Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста

Қысқаша негізгісі

Задача ван Эвердингена–Херста — уравнение пьезопроводности для горизонта, в котором роль скважины играет залежь: на контакте радиусом $r_o$ давление снизилось на $\Delta p$ и держится, внешняя граница $r_a$ замкнута или бесконечно далека. Ответ — накопленный приток $W_e = U\Delta p\,W_D(t_D, r_{aD})$ .
Приток — упругое расширение той части горизонта, до которой дошло снижение давления. Безразмерный приток $W_D$ — объём этой «воронки» в безразмерном виде, поэтому он растёт вместе с ней.
Вначале $W_D \approx 2\sqrt{t_D/\pi}$ : вчетверо больше времени — лишь примерно вдвое больше воды. Замкнутый горизонт выходит на предел $(r_{aD}^2 - 1)/2$ — свой упругий запас; бесконечный отдаёт воду без предела, но всё медленнее.
Меняющееся давление представляют ступенями. Ступень $\Delta p_j$ , приложенная в момент $t_j$ , действует независимо от остальных, и её вклад к моменту $t_n$ равен $U\Delta p_jW_D(t_{Dn} - t_{Dj})$ . На каждую новую дату пересчитывают все ступени: время, прошедшее после каждой, выросло.
Перепады выбирают так, чтобы ступенчатая кривая шла по средним давлениям интервалов: $\Delta p_0 = (p_0 - p_1)/2$ , $\Delta p_j = (p_{j-1} - p_{j+1})/2$ . Это правило занижает приток, сильнее всего на первых шагах; короткие шаги уменьшают ошибку.
В материальном балансе приток по горизонту сравнивают с притоком по балансу $F - NE_t$ , а для прогноза подбирают давление на конец периода, при котором обе оценки совпадают.

Негізгі қатынастар

W_e = U\,\Delta p\,W_D(t_D,\,r_{aD}),\qquad U = 2\pi f\phi c_t h r_o^2

приток при постоянном снижении давления на контакте; $U$ — м³/МПа

t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\dfrac{k\,t}{\phi\,\mu_w c_t\,r_o^2}

метрические промысловые единицы: мД, ч, мПа·с, 1/МПа, м

W_e(t_n) = U\sum_{j=0}^{n-1}\Delta p_j\,W_D(t_{Dn} - t_{Dj})

суперпозиция ступеней давления на контакте

\Delta p_0 = \tfrac12(p_0 - p_1),\qquad \Delta p_j = \tfrac12(p_{j-1} - p_{j+1})

перепады по средним давлениям интервалов; $p_0 = p_i$

W_D \to \tfrac12\,(r_{aD}^2 - 1),\qquad U\Delta p\,\tfrac12(r_{aD}^2 - 1) = (c_w + c_f)\,W\Delta p

предел замкнутого горизонта — его упругий запас

Жиі қателіктер

Прикладывать весь перепад интервала в его начале (приток завышен) или в конце (занижен) вместо двух половин.
Отсчитывать время всех ступеней от начала разработки, а не от момента каждой ступени, или не пересчитывать старые ступени на новую дату.
Брать $W_D$ бесконечного горизонта после того, как снижение давления дошло до границы замкнутого: приток будет завышен.
Путать постоянные безразмерного времени для часов, суток и лет или подставлять радиус скважины вместо радиуса залежи $r_o$ .
Принимать расхождение с балансом в первые годы за ошибку модели горизонта: часто это погрешность слишком длинных шагов.

Сабақтан кейін сіз

сформулировать задачу о радиальном водоносном горизонте с постоянным снижением давления на контакте и объяснить смысл безразмерного времени, безразмерного притока и постоянной горизонта $U$ ;
рассчитать $U$ и $t_D$ в метрических и промысловых единицах и найти приток при постоянном снижении давления для бесконечного и замкнутого горизонтов;
представить меняющееся давление на контакте ступенями, выбрать перепады по средним давлениям интервалов и рассчитать накопленный приток суперпозицией;
оценить, в какую сторону и насколько ошибается ступенчатый расчёт, и выбрать длину шага;
проверить модель горизонта материальным балансом и спрогнозировать давление на следующий период подбором, при котором приток по балансу и по горизонту совпадают.

Задача о радиальном водоносном горизонте

В уроке Модели притока законтурной воды нестационарная модель была описана в общих чертах: снижение давления расходится от залежи по водоносному горизонту постепенно, и приток определяется тем, какая часть горизонта уже «почувствовала» снижение. Здесь — сама модель и то, как ею пользуются для реальной истории давления.

Залежь представляют кругом радиусом $r_o$ — для залежи другой формы берут круг той же площади, — а водоносный горизонт — кольцом той же толщины от $r_o$ до внешнего радиуса $r_a$ или сектором кольца, если горизонт примыкает лишь к доле $f$ периметра (геометрия горизонта). В момент $t = 0$ давление на контакте снижается на $\Delta p$ и дальше не меняется. Вода начинает течь к залежи, а снижение давления расходится по горизонту так же, как вокруг пущенной скважины; только роль ствола играет вся залежь (Уравнение пьезопроводности).

Это задача с заданным давлением на внутренней границе — решение при постоянном давлении на границе (constant terminal pressure). В исследованиях скважин чаще решают парную задачу — с заданным дебитом, где рассчитывают давление (constant terminal rate). Для притока воды естественна первая постановка: давление на контакте известно из замеров, а приток нужно найти. Вторая понадобится в пошаговом методе Картера–Трейси (Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси).

Задача ван Эвердингена–Херста в безразмерном виде

\frac{1}{r_D}\frac{\partial}{\partial r_D}\!\left(r_D\,\frac{\partial P}{\partial r_D}\right) = \frac{\partial P}{\partial t_D},\qquad P(1, t_D) = 1,\quad P(r_D, 0) = 0,\quad \left.\frac{\partial P}{\partial r_D}\right|_{r_D = r_{aD}} = 0

мұндағы:

$P$ доля снижения давления на контакте в точке горизонта, $(p_i - p)/\Delta p$ , —
$r_D$ расстояние от центра залежи в радиусах залежи, $r/r_o$ , —
$t_D$ безразмерное время горизонта, $kt/(\phi\mu_wc_tr_o^2)$ , —
$r_{aD}$ внешний радиус горизонта в радиусах залежи, $r_a/r_o$ , —

Бірліктер: безразмерная форма

Мына жағдайда орындалады

однородный горизонт постоянной толщины, насыщенный водой; сжимаемости малы и постоянны, поэтому уравнение линейно;
течение радиальное, без перетока через кровлю и подошву;
внешняя граница непроницаема; для бесконечного горизонта условие на ней заменяют условием $P \to 0$ при $r_D \to \infty$ .

Свойств горизонта в задаче не осталось: решение зависит только от $t_D$ и $r_{aD}$ . Его находят один раз — в изображениях Лапласа (дополнительный раздел) или численно — и пересчитывают к любому горизонту.

Темп притока — расход воды через контакт по закону Дарси. В безразмерном виде это наклон профиля давления на контакте, $q_D = -\partial P/\partial r_D$ при $r_D = 1$ — тот же безразмерный дебит, что у скважины с постоянным забойным давлением. Его интеграл по безразмерному времени — безразмерный приток $W_D$ . Возвращаясь к размерным величинам (вывод — в дополнительном разделе), получаем главную формулу метода.

Приток при постоянном снижении давления на контакте

W_e = U\,\Delta p\,W_D(t_D,\,r_{aD}),\qquad U = 2\pi f\phi c_t h r_o^2,\qquad t_D = \frac{k\,t}{\phi\,\mu_w c_t\,r_o^2}

мұндағы:

$W_e$ накопленный приток воды в пластовых условиях к моменту $t$ , м³
$U$ постоянная водоносного горизонта (aquifer constant), м³/МПа
$\Delta p$ снижение давления на контакте, постоянное с момента $t = 0$ , МПа
$W_D$ безразмерный приток — функция $t_D$ и $r_{aD} = r_a/r_o$ , —
$f$ доля периметра залежи, к которой примыкает горизонт, $\theta/360°$ , —
$\phi,\ c_t,\ h$ пористость, общая сжимаемость $c_w + c_f$ и толщина горизонта, —, 1/МПа (в $t_D$ — 1/Па), м
$r_o$ радиус залежи (начального контакта с водой), м
$k,\ \mu_w$ проницаемость горизонта и вязкость пластовой воды, м², Па·с
$t$ время от момента снижения давления, с

Бірліктер: $W_e$ и $U$ — в одной системе объёма и давления (м³ и МПа); $t_D$ — в СИ

Мына жағдайда орындалады

задача выше: однородный радиальный горизонт, давление на контакте снизилось скачком и дальше не меняется;
давление на контакте принимают равным среднему давлению залежи — так же, как в материальном балансе;
горизонт насыщен водой, $c_t = c_w + c_f$ , сжимаемости постоянны.

Формула разделяет три множителя: $U$ — ёмкость горизонта в масштабе залежи, $\Delta p$ — нагрузку, $W_D$ — ход отклика во времени, общий для всех горизонтов с тем же $r_{aD}$ . Проницаемость и вязкость, задающие скорость отклика, входят только в $t_D$ ; пористость, сжимаемость, толщина и размеры, задающие запас, — в $U$ и в $r_{aD}$ . Доля периметра $f$ меняет только $U$ .

Басқа бірліктер жүйелерінде (2)

Метрические промысловые единицы

U\,[\text{м}^3/\text{МПа}] = 2\pi f\phi c_t h r_o^2,\qquad t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\frac{k\,t}{\phi\,\mu_w c_t\,r_o^2}

$c_t$ — 1/МПа, $h$ и $r_o$ — м, $k$ — мД, $t$ — ч, $\mu_w$ — мПа·с. При времени в сутках множитель равен 0,0853, в годах (8766 ч) — 31,15.

В формуле для $U$ постоянной нет. $3{,}553\cdot10^{-3}$ — тот же множитель, что у пьезопроводности в уроке Уравнение пьезопроводности: перевод мД → м², часов → секунды, мПа·с → Па·с и 1/МПа → 1/Па.

Промысловые единицы (oilfield)

U\,[\text{bbl/psi}] = 1{,}119\,f\phi c_t h r_o^2,\qquad t_D = 2{,}637\cdot10^{-4}\,\frac{k\,t}{\phi\,\mu_w c_t\,r_o^2}

$c_t$ — 1/psi, $h$ и $r_o$ — ft, $k$ — мД, $t$ — ч, $\mu_w$ — сП. При времени в сутках множитель равен $6{,}33\cdot10^{-3}$ .

$1{,}119 = 2\pi/5{,}615$ — перевод кубических футов в баррели; $2{,}637\cdot10^{-4}$ — множитель пьезопроводности в этих единицах.

Приток как расширение воронки снижения давления

W_e = c_t\int_{V_p}(p_i - p)\dd V_p = U\,\Delta p\int_1^{r_{aD}} P\,r_D\dd r_D,\qquad W_D = \int_1^{r_{aD}} P\,r_D\dd r_D

мұндағы:

$V_p$ поровый объём горизонта; $\dd V_p = 2\pi f h\phi\,r\dd r$ , м³
$p_i - p$ снижение давления в точке горизонта, МПа
$P,\ r_D$ доля снижения давления и безразмерное расстояние, как в задаче выше, —

Бірліктер: м³, МПа, 1/МПа

Мына жағдайда орындалады

в горизонте одна вода; $c_t$ постоянна; питания извне нет.

Вода, вошедшая в залежь, — это упругое расширение воды и пор там, где давление уже снизилось. $W_D$ — объём «воронки» снижения давления в безразмерном виде: пока она растёт, растёт и приток. Когда воронка заполняет весь замкнутый горизонт ( $P = 1$ всюду), интеграл равен $(r_{aD}^2 - 1)/2$ , и приток достигает упругого запаса горизонта $(c_w + c_f)W\Delta p$ . На рисунке профилей давления в уроке о моделях горизонта $W_D$ — площадь под кривой, взвешенная расстоянием.

Безразмерный приток бесконечного и замкнутого горизонтов

Решение задачи — семейство кривых $W_D(t_D)$ , по одной на каждое отношение радиусов $r_{aD}$ (рисунок и таблица). Их ход объясняется тем, как растёт воронка снижения давления.

ЕсептеуБезразмерный приток

W_D

при постоянном снижении давления на контакте для замкнутых горизонтов с

r_{aD}

= 2, 5 и 10 и для бесконечного горизонта (логарифмические оси; расчёт по уравнению пьезопроводности). Штрих — начальная асимптота

2\sqrt{t_D/\pi}

Начальный период. При $t_D \ll 1$ воронка — тонкий слой у контакта, его кривизна ещё не сказывается, и горизонт ведёт себя как пласт с плоской границей: $W_D \approx 2\sqrt{t_D/\pi}$ . Вчетверо большее время даёт лишь вдвое больший приток. Позже воронка охватывает всё более широкие кольца, рост ускоряется, и к $t_D = 1$ асимптота занижает $W_D$ больше чем на четверть.
Бесконечный горизонт. $W_D$ растёт без предела, но всё медленнее — при больших $t_D$ примерно как $2t_D/\ln t_D$ . Темп притока при постоянном $\Delta p$ падает, потому что воду приходится «добирать» со всё большего расстояния.
Замкнутый горизонт. Пока снижение давления не дошло до внешней границы, его кривая совпадает с кривой бесконечного горизонта; расхождение становится заметным около $t_D \approx (r_{aD} - 1)^2/4$ (время выхода на границу). Затем $W_D$ выходит на предел $(r_{aD}^2 - 1)/2$ — упругий запас. Девять десятых предела горизонт с $r_{aD} = 2$ отдаёт к $t_D \approx 1{,}2$ , а с $r_{aD} = 10$ — лишь к $t_D \approx 190$ .

Безразмерный приток

W_D

радиального водоносного горизонта

$t_D$: 0,1
$r_{aD} = 2$: 0,4043
$r_{aD} = 5$: 0,4043
$r_{aD} = 10$: 0,4043
бесконечный: 0,4043

$t_D$: 0,3
$r_{aD} = 2$: 0,7509
$r_{aD} = 5$: 0,7564
$r_{aD} = 10$: 0,7564
бесконечный: 0,7564

$t_D$: 1
$r_{aD} = 2$: 1,295
$r_{aD} = 5$: 1,568
$r_{aD} = 10$: 1,568
бесконечный: 1,568

$t_D$: 3
$r_{aD} = 2$: 1,495
$r_{aD} = 5$: 3,198
$r_{aD} = 10$: 3,200
бесконечный: 3,200

$t_D$: 10
$r_{aD} = 2$: 1,500
$r_{aD} = 5$: 6,967
$r_{aD} = 10$: 7,401
бесконечный: 7,402

$t_D$: 30
$r_{aD} = 2$: 1,500
$r_{aD} = 5$: 10,98
$r_{aD} = 10$: 16,56
бесконечный: 16,74

$t_D$: 100
$r_{aD} = 2$: 1,500
$r_{aD} = 5$: 12,00
$r_{aD} = 10$: 35,44
бесконечный: 43,03

$t_D$: 300
$r_{aD} = 2$: 1,500
$r_{aD} = 5$: 12,00
$r_{aD} = 10$: 48,26
бесконечный: 105,7

$t_D$: 1000
$r_{aD} = 2$: 1,500
$r_{aD} = 5$: 12,00
$r_{aD} = 10$: 49,50
бесконечный: 292,6

$t_D$: предел
$r_{aD} = 2$: 1,5
$r_{aD} = 5$: 12
$r_{aD} = 10$: 49,5
бесконечный: —

$t_D$	$r_{aD} = 2$	$r_{aD} = 5$	$r_{aD} = 10$	бесконечный
0,1	0,4043	0,4043	0,4043	0,4043
0,3	0,7509	0,7564	0,7564	0,7564
1	1,295	1,568	1,568	1,568
3	1,495	3,198	3,200	3,200
10	1,500	6,967	7,401	7,402
30	1,500	10,98	16,56	16,74
100	1,500	12,00	35,44	43,03
300	1,500	12,00	48,26	105,7
1000	1,500	12,00	49,50	292,6
предел	1,5	12	49,5	—

Рассчитано по точному решению уравнения пьезопроводности (обращение изображения из дополнительного раздела); все приведённые знаки верны. Между строками интерполируют по логарифмам $t_D$ и $W_D$ . Значения бесконечного горизонта годятся и для замкнутого, пока снижение давления не дошло до его границы.

Есептеу мысалыПриток после одного скачка давления

Бастапқы деректер (шартты)

Горизонт: большой водоносный горизонт урока Модели притока законтурной воды: вокруг всей залежи ( $f = 1$ ), замкнут на радиусе 16 км; радиус залежи $r_o = 1595{,}8$ м; толщина 10 м, пористость 0,20, проницаемость 50 мД, вязкость воды 0,4 мПа·с, $c_t = 1{,}25\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Нагрузка: давление на контакте снизилось на 1 МПа и дальше не меняется

Шешім

Постоянная горизонта: $U = 2\pi\cdot1\cdot0{,}20\cdot1{,}25\cdot10^{-3}\cdot10\cdot1595{,}8^2 = 40\,000$ м³/МПа. Это ровно удвоенное произведение $c_t$ на поровый объём самой залежи, 16,0 млн м³: толщина и пористость у залежи и горизонта одинаковы.
Проверка промысловой формой: $c_t = 8{,}618\cdot10^{-6}$ psi⁻¹, $h = 32{,}81$ ft, $r_o = 5235$ ft, и $U = 1{,}119\cdot0{,}20\cdot8{,}618\cdot10^{-6}\cdot32{,}81\cdot5235^2 = 1734$ bbl/psi. Прямой перевод даёт то же: $40\,000\cdot6{,}290/145{,}04 = 1735$ bbl/psi.
Безразмерное время за час: $3{,}553\cdot10^{-3}\cdot50/(0{,}20\cdot0{,}4\cdot1{,}25\cdot10^{-3}\cdot1595{,}8^2) = 6{,}976\cdot10^{-4}$ ; за год (8766 ч) — 6,115. Через полгода, 2 и 8 лет $t_D$ = 3,06; 12,23 и 48,92. Отношение радиусов $r_{aD} = 16\,000/1595{,}8 = 10{,}03$ .
Безразмерный приток по решению уравнения пьезопроводности: у замкнутого горизонта $W_D$ = 3,241; 8,565 и 23,348, у бесконечного — 3,241; 8,566 и 24,422.
Приток $W_e = U\cdot1\cdot W_D$ : 129,6; 342,6 и 933,9 тыс. м³. У бесконечного горизонта через 8 лет — 976,9 тыс. м³, на 4,6 % больше.
Упругий запас замкнутого горизонта на 1 МПа: предел $W_D = (r_{aD}^2 - 1)/2 = 49{,}77$ , и $U\cdot49{,}77 = 1991$ тыс. м³. За 8 лет горизонт отдал 47 % запаса.
Если бы разлом закрывал 40 % периметра ( $f = 0{,}6$ ), $U$ и приток уменьшились бы в той же доле: за 8 лет 560,4 тыс. м³; $t_D$ и $W_D$ остались бы прежними.

Жауап: На каждый мегапаскаль снижения давления горизонт отдаёт 129,6 тыс. м³ воды за полгода, 342,6 — за 2 года и 933,9 тыс. м³ за 8 лет.

Бұл нені білдіреді. Время выросло вчетверо, а приток — лишь в 2,6 раза: больше, чем вдвое (как было бы при $W_D \propto \sqrt{t_D}$ ), потому что воронка в кольце растёт быстрее, чем у плоской границы, но далеко не вчетверо. Первые два года граница горизонта ещё не видна, и замкнутый горизонт не отличить от бесконечного; к восьмому году он отстаёт на 4,6 % и отдал меньше половины упругого запаса. Поэтому по нескольким первым годам истории внешний радиус горизонта не определить (Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки). Данные примера условные.

Бесконечный или замкнутый

Пока снижение давления не дошло до внешней границы, бесконечный и замкнутый горизонты дают одинаковый приток, и история этого периода ничего не говорит о размере горизонта. Бесконечный горизонт в прогнозе — не «запас прочности»: после выхода на границу он завышает приток, и прогноз давления получается оптимистичным. Если размер неизвестен, расчёт повторяют для нескольких правдоподобных $r_{aD}$ и смотрят, насколько расходятся прогнозы.

Меняющееся давление: суперпозиция ступеней

На самом деле давление на контакте не падает скачком, а снижается всю историю разработки. Уравнение пьезопроводности линейно, поэтому отклики на разные изменения давления складываются (Принцип суперпозиции). Историю давления представляют ступенями: в моменты $t_0 = 0,\ t_1,\ t_2, \dots$ давление на контакте снижается на $\Delta p_0,\ \Delta p_1,\ \Delta p_2, \dots$ и между ними не меняется. Каждая ступень посылает в горизонт свою волну снижения давления, и каждая волна вызывает свой приток, как если бы других не было.

ЕсептеуРасчётное снижение давления в большом водоносном горизонте урока через 2,5 года после начала разработки: волны от трёх первых ступеней истории (штриховые линии; у каждой — перепад на контакте и время, прошедшее после ступени) и их сумма. Ранние волны ушли далеко, поздние ещё у контакта, но больше по величине.

Приток при ступенчатом снижении давления на контакте

W_e(t_n) = U\sum_{j=0}^{n-1}\Delta p_j\,W_D\big(t_{Dn} - t_{Dj}\big)

мұндағы:

$W_e(t_n)$ накопленный приток к моменту $t_n$ , м³
$\Delta p_j$ перепад $j$ -й ступени, приложенной в момент $t_j$ ; сумма перепадов — снижение давления от начального, МПа
$t_{Dn} - t_{Dj}$ безразмерное время, прошедшее после $j$ -й ступени, —
$U,\ W_D$ постоянная горизонта и безразмерный приток, как выше, м³/МПа, —

Бірліктер: м³, МПа

Мына жағдайда орындалады

условия линейности: свойства воды и горизонта не зависят от давления;
давление на контакте между моментами ступеней постоянно; насколько хорошо ступени заменяют плавную историю, зависит от выбора перепадов и шага (следующий раздел);
все ступени отсчитываются от одного начального состояния: до разработки давление в горизонте всюду равно $p_i$ .

Каждая ступень действует со своего момента и продолжает давать приток, пока не исчерпан упругий запас горизонта. Поэтому на каждую новую дату сумму пересчитывают целиком: время, прошедшее после каждой ступени, выросло, и её $W_D$ больше. После $n$ шагов расчёт содержит $n$ слагаемых, а вся история — $n(n+1)/2$ значений $W_D$ ; на этом и сберегают пошаговые методы (Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси).

Аналогия: круги на воде

Бросьте в пруд камни один за другим. Каждый камень даёт свой круг, круги расходятся независимо и накладываются, и уровень воды в любой точке — сумма всех кругов в этот момент. Ступени давления на контакте ведут себя так же: у каждой своя «волна» снижения давления, и приток — сумма вкладов всех волн. Аналогия неполна: круги на воде бегут с постоянной скоростью, а снижение давления расплывается, как тепло, — его фронт продвигается всё медленнее, пропорционально корню из времени.

Как выбрать ступени: средние давления интервалов

Давление измеряют в отдельные моменты — обычно раз в квартал, полгода или год, — а между замерами оно снижается плавно. Ступенчатая кривая должна идти как можно ближе к этой плавной. Если весь перепад интервала приложить в его начале, вода начнёт поступать раньше, чем на самом деле, и приток будет завышен; если в конце — занижен. Обычно делят пополам: половину перепада интервала прикладывают в его начале, половину — в конце. Тогда ступенчатая кривая на каждом интервале идёт по среднему давлению его концов (рисунок).

Перепады ступеней по средним давлениям интервалов

\Delta p_0 = \frac{p_0 - p_1}{2},\qquad \Delta p_j = \frac{p_{j-1} - p_{j+1}}{2}\quad (j \ge 1),\qquad \sum_{j=0}^{n-1}\Delta p_j = p_0 - \frac{p_{n-1} + p_n}{2}

мұндағы:

$p_0 = p_i$ начальное давление на контакте, МПа
$p_j$ давление на контакте, замеренное (или осреднённое) в момент $t_j$ , МПа
$\Delta p_j$ перепад ступени, прикладываемой в момент $t_j$ , МПа

Бірліктер: МПа

Мына жағдайда орындалады

при разных интервалах между замерами формула та же — ступенчатая кривая по-прежнему идёт по средним давлениям интервалов, — но самые длинные интервалы вносят наибольшую ошибку;
давление на интервале меняется плавно, без резких скачков (пуск или остановка множества скважин).

Перепад, прикладываемый в момент $t_j$ , — это разность средних давлений соседних интервалов: половина снижения давления на предыдущем интервале плюс половина на следующем. Сумма перепадов к моменту $t_n$ равна снижению не до $p_n$ , а до среднего давления последнего интервала.

ЕсептеуДавление на контакте условной залежи урока по годовым замерам (точки; между ними давление снижалось по прямой) и его ступенчатое представление: ступени — средние давления интервалов, скачки — в моменты замеров.

Ошибка притока для истории урока при разном выборе ступеней, % от точного решения: перепад интервала целиком в его начале или в конце, половинами с годовым и с квартальным шагом

Год: 1
весь в начале: 67,6
весь в конце: −100,0
половины, год: −16,2
половины, квартал: −2,20

Год: 2
весь в начале: 39,6
весь в конце: −52,1
половины, год: −6,3
половины, квартал: −0,83

Год: 4
весь в начале: 18,2
весь в конце: −20,7
половины, год: −1,2
половины, квартал: −0,15

Год: 8
весь в начале: 7,4
весь в конце: −8,0
половины, год: −0,3
половины, квартал: −0,03

Год	весь в начале	весь в конце	половины, год	половины, квартал
1	67,6	−100,0	−16,2	−2,20
2	39,6	−52,1	−6,3	−0,83
4	18,2	−20,7	−1,2	−0,15
8	7,4	−8,0	−0,3	−0,03

Точное решение — уравнение пьезопроводности для давления, меняющегося между замерами по прямой. Квартальные ступени построены по тем же годовым замерам, давление между ними взято по прямой.

Правило половин гораздо точнее двух простых вариантов, но и оно занижает приток, сильнее всего — на первых шагах: в первый год годовые ступени дают приток на шестую часть меньше точного, ко второму — на 6 %, к восьмому — лишь на четверть процента. Квартальные ступени уменьшают ошибку первого года в семь раз. Причина — форма кривой $W_D$ , объяснённая в дополнительном блоке.

Толығырақ:Почему половинные перепады занижают приток

Если давление на интервале снижается равномерно, точный приток от этого снижения равен перепаду интервала, умноженному на среднее значение $W_D$ по всем моментам внутри интервала. Правило половин заменяет его средним из двух крайних значений — это формула трапеций. Кривая $W_D(t_D)$ выпукла вверх (её наклон, темп притока, со временем падает), а для такой кривой трапеция всегда лежит под ней: приток занижается.

Сильнее всего это сказывается на последнем интервале, где $W_D$ растёт круче всего. В начальном периоде, при $W_D \propto \sqrt{t_D}$ , интервал равномерного снижения давления даёт точный приток, пропорциональный $\tfrac23$ значения $W_D$ на его конце, а правило половин — $\tfrac12$ : ошибка $-25$ % на первом шаге, независимо от его длины. Позже кривая $W_D$ ближе к прямой, и ошибка первого шага меньше — в примере урока, где за год $t_D \approx 6$ , около $-16$ %. На старых интервалах $W_D$ почти прямолинейна, и ошибка мала. Поэтому относительная ошибка определяется прежде всего числом шагов от начала истории: чем шаги короче, тем больше их уже накопилось к любой дате.

Если весь перепад интервала приложить в его середине, ошибка будет обратной по знаку и меньшей (для истории урока в первый год — около +4 %): значение в середине выпуклой кривой больше её среднего. Можно и точно учесть равномерное снижение внутри интервалов — через интеграл от $W_D$ ; так рассчитано точное решение в таблице выше. На практике проще уменьшить шаг.

Пример: приток по истории давления

Условная история разработки: давление на контакте и накопленная добыча на конец года

Год: 0
$p$ , МПа: 30,00
$N_p$ , тыс. м³: 0
$W_p$ , тыс. м³: 0
$B_o$ , м³/м³: 1,3243

Год: 1
$p$ , МПа: 28,47
$N_p$ , тыс. м³: 183
$W_p$ , тыс. м³: 0
$B_o$ , м³/м³: 1,3276

Год: 2
$p$ , МПа: 26,52
$N_p$ , тыс. м³: 584
$W_p$ , тыс. м³: 8
$B_o$ , м³/м³: 1,3317

Год: 3
$p$ , МПа: 24,79
$N_p$ , тыс. м³: 1132
$W_p$ , тыс. м³: 37
$B_o$ , м³/м³: 1,3354

Год: 4
$p$ , МПа: 23,73
$N_p$ , тыс. м³: 1717
$W_p$ , тыс. м³: 102
$B_o$ , м³/м³: 1,3377

Год: 5
$p$ , МПа: 22,87
$N_p$ , тыс. м³: 2301
$W_p$ , тыс. м³: 213
$B_o$ , м³/м³: 1,3395

Год: 6
$p$ , МПа: 22,37
$N_p$ , тыс. м³: 2849
$W_p$ , тыс. м³: 368
$B_o$ , м³/м³: 1,3406

Год: 7
$p$ , МПа: 21,89
$N_p$ , тыс. м³: 3360
$W_p$ , тыс. м³: 567
$B_o$ , м³/м³: 1,3416

Год: 8
$p$ , МПа: 21,44
$N_p$ , тыс. м³: 3835
$W_p$ , тыс. м³: 811
$B_o$ , м³/м³: 1,3426

Год	$p$ , МПа	$N_p$ , тыс. м³	$W_p$ , тыс. м³	$B_o$ , м³/м³
0	30,00	0	0	1,3243
1	28,47	183	0	1,3276
2	26,52	584	8	1,3317
3	24,79	1132	37	1,3354
4	23,73	1717	102	1,3377
5	22,87	2301	213	1,3395
6	22,37	2849	368	1,3406
7	21,89	3360	567	1,3416
8	21,44	3835	811	1,3426

Нефтяная часть та же, что в уроках Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи и Модели притока законтурной воды (запасы 9,06 млн м³, начальное давление 30 МПа, давление насыщения 18 МПа), но это другой вариант её разработки — с большим водоносным горизонтом урока Модели притока законтурной воды. $N_p$ — нефть в стандартных условиях, $W_p$ — добытая вода, $B_o$ — объёмный коэффициент нефти при давлении замера. Между замерами давление снижалось по прямой.

Есептеу мысалыНакопленный приток по годам

Бастапқы деректер (шартты)

История: таблица выше: давление на контакте на конец каждого года, начальное — 30 МПа
Горизонт: из предыдущего примера: $U = 40\,000$ м³/МПа, $t_D$ = 6,115 за год, $r_{aD}$ = 10,03

Шешім

Перепады ступеней по средним давлениям интервалов: в начале $\Delta p_0 = (30 - 28{,}47)/2 = 0{,}765$ МПа; через год $\Delta p_1 = (30 - 26{,}52)/2 = 1{,}74$ ; через два $\Delta p_2 = (28{,}47 - 24{,}79)/2 = 1{,}84$ ; далее 1,395; 0,96; 0,68; 0,49 и 0,465 МПа. Их сумма 8,335 МПа равна $30 - (21{,}89 + 21{,}44)/2$ .
Безразмерный приток через 1, 2, …, 8 лет после ступени ( $t_D$ = 6,115; 12,23; …; 48,92): $W_D$ = 5,217; 8,565; 11,536; 14,267; 16,796; 19,143; 21,323; 23,348.
Конец первого года — действует одна ступень: $W_e = 40\,000\cdot0{,}765\cdot5{,}217 = 159{,}6\cdot10^3$ м³.
Конец второго года — две ступени; первая действует уже два года, и её вклад пересчитан: $W_e = 40\,000\cdot(0{,}765\cdot8{,}565 + 1{,}74\cdot5{,}217) = 625{,}2\cdot10^3$ м³.
Конец восьмого года — восемь ступеней (таблица после примера): сумма произведений $\Delta p_jW_D$ равна 141,78 МПа, и $W_e = 40\,000\cdot141{,}78 = 5671{,}2\cdot10^3$ м³.
Так же — для каждого года; результаты — в таблице следующего раздела.

Жауап: За восемь лет горизонт отдал около 5,67 млн м³ воды. Ступени, приложенные через год и через два года после начала, дают 51 % этой суммы, самая первая — 13 %.

Бұл нені білдіреді. Приток к любой дате зависит от всей истории давления. Ступени первых лет, когда давление падало быстрее всего, к восьмому году дают больше половины суммы, хотя сами давно позади: горизонт всё ещё расширяется в ответ на них. Последняя ступень даёт лишь 1,7 %: она действует только год. Данные примера условные.

Слагаемые суммы к концу восьмого года

Ступень: в начале
$\Delta p_j$ , МПа: 0,765
$t_{D8} - t_{Dj}$: 48,92
$W_D$: 23,3484
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 17,861

Ступень: через 1 год
$\Delta p_j$ , МПа: 1,740
$t_{D8} - t_{Dj}$: 42,81
$W_D$: 21,3235
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 37,103

Ступень: через 2 года
$\Delta p_j$ , МПа: 1,840
$t_{D8} - t_{Dj}$: 36,69
$W_D$: 19,1433
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 35,224

Ступень: через 3 года
$\Delta p_j$ , МПа: 1,395
$t_{D8} - t_{Dj}$: 30,58
$W_D$: 16,7957
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 23,430

Ступень: через 4 года
$\Delta p_j$ , МПа: 0,960
$t_{D8} - t_{Dj}$: 24,46
$W_D$: 14,2665
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 13,696

Ступень: через 5 лет
$\Delta p_j$ , МПа: 0,680
$t_{D8} - t_{Dj}$: 18,35
$W_D$: 11,5364
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 7,845

Ступень: через 6 лет
$\Delta p_j$ , МПа: 0,490
$t_{D8} - t_{Dj}$: 12,23
$W_D$: 8,5649
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 4,197

Ступень: через 7 лет
$\Delta p_j$ , МПа: 0,465
$t_{D8} - t_{Dj}$: 6,12
$W_D$: 5,2168
$\Delta p_jW_D$ , МПа: 2,426

Ступень	$\Delta p_j$ , МПа	$t_{D8} - t_{Dj}$	$W_D$	$\Delta p_jW_D$ , МПа
в начале	0,765	48,92	23,3484	17,861
через 1 год	1,740	42,81	21,3235	37,103
через 2 года	1,840	36,69	19,1433	35,224
через 3 года	1,395	30,58	16,7957	23,430
через 4 года	0,960	24,46	14,2665	13,696
через 5 лет	0,680	18,35	11,5364	7,845
через 6 лет	0,490	12,23	8,5649	4,197
через 7 лет	0,465	6,12	5,2168	2,426

Сумма последнего столбца — множитель при $U$ в формуле суперпозиции. Ступени отсчитаны от начала разработки; например, ступень «через 2 года» к концу восьмого года действует 6 лет.

Приток в материальном балансе: проверка и прогноз

Материальный баланс даёт вторую, независимую оценку притока: если запасы $N$ известны, $W_e = F - NE_t$ , где $F$ — пластовый объём отбора, а $E_t$ — расширение нефти, связанной воды и пор на 1 м³ запасов (Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи). Если выбранный горизонт верен, обе оценки совпадают на все даты. Если запасы неизвестны, их находят вместе с $U$ по прямой метода Хавлены–Одеха, в которой функция притока — сумма $\sum\Delta p_jW_D$ (залежь с водоносным горизонтом). Если неизвестны и размер, и проводимость горизонта, их подбирают по истории — это предмет урока Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки.

Есептеу мысалыПроверка горизонта материальным балансом

Бастапқы деректер (шартты)

Запасы и свойства: $N$ = 9,06 млн м³; $B_{oi}$ = 1,3243 и $B_w$ = 1,02 м³/м³; $(c_wS_w + c_f)/(1 - S_w) = 1{,}2167\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹ — как в уроке Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи; давление всё время выше давления насыщения
История и приток по горизонту: таблица истории и предыдущий пример

Шешім

Восьмой год, $p$ = 21,44 МПа, $B_o$ = 1,3426. Отбор: $F = N_pB_o + W_pB_w = 3835\cdot1{,}3426 + 811\cdot1{,}02 = 5976{,}1$ тыс. м³.
Расширение на 1 м³ запасов: $E_o = 1{,}3426 - 1{,}3243 = 0{,}0183$ ; $E_{fw} = 1{,}3243\cdot1{,}2167\cdot10^{-3}\cdot(30 - 21{,}44) = 0{,}013792$ ; $E_t = 0{,}032092$ , и $NE_t = 9060\cdot0{,}032092 = 290{,}8$ тыс. м³.
Приток по балансу: $W_e = 5976{,}1 - 290{,}8 = 5685{,}3$ тыс. м³; по суперпозиции — 5671,2 тыс. м³, на 0,25 % меньше.
Первый год, $p$ = 28,47 МПа, $B_o$ = 1,3276: $F = 183\cdot1{,}3276 = 242{,}95$ тыс. м³; $E_t = (1{,}3276 - 1{,}3243) + 1{,}3243\cdot1{,}2167\cdot10^{-3}\cdot1{,}53 = 0{,}005765$ ; $W_e = 242{,}95 - 9060\cdot0{,}005765 = 190{,}7$ тыс. м³. Суперпозиция дала 159,6 тыс. м³ — на 16 % меньше.
С квартальными ступенями расхождение с балансом в первый год — −2,3 %, к восьмому — −0,02 % (таблица ниже).

Жауап: К восьмому году суперпозиция годовых ступеней и баланс сходятся до 0,25 %, в первый год — лишь до 16 %; с квартальными ступенями — до 2 % уже в первый год.

Бұл нені білдіреді. Горизонт выбран верно — с ним и рассчитана условная история, — а расхождение первых лет создаёт только длина шага: годовые ступени запаздывают с откликом на быстрое начальное снижение давления. Неверный горизонт выдал бы себя иначе: расхождение не исчезало бы с уменьшением шага и нарастало бы со временем. Расчёт по балансу тоже не безупречен: при малом снижении давления расширение — малая разность, и ошибка давления в 0,1 МПа меняет приток первого года на 1,7 %, а восьмого — лишь на 0,04 %. Данные примера условные.

Накопленный приток по годам, тыс. м³

Год: 1
суперпозиция, шаг год: 159,6
суперпозиция, шаг квартал: 186,3
баланс $F - NE_t$: 190,7

Год: 2
суперпозиция, шаг год: 625,2
суперпозиция, шаг квартал: 661,6
баланс $F - NE_t$: 668,0

Год: 3
суперпозиция, шаг год: 1333,1
суперпозиция, шаг квартал: 1367,7
баланс $F - NE_t$: 1372,8

Год: 4
суперпозиция, шаг год: 2161,0
суперпозиция, шаг квартал: 2185,0
баланс $F - NE_t$: 2187,9

Год: 5
суперпозиция, шаг год: 3034,2
суперпозиция, шаг квартал: 3054,6
баланс $F - NE_t$: 3057,7

Год: 6
суперпозиция, шаг год: 3919,3
суперпозиция, шаг квартал: 3933,5
баланс $F - NE_t$: 3935,7

Год: 7
суперпозиция, шаг год: 4795,3
суперпозиция, шаг квартал: 4808,8
баланс $F - NE_t$: 4811,0

Год: 8
суперпозиция, шаг год: 5671,2
суперпозиция, шаг квартал: 5684,1
баланс $F - NE_t$: 5685,3

Год	суперпозиция, шаг год	суперпозиция, шаг квартал	баланс $F - NE_t$
1	159,6	186,3	190,7
2	625,2	661,6	668,0
3	1333,1	1367,7	1372,8
4	2161,0	2185,0	2187,9
5	3034,2	3054,6	3057,7
6	3919,3	3933,5	3935,7
7	4795,3	4808,8	4811,0
8	5671,2	5684,1	5685,3

Квартальные ступени построены по годовым замерам (давление между ними — по прямой). Приток по балансу — по таблице истории при запасах 9,06 млн м³.

ЕсептеуПриток воды в условную залежь урока: точное решение для горизонта (линия), суперпозиция годовых ступеней (штрих) и приток по материальному балансу (точки); для сравнения — пластовый объём отбора

F

. Расхождения первых лет — десятки тысяч кубометров, на рисунке они почти не видны (таблица выше).

Рисунок показывает и главное свойство такой залежи: к восьмому году горизонт дал около 95 % пластового объёма отбора, а собственное расширение нефти, воды и пор — лишь остаток. Поэтому давление в ней определяет горизонт, и на этом построен прогноз: давление на конец следующего периода должно быть таким, чтобы приток по горизонту и приток, требуемый балансом при плановом отборе, совпали. Неизвестных два — давление и приток, — и находят их подбором.

Прогноз давления на следующий период

1
Задать отбор
Плановую накопленную добычу нефти, газа и воды на конец периода — по программе разработки.
2
Выбрать пробное давление
Например, продолжив тренд последних замеров.
3
Посчитать приток двумя способами
По горизонту — суперпозицией с новой ступенью, зависящей от пробного давления; по балансу — $F - NE_t$ при пробном давлении и плановом отборе.
4
Уточнить давление
Если балансу нужно больше воды, чем даёт горизонт, давление ниже пробного, и наоборот. Две пробы и линейная интерполяция между ними обычно дают ответ с точностью до сотых долей мегапаскаля.
5
Перейти к следующему периоду
Принятое давление становится замером, по которому строятся перепады дальше; шаги прогноза — три — шесть месяцев.

Есептеу мысалыПрогноз давления на девятый год

Бастапқы деректер (шартты)

План девятого года: накопленная добыча на его конец — $N_p$ = 4273 тыс. м³ нефти и $W_p$ = 1103 тыс. м³ воды
Горизонт, история, свойства: как в предыдущих примерах; годовые ступени

Шешім

Восемь известных ступеней к концу девятого года действуют на год дольше, чем к концу восьмого; их вклад $U\sum\Delta p_jW_D = 6453{,}08$ тыс. м³. Новая ступень $(21{,}89 - p)/2$ приложена в конце восьмого года и действует год: её вклад $40\,000\cdot5{,}2168\cdot(21{,}89 - p)/2$ м³, или $104{,}34\cdot(21{,}89 - p)$ тыс. м³.
Проба $p$ = 21,2 МПа. По горизонту: $W_e = 6453{,}08 + 104{,}34\cdot0{,}69 = 6525{,}07$ тыс. м³. По балансу ( $B_o$ = 1,3431): $F = 4273\cdot1{,}3431 + 1103\cdot1{,}02 = 6864{,}13$ тыс. м³, $E_t = 0{,}032979$ , $W_e = 6864{,}13 - 9060\cdot0{,}032979 = 6565{,}34$ тыс. м³. Балансу нужно на 40,27 тыс. м³ больше, чем даёт горизонт, — давление должно быть ниже.
Проба $p$ = 20,8 МПа. По горизонту — 6566,81 тыс. м³, по балансу ( $B_o$ = 1,3440) — 6555,19 тыс. м³: теперь горизонт даёт на 11,62 тыс. м³ больше нужного.
Линейная интерполяция: $p = 21{,}2 - 0{,}4\cdot40{,}27/(40{,}27 + 11{,}62) = 20{,}89$ МПа. Проверка при этом давлении: оценки притока расходятся лишь на 0,01 тыс. м³.
Тот же расчёт с квартальными ступенями (давление внутри девятого года — по прямой) даёт 20,99 МПа.

Жауап: При плановом отборе давление на контакте к концу девятого года снизится примерно до 20,89 МПа — ещё на 0,55 МПа за год.

Бұл нені білдіреді. Новая ступень даёт 104,34 тыс. м³ воды на каждый мегапаскаль, а собственная упругость залежи — около 34 тыс. м³ на мегапаскаль: давление действительно определяет горизонт. По той же причине прогноз чувствителен к ошибке в притоке: годовые ступени занижают приток примерно на четверть процента, и прогноз с ними на 0,1 МПа ниже, чем с квартальными. Поэтому шаги прогноза берут короче года, а параметры горизонта предварительно проверяют по истории. Данные примера условные.

Практические замечания

Давление на контакте. В модель подставляют давление на контакте с горизонтом, приведённое к одной глубине. Обычно его принимают равным среднему давлению залежи; в большой или малопроницаемой залежи давление у контакта выше среднего, и тогда берут давление законтурных или приконтурных скважин.
Шаг. Перепады строят по замерам или по сглаженной кривой давления с шагом три — шесть месяцев; годовой шаг заметно занижает приток первых лет. Для малого, быстро откликающегося горизонта шаг должен быть короче времени его отклика, иначе ступени по средним давлениям запаздывают на полшага (Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси).
Геометрия. Залежь неправильной формы заменяют кругом той же площади, горизонт на части периметра — долей $f$ . Для полосообразного горизонта есть своё решение (дополнительный раздел), для подошвенной воды, подходящей снизу по всей площади, — решения с вертикальным течением; их тоже записывают через безразмерный приток для одного скачка давления, и суперпозиция ступеней та же.
Неоднозначность. Одну и ту же историю притока часто одинаково хорошо описывают разные сочетания $U$ , $r_{aD}$ и масштаба безразмерного времени, особенно пока не сказалась граница горизонта. Параметры сверяют с геологией законтурной области и уточняют с каждым новым замером (Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки).
Объём вычислений. На шаге $n$ сумма содержит $n$ слагаемых, а в прогнозе её пересчитывают для каждого пробного давления. В гидродинамических моделях с сотнями шагов и многими участками контура это дорого, поэтому там применяют пошаговые методы Фетковича или Картера–Трейси (Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси).

Терминдер мен белгілер

Постоянная водоносного горизонта $U$: $2\pi f\phi c_th r_o^2$ , м³/МПа: приток на 1 МПа снижения давления при $W_D = 1$ ; от проницаемости не зависит.
Безразмерный приток $W_D$: накопленный приток после единичного скачка давления на контакте в единицах $U$ ; функция $t_D$ и $r_{aD}$ .
Безразмерное время горизонта $t_D$: $kt/(\phi\mu_wc_tr_o^2)$ — время в масштабе $r_o^2/\eta$ , где $\eta$ — пьезопроводность горизонта.
$r_{aD}$: отношение внешнего радиуса горизонта к радиусу залежи; задаёт предел $(r_{aD}^2 - 1)/2$ и время выхода на границу.
Ступень давления: мгновенное снижение давления на контакте на $\Delta p_j$ в момент $t_j$ ; плавную историю представляют суммой ступеней.
Перепады по средним давлениям интервалов: $\Delta p_j = (p_{j-1} - p_{j+1})/2$ : ступенчатая кривая идёт по средним давлениям интервалов между замерами.

Жиі қателіктер

Қате

«Если снижение давления то же, за вчетверо большее время горизонт отдаст вчетверо больше воды».

Шын мәнінде

Приток растёт медленнее времени: вначале как $\sqrt{t}$ , позже чуть быстрее, но всё равно отстаёт. В примере урока за 2 года приток в 2,6 раза больше, чем за полгода, а не вчетверо.

Қате

«Ступени давления прошлых лет уже отработали; на новую дату достаточно добавить вклад новой ступени».

Шын мәнінде

Каждая ступень продолжает давать приток, пока горизонт не исчерпал запас. В примере урока к восьмому году больше половины притока дают ступени, приложенные через год и через два года после начала. Сумму пересчитывают целиком.

Қате

«Расхождение с балансом в первые годы доказывает, что горизонт выбран неверно».

Шын мәнінде

Сначала проверяют шаг: правило половинных перепадов с годовым шагом занижает приток первого года на 16 %, а с квартальным — на 2 %. Ошибку модели горизонта выдаёт расхождение, которое не исчезает с уменьшением шага и растёт со временем.

Қате

«Если граница горизонта не видна в истории, в прогнозе её можно не учитывать».

Шын мәнінде

После выхода снижения давления на границу замкнутый горизонт отдаёт воды всё меньше, чем бесконечный: в примере урока при постоянном снижении давления разница к восьмому году — около 5 % и дальше растёт. Прогноз с бесконечным горизонтом получается оптимистичным.

Толық: тереңдетілген

Вывод формулы притока

По закону Дарси расход воды через контакт — боковую поверхность сектора цилиндра радиусом $r_o$ , высотой $h$ и углом $2\pi f$ — пропорционален градиенту давления у контакта. Подставим $p = p_i - \Delta p\,P$ и $r = r_or_D$ :

Темп притока и безразмерный дебит

q_w = \frac{2\pi f k h\,r_o}{\mu_w}\left.\frac{\partial p}{\partial r}\right|_{r_o} = \frac{2\pi f k h\,\Delta p}{\mu_w}\,q_D(t_D),\qquad q_D = -\left.\frac{\partial P}{\partial r_D}\right|_{r_D = 1}

мұндағы:

$q_w$ темп притока воды в пластовых условиях, м³/с
$q_D$ безразмерный темп притока, —
$k,\ h,\ \mu_w,\ f$ проницаемость и толщина горизонта, вязкость воды, доля периметра, м², м, Па·с, —

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

постоянное снижение давления $\Delta p$ на контакте с момента $t = 0$ .

Темп притока пропорционален проводимости горизонта $kh/\mu_w$ и снижению давления, а его ход во времени задаёт безразмерный дебит, который падает: в начале как $1/\sqrt{\pi t_D}$ , у бесконечного горизонта позже — примерно как $2/\ln t_D$ .

Накопленный приток — интеграл темпа по времени. Время переводим в безразмерное, $\dd t = (\phi\mu_wc_tr_o^2/k)\dd t_D$ , и проницаемость с вязкостью сокращаются:

От темпа притока к накопленному притоку

W_e = \int_0^t q_w\dd t = \frac{2\pi fkh\,\Delta p}{\mu_w}\cdot\frac{\phi\mu_wc_tr_o^2}{k}\int_0^{t_D}q_D\dd t_D = 2\pi f\phi c_thr_o^2\,\Delta p\,W_D

мұндағы:

$W_D = \int_0^{t_D}q_D\dd t_D$ безразмерный приток, —
$\phi,\ c_t,\ r_o$ пористость и общая сжимаемость горизонта, радиус залежи, —, 1/Па, м

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

те же, что для задачи в безразмерном виде.

Проводимость определяет, как быстро идёт приток, но не сколько воды горизонт отдаёт к данному безразмерному времени: она «спрятана» в масштабе времени.

Тот же результат даёт баланс горизонта. Умножим уравнение задачи на $r_D$ и проинтегрируем от 1 до $r_{aD}$ . Левая часть превращается в поток через границы: на внешней его нет, на контакте он равен $q_D$ . Правая — в скорость изменения интеграла $\int P\,r_D\dd r_D$ . Значит, $\int_0^{t_D}q_D\dd t_D$ и интеграл воронки снижения давления совпадают: накопленный приток равен расширению горизонта (формула «Приток как расширение воронки» в основном тексте).

Решение в изображениях Лапласа

Преобразование Лапласа по времени превращает уравнение задачи в обыкновенное уравнение Бесселя по $r_D$ , а условие $P(1) = 1$ — в $\bar P(1) = 1/s$ . Его решение выражается через модифицированные функции Бесселя $I_0, I_1, K_0, K_1$ , и изображение безразмерного притока получается в явном виде:

Изображение безразмерного притока

\bar W_D(s) = \frac{K_1(\sqrt s)\,I_1(r_{aD}\sqrt s) - I_1(\sqrt s)\,K_1(r_{aD}\sqrt s)}{s^{3/2}\big[K_0(\sqrt s)\,I_1(r_{aD}\sqrt s) + I_0(\sqrt s)\,K_1(r_{aD}\sqrt s)\big]}\;\xrightarrow{\;r_{aD}\to\infty\;}\;\frac{K_1(\sqrt s)}{s^{3/2}\,K_0(\sqrt s)}

мұндағы:

$\bar W_D(s)$ изображение $W_D(t_D)$ по Лапласу, —
$s$ переменная преобразования (сопряжена с $t_D$ ), —
$I_\nu,\ K_\nu$ модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка $\nu$ , —

Бірліктер: безразмерные

Мына жағдайда орындалады

замкнутая внешняя граница на $r_{aD}$ ; справа — бесконечный горизонт.

Обращают изображение численно (например, алгоритмом Стефеста, как в уроке о влиянии ствола) или раскладывают решение в ряд по собственным функциям. В уроке значения $W_D$ получены первым способом — обращением этого изображения по Стефесту — и сверены с разложением в ряд. Изображение решения с постоянным дебитом $\bar p_D(s)$ связано с ним простым соотношением $\bar W_D = 1/\big(s^3\bar p_D\big)$ : две задачи — два лица одного решения (вывод формулы Картера–Трейси).

Линейный водоносный горизонт

Если горизонт примыкает к одной стороне залежи полосой шириной $w$ и длиной $L$ (например, вдоль протяжённого разлома или в узком грабене), течение в нём линейное. Метод тот же, меняются лишь масштабы: длина берётся по длине полосы, а не по радиусу залежи.

Приток из линейного водоносного горизонта

W_e = U_L\,\Delta p\,W_D(t_D),\qquad U_L = w\,h\,L\,\phi\,c_t,\qquad t_D = \frac{k\,t}{\phi\,\mu_wc_t\,L^2};\qquad W_D = 2\sqrt{t_D/\pi}\ \ \text{(бесконечная полоса)}

мұндағы:

$U_L$ постоянная линейного горизонта — его упругий запас на 1 МПа, м³/МПа
$w,\ h,\ L$ ширина полосы вдоль контакта, толщина и длина горизонта от контакта до дальней границы, м
$t_D$ безразмерное время, отнесённое к длине полосы, —

Бірліктер: м³, МПа, 1/МПа, м; $t_D$ — СИ (метрическая форма — с множителем $3{,}553\cdot10^{-3}$ при времени в часах)

Мына жағдайда орындалады

однородная полоса постоянного сечения; течение перпендикулярно контакту.
для бесконечной полосы $L$ сокращается: $W_e = 2wh\phi c_t\Delta p\sqrt{\eta t/\pi}$ .

У линейного горизонта нет кривизны, поэтому формула начального периода радиального горизонта для него точна на всё время, пока снижение давления не дошло до дальней границы; замкнутая полоса выходит на предел $W_D = 1$ , то есть на упругий запас $U_L\Delta p$ . При той же площади контакта и тех же свойствах радиальный горизонт со временем отдаёт больше воды, чем линейный: объём его колец растёт с удалением от контакта, а сечение полосы постоянно.

Басқа бірліктер жүйелерінде (1)

Промысловые единицы (oilfield)

U_L\,[\text{bbl/psi}] = 0{,}1781\,w\,h\,L\,\phi\,c_t

$w$ , $h$ , $L$ — ft, $c_t$ — 1/psi; $t_D$ — с множителем $2{,}637\cdot10^{-4}$ при времени в часах.

$0{,}1781 = 1/5{,}615$ — перевод кубических футов в баррели.

Басқа тақырыптармен байланыс

Модели притока законтурной воды — классы моделей притока: нестационарная — общий случай, малый горизонт и стационарная — её пределы.
Принцип суперпозиции — сложение откликов на ступени — то же, что смена дебита скважины.
Уравнение пьезопроводности — уравнение, решённое для горизонта, и безразмерные переменные.
Решение для линейного источника и функция давления — скважина с постоянным забойным давлением — та же задача, что приток воды к залежи.
Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси — пошаговые методы без суперпозиции и их ошибки на той же истории.
Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха) — прямая материального баланса с функцией притока $\sum\Delta p_jW_D$ .
Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи — приток воды в общем уравнении баланса.
Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки — подбор постоянной, размера и масштаба времени горизонта по истории.
Материальный баланс газовой залежи — приток воды в газовую залежь считают так же.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Давление на контакте снизилось на постоянную величину. В начальном периоде ( $t_D \ll 1$ ) прошло вчетверо больше времени. Как изменился накопленный приток?
1. А.Вырос в 16 раз
2. Б.Вырос вчетверо
3. В.Вырос примерно вдвое
4. Г.Не изменился: горизонт уже отдал запас
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. Вырос примерно вдвое
В начальном периоде $W_D \approx 2\sqrt{t_D/\pi}$ , то есть приток пропорционален корню из времени: $\sqrt4 = 2$ . Позже рост чуть быстрее корня (сказывается кривизна контакта), но всё равно медленнее времени.
2
Горизонт примыкает к половине периметра залежи ( $f = 0{,}5$ ); пористость 0,25, $c_t = 1{,}0\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹, толщина 8 м, радиус залежи 2000 м. Найдите постоянную горизонта и приток, если давление на контакте снизилось на 2 МПа и держится, а $W_D$ к этому моменту равен 6,0.
Жауабын көрсету
$U = 2\pi\cdot0{,}5\cdot0{,}25\cdot1{,}0\cdot10^{-3}\cdot8\cdot2000^2 = 2\pi\cdot4000 \approx 25\,130$ м³/МПа. Приток $W_e = U\Delta pW_D = 25\,130\cdot2\cdot6{,}0 \approx 302$ тыс. м³ в пластовых условиях.
3
Давление на контакте по замерам через равные интервалы: 25,0; 24,4; 23,6; 23,0 МПа. Какой перепад ступени прикладывают в момент второго замера ( $t_2$ , давление 23,6 МПа) по правилу средних давлений интервалов?
1. А.0,70 МПа
2. Б.0,30 МПа
3. В.0,60 МПа
4. Г.1,40 МПа
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. 0,70 МПа
$\Delta p_2 = (p_1 - p_3)/2 = (24{,}4 - 23{,}0)/2 = 0{,}70$ МПа. Это разность средних давлений соседних интервалов: $(24{,}4 + 23{,}6)/2 = 24{,}0$ и $(23{,}6 + 23{,}0)/2 = 23{,}3$ МПа.
4
Почему, рассчитывая приток на новую дату, нельзя просто прибавить вклад новой ступени к результату предыдущей даты?
Жауабын көрсету
Старые ступени продолжают действовать, и время, прошедшее после каждой, выросло на длину шага, а с ним и её $W_D$ . Приток на новую дату — сумма по всем ступеням с новыми значениями $W_D(t_{Dn} - t_{Dj})$ . Поэтому расчёт пересчитывает всю историю, и его объём растёт как квадрат числа шагов; пошаговые методы обходят это, храня лишь одно-два числа о прошлом.
5
По годовым ступеням приток в первые два года на 6–16 % меньше, чем по материальному балансу, а с пятого года они совпадают в пределах 1 %. Что вероятнее всего?
1. А.Горизонт сообщается с областью питания
2. Б.Горизонт меньше, чем заложено в модель
3. В.Погрешность правила половинных перепадов при длинном шаге — нужно повторить расчёт с более коротким шагом
4. Г.Завышены запасы нефти
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. Погрешность правила половинных перепадов при длинном шаге — нужно повторить расчёт с более коротким шагом
Правило половинных перепадов занижает приток, сильнее всего на первых шагах, и ошибка быстро убывает с числом шагов — именно такая картина в примере урока. Неверный размер горизонта проявился бы иначе: расхождение росло бы со временем, когда снижение давления дошло бы до границы, и не исчезало бы при уменьшении шага.
6
Замкнутый горизонт с $r_{aD} = 3$ . Каков предел $W_D$ и что означает его достижение?
Жауабын көрсету
$(r_{aD}^2 - 1)/2 = (9 - 1)/2 = 4$ . Тогда $U\Delta p\cdot4$ равно упругому запасу горизонта $(c_w + c_f)W\Delta p$ : давление во всём горизонте сравнялось с давлением на контакте. Дальше горизонт ведёт себя как малый «бак»: новая вода поступает, только если давление на контакте снова снижается.

Жаңартылған: 7 октября 2026 г.