Индикаторная кривая притока

Quick refresher

Пока забойное давление выше давления насыщения, нефть или вода притекает как однофазная жидкость, и индикаторная кривая — прямая: $q = J(\bar p_R - p_{wf})$ .
Коэффициент продуктивности $J$ пропорционален гидропроводности $kh/\mu$ , обратно пропорционален объёмному коэффициенту и падает с ростом скин-фактора.
Ниже давления насыщения у скважины выделяется газ, нефти всё труднее двигаться, и каждое следующее снижение забойного давления даёт всё меньший прирост дебита — кривая изгибается. Её описывает уравнение Вогеля.
Если пластовое давление выше давления насыщения, кривая составная: прямая до $p_b$ и вогелевская кривая ниже, сопряжённые без излома.
По нескольким режимам форму кривой находят методом Фетковича $q = C(\bar p_R^2 - p_{wf}^2)^n$ ; показатель $n < 1$ указывает на дополнительные потери при высоких скоростях. В формулах с квадратами давления абсолютные.

Key relationships

q = J\,(\bar p_R - p_{wf})

однофазный приток, $p_{wf} \ge p_b$

\dfrac{q}{q_{max}} = 1 - 0{,}2\,\dfrac{p_{wf}}{\bar p_R} - 0{,}8\left(\dfrac{p_{wf}}{\bar p_R}\right)^2

уравнение Вогеля, $\bar p_R \le p_b$

q = J(\bar p_R - p_b) + \dfrac{J p_b}{1{,}8}\left[1 - 0{,}2\,\dfrac{p_{wf}}{p_b} - 0{,}8\left(\dfrac{p_{wf}}{p_b}\right)^2\right]

составная кривая ниже давления насыщения, $p_{wf} < p_b < \bar p_R$

q = C\,(\bar p_R^2 - p_{wf}^2)^n

метод Фетковича; давления абсолютные

Common pitfalls

Продлевать прямую индикаторную кривую ниже давления насыщения — дебит будет завышен.
Сравнивать коэффициенты продуктивности, измеренные при разных депрессиях, у скважины с изогнутой кривой: у неё $J$ зависит от забойного давления.
Строить кривую по нестабилизированным замерам: пока режим не установился, точка не лежит на индикаторной кривой.
Путать оси на двойном логарифмическом графике Фетковича: наклон равен $n$ или $1/n$ в зависимости от того, что отложено по горизонтали.

After this lesson you can

рассчитать коэффициент продуктивности по замеру и по свойствам пласта и объяснить, от чего он зависит;
объяснить, почему ниже давления насыщения индикаторная кривая изгибается, и построить её по уравнению Вогеля;
построить составную индикаторную кривую, когда пластовое давление выше давления насыщения, в том числе по замеру ниже давления насыщения;
обработать многорежимное исследование методом Фетковича: найти показатель $n$ , коэффициент $C$ и абсолютно свободный дебит;
объяснить, как меняется индикаторная кривая при истощении пласта, повреждении призабойной зоны и совместной работе нескольких пластов.

Что показывает индикаторная кривая

Когда скважина работает в установившемся режиме, пласт отдаёт в неё дебит $q$ при забойном давлении $p_{wf}$ . Если изменить режим — сменить штуцер, частоту вращения насоса или давление на устье, — через некоторое время установится другое сочетание дебита и забойного давления. Все такие сочетания при одном и том же пластовом давлении ложатся на одну кривую — индикаторную.

Две точки на ней особые. При $p_{wf} = \bar p_R$ перепада нет и дебит равен нулю: так, остановив скважину и дождавшись восстановления давления, измеряют пластовое давление. При $p_{wf} = 0$ дебит наибольший; его называют абсолютно свободным дебитом (absolute open flow, AOF) и обозначают $q_{max}$ . Такой режим недостижим — на забое всегда остаётся хотя бы давление столба флюида, — но $q_{max}$ удобен как мера потенциала скважины.

Дебит принято откладывать по горизонтали, забойное давление — по вертикали. В отечественной практике строят и индикаторную диаграмму — зависимость дебита от депрессии на пласт $\Delta p = \bar p_R - p_{wf}$ (drawdown). Это та же информация в других координатах.

Кривую получают, исследуя скважину на нескольких режимах с замером забойного давления глубинным манометром (или пересчётом с устья), и затем уточняют при контроле разработки. Каждое измерение делают после стабилизации: в первые часы и сутки после смены режима давление ещё меняется, и точка на кривую не попадает (подробнее — в уроке Гидродинамические исследования: цели и виды).

Однофазный приток: коэффициент продуктивности

Если забойное давление выше давления насыщения, в пласте течёт только жидкость: нефть без свободного газа или вода. По закону Дарси приток пропорционален перепаду давления, поэтому индикаторная кривая — прямая. Её наклон задаёт коэффициент продуктивности (productivity index, PI) — дебит на единицу депрессии.

Коэффициент продуктивности

J = \frac{q}{\bar p_R - p_{wf}}

where:

$J$ коэффициент продуктивности, м³/(сут·МПа)
$q$ дебит нефти (жидкости) в стандартных условиях, м³/сут
$\bar p_R$ среднее пластовое давление, МПа
$p_{wf}$ забойное давление при работе скважины, МПа

Units: метрические промысловые (м³/сут, МПа)

Holds when

стабилизированный режим;
однофазный приток: $p_{wf} \ge p_b$ ;
давления приведены к одной глубине; для разности годятся и абсолютные, и избыточные давления, лишь бы одинаковые.

Для прямой кривой $J$ постоянен, и одного замера вместе с пластовым давлением достаточно, чтобы построить всю кривую: $q = J(\bar p_R - p_{wf})$ . Точка пересечения прямой с осью дебитов, $J\bar p_R$ , — абсолютно свободный дебит только для жидкости без растворённого газа (например, воды); у нефти ниже давления насыщения кривая изгибается раньше.

In other unit systems (1)

Промысловые единицы (oilfield)

J\,[\text{м}^3/(\text{сут·МПа})] = 23{,}06\;J\,[\text{STB/(d·psi)}]

$q$ — баррели в сутки в стандартных условиях (STB/d), давления — psi.

$23{,}06 = 0{,}158987/0{,}00689476$ : баррель в кубометрах, делённый на psi в мегапаскалях.

Скважины с разной толщиной вскрытого пласта удобно сравнивать по удельному коэффициенту продуктивности $J/h$ — на метр эффективной толщины. Он показывает, различаются ли скважины свойствами пласта или только толщиной.

Откуда берётся прямая и от чего зависит её наклон, видно из формулы радиального притока (закон Дарси для радиального потока разобран в уроке Проницаемость горных пород). Пусть скважина работает достаточно долго, чтобы возмущение от её пуска дошло до границ области дренирования и давление во всей области снижалось с одной скоростью, — это псевдоустановившийся режим (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы). Тогда дебит удобно выразить через среднее пластовое давление.

Приток к скважине в псевдоустановившемся режиме

q = \frac{2\pi k h\,(\bar p_R - p_{wf})}{\mu B\left[\ln\dfrac{r_e}{r_w} - \dfrac{3}{4} + S\right]}

where:

$q$ дебит нефти в стандартных условиях, м³/с
$k$ проницаемость пласта для нефти, м²
$h$ эффективная толщина пласта, м
$\mu$ вязкость нефти в пластовых условиях, Па·с
$B$ объёмный коэффициент нефти, м³/м³
$r_e$ радиус круговой области дренирования, м
$r_w$ радиус скважины, м
$S$ скин-фактор — дополнительное сопротивление призабойной зоны (см. Скин-фактор), —

Units: СИ

Holds when

псевдоустановившийся режим в круговой области с непроницаемой внешней границей, скважина в центре; для области другой формы член $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ заменяют выражением с коэффициентом формы;
однофазный приток слабосжимаемой жидкости по закону Дарси;
однородный пласт; несовершенство вскрытия и повреждение призабойной зоны учтены в $S$ .

Отсюда $J = 2\pi k h/\left(\mu B[\ln(r_e/r_w) - 3/4 + S]\right)$ : коэффициент продуктивности пропорционален гидропроводности $kh/\mu$ и обратно пропорционален сумме «логарифмического» сопротивления пласта и скин-фактора. Член $-3/4$ появляется потому, что в формулу входит среднее давление области, а не давление на её границе.

In other unit systems (2)

Метрические промысловые единицы

J = \frac{0{,}536\,k h}{\mu B\left[\ln(r_e/r_w) - 0{,}75 + S\right]}

$J$ — м³/(сут·МПа), $k$ — мД, $h$ — м, $\mu$ — мПа·с, $B$ — м³/м³.

$0{,}536 = 2\pi\cdot 0{,}0853$ — та же постоянная, что в формуле радиального притока: перевод мД → м², МПа → Па, мПа·с → Па·с и секунд в сутки.

Промысловые единицы (oilfield)

J = \frac{7{,}08\cdot10^{-3}\,k h}{\mu B\left[\ln(r_e/r_w) - 0{,}75 + S\right]}

$J$ — STB/(d·psi), $k$ — мД, $h$ — ft, $\mu$ — сП, $B$ — rb/STB.

$7{,}08\cdot10^{-3} = 2\pi\cdot 1{,}127\cdot10^{-3}$ .

Что меняется, если…

…проницаемость или толщина вдвое больше — вдвое больше и $J$ ;
…вязкость нефти вдвое выше — $J$ вдвое меньше; поэтому у высоковязких нефтей низкая продуктивность даже в хорошем пласте;
…скин-фактор вырос с 0 до 5 при $\ln(r_e/r_w) - 0{,}75 \approx 7{,}5$ — $J$ уменьшается в $12{,}5/7{,}5 \approx 1{,}7$ раза;
…радиус области дренирования вдвое больше — $J$ падает лишь примерно на 8 %: размеры входят через логарифм.

Worked exampleПрямая индикаторная кривая по одному замеру

Given (assumed data)

Среднее пластовое давление $\bar p_R$: 18,0 МПа
Стабилизированный режим: $q_1 = 96$ м³/сут при $p_{wf,1} = 14{,}0$ МПа
Давление насыщения $p_b$: 9,0 МПа
Эффективная толщина пласта $h$: 12 м

Solution

Коэффициент продуктивности: $J = \dfrac{96}{18{,}0 - 14{,}0} = 24{,}0$ м³/(сут·МПа), или $24{,}0/23{,}06 = 1{,}04$ STB/(d·psi).
Удельный коэффициент продуктивности: $J/h = 2{,}0$ м³/(сут·МПа·м).
Дебит при $p_{wf} = 10{,}0$ МПа (это ещё выше $p_b$ ): $q = 24{,}0\cdot(18{,}0 - 10{,}0) = 192$ м³/сут.
Ниже 9,0 МПа формула неприменима: начинается двухфазный приток, и дебит будет меньше, чем по прямой. Прямая, продлённая до нуля, дала бы $J\bar p_R = 432$ м³/сут — завышенную оценку потенциала.

Answer:

J = 24{,}0

м³/(сут·МПа); при забойном давлении 10 МПа скважина даст около 192 м³/сут.

What it means. Одного стабилизированного замера и пластового давления достаточно для прямой, но только в пределах однофазного притока. Прежде чем пользоваться прямой, проверьте давление насыщения по PVT-данным. Данные примера условные.

Worked exampleКоэффициент продуктивности по свойствам пласта и совершенство скважины

Given (assumed data)

Проницаемость для нефти $k$ ; толщина $h$: 80 мД; 12 м
Вязкость нефти $\mu$ ; объёмный коэффициент $B$: 1,5 мПа·с; 1,20 м³/м³
Радиус области дренирования $r_e$ ; радиус скважины $r_w$: 300 м; 0,10 м
Фактический коэффициент продуктивности (предыдущий пример): 24,0 м³/(сут·МПа)

Solution

Логарифмический член: $\ln(r_e/r_w) - 0{,}75 = \ln 3000 - 0{,}75 = 7{,}256$ .
Коэффициент продуктивности скважины без повреждения ( $S = 0$ ): $J_{\text{ид}} = \dfrac{0{,}536\cdot 80\cdot 12}{1{,}5\cdot 1{,}20\cdot 7{,}256} = 39{,}4$ м³/(сут·МПа).
Отношение фактического коэффициента к идеальному — коэффициент гидродинамического совершенства: $FE = 24{,}0/39{,}4 = 0{,}61$ .
Такое снижение соответствует скин-фактору $S = 7{,}256\cdot(1/FE - 1) = 4{,}6$ .
Без повреждения при том же забойном давлении 14,0 МПа дебит был бы $39{,}4\cdot 4{,}0 = 158$ м³/сут — на 64 % больше.

Answer: Совершенство скважины около 0,61: призабойная зона, по-видимому, повреждена (скин-фактор около 4,6).

What it means. Сравнение фактического и расчётного коэффициентов продуктивности — простая первая проверка, стоит ли обрабатывать призабойную зону. Вывод надёжен настолько, насколько надёжны проницаемость и радиус дренирования; скин-фактор определяют по гидродинамическим исследованиям, а реальный прирост дебита после обработки — узловым анализом, потому что его может ограничить лифт. Данные примера условные.

Ниже давления насыщения: уравнение Вогеля

Когда забойное давление опускается ниже давления насыщения $p_b$ (bubble point pressure; в отечественной литературе $p_{\text{нас}}$ ), газ начинает выделяться из нефти уже в пласте — в зоне вокруг скважины, где давление ниже $p_b$ . Свободный газ занимает часть пор и снижает относительную проницаемость для нефти; к тому же нефть, потерявшая газ, становится более вязкой. Чем ниже забойное давление, тем шире эта зона и тем больше в ней газа. Поэтому каждое следующее снижение забойного давления добавляет всё меньше нефти, и индикаторная кривая изгибается: при низких забойных давлениях она идёт всё круче вниз.

Строгий расчёт такого притока требует моделирования двухфазной фильтрации. В 1968 году Дж. Вогель (J. Vogel) рассчитал на численной модели работу скважин в пластах с режимом растворённого газа при многих сочетаниях свойств пород и флюидов и обнаружил, что, если отнести дебит к $q_{max}$ , а забойное давление к пластовому, кривые почти совпадают. Их описывает простая формула.

Уравнение Вогеля

\frac{q}{q_{max}} = 1 - 0{,}2\,\frac{p_{wf}}{\bar p_R} - 0{,}8\left(\frac{p_{wf}}{\bar p_R}\right)^2

where:

$q$ дебит нефти в стандартных условиях при забойном давлении $p_{wf}$ , м³/сут
$q_{max}$ абсолютно свободный дебит — дебит при $p_{wf} = 0$ , м³/сут
$\bar p_R$ среднее пластовое давление, МПа
$p_{wf}$ забойное давление, МПа

Units: безразмерная форма: дебиты в любых одинаковых единицах, давления тоже

Holds when

пластовое давление не выше давления насыщения ( $\bar p_R \le p_b$ ), режим растворённого газа;
стабилизированный приток; эмпирическое обобщение расчётов для скважин без повреждения призабойной зоны ( $S = 0$ );
малая обводнённость; при газовой шапке, сильной обводнённости и высоковязкой нефти точность ниже;
давления лучше брать абсолютными; при пластовых давлениях в десятки мегапаскалей разница с избыточными невелика.

Коэффициенты 0,2 и 0,8 в сумме дают 1, и оба члена входят со знаком минус: только так при $p_{wf} = \bar p_R$ дебит равен нулю, а при $p_{wf} = 0$ — $q_{max}$ . Правая часть раскладывается на множители $(1 - x)(1 + 0{,}8x)$ , где $x = p_{wf}/\bar p_R$ : первый множитель пропорционален депрессии, второй описывает изгиб кривой.

Чтобы построить кривую, достаточно пластового давления и одного стабилизированного замера $(q_1, p_{wf,1})$ : из уравнения находят $q_{max} = q_1/\left(1 - 0{,}2\,x_1 - 0{,}8\,x_1^2\right)$ , где $x_1 = p_{wf,1}/\bar p_R$ , а затем дебит при любом забойном давлении.

У изогнутой кривой нет единого коэффициента продуктивности. Отношение $q/(\bar p_R - p_{wf})$ — средний коэффициент при данной депрессии — уменьшается с её ростом, а мгновенный коэффициент — наклон кривой $-\dd q/\dd p_{wf} = (q_{max}/\bar p_R)(0{,}2 + 1{,}6\,p_{wf}/\bar p_R)$ — падает ещё быстрее: от $1{,}8\,q_{max}/\bar p_R$ при малой депрессии до $0{,}2\,q_{max}/\bar p_R$ у нулевого забойного давления, в девять раз.

Worked exampleКривая Вогеля по одному замеру

Given (assumed data)

Пластовое давление $\bar p_R$ (равно давлению насыщения): 15,0 МПа
Стабилизированный режим: $q_1 = 55$ м³/сут при $p_{wf,1} = 10{,}5$ МПа
Нужно найти: дебит при $p_{wf} = 6{,}0$ МПа

Solution

Относительное забойное давление замера $x_1 = 10{,}5/15{,}0 = 0{,}70$ ; множитель Вогеля $1 - 0{,}2\cdot0{,}70 - 0{,}8\cdot0{,}70^2 = 0{,}468$ .
Абсолютно свободный дебит: $q_{max} = 55/0{,}468 = 117{,}5$ м³/сут.
При $p_{wf} = 6{,}0$ МПа: $x = 0{,}40$ , $q = 117{,}5\cdot(1 - 0{,}08 - 0{,}128) = 93$ м³/сут.
Для сравнения — прямая через тот же замер: $J = 55/4{,}5 = 12{,}22$ м³/(сут·МПа) и $q = 12{,}22\cdot 9{,}0 = 110$ м³/сут, на 18 % больше.
Мгновенный коэффициент продуктивности в точке замера: $(117{,}5/15{,}0)(0{,}2 + 1{,}6\cdot 0{,}70) = 10{,}3$ м³/(сут·МПа) — меньше среднего 12,22.

Answer: При забойном давлении 6 МПа скважина даст около 93 м³/сут; абсолютно свободный дебит — около 117,5 м³/сут.

What it means. Прямая, проведённая через замер при небольшой депрессии, заметно завышает дебит при больших депрессиях. Именно так переоценивают эффект от перевода скважины на насос, способный сильно снизить забойное давление. Данные примера условные.

Уравнение Вогеля — обобщение, а не закон

Формула получена для ограниченного круга условий: режим растворённого газа, однородный пласт, неповреждённая призабойная зона. Для высоковязких нефтей, сильно обводнённых скважин, пластов с газовой шапкой или большим скин-фактором форма кривой может заметно отличаться. Если есть замеры на нескольких режимах, кривую лучше построить по ним (например, методом Фетковича), а уравнение Вогеля использовать для проверки.

Пластовое давление выше давления насыщения: составная кривая

Часто пласт недонасыщен: $\bar p_R > p_b$ . Пока забойное давление выше $p_b$ , приток однофазный и кривая прямая. Когда $p_{wf}$ опускается ниже $p_b$ , у скважины появляется газ, и кривая изгибается. Составную кривую (composite IPR) собирают из двух частей: прямой до давления насыщения и кривой вогелевского вида ниже него. В точке $p_{wf} = p_b$ части сопрягаются без излома — их наклоны совпадают.

Составная индикаторная кривая

q = \begin{cases} J\,(\bar p_R - p_{wf}), & p_{wf} \ge p_b,\\[6pt] q_b + \dfrac{J p_b}{1{,}8}\left[1 - 0{,}2\,\dfrac{p_{wf}}{p_b} - 0{,}8\left(\dfrac{p_{wf}}{p_b}\right)^2\right], & p_{wf} < p_b, \end{cases}\qquad q_b = J\,(\bar p_R - p_b)

where:

$J$ коэффициент продуктивности однофазной части кривой, м³/(сут·МПа)
$p_b$ давление насыщения, МПа
$q_b$ дебит при $p_{wf} = p_b$ , м³/сут
$\bar p_R,\ p_{wf}$ среднее пластовое и забойное давление, МПа

Units: любые согласованные (например, м³/сут и МПа)

Holds when

$\bar p_R > p_b$ : выше давления насыщения приток однофазный;
ниже давления насыщения кривая вогелевская, но построенная от $p_b$ , а не от пластового давления;
стабилизированные режимы; влияние призабойной зоны учтено в $J$ .

Абсолютно свободный дебит составной кривой $q_{max} = q_b + J p_b/1{,}8$ . Слагаемое $J p_b/1{,}8$ — это «вогелевский» $q_{max}$ для части кривой ниже $p_b$ ; он подобран так, чтобы наклон кривой в точке $p_b$ был равен $J$ .

Откуда 1,8. Наклон кривой Вогеля в её верхней точке равен $1{,}8\,q_{max,V}/p_b$ (см. мгновенный коэффициент продуктивности выше, с $p_b$ вместо пластового давления). Приравняв его наклону прямой $J$ , получаем $q_{max,V} = J p_b/1{,}8$ .

Если стабилизированный замер $(q_1, p_{wf,1})$ сделан ниже давления насыщения, коэффициент продуктивности находят, подставив замер во вторую строку формулы.

Коэффициент продуктивности по замеру ниже давления насыщения

J = \frac{q_1}{(\bar p_R - p_b) + \dfrac{p_b}{1{,}8}\left[1 - 0{,}2\,\dfrac{p_{wf,1}}{p_b} - 0{,}8\left(\dfrac{p_{wf,1}}{p_b}\right)^2\right]}

where:

$q_1$ дебит на замеренном режиме, м³/сут
$p_{wf,1}$ забойное давление на этом режиме, $p_{wf,1} < p_b$ , МПа

Units: как в составной кривой

Holds when

те же, что для составной кривой;
давление насыщения известно по PVT-исследованию пробы нефти.

Дальше вся кривая строится по составной формуле. Если бы тот же замер обработали как точку на прямой, коэффициент продуктивности вышел бы заниженным, а дебит при низких забойных давлениях — завышенным.

Worked exampleСоставная кривая по замеру ниже давления насыщения

Given (assumed data)

Пластовое давление $\bar p_R$: 20,0 МПа
Давление насыщения $p_b$ (по PVT-исследованию): 14,0 МПа
Стабилизированный режим: $q_1 = 150$ м³/сут при $p_{wf,1} = 11{,}0$ МПа

Solution

Замер ниже $p_b$ , поэтому множитель Вогеля считаем от давления насыщения: $x_1 = 11{,}0/14{,}0 = 0{,}786$ , $1 - 0{,}2x_1 - 0{,}8x_1^2 = 0{,}349$ .
Коэффициент продуктивности: $J = \dfrac{150}{(20{,}0 - 14{,}0) + \dfrac{14{,}0}{1{,}8}\cdot 0{,}349} = 17{,}2$ м³/(сут·МПа).
Дебит при давлении насыщения $q_b = 17{,}2\cdot 6{,}0 = 103$ м³/сут; вогелевская часть $J p_b/1{,}8 = 134$ м³/сут; $q_{max} = 237$ м³/сут.
Дебит при $p_{wf} = 7{,}0$ МПа ( $x = 0{,}5$ ): $q = 103 + 134\cdot(1 - 0{,}1 - 0{,}2) = 197$ м³/сут.
Прямая с тем же $J$ , продлённая ниже $p_b$ , дала бы при 7 МПа $17{,}2\cdot 13{,}0 = 224$ м³/сут (на 14 % больше), а при нулевом забойном давлении — 344 м³/сут вместо 237.

Answer:

J \approx 17{,}2

м³/(сут·МПа); при забойном давлении 7 МПа скважина даст около 197 м³/сут, абсолютно свободный дебит — около 237 м³/сут.

What it means. Чем глубже забойное давление уходит ниже давления насыщения, тем больше ошибка прямой линии. Если скважину переводят на насос, подачу и напор подбирают по составной кривой, иначе насос окажется слишком производительным для пласта. Данные примера условные.

CalculatedРасчётная составная индикаторная кривая для данных примера: прямая выше давления насыщения (14 МПа) и кривая Вогеля ниже. Штриховая линия — та же прямая, ошибочно продлённая ниже давления насыщения.

Многорежимные исследования: метод Фетковича

Уравнение Вогеля строится по одной точке, а форма кривой в нём задана заранее. Если скважину исследовали на нескольких стабилизированных режимах, форму можно найти по самим данным. В 1973 году М. Феткович (M. Fetkovich) показал, что приток нефтяных скважин, работающих ниже давления насыщения, хорошо описывает та же зависимость, которую давно применяли для газовых скважин.

Уравнение притока Фетковича

q = C\,(\bar p_R^2 - p_{wf}^2)^n

where:

$q$ дебит нефти в стандартных условиях, м³/сут
$C$ коэффициент, отражающий свойства пласта и флюида; его размерность зависит от $n$ , м³/(сут·МПа²ⁿ)
$n$ показатель степени: 1 при чисто вязком течении, до 0,5 при сильных инерционных потерях, —
$\bar p_R,\ p_{wf}$ среднее пластовое и забойное давление, абсолютные, МПа

Units: $q$ — м³/сут, давления — МПа (абсолютные)

Holds when

стабилизированные режимы (исследование «режим за режимом») или изохронные режимы одинаковой продолжительности;
давления абсолютные: в формулу входят их квадраты, а разность квадратов избыточных давлений не равна разности квадратов абсолютных;
пластовое давление не выше давления насыщения; если выше, так описывают только часть кривой ниже $p_b$ .

В безразмерной форме $q/q_{max} = [1 - (p_{wf}/\bar p_R)^2]^n$ , где $q_{max} = C\,\bar p_R^{2n}$ . При $n = 1$ кривая почти совпадает с кривой Вогеля: разность $1 - x^2$ и $1 - 0{,}2x - 0{,}8x^2$ равна $0{,}2x(1 - x)$ и нигде не превышает 0,05. Значения $n < 1$ говорят о потерях, растущих быстрее дебита, — прежде всего об инерционных (турбулентных) потерях у скважины.

Почему квадраты давлений? Ниже давления насыщения подвижность нефти $k_{ro}/(\mu_o B_o)$ уменьшается вместе с давлением приблизительно линейно. Если в законе Дарси для радиального притока проинтегрировать от $p_{wf}$ до $\bar p_R$ подвижность, пропорциональную давлению, получится разность квадратов давлений — отсюда форма уравнения с $n = 1$ .

Обработка исследования. Для каждого режима вычисляют $\Delta(p^2) = \bar p_R^2 - p_{wf}^2$ и наносят точки на двойной логарифмический график. Если по горизонтали отложить $\Delta(p^2)$ , а по вертикали дебит, точки ложатся на прямую с наклоном $n$ ; если оси поменять местами, наклон будет $1/n$ — частый источник путаницы. Коэффициент $C$ находят по любой точке прямой, а $q_{max}$ — продлив прямую до $\Delta(p^2) = \bar p_R^2$ .

Worked exampleПоказатель n и потенциал скважины по четырём режимам

Given (assumed data)

Пластовое давление $\bar p_R$ (абсолютное; пласт насыщен): 16,0 МПа
Режим 1: 40 м³/сут при $p_{wf} = 14{,}0$ МПа
Режим 2: 65 м³/сут при 12,0 МПа
Режим 3: 85 м³/сут при 10,0 МПа
Режим 4: 101 м³/сут при 8,0 МПа

Solution

Разности квадратов давлений ( $\bar p_R^2 = 256$ МПа²): 60, 112, 156 и 192 МПа².
Прямая по методу наименьших квадратов в координатах $\lg\Delta(p^2)$ — $\lg q$ имеет наклон $n = 0{,}795$ . Проверка по крайним точкам: $n = \lg(101/40)/\lg(192/60) = 0{,}796$ .
Коэффициент из той же прямой: $C = 1{,}539$ м³/(сут·МПа²ⁿ).
Абсолютно свободный дебит $q_{max} = C\,\bar p_R^{2n} = 1{,}539\cdot 256^{0{,}795} = 126$ м³/сут; дебит при $p_{wf} = 4{,}0$ МПа: $q = 1{,}539\cdot 240^{0{,}795} = 120$ м³/сут.
Для сравнения: уравнение Вогеля по одному режиму 2 дало бы $q_{max} = 65/(1 - 0{,}15 - 0{,}45) = 163$ м³/сут — на 29 % больше.

Answer:

n \approx 0{,}795

q_{max} \approx 126

м³/сут.

What it means. Показатель меньше единицы означает, что при больших дебитах часть депрессии уходит на инерционные потери у скважины, и дебит растёт медленнее, чем $\Delta(p^2)$ . Уравнение Вогеля такие потери не учитывает, поэтому по одному режиму оно переоценило бы потенциал скважины. На практике режимов берут не меньше трёх-четырёх и проверяют, что точки действительно ложатся на прямую. Данные примера условные.

CalculatedРасчётный график исследования на четырёх режимах для данных примера в двойном логарифмическом масштабе: по горизонтали

\Delta(p^2)

, по вертикали дебит; наклон прямой равен

n

. Продолжение прямой до

\Delta(p^2) = \bar p_R^2 = 256

МПа² даёт

q_{max}

Приток газа

Газ сильно сжимаем, а его вязкость и коэффициент сверхсжимаемости зависят от давления, поэтому прямая линия не годится для газовой скважины даже при однофазном потоке. Интегрирование закона Дарси для газа при средних значениях $\mu Z$ приводит к разности квадратов давлений; это приближение хорошо работает при не слишком высоких давлениях (ориентировочно до 14 МПа), а в общем случае вместо квадратов давлений используют псевдодавление реального газа. При больших скоростях к вязким потерям добавляются инерционные. На практике используют два вида уравнений.

Уравнение притока газа с показателем степени

q_g = C\,(\bar p_R^2 - p_{wf}^2)^n

where:

$q_g$ дебит газа в стандартных условиях, тыс. м³/сут
$C$ коэффициент, зависящий от свойств пласта и газа, тыс. м³/(сут·МПа²ⁿ)
$n$ показатель: 1 при чисто вязком течении, до 0,5 при преобладании инерционных потерь, —
$\bar p_R,\ p_{wf}$ пластовое и забойное давления, абсолютные, МПа

Units: $q_g$ — тыс. м³/сут, давления — МПа (абсолютные)

Holds when

стабилизированные или изохронные режимы;
давления абсолютные;
эмпирическая зависимость: экстраполяция далеко за пределы исследованных депрессий ненадёжна.

Это исторически первое уравнение такого вида (уравнение противодавления, back-pressure equation); его применяют к газовым скважинам с 1930-х годов. Абсолютно свободный дебит газовой скважины $q_{max} = C\,\bar p_R^{2n}$ — стандартная мера её потенциала.

Двучленная формула притока газа

\bar p_R^2 - p_{wf}^2 = A\,q_g + B\,q_g^2

where:

$A$ коэффициент сопротивления вязкому течению; включает влияние скин-фактора, МПа²/(тыс. м³/сут)
$B$ коэффициент инерционного сопротивления, МПа²/(тыс. м³/сут)²
$q_g$ дебит газа в стандартных условиях, тыс. м³/сут

Units: давления — МПа (абсолютные), $q_g$ — тыс. м³/сут

Holds when

стабилизированные режимы;
$A$ и $B$ находят по исследованию на нескольких режимах: зависимость $(\bar p_R^2 - p_{wf}^2)/q_g$ от $q_g$ — прямая с наклоном $B$ и отрезком $A$ на оси ординат.

Двучленная формула — основная форма уравнения притока газа в отечественной практике. Она следует из закона фильтрации с инерционным членом, и оба её коэффициента имеют ясный физический смысл; подробнее — в уроке Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация.

Тот же приём применяют к нефтяным скважинам с большими дебитами: зависимость $(\bar p_R - p_{wf})/q$ от $q$ по нескольким режимам — прямая. Её отрезок на оси ординат отражает вязкое сопротивление пласта вместе со скин-фактором, наклон — инерционные потери. Горизонтальная прямая означает, что инерционных потерь нет и индикаторная кривая линейна.

Как меняется индикаторная кривая

Истощение пласта. При падении пластового давления ниже давления насыщения кривая «сжимается»: уменьшаются и $\bar p_R$ , и $q_{max}$ . Причина не только в меньшем давлении: растёт газонасыщенность пласта, и нефти всё труднее двигаться. В безразмерных координатах $q/q_{max}$ — $p_{wf}/\bar p_R$ кривые разных лет близки — это и позволило обобщить их уравнением Вогеля; как прогнозировать будущие кривые, показано в дополнительном разделе.
Вязкость нефти. Более вязкая нефть даёт при той же депрессии меньший дебит, но безразмерные кривые двух нефтей почти одинаковы: вязкость меняет масштаб кривой, а не её форму.
Состояние призабойной зоны. Повреждение или улучшение призабойной зоны описывают скин-фактором или коэффициентом гидродинамического совершенства (flow efficiency, FE) — отношением фактического коэффициента продуктивности к коэффициенту той же скважины без повреждения. $FE < 1$ — зона повреждена, $FE > 1$ — улучшена кислотной обработкой или гидроразрывом.
Несколько пластов в одной скважине. Если совместно работают пласты с разной проницаемостью и давлением, кривая скважины — сумма кривых пластов при одном забойном давлении. При малой депрессии пласт с пониженным давлением может принимать флюид из других (межпластовый переток), поэтому такие скважины исследуют и попластово.
Обводнение. С ростом доли воды меняются фазовые проницаемости, плотность и вязкость смеси. Для обводнённой скважины кривую обычно строят по дебиту жидкости, а долю воды учитывают отдельно.

Коэффициент гидродинамического совершенства

FE = \frac{\bar p_R - p_{wf} - \Delta p_S}{\bar p_R - p_{wf}} = \frac{J_{\text{факт}}}{J_{\text{ид}}}

where:

$\Delta p_S$ дополнительная потеря давления в призабойной зоне при данном дебите (по гидродинамическим исследованиям), МПа
$J_{\text{факт}}$ фактический коэффициент продуктивности, м³/(сут·МПа)
$J_{\text{ид}}$ коэффициент продуктивности той же скважины без повреждения ( $S = 0$ ), м³/(сут·МПа)

Units: безразмерная величина; давления в одинаковых единицах

Holds when

однофазный приток, стабилизированный режим;
дополнительная потеря давления пропорциональна дебиту (скин-фактор не зависит от дебита).

Для псевдоустановившегося притока $FE = \dfrac{\ln(r_e/r_w) - 0{,}75}{\ln(r_e/r_w) - 0{,}75 + S}$ : скин-фактор $+5$ при логарифмическом члене около 7,5 оставляет скважине 60 % идеальной продуктивности.

Terms and symbols

Индикаторная кривая (IPR): зависимость дебита от забойного давления при данном пластовом давлении.
Коэффициент продуктивности $J$: дебит на единицу депрессии; для прямой кривой постоянен, м³/(сут·МПа).
Удельный коэффициент продуктивности: коэффициент продуктивности на метр эффективной толщины, $J/h$ .
Абсолютно свободный дебит $q_{max}$ (AOF): дебит при нулевом забойном давлении; условная мера потенциала скважины.
Давление насыщения $p_b$: давление, ниже которого из нефти выделяется газ; граница прямого и изогнутого участков индикаторной кривой.
Составная индикаторная кривая: прямая выше давления насыщения и кривая Вогеля ниже него, сопряжённые без излома.
Коэффициент гидродинамического совершенства (FE): отношение фактического коэффициента продуктивности к коэффициенту скважины без повреждения призабойной зоны.
Показатель $n$: показатель степени в уравнениях вида $q = C\,\Delta(p^2)^n$ ; значения меньше единицы указывают на инерционные потери.

Common mistakes and misconceptions

Wrong

«При депрессии 5 МПа скважина даёт 50 м³/сут — значит, при 10 МПа даст 100».

In fact

Только если оба забойных давления выше давления насыщения. Ниже него кривая изгибается, и дебит растёт медленнее депрессии; расчёт ведут по составной кривой или по уравнению Вогеля.

Wrong

« $q_{max}$ — это дебит, который скважина может реально дать».

In fact

Это условный дебит при нулевом забойном давлении. Реальный максимум всегда меньше: на забое остаётся давление столба жидкости, а допустимую депрессию ограничивают вынос песка, конусы воды и газа, прочность колонны.

Wrong

«У скважины упал коэффициент продуктивности — значит, повреждена призабойная зона».

In fact

Не обязательно. Средний коэффициент продуктивности падает сам, если забойное давление опустилось ниже давления насыщения, а также при падении пластового давления и росте газонасыщенности. Повреждение подтверждают гидродинамическими исследованиями, определяя скин-фактор.

Wrong

«На графике Фетковича наклон прямой — это всегда $n$ ».

In fact

Только если по горизонтали отложена разность квадратов давлений, а по вертикали дебит. При обратном расположении осей наклон равен $1/n$ . Проверяйте, что отложено на какой оси.

Wrong

«В уравнение Фетковича можно подставлять избыточные давления».

In fact

В формулы с квадратами давлений подставляют абсолютные давления: $(a + 0{,}1)^2 - (b + 0{,}1)^2 \ne a^2 - b^2$ . Для прямой индикаторной кривой, где важна только разность давлений, это безразлично.

In depth: advanced detail

Прогноз индикаторной кривой при падении пластового давления

По мере истощения пласта индикаторная кривая меняется, и насос или газлифт, подобранные на сегодняшний режим, через год-два могут оказаться неподходящими. Удобный способ прогноза предложил М. Стэндинг (M. Standing). Он ввёл коэффициент продуктивности при нулевой депрессии $J^*$ — наклон кривой Вогеля в её верхней точке. При исчезающе малой депрессии давление во всей области дренирования равно $\bar p_R$ , поэтому $J^*$ пропорционален подвижности нефти при пластовом давлении.

Коэффициент продуктивности при нулевой депрессии

J^* = \frac{1{,}8\,q_{max}}{\bar p_R} = \frac{1{,}8\,J}{1 + 0{,}8\,p_{wf}/\bar p_R}

where:

$J^*$ коэффициент продуктивности при нулевой депрессии, м³/(сут·МПа)
$J$ средний коэффициент продуктивности по замеру, $q/(\bar p_R - p_{wf})$ , м³/(сут·МПа)
$q_{max},\ \bar p_R,\ p_{wf}$ абсолютно свободный дебит, пластовое и забойное давление замера, м³/сут, МПа

Units: любые согласованные

Holds when

форма кривой вогелевская ( $\bar p_R \le p_b$ ).

Второе равенство следует из разложения $1 - 0{,}2x - 0{,}8x^2 = (1 - x)(1 + 0{,}8x)$ : средний коэффициент $J$ равен $(q_{max}/\bar p_R)(1 + 0{,}8x)$ , где $x = p_{wf}/\bar p_R$ .

Пересчёт на будущее пластовое давление

J^*_f = J^*_p\,\frac{\left(k_{ro}/\mu_o B_o\right)_f}{\left(k_{ro}/\mu_o B_o\right)_p},\qquad q_{max,f} = \frac{J^*_f\,\bar p_{R,f}}{1{,}8}

where:

$p,\ f$ индексы текущего и будущего состояния, —
$k_{ro}$ относительная проницаемость для нефти при средней насыщенности пласта, —
$\mu_o$ вязкость нефти при пластовом давлении, мПа·с
$B_o$ объёмный коэффициент нефти, м³/м³
$\bar p_{R,f}$ будущее пластовое давление, МПа

Units: отношение безразмерно; $J^*$ и $q_{max}$ — в единицах текущей кривой

Holds when

форма кривой и в будущем вогелевская;
$k_{ro}$ — по прогнозу насыщенности (материальный баланс) и кривым относительной проницаемости; $\mu_o$ и $B_o$ — по PVT-данным при будущем давлении;
свойства призабойной зоны не меняются.

Коэффициент продуктивности при нулевой депрессии пропорционален подвижности нефти $k_{ro}/(\mu_o B_o)$ . Будущая кривая: $q = q_{max,f}\,(1 - 0{,}2x - 0{,}8x^2)$ с $x = p_{wf}/\bar p_{R,f}$ .

Более грубая оценка следует из метода Фетковича, если считать коэффициент $C$ пропорциональным пластовому давлению: $q_{max,f} = q_{max,p}\,(\bar p_{R,f}/\bar p_{R,p})^{1+2n}$ , при $n = 1$ — куб отношения давлений. Она не требует данных об относительной проницаемости и годится для быстрой проверки. Как прогнозируют давление и насыщенность залежи с режимом растворённого газа, разобрано в уроке Прогноз работы залежи с режимом растворённого газа.

Worked exampleИндикаторная кривая через несколько лет

Given (assumed data)

Сейчас (скважина из примера с уравнением Вогеля): $\bar p_R = 15{,}0$ МПа, $q_{max} = 117{,}5$ м³/сут
Сейчас: $k_{ro}$ ; $\mu_o$ ; $B_o$: 0,75; 1,6 мПа·с; 1,20
В будущем: $\bar p_R$: 12,0 МПа
В будущем (прогноз): $k_{ro}$ ; $\mu_o$ ; $B_o$: 0,55; 1,9 мПа·с; 1,15

Solution

Сейчас: $J^*_p = 1{,}8\cdot 117{,}5/15{,}0 = 14{,}10$ м³/(сут·МПа).
Подвижность нефти: сейчас $0{,}75/(1{,}6\cdot1{,}20) = 0{,}391$ , в будущем $0{,}55/(1{,}9\cdot1{,}15) = 0{,}252$ (мПа·с)⁻¹; отношение 0,644.
В будущем: $J^*_f = 14{,}10\cdot0{,}644 = 9{,}09$ м³/(сут·МПа); $q_{max,f} = 9{,}09\cdot 12{,}0/1{,}8 = 60{,}6$ м³/сут.
Дебит при $p_{wf} = 6{,}0$ МПа: сейчас 93 м³/сут; в будущем ( $x = 0{,}5$ ) $60{,}6\cdot(1 - 0{,}1 - 0{,}2) = 42$ м³/сут.
Проверка по Фетковичу при $n = 1$ : $117{,}5\cdot(12{,}0/15{,}0)^3 = 60{,}2$ м³/сут — близко.

Answer: Потенциал скважины снизится примерно вдвое:

q_{max}

— с 117,5 до 60,6 м³/сут; при забойном давлении 6 МПа дебит упадёт с 93 до 42 м³/сут.

What it means. Падение объясняется не только снижением пластового давления на 20 %: нефть потеряла подвижность — выросла газонасыщенность пласта, увеличилась вязкость нефти. Такой прогноз нужен, чтобы подобрать насос с запасом и спланировать, когда скважину переводить на другой способ эксплуатации. Данные примера условные.

Кривая Вогеля для скважины с повреждённой или обработанной призабойной зоной

Уравнение Вогеля получено для неповреждённых скважин. Для скважины с коэффициентом совершенства $FE \ne 1$ М. Стэндинг предложил подставлять в него «идеальное» забойное давление — то, которое было бы при том же дебите без повреждения: $p'_{wf} = \bar p_R - FE\,(\bar p_R - p_{wf})$ . После подстановки получается следующая формула.

Уравнение Вогеля с учётом совершенства скважины

\frac{q}{q_{max}^{FE=1}} = 1{,}8\,FE\left(1 - \frac{p_{wf}}{\bar p_R}\right) - 0{,}8\,FE^2\left(1 - \frac{p_{wf}}{\bar p_R}\right)^2

where:

$q_{max}^{FE=1}$ абсолютно свободный дебит той же скважины без повреждения, м³/сут
$FE$ коэффициент гидродинамического совершенства, —
$q,\ \bar p_R,\ p_{wf}$ дебит, пластовое и забойное давление, м³/сут, МПа

Units: безразмерная форма

Holds when

вогелевская форма притока для неповреждённой скважины;
дополнительная потеря давления в призабойной зоне пропорциональна дебиту;
при $FE > 1$ формула применима, пока $p'_{wf} \ge 0$ , то есть при $p_{wf} \ge \bar p_R\,(1 - 1/FE)$ ; ниже она даёт физически бессмысленный результат.

При $FE = 1$ формула совпадает с уравнением Вогеля. Построив кривые для фактического FE и для FE после обработки, получают ожидаемый прирост притока; реальный прирост дебита затем проверяют узловым анализом.

Connections to other topics

Узловой анализ добывающей системы — как индикаторная кривая вместе с кривой оттока определяет рабочий режим скважины.
Скин-фактор — что такое скин-фактор и как его определяют по исследованиям.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — вывод формулы притока со средним пластовым давлением и коэффициенты формы области дренирования.
Относительная проницаемость — почему свободный газ снижает приток нефти.
Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация — инерционные потери и двучленная формула притока газа.
Прогноз работы залежи с режимом растворённого газа — как прогнозируют давление и насыщенность залежи для будущих кривых.
Проницаемость горных пород — закон Дарси и радиальный приток — основа формулы коэффициента продуктивности.

Check yourself

1
Пластовое давление 20 МПа, давление насыщения 12 МПа. Скважина дала 60 м³/сут при забойном давлении 16 МПа. Какой дебит ожидать при забойном давлении 14 МПа?
1. А.90 м³/сут
2. Б.Около 80 м³/сут: кривая уже изгибается
3. В.120 м³/сут
4. Г.Оценить нельзя без уравнения Вогеля
Show the answer
Correct answer: А. 90 м³/сут
Оба забойных давления выше давления насыщения, приток однофазный, кривая прямая: $J = 60/(20 - 16) = 15$ м³/(сут·МПа), $q = 15\cdot(20 - 14) = 90$ м³/сут.
2
Скважина в пласте с $\bar p_R = p_b = 16$ МПа дала 40 м³/сут при $p_{wf} = 12$ МПа. Оцените $q_{max}$ по уравнению Вогеля и сравните с прямой через тот же замер.
Show the answer
$x = 12/16 = 0{,}75$ ; $1 - 0{,}2\cdot0{,}75 - 0{,}8\cdot0{,}75^2 = 1 - 0{,}15 - 0{,}45 = 0{,}40$ ; $q_{max} = 40/0{,}40 = 100$ м³/сут. Прямая дала бы $J = 40/4 = 10$ м³/(сут·МПа) и $q_{max} = 160$ м³/сут — на 60 % больше.
3
Зачем в составной индикаторной кривой ниже давления насыщения стоит множитель $J p_b/1{,}8$ ?
1. А.Это эмпирическая поправка на обводнённость
2. Б.Так наклоны прямой и кривой совпадают в точке $p_{wf} = p_b$
3. В.Это абсолютно свободный дебит всей скважины
4. Г.Он учитывает скин-фактор
Show the answer
Correct answer: Б. Так наклоны прямой и кривой совпадают в точке $p_{wf} = p_b$
Наклон кривой Вогеля в её верхней точке равен $1{,}8\,q_{max,V}/p_b$ . Чтобы кривая продолжала прямую без излома, этот наклон приравнивают коэффициенту продуктивности $J$ , откуда $q_{max,V} = J p_b/1{,}8$ . Абсолютно свободный дебит всей скважины больше: $q_b + J p_b/1{,}8$ .
4
На графике многорежимного исследования по горизонтали отложен $\lg q$ , по вертикали $\lg(\bar p_R^2 - p_{wf}^2)$ , наклон прямой 1,25. Чему равен показатель $n$ и что он говорит о притоке?
Show the answer
При таком расположении осей наклон равен $1/n$ , поэтому $n = 1/1{,}25 = 0{,}8$ . Показатель меньше единицы: при больших дебитах часть депрессии уходит на инерционные потери у скважины, и дебит растёт медленнее, чем $\Delta(p^2)$ .
5
Как изменится индикаторная кривая после успешной обработки призабойной зоны, если пластовое давление не изменилось?
1. А.Сместится вниз параллельно самой себе
2. Б.Повернётся вокруг точки $q = 0$ , $p_{wf} = \bar p_R$ : при том же забойном давлении дебит станет больше
3. В.Не изменится: обработка влияет только на лифт
4. Г.Сместится вверх: пластовое давление вырастет
Show the answer
Correct answer: Б. Повернётся вокруг точки $q = 0$ , $p_{wf} = \bar p_R$ : при том же забойном давлении дебит станет больше
Обработка снижает дополнительное сопротивление у скважины и увеличивает коэффициент продуктивности, а пластовое давление — точка кривой при нулевом дебите — остаётся прежним. Кривая поворачивается вокруг этой точки и становится положе.
6
Скважина вскрыла два пласта, оба выше давления насыщения: у первого $\bar p_R = 18$ МПа и $J = 10$ , у второго $\bar p_R = 15$ МПа и $J = 20$ м³/(сут·МПа). Каков дебит скважины при забойном давлении 14 МПа и при 16 МПа?
Show the answer
Кривые пластов складываются при одном забойном давлении. При 14 МПа: $10\cdot 4 + 20\cdot 1 = 60$ м³/сут. При 16 МПа второй пласт уже не отдаёт, а принимает флюид: $20\cdot(15 - 16) = -20$ м³/сут, а первый отдаёт $10\cdot 2 = 20$ м³/сут. На поверхность не поступает ничего — вся продукция первого пласта уходит во второй. Это межпластовый переток.

Updated: 22 September 2026