Деревья решений и ценность информации

Кратко о главном

Дерево строят в том порядке, в каком принимают решения и узнают исходы: решение может зависеть только от того, что к его моменту уже известно. Квадрат — решение, круг — случай, конец пути — денежный итог, сумма всех потоков пути на дату первого решения. Вероятности ветвей узла случая в сумме дают единицу и зависят от пути, который привёл к узлу.
Свёртка идёт справа налево: узел случая получает EMV своих ветвей, узел решения — значение лучшей ветви. Результат — EMV стратегии и сама стратегия.
Последовательное решение ценнее одновременного, когда результат первого шага может изменить следующий. В примере урока бурить сначала крупный проспект и решать по второму после его результата — 18,47 млн долл. против 16,83 при бурении обоих сразу.
Ценность совершенной информации (EVPI) — прирост EMV, если исход стал бы известен заранее; это верхний предел цены любых данных о нём. Для решения о бурении она равна меньшему из двух чисел: ожидаемой стоимости сухих скважин $(1 - P_g)\,C$ и ожидаемого выигрыша от открытий $P_g\,(V - C)$ . В примере — 8,40 млн долл.
Несовершенные данные пересчитывают в вероятности по формуле Байеса, и для этого нужны два числа: вероятность обнаружения $P(+\mid H)$ и вероятность ложного сигнала $P(+\mid \bar H)$ . Исследование примера (0,85 и 0,30) превращает вероятность 0,30 в 0,55 или 0,084 и стоит не больше 2,32 млн долл.
Информацию стоит покупать, если хотя бы один её результат изменит решение и её ценность — с учётом времени на её получение — больше цены. Дороже всего она вблизи безубыточности: когда решение и так очевидно, данные его не изменят.

Ключевые соотношения

x_\text{сл} = \sum_j p_j\,(c_j + x_j)

значение узла случая: $c_j$ — поток на ветви, $x_j$ — значение следующего узла

x_\text{реш} = \max_k\,(c_k + x_k)

значение узла решения: лучшая ветвь

P(H\mid +) = \dfrac{P(+\mid H)\,P_g}{P(+)}

формула Байеса

P(+) = P(+\mid H)\,P_g + P(+\mid \bar H)\,(1 - P_g)

полная вероятность положительного ответа

\mathrm{EVPI} = \min\{(1 - P_g)\,C,\; P_g\,(V - C)\}

ценность совершенной информации для решения о бурении

0 \le \mathrm{VOI} \le \mathrm{EVPI}

ценность любых данных о том же событии

Где чаще всего ошибаются

Ставить в дерево исход раньше решения, которое на деле принимают, не зная его: так дерево получает бесплатную и безошибочную информацию и завышает стоимость.
Сравнивать вариант «с данными» только с бурением без данных, забыв о возможности отказаться от проекта.
Принимать «надёжность» исследования за вероятность залежи после положительного ответа.
Считать, что данные ценны, потому что «повышают шансы»: в среднем вероятность после данных равна вероятности до них.
Забывать, что информация приходит не сразу: задержка решения тоже стоит денег.

После урока вы сможете

построить дерево решений: расставить решения и случайные события в том порядке, в каком их принимают и узнают, и приписать ветвям потоки денег и условные вероятности;
свернуть дерево по EMV и прочитать результат как стратегию — план действий на каждый исход, а не одно действие;
показать, когда последовательные решения ценнее одновременных, и выбрать порядок бурения проспектов одного плея;
вычислить ценность совершенной информации и объяснить, почему она — верхний предел цены любых данных;
пересчитать вероятность по несовершенным данным формулой Байеса и найти ценность исследования с заданными вероятностями обнаружения и ложного сигнала;
решить, стоит ли покупать информацию, с учётом её цены, срока получения и отношения компании к риску.

Решения во времени: зачем нужно дерево

Решения в разведке и разработке редко бывают одиночными. Компания решает, покупать ли сейсморазведку; по её результатам — бурить ли поисковую скважину; после открытия — оценивать ли залежь или сразу разрабатывать; после сухой скважины — бурить ли соседний проспект. Между решениями происходят события, которые от компании не зависят: есть ли в ловушке нефть, каков объём залежи, что покажут данные.

Дерево решений записывает такую задачу целиком. Слева — первое решение, вправо время идёт вперёд: каждое следующее решение стоит после тех событий, исход которых к нему уже будет известен. Масштаба времени у дерева нет, важен только порядок. По сути, это развёрнутая во времени матрица исходов (матрица исходов и правила выбора): в матрице одно решение и одно случайное событие, в дереве — их последовательность.

Дерево отвечает на три вопроса. Какая стратегия лучшая — не отдельный шаг, а план действий на все исходы. Сколько она стоит в среднем — её ожидаемая денежная стоимость (Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений). И сколько стоит узнать что-то до решения — ценность информации.

Порядок важнее чисел

Самая частая ошибка — поставить событие раньше решения, которое на деле принимают, не зная его исхода. Например, нарисовать «размер залежи» перед решением о разработке, хотя без оценочной скважины размер выяснится только по добыче. Такое дерево молча дарит компании бесплатную и безошибочную информацию и завышает стоимость проекта. Проверка простая: у каждого узла решения спросите, что к этому моменту известно на самом деле.

Элементы дерева и правила построения

Узел решения (decision node): Квадрат. Ветви — возможные действия; выбирает между ними тот, кто принимает решение. Дерево начинается с узла решения: если выбора нет, считать нечего.
Узел случая (chance node): Круг. Ветви — взаимоисключающие исходы события, которое от решения не зависит: открытие или сухая скважина, большой или малый объём, положительный или отрицательный ответ исследования. У каждой ветви — вероятность; в сумме они дают единицу.
Конец пути (end node): Треугольник. Путь от корня до конца — одна возможная история проекта; её итог — сумма всех денежных потоков вдоль пути.
Ветвь: Несёт поток денег, который возникает, если по ней пойти: затраты на скважину или исследование — со знаком минус, стоимость открытия — со знаком плюс.

Числа на дереве подчиняются тем же правилам, что и исходы в расчёте EMV (EMV как среднее по исходам), и нескольким своим.

Одна дата и одни деньги. Все потоки приводят к дате первого решения по одной ставке; поздние события дисконтируют на время, которое пройдёт до них (начало отсчёта NPV).
Только будущие потоки. Уже потраченное в дерево не входит: на выбор оно не влияет.
Условные вероятности. Вероятность исхода зависит от пути, который привёл к узлу. Скважина на соседнем проспекте имеет разные шансы после открытия и после сухой скважины на первом — это разные узлы с разными числами.
Полнота. Ветви узла случая исключают друг друга и охватывают все возможности; ветви узла решения — все разумные действия, включая отказ.
Информация — только из прошлого. Решение может зависеть лишь от исходов, расположенных левее него на том же пути.

Свёртка дерева: от концов к корню

Дерево решают справа налево — от концов путей к первому решению. Этот способ называют свёрткой (rolling back); в теории решений — обратной индукцией. Логика простая: чтобы оценить решение сегодня, нужно знать, как вы поступите завтра в каждом из возможных положений, а завтрашние решения лучше всего видны с конца.

Порядок свёртки

1
Узел случая
Заменяют ожидаемым значением: сумма по ветвям вероятности, умноженной на поток ветви плюс значение узла, к которому ветвь ведёт.
2
Узел решения
Заменяют значением лучшей ветви — потоком ветви плюс значением следующего узла; остальные ветви отсекают (на схеме их перечёркивают).
3
Очерёдность
Узел считают, когда посчитаны все узлы правее него. Значение корня — EMV лучшей стратегии.
4
Стратегия
Выбранные ветви во всех узлах решения вместе — это стратегия: какое действие выбрать сейчас и что делать после каждого возможного исхода.

Значения узлов при свёртке

x_\text{сл} = \sum_{j} p_j\,(c_j + x_j), \qquad x_\text{реш} = \max_{k}\,(c_k + x_k)

где:

$x_\text{сл}$ значение узла случая — ожидаемый итог всего, что последует за ним, млн долл.
$x_\text{реш}$ значение узла решения — то же при лучшем действии, млн долл.
$p_j$ вероятность $j$ -й ветви узла случая при условии пути, который привёл к узлу, доли единицы
$c_j,\ c_k$ денежный поток на ветви на дату первого решения; затраты — со знаком минус, млн долл.
$x_j,\ x_k$ значение узла, к которому ведёт ветвь; у конца пути — ноль, млн долл.

Единицы: млн долл. на дату первого решения (любые единицы, одинаковые для всего дерева)

Справедливо, если

отношение к риску нейтральное: узел случая оценивают по EMV; как учесть несклонность к риску — в углублённой части;
все потоки приведены к одной дате по одной ставке и в одних деньгах;
вероятности каждого узла случая в сумме дают единицу и учитывают всё, что известно на пути к нему;
в каждом узле решения выбирают только по тому, что к этому моменту уже известно.

Значение корня — EMV лучшей стратегии: итоги всех путей, взвешенные по вероятностям путей (произведениям вероятностей вдоль пути), при лучшем действии в каждом узле решения. Ставить потоки на ветви или сразу складывать итог каждого пути — всё равно: результат один.

Пример продолжает уроки о геологическом риске и об EMV. В неопробованном сегменте плея два проспекта. Вероятность того, что плей работает, — 0,6; локальные элементы каждого проспекта срабатывают с вероятностью 0,5 (числа условные и круглые), так что у каждого $P_g = 0{,}30$ (общий и локальный риск). Проспект A — тот, что в уроке об EMV; проспект B меньше. Результат первой скважины говорит о плее и меняет шансы второй. В уроке о геологическом риске тот же $P_g \approx 0{,}30$ был разложен как $0{,}56\cdot0{,}54$ ; здесь взяты круглые числа, чтобы проспект A в точности совпал с проспектом урока об EMV. Разложение не безразлично: от него зависит, насколько сильно результат одной скважины меняет шансы соседней.

Расчётный примерДва проспекта одного плея: обе скважины сразу или одну за другой

Исходные данные (условные)

Сегмент плея: $P_\text{пл} = 0{,}6$ , у каждого проспекта $P_\text{лок} = 0{,}5$ , то есть $P_g = 0{,}30$
Проспект A: открытие стоит $V_A = 91{,}03$ млн долл. на дату решения; скважина $C = 12$ млн долл.
Проспект B: добыча на 20 % ниже базовой при тех же затратах: NPV разработки 49,58 млн долл., на дату решения $V_B = 45{,}07$ млн долл.; скважина тоже 12 млн долл.
Время: результат первой скважины известен до решения о второй; ожидание ничего не стоит

Решение

Шансы второго проспекта после первой скважины. Открытие доказывает плей: остаётся локальный риск, 0,5. После сухой скважины плей работает с вероятностью $0{,}6\cdot(1 - 0{,}5)/(1 - 0{,}3) = 0{,}4286$ , и шанс соседа — $0{,}4286\cdot0{,}5 = 0{,}2143$ .
Узлы решения о B после скважины A. После открытия на A: $0{,}5\cdot45{,}07 - 12 = 10{,}54$ млн долл. — бурить. После сухой: $0{,}2143\cdot45{,}07 - 12 = -2{,}34$ — не бурить, значение узла 0.
Узел случая скважины A и ветвь «A первой»: $0{,}3\cdot(91{,}03 + 10{,}54) + 0{,}7\cdot0 - 12 = 18{,}47$ млн долл.
Ветвь «B первой»: после сухой скважины на B бурить A всё ещё выгодно — $0{,}2143\cdot91{,}03 - 12 = 7{,}51$ млн долл. Результат B решения по A не меняет, и ветвь стоит столько же, сколько бурение обеих сразу: $0{,}3\cdot91{,}03 + 0{,}3\cdot45{,}07 - 24 = 16{,}83$ млн долл.
Сравнение в корне: A первой — 18,47; B первой или обе сразу — 16,83; не бурить — 0. Выигрыш от порядка — 1,64 млн долл.: это вероятность сухой скважины на A, умноженная на убыток от B, которого удалось избежать, $0{,}7\cdot2{,}34 \approx 1{,}64$ .

Ответ: Лучшая стратегия: бурить A, а B — только если A откроет залежь. Её EMV 18,47 млн долл. против 16,83 при бурении обеих сразу.

Что это значит. По отдельности оба проспекта выгодны (EMV 15,31 и 1,52 млн долл.), и бурение обоих сразу просто складывает их EMV. Но B выгоден лишь чуть-чуть, и сухая скважина на A делает его убыточным. Дождавшись результата A, компания бурит B только тогда, когда он того стоит. Начинать с B нет смысла: его результат решения по A не меняет — A выгоден при любом исходе. Отсюда правило: из проспектов одного плея первым бурят тот, что выгоден при любом исходе соседей, а его результатом решают судьбу более сомнительных. Данные примера условные.

СхемаДерево примера после свёртки: числа у узлов — их значения, млн долл.; отсечённые ветви перечёркнуты. Справа — итоги путей (сумма потоков вдоль пути); у свёрнутых вариантов «обе сразу или B первой» и «не бурить» — их EMV. Лучшая стратегия — 18,47 млн долл.

Что меняется, если…

…ожидание результата первой скважины стоит денег — простой буровой установки, её повторная мобилизация, сдвиг всего графика. Если это дороже 1,64 млн долл., выгоднее бурить обе сразу;
…плей уже доказан ( $P_\text{пл} = 1$ ): результат одной скважины ничего не говорит о другой, и порядок бурения не создаёт стоимости;
…проспект B крупнее — его открытие стоит больше $12/0{,}2143 \approx 56$ млн долл. Тогда B выгодно бурить даже после сухой скважины на A, решение о нём от результата A не зависит, и ценность очерёдности пропадает.

Здесь же видна разница между EMV и риском. Бурение обеих скважин сразу и бурение B первой дают одинаковую EMV, но EMV не показывает, что при одновременном бурении обе скважины окажутся сухими с вероятностью 0,55 — их неудачи связаны общим риском плея (зависимые проспекты). Если такой исход для компании опасен, сравнивать стратегии нужно и по разбросу результатов, и по эквиваленту определённости (отношение к риску).

Ценность совершенной информации

Представим «ясновидящего» (clairvoyant) — источник, который безошибочно сообщает до решения о бурении, есть ли в ловушке залежь. Сколько стоило бы его выслушать? Ответ — ценность совершенной информации (expected value of perfect information, EVPI): разность между EMV решения, принятого после такого сообщения, и EMV лучшего решения без него.

Ценность совершенной информации

\mathrm{EVPI} = \sum_{i} P(\theta_i)\,\max_{k}\,\mathrm{NPV}_{k}(\theta_i) - \max_{k} \sum_{i} P(\theta_i)\,\mathrm{NPV}_{k}(\theta_i)

где:

$\theta_i$ состояние природы — например, «залежь есть» и «залежи нет», —
$P(\theta_i)$ вероятность состояния до получения информации, доли единицы
$\mathrm{NPV}_{k}(\theta_i)$ NPV действия $k$ при состоянии $\theta_i$ на дату решения, млн долл.
$\max_k$ выбор лучшего действия; среди действий всегда есть отказ с NPV, равным нулю, —

Единицы: млн долл. на дату решения

Справедливо, если

состояние становится известным до решения и без ошибок;
информация бесплатна и не задерживает решение — её цену и срок учитывают отдельно;
отношение к риску нейтральное.

Первое слагаемое — среднее по состояниям природы лучшего результата при известном состоянии, второе — лучший средний результат без такого знания. Выбирать после того, как состояние стало известным, никогда не хуже, чем до этого, поэтому EVPI не бывает отрицательной. Это потолок: несовершенные данные о тех же состояниях стоят меньше, и платить за них больше EVPI бессмысленно.

Ценность совершенной информации для решения о бурении

\mathrm{EVPI} = \min\{(1 - P_g)\,C,\; P_g\,(V - C)\}

где:

$P_g$ вероятность успеха до информации, доли единицы
$V$ стоимость открытия на дату решения — NPV его разработки без затрат на скважину, млн долл.
$C$ стоимость скважины, млн долл.

Единицы: млн долл. на дату решения

Справедливо, если

два исхода — открытие стоимостью $V$ или сухая скважина; $V > C$ ;
без информации выбирают лучшее из «бурить» ( $P_g V - C$ ) и «отказаться» (0).

Если без информации бурить выгодно, ясновидящий избавляет от сухих скважин: выигрыш — их ожидаемая стоимость $(1 - P_g)\,C$ . Если выгоднее отказаться, он возвращает упущенные открытия: $P_g\,(V - C)$ . Оба числа — ожидаемые «сожаления» двух действий, то есть ожидаемые разности с лучшим действием при известном исходе (матрица сожалений); EVPI равна сожалению лучшего из них.

Расчётный примерСколько стоит знать заранее, есть ли залежь

Исходные данные (условные)

Проспект: из урока об EMV: $P_g = 0{,}30$ , $V = 91{,}03$ млн долл., $C = 12$ млн долл.
Информация: безошибочная, бесплатная и мгновенная (мысленный эксперимент)

Решение

Без информации бурить выгодно: $0{,}3\cdot91{,}03 - 12 = 15{,}31$ млн долл.
С информацией бурят только там, где есть залежь: с вероятностью 0,3 — $91{,}03 - 12 = 79{,}03$ млн долл., с вероятностью 0,7 — ничего не тратят. EMV $= 0{,}3\cdot79{,}03 = 23{,}71$ млн долл.
EVPI $= 23{,}71 - 15{,}31 = 8{,}40$ млн долл. — ровно ожидаемая стоимость сухих скважин, от которых избавляет информация: $0{,}7\cdot12 = 8{,}40$ .
Проверка через сожаления: если бурить, в 70 % случаев жалеть о 12 млн долл. — $8{,}40$ ; если отказаться, в 30 % случаев жалеть об упущенных 79,03 млн — $23{,}71$ . Меньшее из сожалений — 8,40.

Ответ: EVPI ≈ 8,40 млн долл.: никакие данные о том, есть ли в этой ловушке залежь, не стоят дороже.

Что это значит. EVPI зависит от того, насколько решение близко к безубыточности. При $P_g = 0{,}6$ бурить выгодно с большим запасом, сухие скважины редки, и EVPI падает до 4,80 млн долл. Наибольшая она — 10,42 млн долл. — при вероятности, равной безубыточной ( $P_g^{*} = C/V = 0{,}132$ ): там без информации всё равно, бурить или нет, и любое знание определяет решение. EVPI — быстрая верхняя оценка до всяких расчётов надёжности: если исследование стоит дороже, считать его ценность подробнее незачем. Данные примера условные.

Несовершенная информация и формула Байеса

Ясновидящих не бывает. Реальные данные — сейсморазведка, анализ сейсмических амплитуд, геохимическая съёмка, оценочная скважина — ошибаются в обе стороны: пропускают часть залежей и «находят» часть пустых ловушек. Ложный признак может дать, например, газ низкой насыщенности или плотный пропласток, а настоящая залежь в тонком или глубоком пласте может никак не проявиться в записи.

Обычно известно, как данные отвечают при каждом состоянии природы: над какой долей залежей признак появляется — вероятность обнаружения $P(+\mid H)$ — и над какой долей пустых ловушек — вероятность ложного сигнала $P(+\mid \bar H)$ . Здесь $H$ — событие «залежь есть», $\bar H$ — «залежи нет», знак $+$ — положительный ответ. Эти числа получают по прошлым случаям — скважинам, пробуренным на объекты с признаком и без него, — и моделированием. А для решения нужна обратная вероятность: залежи при условии ответа, $P(H\mid +)$ . Переход от одной к другой и делает формула Байеса (Bayes' theorem).

Формула Байеса для положительного ответа

P(H\mid +) = \frac{P(+\mid H)\,P_g}{P(+\mid H)\,P_g + P(+\mid \bar H)\,(1 - P_g)}

где:

$P(H\mid +)$ апостериорная вероятность залежи — после положительного ответа, доли единицы
$P_g$ априорная вероятность залежи — до данных, $P(H)$ , доли единицы
$P(+\mid H)$ вероятность положительного ответа над залежью — вероятность обнаружения, доли единицы
$P(+\mid \bar H)$ вероятность положительного ответа над пустой ловушкой — вероятность ложного сигнала, доли единицы

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

события $H$ и $\bar H$ исключают друг друга и охватывают все возможности;
вероятности обнаружения и ложного сигнала относятся к объектам того же типа, что и оцениваемый: признак, надёжный в одном плее, может ничего не значить в другом;
для отрицательного ответа формула та же, с $P(-\mid H) = 1 - P(+\mid H)$ и $P(-\mid \bar H) = 1 - P(+\mid \bar H)$ .

Знаменатель — полная вероятность положительного ответа $P(+)$ : он складывается из верных ответов над залежами и ложных над пустыми ловушками. Числитель — его часть, пришедшаяся на залежи. Чем реже встречаются залежи (чем меньше $P_g$ ), тем большую долю положительных ответов составляют ложные — даже у хорошего метода.

Формулу легче всего понять на «естественных частотах»: вместо вероятностей представим много одинаковых проспектов и пересчитаем их.

РасчётФормула Байеса в частотах: 1000 проспектов с

P_g = 0{,}30

до исследования (вверху) и после него (внизу), сгруппированные по ответу. Залежь есть в 255 из 465 проспектов с признаком и в 45 из 535 без него.

Расчётный примерИсследование перед бурением: пересчёт вероятности и ценность

Исходные данные (условные)

Проспект: $P_g = 0{,}30$ , $V = 91{,}03$ млн долл., $C = 12$ млн долл.; без данных EMV бурения 15,31 млн долл.
Исследование: признак появляется над 85 % залежей и над 30 % пустых ловушек: $P(+\mid H) = 0{,}85$ , $P(+\mid \bar H) = 0{,}30$
Цена исследования: 1,5 млн долл.; результат известен до решения о бурении

Решение

Из 1000 таких проспектов залежь есть в 300: над 255 из них признак появится, над 45 — нет. Из 700 пустых ловушек признак «найдёт» залежь над 210, промолчит над 490.
Признак появится в $255 + 210 = 465$ случаях из 1000, и залежь среди них — в 255: $P(H\mid +) = 255/465 = 0{,}5484$ . Без признака — 535 случаев, залежь в 45: $P(H\mid -) = 45/535 = 0{,}0841$ .
Решения после ответа. Признак есть: $0{,}5484\cdot91{,}03 - 12 = 37{,}92$ млн долл. — бурить. Признака нет: $0{,}0841\cdot91{,}03 - 12 = -4{,}34$ — не бурить: вероятность ниже безубыточной 0,132.
EMV с исследованием, без его цены: $0{,}465\cdot37{,}92 + 0{,}535\cdot0 = 17{,}63$ млн долл. Ценность исследования: $17{,}63 - 15{,}31 = 2{,}32$ млн долл.
За вычетом цены: $2{,}32 - 1{,}5 = 0{,}82$ млн долл. > 0 — исследование стоит заказать.

Ответ: Исследование поднимает EMV решения с 15,31 до 17,63 млн долл. до вычета своей цены: за него стоит платить не больше 2,32 млн долл.; при цене 1,5 млн чистый выигрыш — 0,82 млн.

Что это значит. Ценность исследования в 3,6 раза меньше EVPI (8,40 млн долл.), потому что оно ошибается в обе стороны. На 1000 проспектов отрицательный ответ избавляет от 490 сухих скважин, но заставляет пропустить 45 открытий, а ложный признак всё равно ведёт к 210 сухим скважинам. Обратите внимание, откуда берётся ценность: не от положительного ответа (бурить решили бы и без него), а от отрицательного — он меняет решение. Данные примера условные.

«Надёжность 85 %» — какая из вероятностей?

Фраза «метод надёжен на 85 %» может означать вероятность обнаружения ( $P(+\mid H) = 0{,}85$ ), долю верных ответов среди всех или вероятность залежи после положительного ответа ( $P(H\mid +) = 0{,}85$ ). Это разные числа: в примере при вероятности обнаружения 0,85 залежь после положительного ответа есть лишь с вероятностью 0,55. Прежде чем строить дерево, выясните, что именно измерено, и запросите оба числа — для залежей и для пустых ловушек.

Пересчитанные вероятности в среднем равны исходной: $0{,}465\cdot0{,}5484 + 0{,}535\cdot0{,}0841 = 0{,}30$ . Данные не повышают шансы «в среднем» — они раздвигают оценку в обе стороны (то же после сухой скважины). Ценность данных — не в росте вероятности, а в лучших решениях: после отрицательного ответа можно не бурить.

Когда информацию стоит покупать

Общее определение. Ценность информации (value of information, VOI) — разность между EMV решения, принятого после получения данных, и EMV лучшего решения без них. Обе величины считают с правом отказаться от проекта; цену данных из первой не вычитают — VOI и есть наибольшая цена, которую за них стоит платить. Разность VOI и цены — чистый выигрыш от покупки.

Ценность информации

\mathrm{VOI} = \sum_{r} P(r)\,\max_{k}\,\mathrm{EMV}_k(r) - \max_{k}\,\mathrm{EMV}_k

где:

$r$ возможный результат данных, например положительный или отрицательный ответ, —
$P(r)$ вероятность получить результат $r$ , доли единицы
$\mathrm{EMV}_k(r)$ EMV действия $k$ с вероятностями, пересчитанными после результата $r$ , млн долл.
$\mathrm{EMV}_k$ EMV действия $k$ без данных; среди действий есть отказ с EMV, равной нулю, млн долл.

Единицы: млн долл. на дату решения

Справедливо, если

цена данных не вычтена: VOI сравнивают с ценой;
данные не задерживают решение; если задерживают, первое слагаемое дисконтируют на время задержки;
отношение к риску нейтральное.

VOI не бывает отрицательной — полученными данными можно и не пользоваться — и не превышает EVPI. Она равна нулю, если при любом результате данных лучшее действие остаётся тем же.

Ценность исследования перед бурением

\mathrm{VOI} = (1 - P_g)(1 - f)\,C - P_g\,(1 - s)\,(V - C)

где:

$s$ вероятность обнаружения $P(+\mid H)$ , доли единицы
$f$ вероятность ложного сигнала $P(+\mid \bar H)$ , доли единицы
$P_g,\ V,\ C$ вероятность успеха до данных, стоимость открытия и стоимость скважины, —, млн долл.

Единицы: млн долл. на дату решения

Справедливо, если

без данных бурить выгодно; после положительного ответа бурят, после отрицательного — нет (если ни один ответ не меняет решения, VOI = 0);
при $s = 1$ и $f = 0$ формула переходит в EVPI $= (1 - P_g)\,C$ .

Первое слагаемое — сухие скважины, от которых избавляет отрицательный ответ; второе — открытия, которые он заставляет пропустить. В примере: $0{,}7\cdot0{,}7\cdot12 - 0{,}3\cdot0{,}15\cdot79{,}03$ $= 5{,}88 - 3{,}56 = 2{,}32$ млн долл. Исследование ценно, пока первое слагаемое больше второго.

Ценность совершенной информации и исследования при разной априорной вероятности, млн долл.

$P_g$: 0,05
Без данных: не бурить: 0
EVPI: 3,95
Исследование: 0,00

$P_g$: 0,10
Без данных: не бурить: 0
EVPI: 7,90
Исследование: 3,48

$P_g$: 0,20
Без данных: бурить: 6,21
EVPI: 9,60
Исследование: 4,35

$P_g$: 0,30
Без данных: бурить: 15,31
EVPI: 8,40
Исследование: 2,32

$P_g$: 0,40
Без данных: бурить: 24,41
EVPI: 7,20
Исследование: 0,30

$P_g$: 0,50
Без данных: бурить: 33,52
EVPI: 6,00
Исследование: 0,00

$P_g$	Без данных	EVPI	Исследование
0,05	не бурить: 0	3,95	0,00
0,10	не бурить: 0	7,90	3,48
0,20	бурить: 6,21	9,60	4,35
0,30	бурить: 15,31	8,40	2,32
0,40	бурить: 24,41	7,20	0,30
0,50	бурить: 33,52	6,00	0,00

$V = 91{,}03$ млн долл., $C = 12$ млн долл.; исследование: $s = 0{,}85$ , $f = 0{,}30$ . Безубыточная вероятность $C/V = 0{,}132$ . Данные примера условные.

РасчётЦенность совершенной информации и исследования в зависимости от априорной вероятности успеха. Обе наибольшие при безубыточной вероятности 0,13; исследование имеет ценность только при

P_g

от 0,051 до 0,41, а свою цену 1,5 млн долл. окупает при

P_g

от 0,07 до 0,34.

Таблица и график показывают, где данные стоят денег. При $P_g = 0{,}05$ даже положительный ответ оставит вероятность ниже безубыточной, при $P_g = 0{,}5$ даже отрицательный — выше: исследование не изменит решения, и его ценность — ноль, хотя EVPI в обоих случаях заметна. Наибольшей ценность становится у границы, при $P_g \approx 0{,}13$ , где без данных всё равно, бурить или нет.

Данные должны быть способны изменить решение. Если при любом их результате вы поступите одинаково, их ценность — ноль, даже если они уменьшают неопределённость. Для решения о бурении ответ должен уметь перевести вероятность через безубыточную $C/V$ .
Не дороже EVPI. Несовершенные данные стоят не больше совершенных; EVPI — быстрая верхняя оценка, которую можно получить до всяких расчётов надёжности.
Сравнивать с лучшей альтернативой. Без данных можно и отказаться от проекта. Для проспекта ниже безубыточности ценность данных — это вся EMV варианта «с данными», а не её разность с убыточным бурением.
Время — тоже цена. Пока данные собирают, все исходы проекта отодвигаются, и задержку дисконтируют вместе с ними — пример ниже.
Ценность — в среднем. Конкретный результат может и разочаровать — понизить оценку. Это не значит, что за данные переплатили: они уберегли от худшего решения.

До сих пор информация приходила мгновенно. Оценочная скважина после открытия даёт сведения о размере залежи, но разработку на время её бурения и испытания приходится отложить. В уроке об EMV малое открытие просто не разрабатывали, то есть считали его размер известным до решения о разработке; пример ниже показывает, чего такое знание стоит.

Расчётный примерОценочная скважина или сразу разработка

Исходные данные (условные)

Открытие: размер неизвестен: ×0,5 базовой добычи с вероятностью 0,3; ×1 — 0,5; ×1,5 — 0,2, как в уроке об EMV
NPV разработки: −26,40; 100,13 и 226,51 млн долл.; решение о разработке принимают в начале отсчёта NPV проекта
Оценочная скважина: безошибочно покажет размер; разработка откладывается на год или на полгода; стоимость скважины пока не учитываем

Решение

Разрабатывать сразу, не зная размера: $0{,}3\cdot(-26{,}40) + 0{,}5\cdot100{,}13 + 0{,}2\cdot226{,}51$ $= 87{,}45$ млн долл.
Если бы размер стал известен сразу и бесплатно, малую залежь не разрабатывали бы: $0{,}5\cdot100{,}13 + 0{,}2\cdot226{,}51 = 95{,}37$ млн долл. Ценность совершенной информации — 7,92 млн: ровно убыток малого варианта, $0{,}3\cdot26{,}40$ .
Скважина откладывает всё на год: $95{,}37/1{,}1 = 86{,}70$ млн долл. — меньше, чем 87,45 без неё, даже если она бесплатна.
На полгода: $95{,}37/\sqrt{1{,}1} = 90{,}93$ млн долл.; выигрыш $90{,}93 - 87{,}45 = 3{,}48$ млн — столько можно заплатить за скважину.

Ответ: Год ожидания стоит больше, чем знание размера: оценка с такой задержкой невыгодна. Оценочная скважина, которая задержит решение на полгода, оправдана, если стоит меньше 3,48 млн долл.

Что это значит. Задержка дисконтирует все исходы проекта — и хорошие тоже: год стоит здесь около 8,7 млн долл., а совершенная информация возвращает только 7,92 млн, избавляя от малого варианта. Пример намеренно упрощён в две стороны. Реальная оценочная скважина ошибается, и её ценность ниже. Зато в примере план разработки один для всех размеров, а на деле знание размера позволяет выбрать число скважин и мощность установки — это добавляет ценности оценке (Геологическая и техническая неопределённость проекта). Сокращают задержку тем, что оценку ведут параллельно с проектированием или начинают разработку поэтапно. Данные примера условные.

Термины и обозначения

Дерево решений: схема последовательной задачи выбора: узлы решения и узлы случая, ветви с потоками денег и вероятностями, итоги путей (decision tree).
Узел решения, узел случая: квадрат — выбор того, кто решает; круг — исход, который определяет природа (decision node, chance node).
Свёртка дерева: расчёт справа налево: EMV в узлах случая, лучшая ветвь в узлах решения (rolling back).
Стратегия: выбранные действия во всех узлах решения: что делать сейчас и после каждого возможного исхода.
Априорная и апостериорная вероятность: вероятность события до данных и после них; связаны формулой Байеса.
Вероятность обнаружения $s$ , ложного сигнала $f$: доля залежей, над которыми данные дают положительный ответ, и доля пустых ловушек, над которыми дают его ошибочно.
EVPI: ценность совершенной информации: прирост EMV, если исход стал бы известен заранее без ошибок; верхний предел цены данных (expected value of perfect information).
VOI: ценность информации: прирост EMV от данных, полученных до решения; наибольшая цена, которую за них стоит платить (value of information).

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Вероятность открытия после положительного ответа — 85 %: такова надёжность исследования».

На самом деле

85 % — вероятность положительного ответа над залежью. Вероятность залежи после положительного ответа зависит ещё от априорной вероятности и доли ложных сигналов: в примере урока — 0,55.

Неверно

«Данные ценны тем, что повышают вероятность успеха».

На самом деле

В среднем вероятность после данных равна вероятности до них: в примере 0,465 · 0,5484 + 0,535 · 0,0841 = 0,30. Ценность данных — только в решениях, которые они меняют.

Неверно

«Ценность исследования — разность EMV с исследованием и EMV бурения без него».

На самом деле

Без исследования можно и не бурить. Для проспекта ниже безубыточности бурение без данных убыточно, и сравнивать нужно с отказом (EMV = 0); иначе ценность данных окажется завышенной на величину этого убытка.

Неверно

«Размер залежи узнаем после открытия, значит, в дереве он стоит перед решением о разработке».

На самом деле

Только если между открытием и решением есть оценка, которая этот размер покажет, — со своей ценой и задержкой. Иначе дерево даёт себе бесплатную совершенную информацию и завышает стоимость открытия.

Неверно

«Порядок бурения проспектов не важен: их EMV просто складываются».

На самом деле

Складываются EMV программы, которую бурят целиком. Если результат первой скважины может изменить решение о второй, очерёдность создаёт стоимость: в примере урока 18,47 млн долл. против 16,83.

Подробно: для продвинутых

Формула Байеса в форме шансов

Формулу Байеса удобно записывать через шансы (odds) — отношение вероятности события к вероятности противоположного. Вероятности 0,3 отвечают шансы $0{,}3/0{,}7 \approx 0{,}43$ , то есть «3 к 7».

Формула Байеса в форме шансов

\frac{P(H\mid r)}{P(\bar H\mid r)} = \frac{P_g}{1 - P_g}\cdot\frac{P(r\mid H)}{P(r\mid \bar H)}

где:

$r$ полученный результат: положительный или отрицательный ответ, —
$\dfrac{P(r\mid H)}{P(r\mid \bar H)}$ отношение правдоподобия (likelihood ratio, LR): во сколько раз такой результат вероятнее над залежью, чем над пустой ловушкой, —
$P_g$ априорная вероятность залежи, доли единицы

Единицы: безразмерная

Справедливо, если

те же, что для формулы Байеса;
для нескольких признаков отношения правдоподобия перемножают, только если признаки независимы при каждом состоянии природы — два атрибута одной и той же сейсмической записи обычно зависимы.

Шансы после данных — это шансы до данных, умноженные на отношение правдоподобия. Результат с LR больше единицы повышает вероятность, меньше единицы — понижает, равный единице ничего не сообщает. Хорошее исследование — то, у которого LR положительного ответа велико, а отрицательного — мало.

Расчётный примерПересчёт шансов и границы полезности исследования

Исходные данные (условные)

Априорная вероятность: 0,30
Исследование: $P(+\mid H) = 0{,}85$ , $P(+\mid \bar H) = 0{,}30$
Безубыточная вероятность бурения: $C/V = 0{,}131824$

Решение

Априорные шансы: $0{,}3/0{,}7 = 0{,}4286$ . LR положительного ответа: $0{,}85/0{,}30 = 2{,}833$ ; отрицательного: $0{,}15/0{,}70 = 0{,}21429$ .
После признака: шансы $0{,}4286\cdot2{,}833 = 1{,}214$ , вероятность $1{,}214/(1 + 1{,}214) = 0{,}548$ . Без признака: шансы $0{,}4286\cdot0{,}21429 = 0{,}0918$ , вероятность 0,0841.
Границы полезности. Безубыточной вероятности отвечают шансы 0,15184. Положительный ответ поднимает до них априорные шансы $0{,}15184/2{,}833 = 0{,}0536$ , то есть $P_g = 0{,}051$ ; отрицательный опускает до них шансы $0{,}15184/0{,}21429 = 0{,}7086$ , то есть $P_g = 0{,}415$ .

Ответ: Исследование может изменить решение — и потому имеет ценность — только для проспектов с

P_g

от 0,051 до 0,415.

Что это значит. Ниже нижней границы даже положительный ответ не делает бурение выгодным, выше верхней даже отрицательный не делает его убыточным. Два независимых при каждом состоянии природы признака перемножили бы отношения правдоподобия: два положительных ответа дали бы шансы $0{,}4286\cdot2{,}833^2 = 3{,}44$ и вероятность 0,77. Данные примера условные.

Дерево и отношение к риску

Свёртка по EMV предполагает нейтральное отношение к риску. Несклонная к риску компания оценивает узлы случая по ожидаемой полезности или, что удобнее, по эквиваленту определённости (функция полезности и эквивалент определённости). С экспоненциальной функцией полезности свёртку можно вести прямо в эквивалентах определённости: прибавка гарантированной суммы ко всем исходам прибавляет её и к эквиваленту, поэтому значение узла заменяет его лотерею без искажений. Для других функций полезности сворачивают ожидаемую полезность итогов путей.

Расчётный примерИсследование для небольшой компании

Исходные данные (условные)

Компания: толерантность к риску $R = 30$ млн долл., экспоненциальная функция полезности
Проспект и исследование: как в примере выше: $P_g = 0{,}30$ , $V = 91{,}03$ , $C = 12$ млн долл.; $s = 0{,}85$ , $f = 0{,}30$

Решение

Без исследования эквивалент определённости бурения −1,91 млн долл. меньше нуля: компания откажется от проспекта, значение решения — 0.
С исследованием компания бурит только после признака: эквивалент определённости бурения после него 10,14 млн долл. > 0.
Исходы стратегии «исследование, затем решение»: открытие (+79,03 млн долл.) с вероятностью 0,255, сухая скважина (−12) — 0,21, отказ после отрицательного ответа (0) — 0,535. Эквивалент определённости — 4,30 млн долл. без цены исследования.
Цена исследования 1,5 млн долл. уменьшает эквивалент ровно на эту сумму: 2,80 млн долл.

Ответ: Для небольшой компании исследование стоит до 4,30 млн долл. — больше, чем для нейтральной к риску (2,32 млн): оно превращает неприемлемую ставку в приемлемую.

Что это значит. Нейтральная к риску компания без данных бурила бы, и исследование меняет её решение только после отрицательного ответа. Несклонная к риску без данных отказалась бы от проспекта; с данными она бурит в 46,5 % случаев и при этом гораздо реже теряет 12 млн долл. на сухой скважине — исследование меняет её решение и после положительного ответа. Поэтому для небольших компаний данные нередко ценнее, чем для крупных, — как и партнёры, разделяющие риск. Данные примера условные.

Большие деревья на практике

Дерево растёт быстро: десять последовательных событий с двумя исходами дают больше тысячи путей. На практике его держат обозримым несколькими приёмами.

Три ветви вместо распределения. Непрерывную неопределённость — объём, дебит, затраты — заменяют тремя ветвями P90, P50 и P10 с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,3 (три варианта вместо распределения).
Одинаковые поддеревья — один раз. Если после разных путей задача одна и та же (с теми же вероятностями), её сворачивают однажды и подставляют значение.
Модель в концах путей. Итог пути считают моделью денежного потока проекта (Модель денежного потока нефтегазового проекта), а не вручную.
Чувствительность стратегии. Ищут значения вероятностей и стоимостей, при которых лучшая стратегия меняется, — как граница 56 млн долл. для стоимости проспекта B в примере урока. Если такая граница близко к принятой оценке, решению нужны более точные данные.
Диаграммы влияния. Компактная запись той же задачи (influence diagram): узлы-величины и стрелки зависимостей без перечисления всех ветвей; её разворачивают в дерево для расчёта.

Дерево — способ оценить гибкость: возможность подождать, остановиться после неудачи, расширить проект после удачи. Ценность последовательной стратегии в примере с двумя проспектами — ценность именно такой гибкости. Имитационное моделирование (моделирование NPV) показывает разброс результата при заданной стратегии, но само лучшей стратегии не находит: решения, зависящие от промежуточных исходов, нужно задать в каждом испытании по логике дерева.

Связь с другими темами

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений — EMV, функция полезности и эквивалент определённости — числа, которыми сворачивают дерево.
Геологический риск и вероятность успеха — вероятность успеха, общий риск плея и пересчёт шансов соседних проспектов после скважины.
Геологическая и техническая неопределённость проекта — откуда берутся диапазоны объёмов, дебитов и затрат и как оценка сужает их.
Анализ чувствительности и сценарии — матрица исходов и сожаления, моделирование NPV.
Вероятностная оценка запасов методом Монте-Карло — распределение объёмов, из которого берут ветви P90, P50 и P10.
Снижение риска и диверсификация — партнёрство и портфель как другие способы снизить риск, кроме покупки данных.

Проверьте себя

1
Узел случая: с вероятностью 0,4 выигрыш 50 млн долл., с вероятностью 0,6 — убыток 15 млн. В том же узле решения есть гарантированный вариант 8 млн долл. Что выбрать по EMV и чему равно значение узла решения?
1. А.Рискованный вариант: 20 млн долл.
2. Б.Рискованный вариант: 17,5 млн долл.
3. В.Рискованный вариант: 11 млн долл.
4. Г.Гарантированный вариант: 8 млн долл.
Показать ответ
Правильный ответ: В. Рискованный вариант: 11 млн долл.
EMV рискованного варианта: $0{,}4\cdot50 + 0{,}6\cdot(-15) = 20 - 9 = 11$ млн долл. > 8, поэтому значение узла решения — 11. 17,5 — простое среднее двух исходов без вероятностей, 20 — выигрыш без учёта убытка. Несклонная к риску компания могла бы предпочесть гарантированные 8 млн — это решают по эквиваленту определённости.
2
У проспекта $P_g = 0{,}2$ , открытие стоит 70 млн долл., скважина — 9 млн. Чему равна ценность совершенной информации о том, есть ли залежь?
1. А.7,2 млн долл.
2. Б.14 млн долл.
3. В.5 млн долл.
4. Г.12,2 млн долл.
Показать ответ
Правильный ответ: А. 7,2 млн долл.
Без информации бурить выгодно: $0{,}2\cdot70 - 9 = 5$ млн долл. С информацией бурят только при залежи: $0{,}2\cdot(70 - 9) = 12{,}2$ млн. EVPI $= 12{,}2 - 5 = 7{,}2$ млн долл. — ожидаемая стоимость сухих скважин $0{,}8\cdot9$ . 5 — EMV без информации, 12,2 — EMV с ней.
3
Априорная вероятность залежи 0,2. Признак появляется над 90 % залежей и над 30 % пустых ловушек. Признак появился. Какова теперь вероятность залежи?
1. А.0,43
2. Б.0,75
3. В.0,20
4. Г.0,90
Показать ответ
Правильный ответ: А. 0,43
На 100 проспектов: 20 с залежью дают 18 положительных ответов, 80 пустых — 24 ложных. Из 42 положительных ответов верны 18: $18/42 \approx 0{,}43$ — меньше половины, хотя признак находит 90 % залежей. Ответ 0,90 путает вероятность обнаружения с вероятностью залежи после ответа; 0,75 — это $0{,}9/(0{,}9 + 0{,}3)$ , расчёт без учёта того, что пустых ловушек вчетверо больше, чем залежей; 0,20 — вероятность до ответа.
4
Исследование стоит 1 млн долл. Без него бурить выгодно, и после любого его ответа бурить всё равно выгодно. Сколько стоит это исследование для решения о бурении?
Показать ответ
Ноль. Информация ценна только тем, что может изменить решение; здесь при любом ответе компания поступит так же, как без исследования, и EMV решения не изменится. Исследование уточнит вероятность, но эту точность не во что вложить. Иное дело, если его результаты нужны для другого решения — например, где ставить скважину или как проектировать разработку: тогда ценность считают для того решения.
5
В одном плее два проспекта: крупный, выгодный при любом исходе соседа, и небольшой, выгодный только после открытия на соседе. Какой бурить первым и почему?
Показать ответ
Крупный. Его результат может изменить решение о небольшом: после сухой скважины небольшой проспект становится убыточным, и его не бурят. Результат небольшого решение о крупном не меняет — тот выгоден в любом случае, — поэтому начинать с небольшого значит отказаться от ценности информации. Выигрыш от правильной очерёдности сравнивают с ценой ожидания: простоем установки и задержкой проекта.
6
Почему ожидание результата оценочной скважины может уменьшить EMV проекта, даже если скважина бесплатна и безошибочна?
Показать ответ
Пока бурят и испытывают скважину, разработка откладывается, и задержка дисконтирует все исходы проекта, в том числе хорошие. Информация же окупается только там, где меняет решение, — например, избавляя от разработки малой залежи. В примере урока год ожидания уменьшает стоимость примерно на 8,7 млн долл., а знание размера возвращает 7,9 млн. Поэтому цена информации включает и время её получения.

Обновлено: 7 октября 2026 г.