Дисконтирование и приведённая стоимость

Quick refresher

Деньги сегодня ценнее тех же денег завтра: их можно вложить и получить доход. Дисконтирование — операция, обратная начислению сложных процентов.
$PV = FV\,(1+i)^{-n}$ ; множитель $(1+i)^{-n}$ — коэффициент дисконтирования. Ставку подставляют в долях единицы: 10 % — это 0,10.
Чем выше ставка и дальше платёж, тем меньше приведённая стоимость. При 10 % доллар через 10 лет стоит сегодня 0,39 доллара, через 30 лет — 0,06.
Приведённые к одному моменту суммы можно складывать и сравнивать; суммы разных лет без приведения — нельзя.
Результат зависит от соглашения о моменте платежа: при 10 % перенос годовых потоков с конца на середину года увеличивает приведённую стоимость примерно на 4,9 %.
Приведённая стоимость имеет смысл, только если ставка отражает доходность, действительно доступную инвестору; выбор ставки — отдельная задача.

Key relationships

PV = \dfrac{FV}{(1+i)^{n}} = FV\cdot DF_n

приведённая стоимость одной будущей суммы

DF_n = (1+i)^{-n} = \dfrac{DF_{n-1}}{1+i}

коэффициент дисконтирования: каждый следующий год делит предыдущий на $1+i$

PV = \sum_t CF_t\,(1+i)^{-t}

приведённая стоимость ряда платежей; все $t$ отсчитаны от одного начала

t = n - 0{,}5

показатель степени для потока года $n$ при соглашении «середина года» и отсчёте от начала первого года

Common pitfalls

Подставлять ставку в процентах вместо доли: $(1+10)^{-5}$ вместо $1{,}10^{-5}$ .
Ошибаться в показателе степени: считать от другого начала отсчёта или смешивать соглашения «конец года» и «середина года» в одном расчёте.
Дисконтировать потоки в постоянных ценах номинальной ставкой или номинальные потоки — реальной.
Считать, что малая приведённая стоимость дальних затрат, например на ликвидацию, означает, что эти деньги не понадобятся.

After this lesson you can

объяснить, почему ценность суммы денег зависит от того, когда её получают;
вычислять коэффициент дисконтирования и приведённую стоимость отдельного платежа и ряда платежей без таблиц;
объяснить, как приведённая стоимость зависит от ставки и срока и почему дальние платежи особенно чувствительны к ставке;
применять соглашения о моменте платежа — конец года, середина года — и оценивать их влияние на результат;
сравнивать варианты по приведённой стоимости и объяснять, почему их порядок зависит от ставки.

Почему деньги сегодня дороже денег завтра

Предложите выбор: 100 млн долл. сегодня или те же 100 млн через пять лет. Любой выберет сегодня — и не только из осторожности. Полученные сегодня деньги можно вложить в депозит, облигации или другой проект, и через пять лет они превратятся в большую сумму. Это и есть стоимость денег во времени (time value of money).

Сложнее выбор между 100 млн долл. сегодня и 150 млн через пять лет. Ответ зависит от того, под какую доходность можно вложить деньги: при 5 % годовых 100 млн через пять лет вырастут до 127,6 млн — выгоднее подождать 150; при 10 % — до 161,1 млн — выгоднее взять деньги сейчас.

Возможность вложить деньги — главная причина, и именно её отражает ставка дисконтирования: это доходность лучшей доступной альтернативы с сопоставимым риском.
Риск. Обещанный будущий платёж может не состояться: цена нефти упадёт, добыча окажется ниже. Часть этого риска компании закладывают в ставку (Выбор ставки дисконтирования), часть учитывают сценариями и вероятностями.
Инфляция уменьшает покупательную способность будущих денег. Её учитывают согласованно: номинальные потоки дисконтируют номинальной ставкой, потоки в постоянных ценах — реальной (Инфляция: номинальные и реальные деньги).

Наращение и дисконтирование

При сложных процентах (compound interest) проценты каждого года начисляются и на исходную сумму, и на уже начисленные проценты (Проценты и наращение). Сумма $PV$ , вложенная на $n$ лет под ставку $i$ , вырастает до $FV = PV\,(1+i)^{n}$ . Разделив обе части на множитель наращения $(1+i)^{n}$ , получаем уравнение дисконтирования.

Приведённая стоимость будущей суммы

PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}} = FV\,(1+i)^{-n}

where:

$PV$ приведённая (текущая) стоимость — сумма на момент начала отсчёта, млн долл.
$FV$ будущая сумма (future value), получаемая или выплачиваемая через $n$ лет, млн долл.
$i$ ставка дисконтирования за год, доля единицы
$n$ время от начала отсчёта до платежа; может быть дробным, лет

Units: любая валюта; $PV$ и $FV$ в одних единицах, ставка и срок — в согласованных единицах времени (годовая ставка — годы)

Holds when

ставка постоянна весь срок; если она меняется, множители разных лет перемножают: $PV = FV/[(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)]$ ;
проценты начисляются раз в период, к которому относится ставка (для годовой ставки — раз в год);
будущая сумма задана; неопределённость в ней учитывают отдельно;
$PV$ и $FV$ выражены в одних денежных единицах (обе номинальные или обе в постоянных ценах), и ставка им соответствует.

$PV$ — сегодняшний эквивалент будущей суммы: столько нужно вложить сейчас под ставку $i$ , чтобы через $n$ лет получить $FV$ . При наращении известна исходная сумма, а результат — прогноз; при дисконтировании известна (ожидается) будущая сумма, а $PV$ — вычисленная оценка.

Worked exampleСколько отложить сегодня на ликвидацию промысла

Given (assumed data)

Затраты на ликвидацию: 18 млн долл. через 12 лет
Доходность надёжных вложений: 8 % годовых

Solution

Множитель наращения за 12 лет: $1{,}08^{12} = 2{,}5182$ ; коэффициент дисконтирования: $DF = 1/2{,}5182 = 0{,}3971$ .
Приведённая стоимость: $PV = 18\cdot 0{,}3971 = 7{,}15$ млн долл.
Проверка наращением: $7{,}15\cdot 1{,}08^{12} = 18{,}0$ млн долл.

Answer: Сегодня достаточно отложить около 7,15 млн долл.: за 12 лет под 8 % они вырастут до 18 млн долл.

What it means. Приведённая стоимость здесь — не абстракция, а сумма, которую действительно можно положить в ликвидационный фонд. Видно и допущение: весь срок вложения должны приносить 8 %. Если доходность окажется ниже, фонда не хватит. Данные примера условные.

Коэффициент дисконтирования и как его получить

Множитель $DF_n = (1+i)^{-n}$ называют коэффициентом дисконтирования (discount factor, DF). Это приведённая стоимость одной денежной единицы, получаемой через $n$ лет. Раньше коэффициенты брали из напечатанных таблиц по ставкам и срокам; сегодня их проще вычислить, и таблицы не нужны.

По формуле: на калькуляторе — возведением в степень, в электронной таблице — формулой вида =1/(1+i)^n со ставкой в долях единицы.
Год за годом: $DF_n = DF_{n-1}/(1+i)$ , начиная с $DF_0 = 1$ . Так удобно заполнять столбец коэффициентов в модели.
Через логарифм — для дробных сроков и проверки: $DF_n = \exp[-n\ln(1+i)]$ . Например, при 12 % на 7,5 года: $\ln 1{,}12 = 0{,}1133$ , $DF = e^{-0{,}850} = 0{,}427$ .
Прикидка в уме: приведённая стоимость уменьшается вдвое примерно за $72/p$ лет, где $p$ — ставка в процентах. При 10 % — примерно за 7,2 года (точно — за 7,27).

CalculatedКоэффициент дисконтирования

(1+i)^{-n}

в зависимости от срока при ставках 5, 10 и 20 %. При 10 % приведённая стоимость платежа уменьшается вдвое примерно за 7,3 года.

Последнее свойство объясняет, почему оценка долгих нефтегазовых проектов так чувствительна к ставке: затраты сосредоточены в первые годы и дисконтируются мало, а доходы растянуты на десятилетия и дисконтируются сильно.

Приведённая стоимость ряда платежей

Проект — это не один платёж, а ряд. Приведённые к одному моменту суммы можно складывать, поэтому приведённая стоимость ряда — сумма приведённых стоимостей его элементов.

Приведённая стоимость ряда платежей

PV = \sum_{t} \frac{CF_t}{(1+i)^{t}}

where:

$CF_t$ платёж (денежный поток), отстоящий от начала отсчёта на $t$ лет: приток со знаком «+», отток со знаком «−», млн долл.
$t$ время от начала отсчёта до платежа, лет
$i$ ставка дисконтирования, доля единицы
$PV$ приведённая стоимость всего ряда на момент начала отсчёта, млн долл.

Units: любая валюта, одинаковая для всех платежей

Holds when

все платежи выражены в одних денежных единицах, и ставка им соответствует;
время каждого платежа отсчитано от одного и того же начала, а соглашение о моменте платежа внутри года одно для всего ряда;
ставка одинакова для всех лет.

Если ряд — чистый денежный поток проекта, эта сумма и есть чистая приведённая стоимость, главный показатель следующего урока.

Считать можно двумя способами с одинаковым результатом. Прямой: каждый платёж умножают на свой коэффициент и складывают. Пошаговый (с конца): последний платёж переносят на год назад делением на $1+i$ , прибавляют к нему платёж предыдущего года, снова переносят на год назад — и так до начала отсчёта. Пошаговый способ удобен, когда ставка меняется от года к году.

Worked exampleСтоит ли бурить скважину

Given (assumed data)

Бурение и обустройство: 9,0 млн долл. сейчас
Чистый доход скважины: 5,0; 3,5; 2,5 и 1,8 млн долл. в конце 1–4-го года
Ставка дисконтирования: 12 %

Solution

Коэффициенты: $DF_1 = 1/1{,}12 = 0{,}8929$ , $DF_2 = 0{,}7972$ , $DF_3 = 0{,}7118$ , $DF_4 = 0{,}6355$ .
Прямой способ: $PV = 5{,}0\cdot0{,}8929 + 3{,}5\cdot0{,}7972 + 2{,}5\cdot0{,}7118 + 1{,}8\cdot0{,}6355 = 4{,}464 + 2{,}790 + 1{,}779 + 1{,}144 = 10{,}18$ млн долл.
Пошаговый способ: на конец 3-го года $2{,}5 + 1{,}8/1{,}12 = 4{,}107$ ; на конец 2-го — $3{,}5 + 4{,}107/1{,}12 = 7{,}167$ ; на конец 1-го — $5{,}0 + 7{,}167/1{,}12 = 11{,}399$ ; на сегодня — $11{,}399/1{,}12 = 10{,}18$ млн долл.
Сравнение с затратами: $10{,}18 - 9{,}0 = 1{,}18$ млн долл.

Answer: Приведённая стоимость доходов — 10,18 млн долл. при затратах 9,0 млн: скважина окупает вложения с доходностью выше 12 % и добавляет компании около 1,18 млн долл. в сегодняшних деньгах.

What it means. Без дисконтирования доход выглядел бы как 12,8 млн долл. — на 2,6 млн больше: это плата за ожидание. Разность приведённых доходов и затрат — это и есть NPV скважины. Данные примера условные.

Когда происходит платёж: конец года или середина года

В годовой модели все платежи года заменены одним числом, и нужно решить, к какому моменту года его отнести. От этого зависит показатель степени $t$ в коэффициенте дисконтирования.

Конец года (end-year): поток года $n$ получает $t = n$ при отсчёте от начала первого года. Так устроены многие финансовые формулы и стандартные функции электронных таблиц. Для доходов это консервативно: деньги, полученные в течение года, считаются полученными в его конце.
Середина года (mid-year): $t = n - 0{,}5$ . Для потоков, распределённых по году более или менее равномерно, — продаж нефти, эксплуатационных затрат — это точнее; в оценке месторождений такое соглашение распространено.
Середина года с началом отсчёта в середине первого года: $t = n - 1$ , то есть показатели 0, 1, 2 и далее — целые, как при расчёте вручную. Результат отличается от предыдущего варианта постоянным множителем $(1+i)^{0{,}5}$ .

SchematicТри соглашения о моменте годового потока и соответствующие показатели степени

t

в коэффициенте

(1+i)^{-t}

. Треугольником отмечено начало отсчёта.

Разница между соглашениями — постоянный множитель: перенос всех потоков с конца на середину года умножает приведённую стоимость на $(1+i)^{0{,}5}$ — при 10 % это +4,9 %, при 15 % — +7,2 %. Для проекта с приведённой стоимостью, близкой к нулю, этого достаточно, чтобы изменить вывод, поэтому соглашение указывают рядом с результатом. Платежи авансом — аренду, бонусы — относят к началу года.

Worked exampleТа же скважина при потоках в середине года

Given (assumed data)

Доход скважины: как в предыдущем примере, но поступает равномерно в течение каждого года
Начало отсчёта: начало первого года (момент затрат)
Ставка: 12 %

Solution

Показатели степени: 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 вместо 1, 2, 3, 4.
$PV = 5{,}0\cdot1{,}12^{-0{,}5} + 3{,}5\cdot1{,}12^{-1{,}5} + 2{,}5\cdot1{,}12^{-2{,}5} + 1{,}8\cdot1{,}12^{-3{,}5} = 10{,}77$ млн долл.
Отношение к расчёту на конец года: $10{,}77/10{,}18 = 1{,}0583$ — ровно $1{,}12^{0{,}5}$ .

Answer: При потоках в середине года приведённый доход — 10,77 млн долл., на 5,8 % больше, чем при потоках в конце года.

What it means. Физически ничего не изменилось — изменилось допущение о том, когда внутри года приходят деньги. Выбирают соглашение, которое ближе к реальному графику платежей, и применяют его ко всем вариантам одинаково. Данные примера условные.

Сравнение вариантов по приведённой стоимости

Приведение к одному моменту делает сравнимыми потоки любой формы и длительности. Сравнивать можно и будущие стоимости, наращивая всё к концу, но у вариантов разной длительности «конец» разный, и понадобились бы допущения о том, куда вкладываются деньги после окончания более короткого варианта. У приведения к общему началу отсчёта такой проблемы нет.

Отбор по ставке. Пусть вложение $A_0$ растёт $n$ лет с доходностью $j$ , после чего деньги с накопленным доходом возвращаются. Приведённая стоимость такой операции при ставке дисконтирования $i$ :

Проверка вложения ставкой дисконтирования

P = -A_0 + \frac{A_0\,(1+j)^{n}}{(1+i)^{n}} = A_0\left[\left(\frac{1+j}{1+i}\right)^{n} - 1\right]

where:

$P$ приведённая стоимость операции «вложить сейчас — получить через $n$ лет», млн долл.
$A_0$ вложение сейчас, млн долл.
$j$ доходность вложения, доля единицы в год
$i$ ставка дисконтирования — требуемая доходность, доля единицы в год
$n$ срок вложения, лет

Units: любая валюта; ставки и срок — в согласованных единицах времени

Holds when

один платёж сейчас и один возврат с накопленным доходом через $n$ лет;
ставки $j$ и $i$ постоянны весь срок.

$P > 0$ тогда и только тогда, когда $j > i$ : дисконтирование по ставке $i$ проверяет, растут ли вложения быстрее, чем на $i$ в год. При $j = i$ вложение ровно проходит проверку ( $P = 0$ ). Та же логика лежит в основе правила NPV.

Worked exampleПроходит ли вложение проверку ставкой 10 %

Given (assumed data)

Вложение: 10 млн долл. на 6 лет
Доходность вложения $j$: 15 % годовых
Ставка дисконтирования $i$: 10 %

Solution

Сумма через 6 лет: $10\cdot1{,}15^{6} = 23{,}13$ млн долл.
Её приведённая стоимость: $23{,}13/1{,}10^{6} = 13{,}06$ млн долл.; за вычетом вложения $P = 13{,}06 - 10 = 3{,}06$ млн долл.
То же по формуле: $10\cdot[(1{,}15/1{,}10)^{6} - 1] = 10\cdot(1{,}3057 - 1) = 3{,}06$ млн долл.

Answer:

P = 3{,}06

млн долл. > 0: вложение растёт быстрее требуемых 10 % и проверку проходит.

What it means. $P$ показывает, на сколько сегодняшних денег это вложение лучше альтернативы с доходностью 10 %. Данные примера условные.

Ранжирование. Когда вариантов несколько, их приведённые стоимости сравнивают при одной ставке и одном начале отсчёта. Но порядок вариантов может зависеть от ставки: чем дальше во времени поток, тем сильнее его приведённая стоимость реагирует на ставку.

Worked exampleРаньше, но меньше, или позже, но больше

Given (assumed data)

Вариант А: 12 млн долл. через 2 года
Вариант Б: 20 млн долл. через 8 лет
Ставки для сравнения: 5 % и 12 %

Solution

При 5 %: $PV_{\text{А}} = 12\cdot1{,}05^{-2} = 10{,}88$ , $PV_{\text{Б}} = 20\cdot1{,}05^{-8} = 13{,}54$ млн долл. — лучше Б.
При 12 %: $PV_{\text{А}} = 9{,}57$ , $PV_{\text{Б}} = 8{,}08$ млн долл. — лучше А.
Ставка, при которой варианты равноценны: $12\,(1+i)^{-2} = 20\,(1+i)^{-8}$ , откуда $(1+i)^{6} = 20/12$ и $i = 8{,}9$ %.

Answer: При ставке ниже 8,9 % выгоднее поздний и больший платёж, при более высокой — ранний и меньший.

What it means. Вывод «что лучше» — всегда вывод при определённой ставке. Поэтому ставку выбирают обоснованно (Выбор ставки дисконтирования), а близкие варианты проверяют при нескольких ставках. Данные примера условные.

Terms and symbols

Стоимость денег во времени: свойство денег: сумма, полученная раньше, ценнее той же суммы, полученной позже, потому что её можно вложить.
Приведённая стоимость (PV): сегодняшний эквивалент будущей суммы или ряда сумм при заданной ставке.
Будущая стоимость (FV): сумма, до которой вырастет вложение, или сумма, ожидаемая в будущем.
Ставка дисконтирования $i$: годовая доходность, по которой будущие суммы приводят к началу отсчёта; в российской практике также «норма дисконта».
Коэффициент дисконтирования (DF): $(1+i)^{-t}$ — приведённая стоимость одной денежной единицы, получаемой через $t$ лет.
Начало отсчёта: момент, к которому приводят все потоки; его сдвиг умножает все приведённые стоимости на один и тот же множитель.
Дисконтирование на середину года: соглашение, по которому годовой поток считается полученным в середине года.

Common mistakes and misconceptions

Wrong

«Приведённая стоимость — прогноз того, сколько денег будет в будущем».

In fact

Наоборот: это сегодняшний эквивалент будущей суммы. Прогноз будущего — это $FV$ , а $PV$ отвечает на вопрос, сколько эта будущая сумма стоит сейчас при доступной доходности.

Wrong

«Ставка 10 % — подставляем в формулу 10».

In fact

Ставку подставляют в долях единицы: $1{,}10^{-5} \approx 0{,}62$ , тогда как $(1+10)^{-5} \approx 6\cdot10^{-6}$ — ошибка примерно в сто тысяч раз.

Wrong

«Затраты на ликвидацию через 25 лет после дисконтирования ничтожны, ими можно пренебречь».

In fact

В приведённой стоимости они действительно малы при высокой ставке, но включать их нужно всегда: при низкой ставке или для проекта на грани окупаемости они важны, а для планирования денег нужна полная сумма.

Wrong

«Если перенести начало отсчёта, лучший вариант может смениться».

In fact

Сдвиг начала отсчёта умножает приведённые стоимости всех вариантов на один и тот же положительный множитель $(1+i)^{\Delta t}$ , поэтому их порядок и знаки не меняются. Порядок может изменить ставка, а не начало отсчёта.

Wrong

«Конец года или середина года — техническая мелочь».

In fact

При ставках 10–15 % это 5–7 % приведённой стоимости; для проекта на грани окупаемости достаточно, чтобы изменить вывод. Соглашение выбирают по реальному графику платежей и указывают рядом с результатом.

In depth: advanced detail

Насколько приведённая стоимость чувствительна к ставке

Прологарифмируем $PV = FV\,(1+i)^{-n}$ и продифференцируем по ставке: $\ln PV = \ln FV - n\ln(1+i)$ , откуда $\dd PV/PV = -n\,\dd i/(1+i)$ . Для ряда платежей производные слагаемых складываются, и вместо $n$ появляется средний срок платежей, взвешенный по их приведённым стоимостям:

Относительная чувствительность приведённой стоимости к ставке

\frac{\dd PV}{PV} = -\frac{\bar t}{1+i}\,\dd i, \qquad \bar t = \frac{\sum_t t\,PV_t}{\sum_t PV_t}

where:

$PV$ приведённая стоимость ряда платежей; $\dd PV$ — её изменение, млн долл.
$i$ ставка дисконтирования; $\dd i$ — её малое изменение, доля единицы
$PV_t$ приведённая стоимость отдельного платежа ряда, отстоящего на $t$ лет от начала отсчёта, млн долл.
$\bar t$ средний срок платежей, взвешенный по их приведённым стоимостям; для одного платежа $\bar t = n$ , лет

Units: любая валюта; ставка в долях единицы

Holds when

малые изменения ставки (линейное приближение);
все платежи ряда одного знака — для рядов с платежами разных знаков взвешенный срок теряет наглядный смысл.

Чувствительность пропорциональна тому, насколько далеко в будущем в среднем находятся деньги. В финансах эту величину называют дюрацией (duration). Для скважины из примера $\bar t \approx 2{,}0$ года: +1 процентный пункт ставки уменьшает приведённый доход примерно на 1,75 %. Доходы месторождения, растянутые на десятилетия, имеют гораздо больший средний срок и соответственно большую чувствительность.

Частое и непрерывное начисление

Если проценты по номинальной годовой ставке $r$ начисляются $m$ раз в год, коэффициент дисконтирования равен $(1 + r/m)^{-mn}$ ; при $m \to \infty$ он стремится к $e^{-rn}$ — это непрерывное дисконтирование. Все формы согласуются через эффективную годовую ставку: $1 + i = (1 + r/m)^{m}$ или $1 + i = e^{r}$ .

Например, номинальные 12 % при ежемесячном начислении эквивалентны эффективным 12,68 % в год, а при непрерывном — 12,75 %. В годовой модели денежного потока используют эффективную годовую ставку; если ставка задана иначе, её сначала пересчитывают (Проценты и наращение).

Connections to other topics

Проценты и наращение — сложные проценты, номинальная и эффективная ставка — наращение, обратное дисконтированию.
Чистая приведённая стоимость (NPV) — сумма дисконтированных чистых денежных потоков — главный показатель ценности проекта.
Аннуитеты и дисконтированная добыча — приведённая стоимость равных платежей и зачем дисконтировать добычу.
Выбор ставки дисконтирования — как выбирают ставку дисконтирования и почему от неё зависят выводы.
Инфляция: номинальные и реальные деньги — номинальные и реальные ставки и потоки.
Денежный поток проекта — какие потоки дисконтируют и как их собирают по годам.

Check yourself

1
Какова приведённая стоимость 1000 долл., которые получат через 3 года, при ставке 10 %?
1. А.700 долл.
2. Б.751 долл.
3. В.769 долл.
4. Г.1331 долл.
Show the answer
Correct answer: Б. 751 долл.
$1000\cdot1{,}1^{-3} = 1000/1{,}331 = 751{,}3$ долл. 769 получается, если вычесть простые проценты: $1000/1{,}3$ ; 1331 — это наращение, а не дисконтирование; 700 — результат вычитания 10 % исходной суммы за каждый год.
2
Ставка дисконтирования выросла с 8 до 10 %. Приведённая стоимость какого платежа уменьшится сильнее в процентах?
1. А.Платежа через 2 года
2. Б.Платежа через 20 лет
3. В.Одинаково для обоих
4. Г.Не уменьшится: ставка влияет только на будущую стоимость
Show the answer
Correct answer: Б. Платежа через 20 лет
Приведённая стоимость меняется в $(1{,}08/1{,}10)^{n}$ раз: для платежа через 2 года это 0,964 (−3,6 %), через 20 лет — 0,693 (−30,7 %). Чем дальше платёж, тем больше раз применяется разница в ставке.
3
Найдите без таблиц коэффициент дисконтирования для платежа через 7,5 года при ставке 12 %.
Show the answer
$DF = 1{,}12^{-7{,}5} = \exp(-7{,}5\cdot\ln 1{,}12) = \exp(-7{,}5\cdot 0{,}1133) = e^{-0{,}850} \approx 0{,}427$ . Дробный показатель степени допустим: формула не требует целого числа лет.
4
Годовая модель: потоки относят к середине года, начало отсчёта — начало первого года. Какой показатель степени в коэффициенте дисконтирования у потока 4-го года?
1. А.3
2. Б.3,5
3. В.4
4. Г.4,5
Show the answer
Correct answer: Б. 3,5
Середина 4-го года отстоит от начала первого на 3,5 года: $t = n - 0{,}5$ . При соглашении «конец года» было бы 4, а при начале отсчёта в середине первого года — 3.
5
Инвестор может вкладывать деньги под 10 % годовых. Ему предлагают отдать 100 млн долл. сегодня и получить 150 млн через 5 лет. Выгодно ли это?
Show the answer
Приведённая стоимость 150 млн: $150/1{,}1^{5} = 150/1{,}6105 = 93{,}1$ млн долл. — меньше 100. Невыгодно: вложив 100 млн под 10 %, через 5 лет инвестор имел бы 161,1 млн. Сделка выгодна, только если доступная доходность ниже $1{,}5^{1/5} - 1 \approx 8{,}4$ %.
6
Вариант А при ставке 10 % стоит сегодня 50 млн долл., вариант Б — 45 млн. Изменится ли выбор, если приводить оба варианта не к сегодняшнему дню, а к дате через два года?
Show the answer
Нет. Обе стоимости умножатся на один и тот же множитель $1{,}1^{2} = 1{,}21$ и станут 60,5 и 54,45 млн долл. Сдвиг начала отсчёта меняет величины, но не их соотношение и знаки; выбор может изменить только другая ставка.

Updated: 22 September 2026