды

Когда часть пор занимают нефть или газ, воды для проводимости остаётся меньше, а пути тока становятся ещё извилистее: в гидрофильной породе вода остаётся плёнками на зёрнах и в мелких порах. Сопротивление породы $R_t$ растёт по сравнению с $R_0$ — сопротивлением той же породы при полном водонасыщении. Их отношение называют параметром насыщения (resistivity index, $I$ ).

Параметр насыщения

I = \frac{R_t}{R_0} = S_w^{-n}

где:

$I$ параметр насыщения (коэффициент увеличения сопротивления), —
$R_t$ сопротивление породы при водонасыщенности $S_w$ , Ом·м
$R_0$ сопротивление той же породы при $S_w = 1$ , Ом·м
$S_w$ водонасыщенность, доли единицы
$n$ показатель насыщения (saturation exponent), эмпирический, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

чистая порода, проводит только вода;
вода образует связную систему — плёнки и заполненные мелкие поры (гидрофильная порода);
$R_t$ и $R_0$ относятся к одной породе, одной воде и одной температуре.

Для гидрофильных пород $n$ обычно близок к 2. В гидрофобных (нефтесмачиваемых) породах вода собирается в отдельные капли, связность проводящей сети резко падает, и $n$ бывает 3–8 и больше — см. Смачиваемость и межфазные явления.

РасчётПараметр насыщения в зависимости от водонасыщенности (логарифмические шкалы). Числа у прямых — значения показателя насыщения

n

. Точка — пласт из примера ниже:

S_w \approx 0{,}31

I \approx 10{,}6

при

n = 2

. При одном и том же

I = 25

водонасыщенность равна 0,20 при

n = 2

и 0,34 при

n = 3

Уравнение Арчи и расчёт водонасыщенности

Соединив два определения — $R_0 = F R_w$ и $R_t = I R_0$ , — получаем $R_t = F R_w S_w^{-n}$ , откуда и выражается водонасыщенность.

Уравнение Арчи для водонасыщенности

S_w = \left(\frac{F\,R_w}{R_t}\right)^{1/n} = \left(\frac{a\,R_w}{\phi^m\,R_t}\right)^{1/n}

где:

$S_w$ водонасыщенность неизменённой части пласта, доли единицы
$R_w$ сопротивление пластовой воды при пластовой температуре, Ом·м
$R_t$ сопротивление неизменённой части пласта (после поправок), Ом·м
$\phi$ пористость, доли единицы
$a,\ m,\ n$ коэффициент извилистости, показатель цементации и показатель насыщения, —

Единицы: безразмерная; все сопротивления в одинаковых единицах

Справедливо, если

чистый (неглинистый) пласт с межзерновой пористостью; ток проводит только пластовая вода;
$R_t$ — сопротивление неизменённой части пласта с поправками за скважину, вмещающие породы и проникновение (Скважина как среда измерений: зона проникновения и глинистая корка);
$R_w$ — при пластовой температуре;
$a$ , $m$ , $n$ соответствуют породе (по керну или проверенной аналогии); порода гидрофильная.

Водонасыщенность растёт с $R_w$ и убывает с ростом $R_t$ и пористости. Зависимость от $R_t$ степенная: при $n = 2$ вчетверо большее сопротивление даёт лишь вдвое меньшую водонасыщенность. Нефте- или газонасыщенность равна $1 - S_w$ .

При $a = 1$ и $m = n = 2$ уравнение принимает простой вид $\phi\,S_w = \sqrt{R_w/R_t}$ . Произведение $\phi S_w$ — объёмная доля воды в породе (bulk volume water); на этой форме основаны кросс-плоты сопротивление–пористость (Кросс-плоты сопротивление–пористость).

Такое же выражение записывают для промытой зоны, где вода в порах — фильтрат бурового раствора. Вместо $R_t$ подставляют сопротивление промытой зоны $R_{xo}$ по микрозондам, вместо $R_w$ — сопротивление фильтрата $R_{mf}$ . Сравнение $S_{xo}$ и $S_w$ показывает, сколько углеводородов вытеснил фильтрат, то есть сколько их подвижно.

Уравнение Арчи для промытой зоны

S_{xo} = \left(\frac{a\,R_{mf}}{\phi^m\,R_{xo}}\right)^{1/n}

где:

$S_{xo}$ водонасыщенность промытой зоны, доли единицы
$R_{mf}$ сопротивление фильтрата при пластовой температуре, Ом·м
$R_{xo}$ сопротивление промытой зоны (с поправкой на корку), Ом·м

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

те же, что для $S_w$ ; вода в промытой зоне — практически только фильтрат;
раствор на водной основе (в растворах на углеводородной основе фильтрат не проводит ток).

Разность $S_{xo} - S_w$ — доля порового объёма, занятая подвижными углеводородами; $1 - S_{xo}$ — остаточная углеводородонасыщенность.

Порядок расчёта по каротажу

1
Выбрать чистый интервал
по гамма-каротажу и другим признакам убедиться, что пласт неглинистый; иначе нужны модели глинистых коллекторов (Насыщенность глинистых коллекторов).
2
Пористость
по плотностному, нейтронному или акустическому каротажу, в долях единицы (Пористость по плотностному каротажу).
3
Параметр пористости
по коэффициентам $a$ и $m$ для данной породы; без керна — по проверенной аналогии и с оценкой неопределённости.
4
Истинное сопротивление
$R_t$ по глубокому индукционному или боковому зонду с поправками за скважину, толщину пласта и проникновение.
5
Сопротивление пластовой воды
$R_w$ при пластовой температуре; проверить несколькими способами — по ПС, по анализу проб, по водоносному пласту, по каталогу вод (Определение сопротивления пластовой воды).
6
Водонасыщенность и проверка
рассчитать $S_w$ . В водоносной части того же пласта расчёт должен давать $S_w \approx 1$ ; если нет — пересмотреть $R_w$ , $a$ и $m$ .

Расчётный примерВодонасыщенность и подвижная нефть в чистом песчанике

Исходные данные (условные)

Пористость по плотностному каротажу $\phi$: 0,21
Сопротивление неизменённого пласта $R_t$: 12,5 Ом·м (после поправок)
Сопротивление пластовой воды $R_w$: 0,052 Ом·м при пластовой температуре
Сопротивление промытой зоны $R_{xo}$: 6,5 Ом·м
Сопротивление фильтрата $R_{mf}$: 0,20 Ом·м при пластовой температуре
Коэффициенты: $a = 1$ , $m = 2$ , $n = 2$

Решение

Параметр пористости: $F = a/\phi^m = 1/0{,}21^2 = 22{,}68$ .
Сопротивление этой породы при полном водонасыщении: $R_0 = F R_w = 22{,}68\cdot 0{,}052 = 1{,}179$ Ом·м.
Параметр насыщения: $I = R_t/R_0 = 12{,}5/1{,}179 = 10{,}60$ .
Водонасыщенность: $S_w = I^{-1/n} = 10{,}60^{-1/2} = 0{,}307$ ; нефтенасыщенность $1 - S_w = 0{,}693$ .
Промытая зона: $S_{xo} = \left(\dfrac{F R_{mf}}{R_{xo}}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{22{,}68\cdot 0{,}20}{6{,}5}\right)^{1/2} = 0{,}835$ .
Подвижная нефть: $S_{xo} - S_w = 0{,}53$ порового объёма; остаточная нефтенасыщенность $1 - S_{xo} = 0{,}16$ .

Ответ: Водонасыщенность около 31 %, нефтенасыщенность около 69 %, причём подвижна примерно 0,53 порового объёма.

Что это значит. Пласт выглядит продуктивным: вода занимает менее трети пор, и бо́льшую часть нефти фильтрат смог сдвинуть. Объёмная доля воды в породе $\phi S_w = 0{,}064$ пригодится для сравнения с соседними интервалами. Прежде чем включать такой результат в подсчёт запасов, проверяют $R_w$ по водоносной части пласта и коэффициенты по керну — следующий пример показывает, насколько от них зависит ответ. Данные примера условные.

Расчётный примерНасколько водонасыщенность зависит от исходных данных

Исходные данные (условные)

Базовый расчёт: пласт из предыдущего примера: $\phi = 0{,}21$ , $R_t = 12{,}5$ Ом·м, $R_w = 0{,}052$ Ом·м, $a = 1$ , $m = n = 2$
Варианты: $m = 1{,}8$ и $2{,}2$ ; $n = 2{,}5$ ; $R_w$ на 20 % больше; пористость на 0,02 меньше; формула Хамбла ( $a = 0{,}62$ , $m = 2{,}15$ )

Решение

Базовый вариант: $S_w = \left(\dfrac{1\cdot 0{,}052}{0{,}21^2\cdot 12{,}5}\right)^{1/2} = 0{,}307$ .
$m = 1{,}8$ : $S_w = 0{,}263$ ; $m = 2{,}2$ : $S_w = 0{,}359$ .
$n = 2{,}5$ : $S_w = 0{,}389$ .
$R_w = 0{,}0624$ Ом·м (на 20 % больше): $S_w = 0{,}336$ .
$\phi = 0{,}19$ : $S_w = 0{,}339$ .
Формула Хамбла: $F = 0{,}62/0{,}21^{2{,}15} = 17{,}8$ , $S_w = 0{,}272$ .

Ответ: При разумных вариантах исходных данных водонасыщенность меняется от 0,26 до 0,39 при базовом значении 0,307.

Что это значит. Неопределённость показателей $m$ и $n$ сдвигает результат не меньше, чем ошибка в $R_w$ , а ошибка пористости всего на 0,02 действует почти как 20 % ошибки в $R_w$ . Поэтому коэффициенты определяют на керне, $R_w$ проверяют несколькими способами, а в подсчёте запасов водонасыщенность задают диапазоном, а не одним числом. Данные примера условные.

Где уравнение Арчи перестаёт работать

Уравнение Арчи эмпирическое и опирается на несколько предпосылок: ток проводит только вода, поры однородны и сообщаются, вода образует связную сеть, $R_t$ измерено правильно. Каждое нарушение сдвигает результат в известную сторону — это полезно знать, чтобы понимать, оптимистична оценка или пессимистична.

Типичные нарушения предпосылок и их последствия

Условие: Глинистые песчаники
Что происходит: глины проводят ток параллельно пластовой воде (связанная вода, обменные катионы), $R_t$ снижено
Как ошибается расчёт $S_w$: завышает $S_w$ — можно пропустить продуктивный пласт
Что делают: модели глинистых коллекторов (Насыщенность глинистых коллекторов)

Условие: Пресные пластовые воды
Что происходит: проводимость поверхности зёрен и глин сравнима с проводимостью воды; $F$ начинает зависеть от $R_w$
Как ошибается расчёт $S_w$: завышает $S_w$
Что делают: калибровка по керну, модели с поверхностной проводимостью

Условие: Каверны и изолированные поры
Что происходит: часть пористости почти не участвует в проводимости, фактический $m$ больше 2
Как ошибается расчёт $S_w$: при $m = 2$ занижает $S_w$
Что делают: $m$ по керну с учётом типа пор

Условие: Трещины
Что происходит: трещины — прямые проводящие пути, фактический $m$ близок к 1
Как ошибается расчёт $S_w$: при $m = 2$ завышает $S_w$
Что делают: модели двойной пористости, $m$ по керну и испытаниям

Условие: Гидрофобная порода
Что происходит: вода в отдельных каплях, фактический $n$ 3–8 и больше
Как ошибается расчёт $S_w$: при $n = 2$ занижает $S_w$
Что делают: $n$ по керну с восстановленной смачиваемостью

Условие: Тонкие пласты и слоистость
Что происходит: глубокий зонд осредняет пласт с вмещающими породами, $R_t$ тонкого высокоомного пласта занижено
Как ошибается расчёт $S_w$: завышает $S_w$
Что делают: поправки за вмещающие породы, приборы высокого разрешения

Условие: Проводящие минералы (пирит, магнетит, графит)
Что происходит: ток идёт и по минералам, $R_t$ снижено
Как ошибается расчёт $S_w$: завышает $S_w$
Что делают: учёт минерального состава

Условие: Керн измерен без нагрузки
Что происходит: в пласте горное давление сжимает поры и повышает сопротивление; $F$ на ненагруженном керне занижен
Как ошибается расчёт $S_w$: с заниженным $m$ занижает $S_w$
Что делают: измерения на керне при пластовом эффективном давлении

Условие	Что происходит	Как ошибается расчёт $S_w$	Что делают
Глинистые песчаники	глины проводят ток параллельно пластовой воде (связанная вода, обменные катионы), $R_t$ снижено	завышает $S_w$ — можно пропустить продуктивный пласт	модели глинистых коллекторов (Насыщенность глинистых коллекторов)
Пресные пластовые воды	проводимость поверхности зёрен и глин сравнима с проводимостью воды; $F$ начинает зависеть от $R_w$	завышает $S_w$	калибровка по керну, модели с поверхностной проводимостью
Каверны и изолированные поры	часть пористости почти не участвует в проводимости, фактический $m$ больше 2	при $m = 2$ занижает $S_w$	$m$ по керну с учётом типа пор
Трещины	трещины — прямые проводящие пути, фактический $m$ близок к 1	при $m = 2$ завышает $S_w$	модели двойной пористости, $m$ по керну и испытаниям
Гидрофобная порода	вода в отдельных каплях, фактический $n$ 3–8 и больше	при $n = 2$ занижает $S_w$	$n$ по керну с восстановленной смачиваемостью
Тонкие пласты и слоистость	глубокий зонд осредняет пласт с вмещающими породами, $R_t$ тонкого высокоомного пласта занижено	завышает $S_w$	поправки за вмещающие породы, приборы высокого разрешения
Проводящие минералы (пирит, магнетит, графит)	ток идёт и по минералам, $R_t$ снижено	завышает $S_w$	учёт минерального состава
Керн измерен без нагрузки	в пласте горное давление сжимает поры и повышает сопротивление; $F$ на ненагруженном керне занижен	с заниженным $m$ занижает $S_w$	измерения на керне при пластовом эффективном давлении

Направления ошибок — для случая, когда в расчёт заложены «стандартные» коэффициенты и некорректированное $R_t$ .

Термины и обозначения

Параметр пористости $F$: отношение сопротивления водонасыщенной породы к сопротивлению воды, $F = R_0/R_w = a/\phi^m$ (formation resistivity factor).
Параметр насыщения $I$: отношение сопротивления породы при данной водонасыщенности к её сопротивлению при полном водонасыщении, $I = R_t/R_0 = S_w^{-n}$ (resistivity index).
Показатель цементации $m$: наклон зависимости $F(\phi)$ в логарифмических координатах; отражает извилистость и связность пор (cementation exponent).
Показатель насыщения $n$: наклон зависимости $I(S_w)$ в логарифмических координатах; около 2 в гидрофильных породах (saturation exponent).
Коэффициент извилистости $a$: эмпирический множитель в $F = a/\phi^m$ ; подбирается вместе с $m$ (tortuosity factor).
$R_0$: сопротивление той же породы при полном насыщении пластовой водой.
Объёмная доля воды $\phi S_w$: доля объёма породы, занятая водой (bulk volume water).

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Пористость 21 % — подставляем 21».

На самом деле

В уравнение Арчи пористость и насыщенность входят в долях единицы: 0,21. Подстановка процентов даёт бессмысленный результат.

Неверно

« $R_w$ взяли из анализа пробы при 20 °C».

На самом деле

Сопротивление воды сильно падает с ростом температуры; его приводят к пластовой температуре (Пластовая вода и пластовая температура). Иначе $S_w$ будет завышена.

Неверно

«Возьмём $a = 0{,}62$ из формулы Хамбла и $m = 2$ — так проще».

На самом деле

Коэффициенты $a$ и $m$ подбираются парой; смешивая их, получают зависимость, которая не описывает ни одну породу. Используют либо $0{,}62/\phi^{2{,}15}$ , либо $0{,}81/\phi^2$ , либо пару по керну.

Неверно

«Для всех пород $m = n = 2$ ».

На самом деле

Это разумное начальное приближение для гидрофильных песчаников. В трещиноватых, кавернозных, гидрофобных и глинистых породах коэффициенты другие, и ошибка насыщенности может составить десятки процентов.

Неверно

«Высокая $S_w$ по Арчи — значит, пласт водоносный».

На самом деле

Низкое сопротивление может быть связано с глинами, тонкой слоистостью, проводящими минералами или пресной водой. Вывод делают после проверки предпосылок и сопоставления с керном и опробованием.

Подробно: для продвинутых

Как определяют $a$, $m$ и $n$ на керне

Для определения $a$ и $m$ несколько образцов разной пористости насыщают рассолом известного сопротивления и измеряют их сопротивление $R_0$ . Точки $(\phi,\ F = R_0/R_w)$ наносят в логарифмических координатах и проводят прямую: её наклон — $-m$ , значение при $\phi = 1$ — $a$ . Показатель $n$ находят на тех же образцах, постепенно вытесняя рассол нефтью или газом (например, в капилляриметре) и измеряя $R_t$ при нескольких $S_w$ : наклон прямой $\lg I$ от $\lg S_w$ равен $-n$ .

Расчётный примерКоэффициенты $a$ и $m$ по пяти образцам

Исходные данные (условные)

Сопротивление рассола $R_w$: 0,10 Ом·м
Пористость образцов $\phi$: 0,12; 0,16; 0,20; 0,24; 0,28
Сопротивление насыщенных образцов $R_0$: 5,8; 3,1; 2,15; 1,42; 1,09 Ом·м

Решение

Параметр пористости $F = R_0/R_w$ : 58; 31; 21,5; 14,2; 10,9.
Прямая по методу наименьших квадратов в координатах $\lg\phi$ — $\lg F$ : наклон $-1{,}968$ , то есть $m = 1{,}97$ ; отрезок $\lg a = -0{,}057$ , то есть $a = 0{,}88$ .
Если принудительно принять $a = 1$ (прямая через точку $\phi = 1$ , $F = 1$ ), наилучший показатель $m = 1{,}89$ .
Сравнение при $\phi = 0{,}20$ : пара $a = 0{,}88$ , $m = 1{,}97$ даёт $F = 20{,}8$ , пара $a = 1$ , $m = 1{,}89$ — $F = 21{,}0$ .

Ответ: По керну

a \approx 0{,}88

m \approx 1{,}97

; с фиксированным

a = 1

—

m \approx 1{,}89

Что это значит. Обе пары описывают образцы почти одинаково в измеренном диапазоне пористости, хотя коэффициенты разные. Это и есть причина правила « $a$ и $m$ — только парой». За пределами изученного диапазона пары расходятся сильнее, поэтому экстраполировать их на заметно более низкую или высокую пористость рискованно. Данные примера условные.

Условия лабораторных измерений

образцы измеряют под нагрузкой, близкой к пластовому эффективному давлению, иначе $F$ и $m$ занижены;
рассол по составу близок к пластовой воде; для глинистых пород измерения повторяют при нескольких солёностях;
для $n$ важна смачиваемость: её восстанавливают выдержкой образца в пластовой нефти при пластовой температуре;
образцы должны представлять типы пород пласта; для разных литотипов коэффициенты определяют отдельно.

Как ошибки входных данных переходят в водонасыщенность

Прологарифмируем уравнение Арчи: $\ln S_w = \tfrac{1}{n}\left(\ln a + \ln R_w - m\ln\phi - \ln R_t\right)$ . Дифференцируя по каждой величине, получаем линейную оценку относительной ошибки.

Относительная ошибка водонасыщенности по Арчи

\frac{\delta S_w}{S_w} \approx \frac{1}{n}\left(\frac{\delta a}{a} + \frac{\delta R_w}{R_w} - \frac{\delta R_t}{R_t} - m\,\frac{\delta\phi}{\phi}\right) - \frac{\ln\phi}{n}\,\delta m - \frac{\ln S_w}{n}\,\delta n

где:

$\delta S_w,\ \delta a,\ \delta R_w,\ \delta R_t,\ \delta\phi$ малые ошибки (отклонения) соответствующих величин, в единицах величины
$\delta m,\ \delta n$ ошибки показателей цементации и насыщения, —
$\ln$ натуральный логарифм, —

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

ошибки малы по сравнению с самими величинами (линейное приближение);
ошибки независимы; при совместном учёте их складывают с учётом знаков или квадратично для случайных ошибок.

Ошибки $R_w$ и $R_t$ входят с весом $1/n$ , ошибка пористости — с весом $m/n$ , то есть при $m = n$ относительная ошибка пористости переходит в $S_w$ один к одному. Поскольку $\ln\phi$ и $\ln S_w$ отрицательны, рост $m$ или $n$ увеличивает рассчитанную $S_w$ , причём тем сильнее, чем ниже пористость и водонасыщенность.

Расчётный примерЛинейная оценка против точного пересчёта

Исходные данные (условные)

Базовый расчёт: $\phi = 0{,}21$ , $S_w = 0{,}307$ , $m = n = 2$
Отклонения: $\delta m = +0{,}2$ ; отдельно $\delta n = +0{,}5$

Решение

Для $m$ : $\dfrac{\delta S_w}{S_w} \approx -\dfrac{\ln 0{,}21}{2}\cdot 0{,}2 = 0{,}156$ , то есть $S_w \approx 0{,}355$ ; точный пересчёт даёт 0,359.
Для $n$ : $\dfrac{\delta S_w}{S_w} \approx -\dfrac{\ln 0{,}307}{2}\cdot 0{,}5 = 0{,}295$ , то есть $S_w \approx 0{,}398$ ; точный пересчёт даёт 0,389.

Ответ: Линейная оценка ошибается на тысячные доли — для быстрой оценки неопределённости её достаточно.

Что это значит. Формулу удобно использовать, чтобы понять, какой из входных параметров сильнее всего влияет на результат в данном пласте, и сосредоточить на нём лабораторные исследования. Данные примера условные.

Связь с другими темами

Скважина как среда измерений: зона проникновения и глинистая корка — почему глубокий зонд не равен $R_t$ и что такое промытая зона.
Определение сопротивления пластовой воды — как найти сопротивление пластовой воды — главный вход уравнения.
Пластовая вода и пластовая температура — как привести сопротивления к пластовой температуре.
Кросс-плоты сопротивление–пористость — графическое решение уравнения Арчи и оценка $R_w$ и $m$ по каротажу.
Методы отношения сопротивлений и подвижная нефть — насыщенность без пористости — по отношению сопротивлений зон.
Насыщенность глинистых коллекторов — что делать, когда ток проводят и глины.
Смачиваемость и межфазные явления — почему показатель насыщения зависит от смачиваемости.
Подсчёт запасов объёмным методом — как водонасыщенность входит в подсчёт запасов.

Проверьте себя

1
Порода с пористостью 0,25 полностью насыщена водой сопротивлением 0,05 Ом·м; $a = 1$ , $m = 2$ . Каково сопротивление породы $R_0$ ?
1. А.0,0125 Ом·м
2. Б.0,2 Ом·м
3. В.0,8 Ом·м
4. Г.3,2 Ом·м
Показать ответ
Правильный ответ: В. 0,8 Ом·м
$F = 1/0{,}25^2 = 16$ , $R_0 = F R_w = 16\cdot 0{,}05 = 0{,}8$ Ом·м. Порода проводит ток в 16 раз хуже, чем вода в её порах.
2
В расчёт заложено $m = 2$ , а для породы с кавернами на самом деле $m = 2{,}4$ . Как ошибается рассчитанная водонасыщенность?
1. А.Завышена
2. Б.Занижена — оценка слишком оптимистична
3. В.Не меняется: $m$ влияет только на $F$
4. Г.Зависит только от $R_w$
Показать ответ
Правильный ответ: Б. Занижена — оценка слишком оптимистична
При $\phi < 1$ больший $m$ даёт больший $F$ , а $S_w \propto F^{1/n}$ . Заниженный $m$ занижает $F$ и водонасыщенность: пласт выглядит продуктивнее, чем есть.
3
В водоносной части пласта глубокий зонд показывает 2,0 Ом·м, в верхней, нефтенасыщенной части того же пласта с той же пористостью — 20 Ом·м. Оцените водонасыщенность верхней части при $n = 2$ .
Показать ответ
Водоносная часть даёт $R_0 = 2{,}0$ Ом·м, поэтому $I = 20/2 = 10$ и $S_w = 10^{-1/2} \approx 0{,}32$ . Ни пористость, ни $R_w$ знать не понадобилось: они одинаковы в обеих частях и сокращаются. Условие — однородный чистый пласт и корректные значения $R_t$ .
4
Почему в глинистом песчанике уравнение Арчи обычно завышает водонасыщенность?
Показать ответ
Глины проводят ток помимо пластовой воды — через связанную воду и обменные катионы на поверхности глинистых частиц. Сопротивление пласта $R_t$ оказывается ниже, чем было бы в чистой породе с той же насыщенностью, и уравнение Арчи, которое всю проводимость приписывает пластовой воде, «видит» больше воды, чем есть.
5
Какой из коэффициентов уравнения Арчи сильнее всего зависит от смачиваемости породы?
1. А. $a$
2. Б. $m$
3. В. $n$
4. Г. $R_w$
Показать ответ
Правильный ответ: В. $n$
Показатель насыщения $n$ описывает, как связность проводящей воды меняется при вытеснении её углеводородами. В гидрофобной породе вода собирается в изолированные капли, и $n$ растёт до 3–8 и выше; $a$ и $m$ относятся к полностью водонасыщенной породе.
6
По пласту есть две зависимости: $F = 0{,}62/\phi^{2{,}15}$ и $F = 1/\phi^{1{,}9}$ . Можно ли для расчёта взять $a = 0{,}62$ и $m = 1{,}9$ ?
Показать ответ
Нельзя: $a$ и $m$ подобраны совместно, и каждая пара описывает данные только целиком. Пара $0{,}62$ и $1{,}9$ при пористости 0,20 даёт $F \approx 13$ вместо примерно 20 у исходных зависимостей, то есть водонасыщенность будет занижена примерно на 20 %.

Обновлено: 22 сентября 2026 г.