Skip to content
Brent$117,6Газ TTF$1 192USD453,87 ₸
MunaiHub

Кітапхана әзірге орыс тілінде. Ағылшын және қазақ тілдеріндегі нұсқалары кейінірек қосылады.

Формулалар: Экономика нефтегазовых проектов

«Экономика нефтегазовых проектов» бөлімі сабақтарының формулалары қолданылу шарттарымен және бірліктерімен, сондай-ақ белгілердің осы пәндегі мағынасы.

Ценовая эластичность спроса или предложения
ε=ΔQ/QΔP/P\varepsilon = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta P / P}

любые: отношение относительных изменений безразмерно

Мына жағдайда орындалады: малые изменения; для больших пользуются моделью с постоянной эластичностью (ниже); остальное — доходы, техника, политика — не меняется; эластичность зависит от срока: через месяцы она по модулю гораздо меньше, чем через годы.

Нефтяная отрасль в истории: спрос, предложение и цены →
Цена после потери части предложения
P1P0=(1−s) 1/(εd−εs)\frac{P_1}{P_0} = (1 - s)^{\,1/(\varepsilon_d - \varepsilon_s)}

безразмерная; ss — в долях единицы

Мына жағдайда орындалады: спрос и предложение с постоянными эластичностями: Q=A PεdQ = A\,P^{\varepsilon_d} и Q=B PεsQ = B\,P^{\varepsilon_s}; перебой умножает предложение при любой цене на 1−s1 - s; запасы не расходуют, а свободные мощности входят в предложение только так, как это описывает εs\varepsilon_s; модель учебная: она показывает порядок величины и направление, а не прогноз цены.

Нефтяная отрасль в истории: спрос, предложение и цены →
Цена прошлого года в деньгах базового года
Ptпост=Pt IbItP^{\text{пост}}_t = P_t\,\frac{I_b}{I_t}

цены — в одной валюте, индексы — одного ряда

Мына жағдайда орындалады: индекс описывает покупательную способность денег того, кто сравнивает; для цен в долларах — индекс потребительских цен США; среднегодовую цену делят на среднегодовой индекс.

Нефтяная отрасль в истории: спрос, предложение и цены →
Коэффициент восполнения запасов
RRR=ΔRQ\mathrm{RRR} = \frac{\Delta R}{Q}

запасы и добыча в одних единицах; для газа и нефти вместе — в баррелях нефтяного эквивалента

Мына жағдайда орындалады: запасы одной категории, обычно доказанные, на начало и конец периода; период — год или, лучше, несколько лет; органический и полный коэффициенты считают и показывают отдельно.

Нефтяные компании и инвестиции →
Обеспеченность запасами
TR/P=RQT_{R/P} = \frac{R}{Q}

годы

Мына жағдайда орындалады: добыча постоянна; на деле она падает, поэтому запасы вырабатывают дольше, а «полка» добычи короче.

Нефтяные компании и инвестиции →
Затраты на поиск и разработку за несколько лет
cF&D=∑tCt∑tΔRtc_{F\&D} = \frac{\sum_t C_t}{\sum_t \Delta R_t}

млн долл. / млн барр. = долл./барр.

Мына жағдайда орындалады: затраты и прирост за одни и те же годы, обычно три–пять лет; сравнивают только компании с одинаковой методикой учёта затрат и запасов.

Нефтяные компании и инвестиции →
Свободный денежный поток
FCF=CFO−I\mathrm{FCF} = \mathrm{CFO} - I

деньги за один и тот же период

Мына жағдайда орындалады: оговаривают, какие вложения вычтены: после поддерживающих поток показывает, что компания может раздать, не сокращаясь; после всех — сколько у неё остаётся в этом году.

Нефтяные компании и инвестиции →
Поддерживающие вложения при естественном падении
Iподд=d q kI_\text{подд} = d\,q\,k

доллары; добыча — в баррелях в сутки

Мына жағдайда орындалады: падение и капиталоёмкость постоянны; новые мощности вводят в начале года; оценка порядка величины: на деле новые скважины тоже начинают падать в первый же год.

Нефтяные компании и инвестиции →
Балансовая (остаточная) стоимость актива
Bn=C0−∑t=1nDtB_n = C_0 - \sum_{t=1}^{n} D_t

валюта отчётности

Мына жағдайда орындалады: актив учтён по фактическим затратам; переоценку здесь не рассматриваем; за весь срок амортизация в сумме равна первоначальной стоимости за вычетом ликвидационной — схема решает только, как эта сумма распределится по годам.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Линейная амортизация
Dt=C0−SN,Bn=C0−n C0−SND_t = \frac{C_0 - S}{N}, \qquad B_n = C_0 - n\,\frac{C_0 - S}{N}

любые согласованные

Мына жағдайда орындалады: срок NN и ликвидационную стоимость оценивают заранее и пересматривают не реже раза в год; пересмотр меняет амортизацию будущих лет, прошлые годы не пересчитывают.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Амортизация способом уменьшаемого остатка
Dt=a Bt−1,Bn=C0 (1−a)n,a=kND_t = a\,B_{t-1}, \qquad B_n = C_0\,(1 - a)^{n}, \qquad a = \frac{k}{N}

любые согласованные

Мына жағдайда орындалады: остаток никогда не доходит до нуля, поэтому в конце срока его списывают целиком или переходят на равномерное списание остатка.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Амортизация пропорционально добыче
Dt=C0 qtR,Bn=C0(1−QnR)D_t = C_0\,\frac{q_t}{R}, \qquad B_n = C_0\left(1 - \frac{Q_n}{R}\right)

любые согласованные: добыча и запасы в одних единицах

Мына жағдайда орындалады: запасы не пересматривают; при пересмотре остаток стоимости делят на новый остаток запасов — меняются только будущие годы (раздел для углублённого изучения); актив служит, пока из него добывают: остановили добычу — амортизации нет.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Убыток от обесценения
L=max⁡[0; B−max⁡(FV−c, VIU)]L = \max\left[0;\ B - \max\left(FV - c,\ VIU\right)\right]

валюта отчётности

Мына жағдайда орындалады: проверяют наименьшую группу активов, создающую независимые денежные потоки, — для нефти обычно месторождение или группу месторождений с общей инфраструктурой; ценность использования по стандарту считают по потокам до налога на прибыль и ставке до налога; справедливую стоимость нефтегазовых активов часто оценивают по потоку после налогов — так, как его видел бы покупатель; по МСФО убыток можно восстановить, если цены вернулись (кроме гудвила), но не выше стоимости, которая была бы без обесценения.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Стоимость компании (EV)
EV=E+D−Cash\mathrm{EV} = E + D - \mathrm{Cash}

одна валюта и одна дата для всех слагаемых

Мына жағдайда орындалады: доли меньшинства и привилегированные акции, если они есть, прибавляют к EV; в долг включают одинаковые у сравниваемых компаний обязательства — например, аренду или резерв на ликвидацию, — иначе мультипликаторы несравнимы; EV относится к тем же активам, что и показатель в знаменателе мультипликатора.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Чистая стоимость активов (NAV)
NAV=∑jVj−PVОР−(D−Cash)\mathrm{NAV} = \sum_{j} V_j - PV_{\text{ОР}} - (D - \mathrm{Cash})

одна валюта, один ценовой сценарий, одна ставка и одна дата для всех частей

Мына жағдайда орындалады: каждый поток учитывают один раз: если ликвидация, налоги или общие расходы уже есть в потоке актива, их не вычитают ещё раз; части складывают, только если активы независимы; общая инфраструктура и взаимные выгоды требуют общего потока; ∑jVj−PVОР\sum_j V_j - PV_{\text{ОР}} — стоимость бизнеса (EV), NAV — то, что остаётся акционерам.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Стоимость замещения за вычетом износа
Cзам=Cнов(1−τT)(1−kф)C_{\text{зам}} = C_{\text{нов}}\left(1 - \frac{\tau}{T}\right)(1 - k_{\text{ф}})

любая валюта; нынешние цены

Мына жағдайда орындалады: физический износ принят пропорциональным возрасту; на практике его оценивают и по состоянию объекта; внешний (экономический) износ — потерю ценности из-за того, что объекту нечего делать, — учитывают отдельно, сравнивая с доходом, который объект может принести.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Амортизация по добыче после пересмотра запасов
Dt=Bt−1 qtRtостD_t = B_{t-1}\,\frac{q_t}{R^{\text{ост}}_{t}}

любые согласованные

Мына жағдайда орындалады: без пересмотров формула совпадает с Dt=C0 qt/RD_t = C_0\,q_t/R; новые вложения прибавляют к Bt−1B_{t-1}, а запасы, которые они откроют, — к остатку.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Терминальная стоимость при постоянном росте
TVn=FCFn+1i−gTV_n = \frac{FCF_{n+1}}{i - g}

любые согласованные

Мына жағдайда орындалады: поток растёт с постоянным темпом бесконечно — компания всё время находит новые возможности, окупающие вложения; поток каждого года приходит в его конце; при потоках в середине года, как в примерах урока, результат умножают на (1+i)0,5(1 + i)^{0{,}5}.

Методы оценки стоимости: балансовая и рыночная →
Чистый денежный поток периода
NCFt=Rt−Ct−Ot−Tt\mathrm{NCF}_t = R_t - C_t - O_t - T_t

любая валюта, одинаковая для всех статей; все суммы относятся к одному и тому же периоду

Мына жағдайда орындалады: в периоде учтены все приростные поступления и платежи проекта, отнесённые к моменту их фактической оплаты; затраты и налоги записаны положительными суммами и вычитаются; амортизация в формулу не входит, потому что она не платёж; все статьи выражены в одних денежных единицах: одной валюте и одном виде цен — номинальных или постоянных.

Денежный поток проекта →
Пересчёт номинальной суммы в постоянные цены
Ctпост=Ctном(1+f) t−bC^{\text{пост}}_t = \frac{C^{\text{ном}}_t}{(1 + f)^{\,t - b}}

любая валюта; числитель и знаменатель в одних единицах

Мына жағдайда орындалады: темп инфляции постоянен; если он меняется, делят на произведение годовых индексов (1+f1)(1+f2)⋯(1+f_1)(1+f_2)\cdots; для затрат берут подходящий индекс цен — общий или отраслевой; цена нефти определяется рынком и может инфляцию не повторять.

Денежный поток проекта →
Чистый денежный поток года по строкам модели
NCFt=Qt Pt−Ot−Ct−At−Tt\mathrm{NCF}_t = Q_t\,P_t - O_t - C_t - A_t - T_t

млн долл. в год; все строки — в одном виде денег (постоянные цены или номинальные) и в одной валюте

Мына жағдайда орындалады: та же формула, что в уроке о денежном потоке, только выручка раскрыта как объём, умноженный на цену, а ликвидация выделена из капитальных затрат; каждая строка отнесена к году фактической оплаты; амортизация в формулу не входит — она нужна только для расчёта налога; если продуктов несколько, выручку складывают по продуктам.

Модель денежного потока нефтегазового проекта →
Годовой объём по суточному дебиту
Qt=365 u qtQ_t = 365\,u\,q_t

любые согласованные: барр./сут и барр. в год, т/сут и т в год, м³/сут и м³ в год

Мына жағдайда орындалады: qtq_t — средний за год дебит; если известен только дебит на начало и конец года, берут среднее с учётом формы кривой падения; в год пуска и в год остановки вместо 365 берут фактическое число суток работы; uu учитывает плановые ремонты и простои; его принимают по опыту эксплуатации похожих объектов.

Модель денежного потока нефтегазового проекта →
Выручка и цена на промысле
Rt=∑jQj,t Pj,t,Pj,t=Pj,tрын−dj−cjR_t = \sum_j Q_{j,t}\,P_{j,t}, \qquad P_{j,t} = P^{\text{рын}}_{j,t} - d_j - c_j

объём и цена — в согласованных единицах; цена — того же вида денег, что и вся модель

Мына жағдайда орындалады: транспорт учитывают один раз: либо вычитают из цены, либо показывают строкой эксплуатационных затрат; цена — допущение сценария, а не предсказание; модель должна позволять менять его одной ячейкой; в модели в постоянных ценах задают цену в постоянных ценах: неизменная номинальная цена означает, что в реальном выражении она снижается (Инфляция: номинальные и реальные деньги).

Модель денежного потока нефтегазового проекта →
Эксплуатационные затраты на баррель
ot=OtQt=FQt+vo_t = \frac{O_t}{Q_t} = \frac{F}{Q_t} + v

млн долл., делённые на млн барр., дают долл./барр.

Мына жағдайда орындалады: затраты разделены на постоянную часть и часть, пропорциональную добыче; все суммы — в постоянных ценах одного года.

Модель денежного потока нефтегазового проекта →
Экономический предел добычи
Qпр=FP (1−r)−vQ_{\text{пр}} = \frac{F}{P\,(1 - r) - v}

млн долл. в год, делённые на долл./барр., дают млн барр. в год

Мына жағдайда орындалады: сравнивают только то, что зависит от решения остановиться: выручку и затраты следующего года; прошлые капитальные затраты и амортизация в сравнении не участвуют; налог на прибыль берёт долю положительной прибыли и знака результата не меняет, поэтому в формулу не входит; затраты на ликвидацию предстоят при любом решении, от него зависит только их срок (см. раздел для углублённого изучения); формула верна, пока знаменатель положителен: если цена после роялти ниже переменных затрат, убыточен каждый баррель.

Модель денежного потока нефтегазового проекта →
Наращение по простым процентам
An=A0 (1+n i)A_n = A_0\,(1 + n\,i)

любая валюта; ставка и число периодов — в согласованных единицах времени

Мына жағдайда орындалады: проценты начисляются только на исходную сумму и в следующих периодах дохода не приносят; ставка постоянна весь срок; внутри срока нет дополнительных вложений и изъятий.

Проценты и наращение →
Наращение по сложным процентам
An=A0 (1+i)nA_n = A_0\,(1 + i)^{n}

любая валюта; годовая ставка — с числом лет, месячная — с числом месяцев

Мына жағдайда орындалады: проценты остаются вложенными и приносят доход по той же ставке; ставка постоянна; если она меняется, множители отдельных периодов перемножают: (1+i1)(1+i2)⋯(1+in)(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n); проценты начисляются один раз за период, к которому относится ставка.

Проценты и наращение →
Наращение при начислении m раз в год
An=A0(1+jm)mnA_n = A_0\left(1 + \frac{j}{m}\right)^{mn}

любая валюта

Мына жағдайда орындалады: периоды начисления одинаковы по длине; проценты каждого периода капитализируются.

Проценты и наращение →
Эффективная годовая ставка
i=(1+jm)m−1,j=m[(1+i)1/m−1]i = \left(1 + \frac{j}{m}\right)^{m} - 1, \qquad j = m\left[(1+i)^{1/m} - 1\right]

безразмерные доли единицы

Мына жағдайда орындалады: все начисленные проценты капитализируются; в сравнении не участвуют разовые комиссии и бонусы — если они есть, их учитывают отдельно, в полном денежном потоке.

Проценты и наращение →
Непрерывное начисление
An=A0 ejn,i=ej−1,j=ln⁡(1+i)A_n = A_0\,e^{jn}, \qquad i = e^{j} - 1, \qquad j = \ln(1 + i)

любая валюта; ставки — в долях единицы в год

Мына жағдайда орындалады: проценты начисляются и капитализируются непрерывно; ставка постоянна весь срок.

Проценты и наращение →
Наращённая сумма ряда платежей
FVn=∑t=0nCFt (1+i) n−tFV_n = \sum_{t=0}^{n} CF_t\,(1 + i)^{\,n-t}

любая валюта, одинаковая для всех платежей

Мына жағдайда орындалады: все платежи отсчитаны от одного начала и относятся к моментам по одному соглашению; ставка одна для всех периодов и для остатков любого знака.

Проценты и наращение →
Рост цены при постоянном темпе
Pn=P0 (1+f)nP_n = P_0\,(1 + f)^{n}

любая валюта

Мына жағдайда орындалады: темп роста постоянен; если он меняется, годовые множители перемножают; это допущение прогноза, а не закон: рыночные цены, например на нефть, так равномерно не меняются.

Проценты и наращение →
Связь номинальной ставки, реальной ставки и инфляции
1+i=(1+r)(1+f),r=i−f1+f1 + i = (1 + r)(1 + f), \qquad r = \frac{i - f}{1 + f}

доли единицы за один и тот же период

Мына жағдайда орындалады: все три величины относятся к одному периоду и являются эффективными ставками; инфляцию измеряют индексом цен, подходящим к задаче.

Проценты и наращение →
Приведённая стоимость будущей суммы
PV=FV(1+i)n=FV (1+i)−nPV = \frac{FV}{(1+i)^{n}} = FV\,(1+i)^{-n}

любая валюта; PVPV и FVFV в одних единицах, ставка и срок — в согласованных единицах времени (годовая ставка — годы)

Мына жағдайда орындалады: ставка постоянна весь срок; если она меняется, множители разных лет перемножают: PV=FV/[(1+i1)(1+i2)⋯(1+in)]PV = FV/[(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)]; проценты начисляются раз в период, к которому относится ставка (для годовой ставки — раз в год); будущая сумма задана; неопределённость в ней учитывают отдельно; PVPV и FVFV выражены в одних денежных единицах (обе номинальные или обе в постоянных ценах), и ставка им соответствует.

Дисконтирование и приведённая стоимость →
Приведённая стоимость ряда платежей
PV=∑tCFt(1+i)tPV = \sum_{t} \frac{CF_t}{(1+i)^{t}}

любая валюта, одинаковая для всех платежей

Мына жағдайда орындалады: все платежи выражены в одних денежных единицах, и ставка им соответствует; время каждого платежа отсчитано от одного и того же начала, а соглашение о моменте платежа внутри года одно для всего ряда; ставка одинакова для всех лет.

Дисконтирование и приведённая стоимость →
Проверка вложения ставкой дисконтирования
P=−A0+A0 (1+g)n(1+i)n=A0[(1+g1+i)n−1]P = -A_0 + \frac{A_0\,(1+g)^{n}}{(1+i)^{n}} = A_0\left[\left(\frac{1+g}{1+i}\right)^{n} - 1\right]

любая валюта; ставки и срок — в согласованных единицах времени

Мына жағдайда орындалады: один платёж сейчас и один возврат с накопленным доходом через nn лет; ставки gg и ii постоянны весь срок.

Дисконтирование и приведённая стоимость →
Относительная чувствительность приведённой стоимости к ставке
 dPVPV=−tˉ1+i  di,tˉ=∑tt PVt∑tPVt\frac{\dd PV}{PV} = -\frac{\bar t}{1+i}\,\dd i, \qquad \bar t = \frac{\sum_t t\,PV_t}{\sum_t PV_t}

любая валюта; ставка в долях единицы

Мына жағдайда орындалады: малые изменения ставки (линейное приближение); все платежи ряда одного знака — для рядов с платежами разных знаков взвешенный срок теряет наглядный смысл.

Дисконтирование и приведённая стоимость →
Приведённая стоимость аннуитета и множитель аннуитета
PV=A an(i),an(i)=∑t=1n1(1+i)t=1−(1+i)−niPV = A\,a_n(i), \qquad a_n(i) = \sum_{t=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^{t}} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}

любая валюта; AA и PVPV — в одних денежных единицах, ставка — эффективная за период платежа

Мына жағдайда орындалады: платежи равны и идут без пропусков с периодом ставки: годовая ставка — годовые платежи; первый платёж — через один период после начала отсчёта, последний — через nn периодов; другие моменты учитывают множителями из следующего раздела; ставка постоянна весь срок; при i=0i = 0 множитель равен nn; платежи и ставка — в одних деньгах: в постоянных ценах — реальная ставка, в номинальных — номинальная (Инфляция: номинальные и реальные деньги).

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Число равных платежей, возвращающих вложение
n=−ln⁡(1−i PV/A)ln⁡(1+i)n = -\frac{\ln\left(1 - i\,PV/A\right)}{\ln(1+i)}

PVPV и AA — в одних денежных единицах, ii — доля единицы в год

Мына жағдайда орындалады: решение существует, только если i PV<Ai\,PV < A: иначе поступлений не хватает даже на проценты, и вложение не возвращается никогда; дробное nn — непрерывная оценка; при платежах в конце года вложение окупается с платежом года, номер которого — ближайшее целое сверху.

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Наращённая сумма ряда равных взносов
FVn=A sn(i),sn(i)=(1+i)n−1i=(1+i)n an(i)FV_n = A\,s_n(i), \qquad s_n(i) = \frac{(1+i)^{n} - 1}{i} = (1+i)^{n}\,a_n(i)

любая валюта; ставка — эффективная за период взноса

Мына жағдайда орындалады: взносы равны и идут через равные промежутки; доход капитализируется по той же ставке; сумма отнесена к моменту последнего взноса; к более поздней дате её наращивают дальше множителем (1+i)k(1+i)^{k}.

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Приведённая стоимость ряда с постоянным темпом изменения
PV=A1i−g[1−(1+g1+i)n],g≠iPV = \frac{A_1}{i - g}\left[1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^{n}\right], \qquad g \ne i

любая валюта; gg и ii — доли единицы за один и тот же период

Мына жағдайда орындалады: темп gg постоянен весь срок; для падающего ряда dd — доля, на которую платёж уменьшается за год; при g=ig = i формула не определена, но предел конечен: PV=nA1/(1+i)PV = n A_1/(1+i) — рост в точности возмещает дисконтирование; бессрочный ряд (n→∞n \to \infty) стоит A1/(i−g)A_1/(i - g), только если g<ig < i; при g≥ig \ge i сумма бесконечна — признак того, что допущение о вечном росте нереально.

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Приведённая выручка при постоянной цене и дисконтированная добыча
PVR=∑tP Qt(1+i)t=P Qд,Qд=∑tQt(1+i)tPV_R = \sum_t \frac{P\,Q_t}{(1+i)^{t}} = P\,Q_\text{д}, \qquad Q_\text{д} = \sum_t \frac{Q_t}{(1+i)^{t}}

млн долл. = долл./барр. × млн барр.; ставка — доля единицы в год

Мына жағдайда орындалады: цена постоянна в тех деньгах, в которых ведётся расчёт: в постоянных ценах — постоянная реальная цена и реальная ставка; выручка и добыча отнесены к одним моментам и дисконтированы от одного начала отсчёта, как в NPV (начало отсчёта и соглашения); QtQ_t — проданные объёмы: добыча за вычетом собственных нужд и потерь.

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Ставка для баррелей при постоянном темпе роста цены
PVR=∑tP0 (1+er)t Qt(1+i)t=P0 Qд(iq),1+iq=1+i1+erPV_R = \sum_t \frac{P_0\,(1+e_r)^{t}\,Q_t}{(1+i)^{t}} = P_0\,Q_\text{д}(i_q), \qquad 1 + i_q = \frac{1+i}{1+e_r}

доли единицы в год; цены — долл./барр., объёмы — млн барр.

Мына жағдайда орындалады: темп роста цены постоянен; реальный темп — рост сверх общей инфляции (эскалация); цена года tt равна P0(1+er)tP_0(1+e_r)^{t} при том же начале отсчёта, что и для добычи.

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Дисконтированная добыча при экспоненциальном падении
Qд=∫0Tqi e−Dt e−jt dt=qi[1−e−(D+j)T]D+jQ_\text{д} = \int_0^{T} q_i\,e^{-Dt}\,e^{-jt}\dd t = \frac{q_i\left[1 - e^{-(D+j)T}\right]}{D + j}

qiq_i — объём в год, DD и jj — 1/год, TT — годы; QдQ_\text{д} — в тех же единицах объёма

Мына жағдайда орындалады: падение экспоненциальное с начала добычи; начало отсчёта — начало добычи (t=0t = 0); дисконтирование непрерывное: jj соответствует эффективной годовой ставке ii; добыча прекращается при дебите qпрq_\text{пр}; без предела (T→∞T \to \infty) Qд=qi/(D+j)Q_\text{д} = q_i/(D + j).

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Ровная годовая добыча, равноценная профилю
qэкв=Qд∑t(1+i)−tq_\text{экв} = \frac{Q_\text{д}}{\sum_{t} (1+i)^{-t}}

млн барр. в год; суточная добыча — деление на 365

Мына жағдайда орындалады: те же годы добычи, ставка и соглашение о моменте потоков, что и у профиля; равноценность понимается при постоянной цене: обе добычи приносят одну и ту же приведённую выручку.

Аннуитеты и дисконтированная добыча →
Средневзвешенная стоимость капитала (WACC)
WACC=EV re+DV rd (1−T),V=E+D\mathrm{WACC} = \frac{E}{V}\,r_e + \frac{D}{V}\,r_d\,(1 - T), \qquad V = E + D

ставки — в долях единицы в год; EE и DD — в одной валюте

Мына жағдайда орындалады: веса — рыночные или целевые доли капитала, а не балансовые; проект по риску похож на компанию в среднем; для заметно более или менее рискованного проекта нужна своя ставка; ставку применяют к потоку проекта после налогов без кредитов, процентов и погашения долга — стоимость долга уже учтена в самой ставке; налоговая экономия на процентах возникает, только если у компании есть облагаемая прибыль и проценты разрешено вычитать; все ставки одного вида — обычно номинальные в одной валюте, как рыночные ставки.

Выбор ставки дисконтирования →
Модель оценки капитальных активов (CAPM)
re=rf+β (rm−rf)r_e = r_f + \beta\,(r_m - r_f)

доли единицы в год; все ставки в одной валюте

Мына жағдайда орындалады: инвесторы диверсифицированы и требуют премию только за рыночный риск; бету оценивают по истории котировок компании или похожих компаний, премию — по долгосрочной истории рынка; обе оценки неточны; для развивающихся рынков к результату часто добавляют страновую премию за риск — это практическое дополнение, а не часть исходной модели.

Выбор ставки дисконтирования →
Множитель эквивалента определённости
at=(1+rf1+i)ta_t = \left(\frac{1 + r_f}{1 + i}\right)^{t}

безразмерный; ставки в долях единицы в год

Мына жағдайда орындалады: ставка с надбавкой постоянна во времени; обе ставки одного вида — номинальные или реальные — и в одной валюте; поток — ожидаемое (среднее) значение, а не оптимистичный вариант.

Выбор ставки дисконтирования →
Темп инфляции по индексу цен
ft=ItIt−1−1,fˉ=(InI0)1/n−1f_t = \frac{I_t}{I_{t-1}} - 1, \qquad \bar f = \left(\frac{I_n}{I_0}\right)^{1/n} - 1

безразмерные; значения индекса — из одного ряда

Мына жағдайда орындалады: значения сопоставимы: из одного ряда с одной базой, оба среднегодовые или оба на одну и ту же дату года; индекс подходит к задаче: для затрат на бурение отраслевой индекс может вести себя иначе, чем ИПЦ.

Инфляция: номинальные и реальные деньги →
Пересчёт номинальной суммы в постоянные цены
Ctпост=Ctном IbIt=Ctном(1+f) t−bC^{\text{пост}}_t = C^{\text{ном}}_t\,\frac{I_b}{I_t} = \frac{C^{\text{ном}}_t}{(1 + f)^{\,t - b}}

любая валюта; индексы — одного ряда

Мына жағдайда орындалады: индекс соответствует валюте суммы: долларовые суммы переводят по индексу цен в долларах, например американскому ИПЦ, тенговые — по казахстанскому; вторая форма — при постоянном темпе инфляции; если он меняется, делят на произведение годовых множителей (1+f1)(1+f2)⋯(1 + f_1)(1 + f_2)\cdots; по отраслевому индексу получают постоянные цены отдельной статьи — это уже учёт эскалации (раздел ниже).

Инфляция: номинальные и реальные деньги →
Связь номинальной ставки, реальной ставки и инфляции
1+i=(1+r)(1+f),r=1+i1+f−1=i−f1+f1 + i = (1 + r)(1 + f), \qquad r = \frac{1 + i}{1 + f} - 1 = \frac{i - f}{1 + f}

доли единицы за один и тот же период; ставки эффективные

Мына жағдайда орындалады: инфляцию измеряют индексом, подходящим к валюте и к задаче; в прогнозах ff — ожидаемая инфляция; если фактическая окажется другой, реальная доходность сделок с фиксированной номинальной ставкой тоже изменится.

Инфляция: номинальные и реальные деньги →
Согласованное дисконтирование номинального и реального потока
Ctном(1+i)t=Ctпост (1+f)t(1+r)t (1+f)t=Ctпост(1+r)t\frac{C^{\text{ном}}_t}{(1 + i)^{t}} = \frac{C^{\text{пост}}_t\,(1 + f)^{t}}{(1 + r)^{t}\,(1 + f)^{t}} = \frac{C^{\text{пост}}_t}{(1 + r)^{t}}

валюта потока; ставки в долях единицы в год

Мына жағдайда орындалады: базовый год постоянных цен совпадает с началом отсчёта; иначе два NPV различаются постоянным множителем — пересчётом в цены другого года; номинальная ставка и номинальный поток построены на одном и том же допущении об инфляции; все статьи потока, включая налоги, растут вместе с общей инфляцией; где это не так — см. раздел о налогах.

Инфляция: номинальные и реальные деньги →
Реальная эскалация цены
1+er=1+e1+f,Ptпост=P0 (1+er)t1 + e_r = \frac{1 + e}{1 + f}, \qquad P^{\text{пост}}_t = P_0\,(1 + e_r)^{t}

доли единицы в год; цены — в любой валюте

Мына жағдайда орындалады: темпы постоянны; если они меняются, перемножают годовые множители; эскалация — допущение прогноза: её обосновывают отраслевыми индексами и условиями контрактов, а не переносят прошлые темпы механически.

Инфляция: номинальные и реальные деньги →
Накопленный чистый денежный поток
CCFt=∑k=1tNCFk=CCFt−1+NCFt\mathrm{CCF}_t = \sum_{k=1}^{t} \mathrm{NCF}_k = \mathrm{CCF}_{t-1} + \mathrm{NCF}_t

валюта денежного потока в постоянных ценах одного базового года

Мына жағдайда орындалады: NCF включает все статьи проекта после налогов, в том числе затраты на ликвидацию, и не включает кредиты и проценты по ним; все потоки выражены в постоянных ценах одного базового года; номинальные суммы разных лет складывать нельзя; значение относят к концу года: к этому моменту все платежи года уже сделаны; дисконтирования нет: доллар первого года и доллар десятого складываются один к одному.

Накопленный денежный поток и срок окупаемости →
Максимальная потребность в финансировании
MCO=min⁡t CCFt\mathrm{MCO} = \min_{t}\,\mathrm{CCF}_t

валюта денежного потока

Мына жағдайда орындалады: поток проекта не включает кредиты и проценты: MCO показывает потребность в деньгах до решения о том, откуда их взять; годовая модель видит положение только на конец года; если крупные платежи приходятся на начало года, внутри года минимум глубже, и для плана финансирования берут квартальную или месячную модель; для сравнения проектов — постоянные цены, для плана финансирования — номинальные суммы.

Накопленный денежный поток и срок окупаемости →
Срок окупаемости по годовому накопленному потоку
tок=n+∣CCFn∣NCFn+1t_{\text{ок}} = n + \frac{|\mathrm{CCF}_n|}{\mathrm{NCF}_{n+1}}

годы; потоки — в одной валюте и в постоянных ценах

Мына жағдайда орындалады: поток года n+1n+1 поступает равномерно в течение года; точнее годовая модель сказать не может; после перехода через ноль накопленный поток остаётся положительным; если поздние затраты снова опускают его ниже нуля, первый переход окупаемостью не считают; отсчёт ведётся от начала первого года проекта; другую точку отсчёта оговаривают.

Накопленный денежный поток и срок окупаемости →
Отношение прибыли к вложениям
PIR=TCS∣MCO∣\mathrm{PIR} = \frac{\mathrm{TCS}}{|\mathrm{MCO}|}

безразмерное; числитель и знаменатель — в одной валюте и в постоянных ценах

Мына жағдайда орындалады: обе величины взяты с одной кривой недисконтированного накопленного потока в постоянных ценах; у проекта есть период отрицательного накопленного потока, иначе знаменатель теряет смысл; время получения денег не учитывается.

Накопленный денежный поток и срок окупаемости →
Связь срока окупаемости и IRR при равных поступлениях
IA=1−(1+IRR)−NIRR,IRR→AI при N→∞\frac{I}{A} = \frac{1 - (1 + \mathrm{IRR})^{-N}}{\mathrm{IRR}}, \qquad \mathrm{IRR} \to \frac{A}{I}\ \text{при}\ N \to \infty

деньги — в одной валюте и постоянных ценах; ставка — в долях единицы в год

Мына жағдайда орындалады: одно вложение и равные поступления в конце каждого года; у реальных проектов добыча падает, и связь лишь приблизительна; при N≤I/AN \le I/A поступления не превышают вложения, и положительной IRR нет.

Накопленный денежный поток и срок окупаемости →
Чистая приведённая стоимость
NPV=∑t=0TNCFt(1+i)t\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{T} \frac{\mathrm{NCF}_t}{(1+i)^{t}}

валюта денежного потока, например млн долл. в постоянных ценах базового года

Мына жағдайда орындалады: NCF включает все приростные потоки проекта после налогов, в том числе ликвидацию, и не включает потоки финансирования — кредиты, проценты, их погашение; ставка соответствует виду денег: реальная — для постоянных цен, номинальная — для номинальных денег; ставка постоянна; если она меняется по годам, коэффициенты перемножают год за годом; все потоки отнесены к моментам по одному соглашению — конец или середина года (Дисконтирование и приведённая стоимость).

Чистая приведённая стоимость (NPV) →
Индекс NPV
NPVIi=NPVi∣MCOi∣\mathrm{NPVI}_i = \frac{\mathrm{NPV}_i}{|\mathrm{MCO}_i|}

безразмерный; числитель и знаменатель — в одних деньгах, при одной ставке и одном начале отсчёта

Мына жағдайда орындалады: NPV и MCO рассчитаны по одному денежному потоку, при одной ставке и одном начале отсчёта; у проекта есть период отрицательного накопленного потока (иначе знаменатель теряет смысл).

Чистая приведённая стоимость (NPV) →
Приведённые технические затраты на баррель
c=∑t(Ct+Ot+At) (1+i)−t∑tQt (1+i)−t=PVC+PVO+PVAQдc = \frac{\sum_t (C_t + O_t + A_t)\,(1+i)^{-t}}{\sum_t Q_t\,(1+i)^{-t}} = \frac{PV_C + PV_O + PV_A}{Q_\text{д}}

млн долл., делённые на млн барр., дают долл./барр.; ставка — доля единицы в год

Мына жағдайда орындалады: затраты и добыча дисконтированы по одной ставке, от одного начала отсчёта и по одному соглашению о моменте потоков; расчёт в постоянных ценах с реальной ставкой, и cc — постоянная реальная цена; о номинальном расчёте — в разделе для углублённого изучения; платежи государству не включены: это затраты до налогов.

Удельные затраты на баррель →
Стоимость проекта через приведённую маржу на баррель
NPVдо налогов=P Qд−(PVC+PVO+PVA)=(P−c) Qд\mathrm{NPV}_\text{до налогов} = P\,Q_\text{д} - (PV_C + PV_O + PV_A) = (P - c)\,Q_\text{д}

млн долл.; цены — долл./барр., QдQ_\text{д} — млн барр.

Мына жағдайда орындалады: цена постоянна в деньгах расчёта; все величины — при одной ставке и одном начале отсчёта; налогов нет; с налогами роль cc играет цена безубыточности (следующий раздел), а наклон NPV по цене уменьшается на долю роялти и налога.

Удельные затраты на баррель →
Цена безубыточности из приведённых затрат
P∗=PVC+PVA+(1−T) PVO−T PVD(1−r)(1−T) QдP^{*} = \frac{PV_C + PV_A + (1 - T)\,PV_O - T\,PV_D}{(1 - r)(1 - T)\,Q_\text{д}}

все приведённые суммы — при одной ставке ii и одном начале отсчёта; rr и TT — доли единицы

Мына жағдайда орындалады: роялти — постоянная доля выручки, налог на прибыль — постоянная доля прибыли, и при цене P∗P^{*} прибыль положительна в каждый год добычи; иначе цену находят подбором по модели; капитальные затраты уменьшают налог через амортизацию, эксплуатационные — в год оплаты, ликвидация налог не уменьшает, как в условном режиме примеров; все суммы — в постоянных ценах при реальной ставке.

Удельные затраты на баррель →
Коэффициент возмещения капитала и годовой платёж за капитал
A=C⋅CRFn(i),CRFn(i)=1an(i)=i1−(1+i)−nA = C\cdot \mathrm{CRF}_n(i), \qquad \mathrm{CRF}_n(i) = \frac{1}{a_n(i)} = \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}

любая валюта; AA и CC — в одних деньгах, ставка — эффективная за период платежа

Мына жағдайда орындалады: платежи равны и приходят в конце каждого года, первый — через год после даты, к которой отнесено вложение; при других моментах платежа коэффициент пересчитывают так же, как множитель аннуитета (аванс, середина года, отсрочка); ставка постоянна; в постоянных ценах она реальная, и платёж постоянен в реальном выражении; в номинальном расчёте — номинальная, и платёж постоянен в номинальных деньгах, а в реальном выражении падает (Инфляция: номинальные и реальные деньги); в конце срока объект ничего не стоит; остаточную стоимость учитывают отдельно (раздел об эквивалентных годовых затратах); налог на прибыль не учтён — это платёж до налогов (о налоге — в разделе для углублённого изучения).

Годовой платёж за капитал →
Доход на капитал и возврат капитала в коэффициенте
CRFn(i)=i+1sn(i)=i+i(1+i)n−1\mathrm{CRF}_n(i) = i + \frac{1}{s_n(i)} = i + \frac{i}{(1+i)^{n} - 1}

доли вложения в год

Мына жағдайда орындалады: те же, что для коэффициента возмещения капитала; взносы в фонд возврата капитала приносят ту же доходность ii.

Годовой платёж за капитал →
Годовой платёж за вложения нескольких лет
A=∑tCt (1+i)−t∑t∈P(1+i)−tA = \frac{\sum_{t} C_t\,(1+i)^{-t}}{\sum_{t \in P} (1+i)^{-t}}

любая валюта; tt всех сумм отсчитывается от одного начала

Мына жағдайда орындалады: вложения и платежи отнесены к моментам по одному соглашению — например, к середине года; если платежи идут nn лет подряд и первый — через год после выбранной даты, знаменатель, приведённый к этой дате, равен an(i)a_n(i), и формула превращается в A=C⋅CRFn(i)A = C\cdot \mathrm{CRF}_n(i) с вложениями, приведёнными к ней.

Годовой платёж за капитал →
Платёж за капитал на баррель
cK=Aqэкв=∑tCt (1+i)−tQдc_K = \frac{A}{q_\text{экв}} = \frac{\sum_t C_t\,(1+i)^{-t}}{Q_\text{д}}

млн долл., делённые на млн барр., дают долл./барр.

Мына жағдайда орындалады: платёж идёт в годы добычи, и qэквq_\text{экв} рассчитана для тех же лет (равноценная ровная добыча); при ровной добыче qq знаменатель равен qq, и cK=A/qc_K = A/q; это часть затрат до налогов; эксплуатационные затраты на баррель добавляют отдельно.

Годовой платёж за капитал →
Эквивалентные годовые затраты
EAC=CRFn(i)[C+∑t=1nOt(1+i)t−S(1+i)n]\mathrm{EAC} = \mathrm{CRF}_n(i)\left[C + \sum_{t=1}^{n}\frac{O_t}{(1+i)^{t}} - \frac{S}{(1+i)^{n}}\right]

любая валюта; все суммы — в одних деньгах

Мына жағдайда орындалады: каждый вариант по окончании срока заменяют таким же столько раз, сколько нужно, — бесконечно или до общего кратного сроков; только тогда равные годовые затраты сравнимы между вариантами; варианты оказывают одинаковую услугу — тот же объём, ту же надёжность; если нет, разницу учитывают в потоке; при постоянных эксплуатационных затратах OO формула упрощается: EAC=CRFn(i) C+O−S/sn(i)\mathrm{EAC} = \mathrm{CRF}_n(i)\,C + O - S/s_n(i).

Годовой платёж за капитал →
Платёж за капитал как доход на остаток плюс амортизация
At=i Bt−1+Dt,Bt=Bt−1−Dt,B0=C,  Bn=0A_t = i\,B_{t-1} + D_t, \qquad B_t = B_{t-1} - D_t, \qquad B_0 = C,\ \ B_n = 0

любая валюта; ставка — доля единицы в год

Мына жағдайда орындалады: амортизация за срок в сумме равна вложению: ∑Dt=C\sum D_t = C; доход начисляется на остаток прошлого года по той же ставке ii, по которой дисконтируют.

Годовой платёж за капитал →
Равная маржа до налога, возвращающая вложение после налога
M=C−T∑k=1nDk (1+i)−k(1−T) an(i)M = \frac{C - T\sum_{k=1}^{n} D_k\,(1+i)^{-k}}{(1 - T)\,a_n(i)}

любая валюта; TT — доля единицы, ii — доля единицы в год

Мына жағдайда орындалады: маржа облагается налогом каждый год, и вычеты по амортизации используются в год начисления — у владельца достаточно прибыли; все суммы — в одних деньгах при одной ставке; если налоговую амортизацию считают от исторической стоимости в номинальных деньгах, при инфляции её реальная ценность меньше (где инфляция не нейтральна).

Годовой платёж за капитал →
Платёж за капитал на баррель для скважины с экспоненциальным падением
cK=KQд=K (D+j)qi[1−e−(D+j)T]c_K = \frac{K}{Q_\text{д}} = \frac{K\,(D + j)}{q_i\left[1 - e^{-(D+j)T}\right]}

KK — долл., qiq_i — барр. в год, DD и jj — 1/год, TT — годы; cKc_K — долл./барр.

Мына жағдайда орындалады: дебит падает экспоненциально с начала добычи, вложение сделано в момент её начала; дисконтирование непрерывное; без экономического предела (T→∞T \to \infty) cK=K (D+j)/qic_K = K\,(D + j)/q_i.

Годовой платёж за капитал →
Внутренняя норма доходности
NPV(IRR)=∑t=0TNCFt(1+IRR)t=0\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR}) = \sum_{t=0}^{T} \frac{\mathrm{NCF}_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

валюта денежного потока; IRR — в долях единицы за период, через который отстоят потоки (для годовых потоков — в год)

Мына жағдайда орындалады: поток — чистый денежный поток проекта после налогов, без кредитов и процентов по ним: иначе получится доходность собственного капитала, а не проекта; у обычного потока (сначала минусы, потом плюсы — одна смена знака) корень единственный и положителен, если сумма потока больше нуля; если знак меняется несколько раз, корней может быть несколько или ни одного (см. раздел ниже); все потоки отнесены к моментам по одному соглашению; одинаковый сдвиг всех потоков во времени IRR не меняет.

Внутренняя норма доходности (IRR) →
Шаг метода Ньютона для IRR
ik+1=ik−NPV(ik)NPV′(ik),NPV′(i)=−∑tt NCFt(1+i)t+1i_{k+1} = i_k - \frac{\mathrm{NPV}(i_k)}{\mathrm{NPV}'(i_k)}, \qquad \mathrm{NPV}'(i) = -\sum_{t} \frac{t\,\mathrm{NCF}_t}{(1+i)^{t+1}}

ставки — в долях единицы; NPV и его производная — в валюте потока

Мына жағдайда орындалады: профиль NPV гладкий и вблизи корня не горизонтален; начальное приближение достаточно близко к корню; если корней несколько, метод найдёт тот, к которому приведёт начальная ставка.

Внутренняя норма доходности (IRR) →
Остаток счёта проекта при ставке, равной IRR
Bt=Bt−1 (1+IRR)+NCFt,B0=NCF0,BT=0B_t = B_{t-1}\,(1 + \mathrm{IRR}) + \mathrm{NCF}_t, \qquad B_0 = \mathrm{NCF}_0, \qquad B_T = 0

валюта денежного потока

Мына жағдайда орындалады: проценты начисляются по одной ставке IRR на остаток любого знака; потоки отстоят друг от друга на один период, к которому относится IRR.

Внутренняя норма доходности (IRR) →
Модифицированная внутренняя норма доходности
MIRR=(FV+∣PV−∣)1/T−1\mathrm{MIRR} = \left(\frac{FV^{+}}{|PV^{-}|}\right)^{1/T} - 1

валюта потока; MIRR — в долях единицы за период

Мына жағдайда орындалады: положительные потоки вкладываются под ставку реинвестирования до конца проекта; отрицательные потоки обеспечиваются заранее деньгами, вложенными под ставку финансирования; так её определяет функция МВСД электронной таблицы; встречаются и другие варианты, поэтому ставки указывают рядом с результатом.

Внутренняя норма доходности (IRR) →
Приростной денежный поток и его NPV
ΔNCFt=NCFt с−NCFt без,ΔNPV=∑tΔNCFt(1+i)t=NPVс−NPVбез\Delta \mathrm{NCF}_t = \mathrm{NCF}_t^{\,\text{с}} - \mathrm{NCF}_t^{\,\text{без}}, \qquad \Delta \mathrm{NPV} = \sum_t \frac{\Delta \mathrm{NCF}_t}{(1+i)^{t}} = \mathrm{NPV}^{\text{с}} - \mathrm{NPV}^{\text{без}}

млн долл. в постоянных ценах; ставка — реальная, доля единицы в год

Мына жағдайда орындалады: оба прогноза — при одинаковых ценах, затратах, налоговых правилах и ставке; прогноз «без проекта» — ожидаемое развитие промысла без этого решения, а не его текущее состояние; в обоих прогнозах есть все строки, которые проект меняет, включая налог, сроки работы и ликвидации.

Проекты ускорения добычи и приростной анализ →
Приростной поток при простом налоговом режиме
ΔNCFt=(1−T) (m ΔQt−ΔFt)−ΔCt−ΔAt+T ΔDt\Delta \mathrm{NCF}_t = (1 - T)\,(m\,\Delta Q_t - \Delta F_t) - \Delta C_t - \Delta A_t + T\,\Delta D_t

млн долл.; ΔQt\Delta Q_t — млн барр., mm — долл./барр.

Мына жағдайда орындалады: условный режим проекта из примеров: роялти — доля выручки, налог на прибыль с амортизацией вложений, ликвидация налог не уменьшает (платежи государству в модели); в обоих вариантах каждый год добычи прибыльный и перенесённых убытков нет; иначе налог считают по полным прогнозам; цена, ставка роялти и переменные затраты на баррель одинаковы в обоих вариантах.

Проекты ускорения добычи и приростной анализ →
Стоимость приростной добычи при постоянной марже
ΔNPV=(1−T) m ΔQд−PVC+T PVD,ΔQд=∑tΔQt(1+i)t\Delta \mathrm{NPV} = (1 - T)\,m\,\Delta Q_\text{д} - PV_C + T\,PV_D, \qquad \Delta Q_\text{д} = \sum_t \frac{\Delta Q_t}{(1+i)^{t}}

млн долл.; ΔQд\Delta Q_\text{д} — млн барр., mm — долл./барр.

Мына жағдайда орындалады: те же, что для приростного потока при простом налоговом режиме; постоянные затраты и срок ликвидации не меняются; для чистого ускорения ∑tΔQt=0\sum_t \Delta Q_t = 0, поэтому при i=0i = 0 равна нулю и ΔQд\Delta Q_\text{д}.

Проекты ускорения добычи и приростной анализ →
Индекс доходности
PI=PV(ΔNCF+I)PV(I)=1+NPVPV(I)\mathrm{PI} = \frac{PV(\Delta \mathrm{NCF} + I)}{PV(I)} = 1 + \frac{\mathrm{NPV}}{PV(I)}

безразмерный; все суммы — при одной ставке и одном начале отсчёта

Мына жағдайда орындалады: в знаменателе — только то, чего не хватает: обычно вложения года решения; поздний недобор, эксплуатационные затраты и налоги входят в числитель; проекты независимы и делимы — тогда выбор по убыванию PI даёт наибольший суммарный NPV; неделимые проекты проверяют перебором сочетаний, ограничения нескольких лет — методами оптимизации; взаимоисключающие варианты одного проекта сравнивают не по PI, а по NPV — например, через приростной поток «больший вариант минус меньший» (IRR и NPV при выборе между вариантами).

Проекты ускорения добычи и приростной анализ →
Прирост дисконтированной добычи при ускорении экспоненциального падения
ΔQд=N(D2D2+j−D1D1+j)<N jD1+j\Delta Q_\text{д} = N\left(\frac{D_2}{D_2 + j} - \frac{D_1}{D_1 + j}\right) < N\,\frac{j}{D_1 + j}

NN и ΔQд\Delta Q_\text{д} — в одних единицах объёма; DD и jj — 1/год

Мына жағдайда орындалады: падение экспоненциальное до и после обработки, запасы не меняются, экономического предела нет; дисконтирование непрерывное, от момента обработки.

Проекты ускорения добычи и приростной анализ →
Ресурсная рента и её раздел между государством и инвестором
NPVдо налогов=∑tQtPt−Ct−Ot−At(1+i)t=PVгос+NPVинв\mathrm{NPV}_\text{до налогов} = \sum_{t} \frac{Q_t P_t - C_t - O_t - A_t}{(1 + i)^{t}} = PV_\text{гос} + \mathrm{NPV}_\text{инв}

любая согласованная денежная единица; в примерах — млн долл. в постоянных ценах

Мына жағдайда орындалады: все потоки дисконтируют по одной ставке ii — той, которую инвестор требует от вложений с таким риском; чем выше ставка, тем меньше рента; рента посчитана на момент решения о разработке: деньги, уже потраченные на поиск, в неё не входят; ренту полного цикла считают вместе с ними (затраты полного цикла); равенство раздела верно при любой ставке: в каждом году поток до платежей равен сумме платежей государству и потока инвестора; добыча и затраты не зависят от условий раздела; в действительности высокий платёж с выручки раньше останавливает добычу и уменьшает саму ренту.

Государство и недра: собственность на ресурсы →
Предельная ставка роялти
rпред=r0+NPVинв(r0)(1−T) P Qдr_\text{пред} = r_0 + \frac{\mathrm{NPV}_\text{инв}(r_0)}{(1 - T)\,P\,Q_\text{д}}

млн долл., долл./барр., млн барр.; ставки в долях единицы

Мына жағдайда орындалады: роялти берут с выручки и вычитают из базы налога на прибыль, поэтому каждый пункт ставки стоит инвестору долю (1−T)(1 - T) своей приведённой стоимости; база налога на прибыль остаётся положительной во все годы добычи; если появляются убытки, налоговая экономия переносится на будущие годы, и формула даёт завышенную предельную ставку; цена постоянна, а добыча и затраты от ставки роялти не зависят.

Государство и недра: собственность на ресурсы →
Компенсационная нефть
COt=min⁡(Kt−1ост+Ct+Ot; c Rt)\mathrm{CO}_t = \min\left(K_{t-1}^{\text{ост}} + C_t + O_t;\ c\,R_t\right)

млн долл. (или баррели — делением на цену)

Мына жағдайда орындалады: так устроен простой раздел продукции примера; в настоящих соглашениях бывают разные пределы для разных затрат, надбавки к возмещаемым затратам и особые правила для бонусов и ликвидации; то, что не возмещено в этом году, переносится на следующий: Ktост=Kt−1ост+Ct+Ot−COtK_t^{\text{ост}} = K_{t-1}^{\text{ост}} + C_t + O_t - \mathrm{CO}_t.

Лицензирование и договоры на недропользование →
Раздел прибыльной нефти
POt=Rt−COt,Gt=s POt,Et=COt+(1−s) POt\mathrm{PO}_t = R_t - \mathrm{CO}_t,\qquad G_t = s\,\mathrm{PO}_t,\qquad E_t = \mathrm{CO}_t + (1 - s)\,\mathrm{PO}_t

млн долл.

Мына жағдайда орындалады: в примере доля постоянна и других платежей нет; часто её делают ступенчатой — по объёму добычи или по отношению накопленных доходов подрядчика к затратам.

Лицензирование и договоры на недропользование →
Потеря NPV при сдвиге проекта
ΔNPV=NPV[1−(1+i)−Δt]\Delta\mathrm{NPV} = \mathrm{NPV}\left[1 - (1 + i)^{-\Delta t}\right]

любая денежная единица; ставка и задержка — в согласованных единицах времени

Мына жағдайда орындалады: сдвигаются все потоки проекта, включая вложения: так бывает, когда ожидание приходится на время до решения о разработке; если вложения уже сделаны и ждёт только выручка, потеря больше — её считают по сдвигу одной выручки; затраты на само ожидание (содержание команды, аренда оборудования) не учтены — они делают задержку ещё дороже.

Государственное регулирование освоения месторождений →
Относительное отклонение факта от проекта
δ=xф−xпxп⋅100 %\delta = \frac{x_{\text{ф}} - x_{\text{п}}}{x_{\text{п}}}\cdot 100\ \%

проектное и фактическое значения — в одних единицах и за один период

Мына жағдайда орындалады: показатели с диапазоном или пределом (давление, газовый фактор, компенсация) сравнивают с границей диапазона: важно, вышел ли показатель за неё; отклонение считают по каждому показателю; порог 10 % Кодекс связывает с выводом анализа о том, что проект нужно менять.

Государственное регулирование освоения месторождений →
Масса CO₂ при полном сгорании газа
mCO2=V MCO2Vm∑jyjnjm_{\mathrm{CO_2}} = V\,\frac{M_{\mathrm{CO_2}}}{V_m}\sum_j y_j n_j

СИ; объём газа — в стандартных условиях, к которым его приводят в Казахстане

Мына жағдайда орындалады: сгорание полное: каждый атом углерода становится CO₂; уже содержащийся в газе CO₂ проходит через факел и тоже учитывается; в действительности факел сжигает газ не полностью, а несгоревший метан — гораздо более сильный парниковый газ, поэтому формула занижает вред от факела; газ считается идеальным; при атмосферном давлении поправка составляет доли процента.

Государственное регулирование освоения месторождений →
Годовой результат утилизации газа вместо факела
Bинв=P V−(I⋅CRFn(i)+O),Bобщ=Bинв+c mCO2B_{\text{инв}} = P\,V - \left(I\cdot\mathrm{CRF}_n(i) + O\right), \qquad B_{\text{общ}} = B_{\text{инв}} + c\,m_{\mathrm{CO_2}}

денежные суммы — в постоянных ценах и в одних единицах (в примере — млн долл. в год: P VP\,V и c mCO2c\,m_{\mathrm{CO_2}} из долларов переводят в миллионы); объёмы газа — при 20 °C и 101,325 кПа

Мына жағдайда орындалады: вложения переведены в равный годовой платёж за капитал; налоги не учтены; проданный газ замещает такой же объём газа, который иначе добыли бы и сожгли в другом месте, поэтому предотвращённый выброс равен выбросу факела; если замещение неполное или замещённый газ беднее углеродом, предотвращённый выброс и выигрыш общества меньше; при закачке газа в пласт выброс предотвращён и без этого допущения, но выручки нет; ценность газа для общества принята равной цене PP.

Государственное регулирование освоения месторождений →
Условная цена на конкурсе и предел ценовой премии
Pусл=(1−0,2) Pказ,Pусл<Pин  ⇔  Pказ<Pин0,8=1,25 PинP_{\text{усл}} = (1 - 0{,}2)\,P_{\text{каз}}, \qquad P_{\text{усл}} < P_{\text{ин}} \;\Leftrightarrow\; P_{\text{каз}} < \frac{P_{\text{ин}}}{0{,}8} = 1{,}25\,P_{\text{ин}}

любая денежная единица

Мына жағдайда орындалады: остальные условия заявок равны, и победителя определяет цена; снижение условное: платят по цене заявки, а не по условной цене.

Государственное регулирование освоения месторождений →
Доля внутристрановой ценности в работах и услугах за год
s=∑kVk sk∑kVk≥0,7s = \frac{\sum_k V_k\, s_k}{\sum_k V_k} \ge 0{,}7

любая денежная единица

Мына жағдайда орындалады: доли sks_k по договорам уже посчитаны по единой методике; здесь их только складывают с весами стоимостей; товары в это требование не входят: оно относится к работам и услугам (ст. 28).

Государственное регулирование освоения месторождений →
Доля государства без дисконтирования и в ренте
GT=∑tGt∑tCFt,GTд=∑tGt (1+i)−t∑tCFt (1+i)−t\mathrm{GT} = \frac{\sum_t G_t}{\sum_t \mathrm{CF}_t}, \qquad \mathrm{GT}_\text{д} = \frac{\sum_t G_t\,(1 + i)^{-t}}{\sum_t \mathrm{CF}_t\,(1 + i)^{-t}}

любая согласованная денежная единица; в примерах — млн долл. в постоянных ценах

Мына жағдайда орындалады: обе доли считают за всю жизнь проекта; бонусы и другие платежи до добычи входят в GtG_t, а не в затраты; знаменатель GTд\mathrm{GT}_\text{д} — рента (ресурсная рента); у почти нерентабельного проекта она близка к нулю, доля уходит за 100 % и теряет смысл — о таком проекте судят по NPV инвестора; если в проекте участвует государственная компания, в GtG_t входит её денежный поток — с её вложениями со знаком минус.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
Предельная доля государства при нескольких налогах
m=1−(1−r)(1−e)(1−T)m = 1 - (1 - r)(1 - e)(1 - T)

доли единицы

Мына жағдайда орындалады: каждый следующий налог берут с того, что осталось после предыдущих; порядок для формулы не важен: например, роялти вычитают из базы налога на ренту, оба — из базы налога на прибыль, а в казахстанском налоге на сверхприбыль, наоборот, из его базы вычитают КПН; проект уже платит все эти налоги, а прирост не переводит его на другую ступень шкалы и не меняет вычетов — амортизации, переносимых убытков; прирост получен без дополнительных затрат: это прирост потока до платежей, а не выручки.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
Условие прогрессивности налоговой системы
d GTdΠ=1Π(dGdΠ−GΠ)=m−GTΠ\frac{d\,\mathrm{GT}}{d\Pi} = \frac{1}{\Pi}\left(\frac{dG}{d\Pi} - \frac{G}{\Pi}\right) = \frac{m - \mathrm{GT}}{\Pi}

доли единицы на млн долл.

Мына жағдайда орындалады: Π>0\Pi > 0, а платежи меняются вместе с потоком плавно; на ступенях шкал доля меняется скачком; то же верно для доли в ренте, если взять приведённые стоимости вместо сумм.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
Эффективная ставка роялти
ERR=r+(1−r)(1−c) smin⁡\mathrm{ERR} = r + (1 - r)(1 - c)\,s_{\min}

доли единицы

Мына жағдайда орындалады: год, в котором затраты ещё не возмещены и предел возмещения достигнут; налогов на прибыль в такие годы обычно нет, поэтому их в формуле нет; для концессии без раздела продукции c=1c = 1, и ERR равна платежам с выручки.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
R-фактор и доля государства в прибыльной нефти
Rt=∑k<tEk∑k<t(Ck+Ok),st=s0+(s1−s0) Rt−R0R1−R0R_t = \frac{\sum_{k < t} E_k}{\sum_{k < t} \left(C_k + O_k\right)}, \qquad s_t = s_0 + (s_1 - s_0)\,\frac{R_t - R_0}{R_1 - R_0}

млн долл.; RR и доли — безразмерные

Мына жағдайда орындалады: в режиме Б s0=0,30s_0 = 0{,}30 при R0=1R_0 = 1 и s1=0,70s_1 = 0{,}70 при R1=2R_1 = 2; суммы не дисконтируют: R=1R = 1 значит, что подрядчик вернул вложенное, но ещё без доходности на капитал; ликвидация в RR не входит — она не возмещается.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
Налог на ренту с переносом остатка
Nt=CFt∗+(1+u) min⁡(Nt−1; 0),RTt=e max⁡(Nt; 0)N_t = \mathrm{CF}^{*}_t + (1 + u)\,\min\left(N_{t-1};\ 0\right), \qquad \mathrm{RT}_t = e\,\max\left(N_t;\ 0\right)

млн долл.; ставки — доли единицы

Мына жағдайда орындалады: положительный остаток облагают в том же году, поэтому на следующий год переносится только отрицательный; в режиме В e=0,40e = 0{,}40 и u=0,15u = 0{,}15; ликвидацию налог не учитывает; если uu равна ставке инвестора, налог нейтрален — продвинутый раздел о нейтральном налоге.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
Налог на сверхприбыль Казахстана по уровням
НСП=∑k=16ek min⁡[max⁡(ЧД−ak В; 0); (ak+1−ak)В]\text{НСП} = \sum_{k=1}^{6} e_k\,\min\left[\max\left(\text{ЧД} - a_k\,\text{В};\ 0\right);\ \left(a_{k+1} - a_k\right)\text{В}\right]

тенге или любая денежная единица; доли единицы

Мына жағдайда орындалады: чистый доход до 25 % вычетов не облагается (ст. 800); каждая ставка применяется только к части дохода в своём уровне (ст. 807, 808); налоговый период — календарный год; декларацию подают до 31 марта, налог платят в течение 10 дней после этого срока (ст. 809–811); налог не платят по соглашениям о разделе продукции, заключённым до 2009 года и прошедшим обязательную налоговую экспертизу, и по контрактам, утверждённым Президентом (ст. 755, 799), а также при альтернативном налоге.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
Приведённая стоимость нейтрального налога на ренту
PV(RT)=e∑tCFt∗ (1+i)−t=e NPV∗,NPVинв=(1−e) NPV∗PV(\mathrm{RT}) = e \sum_t \mathrm{CF}^{*}_t\,(1 + i)^{-t} = e\,\mathrm{NPV}^{*}, \qquad \mathrm{NPV}_\text{инв} = (1 - e)\,\mathrm{NPV}^{*}

млн долл.; ставки — доли единицы

Мына жағдайда орындалады: надбавка к перенесённому остатку uu равна ставке инвестора ii; остаток в итоге становится положительным, и после этого отрицательных лет нет — иначе их убыток надо возвращать или переносить назад; при u>iu > i налог мягче нейтрального и берёт меньше e NPV∗e\,\mathrm{NPV}^{*}, при u<iu < i — жёстче: он облагает и часть нормальной доходности.

Налогообложение нефтегазовых проектов →
Эластичность NPV по параметру
Ex=ΔNPV/NPV0Δx/x0E_x = \frac{\Delta\mathrm{NPV}/\mathrm{NPV}_0}{\Delta x/x_0}

безразмерная: проценты изменения NPV на один процент изменения параметра

Мына жағдайда орындалады: меняется один параметр, остальные остаются базовыми; изменение невелико, так что зависимость можно считать линейной; для больших изменений модель пересчитывают; NPV0\mathrm{NPV}_0 не близок к нулю: у проекта на грани безубыточности эластичность неограниченно растёт и теряет смысл.

Анализ чувствительности и сценарии →
Цена безубыточности при линейной зависимости NPV от цены
P∗=P0−NPV0sP,sP=(1−r)(1−T)∑tQt(1+i)tP^{*} = P_0 - \frac{\mathrm{NPV}_0}{s_P}, \qquad s_P = (1 - r)(1 - T)\sum_t \frac{Q_t}{(1+i)^{t}}

цены — долл./барр.; сумма ∑tQt/(1+i)t\sum_t Q_t/(1+i)^{t} — дисконтированная добыча, млн барр.

Мына жағдайда орындалады: от цены зависят только выручка, роялти и налог на прибыль; добыча и затраты при изменении цены остаются прежними; при всех ценах от P∗P^{*} до P0P_0 проект платит налог на прибыль в каждый год добычи; если при низкой цене появляются убыточные годы, зависимость ломается, и ответ находят подбором; роялти пропорционально выручке, ставка налога постоянна; для скользящих ставок и раздела продукции формула не годится; остальные параметры базовые; цена безубыточности относится к выбранному показателю и ставке — здесь к NPV при ставке ii.

Анализ чувствительности и сценарии →
NPV при задержке первой нефти
NPVзад(d)=NPV0+PVC(1+i)d−PVC\mathrm{NPV}_{\text{зад}}(d) = \frac{\mathrm{NPV}_0 + PV_C}{(1+i)^{d}} - PV_C

млн долл.; dd — в годах

Мына жағдайда орындалады: капитальные затраты сохраняют суммы и даты, а всё остальное — добыча, эксплуатационные затраты, платежи государству, ликвидация — сдвигается на dd лет без изменений; расчёт в постоянных ценах; налоговая амортизация начинается с первой нефти и сдвигается вместе с ней; дополнительные расходы за время простоя и удорожание работ не учтены — на практике они делают задержку ещё дороже.

Анализ чувствительности и сценарии →
Изменение NPV при небольших изменениях цены и затрат
ΔNPV=(1−T)[(1−r) PVQ ΔP−ΔPVO]−ΔPVC+T ΔPVD\Delta\mathrm{NPV} = (1 - T)\left[(1 - r)\,PV_Q\,\Delta P - \Delta PV_O\right] - \Delta PV_C + T\,\Delta PV_D

млн долл.; все приведённые стоимости — при одной ставке и одном начале отсчёта

Мына жағдайда орындалады: роялти — постоянная доля выручки, налог на прибыль — постоянная доля прибыли, и прибыль положительна в каждый год добычи; капитальные затраты уменьшают налог только через амортизацию, поэтому их налоговая отдача приходит позже и стоит меньше; изменения не затрагивают профиль добычи; при изменении добычи вместо ΔP\Delta P берут изменение выручки и переменных затрат.

Анализ чувствительности и сценарии →
Ожидаемая денежная стоимость
EMV=∑j=1mpj NPVj,∑j=1mpj=1\mathrm{EMV} = \sum_{j=1}^{m} p_j\,\mathrm{NPV}_j, \qquad \sum_{j=1}^{m} p_j = 1

денежные единицы NPV, например млн долл. в постоянных ценах

Мына жағдайда орындалады: исходы исключают друг друга и вместе охватывают все возможности — поэтому вероятности в сумме дают единицу; все NPV рассчитаны на одну дату (дату решения), по одной ставке и в одних деньгах; в NPV входят только будущие потоки, которые зависят от решения; уже сделанные затраты не входят (что относится к решению); риск неудачи учтён вероятностями; ставку дисконтирования за тот же риск не повышают (Выбор ставки дисконтирования).

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений →
EMV поисковой скважины
EMV=Pg (V−C)+(1−Pg)(−C)=PgV−C\mathrm{EMV} = P_g\,(V - C) + (1 - P_g)(-C) = P_g V - C

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: исходов два: открытие, которое разрабатывают, и сухая скважина; размер открытия считают известным (разные размеры — в разделе ниже); VV и CC отнесены к одной дате; если момент, к которому приведён NPV проекта, наступит через tt лет после решения, NPV умножают на (1+i)−t(1 + i)^{-t} (перенос начала отсчёта); налоговые последствия затрат на скважину не учитываются (или CC уже взята после налогов).

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений →
EMV при передаче доли партнёру, оплачивающему скважину
EMVw=Pg (1−w) V,Pg,w=CwV\mathrm{EMV}_w = P_g\,(1 - w)\,V, \qquad P_{g,w} = \frac{C}{w V}

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: партнёр платит за скважину целиком, а затраты на разработку стороны несут по своим долям; обе стороны одинаково оценивают PgP_g и VV.

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений →
Вероятность kk открытий из nn независимых скважин
P(k)=n!k! (n−k)!  Pgk (1−Pg)n−k,k=0,1,…,nP(k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\;P_g^{k}\,(1 - P_g)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \ldots, n

безразмерная

Мына жағдайда орындалады: исходы скважин независимы: у проспектов нет общего риска плея; вероятность успеха одинакова у всех скважин; при разных вероятностях распределение считают перебором исходов; программу бурят целиком, не пересматривая её после первых результатов.

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений →
Экспоненциальная функция полезности и эквивалент определённости
u(x)=1−e−x/R,CE=−R ln⁡∑jpj e−xj/Ru(x) = 1 - \e^{-x/R}, \qquad \mathrm{CE} = -R\,\ln \sum_{j} p_j\,\e^{-x_j/R}

xx, RR и CE — в одних денежных единицах

Мына жағдайда орындалады: отношение к риску одно и то же при любом богатстве компании: прибавка гарантированной суммы ко всем исходам прибавляет её и к CE; RR задают для компании в целом и пересматривают вместе с её размером и финансовым положением; при RR, намного большем разброса исходов, функция на этом интервале почти прямая, и CE почти совпадает с EMV.

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений →
Эквивалент определённости через среднее и дисперсию
CE≈EMV−σ22R,σ2=∑jpj (xj−EMV)2\mathrm{CE} \approx \mathrm{EMV} - \frac{\sigma^2}{2R}, \qquad \sigma^2 = \sum_j p_j\,(x_j - \mathrm{EMV})^2

млн долл.

Мына жағдайда орындалады: экспоненциальная функция полезности; разброс исходов мал по сравнению с RR (σ≪R\sigma \ll R); для нормально распределённого NPV формула точна при любом разбросе.

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений →
Доля участия с наибольшим эквивалентом определённости (приближённо)
α∗≈R⋅EMVσ2\alpha^{*} \approx \frac{R\cdot\mathrm{EMV}}{\sigma^2}

безразмерная

Мына жағдайда орындалады: следует из CE(α)≈α EMV−α2σ2/(2R)\mathrm{CE}(\alpha) \approx \alpha\,\mathrm{EMV} - \alpha^2\sigma^2/(2R) и наследует пределы этого приближения; доля пропорционально делит и затраты, и доходы (без оплаты скважины за партнёра).

Ожидаемая денежная стоимость и теория предпочтений →
Значения узлов при свёртке
xсл=∑jpj (cj+xj),xреш=max⁡k (ck+xk)x_\text{сл} = \sum_{j} p_j\,(c_j + x_j), \qquad x_\text{реш} = \max_{k}\,(c_k + x_k)

млн долл. на дату первого решения (любые единицы, одинаковые для всего дерева)

Мына жағдайда орындалады: отношение к риску нейтральное: узел случая оценивают по EMV; как учесть несклонность к риску — в углублённой части; все потоки приведены к одной дате по одной ставке и в одних деньгах; вероятности каждого узла случая в сумме дают единицу и учитывают всё, что известно на пути к нему; в каждом узле решения выбирают только по тому, что к этому моменту уже известно.

Деревья решений и ценность информации →
Ценность совершенной информации
EVPI=∑iP(θi) max⁡k NPVk(θi)−max⁡k∑iP(θi) NPVk(θi)\mathrm{EVPI} = \sum_{i} P(\theta_i)\,\max_{k}\,\mathrm{NPV}_{k}(\theta_i) - \max_{k} \sum_{i} P(\theta_i)\,\mathrm{NPV}_{k}(\theta_i)

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: состояние становится известным до решения и без ошибок; информация бесплатна и не задерживает решение — её цену и срок учитывают отдельно; отношение к риску нейтральное.

Деревья решений и ценность информации →
Ценность совершенной информации для решения о бурении
EVPI=min⁡{(1−Pg) C,  Pg (V−C)}\mathrm{EVPI} = \min\{(1 - P_g)\,C,\; P_g\,(V - C)\}

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: два исхода — открытие стоимостью VV или сухая скважина; V>CV > C; без информации выбирают лучшее из «бурить» (PgV−CP_g V - C) и «отказаться» (0).

Деревья решений и ценность информации →
Формула Байеса для положительного ответа
P(H∣+)=P(+∣H) PgP(+∣H) Pg+P(+∣Hˉ) (1−Pg)P(H\mid +) = \frac{P(+\mid H)\,P_g}{P(+\mid H)\,P_g + P(+\mid \bar H)\,(1 - P_g)}

безразмерная

Мына жағдайда орындалады: события HH и Hˉ\bar H исключают друг друга и охватывают все возможности; вероятности обнаружения и ложного сигнала относятся к объектам того же типа, что и оцениваемый: признак, надёжный в одном плее, может ничего не значить в другом; для отрицательного ответа формула та же, с P(−∣H)=1−P(+∣H)P(-\mid H) = 1 - P(+\mid H) и P(−∣Hˉ)=1−P(+∣Hˉ)P(-\mid \bar H) = 1 - P(+\mid \bar H).

Деревья решений и ценность информации →
Ценность информации
VOI=∑rP(r) max⁡k EMVk(r)−max⁡k EMVk\mathrm{VOI} = \sum_{r} P(r)\,\max_{k}\,\mathrm{EMV}_k(r) - \max_{k}\,\mathrm{EMV}_k

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: цена данных не вычтена: VOI сравнивают с ценой; данные не задерживают решение; если задерживают, первое слагаемое дисконтируют на время задержки; отношение к риску нейтральное.

Деревья решений и ценность информации →
Ценность исследования перед бурением
VOI=(1−Pg)(1−f) C−Pg (1−s) (V−C)\mathrm{VOI} = (1 - P_g)(1 - f)\,C - P_g\,(1 - s)\,(V - C)

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: без данных бурить выгодно; после положительного ответа бурят, после отрицательного — нет (если ни один ответ не меняет решения, VOI = 0); при s=1s = 1 и f=0f = 0 формула переходит в EVPI =(1−Pg) C= (1 - P_g)\,C.

Деревья решений и ценность информации →
Формула Байеса в форме шансов
P(H∣r)P(Hˉ∣r)=Pg1−Pg⋅P(r∣H)P(r∣Hˉ)\frac{P(H\mid r)}{P(\bar H\mid r)} = \frac{P_g}{1 - P_g}\cdot\frac{P(r\mid H)}{P(r\mid \bar H)}

безразмерная

Мына жағдайда орындалады: те же, что для формулы Байеса; для нескольких признаков отношения правдоподобия перемножают, только если признаки независимы при каждом состоянии природы — два атрибута одной и той же сейсмической записи обычно зависимы.

Деревья решений и ценность информации →
Дисконтированная добыча и коэффициент приведения запасов
Qд=∑tQt(1+i)t,kд=Qд∑tQtQ_\text{д} = \sum_{t} \frac{Q_t}{(1+i)^{t}}, \qquad k_\text{д} = \frac{Q_\text{д}}{\sum_t Q_t}

добыча — в единицах объёма (массы), ставка — доля единицы в год

Мына жағдайда орындалады: те же соглашения о начале отсчёта и моменте потоков, что и в NPV (начало отсчёта NPV): здесь середина первого года проекта и потоки в середине каждого года, t=0,1,2,…t = 0, 1, 2, \ldots; ставка реальная, если цены и затраты взяты постоянными.

Геологическая и техническая неопределённость проекта →
Среднее по трём оценкам
xˉ≈0,3 x90+0,4 x50+0,3 x10\bar x \approx 0{,}3\,x_{90} + 0{,}4\,x_{50} + 0{,}3\,x_{10}

единицы самой величины (млн барр., млн долл. …)

Мына жағдайда орындалады: три числа — оценки P90, P50 и P10 одного распределения; распределение не слишком скошено: у логнормального распределения с отношением P10/P90, равным 4, ошибка среднего — меньше процента, равным 10 — около 3,6 %, а при отношении в несколько десятков правило заметно занижает среднее; к NPV правило применяют как приближённое усреднение по распределению одного главного параметра: три варианта — его P90, P50 и P10. Если NPV меняется с этим параметром в одну сторону, NPV вариантов к тому же и есть P90, P50 и P10 NPV.

Геологическая и техническая неопределённость проекта →
Неравенство Йенсена
E[f(X)]≤f(E[X])\mathrm{E}[f(X)] \le f(\mathrm{E}[X])

единицы NPV

Мына жағдайда орындалады: ff выпукла вверх на всём диапазоне XX: каждый следующий прирост XX добавляет меньше предыдущего; для выпуклой вниз ff знак неравенства обратный; равенство — только для линейной ff или при отсутствии разброса.

Геологическая и техническая неопределённость проекта →
Разброс NPV при двух связанных параметрах
σNPV2=a2σX2+b2σY2−2ab ρ σXσY\sigma^2_\text{NPV} = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 - 2ab\,\rho\,\sigma_X\sigma_Y

σNPV\sigma_\text{NPV} — млн долл.; aσXa\sigma_X и bσYb\sigma_Y — тоже млн долл.

Мына жағдайда орындалады: в пределах диапазонов NPV ≈ NPV0+a ΔX−b ΔY\mathrm{NPV}_0 + a\,\Delta X - b\,\Delta Y — линейное приближение; XX увеличивает NPV, YY уменьшает — отсюда минус перед последним слагаемым; если оба действуют в одну сторону, знак плюс; ρ\rho — линейная корреляция; связь, заданная через ранги или нормальные значения, даёт близкое к ней число.

Геологическая и техническая неопределённость проекта →
Потеря среднего NPV по трём симметричным вариантам
NPV50−NPV‾=0,3 (2 NPV50−NPV90−NPV10)\mathrm{NPV}_{50} - \overline{\mathrm{NPV}} = 0{,}3\,(2\,\mathrm{NPV}_{50} - \mathrm{NPV}_{90} - \mathrm{NPV}_{10})

млн долл.

Мына жағдайда орындалады: варианты P90 и P10 отстоят от P50 на одинаковую величину, и средний вариант — это P50; веса 0,3; 0,4; 0,3.

Геологическая и техническая неопределённость проекта →
Разброс NPV при нескольких параметрах (линейное приближение)
σNPV2=∑j∑ksj sk ρjk σj σk\sigma^2_\text{NPV} = \sum_{j}\sum_{k} s_j\,s_k\,\rho_{jk}\,\sigma_j\,\sigma_k

(млн долл.)²

Мына жағдайда орындалады: NPV линейно зависит от параметров в пределах их диапазонов; для сильно нелинейных моделей и скошенных распределений результат приблизителен — тогда считают моделированием.

Геологическая и техническая неопределённость проекта →
Закон полной дисперсии
Var(X)=E[Var(X∣D)]+Var(E[X∣D])\mathrm{Var}(X) = \mathrm{E}\left[\mathrm{Var}(X\mid D)\right] + \mathrm{Var}\left(\mathrm{E}[X\mid D]\right)

(млн м³)²

Мына жағдайда орындалады: вероятности результатов DD — те, что следуют из распределений до данных.

Геологическая и техническая неопределённость проекта →
Годовая волатильность
σгод=σΔt 1Δt,σΔt=sd[ln⁡PtPt−1]\sigma_{\text{год}} = \sigma_{\Delta t}\,\sqrt{\frac{1}{\Delta t}}, \qquad \sigma_{\Delta t} = \mathrm{sd}\left[\ln\frac{P_t}{P_{t-1}}\right]

доли единицы (в тексте — проценты)

Мына жағдайда орындалады: доходности соседних периодов независимы, тогда их дисперсии складываются и стандартное отклонение растёт как корень из времени; если у цены есть возврат к среднему, на длинных сроках разброс растёт медленнее корня (раздел о моделях цены).

Рыночная, финансовая и регуляторная неопределённость →
Верхняя граница форвардной цены (стоимость хранения)
FT≤S0 (1+r)T+UTF_T \le S_0\,(1 + r)^{T} + U_T

любая валюта, номинальные деньги

Мына жағдайда орындалады: есть свободные хранилища и деньги по ставке rr; иначе граница сдвигается; нижней границы нет: тому, кому нефть нужна сейчас, хранение не поможет.

Рыночная, финансовая и регуляторная неопределённость →
Цена как случайный процесс: блуждание и возврат к среднему
Xt=φ Xt−1+σ εt,Pt=Pˉ exp⁡(Xt−12vt),vt=σ2 1−φ2t1−φ2X_t = \varphi\,X_{t-1} + \sigma\,\varepsilon_t, \qquad P_t = \bar P\,\exp\left(X_t - \tfrac{1}{2}v_t\right), \qquad v_t = \sigma^2\,\frac{1 - \varphi^{2t}}{1 - \varphi^{2}}

цены — в постоянных долларах базового года

Мына жағдайда орындалады: поправка −vt/2-v_t/2 сохраняет ожидаемую цену каждого года равной Pˉ\bar P: модели меняют разброс, а не средний уровень; логарифм цены распределён нормально, цена — логнормально и в модели не может стать отрицательной; φ\varphi и σ\sigma постоянны; на деле волатильность меняется, а долгосрочный уровень цены неизвестен и тоже меняется.

Рыночная, финансовая и регуляторная неопределённость →
Доходность собственного капитала при долге
ROE=ROA+DE (ROA−rd)\mathrm{ROE} = \mathrm{ROA} + \frac{D}{E}\,(\mathrm{ROA} - r_d)

доли единицы; до налога на прибыль (с налогом обе части умножают на 1−T1 - T)

Мына жағдайда орындалады: доходность вложений не зависит от того, как они финансируются; ставка по долгу постоянна.

Рыночная, финансовая и регуляторная неопределённость →
Коэффициент покрытия долга
DSCRt=CFADStIt+At\mathrm{DSCR}_t = \frac{\mathrm{CFADS}_t}{I_t + A_t}

безразмерный

Мына жағдайда орындалады: считают по каждому году (часто — по полугодиям) и следят за наименьшим значением, а не за средним.

Рыночная, финансовая и регуляторная неопределённость →
Ценность возможности подождать
Vждать=p max⁡(0, NPVв)+(1−p) max⁡(0, NPVн)1+iV_{\text{ждать}} = \frac{p\,\max(0,\ \mathrm{NPV}_{\text{в}}) + (1 - p)\,\max(0,\ \mathrm{NPV}_{\text{н}})}{1 + i}

млн долл. на сегодня

Мына жағдайда орындалады: через год неопределённость разрешается, и решение принимают по уже известной цене; право подождать есть — договор и регулирование не обязывают начать сейчас; ожидание не уменьшает запасы и не отдаёт рынок конкурентам.

Рыночная, финансовая и регуляторная неопределённость →
Вероятность разорения при одинаковых ставках
ψm=ψ1 m,ψ1=q+p ψ1 g+1,g=VC−1\psi_m = \psi_1^{\,m}, \qquad \psi_1 = q + p\,\psi_1^{\,g+1}, \qquad g = \frac{V}{C} - 1

безразмерная

Мына жағдайда орындалады: все ставки одинаковы: та же доля в проспектах одного типа с одинаковыми pp и V/CV/C; исходы скважин независимы; gg — целое число ставок, как во всех примерах урока; при дробном gg формула приближённая; открытие сразу превращается в деньги по стоимости VV; на деле для разработки нужны время и капитал, и вероятность разорения выше расчётной; компания продолжает ставить, пока хватает денег, без ограничения числа скважин; для программы из конечного числа скважин вероятность разорения меньше; уравнение для ψ1\psi_1 всегда имеет корень 1; при EMV > 0, то есть p(g+1)>1p(g + 1) > 1, есть и меньший корень — он и есть ответ; при EMV ≤ 0 меньшего корня нет, и разорение неизбежно.

Снижение риска и диверсификация →
Средний результат и разброс портфеля
EMVΣ=∑iwi EMVi,σΣ2=∑iwi2σi2+2∑i<jwiwj ρij σiσj\mathrm{EMV}_\Sigma = \sum_i w_i\,\mathrm{EMV}_i, \qquad \sigma_\Sigma^2 = \sum_i w_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i<j} w_i w_j\,\rho_{ij}\,\sigma_i\sigma_j

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: NPV всех проектов — на одну дату и по одной ставке; стандартное отклонение — удобная мера разброса, но исходы поисковых скважин сильно скошены, поэтому рядом смотрят на вероятность полной неудачи и на эквивалент определённости.

Снижение риска и диверсификация →
Корреляция исходов двух проспектов одного плея
ρ=Pлок (1−Pпл)1−Pпл Pлок\rho = \frac{P_\text{лок}\,(1 - P_\text{пл})}{1 - P_\text{пл}\,P_\text{лок}}

безразмерная

Мына жағдайда орындалады: проспекты связаны только общим риском плея, их локальные элементы независимы; локальные вероятности одинаковы; вывод и общий случай — в разделе для углублённого изучения.

Снижение риска и диверсификация →
Передача доли: EMV сторон
EMVвл=(1−w) PgV−(1−s) C,EMVпарт=w PgV−s C\mathrm{EMV}_\text{вл} = (1 - w)\,P_g V - (1 - s)\,C, \qquad \mathrm{EMV}_\text{парт} = w\,P_g V - s\,C

млн долл. на дату решения

Мына жағдайда орындалады: после открытия затраты на разработку стороны несут по долям участия — они уже учтены в VV; обе стороны одинаково оценивают PgP_g и VV; возмещение оплаченных затрат из добычи не учтено.

Снижение риска и диверсификация →
Вероятность разорения через толерантность к риску
ψ=e−K/R0,R0=c−ln⁡ψ1\psi = \e^{-K/R_0}, \qquad R_0 = \frac{c}{-\ln \psi_1}

млн долл.

Мына жағдайда орындалады: те же допущения, что у формулы ψ1 m\psi_1^{\,m}: одинаковые независимые ставки, открытие сразу превращается в деньги, игра без ограничения числа скважин; когда затраты скважин случайны и капитал может упасть сразу на несколько ступенек, точной формулы нет; но если ставки независимы и распределены одинаково, а R0R_0 найдено по распределению одной ставки (её эквивалент определённости равен нулю), в страховой математике доказано, что e−K/R0\e^{-K/R_0} ограничивает вероятность разорения сверху; KK здесь — запас, при исчерпании которого наступает разорение (неравенство Лундберга).

Снижение риска и диверсификация →
Корреляция двух проспектов одного плея: общий случай
ρ12=Pпл(1−Pпл) Pлок,1 Pлок,2Pg,1(1−Pg,1) Pg,2(1−Pg,2),Pg,i=Pпл Pлок,i\rho_{12} = \frac{P_\text{пл}(1 - P_\text{пл})\,P_{\text{лок},1}\,P_{\text{лок},2}}{\sqrt{P_{g,1}(1 - P_{g,1})\,P_{g,2}(1 - P_{g,2})}}, \qquad P_{g,i} = P_\text{пл}\,P_{\text{лок},i}

безразмерная

Мына жағдайда орындалады: локальные элементы проспектов независимы; связь только через плей.

Снижение риска и диверсификация →

Белгілер

БелгіМағынасы
ΔR\Delta R
  • прирост запасов за период: открытия и доразведка, пересмотры, повышение нефтеотдачи; для полного коэффициента — плюс покупки минус продажи, млн барр.Нефтяные компании и инвестиции
tˉ\bar t
fˉ\bar f
Δt\Delta t
Δx\Delta x
ΔP\Delta P
xˉ\bar x
Pˉ\bar P
(1+i)n(1+i)^{n}
1/sn(i)1/s_n(i)
  • возврат капитала: равный ежегодный взнос, который при доходности ii за nn лет накапливает всё вложение (в практике оценки — фактор фонда возмещения), 1/годГодовой платёж за капитал
В\text{В}
ΔQд\Delta Q_\text{д}
НСП\text{НСП}
ЧД\text{ЧД}
aa
AA
A0A_0
A1A_1
aka_k
AnA_n
an(i)a_n(i)
ata_t
  • доля ожидаемого потока года tt, которую инвестор считает равноценной гарантированной сумме (эквивалент определённости), —Выбор ставки дисконтирования
AtA_t
bb
BB
Bинв, BобщB_{\text{инв}},\ B_{\text{общ}}
BnB_n
BtB_t
Bt−1B_{t-1}
cc
CC
ΔPVC\Delta PV_C
C0C_0
C0, Bn, nC_0,\ B_n,\ n
CзамC_{\text{зам}}
CновC_{\text{нов}}
CtномC^{\text{ном}}_t
Ctном, CtпостC^{\text{ном}}_t,\ C^{\text{пост}}_t
CtпостC^{\text{пост}}_t
cF&Dc_{F\&D}
cjc_j
cj, ckc_j,\ c_k
cKc_K
Ck, OkC_k,\ O_k
CtC_t
Ct, OtC_t,\ O_t
Ct, Ot, AtC_t,\ O_t,\ A_t
C, VC,\ V
Cash\mathrm{Cash}
CCFn\mathrm{CCF}_n
CCFt\mathrm{CCF}_t
CE\mathrm{CE}
CFt∗\mathrm{CF}^{*}_t
CFtCF_t
CFt\mathrm{CF}_t
CFADSt\mathrm{CFADS}_t
  • поток года, доступный для обслуживания долга: выручка минус эксплуатационные затраты, платежи с выручки и налоги; капитальные затраты на создание проекта, оплаченные кредитом и деньгами акционеров, не вычитают, млн долл.Рыночная, финансовая и регуляторная неопределённость
CFO\mathrm{CFO}
COt\mathrm{CO}_t
CRFn(i)\mathrm{CRF}_n(i)
dd
DD
ΔPVD\Delta PV_D
D1, D2D_1,\ D_2
djd_j
DkD_k
DtD_t
D−CashD - \mathrm{Cash}
D/ED/E
ee
EE
eke_k
EkE_k
ere_r
EtE_t
ExE_x
E[⋅]\mathrm{E}[\cdot]
EAC\mathrm{EAC}
EMV\mathrm{EMV}
EMVвл, EMVпарт\mathrm{EMV}_\text{вл},\ \mathrm{EMV}_\text{парт}
EMVi, σi\mathrm{EMV}_i,\ \sigma_i
  • EMV и стандартное отклонение NPV проекта при доле 100 %; у поисковой скважины с двумя исходами σi=ViPg(1−Pg)\sigma_i = V_i\sqrt{P_g(1 - P_g)}, млн долл.Снижение риска и диверсификация
EMVk\mathrm{EMV}_k
EMVk(r)\mathrm{EMV}_k(r)
EMVw\mathrm{EMV}_w
EMVΣ, σΣ\mathrm{EMV}_\Sigma,\ \sigma_\Sigma
EMV, CE\mathrm{EMV},\ \mathrm{CE}
EMV, σ2\mathrm{EMV},\ \sigma^2
ERR\mathrm{ERR}
EV\mathrm{EV}
ff
FF
ftf_t
FTF_T
FCF\mathrm{FCF}
FCFn+1FCF_{n+1}
FVFV
FV+FV^{+}
FVnFV_n
FV−cFV - c
gg
GG
GtG_t
GT\mathrm{GT}
GTд\mathrm{GT}_\text{д}
ii
II
IподдI_\text{подд}
iki_k
iqi_q
ItI_t
It, IbI_t,\ I_b
It, AtI_t,\ A_t
I, OI,\ O
i, r, fi,\ r,\ f
I/AI/A
IRR\mathrm{IRR}
jj
j/mj/m
kk
KK
kдk_\text{д}
kфk_{\text{ф}}
Kt−1остK_{t-1}^{\text{ост}}
LL
ln⁡\ln
mm
MM
  • равная годовая маржа до налога на прибыль: выручка объекта за вычетом эксплуатационных затрат, млн долл. в годГодовой платёж за капитал
mCO2m_{\mathrm{CO_2}}
MCO2M_{\mathrm{CO_2}}
m=dG/dΠm = dG/d\Pi
max⁡k\max_k
MCO\mathrm{MCO}
MCOi\mathrm{MCO}_i
  • минимум накопленного дисконтированного потока при той же ставке — максимальная дисконтированная потребность в финансировании (отрицательное число), млн долл.Чистая приведённая стоимость (NPV)
nn
NN
njn_j
NtN_t
n−tn - t
n!k! (n−k)!\frac{n!}{k!\,(n-k)!}
NAV\mathrm{NAV}
NCFk\mathrm{NCF}_k
NCFn+1\mathrm{NCF}_{n+1}
NCFt\mathrm{NCF}_t
NCFt с, NCFt без\mathrm{NCF}_t^{\,\text{с}},\ \mathrm{NCF}_t^{\,\text{без}}
NPV\mathrm{NPV}
NPV‾\overline{\mathrm{NPV}}
NPV∗\mathrm{NPV}^{*}
NPV0\mathrm{NPV}_0
NPV90, NPV50, NPV10\mathrm{NPV}_{90},\ \mathrm{NPV}_{50},\ \mathrm{NPV}_{10}
NPVв, NPVн\mathrm{NPV}_{\text{в}},\ \mathrm{NPV}_{\text{н}}
NPVдо налогов\mathrm{NPV}_\text{до налогов}
NPVзад(d)\mathrm{NPV}_{\text{зад}}(d)
NPVинв\mathrm{NPV}_\text{инв}
NPVинв(r0)\mathrm{NPV}_\text{инв}(r_0)
NPVi\mathrm{NPV}_i
NPVj\mathrm{NPV}_j
NPVk(θi)\mathrm{NPV}_{k}(\theta_i)
NPV′(i)\mathrm{NPV}'(i)
NPV(ik)\mathrm{NPV}(i_k)
NPVIi\mathrm{NPVI}_i
ΔPVO\Delta PV_O
oto_t
OtO_t
pp
PP
P∗P^{*}
P0P_0
P0, P1P_0,\ P_1
PинP_{\text{ин}}
PказP_{\text{каз}}
PлокP_\text{лок}
Pлок,i, Pg,iP_{\text{лок},i},\ P_{g,i}
PплP_\text{пл}
PtпостP^{\text{пост}}_t
Pj,tрынP^{\text{рын}}_{j,t}
PуслP_{\text{усл}}
PgP_g
Pg∗P_g^{*}
Pg, V, CP_g,\ V,\ C
Pg,wP_{g,w}
pjp_j
Pj,tP_{j,t}
PnP_n
PtP_t
p, qp,\ q
P, ΔPP,\ \Delta P
P(θi)P(\theta_i)
P(+∣H)P(+\mid H)
P(+∣Hˉ)P(+\mid \bar H)
P(H∣+)P(H\mid +)
P(k)P(k)
P(r∣H)P(r∣Hˉ)\dfrac{P(r\mid H)}{P(r\mid \bar H)}
P(r)P(r)
PI\mathrm{PI}
PIR\mathrm{PIR}
POt\mathrm{PO}_t
PVPV
PV−PV^{-}
PVгосPV_\text{гос}
PVОРPV_{\text{ОР}}
PVCPV_C
PVC, PVO, PVAPV_C,\ PV_O,\ PV_A
PVDPV_D
PVQPV_Q
PVRPV_R
PVtPV_t
PV(I)PV(I)
PV(RT)PV(\mathrm{RT})
qq
QQ
QдQ_\text{д}
Qд(iq)Q_\text{д}(i_q)
QпрQ_{\text{пр}}
qэквq_\text{экв}
qiq_i
Qj,tQ_{j,t}
QnQ_n
qtq_t
QtQ_t
QtPtQ_t P_t
Q, ΔQQ,\ \Delta Q
rr
RR
r0r_0
R0R_0
RtостR^{\text{ост}}_{t}
rпредr_\text{пред}
rdr_d
rer_e
rfr_f
rm−rfr_m - r_f
RtR_t
r, Tr,\ T
ROA\mathrm{ROA}
ROE\mathrm{ROE}
RRR\mathrm{RRR}
RTt\mathrm{RT}_t
ss
SS
S0S_0
s0, s1s_0,\ s_1
sjs_j
sks_k
smin⁡s_{\min}
sn(i)s_n(i)
sPs_P
sts_t
ΔRt\Delta R_t
tt
ΔQt\Delta Q_t
ΔFt\Delta F_t
ΔCt\Delta C_t
ΔAt\Delta A_t
ΔDt\Delta D_t
TT
tокt_{\text{ок}}
TR/PT_{R/P}
TtT_t
t−bt - b
TCS\mathrm{TCS}
TVnTV_n
uu
UTU_T
u(x)u(x)
vv
VV
VждатьV_{\text{ждать}}
VjV_j
VkV_k
VmV_m
vtv_t
V, CV,\ C
Var(X∣D), E[X∣D]\mathrm{Var}(X\mid D),\ \mathrm{E}[X\mid D]
VIUVIU
ww
wiw_i
WACC\mathrm{WACC}
XX
x0x_0
x90, x50, x10x_{90},\ x_{50},\ x_{10}
xпx_{\text{п}}
xрешx_\text{реш}
xслx_\text{сл}
xфx_{\text{ф}}
xj, xkx_j,\ x_k
XtX_t
X, YX,\ Y
x, xjx,\ x_j
yjy_j
α∗\alpha^{*}
β\beta
  • коэффициент бета: насколько сильно доходность акций компании следует за рынком (β=1\beta = 1 — как рынок, β>1\beta > 1 — сильнее рынка), —Выбор ставки дисконтирования
δ\delta
ΔNCFt\Delta \mathrm{NCF}_t
ΔNCF+I\Delta \mathrm{NCF} + I
ΔNPV\Delta \mathrm{NPV}
ε\varepsilon
εd, εs\varepsilon_d,\ \varepsilon_s
εt\varepsilon_t
θi\theta_i
Π\Pi
ρ\rho
ρij\rho_{ij}
ρjk\rho_{jk}
σΔt\sigma_{\Delta t}
σ\sigma
σ2\sigma^2
σгод\sigma_{\text{год}}
σj\sigma_j
σNPV\sigma_\text{NPV}
∑t(1+i)−t\sum_{t}(1+i)^{-t}
σX, σY\sigma_X,\ \sigma_Y
τ, T\tau,\ T
φ\varphi
ψ1\psi_1
  • вероятность разорения при капитале на одну ставку — она же вероятность когда-нибудь потерять одну ставку от нынешнего уровня; наименьший корень уравнения на отрезке от 0 до 1, доли единицыСнижение риска и диверсификация
ψ1, ψ\psi_1,\ \psi
ψm\psi_m