Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление

Қысқаша негізгісі

Модели нужны кривые того процесса, который она считает, для каждого типа породы: пропитки — для заводнения гидрофильного пласта, дренирования — для начального распределения флюидов и вторжения газа.
Лабораторные кривые искажает концевой эффект: у выхода образца смачивающая фаза задерживается, пока капиллярное давление не упадёт до нуля. Опыты проверяют сменой расхода, сравнением методов и расчётом самого опыта.
Кривые образцов осредняют в нормированных координатах — $S_n$ и $k_r/k_r'$ ; показатели Кори осредняют, а концевые точки связывают с проницаемостью отдельно.
Капиллярное давление переносят на ячейки через функцию Леверетта типа породы, $p_c = J\,\sigma\cos\theta/(31{,}4\sqrt{k/\phi})$ ; по ней же задают начальную насыщенность по высоте над зеркалом свободной воды.
Масштабирование концевых точек даёт каждой ячейке свои неснижаемую воду и остаточную нефть без новых таблиц; соотношение Лэнда задаёт защемлённую нефть и газ при неполном начальном насыщении.
Таблица должна быть монотонной, её концевые точки — согласованными между собой и с начальным равновесием; строки гуще там, где кривые круче.

Негізгі қатынастар

S_n = \dfrac{S_w - S_{wi}}{1 - S_{wi} - S_{or}},\qquad \dfrac{k_{rw}}{k_{rw}'} = S_n^{\,n_w},\qquad \dfrac{k_{ro}}{k_{ro}'} = (1 - S_n)^{n_o}

нормирование и модель Кори

J = \dfrac{31{,}4\,p_c\sqrt{k/\phi}}{\sigma\cos\theta},\qquad J = J_d\,(S_w^{*})^{-b}

функция Леверетта ( $p_c$ в МПа, $k$ в мД, $\sigma$ в мН/м) и её аппроксимация для типа породы

S_t = S_{wi,t} + (S_w - S_{wi})\,\dfrac{1 - S_{wi,t} - S_{or,t}}{1 - S_{wi} - S_{or}}

двухточечное масштабирование: насыщенность таблицы для насыщенности ячейки

S_{or}^{*} = \dfrac{S_{oi}^{*}}{1 + C\,S_{oi}^{*}},\qquad S^{*} = \dfrac{S}{1 - S_{wi}}

соотношение Лэнда для защемлённой нефти

\dfrac{k_{ro}(S_{w2})}{k_{ro}'} = \dfrac{f_{o2}}{\dd\bigl(1/(W_iI_r)\bigr)/\dd(1/W_i)}

метод JBN для нестационарного опыта

Жиі қателіктер

Брать кривые дренирования для заводнения гидрофильного пласта или одну кривую на весь пласт.
Осреднять ОФП образцов при одинаковой водонасыщенности: концевые точки размываются, и средняя кривая не похожа ни на один образец.
Переносить в модель лабораторную неснижаемую воду и остаточную нефть, искажённые концевым эффектом или недостаточным перепадом давления.
Оставлять в таблице $k_{rw} = k_{rw}' < 1$ при $S_w = 1$ там, где есть водоносная часть: приток законтурной воды будет занижен.
Задавать неснижаемую воду в таблице ОФП и в начальной насыщенности по-разному: в модели появится подвижная вода, которой нет в пласте, или наоборот.

Сабақтан кейін сіз

составить программу специальных исследований керна под задачи модели: какие опыты, на каких образцах и при каких условиях;
распознавать в данных концевой эффект и другие искажения и обрабатывать нестационарный опыт методом JBN;
нормировать кривые ОФП образцов, находить показатели Кори и осреднять кривые типа породы;
строить функцию Леверетта типа породы по капилляриметрии и рассчитывать капиллярное давление и насыщенность для ячейки модели;
масштабировать концевые точки по ячейкам, учитывать защемление по соотношению Лэнда и знать, как задают трёхфазные ОФП;
собирать таблицу для симулятора и проверять её: монотонность, согласованность концевых точек, начальное равновесие.

Что нужно модели и откуда это берут

Симулятору для каждой ячейки нужны ОФП и капиллярное давление как функции насыщенности. Их задают таблицами по типам пород, а кривые для таблиц берут из специальных исследований керна (стандартный и специальный анализ). Опытов немного — они долгие и дорогие, — поэтому программу составляют от задач модели: какие процессы она будет считать и какие решения от них зависят.

Что нужно модели и какими опытами это получают

Нужно модели: ОФП вода — нефть, пропитка
Опыты: стационарный или нестационарный на восстановленном керне
Для чего: заводнение, подъём ВНК

Нужно модели: ОФП газ — нефть, дренирование
Опыты: нестационарный при неснижаемой воде, центрифуга
Для чего: газовая шапка, газ из раствора, закачка газа

Нужно модели: Капиллярное давление дренирования
Опыты: мембрана, центрифуга, ртуть с пересчётом
Для чего: начальная насыщенность, переходная зона

Нужно модели: Капиллярное давление пропитки
Опыты: центрифуга, мембрана; самопроизвольная и принудительная пропитка
Для чего: заводнение, гистерезис

Нужно модели: Остаточная нефть, концевые точки
Опыты: длительная прокачка, центрифуга
Для чего: $S_{or}$ , $k_{rw}'$ , извлекаемые запасы

Нужно модели: Смачиваемость
Опыты: Амотт, USBM
Для чего: выбор кривых и процесса

Нужно модели: Защемлённый газ
Опыты: пропитка при разной начальной газонасыщенности
Для чего: коэффициент Лэнда

Нужно модели	Опыты	Для чего
ОФП вода — нефть, пропитка	стационарный или нестационарный на восстановленном керне	заводнение, подъём ВНК
ОФП газ — нефть, дренирование	нестационарный при неснижаемой воде, центрифуга	газовая шапка, газ из раствора, закачка газа
Капиллярное давление дренирования	мембрана, центрифуга, ртуть с пересчётом	начальная насыщенность, переходная зона
Капиллярное давление пропитки	центрифуга, мембрана; самопроизвольная и принудительная пропитка	заводнение, гистерезис
Остаточная нефть, концевые точки	длительная прокачка, центрифуга	$S_{or}$ , $k_{rw}'$ , извлекаемые запасы
Смачиваемость	Амотт, USBM	выбор кривых и процесса
Защемлённый газ	пропитка при разной начальной газонасыщенности	коэффициент Лэнда

Методы измерения ОФП и капиллярного давления описаны в уроках об ОФП и о капиллярном давлении, смачиваемости — в уроке о смачиваемости.

Образцы. Кривые нужны по типам пород (типы пород), поэтому на каждый тип берут по нескольку однородных образцов (проверенных томографией), охватывающих его диапазон проницаемости, а не только лучший коллектор. Образцам заранее известны пористость и проницаемость по стандартному анализу, а соседние отрезки керна идут на ртутную порометрию.

Типичная последовательность опытов на образце

1
Подготовка
Очистка, насыщение пластовой (или модельной) водой, проницаемость по воде — база нормировки ОФП.
2
Первичное дренирование
Нефть вытесняет воду до неснижаемой насыщенности — на полупроницаемой мембране ступенями давления или прокачкой; ступени мембраны дают кривую капиллярного давления дренирования.
3
Восстановление смачиваемости
Выдержка с нефтью при пластовой температуре неделями (Смачиваемость и межфазные явления); образец в естественном состоянии этот этап пропускает.
4
Пропитка и ОФП
Вода вытесняет нефть — стационарным или нестационарным методом; в конце — длительная прокачка или центрифуга для остаточной нефти.
5
Смачиваемость и капиллярное давление пропитки
Самопроизвольная и принудительная пропитка (Амотт, USBM); разрушающие опыты — в самом конце.

Условия. Пластовые температура и эффективное напряжение; пластовая нефть или нефть с тем же отношением вязкостей, вода пластового состава. Расход выбирают так, чтобы капиллярные силы не искажали результат, но и не выше, чем позволяют закон Дарси и устойчивость частиц породы (капиллярная длина и критерий подобия).

Проверка опытов: концевой эффект и нестационарный опыт

За выходным торцом образца фазы разделяются, и капиллярное давление там равно нулю. Внутри гидрофильного образца оно положительно, поэтому у выхода смачивающая фаза — вода — накапливается, пока её насыщенность не дойдёт до значения, при котором $p_c = 0$ . Это концевой эффект (capillary end effect). Зона накопления тянется от торца на длину порядка капиллярной длины (капиллярный член), и в коротком образце при малом расходе занимает заметную его часть.

При дренировании (нефть вытесняет воду) вода удерживается у выхода: неснижаемая водонасыщенность образца получается завышенной, а ОФП нефти при ней — заниженной.
При пропитке вода должна накопиться у выхода, прежде чем выйдет из образца: прорыв запаздывает, средняя водонасыщенность образца выше, чем во внутренней части, и ОФП, отнесённые к средней насыщенности, искажены. В породе смешанной смачиваемости капиллярное давление обращается в нуль, когда нефти в порах ещё много, и у выхода остаётся лишняя нефть — остаточная нефтенасыщенность получается завышенной.
В стационарном опыте насыщенность по длине неравномерна, и точка ОФП относится не к той насыщенности, которую дал баланс объёмов.

Как распознают и уменьшают концевой эффект

1
Сменить расход
Повторить опыт или его часть при другом расходе. Если результат зависит от расхода, в нём есть капиллярная составляющая.
2
Удлинить образец
Составные образцы из нескольких цилиндров с хорошим контактом; при стационарном методе — смесительная секция на входе и выходе или полупроницаемые мембраны на обоих торцах (метод Хасслера).
3
Измерить насыщенность по длине
Рентгеновское или томографическое сканирование показывает профиль насыщенности и зону накопления у выхода.
4
Рассчитать сам опыт
Опыт моделируют на мелкой сетке с капиллярным давлением и подбирают ОФП так, чтобы совпали добыча и перепад давления во времени, — это надёжнее аналитической обработки, когда капиллярные силы заметны.

Нестационарный опыт. Вода с постоянным расходом вытесняет нефть из образца при неснижаемой водонасыщенности; во времени замеряют добычу фаз и перепад давления. Как по формулам Уэлджа найти долю воды и насыщенность на выходе, описано в уроке о Баклее–Леверетте. Чтобы получить ещё и сами ОФП, нужна вторая связь — с перепадом давления. Её даёт метод JBN (Джонсона — Босслера — Наумана, Johnson–Bossler–Naumann): перепад давления пересчитывают в относительную приёмистость — отношение $q/\Delta p$ к его значению в начале опыта, когда по образцу текла только нефть.

Метод JBN: ОФП на выходном торце по нестационарному опыту

\begin{aligned} f_{o2} &= \frac{\dd N_{pD}}{\dd W_i},\qquad S_{w2} = \bar S_w - W_i\,f_{o2},\qquad I_r = \frac{q/\Delta p}{(q/\Delta p)_0},\\ \frac{k_{ro}(S_{w2})}{k_{ro}'} &= \frac{f_{o2}}{\dd\bigl(1/(W_iI_r)\bigr)/\dd(1/W_i)},\qquad k_{rw}(S_{w2}) = k_{ro}(S_{w2})\,\frac{1 - f_{o2}}{f_{o2}}\,\frac{\mu_w}{\mu_o} \end{aligned}

мұндағы:

$W_i,\ N_{pD}$ закачано воды и добыто нефти, поровых объёмов образца ( $W_i$ — то же, что $W_{iD}$ урока Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа), —
$f_{o2}$ доля нефти в потоке на выходе образца, $1 - f_{we}$ ; индекс 2 — выходной торец, как принято в этом методе, —
$\bar S_w,\ S_{w2}$ средняя водонасыщенность образца ( $S_{wi} + N_{pD}$ ) и насыщенность на выходном торце ( $S_{we}$ урока о Баклее–Леверетте), —
$I_r$ относительная приёмистость; при постоянном расходе $I_r = \Delta p_0/\Delta p$ , где $\Delta p_0$ — перепад в начале опыта (течёт только нефть при $S_{wi}$ ), —
$k_{ro}'$ ОФП нефти при $S_{wi}$ : метод даёт ОФП в долях этой величины, —
$\mu_w,\ \mu_o$ вязкости воды и нефти при условиях опыта, мПа·с

Бірліктер: безразмерная; вязкости — в одинаковых единицах

Мына жағдайда орындалады

допущения Баклея–Леверетта: однородный образец, несжимаемые фазы, капиллярное давление и концевой эффект пренебрежимы, вытеснение устойчиво;
данные — после прорыва воды; производные берут по сглаженным зависимостям;
чтобы перейти к ОФП в долях абсолютной проницаемости, результат умножают на $k_{ro}'$ .

Каждый замер после прорыва даёт одну точку кривых — при насыщенности на выходе. До прорыва выход видит только нефть, поэтому участок от $S_{wi}$ до насыщенности на фронте опыт не освещает; при резком фронте ( $M' \le 1$ ) это большая часть подвижного интервала.

Есептеу мысалыОбработка нестационарного опыта методом JBN

Бастапқы деректер (шартты)

Образец: двойник образца 2 (таблица в следующем разделе): $S_{wi}$ = 0,227, $k_{ro}'$ = 0,81; нефть 2,0 мПа·с, вода 0,6 мПа·с; расход постоянный
Прорыв воды: после 0,422 порового объёма
Замеры после прорыва: при $W_i$ = 0,5; 0,6 и 0,7: $N_{pD}$ = 0,4297; 0,4371 и 0,4430; $\Delta p/\Delta p_0$ = 1,9058; 1,8194 и 1,7529

Шешім

Доля нефти на выходе при $W_i$ = 0,6 — производная добычи по закачке: $f_{o2} \approx (0{,}4430 - 0{,}4297)/(0{,}7 - 0{,}5) = 0{,}0665$ .
Средняя насыщенность $\bar S_w = 0{,}227 + 0{,}4371 = 0{,}6641$ ; на выходе $S_{w2} = 0{,}6641 - 0{,}6\cdot0{,}0665 = 0{,}6242$ .
Величина $1/(W_iI_r) = (\Delta p/\Delta p_0)/W_i$ : 3,8116; 3,0323 и 2,5041.
Её производная по $1/W_i$ : $(3{,}8116 - 2{,}5041)/(1/0{,}5 - 1/0{,}7) = 1{,}3075/0{,}5714 = 2{,}2882$ .
ОФП в долях $k_{ro}'$ : нефть $0{,}0665/2{,}2882 = 0{,}02906$ ; вода $0{,}02906\cdot(1 - 0{,}0665)/0{,}0665\cdot0{,}6/2{,}0 = 0{,}1224$ .
Для сравнения — кривые, по которым построен опыт, при $S_w$ = 0,6242: 0,02924 и 0,1230.

Жауап: При

S_w

= 0,6242 метод дал

k_{ro}/k_{ro}'

= 0,02906 и

k_{rw}/k_{ro}'

= 0,1224 — в пределах 0,6 % от истинных значений.

Бұл нені білдіреді. Замеры здесь рассчитаны по решению Баклея–Леверетта без капиллярного давления, поэтому метод возвращает исходные кривые; погрешность даёт только разностная производная. В реальном опыте концевой эффект нарушает это допущение, и ОФП JBN начинают зависеть от расхода. Заметьте и диапазон: прорыв наступил при водонасыщенности на фронте 0,604, и весь участок от 0,227 до неё опыт не освещает — его берут из стационарного опыта или из расчёта опыта на сетке. Данные примера условные.

Капилляриметрия. На полупроницаемой мембране каждую ступень держат, пока из образца не перестанет выходить вода, — иначе точка кривой окажется недодренированной. Центрифуга даёт среднюю по образцу насыщенность, а капиллярное давление и насыщенность меняются по его длине; кривую восстанавливают расчётом (раздел для углублённого изучения). Ртутную кривую пересчитывают к пластовым флюидам (пересчёт к пласту), а её начальный участок, где ртуть заполняет неровности поверхности образца, отбрасывают.

Нормирование и осреднение кривых

Образцы одного типа породы дают похожие, но не одинаковые кривые: у каждого своя неснижаемая вода, своя остаточная нефть и свои концевые ОФП. Если осреднить кривые при одинаковой водонасыщенности, средняя кривая начнётся с наименьшей $S_{wi}$ , закончится при наибольшей $1 - S_{or}$ и окажется положе любой из них. Поэтому кривые сначала нормируют — переводят в координаты, где концевые точки у всех одинаковы, — и только потом осредняют, а концевые точки описывают отдельно.

Нормированные ОФП и показатели Кори образца

S_n = \frac{S_w - S_{wi}}{1 - S_{wi} - S_{or}},\qquad k_{rw}^{*} = \frac{k_{rw}}{k_{rw}'},\quad k_{ro}^{*} = \frac{k_{ro}}{k_{ro}'},\qquad n_w = \frac{\sum \ln k_{rw}^{*}\,\ln S_n}{\sum (\ln S_n)^2},\quad n_o = \frac{\sum \ln k_{ro}^{*}\,\ln(1 - S_n)}{\sum \bigl(\ln(1 - S_n)\bigr)^2}

мұндағы:

$S_n$ нормированная водонасыщенность образца (модель Кори), —
$k_{rw}^{*},\ k_{ro}^{*}$ ОФП в долях концевых значений образца, —
$n_w,\ n_o$ показатели Кори — наклоны прямых через начало координат в логарифмах, —
$S_{wi},\ S_{or},\ k_{rw}',\ k_{ro}'$ концевые точки самого образца, —

Бірліктер: безразмерная; суммы — по внутренним точкам образца

Мына жағдайда орындалады

в логарифмах модель Кори — прямая через начало координат: $\ln k_r^{*} = n\ln S_n$ ; метод наименьших квадратов для такой прямой даёт формулы выше;
точки у самых концов (малые $S_n$ или $1 - S_n$ ) сильнее искажены погрешностью концевых точек — их проверяют отдельно;
если модель Кори не описывает форму кривых, осредняют нормированные ОФП при одинаковых $S_n$ или берут более гибкую аппроксимацию.

Нормирование отделяет форму кривой (показатели) от её концов. Показатели осредняют по образцам типа породы, концевые точки связывают с проницаемостью или высотой над контактом — и каждая ячейка модели получает свои концы при общей форме.

Образцы типа породы 2: концевые точки опытов пропитки

№: 1
$k$ , мД; $\phi$: 22; 0,181
$S_{wi}$: 0,257
$S_{or}$: 0,262
$k_{ro}'$ ; $k_{rw}'$: 0,76; 0,20

№: 2
$k$ , мД; $\phi$: 41; 0,207
$S_{wi}$: 0,227
$S_{or}$: 0,248
$k_{ro}'$ ; $k_{rw}'$: 0,81; 0,23

№: 3
$k$ , мД; $\phi$: 66; 0,232
$S_{wi}$: 0,204
$S_{or}$: 0,236
$k_{ro}'$ ; $k_{rw}'$: 0,85; 0,26

№	$k$ , мД; $\phi$	$S_{wi}$	$S_{or}$	$k_{ro}'$ ; $k_{rw}'$
1	22; 0,181	0,257	0,262	0,76; 0,20
2	41; 0,207	0,227	0,248	0,81; 0,23
3	66; 0,232	0,204	0,236	0,85; 0,26

Тип породы 2 урока Качество коллектора: геологические факторы пористости и проницаемости: FZI образцов — 1,57; 1,69; 1,75 мкм. $S_{wi}$ — насыщенность после последней ступени мембраны; ОФП — в долях абсолютной проницаемости. Данные условные.

Стационарные опыты пропитки: внутренние точки

№: 1
$S_w$: 0,352
$k_{rw}$: 0,0009
$k_{ro}$: 0,462

№: 1
$S_w$: 0,451
$k_{rw}$: 0,0093
$k_{ro}$: 0,243

№: 1
$S_w$: 0,544
$k_{rw}$: 0,0342
$k_{ro}$: 0,103

№: 1
$S_w$: 0,643
$k_{rw}$: 0,0951
$k_{ro}$: 0,0215

№: 2
$S_w$: 0,334
$k_{rw}$: 0,0020
$k_{ro}$: 0,455

№: 2
$S_w$: 0,436
$k_{rw}$: 0,0144
$k_{ro}$: 0,229

№: 2
$S_w$: 0,543
$k_{rw}$: 0,0510
$k_{ro}$: 0,0800

№: 2
$S_w$: 0,645
$k_{rw}$: 0,1150
$k_{ro}$: 0,0151

№: 3
$S_w$: 0,317
$k_{rw}$: 0,0035
$k_{ro}$: 0,451

№: 3
$S_w$: 0,427
$k_{rw}$: 0,0214
$k_{ro}$: 0,206

№: 3
$S_w$: 0,541
$k_{rw}$: 0,0667
$k_{ro}$: 0,0640

№: 3
$S_w$: 0,653
$k_{rw}$: 0,1450
$k_{ro}$: 0,0090

№	$S_w$	$k_{rw}$	$k_{ro}$
1	0,352	0,0009	0,462
1	0,451	0,0093	0,243
1	0,544	0,0342	0,103
1	0,643	0,0951	0,0215
2	0,334	0,0020	0,455
2	0,436	0,0144	0,229
2	0,543	0,0510	0,0800
2	0,645	0,1150	0,0151
3	0,317	0,0035	0,451
3	0,427	0,0214	0,206
3	0,541	0,0667	0,0640
3	0,653	0,1450	0,0090

Пластовые флюиды при пластовой температуре. Данные условные.

Есептеу мысалыПоказатели Кори типа породы по трём образцам

Бастапқы деректер (шартты)

Образцы и точки: две таблицы выше
Задача: общие показатели $n_w$ и $n_o$ для типа породы 2

Шешім

Образец 2, точка $S_w$ = 0,436: $S_n = (0{,}436 - 0{,}227)/(1 - 0{,}227 - 0{,}248) = 0{,}209/0{,}525 = 0{,}3981$ ; $k_{rw}^{*} = 0{,}0144/0{,}23 = 0{,}0626$ ; $k_{ro}^{*} = 0{,}229/0{,}81 = 0{,}2827$ .
Одна эта точка дала бы $n_w = \ln 0{,}0626/\ln 0{,}3981 = 3{,}01$ и $n_o = \ln 0{,}2827/\ln(1 - 0{,}3981) = 2{,}49$ .
По всем четырём точкам каждого образца (формулы выше): $n_w$ = 3,349; 2,989 и 2,695; $n_o$ = 2,200; 2,505 и 2,809.
Тип породы: $n_w = (3{,}349 + 2{,}989 + 2{,}695)/3 = 3{,}011 \approx 3{,}01$ ; $n_o = 2{,}505 \approx 2{,}50$ .

Жауап: Для типа породы 2 приняты

n_w

= 3,01 и

n_o

= 2,50; нормированные точки всех образцов ложатся около этих кривых (рисунок ниже).

Бұл нені білдіреді. Разброс показателей не случаен: у менее проницаемого образца кривая воды круче ( $n_w$ больше), кривая нефти положе. При трёх образцах это осредняют; при большем числе образцов показатели, как и концевые точки, связывают с проницаемостью. Насколько важна точность: при $S_n$ = 0,5 показатели 3,349 и 2,695 дают $k_{rw}^{*}$ = 0,098 и 0,154 — в 1,6 раза больше. Данные примера условные.

ЕсептеуНормированные точки ОФП трёх образцов типа породы 2 и кривые Кори с принятыми показателями

n_w

= 3,01 и

n_o

= 2,50.

Концевые точки описывают отдельно — как функции свойств, известных в каждой ячейке. По трём образцам типа 2 неснижаемая вода и остаточная нефть убывают с ростом проницаемости; прямые в координатах $\lg k$ методом наименьших квадратов: $S_{wi} = 0{,}4061 - 0{,}1111\lg k$ , $S_{or} = 0{,}3352 - 0{,}0544\lg k$ ( $k$ в мД). Концевые ОФП с проницаемостью тоже растут ( $k_{ro}'$ от 0,76 до 0,85, $k_{rw}'$ от 0,20 до 0,26), но в примере их для простоты осреднили: 0,807 и 0,23 — у плотных ячеек это немного завышает концевые ОФП, у проницаемых занижает. Неснижаемую воду ячейки можно взять и из функции Леверетта на её высоте над контактом — следующий раздел.

Типы пород и функция Леверетта

Каждому типу породы модели назначают свой набор: нормированные ОФП, связи концевых точек со свойствами ячейки и функцию Леверетта для капиллярного давления. Тип ячейки берут из геологической модели (прогноз типов пород), а образцы относят к типам по тем же признакам, что и при типизации, — например, по FZI. Капиллярное давление образцов одного типа приводят к одной кривой функцией Леверетта (функция Леверетта), и обратно — по ней получают кривую для любой ячейки с её $k$ и $\phi$ .

Функция Леверетта типа породы и капиллярное давление ячейки

J = \frac{31{,}4\,p_c\sqrt{k/\phi}}{\sigma\cos\theta},\qquad S_w^{*} = \frac{S_w - S_{wirr}}{1 - S_{wirr}},\qquad J = J_d\,(S_w^{*})^{-b},\qquad p_c(S_w) = \frac{J\,\sigma\cos\theta}{31{,}4\sqrt{k/\phi}}

мұндағы:

$p_c$ капиллярное давление, МПа
$k,\ \phi$ проницаемость и пористость образца или ячейки, мД, д. ед.
$\sigma\cos\theta$ натяжение смачивания пары флюидов, мН/м
$S_{wirr}$ неснижаемая водонасыщенность образца или ячейки, —
$J_d,\ b$ параметры типа породы: $J$ давления входа и показатель степени, —

Бірліктер: метрические промысловые; $J$ безразмерна

Мына жағдайда орындалады

$31{,}4 = 10^6\sqrt{0{,}9869\cdot10^{-15}}/10^{-3}$ — постоянная функции Леверетта для МПа, мД и мН/м (урок о капиллярном давлении);
степенная форма — та же, что в примере урока о капиллярном давлении; её параметры подбирают по точкам методом наименьших квадратов в логарифмах;
кривая дренирования — для начального распределения флюидов; для расчёта заводнения нужна своя кривая пропитки.

Чем меньше $\sqrt{k/\phi}$ ячейки, тем выше её капиллярное давление при той же насыщенности и тем толще переходная зона. Деление на $\sigma\cos\theta$ позволяет переходить от лабораторных флюидов к пластовым.

Капилляриметрия образцов типа 2: водонасыщенность после каждой ступени давления

$p_c$ , кПа: 4
Образец 1: 1,000
Образец 2: 0,872
Образец 3: 0,723

$p_c$ , кПа: 8
Образец 1: 0,588
Образец 2: 0,471
Образец 3: 0,395

$p_c$ , кПа: 16
Образец 1: 0,374
Образец 2: 0,314
Образец 3: 0,277

$p_c$ , кПа: 32
Образец 1: 0,300
Образец 2: 0,259
Образец 3: 0,227

$p_c$ , кПа: 64
Образец 1: 0,267
Образец 2: 0,236
Образец 3: 0,212

$p_c$ , кПа: 128
Образец 1: 0,257
Образец 2: 0,227
Образец 3: 0,204

$p_c$ , кПа	Образец 1	Образец 2	Образец 3
4	1,000	0,872	0,723
8	0,588	0,471	0,395
16	0,374	0,314	0,277
32	0,300	0,259	0,227
64	0,267	0,236	0,212
128	0,257	0,227	0,204

Первичное дренирование на полупроницаемой мембране, пластовые нефть и вода при пластовой температуре, $\sigma\cos\theta$ = 25,98 мН/м (30 мН/м и 30°). Последняя ступень оставляет образец при $S_{wi}$ , с которой начат опыт пропитки. Данные условные.

Есептеу мысалыФункция Леверетта типа 2 и насыщенность ячейки

Бастапқы деректер (шартты)

Образцы: таблица выше; $\sigma\cos\theta$ = 25,98 мН/м
Ячейка модели: тип 2, $k$ = 36 мД, $\phi$ = 0,20; неснижаемая вода по тренду $S_{wi} = 0{,}4061 - 0{,}1111\lg 36 = 0{,}2332$
Флюиды в пласте: плотности воды и нефти 1,04 и 0,80 г/см³

Шешім

$J$ образца 2 при 8 кПа: $31{,}4\cdot0{,}008\cdot\sqrt{41/0{,}207}/25{,}98 = 31{,}4\cdot0{,}008\cdot14{,}074/25{,}98 = 0{,}1361$ . Его $S_{wirr}$ — насыщенность на последней ступени, 0,227, поэтому $S_w^{*} = (0{,}471 - 0{,}227)/(1 - 0{,}227) = 0{,}3157$ .
Так для всех ступеней. На последней ступени, 128 кПа, $S_w^{*} = 0$ по самому определению $S_{wirr}$ — эти точки в аппроксимацию не входят. Отбрасываем ещё точку образца 1 при 4 кПа (давление ниже давления входа, $S_w$ = 1) и точки при 64 кПа, где $S_w^{*}$ меньше 0,02: там нормированная насыщенность определяется в основном погрешностью $S_{wirr}$ . Из 18 точек остаётся 11.
Прямая $\ln J = \ln J_d - b\ln S_w^{*}$ по этим точкам: $J_d$ = 0,0614, $b$ = 0,680; средний разброс точек — 2 % по $J$ .
Масштаб давления ячейки: $\sigma\cos\theta/(31{,}4\sqrt{k/\phi}) = 25{,}98/(31{,}4\cdot13{,}416) = 0{,}06167$ МПа. Давление входа $0{,}0614\cdot0{,}06167 = 0{,}00379$ МПа (3,79 кПа); прирост капиллярного давления на метр $0{,}00981\cdot0{,}24 = 0{,}002354$ МПа/м, поэтому ВНК ячейки — в $0{,}00379/0{,}002354 = 1{,}61$ м над ЗСВ.
На высоте 10 м: $p_c = 0{,}02354$ МПа, $J = 0{,}02354/0{,}06167 = 0{,}3817$ , $S_w^{*} = (0{,}3817/0{,}0614)^{-1/0{,}680} = 0{,}0681$ , $S_w = 0{,}2332 + (1 - 0{,}2332)\cdot0{,}0681 = 0{,}285$ .
Последней ступени мембраны, 128 кПа, отвечает высота $0{,}128/0{,}002354 = 54$ м над ЗСВ.

Жауап: Функция типа 2:

J = 0{,}0614\,(S_w^{*})^{-0{,}680}

. В ячейке 36 мД ВНК лежит в 1,61 м над ЗСВ, а на высоте 10 м водонасыщенность 0,285.

Бұл нені білдіреді. Одна функция с разбросом в несколько процентов описала три образца с проницаемостью от 22 до 66 мД (рисунок ниже). Неснижаемая вода образцов — это насыщенность при наибольшем давлении опыта, то есть на высоте 54 м; если залежь выше, водонасыщенность у кровли получится экстраполяцией функции, и её сверяют с каротажем. Данные примера условные.

ЕсептеуФункция Леверетта типа породы 2: точки трёх образцов (использованные в аппроксимации) и степенная аппроксимация

J = 0{,}0614\,(S_w^{*})^{-0{,}680}

; шкала

J

логарифмическая.

Начальное равновесие и каротаж. Симулятор рассчитывает начальную насыщенность каждой ячейки по её высоте над зеркалом свободной воды и её кривой капиллярного давления (переходная зона). Полученный профиль сравнивают с водонасыщенностью по каротажу в скважинах (насыщенность по высоте). Если расхождение систематическое, ищут причину — уровень ЗСВ, тип породы, смачиваемость, — а не подгоняют каждую ячейку: в ряде симуляторов капиллярное давление ячейки можно растянуть так, чтобы точно воспроизвести каротаж, но тогда в ячейках с сильным растяжением кривая перестаёт быть физичной, и при разработке вода в них ведёт себя не так, как в пласте.

Масштабирование концевых точек и защемление

В одном типе породы неснижаемая вода и остаточная нефть меняются от ячейки к ячейке вместе с проницаемостью. Заводить таблицу на каждую ячейку не нужно: симулятор берёт таблицу типа породы и масштабирует её по концевым точкам ячейки (масштабирование концевых точек, end-point scaling). Для насыщенности ячейки он находит насыщенность таблицы с тем же положением между концевыми точками — при модели Кори это ровно та же нормированная насыщенность $S_n$ — и берёт значение оттуда.

Двухточечное масштабирование таблицы по концевым точкам ячейки

S_t = S_{wi,t} + (S_w - S_{wi})\,\frac{1 - S_{wi,t} - S_{or,t}}{1 - S_{wi} - S_{or}},\qquad k_{rw}(S_w) = k_{rw,t}(S_t)\,\frac{k_{rw}'}{k_{rw,t}'}

мұндағы:

$S_w,\ S_t$ водонасыщенность ячейки и соответствующая ей насыщенность таблицы, —
$S_{wi},\ S_{or}$ концевые насыщенности ячейки, —
$S_{wi,t},\ S_{or,t}$ концевые насыщенности таблицы типа породы, —
$k_{rw,t}(S_t)$ ОФП воды по таблице (линейная интерполяция между строками), —
$k_{rw}'/k_{rw,t}'$ вертикальное масштабирование концевого значения; для нефти — так же с $k_{ro}'$ , —

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

масштабирование горизонтальное — линейное отображение интервала $[S_{wi}, 1 - S_{or}]$ ячейки на интервал таблицы; трёхточечное добавляет промежуточную точку (например, $1 - S_{or}$ между критической и наибольшей водонасыщенностью) и отображает два участка отдельно;
концевые точки ячейки задают картами или связями со свойствами ячейки; капиллярное давление масштабируют согласованно — через функцию Леверетта;
форма кривой (показатели) при этом общая для типа породы.

Масштабирование сохраняет форму кривой и переносит её концы. Без него ячейки с разной неснижаемой водой получили бы одну таблицу, и в менее проницаемых ячейках вода оказалась бы подвижной уже при начальной насыщенности.

Защемление. Остаточная нефть после заводнения зависит от того, сколько нефти было в породе в начале. В переходной зоне начальная нефтенасыщенность меньше, чем в нефтяной части, и защемляется меньше нефти. Эту связь описывает эмпирическое соотношение Лэнда (Land) — его вывели для защемлённого газа и применяют и к нефти; в симуляторах оно входит в модели гистерезиса (история насыщения).

Соотношение Лэнда: защемлённая насыщенность несмачивающей фазы

S_{or}^{*} = \frac{S_{oi}^{*}}{1 + C\,S_{oi}^{*}},\qquad S^{*} = \frac{S}{1 - S_{wi}},\qquad C = \frac{1}{S_{or,\max}^{*}} - \frac{1}{S_{oi,\max}^{*}}

мұндағы:

$S_{oi}^{*},\ S_{or}^{*}$ начальная и остаточная (защемлённая) нефтенасыщенность в долях порового объёма, не занятого неснижаемой водой, —
$C$ коэффициент Лэнда: чем он больше, тем меньше защемляется, —
$S_{or,\max}^{*}$ защемлённая нефть при наибольшей начальной нефтенасыщенности $S_{oi,\max}^{*}$ ; в нефтяной части $S_{oi,\max}^{*} = 1$ , —

Бірліктер: доли единицы

Мына жағдайда орындалады

эмпирическая связь; $C$ подбирают по опытам пропитки при разной начальной насыщенности или по одной паре концевых точек;
для газа — то же с $S_{gi}^{*}$ и $S_{gr}^{*}$ : защемлённый газ при вторжении воды в газовую шапку, при попеременной закачке воды и газа, в подземных хранилищах.

При малой начальной насыщенности почти вся несмачивающая фаза защемляется ( $S_{or}^{*} \approx S_{oi}^{*}$ ); с ростом начальной насыщенности защемлённая растёт всё медленнее и при $S_{oi}^{*} = 1$ равна $1/(1 + C) = S_{or,\max}^{*}$ .

Есептеу мысалыКонцевые точки двух ячеек и переходная зона

Бастапқы деректер (шартты)

Таблица типа 2: построена для ячейки 36 мД: $S_{wi}$ = 0,2332, $S_{or}$ = 0,2505 (таблица в последнем разделе)
Ячейка поплотнее: 15 мД, $\phi$ = 0,17 — чуть ниже диапазона образцов, то есть экстраполяция трендов
Ячейка 36 мД в переходной зоне: начальная водонасыщенность 0,45 (около 3,8 м над ЗСВ)

Шешім

Концевые точки ячейки 15 мД: $S_{wi} = 0{,}4061 - 0{,}1111\lg 15 = 0{,}2754$ ; $S_{or} = 0{,}3352 - 0{,}0544\lg 15 = 0{,}2712$ .
Её насыщенность 0,45 в таблице: $S_n = (0{,}45 - 0{,}2754)/(1 - 0{,}2754 - 0{,}2712) = 0{,}3851$ , $S_t = 0{,}2332 + 0{,}3851\cdot(1 - 0{,}2332 - 0{,}2505) = 0{,}4320$ .
$k_{rw}$ по таблице — между строками 0,40 (0,0077) и 0,45 (0,0169): $0{,}0077 + (0{,}4320 - 0{,}40)/0{,}05\cdot(0{,}0169 - 0{,}0077) = 0{,}0136$ ; по модели Кори с концевыми точками ячейки — 0,0130.
Капиллярное давление ячейки при 0,45 — та же функция Леверетта с её $k$ и $\phi$ : масштаб $25{,}98/(31{,}4\sqrt{15/0{,}17}) = 0{,}08808$ МПа против 0,06167 МПа у ячейки 36 мД; $S_w^{*} = (0{,}45 - 0{,}2754)/(1 - 0{,}2754) = 0{,}2410$ , $p_c = 0{,}08808\cdot0{,}0614\cdot0{,}2410^{-0{,}680} = 0{,}01423$ МПа, или 14,2 кПа: водонасыщенность 0,45 у неё на высоте $0{,}01423/0{,}002354 = 6{,}0$ м над ЗСВ, а не 3,8 м.
Защемление в ячейке 36 мД: $C = (1 - 0{,}2332)/0{,}2505 - 1 = 2{,}0611$ ; $S_{oi}^{*} = 0{,}55/(1 - 0{,}2332) = 0{,}7173$ ; $S_{or}^{*} = 0{,}7173/(1 + 2{,}0611\cdot0{,}7173) = 0{,}2894$ ; $S_{or} = 0{,}2894\cdot(1 - 0{,}2332) = 0{,}2219$ .

Жауап: Ячейка 15 мД берёт из таблицы значения при насыщенности 0,4320 вместо 0,45; в переходной зоне ячейки 36 мД после заводнения останется 0,2219 нефти, а не 0,2505.

Бұл нені білдіреді. Две поправки к одной таблице меняют подвижные запасы: в переходной зоне вытесняемая нефть — $0{,}55 - 0{,}2219 = 0{,}3281$ порового объёма вместо $0{,}55 - 0{,}2505 = 0{,}2995$ , на 10 % больше. Интерполяция по таблице дала $k_{rw}$ на 5 % выше точного: строки через 0,05 у малых насыщенностей грубоваты — там, где кривая круче, строки ставят чаще. Данные примера условные.

Гистерезис в модели. Если насыщенность в ячейке меняет направление — вода сначала поднялась, потом отступила, газ закачивают и отбирают попеременно, — ячейка идёт по промежуточным, сканирующим кривым. Симуляторы строят их по кривым дренирования и пропитки и по соотношению Лэнда; распространённые модели для несмачивающей фазы носят имена Киллоу и Карлсона (Killough, Carlson). Для заводнения гидрофильного пласта без смены направлений гистерезис обычно не нужен — достаточно кривых пропитки; для газа он часто решает прогноз.

ЕсептеуКривые ОФП ячейки 36 мД (таблица типа 2) и те же кривые, перенесённые масштабированием на ячейку 15 мД (штриховые): форма общая, концевые точки сдвинуты.

Три фазы: модели Стоуна

Когда в ячейке подвижны вода, нефть и газ — в зоне выделения газа под заводнением, при закачке газа после воды, при попеременной закачке, — нужна ОФП нефти как функция двух насыщенностей. Измерять её почти не удаётся, и симулятор рассчитывает её по двум двухфазным таблицам: вода — нефть (при отсутствии газа) и газ — нефть (при неснижаемой воде). Для гидрофильной породы принимают, что ОФП воды зависит только от $S_w$ , газа — только от $S_g$ , а для нефти используют интерполяционные модели, из которых самые распространённые — модели Стоуна (Stone) первая и вторая (три подвижные фазы).

Вторая модель Стоуна для ОФП нефти (нормированная форма)

k_{ro} = k_{rocw}\left[\left(\frac{k_{row}}{k_{rocw}} + k_{rw}\right)\left(\frac{k_{rog}}{k_{rocw}} + k_{rg}\right) - (k_{rw} + k_{rg})\right]

мұндағы:

$k_{row}(S_w),\ k_{rw}(S_w)$ ОФП нефти и воды из таблицы вода — нефть при водонасыщенности ячейки, —
$k_{rog}(S_g),\ k_{rg}(S_g)$ ОФП нефти и газа из таблицы газ — нефть (при неснижаемой воде) при газонасыщенности ячейки, —
$k_{rocw}$ ОФП нефти при неснижаемой воде и без газа — общая концевая точка обеих таблиц, —

Бірліктер: доли единицы

Мына жағдайда орындалады

гидрофильная порода: вода в мелких порах, газ в крупных, нефть между ними;
отрицательный результат приравнивают нулю — так модель задаёт остаточную нефть трёхфазного вытеснения;
$k_{rocw}$ в обеих двухфазных таблицах должна совпадать, иначе при $S_g \to 0$ или $S_w \to S_{wi}$ модель не возвращается к двухфазным кривым.

Если газа нет ( $k_{rog} = k_{rocw}$ , $k_{rg} = 0$ ), формула даёт $k_{row}$ ; если вода неснижаемая ( $k_{row} = k_{rocw}$ , $k_{rw} = 0$ ) — $k_{rog}$ . Первая модель Стоуна вместо этого перемножает нормированные множители и требует задать наименьшую остаточную нефть трёхфазного вытеснения. Выбор модели заметно меняет прогноз попеременной закачки воды и газа, поэтому его проверяют по опытам или истории разработки.

Таблица для симулятора и её проверка

Симулятор получает кривые таблицами: для пары вода — нефть — строки водонасыщенности с $k_{rw}$ , $k_{ro}$ и $p_c$ , для пары газ — нефть — строки газонасыщенности. Между строками значения интерполируются линейно, поэтому строки ставят гуще там, где кривые круче: у неснижаемой воды для капиллярного давления и ОФП воды, у остаточной нефти — для ОФП нефти. Концевые точки таблицы имеют свой смысл:

Первая строка, $S_{wc}$: наименьшая водонасыщенность в таблице — связанная вода, к которой модель приводит ячейки высоко над контактом. Капиллярное давление в этой строке задают не меньше, чем на кровле залежи: тогда вся высота залежи лежит внутри таблицы, и насыщенность по высоте определяют её строки, а не обрезка на $S_{wc}$ .
Критическая водонасыщенность $S_{wcr}$: последняя строка, где $k_{rw} = 0$ ; выше неё вода подвижна. Если $S_{wcr}$ меньше начальной насыщенности ячеек над переходной зоной, вода в них окажется подвижной с первого дня.
$1 - S_{or}$: строка, с которой $k_{ro} = 0$ и $k_{rw} = k_{rw}'$ .
Строка $S_w = 1$: для ячеек водоносной части, где нефти нет: по определению $k_{rw} = 1$ в долях абсолютной проницаемости, а $p_c$ — давление входа. Без неё приток законтурной воды пойдёт с $k_{rw}' < 1$ и окажется заниженным.

Есептеу мысалыТаблица для ячейки типа 2

Бастапқы деректер (шартты)

Ячейка: тип 2, $k$ = 36 мД, $\phi$ = 0,20
Тип породы: $n_w$ = 3,01, $n_o$ = 2,50; $k_{ro}'$ = 0,807, $k_{rw}'$ = 0,23; тренды концевых точек и $J = 0{,}0614\,(S_w^{*})^{-0{,}680}$ — из примеров выше
Залежь: кровля в 50 м над ЗСВ; разность плотностей воды и нефти 0,24 г/см³

Шешім

Концевые точки: $S_{wi} = 0{,}4061 - 0{,}1111\cdot1{,}5563 = 0{,}2332$ , $S_{or} = 0{,}3352 - 0{,}0544\cdot1{,}5563 = 0{,}2505$ ; подвижный интервал $1 - 0{,}2332 - 0{,}2505 = 0{,}5163$ .
Строка $S_w$ = 0,45: $S_n = (0{,}45 - 0{,}2332)/0{,}5163 = 0{,}4199$ ; $k_{rw} = 0{,}23\cdot0{,}4199^{3{,}01} = 0{,}0169$ ; $k_{ro} = 0{,}807\cdot(1 - 0{,}4199)^{2{,}50} = 0{,}2068$ .
Её капиллярное давление: $S_w^{*} = (0{,}45 - 0{,}2332)/(1 - 0{,}2332) = 0{,}2827$ ; $p_c = 0{,}06167\cdot0{,}0614\cdot0{,}2827^{-0{,}680} = 0{,}00894$ МПа, или 8,94 кПа.
Первая строка — $S_{wi}$ с давлением на кровле: $0{,}00981\cdot0{,}24\cdot50 = 0{,}1177$ МПа, или 117,7 кПа; последние — $1 - S_{or}$ = 0,7495 ( $k_{ro}$ = 0, $k_{rw}$ = 0,23) и $S_w$ = 1 ( $k_{rw}$ = 1, $p_c$ — давление входа 3,79 кПа).
Проверки: насыщенности растут, $k_{rw}$ не убывает, $k_{ro}$ и $p_c$ не растут — 4 из 4 выполнены. На высоте 10 м таблица даёт по интерполяции между строками 0,27 и 0,30 водонасыщенность 0,289 против 0,285 по функции Леверетта.

Жауап: Таблица из 15 строк (ниже) монотонна и согласована с функцией Леверетта: на высоте 10 м начальная водонасыщенность по ней отличается от точной на 0,004.

Бұл нені білдіреді. Строки 0,24; 0,25 и 0,27 добавлены ради капиллярного давления: между 0,2332 и 0,30 оно падает почти вшестеро, и без них верхняя часть переходной зоны получила бы при инициализации заметно больше воды — на высоте 20 м 0,281 вместо 0,252. Остаточная нефть 0,2505 и концевые ОФП в таблице — те же, что войдут в масштабирование других ячеек; их согласованность с начальной насыщенностью проверяет простой расчёт без скважин: в правильно инициализированной модели за год ничего не должно сдвинуться. Данные примера условные.

Таблица вода — нефть для ячейки типа 2 (36 мД)

$S_w$: 0,2332
$k_{rw}$: 0
$k_{ro}$: 0,8070
$p_c$ , кПа: 117,7

$S_w$: 0,2400
$k_{rw}$: 0,000001
$k_{ro}$: 0,7807
$p_c$ , кПа: 94,1

$S_w$: 0,2500
$k_{rw}$: 0,000008
$k_{ro}$: 0,7429
$p_c$ , кПа: 50,9

$S_w$: 0,2700
$k_{rw}$: 0,000081
$k_{ro}$: 0,6708
$p_c$ , кПа: 29,9

$S_w$: 0,3000
$k_{rw}$: 0,000488
$k_{ro}$: 0,5707
$p_c$ , кПа: 19,9

$S_w$: 0,3500
$k_{rw}$: 0,0026
$k_{ro}$: 0,4250
$p_c$ , кПа: 13,6

$S_w$: 0,4000
$k_{rw}$: 0,0077
$k_{ro}$: 0,3043
$p_c$ , кПа: 10,7

$S_w$: 0,4500
$k_{rw}$: 0,0169
$k_{ro}$: 0,2068
$p_c$ , кПа: 8,9

$S_w$: 0,5000
$k_{rw}$: 0,0315
$k_{ro}$: 0,1310
$p_c$ , кПа: 7,8

$S_w$: 0,5500
$k_{rw}$: 0,0529
$k_{ro}$: 0,0749
$p_c$ , кПа: 6,9

$S_w$: 0,6000
$k_{rw}$: 0,0822
$k_{ro}$: 0,0364
$p_c$ , кПа: 6,3

$S_w$: 0,6500
$k_{rw}$: 0,1207
$k_{ro}$: 0,0132
$p_c$ , кПа: 5,7

$S_w$: 0,7000
$k_{rw}$: 0,1698
$k_{ro}$: 0,0023
$p_c$ , кПа: 5,3

$S_w$: 0,7495
$k_{rw}$: 0,2300
$k_{ro}$: 0
$p_c$ , кПа: 5,0

$S_w$: 1,0000
$k_{rw}$: 1,0000
$k_{ro}$: 0
$p_c$ , кПа: 3,8

$S_w$	$k_{rw}$	$k_{ro}$	$p_c$ , кПа
0,2332	0	0,8070	117,7
0,2400	0,000001	0,7807	94,1
0,2500	0,000008	0,7429	50,9
0,2700	0,000081	0,6708	29,9
0,3000	0,000488	0,5707	19,9
0,3500	0,0026	0,4250	13,6
0,4000	0,0077	0,3043	10,7
0,4500	0,0169	0,2068	8,9
0,5000	0,0315	0,1310	7,8
0,5500	0,0529	0,0749	6,9
0,6000	0,0822	0,0364	6,3
0,6500	0,1207	0,0132	5,7
0,7000	0,1698	0,0023	5,3
0,7495	0,2300	0	5,0
1,0000	1,0000	0	3,8

ОФП пропитки в долях абсолютной проницаемости; капиллярное давление дренирования — для начального распределения; первая строка — давление на кровле залежи (50 м над ЗСВ), последняя — водоносная часть. Данные условные.

Проверки перед расчётом

1
Монотонность
Насыщенность растёт по строкам, $k_{rw}$ не убывает, $k_{ro}$ и $p_c$ не растут; повторяющихся насыщенностей нет.
2
Концевые точки
$k_{rw} = 0$ до $S_{wcr}$ , $k_{ro} = 0$ с $1 - S_{or}$ ; $k_{ro}$ в первой строке совпадает с $k_{rocw}$ таблицы газ — нефть; есть строка $S_w = 1$ для водоносной части.
3
Масштабирование
Концевые точки ячеек лежат в физических пределах ( $S_{wi} + S_{or} < 1$ ), согласованы с начальной насыщенностью и между собой по картам.
4
Начальное равновесие
Профиль насыщенности по высоте сравнивают с каротажем; модель без скважин должна оставаться в покое — перетоки после инициализации означают несогласованность таблиц, контактов или масштабирования.
5
Чувствительность
Показатели и концевые точки — главные «ручки» неопределённости (модель Кори); их варианты задают по разбросу образцов, а не подбирают произвольно при адаптации (Адаптация модели к истории разработки).

Терминдер мен белгілер

SCAL: специальные исследования керна: капиллярное давление, ОФП, смачиваемость и другие опыты на немногих отобранных образцах.
Концевой эффект: накопление смачивающей фазы у выходного торца образца, где капиллярное давление равно нулю; искажает концевые точки и ОФП.
Метод JBN: обработка нестационарного опыта: ОФП на выходном торце по производным добычи и относительной приёмистости.
Нормирование кривых: перевод ОФП в координаты $S_n$ и $k_r/k_r'$ , где концевые точки у всех образцов одинаковы.
Масштабирование концевых точек: перенос таблицы типа породы на ячейку с другими $S_{wi}$ , $S_{or}$ , $k_r'$ при той же форме кривых.
Коэффициент Лэнда $C$: параметр связи защемлённой и начальной насыщенности несмачивающей фазы.
$S_{wc}$ , $S_{wcr}$: связанная водонасыщенность (первая строка таблицы) и критическая — наибольшая, при которой вода ещё неподвижна.
Модели Стоуна: схемы расчёта трёхфазной ОФП нефти по двухфазным таблицам вода — нефть и газ — нефть.

Жиі қателіктер

Қате

«Средняя кривая типа породы — среднее ОФП образцов при одной и той же водонасыщенности».

Шын мәнінде

Так смешиваются кривые с разными концевыми точками: средняя начнётся с наименьшей $S_{wi}$ , закончится при наибольшей $1 - S_{or}$ и будет положе любой из исходных. Осредняют в нормированных координатах, а концевые точки описывают отдельно.

Қате

«Неснижаемая вода образца — это неснижаемая вода пласта».

Шын мәнінде

Это насыщенность при наибольшем давлении опыта, а если её получили прокачкой нефти — ещё и завышенная концевым эффектом. В примере урока последняя ступень мембраны 128 кПа отвечает высоте около 54 м над зеркалом свободной воды; выше неё насыщенность — экстраполяция, и её сверяют с каротажем.

Қате

«Нестационарный опыт даёт всю кривую ОФП».

Шын мәнінде

Только после прорыва — от насыщенности на фронте до $1 - S_{or}$ . В примере урока это насыщенности выше 0,604; весь нижний участок берут из стационарного опыта или расчёта опыта на сетке.

Қате

«Если симулятор принял таблицу, она правильная».

Шын мәнінде

Программа проверит формат, но не физику: немонотонную строку, $k_{rw}' < 1$ при $S_w = 1$ , несогласованные концевые точки обеих таблиц, $p_c$ первой строки ниже давления на кровле. Таблицу проверяют по списку и расчётом без скважин.

Толық: тереңдетілген

Откуда формулы JBN

За фронтом каждая насыщенность движется со скоростью, пропорциональной $f_w'(S)$ (уравнение продвижения), поэтому в безразмерной координате $x_D = x/L$ после закачки $W_i$ поровых объёмов насыщенность $S$ находится в точке $x_D = W_if_w'(S)$ ; на выходе $f_w'(S_{w2}) = 1/W_i$ . Перепад давления при постоянном расходе — сумма сопротивлений по длине: $\Delta p = \dfrac{q\mu_oL}{kA}\int_0^1\dfrac{\dd x_D}{\lambda_r}$ , где $\lambda_r = k_{ro} + k_{rw}\mu_o/\mu_w$ — суммарная подвижность в единицах нефти.

В начале опыта $\lambda_r = k_{ro}'$ , поэтому $1/I_r = \Delta p/\Delta p_0 = k_{ro}'\int_0^1\dd x_D/\lambda_r$ . Заменим переменную: $u = x_D/W_i = f_w'(S)$ меняется от 0 у входа до $1/W_i$ на выходе, и $\dfrac{1}{W_iI_r} = k_{ro}'\int_0^{1/W_i}\dfrac{\dd u}{\lambda_r(u)}$ . Производная по верхнему пределу даёт $\dd\bigl(1/(W_iI_r)\bigr)/\dd(1/W_i) = k_{ro}'/\lambda_r(S_{w2})$ . Наконец, доля нефти на выходе $f_{o2} = k_{ro}/\lambda_r$ , откуда $k_{ro}(S_{w2})/k_{ro}' = f_{o2}\big/\bigl[\dd(1/(W_iI_r))/\dd(1/W_i)\bigr]$ — формула основного раздела. Доля нефти и насыщенность на выходе — формулы Уэлджа.

Капиллярное давление по центрифуге

В образце, вращающемся с угловой скоростью $\omega$ , центробежная сила создаёт разность давлений фаз, растущую к оси вращения. У внешнего торца (радиус $r_2$ ) капиллярное давление считают нулевым — за ним фазы свободно разделяются, — у внутреннего (радиус $r_1$ ) оно наибольшее:

Капиллярное давление на внутреннем торце и насыщенность там (метод Хасслера — Бруннера)

p_{cL} = \tfrac12\,\Delta\rho\,\omega^2\left(r_2^2 - r_1^2\right),\qquad S_L = \frac{\dd\,(p_{cL}\,\bar S)}{\dd p_{cL}} = \bar S + p_{cL}\,\frac{\dd\bar S}{\dd p_{cL}}

мұндағы:

$p_{cL}$ капиллярное давление на внутреннем торце, Па
$\Delta\rho$ разность плотностей фаз, кг/м³
$\omega$ угловая скорость, $2\pi n/60$ при $n$ оборотах в минуту, рад/с
$r_1,\ r_2$ расстояния от оси до внутреннего и внешнего торцов образца, м
$\bar S,\ S_L$ средняя насыщенность образца (по вытекшему объёму) и насыщенность на внутреннем торце, —

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

на каждой скорости вращения достигнуто равновесие; на внешнем торце $p_c = 0$ ;
поле центробежной силы по длине образца считают однородным — допустимо для коротких образцов ( $r_1/r_2$ не меньше примерно 0,7); иначе применяют более точные решения;
производную берут по сглаженной зависимости $\bar S(p_{cL})$ , построенной по ступеням скорости.

Каждая скорость вращения даёт точку $(p_{cL}, S_L)$ кривой капиллярного давления. Например, для образца длиной 2,5 см при 3000 об/мин, $r_2$ = 8,5 см, $r_1$ = 6,0 см ( $r_1/r_2 \approx 0{,}71$ ) и $\Delta\rho$ = 250 кг/м³: $\omega = 314{,}2$ рад/с и $p_{cL} = 0{,}5\cdot250\cdot314{,}2^2\cdot(0{,}085^2 - 0{,}060^2) \approx 45$ кПа.

Басқа тақырыптармен байланыс

Относительная проницаемость — кривые ОФП, концевые точки, модель Кори и методы измерения.
Капиллярное давление и переходная зона — лабораторные методы, пересчёт к пласту, функция Леверетта и переходная зона.
Смачиваемость и межфазные явления — восстановление смачиваемости керна и индексы Амотта и USBM.
Лабораторный анализ керна — отбор, сохранность и подготовка керна, стандартный и специальный анализ.
Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа — формулы Уэлджа, на которых держится обработка нестационарного опыта.
Качество коллектора: геологические факторы пористости и проницаемости — типы пород, по которым назначают кривые.
Насыщенность пласта флюидами — насыщенность по высоте и её сравнение с каротажем.
Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции — псевдофункции для крупных ячеек.
Адаптация модели к истории разработки — почему ОФП не подбирают произвольно при адаптации.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Какие кривые нужны модели гидрофильного пласта, который сначала инициализируют, а затем заводняют?
1. А.Дренирования для всего
2. Б.Капиллярное давление дренирования для начальной насыщенности и ОФП пропитки для заводнения
3. В.Пропитки для всего
4. Г.Любые, если они измерены на керне этого пласта
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. Капиллярное давление дренирования для начальной насыщенности и ОФП пропитки для заводнения
Начальное распределение сложилось, когда нефть вытесняла воду, — это дренирование. Заводнение гидрофильного пласта — пропитка: вода вытесняет нефть, и ОФП нефти при этом ниже, чем при дренировании.
2
У образца $S_{wi}$ = 0,25, $S_{or}$ = 0,30, $k_{rw}'$ = 0,30; при $S_w$ = 0,50 замерено $k_{rw}$ = 0,045. Оцените показатель Кори $n_w$ по этой точке.
Жауабын көрсету
$S_n = (0{,}50 - 0{,}25)/(1 - 0{,}25 - 0{,}30) = 0{,}25/0{,}45 \approx 0{,}556$ ; $k_{rw}^{*} = 0{,}045/0{,}30 = 0{,}15$ ; $n_w = \ln0{,}15/\ln0{,}556 = -1{,}897/(-0{,}587) \approx 3{,}2$ . По одной точке оценка грубая; по образцу берут все точки, а по типу породы — несколько образцов.
3
Таблица построена для $S_{wi}$ = 0,20 и $S_{or}$ = 0,25. Ячейка с $S_{wi}$ = 0,30 и $S_{or}$ = 0,25 имеет водонасыщенность 0,50. При какой насыщенности симулятор возьмёт значения из таблицы при двухточечном масштабировании?
Жауабын көрсету
$S_n = (0{,}50 - 0{,}30)/(1 - 0{,}30 - 0{,}25) = 0{,}20/0{,}45 \approx 0{,}444$ ; $S_t = 0{,}20 + 0{,}444\cdot(1 - 0{,}20 - 0{,}25) = 0{,}20 + 0{,}444\cdot0{,}55 \approx 0{,}444$ . Без масштабирования ячейка получила бы значения при 0,50 — с заметно большей ОФП воды.
4
При $S_{wi}$ = 0,20 наибольшая остаточная нефть 0,30. Сколько нефти защемится по соотношению Лэнда в ячейке переходной зоны с начальной нефтенасыщенностью 0,40?
Жауабын көрсету
$C = (1 - 0{,}20)/0{,}30 - 1 \approx 1{,}667$ ; $S_{oi}^{*} = 0{,}40/0{,}80 = 0{,}5$ ; $S_{or}^{*} = 0{,}5/(1 + 1{,}667\cdot0{,}5) = 0{,}5/1{,}833 \approx 0{,}273$ ; $S_{or} = 0{,}273\cdot0{,}80 \approx 0{,}22$ . Вытеснить можно $0{,}40 - 0{,}22 = 0{,}18$ , а с постоянной $S_{or}$ = 0,30 получилось бы всего 0,10.
5
Опыт пропитки на образце смешанной смачиваемости повторили при вдвое меньшем расходе, и остаточная нефтенасыщенность «выросла» с 0,27 до 0,31, а прорыв воды наступил позже. Что это скорее всего?
1. А.Концевой эффект: при меньшем расходе его зона у выхода длиннее
2. Б.Смачиваемость изменилась
3. В.Погрешность замера вязкости
4. Г.Нормальный разброс, кривые можно осреднить
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Концевой эффект: при меньшем расходе его зона у выхода длиннее
Зависимость от расхода — главный признак капиллярной составляющей. Зона у выхода, где капиллярное давление стремится к нулю, растёт с уменьшением расхода: прорыв запаздывает, а в образце смешанной смачиваемости там остаётся больше нефти, и остаточная нефтенасыщенность, отнесённая к образцу в целом, завышается. Такие опыты обрабатывают с учётом капиллярного давления или повторяют на более длинных образцах.
6
По второй модели Стоуна найдите ОФП нефти, если $k_{rocw}$ = 0,80, $k_{row}$ = 0,30, $k_{rw}$ = 0,05, $k_{rog}$ = 0,40, $k_{rg}$ = 0,10.
Жауабын көрсету
$k_{ro} = 0{,}80\,[(0{,}30/0{,}80 + 0{,}05)(0{,}40/0{,}80 + 0{,}10) - (0{,}05 + 0{,}10)] = 0{,}80\,[0{,}425\cdot0{,}60 - 0{,}15] = 0{,}80\cdot0{,}105 = 0{,}084$ — меньше обеих двухфазных ОФП нефти (0,30 и 0,40): присутствие и воды, и газа отнимает у нефти пути.

Жаңартылған: 16 октября 2026 г.