Кітапхана әзірге орыс тілінде. Ағылшын және қазақ тілдеріндегі нұсқалары кейінірек қосылады.

МоделированиеРемасштабирование и петрофизика Тереңдетілген 22 мин оқу

Ремасштабирование двухфазного потока: псевдофункции

Ремасштабирование двухфазного потока (two-phase upscaling) — перенос на крупную сетку не только проницаемости, но и того, как внутри крупной ячейки распределяются и движутся две фазы. Крупной ячейке задают псевдофункции (pseudo functions, pseudos) — псевдоотносительные проницаемости $\hat k_{rw}$ , $\hat k_{ro}$ и псевдокапиллярное давление $\hat p_c$ как функции её средней насыщенности $\hat S_w$ — такие, чтобы крупная модель пропускала между ячейками те же расходы воды и нефти, что и детальная. Псевдофункции — свойство не породы, а сочетания «ячейка, неоднородность внутри неё, режим течения и сетка».

Не үшін қажет

Ремасштабирование проницаемости сохраняет однофазный поток, но не вытеснение. Внутри крупной ячейки вода уходит вперёд по проницаемым прослоям, капиллярные силы затягивают её в плотные, сила тяжести опускает к подошве, а сама сетка размывает фронт. Крупная ячейка с кривыми керна этого не видит: в примере урока она даёт первую воду в 2,6 раза позже детальной модели и завышает добычу. Псевдофункции переносят поведение детальной модели на крупную сетку — но только для тех условий, при которых их получили, поэтому важно понимать, как их рассчитывают и где они перестают работать.

Алдымен оқыңыз:Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке Относительная проницаемость

Қысқаша негізгісі

Псевдо-ОФП определяют через фазовые проницаемости: $\hat k_{rf} = \hat k_f/k^{*}$ — эквивалентная проницаемость крупной ячейки для фазы $f$ , делённая на однофазную эквивалентную проницаемость в том же направлении. Даже при одинаковых ОФП керна псевдо-ОФП зависят от направления.
Стационарные методы сводят двухфазную задачу к однофазным: в пределе капиллярного равновесия (медленное течение, малые масштабы) капиллярное давление одинаково во всей ячейке, в вязкостном пределе одинакова доля воды в потоке. Если кривые ОФП всех мелких ячеек одинаковы, вязкостный предел возвращает кривые керна.
Динамические методы берут насыщенность, расходы фаз и давления из расчёта вытеснения на мелкой сетке. Метод Кайта–Берри осредняет давления центрального столбца с весом $k\,k_{rf}h$ и берёт расходы на выходной грани блока; метод осреднения по поровому объёму (PVW) осредняет давление по всему блоку.
Расход на выходной грани компенсирует численную дисперсию: пока вода не дошла до грани, $\hat k_{rw} = 0$ , сколько бы её ни было в блоке. В слоистом разрезе сильнее другое: вода проходит блок по лучшему прослою, и при той же средней насыщенности $\hat k_{rw}$ во много раз больше, чем по керну.
Разные веса давлений нефти и воды создают ложное псевдокапиллярное давление даже там, где на мелкой сетке капиллярного давления нет; осреднение по поровому объёму этого не делает.
Псевдофункции привязаны к соотношению сил (темпу закачки), граничным условиям расчёта, расположению скважин, направлению потока и самой крупной сетке. Их проверяют сравнением мелкой и крупной моделей в условиях, отличных от тех, по которым их получили.

Негізгі қатынастар

\hat k_{rf} = \dfrac{\hat k_f}{k^{*}},\qquad \hat S_w = \dfrac{\sum V_i\phi_iS_{w,i}}{\sum V_i\phi_i}

псевдо-ОФП фазы $f$ и насыщенность крупной ячейки

\hat k_{rf} = \dfrac{\mu_f\,q_f\,\Delta x}{0{,}0853\,k^{*}A\,\Delta\bar p_f}

динамические псевдо-ОФП — закон Дарси между центрами блоков, метрические промысловые единицы

\bar p_f = \dfrac{\sum_j k_jk_{rf,j}h_j\,p_{f,j}}{\sum_j k_jk_{rf,j}h_j}

давление фазы в центральном столбце блока по Кайту–Берри (горизонтальный пласт)

N_{cv} = \dfrac{k_v\,k_{ro}'\,\Delta p_c\,L}{\mu_o\,u\,H^2}

отношение времени прохождения ячейки ко времени капиллярного выравнивания поперёк слоёв

Жиі қателіктер

Считать, что верная однофазная проницаемость гарантирует верный расчёт вытеснения.
Переносить псевдофункции на другой темп закачки, другую сетку, другие скважины или другое направление потока без проверки.
Брать псевдо-ОФП Кайта–Берри без их псевдокапиллярного давления и не проверять таблицы на отрицательные и бесконечные значения.
Учесть в псевдофункциях численную дисперсию одной сетки, а потом измельчить сетку, оставив те же таблицы.
Применять предел капиллярного равновесия к ячейкам с прослоями толщиной в метры при пластовом темпе закачки.

Сабақтан кейін сіз

объяснить, почему крупной ячейке недостаточно эквивалентной проницаемости и кривых ОФП керна: неоднородность внутри ячейки, численная дисперсия, сила тяжести и капиллярные силы;
записать определение псевдо-ОФП через фазовые проницаемости и рассчитать стационарные псевдофункции в пределе капиллярного равновесия и в вязкостном пределе;
рассчитать динамические псевдо-ОФП методами Кайта–Берри и осреднения по поровому объёму по расчёту на мелкой сетке и объяснить, откуда берётся ложное псевдокапиллярное давление;
сравнить расчёт на мелкой сетке с расчётами на крупной сетке с кривыми керна, с разными псевдофункциями и на неравномерной сетке и оценить ошибку каждого подхода;
перечислить условия, при которых псевдофункции теряют силу — темп закачки, граничные условия, расположение скважин, направление потока, сетка, — и проверить их перед использованием.

Почему крупной ячейке мало эквивалентной проницаемости

Однофазное ремасштабирование подбирает каждой крупной ячейке эквивалентную проницаемость $k^{*}$ так, чтобы она пропускала тот же однофазный поток, что и мелкие ячейки внутри неё (Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке). При заводнении этого мало: крупная модель знает только среднюю насыщенность ячейки, а доля воды, которую ячейка отдаёт соседке, зависит от того, где внутри неё находится вода. На это распределение действуют три причины.

Неоднородность внутри ячейки. Вода быстрее идёт по проницаемым прослоям и выходит из ячейки, когда большая часть её объёма ещё нефтенасыщена. По кривым керна ячейка с такой средней насыщенностью почти не пропускала бы воду (Вытеснение в неоднородных пластах).
Численная дисперсия. Крупная ячейка «перемешивает» поступившую воду по всему объёму и отдаёт её соседке, как только средняя насыщенность выросла: фронт размывается на одну-две ячейки, то есть на сотни метров (Численная дисперсия).
Сила тяжести и капиллярные силы. Вода опускается к подошве (Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение), а капиллярная пропитка затягивает её в плотные прослои и слойки (Капиллярное давление и переходная зона). Как распределятся фазы, зависит от соотношения этих сил с вязкими, то есть и от темпа закачки.

Все три причины меняют одну и ту же связь — между средней насыщенностью крупной ячейки и долей воды в потоке через её грань. Её и задают крупной модели таблицами псевдофункций. Для слоистого разреза при вертикальном равновесии псевдофункции получают аналитически (псевдофункции разреза); в общем случае — расчётом вытеснения на мелкой сетке.

Модель примеров урока

Что: Разрез
Значение: восемь прослоев урока Вытеснение в неоднородных пластах, толщина 16 м; внутри каждого прослоя $k_v/k_h = 0{,}01$

Что: Элемент
Значение: 500 м между рядами скважин, ширина 300 м, пласт горизонтальный

Что: ОФП и флюиды
Значение: кривые урока Относительная проницаемость во всех прослоях; нефть 3,0 мПа·с, вода 0,5 мПа·с ( $M'$ = 1,765)

Что: Закачка
Значение: 340 м³/сут в пластовых условиях: скорость фильтрации 0,0708 м/сут, как в уроке Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа

Что: Мелкая сетка
Значение: 8 слоёв × 45 столбцов по 11,1 м; схема IMPES, взвешивание против потока

Что: Крупная сетка
Значение: один слой × 5 блоков по 100 м (по 9 столбцов мелкой сетки)

Что	Значение
Разрез	восемь прослоев урока Вытеснение в неоднородных пластах, толщина 16 м; внутри каждого прослоя $k_v/k_h = 0{,}01$
Элемент	500 м между рядами скважин, ширина 300 м, пласт горизонтальный
ОФП и флюиды	кривые урока Относительная проницаемость во всех прослоях; нефть 3,0 мПа·с, вода 0,5 мПа·с ( $M'$ = 1,765)
Закачка	340 м³/сут в пластовых условиях: скорость фильтрации 0,0708 м/сут, как в уроке Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа
Мелкая сетка	8 слоёв × 45 столбцов по 11,1 м; схема IMPES, взвешивание против потока
Крупная сетка	один слой × 5 блоков по 100 м (по 9 столбцов мелкой сетки)

Сила тяжести и капиллярное давление в расчётах на сетках не учитываются, чтобы влияние неоднородности и сетки было видно в чистом виде. Данные условные.

ЕсептеуВодонасыщенность разреза на мелкой сетке после закачки 0,20 порового объёма. Вода прошла весь элемент по прослою 900 мД и, перетекая из него, частично заполнила соседние прослои 120 и 18 мД; по прослоям 310 и 200 мД она дошла примерно до 390 и 280 м, по плотным прослоям 75 и 8 мД — лишь до 120 и 45 м (бледная полоса дальше в прослое 8 мД — вода, перетёкшая из соседних прослоев). Вертикальные линии — границы крупных блоков: средняя насыщенность блока 3 всего 0,37, но через его выходную грань уже идёт 62 % воды.

Что такое псевдо-ОФП

Крупная модель считает переток каждой фазы между соседними ячейками по закону Дарси с проницаемостью $k^{*}$ и относительной проницаемостью, взятой при насыщенности ячейки выше по потоку. Псевдо-ОФП — те значения $\hat k_{rf}$ , при которых этот переток совпадает с потоком фазы на мелкой сетке, а псевдонасыщенность $\hat S_w$ — средняя по поровому объёму насыщенность крупной ячейки: её осредняют точно, как в однофазном случае (пористость и насыщенность).

Удобно думать о каждой фазе как о своём однофазном потоке в породе с проницаемостью $k_f = k\,k_{rf}(S_w)$ — фазовой проницаемостью (эффективной проницаемостью для фазы, ОФП). Если её осреднить по крупной ячейке так же, как абсолютную проницаемость, получится эквивалентная фазовая проницаемость $\hat k_f$ , а делением на $k^{*}$ — псевдо-ОФП.

Псевдоотносительная проницаемость и псевдонасыщенность крупной ячейки

\hat k_{rf,x} = \frac{\hat k_{f,x}}{k^{*}_x},\qquad \hat S_w = \frac{\sum_i V_i\,\phi_i\,S_{w,i}}{\sum_i V_i\,\phi_i}

мұндағы:

$\hat k_{rf,x}$ псевдоотносительная проницаемость фазы $f$ (нефти или воды) для потока вдоль $x$ , —
$\hat k_{f,x}$ эквивалентная фазовая проницаемость крупной ячейки вдоль $x$ : та, при которой ячейка пропускает тот же расход фазы, что и мелкие ячейки, мД
$k^{*}_x$ однофазная эквивалентная проницаемость той же ячейки вдоль $x$ , мД
$V_i,\ \phi_i,\ S_{w,i}$ объём, пористость и водонасыщенность $i$ -й мелкой ячейки, м³, д. ед., д. ед.

Бірліктер: проницаемости — в одинаковых единицах; насыщенность — в долях единицы

Мына жағдайда орындалады

$k^{*}$ и $\hat k_f$ рассчитаны для одного направления и при одних и тех же граничных условиях; для $y$ и $z$ — свои значения;
суммы — по мелким ячейкам внутри крупной;
как получить $\hat k_f$ , зависит от метода: стационарные методы решают однофазные задачи, динамические берут расходы и давления из расчёта вытеснения.

Псевдо-ОФП описывает не породу, а ячейку: при одинаковых кривых керна во всех мелких ячейках она зависит от того, как в ячейке расположены вода и нефть. Поэтому её считают отдельно по направлениям — вдоль слоёв и поперёк них псевдо-ОФП могут различаться в разы.

Стационарные методы: капиллярное равновесие и вязкостный предел

Если внутри крупной ячейки течение установилось — насыщенность во времени не меняется, — баланс каждой фазы сводится к уравнению однофазного установившегося течения с проницаемостью $k\,k_{rf}(S_w)$ (вывод — в разделе для углублённого изучения). Тогда, зная распределение насыщенности в ячейке, $\hat k_f$ находят теми же расчётами, что и $k^{*}$ : средними для слоёв или расчётом течения в блоке (расчёт течения в блоке). На этом построено стационарное ремасштабирование (steady-state upscaling), а распределение насыщенности в нём задаёт соотношение сил.

Предел капиллярного равновесия (capillary limit): течение очень медленное, сила тяжести не важна: капиллярное давление одинаково во всей ячейке. Насыщенность каждой мелкой ячейки находят по её собственной кривой капиллярного давления — для пород одного типа по функции Леверетта, — и метод сразу даёт псевдокапиллярное давление: $\hat p_c(\hat S_w)$ равно этому общему давлению.
Вязкостный предел (viscous limit): капиллярные силы и сила тяжести пренебрежимо малы, и в установившемся потоке доля воды одинакова во всей ячейке. Насыщенность каждой мелкой ячейки находят из её кривой $f_w$ . Если кривые ОФП всех мелких ячеек одинаковы, насыщенность выходит одинаковой, и псевдо-ОФП совпадают с кривыми керна: вязкостный предел ничего не меняет.
Гравитационное равновесие: фазы разделены силой тяжести по вертикали — это вертикальное равновесие. Для резкой границы псевдо-ОФП — прямые между концевыми точками (урок о сегрегированном потоке), для слоистого разреза — суммы по промытым прослоям (урок о слоистых пластах); с капиллярной переходной зоной — интегралы по толщине (раздел для углублённого изучения).

Псевдофункции в пределе капиллярного равновесия

1
Задать капиллярное давление
Взять уровень $P_c$ — от наибольшего, при котором все мелкие ячейки при неснижаемой воде, до нуля.
2
Насыщенности мелких ячеек
Для каждой мелкой ячейки найти $S_{w,i}$ из её кривой: $p_{c,i}(S_{w,i}) = P_c$ . Плотные породы при том же давлении водонасыщеннее.
3
Средняя насыщенность
$\hat S_w$ — с весом порового объёма.
4
Фазовые проницаемости
$k_{w,i} = k_ik_{rw}(S_{w,i})$ и $k_{o,i} = k_ik_{ro}(S_{w,i})$ для каждой мелкой ячейки.
5
Однофазное ремасштабирование каждой фазы
Осреднить поле $k_w$ и поле $k_o$ так же, как поле $k$ : для слоёв вдоль потока — арифметически, поперёк — гармонически, для произвольной неоднородности — расчётом течения в блоке. Получаются $\hat k_w$ и $\hat k_o$ по каждому направлению.
6
Псевдо-ОФП
Разделить на $k^{*}$ того же направления. Повторить для других $P_c$ — точки $(\hat S_w, \hat k_{rw}, \hat k_{ro}, P_c)$ образуют таблицу.

Псевдо-ОФП слоистой ячейки в пределе капиллярного равновесия

p_{c,j}(S_{w,j}) = P_c,\qquad \hat k_{rf}^{\parallel} = \frac{\sum_j k_jh_j\,k_{rf}(S_{w,j})}{\sum_j k_jh_j},\qquad \hat k_{rf}^{\perp} = \frac{\left(\sum_j h_j/\bigl(k_jk_{rf}(S_{w,j})\bigr)\right)^{-1}}{\left(\sum_j h_j/k_j\right)^{-1}}

мұндағы:

$p_{c,j}(S_w)$ кривая капиллярного давления слоя (слойка) $j$ ; для одного типа породы — $p_{c,j} = J(S_w)\,\sigma\cos\theta\sqrt{\phi_j/k_j}$ в согласованных единицах (функция Леверетта), МПа
$P_c$ общее капиллярное давление ячейки, МПа
$k_j,\ h_j$ проницаемость и толщина слоя, мД, м
$\hat k_{rf}^{\parallel},\ \hat k_{rf}^{\perp}$ псевдо-ОФП фазы $f$ вдоль слоёв и поперёк них, —

Бірліктер: проницаемости — мД, толщины — м; псевдо-ОФП безразмерны

Мына жағдайда орындалады

слои выдержаны по всей ячейке, каждый однороден; вдоль слоёв они работают параллельно, поперёк — последовательно (осреднение по слоям);
течение медленное: капиллярные силы успевают выровнять давление между слоями (критерий ниже);
кривые ОФП и капиллярного давления — того процесса, который моделируют (для заводнения гидрофильной породы — пропитки).

Вдоль слоёв фаза идёт по своим лучшим путям параллельно, поэтому псевдо-ОФП определяет проницаемый слой; поперёк слоёв фаза обязана пересечь каждый слой, и псевдо-ОФП определяет слой, где эта фаза наименее подвижна.

Есептеу мысалыСлойки в капиллярном равновесии: псевдо-ОФП вдоль и поперёк

Бастапқы деректер (шартты)

Слойки (доли толщины): A: 400 мД, $\phi$ = 0,25 (0,45); B: 60 мД, $\phi$ = 0,21 (0,35); C: 6 мД, $\phi$ = 0,15 (0,20)
ОФП: кривые урока Относительная проницаемость во всех слойках
Капиллярное давление пропитки: $0{,}04\,(1 - S_n)^2$ МПа — условная кривая урока Уравнения двухфазной фильтрации; здесь её относим к породе 50 мД с $\phi$ = 0,20, а для других пород умножаем на $\sqrt{(\phi/k)/(0{,}20/50)}$ по функции Леверетта
Уровень капиллярного давления: $P_c$ = 0,012 МПа

Шешім

Наибольшее капиллярное давление слойков (при $S_{wi}$ ): A — $0{,}04\sqrt{(0{,}25/400)/0{,}004} = 0{,}01581$ МПа, B — 0,03742, C — 0,100 МПа.
Насыщенность из $(1 - S_n)^2 = P_c/p_{c,\max}$ : A — $1 - S_n = \sqrt{0{,}012/0{,}01581} = 0{,}8712$ , $S_w = 0{,}22 + 0{,}53\cdot0{,}1288 = 0{,}2883$ ; B — $S_w = 0{,}4499$ ; C — $S_w = 0{,}5664$ .
ОФП слойков: $k_{rw}$ = 0,000534; 0,02040; 0,06980 и $k_{ro}$ = 0,6022; 0,2051; 0,0600.
Средняя насыщенность с весом $\phi h$ : $\hat S_w = (0{,}1125\cdot0{,}2883 + 0{,}0735\cdot0{,}4499 + 0{,}030\cdot0{,}5664)/0{,}216 = 0{,}382$ .
Вдоль слойков, $k^{*} = 400\cdot0{,}45 + 60\cdot0{,}35 + 6\cdot0{,}20 = 202{,}2$ мД: $\hat k_{rw} = (180\cdot0{,}000534 + 21\cdot0{,}02040 + 1{,}2\cdot0{,}06980)/202{,}2 = 0{,}0030$ ; $\hat k_{ro} = 0{,}558$ .
Поперёк, $k^{*} = 1/(0{,}45/400 + 0{,}35/60 + 0{,}20/6) = 24{,}82$ мД: фазовая проницаемость воды $1/\bigl(0{,}45/(400\cdot0{,}000534) + 0{,}35/(60\cdot0{,}02040) + 0{,}20/(6\cdot0{,}06980)\bigr) = 0{,}348$ мД, $\hat k_{rw} = 0{,}0140$ ; нефти — 1,707 мД, $\hat k_{ro} = 0{,}0688$ .
Кривые керна при $S_w = 0{,}382$ : $k_{rw}$ = 0,0071, $k_{ro}$ = 0,341.

Жауап: При средней насыщенности 0,382 вдоль слойков

\hat k_{rw}

= 0,0030 и

\hat k_{ro}

= 0,558, поперёк — 0,0140 и 0,0688; по кривым керна — 0,0071 и 0,341.

Бұл нені білдіреді. Капиллярные силы затянули воду в плотные слойки C и B, а нефть осталась в проницаемом A. Вдоль слойков нефть течёт по A, и ячейка ведёт себя благоприятнее породы с той же насыщенностью: нефти она пропускает в 1,6 раза больше, воды — в 2,4 раза меньше. Поперёк нефть должна пересечь водонасыщенный слоек C, где её ОФП всего 0,0600, и псевдо-ОФП нефти в 8,1 раза ниже, чем вдоль: при течении поперёк слойков нефть в A оказывается почти запертой. Отношение вертикальной и горизонтальной фазовых проницаемостей ячейки для нефти — 0,015, для воды — 0,574, а однофазное $k_v/k_h$ — 0,123: анизотропия зависит от фазы. Данные примера условные.

ЕсептеуПсевдо-ОФП слойков примера в пределе капиллярного равновесия вдоль и поперёк слойков в сравнении с кривыми керна (штриховые). Вдоль слойков нефть течёт легче, чем по керну, поперёк — гораздо труднее.

Когда предел капиллярного равновесия применим? Капиллярная пропитка выравнивает насыщенность поперёк слоёв тем быстрее, чем тоньше слои и выше вертикальная проницаемость, а вязкий поток проносит воду через ячейку тем быстрее, чем короче ячейка и выше скорость. Сравним два времени — так же, как в уроке о слоистых пластах сравнивали вязкие силы с силой тяжести.

Отношение капиллярных и вязких сил в ячейке

N_{cv} = \frac{t_x}{t_c} = \frac{k_v\,k_{ro}'\,\Delta p_c\,L}{\mu_o\,u\,H^2}

мұндағы:

$t_x$ время прохождения потоком длины ячейки $L$ , порядка $\phi\,\Delta S\,L/u$ , с
$t_c$ время капиллярного выравнивания насыщенности на толщине $H$ , порядка $\phi\,\Delta S\,\mu_oH^2/(k_vk_{ro}'\Delta p_c)$ , с
$k_v$ вертикальная проницаемость пачки слоёв, м²
$\Delta p_c$ характерный перепад капиллярного давления между слоями, Па
$L,\ H$ длина ячейки вдоль потока и толщина слоёв, между которыми выравнивается насыщенность, м
$\mu_o,\ u,\ k_{ro}'$ вязкость нефти, скорость фильтрации, концевая ОФП нефти, Па·с, м/с, —

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

оценка порядка величины, как и отношение сил тяжести и вязкости урока о слоистых пластах: перепад давления $\Delta p_c/H$ на толщине слоя заменяет гравитационный градиент;
$N_{cv} \gg 1$ — предел капиллярного равновесия, $N_{cv} \ll 1$ — капиллярными перетоками можно пренебречь, в промежутке нужен расчёт.

Толщина входит в квадрате: в слойках толщиной в сантиметры капиллярное равновесие устанавливается почти всегда, а в пачках толщиной в метры — только при хорошей вертикальной проницаемости (в разрезе урока с глинистыми прослойками $N_{cv}$ — тысячные доли). Не путайте $N_{cv}$ с капиллярным числом $N_c = \mu v/\sigma$ : то сравнивает силы на масштабе пор и растёт с расходом, а $N_{cv}$ , наоборот, велико при медленном течении.

Басқа бірліктер жүйелерінде (1)

Метрические промысловые единицы

N_{cv} = \frac{0{,}0853\,k_v\,k_{ro}'\,\Delta p_c\,L}{\mu_o\,u\,H^2}

$k_v$ — мД, $\Delta p_c$ — МПа, $L$ и $H$ — м, $\mu_o$ — мПа·с, $u$ — м/сут.

0,0853 — постоянная закона Дарси в метрических промысловых единицах (закон Дарси).

Есептеу мысалыСлойки и разрез: где работает капиллярное равновесие

Бастапқы деректер (шартты)

Слойки: толщина около 1 см; ячейка детальной модели длиной 0,3 м; $k_v$ = 24,8 мД (поперёк слойков предыдущего примера)
Разрез примеров урока: толщина 16 м, блок 100 м; $k_v$ пачки = $16/\sum(h_j/0{,}01k_j)$ = 0,258 мД
Общие данные: $k_{ro}'$ = 0,85; $\Delta p_c$ = 0,04 МПа; нефть 3,0 мПа·с; $u$ = 0,0708 м/сут

Шешім

Слойки: $N_{cv} = 0{,}0853\cdot24{,}8\cdot0{,}85\cdot0{,}04\cdot0{,}3/(3{,}0\cdot0{,}0708\cdot0{,}01^2) = 1016$ .
Разрез: $N_{cv} = 0{,}0853\cdot0{,}258\cdot0{,}85\cdot0{,}04\cdot100/(3{,}0\cdot0{,}0708\cdot16^2) = 0{,}0014$ .
Толщина, при которой в блоке 100 м с $k_v$ = 0,258 мД $N_{cv} = 1$ : $H^2 = 0{,}0853\cdot0{,}258\cdot0{,}85\cdot0{,}04\cdot100/(3{,}0\cdot0{,}0708) = 0{,}352$ м², $H = 0{,}59$ м.

Жауап: В слойках

N_{cv}

≈ 1016 — капиллярное равновесие; в разрезе 0,0014 — блок толщиной 16 м очень далёк от капиллярного равновесия.

Бұл нені білдіреді. Предел капиллярного равновесия годится для ремасштабирования в несколько ступеней: сначала слойки и слои сантиметрового масштаба — в ячейку детальной геологической модели, потом её — дальше, другими методами. Для крупной ячейки, через которую проходит фронт при пластовом темпе закачки, он обычно неприменим: в разрезе урока прослои не успевают обменяться водой, и вода уходит вперёд по проницаемым. Данные примера условные.

Динамические псевдофункции: методы Кайта–Берри и осреднения по поровому объёму

Когда через крупную ячейку проходит фронт, течение в ней не установившееся, и стационарные допущения не выполняются. Тогда псевдофункции берут из расчёта вытеснения на мелкой сетке: всего сектора со скважинами или каждой крупной ячейки с каймой соседних ячеек (граничные условия). Во время расчёта сохраняют насыщенности, давления и перетоки, а затем для каждой крупной ячейки и каждого направления составляют таблицу. Самый известный способ — метод Кайта–Берри (Kyte–Berry); его называют динамическим, а получаемые кривые — динамическими псевдофункциями (dynamic pseudos).

Псевдо-ОФП блока I по методу Кайта–Берри

1
Проницаемость между центрами
Рассчитать эквивалентную однофазную проницаемость $k^{*}$ области от центра блока I до центра соседнего блока II — тем же способом, что при однофазном ремасштабировании (Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке). Для слоёв вдоль потока это арифметическое среднее.
2
Средняя насыщенность
$\hat S_w$ блока I — с весом порового объёма, на каждый сохранённый момент времени.
3
Расходы фаз
Сложить потоки воды и нефти мелких ячеек через грань между блоками I и II — выходную грань блока I.
4
Давления фаз
Осреднить давление каждой фазы в центральном столбце мелких ячеек блока I и блока II с весом $k\,k_{rf}h$ и привести к глубине центра блока.
5
Псевдо-ОФП
По закону Дарси между центрами блоков найти $\hat k_{rw}$ и $\hat k_{ro}$ и отнести их к $\hat S_w$ блока I — блока выше по потоку, насыщенность которого крупная модель и возьмёт для перетока.
6
Псевдокапиллярное давление
Разность осреднённых давлений нефти и воды в центре блока I.

Псевдо-ОФП и псевдокапиллярное давление по методу Кайта–Берри

\begin{aligned} \bar p_{f,I} &= \frac{\sum_j k_jk_{rf,j}h_j\bigl(p_{f,j} - \rho_fg(D_j - \bar D_I)\bigr)}{\sum_j k_jk_{rf,j}h_j},\qquad \Delta\bar\Phi_f = \bar p_{f,I} - \bar p_{f,II} - \rho_fg\,(\bar D_I - \bar D_{II}),\\ \hat k_{rf} &= \frac{\mu_f\,q_f\,\Delta x}{0{,}0853\,k^{*}A\,\Delta\bar\Phi_f},\qquad \hat p_c = \bar p_{o,I} - \bar p_{w,I} \end{aligned}

мұндағы:

$\bar p_{f,I}$ давление фазы $f$ в блоке I: среднее по центральному столбцу мелких ячеек $j$ , приведённое к глубине центра блока $\bar D_I$ , МПа
$k_j,\ k_{rf,j},\ h_j$ проницаемость, ОФП фазы и толщина мелкой ячейки столбца — веса осреднения, мД, —, м
$D_j,\ \bar D_I$ глубина мелкой ячейки и центра крупного блока (отсчёт вниз), м
$\rho_fg$ гидростатический градиент фазы, $0{,}00981\rho_f$ при плотности в г/см³, МПа/м
$\Delta\bar\Phi_f$ разность потенциалов фазы между центрами блоков I и II, МПа
$q_f$ расход фазы через грань между блоками — сумма потоков мелких ячеек этой грани, в пластовых условиях, м³/сут
$\Delta x,\ A$ расстояние между центрами блоков и площадь их общей грани, м, м²
$k^{*}$ однофазная эквивалентная проницаемость между центрами блоков, мД
$\mu_f$ вязкость фазы, мПа·с

Бірліктер: метрические промысловые: $k$ в мД, $q$ в м³/сут, $p$ в МПа, $\mu$ в мПа·с, длины в м

Мына жағдайда орындалады

пласт и поток — как в расчёте на мелкой сетке, по которому получены давления и расходы; псевдо-ОФП относят к насыщенности блока выше по потоку;
если фаза неподвижна во всём столбце (все $k_{rf,j} = 0$ ), вес теряет смысл; в примерах урока давление такой фазы осредняют с весом $kh$ ;
$0{,}0853$ — постоянная закона Дарси (закон Дарси); в горизонтальном пласте гравитационные члены исчезают.

Это закон Дарси, решённый относительно ОФП: известны расход, перепад потенциала и проницаемость, неизвестна относительная проницаемость. Всё, что мелкая модель знает о расположении фаз в блоке, попадает в $\hat k_{rf}$ через расход на грани и осреднённое давление.

Почему расход берут на выходной грани. Крупная модель решает, сколько воды отдать соседу, только по средней насыщенности блока. Пока фронт на мелкой сетке идёт внутри однородного блока, эта насыщенность растёт, и с кривыми керна блок начал бы отдавать воду раньше, чем она дойдёт до его границы, — это и есть численная дисперсия. Расход на выходной грани в это время равен нулю: $q_w = 0$ , значит, $\hat k_{rw} = 0$ при всех таких средних насыщенностях (пример с однородным пластом ниже). Псевдокривая воды сдвигается вправо, и крупная модель задерживает воду, пока та не дошла до грани. Так метод компенсирует численную дисперсию — заодно с неоднородностью.

Осреднение по поровому объёму (pore-volume weighted, PVW). Вес $k\,k_{rf}h$ подчёркивает зоны, где фаза течёт, но это соглашение, а не следствие физики, и для нефти и воды веса получаются разными. Поэтому осреднённые давления фаз различаются даже там, где на мелкой сетке капиллярного давления нет, — появляется ложное псевдокапиллярное давление, и оно зависит от того, по какому столбцу осредняли, то есть от направления. Метод осреднения по поровому объёму берёт давление всего блока с весом $\phi V$ мелких ячеек — одним и тем же для обеих фаз. Остальное — как у Кайта–Берри.

Давление блока при осреднении по поровому объёму

\bar p_{f,I} = \frac{\sum_{i\in I} V_i\phi_i\,\bigl(p_{f,i} - \rho_fg(D_i - \bar D_I)\bigr)}{\sum_{i\in I} V_i\phi_i}

мұндағы:

$i \in I$ все мелкие ячейки блока I, —
$V_i\phi_i$ поровый объём мелкой ячейки, м³
$p_{f,i}$ давление фазы в мелкой ячейке, МПа

Бірліктер: метрические промысловые, как выше

Мына жағдайда орындалады

дальше — те же разность потенциалов и закон Дарси, что в методе Кайта–Берри; для последнего блока перед скважиной — разность с давлением на её грани и расстояние $\Delta x/2$ .

При нулевом капиллярном давлении на мелкой сетке псевдокапиллярное давление PVW тоже нулевое, а доля воды по псевдо-ОФП точно равна доле воды в потоке через грань.

Есептеу мысалыОдна точка псевдокривых блока 3

Бастапқы деректер (шартты)

Момент: закачано 0,20 порового объёма; блок 3 — от 200 до 300 м, блок 4 — от 300 до 400 м
Мелкая сетка: средняя насыщенность блока 3 $\hat S_w$ = 0,369; через грань на 300 м проходит 209,2 м³/сут воды и 130,8 м³/сут нефти
Давления по Кайту–Берри (центральные столбцы 250 и 350 м): нефть 6,763 и 3,836 МПа; вода 6,837 и 3,959 МПа
Давления PVW (весь блок): 6,749 и 3,882 МПа
Блоки: $k^{*}$ = 139,6 мД (среднее арифметическое прослоев), $A = 300\cdot16 = 4800$ м², $\Delta x$ = 100 м

Шешім

Множитель закона Дарси: $G = 0{,}0853\,k^{*}A/\Delta x = 0{,}0853\cdot139{,}6\cdot4800/100 = 571{,}6$ м³·мПа·с/(сут·МПа).
Кайт–Берри: $\Delta\bar p_o = 6{,}763 - 3{,}836 = 2{,}927$ МПа, $\hat k_{ro} = 3{,}0\cdot130{,}8/(571{,}6\cdot2{,}927) = 0{,}2345$ ; $\Delta\bar p_w = 2{,}878$ МПа, $\hat k_{rw} = 0{,}5\cdot209{,}2/(571{,}6\cdot2{,}878) = 0{,}0636$ .
Псевдокапиллярное давление Кайта–Берри: $6{,}763 - 6{,}837 = -0{,}074$ МПа — хотя на мелкой сетке капиллярного давления нет.
PVW: $\Delta\bar p = 6{,}749 - 3{,}882 = 2{,}867$ МПа, $\hat k_{ro} = 0{,}2394$ , $\hat k_{rw} = 0{,}0638$ .
Доля воды крупного блока по псевдо-ОФП PVW: $(0{,}0638/0{,}5)/(0{,}0638/0{,}5 + 0{,}2394/3{,}0) = 0{,}615$ — ровно доля воды в потоке через грань, $209{,}2/340 = 0{,}615$ . По псевдо-ОФП Кайта–Берри без их псевдокапиллярного давления — 0,619.
Кривые керна при $S_w$ = 0,369: $k_{rw}$ = 0,0056, $k_{ro}$ = 0,372, доля воды 0,083.

Жауап: При

\hat S_w

= 0,369 псевдо-ОФП блока 3:

\hat k_{rw}

≈ 0,0638 и

\hat k_{ro}

≈ 0,2394 — в 11,4 раза больше и в 1,6 раза меньше, чем по керну.

Бұл нені білдіреді. Крупный блок с насыщенностью 0,369 должен отдавать соседу 62 % воды, а кривые керна при такой насыщенности дали бы 8 %: вода прошла блок по прослою 900 мД, когда плотные прослои ещё почти не тронуты (рисунок в начале урока). Псевдо-ОФП Кайта–Берри и PVW здесь близки, а псевдокапиллярные давления различаются: у Кайта–Берри оно ложное — −0,074 МПа при нулевом капиллярном давлении на мелкой сетке, у PVW равно нулю. Если взять псевдо-ОФП Кайта–Берри без их псевдокапиллярного давления, доля воды блока (0,619) немного отличается от доли воды в потоке через грань. Данные примера условные.

Отрицательные и бесконечные псевдо-ОФП

Если осреднённый перепад потенциала фазы между центрами блоков близок к нулю, формула даёт огромные значения, а если он противоположен по знаку потоку — отрицательные. Так бывает, когда фаза течёт через грань за счёт перетоков, которых не видят осреднённые давления, при сегрегации фаз силой тяжести или противотоке. Таблицы проверяют, «странные» точки отбрасывают или заменяют сглаживанием, кривые делают монотонными. В примере урока на 16 905 точках пяти блоков отрицательных значений нет: пласт горизонтальный, капиллярного давления нет, и обе фазы проходят грани блоков только от нагнетательного ряда к добывающему.

Есть и другие способы осреднять давление — например, с весом проводимостей, что лучше работает при сильной сегрегации газа и нефти. Отдельное семейство — методы суммарной подвижности (total mobility methods): они не осредняют давления фаз, а ремасштабируют суммарную подвижность и долю воды в потоке, из которых затем получают псевдо-ОФП. Все динамические методы требуют расчёта на мелкой сетке для каждой области с её граничными условиями, поэтому дорогие и капризные.

Мелкая сетка, крупная с кривыми керна, крупная с псевдофункциями

Теперь проверим, что всё это даёт. Разрез урока считаем на мелкой сетке до закачки двух поровых объёмов и строим псевдофункции каждого из пяти блоков. Затем тот же элемент считаем на крупной сетке из пяти блоков с разными кривыми. На одномерной крупной сетке при постоянном расходе насыщенности определяет только доля воды в потоке, а её без капиллярного давления — отношение подвижностей фаз, поэтому крупные расчёты ведём по одним псевдо-ОФП. Для PVW это точно: их псевдокапиллярное давление здесь нулевое. У Кайта–Берри так опущено их ложное псевдокапиллярное давление, и небольшое отличие их результата от мелкой сетки — цена этого упрощения. Первой водой, как в уроке Численная дисперсия, считаем 1 % воды в потоке на выходе.

Есептеу мысалыОдно заводнение на мелкой и крупной сетках

Бастапқы деректер (шартты)

Эталон: мелкая сетка 8 × 45, разрез и данные — в таблице в начале урока
Крупная сетка: 5 блоков по 100 м; шаг 0,0005 порового объёма: число Куранта мало, и размытие фронта определяет только сама сетка
Кривые крупных блоков: кривые керна; псевдофункции вертикального равновесия урока Вытеснение в неоднородных пластах; предел капиллярного равновесия для прослоев разреза — по той же условной кривой пропитки, что в примере со слойками; псевдо-ОФП Кайта–Берри и PVW

Шешім

Мелкая сетка: первая вода после 0,109 порового объёма, добыча 0,292 после 0,5 и 0,360 после 1 порового объёма.
Кривые керна: 0,285; 0,379; 0,419 — первая вода в 2,6 раза позже, добыча после 1 порового объёма на 16 % больше.
Псевдофункции вертикального равновесия: 0,022; 0,213; 0,298. Точное решение с ними даёт первую воду после 0,083 порового объёма, но на пяти блоках их крутой начальный участок размывается ещё сильнее.
Предел капиллярного равновесия: 0,346; 0,424; 0,457 — ещё оптимистичнее, чем кривые керна.
Псевдо-ОФП Кайта–Берри и PVW, свои для каждого блока: 0,112 и 0,109; добыча после 1 порового объёма 0,359 и 0,360 против 0,360.
Псевдо-ОФП PVW блока 3 во всех пяти блоках: 0,095; 0,285; 0,353.

Жауап: Динамические псевдофункции, рассчитанные для каждого блока, воспроизвели добычу мелкой сетки до тысячных, а её первую воду — точно (PVW) или с отклонением 0,003 порового объёма (Кайт–Берри без их псевдокапиллярного давления); кривые керна дали первую воду в 2,6 раза позже, а псевдофункции равновесия — в 5 раз раньше.

Бұл нені білдіреді. Кривые керна не видят прослоя 900 мД, а псевдофункции вертикального равновесия считают, что перетоки мгновенно выравнивают давление между прослоями, хотя при $k_v/k_h = 0{,}01$ внутри каждого прослоя $k_v$ пачки — всего 0,258 мД и $R_L \approx 1{,}3$ — промежуточный случай (сообщаемость прослоев); при $M' > 1$ полные перетоки ухудшают вытеснение и ускоряют прорыв. Динамические псевдофункции совпали с мелкой сеткой потому, что получены из того же расчёта: это проверка согласованности, а не прогноза. Одна кривая блока 3 для всех блоков уже ошибается: блок у нагнетательного ряда промывается иначе, чем блок у добывающего. Данные примера условные.

Первая вода и добыча на мелкой и крупных сетках, поровые объёмы

Расчёт: Мелкая сетка 8 × 45 — эталон
Первая вода: 0,109
$N_{pD}$ при 0,5: 0,292
$N_{pD}$ при 1,0: 0,360

Расчёт: Крупная, кривые керна
Первая вода: 0,285
$N_{pD}$ при 0,5: 0,379
$N_{pD}$ при 1,0: 0,419

Расчёт: Крупная, псевдофункции равновесия (VE)
Первая вода: 0,022
$N_{pD}$ при 0,5: 0,213
$N_{pD}$ при 1,0: 0,298

Расчёт: Крупная, капиллярный предел
Первая вода: 0,346
$N_{pD}$ при 0,5: 0,424
$N_{pD}$ при 1,0: 0,457

Расчёт: Крупная, Кайт–Берри, свои для блоков
Первая вода: 0,112
$N_{pD}$ при 0,5: 0,292
$N_{pD}$ при 1,0: 0,359

Расчёт: Крупная, PVW, свои для блоков
Первая вода: 0,109
$N_{pD}$ при 0,5: 0,292
$N_{pD}$ при 1,0: 0,360

Расчёт: Крупная, PVW блока 3 для всех
Первая вода: 0,095
$N_{pD}$ при 0,5: 0,285
$N_{pD}$ при 1,0: 0,353

Расчёт: Неравномерная 3 × 5, кривые керна
Первая вода: 0,086
$N_{pD}$ при 0,5: 0,311
$N_{pD}$ при 1,0: 0,381

Расчёт	Первая вода	$N_{pD}$ при 0,5	$N_{pD}$ при 1,0
Мелкая сетка 8 × 45 — эталон	0,109	0,292	0,360
Крупная, кривые керна	0,285	0,379	0,419
Крупная, псевдофункции равновесия (VE)	0,022	0,213	0,298
Крупная, капиллярный предел	0,346	0,424	0,457
Крупная, Кайт–Берри, свои для блоков	0,112	0,292	0,359
Крупная, PVW, свои для блоков	0,109	0,292	0,360
Крупная, PVW блока 3 для всех	0,095	0,285	0,353
Неравномерная 3 × 5, кривые керна	0,086	0,311	0,381

Первая вода — 1 % воды в потоке на выходе; $N_{pD}$ — добыча нефти в поровых объёмах разреза после закачки 0,5 и 1,0 порового объёма. «Неравномерная 3 × 5» — три слоя крупной сетки: прослои 1–3, прослой 900 мД отдельно, прослои 5–8. Псевдо-ОФП Кайта–Берри взяты без их псевдокапиллярного давления. Данные условные.

ЕсептеуДоля воды в потоке на выходе элемента: мелкая сетка и крупная сетка из пяти блоков с кривыми керна, с псевдофункциями вертикального равновесия, в пределе капиллярного равновесия и с динамическими псевдо-ОФП (PVW). Кривая с динамическими псевдо-ОФП почти совпадает с мелкой сеткой.

ЕсептеуДинамические псевдо-ОФП блока 3 (PVW) и кривые керна (штриховые). Пока средняя насыщенность блока мала, псевдо-ОФП воды в десятки и сотни раз больше керновой: вода проходит блок по прослою 900 мД. Кривые обрываются около

\hat S_w

= 0,6: дальше блок за два поровых объёма не промылся.

Есептеу мысалыОднородный пласт: псевдофункции против численной дисперсии

Бастапқы деректер (шартты)

Пласт: тот же элемент, но однородный: 139,6 мД, пористость — средняя разреза; мелкая сетка 1 × 45, крупная 1 × 5
Точное решение: прорыв после 0,396 порового объёма (Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа)

Шешім

Первая вода: мелкая сетка 0,382, крупная с кривыми керна 0,285, крупная с псевдо-ОФП Кайта–Берри 0,381 порового объёма.
После закачки 0,20 порового объёма средняя насыщенность блока 3 — 0,420, но фронт ещё внутри блока: через его выходную грань воды нет, и $\hat k_{rw}$ = 0, хотя по керну при такой насыщенности $k_{rw}$ = 0,0134.
После 0,5 порового объёма: $\hat S_w$ = 0,617, $\hat k_{rw}$ = 0,0983 против 0,1051 по керну.

Жауап: Псевдо-ОФП Кайта–Берри вернули крупной сетке первую воду мелкой (0,381 против 0,382 вместо 0,285 с кривыми керна).

Бұл нені білдіреді. В однородном пласте неоднородности нет, и псевдокривая воды сдвинута вправо: блок не отдаёт воду, пока она не дошла до его выходной грани. Псевдофункции воспроизводят мелкую сетку, а не точное решение: мелкая сетка сама размывает фронт, и первая вода у неё на 3,5 % раньше точного прорыва. Поэтому эталонная сетка должна быть заметно мельче фронта. Данные примера условные.

Сначала — лучшее однофазное ремасштабирование

Динамические псевдофункции дороги: для каждой крупной ячейки и направления нужен расчёт вытеснения на мелкой сетке, а в модели их десятки тысяч, и кривые потом приходится группировать. Поэтому на практике чаще улучшают однофазное ремасштабирование так, чтобы главные пути воды остались видны крупной сетке.

Неравномерная сетка (non-uniform upscaling). Слои, по которым уходит вода, сохраняют отдельными слоями крупной сетки, а однородные пачки объединяют. В примере урока три слоя вместо одного — прослой 900 мД отдельно — уменьшили завышение добычи после 1 порового объёма с 16 до 6 % без всяких псевдофункций (таблица выше). Тот же принцип — мельче ячейки там, где по расчёту однофазного течения идёт основной поток.
Глобальные граничные условия. Проводимости между крупными ячейками рассчитывают не по каждому блоку отдельно, а по однофазному расчёту всей детальной модели со скважинами: расход между областями делят на разность их средних давлений (ремасштабирование проводимости). Так крупная модель «знает» пути, по которым течёт вода между её скважинами.
Меньший коэффициент укрупнения там, где идут фронты и стоят скважины, и проверка сходимости по сетке (сколько ячеек нужно).

Псевдофункции оставляют для случаев, когда этого мало: сильная неоднородность внутри ячеек, сравнимая с их размером, неблагоприятное соотношение подвижностей, важная роль капиллярных сил или силы тяжести. В примере урока неравномерная сетка всё же даёт первую воду раньше эталона — прослой 900 мД на ячейках 100 м размывается численной дисперсией.

Где псевдофункции перестают работать

Псевдофункции — это «память» одного расчёта на мелкой сетке. Они верны, пока крупная модель работает в тех же условиях.

Темп закачки и соотношение сил: От отношения капиллярных сил к вязким и силы тяжести к вязким зависит, где в ячейке вода. В примере урока псевдофункции капиллярного равновесия (очень медленная закачка) дают на крупной сетке первую воду через 0,346 порового объёма, а мелкая сетка при пластовом темпе — через 0,109. Если темп в разных частях пласта различается — у скважин и между ними, — одной таблицы мало.
Граничные условия расчёта: Расчёт для отдельной ячейки требует задать, что входит в неё и с какой долей воды; ошибка в этом допущении переходит в псевдофункции. Кайма соседних ячеек и расчёт всего сектора со скважинами ослабляют влияние допущения, но удорожают работу.
Расположение скважин и путь фронта: Псевдофункции блока зависят от того, как далеко он от нагнетательной скважины и каким к нему подошёл фронт. В примере у пяти блоков пять разных кривых: после двух поровых объёмов средняя насыщенность — от 0,68 в первом блоке до 0,58 в последнем. Новые скважины или перевод добывающих под закачку меняют путь фронта — таблицы пересчитывают.
Направление потока: Псевдо-ОФП — свои по $x$ , $y$ и $z$ и даже для потока в одну и в другую сторону: в ячейке, где проницаемый прослой подходит только к одной грани, вода выходит через неё раньше. Пример со слойками показал различие вдоль и поперёк слоёв в разы.
Сетка и шаг по времени: Динамические псевдофункции компенсируют численную дисперсию той крупной сетки, для которой рассчитаны. Измельчили сетку — компенсация стала лишней; укрупнили шаг полностью неявной схемы — добавилось размытие, которого в расчёте не было (выбор шага).

Как проверяют псевдофункции

1
Отбраковать точки
Отрицательные и аномально большие значения, немонотонные участки, точки с почти нулевым перепадом давления; псевдокривые дополнить до концевых точек, которых расчёт не достиг.
2
Сгруппировать
Похожие кривые объединить по типам пород и областям; проверить, сколько стоит группировка (в примере одна кривая для всех блоков сдвинула первую воду с 0,109 до 0,095 порового объёма).
3
Сравнить мелкую и крупную модели
На характерном секторе — при другом темпе закачки, другом расположении скважин, другом направлении потока, а не только в условиях, по которым кривые получены.
4
Не путать с адаптацией
Псевдофункции получают из детальной модели до сравнения с историей; подбор ОФП при адаптации может прятать в них ошибки сетки и геологии (сначала сетка).

Как влияют на ремасштабирование структура неоднородности, анизотропия и масштаб и в каких случаях оно не работает вовсе — тема урока Особые вопросы ремасштабирования.

Откуда методы

Метод Кайта–Берри опубликован в середине 1970-х годов как способ бороться с численной дисперсией на грубых сетках того времени; псевдофункции вертикального равновесия появились немного раньше, на рубеже 1960-х и 1970-х годов. Варианты с другими весами давлений, методы суммарной подвижности и стационарные методы капиллярного и вязкостного пределов развивались в 1990-х — 2000-х годах вместе с детальными геологическими моделями, которые надо было укрупнять. Возможности программ меняются, поэтому сведения о них относятся к своему времени.

Терминдер мен белгілер

Псевдофункции: псевдоотносительные проницаемости и псевдокапиллярное давление крупной ячейки как функции её средней насыщенности.
Кривые керна: ОФП и капиллярное давление, описывающие породу в масштабе образца.
Фазовая проницаемость $k_f = k\,k_{rf}$: проницаемость породы для одной фазы при данной насыщенности; её ремасштабируют как однофазную.
Стационарные методы: псевдофункции из допущения установившегося течения в ячейке: предел капиллярного равновесия, вязкостный предел, гравитационное равновесие.
Динамические методы: псевдофункции из расчёта вытеснения на мелкой сетке: Кайта–Берри, осреднения по поровому объёму, с весом проводимостей, суммарной подвижности.
Метод Кайта–Берри: псевдо-ОФП по расходу через выходную грань блока и давлениям центральных столбцов, осреднённым с весом $k\,k_{rf}h$ .
PVW: осреднение давления по всему блоку с весом порового объёма; не создаёт ложного псевдокапиллярного давления.
$N_{cv}$: отношение времени прохождения ячейки ко времени капиллярного выравнивания насыщенности поперёк слоёв.

Жиі қателіктер

Қате

«Проницаемость перенесена на крупную сетку верно — значит, и заводнение крупная модель посчитает верно».

Шын мәнінде

Однофазное ремасштабирование не видит, где в ячейке вода. В примере урока крупная сетка с кривыми керна дала первую воду в 2,6 раза позже мелкой и на 16 % больше нефти после закачки одного порового объёма.

Қате

«Псевдо-ОФП — свойство породы: рассчитали один раз — пользуйтесь везде».

Шын мәнінде

Они зависят от темпа закачки, граничных условий, скважин, направления потока и сетки. Их переносят только после проверки в новых условиях.

Қате

«Псевдокапиллярное давление Кайта–Берри показывает капиллярные силы в ячейке».

Шын мәнінде

Оно возникает из разных весов осреднения давлений фаз и бывает ненулевым при нулевом капиллярном давлении на мелкой сетке: в примере урока −0,074 МПа. Осреднение по поровому объёму его не создаёт.

Қате

«Псевдокривая воды всегда сдвинута вправо от керновой — она ведь компенсирует численную дисперсию».

Шын мәнінде

В однородной ячейке — да. В слоистой неоднородность обычно сильнее: в примере урока при средней насыщенности 0,369 псевдо-ОФП воды в 11,4 раза больше керновой.

Қате

«Капиллярное равновесие — удобный способ получить псевдофункции для любой ячейки».

Шын мәнінде

Только для тонких слоёв и медленного течения: для слойков сантиметровой толщины $N_{cv}$ порядка тысячи, для разреза урока толщиной 16 м при пластовом темпе — тысячные доли. Иначе псевдофункции получатся слишком оптимистичными.

Толық: тереңдетілген

Почему установившийся поток сводится к однофазным задачам

Баланс фазы $f$ в несжимаемой системе — $\phi\,\partial S_f/\partial t + \nabla\cdot\mathbf u_f = 0$ (Уравнения двухфазной фильтрации). В установившемся течении $\partial S_f/\partial t = 0$ , и остаётся $\nabla\cdot\mathbf u_f = 0$ . С законом Дарси без силы тяжести $\mathbf u_f = -(k\,k_{rf}/\mu_f)\nabla p_f$ это $\nabla\cdot\bigl(k\,k_{rf}(S_w)\nabla p_f\bigr) = 0$ — уравнение однофазного течения с проницаемостью $k\,k_{rf}$ . Если поле насыщенности известно, для каждой фазы остаётся та же задача, что при расчёте $k^{*}$ .

Поле насыщенности дают пределы. Поток воды удобно выразить через суммарную скорость $\mathbf u_t$ : $\mathbf u_w = f_w\mathbf u_t + k\lambda_of_w\nabla p_c$ , где $\lambda_o = k_{ro}/\mu_o$ (Функция доли воды в потоке и соотношение подвижностей). В установившемся течении $\nabla\cdot\mathbf u_t = 0$ , и баланс воды принимает вид $\mathbf u_t\cdot\nabla f_w + \nabla\cdot(k\lambda_of_w\nabla p_c) = 0$ . При $\mathbf u_t \to 0$ (капиллярный предел) остаётся $\nabla\cdot(k\lambda_of_w\nabla p_c) = 0$ ; при нулевых капиллярных потоках через границы его решение — постоянное $p_c$ . При пренебрежимом $p_c$ (вязкостный предел) остаётся $\mathbf u_t\cdot\nabla f_w = 0$ : доля воды постоянна вдоль линий тока, а при постоянной доле воды на входе — во всей ячейке.

Вертикальное равновесие с капиллярной переходной зоной

Если пласт тонок по сравнению с капиллярной переходной зоной, резкой границы воды и нефти нет, но вертикальное равновесие может сохраняться (урок о сегрегированном потоке). Тогда в каждом сечении давления фаз распределены по высоте гидростатически, капиллярное давление растёт с высотой $z$ над подошвой как $p_c(z) = p_c(0) + \Delta\rho\,g\,z$ (вода тяжелее нефти), а насыщенность каждой точки задаёт её кривая капиллярного давления. Псевдофункции — интегралы по толщине:

Псевдофункции разреза при капиллярно-гравитационном равновесии

\hat S_w = \frac{\int_0^H\phi\,S_w(z)\,\dd z}{\int_0^H\phi\,\dd z},\qquad \hat k_{rf} = \frac{\int_0^H k\,k_{rf}\bigl(S_w(z)\bigr)\dd z}{\int_0^H k\,\dd z},\qquad p_c\bigl(S_w(z)\bigr) = p_c(0) + \Delta\rho\,g\,z

мұндағы:

$z$ высота над подошвой пласта, м
$H$ толщина пласта, м
$p_c(0)$ капиллярное давление у подошвы — параметр, задающий среднюю насыщенность сечения, Па
$\Delta\rho\,g$ разность гидростатических градиентов воды и нефти, Па/м

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

вертикальное равновесие: давления фаз выравниваются по толщине быстрее, чем фронт продвигается вдоль пласта;
поток вдоль пласта: псевдо-ОФП — проводимости слоёв $k\,k_{rf}$ , сложенные параллельно;
перебирая $p_c(0)$ от наибольшего до наименьшего, получают таблицу $(\hat S_w, \hat k_{rw}, \hat k_{ro})$ ; капиллярное давление — пропитки или дренирования, по процессу.

Это предел капиллярного равновесия, к которому добавлен вес фаз. Без капиллярных сил интегралы дают прямые сегрегированного потока, без силы тяжести — псевдофункции капиллярного предела.

Басқа тақырыптармен байланыс

Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке — эквивалентная проницаемость, граничные условия и ремасштабирование проводимости — основа псевдофункций.
Вытеснение в неоднородных пластах — псевдофункции слоистого разреза при вертикальном равновесии и сообщаемость прослоев.
Сегрегированный поток и гравитационное вытеснение — псевдо-ОФП при резкой границе фаз и вертикальном равновесии.
Численная дисперсия — размытие фронта на крупной сетке, которое компенсируют динамические псевдофункции.
Относительная проницаемость — кривые ОФП керна, из которых строят псевдокривые.
Капиллярное давление и переходная зона — функция Леверетта и кривые пропитки для предела капиллярного равновесия.
Петрофизические данные для модели: ОФП и капиллярное давление — как готовят кривые керна для модели.
Особые вопросы ремасштабирования — структура неоднородности, анизотропия и случаи, когда ремасштабирование не работает.
Адаптация модели к истории разработки — почему псевдофункции не заменяют адаптацию и наоборот.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Крупная ячейка состоит из двух слоёв одинаковой пористости: 2 м проницаемостью 300 мД и 1 м проницаемостью 30 мД, кривые ОФП одинаковы. В пределе капиллярного равновесия при некотором $P_c$ водонасыщенность слоёв 0,30 и 0,55, ОФП нефти 0,62 и 0,12. Найдите среднюю насыщенность и псевдо-ОФП нефти вдоль и поперёк слоёв.
Жауабын көрсету
Средняя насыщенность $(2\cdot0{,}30 + 1\cdot0{,}55)/3 \approx 0{,}383$ . Вдоль слоёв $k^{*} = (300\cdot2 + 30\cdot1)/3 = 210$ мД, фазовая проницаемость нефти $(300\cdot2\cdot0{,}62 + 30\cdot1\cdot0{,}12)/3 = (372 + 3{,}6)/3 \approx 125{,}2$ мД, $\hat k_{ro} \approx 125{,}2/210 \approx 0{,}596$ . Поперёк $k^{*} = 3/(2/300 + 1/30) = 75$ мД, фазовые проницаемости слоёв 186 и 3,6 мД, $3/(2/186 + 1/3{,}6) = 3/0{,}2885 \approx 10{,}4$ мД, $\hat k_{ro} \approx 10{,}4/75 \approx 0{,}139$ . Поперёк слоёв нефть в 4,3 раза менее подвижна: её путь перекрыт водонасыщенным плотным слоем.
2
В однородном пласте урока после закачки 0,20 порового объёма средняя водонасыщенность блока 3 — 0,420, но фронт на мелкой сетке ещё не дошёл до выходной грани блока. Какое значение $\hat k_{rw}$ даст в этой точке метод Кайта–Берри?
1. А.Ноль: через выходную грань вода ещё не течёт
2. Б.Отрицательное: перепад давления воды направлен против потока
3. В.0,0134 — как кривая керна при той же насыщенности
4. Г.Больше керновой: вода прошла блок по лучшему прослою
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Ноль: через выходную грань вода ещё не течёт
Метод берёт расход фазы на выходной грани блока, а там пока $q_w = 0$ , поэтому $\hat k_{rw} = 0$ при любой средней насыщенности, пока фронт внутри блока. С кривой керна (0,0134) крупная модель начала бы отдавать воду соседу раньше времени — это численная дисперсия, которую и компенсирует псевдокривая. Ответ «больше керновой» верен для слоистого разреза, где вода проходит блок по лучшему прослою, но не для однородного пласта.
3
На мелкой сетке капиллярного давления нет, а метод Кайта–Берри дал псевдокапиллярное давление −0,1 МПа. Что это значит и что делать?
Жауабын көрсету
Это не капиллярные силы, а следствие разных весов осреднения: давление нефти осреднено с весом $k\,k_{ro}h$ , воды — $k\,k_{rw}h$ , и при разных давлениях прослоев средние различаются. Использовать псевдо-ОФП Кайта–Берри без этого давления нельзя — доля воды крупной ячейки исказится; лучше перейти к осреднению по поровому объёму, которое при нулевом капиллярном давлении даёт нулевое псевдокапиллярное давление.
4
Пачка слоёв толщиной 4 м, $k_v$ = 2 мД, блок 200 м, $\Delta p_c$ = 0,05 МПа, нефть 2,0 мПа·с, $k_{ro}'$ = 0,8, скорость фильтрации 0,05 м/сут. Применим ли предел капиллярного равновесия?
1. А. $N_{cv}$ порядка единицы — нужен расчёт
2. Б.Нет, $N_{cv}$ много меньше единицы
3. В.Да, $N_{cv}$ много больше единицы
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. $N_{cv}$ порядка единицы — нужен расчёт
$N_{cv} = 0{,}0853\cdot2\cdot0{,}8\cdot0{,}05\cdot200/(2{,}0\cdot0{,}05\cdot4^2) = 1{,}365/1{,}6 \approx 0{,}85$ . Капиллярные перетоки и вязкий поток сопоставимы: ни предел капиллярного равновесия, ни пренебрежение капиллярными силами не точны, и псевдофункции получают расчётом на мелкой сетке с капиллярным давлением.
5
Псевдо-ОФП рассчитали по мелкой сетке для схемы «нагнетательная скважина в углу элемента». Затем решили добавить скважину в центр. Можно ли оставить таблицы?
Жауабын көрсету
Нет без проверки. Псевдофункции каждого блока описывают, каким к нему подходит фронт и как он проходит через блок; новая скважина меняет направления и скорости потока, длину пути фронта и даже направление течения через некоторые блоки. Таблицы пересчитывают или хотя бы сравнивают мелкую и крупную модели для новой схемы.
6
Почему в примере урока псевдофункции вертикального равновесия дали первую воду гораздо раньше мелкой сетки?
Жауабын көрсету
По двум причинам. Они предполагают, что перетоки мгновенно выравнивают давление между прослоями ( $R_L \gg 1$ ), а при $M' > 1$ перетоки ухудшают вытеснение и ускоряют прорыв по быстрому прослою; в разрезе урока при $k_v/k_h = 0{,}01$ внутри прослоев $R_L \approx 1{,}3$ — перетоки ограничены, и мелкая модель ближе к промежуточному случаю. И они не компенсируют численную дисперсию: их крутой начальный участок на крупных блоках размывается, и вода выходит из элемента ещё раньше, чем по их же точному решению.

Жаңартылған: 16 октября 2026 г.