Упрощённые модели притока воды: Фетковича и Картера–Трейси

Қысқаша негізгісі

Суперпозиция хранит всю историю давления; метод Фетковича — одно число, среднее давление горизонта $\bar p_a$ ; метод Картера–Трейси — накопленный приток $W_{e,n-1}$ . Отсюда и их быстрота, и их погрешность.
Метод Фетковича: горизонт — бак за сопротивлением. На шаге с постоянным давлением на контакте давление бака приближается к нему по экспоненте с постоянной времени $\tau = c_tW/J$ ; приток за шаг — убыль запаса бака. Это точное решение полустационарной модели, и ошибка — в самой модели: она не знает переходного периода и занижает приток большого горизонта в первые годы.
Коэффициент $J$ радиального горизонта с $\ln r_{aD} - 3/4$ верен лишь при $r_{aD} \gg 1$ ; при $r_{aD} \approx 2$ знаменатель отрицателен, и нужна точная формула для кольца.
Метод Картера–Трейси использует решение при постоянном темпе притока $p_D(t_D)$ и его производную. Он точен, если темп притока постоянен с самого начала; иначе заменяет прошлое «мгновенным притоком в начале плюс постоянным темпом» и ошибается на проценты — даже при очень коротких шагах.
Правила со средним давлением шага (суперпозиция с половинными перепадами, метод Фетковича) запаздывают на полшага, если горизонт откликается быстрее длины шага; метод Картера–Трейси берёт давление на конец шага и такого запаздывания не имеет.
Короткий шаг убирает только ошибку шага: суперпозиция сходится к точному решению, метод Фетковича — к своей полустационарной модели, метод Картера–Трейси — к своему приближению.

Негізгі қатынастар

\Delta W_{e,n} = c_tW\,\big(\bar p_{a,n-1} - \bar p_n\big)\big(1 - \e^{-\Delta t_n/\tau}\big),\qquad \tau = \frac{c_tW}{J}

шаг метода Фетковича; $\bar p_n = (p_{n-1} + p_n)/2$

\bar p_{a,n} = p_i - \frac{W_{e,n}}{c_tW}

среднее давление горизонта после шага

J = \frac{0{,}536\,f\,k\,h}{\mu_w\,(\ln r_{aD} - 3/4)}

полустационарный коэффициент продуктивности радиального горизонта, м³/(сут·МПа), при $r_{aD} \gg 1$

W_{e,n} = W_{e,n-1} + \big(t_{Dn} - t_{D,n-1}\big)\,\frac{U\,(p_i - p_n) - W_{e,n-1}\,p_D'(t_{Dn})}{p_D(t_{Dn}) - t_{D,n-1}\,p_D'(t_{Dn})}

шаг метода Картера–Трейси

p_D \approx \frac{2\,t_D}{r_{aD}^2 - 1} + \ln r_{aD} - \frac34

функция влияния замкнутого горизонта после выхода на границу ( $r_{aD} \gg 1$ )

Жиі қателіктер

Применять метод Фетковича к большому горизонту без поправки на переходный период: приток первых лет занижен на десятки процентов; к бесконечному горизонту метод неприменим.
Брать $J$ с $\ln r_{aD} - 3/4$ для малого горизонта ( $r_{aD} \lesssim 3$ ).
Ждать, что уменьшение шага сделает метод Картера–Трейси точным.
Подставлять в формулу Картера–Трейси перепад последнего шага вместо полного снижения давления $p_i - p_n$ или функцию влияния не того горизонта.
Путать функцию влияния $p_D$ (давление при постоянном темпе притока) с безразмерным притоком $W_D$ (приток при постоянном давлении).

Сабақтан кейін сіз

объяснить, чем пошаговый метод отличается от суперпозиции и какое «состояние» горизонта он переносит со шага на шаг;
рассчитать по методу Фетковича упругую ёмкость, наибольший возможный приток, коэффициент продуктивности и постоянную времени горизонта и выполнить пошаговый расчёт притока;
объяснить, что такое функция влияния $p_D(t_D)$ — решение при постоянном темпе притока, — и выполнить пошаговый расчёт по формуле Картера–Трейси;
сравнить оба метода с точным решением на одной истории давления и отделить ошибку модели от ошибки шага;
выбрать метод и длину шага для малого, большого и бесконечного водоносных горизонтов.

Зачем упрощать суперпозицию

Метод ван Эвердингена–Херста точен, но расточителен (суперпозиция ступеней). Каждая прошлая ступень давления продолжает давать приток, поэтому на каждую новую дату сумму пересчитывают целиком: после $n$ шагов это $n$ слагаемых, за всю историю — $n(n+1)/2$ значений безразмерного притока. В прогнозе сумму вычисляют заново для каждого пробного давления. В гидродинамической модели водоносный горизонт присоединяют к десяткам граничных ячеек, шагов по времени — сотни и тысячи, и на каждом шаге давление ещё и уточняют итерациями.

Пошаговый (рекуррентный) метод переносит со шага на шаг небольшое «состояние» горизонта и по нему, давлению на контакте и длине шага сразу находит приток за шаг. Объём расчёта растёт пропорционально числу шагов, а не его квадрату. Вопрос лишь в том, сколько информации о прошлом теряется вместе с отброшенной историей.

Что каждый метод помнит о прошлом

Метод: ван Эвердингена–Херста
Что переносится со шага на шаг: вся история ступеней давления
Модель горизонта: уравнение пьезопроводности
Точен, если…: шаги малы

Метод: Фетковича
Что переносится со шага на шаг: среднее давление горизонта $\bar p_a$
Модель горизонта: бак за сопротивлением
Точен, если…: горизонт в полустационарном режиме

Метод: Картера–Трейси
Что переносится со шага на шаг: накопленный приток $W_{e,n-1}$
Модель горизонта: уравнение пьезопроводности через функцию влияния
Точен, если…: темп притока постоянен с начала

Метод	Что переносится со шага на шаг	Модель горизонта	Точен, если…
ван Эвердингена–Херста	вся история ступеней давления	уравнение пьезопроводности	шаги малы
Фетковича	среднее давление горизонта $\bar p_a$	бак за сопротивлением	горизонт в полустационарном режиме
Картера–Трейси	накопленный приток $W_{e,n-1}$	уравнение пьезопроводности через функцию влияния	темп притока постоянен с начала

Метод Фетковича меняет модель горизонта, метод Картера–Трейси — способ учёта прошлого при той же модели.

Метод Фетковича: горизонт как бак за сопротивлением

Полустационарная модель уже знакома по уроку о моделях горизонта: конечный горизонт представляют баком, давление в котором — среднее давление горизонта $\bar p_a$ , а связь бака с залежью — сопротивлением, как у скважины в псевдоустановившемся режиме (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы). Вода идёт в залежь с темпом, пропорциональным разности $\bar p_a - p$ , а бак истощается по собственному балансу. Метод Фетковича — способ считать по этой модели при меняющемся давлении на контакте без суперпозиции.

Полустационарная модель горизонта в обозначениях метода Фетковича

\frac{\dd W_e}{\dd t} = J\,\big(\bar p_a - p\big),\qquad W_e = c_tW\,\big(p_i - \bar p_a\big) = W_{ei}\left(1 - \frac{\bar p_a}{p_i}\right),\qquad W_{ei} = c_tW\,p_i

мұндағы:

$W_e$ накопленный приток воды в пластовых условиях, м³
$J$ коэффициент продуктивности горизонта при псевдоустановившемся течении, м³/(сут·МПа)
$\bar p_a$ среднее давление в водоносном горизонте, МПа
$p$ давление на контакте (среднее давление залежи), МПа
$c_tW$ упругая ёмкость горизонта: сжимаемость $c_w + c_f$ , умноженная на его поровый объём $W$ , м³/МПа
$W_{ei}$ наибольший возможный приток (maximum encroachable water), м³
$p_i$ начальное давление (горизонта и залежи), МПа

Бірліктер: м³, сутки, МПа

Мына жағдайда орындалады

горизонт замкнут и после переходного периода истощается так, что давление в нём падает всюду с одной скоростью (псевдоустановившийся режим);
сжимаемость и проницаемость постоянны; давление на контакте равно среднему давлению залежи.

$W_{ei}$ — нормирующая величина: столько воды горизонт отдал бы, если бы давление в нём упало до нуля. Этот предел недостижим; реальный предел при снижении давления на $\Delta p$ — $c_tW\Delta p$ , упругий запас. Отношение $W_{ei}/p_i$ — просто упругая ёмкость $c_tW$ , поэтому формулы можно писать без $W_{ei}$ ; в программах и литературе встречаются обе записи.

Пусть на шаге длиной $\Delta t_n$ давление на контакте постоянно и равно $\bar p_n$ , а в начале шага давление бака — $\bar p_{a,n-1}$ . Тогда разность $\bar p_a - \bar p_n$ убывает по экспоненте с постоянной времени $\tau = c_tW/J$ (экспонента полустационарной модели), и приток за шаг равен убыли запаса бака. Всё прошлое горизонта сведено к одному числу — давлению бака в начале шага.

Шаг метода Фетковича

\Delta W_{e,n} = c_tW\,\big(\bar p_{a,n-1} - \bar p_n\big)\left(1 - \e^{-\Delta t_n/\tau}\right),\qquad \bar p_{a,n} = p_i - \frac{W_{e,n-1} + \Delta W_{e,n}}{c_tW},\qquad \bar p_n = \frac{p_{n-1} + p_n}{2}

мұндағы:

$\Delta W_{e,n}$ приток за $n$ -й шаг, м³
$\bar p_{a,n-1},\ \bar p_{a,n}$ среднее давление горизонта в начале и в конце шага; $\bar p_{a,0} = p_i$ , МПа
$\bar p_n$ среднее давление на контакте за шаг — среднее из замеров на его концах, МПа
$\Delta t_n$ длина шага, сут
$\tau$ постоянная времени горизонта, $c_tW/J$ , сут
$W_{e,n-1}$ накопленный приток к началу шага, м³

Бірліктер: м³, сутки, МПа

Мына жағдайда орындалады

внутри шага давление на контакте заменено его средним значением;
полустационарная модель горизонта (уравнения выше).

Если шаг короток по сравнению с $\tau$ , множитель в скобках близок к $\Delta t_n/\tau$ , и приток за шаг — $J(\bar p_{a,n-1} - \bar p_n)\Delta t_n$ , как в стационарной модели, но с напором от среднего давления горизонта, а не от начального. Если шаг длинен, бак успевает сравняться с контактом, и горизонт ведёт себя как малый «бак». В записи через $W_{ei}$ множитель перед скобкой — $W_{ei}/p_i$ , а показатель экспоненты — $-Jp_i\Delta t_n/W_{ei}$ ; это то же самое.

Коэффициент продуктивности водоносного горизонта для метода Фетковича

J_{\text{рад}} = \frac{2\pi f\,k\,h}{\mu_w\left(\ln r_{aD} - \dfrac34\right)},\qquad J_{\text{лин}} = \frac{3\,k\,w\,h}{\mu_w\,L}

мұндағы:

$J_{\text{рад}}$ радиальный горизонт на доле $f$ периметра, замкнутый на радиусе $r_a$ ; $r_{aD} = r_a/r_o$ , м³/(с·Па)
$J_{\text{лин}}$ линейный горизонт шириной $w$ вдоль контакта и длиной $L$ , замкнутый на дальнем конце, м³/(с·Па)
$k,\ h,\ \mu_w$ проницаемость и толщина горизонта, вязкость воды, м², м, Па·с

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

псевдоустановившийся режим: напор — разность среднего давления горизонта и давления на контакте;
формула для радиального горизонта верна при $r_{aD} \gg 1$ ; при малых $r_{aD}$ — точное выражение для кольца (дополнительный раздел).

Это формулы притока к скважине в псевдоустановившемся режиме, в которых роль скважины играет залежь: $3/4$ и множитель 3 появляются потому, что напор отсчитывают от среднего давления замкнутого горизонта. Если же давление на внешней границе поддерживается (горизонт с питанием), напор отсчитывают от начального давления, в формулах остаются $\ln r_{aD}$ и $kwh/(\mu_wL)$ , бак становится бесконечным, и метод превращается в стационарную модель Шилтуиса (стационарная модель).

Басқа бірліктер жүйелерінде (2)

Метрические промысловые единицы

J_{\text{рад}} = \frac{0{,}536\,f\,k\,h}{\mu_w\left(\ln r_{aD} - 0{,}75\right)},\qquad J_{\text{лин}} = \frac{0{,}256\,k\,w\,h}{\mu_w\,L}

$J$ — м³/(сут·МПа) в пластовых условиях; $k$ — мД, $h$ , $w$ и $L$ — м, $\mu_w$ — мПа·с.

$0{,}536 = 2\pi\cdot0{,}0853$ и $0{,}256 = 3\cdot0{,}0853$ , где 0,0853 — постоянная закона Дарси в этих единицах (Проницаемость горных пород).

Промысловые единицы (oilfield)

J_{\text{рад}} = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,f\,k\,h}{\mu_w\left(\ln r_{aD} - 0{,}75\right)},\qquad J_{\text{лин}} = \frac{3{,}381\cdot10^{-3}\,k\,w\,h}{\mu_w\,L}

$J$ — пластовые баррели в сутки на psi; $k$ — мД, $h$ , $w$ и $L$ — ft, $\mu_w$ — сП.

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot1{,}127\cdot10^{-3}$ и $3{,}381\cdot10^{-3} = 3\cdot1{,}127\cdot10^{-3}$ .

Есептеу мысалыПриток по методу Фетковича

Бастапқы деректер (шартты)

Горизонт: большой горизонт урока Модели притока законтурной воды: вокруг всей залежи радиусом $r_o = 1595{,}8$ м, замкнут на радиусе 16 км ( $r_{aD}$ = 10,0265); толщина 10 м, пористость 0,20, проницаемость 50 мД, вязкость воды 0,4 мПа·с, $c_t = 1{,}25\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
История давления: годовые замеры урока Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста: 30,00 МПа в начале, 28,47; 26,52; 24,79; 23,73; 22,87; 22,37; 21,89 и 21,44 МПа на конец первого — восьмого года

Шешім

Поровый объём горизонта $W = \pi\,(16\,000^2 - 1595{,}8^2)\cdot10\cdot0{,}20 = 1592{,}5$ млн м³; упругая ёмкость $c_tW = 1990{,}6$ тыс. м³/МПа; наибольший возможный приток $W_{ei} = c_tWp_i = 59{,}72$ млн м³.
Коэффициент продуктивности: $\ln 10{,}0265 - 0{,}75 = 1{,}5552$ ; $J = 0{,}536\cdot1\cdot50\cdot10/(0{,}4\cdot1{,}5552) = 430{,}8$ м³/(сут·МПа). Постоянная времени $\tau = 1990{,}6\cdot10^3/430{,}8 = 4621$ сут, или 12,65 года; для годового шага $1 - \e^{-365{,}25/4621} = 0{,}0760$ .
Первый год: среднее давление на контакте $\bar p_1 = (30 + 28{,}47)/2 = 29{,}235$ МПа, горизонт ещё не тронут ( $\bar p_{a0} = 30$ ). Приток $\Delta W_{e,1} = 1990{,}6\cdot(30 - 29{,}235)\cdot0{,}0760 = 115{,}7$ тыс. м³; давление горизонта $\bar p_{a1} = 30 - 115{,}7/1990{,}6 = 29{,}942$ МПа.
Второй год: $\bar p_2 = (28{,}47 + 26{,}52)/2 = 27{,}495$ МПа; $\Delta W_{e,2} = 1990{,}6\cdot(29{,}942 - 27{,}495)\cdot0{,}0760 = 370{,}2$ тыс. м³; всего 485,9 тыс. м³, $\bar p_{a2} = 30 - 485{,}9/1990{,}6 = 29{,}756$ МПа.
Так же — шаг за шагом; к концу восьмого года $W_e$ = 5492,3 тыс. м³, давление горизонта 27,24 МПа при давлении на контакте 21,44 МПа.

Жауап: По методу Фетковича горизонт к концу восьмого года отдал 5492,3 тыс. м³ воды — на 3,4 % меньше точного решения; за первый год — 115,7 тыс. м³, на 39 % меньше.

Бұл нені білдіреді. За весь расчёт метод хранил одно число — давление «бака» — и ни разу не возвращался к прошлым шагам. Давление горизонта к восьмому году снизилось лишь до 27,24 МПа: большой горизонт далёк от истощения, и напор 5,8 МПа между ним и контактом гонит воду в залежь. Но в первые годы метод сильно занижает приток: модель бака за сопротивлением не знает переходного периода, когда воду отдают ближние к залежи части горизонта, — подробно в разделе о сравнении. Данные примера условные.

Решение при постоянном темпе притока: функция влияния

Для метода Картера–Трейси нужна вторая задача о радиальном горизонте — парная к задаче ван Эвердингена–Херста. Пусть вода входит в залежь с постоянным темпом $q_w$ ; как снижается давление на контакте? Это задача с постоянным дебитом (constant terminal rate), знакомая по исследованиям скважин (функция давления скважины); роль скважины снова играет залежь, а скин-фактора на контакте нет. Её безразмерный ответ называют функцией влияния горизонта.

Функция влияния радиального водоносного горизонта

p_D(t_D) = \frac{2\pi f k h\,\big(p_i - p_o(t)\big)}{q_w\,\mu_w};\qquad p_D \approx 2\sqrt{t_D/\pi}\ \ (t_D \ll 1),\qquad p_D \approx \tfrac12\big(\ln t_D + 0{,}809\big)\ \ \text{(бесконечный)},\qquad p_D \approx \frac{2t_D}{r_{aD}^2 - 1} + \ln r_{aD} - \frac34\ \ \text{(замкнутый, поздно)}

мұндағы:

$p_o(t)$ давление на контакте при постоянном темпе притока, Па
$q_w$ постоянный темп притока воды в пластовых условиях, м³/с
$t_D$ безразмерное время горизонта, как в методе ван Эвердингена–Херста, —
$f,\ k,\ h,\ \mu_w$ доля периметра, проницаемость, толщина горизонта, вязкость воды, —, м², м, Па·с

Бірліктер: СИ; безразмерная функция

Мына жағдайда орындалады

однородный радиальный горизонт; темп притока постоянен с момента $t = 0$ ; скина на контакте нет;
логарифмическая форма — при $t_D$ больше примерно 25, пока горизонт ведёт себя как бесконечный; последняя — после выхода на замкнутую границу, при $r_{aD} \gg 1$ (для малых $r_{aD}$ вместо $\ln r_{aD} - 3/4$ — точное выражение для кольца).

Давление на контакте падает сначала как корень из времени, затем как логарифм, а у замкнутого горизонта после выхода на его границу — линейно: горизонт истощается как бак, $2t_D/(r_{aD}^2 - 1)$ — снижение его среднего давления, а постоянная добавка — перепад на сопротивлении. Модель Фетковича воспроизводит именно эту позднюю прямую: бак с упругой ёмкостью $c_tW$ за сопротивлением, равным постоянной добавке. Поэтому она верна, когда горизонт работает в псевдоустановившемся режиме, и ошибается в переходный период.

ЕсептеуФункция влияния

p_D(t_D)

— снижение давления на контакте при постоянном темпе притока — для замкнутых горизонтов с

r_{aD}

= 2, 5 и 10 и для бесконечного горизонта (ось времени логарифмическая; расчёт по уравнению пьезопроводности).

Две задачи связаны. Снижение давления на контакте при любой истории притока — свёртка темпа притока с производной функции влияния: каждое приращение темпа даёт свой отклик, а отклики складываются, как при смене дебита скважины (интеграл Дюамеля). Поэтому, зная $p_D(t_D)$ , можно по истории давления восстановить приток, а метод Картера–Трейси делает это приближённо, шаг за шагом.

Функция влияния большого горизонта урока (

r_{aD}

≈ 10,03) на даты годовых замеров

Год: 1
$t_D$: 6,115
$p_D$: 1,4438
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,06693

Год: 2
$t_D$: 12,231
$p_D$: 1,7391
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,03622

Год: 3
$t_D$: 18,346
$p_D$: 1,9253
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,02629

Год: 4
$t_D$: 24,462
$p_D$: 2,0727
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,02250

Год: 5
$t_D$: 30,577
$p_D$: 2,2051
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,02103

Год: 6
$t_D$: 36,693
$p_D$: 2,3317
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,02046

Год: 7
$t_D$: 42,808
$p_D$: 2,4560
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,02024

Год: 8
$t_D$: 48,923
$p_D$: 2,5795
$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$: 0,02015

Год	$t_D$	$p_D$	$p_D' = \dd p_D/\dd t_D$
1	6,115	1,4438	0,06693
2	12,231	1,7391	0,03622
3	18,346	1,9253	0,02629
4	24,462	2,0727	0,02250
5	30,577	2,2051	0,02103
6	36,693	2,3317	0,02046
7	42,808	2,4560	0,02024
8	48,923	2,5795	0,02015

Рассчитано решением уравнения пьезопроводности с постоянным темпом притока на контакте и замкнутой внешней границей. К восьмому году производная почти равна $2/(r_{aD}^2 - 1) = 0{,}0201$ : горизонт вышел на псевдоустановившийся режим.

Метод Картера–Трейси

Идея метода Картера–Трейси, предложенного в 1960 году: на текущем шаге считать темп притока постоянным, а давление на контакте брать на конец шага. Темп подбирают так, чтобы рассчитанное по функции влияния снижение давления к концу шага совпало с замеренным. Чтобы не суммировать всю историю, её тоже заменяют простой: будто вода с самого начала шла с тем же постоянным темпом, а в начальный момент к этому добавился мгновенный приток, подобранный так, чтобы к началу шага накопилось ровно $W_{e,n-1}$ .

Шаг метода Картера–Трейси

W_{e,n} = W_{e,n-1} + \big(t_{Dn} - t_{D,n-1}\big)\,\frac{U\,\Delta p_n - W_{e,n-1}\,p_D'(t_{Dn})}{p_D(t_{Dn}) - t_{D,n-1}\,p_D'(t_{Dn})},\qquad \Delta p_n = p_i - p_n

мұндағы:

$W_{e,n},\ W_{e,n-1}$ накопленный приток на конец текущего и предыдущего шагов, м³
$t_{Dn},\ t_{D,n-1}$ безразмерное время на конец текущего и предыдущего шагов, —
$\Delta p_n$ полное снижение давления на контакте от начального к концу шага (не перепад за шаг), МПа
$U$ постоянная водоносного горизонта, $2\pi f\phi c_thr_o^2$ , м³/МПа
$p_D,\ p_D'$ функция влияния и её производная по $t_D$ в конце шага, —

Бірліктер: м³, МПа; время — безразмерное

Мына жағдайда орындалады

темп притока внутри шага постоянен;
вся история до шага заменена эквивалентной: мгновенный приток в начальный момент плюс постоянный темп текущего шага с самого начала (дополнительный раздел);
функция влияния отвечает горизонту: замкнутому с его $r_{aD}$ или бесконечному.

Дробь — темп притока на шаге в м³ на единицу безразмерного времени. Числитель — замеренное снижение давления, умноженное на $U$ , за вычетом отклика на мгновенный приток $W_{e,n-1}$ ; знаменатель — отклик на единичный постоянный темп с самого начала за вычетом воды, которую этот темп дал бы до начала шага. Для первого шага ( $W_{e,0} = 0$ , $t_{D0} = 0$ ) формула даёт $W_{e,1} = U\Delta p_1t_{D1}/p_D(t_{D1})$ — приток при постоянном темпе, к концу шага снизившем давление на $\Delta p_1$ . Если темп притока на деле постоянен с самого начала, формула точна при любой длине шага.

Есептеу мысалыПриток по методу Картера–Трейси

Бастапқы деректер (шартты)

Горизонт: тот же: $U = 40\,000$ м³/МПа, $t_D$ = 6,115 за год, замкнут при $r_{aD}$ ≈ 10,03; функция влияния — таблица выше
История давления: та же, годовые шаги; $\Delta p_n = 30 - p_n$

Шешім

Первый год: $t_{D1}$ = 6,1154, $p_D = 1{,}4438$ , накопленного притока нет. $W_{e,1} = 6{,}1154\cdot40\,000\cdot1{,}53/1{,}4438 = 259{,}2\cdot10^3$ м³.
Второй год: $t_{D2}$ = 12,231, $p_D = 1{,}7391$ , $p_D' = 0{,}03622$ . Числитель: $40\,000\cdot3{,}48 - 259{,}2\cdot10^3\cdot0{,}03622 = 129{,}81\cdot10^3$ м³; знаменатель: $1{,}7391 - 6{,}1154\cdot0{,}03622 = 1{,}5176$ ; темп $a_2 = 129{,}81\cdot10^3/1{,}5176 \approx 85{,}54\cdot10^3$ м³ на единицу $t_D$ .
Приток к концу второго года: $W_{e,2} = 259{,}2 + 85{,}54\cdot6{,}1154 = 782{,}3$ тыс. м³.
Так же дальше; к концу восьмого года $W_e$ = 5754,2 тыс. м³. Темп притока последних лет — около 2379 м³/сут.

Жауап: По методу Картера–Трейси с годовым шагом горизонт к концу восьмого года отдал 5754,2 тыс. м³ — на 1,2 % больше точного решения; за первый год — 259,2 тыс. м³, на 36 % больше.

Бұл нені білдіреді. Метод тоже хранил одно число — накопленный приток — и брал из решения для горизонта лишь функцию влияния и её производную в текущий момент. На первом шаге он предположил, что весь год вода шла с постоянным темпом, при котором давление на контакте к концу года снизится на 1,53 МПа. На деле давление снижалось равномерно, приток в начале года был слабее, и метод завысил приток первого года на треть. Темп притока последних лет почти равен пластовому объёму отбора за сутки: давление в залежи меняется уже медленно. Данные примера условные.

ЕсептеуЧто метод Картера–Трейси подставляет вместо истории на четвёртом годовом шаге: прямую через свой приток на конец третьего года с наклоном, равным темпу текущего шага; в начальный момент она начинается мгновенным «отрицательным» притоком около −0,9 млн м³. Линия — точное решение для той же истории давления, точки — результаты метода по годам.

Сравнение с точным решением на одной истории

Сравним три расчёта на одной истории давления и одном горизонте. Точное решение — уравнение пьезопроводности для горизонта при давлении на контакте, меняющемся между замерами по прямой; в условной истории урока оно совпадает с притоком по материальному балансу (проверка балансом). Все три расчёта получают только годовые замеры.

Большой горизонт: точный приток и ошибки расчётов с годовым шагом

Год: 1
точный приток, тыс. м³: 190,5
суперпозиция, %: −16,2
Феткович, %: −39,2
Картер–Трейси, %: 36,1

Год: 2
точный приток, тыс. м³: 667,1
суперпозиция, %: −6,3
Феткович, %: −27,2
Картер–Трейси, %: 17,3

Год: 3
точный приток, тыс. м³: 1372,8
суперпозиция, %: −2,9
Феткович, %: −19,4
Картер–Трейси, %: 9,2

Год: 4
точный приток, тыс. м³: 2188,2
суперпозиция, %: −1,2
Феткович, %: −13,6
Картер–Трейси, %: 5,0

Год: 5
точный приток, тыс. м³: 3057,4
суперпозиция, %: −0,8
Феткович, %: −9,7
Картер–Трейси, %: 3,2

Год: 6
точный приток, тыс. м³: 3935,2
суперпозиция, %: −0,4
Феткович, %: −6,8
Картер–Трейси, %: 2,1

Год: 7
точный приток, тыс. м³: 4810,5
суперпозиция, %: −0,3
Феткович, %: −4,8
Картер–Трейси, %: 1,6

Год: 8
точный приток, тыс. м³: 5685,7
суперпозиция, %: −0,3
Феткович, %: −3,4
Картер–Трейси, %: 1,2

Год	точный приток, тыс. м³	суперпозиция, %	Феткович, %	Картер–Трейси, %
1	190,5	−16,2	−39,2	36,1
2	667,1	−6,3	−27,2	17,3
3	1372,8	−2,9	−19,4	9,2
4	2188,2	−1,2	−13,6	5,0
5	3057,4	−0,8	−9,7	3,2
6	3935,2	−0,4	−6,8	2,1
7	4810,5	−0,3	−4,8	1,6
8	5685,7	−0,3	−3,4	1,2

Ошибка — отклонение от точного решения. Суперпозиция — перепады по средним давлениям интервалов; метод Фетковича — с коэффициентом $J$ по формуле с $\ln r_{aD} - 3/4$ .

ЕсептеуОшибка накопленного притока относительно точного решения для истории урока: суперпозиция, метод Фетковича и метод Картера–Трейси с годовым шагом (сплошные линии) и два последних метода с месячным шагом (штрих). Суперпозиция с месячным шагом совпадает с точным решением в пределах 0,4 %.

Ошибка при годовом, месячном и недельном шаге, % от точного решения

Расчёт: суперпозиция, шаг год
1-й год: −16,2
2-й год: −6,3
4-й год: −1,2
8-й год: −0,3

Расчёт: суперпозиция, шаг месяц
1-й год: −0,4
2-й год: −0,2
4-й год: 0,0
8-й год: 0,0

Расчёт: Феткович, шаг год
1-й год: −39,2
2-й год: −27,2
4-й год: −13,6
8-й год: −3,4

Расчёт: Феткович, шаг месяц
1-й год: −38,4
2-й год: −26,7
4-й год: −13,3
8-й год: −3,3

Расчёт: Картер–Трейси, шаг год
1-й год: 36,1
2-й год: 17,3
4-й год: 5,0
8-й год: 1,2

Расчёт: Картер–Трейси, шаг месяц
1-й год: −4,5
2-й год: −7,3
4-й год: −6,0
8-й год: −2,3

Расчёт: Картер–Трейси, шаг неделя
1-й год: −7,4
2-й год: −9,0
4-й год: −6,8
8-й год: −2,6

Расчёт	1-й год	2-й год	4-й год	8-й год
суперпозиция, шаг год	−16,2	−6,3	−1,2	−0,3
суперпозиция, шаг месяц	−0,4	−0,2	0,0	0,0
Феткович, шаг год	−39,2	−27,2	−13,6	−3,4
Феткович, шаг месяц	−38,4	−26,7	−13,3	−3,3
Картер–Трейси, шаг год	36,1	17,3	5,0	1,2
Картер–Трейси, шаг месяц	−4,5	−7,3	−6,0	−2,3
Картер–Трейси, шаг неделя	−7,4	−9,0	−6,8	−2,6

Месячные и недельные (1/52 года) шаги построены по тем же годовым замерам (давление внутри года — по прямой).

Суперпозиция с половинными перепадами занижает приток только из-за шага и сходится к точному решению, когда шаг уменьшается: её модель горизонта полна.
Метод Фетковича занижает приток в первые годы почти одинаково при любом шаге: это ошибка модели. Бак за сопротивлением с самого начала отдаёт воду так, как горизонт отдаёт её лишь после выхода снижения давления на границу; а в начале большой горизонт работает как бесконечный, и его ближние части отдают воду гораздо быстрее. Ошибка убывает по мере того, как горизонт выходит на псевдоустановившийся режим, — здесь к восьмому году до 3 %. Для горизонта, который ещё долго не «почувствует» границу, она останется большой, а для бесконечного метод неприменим.
Метод Картера–Трейси с годовым шагом завышает приток первых лет: он приписывает всему первому году темп, нужный для снижения давления к концу года, тогда как на деле приток в начале года был слабее. С месячным шагом знак ошибки меняется, а с недельным она по модулю ещё больше: при дальнейшем уменьшении шага расчёт сходится не к точному решению, а к решению собственной формулы — для истории урока это около −8…−10 % в первые три года и −2,6 % к восьмому (суточный шаг даёт то же). Формула заменяет прошлое эквивалентной историей, и это приближение не исчезает с уменьшением шага; точной она становится, лишь когда темп притока долго не меняется (дополнительный раздел).

Есептеу мысалыТе же методы для малого горизонта

Бастапқы деректер (шартты)

Горизонт: малый горизонт урока Модели притока законтурной воды: вокруг всей залежи, замкнут на радиусе 3,2 км ( $r_{aD}$ = 2,005); остальные свойства те же
История давления: та же; шаг — год

Шешім

Упругая ёмкость $c_tW = 60{,}4$ тыс. м³/МПа — в 33 раза меньше, чем у большого горизонта; $U$ тот же, 40 000 м³/МПа.
Формула с 3/4 неприменима: $\ln 2{,}005 - 0{,}75 = -0{,}054$ . Точное выражение для кольца даёт 0,3171 вместо этого числа, $J = 0{,}536\cdot50\cdot10/(0{,}4\cdot0{,}3171) = 2113$ м³/(сут·МПа) и $\tau = 60{,}4\cdot10^3/2113 = 28{,}6$ сут: горизонт откликается за месяц.
Точный приток к концу первого и восьмого годов — 85,2 и 515,1 тыс. м³. Суперпозиция с годовым шагом даёт на 46 % меньше в первый год и на 2,2 % меньше к восьмому; метод Фетковича — столько же.
Метод Фетковича с месячным шагом: ошибка −0,8 % в первый год. Тот же годовой шаг, но с давлением, меняющимся внутри шага по прямой (дополнительный раздел): 0,00 %.
Метод Картера–Трейси с годовым шагом: 0,6 % в первый год и 0,00 % к восьмому.

Жауап: Для малого горизонта метод Картера–Трейси точен уже с годовым шагом, а суперпозиция с половинными перепадами и метод Фетковича при том же шаге занижают приток первого года почти вдвое.

Бұл нені білдіреді. Малый горизонт выравнивается за месяц и почти сразу отдаёт воду в ответ на текущее давление на контакте. Правила со средним давлением шага запаздывают на полшага: в первый год они «видят» среднее снижение давления 0,77 МПа вместо 1,53 МПа на конец года, и приток выходит почти вдвое меньше. Метод Картера–Трейси берёт давление на конец шага и этого не делает. Модель Фетковича для такого горизонта верна; исправить нужно только шаг — сократить его или учесть равномерное изменение давления внутри шага. Данные примера условные.

Какой метод выбрать

Где какой метод работает

Горизонт: малый, откликается за недели
Суперпозиция: шаг короче отклика
Феткович: точный $J$ и короткий шаг
Картер–Трейси: хорошо

Горизонт: большой, замкнутый
Суперпозиция: эталон
Феткович: занижает первые годы
Картер–Трейси: ошибка — проценты

Горизонт: очень большой или бесконечный
Суперпозиция: эталон
Феткович: неприменим
Картер–Трейси: с функцией влияния бесконечного горизонта

Горизонт	Суперпозиция	Феткович	Картер–Трейси
малый, откликается за недели	шаг короче отклика	точный $J$ и короткий шаг	хорошо
большой, замкнутый	эталон	занижает первые годы	ошибка — проценты
очень большой или бесконечный	эталон	неприменим	с функцией влияния бесконечного горизонта

Эталоном служит суперпозиция с короткими шагами; пошаговые методы полезно хотя бы раз сверить с ней на реальной истории давления.

Ошибку метода Фетковича в переходный период можно обойти, начав расчёт суперпозицией и перейдя к методу Фетковича, когда снижение давления дошло до границы горизонта. В момент перехода давление «бака» берут из накопленного притока, $\bar p_a = p_i - W_e/(c_tW)$ . Насколько важен момент перехода, показывает пример.

Есептеу мысалыСуперпозиция в начале, метод Фетковича потом

Бастапқы деректер (шартты)

Горизонт и история: большой горизонт и история урока; до перехода — суперпозиция с квартальными ступенями, после — шаги метода Фетковича длиной в год
Время выхода снижения давления на границу: около 3,3 года (пример урока о моделях горизонта)

Шешім

Переход после четвёртого года: давление бака $\bar p_a = 30 - 2185{,}0/1990{,}6 = 28{,}902$ МПа. Ошибка на пятый — восьмой годы: −0,8; −0,4; 0,0 и 0,4 %.
Переход после второго года, когда горизонт ещё работает как бесконечный: ошибка на третий год — −7,6 %, к восьмому — −1,5 %.
Для сравнения, метод Фетковича с самого начала — −9,7 % на пятый год и −3,4 % на восьмой.

Жауап: Если перейти к методу Фетковича после выхода снижения давления на границу, ошибка не превышает 1 %; переход раньше времени возвращает ошибку переходного периода.

Бұл нені білдіреді. Метод Фетковича верен там, где верна его модель, — после переходного периода. Суперпозиция нужна только на первых годах, когда она ещё дешева, а дальше счёт идёт шаг за шагом. Время выхода на границу оценивают по пьезопроводности и размеру горизонта, $t_a \approx (r_a - r_o)^2/(4\eta)$ . Данные примера условные.

В гидродинамических моделях

Аналитический водоносный горизонт присоединяют к граничным ячейкам модели; на каждом шаге по времени и на каждой итерации давления приток пересчитывают пошаговой формулой, поэтому в симуляторах обычно применяют пошаговые методы Фетковича и Картера–Трейси (или численный горизонт из дополнительных ячеек), а не суперпозицию. Для метода Картера–Трейси задают функцию влияния (обычно — таблицей для бесконечного или замкнутого радиального горизонта), для метода Фетковича — упругую ёмкость и коэффициент продуктивности. Подобранные по истории параметры одного метода нельзя без проверки переносить в другой (Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки).

Терминдер мен белгілер

Пошаговый (рекуррентный) метод: расчёт притока на шаге по небольшому «состоянию» горизонта с предыдущего шага, без суммирования всей истории давления.
Наибольший возможный приток $W_{ei}$: $c_tWp_i$ — приток при снижении давления горизонта до нуля; нормирующая величина метода Фетковича, $W_{ei}/p_i = c_tW$ .
Постоянная времени $\tau$: $c_tW/J$ — за сколько времени бак за сопротивлением отдаёт около 63 % упругого запаса при постоянном давлении на контакте.
Функция влияния $p_D(t_D)$: безразмерное снижение давления на контакте при постоянном темпе притока; основа метода Картера–Трейси.
Эквивалентная история: то, чем метод Картера–Трейси заменяет прошлое: мгновенный приток в начальный момент и постоянный темп текущего шага.
Ошибка модели и ошибка шага: первая не исчезает при уменьшении шага (метод Фетковича в переходный период, метод Картера–Трейси), вторая исчезает (суперпозиция).

Жиі қателіктер

Қате

«Чем короче шаг, тем точнее любой метод».

Шын мәнінде

Только суперпозиция сходится к точному решению. Метод Фетковича при месячном шаге ошибается почти так же, как при годовом, а метод Картера–Трейси в примере урока меняет знак ошибки: +36 % с годовым шагом, −4…−7 % с месячным и −7…−9 % с недельным в первые годы — с уменьшением шага ошибка не исчезает.

Қате

«Метод Фетковича — просто быстрая форма метода ван Эвердингена–Херста, результаты всегда близки».

Шын мәнінде

Близки после переходного периода. Для большого горизонта урока метод занижает приток первого года на 39 %, четвёртого — на 14 %; переход к нему после выхода снижения давления на границу даёт ошибку меньше 1 %.

Қате

«В формулу Картера–Трейси подставляют перепад давления за шаг».

Шын мәнінде

Подставляют полное снижение давления на контакте от начального, $p_i - p_n$ : формула сопоставляет его с откликом всей эквивалентной истории притока.

Қате

« $W_{ei}$ — это вода, которую горизонт отдаст».

Шын мәнінде

$W_{ei} = c_tWp_i$ — приток при падении давления до нуля, нормирующая величина. Реальный предел при снижении давления на $\Delta p$ — $c_tW\Delta p$ ; для большого горизонта урока при 8,6 МПа это 17 млн м³ из 59,7 млн м³ «наибольшего возможного».

Толық: тереңдетілген

Откуда формула Картера–Трейси и почему она приближённа

Снижение давления на контакте при любой истории притока — сумма откликов на её приращения (суперпозиция в решении с постоянным темпом). Если накопленный приток $W_e(\lambda)$ задан как функция безразмерного времени, то

Давление на контакте как свёртка истории притока

U\,\big(p_i - p(t_D)\big) = \int_0^{t_D}\frac{\dd W_e}{\dd\lambda}\;p_D'(t_D - \lambda)\dd\lambda

мұндағы:

$W_e(\lambda)$ накопленный приток к безразмерному моменту $\lambda$ , м³
$p_D'$ производная функции влияния, —
$U$ постоянная водоносного горизонта, м³/МПа

Бірліктер: м³ (обе части)

Мына жағдайда орындалады

линейная задача, до начала разработки давление в горизонте всюду равно $p_i$ ;
мгновенный приток объёма $V$ в момент $\lambda$ даёт отклик $V\,p_D'(t_D - \lambda)$ — производную отклика на постоянный темп.

При постоянном темпе $a$ с самого начала интеграл равен $a\,p_D(t_D)$ — определение функции влияния. Обратное преобразование — найти приток по истории давления — и есть задача ван Эвердингена–Херста: в изображениях Лапласа решения двух задач связаны соотношением $\bar q_D(s)\,\bar p_D(s) = 1/s^2$ , где $\bar q_D$ — изображение безразмерного темпа притока при постоянном давлении.

Метод Картера–Трейси подставляет в этот интеграл не настоящую историю, а эквивалентную: постоянный темп $a_n$ с самого начала плюс мгновенный приток $W_{e,n-1} - a_nt_{D,n-1}$ в момент $\lambda = 0$ . Она совпадает с настоящей в двух отношениях: к началу шага накоплено $W_{e,n-1}$ , а темп на шаге — $a_n$ . Подставив её в интеграл, получаем:

Снижение давления от эквивалентной истории притока

U\,\Delta p_n = a_n\,p_D(t_{Dn}) + \big(W_{e,n-1} - a_n\,t_{D,n-1}\big)\,p_D'(t_{Dn})

мұндағы:

$a_n$ постоянный темп притока текущего шага, м³ на единицу $t_D$
$W_{e,n-1} - a_n\,t_{D,n-1}$ мгновенный приток эквивалентной истории в начальный момент, м³
$\Delta p_n$ полное снижение давления на контакте к концу шага, МПа

Бірліктер: м³ (обе части)

Мына жағдайда орындалады

эквивалентная история вместо настоящей; функция влияния — для данного горизонта.

Решив это уравнение относительно $a_n$ , получаем формулу метода. На рисунке в разделе о методе мгновенный приток эквивалентной истории отрицателен: темп растёт, и постоянный нынешний темп «с самого начала» дал бы слишком много воды.

Если шаги сделать сколь угодно малыми, темп шага $a_n$ становится производной $\dd W_e/\dd t_D$ , а $W_{e,n-1}$ и $t_{D,n-1}$ — текущими $W_e$ и $t_D$ . Рекуррентная формула превращается в дифференциальное уравнение, в которое входят лишь значения функции влияния в текущий момент, а не вся свёртка:

Предел формулы Картера–Трейси при очень коротких шагах

\big(p_D - t_D\,p_D'\big)\,\frac{\dd W_e}{\dd t_D} + p_D'\,W_e = U\,\big(p_i - p(t_D)\big)

мұндағы:

$W_e$ накопленный приток по методу, м³
$t_D$ безразмерное время горизонта, —
$p_D,\ p_D'$ функция влияния и её производная в момент $t_D$ , —
$U$ постоянная водоносного горизонта, м³/МПа
$p_i - p(t_D)$ снижение давления на контакте, МПа

Бірліктер: м³ (обе части); время безразмерное

Мына жағдайда орындалады

шаги стремятся к нулю; горизонт и функция влияния те же, что в формуле метода.

Решение этого уравнения совпадает с точным, только если темп притока постоянен. В начальный период ( $p_D \approx 2\sqrt{t_D/\pi}$ ) при постоянном снижении давления $\Delta p$ оно даёт $W_e = \tfrac23\sqrt{\pi t_D}\,U\Delta p$ вместо точного $2\sqrt{t_D/\pi}\,U\Delta p$ — больше в $\pi/3$ раза, на 4,7 %. При равномерном снижении давления со скоростью $g$ (на единицу $t_D$ ) получается $W_e = \tfrac25\sqrt\pi\,Ug\,t_D^{3/2}$ вместо точного $\tfrac{4}{3\sqrt\pi}\,Ug\,t_D^{3/2}$ — в $3\pi/10 \approx 0{,}94$ раза, на 6 % меньше. Поэтому в истории урока, где давление снижается почти равномерно, метод с короткими шагами занижает приток.

Ошибка метода не исчезает при уменьшении шага: её задаёт отличие истории притока от постоянного темпа, а не длина шага.

Точное сопротивление кольцевого горизонта

Коэффициент $J$ метода Фетковича — это отношение темпа притока к разности среднего давления горизонта и давления на контакте в псевдоустановившемся режиме. Для кольца $1 \le r_D \le r_{aD}$ с непроницаемой внешней границей эту разность можно найти точно, решив уравнение пьезопроводности при одинаковой скорости снижения давления во всех точках:

Безразмерное сопротивление кольцевого горизонта в псевдоустановившемся режиме

b(r_{aD}) = \frac{4\,r_{aD}^4\ln r_{aD} - 3\,r_{aD}^4 + 4\,r_{aD}^2 - 1}{4\,\big(r_{aD}^2 - 1\big)^2}\;\xrightarrow{\;r_{aD}\gg1\;}\;\ln r_{aD} - \frac34,\qquad J = \frac{2\pi f k h}{\mu_w\,b(r_{aD})}

мұндағы:

$b$ безразмерная разность среднего давления горизонта и давления на контакте, в единицах $q_w\mu_w/(2\pi fkh)$ , —
$r_{aD}$ отношение внешнего радиуса горизонта к радиусу залежи, —

Бірліктер: безразмерная; $J$ — в СИ (в метрических промысловых единицах $2\pi \to 0{,}536$ )

Мына жағдайда орындалады

однородное кольцо; внешняя граница непроницаема; течение установилось в псевдоустановившемся режиме.

При $r_{aD} = 10$ точное значение 1,59 против 1,55 по упрощённой формуле: $J$ отличается на 3 %, и это мелочь по сравнению с ошибкой переходного периода. При $r_{aD} = 2$ точное значение 0,32, а упрощённое отрицательно. То же $b$ стоит в поздней асимптоте функции влияния: $p_D \approx 2t_D/(r_{aD}^2 - 1) + b(r_{aD})$ .

Шаг метода Фетковича при меняющемся давлении на контакте

Правило среднего давления шага точно, пока шаг короток по сравнению с $\tau$ . Если давление на контакте внутри шага меняется по прямой от $p_{n-1}$ до $p_n$ , уравнения бака решаются точно и для длинного шага:

Шаг метода Фетковича при линейном изменении давления на контакте

\Delta W_{e,n} = c_tW\left[\big(\bar p_{a,n-1} - p_{n-1}\big)\big(1 - \e^{-\Delta t_n/\tau}\big) + \big(p_{n-1} - p_n\big)\left(1 - \frac{\tau}{\Delta t_n}\big(1 - \e^{-\Delta t_n/\tau}\big)\right)\right]

мұндағы:

$p_{n-1},\ p_n$ давление на контакте в начале и в конце шага, МПа
$\bar p_{a,n-1}$ среднее давление горизонта в начале шага, МПа
$\tau,\ \Delta t_n$ постоянная времени горизонта и длина шага, сут

Бірліктер: м³, МПа, сутки

Мына жағдайда орындалады

полустационарная модель горизонта; давление на контакте внутри шага меняется по прямой.

При $\Delta t_n \ll \tau$ формула совпадает с правилом среднего давления. При $\Delta t_n \gg \tau$ второе слагаемое стремится ко всему перепаду шага: бак успевает за контактом, отставая от него лишь на время $\tau$ , а правило среднего давления отстаёт на половину шага. Для малого горизонта урока с годовым шагом эта формула даёт приток практически без ошибки.

Басқа тақырыптармен байланыс

Нестационарный приток воды: метод ван Эвердингена–Херста — точное решение и суперпозиция, с которыми сравнивают упрощённые методы.
Модели притока законтурной воды — полустационарная модель горизонта и её постоянная времени.
Решение для линейного источника и функция давления — функция давления скважины — та же функция влияния, когда роль скважины играет залежь.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — псевдоустановившийся режим и откуда в формуле продуктивности слагаемое 3/4.
Принцип суперпозиции — интеграл Дюамеля, который метод Картера–Трейси заменяет приближением.
Уточнение параметров водоносного горизонта по истории разработки — подбор параметров горизонта по истории для выбранного метода.
Линейная форма материального баланса (метод Хавлены–Одеха) — приток воды в линейной форме материального баланса.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Какое «состояние» горизонта метод Фетковича переносит со шага на шаг?
1. А.Только давление на контакте
2. Б.Среднее давление водоносного горизонта
3. В.Всю историю ступеней давления
4. Г.Функцию влияния и её производную
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. Среднее давление водоносного горизонта
Модель бака за сопротивлением полностью описывается давлением бака: зная его в начале шага и давление на контакте, приток за шаг находят по экспоненте с постоянной времени $\tau = c_tW/J$ , а новое давление бака — по его балансу. Поэтому прошлые шаги не нужны.
2
Упругая ёмкость горизонта $c_tW$ = 500 тыс. м³/МПа, $J$ = 200 м³/(сут·МПа), начальное давление 25 МПа. В начале полугодового шага (182,6 сут) давление горизонта 24,60 МПа, давление на контакте снижается за шаг с 23,8 до 23,2 МПа. Найдите приток за шаг и давление горизонта в конце шага.
Жауабын көрсету
$\tau = 500\,000/200 = 2500$ сут; $1 - \e^{-182{,}6/2500} = 1 - \e^{-0{,}0730} = 0{,}0704$ . Среднее давление на контакте за шаг $(23{,}8 + 23{,}2)/2 = 23{,}5$ МПа. Приток $\Delta W_e = 500\,000\cdot(24{,}60 - 23{,}5)\cdot0{,}0704 \approx 38{,}7$ тыс. м³. Давление горизонта снизится на $38\,700/500\,000 = 0{,}077$ МПа — до 24,52 МПа.
3
Когда формула Картера–Трейси даёт точный результат при любой длине шага?
1. А.Когда темп притока постоянен с начала разработки
2. Б.Когда давление на контакте постоянно
3. В.Когда горизонт бесконечен
4. Г.Когда шаг меньше суток
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Когда темп притока постоянен с начала разработки
Формула заменяет прошлое постоянным темпом текущего шага с самого начала плюс мгновенным притоком в начальный момент. Если темп и правда постоянен, мгновенный приток равен нулю и замена точна. При постоянном давлении на контакте темп притока падает, и метод даже с очень мелкими шагами завышает приток — в начальный период на 4,7 %.
4
Водоносный горизонт радиусом 2,4 км окружает залежь радиусом 1,5 км. Можно ли взять для метода Фетковича $J$ по формуле с $\ln r_{aD} - 3/4$ ?
1. А.Нет: метод Фетковича применим только к линейным горизонтам
2. Б.Нет: $\ln 1{,}6 - 0{,}75 < 0$ , коэффициент выходит отрицательным; нужно точное выражение для кольца
3. В.Да, формула годится для любого горизонта
4. Г.Да, но время умножают на 3/4
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. Нет: $\ln 1{,}6 - 0{,}75 < 0$ , коэффициент выходит отрицательным; нужно точное выражение для кольца
$r_{aD} = 2{,}4/1{,}5 = 1{,}6$ , $\ln 1{,}6 = 0{,}47$ — меньше 0,75. Упрощённая формула выведена для горизонтов, во много раз больших залежи. Точное сопротивление кольца при $r_{aD} = 1{,}6$ положительно и мало (около 0,2): такой горизонт откликается быстро и почти как малый «бак».
5
Расчёт по методу Фетковича для большого горизонта занижает приток первых лет на десятки процентов. Помогут ли более короткие шаги? Что делать?
Жауабын көрсету
Нет: это ошибка модели, а не шага. Бак за сопротивлением с самого начала отдаёт воду с темпом $J\Delta p$ , тогда как большой горизонт в переходный период ведёт себя как бесконечный и отдаёт её быстрее — приток растёт как корень из времени. Нужно считать начальный период суперпозицией (или методом Картера–Трейси) и переходить к методу Фетковича после выхода снижения давления на границу; в примере урока это даёт ошибку меньше 1 %.
6
Расчёт по методу Картера–Трейси с годовым шагом дал приток на 3 % больше точного, а с месячным — на 5 % меньше. Ошибка в расчётах?
1. А.Нет: у метода две ошибки — шага и самого приближения, — и при уменьшении шага остаётся вторая, которая может иметь другой знак
2. Б.Нет: месячный шаг всегда занижает приток
3. В.Да: с уменьшением шага ошибка должна только уменьшаться
4. Г.Да: функция влияния взята неверно
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Нет: у метода две ошибки — шага и самого приближения, — и при уменьшении шага остаётся вторая, которая может иметь другой знак
С длинным шагом метод приписывает всему шагу темп, нужный для давления на его конец; если давление внутри шага снижается равномерно, приток первых шагов получается завышенным. С коротким шагом остаётся ошибка эквивалентной истории: для равномерного снижения давления она отрицательна. В примере урока: +5 % и −6 % к четвёртому году.

Жаңартылған: 7 октября 2026 г.