Реология буровых растворов и режимы течения

Кратко о главном

Напряжение сдвига $\tau$ — сила трения между слоями жидкости на единицу площади (Па); скорость сдвига $\dot\gamma$ — быстрота изменения скорости поперёк потока (с⁻¹). Вязкость — их отношение; у ньютоновской жидкости она постоянна.
Буровые растворы разжижаются при сдвиге и не текут, пока напряжение мало. Их описывают моделями Бингама ( $\tau = \tau_0 + \eta_p\dot\gamma$ ), степенной ( $\tau = K\dot\gamma^n$ ) и Гершеля — Балкли ( $\tau = \tau_y + K\dot\gamma^n$ ).
Стандартный ротационный вискозиметр: скорость сдвига $1{,}703\,N$ с⁻¹ при $N$ об/мин, напряжение $0{,}511\,\theta$ Па на градус шкалы. Отсюда пластическая вязкость $\theta_{600} - \theta_{300}$ (мПа·с) и показатель $n = 3{,}32\lg(\theta_{600}/\theta_{300})$ .
Скорости сдвига в скважине различаются на порядки: в затрубье — десятки и сотни с⁻¹, в трубах — сотни и тысячи, в насадках долота — десятки тысяч. Параметры модели берут по показаниям в том диапазоне, который нужен.
Режим течения определяет число Рейнольдса, в которое для раствора подставляют эффективную вязкость, а для затрубья — гидравлический диаметр. В трубах течение обычно турбулентное, в затрубье — ламинарное.
В ламинарном потоке в затрубье потери давления и ЭЦП сильно зависят от динамического напряжения сдвига (ДНС); в турбулентном потоке в трубах — от подачи, плотности и диаметра, а реология влияет слабо.

Ключевые соотношения

\tau = \eta\,\dot\gamma

ньютоновская жидкость

\tau = \tau_0 + \eta_p\,\dot\gamma

модель Бингама (вязкопластичная жидкость)

\tau = \tau_y + K\,\dot\gamma^{\,n}

модель Гершеля — Балкли; при $\tau_y = 0$ — степенная модель

\text{Re} = \dfrac{\rho\,v\,d}{\mu_{\text{эф}}}

число Рейнольдса; в затрубье вместо $d$ — гидравлический диаметр $D - d$

\rho_{ECD} = \rho_m + \dfrac{\Delta p_{\text{тр}}}{g\,h}

эквивалентная циркуляционная плотность на глубине $h$

Где чаще всего ошибаются

Сравнивать пластическую вязкость и ДНС, измеренные при разной температуре: при нагреве вязкость раствора заметно падает.
Считать ДНС напряжением, при котором раствор начинает течь: это продолжение прямой, и реальный предел текучести обычно заметно меньше.
Брать параметры степенной модели, найденные по 600 и 300 об/мин, для расчёта затрубья, где скорости сдвига в несколько раз меньше.
Считать число Рейнольдса раствора по пластической вязкости вместо эффективной, а в затрубье — по диаметру скважины вместо гидравлического диаметра.
Путать градусы шкалы вискозиметра с паскалями: один градус — около 0,51 Па.

После урока вы сможете

объяснить, что такое напряжение сдвига, скорость сдвига и вязкость и чем неньютоновская жидкость отличается от ньютоновской;
записать модели Ньютона, Бингама, степенную и Гершеля — Балкли и объяснить физический смысл их параметров;
рассчитать параметры моделей по показаниям ротационного вискозиметра и перевести их в единицы СИ и промысловые единицы;
оценить скорость сдвига в трубах и в затрубье, рассчитать число Рейнольдса с эффективной вязкостью и определить режим течения;
объяснить, как реология и режим течения влияют на потери давления на трение и эквивалентную циркуляционную плотность.

Напряжение сдвига, скорость сдвига и вязкость

Течение жидкости по трубе — это скольжение её слоёв друг относительно друга. У стенки жидкость неподвижна, к оси скорость растёт, и каждый слой трётся о соседние. Похоже на стопку бумаги, которую сдвигают ладонью: верхний лист уходит дальше всех, нижний лежит на месте, и каждый лист тянет за собой соседний.

Сила трения между соседними слоями, отнесённая к площади их соприкосновения, — напряжение сдвига (shear stress) $\tau$ , измеряется в паскалях. Быстрота, с которой скорость меняется поперёк потока, — скорость сдвига (shear rate) $\dot\gamma = \dd v/\dd y$ , с⁻¹: разница скоростей двух слоёв, делённая на расстояние между ними. Их отношение — динамическая вязкость.

Закон вязкого трения Ньютона

\tau = \eta\,\dot\gamma

где:

$\tau$ напряжение сдвига, Па
$\dot\gamma$ скорость сдвига, с⁻¹
$\eta$ динамическая вязкость жидкости, Па·с

Единицы: СИ; вязкость часто выражают в мПа·с, численно равных сантипуазам (сП, cP); 1 Па·с = 1000 мПа·с

Справедливо, если

течение ламинарное: слои не перемешиваются;
температура и давление постоянны — от них вязкость зависит, от скорости сдвига у ньютоновской жидкости нет.

Жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости сдвига, называют ньютоновскими (Newtonian): вода и рассолы, дизельное топливо, большинство нефтей без парафина. Вязкость воды при 20 °C — около 1 мПа·с.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\tau\,[\text{lb/100 ft}^2] = \frac{\eta\,[\text{сП}]\;\dot\gamma\,[\text{с}^{-1}]}{478{,}8}

напряжение — фунты-силы на 100 квадратных футов, вязкость — сантипуазы, скорость сдвига — с⁻¹.

1 lb/100 ft² = 0,4788 Па, 1 сП = 0,001 Па·с, поэтому $\tau = 0{,}001\,\eta\dot\gamma/0{,}4788 = \eta\dot\gamma/478{,}8$ .

Буровые растворы — неньютоновские жидкости

В буровом растворе частицы глины и длинные молекулы полимеров образуют рыхлую сетку. В покое она крепнет, и раствор превращается в слабый гель; при течении сетка рвётся, частицы и молекулы выстраиваются вдоль потока, и сопротивление падает. Поэтому у раствора нет одной вязкости: чем быстрее сдвиг, тем раствор «жиже». Такое поведение называют псевдопластичным, или разжижением при сдвиге (shear thinning).

Предельное напряжение сдвига (yield stress). Пока напряжение меньше определённого значения, раствор не течёт, а упруго деформируется, как желе. Благодаря этому он удерживает во взвеси шлам и утяжелитель.
Тиксотропия (thixotropy) — зависимость от времени: в покое структура восстанавливается постепенно, поэтому прочность геля через 10 мин больше, чем через 10 с. Её характеризует статическое напряжение сдвига (СНС) (свойства раствора).
Дилатантные жидкости (dilatant, shear thickening) ведут себя наоборот — густеют при быстром сдвиге. Среди буровых растворов они редки; пример из быта — густая взвесь крахмала в воде.

Отношение напряжения к скорости сдвига в данной точке реологической кривой называют кажущейся вязкостью (apparent viscosity): $\mu_{\text{к}} = \tau/\dot\gamma$ . Для неньютоновской жидкости это не свойство, а функция скорости сдвига: у типичного раствора при медленном сдвиге она во много раз больше, чем при быстром. Поэтому, говоря о вязкости раствора, всегда уточняют, при какой скорости сдвига она измерена.

Реологические модели

Реологическая модель — формула $\tau(\dot\gamma)$ с несколькими параметрами, которая приближённо описывает кривую течения раствора. В бурении пользуются тремя основными моделями.

Модель Бингама (вязкопластичная жидкость)

\tau = \tau_0 + \eta_p\,\dot\gamma \quad (\tau > \tau_0)

где:

$\tau_0$ динамическое напряжение сдвига, ДНС (yield point, YP) — отрезок, который прямая отсекает на оси напряжений, Па
$\eta_p$ пластическая вязкость, ПВ (plastic viscosity, PV) — наклон прямой, Па·с
$\tau,\ \dot\gamma$ напряжение и скорость сдвига, Па, с⁻¹

Единицы: СИ; в отчётах ПВ дают в мПа·с (сП), ДНС — в lb/100 ft² или дПа (1 lb/100 ft² = 0,4788 Па = 4,788 дПа)

Справедливо, если

при $\tau \le \tau_0$ раствор не течёт;
прямую проводят через показания при больших скоростях сдвига; при малых скоростях реальные растворы обычно лежат ниже прямой.

Две величины с ясным смыслом: ПВ растёт с количеством твёрдой фазы и вязкостью жидкой основы, ДНС — с силами притяжения между частицами. Поэтому модель удобна для контроля раствора, но при малых скоростях сдвига завышает напряжения.

Степенная модель (Оствальда — де Вале)

\tau = K\,\dot\gamma^{\,n}

где:

$K$ показатель консистенции (consistency index): напряжение при скорости сдвига 1 с⁻¹, Па·сⁿ
$n$ показатель нелинейности, или индекс течения (flow behaviour index); $n < 1$ — разжижение при сдвиге, $n = 1$ — ньютоновская жидкость, $n > 1$ — дилатантная, —

Единицы: СИ; в промысловых единицах $K$ выражают в lb·сⁿ/100 ft² (1 lb·сⁿ/100 ft² = 0,4788 Па·сⁿ)

Справедливо, если

предельного напряжения сдвига нет: при $\dot\gamma \to 0$ напряжение стремится к нулю;
$K$ и $n$ зависят от диапазона скоростей сдвига, по которому их нашли.

На графике в логарифмических координатах степенная модель — прямая с наклоном $n$ . Чем меньше $n$ , тем сильнее раствор разжижается при сдвиге; у полимерных растворов $n$ бывает 0,3–0,6.

Модель Гершеля — Балкли

\tau = \tau_y + K\,\dot\gamma^{\,n} \quad (\tau > \tau_y)

где:

$\tau_y$ предельное напряжение сдвига — наименьшее напряжение, при котором раствор начинает течь, Па
$K,\ n$ показатели консистенции и нелинейности, как в степенной модели, Па·сⁿ, —

Единицы: СИ

Справедливо, если

три параметра находят по показаниям при нескольких скоростях сдвига, включая малые.

Модель объединяет предельное напряжение Бингама и нелинейность степенной модели. При $\tau_y = 0$ она переходит в степенную, при $n = 1$ — в модель Бингама. Она описывает большинство растворов во всём диапазоне скоростей сдвига, поэтому её используют современные методики гидравлических расчётов.

Какую модель когда применяют

Модель: Ньютона
Параметры: $\eta$
Где хороша: вода, рассолы, масла
Слабое место: не описывает растворы со структурой

Модель: Бингама
Параметры: $\eta_p$ , $\tau_0$
Где хороша: контроль глинистых растворов; оценки при больших скоростях сдвига
Слабое место: завышает напряжения при малых скоростях сдвига

Модель: Степенная
Параметры: $K$ , $n$
Где хороша: полимерные растворы, течение в трубах
Слабое место: занижает напряжения при малых скоростях сдвига

Модель: Гершеля — Балкли
Параметры: $\tau_y$ , $K$ , $n$
Где хороша: большинство растворов во всём диапазоне
Слабое место: нужны показания при нескольких скоростях

Модель	Параметры	Где хороша	Слабое место
Ньютона	$\eta$	вода, рассолы, масла	не описывает растворы со структурой
Бингама	$\eta_p$ , $\tau_0$	контроль глинистых растворов; оценки при больших скоростях сдвига	завышает напряжения при малых скоростях сдвига
Степенная	$K$ , $n$	полимерные растворы, течение в трубах	занижает напряжения при малых скоростях сдвига
Гершеля — Балкли	$\tau_y$ , $K$ , $n$	большинство растворов во всём диапазоне	нужны показания при нескольких скоростях

Параметры моделей по показаниям вискозиметра

Реологическую кривую раствора снимают ротационным вискозиметром с коаксиальными цилиндрами (как устроен прибор). Наружная гильза вращается с заданной частотой, раствор в узком зазоре увлекает внутренний цилиндр, подвешенный на пружине, и угол её закручивания — показание $\theta$ в градусах шкалы — пропорционален напряжению сдвига. Размеры гильзы, цилиндра и жёсткость пружины стандартного прибора подобраны так, что пересчёт в физические величины очень прост.

Скорость и напряжение сдвига в стандартном вискозиметре

\dot\gamma = 1{,}703\,N, \qquad \tau = 0{,}511\,\theta

где:

$\dot\gamma$ скорость сдвига у внутреннего цилиндра, с⁻¹
$N$ частота вращения гильзы, об/мин
$\tau$ напряжение сдвига, Па
$\theta$ показание прибора, градусы шкалы

Единицы: $\dot\gamma$ — с⁻¹, $N$ — об/мин, $\tau$ — Па, $\theta$ — градусы

Справедливо, если

стандартная геометрия прибора и стандартная пружина; с другой пружиной множитель напряжения другой;
скорость сдвига рассчитана для ньютоновской жидкости у поверхности внутреннего цилиндра; для сильно разжижающихся растворов она немного другая;
раствор измерен при оговорённой температуре, обычно около 50 °C для растворов на водной основе.

600 и 300 об/мин соответствуют скоростям сдвига 1022 и 511 с⁻¹, 3 об/мин — 5,1 с⁻¹. Для ньютоновской жидкости показание при 300 об/мин численно равно вязкости в мПа·с: $0{,}511\,\theta/511 = 0{,}001\,\theta$ Па·с.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\tau\,[\text{lb/100 ft}^2] = 1{,}067\,\theta

напряжение — lb/100 ft², $\theta$ — градусы шкалы.

$1{,}067 = 0{,}511/0{,}4788$ .

Модель Бингама. Прямая через точки 600 и 300 об/мин имеет наклон $0{,}511(\theta_{600} - \theta_{300})/511$ Па·с, то есть ровно $\theta_{600} - \theta_{300}$ в мПа·с — это и есть пластическая вязкость. Отрезок на оси напряжений равен $0{,}511(\theta_{300} - \eta_p)$ Па. В промысловой практике ДНС записывают просто как $\theta_{300} - \eta_p$ и называют результат фунтами на 100 квадратных футов; эта условность занижает напряжение примерно на 6 %, поэтому при расчётах в СИ удобнее сразу умножать градусы на 0,511.

Параметры степенной модели по двум показаниям

n = \frac{\lg(\theta_{600}/\theta_{300})}{\lg 2} \approx 3{,}32\,\lg\frac{\theta_{600}}{\theta_{300}}, \qquad K = \frac{0{,}511\,\theta_{300}}{511^{\,n}}

где:

$n$ показатель нелинейности, —
$K$ показатель консистенции, Па·сⁿ
$\theta_{600},\ \theta_{300}$ показания при 600 и 300 об/мин, градусы
$511$ скорость сдвига при 300 об/мин, с⁻¹

Единицы: $K$ — Па·сⁿ, логарифмы десятичные

Справедливо, если

степенная кривая проходит точно через две выбранные точки;
для затрубья, где скорости сдвига меньше, берут показания при 100 и 3 об/мин: $n \approx 0{,}657\lg(\theta_{100}/\theta_3)$ и $K = 0{,}511\,\theta_{100}/170{,}3^{\,n}$ ; здесь $0{,}657 = 1/\lg(100/3)$ , а 170,3 с⁻¹ — скорость сдвига при 100 об/мин.

$n$ — наклон реологической кривой в логарифмических координатах между двумя точками, $K$ — напряжение, которое дала бы эта прямая при скорости сдвига 1 с⁻¹. Если параметры по «трубной» и по «затрубной» паре показаний сильно различаются, раствор плохо описывается степенной моделью.

Модель Гершеля — Балкли. Предельное напряжение оценивают по показаниям при самых малых частотах: так называемое ДНС при малых скоростях сдвига (low-shear yield point) равно $2\theta_3 - \theta_6$ градусов, то есть $\tau_y \approx 0{,}511\,(2\theta_3 - \theta_6)$ Па — продолжение прямой через точки 6 и 3 об/мин до нулевой скорости сдвига. Затем из показаний при 600 и 300 об/мин вычитают $\tau_y$ (в градусах) и находят $n$ и $K$ так же, как для степенной модели.

Расчётный примерТри модели по одним показаниям

Исходные данные (условные)

Показания при 600 / 300 / 200 / 100 об/мин: 70 / 44 / 34 / 23
Показания при 6 / 3 об/мин: 7 / 6
Раствор: на водной основе, 1,30 г/см³; замер при 50 °C

Решение

Скорости сдвига: $1{,}703\cdot 600 = 1022$ с⁻¹, $1{,}703\cdot 300 = 511$ с⁻¹, $1{,}703\cdot 3 = 5{,}11$ с⁻¹. Напряжения: $0{,}511\cdot 70 = 35{,}8$ Па, $0{,}511\cdot 44 = 22{,}48$ Па, $0{,}511\cdot 6 = 3{,}07$ Па.
Модель Бингама: $\eta_p = 70 - 44 = 26$ мПа·с; $\tau_0 = 0{,}511\cdot(44 - 26) = 9{,}20$ Па. В промысловой записи ДНС $= 44 - 26 = 18$ lb/100 ft².
Степенная модель по 600 и 300 об/мин: $n = 3{,}32\lg(70/44) = 0{,}670$ ; $K = 22{,}48/511^{0{,}670} = 0{,}345$ Па·сⁿ. По 100 и 3 об/мин: $n = 0{,}657\lg(23/6) = 0{,}383$ , $K = 1{,}64$ Па·сⁿ.
Модель Гершеля — Балкли: $\tau_y = 0{,}511\cdot(2\cdot 6 - 7) = 2{,}555$ Па; $n = 3{,}32\lg\dfrac{70 - 5}{44 - 5} = 0{,}737$ ; $K = 0{,}511\cdot 39/511^{0{,}737} = 0{,}201$ Па·сⁿ.
Проверка при 3 об/мин, где измерено 3,07 Па: модель Бингама даёт $9{,}20 + 0{,}026\cdot 5{,}11 = 9{,}33$ Па, степенная (по 600 и 300) — $0{,}345\cdot 5{,}11^{0{,}670} = 1{,}03$ Па, Гершеля — Балкли — $2{,}555 + 0{,}201\cdot 5{,}11^{0{,}737} = 3{,}22$ Па.
Кажущаяся вязкость: при 600 об/мин $35{,}8/1022 = 35$ мПа·с, при 3 об/мин $3{,}07/5{,}11 = 600$ мПа·с.

Ответ: ПВ 26 мПа·с и ДНС 9,20 Па (в промысловой записи 18 lb/100 ft²); степенная модель —

n

= 0,670,

K

= 0,345 Па·сⁿ; модель Гершеля — Балкли —

\tau_y

= 2,555 Па,

n

= 0,737,

K

= 0,201 Па·сⁿ.

Что это значит. При больших скоростях сдвига все три модели сходятся — они и построены по точкам 600 и 300 об/мин. При малых скоростях, как в затрубье и при оседании шлама, модель Бингама завышает напряжение втрое, степенная втрое занижает, а модель Гершеля — Балкли почти совпадает с замером. Кажущаяся вязкость раствора при медленном сдвиге в 17 раз больше, чем при быстром. Данные примера условные.

РасчётРеологическая кривая раствора из примера в логарифмических координатах: точки — показания вискозиметра, пересчитанные в скорость и напряжение сдвига; линии — модель Бингама, степенная модель по 600 и 300 об/мин и модель Гершеля — Балкли. При скоростях сдвига выше 300 с⁻¹ модели почти совпадают, при 5 с⁻¹ расходятся в девять раз.

Какие скорости сдвига в скважине

Чтобы выбрать, по каким показаниям находить параметры модели, нужно знать, с какой скоростью сдвига раствор течёт на каждом участке. Для оценки используют скорость сдвига у стенки ньютоновской жидкости с той же средней скоростью.

Скорость сдвига у стенки в трубе и в затрубье (оценка)

\dot\gamma_{\text{тр}} = \frac{8\,v}{d}, \qquad \dot\gamma_{\text{з}} = \frac{12\,v}{D - d}

где:

$\dot\gamma_{\text{тр}},\ \dot\gamma_{\text{з}}$ скорость сдвига у стенки трубы и в затрубье, с⁻¹
$v$ средняя скорость потока: расход, делённый на площадь сечения, м/с
$d$ внутренний диаметр трубы; в затрубье — наружный диаметр труб, м
$D$ диаметр скважины или внутренний диаметр обсадной колонны, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

ламинарное течение ньютоновской жидкости; у разжижающегося раствора скорость сдвига у стенки больше — в $(3n + 1)/(4n)$ раз в трубе и в $(2n + 1)/(3n)$ раз в затрубье;
затрубье заменено плоской щелью шириной $(D - d)/2$ — это хорошо работает, когда зазор мал по сравнению с диаметром.

Скорость сдвига растёт со скоростью потока и падает с размером канала. Поэтому в широком затрубье она мала, а в узких трубах и насадках долота велика.

Ориентировочные скорости сдвига

Где течёт раствор: Покой, оседание шлама, гель
Скорость сдвига, с⁻¹: меньше 5
Частота вискозиметра, об/мин: 3 и замеры СНС

Где течёт раствор: Затрубье
Скорость сдвига, с⁻¹: 20–300
Частота вискозиметра, об/мин: 10–180

Где течёт раствор: Бурильные и утяжелённые бурильные трубы (УБТ)
Скорость сдвига, с⁻¹: 200–1500
Частота вискозиметра, об/мин: 100–600 и выше

Где течёт раствор: Насадки долота
Скорость сдвига, с⁻¹: 10⁴–10⁵
Частота вискозиметра, об/мин: за пределами прибора

Где течёт раствор	Скорость сдвига, с⁻¹	Частота вискозиметра, об/мин
Покой, оседание шлама, гель	меньше 5	3 и замеры СНС
Затрубье	20–300	10–180
Бурильные и утяжелённые бурильные трубы (УБТ)	200–1500	100–600 и выше
Насадки долота	10⁴–10⁵	за пределами прибора

Ориентировочные значения для обычных подач и размеров; частота вискозиметра — та, при которой скорость сдвига в приборе такая же.

Ламинарное и турбулентное течение

При медленном течении слои жидкости скользят друг по другу, не перемешиваясь, — это ламинарный режим (laminar flow). При быстром течении в потоке появляются вихри, частицы жидкости хаотически перемещаются поперёк потока, профиль скоростей в середине канала выравнивается, а у стенки становится очень крутым — это турбулентный режим (turbulent flow). Потери давления на трение в турбулентном режиме гораздо больше и растут почти пропорционально квадрату скорости.

Какой режим установится, показывает число Рейнольдса (Reynolds number) — отношение сил инерции, которые раскачивают поток, к силам вязкости, которые его успокаивают. Для ньютоновской жидкости в круглой трубе течение ламинарно при Re меньше примерно 2100 и полностью турбулентно при Re больше примерно 4000; между ними — переходная область.

Число Рейнольдса

\text{Re} = \frac{\rho\,v\,d_{\text{г}}}{\mu}

где:

$\rho$ плотность жидкости, кг/м³
$v$ средняя скорость потока, м/с
$d_{\text{г}}$ гидравлический диаметр: внутренний диаметр трубы; для затрубья — $D - d$ , м
$\mu$ вязкость; для раствора — эффективная вязкость $\mu_{\text{эф}}$ , Па·с

Единицы: СИ; число безразмерное

Справедливо, если

граница 2100 установлена для ньютоновских жидкостей в трубах; для разжижающихся при сдвиге растворов переход наступает при больших числах Рейнольдса, и разные методики задают его по-разному;
гидравлический диаметр — это учетверённая площадь сечения, делённая на смоченный периметр; для кольцевого зазора он равен $D - d$ ; в некоторых методиках для затрубья берут $0{,}816\,(D - d)$ .

Турбулентности способствуют большая скорость, большая плотность и большой канал; препятствует вязкость.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\text{Re} = \frac{928\,\rho\,[\text{ppg}]\; v\,[\text{ft/s}]\; d\,[\text{in}]}{\mu\,[\text{сП}]}

плотность — ppg, скорость — ft/s, диаметр — дюймы, вязкость — сантипуазы.

$928 = 119{,}83\cdot 0{,}3048\cdot 0{,}0254/0{,}001$ : перевод ppg в кг/м³, ft/s в м/с, дюймов в метры и сП в Па·с.

У раствора нет одной вязкости, поэтому в число Рейнольдса подставляют эффективную вязкость — вязкость такой ньютоновской жидкости, которая при той же средней скорости в том же канале дала бы в ламинарном режиме те же потери давления. Для модели Бингама она получается простой.

Эффективная вязкость вязкопластичного раствора

\mu_{\text{эф}} = \eta_p + \frac{\tau_0\,d}{6\,v}\ \ \text{(труба)}, \qquad \mu_{\text{эф}} = \eta_p + \frac{\tau_0\,(D - d)}{8\,v}\ \ \text{(затрубье)}

где:

$\mu_{\text{эф}}$ эффективная вязкость, Па·с
$\eta_p,\ \tau_0$ пластическая вязкость и ДНС, Па·с, Па
$v$ средняя скорость потока, м/с
$d,\ D$ внутренний диаметр трубы; в затрубье — наружный диаметр труб и диаметр ствола, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

получено сравнением упрощённых формул ламинарных потерь для модели Бингама и для ньютоновской жидкости;
затрубье представлено плоской щелью; труба концентрична стволу и не вращается.

Вклад ДНС тем больше, чем медленнее поток и шире канал. В медленном потоке в затрубье эффективная вязкость раствора бывает в несколько раз больше пластической.

Расчётный примерРежим течения в трубах и в затрубье

Исходные данные (условные)

Раствор: 1,30 г/см³; ПВ 26 мПа·с, ДНС 9,20 Па (из предыдущего примера)
Подача насосов: 30 л/с
Бурильные трубы: наружный диаметр 127 мм, внутренний 108,6 мм
Открытый ствол: 215,9 мм

Решение

Трубы: $v = 0{,}030/(\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}1086^2) = 3{,}24$ м/с; скорость сдвига у стенки $8\cdot 3{,}24/0{,}1086 = 239$ с⁻¹ (около 140 об/мин на вискозиметре).
Эффективная вязкость в трубах: $0{,}026 + \dfrac{9{,}20\cdot 0{,}1086}{6\cdot 3{,}24} = 0{,}0774$ Па·с; $\text{Re} = \dfrac{1300\cdot 3{,}24\cdot 0{,}1086}{0{,}0774} = 5906$ — течение турбулентное.
Затрубье: $v = 0{,}030/(\frac{\pi}{4}(0{,}2159^2 - 0{,}127^2)) = 1{,}25$ м/с; скорость сдвига $12\cdot 1{,}25/0{,}0889 = 169$ с⁻¹ (около 99 об/мин).
Эффективная вязкость в затрубье: $0{,}026 + \dfrac{9{,}20\cdot 0{,}0889}{8\cdot 1{,}25} = 0{,}1076$ Па·с; $\text{Re} = \dfrac{1300\cdot 1{,}25\cdot 0{,}0889}{0{,}1076} = 1346$ — течение ламинарное. Если бы подставили пластическую вязкость, получили бы $\text{Re} = 5570$ и ошибочный вывод о турбулентности.
Проверка в промысловых единицах для труб: $1{,}30\cdot 8{,}345 = 10{,}85$ ppg, $3{,}24/0{,}3048 = 10{,}63$ ft/s, $108{,}6/25{,}4 = 4{,}276$ in, $\mu = 77{,}4$ сП; $\text{Re} = 928\cdot 10{,}85\cdot 10{,}63\cdot 4{,}276/77{,}4 = 5909$ .
При какой подаче течение в затрубье приблизится к границе $\text{Re} = 2100$ : решив уравнение относительно скорости, получаем 1,62 м/с, то есть 39 л/с.

Ответ: В трубах течение турбулентное (Re ≈ 5906), в затрубье — ламинарное (Re ≈ 1346); ламинарный режим в затрубье сохраняется примерно до 39 л/с.

Что это значит. Это типичная картина: в трубах поток быстрый и узкий, в затрубье медленный и широкий. В трубах потери почти не зависят от ДНС, в затрубье определяются им в первую очередь. Скорость сдвига в затрубье соответствует примерно 100 об/мин, поэтому для расчётов затрубья лучше подходят параметры, найденные по малым частотам вискозиметра. Данные примера условные.

Потери давления на трение и ЭЦП

Насосы тратят давление на трение в наземных линиях, в бурильных трубах, в насадках долота и в затрубье. На пласт действует только часть — потери в затрубье выше данной глубины: они добавляются к гидростатике, и забой «чувствует» раствор тяжелее, чем он есть. Эту кажущуюся плотность называют эквивалентной циркуляционной плотностью (ЭЦП); её сравнивают с давлением поглощения под башмаком (допустимые давления).

Потери в затрубье обычно ламинарные, и для раствора Бингама их можно оценить простой формулой — упрощённым решением для течения в узкой щели. Подробные методы расчёта потерь в трубах, затрубье и насадках долота для разных моделей и режимов разобраны в уроке Потери давления при циркуляции.

Потери давления в затрубье при ламинарном течении вязкопластичного раствора

\frac{\Delta p_{\text{тр}}}{L} = \frac{48\,\eta_p\,v}{(D - d)^2} + \frac{6\,\tau_0}{D - d}

где:

$\Delta p_{\text{тр}}/L$ потери давления на трение на единицу длины затрубья, Па/м
$\eta_p,\ \tau_0$ пластическая вязкость и ДНС, Па·с, Па
$v$ средняя скорость в затрубье, м/с
$D,\ d$ диаметр ствола (внутренний диаметр колонны) и наружный диаметр труб, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

течение ламинарное (проверяют по числу Рейнольдса), затрубье представлено плоской щелью шириной $(D - d)/2$ , трубы концентричны и не вращаются;
решение упрощённое (отброшен малый член точного решения): оно завышает потери тем сильнее, чем ближе ДНС к напряжению у стенки, — в примере ниже примерно на 9 %;
$L$ — длина по стволу; реальные стенки открытого ствола неровные, есть каверны, колонна смещена к стенке — это меняет результат.

Первое слагаемое — вязкое трение, оно растёт со скоростью. Второе — вклад ДНС: он от скорости не зависит, но обратно пропорционален зазору. При обычных зазорах и умеренных скоростях в затрубье именно ДНС часто даёт большую часть потерь, а значит, и добавки к ЭЦП; при сужении зазора быстрее растёт вязкое слагаемое.

Эквивалентная циркуляционная плотность

\rho_{ECD} = \rho_m + \frac{\Delta p_{\text{тр}}}{g\,h}

где:

$\rho_{ECD}$ эквивалентная циркуляционная плотность на глубине $h$ , кг/м³
$\rho_m$ плотность раствора, кг/м³
$\Delta p_{\text{тр}}$ потери давления на трение в затрубье от этой глубины до устья, Па
$h$ глубина по вертикали, м

Единицы: СИ; в метрических единицах $g\,h$ заменяют на $0{,}00981\,h$ (г/см³, МПа, м)

Справедливо, если

шлам в затрубье не учитывается: он дополнительно утяжеляет столб;
потери берут по длине ствола, а гидростатику — по вертикали.

ЭЦП — давление на забое при циркуляции, выраженное плотностью. При остановке насосов оно падает до гидростатики.

Расчётный примерКакая часть ЭЦП приходится на ДНС

Исходные данные (условные)

Раствор: 1,30 г/см³; ПВ 26 мПа·с, ДНС 9,20 Па
Подача: 30 л/с
Скважина (вертикальная): 3000 м; колонна с внутренним диаметром 222,4 мм до 2300 м, ниже — ствол 215,9 мм
Бурильные трубы: 127 мм до забоя (утяжелённые трубы для простоты не учитываем)

Решение

Открытый ствол: $v = 1{,}25$ м/с; $\dfrac{48\cdot 0{,}026\cdot 1{,}25}{0{,}0889^2} + \dfrac{6\cdot 9{,}20}{0{,}0889} = 198 + 621 = 819$ Па/м.
В колонне: зазор $0{,}2224 - 0{,}127 = 0{,}0954$ м, $v = 1{,}15$ м/с; $157 + 579 = 736$ Па/м. Режим ламинарный: Re ≈ 1167.
Потери в затрубье: $(736\cdot 2300 + 819\cdot 700)\cdot 10^{-6} = 2{,}27$ МПа, из них на ДНС приходится 78 %.
ЭЦП на забое: $1{,}30 + \dfrac{2{,}27}{0{,}00981\cdot 3000} = 1{,}377$ г/см³; у башмака (2300 м): $1{,}30 + \dfrac{1{,}69}{0{,}00981\cdot 2300} = 1{,}375$ г/см³.
Если снизить ДНС вдвое при той же пластической вязкости, потери уменьшатся до 1,38 МПа, а ЭЦП на забое — до 1,347 г/см³.

Ответ: ЭЦП на забое — около 1,377 г/см³ при плотности раствора 1,30 г/см³; 78 % потерь в затрубье даёт ДНС.

Что это значит. Добавка 0,077 г/см³ — это 2,27 МПа на забое, и почти четыре пятых её создаёт ДНС. Поэтому, когда окно между поровым давлением и давлением поглощения узкое, ЭЦП снижают прежде всего через ДНС и подачу: пластическая вязкость здесь влияет слабее. Но ДНС нужен для выноса шлама, и слишком «жидкий» раствор плохо очищает ствол — значения задают компромиссом. Данные примера условные.

Что меняется, если…

…увеличить подачу — в ламинарном затрубье растёт только вязкое слагаемое, примерно пропорционально скорости; в турбулентных трубах потери растут почти как квадрат подачи;
…сузить затрубье (толще трубы, меньше зазор) — вклад ДНС растёт обратно пропорционально зазору, вязкое трение — обратно пропорционально его квадрату;
…нагреть раствор — пластическая вязкость падает, поэтому свойства сравнивают при одной температуре, а для расчётов в глубокой горячей скважине измеряют при забойных условиях;
…перейти в турбулентный режим — потери резко растут и почти перестают зависеть от ДНС: в трубах они определяются подачей, плотностью и диаметром.

Термины и обозначения

Напряжение сдвига, $\tau$: сила трения между слоями жидкости на единицу площади, Па.
Скорость сдвига, $\dot\gamma$: изменение скорости поперёк потока на единицу расстояния, с⁻¹.
Кажущаяся вязкость: отношение $\tau/\dot\gamma$ в данной точке реологической кривой; у раствора зависит от скорости сдвига.
Эффективная вязкость: вязкость ньютоновской жидкости, дающей в том же канале при той же скорости те же ламинарные потери; её подставляют в число Рейнольдса.
Пластическая вязкость и ДНС: наклон и отрезок прямой Бингама; по вискозиметру $\eta_p = \theta_{600} - \theta_{300}$ мПа·с, $\tau_0 = 0{,}511(\theta_{300} - \eta_p)$ Па.
Показатели $K$ и $n$: консистенция и нелинейность в степенной модели и модели Гершеля — Балкли; $n < 1$ означает разжижение при сдвиге.
Предельное напряжение сдвига, $\tau_y$: наименьшее напряжение, при котором раствор начинает течь; меньше ДНС.
Тиксотропия: постепенное упрочнение структуры раствора в покое и её разрушение при течении.
Число Рейнольдса: безразмерное отношение сил инерции к силам вязкости; определяет режим течения.
Гидравлический диаметр: учетверённая площадь сечения, делённая на смоченный периметр; для затрубья $D - d$ .

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«ДНС — это напряжение, при котором раствор начинает течь».

На самом деле

ДНС — продолжение прямой через показания при 600 и 300 об/мин до нулевой скорости сдвига. Реальный предел текучести обычно заметно меньше; его оценивают по показаниям при 6 и 3 об/мин.

Неверно

«Чем выше вязкость раствора, тем выше потери давления во всей системе».

На самом деле

В турбулентном потоке в трубах вязкость влияет слабо: главное — подача, плотность и диаметр. Сильно от реологии, прежде всего от ДНС, зависят ламинарные потери в затрубье, то есть ЭЦП.

Неверно

«Параметры степенной модели по 600 и 300 об/мин годятся для любых расчётов».

На самом деле

Они описывают раствор при скоростях сдвига около 500–1000 с⁻¹. Для затрубья, где скорости сдвига в несколько раз меньше, параметры находят по малым частотам вискозиметра или пользуются моделью Гершеля — Балкли.

Неверно

«Число Рейнольдса раствора считают по пластической вязкости».

На самом деле

Нужна эффективная вязкость, учитывающая ДНС. В примере урока пластическая вязкость дала бы в затрубье Re больше 5000 и ложный вывод о турбулентности вместо Re около 1350.

Неверно

«Показание вискозиметра 40 — это напряжение 40 Па».

На самом деле

Показание — градусы шкалы. У стандартного прибора один градус соответствует 0,511 Па (1,067 lb/100 ft²), так что 40 градусов — около 20 Па.

Подробно: для продвинутых

Откуда множители 1,703 и 0,511

В стандартном вискозиметре внутренний радиус вращающейся гильзы $R_1 = 18{,}42$ мм, радиус подвешенного цилиндра $R_b = 17{,}25$ мм. Для ньютоновской жидкости скорость сдвига у поверхности внутреннего цилиндра равна $\dot\gamma = 2\omega R_1^2/(R_1^2 - R_b^2)$ , где $\omega = 2\pi N/60$ — угловая скорость. Подстановка даёт $\dot\gamma \approx 1{,}703\,N$ с⁻¹.

Напряжение на поверхности цилиндра — это момент пружины, делённый на площадь боковой поверхности цилиндра и на его радиус. Жёсткость стандартной пружины — около 386 дин·см на градус, высота цилиндра 38 мм с поправкой на торцы; в итоге один градус шкалы соответствует примерно 5,11 дин/см², то есть 0,511 Па. Числа подобраны так, что при 300 об/мин ( $\dot\gamma = 511$ с⁻¹) показание для ньютоновской жидкости равно её вязкости в сантипуазах, — отсюда простые промысловые формулы ПВ и ДНС.

Давление для восстановления циркуляции

После остановки раствор в скважине набирает прочность геля, и, чтобы сдвинуть его с места, насос должен преодолеть статическое напряжение сдвига по всей длине канала. Из баланса сил — давление на сечение против сопротивления геля на смоченной поверхности — получаем:

Давление, нужное для разрушения геля

\Delta p_{\text{г}} = \frac{4\,\tau_{\text{г}}\,L}{d}\ \ \text{(труба)}, \qquad \Delta p_{\text{г}} = \frac{4\,\tau_{\text{г}}\,L}{D - d}\ \ \text{(затрубье)}

где:

$\Delta p_{\text{г}}$ перепад давления, который нужен, чтобы сдвинуть гель, Па
$\tau_{\text{г}}$ статическое напряжение сдвига (прочность геля) после данного времени покоя, Па
$L$ длина канала, м
$d,\ D$ диаметры канала: труба — внутренний; затрубье — наружный диаметр труб и диаметр ствола, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

гель однороден по длине и срывается одновременно по всей поверхности; в действительности он рвётся постепенно, и оценка завышенная.

В затрубье этот перепад на короткое время добавляется к давлению на забое и у башмака. Например, гель 12 градусов (6,1 Па) в затрубье длиной 3000 м с зазором около 9 см требует около 0,8 МПа — почти 0,03 г/см³ к эквивалентной плотности. Поэтому циркуляцию восстанавливают постепенно, а колонну перед этим часто сначала вращают, разрушая гель.

Влияние температуры и давления

Вязкость жидкой основы раствора падает при нагреве, поэтому пластическая вязкость на забое глубокой горячей скважины меньше, чем в ёмкостях. ДНС и гели при нагреве могут и уменьшаться, и расти — в водных растворах при высокой температуре глины сильнее флокулируют, а часть полимеров разрушается. У растворов на углеводородной основе вязкость основы заметно растёт с давлением. Поэтому для контроля свойств раствор измеряют при стандартной температуре, а для расчёта гидравлики глубоких скважин — в вискозиметрах высокого давления и температуры или по поправочным зависимостям для конкретного раствора (Растворы на углеводородной основе, Растворы на водной основе и химия глин).

Связь с другими темами

Буровые растворы: функции и свойства — функции и свойства раствора, ПВ, ДНС и СНС и их контроль.
Потери давления при циркуляции — расчёт потерь давления в трубах, затрубье и насадках долота для разных моделей и режимов.
Градиент гидроразрыва и испытание на поглощение — почему ЭЦП сравнивают с давлением поглощения под башмаком.
Контроль скважины: первичный барьер и признаки проявления — свабирование и скачки давления при спуско-подъёмных операциях зависят от реологии.
Промысловые испытания бурового раствора — как проводят измерения вискозиметром и другими приборами.
Оптимизация гидравлики долота — как распределить давление насосов между системой и долотом.

Проверьте себя

1
Какая из жидкостей ведёт себя как ньютоновская?
1. А.Полимерный раствор
2. Б.Тампонажный раствор
3. В.Пресная вода
4. Г.Глинистый буровой раствор
Показать ответ
Правильный ответ: В. Пресная вода
У воды вязкость не зависит от скорости сдвига. Глинистые и полимерные растворы и тампонажные растворы разжижаются при сдвиге и имеют предельное напряжение — это неньютоновские жидкости.
2
Показания вискозиметра: $\theta_{600} = 52$ , $\theta_{300} = 32$ . Найдите пластическую вязкость, ДНС в паскалях и параметры степенной модели.
Показать ответ
$\eta_p = 52 - 32 = 20$ мПа·с; $\tau_0 = 0{,}511\cdot(32 - 20) \approx 6{,}1$ Па (в промысловой записи 12 lb/100 ft²). $n = 3{,}32\lg(52/32) \approx 0{,}70$ ; $K = 0{,}511\cdot 32/511^{0{,}70} \approx 16{,}4/78{,}7 \approx 0{,}21$ Па·сⁿ.
3
Почему ДНС, рассчитанное по модели Бингама, обычно больше напряжения, которое показывает вискозиметр при 3 об/мин?
1. А.ДНС — продолжение прямой, проведённой через показания при больших скоростях сдвига; при малых скоростях реальная кривая лежит ниже этой прямой
2. Б.ДНС измеряют при другой температуре
3. В.При 3 об/мин раствор течёт турбулентно
4. Г.Прибор при малых частотах всегда ошибается
Показать ответ
Правильный ответ: А. ДНС — продолжение прямой, проведённой через показания при больших скоростях сдвига; при малых скоростях реальная кривая лежит ниже этой прямой
Модель Бингама — прямая через точки 600 и 300 об/мин. Реальная кривая раствора выпуклая: при уменьшении скорости сдвига напряжение падает быстрее, чем по прямой. Поэтому истинный предел текучести ближе к показаниям при 6 и 3 об/мин.
4
Раствор 1,20 г/см³, ПВ 20 мПа·с, ДНС 6 Па течёт в затрубье со скоростью 1,0 м/с при зазоре $D - d = 0{,}10$ м. Каков режим течения? Что получилось бы с пластической вязкостью вместо эффективной?
Показать ответ
$\mu_{\text{эф}} = 0{,}020 + 6\cdot 0{,}10/(8\cdot 1{,}0) = 0{,}095$ Па·с; $\text{Re} = 1200\cdot 1{,}0\cdot 0{,}10/0{,}095 \approx 1260$ — ламинарное течение. С пластической вязкостью получилось бы $\text{Re} = 6000$ и ошибочный вывод о турбулентности.
5
При ламинарном течении в затрубье ДНС раствора уменьшили вдвое, пластическая вязкость и подача не изменились. Что произойдёт с ЭЦП?
1. А.Уменьшится ровно вдвое
2. Б.Не изменится
3. В.Заметно уменьшится: при ламинарном течении в затрубье большую часть потерь обычно создаёт ДНС
4. Г.Увеличится
Показать ответ
Правильный ответ: В. Заметно уменьшится: при ламинарном течении в затрубье большую часть потерь обычно создаёт ДНС
Потери в ламинарном затрубье складываются из вязкого слагаемого и слагаемого ДНС; при обычных зазорах и скоростях второе обычно больше. В примере урока снижение ДНС вдвое уменьшило добавку ЭЦП к плотности раствора примерно на 40 %: вязкое слагаемое осталось прежним.
6
Показания вискозиметра при каких частотах лучше использовать для расчёта течения в затрубье и почему?
Показать ответ
Скорости сдвига в затрубье обычно десятки–сотни с⁻¹, что соответствует примерно 10–180 об/мин прибора. Поэтому параметры находят по показаниям при 100, 6 и 3 об/мин (или по всем показаниям в модели Гершеля — Балкли), а не по 600 и 300 об/мин, которые описывают течение в трубах.

Обновлено: 19 октября 2026 г.