Потери давления при циркуляции

Кратко о главном

Давление на стояке — сумма потерь в наземной обвязке, бурильных трубах и УБТ, на насадках долота и в затрубье; гидростатика внутри колонны и в затрубье взаимно уравновешивается, пока плотности одинаковы. На забой действуют гидростатика и только затрубные потери.
Ламинарные потери следуют из баланса сил $\Delta p/L = 4\tau_w/d$ : напряжение у стенки $\tau_w$ находят по реологической модели. Для вязкопластичной жидкости это вязкое слагаемое плюс слагаемое ДНС, для степенной — $K$ , умноженное на скорость сдвига у стенки в степени $n$ .
Режим течения показывает обобщённое число Рейнольдса: у степенной жидкости ламинарный режим держится до $3470 - 1370n$ , турбулентный начинается после $4270 - 1370n$ . В трубах течение обычно турбулентное, в затрубье — ламинарное.
Турбулентные потери считают по уравнению Фаннинга $2f\rho v^2/d$ ; коэффициент трения $f$ — по Блазиусу (для вязкопластичной жидкости с пластической вязкостью) или по Доджу — Метцнеру (для степенной). Они растут с подачей в степени 1,6–1,75 (1,75 — у ньютоновской жидкости, у разжижающегося раствора меньше), а от реологии зависят слабо.
Перепад на насадках долота $\rho Q^2/(2C_d^2A^2)$ не зависит от реологии и растёт как квадрат подачи; одна забитая насадка из пяти поднимает его в полтора с лишним раза.
ЭЦП на глубине — плотность раствора плюс затрубные потери выше этой глубины, делённые на $g h$ . Её сравнивают с давлением поглощения под башмаком с запасом на шлам и на скачки давления при спуске труб; модель Бингама затрубные потери обычно завышает.

Ключевые соотношения

p_{\text{ст}} = \Delta p_{\text{пов}} + \Delta p_{\text{т}} + \Delta p_{\text{УБТ}} + \Delta p_{\text{д}} + \Delta p_{\text{з}}

давление на стояке как сумма потерь

\dfrac{\Delta p}{L} = \dfrac{2 f \rho v^2}{d}

уравнение Фаннинга; в ламинарном потоке в трубе $f = 16/\text{Re}$

\Delta p_{\text{д}} = \dfrac{\rho Q^2}{2 C_d^2 A^2}

перепад давления на насадках долота

\rho_{ECD}(h) = \rho_m + \dfrac{\Delta p_{\text{з}}(h)}{g\,h}

ЭЦП по затрубным потерям выше глубины $h$

Где чаще всего ошибаются

Считать затрубье по модели Бингама с параметрами по 600 и 300 об/мин: при малых скоростях сдвига она завышает напряжения, поэтому завышает и ЭЦП, а колебания давления при спуске и подъёме труб — тем более.
Пересчитывать давление на стояке на другую подачу одним показателем степени: на долоте потери растут как $Q^2$ , в турбулентных трубах — в степени 1,6–1,75, а в ламинарном затрубье гораздо медленнее.
Забывать про УБТ и наземную обвязку: на коротких участках малого диаметра тоже теряются мегапаскали.
Сравнивать с давлением поглощения плотность раствора, а не ЭЦП у башмака с запасом на шлам и скачки давления.
Путать коэффициент трения Фаннинга $f$ с коэффициентом гидравлического сопротивления $\lambda = 4f$ из отечественных справочников.

После урока вы сможете

перечислить элементы циркуляционной системы и составить баланс давления на стояке;
рассчитать ламинарные потери в трубах и в затрубье для вязкопластичной и степенной жидкости и определить режим течения по обобщённому числу Рейнольдса;
рассчитать турбулентные потери по уравнению Фаннинга с коэффициентом трения Блазиуса или Доджа — Метцнера;
рассчитать перепад давления на насадках долота по их суммарной площади;
построить ЭЦП по глубине для затрубья из нескольких участков и сравнить её с давлением поглощения под башмаком;
оценить, как каждое слагаемое меняется с подачей, плотностью и реологией раствора, и рассчитать колебания давления при спуске и подъёме труб.

Куда уходит давление насосов

Путь раствора замкнут: буровые насосы подают его через нагнетательную линию и стояк (standpipe) в буровой рукав (rotary hose), дальше через вертлюг или верхний привод — в бурильную колонну. Раствор проходит бурильные трубы, УБТ и остальную компоновку, выходит струями из насадок долота, поднимается по затрубью — сначала в открытом стволе, потом в обсадной колонне — и через жёлоб и вибросита возвращается в ёмкости при атмосферном давлении. Значит, всё давление, которое создали насосы, по дороге израсходовано.

Гидростатика в этом балансе не участвует. Колонна и затрубье — два колена одного U-образного сосуда: пока раствор внутри и снаружи одной плотности, столбы уравновешивают друг друга, и насосу достаточно преодолеть трение. Если плотности разные — в трубы закачана тяжёлая пачка, в затрубье много шлама, или трубы заполняются раствором глушения, — разница столбов добавляется к давлению на стояке или вычитается из него (Глушение скважины после проявления).

Давление на стояке как сумма потерь

p_{\text{ст}} = \Delta p_{\text{пов}} + \Delta p_{\text{т}} + \Delta p_{\text{УБТ}} + \Delta p_{\text{д}} + \Delta p_{\text{з}}

где:

$p_{\text{ст}}$ давление на стояке (избыточное) — то, что показывает манометр; на выкиде насоса оно чуть больше на потери в нагнетательной линии, МПа
$\Delta p_{\text{пов}}$ потери в наземной обвязке после манометра: стояк, буровой рукав, вертлюг или верхний привод, МПа
$\Delta p_{\text{т}},\ \Delta p_{\text{УБТ}}$ потери на трение в бурильных трубах и в УБТ (и в других элементах компоновки), МПа
$\Delta p_{\text{д}}$ перепад давления на насадках долота, МПа
$\Delta p_{\text{з}}$ потери на трение в затрубье от забоя до устья, МПа

Единицы: любые одинаковые единицы давления

Справедливо, если

установившаяся циркуляция, плотность раствора внутри колонны и в затрубье одинакова;
в компоновке нет забойного двигателя и телесистемы; если они есть, их перепады давления берут по паспортным характеристикам и добавляют к сумме (Отклоняющие инструменты и забойные двигатели);
давление на выходе из затрубья атмосферное; при циркуляции через дроссель к сумме добавляется давление на нём.

Каждый участок «съедает» свою долю давления насосов. Полезную работу прежде всего совершают струи долота — они очищают забой, — а потери на трение в трубах и затрубье — плата за то, чтобы раствор прошёл по кругу и вынес шлам. На пласт из всей суммы действует лишь $\Delta p_{\text{з}}$ : давление на забое при циркуляции равно $\rho g h + \Delta p_{\text{з}}$ .

РасчётИзбыточное давление сверх гидростатического вдоль пути раствора в скважине примера (раздел «Давление на стояке»): внутри колонны оно убывает от 13,1 МПа у верха колонны на трение в бурильных трубах и УБТ, на долоте падает скачком на 5,1 МПа, а в затрубье уменьшается от 1,8 МПа на забое до нуля на устье. Ещё 0,3 МПа теряется в наземной обвязке выше колонны.

Участки циркуляционной системы

Участок: Наземная обвязка
Обычный режим: турбулентный
От чего зависят потери: длина и диаметр линий; обычно несколько десятых МПа

Участок: Бурильные трубы
Обычный режим: турбулентный
От чего зависят потери: подача, плотность, внутренний диаметр; крупнейшая из «бесполезных» потерь

Участок: УБТ и элементы компоновки
Обычный режим: турбулентный
От чего зависят потери: малый внутренний диаметр: высокий градиент на коротком участке

Участок: Насадки долота
Обычный режим: струя
От чего зависят потери: подача, плотность и площадь насадок; реология не влияет

Участок: Затрубье
Обычный режим: чаще ламинарный
От чего зависят потери: ДНС или $K$ раствора и ширина зазора; действует на пласт

Участок	Обычный режим	От чего зависят потери
Наземная обвязка	турбулентный	длина и диаметр линий; обычно несколько десятых МПа
Бурильные трубы	турбулентный	подача, плотность, внутренний диаметр; крупнейшая из «бесполезных» потерь
УБТ и элементы компоновки	турбулентный	малый внутренний диаметр: высокий градиент на коротком участке
Насадки долота	струя	подача, плотность и площадь насадок; реология не влияет
Затрубье	чаще ламинарный	ДНС или $K$ раствора и ширина зазора; действует на пласт

Забойный двигатель и телесистема добавляют свои перепады — их берут по паспорту при данной подаче.

Ламинарное течение в трубах и затрубье

При ламинарном течении потери определяет вязкое трение о стенку. Запишем баланс сил для столба раствора длиной $L$ : перепад давления, умноженный на площадь сечения, уравновешен напряжением сдвига у стенки $\tau_w$ , умноженным на смоченную поверхность. Для трубы $\Delta p\cdot\pi d^2/4 = \tau_w\cdot\pi d L$ , для узкого затрубья — то же с шириной зазора. Остаётся найти $\tau_w$ , которое при данной средней скорости даёт выбранная реологическая модель.

Потери давления через напряжение сдвига у стенки

\frac{\Delta p}{L} = \frac{4\,\tau_w}{d}\ \ \text{(труба)}, \qquad \frac{\Delta p}{L} = \frac{4\,\tau_w}{D - d}\ \ \text{(затрубье)}

где:

$\Delta p/L$ потери давления на трение на единицу длины, Па/м
$\tau_w$ напряжение сдвига у стенки, Па
$d$ внутренний диаметр трубы; в затрубье — наружный диаметр труб, м
$D$ диаметр ствола или внутренний диаметр обсадной колонны, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

установившееся течение, трубы концентричны стволу и не вращаются, температура постоянна;
затрубье заменено плоской щелью шириной $(D - d)/2$ — это хорошо работает, когда зазор мал по сравнению с диаметром;
формула верна при любом режиме, но только в ламинарном потоке $\tau_w$ удаётся найти из реологической модели теоретически.

Баланс сил не зависит от свойств жидкости: при одном и том же напряжении у стенки потери тем больше, чем уже канал. Свойства раствора входят через $\tau_w$ .

Для ньютоновской жидкости точное решение — формула Хагена — Пуазёйля (Hagen–Poiseuille): $\Delta p/L = 32\mu v/d^2$ . Для вязкопластичной жидкости к вязкому слагаемому добавляется слагаемое динамического напряжения сдвига (ДНС): раствор течёт, только когда напряжение у стенки превышает $\tau_0$ , и часть перепада давления тратится на это превышение.

Ламинарные потери вязкопластичной жидкости в трубе

\frac{\Delta p}{L} = \frac{32\,\eta_p\,v}{d^2} + \frac{16\,\tau_0}{3\,d}

где:

$\eta_p,\ \tau_0$ пластическая вязкость и ДНС, Па·с, Па
$v$ средняя скорость в трубе, $Q$ делённое на площадь сечения, м/с
$d$ внутренний диаметр трубы, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

течение ламинарное (проверяют по числу Рейнольдса);
упрощённое решение: отброшен член точного решения, малый, пока $\tau_0$ много меньше $\tau_w$ ; упрощение завышает потери;
при $\tau_0 = 0$ формула переходит в формулу Хагена — Пуазёйля для ньютоновской жидкости.

Вязкое слагаемое растёт пропорционально скорости, слагаемое ДНС от скорости не зависит. Аналогичное решение для затрубья — $48\eta_p v/(D-d)^2 + 6\tau_0/(D-d)$ — выведено в уроке о реологии.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\frac{\Delta p}{L} = \frac{\eta_p v}{1500\,d^2} + \frac{\tau_0}{225\,d}\ \ \text{(труба)}, \qquad \frac{\Delta p}{L} = \frac{\eta_p v}{1000\,(D-d)^2} + \frac{\tau_0}{200\,(D-d)}\ \ \text{(затрубье)}

$\Delta p/L$ — psi/ft, $\eta_p$ — сП, $v$ — ft/s, $\tau_0$ — lb/100 ft², диаметры — дюймы.

Перевод единиц из формул СИ: $32\to 1/1500$ и $48\to 1/1000$ (с округлением 0,3 %), $16/3\to 1/225$ и $6\to 1/200$ (точно).

Для степенной жидкости ( $\tau = K\dot\gamma^n$ ) точное решение тоже получается в одну строку. Скорость сдвига у стенки у разжижающегося раствора больше, чем у ньютоновской жидкости с той же средней скоростью: профиль скорости у него более плоский, и сдвиг сосредоточен у стенки. Поправочные множители $(3n+1)/(4n)$ для трубы и $(2n+1)/(3n)$ для щели упоминались в уроке о реологии; здесь они входят в формулы потерь.

Ламинарные потери степенной жидкости в трубе и в затрубье

\frac{\Delta p}{L} = \frac{4K}{d}\left(\frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8v}{d}\right)^{n}\ \text{(труба)}, \qquad \frac{\Delta p}{L} = \frac{4K}{D-d}\left(\frac{2n+1}{3n}\cdot\frac{12v}{D-d}\right)^{n}\ \text{(затрубье)}

где:

$K,\ n$ показатели консистенции и нелинейности степенной модели, Па·сⁿ, —
$v$ средняя скорость в трубе или в затрубье, м/с
$d,\ D$ внутренний диаметр трубы; в затрубье — наружный диаметр труб и диаметр ствола, м

Единицы: СИ

Справедливо, если

течение ламинарное, трубы концентричны и не вращаются; затрубье — плоская щель;
$K$ и $n$ найдены по показаниям вискозиметра в том диапазоне скоростей сдвига, который есть на этом участке: для труб — обычно по 600 и 300 об/мин, для затрубья — по 100 и 3 об/мин (параметры моделей).

В скобках — скорость сдвига у стенки, выражение перед скобками превращает напряжение в потери. Так как $n < 1$ , потери растут со скоростью медленнее, чем пропорционально: при $n = 0{,}4$ удвоение подачи увеличивает их всего на треть.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\frac{\Delta p}{L} = \frac{K}{300\,d}\left(\frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{96\,v}{d}\right)^{n}, \qquad \frac{\Delta p}{L} = \frac{K}{300\,(D-d)}\left(\frac{2n+1}{3n}\cdot\frac{144\,v}{D-d}\right)^{n}

$\Delta p/L$ — psi/ft, $K$ — lb·сⁿ/100 ft², $v$ — ft/s, диаметры — дюймы.

$96 = 8\cdot 12$ и $144 = 12\cdot 12$ переводят дюймы в футы в скорости сдвига; $1/300 = 4\cdot 12/(100\cdot 144)$ — из 1 lb/100 ft² и квадратных дюймов в psi.

Расчётный примерЗатрубье у УБТ: две модели, два ответа

Исходные данные (условные)

Ствол и УБТ: 215,9 мм и 158,8 мм (зазор $D - d = 0{,}0571$ м)
Подача: 30 л/с
Раствор (урок о реологии): 1,30 г/см³; пластическая вязкость (ПВ) 26 мПа·с, ДНС 9,20 Па; по 100 и 3 об/мин $n = 0{,}383$ , $K = 1{,}64$ Па·сⁿ (точнее 0,3832 и 1,641)

Решение

Площадь затрубья $\frac{\pi}{4}(0{,}2159^2 - 0{,}1588^2) = 0{,}016804$ м², скорость $v = 0{,}030/0{,}016804 = 1{,}785$ м/с.
Степенная модель: скорость сдвига у стенки $\dfrac{2n+1}{3n}\cdot\dfrac{12v}{D-d} = 1{,}5365\cdot 375{,}2 = 576$ с⁻¹; напряжение $\tau_w = 1{,}641\cdot 576^{0{,}3832} = 18{,}75$ Па; потери $4\cdot 18{,}75/0{,}0571 = 1314$ Па/м.
Режим: кажущаяся вязкость у стенки $\tau_w/(12v/(D-d)) = 18{,}75/375{,}2 = 0{,}0500$ Па·с, $\text{Re} = 1300\cdot 1{,}785\cdot 0{,}0571/0{,}0500 \approx 2650$ — меньше границы $3470 - 1370\cdot 0{,}383 = 2945$ : течение ламинарное.
Модель Бингама: $\dfrac{48\cdot 0{,}026\cdot 1{,}785}{0{,}0571^2} + \dfrac{6\cdot 9{,}20}{0{,}0571} = 683 + 967 = 1650$ Па/м. Число Рейнольдса с эффективной вязкостью — около 2110, на самой границе 2100.
На 150 м УБТ: 0,197 МПа по степенной модели и 0,248 МПа по модели Бингама — в 1,26 раза больше.

Ответ: Потери в затрубье у УБТ — около 1314 Па/м по степенной модели и 1650 Па/м по модели Бингама; течение ламинарное, но близко к переходу.

Что это значит. Модель Бингама примерно на четверть «тяжелее», потому что ДНС — продолжение прямой с больших скоростей сдвига, а у стенок затрубья скорость сдвига всего несколько сотен с⁻¹, и настоящее напряжение там ниже прямой. Степенная модель по показаниям при 100 и 3 об/мин описывает именно этот диапазон. Число Рейнольдса у УБТ — самое большое во всём затрубье: зазор узкий, скорость высокая. Данные примера условные.

Где кончается ламинарное течение

Для ньютоновской жидкости граница — число Рейнольдса около 2100. Для вязкопластичного раствора урок о реологии предлагает простое правило: подставить в число Рейнольдса эффективную вязкость $\eta_p + \tau_0 d/(6v)$ в трубе или $\eta_p + \tau_0(D-d)/(8v)$ в затрубье и сравнить его с той же границей. Более точный критерий для таких жидкостей учитывает отношение ДНС к пластической вязкости через число Хедстрёма (раздел для углублённого изучения): поток с заметным ДНС остаётся ламинарным при больших числах Рейнольдса.

Для степенной жидкости вязкость подставляют такую же «кажущуюся у стенки»: отношение напряжения у стенки к скорости сдвига ньютоновской жидкости. Получается обобщённое число Рейнольдса.

Обобщённое число Рейнольдса степенной жидкости

\text{Re} = \frac{\rho\,v\,d}{\mu_a}, \qquad \mu_a = K\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^{n}\left(\frac{8v}{d}\right)^{n-1}

где:

$\mu_a$ кажущаяся вязкость у стенки — вязкость ньютоновской жидкости, которая при той же скорости дала бы те же ламинарные потери, Па·с
$\rho,\ v$ плотность раствора и средняя скорость, кг/м³, м/с
$d$ внутренний диаметр трубы; в затрубье — гидравлический диаметр $D - d$ , м

Единицы: СИ; число безразмерное

Справедливо, если

в затрубье вместо $(3n+1)/(4n)$ и $8v/d$ подставляют $(2n+1)/(3n)$ и $12v/(D-d)$ — по решению для щели;
в некоторых методиках затрубье представляют трубой диаметром $0{,}816(D-d)$ ; тогда числа Рейнольдса на 18 % меньше, а турбулентные потери — больше (раздел для углублённого изучения).

При $n = 1$ это обычное число Рейнольдса с вязкостью $K$ . Чем сильнее раствор разжижается при сдвиге, тем меньше $\mu_a$ в быстром потоке и тем больше число Рейнольдса при той же скорости.

Границы режимов для степенной жидкости

\text{Re}_{\text{лам}} = 3470 - 1370\,n, \qquad \text{Re}_{\text{турб}} = 4270 - 1370\,n

где:

$\text{Re}_{\text{лам}}$ до этого значения течение ламинарное, —
$\text{Re}_{\text{турб}}$ после этого значения течение турбулентное; между границами — переходный режим, —
$n$ показатель нелинейности на данном участке, —

Единицы: безразмерные

Справедливо, если

эмпирические границы одной из распространённых методик — Американского нефтяного института (API); другие методики дают иные, но близкие значения;
в переходной области надёжной формулы нет; осторожно брать большее из ламинарного и турбулентного значений потерь — так поступает и модель этого урока.

При $n = 1$ получаются 2100 и 2900 (для ньютоновской жидкости в трубе переходную область часто считают шире — до 4000); при $n = 0{,}4$ — около 2900 и 3700: чем сильнее разжижение при сдвиге, тем выше критическое значение обобщённого числа Рейнольдса.

Почему трубы турбулентны, а затрубье — нет

В трубах скорость в несколько раз выше, чем в затрубье, а кажущаяся вязкость разжижающегося раствора при большой скорости сдвига мала: число Рейнольдса в бурильных трубах примера — около 7500, в УБТ — 17 000. В затрубье скорость около 1–2 м/с, сдвиг слабый, кажущаяся вязкость большая — числа 1600–2700. Турбулентное затрубье бывает у небольших зазоров (у УБТ, в хвостовиках, в скважинах малого диаметра) и при больших подачах, и его стараются избегать: оно размывает стенки ствола и заметно повышает ЭЦП.

Турбулентное течение: коэффициент трения

В турбулентном потоке вихри переносят количество движения поперёк канала, профиль скорости в середине выравнивается, а у стенки остаётся тонкий вязкий подслой с очень крутым изменением скорости. Теоретического решения нет, и потери выражают через опытный коэффициент трения — безразмерное отношение напряжения у стенки к динамическому давлению потока.

Уравнение Фаннинга

\frac{\Delta p}{L} = \frac{2\,f\,\rho\,v^2}{d}

где:

$f$ коэффициент трения Фаннинга (Fanning friction factor), $f = 2\tau_w/(\rho v^2)$ , —
$\rho,\ v$ плотность раствора и средняя скорость, кг/м³, м/с
$d$ внутренний диаметр трубы; в затрубье — гидравлический диаметр $D - d$ , м

Единицы: СИ

Справедливо, если

годится для любого режима, если подставить правильный $f$ ; в ламинарном потоке в трубе $f = 16/\text{Re}$ ;
для затрубья выбор эквивалентного диаметра меняет результат: с $0{,}816(D-d)$ турбулентные потери примерно на 29 % больше, чем с $D - d$ .

Потери пропорциональны квадрату скорости, умноженному на коэффициент трения, который медленно убывает с ростом числа Рейнольдса. В отечественной гидравлике то же записывают через коэффициент гидравлического сопротивления $\lambda = 4f$ : $\Delta p/L = \lambda\rho v^2/(2d)$ .

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\frac{\Delta p}{L} = \frac{f\,\rho\,v^2}{25{,}8\,d}

$\Delta p/L$ — psi/ft, $\rho$ — ppg, $v$ — ft/s, $d$ — дюймы.

$1/25{,}8 = 2\cdot 7{,}48\cdot 12/(32{,}17\cdot 144)$ : 7,48 галлона в кубическом футе, 12 дюймов в футе, 32,17 — переход от фунта массы к фунту силы, 144 квадратных дюйма в квадратном футе.

Коэффициент трения ньютоновской жидкости: гладкая и шероховатая труба

f = \frac{0{,}0791}{\text{Re}^{0{,}25}}, \qquad \frac{1}{\sqrt f} = -4\lg\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,d} + \frac{1{,}255}{\text{Re}\sqrt f}\right)

где:

$\text{Re}$ число Рейнольдса; для вязкопластичного раствора — с пластической вязкостью $\rho v d/\eta_p$ , —
$\varepsilon$ абсолютная шероховатость стенки, м

Единицы: безразмерные; логарифм десятичный

Справедливо, если

первая формула (Блазиуса) — для гладкой трубы при $2100 < \text{Re} < 10^5$ ; вторая (Колбрука) — для шероховатой, её решают подбором;
для вязкопластичного раствора в турбулентном потоке подставляют пластическую вязкость: ДНС там почти не влияет на потери — это опытный результат;
в отечественных справочниках формула Блазиуса записана как $\lambda = 0{,}3164/\text{Re}^{0{,}25}$ — это то же самое, умноженное на 4.

Шероховатость важна при больших числах Рейнольдса; внутренняя поверхность бурильных труб достаточно гладкая, и обычно её не учитывают.

Для степенной жидкости опыты дали свою зависимость — корреляцию Доджа — Метцнера (Dodge–Metzner). Она связывает коэффициент трения с обобщённым числом Рейнольдса и показателем $n$ ; при $n = 1$ она совпадает с законом трения гладкой трубы для ньютоновской жидкости.

Коэффициент трения степенной жидкости (Додж — Метцнер)

\frac{1}{\sqrt f} = \frac{4}{n^{0{,}75}}\lg\left(\text{Re}\,f^{\,1 - n/2}\right) - \frac{0{,}395}{n^{1{,}2}}

где:

$f$ коэффициент трения Фаннинга, —
$\text{Re}$ обобщённое число Рейнольдса (формула выше), —
$n$ показатель нелинейности; для труб — по показаниям при 600 и 300 об/мин, —

Единицы: безразмерные; логарифм десятичный

Справедливо, если

гладкая труба, развитое турбулентное течение (обобщённое число Рейнольдса выше турбулентной границы);
решают подбором: $f$ стоит в обеих частях; удобное явное приближение $f \approx a/\text{Re}^{\,b}$ с $a = (\lg n + 3{,}93)/50$ и $b = (1{,}75 - \lg n)/7$ отличается на несколько процентов.

Чем меньше $n$ , тем меньше коэффициент трения при том же числе Рейнольдса: разжижающийся раствор в турбулентном потоке течёт «легче» ньютоновской жидкости.

Турбулентные потери в гладкой трубе через подачу

\frac{\Delta p}{L} = 0{,}241\,\frac{\rho^{0{,}75}\,Q^{1{,}75}\,\mu^{0{,}25}}{d^{4{,}75}}

где:

$Q$ подача, м³/с
$\mu$ вязкость; для раствора — пластическая, Па·с
$\rho,\ d$ плотность и внутренний диаметр, кг/м³, м

Единицы: СИ ( $\Delta p/L$ — Па/м)

Справедливо, если

получено подстановкой формулы Блазиуса в уравнение Фаннинга: $0{,}241 = 2\cdot 0{,}0791\cdot(4/\pi)^{1{,}75}$ ;
гладкая труба, $2100 < \text{Re} < 10^5$ .

Формула показывает чувствительности: подача +20 % — потери +38 %; внутренний диаметр −10 % — потери +65 %; плотность +10 % — потери +7,4 %; вязкость вдвое больше — потери лишь на 19 % больше.

В других системах единиц (1)

Промысловые единицы (oilfield)

\frac{\Delta p}{L} = \frac{\rho^{0{,}75}\,v^{1{,}75}\,\mu^{0{,}25}}{1800\,d^{1{,}25}} = \frac{\rho^{0{,}75}\,q^{1{,}75}\,\mu^{0{,}25}}{8630\,d^{4{,}75}}

$\Delta p/L$ — psi/ft, $\rho$ — ppg, $v$ — ft/s, $q$ — галлоны в минуту, $\mu$ — сП, $d$ — дюймы.

Те же формулы Блазиуса и Фаннинга в промысловых единицах (с ними связаны числа 25,8 и 928).

Расчётный примерПотери в бурильных трубах

Исходные данные (условные)

Трубы: внутренний диаметр 108,6 мм, длина 2850 м
Подача: 30 л/с
Раствор: 1,30 г/см³; по 600 и 300 об/мин $n = 0{,}670$ , $K = 0{,}345$ Па·сⁿ; ПВ 26 мПа·с

Решение

Скорость $v = 0{,}030/(\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}1086^2) = 3{,}2387$ м/с; $8v/d = 239$ с⁻¹.
Кажущаяся вязкость $\mu_a = 0{,}345\cdot 1{,}123^{0{,}670}\cdot 239^{-0{,}330} = 0{,}0612$ Па·с; $\text{Re} = \rho v d/\mu_a \approx 7500$ — больше турбулентной границы $4270 - 1370\cdot 0{,}670 = 3352$ .
Коэффициент трения по Доджу — Метцнеру (подбором): $f = 0{,}006478$ ; явное приближение: $a = 0{,}07512$ , $b = 0{,}2749$ , $f \approx a/\text{Re}^{\,b} = 0{,}00647$ .
Потери: $2\cdot 0{,}006478\cdot 1300\cdot 3{,}2387^2/0{,}1086 = 1627$ Па/м, на 2850 м — 4,64 МПа.
По модели Бингама: $\text{Re} = 1300\cdot 3{,}2387\cdot 0{,}1086/0{,}026 = 17\,586$ , $f = 0{,}0791/17\,586^{0{,}25} = 0{,}006869$ , потери 1725 Па/м, на 2850 м — 4,92 МПа.
Если по ошибке посчитать по ламинарной формуле степенной модели, получится 538 Па/м — в 3,0 раза меньше.

Ответ: Потери в бурильных трубах — около 4,64 МПа (4,92 МПа по модели Бингама); течение турбулентное.

Что это значит. В турбулентном потоке две модели расходятся всего на 6 %, потому что реология входит в расчёт слабо — через коэффициент трения. Зато ошибка в режиме течения меняет ответ втрое. Сравните с затрубьем, где всё наоборот: режим ламинарный, а выбор модели меняет результат на четверть. Данные примера условные.

Перепад давления на долоте

В насадках долота раствор разгоняется от нескольких метров в секунду до 60–150 м/с: давление переходит в кинетическую энергию струи, а энергия струи тратится у забоя — она отрывает и уносит шлам. Насадка короткая, и трение в ней мало по сравнению с разгоном, поэтому перепад давления на долоте не зависит от вязкости и ДНС — только от плотности, подачи и площади. Неизбежные потери на входе и в сужении учитывает коэффициент расхода (discharge coefficient) $C_d$ , обычно 0,95 (до 0,98 у хорошо обтекаемых насадок).

Перепад давления на насадках долота

\Delta p_{\text{д}} = \frac{\rho\,Q^2}{2\,C_d^2\,A^2}, \qquad A = \sum_i \frac{\pi d_i^2}{4}, \qquad v_{\text{н}} = \frac{Q}{A}

где:

$\Delta p_{\text{д}}$ перепад давления на долоте, Па
$Q$ подача, м³/с
$A$ суммарная площадь насадок (total flow area, TFA), м²
$d_i$ диаметры насадок, м
$C_d$ коэффициент расхода, —
$v_{\text{н}}$ скорость струи в насадках, м/с

Единицы: СИ

Справедливо, если

уравнение Бернулли для короткого сужения: скорость до насадки мала по сравнению со скоростью струи, трением и разницей высот пренебрегают, раствор несжимаем;
перепад одинаков на всех насадках, поэтому скорость струи во всех одинакова, а расход делится пропорционально их площадям;
не зависит от реологии, поэтому верен и для ньютоновских, и для неньютоновских жидкостей.

Перепад растёт как квадрат подачи и обратно пропорционален квадрату площади: насадки на 10 % меньше по диаметру дают на 52 % больший перепад.

В других системах единиц (2)

Метрические единицы

\Delta p_{\text{д}}\,[\text{МПа}] = \frac{500\,\rho\,[\text{г/см}^3]\;Q^2\,[\text{л/с}]}{C_d^2\;A^2\,[\text{мм}^2]}

плотность — г/см³, подача — л/с, площадь — мм².

$500 = 10^3\cdot 10^{-6}/(2\cdot 10^{-12})\cdot 10^{-6}$ : г/см³ → кг/м³, л/с → м³/с, мм² → м², Па → МПа.

Промысловые единицы (oilfield)

\Delta p_{\text{д}}\,[\text{psi}] = \frac{8{,}311\cdot 10^{-5}\,\rho\,[\text{ppg}]\;q^2\,[\text{gpm}]}{C_d^2\;A^2\,[\text{in}^2]}

плотность — ppg, подача — галлоны в минуту, площадь — квадратные дюймы.

$8{,}311\cdot10^{-5} = 8{,}074\cdot10^{-4}/3{,}117^2$ : $8{,}074\cdot10^{-4}\rho v^2$ — динамическое давление в psi при скорости в ft/s, а $v = q/(3{,}117A)$ .

Диаметры насадок по традиции указывают в 1/32 дюйма: «5 × 12» означает пять насадок по 12/32 дюйма (9,525 мм). Насадки одного долота могут быть разными — тогда площади складывают. Скорость в насадках и перепад одинаковы для всех, а расход каждой насадки пропорционален её площади.

Расчётный примерДолото с пятью насадками и одна забитая насадка

Исходные данные (условные)

Насадки: 5 × 12/32 дюйма, $C_d = 0{,}95$
Подача и раствор: 30 л/с, 1,30 г/см³

Решение

Диаметр насадки $12/32\cdot 25{,}4 = 9{,}525$ мм, площадь одной $\frac{\pi}{4}\cdot 9{,}525^2 = 71{,}26$ мм², суммарная $A = 5\cdot 71{,}26 = 356{,}3$ мм² (0,552 in²).
Скорость струй $v_{\text{н}} = 0{,}030/(356{,}3\cdot 10^{-6}) = 84{,}2$ м/с.
Перепад: $\Delta p_{\text{д}} = \dfrac{500\cdot 1{,}30\cdot 30^2}{0{,}95^2\cdot 356{,}3^2} = 5{,}11$ МПа.
Проверка в промысловых единицах: $q = 30\cdot 15{,}85 = 475{,}5$ gpm, $\rho = 1{,}30\cdot 8{,}345 = 10{,}85$ ppg; $\Delta p = 8{,}311\cdot10^{-5}\cdot 10{,}85\cdot 475{,}5^2/(0{,}95^2\cdot 0{,}552^2) = 741$ psi, или 5,11 МПа.
Одна насадка забита: $A = 4\cdot 71{,}26 = 285{,}0$ мм², перепад $5{,}11\cdot(5/4)^2 = 7{,}98$ МПа — давление на стояке вырастет на 2,87 МПа при той же подаче.

Ответ: Перепад на долоте — около 5,11 МПа при скорости струй 84,2 м/с; если забьётся одна насадка, он вырастет до 7,98 МПа.

Что это значит. Резкий рост давления на стояке при неизменной подаче — признак забитой насадки или сальника на компоновке; постепенное падение — признак промыва бурильной колонны, резкое — потери насадки (падение давления бывает и косвенным признаком проявления — Контроль скважины: первичный барьер и признаки проявления). Поэтому давление на стояке при известной подаче записывают и сравнивают с расчётом постоянно. Данные примера условные.

Давление на стояке: расчёт всей системы

Теперь соберём всё вместе для скважины из урока о реологии, на этот раз — с УБТ, наземной обвязкой и долотом. Расчёт идёт по участкам, и на каждом повторяются одни и те же шаги.

Порядок расчёта

1
Геометрия
Разбить путь раствора на участки с постоянными диаметрами: наземные линии, бурильные трубы, УБТ, насадки, участки затрубья (у УБТ, у труб в открытом стволе, в обсадной колонне).
2
Скорости
Для каждого участка — средняя скорость $v = Q/A$ .
3
Режим
Число Рейнольдса с эффективной вязкостью и сравнение с границами; параметры модели — по диапазону скоростей сдвига участка.
4
Градиенты
Ламинарный — по точным решениям для трубы и щели, турбулентный — по Фаннингу с подходящим $f$ ; в переходной области — большее из двух.
5
Сумма
Сложить потери с перепадом на долоте и сравнить с паспортным давлением насосов и с манометром на стояке.

Скважина и раствор примера

Элемент: Наземная обвязка
Размеры: стояк 101,6 мм; рукав и канал верхнего привода 76,2 мм
Длина: 30 м; 20 м; 8 м

Элемент: Бурильные трубы
Размеры: 127 × 108,6 мм
Длина: 2850 м

Элемент: УБТ
Размеры: 158,8 × 71,4 мм
Длина: 150 м

Элемент: Долото
Размеры: 215,9 мм, насадки 5 × 12/32 дюйма
Длина: —

Элемент: Обсадная колонна
Размеры: внутренний диаметр 222,4 мм
Длина: до 2300 м

Элемент: Открытый ствол
Размеры: 215,9 мм (по номиналу долота)
Длина: 2300–3000 м

Элемент	Размеры	Длина
Наземная обвязка	стояк 101,6 мм; рукав и канал верхнего привода 76,2 мм	30 м; 20 м; 8 м
Бурильные трубы	127 × 108,6 мм	2850 м
УБТ	158,8 × 71,4 мм	150 м
Долото	215,9 мм, насадки 5 × 12/32 дюйма	—
Обсадная колонна	внутренний диаметр 222,4 мм	до 2300 м
Открытый ствол	215,9 мм (по номиналу долота)	2300–3000 м

Скважина вертикальная. Раствор — 1,30 г/см³ с показаниями вискозиметра из урока о реологии; подача 30 л/с. Данные условные.

Расчётный примерДавление на стояке по участкам

Исходные данные (условные)

Скважина, компоновка и раствор: таблица выше
Модель: степенная: в трубах $n = 0{,}670$ , $K = 0{,}345$ Па·сⁿ, в затрубье $n = 0{,}383$ , $K = 1{,}64$ Па·сⁿ

Решение

Наземная обвязка: скорости 3,70 м/с в стояке и 6,58 м/с в рукаве, течение турбулентное (Re около 8500 и 15 100); потери $0{,}065 + 0{,}156 + 0{,}062 = 0{,}28$ МПа.
Бурильные трубы (пример выше): 4,64 МПа. УБТ: скорость 7,49 м/с, $\text{Re} \approx 17\,200$ , градиент 10 418 Па/м, на 150 м — 1,56 МПа.
Долото: 5,11 МПа.
Затрубье, течение везде ламинарное: у УБТ $1314\cdot 150 = 0{,}20$ МПа; у труб в открытом стволе $622\cdot 550 = 0{,}34$ МПа; в колонне $545\cdot 2300 = 1{,}25$ МПа; всего 1,79 МПа.
Давление на стояке: $0{,}28 + 4{,}64 + 1{,}56 + 5{,}11 + 1{,}79 = 13{,}38$ МПа (1941 psi). Доли: колонна с обвязкой 48 %, долото 38 %, затрубье 13 %.
Гидравлическая мощность: $13{,}38\cdot 30 = 401$ кВт.
По модели Бингама (пластическая вязкость в трубах, упрощённые ламинарные формулы в затрубье) получается 14,64 МПа, из них в затрубье 2,39 МПа.

Ответ: Давление на стояке — около 13,38 МПа; почти половину съедает бурильная колонна, на долото приходится 38 %, на затрубье — 13 %.

Что это значит. Для насосов затрубье — малая статья расхода, но только эта статья давит на пласт: 1,79 МПа — это ЭЦП, которую разберём в следующем разделе. Бурильные трубы — главная «бесполезная» потеря; трубы большего внутреннего диаметра снизили бы её сильнее всего (потери обратно пропорциональны диаметру почти в пятой степени). Если манометр на стояке показывает заметно другое число, причины ищут в реальной скважине: замки бурильных труб, каверны, температура на забое, шлам, износ насадок, точность расходомера. Данные примера условные.

Расчёт по участкам: степенная модель, 30 л/с

Участок: стояк
$v$ , м/с: 3,70
Re: 8500
Режим: турбулентный
$\Delta p$ , МПа: 0,07

Участок: буровой рукав
$v$ , м/с: 6,58
Re: 15 100
Режим: турбулентный
$\Delta p$ , МПа: 0,16

Участок: канал верхнего привода
$v$ , м/с: 6,58
Re: 15 100
Режим: турбулентный
$\Delta p$ , МПа: 0,06

Участок: бурильные трубы
$v$ , м/с: 3,24
Re: 7500
Режим: турбулентный
$\Delta p$ , МПа: 4,64

Участок: УБТ
$v$ , м/с: 7,49
Re: 17 200
Режим: турбулентный
$\Delta p$ , МПа: 1,56

Участок: насадки долота
$v$ , м/с: 84
Re: —
Режим: —
$\Delta p$ , МПа: 5,11

Участок: затрубье: УБТ в открытом стволе
$v$ , м/с: 1,79
Re: 2700
Режим: ламинарный
$\Delta p$ , МПа: 0,20

Участок: затрубье: трубы в открытом стволе
$v$ , м/с: 1,25
Re: 1800
Режим: ламинарный
$\Delta p$ , МПа: 0,34

Участок: затрубье: трубы в колонне
$v$ , м/с: 1,15
Re: 1600
Режим: ламинарный
$\Delta p$ , МПа: 1,25

Участок	$v$ , м/с	Re	Режим	$\Delta p$ , МПа
стояк	3,70	8500	турбулентный	0,07
буровой рукав	6,58	15 100	турбулентный	0,16
канал верхнего привода	6,58	15 100	турбулентный	0,06
бурильные трубы	3,24	7500	турбулентный	4,64
УБТ	7,49	17 200	турбулентный	1,56
насадки долота	84	—	—	5,11
затрубье: УБТ в открытом стволе	1,79	2700	ламинарный	0,20
затрубье: трубы в открытом стволе	1,25	1800	ламинарный	0,34
затрубье: трубы в колонне	1,15	1600	ламинарный	1,25

Для насадок вместо скорости потока указана скорость струи. Число Рейнольдса — обобщённое, в затрубье — по гидравлическому диаметру. Границы ламинарного режима: в трубах 2552, в затрубье 2945.

РасчётРасчётные составляющие давления на стояке в зависимости от подачи для скважины примера (степенная модель, логарифмические шкалы). Наклон линии — показатель степени: у долота 2, у колонны около 1,6, у ламинарного затрубья около 0,3–0,4. При малых подачах затрубье — заметная доля давления, при больших — почти незаметная.

ЭЦП по стволу и давление поглощения

Затрубные потери копятся сверху вниз: на глубине $h$ к гидростатике добавляются потери всех участков затрубья выше этой глубины. Пока ствол закреплён одной колонной с постоянным зазором, градиент потерь постоянен, и ЭЦП в колонне не меняется с глубиной; ниже башмака она растёт, а у УБТ, где зазор узкий, — быстрее всего. Опасные точки — башмак, где порода обычно слабее всего (допустимые давления), и любой пласт открытого ствола с низким давлением поглощения.

ЭЦП для затрубья из нескольких участков

\rho_{ECD}(h) = \rho_m + \frac{1}{g\,h}\sum_i \left(\frac{\Delta p}{L}\right)_i \Delta L_i

где:

$\rho_{ECD}(h)$ эквивалентная циркуляционная плотность на глубине $h$ , кг/м³
$(\Delta p/L)_i$ градиент потерь на $i$ -м участке затрубья, Па/м
$\Delta L_i$ длина $i$ -го участка выше глубины $h$ (участок, через который проходит $h$ , — только его верхняя часть), м
$\rho_m,\ g,\ h$ плотность раствора, ускорение свободного падения, глубина по вертикали, кг/м³, м/с², м

Единицы: СИ; в метрических единицах $g h \to 0{,}00981\,h$ (г/см³, МПа, м)

Справедливо, если

скважина вертикальная; в наклонной потери берут по длине ствола, а гидростатику и $h$ — по вертикали;
шлам в затрубье не учтён: он утяжеляет столб (см. пример);
установившаяся циркуляция; при пуске насосов к потерям добавляется давление на разрушение геля (давление восстановления циркуляции).

ЭЦП — средневзвешенная по глубине величина: участок ниже башмака на ЭЦП у башмака не влияет вовсе, а на забое его потери делятся на всю глубину, поэтому короткий участок с большим градиентом поднимает её там лишь немного.

РасчётРасчётная ЭЦП по глубине для скважины примера при 30 л/с: по степенной модели (сплошная линия) и по модели Бингама (штриховая). В колонне ЭЦП постоянна, ниже башмака растёт; модель Бингама даёт на 0,02 г/см³ больше. Точки — давление поглощения под башмаком (1,42 г/см³) и поровое давление на забое (1,24 г/см³).

Расчётный примерЭЦП у башмака и на забое, шлам и подача

Исходные данные (условные)

Скважина и раствор: пример «Давление на стояке по участкам»
Давление поглощения под башмаком (2300 м): 1,42 г/см³ по испытанию
Поровое давление на забое: 1,24 г/см³
Механическая скорость: 25 м/ч; шлам плотностью 2,6 г/см³

Решение

Выше башмака — только участок в колонне с постоянным градиентом 545 Па/м. Столб раствора плотностью 1 г/см³ даёт 9810 Па/м, поэтому в колонне на любой глубине $\rho_{ECD} = 1{,}30 + 545/9810 = 1{,}356$ г/см³; запас до давления поглощения 0,064 г/см³.
На забое — все затрубные потери: $1{,}30 + \dfrac{1{,}79}{0{,}00981\cdot 3000} = 1{,}361$ г/см³. Репрессия на пласт при циркуляции 0,121 г/см³ вместо 0,06 г/см³ без циркуляции.
По модели Бингама: у башмака 1,375 г/см³ (запас 0,045 г/см³), на забое 1,381 г/см³.
Шлам (пористостью породы пренебрегаем — это немного завышает его объём): объём выбуренной породы $\dfrac{25}{3600}\cdot 0{,}0366 = 0{,}000254$ м³/с; без проскальзывания его доля в затрубье $0{,}000254/(0{,}030 + 0{,}000254) = 0{,}0084$ , утяжеление $0{,}0084\cdot(2{,}6 - 1{,}30) = 0{,}011$ г/см³. Если шлам поднимается вдвое медленнее раствора, доля 0,0167 и утяжеление 0,022 г/см³: ЭЦП у башмака 1,38 г/см³.
Подача 36 л/с вместо 30: ЭЦП у башмака 1,360 г/см³ (+0,004), а давление на стояке 18,0 МПа вместо 13,4.

Ответ: ЭЦП у башмака — 1,356 г/см³ (1,375 по модели Бингама), запас до давления поглощения 0,064 г/см³; с шламом при 25 м/ч он сокращается до 0,04 г/см³.

Что это значит. Запас в несколько сотых г/см³ — обычное дело, и его легко «съесть»: шлам при быстром бурении, загустевший раствор, скачок давления при спуске труб. Подача здесь влияет на ЭЦП слабо — затрубье ламинарное, а раствор сильно разжижается при сдвиге, — зато сильно поднимает давление на стояке: подачу ограничивают насосы, а не пласт. В узких зазорах (хвостовики, скважины малого диаметра) картина обратная, и подачу ограничивает ЭЦП. Расчёт по модели Бингама осторожнее: если окно узкое, свойства раствора при малых скоростях сдвига измеряют и считают по моделям, которые их описывают. Данные примера условные.

Остановили насосы — ЭЦП исчезла

Когда насосы останавливают, давление на забое падает до гидростатики: в примере — на 0,06 г/см³ в эквиваленте, с 1,36 до 1,30 г/см³. Если пласт удерживала только ЭЦП, при наращивании и перед подъёмом он может начать проявлять (Контроль скважины: первичный барьер и признаки проявления). Поэтому плотность раствора подбирают по поровому давлению без учёта ЭЦП, а ЭЦП проверяют по давлению поглощения — это две разные границы окна.

Как потери меняются с подачей и свойствами раствора

Слагаемые баланса по-разному откликаются на подачу, плотность и реологию. Это нужно знать, чтобы понимать, что изменится после утяжеления, разбавления или смены насадок, и чтобы не пересчитывать давления одной формулой.

От чего и как зависят слагаемые

Слагаемое: Долото
Подача $Q$: $Q^2$
Плотность: $\rho$
Реология: не зависит

Слагаемое: Трубы, турбулентно
Подача $Q$: $Q^{1{,}6}$ – $Q^{1{,}75}$
Плотность: около $\rho^{0{,}75}$
Реология: слабо: около $\eta_p^{0{,}25}$

Слагаемое: Затрубье, ламинарно (Бингам)
Подача $Q$: вязкая часть $\propto Q$ ; часть ДНС не зависит
Плотность: не зависит
Реология: $\eta_p$ и $\tau_0$ — прямо

Слагаемое: Затрубье, ламинарно (степенная)
Подача $Q$: $Q^{\,n}$
Плотность: не зависит
Реология: $K$ — прямо

Слагаемое: Гидростатика
Подача $Q$: не зависит
Плотность: $\rho$
Реология: не зависит

Слагаемое	Подача $Q$	Плотность	Реология
Долото	$Q^2$	$\rho$	не зависит
Трубы, турбулентно	$Q^{1{,}6}$ – $Q^{1{,}75}$	около $\rho^{0{,}75}$	слабо: около $\eta_p^{0{,}25}$
Затрубье, ламинарно (Бингам)	вязкая часть $\propto Q$ ; часть ДНС не зависит	не зависит	$\eta_p$ и $\tau_0$ — прямо
Затрубье, ламинарно (степенная)	$Q^{\,n}$	не зависит	$K$ — прямо
Гидростатика	не зависит	$\rho$	не зависит

Сильнее всего от диаметров зависят турбулентные потери в трубах ( $d^{-4{,}75}$ ) и перепад на долоте ( $A^{-2}$ ); ламинарные потери в затрубье — от ширины зазора: вязкая часть как $(D-d)^{-3}$ при той же подаче, часть ДНС — как $(D-d)^{-1}$ .

Из-за этого потери в системе (всё, кроме долота) растут с подачей примерно как $Q^m$ , где $m$ — средневзвешенный показатель: около 1,6–1,8, когда основную долю дают турбулентные трубы, и заметно меньше, когда велика доля ламинарного затрубья. Показатель $m$ определяют по двум замерам давления на стояке при разных подачах, вычитая из каждого рассчитанный перепад на долоте: $m = \ln(\Delta p_2/\Delta p_1)/\ln(Q_2/Q_1)$ . Им пользуются при выборе насадок (Оптимизация гидравлики долота).

Расчётный примерПочему давление на пониженной подаче замеряют, а не считают

Исходные данные (условные)

Скважина и раствор: пример «Давление на стояке по участкам»: 30 л/с — 13,38 МПа
Пониженная подача (например, для глушения): 10 л/с

Решение

Наивный пересчёт с показателем 1,8: $13{,}38\cdot(10/30)^{1{,}8} = 1{,}85$ МПа.
Расчёт по участкам при 10 л/с: колонна с обвязкой 1,050 МПа (в бурильных трубах течение становится ламинарным: $\text{Re} = 1734$ меньше 2552), долото 0,567 МПа, затрубье 1,177 МПа; всего 2,794 МПа.
Доля затрубья выросла с 13 % до 42 %: ламинарные потери почти не уменьшаются с подачей.

Ответ: При 10 л/с давление на стояке — около 2,8 МПа, а не 1,85 МПа, как дал бы пересчёт одной степенью.

Что это значит. Ошибка в полтора раза — это ошибка в забойном давлении при глушении, которое держат по давлению в трубах. Поэтому давление на пониженной подаче (slow circulating rate pressure, SCR) регулярно замеряют насосом на буровой (Глушение скважины после проявления). Модель урока тоже упрощает: в переходном режиме реальные потери могут отличаться, — и это ещё один довод в пользу замера. Данные примера условные.

Спуск и подъём труб: колебания давления

Те же формулы описывают колебания давления при движении колонны без циркуляции. При спуске колонна вытесняет раствор, и он должен уйти вверх по затрубью — давление под долотом растёт (surge); при подъёме освобождённый объём заполняется раствором сверху — давление падает (свабирование, или поршневание; swab). Что это значит для контроля скважины, разобрано в уроке Контроль скважины: первичный барьер и признаки проявления; здесь — как это посчитать.

Скорость раствора в затрубье при движении колонны с закрытым концом

v_{\text{з}} = v_{\text{тр}}\left(\frac{d^2}{D^2 - d^2} + K_c\right)

где:

$v_{\text{з}}$ расчётная скорость раствора в затрубье относительно стенки, м/с
$v_{\text{тр}}$ скорость движения колонны; берут наибольшую за ход свечи — около полутора средних, м/с
$d,\ D$ наружный диаметр труб (УБТ) и диаметр ствола или колонны, м
$K_c$ коэффициент увлечения (clinging constant): часть раствора движется вместе с трубой; в ламинарном потоке около 0,4–0,5, —

Единицы: СИ

Справедливо, если

конец колонны закрыт (обратный клапан в компоновке): весь вытесненный объём идёт через затрубье; у открытой колонны часть раствора проходит внутри, и колебания меньше — расчёт с закрытым концом осторожный;
течение установившееся и ламинарное; разгон и торможение колонны и разрушение геля в начале движения добавляют к расчёту кратковременные пики;
потери считают по ламинарным формулам затрубья — с моделью, описывающей раствор при малых скоростях сдвига.

Первое слагаемое — вытеснение объёма металла, второе — раствор, который труба тянет за собой. Давление колебаний — сумма потерь по всем участкам затрубья от долота до устья при этих скоростях.

Расчётный примерСвабирование при подъёме из скважины примера

Исходные данные (условные)

Скважина и раствор: пример «Давление на стояке по участкам»; колонна с обратным клапаном
Наибольшая скорость подъёма: 0,6 м/с; $K_c = 0{,}45$
Поровое давление на забое: 1,24 г/см³ (репрессия без циркуляции — 0,06 г/см³)

Решение

Отношения $d^2/(D^2 - d^2)$ : в колонне 0,484, у труб в открытом стволе 0,529, у УБТ 1,179. Скорости раствора: 0,560, 0,587 и 0,977 м/с.
Градиенты по степенной модели (100 и 3 об/мин), течение ламинарное (Re от 496 до 1001): 414,3, 465,1 и 1042,8 Па/м.
Снижение давления на забое: $414{,}3\cdot 2300 + 465{,}1\cdot 550 + 1042{,}8\cdot 150 = 1{,}365$ МПа, то есть $1{,}365/(0{,}00981\cdot 3000) = 0{,}046$ г/см³ в эквиваленте.
Во время подъёма на забой действует $1{,}30 - 0{,}046 = 1{,}254$ г/см³ — выше порового давления 1,24 г/см³, но запас лишь 0,40 МПа.
При вдвое большей скорости, 1,2 м/с: свабирование 1,78 МПа — больше всей репрессии 1,77 МПа.
По модели Бингама (упрощённая формула) при 0,6 м/с получилось бы 2,10 МПа — больше всей репрессии.

Ответ: При 0,6 м/с давление на забое снижается на 1,365 МПа (0,046 г/см³); при 1,2 м/с свабирование превысит репрессию.

Что это значит. Свабирование здесь слабо зависит от скорости (вдвое быстрее — на треть больше): раствор с $n = 0{,}38$ ведёт себя почти как пластичное тело. Поэтому против свабирования помогают не только медленный подъём, но и раствор с невысокими ДНС и гелями — и, главное, учёт объёмов долива. Модель Бингама сильно завышает колебания: при малых скоростях сдвига истинное напряжение много меньше ДНС; но в первые секунды движения, пока не разрушен гель, пик давления действительно может быть большим. При спуске та же добавка со знаком «плюс» складывается с гидростатикой, и сумму сравнивают с давлением поглощения под башмаком. Данные примера условные.

Термины и обозначения

Давление на стояке: давление на манометре нагнетательной линии при циркуляции — сумма потерь во всей системе.
Потери в системе: потери давления в обвязке, колонне и затрубье — всё, кроме перепада на долоте.
Напряжение сдвига у стенки, $\tau_w$: сила трения о стенку на единицу площади; ламинарные потери $4\tau_w/d$ .
Обобщённое число Рейнольдса: число Рейнольдса с кажущейся вязкостью у стенки; для степенной жидкости ламинарная граница $3470 - 1370n$ .
Коэффициент трения Фаннинга, $f$: безразмерное $2\tau_w/(\rho v^2)$ ; в ламинарном потоке в трубе $16/\text{Re}$ ; $\lambda = 4f$ .
Гидравлический диаметр: учетверённая площадь сечения, делённая на смоченный периметр; для затрубья $D - d$ .
Суммарная площадь насадок (TFA): сумма площадей сечения всех насадок долота; по ней считают перепад давления и скорость струй.
Коэффициент расхода, $C_d$: поправка к скорости струи на потери в насадке; обычно 0,95.
ЭЦП: плотность раствора плюс затрубные потери выше данной глубины, выраженные плотностью.
Коэффициент увлечения, $K_c$: доля скорости колонны, с которой раствор движется вместе с трубой при спуске и подъёме.

Частые ошибки и заблуждения

Неверно

«Чем гуще раствор, тем больше давление на насосах — значит, разжижим раствор и решим проблему давления».

На самом деле

Основные потери — на долоте и в турбулентных трубах, а они от реологии почти не зависят. Разжижение заметно снижает затрубные потери, то есть ЭЦП, но мало меняет давление на стояке.

Неверно

«Затрубье можно считать по тем же параметрам, что и трубы».

На самом деле

Скорости сдвига в затрубье в несколько раз меньше. Параметры по 600 и 300 об/мин занижают потери степенной модели, а модель Бингама их завышает; для затрубья берут показания при малых частотах или модель Гершеля — Балкли.

Неверно

«Если течение турбулентное, ДНС важно так же, как в ламинарном потоке».

На самом деле

В турбулентном потоке ДНС почти не влияет на потери: их определяют плотность, подача, диаметр и пластическая вязкость (слабо).

Неверно

«ЭЦП на забое и у башмака одинакова».

На самом деле

У башмака учитывают только потери выше башмака. Короткий участок с узким зазором у забоя поднимает ЭЦП на забое, но не у башмака.

Неверно

«Медленный подъём полностью устраняет свабирование».

На самом деле

У разжижающегося раствора потери слабо зависят от скорости, а гель в начале движения даёт пик давления. Важны и свойства раствора, и контроль объёмов долива.

Подробно: для продвинутых

Точные ламинарные решения и эквивалентные диаметры

Для вязкопластичной жидкости в трубе точное решение (уравнение Букингема) связывает среднюю скорость с напряжением у стенки: $v = \dfrac{\tau_w d}{8\eta_p}\left(1 - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{x^4}{3}\right)$ , где $x = \tau_0/\tau_w$ . Отбросив член $x^4/3$ , получаем $\tau_w \approx 8\eta_p v/d + 4\tau_0/3$ и, после умножения на $4/d$ , упрощённую формулу урока. Отброшенный член положителен, поэтому упрощение завышает потери, и тем сильнее, чем ближе $\tau_0$ к $\tau_w$ .

Для щели (затрубья) общий путь такой. Напряжение растёт от нуля в середине щели до $\tau_w$ у стенки линейно; скорость сдвига при каждом напряжении даёт модель, и интегрирование по сечению связывает среднюю скорость с $\tau_w$ : $v = \dfrac{h}{\tau_w^2}\displaystyle\int_0^{\tau_w}\tau\,\dot\gamma(\tau)\,\dd\tau$ , где $h = (D-d)/4$ — половина ширины щели. Для ньютоновской жидкости это даёт $48\mu v/(D-d)^2$ , для степенной — формулу урока, для модели Гершеля — Балкли интеграл берётся в элементарных функциях, а $\tau_w$ находят подбором.

Ньютоновская жидкость в концентричном затрубье: точное решение

\frac{\Delta p}{L} = \frac{32\,\mu\,v}{D^2 + d^2 - \dfrac{D^2 - d^2}{\ln(D/d)}}

где:

$\mu$ вязкость, Па·с
$v$ средняя скорость в затрубье, м/с
$D,\ d$ наружный и внутренний диаметры кольца, м

Единицы: СИ; логарифм натуральный

Справедливо, если

ламинарное течение ньютоновской жидкости в концентричном кольце, трубы не вращаются.

Сравнение со щелью и с трубой даёт три «эквивалентных диаметра» затрубья: гидравлический $D - d$ ; ламинарный — корень из знаменателя этой формулы, при котором формула Пуазёйля даёт точный ответ; щелевой $0{,}816\,(D - d)$ , при котором формула Пуазёйля даёт ответ для щели. Для колонны 222,4 мм и труб 127 мм это 95,4, 78,1 и 77,9 мм: щель почти точна, а гидравлический диаметр годится для числа Рейнольдса, но не для ламинарных потерь.

Какая модель ближе к правде

Сравним для участка затрубья в колонне (30 л/с, скорость 1,15 м/с) пять способов расчёта ламинарных потерь — все по показаниям одного и того же раствора. Модель Гершеля — Балкли лучше всех описывает раствор во всём диапазоне скоростей сдвига (урок о реологии), поэтому её точное решение можно считать ориентиром.

Затрубье в колонне: градиент потерь и ЭЦП у башмака по разным моделям

Модель и способ: Бингам, упрощённая формула (как в уроке о реологии)
Градиент, Па/м: 736
ЭЦП у башмака, г/см³: 1,375

Модель и способ: Бингам, точное решение для щели
Градиент, Па/м: 672
ЭЦП у башмака, г/см³: 1,369

Модель и способ: степенная, по 600 и 300 об/мин
Градиент, Па/м: 447
ЭЦП у башмака, г/см³: 1,346

Модель и способ: степенная, по 100 и 3 об/мин
Градиент, Па/м: 545
ЭЦП у башмака, г/см³: 1,356

Модель и способ: Гершель — Балкли, точное решение для щели
Градиент, Па/м: 507
ЭЦП у башмака, г/см³: 1,352

Модель и способ	Градиент, Па/м	ЭЦП у башмака, г/см³
Бингам, упрощённая формула (как в уроке о реологии)	736	1,375
Бингам, точное решение для щели	672	1,369
степенная, по 600 и 300 об/мин	447	1,346
степенная, по 100 и 3 об/мин	545	1,356
Гершель — Балкли, точное решение для щели	507	1,352

Раствор 1,30 г/см³ с показаниями урока о реологии; точные решения для щели найдены подбором напряжения у стенки.

Модель Бингама завышает потери в затрубье примерно на треть даже в точном решении — это свойство самой модели, а не упрощения формулы. Степенная модель по 600 и 300 об/мин занижает их на 10–15 %, по 100 и 3 об/мин — отличается от ориентира меньше чем на 10 %. Разница между крайними оценками — 0,03 г/см³ ЭЦП: для узкого окна это много, поэтому современные методики расчёта гидравлики используют модель Гершеля — Балкли с показаниями при малых частотах, по возможности измеренными при забойных температуре и давлении.

Критерий Хедстрёма для вязкопластичной жидкости

Простое правило «эффективная вязкость и граница 2100» для вязкопластичной жидкости — лишь оценка. Ядро потока, которое движется как твёрдое тело, гасит возмущения, и ламинарный режим держится до чисел Рейнольдса, рассчитанных по пластической вязкости, намного больших 2100. Где наступает переход, точнее показывает безразмерное число Хедстрёма (Hedström number); в отечественной практике его традиционно используют при расчёте течения вязкопластичных растворов.

Число Хедстрёма и критическое число Рейнольдса (форма Хэнкса)

\text{He} = \frac{\rho\,\tau_0\,d^2}{\eta_p^2}, \qquad \frac{x}{(1 - x)^3} = \frac{\text{He}}{16\,800}, \qquad \text{Re}_{\text{кр}} = \frac{\text{He}}{8x}\left(1 - \frac{4x}{3} + \frac{x^4}{3}\right)

где:

$\text{He}$ число Хедстрёма, —
$x$ отношение $\tau_0/\tau_w$ в момент перехода, —
$\text{Re}_{\text{кр}}$ критическое число Рейнольдса $\rho v d/\eta_p$ (с пластической вязкостью), —
$d$ диаметр трубы; для затрубья приближённо — гидравлический диаметр, м

Единицы: безразмерные

Справедливо, если

вязкопластичная жидкость в круглой трубе; для затрубья с гидравлическим диаметром — приближение.
при $\text{He} \to 0$ критическое число стремится к 2100, как у ньютоновской жидкости.

Чем больше ДНС по сравнению с вязкостью и чем шире канал, тем позже наступает турбулентность.

Расчётный примерБурильные трубы и затрубье у УБТ по критерию Хедстрёма

Исходные данные (условные)

Раствор: 1,30 г/см³, ПВ 26 мПа·с, ДНС 9,20 Па; 30 л/с
Каналы: трубы 108,6 мм; затрубье у УБТ с зазором 57,1 мм

Решение

Трубы: $\text{He} = 1300\cdot 9{,}20\cdot 0{,}1086^2/0{,}026^2 = 208\,662$ ; $x = 0{,}6299$ ; $\text{Re}_{\text{кр}} \approx 8800$ . Число Рейнольдса с пластической вязкостью 17 586 — больше: течение турбулентное.
Затрубье у УБТ: $\text{He} = 1300\cdot 9{,}20\cdot 0{,}0571^2/0{,}026^2 = 57\,684$ , $x = 0{,}4807$ , $\text{Re}_{\text{кр}} \approx 5700$ ; число Рейнольдса 5097 — меньше: течение ламинарное, хотя простое правило ставило его на границу (около 2110).

Ответ: В трубах течение турбулентное (17 586 > 8800), в затрубье у УБТ — ламинарное (5097 < 5700).

Что это значит. Критерий Хедстрёма согласуется с выводом степенной модели (ламинарный режим у УБТ) и снимает сомнение, которое оставило простое правило. Данные примера условные.

Что не учитывает расчёт и куда это смещает результат

Эксцентриситет. Колонна обычно лежит у стенки, особенно в наклонном стволе. В широкой части кольца раствору легче течь, и ламинарные потери в эксцентричном затрубье меньше, чем в концентричном, — расчёт их завышает (до десятков процентов при трубе, лежащей на стенке). Зато в узкой части раствор почти стоит, и шлам там копится.
Вращение колонны. Меняет течение в затрубье; в узких зазорах и при больших частотах вращения потери и ЭЦП обычно растут. Расчёт без вращения это не учитывает.
Замки бурильных труб. Местные сужения внутри и снаружи колонны добавляют потери — расчёт по гладкой трубе их занижает, особенно в затрубье при малых зазорах.
Температура и давление. Пластическая вязкость на горячем забое меньше, чем при замере в 50 °C, — расчёт по таким замерам обычно завышает вязкую часть потерь (ДНС при нагреве может и расти); вязкость углеводородной основы растёт с давлением (Растворы на углеводородной основе) — в таких растворах возможна обратная ошибка.
Каверны и шлам. Размытый ствол шире номинала — потери меньше расчётных; шлам и шламовые подушки в наклонных стволах сужают сечение и утяжеляют столб — ЭЦП выше расчётной.
Снижение сопротивления полимерами. В турбулентном потоке длинные молекулы полимеров гасят вихри у стенки, и потери в трубах бывают заметно ниже, чем по корреляциям для гладкой трубы.

Связь с другими темами

Реология буровых растворов и режимы течения — модели течения, параметры по вискозиметру, режимы и упрощённая формула потерь в затрубье.
Градиент гидроразрыва и испытание на поглощение — давление поглощения под башмаком, с которым сравнивают ЭЦП.
Контроль скважины: первичный барьер и признаки проявления — свабирование, остановка насосов и газирование раствора как причины проявлений.
Глушение скважины после проявления — давление на пониженной подаче и давления циркуляции при глушении.
Оптимизация гидравлики долота — как распределить давление насосов между долотом и системой.
Отклоняющие инструменты и забойные двигатели — перепад давления на забойном двигателе и что он говорит о нагрузке.
Промысловые испытания бурового раствора — как измеряют реологию раствора, по которой считают потери.
Растворы на углеводородной основе — реология и плотность растворов на углеводородной основе при забойных давлении и температуре.

Проверьте себя

1
Подачу увеличили с 25 до 30 л/с, раствор и насадки те же. Во сколько раз вырастет перепад давления на долоте?
1. А.Примерно в 1,44 раза
2. Б.Не изменится: перепад определяют насадки
3. В.Примерно в 1,38 раза
4. Г.В 1,2 раза
Показать ответ
Правильный ответ: А. Примерно в 1,44 раза
Перепад на насадках пропорционален квадрату подачи: $(30/25)^2 = 1{,}44$ . Примерно в 1,34–1,38 раза (показатель 1,6–1,75) выросли бы турбулентные потери в трубах, а ламинарные потери в затрубье — гораздо меньше.
2
Раствор 1,40 г/см³ с пластической вязкостью 30 мПа·с и ДНС 7 Па течёт со средней скоростью 0,8 м/с в трубе с внутренним диаметром 70 мм. Проверьте режим и найдите потери на 1 м.
Показать ответ
Эффективная вязкость $0{,}030 + 7\cdot 0{,}07/(6\cdot 0{,}8) \approx 0{,}132$ Па·с; $\text{Re} = 1400\cdot 0{,}8\cdot 0{,}07/0{,}132 \approx 590$ — ламинарное течение. Потери $32\cdot 0{,}030\cdot 0{,}8/0{,}07^2 + 16\cdot 7/(3\cdot 0{,}07) \approx 157 + 533 \approx 690$ Па/м. Почти четыре пятых дало слагаемое ДНС: в медленном потоке оно главное.
3
На каком участке циркуляционной системы течение раствора чаще всего ламинарное?
1. А.В затрубье против бурильных труб
2. Б.В насадках долота
3. В.В бурильных трубах
4. Г.В наземной обвязке
Показать ответ
Правильный ответ: А. В затрубье против бурильных труб
В затрубье скорость низкая, а кажущаяся вязкость разжижающегося раствора при малом сдвиге велика, поэтому обобщённое число Рейнольдса меньше границы. В трубах и обвязке скорости в несколько раз выше, течение турбулентное; в насадках — струя.
4
Затрубье: 2500 м в обсадной колонне с градиентом потерь 500 Па/м, ниже — 400 м открытого ствола с градиентом 900 Па/м. Раствор 1,20 г/см³. Найдите ЭЦП у башмака (2500 м) и на забое (2900 м).
Показать ответ
У башмака: $1{,}20 + 500\cdot 2500\cdot 10^{-6}/(0{,}00981\cdot 2500) = 1{,}20 + 1{,}25/24{,}5 \approx 1{,}251$ г/см³. На забое: потери $1{,}25 + 0{,}36 = 1{,}61$ МПа, $1{,}20 + 1{,}61/(0{,}00981\cdot 2900) \approx 1{,}257$ г/см³. Участок ниже башмака на ЭЦП у башмака не влияет, а на забое она лишь на 0,006 г/см³ больше: потери этого участка делятся на всю глубину.
5
При неизменной подаче давление на стояке скачком выросло на 2,5 МПа. Что вероятнее всего?
1. А.Промыв бурильной трубы
2. Б.Раствор разбавили водой
3. В.Потеряна насадка долота
4. Г.Забита одна из насадок долота или образовался сальник на компоновке
Показать ответ
Правильный ответ: Г. Забита одна из насадок долота или образовался сальник на компоновке
Уменьшение площади насадок или сечения затрубья повышает давление. Промыв трубы и потеря насадки, наоборот, открывают дополнительный путь раствору и снижают давление; разбавление раствора тоже его снижает.
6
Почему давление на стояке при пониженной подаче нельзя получить, умножив давление при бурении на $(Q_2/Q_1)^2$ ?
Показать ответ
Квадратично растёт только перепад на долоте. Турбулентные потери в трубах растут в степени 1,6–1,75, а при малой подаче течение в них может стать ламинарным; ламинарные потери в затрубье почти не зависят от подачи. Поэтому при малой подаче доля затрубья растёт, и пересчёт занижает давление. Давление на пониженной подаче замеряют.

Обновлено: 8 октября 2026 г.